&8/(*(5( 21/,1( &8 9$5,$17( ù, %$5(0( 3(1758 35(* 7,5 ...online+bac... · szep gyuszi Şerban...
If you can't read please download the document
TRANSCRIPT
-
CULEGERE ONLINE CU VARIANTE I BAREME PENTRU
PREGTIREA BACALAUREATULUI LA MATEMATIC 2014
PROFIL REAL
SPECIALIZAREA MATEMATIC INFORMATIC
WWW.MATEINFO.RO WWW.BACMATEMATICA.RO
DOBRE ANDREI OCTAVIAN
Alexandru Elena Marcela Badea Dana
Badea Ion
Brabeceanu Silvia
Ciocnaru Viorica Cornelia Bcu Cornelia
Cristea Maria
Dogaru Ion
Ionescu Maria Isofache Ctlina Anca
Lmtic Iulia
Liliana Tomia
Loghin Gaga Marcu tefan Florin
Marian Teler
Nicolaescu Nicolae
Oancea Cria Olh Csaba
Opria Elena
Pcuraru Cornel Cosmin
Pascotescu Anioara Camelia Ra Cristina
Rcu Ileana Constana
Stan Adrian Stoica Alina Codrua
Szep Gyuszi
erban Geoge Florin
Soare Valentina Lungana Viorica
Voiculescu tefania Augustina
PLOIETI, 2013
http://www.mateinfo.ro/http://www.bacmatematica.ro/
-
CULEGERE ONLINE CU VARIANTE I BAREME PENTRU
PREGTIREA BACALAUREATULUI LA MATEMATIC
2014 (EDIIE ONLINE, 2013)
ISBN 978-973-0-15965-3
Toate drepturile prezentei ediii aparin site-ului www.mateinfo.ro
(Andrei Octavian Dobre)
Culegerea este oferit gratuit pe www.mateinfo.ro i
www.bacmatematica.ro i nicio parte a acestei ediii nu poate fi
reprodus pe alte site-uri far acordul scris al coordonatorului
proiectului - prof. Andrei Octavian Dobre
Dac observai apariia culegerii pe alte site-uri, n afara celor menionate mai sus, v
rugm sa ne contactai pe [email protected] sau [email protected]
pentru a face demersurile legale.
Soluiile i baremele le gsii pe www.mateinfo.ro sau www.bacmatematica.ro
Fiecare autor raspunde de corectitudinea subiectelor.
Culegerea este verificat, dar dac vei gsi anumite erori v rugm sa ni le semnalai pe
[email protected], fiindc ne dorim cu toii o culegere de cea mai bun calitate pentru pregtirea
bac-ului la matematic.
La sfritul culegerii va aprea i o ERATA (dac va fi nevoie)
http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/http://www.bacmatematica.ro/mailto:[email protected]:[email protected]://www.mateinfo.ro/http://www.bacmatematica.ro/mailto:[email protected]
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
3
Varianta 1
Prof. Alexandru Elena-Marcela
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Artai c 16(1 )i este numr real.
(5p) 2. Determinai valoarea minim a funciei :f , 2( ) 2 8 1f x x x .
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 9 3x x .
(5p) 4. Calculai probabilitatea ca, alegnd la ntmplare un numr natural de dou cifre, acesta
s fie ptrat perfect.
(5p) 5. Determinai coordonatele centrului de greutate al ABC tiind c ( 2, 1)A , (2,0)B i
(0,7)C .
(5p) 6. Determinai msura unghiului A a triunghiului ABC ascuitunghic care are 4 3BC i
lungimea razei cercului circumscris egal cu 4.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricea 0 3
1 0M
i mulimea 3
( ) , ,x y
C M A x y Cy x
(5p) a) Artai c ( )A C M , AM MA ;
(5p) b) Artai c dac ( )B C M i 2 2B O atunci 2B O ;
(5p) c) Artai c dac ( )C C M , 2C O i C are toate elementele raionale, atunci det 0C .
