9_ grinzi.pdf

Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii

NOTE DE CURS - BETON ARMAT 111

9.1 DEFINIII Cele ce urmeaz se refer la elementele structurale cum sunt grinzile, dar i plcile pentru care

abordarea privind calculul i alctuirea poate fi fcut cu teoria de grind. Grinzile din structurile de rezisten de tipul planeelor sunt n general orizontale, solicitate la

ncovoiere, la tiere i deseori i la torsiune. ncovoierea poate s fie nsoit de for axial de compresiune sau de ntindere, de exemplu la

grinzile cadrelor. Conform P100 i EN1998, grinda este un element structural solicitat preponderent la ncovoiere, dac fora axial de proiectare nu depete valoarea:

cdcEd fA10,0N Grinda este un element structural liniar ale crei dimensiuni ndeplinesc condiia:

h3l unde l este deschiderea grinzii i h este nlimea seciunii transversale. Uzual, raportul dintre deschiderea i nlimea grinzii este h 8...15l = .

Placa este un element structural de suprafa pentru care raportul ntre deschiderea minim n planul ei, minl i grosimea fh satisface condiia:

f5 hminl

9.2 IPOTEZE DE PROIECTARE Calculul la starea limit ultim de rezisten se bazeaz pe respectarea condiiei: RdEd MM (9.1) unde:

EdM este momentul ncovoietor de calcul, rezultat din aciunile de calcul, considernd i efecte sau cerine specifice, cum este asigurarea ductilitii;

RdM valoarea de calcul a momentului ncovoietor capabil al seciunii. La calculul seciunilor se folosesc diagramele - date n capitolul 6: pentru betonul comprimat

diagrama dreptunghiular cc - (fig. 6.9c), iar pentru armtur, diagrama ss - cu ramura superioar orizontal (fig. 6.11).

Valorile de calcul sunt: pentru betonul comprimat (fig. 9.1a): 5,3cu3cu == la marginea cea mai comprimat; cckcd ff = , pe nlimea de calcul a zonei comprimate, egal cu x8,0 ; pentru armtura ntins (fig.9.1b): sykyd ff = , dac sydyds Ef= ; sss E= , dac yds



n cazul diagramei ss - cu ramura superioar orizontal, nu se produce atingerea pivotului A. nlimea zonei comprimate pentru care armtura ntins ajunge la limita de curgere este limx x= . Valoarea limx se poate deduce din asemnarea triunghiurilor de nlime limx i limxd (fig. 9.2):

yd

lim

cu

lim xdx= , de unde rezult:

culimcu yd s yd s

3,5x d = d f E 3,5+1000 f E

= + (9.2a) Din relaia de mai sus rezult lim , nlimea relativ limit a zonei comprimate: culimlim

cu yd s

x =

d +f E= (9.2b)

Condiia de limitare a nlimii zonei comprimate de beton, pentru ca ruperea s nceap prin curgerea armturii ntinse, se poate scrie sub formele:

limxx lim (9.3a, b)

n tabelul 9.1 se dau valorile lim pentru diferite caliti de oel i clase de beton C50/60, lund n considerare combinaiile de aciuni pentru care se face proiectarea.

Tabelul 9.1 Valori de calcul i coeficieni cu valori limit

OEL Combinaie fyd MPaEs

GPa yd

lim 2 lim F, S 348 1,74 0,668 1,989 0,391 S400 A 400 2,00 0,636 2,333 0,379

F, S 435 2,18 0,617 2,642 0,371 S500 A 500

200

2,50 0,583 3,500 0,357 F, S 300 1,43 0,710 1,689 0,407 PC52 A 345 1,64 0,681 1,882 0,396

F, S 350 1,68 0,677 1,919 0,395 PC60 A 405

210

1,93 0,645 2,226 0,383 F, S combinaii fundamentale i combinaii cu seism s = 1,15 A combinaii accidentale s = 1,00

Fig. 9.1 Diagrame pentru calcul

d h

As

x 0,8x

fcd =cu 3,5

Fs

s

s

sydyd Ef= sE

ydf

a. Starea de eforturi pentru betonul comprimat

b. Diagrama de calcul pentru armturi



Fig. 9.2 Starea de deformaii specifice pe nlimea seciunii transversale

9.3 SECIUNEA DE FORM DREPTUNGHIULAR SIMPLU ARMAT SOLICITAT LA NCOVOIERE O seciune de beton armat se consider simplu armat dac armtura longitudinal de rezisten,

sA este situat (grupat) numai n zona ntins a seciunii (fig. 9.3). n grind se prevede i armtur longitudinal de montaj sau constructiv, care formeaz

mpreun cu armturile de rezisten longitudinale i transversale carcase spaiale; aportul acestei armturi este de obicei neglijat n preluarea eforturilor.

Seciunea de calcul este format din aria betonului comprimat cA i din suma ariilor armturilor ntinse, sA .

Relaiile de calcul se deduc din echilibrul eforturilor exterioare i interioare .

9.3.1 Ecuaiile de echilibru Ecuaia de proiecie

Ecuaia de proiecie dup axa grinzii se scrie (fig. 9.3): sc FF = (9.4) unde:

cF este rezultanta eforturilor de compresiune din beton, acionnd n centrul de greutate al seciunii comprimate de beton:

c cdF = 0,8b x f (9.5)

sF este rezultanta eforturilor de ntindere din armtur, acionnd n centrul de greutate al armturilor, la distana sd de marginea ntins a seciunii:

ydss fAF = (9.6) nlocuind expresiile rezultantelor n ecuaia 9.4, rezult poziia axei neutre:

s yd

cd

A fx 1,25

bf= (9.7)

Folosind pentru nlimea relativ a zonei comprimate notaia dx= , rezult:

s yd

cd

A f1,25

bdf = (9.8)

ds

compresiune

xlim

d

ntindere

h

As1

cu = 3,5 yd

2a

0

B

B d xlim

As2

xmin

yd



Fig. 9. 3 Seciunea dreptunghiular simplu armat

Ecuaia de momente se poate scrie fie fa de punctul de aplicaie al rezultantei interioare sF sau cF : M n raport cu sF : zFM cEd =

unde braul de prghie al rezultantelor interioare cF i sF este: ( ) x4,0dx8,05,0dz == (9.9) ( )x4,0dfxb8,0M cdEd = (9.10) n (9.10) se scrie x d= : ( ) ( ) ( )2Ed cd cdM =0,8b d f d-0,4 d = b d f 0,8 1-0,4 (9.11) cu notaia: ( )= 4,018,0 (9.12) rezult:

Rd

2Ed cd

M

M bd f= 14243 (9.13)

M n raport cu cF : zFM sEd =

( )x4,0dfAM ydsEd = (9.14) ( ) ( )== 4,01dfAd4,0dfAM ydsydsEd (9.15) Valoarea relativ a braului de prghie z rezult:

z 1 0, 4d

= = (9.16)

0,8x Fc

fcd

b

d hAs

MEd

Fs

MEdMEd

fcd3,5cu =

ds

d-xa. n.

