bare com primate 2

Bare Bare comprimatecomprimateBare Bare comprimatecomprimate

Bare comprimate centricBare comprimate centricBare comprimate centricBare comprimate centric

Introd cereIntrod cereIntroducereIntroducereÎnÎn ceeaceea cece priveştepriveşte barelebarele comprimate,comprimate, pepe parcursulparcursul acestuiacestui capitol,capitol, seseaa tratatrata problemaproblema alcăt iriialcăt irii lorlor şişi aa comportăriicomportării s bs b încărcăriîncărcărivava tratatrata problemaproblema alcătuiriialcătuirii lorlor şişi aa comportăriicomportării subsub încărcăriîncărcări..

LaLa barelebarele comprimatecomprimate oo problemăproblemă deosebitădeosebită oo constituieconstituie flambajulflambajul carecareesteeste influenţatinfluenţat dede::

ZveltZvelteţeaeţea bareibarei AA lZveltZvelteţeaeţea bareibarei –– AAFormaForma secţiuniisecţiunii bareibarei –– BB::

FlambajFlambaj prinprin încovoiereîncovoiereFlambajFlambaj prinprin răsucirerăsucire

MM ţ l l iţ l l i CC

fli

λ =MarcaMarca oţeluluioţelului -- CC

37, 52....OL OL

FlambajulFlambajul barelorbarelor dindinjjelementeelemente multmult depărtatedepărtate

SuntSunt alcătuitealcătuite dindin profileprofile legatelegate întreîntre eleele cucu zăbrelezăbrele sausauplăcuţeplăcuţe::p ţp ţ

xx--xx lunecărilelunecările suntsunt neglijabileneglijabileyy--yy întreîntre celecele douădouă secţiunisecţiuni aleale bareibarei potpot apăreaapărea lunecărilunecări seseţineţine contcont dede rigiditatearigiditatea barelorbarelorţineţine contcont dede rigiditatearigiditatea barelorbarelor

y y

x x x x

y y

FlambajulFlambajul barelorbarelor dindinjjelementeelemente multmult depărtatedepărtateff == coeficientcoeficient dede flambajflambaj

dd2EIP π

=

Pentru o bară unitară:

sscc == ss dede curgerecurgereRR == rerezistenţazistenţa dede calculcalculGG == modulmodul dede rigiditaterigiditate transversaltransversal

2

2

2

crf

crcr

Pl

P EA

πσλ

= =GG == modulmodul dede rigiditaterigiditate transversaltransversalAA == ariaaria bareibarei

2

2x

AMd y

dx EI

λ

=

cr cr

c Rσ σϕσ

= =• Dacă se ţine seama de forţa tăietoare2 1EIP π

= ⋅ 22

21cr

f

f

PEI kl

l G Aπ

+ ⋅⋅ deformatia unghiularak

G Aγ = =

⋅2

2

11E cr E

f E

EIP P Pl Pπ

γ= → = ⋅

+ ⋅

pentru o forţă tăietoare T=1

FlambajulFlambajul barelorbarelor dindinjjelementeelemente multmult depărtatedepărtateff == coeficientcoeficient dede flambajflambaj

dd2EIP π

=

Pentru o bară unitară:

sscc == ss dede curgerecurgereRR == rerezistenţazistenţa dede calculcalculGG == modulmodul dede rigiditaterigiditate transversaltransversal

2

2

2

crf

crcr

Pl

P EA

πσλ

= =GG == modulmodul dede rigiditaterigiditate transversaltransversalAA == ariaaria bareibarei

2

2x

AMd y

dx EI

λ

=

• Dacă se ţine seama de forţa tăietoare2

2 2

1crcr

P EA

πσλ

= = ⋅⎛ ⎞ 2

cr cr

c Rσ σϕσ

= =

2 2

21cr

f

A EIl

λ π γ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

2, tr crtr

Eπμλ λ σλ

= =

( )

2 2

2 2, 1crf

E EIl

π πσ μ γμλ

= = + 1tr

trμ λ λ≥ → ≥

FlambajulFlambajul barelorbarelor dindinjjelementeelemente multmult depărtatedepărtate

ÎnÎn continuarecontinuare sese vorvorÎnÎn continuarecontinuare sese vorvoranalizaanaliza douădouă cazuricazuri::

AA StStâlpâlp cucu zăbrelezăbreleAA.. StStâlpâlp cucu zăbrelezăbreleBB.. StâlpStâlp cucu plăcuţeplăcuţe

Stâlp lStâlp l cc ăbreleăbreleStâlpulStâlpul cucu zăbrelezăbreleSubSub acacţiuneaţiunea uneiunei forţeforţe tăietoaretăietoare TT efortulefortul înîn diagonalădiagonală DD == TT //coscosaa..DD == alungireaalungirea diagonaleidiagonalei..

