Marius PERIANU

loan BALICA Dumitru SAVULESCU

Matematiclclasa a VII-a

II

CupnrNs

RLCegnA Capitolul 1. Calcu! algebri<

1.1. Adunarea gi scdderea numerelor reale reprezentate prin litere .............

1.2. inmullirea 5i impdrlirea numerelor reale reprezentate prin litere .........

1.3. Ridicarea la putere cu exponent intreg a numerelor realereprezentate prin litere

F i gd pentru po rtofol i u I i n divi d u a I (A1)

7

11

'15

19

21

23293941

43

1.4.

1.5.

Formule de calcul prescurtatMetode de descompunere in factoriTeste de evo1uare .................

Figo pentru portofoliul individuol (A2)

1.6. Ecualia de forma x' = a, unde c e Q ...............

Teste de evo1uore ..................

Fi 5d pentru portofoli ul i ndividuol (A3)1.7. Probleme cu caracter aplicativ ........

1.8. Probleme pentru performanld gcolard gi olimpiade

ALGEBRA Capitolul 2. Ecualii gi inecua[ii2.1. Relatia de egalitate in mullimea numerelor reale. Proprietdti................,2.2. Ecuatii de gradul I cu o necunoscutS.

Ecualii reductibile la ecuafiide gradul I cu o necunoscutd.......................

Teste de eva1uare .................

Fi5a pentru portofol i ul i ndivid ual (A4)

2.3. Relalia de inegalitate < pe multimea numerelor reale.Proprietiti ale relafiei de inegalitate. lnegalitdti algebrice

2.4. lnecualii deforma ax+b> 0(<,>,<) ,cu a,b e1R 5i x eZ ..................

Teste de eva I u are .................FiSo pentru portofoliul individual (A5)

2.5. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecuatiilor gi inecualiilor.................Teste de eva|uore .................

Fitd pentru portofoliul individual (A6)2.6. Probleme cu caracter aplicativ........2.7. Probleme pentru performan!6 5colard 5i olimpiade.

ALGEBRA Capitolul 3. Elemente de organizare a datelor3.1. Produsul cartezian a doud mulfimi nevide. Reprezentarea punctelor

in plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale.Distanta dintre doud puncte din plan

474951

57

606667

69

73

787981

85?87j8e=903 (!

Ur(\J

EIIl

=

3.2. Reprezentarea gi interpretarea unor dependenfe functionaleprin tabele, diagrame gigraficeTeste de woluore .................. 1 05

Fi5a pentnt portofoliul individual (A7) 107

3.3. Probabilitatea realizirii unor evenimente................TestedewaluareFigd pentru portofoli u I i ndivi d u a I (A8)

3.4. Problerne cu caracter aplicativ........

GEOHETRIE Capitolul 4. Relatii metrice in triunghiul dreptunghic4.1.4.2.4.3-

4.6.

4.7.

Probleme cu caracter aplicativ-Probleme pentru performanp fohre gi olimpiade.

Prohc[ii ortogonale pe o dreaptS. Teorema iniltimiiTeorema cateteiTeorerna Iui Pitagor a. Reciproca teoremei lui PitagoraTeste de evaluare

Ariile poligoanelor studiateTeste de evaluare ...............-..Fi5d pentru portofoliul individual (G2)

"t02

109112113

115

119122124129131

133

138

146149151

153

4.4.

4.5.

F i 5o pe ntru portofo I i u I i n d ivi d uol (G1)

Noliuni de trigonometrie in triunghiul dreptunghic

6.1.

6.2.

3tJlauI

,r(t^f.!Efo

tJ

oc(Eo

fzs4uto.

=ro

4

GEOMETRIE Capitolul 5. Cercul5.1 . Elemente in cerc CoardS, arc, unghi la centru5.2. Unghi, triunghi gi patnrlater inscris in cerc5.3. Pozitiile relative ah unei drepte fatd de u n cerc ........................................i..

Teste de woluareFigd pentru portofoliul individual (G3)

5.4. Poligoane regulate.-.....5.5. Lungimigiariiincerc................

F i5d pentru po rtofol i u I i n d ivi d ual (G4)

Probleme cu caracter aplicativ........Probleme pentru performanti gcolard 5i olimpiade.