Seciunea de calcul

Deformaiile specifice

Eforturile secionale

As

Ac

d h

b

yd

0,8x xFc

0,4x

z

Fs



Rd

Ed s yd

M

M d A f= 14243 (9.17)

n concluzie, momentul ncovoietor capabil al seciunii dreptunghiulare simplu armat, RdM se poate scrie sub formele (rel. 9.13 sau 9.17): cd

2Rd fdbM = (9.18)

ydsRd fAdM = (9.19) Momentul ncovoietor maxim preluat de seciunea dreptunghiular simplu armat n condiiile de rupere enunate rezult din relaia (9.18), cu valorile limit din tabelul 9.1: cd

2limmax,Rd fdbM = (9.20)

( )limlimlim 4,018,0 = (9.21) 9.3.2 Seciunea dreptunghiular simplu armat. Proiectare Prin proiectare se urmrete:

determinarea dimensiunilor b, h ale seciunii transversale de beton; calculul ariilor de armtur, conform distribuiei momentelor ncovoietoare de proiectare

EdM n lungul elementului; verificarea capacitii portante a unei seciuni cu alctuirea cunoscut; respectarea prescripiilor de alctuire.

Alegerea calitii materialelor se face respectnd cerinele de performan: pentru beton se ine seama de clasa de rezisten i de expunere; pentru oel trebuie respectate criteriile de rezisten i ductilitate, respectiv de aderen.

Dimensiunile seciunii de beton pot fi estimate n funcie de necesitatea asigurrii rigiditii (robusteii), sub forma unui raport ntre deschiderea i dimensiunea reprezentativ a unui element structural (tabelele 9.2 i 9.3).

Tabelul 9.2. Grosimi pentru plci Tipul planeului hf min Planee cu grinzi i: plci continue armate pe o direcie lmin / 35 plci continue armate pe dou direcii: lmin / 45

Tabelul 9.3. Dimensiuni b, h pentru grinzi Dimensiunea Recomandri

l / 12 grinzi de cadre antiseismice l / 15 grinzi de cadru sau grinzi principale minim, hmin l / 20 grinzi secundare l / (8..12) grinzi de cadru sau principale

nlimea

optim, hoptim l / (12..15) grinzi secundare b = h /(1,5..3) seciuni dreptunghiulare Limea inimii grinzilor, b b = h /(2..3) seciuni T

Prescripii privind aria de armtur

Relaia (9.3) condiioneaz modul de cedare al elementelor solicitate la ncovoiere preponderent, limitnd implicit cantitatea de armtur ntins. Pe lng aceast condiie, prescripiile impun cantiti minime de armtur pentru a preveni ruperile fragile, evitarea deschiderilor mari ale fisurilor i asigurarea prelurii eforturilor produse de deformaii mpiedicate. Valori ale ariilor de armtur prescrise prin reguli: Valoarea minim a ariei de armtur de rezisten s,minA respectiv procentul minim de



armare corespunztor, se determin cu relaiile:

bdff26,0A

yk

ctmmin,s = ctmmin

yk

fp 26f

= (9.22a,b) db0013,0A min,s minp 0,13% (9.23a,b) unde ctmf are valorile date n tabelul 6.1, n funcie de clasa de beton. Valorile procentului minim de armare care rezult din corelarea relaiilor (9.22b) i (9.23b) sunt date n tabelul 9.4, n funcie de clasa de beton i tipul oelului. Valoarea maxim a ariei de armtur de rezisten s,maxA respectiv procentul maxim de armare corespunztor rezult din condiia: hb04,0A max,s maxp 4%= (9.24a,b) Obs. n zonele de nndire prin suprapunere a barelor, procentul maxim admis se poate dubla.

Tabelul 9. 4 Procentul minim de armare, p (% )

Beton

Oel fyk

C12

/15

C16

/20

C20

/25

C25

/30

C30

/37

C35

/45

C40

/50

C45

/55

C50

/60

PC52 345 0,13 0,14 0,17 0,19 0,22 0,24 0,26 0,29 0,31PC60 405 0,13 0,13 0,14 0,16 0,19 0,21 0,23 0,24 0,26S400 400 0,13 0,13 0,14 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 0,26S500 500 0,13 0,13 0,13 0,13 0,15 0,17 0,18 0,20 0,21S600 600 0,13 0,03 0,13 0,13 0,13 0,14 0,15 0,16 0,18

pmin = 0.13% Procentul maxim de armare, pmax = 4,0%

Avnd n vedere multitudinea de simboluri i notaii utilizate n procesul de proictare, tabelul 9.5 cuprinde cteva din cele folosite frecvent.

Tabelul 9. 5 Simboluri i relaii utilizate n proiectare

Denumire Simbol Relaia de definire Relaia de calcul a ariei de armtur Numr

relaie sA

coeficient de armare bdAs= bdAs = (9.25) procent de armare p bdA100p s= sA = p bd/100 (9.26)

coeficient mecanic de armare

yds

cd

fA=

bd f cds

yd

fA bdf

= (9.27) valoarea relativ a nlimii zonei

comprimate, dx

s ydcd

A f1,25

bdf = cds

yd

fA 0,8 bdf

= (9.28)

valoarea relativ a braului de prghie,

dz = 4,01

yds

Eds fAd

MA = (9.29)

Procedee de proiectare Se pot folosi mai multe procedee:

- aplicarea direct a relaiilor analitice de la punctul 9.3.1; - utilizarea unor tabele sau diagrame deduse pe baza relaiilor de echilibru.

n cele ce urmeaz se prezint proiectarea cu ajutorul tabelelor date n anexa 9: tabelul A.9.3, cu variabilele , i , pentru orice calitate de oel i clas de beton;



tabelul A.9.4 (pentru oelul PC52) i tabelul A.9.5 (oelul PC60), cu variabilele , , i p. 9.3.2.1 Calculul ariei de armtur, sA

Date intrare: Date ieire:

EdM ; cdf ; ydf ; h,b ; nomc sA - seciunea de armtur

a. Valoarea relativ a momentului ncovoietor de proiectare EdM : Din relaia 9.13 rezult valoarea relativ a momentului ncovoietor de proiectare:

cd2Ed

fdbM= (9.30)

n care nlimea util a seciunii de beton se determin cu relaia: sd h d= (9.31)

unde: snoms 5,0cd += , n ipoteza aezrii armturilor de diametru s pe un singur rnd ;

s diametrul barelor longitudinale; s nu este cunoscut, de aceea se pleac de la un diametru uzual pentru tipul de element care se calculeaz; se pot lua valorile din tabelul 9.6.

Tabelul 9.6 Diametre uzuale pentru armturi independente

Tipul elementelor Elemente liniare (grinzi, stlpi) Plci subiri

Diametre bare (12...25)mm (6...16)mm

b. n funcie de , rezult: coeficientul mecanic de armare, din tabelul A.9.3; procentul de armare, p din tabelele A.9.4 sau A.9.5.