D l lT lTΔ

cosd d

d dd d

D l lTl lE A E EAσε

α⋅

Δ = = = = ⋅⋅

2cos cosd

d

lTEA

δα α

Δ= = ⋅

ldT=1 1

2cos sin d

lEA

δα α

=⋅ ⋅

ll1

D

1

sindllα

δ

=

c

l

a

1

1lδγ = =

ld2

1cos sin dA Eα α

=⋅ ⋅ ⋅

Stâlp lStâlp l cc ăbreleăbreleStâlpulStâlpul cucu zăbrelezăbreleSubSub acacţiuneaţiunea uneiunei forţeforţe tăietoaretăietoare TT efortulefortul înîn diagonalădiagonală DD == TT //coscosaa..DD == alungireaalungirea diagonaleidiagonalei..

2 2 1 2 22 2

2 2 2

11 1cos sinf f d

EI EIl l A Eπ πμ γ

α α= + ⋅ = + ⋅

⋅ ⋅ ⋅

2 2

2 2f

EI EA AA lπ π

λ=

⋅

dT=1 2

2 21cos sin d

EI AA E

πμλ α α

= + ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

l1D

2

2 2

11cos sind

AA

πλ α α

= + ⋅ ⋅⋅

c

l

a

2 1tr

A

λ μ λ

π

= ⋅ =

ld2 2

11cos sind

AA

πλλ α α

= + ⋅ ⋅⋅

Stâlp lStâlp l cc ăbreleăbreleStâlpulStâlpul cucu zăbrelezăbreleSubSub acacţiuneaţiunea uneiunei forţeforţe tăietoaretăietoare TT efortulefortul înîn diagonalădiagonală DD == TT //coscosaa..DD == alungireaalungirea diagonaleidiagonalei..

2 21A A2 22

2 2 2

11cos sin cos sintr

d d

A AA A

π πλ μ λ λ λλ α α α α

= ⋅ = + ⋅ ⋅ = + ⋅⋅ ⋅

dT=12π

l1D

2cos sinn π

α α=

⋅

c

l

a2

trd

AnA

λ λ= +ld dA

Stâlp lStâlp l cc ăbreleăbreleStâlpulStâlpul cucu zăbrelezăbreleParametriiParametrii carecare influenţeazăinfluenţează pierdereapierderea stabilităţiistabilităţii::ParametriiParametrii carecare influenţeazăinfluenţează pierdereapierderea stabilităţiistabilităţii::

ll== llff // ii lltrtr== mlml

FormaForma secţiuniisecţiunii bareibarei curbecurbe dede flambajflambajFormaForma secţiuniisecţiunii bareibarei curbecurbe dede flambajflambajRR == rezistenţarezistenţa dede calculcalcul aa oţeluluioţelului

dT=12π

l1D

2cos sinn π

α α=

⋅

c

l

a2

trd

AnA

λ λ= +ld dA

Stâlp lStâlp l cc plplăc ţeăc ţeStâlpulStâlpul cucu plplăcuţeăcuţedd11 == rotirearotirea noduluinodului datoritădatorită deformaţieideformaţiei plăcuţeiplăcuţei11 ţţ p ţp ţdd22 == săgeatasăgeata consoleiconsolei

2δ δδ δ δ 1 12 l T lc TQ Q ⋅

1 1

2l l

γ = =1 2δ δ δ= + 1 12

2 2 2Q Q

c⋅ = ⋅ → =

d

T/2d1 d2

d

l1l1/2

l /2l1/2

g

l1l1/2

l1/2Q/2

Θ

cT/2

Q

Stâlp lStâlp l cc plplăc ţeăc ţeStâlpulStâlpul cucu plplăcuţeăcuţedd11 == rotirearotirea noduluinodului datoritădatorită deformaţieideformaţiei plăcuţeiplăcuţei11 ţţ p ţp ţdd22 == săgeatasăgeata consoleiconsolei

