1 mecanica.pdf
Post on 05-Oct-2015
216 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
1
1.Mecanic
1. Un corp cu masa m 1 kg se afl la momentul t 0 s n punctul de coordonate 1,3,1 i are impulsul 0p 2i j 3k N s . Asupra corpului acioneaz o for variabil n timp 2 2F 2t i t 1 j t k N . S se afle:
a) vectorul vitez la momentul s1t , b) vectorul de poziie la momentul s1t .
R:
a) mFaamF
dtktj1tit2vddtmFvddt
mFvddtavd
dtvda 22
1
323Ck
3tj
21ti
3t2v
Constanta de integrare C1 se determin din condiiile iniiale. Astfel la momentul t 0vvs0
; 0 00 0 0 1p 1 pp m v v j Cm 2 m
11 j C 2i j 3k2
k3j23i2C1
. k3
3tj
23
21ti2
3t2v
323
.
La s1t k331j
23
24i2
32v
s/mk3
10j2
i38v
b) dtvrddtrdv dtvrd
dtk33tj
23
21ti2
3t2rd
323
-
2
2
4234Ckt3
43tjt
23t
21
2t
32tit2
43t2r
2
4234Ckt3
12tjt
2t
6tit2
6tr
La s0t , kj3irr 0 2Ckj3i
k1t312tj3t
2t
6ti1t2
6tr
4234
k12
12361j6
2431i67s1tr
)m(k1249j
620i
67s1tr
. 2. Fie o micare definit prin ecuaiile parametrice:
t
t
1x 3 e4
y 4 e 1
S se determine traiectoria mobilului, viteza i acceleraia sa la momentul s1t . R:
Din t 1x 3 e
4 t
1x4e
3
1x4y 4 1
3
4x 3y 4 0 , deci traiectoria
este rectilinie t
xdxv 3edt
; ty dyv 4edt ;2 2 2t 2t tx yv v v 9e 16e 5e
m ms sv t 1s 5e ( );v 13,6( ) tx
xdva 3edt
; y ty dva 4edt ; 2 2 2t 2t tx ya a a 9e 16e 5e
2 2m ms sa t 1s 5e ( );a 13,6( ) Micarea este rectilinie, variat.
-
3
3. Expresia acceleraiei unui punct material care se mic pe o traiectorie rectilinie este: 2a 4 t .S se afle expresia vitezei i a deplasrii n funcie de timp, tiind c la momentul t = 3 s viteza are mrimea v=2 m/s i spaiul x = 9 m. R:
Din definiia acceleraiei dvadt
, rezult: dv=adt.
Deci 2dv a dt 4 t dt ; 3 11v 4t t C3 (1) Constanta de integrare 1C se determin din condiiile iniiale: t = 3 s, v=2 m/s. Din relaia (1) rezult: 1272 4 3 C3 1C 1 .
Expresia vitezei devine: 31v 4t t 13
Din definiia vitezei dxvdt
, rezult: dx=vdt.
Deci 31dx v dt 4t t 1 dt3
; 2 4 21x 2t t t C12 . (2) Constanta de integrare 2C se determin din condiiile iniiale: t = 3 s, x = 9 m. Din relaia (2) rezult: 2819 18 3 C12 2
3C4
. Expresia spaiului devine: 2 41x 9 12t 24t t12 . 4. Dou particule a i b se mic n direcia OX, respectiv Oy, cu vitezele a mv 2i s , respectiv b mv 3j s . La momentul t = 0 s coordonatele lor sunt (-3,0), respectiv (0,-3). a) S se afle vectorul b ar r r care reprezint poziia relativ a particulei b fa de particula a la un moment dat; b) n ce moment i n ce poziie cele dou particule se vor afla la aceeai distan de origine ? c) n ce condiii distana dintre particule va fi minim ? R:
a) a a
ax a x
dxv ;dx v dtdt
ax t
a3 0
dx 2 dt
ax 2t 3
-
4
b b
by b y
dyv ;dy v dtdt
by t
b3 0
dy 3 dt
by 3t 3 Deci vectorul b a b a b ar r r x x i y y j
r 3 2t i 3t 3 j . b) Momentul n care cele dou particule se afl la aceeai distan de origine,
rezult din condiia: a bx y 2t 3 3t 3 t 0s . la a bt 0s, x y 3 m .
c) Din condiia de minim a distanei dintre cele dou particule rezult: 2 2dr 0;r 2t 3 3t 3
dt
2 2dr d 2t 3 3t 3dt dt 2 2
dr 13 2t 30 0dt 2 2t 3 3t 3
30 1513 2t 30 0 t s26 13
a a15 15 9t s x 2 3 x m13 13 13
b b15 15 6t s y 3 3 y m13 13 13
5. Un corp cu masa m = 1 kg se deplaseaz astfel nct poziia sa este descris de vectorul: 2 21 4r t i t t j sin t k2 2
. S se afle: a) Poziia, viteza, acceleraia corpului la momentul t=0 s, respectiv t=1 s. b) Fora care acioneaz asupra corpului.
R:
a) La momentul t=0 s 24r 0 0 i 0 j sin 0 k
r 0 0 m . La momentul t=1 s 21 1 4r t 1s i j sin k2 2
-
5
24r t 1s i j k .
Pentru a afla viteza corpului la momentele t=0 s, respectiv t=1 s, calculm viteza la orice moment, deoarece cunoatem expresia vectorului de poziie.
2 21 4r t i t t j sin t k2 2 , dar r xi yj zk
2 21 4x t , y t t ,z sin t2 2 . x y z
drv v i v j v kdt
dx dy dzv i j kdt dt dt
2
2
dt d t t d 4v i j sin t kdt dt 2 dt 2
2
1 2t 4v i j cos t k2 2 2
2 2 2 2
x y zv v v v La momentul t=0 s avem
2 22 2
01 2v 12
.
Deci m s0 01 4v 1 v 1,34 10
.
La momentul t=1 s avem 2
2 21
3v 12
,
ms1 1
9v 1 v 1,84
. Pentru a afla acceleraia corpului la momentele t=0 s, respectiv t=1 s,
calculm expresia general a acceleraiei: yx z
x y z
dvdv dv dva a a i a j a k i j kdt dt dt dt
ta j sin k2
La momentul t=0 s avem 2 20a 1 2m0 sa 1 La momentul t=1 s avem 2 2 21a 1 1 2 2m1 sa 2
-
6
b) F ma t tF 1 j sin k F j sin k N2 2
top related