SINTEZE Capitolul6. Subiecte pentru evaluirile finaleVariante de subiecte pentru te25................

Variante de subiecte pentru evaluarea finald .............

157

161165

170171

173176178

5.6.5.7.

179181

182

187't92

199Solutii

)CAPITOLUL

NunaERE RATIoNALE

Tema 1.1.

Tema 1.2.

Tema 1.3.

Tema 1.4.

Tema 1.5.

Tema 1.6.

Tema 1.7.

Tema 1.8.

Adunarea gi scdderea numerelor reale reprezentate prin litere

inmullirea gi implrlirea numerelor reale reprezentate prin litere

Ridicarea la putere cu exponent inreg a numerelor reale

reprezentate prin litereTeste de evaluareFiSd pentru portofoliul individual (AL)Formule de calcul prescurtat

Metode de descompunere in factori

1.5.1 . Metoda factorului comun

1.5.2. Utilizarea formulelor de calcul prescurtat

1.5.3. Metode combinate de descompunere in factori

Teste de evaluareFiSd pentru portofotiul individual (A2)

Ecualia de forma x2 = a, a eQTeste de evaluareFiSd pentru partofoliul individual (A3)Probleme cu caracter aplicativ

Probleme pentru performantl gcolard gi olimpiade

Tema t,fAdunarea gi sciderea

numerelor reale reprezentate prin litere

gtim cd z^l-s +lJi = Q+1)Ji =gJi . in general, 2a + 7a = (2 + 7)a= 9a unde

a este un numdr real. Numerele 2a qi 7a se numesc termenii sumei 2a -t 7a, iarnumerele 2 qi7 poartdnumele de coeficienlii lui a. in srna 3x+2y numerele reale 3

qi 2 se numes c coeficienyi, iar x Si y reprezitntA partea literald.

O sumd algebricd este o sum[ in care unele numere reale sunt reprezentate prinlitere. Termenii asemenea ai unei sume algebrice smt rcei t€rmeni in care aparaceleagi litere ridicate la aceleaqi puteri.

Exemplu. in suma algebric[ 7a-2ry2 -4a+Ji+O,9ry2 +llJi+5a sunt

asemenea urm[torii termeni :

o 7 a ot 4a qi cu 5a (a cdror suml este a(7 - 4 + 5) = 8d)'. -2*f cr 0,9xy2 (a c5ror sumn este 4l e2 + 0,9) : -l,lxf ;

. Ji ", ttl6 (acrrorsumreste r6(t+tl)=DJi).Adundnd temenii asemenea, se spune cd se reduc termenii cmemenea, iar suma

iniliald este egal6 ut Ba.l,\ry' +l2Ji .

Exercitiurezorvat.Reducelitryr:trffF?#yt:f f Fsumrargebrici:Rezolvare. Folosind proprietifle de asociativitate gi comutativitate suma se scrie astfel:

-7 x + 20x + l2a' + 9 a' + a2 - 6xy + 6xy = (-7 + 20)x + (12 + 9 + 1)a2 + (-6 + 6)xy = 13x + 22a2

ProprietSIile adunirii1 . Asociativitatea: (a + b) + c = a + (b * c), oricare ar ft a, b, c e R .

2.Comutativitalea: a+ b= b * a,oicare ar fi a,b e IR

3.0 (zero) este elementneutru: a+ 0=0+ a= a,oricare arfi a e lR..