2. Se consider polinomul 3( )f x x x a cu a .
(5p) a) Determinai rdcinile polinomului tiind c ( 2) 12f ;
(5p) b) Calculai 3 3 3
1 2 3x x x ;
(5p) c) Determinai a pentru care polinomul f are rdcini ntregi.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia :f D , 1
( ) ln ( )xf x e e .
(5p) a) Determinai domeniul de definiie D al funciei f ;
(5p) b) Determinai ecuaia asimptotei orizontale la graficul funciei f ;
(5p) c) Studiai monotonia funciei f pe D .
2. Pentru fiecare numr natural nenul n , se consider numrul 1
0
n x
nI x e dx .
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
4
(5p) a) Calculai 2I ;
(5p) b) Artai c 1 ( 1)n nI e n I , pentru orice numr natural nenul n ;
(5p) c) Calculai lim nn
I
.
Varianta 2
Prof. Alexandru Elena-Marcela
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai modulul numrului complex 9 2
7 6
iz
i
.
(5p) 2. Determinai valoarea maxim a funciei 2: , ( ) 2 6f f x x x .
(5p) 3.Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 2 2log log (5 2 ) 1x x .
(5p) 4. Calculai probabilitatea ca, alegnd la ntmplare un numr xy din mulimea numerelor
naturale de dou cifre, s avem 12x y .
(5p) 5. Determinai ecuaia medianei duse din vrful B al triunghiului ABC, unde A(-2,-1), B(1,2)
i C(0,5).
(5p) 6. Calculai lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC tiind c AB=16 i
cos C=3
5.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricea
2 2 3
1 1 1
1 2 1
A
.
(5p) a) Artai c det 0A .
(5p) b) Calculai E(A), dac 2
3( )E X X X I .
(5p) c) Calculai inversa matricei A.
2. Se consider polinomul 3( ) 2 1,f x x mx m m .
(5p) a) Determinai m astfel nct polinomul ( )f x s se divid cu x-1.
(5p) b) Pentru m=2 calculai 1 2 3(1 )(1 )(1 ),x x x unde 1 2 3, ,x x x C sunt rdcinile sale.
(5p) c) Determinai m astfel nct restul mpririi polinomului la x+1 s fie egal cu 1.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
5
1. Se consider funcia 2: , ( ) 1f f x x .
(5p) a) Determinai soluiile reale ale ecuaiei 4 2( ) 2 ( ) 15 0f x f x .
(5p) b) Calculai '( )f x .
(5p) c) Artai c f este cresctoare pe intervalul [0, ) .
2. Pentru fiecare numr natural n se consider numrul 1
0 21
n
n
xI dx
x
.
(5p) a) Calculai 1I .
(5p) b) Artai c 21
1n nI I
n
, ( )n N .
(5p) c) Calculai 2 1nI , n N .
Varianta 3
Prof. Alexandru Elena-Marcela
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinai numerele reale a i b tiind c a+ib este conjugatul numrului complex
1 1
1 1z
i i
.
(5p) 2. Determinai coordonatele vrfului parabolei asociate funciei
2: , ( ) 6 5f f x x x .
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia
1
23 9 36x
x
.
(5p) 4. Calculai probabilitatea ca, alegnd la ntmplare o pereche (x,y) din produsul cartezian
M M s avem x+y=5.
(5p) 5. Determinai a pentru care punctele A(1,a), B(4,1) i C(-1,-4) sunt coliniare.
(5p) 6. Calculai lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC tiind c AC=6 i
cos B=1
2.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricele A 1 3
0 1
i X 3 5
x y
.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
6
(5p) a) Calculai AX, XA i A+X.
(5p) b) Determinai x i y astfel nct AX=XA.
(5p) c) Artai c nA
1 3
0 1
n
, ( )n N .
2. Se consider polinomul 2( ) ( 1) 2 1, .f x m x mx m m
(5p) a) Determinai m pentru care polinomul ( )f x este un ptrat perfect.
(5p) b) Determinai valorile lui m pentru care polinomul ( )f x are extremul n punctul x=2.
(5p) c) Artai c pentru m=2 polinomul ( )f x l divide pe 3 2( ) 3 3g x x x x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 1
: \{ 1} , ( )1
xf f x
x
.
(5p) a) Calculai lim ( )xx
f x
.