Dac este necesar, se poate face interpolare liniar ntre dou valori consecutive. c. Calculul ariei de armtur

Aria de armtur ntins sA se poate calcula cu una din relaiile date n tabelul 9.5, de exemplu (9.26) sau (9.27):

100/bdpAs = sau cdsyd

fA bdf

= Observaie: dac se ncadreaz n tabel, condiia 9.3 este ndeplinit, sub forma lim . d. Se verific respectarea prescripiilor privind cantitatea minim i maxim de armtur (rel. 9.22...9.24); dac procentul efectiv de armare este mai mic dect cel dat n tabelul 9.4, se adopt valoarea minim prescris. Alegerea i aranjarea n seciune a armturilor Pentru grinzi, se aleg barele din tabelul A.9.1 (diametru i numr), se dispun n seciune innd seama de distana sl prescris (pct. 4.1.3); dac barele nu ncap pe un rnd, se aeaz pe dou sau cel mult trei rnduri. n acest caz, sd se determin pentru noul centru de greutate al armturilor; calculul se reface de la punctul a cu valoarea sd astfel obinut. Dispunerea armturilor n lungul grinzii

Se urmrete: acoperirea diagramei de momente ncovoietoare n toate seciunile, conform relaiei 9.1; ancorarea armturilor (cap. 4): stabilirea formei necesare de ancorare la capetele barelor i respectarea lungimii de ancorare a armturilor; stabilirea zonelor de nndire a armturilor i calculul lungimii de nndire.



9.3.2.2 Dimensionarea seciunii transversale de beton hb, i a armturii sA


EdM ; cdf ; ydf ; nomc hb, - dimensiunile seciunii de beton sA - seciunea de armtur

a. Opiuni de proiectare Se alege ca necunoscut nlimea util d, deoarece are o influen mai mare asupra capacitii portante a seciunii dect limea seciunii, b. Se apreciaz limea grinzii, sau se presupune cunoscut din predimensionare (tabelele 9.2 i 9.3); n cazul plcilor se ia de obicei b = 1000 mm. Se alege un procent de armare, p, din tabelul A.9.4 sau A.9.5; se pot utiliza de exemplu valorile uzuale, considerate optime:

0.25....0.60 % pentru plci 0.80...1.3 % pentru grinzi. b. Calculul seciunii de beton

Pentru oelurile PC 52 i PC60, n funcie de p ales i de calitatea materialelor se determin din tabelul A.9.4 sau A.9.5; din relaia 9.13 rezult nlimea util necesar, necd :

Ednec

cd

Mdb f

= (9.32) Dac oelul este diferit de PC 52 sau PC60, se utilizeaz tabelul A.9.3; se alege un procent de armare p, apoi se calculeaz coeficientul mecanic de armare : yd

cd

fp100 f

= n funcie de se determin din tabel i se calculeaz necd cu relaia 9.32. nlimea necesar a seciunii este: sh d d= + (9.33) Se rotunjete h la valoarea modulat cea mai apropiat pentru grinzi monolite se ia uzual multiplu de 50 mm, iar pentru plci, multiplu de 10 mm; se obine nlimea efectiv a seciunii. n cazul grinzilor este recomandat respectarea raportului 3...5,1bh = .

c. Calculul seciunii de armtur se face conform punctului 9 .3 .2 .1 , pornind de la nlimea efectiv, cu care se determin sd h d= .

9.3.2.3 Verificarea momentului ncovoietor capabil, RdM


EdM ; cdf ; ydf ; h,b ; sA ; nomc RdM momentul ncovoietor capabil

a. Calculul capacitii portante Se calculeaz valoarea relativ a nlimii zonei comprimate, cu relaia 9.8 : s yd

cd

A f1,25

bdf = ,

unde sd h d= . Din tabelul 9.1 se ia valoarea lim corespunztoare tipului de oel i combinaiei de aciuni la care se face verificarea:

dac lim , armtura sA curge; din tabelele A.9.3, A.9.4 sau A.9.5 se determin n funcie de ;



Din relaia 9.18 rezult: cd

2Rd fdbM =

dac lim> , armtura nu curge; RdM se limiteaz conform relaiei 9.20: cd

2limmax,Rd fdbM =

b. Verificarea capacitii portante dac RdEd MM , seciunea rezist la solicitarea dat ; dac RdEd MM > , seciunea nu rezist la solicitarea dat; pentru a mri capacitatea portant a elementului se trece la armarea dubl sau se mresc dimensiunile seciunii transversale.

Rezolvarea problemelor de proiectare se poate face i direct, cu ajutorul relaiilor din tabelul 9.7.

Tabelul 9.7 Proiectarea seciunii dreptunghiulare, simplu armat, la solicitarea de ncovoiere

Calculul ariei de armtur Calculul nlimii utile necesare Verificarea seciunii

cd2Ed

fdbM=

( )= 21125,1 lim

cds

yd

fA 0,8 bdf

=

Se apreciaz valoarea procentului de armare p conform punctului

9.3.2.2:

cd

yd

ff

100p=

( ) lim5,01 = Ed

neccd

Mdb f

=

s yd

cd

A f1, 25

bdf =

cazul a: lim ( )= 4,01dfAM ydsRd

cazul b:

lim> cd

2limmaxRd, fdbM =

9.3.3 Seciunea de form dreptunghiular simplu armat solicitat la ncovoiere preponderent, cu for axial n cazul n care momentul ncoietor este nsoit de o for axial ce nu poate fi neglijat, relaiile deduse la punctul 9.3.2 se corecteaz cu efectul forei axiale. n figura 9.4 este prezentat cazul ncovoierii cu for axial de compresiune.

Fig. 9.4 Seciunea dreptunghiular simplu armat solicitat la ncovoiere

cu for axial de compresiune 9 .3 .3 .1 Ecuaiile de echilibru Ecuaia de proiecie dup axa grinzii:

0,5h

MEd , NEd +MEd

fcd3,5cu =

ds

x a.n.

As

Ac

d h

b

yd

0,8x

z

Fc 0,4x

Fs

NEd

ys 0,5h



scEd FFN = (9. 34) ydscdEd fAfxb8,0N = (9. 35) Poziia axei neutre rezult:

cd

Edyds

bfNfA

25,1x+= (9. 36)

Valoarea relativ a nlimii zonei comprimate este:

cd

Edyds

bdfNfA

25,1+= (9. 37)

Ecuaia de momente se scrie fa de punctul de aplicaie al rezultantelor interioare, sF sau cF : M n raport cu sF : zFyNM csEdEd =+ (9.38)

( )x4,0dfxb8,0yNM cdsEdEd =+ (9.39) unde ss dh5,0y = Dup nlocuirea x d= n relaia 9.39, rezult: 444 3444 21

RdMsEdcd

2Ed yNfdbM = (9.40)

M n raport cu cF : ( ) zFyzNM ssEdEd = (9.41)

( ) dfAydNM ydssEdEd = ( )Ed s yd Ed sM =A f d +N d-y (9.42) Momentul ncovoietor capabil al seciunii dreptunghiulare, simplu armat, solicitat la ncovoiere cu for axial de compresiune este partea din dreapta a ecuaiei 9.40 sau 9.42: sEdcd

2Rd yNfdbM = (9.43)

( )sEdydsRd ydNdfAM += (9.44) n continuare se va lucra cu relaia 9.40, care are o form mai simpl.

