axa numerelor reale

+∞-∞

NZQR

N=mulţimea numerelor naturale

Z=mulţimea numerelor întregi

Q=mulţimea numerelor raţionale

R=mulţimea numerelor reale

R-Q=mulţimea numerelor iraţionale

NZQR

NZ

QR*

Adevărat sau fals ?

• Un număr scris cu virgulă nu este întreg.

Exemple: 0,516; -1,9; +34,78.

• Un număr scris cu liniuţă de fracţie nu este întreg.

Exemple:

• Un număr scris cu radical nu este raţional.

Exemple:

• numere întregi scrise cu virgulă:

51,0; -852,0; +6174,0.

• numere întregi scrise cu liniuţă:

numere raţionale scrise cu radical:

Atenţie ! Nu asociaţi automat numerele scrise cu radical cu numerele iraţionale!

Afirmaţiile anterioare sunt false. Demonstrăm cu metoda contraexemplului.

• Georg Cantor (1845-1918) a avut o contribuţie remarcabilă în fundamentarea teoriei mulţimilor. În acelaşi timp el a dat o construcţie a numerelor reale printr-o metodă diferită de cele realizate de predecesorii săi.

• Creator al teoriei numerelor reale, poate fi însă considerat matematicianul grec

Eudoxus (408-355 î.Hr.)• Ideile sale inspirate din geometrie au fost

preluate de Karl Weierstrass (1815-1897) şi de Richard Dedekind (1831-1916) şi dezvoltate prin metode aritmetice şi analitice moderne.

NZQR

Mulţimea numerelor naturale

N = { 0, 1, 2, 3, …}

• 0 este cel mai mic număr natural.• Nu există cel mai mare număr natural.• Numere care aparţin mulţimii N:

58; 724; 100; 32689; 106.• Numere care nu aparţin mulţimii N:

-3; -12; 0,7; -5,2(6); ; ; .

Mulţimea numerelor întregi

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

• Oricărui număr întreg pozitiv îi corespunde un număr întreg negativ.• Numere care aparţin mulţimii Z:

24; -43; 625; -100; 27314; -106.• Numere care nu aparţin mulţimii Z:

8,1; -0,5; 9,(7); -1,3(26); ; ; .

Mulţimea numerelor raţionale

• Se notează cu Q• Orice număr raţional se poate scrie sub forma:

, aZ, b Z*• Numerele raţionale pot avea după virgulă: - un număr finit de zecimale; - o infinitate de zecimale care se repetă periodic; - o parte finită urmată de o parte periodică.• Numere care aparţin mulţimii Q:

0; 1; 10; -1; -106; 2-3; -0,5; 3,(74); 1,8(2); .• Numere care nu aparţin mulţimii Q:

; ; ; ; .

Mulţimea numerelor reale

• Se notează cu R• Un număr real este sau raţional, sau iraţional.• Numerele iraţionale au după virgulă o infinitate de zecimale fără parte periodică.• Numere care aparţin mulţimii R:

0; 1; 10; -1; -106; 2-3 ; -0,5; 3,(74); 1,8(2); ;

• Numere care nu aparţin mulţimii R: soluţii ale unor ecuaţii precum: x2+1=0.

Un număr de forma , aN, este iraţional dacă:

• Numărul a are ultima cifră 2, 3, 7 sau 8.

R-Q pentru că u(152)=2.

• Numărul a este cuprius între două pătrate perfecte consecutive.

72<56<82, deci R-Q.

• Numărul a admite un divizor p, dar nu admite ca divizor pătratul lui p.

R-Q pentru că 115 5 şi 115 25.

Ce este axa numerelor reale ?