2δ δδ δ δ 1 12 l T lc TQ Q ⋅

d

1 1

2l l

γ = =1 2δ δ δ= + 1 12

2 2 2Q Q

c⋅ = ⋅ → =

T/2d1 d2

d

21 1l T l cδ ⋅ ⋅

Θl1/2

l /2l1/2

g

1 11 2 48 pE Iδ = Θ⋅ =

⋅ ⋅l1/2

l1/2Q/2

Θ3

12

T lfδ ⋅= =

T/2

Q2

148f

E Iδ

⋅ ⋅

Stâlp lStâlp l cc plplăc ţeăc ţeStâlpulStâlpul cucu plplăcuţeăcuţedd11 == rotirearotirea noduluinodului datoritădatorită deformaţieideformaţiei plăcuţeiplăcuţei11 ţţ p ţp ţdd22 == săgeatasăgeata consoleiconsolei

3l c I⎛ ⎞y1 1

d

1 1

1 1

148 p

l c IE I l I

δ⎛ ⎞⋅

= +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠x x

T/2d1 d2

d

⎛ ⎞y1 1

l1/2

l /2l1/2

g3

1 1

1 1

2 148 p

l c IE I l I

⎛ ⎞⋅+⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ →l1/2

l1/2Q/2

Θ 1

2

p

l

l I

γ ⎝ ⎠= →

⎛ ⎞

T/2

Q 21 1

1 1

2 148 p

l c IE I l I

γ⎛ ⎞⋅

→ = +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

Stâlp lStâlp l cc plplăc ţeăc ţeStâlpulStâlpul cucu plplăcuţeăcuţedd11 == rotirearotirea noduluinodului datoritădatorită deformaţieideformaţiei plăcuţeiplăcuţei11 ţţ p ţp ţdd22 == săgeatasăgeata consoleiconsolei

λy1 1

d

trγ μ λ= ⋅x x

T/2d1 d2

d

y1 1

l1/2

l /2l1/2

g 2

21 yE Iπμ γ

⋅= + ⋅ =l1/2

l1/2Q/2

Θ

2

2 21 1

1

1 1

fy

y

l

E I l c I

μ γ

π

+

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟

T/2

Q 1 12

1 1

1 124

y

fy p

l cl E I l I

= + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

Stâlp lStâlp l cc plplăc ţeăc ţeStâlpulStâlpul cucu plplăcuţeăcuţedd11 == rotirearotirea noduluinodului datoritădatorită deformaţieideformaţiei plăcuţeiplăcuţei11 ţţ p ţp ţdd22 == săgeatasăgeata consoleiconsolei y1 1

2 22 2I A i A i A Ax x

2 21 1

2 1

2 , 2y y yI A i A i A A

lI A i λ

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ =

y1 1

1 1 1 11

, I A ii

λ= =

2 2 c Iλ π ⎛ ⎞1 1

21

1 112y p

c Il I

λ πμλ

⎛ ⎞⋅= + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

2 2 22 21 1 11 1 1c I c Iλ π πλ λ μ λ λ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅= = + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟12

1 1

1 1 112 12tr y y y

y p pl I l Iλ λ μ λ λ λ

λ= = + ⋅ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Stâlp lStâlp l cc plplăc ţeăc ţeStâlpulStâlpul cucu plplăcuţeăcuţedd11 == rotirearotirea noduluinodului datoritădatorită deformaţieideformaţiei plăcuţeiplăcuţei11 ţţ p ţp ţdd22 == săgeatasăgeata consoleiconsolei y1 1

x x•l1 = zvelteţea ramurii între două plăcuţe

l

y1 11I

•ly = zvelteţea stâlpului

21

1

1Dacă 1 112

15

c Il I

lI

π ⎛ ⎞⋅→ + ≅ →⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠≤

1125 pp l IIc

⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

2 21rt yλ λ λ→ = +

Stâlp lStâlp l cc plplăc ţeăc ţeStâlpulStâlpul cucu plplăcuţeăcuţedd11 == rotirearotirea noduluinodului datoritădatorită deformaţieideformaţiei plăcuţeiplăcuţei11 ţţ p ţp ţdd22 == săgeatasăgeata consoleiconsolei y1 1

x x•Pentru stâlpi cu zăbrele avem:A

y1 11d

AnA

λ =

•Pentru stâlpi cu plăcuţe avem:

d

11

li

λ =1i

PredimensionareaPredimensionarea secţiunilorsecţiunilorţţ((DimensionareaDimensionarea aproximativăaproximativă))

CondiCondiţiaţia cece trebuietrebuie săsă oo respecterespecte ununelementelement dede construcţieconstrucţie::elementelement dede construcţieconstrucţie::

max cap nN N A A Rσ ϕ≤ = ⋅ = ⋅ ⋅SuntSunt cunoscutecunoscute::

llff dindin schemaschema staticstaticăăffRR dindin proprietăţileproprietăţile materialuluimaterialului alesalesNN dindin încărcăriîncărcări şişi calculcalcul staticstatic

NecunoscuteleNecunoscutele suntsunt:: A,A, ffÎnÎn continuarecontinuare suntsunt prezentateprezentate metodemetodeÎnÎn continuarecontinuare suntsunt prezentateprezentate metodemetodepentrupentru evaluareaevaluarea acestoracestor necunoscutenecunoscute..