9.3.3.2 Proiectarea Dimensionarea seciunii de armtur Se calculeaz din relaia 9.40:

cd2

sEdEd

fdbyNM += (9.45)

n funcie de , rezult: coeficientul mecanic de armare, din tabelul A.9.3; procentul de armare, p din tabelele A.9.4 sau A.9.5.

Aria de armtur se calculeaz cu relaiile:

yd

Ed

yd

cds f

Nf

bdfA = sau Eds

yd

NbdA p100 f

= (9.46) (9.47) Verificarea capacitii portante

Se calculeaz valoarea relativ a nlimii zonei comprimate, cu relaia 9.37:

cd

Edyds

bdfNfA

25,1+=

Se alege din tabelul 9.1 valoarea lim corespunztoare tipului de oel i combinaiei de aciuni la care se face verificarea:



dac lim , din tabelele A.9.3...A.9.5 se ia n funcie de i din relaia 9.43 rezult: sEdcd

2Rd yNfdbM =

dac lim> , armtura nu curge i momentul capabil se limiteaz la valoarea: sEdcd

2limRd yNfbdM = (9.48)

Rezolvarea problemelor de proiectare se poate face i direct, cu ajutorul relaiilor din tabelul 9.8.

Tabelul 9.8. Proiectarea seciunii dreptunghiulare simplu armat la ncovoiere cu for axial

Calculul ariei de armtur Calculul nlimii utile necesare Verificarea seciunii

Semnul de deasupra este pentru fora axial de compresiune

cd2

sEdEd

fdbyNM =

( )= 21125,1 lim

yd

Ed

yd

cds f

Nf

bdf8,0A m=

Se apreciaz valoarea procentului de armare p

conform punctului 9.3.2.2:

cd

yd

ff

100p=

( ) lim5,01 = cd

sEdEdbf

yNMd =

cd

Edyds

bdfNfA

25,1=

cazul a: lim ( ) sEdydsRd yN4,01dfAM =

cazul b:

lim> sEdcd

2limRd yNfbdM m=

9.4 SECIUNEA DE FORM DREPTUNGHIULAR DUBLU ARMAT SOLICITAT LA NCOVOIERE

Din punctul de vedere al modelrii pentru calcul, o seciune de beton armat se consider dublu armat dac, pe lng armtura longitudinal de rezisten ntins, 1sA , are i armtura longitudinal de rezisten comprimat, 2sA , care particip la preluarea eforturilor mpreun cu betonul comprimat (fig. 9.5).

Armarea dubl se utilizeaz dac seciunea grinzii este insuficient n varianta de armare simpl i nu poate fi mrit, din considerente constructive sau arhitecturale. Ea este necesar n urmtoarele cazuri: grinzi supuse la solicitri alternante de ncovoiere, grinzile cadrelor din zonele seismice, grinzile continue n seciunile de reazem.

Fig. 9.5 Seciunea dreptunghiular dublu armat

Se recomand ca ruperea seciunii dublu armate s nceap prin curgerea armturii ntinse 1sA i s se termin prin zdrobirea betonului comprimat, ca i n cazul armrii simple. O astfel de rupere este

yds1 =

ds2

MEd MEd

fcd3,5cu =

ds1

x

a.n.

As1

Ac

d h

b

0,8x

z

Fc

Fs1

As2

ds2Fs2

s2

zs

0,4x



condiionat de respectarea relaiei 9.3:

limxd =

Armtura comprimat 2sA poate s ajung sau nu la limita de curgere, n funcie de valoarea deformaiei specifice de compresiune 2s . Evaluarea efortului unitar din armtura comprimat Deformaia specific din armtura comprimat rezult din asemnarea triunghiurilor de nlime x i s2x - d din figura 9.5:

s2s2 cux -d

= x

Armtura comprimat 2sA atinge limita de curgere, dac s2 yd yd s = f E= . Aceast situaie corespunde unei valori a nlimii zonei comprimate minx x= (fig. 9.2). cumin s2

cu yd sx d

f E= (9.49)

cu notaia:

cu2cu yd s

=

- f E (9.50)

rezult min 2 s2x d= Condiia ca armtura comprimat 2sA s ating limita de curgere se poate scrie sub formele:

minx x s2min 2

dxd d

= (9.51a, b) Valorile coeficientului 2 se dau n tabelul 9.1. 9.4.1 Ecuaiile de echilibru Se presupune c att armtura ntins s1A , ct i armtura comprimat 2sA ajung la curgere, adic este respectat dubla condiie (9.3) i (9.51), scris sub una din formele:

min limx x x sau s22 limdd Ecuaia de proiecie dup axa grinzii 1s2sc FFF =+ (9.52) unde: cdc fxb8,0F = - rezultanta eforturilor de compresiune din beton (9.53) yd1s1s fAF = - rezultanta eforturilor din armtura ntins (9.54) yd2s2s fAF = - rezultanta eforturilor din armtura comprimat. (9.55) Cu rezultantele eforturilor interioare de mai sus, ecuaia de proiecie se scrie: yd1syd2scd fAfAfxb8,0 =+ (9.56) de unde rezult nlimea zonei comprimate:

( )

cd

yd2s1s

bffAA

25,1x= (9.57)

Valoarea relativ a nlimii zonei comprimate rezult:



( )

cd

yd2s1s

bdffAA

25,1= (9.58)

Ecuaia de momente se scrie fa de punctul de aplicaie al rezultantei armturii ntinse 1sF : M n raport cu s1F : s2scEd zFzFM += (9.59)

x4,0dz = este braul de prghie al rezultantelor cF i 1sF 2ss ddz = este braul de prghie al rezultantelor 1sF i 2sF (9.60) ( ) ( )2syd2scdEd ddfAx4,0dfxb8,0M += (9.61) ( ) ( )2syd2scd2Ed ddfA4,018,0fdbM += (9.62) ( )2Ed cd s2 yd s2M = bd f +A f d-d (9.63) Se observ c momentul ncovoietor capabil RdM al seciunii (partea din dreapta a ecuaiei 9.63) este compus din momentul ncovoietor SAM , preluat de seciunea dreptunghiular simplu armat cu armtura SAA , i M , aportul armturii comprimate 2sA : MMM SAEd += (9.64) ( )2syd2s ddfAM = (9.65) Momentul ncovoietor capabil al seciunii dreptunghiulare, dublu armat, RdM este partea din dreapta a relaiei (9.63): ( )2Rd cd s2 yd s2M bd f A f d d= + (9.66) 9.4.2 Seciunea dreptunghiular dublu armat. Proiectarea Situaiile de proiectare posibile sunt:

1 calculul ariilor de armtur s1A i s2A pentru o seciune cunoscut de beton, 2. calculul ariei armturii ntinse s1A , fiind cunoscut aria armturii comprimate s2A , 1. determinarea momentului ncovoietor capabil RdM a unei seciuni dublu armate cu alctuirea

cunoscut.