(5p) b) Calculai ( )f x , x \{ 1} .
(5p) c) Demonstrai c funcia f este convex pe intervalul ( , 1) .
2. Se consider :[0,1] ,nf 1( ) n xnf x x e , unde n este numr natural nenul.
(5p) a) Artai c, 0 ( ) 1, ( ) [0,1]nf x x .
(5p) b) Calculai 1
0 1( )f x dx .
(5p) c) Dac 1 1
0
n x
nI x e dx , artai c 1 1, ( ) 2n nI nI n .
Varianta 4
Prof: Badea Daniela
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se arate c 2 2 2log 5 3 log 5 3 log 11 1 . (5p) 2. Fie funcia : , 2 1.f f x x Calculai suma
1 2 3 ... 2012 .S f f f f
(5p) 3. Rezolvai n ecuaia 2 0,52 4 2 0x x .
(5p) 4. Determinai valorile naturale ale lui x astfel nct 2
10 10
x xC C .
(5p) 5. Dac ' 'A 1, 1 ,B 3,1 i O 0,0 sunt mijloacele laturilor BC, AC i respectiv AB ale
ABC , determinai coordonatele punctelor A, B, C.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
7
(5p) 6. Calculai cos tiind c 12
, i sin .2 13
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricele
1 1
1 1 ;
1 1
x
A x x x
x
.
(5p) a) Determinai x astfel nct A x inversabil;
(5p) b) Aflai 1 1A ;
(5p) c) Rezolvai ecuaia
1
1 1
1
x
A y
z
.
2. Fie inelul claselor de resturi modulo 6, 6 , , .
(5p) a) Calculai suma elementelor neinversabile din 6 ;
(5p) b) Determinai valorile lui 6x astfel nct determinantul matricei 1
2 3
xA
s fie element
inversabil n 6 ;
(5p) c) Rezolvai n 6 6x sistemul 2 4
3 2 1
x y
x y
.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia 2: , 5 7xf f x e x x . (5p) a) Scriei ecuaia asimptotei spre ;
(5p) b) Aflai punctele de extrem ale funciei;
(5p) c) Demonstrai c 7 3 , 0,2f x e x .
2. Fie sin ; 0
: ,; 0
2
x x
f f x xx
x
.
(5p) a) Calculai 1
1
f x dx
;
(5p) b) Aflai volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei absciselor, a graficului funciei
: ,0 ,g g x f x ;
(5p) c) Calculai 0
1lim
x
xf t dt
x .
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
8
Varianta 5
Prof: Badea Daniela
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Aflai x astfel nct 2 5 8 .... 155x .
(5p) 2. Dac 1 2,x x sunt soluiile ecuaiei 2 0,x x m m aflai m tiind c 1 2 1.x x
(5p) 3. Rezolvai n ecuaia 1 5 2 .x x
(5p) 4. Artai c numrul 2 2
10 10 3N 3A C P este divizibil cu 17.
(5p) 5. Determinai valorile reale ale lui x dac aria ABO este 3 tiind c
A ,1 ,B 2 , 1 ,O 0,0 .x x
(5p) 6. Fie ABC i punctele M, N astfel nct 2MB MA, BN 2NC. Demonstrai c
1 2MN= AB AC.
3 3
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie , | ,0
a bM A a b a b
a
.
(5p) a) Artai c , , , , , , ,A a b A x y A ax ay bx A a b A x y M ;
(5p) b) Calculai , , nA a b n ;
(5p) c) Determinai matricele 2012, astfel nct , 1,2012A a b M A a b A .
2. Fie polinomul 3 2 1 2 31 X cu rdcinile , , .f X aX bX x x x
(5p) a) Determinai , astfel nct 1a b f X i restul mpririi lui f la 1X este 4 .
(5p) b) Pentru 1b aflai valorile lui a astfel nct 2 2 21 2 31 2 3
1 1 1+ + ;x x x
x x x
(5p) c) Dac 1, 1a b aflai valoarea determinantului
1 2 3
2 3 1
3 1 2
.
x x x
x x x
x x x
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia 2: , 2f f x x x .
