198

CAPITOLUL 8 EXTREME CU LEGĂTURI

În multe cazuri întâlnim problema următoare: se cere să se determine extremul unei funcţii care depinde de mai multe variabile care trebuie să verifice anumite restricţii. După tipul funcţiei de optimizat şi după tipul restricţiilor avem mai multe discipline în matematică ce se ocupă de această problemă. Astfel, dacă funcţia de optimizat este liniară iar restricţiile pentru variabile sunt inegalităţi sau egalităţi liniare, atunci avem programarea liniară care se studiază la facultăţile economice. Dacă funcţia de optimizat este o funcţie pătratică şi restricţiile sunt inegalităţi sau egalităţi liniare, atunci avem programarea pătratică, iar dacă funcţia de optimizat este o funcţie neliniară cu restricţii (inegalităţi sau egalităţi) oarecare avem disciplina programare matematică. În acest curs ne ocupăm de cazul când funcţia de optimizat este o funcţie oarecare cu restricţii de tip egalităţi. Transpunem în limbaj matematic problema. Fie ( )nxxxfy ,,, 21 = cu R→⊂ nRXf : şi np < condiţii:

( )( )

( )

=

==

0,,,

0,,,0,,,

21

212

211

np

n

n

xxxF

xxxFxxxF

(1)

cu R→XFi : pentru { }pi ,...,2,1= . Definiţia 1. Extremele funcţiei ( )nxxxfy ,,, 21 = , când ( )nxxx ,,, 21 verifică condiţiile (1) se numesc extremele funcţiei f condiţionată de (1) sau extremele funcţiei f supuse la legăturile (1).

Aceste extreme se definesc în acelaşi mod ca punctele de extrem fără legături, numai că de această dată se ţine cont de condiţiile (1).

Punctele staţionare ale funcţiei ( )nxxxfy ,,, 21 = , când ( )nxxx ,,, 21 satisface (1) se numesc puncte staţionare legate sau supuse legăturilor (1).

Presupunem că ( )( ) 0

,...,,,...,,

21

21 ≠p

p

xxxDFFFD

pe X .

Teoremă. Fie funcţia: ( ) ( ) ppnpn FFFxxxfxxx λ++λ+λ+=λλλφ ...,...,,,,,...,, 221121,...,2121

şi fie ( )002

010 ,...,, n

not

xxxx = şi ( )002

010 ,...,, nλλλλ = un punt staţionar liber al funcţiei φ ,

unde pFFF ,...,, 21 sunt independente funcţional. Atunci punctul 0x este punct staţionar al funcţiei ( )nxxxfy ,,, 21 = cu legăturile (1). Vezi [1], [4].

199

Observaţii: 1) Funcţia ( )pnxxx λλλφ ,...,2121 ,,,...,, se numeşte funcţia multiplicatorilor lui

Lagrange. 2) O metodă de a determina punctele de extrem ale funcţiei

( )nxxxfy ,,, 21 = supuse legăturilor (1) este folosind teorema funcţiilor implicite (T.F.I.) pemtru sisteme. Aplicând T.F.I. pentru (1) rezultă că există funcţiile:

( )( )

( )

ϕ=

ϕ=

ϕ=

++

++

++

nppp

npp

npp

xxxx

xxxx

xxxx

,...,,

,...,,

,...,,

212

2122

2111

(2)

Atunci, înlocuind pe pxxx ,...,, 21 în ( )nxxxfy ,,, 21 = rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )( )npppnppnpp

not

npp xxxxxxxxxfxxxy ,...,,,...,,...,,,,...,,,...,, 2121221121 ++++++++ == ϕϕϕϕ , de variabile independente pe npp xxx ,...,, 21 ++ pentru care se aplică teoria de la extremele funcţiilor fără legături.

3) Metoda mutiplicatorilor lui Lagrange se aplică în mai multe etape:

E I. Se formează funcţia: ( ) ( ) ppnpn FFFxxxfxxx λ++λ+λ+=λλλφ ...,...,,,,,...,, 221121,...,2121 .