9.4.2.1 Calculul ariilor de armtur s1A i s2A


EdM ; cdf ; ydf ; h,b ; nomc s1A seciunea de armtur ntins s2A seciunea de armtur comprimat

Armarea dubl este necesar dac, pentru seciunea de beton cunoscut, armarea simpl nu este

suficient, adic: limcd

2Ed fdb

M >= unde lim rezult din tabelul 9.1.

a. Premizele calculului

Pentru a obine o soluie economic, se impune condiia ca aria de armtur dispus n zona comprimat 2sA s fie minim, deoarece armtura ntins trebuie s echilibreze att eforturile de compresiune din beton, ct i din armtura 2sA . Condiia de minim pentru armtura comprimat poate fi atins dac n relaia 9.64 se utilizeaz capacitatea portant maxim a seciunii simplu armate: Ed SA,maxM M M= +



unde 2SA,max lim cdM bd f= , conform relaiei 9.20. Astfel, relaia (9.63) devine: ( )2syd2scd2limEd ddfAfdbM += (9.67) n acest caz, armtura ntins este: min2smaxSA1s AAA += (9.68) b. Calculul armturii comprimate s2A Seciunea armturii comprimate s2A se determin din relaia (9.67):

( )2sydcd

2limEd

2s ddffbdMA

= (9.69) c. Calculul armturii ntinse s1A

Conform relaiei (9.68), seciunea armturii ntinse este :

2syd

cdlim1s Af

fbd8,0A += (9.70) n acest caz de proiectare nu este nevoie s se verifice deformaiile specifice din armturi, deoarece n mod evident ambele armturi ajung la curgere.

9.4.2.2 Calculul armturii ntinse s1A , avnd armtura comprimat s2A cunoscut


EdM ; cdf ; ydf ; h,b ; nomc

s2A - seciunea de armtur comprimat s1A - seciunea de armtur ntins

Se calculeaz valoarea relativ a momentului ncovoietor , din relaia 9.63:

( )

cd2

2syd2sEd

fdb

ddfAM = (9.71) a. Dac lim , atunci armtura ntins s1A curge, deoarece lim . Pentru rezultat, din tabelele A.9.3, A.9.4 sau A.9.5 se determin i i se verific efortul din armtura comprimat:

o dac d

d 2s2 , armtura comprimat ajunge la curgere, iar armtura ntins este:

2syd

cd2sSA1s Af

fbdAAA +=+= (9.72 a,b)

o dac d

d 2s2 , aria armturii s2A este insuficient; este necesar recalcularea acestei armturi conform punctului 9.4.2.1, cu relaia 9.69; aria armturii ntinse rezult din relaia 9.70.



9.4.2.3. Verificarea momentului ncovoietor capabil RdM al seciunii dublu armate


EdM ; cdf ; ydf ; h,b ; nomc ; s1A , s2A RdM - momentul ncovoietor capabil

a. Determinarea valorii relative a axei neutre Presupunnd c att armtura ntins ct i cea comprimat ajung la curgere, se calculeaz (rel. 9.58):

( )

cd

yd2s1s

bdffAA

25,1=

b. Calculul momentului capabil

dac lim2s2 dd se determin din tabelele A.9.3 sau A.9.4, A.9.5 n funcie de

; momentul ncovoietor capabil n acest caz este dat de relaia (9.63): ( )2syd2scd2Rd ddfAfdbM +=

dac d

d 2s2 , momentul ncovoietor capabil rezult din relaia (9.68): ( )2syd2scd2limRd ddfAfdbM +=

n acest caz, armtura ntins s1A nu curge; armtura comprimat curge, deoarece 2sd fiind mic, deformaia specific a armturii i cea a betonului comprimat de la partea superioar a grinzii au valori apropiate. c. Verificarea capacitii portante Seciunea dreptunghiular dublu armat are capacitatea portant suficient, dac:

Ed RdM M

9.5 SECIUNEA N FORM DE T SIMPLU ARMAT SUPUS LA NCOVOIERE Seciunile n form de T se ntlnesc frecvent la grinzi prefabricate, la grinzile planeelor monolite

i la alte elemente de rezisten cu seciuni n form de I sau chesonate, asimilabile cu forma T. Modul de cedare al elementelor ncovoiate avnd seciunea n form de T cu placa n zona

comprimat este condiionat de relaia 9.3, adic lim . Seciunea se consider n form de T dac inima grinzii i placa, dispus n zona comprimat, sunt

legate monolit i armate astfel, nct s conlucreze solidar pn la rupere.

Limea efectiv a plcii Datorit conlucrrii ce exist ntre inima grinzii i plac, aceasta urmrete deformaiile inimii.

Deformaia plcii se atenueaz pe msura ndeprtrii de inim, deoarece rigiditatea plcii este mai mic dect a grinzii (fig. 9.6a). Distribuia eforturilor unitare de compresiune pe limea plcii este neuniform, avnd intensitatea maxim n dreptul inimii (fig. 9.6b).

Limea teoretic activ a plcii rezult din condiia ca suprafaa distribuiei teoretice a eforturilor unitare s fie egal cu suprafaa curbei reale de distribuie, acceptnd acelai efort unitar maxim n dreptul inimii, cdf .



Fig. 9.6 Conlucrarea plcii cu inima

Determinarea limii active de calcul effb , conform celor de mai sus, este dificil pentru calculele uzuale, de aceea pentru elementele construciilor civile i industriale se folosete procedura simplificat din SR EN 1992.

9.5.1 Determinarea poziiei axei neutre Forma zonei comprimate de beton depinde de poziia axei neutre: este dreptunghiular dac

fhx8,0 , respectiv are form de T, dac fhx8,0 > . Pentru delimitarea celor dou situaii se consider cazul particular n care fhx8,0 = (fig. 9.7). Ecuaia de proiecie dup axa grinzii: sfcf FF = unde cdfeffcf fhbF = (9.75) ydsfsf fAF = (9.76) Din relaiile de mai sus rezult aria de armtur ce corespunde situaiei fh0,8x = : cdsf eff f

yd

fA = b hf

(9.77)

Fig. 9.7 Seciunea de calcul pentru poziia axei neutre fhx8,0 =

Ecuaia de momente Din ecuaia de momente n raport cu armtura ntins ( )fcff h5,0dFM = se determin momentul ncovoietor pentru situaia n care nlimea de calcul a zonei comprimate este egal cu grosimea plcii ( fhx8,0 = ): ( )fcdfefff h5,0dfhbM = (9.78) Stabilirea extinderii diagramei eforturilor de compresiune din beton se face pe baza valorilor sfA i fM , conform schemei din tabelul 9.9.

beff

Asf

h d

0,8x = hf 0,5hf

Fsf

Fcfd - 0,5hf

Ac

Mf

b

Mf

distribuia real c

distribuia de calcul

inimaa) b)

placa Ac a.n.