(5p) a) Studiai derivabilitatea funciei f ;
(5p) b) Stabilii monotonia funciei f ;
(5p) c) Aflai ecuaia asimptotei spre la graficul funciei : , .h h x f x
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
9
2. Fie
ln ; 0,: 0, ,
1; ,
x x ef f x
x e x e
.
(5p) a) Artai c f admite primitive pe 0, ;
(5p) b) Aflai aria domeniului plan cuprins ntre graficul funciei 1: ,1 , ,h e h x x f x axa absciselor i dreptele de ecuaii
1, 1x e x ;
(5p) c) Demonstrai c 2
2012
1
1
2013f x dx .
Varianta 6
Prof: Badea Daniela
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Aflai cardinalul mulimii | 2 1 3 .A x x
(5p) 2. Determinai funcia de gradul al doilea 2: ,f f x x ax b tiind c punctul
0,3 fA G i axa de simetrie este dreapta : 1 0d x .
(5p) 3. S se rezolve ecuaia 23log 2 1.x x (5p) 4. n cte moduri, din 10 elevi poate fi ales un comitet format din 3 elevi?
(5p) 5. Aflai valorile reale ale lui m pentru care vectorii i 2u mi j v m i j sunt perpendiculari.
(5p) 6. Calculai 0 0 0 0 0cos0 cos10 cos20 ... cos170 cos180 .S
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Fie matricele 20 2 1 0
, 1 0 0 1
A I
i mulimea M | .A x XA AX 2M
(5p) a) S se arate c 2012 1006
2A 2 ;I
(5p) b) S se arate c, dac MX A , atunci exist ,a b astfel nct 2
;a b
Xb a
(5p) c) Demonstrai c 3 5 2011 1006A+A +A +....+A 2 1 iA
2 4 6 2012 1006 2A +A +A +....+A 2 2 1 .I
2. Fie : , 4 4 20, , .x y xy x y x y
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
10
(5p) a) Determinai elementul neutru al legii ;
(5p) b) Aflai simetricul lui 3 n raport cu legea ;
(5p) c) tiind c legea este asociativ calculai 1 2 3 .... 2012.S
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia : \ 1 , .1
xef f x
x
(5p) a) Scriei ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul de abscis 0 1;x
(5p) b) Calculai 1
1
lim i lim ;x x
x
f x f x
(5p) c) Demonstrai c 1, 1.f x x
2. Fie funcia 2: , 3 1.f f x x
(5p) a) Artai c orice primitiv a lui f este strict cresctoare.
(5p) b) Aflai o primitiv a funciei f al crei grafic conine punctul 1,3 ;A
(5p) c) Calculai aria suprafeei cuprinse ntre axa absciselor, graficul funciei : 0,1 ,g
23 xg x f x x x e i dreptele de ecuaii 0 i 1;x x
Varianta 7
Prof. Badea Ion
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Fie progresia aritmetic 2 3cu 12, 9.n na a a Determinai n astfel nct suma
primilor n termeni s fie zero.
(5p) 2. Determinai elementele mulimii
2 7| 1 .
1
xA x
x
(5p) 3. Rezolvai n ecuaia
1 12 2 13
3 3 9
x x
.
(5p) 4. Cte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 0,1,2,3,4?
(5p) 5. Fie punctele A(3,0), B(-2,-2), C(2,2). Scriei ecuaia dreptei determinat de mijloacele laturilor
(CA) i (CB).
(5p) 6. Aflai raza cercului nscris n triunghiul ABC, de laturi 5, 6 i 7.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
11
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie , ,a b c distincte ntre ele i sistemul
2 3
2 3
2 3
a x ay z a
S b x by z b
c x cy z c
(5p) a) Calculai determinantul matricei A ataat sistemului (S):
(5p) b) Rezolvai sistemul (S);
(5p) c) Dac , ,x y z este soluia sistemului aflai soluiile ecuaiei 3 2 0.t xt yt z
2. Fie polinoamele 2012 2, , 2 5 4 10 i g X 5 6f g X f X X X .
(5p) a) Artai c suma coeficienilor polinomului f este un numr ntreg divizibil cu 7;
(5p) b) Determinai restul mpririi lui f la g;
(5p) c) Calculai suma 1 1 1 1
....0 1 2 2013
Sg g g g
.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 2 2: 0,1 , 2.xf f x e x (5p) a) S se studieze monotonia funciei f ;
(5p) b) S se demonstreze c funcia f are o singur rdcin n intervalul (0, 1);
(5p) c) S se demonstreze prin inducie matematic 2 2 , , 3n n xf x e n n .