4. Suma oriciror doudnumere opuse a qi-a este egald cu 0: a+ (-a)=-sl s=Q,oricarearfi aelR.

1 . P r eciza\i coefi cienliisume algebrice:

a) 5x-lly;

at !*-1v:'2 5'2. Scrieli opusul fieciruia dinhe urmitorii termeni:

&,t

numerelor reale reprezentate

b) 2ry-7y+7x; c)

"),1-l*+{sy-2J-6r; O

pnn litere din urmltoarele

l2a+7ab-3a2;.|

0.5x2 +J7x3v-1y'3-

0 J-rtax;

=I

rol

rorg

ro

Ur(v

=ut

=u) 7x; b) 0,6x2 ; c) -2Ji;

ft,t/lullr(vl

.gE5o

I6

o

,zg4E,Io.).I(E

5d -a:'t

3. Reduceli termenii asemenea:

u) 5x-7x;d) 9v-v;

u) l5a -l3a + ...:20a;c1 x2 -2x2 +...+7x2 =O;

1 1. Scrieli numdrul real 4x + 5y cal.

a) sumd de doud numere reale oarecare;D) sumi de trei numere reale oarecare;c) diferenld de douS numere reale oarecare;

.fi -b'v ; g) 0,2xyz ; nt -{o,0,

4. Reducefi termenii asemenea:a) 2x + 3x -7x + l2x; b)t3y-2y+(6y-3y)*y;c) (l6a + l2a + 5a) - (3la - 22 a); d) -5b + 3b - 2b + (7 b - b + 2b) - b.

5. Efectua{i:a) 0,5x +0,7 x -0,6x +3,5r-1,8x ; b) 2,25a -1,65a + (3a - a) - (a -0,7 a) ;

c) 3,9y + (2,55y +3,45y) +0,1y ; d) 0,3b -(1,5b -0,7b +0,2b) +2b.

6. Efectuafi:

a) 5x2 +8x2 -3x2 -2x2 +16x2; b)a3 +3a3 -8a3 +12a3 +(29a3 -27a3)c)-7a2 +4a2 +(13a2 +q.')-(-a'); d)(16x2 -2x2 -10x21-(23x2 -4*').

7. Efectuali:

a) 0,3x2 -0,2x2 +(2,5x2 -1,7x2 +x'1-14,6x'-3,8x'1;b) -9,5a2 +7,75a2 -2,35a2 +(a2 -03a2 -0,7a2);c) (0,25y3 -0,75y3 +3,5y3)-(12,6y3 +3,4y3 _17y',);

d) (1,2x2 y2 + 2,8x2 y2 ) - (4,9 x2 y2 - 3, 2 x2 y2 - 2, 6x2 y' ) + 0,1*' y' .

8. Efectuali:a) iy + Sxf -ziy + e4? -U1? + l*y;b) (5a2 + 3ab) + (b' - 2ab) - 1a2 + 3b2 - 4ab) + 1a2 - b2);

c) (6m + 3n) - (2n + 3m + 5) - (3m - 4n - 6);d) (13m2 + 2mn - n'1- 12m2

't 3mn * 4n2) - (lom2 + 2mn).

9. Efectuali:

a) lJi+ttJi+rzJi-sJi;U 7..12 x + I l'[z x + tz'fz x - s J-z x ;

d z.,fix - sJix +tz'fzx + Jix -10"f-3x ;

0 sJ-2x + 3Ji x + 2J1x - 3'l2x + {z* .

.L J.,L 'L

10. Scrieli in spaliul punctat termenul corespunzdtor oblinerii unei propozif;i adevirate:

b) 5a+3a-6a; c) 4b+l\b-2b+3b;e) l3m-l5m+2m ; fi 232 -llz - z +l9z .

b) l2x + 4x -... = 10x ;

d) l2ab-...-ab=20ab.

12. Calculafi:

a) (2x + 3y) - @x + 5 y) - (to - aD ; b1 (zx'z - 7 *y) - Gy * s y' ) - (*' - y') ;

c) (-3a2 + 2a + 4) - (5 - a -3o') ; d) 6x - (3xy + 3x - 4x2) -3x + x2 + 4xy .

13. Calculafi:

,l !*4-0,4x+1,(6)x-x: U ?*' -!*'*2,(3)x2 -!*'*2L*';'3 5 5 2 "' 6 l0r [ 21

c/ 0, (3)x + I i x - | t. 1:lx - a x I : d) 3,7 ab - l,(4)ab + (1,2a b - 0,9ab) + 2.(6)ab .