As

c = fcd

beffbeff

beff

b beff,st beff,dr



Tabelul 9.9 Poziia axei neutre la seciunea T Dimensionare Verificare

axa neutr este n plac f0,8x h Ed fM M s sfA A

axa neutr este n inim f0,8x h> Ed fM >M s sfA >A

9.5.2. Proiectarea seciunii T n cazul n care axa neutr este n plac Seciunea T cu axa neutr n plac ( Ed fM M ) se calculeaz ca o seciune de form dreptunghiular cu limea effb i nlimea util d , deoarece zona ntins fiind fisurat, pentru calcul conteaz numai dimensiunile zonei comprimate de beton. De exemplu, n acest caz relaiile (9.31) i (9.27) se scriu:

Ed2eff cd

M =

b d f (9.79)

cds effyd

fA =b df

(9.80)

9.5.3. Proiectarea seciunii T n cazul n care axa neutr este n inima grinzii Ecuaiile de echilibru Seciunea de calcul pentru situaia n care axa neutr este n inima grinzii se consider format din dou componente (fig. 9.8):

a. seciunea dreptunghiular simplu armat (cu armtura saA ), solicitat de momentul ncovoietor saM ;

b. seciunea format din aripile plcii, avnd limea ( )effb b i armtura corespunztoare sbA , solicitat de bM ; din ecuaia de proiecie cbsb FF = (fig. 9.8b) rezult:

( ) cdsb eff fyd

fA b -b hf

= (9.81)

Fig. 9.8 Seciunea n form de T simplu armat schem calcul

saF

beff 0,8x > hf

h d

b a

Mb= +

0,5hf 0,8x

MEd Fs

fcd

Fc 0,4x

z d - 0,5hf

Ac

saM

saF

b beff

b

sA

h d

hf 0,8x

saA sbA

b a

MEd saM Mb = +

hf

sbF

Fcb Fca



Ecuaia de proiecie sc FF = Rezultanta eforturilor de compresiune din beton este, conform figurii (9.8): ( )c ca cb cd eff f cdF F + F 0,8b x f b -b h f= = + (9.82) Rezultanta eforturilor din armtura ntins este: ( )s sa sb yd s ydF A A f A f= + = (9.83) nlocuind expresiile rezultantelor n ecuaia de proiecie, rezult: ( )cd eff f cd s yd0,8 b x f + b -b h f = A f (9.84) Poziia axei neutre rezult din relaia 9.84:

s yd eff fcd

A f b -b1, 25 hb f b

x =

(9.85)

Cu notaia dx= , valoarea relativ a nlimii zonei comprimate rezult:

s yd eff fcd

A f b -b1, 25 hb df b d

= (9.86)

Ecuaia de momente se scrie n raport cu punctul de aplicaie al rezultantei sF : ( )Ed ca cb fM F z F d 0,5h= + (9.87) rezult: ( ) ( )2Ed cd eff f f cdM bd f b b h d 0,5h f= + (9.88)

Expresia momentului ncovoietor capabil al seciunii T simplu armate este dat de partea din dreapta a ecuaiei 9.88: ( ) ( )2Rd cd eff f f cdM bd f b b h d 0,5h f= + (9.89) Situaiile de proiectare uzuale sunt:

calculul ariei de armtur sA , seciunea de beton fiind cunoscut, determinarea momentului ncovoietor capabil RdM a unei seciuni T simplu armate cu alctuirea cunoscut.

9.5.3.1. Calculul ariei de armtur sA al seciunii T simplu armate Date intrare: Date ieire:

EdM ; cdf ; ydf ; f effh, h ,b,b sA - seciunea de armtur

a. Poziia axei neutre Conform tabelului 9.10, dac ( )Ed f eff f cd fM M b h f d 0,5h = , axa neutr este n inima grinzii T.

b. Calculul coeficientului . Din relaia 9.88 rezult:

( ) ( )Ed eff f f cd

2cd

M b b h d 0,5h fbd f

= Pentru obinut, din tabelele A.9.3, A.9.4, sau A.9.5 se determin sau . Calculul armturii ntinse sA nlocuind termenii din relaia 9.83 rezult:



( )cd cds eff fyd yd

f fA bd b b hf f

= + (9.90) Dac max , pentru creterea capacitii portante seciunea T trebuie armat dublu. Dac este satisfcut condiia 5bbeff , se accept s se considere acoperitor zona comprimat avnd nlimea fh , (adic fhx8,0 = ); aria de armtur rezult din ecuaia de momente scris n raport cu rezultanta din betonul comprimat:

( )Eds yd fMA =

f d -0,5h (9.91)

9.5.3.2. Verificarea momentului ncovoietor capabil RdM al seciunii T simplu armate


EdM ; cdf ; ydf ; eff fb , b ,h,h ; sA RdM - momentul ncovoietor capabil

a. Poziia axei neutre

Conform tabelulului 9.10, dac cds sf eff fyd

fA A = b hf

, axa neutr este n inima seciunii. b. Calculul momentului capabil

Se calculeaz cu relaia 9.86: s yd eff f

cd

A f b -b1, 25 hb df b d

=

Se determin coeficientul corespunztor valorii din tabelele A.9.3, A.9.4, sau A.9.5. dac lim , armtura curge i RdM rezult din relaia 9.89:

( ) ( )2Rd cd eff f f cdM bd f b b h d 0,5h f= + dac lim> , momentul ncovoietor capabil se limiteaz la valoarea:

( ) ( )2Rd lim cd eff f f cdM bd f b b h d 0,5h f= + dac este satisfcut condiia 5bbef , se accept s se calculeze momentul

ncovoietor capabil din relaia 9.90: ( )fydsRd h5,0dfAM = (9.92) c. Verificarea capacitii portante

dac RdEd MM , seciunea rezist la solicitarea dat; dac RdEd MM < , seciunea nu rezist la solicitarea dat i trebuie armat dublu.



ANEXA 9

Tabelul A.9.1 Diametrele, ariile seciunilor armturilor i masa armturilor din bare laminate

Aria seciunii transversale pentru n bare, n cm2

Dia

met

rul

mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Masa kg/m

6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 0,222

8 0,50 1,00 1,51 2,01 2,51 3,01 3,52 4,02 4,52 5,02 0,394

10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 0,616

12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,78 7,91 9,04 10,17 11,30 0,887