2. Fie funcia 2
: 0, , 1f f x x .
(5p) a) Calculai
0
3lim
x
x
f t dt
x
;
(5p) b) Dac
: 0, ,x
h h xf x
, determinai primitiva : 0,H a funciei h astfel
nct 0 1H ;
(5p) c) Calculai volumul corpului obinut prin rotaia, n jurul axei Ox, a graficului funciei f pentru
0,1x .
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
12
Varianta 8
Prof. Badea Ion
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai 2 3 2011 2012
1 1 1 1 11 .... : 1 .
3 3 3 3 3
(5p) 2. Aflai numerele reale a i b care au suma 1 i produsul 12.
(5p) 3. Fie : , 2 1.f f x x Aflai numerele x astfel nct 2log 3.f x
(5p) 4. Dup o ieftinire cu 20% i apoi o scumpire cu 10% un produs cost 1760 lei. Care este preul
iniial al produsului?
(5p) 5. Scriei ecuaia mediatoarei segmentului (AB ) unde A(-1,1) i B(3,3).
(5p) 6. Calculai suma 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0sin 0 sin 15 sin 30 sin 45 sin 60 sin 75 sin 90S .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider sistemul de ecuaii
2
2
2 2 , unde m
2 2
x my z m
x y z
mx m y z
i matricea sistemului
2
1 1
1 2 1
2
m
A
m m
.
(5p) a) Artai c 2det 4A m
(5p) b) Determinai valorile lui m pentru care sistemul este compatibil determinat
(5p) c) Rezolvai sistemul pentru m=0;
2. Fie polinomul 2 3 2 2, ,, 2 2 2 1a b a bf X f a X abX b X a
(5p) a) Determinai numerele ntregi a i b pentru care , 1a bf X ;
(5p) b) Dac 1 2 3, ,x x x sunt rdcinile polinomului 1,1f , calculai 3 3 3
1 2 3 + ;x x x
(5p) c) Rezolvai n ecuaia 2 12 8 2 2 1 0x x x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se d funcia
4
3 2: 2,2 ,
4 3
xf f x
.
(5p) a) S se studieze monotonia funciei f ;
(5p) b) S se demonstreze c tangentele la graficul funciei f n punctele 3 3
, 3 3
A f
i B 3, 3f sunt perpendiculare.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
13
(5p) c) S se calculeze 1
' 3
3lim xx
f x
.
2. Pentru orice numr natural nenul n se consider funciile 1
: 1,1 , 2
n
n n
xf f x
x
i
integralele 1
1
.n nI f x dx
(5p) a) S se calculeze 1
1
1
2 .x f x dx
;
(5p) b) S se calculeze1I ;
(5p) c) S se arate c
2
1
23 ,
1
n
n nI I nn
Varianta 9
Prof. Badea Ion
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Artai c numrul 2
5 2 6 1 2 1 3N este natural.
(5p) 2. Fie 2: , 3, .f f x x mx m Determinai valorile parametrului real m astfel
nct .fG Ox
(5p) 3. Aflai valorile reale ale lui x astfel nct numerele 13 ,9 ,5 3 6x x x sunt termenii consecutivi
ai unei progresii aritmetice.
(5p) 4. Determinai probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea 11 | ,0 11kC k k acesta s fie divizibil cu 11.
(5p) 5. Care sunt coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC unde A(3,0), B(2,2) i
C(-1,-2)?
(5p) 6. Fie vectorii 2 1 2 i ; .u m i j v mi j m Aflai valorile parametrului real m astfel
nct vectorii i u v sunt coliniari.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. n mulimea 2M se consider matricele 21 2 1 0
i = .1 3 0 1
A I
(5p) a) Calculai det A , 2 3 i A A ;
(5p) b) Verificai egalitatea 2
24 5A A I i demonstrai c 1 14 5 , , 2n n nA A A n n ;
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
14
(5p) c) Artai c 2 , nA I n .