E II. Se determină punctele staţionare ale funcţiei φ rezolvând sistemul:

==∂∂

==∂∂

=∂∂

=∂∂

0

0

0

,0

11

1

pp

n

F

F

x

x

λφ

λφ

φ

φ

.

E III. Dacă ( ) ( )0,...,

02

01

002

0100 ,,,...,,, pnxxxx λλλλ = este punct staţionar, atunci

se evaluează diferenţa: ( )nxxxf ,...,, 21 ( )=− 00

201 ,...,, nxxxf

200

( ) ( )=−= 002

01

002

01

002

0121 ,...,,,,...,,,...,,,,...,, pnpn xxxxxx λλλφλλλφ

( ) ( )not

nppn xxxfFFFxxxf =−λ++λ+λ+= 002

01

02

021

0121 ,...,,...,...,,

( ) ( )002

0121 ,...,,,...,, nn

notxxxFxxxF −=

unde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nppnnnn xxxFxxxFxxxFxxxfxxxF ,...,,...,...,,,...,,,...,,,...,, 21

0212

02211

012121 λ++λ+λ+=

Atunci ( ) ( )0

2002

0121 ,...,,,...,,

xnn Fdxxxfxxxf ≈− . (3)

E IV. Se evaluează 0

2x

Fd ţinând cont de condiţiile (1), care trebuie

diferenţiate şi calculate în 0x :

=∂∂

++∂∂

+∂∂

=

=∂∂

++∂∂

+∂∂

=

0...

0...

000

0

000

0

22

11

12

2

11

1

11

n

xn

p

x

p

x

p

xp

n

xnxxx

dxxF

dxxF

dxxF

dF

dxxFdx

xFdx

xFdF

(4)

Din (4) rezultă:

( )

( )

ϕ=

ϕ=

+

+

nppp

np

dxdxdx

dxdxdx

,...,

,...,

1

111

(5).

E V. Cu relaţiile (5) care se înlocuiesc în (3), se stabileşte ce fel de extrem avem. Aplicaţie

Să se dimensioneze o cutie paralelipipedică de volum dat, astfel ca suprafaţa cutiei fără capac să fie minimă.

Rezolvare Dacă presupunem că dimensiunile cutiei sunt x,y,z , atunci cutia are volumul

3axyzV == (constant) iar aria cutiei fără capac este : ( ) yzxzxyzyxS 22,, ++=

Deci, avem de optimizat funcţia S(x,y,z) când x,y,z sunt legate de relaţia: 3axyz = .

Funcţia multiplicatorilor lui Lagrange este: z y x

Punctele staţionare ale funcţiei lui Lagrange sunt dat e de sistemul:

( ) ( )322,,, axyzyzxxzxyzyx −λ+++=λφ

201

=−=∂∂

=++=∂∂

=++=∂∂

=++=∂∂

0

:022

:02

:02

3axyzx

xyxyyxx

xzxzzxx

yzyzzyx

φ

λφ

λφ

λφ

Rezolvăm acest sistem :

=λ++

=λ++

=λ++

022

021

021

xy

xz

yz

Adunând primele două relaţii şi împărţind la 2 în ultima, obţinem

=λ

++

=λ+

++

02

11

021112

yx

zyx⇒

λ−=

λ−=+

⇒

=λ

+

λ−=+

21

211

02

12

11

z

yx

z

yx

λ−=

λ−=

λ−=

⇒

4

4

2

0

0

0

x

y

z

.

Înlocuind în aa

aazyx3

0333

33

000423232

−=λ⇒−=λ⇒=λ

−⇔= . Deci

punctul staţionar este:

=λ

−=

=λ

−=

=λ

−=

−=λ

30

30

30

3

0

424

4244

2

42

ax

ay

az

a

.