14 1,54 3,08 4,62 6,15 7,69 9,23 10,77 12,31 13,85 15,39 1,208

16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,09 20,10 1,578

18 2,54 5,09 7,63 10,17 12,72 15,26 17,80 20,35 22,89 25,43 1,997

20 3,14 6,28 9,42 12,56 15,70 18,84 21,98 25,12 28,26 31,40 2,465

22 3,80 7,60 11,40 15,20 19,00 22,80 26,60 30,40 34,19 37,99 2,983

25 4,91 9,81 14,72 19,63 24,53 29,44 34,34 39,25 44,16 49,06 3,851

28 6,15 12,31 18,46 24,62 30,77 36,93 43,08 49,24 55,39 61,54 4,831

32 8,04 16,08 24,12 32,15 40,19 48,23 56,27 64,31 72,35 80,38 6,310

36 10,17 20,35 30,52 40,69 50,87 61,04 71,22 81,39 91,56 101,74 7,986

40 12,56 25,12 37,68 50,24 62,80 75,36 87,92 100,48 113,04 125,0 9,860



Tabelul A.9.2 Seciunea armturii ntinse la plci armate cu plase legate, cm2/m Diametrul barelor, mm Distana

ntre bare cm 6 8 10 12 14 16

8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0

3,53 3,32 3,14 2,97 2,83 2,69 2,57 2,46 2,36 2,26 2,17 2,09 2,02 1,95 1,88 1,82 1,77 1,71 1,66 1,61 1,57 1,53 1,49 1,45 1,41

6,28 5,91 5,58 5,29 5,02 4,78 4,57 4,37 4,19 4,02 3,86 3,72 3,59 3,46 3,35 3,24 3,14 3,04 2,96 2,87 2,79 2,72 2,64 2,58 2,51

9,81 9,24 8,72 8,26 7,85 7,48 7,14 6,83 6,54 6,28 6,04 5,81 5,61 5,41 5,23 5,06 4,91 4,76 4,62 4,49 4,36 4,24 4,13 4,03 3,93

14,13 13,30 12,56 11,90 11,30 10,77 10,28 9,83 9,42 9,04 8,70 8,37 8,07 7,80 7,54 7,29 7,07 6,85 6,65 6,46 6,28 6,11 5,95 5,80 5,65

19,23 18,10 17,10 16,20 15,39 14,65 13,99 13,38 12,82 12,31 11,84 11,40 11,00 10,61 10,26 9,93 9,62 9,32 9,05 8,79 8,55 8,32 8,10 7,89 7,69

25,12 23,64 22,33 21,15 20,10 19,14 18,27 17,47 16,75 16,08 15,46 14,89 14,35 13,86 13,40 12,97 12,56 12,18 11,82 11,48 11,16 10,86 10,58 10,31 10,05



Tabelul A.9.3 Coeficieni pentru calculul elementelor cu seciunea dreptunghiular sau T, supuse la ncovoiere cu for axial pentru beton cu fck 50 MPa Relaii de calcul 0,05 0,051 0,064 0,06 0,062 0,077 0,07 0,073 0,091 0,08 0,083 0,104 0,09 0,094 0,118 0,10 0,106 0,132 0,11 0,117 0,146 0,12 0,128 0,160 0,13 0,140 0,175 0,14 0,151 0,189 0,15 0,163 0,204 0,16 0,175 0,219 0,17 0,188 0,234 0,18 0,200 0,250 0,19 0,213 0,266 0,20 0,225 0,282 0,21 0,238 0,298 0,22 0,252 0,315 0,23 0,265 0,331 0,24 0,279 0,349 0,25 0,293 0,366 0,26 0,307 0,384 0,27 0,322 0,402 0,28 0,337 0,421 0,29 0,352 0,440

ncovoiere cu for axial

Ed Ed s2

cd

M N y =

bd f

unde s sy = 0,5h - d

s yd Ed

cd

A f N =

bdf

cd Eds

yd yd

f NA = bdf fm

2Rd cd Ed sM = bd f N ym

n relaiile de calcul semnul de deasupra care nsoete fora axial este pentru compresiune.

0,30 0,368 0,459 0,31 0,384 0,479 0,32 0,400 0,500

valori 0,33 0,417 0,521 limit 0,34 0,434 0,543 pentru 0,35 0,452 0,565 oel: 0,36 0,471 0,589 S500 0,37 0,490 0,613

0,38 0,510 0,638 S400 0,39 0,531 0,664 PC60 0,40 0,553 0,691

0,401 0,555 0,694 0,402 0,557 0,697 0,403 0,560 0,699 0,404 0,562 0,702 0,405 0,564 0,705

PC52 0.407 0,569 0,711

ys

fcd

s

cu = 3.5

ds

d

b

h

0.8x x CG

As



Tabelul A.9.4 Coeficieni pentru calculul elementelor cu seciunea dreptunghiular sau T, supuse la ncovoiere cu for axial pentru beton cu fck 50 MPa

Ed Ed s2

cd

M N y =

bd f; s sy = 0,5h - d ;

s yd Ed

cd

A f N =

bdf; cd Eds

yd yd

f NA = bdf fm

Oel PC52 MPa300f yd = ; max=0,71 =1,5; =1,15c s C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 procente de armare, p

0,02 0,020 0,025 0,054 0,072 0,090 0,112 0,135 0,157 0,180 0,202 0,2240,04 0,041 0,051 0,109 0,145 0,181 0,227 0,272 0,318 0,363 0,408 0,4540,06 0,062 0,077 0,165 0,220 0,275 0,344 0,413 0,482 0,550 0,619 0,6880,08 0,083 0,104 0,223 0,297 0,371 0,464 0,557 0,649 0,742 0,835 0,9280,10 0,106 0,132 0,282 0,375 0,469 0,587 0,704 0,821 0,938 1,056 1,1730,11 0,117 0,146 0,312 0,415 0,519 0,649 0,779 0,909 1,038 1,168 1,2980,12 0,128 0,160 0,342 0,456 0,570 0,712 0,855 0,997 1,140 1,282 1,4250,13 0,140 0,175 0,373 0,497 0,621 0,776 0,932 1,087 1,242 1,398 1,5530,14 0,151 0,189 0,404 0,539 0,673 0,842 1,010 1,178 1,346 1,515 1,6830,15 0,163 0,204 0,436 0,581 0,726 0,907 1,089 1,270 1,452 1,633 1,8150,16 0,175 0,219 0,468 0,624 0,779 0,974 1,169 1,364 1,559 1,754 1,9490,17 0,188 0,234 0,500 0,667 0,834 1,042 1,251 1,459 1,668 1,876 2,0840,18 0,200 0,250 0,533 0,711 0,889 1,111 1,333 1,556 1,778 2,000 2,2220,19 0,213 0,266 0,567 0,756 0,945 1,181 1,417 1,654 1,890 2,126 2,3620,20 0,225 0,282 0,601 0,801 1,002 1,252 1,503 1,753 2,004 2,254 2,5040,21 0,238 0,298 0,636 0,848 1,060 1,325 1,589 1,854 2,119 2,384 2,6490,22 0,252 0,315 0,671 0,895 1,119 1,398 1,678 1,957 2,237 2,517 2,7960,23 0,265 0,331 0,707 0,943 1,178 1,473 1,768 2,062 2,357 2,652 2,9460,24 0,279 0,349 0,744 0,992 1,240 1,549 1,859 2,169 2,479 2,789 3,0990,25 0,293 0,366 0,781 1,041 1,302 1,627 1,953 2,278 2,603 2,929 3,2540,26 0,307 0,384 0,819 1,092 1,365 1,707 2,048 2,389 2,730 3,072 3,4130,27 0,322 0,402 0,858 1,144 1,430 1,788 2,145 2,503 2,860 3,218 3,5750,28 0,337 0,421 0,898 1,197 1,496 1,870 2,245 2,619 2,993 3,367 3,7410,29 0,352 0,440 0,938 1,251 1,564 1,955 2,346 2,737 3,128 3,519 3,9100,30 0,368 0,459 0,980 1,307 1,634 2,042 2,450 2,859 3,267 3,675 4,0840,31 0,384 0,479 1,023 1,364 1,705 2,131 2,557 2,983 3,409 3,836 0,32 0,400 0,500 1,067 1,422 1,778 2,222 2,667 3,111 3,556 4,000 0,33 0,417 0,521 1,112 1,482 1,853 2,316 2,779 3,243 3,706 0,34 0,434 0,543 1,158 1,544 1,930 2,413 2,895 3,378 3,861 0,35 0,452 0,565 1,206 1,608 2,010 2,513 3,015 3,518 4,020 0,36 0,471 0,589 1,256 1,674 2,093 2,616 3,139 3,662 0,37 0,490 0,613 1,307 1,743 2,178 2,723 3,267 3,812 0,38 0,510 0,638 1,360 1,814 2,267 2,834 3,401 3,967 0,39 0,531 0,664 1,416 1,888 2,360 2,950 3,540 0,40 0,553 0,691 1,474 1,965 2,457 3,071 3,685