AA M t dM t d it ti ăit ti ăAA.. MetodaMetoda iterativăiterativăl →a 1

1

se propune o valoare NA A I i

ϕ →

→ → →

a

1

, ,nec realA A I iRϕ

λ

→ = → →⋅

′1

1 1

realλ ϕϕ ϕ′→ →

′+1 12 2

N

ϕ ϕϕ = →a

2

2nec

NARϕ

→ = →⋅

2 , etc...realλ ϕ ′→ →

BB.. MetodaMetoda coeficientuluicoeficientului dedeprofilprofil kk::

2

se impune forma secţiuniiA

→a2

coeficientul de profil

1

AkIN A R

→ = = →2 22 2 2

f fR l R lA kI N N

λ λϕ ϕ

⋅ ⋅= ⋅ → = ⋅

2

2

1 /N A RRA N

σ λϕ ϕ

⋅→ = ≤ → = ⋅ →

⎛ ⎞

222 2 fR l

kN

λ ξ ξϕ

⋅= → = ⋅ →

222 flA R A R

N N iλ λϕ

⎛ ⎞⋅ ⋅→ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ,fR klN

ϕ

ξ λ ϕ⋅→ = ⋅ → →

22

2 , fR lA Iii N A

⋅= ⋅ =

nec

NNARϕ

→ =Rϕ

CC BB ăb lăb lCC.. BareBare cucu zăbrelezăbrele::y1 1

• Sunt cunoscute l l I A A

, x y x trϕ ϕ λ λ≈ ≈ x x

• Sunt cunoscute lfx, lfz, Ix, A, A1

2 21

2 2

tr yλ λ λ

λ λ λ

= + →y1 1

2 21x y

fx fyl l

λ λ λ

λ λ

→ = +2

,

2 2

y xy x

I Ii iA A cI A

⎫= = ⎪

⎪ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎪

c

, x yx yi i

l

λ λ= =

⎧

2 1 1

1 11

2 222 2

2 22

yy y

I AIcI I A iA A

A A

+ ⎜ ⎟⎪⎪⎛ ⎞ ⎝ ⎠= + → = =⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪

⎪1

11

- plăcuţeli

Aλ

⎧⎪⎪= ⎨⎪

1

2 2

2A A ⎪=⎪⎪⎭

zăbreled

AnA

⎪⎪⎩

2 221

12 2yI c ci iA

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CC BB ăb lăb lCC.. BareBare cucu zăbrelezăbrele::y1 1

• Sunt cunoscute l l I A A

2 2

, x y x trϕ ϕ λ λ

λ λ λ

≈ ≈

= + →x x

• Sunt cunoscute lfx, lfz, Ix, A, A1

1

2 21

tr y

x y

l l

λ λ λ

λ λ λ

= + →

→ = + y1 1

2

, fx fyx y

x y

l li i

l

λ λ= =

⎛ ⎞2

2 fyli

c

21

2

fyx

y

li

λ λ⎛ ⎞

= + →⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞

22 2

2 2

fyy

x y

f

i

lc

λ λ=

−

⎛ ⎞2 2

1

2

fyx

y

li

λ λ⎛ ⎞

→ = + →⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞

21 2 2

2

2fy

x y

lc iλ λ

⎛ ⎞ + =⎜ ⎟ −⎝ ⎠2

2 21

fyx

y

li

λ λ⎛ ⎞

→ − = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

22

12 22 fy

x y

lc i

λ λ= −

−

VVă mulţumim ă mulţumim VVă mulţumim ă mulţumim pentru atenţie!pentru atenţie!p ţp ţ

Ing. Gabriel Mircea URIANIng. Gabriel Mircea URIANIngIng MihaiMihai SENILASENILAIng. Ing. MihaiMihai SENILASENILAProf.dr.ing. Vasile PĂCURARProf.dr.ing. Vasile PĂCURAR