Evaluăm diferenţa:

202

( ) ( ) ( ) ( )

( ) =≈++−−−++=

=λφ−λφ=−

Fdzyzxyxaxyza

yzxzxy

zyxzyxzyxSzyxS

2000000

33

00000000

21224222

,,,,,,,,,,

( )000

2222

2

22

2

22

2

2

,,2!2

1 zyxdydzzy

Fdxdzzx

Fdxdyyx

FdzzFdy

yFdx

xF

∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ,

unde ( ) ( )0,,,,, λφ= zyxzyxF . Calculăm derivatele parţiale de ordin unu şi doi,

( ) yzzyzyxxx

F00 2,,, λ++=λ

∂φ∂

=∂∂ ;

( ) xzzxzyxyy

F00 2,,, λ++=λ

∂φ∂

=∂∂ ;

( ) xyyxzyxzz

F00 22,,, λ++=λ

∂φ∂

=∂∂ ;

02

2

=∂∂

xF , 02

2

=∂∂

yF , 02

2

=∂∂

zF ,

( )yzzyyx

Fyyx

F0

2

2 λ++∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

∂ z01 λ+= , iar

( ) 14

4211,,3

3

00000

2

−=⋅−=λ+=∂∂

∂ aa

zzyxyx

F ;

( ) xxyyxyz

Fyzy

F00

2

222 λ+=λ++∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

∂ , iar

( ) 24

24222,,3

3

00000

2

−=⋅−=λ+=∂∂

∂ aa

xzyxzy

F ;

( ) yyzzyzx

Fzzx

F00

2

22 λ+=λ++∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

∂ , iar

( ) =λ+=∂∂

∂00000

2

2,, yzyxzx

F 24

24223

3−=⋅−

aa

.

Diferenţiind legătura:

⇔=∂∂

+∂∂

+∂∂

⇔=

⇒=−

00

0

1111

3

dzzFdy

yFdx

xFdF

axyz

0=++⇔ xydzxzdyyzdx şi calculând diferenţiala în 000 ,, zyx avem:

3 2

2

3 2

2

3 2

2

3 2

2

42:0

44

42

44 adzadyadxa

=++

rezultă relaţia :

203

02 =++ dzdydx )(21 dydxdz +−=

Atunci

( ) ( ) ( ) ( )dydzdxdzdxdydydzdxdzdxdyzyxSzyxS 2222!2

2,,,, 000 ++−=−−−≅−

( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )222 484422 dydxdydxdxdydydxdxdydydxdydxdxdy −−−−=+−−=+−++−=

0474 22 >++= dydxdydx , dx)(∀ şi dy)(∀ pentru că:

02 ≥++ cbxax R∈∀ x)(

<−=∆

>⇔

040

2 acba

În cazul de faţă expresia: ( ) [ ] 0474474 2222 >++=++= ttdydydxdydxE

pentru că : ( )

<⋅⋅−=∆

>=>

⇔

04447040

2

2

ady

.

Atunci: ( ) ( ) 0,,,, 000 >− zyxSzyxS pentru ( )( ) ( )000 ,,,, zyxVzyx ∈∀ , deci ( )000 ,, zyx este punct de minim.

Tema 8. Să se determine extremele funcţiilor :

1) ( )yx

yxf 11,1 += cu 222

111ayx

=+ , 0, ≠yx

2) ( ) 222 , yxyxf += cu 1=+

by

ax

3) ( ) 323 ,, zxyzyxf = dacă azyx =++ 32 cu 0,,, >azyx

4) ( ) xyzzyxf =,,4 dacă 1222 =++ zyx şi 0=++ zyx 5) Să se dimensioneze o cutie paralelipipedică de volum maxim şi arie dată. 6) Să se determine un dreptunghi de arie maximă şi perimetru constant (această problemă poate fi dată şi în mod practic astfel: să ceri unui tâmplar să construiască tocul la o fereastră dintr-o scândură de lungime dată prin care să intre lumină cât mai multă). 7) Să se determine distanţa minimă între două puncte situate pe două drepte în spaţiu care nu sunt concurente. 8) Se dă parabola 2xy = şi dreapta 04 =+− xy . Să se determine distanţa minimă de la dreaptă la parabolă.