0,401 0,555 0,694 1,480 1,973 2,467 3,083 3,700 0,402 0,557 0,697 1,486 1,981 2,477 3,096 3,715 0,403 0,560 0,699 1,492 1,989 2,487 3,109 3,730 0,404 0,562 0,702 1,498 1,998 2,497 3,121 3,745 0,405 0,564 0,705 1,504 2,006 2,507 3,134 3,761 0,406 0,566 0,708 1,510 2,014 2,517 3,147 3,776 0,407 0,569 0,711 1,517 2,022 2,528 3,160 3,791



Tabelul A.9.5 Coeficieni pentru calculul elementelor cu seciunea dreptunghiular sau T, supuse la ncovoiere cu for axial pentru beton cu fck 50 MPa

Ed Ed s2

cd

M N y =

bd f; s sy = 0,5h - d ;

s yd Ed

cd

A f N =

bdf; cd Eds

yd yd

f NA = bdf fm

Oel PC60 MPa350fyd = ; max = 0,676 1,5; 1,15c s = = C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 procente de armare, p

0,01 0,010 0,013 0,023 0,031 0,038 0,048 0,057 0,067 0,077 0,086 0,096 0,02 0,020 0,025 0,046 0,062 0,077 0,096 0,115 0,135 0,154 0,173 0,192 0,03 0,030 0,038 0,070 0,093 0,116 0,145 0,174 0,203 0,232 0,261 0,290 0,04 0,041 0,051 0,093 0,124 0,156 0,194 0,233 0,272 0,311 0,350 0,389 0,05 0,051 0,064 0,117 0,156 0,195 0,244 0,293 0,342 0,391 0,440 0,489 0,06 0,062 0,077 0,142 0,189 0,236 0,295 0,354 0,413 0,472 0,531 0,590 0,07 0,073 0,091 0,166 0,221 0,277 0,346 0,415 0,484 0,553 0,623 0,692 0,08 0,083 0,104 0,191 0,254 0,318 0,398 0,477 0,557 0,636 0,716 0,795 0,09 0,094 0,118 0,216 0,288 0,360 0,450 0,540 0,630 0,720 0,810 0,900 0,10 0,106 0,132 0,241 0,322 0,402 0,503 0,603 0,704 0,804 0,905 1,005 0,11 0,117 0,146 0,267 0,356 0,445 0,556 0,668 0,779 0,890 1,001 1,113 0,12 0,128 0,160 0,293 0,391 0,488 0,611 0,733 0,855 0,977 1,099 1,221 0,13 0,140 0,175 0,319 0,426 0,532 0,666 0,799 0,932 1,065 1,198 1,331 0,14 0,151 0,189 0,346 0,462 0,577 0,721 0,866 1,010 1,154 1,298 1,443 0,15 0,163 0,204 0,373 0,498 0,622 0,778 0,933 1,089 1,244 1,400 1,556 0,16 0,175 0,219 0,401 0,534 0,668 0,835 1,002 1,169 1,336 1,503 1,670 0,17 0,188 0,234 0,429 0,572 0,715 0,893 1,072 1,251 1,429 1,608 1,787 0,18 0,200 0,250 0,457 0,610 0,762 0,952 1,143 1,333 1,524 1,714 1,905 0,19 0,213 0,266 0,486 0,648 0,810 1,012 1,215 1,417 1,620 1,822 2,025 0,20 0,225 0,282 0,515 0,687 0,859 1,073 1,288 1,503 1,717 1,932 2,147 0,21 0,238 0,298 0,545 0,727 0,908 1,135 1,362 1,589 1,817 2,044 2,271 0,22 0,252 0,315 0,575 0,767 0,959 1,198 1,438 1,678 1,917 2,157 2,397 0,23 0,265 0,331 0,606 0,808 1,010 1,263 1,515 1,768 2,020 2,273 2,525 0,24 0,279 0,349 0,637 0,850 1,062 1,328 1,594 1,859 2,125 2,390 2,656 0,25 0,293 0,366 0,669 0,893 1,116 1,395 1,674 1,953 2,232 2,511 2,789 0,26 0,307 0,384 0,702 0,936 1,170 1,463 1,755 2,048 2,340 2,633 2,926 0,27 0,322 0,402 0,735 0,981 1,226 1,532 1,839 2,145 2,452 2,758 3,064 0,28 0,337 0,421 0,770 1,026 1,283 1,603 1,924 2,245 2,565 2,886 3,206 0,29 0,352 0,440 0,804 1,073 1,341 1,676 2,011 2,346 2,681 3,017 3,352 0,30 0,368 0,459 0,840 1,120 1,400 1,750 2,100 2,450 2,800 3,150 3,500 0,31 0,384 0,479 0,877 1,169 1,461 1,826 2,192 2,557 2,922 3,288 3,653 0,32 0,400 0,500 0,914 1,219 1,524 1,905 2,286 2,667 3,048 3,429 3,810 0,33 0,417 0,521 0,953 1,271 1,588 1,985 2,382 2,779 3,176 3,573 3,971 0,34 0,434 0,543 0,993 1,324 1,655 2,068 2,482 2,895 3,309 3,723 0,35 0,452 0,565 1,034 1,378 1,723 2,154 2,584 3,015 3,446 3,877 0,36 0,471 0,589 1,076 1,435 1,794 2,242 2,691 3,139 3,587 4,036 0,37 0,490 0,613 1,120 1,494 1867 2,334 2,801 3,267 3,734 0,38 0,510 0,638 1,166 1,555 1,943 2,429 2,915 3,401 3,886 0,395 0,553 0,691 1,238 1,651 2,064 2,580 3,096 3,612 4,128

9_ grinzi.pdf

Documents