2. Se consider polinoamele 8 4 21 i g X 1f X X X , iar 1 2 i x x rdcinile
polinomului g.
(5p) a) Aflai restul mpririi lui f la 2` ;g X g
(5p) b) Calculai 2 2 3 3
1 2 1 2+ i + ;x x x x
(5p) c) Artai c 2 21 2f x f x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia 3 2
: 3, \ 1 , 1
xf f x
x
.
(5p) a) Calculai 1
lim i limx x
f x f x
;
(5p) b) Demonstrai relaia 2 '2 3 3, \ 1f x f x x x i stabilii monotonia
funciei f
(5p) c) Determinai ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul de abscis 0 2x .
2. Se consider funciile
cos cos, : , cos sin 1 i sin 1x xf F f x x x e F x e x x .
(5p) a) S se arate c funcia F este o primitiv a funciei f ;
(5p) b) S se calculeze 2
0
f x dx
;
(5p) c) S se calculeze aria suprafeei plane mrginite de graficul funciei : 0, ,4
g
2 coscos 1
gsin 1 x
f x xx
x e
, axa Ox i dreptele de ecuaii 0 i
4x x
.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
15
Varianta 10
Prof: Bcu Cornelia
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai 36 6 6lg10 10 10 .
(5p) 2. Aflai punctele de intersecie ale graficului funciei 2: , ( ) 3 10f f x x x cu axa
abciselor.
(5p) 3. Rezolvai, n mulimea numerelor naturale nenule, ecuaia: 2 3
27 27log 9log 4x x .
(5p) 4. Aflai termenul care nu l conine pe x n dezvoltarea binomial:
91
3xx
.
(5p) 5. Fie triunghiul ABC i vectorii: OA =2i,OB=4i +2j ,OC=6i - 4j . S se determine
cordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC.
(5p) 6. Comparai numerele sin 6 i sin 7 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 1. Se consider funcia 20
: ( ), ( )0
xf f x
x
(5p) a) S se arate c f (-1) + f (1) = 02.
(5p) b) S se rezolve ecuaia f (2x) = I2.
(5p) c) Sa se calculeze 2 2014f(2)+(f(2)) +...+(f(2))
2. Se consider mulimea claselor de resturi modulo 9, 9
(5p) a) Calculai produsul elementelor inversabile din aceast mulime.
(5p) b) Calculai, in 9 , suma 1 2 ... 2014 .
(5p) c) Rezolvati, in 9 , sistemul de ecuaii: 3 2 0
4 5 1
x y
x y
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 1. Se consider funcia 2014: , 2014 ln 2014xf f x x .
(5p) a) S se calculeze , f x x .
(5p) b) S se scrie ecuaia tangentei la graficul funciei n punctul de abcis 0.
(5p) c) S se arate c funcia f este convex pe .
2. Se consider funcia 1 1
: 1, ) ,2
f f xx x
.
(5p) a) S se calculeze 4
2
f x dx
(5p) b) S se arate c orice primitiv F a funciei f este concav pe [1, ) .
(5p) c) S se afle volumul corpului mrginit de graficul funciei f, axa Ox si dreptele de ecuaie x = 1
i x = 2.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
16
Varianta 11
Prof: Bcu Cornelia
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Aflai conjugatul numarului complex 2
3
i
i
(5p) 2. Aflai ecuaia axei de simetrie a graficului funciei 2: , ( ) 10f f x x .
(5p) 3. Rezolvai, n , ecuaia: 3 5 lg100x x .
(5p) 4. tiind c preul unui obiect, dup dou reduceri succesive de 10%, este 8100, aflai preul
iniial al obiectului.
(5p) 5. S se determine lungimea laturii NP i raza cercului circumscris triunghiului MNP, dac
3, ( ) 30 , ( ) 45MN m P m M
(5p) 6. S se arate c triunghiul cu vrfurile M(1,6), N(-1,0) i P(5,-2) este isoscel.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se consider punctele A(2,1) i An(-n, n), n .