O dreaptă pe care am fixat:

• un punct O numit origine;• un sens pozitiv (indicat de săgeată);• o unitate de măsură.

x

originea

OA=1

sens pozitiv

• Oricărui număr real i se poate asocia un punct de pe axa Ox şi reciproc, oricărui punct de pe axa Ox i se poate asocia un număr real;• Numerele reale “ocupă” toate punctele dreptei Ox

x

Abscisa punctului D este . Scriem

Folosind

Cum reprezentăm pe axă numerele iraţionale ?

construcţii geometrice

aproximări

+∞-∞

Aproximări

În funcţie de precizia cu care dorim să lucrăm, putem înlocui un număr real cu aproximări ale sale, care să aibă un ordin de mărime dat. De cele mai multe ori, nu avem nevoie de o precizie atât de mare încât să folosim rigla şi compasul pentru a reprezenta un număr pe axă. În aceste situaţii, recurgem la încadrarea numărului dat între două numere raţionale care îl aproximează prin lipsă, respectiv prin adaos. Astfel putem reprezenta pe axă numărul dat printr-un punct situat între punctele corespunzătoare unei încadrări date.

aproximareprin lipsă

aproximareprin adaos

3< 10 < 4

3,1< 10 < 3,2

3,16< 10 < 3,17

încadrare prin aproximare la unităţi

încadrare prin aproximare la zecimi

încadrare prin aproximare la sutimi

Dacă avem nevoie de o precizie maimare, atunci folosim rigla şi compasul.

Construcţii geometrice

+∞-∞

Anumite numere iraţionale, cum sunt radicalii, pot fi reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim teorema lui Pitagora, rigla şi compasul pentru a construi un segment de lungime :

Teorema stabileşte echivalenţa între o proprietategeometrică (a fi un triunghi dreptunghic) şi o proprietatenumerică (suma pătratelor a două numere este pătratulunui alt număr), trasând o legătură între

geometrie şi aritmetică

Într-un triunghi dreptunghic suma pătratelorlunghimilor catetelor este egală cu pătratul lunghimii ipotenuzei.

matematician şi filozof grec, spunea:

• Cedează întotdeauna cuvintelor blânde şi faptelor folositoare.

• Obişnuieşte-te să domini: lăcomia în primul rând, apoi lenea, luxul şi mânia.

• Prietenul care ne ascunde defectele, ne slujeşte mai rău decât duşmanul care ni le reproşează.

(Vezi I. Dăncilă “Matematica gimnaziului”-pag. 108)

Desenul următor vă sugerează un procedeu pentrua construi segmente de lungime

• a fost nu numai un mare matematician al Siracuzei şi al antichităţii, dar şi unul al tuturor timpurilor.

• Pliniu l-a numit “zeul matematicii”, iar Leibniz a scris că, dacă cunoşti opera lui Arhimede, nu mai poţi admira descoperirile noi.

• Legendele şi anecdotele care au împodobit invenţiile sale sunt aproape singurele izvoare de unde putem afla amănunte despre opera sa matematică şi inginerească.

(Vezi I. Dăncilă “Matematica gimnaziului”-pag. 141)

Folosiţi spirala lui ARHIMEDE pentru a reprezenta pe axa numerelor:

Un procedeu pentru a construi, cât mai rapid, un segment de lungime

34 = 25 + 9 = 52+32

Desenul următor vă sugerează cum putem construi,cât mai rapid, un segment de lungime

15 = 32 + 22 + 12 + 12

AC2 = BC2 - AB2

AC2 = 82 – 72

AC2 = 15

AC = 15

SAU: 15 = 15 1 = (8+7)(8-7) = 82 - 72

Construiţi asemănător segmente de lungime:

INDICAŢII

17=16+141=25+1635=25+9+1, sau 35=132-122

39=36+1+1+1, sau 39=202-192

86=81+4+1106=81+25

INDICAŢII

Numărul 12 345 678 987 654 321 este un număr remarcabil. Dar şi rădăcina lui

pătrată este tot aşa: este un număr întreg !

Voi îl puteţi calcula ?

Numărul 12 345 678 987 654 321

• este pătrat perfect şi se citeşte astfel:

12 biliarde, 345 bilioane, 678 miliarde,

987 milioane, 654 mii, 321.

• rădăcina lui pătrată este: 111 111 111.

112=121

1112=12321

11112=1234321

111112=123454321

1111112=12345654321

11111112=1234567654321

111111112=123456787654321

1111111112=12345678987654321

Ai ajuns la sfârşit.

IEŞIRE

ÎNAPOI

ALEGE !