1.transformari geometrice 2d
Post on 10-Feb-2018
443 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
1/18
Trans ormariTrans ormariTrans ormariTrans ormariTrans ormariTrans ormariTrans ormariTrans ormari EOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2D
1
Prof. univ. dr. ing. Florica MoldoveanuProf. univ. dr. ing. Florica MoldoveanuProf. univ. dr. ing. Florica MoldoveanuProf. univ. dr. ing. Florica Moldoveanu
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
2/18
TransformariTransformari GEOMETRICE(1)GEOMETRICE(1)
Obiectele 2D/3D sunt reprezentate prin:
Coordonatele varfurilor, raportate la un sistem de coordonate
carteziene 2D sau 3D;
Atribute to olo ice laturi ciclul de laturi al unei fete s.a.
2
Atribute de aspect: culoare, tipul de interior pentru suprafete 2D,
atribute de material(ex.: reflexia/refractia luminii de catre suprafata),
texturi, s.a.
Transformarile geometrice se aplica (coordonatelor) varfurilorobiectului si nu afecteaza atributele sale!
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
3/18
TransformariTransformari GEOMETRICE(2)GEOMETRICE(2)
- Sunt operatii fundamentale in sinteza imaginilor
- Folosite entru:
3
- Redarea desenelor la diferite marimi
- Compunerea desenelor sau a scenelor 3D
- Realizarea animatiei
- Transformarea obiectelor dintr-un spatiu logic, in care sunt
definite, in spatiul fizic de afisare
- Etc.
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
4/18
1 .1 . T R A N S F O R M A R IT R A N S F O R M A R I G E O M E T R I C EG E O M E T R I C E E L E M E N T A R EE L E M E N T A R E
TransformariTransformari GEOMETRICE 2D(1)GEOMETRICE 2D(1)
4
Translatia Scalarea fata de origine
Rotatia fata de origine
Forfecarea fata de origine Oglindiri fata de axele principale, fata de origine
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
5/18
TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2D elementareelementare(1)(1)
Translatia
Este definita printr-un vector, T[tx,ty].
5
Se doreste o reprezentare matriciala a transformarilor, necesara pentrucompunerea lor.
P(x,y) [x,y] si P(x, y) [x,y]Se doreste: [x, y] = [x, y] * M Nu exista o matrice de 2x2 pt exprimarea
translatiei in coordonate cartezieneEGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
6/18
TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2D elementareelementare(2)(2)
Scalarea fata de origine
Este definita prin 2 numere reale, de regula pozitive:
- sx - scalarea de-a lungul axei OX
- - -
6
Efecte:..
sx = sy , scalare uniforma
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
7/18
TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2D elementareelementare(3)(3)
Rotatia fata de origine
Relatia dintre coordonatele carteziene sicoordonatele polare ale unui punct
7
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
8/18
TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2D fatafata de unde un punctpunct oarecareoarecare
din plan(1)din plan(1)
Scalarea fata de un punct oarecare din plan
- Punctul fix al transformarii este un punct oarecare F(xf,yf) coordonatele sale nu semodifica prin aplicarea transformarii.
- Scalarea se aplica vectorului FP:x xf = sx*(x-xf)
8
y yf = sy*(y yf)
Rezulta:x = x*sx + xf xf*sxy = y*sy + yf yf*sy
Nu poate fi exprimata printr-o matrice de 2x2!
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
9/18
TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2D fatafata de unde un punctpunct oarecareoarecaredin plan(2)din plan(2)
Rotatia fata de un punct oarecare din plan
Punctul fix al transformarii este F(xf,yf)
Rotatia se aplica vectorului FP, in jurul punctului F:
x xf = (x-xf)* cos(u) - (y yf) * sin(u)
9
y yf = (x-xf)* sin(u) + (y yf) * cos(u)
Rezulta:x = x*cos(u) y*sin(u) + xf xf*cos(u) + yf*sin(u)y = x*sin(u) + y*cos(u) + yf xf*sin(u) yf*cos(u)
Nu poate fi exprimata printr-o matrice de 2x2!