(5p) a) S se determine ecuaia dreptei A1A2.
(5p) b) S se afle aria triunghiului AA2A3.
(5p) c) S se verifice dac punctele O, An, An+1 sunt coliniare, pentru orice n .
2. Pe se definete legea de compoziie ( )2014 x yx y .
(5p) a) S se calculeze 2014 (-2014).
(5p) b) S se rezolve n ecuaia 2 12
2014x x .
(5p) c) S se arate c dac 20142014zx y z , atunci 1x y .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 22 1
: ,2 1
1x
f f xx x
.
(5p) a) S se verifice c
'
2
2, 1
1
xf x x
x
(5p) b) S se arate c ( ) 1, 1f x x .
(5p) c) S se determine asimptotele funciei f.
2. Se consider funcia 23 2 1, 0
: ,2 1, 0
x x xf f x
x x
.
(5p) a) S se arate c funcia f admite primitive pe .
(5p) b) S se calculeze 1
1f x dx
.
(5p) c) Aflai a [0,2] astfel nct aria suprafeei plane cuprins ntre graficul funciei f, axa Ox si
dreptele de ecuaii x = a si x = 2 s fie 9.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
17
Varianta 12
Prof: Bcu Cornelia
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se afle numarul real x, tiind ca x - 3, x si x + 1 sunt termrnii consecutivi ai unei progresii
geometrice.
(5p) 2. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia: 3 3 2 243 3 1 6 9 1x x x x x x .
(5p) 3. Fie funcia : , 3 2f f x x . S se rezolve ecuaia ( ) ( ) 0f f x f x .
(5p) 4. S se determine numrul de drepte care trec prin 10 puncte distincte, necoliniare.
(5p) 5. Aflai ecuaia mediatoarei segmentului [AB], unde A(2,3) i B(3,5).
(5p) 6. Comparai numerele cos4 i cos5.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se considera matricele
ln ln( ) , .
ln1 ln
ne eA n n
e
(5p) a) Aflai urma matricei A(3)A(4).
(5p) b) Calculai 3det (3)A .
(5p) c) Calculai 2014 (1)A .
2. Fie polinoamele 4 25 5 , , ( ) ,g( ) 3 2,f g x f x x a x x x a x .
(5p) a) Aflai rdcinile polinomului g.
(5p) b) Determinai 5a x astfel nct polinomul g s divid polinomul f.
(5p) c) Pentru 1a artai c polinomul f nu are rdcini.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia 3
: ,3
3x
f f xx
(5p) a) Calculai 0
( ) (0)limx
f x f
x
.
(5p) b) Calculai lim ( )x
xf x
(5p) c) Studiati existenta soluiilor ecuaiei f (x)=m, unde m .
2. Se consider integralele 2
ln ln ,ne x
ne
I e xdx n
(5p) a) Calculai 1I .
(5p) b) Calculai ,nI n .
(5p) c) Verificai egalitatea: 2 2 3
0 1 25 20 6 27e I e I e I
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
18
Varianta 13
Prof. Brabeceanu Silvia
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinai numrul real x pentru care numerele 22, 3 , 8x x sunt termeni consecutivi ai unei
progresii geometrice.
(5p) 2. Determinai valoarea parametrului real m pentru care punctul 3
,3 14
V m
s fie vrful
parabolei asociate funciei 2: , 2 3 4f f x x x .
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 22 29 5 15log logx x .
(5p) 4. Determinai cte numere impare ab se pot forma tiind c , 1,2,4,7a b i a b .
(5p) 5. Determinai numrul real a pentru care vectorii 3 2u i a j i 4v i j sunt coliniari.
(5p) 6. Rezolvai n mulimea 0,2
ecuaia 2cos 3 0x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Pentru fiecare numr real m se consider matricea
1 1 1
0 0
2
A m m
m m
(5p) a) Calculai det 1A .
(5p) b) Determinai numrul real m tiind c
1 3 0
1 1 1
2 3 0
A m A m
(5p) c) Calculai 1 2 10A A A
2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie
2 6 6 21, ,x y xy x y x y .