J L JI

14. Calculali:

ot ( *, *r\-(t.r-\Jl4-r),'\ 3) [3 /(6 4)'

b) 21x'z -(1-' *?-)*111.' +0.(6)x.l -0,2x';'s [s 3) Ls ".]c) [0,(7)x-0.(6)a]+[0,(6)r-0,(5)a]- ( ? - -P- r),[45 4s )'d) 12, (3) a - r, (3)b] + [0, (6) a - 0, (6)b]- e a - 2b) .

15. Calcula{i:

u) gJ, - 2Jr)x + gJi -3J * - $J, - Ji)* +z^fz* ;

U GJI - Jn)a + (b7 -7 Jia + Qh s-3Jios;x ;

Q QJ n + J $)*y - J-so*y +t".6 + Jr e)r/ * J-n s*y ;

d) 3,[6x'z +eJtso _ Js+)x' +(Jr92-zJtslx' +7Jrx2 -J6*' ;

I 6. Fie numerele: A = 2x -3 + a', B = 5 + 4x - 7 a2 qi C = 1 I - 9x . Calculali:a) A+B; b)A-B; c) A+B+C;d) A+(B-C); e) -A+B-C; fi (A-B)+(B*C)+(C-A).

17. Calculafivaloarea expresiei ,::#.#pentru x = I ti y:0.

1 8. Considerdm numhrul 1tr = (3*' + y' ) - G' + 1) + (1 - y'z ) .

a) Calcula[i N, dacd x =2Si I = 4; TQ Ardra\ic[ N > 0, oricare ar f,r x,y e IR . g

19. Dacd 2x+3y =l3Si 3x+2y =12 , calculafl: fia)5x+5y; b)x-y; c)6x+4y; d)4x+6y. S

20. Fie l=(O,Sx' +3,5xy+3)-(2,7x2 +1,75+l,3xy)-(1,25+2,2xy-3,2x2).'g-{rata}i cd, A este pdtrat perfect, pentru orice valori ale numerelor naturale x qi y.

HEE

9

.L&&,\ ,l ,t

21. Scrie,ti in spafiul punctat termenul (sau termenii) corespunzdtor(i) obfinerii uneipropozilii adevdrate:

a) * - 5a + 3i + ... =7a + 4i;c) x +...+ 17 - 5x = 4x;

22. Efectuali:a) x + 2x + 3x +...+ 10x;

b) x + 2x + 3x +...+ 69x;

b) 3xy +...+5x' -2x = x2 +2xy

d)(x-4loh-8x*...=0.

c) i + zx2 + 3i +...+ 10x2 - 2x - 4x 4x -...- 20x;d) 5a + l\a + l5a +...+ 60a + 3b + 6b + 9b +...+ 36b;e) (4x - b2) + (8x - 2b21 + O2x - 3b1 + Q6x - 4b2) + (20x - 5b');

23. Dac[ 3x-2y-6=0, calculali (tl+4y-6*)'o'o .

24. Scrieli numdrul 1=(4x'-9+3y')-(3x'+2y')+(14-y')ca sumd de doud

pdtrate.25. Calculali:(e e ) (z ro ) f 24 n )

o lT. - E'.,l* [E' * fr - fGRx - Jm8

rJ ;

a (srz -ft)..[*.#). [# .h).,, [,8.'E)'-['E.'E)'.[,8 -.,E)'

a (z^rt . rtJ, - [r* . #), .('n . #), - (r"r, - s,t-s y + t ll,)

26. Determinali valorile lui x, astfel incit numfoul I si fie natural, unde

fL.,rnl!fr(vt

vE

o

Ioc(5o

=zts'u,lr).T(E

=

Probleme de gapte stelelr+ vl+lx- vl

27.Fie N=t 't- | -t,unde.r>0,_y>0.2x

a) Calcda\iNdacd x2 y ;

D) Scrieli cdte o valoare pentru.r qiy, astfel irrcet N =2 .

28. Determinali numerele ralionale .r qi y, astfel incil'l-3x + 2x - Z",l-Zy - Zy = -t .

29. Fiea,b,celR, astfel incltJa-2 +Jb+3 +J;+b+c = 0. Calculali 2a+3b + 4c .

' 10