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
10/18
CompunereaCompunerea transformarilortransformarilor geometricegeometrice 2D2DDe ce este necesara?
- Pentru a aplica o singura transformare care inglobeaza o secventa de transformari elementare,
in locul aplicarii in secventa a transformarilor elementare; de ex., se aplica tuturor varfurilor o
transformare care inglobeaza scalare, rotatie si translatie in loc sa se aplice fiecarui varf secventa
de transformari elementare.
- Matricea unei transformari compuse se obtine prin inmultirea matricilor transformarilor
10
e emen are. xemp u:
RS = R*S =
SR = S*R =
- Translatia fata de origine nu poate fi reprezentata printr-o matrice de 2x2!
- Aceasta impune reprezentarea transformarilor in coordonate omogene:
RS # SR
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
11/18
ReprezentareaReprezentarea transformarilortransformarilor geometricegeometrice 2D in2D incoordonatecoordonate omogeneomogene(1)(1)
Coordonate omogene:
11
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
12/18
ReprezentareaReprezentarea transformarilortransformarilor elementareelementare 2D in2D incoordonatecoordonate omogeneomogene(2)(2)
12
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
13/18
TransformarileTransformarile inverse aleinverse ale transformarilortransformarilorelementareelementare
T(tx, ty): matricea translatiei, in coordonate omogene
S(0, 0, sx, sy): matricea scalarii fata de origine, in coordonate omogene
R(0,0,u): matricea rotatiei fata de origine, in coordonate omogene
13
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
14/18
TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2D compusecompuse(1)(1)
Exemple de transformari compuse:
Expresiile matematice ale scalrii i rotaiei fa de un
punct oarecare din plan se pot obine prin compunerea urmtoarelor
transformri:
14
Translaia prin care punctul fix al transformrii ajunge n origine: T(-xf, -yf);
Scalarea / rotaia fa de origine: S(0,0,sx,sy)/R(0,0,u);
Translaia invers celei de la punctul 1: T(xf, yf).
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
15/18
TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2Dcompusecompuse(2)(2)
15
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
16/18
AlteAlte transformaritransformari geometricegeometrice 2D(1)2D(1)
Oglindirea
Fata de axa OX
Fata de axa OY
16
Fata de origine
Fata de dreapta x=y
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
17/18
AlteAlte transformaritransformari geometricegeometrice 2D(2)2D(2)
Oglindirea fa de o dreapt oarecare
Se exprima ca transformare compusa prin inmultirea matricilor care exprima urmatoarele
transformari:
1. O translaie, astfel nct dreapta sa treaca prin origine.
2. O rotaie fa de origine, a.. dreapta s se suprapun peste una dintre axele principale.
17
3. Oglindirea fa de axa principal peste care a fost suprapus dreapta.
4. Rotaia invers celei de la punctul 2.
5. Translaia invers celei de la punctul 1.
n notaie matricial:M = T * R* O* R-1 *T-1 (folosind vectori linie) sau M = T-1 * R-1 *O *R *T (folosind vectori coloana)
Deduceti T, R, O, atunci cand dreapta este data printr-un punct, (xd, yd) si o directie, D[a, b].
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
-
7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D
18/18
AlteAlte transformaritransformari geometricegeometrice 2D(4)2D(4)
Forfecarea
Este definita prin 2 numere reale:
Fx: factorul de forfecare pe axa OX
18
Deduceti formele matriciale aletransformarilor de forfecare:
1. Translatie prin care punctul (xf, yf) ajunge in origine2. Forfecarea fata de origine3. Translatia inversa celei de la pasul 1
Forfecarea fata de un punct oarecare din plan, (xf,yf) , exprimata ca transformare compusa:
EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D
top related