(5p) a) Calculai 3 4 3 .
(5p) b) Artai c 2 3 3 3, ,x y x y x y .
(5p) c) Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 7x x x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 2 1
: 1, , 1
xf f x
x
.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
19
(5p) a) S se calculeze , 1,f x x .
(5p) b) S se verifice c
2
2lim 1
2x
f x f
x
.
(5p) c) S se scrie ecuaia tangentei la graficul funciei n punctul de abscis 0 2x .
2. Se consider funciile , : 0, , 2ln 3f g f x x x i 2 3x
g xx
.
(5p) a) S se arate c f este o primitiv a lui g , 0,x .
(5p) b) S se calculeze f x dx .
(5p) c) S se calculeze
1
e f xdx
x .
Varianta 14
Prof. Brabeceanu Silvia
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se determine conjugatul numrului complex 3 2 2 3
1 2
i iz
i i
.
(5p) 2. Fie funcia :f exprimat prin relaia 2xf x x . S se calculeze
1 2 8f f f
(5p) 3. S se determine numrul real x astfel nct 21 12 2
log 7 5 log 1x x .
(5p) 4. Fie mulimea 1,2,3,4,5,6,7A . S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element n A
acesta s verifice inegalitatea 2!n n .
(5p) 5. Fie vectorii 5 3AB i j i 7 5BC i j . S se calculeze AB BC AC .
(5p) 6. tiind c 0 0sin15 cos15 a s se calculeze valoarea expresiei 0 0sin75 cos75 a .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. n mulimea 3M se consider matricea 1 3 2
1 3 2
1 3 2
A
i 3X m mA I .
(5p) a) Calculai 2A .
(5p) b) S se calculeze 2 2 2014 20142 2 2M A A A .
(5p) c) S se arate c X m X n X m n i s se verifice dac X m este inversabil.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
20
2. Fie polinomul 3 2 3 1f X aX X X cu 1 2 3, ,x x x rdcini i a este numr real.
(5p) a) Calculai 1 1f f .
(5p) b) Determinai restul mpririi polinomului f la 1x , tiind c restul mpririi polinomului f
la 1x este 3.
(5p) c) Determinai numerele reale a pentru care 2 2 21 2 3 10x x x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 1
: 0, , x
f f xx
.
(5p) a) S se determine asimptotele la graficul funciei.
(5p) b) S se determine constantele reale a i b astfel nct funcia F x ax b x s verifice
condiia , 0,F x f x x .
(5p) c) S se determine 0,x astfel nct 2 = 1x f x x f x x .
2. Se consider irul 1n n
I
,definit prin 1
0
, 1
n
nx
I dx nx
.
(5p) a) Calculai 1I i 2I .
(5p) b) Artai c 11
, 1
n nI I nn
.
(5p) c) Folosind eventual metoda de integrare prin pri , artai c
1
20
1,
2 1
n
nx
nI dx nx
.
Varianta 15
Prof. Brabeceanu Silvia
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Artai c 16 6 7 16 6 7n este numr natural.
(5p) 2. Fie funciile 2, : , 3f g f x x i 3g x x . Calculai 1 1f g g f .
(5p) 3. S se rezolve pe mulimea numerelor reale ecuaia 2 1 2 3 2 52 2 2 2 9x x x .
(5p) 4. 16% din preul unei mrfi, adic 256 lei reprezint cheltuieli de transport. Care este preul
acesteia.
(5p) 5. S se determine unghiul dreptelor 13 3
:2 2
d y x i 22 8
:3 3
d y x .
(5p) 6. S se calculeze lungimea razei cercului circumscris MNP , , 6 3
M N
i 4MN .
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
21
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. n reperul cartezian de coordonate xOy fie punctele , , 2, 3 , 3,3 1A m m B m C m i
matricea 3
2 3
3 3 1 ,
1 1 1
m
M m m m M m
.
(5p) a) Calculai det M .
(5p) b) Verificai c pentru orice m ABC este triunghi.
(5p) c) Pentru 4m s se calculeze aria triunghiului ABC .
2. Se consider polinomul 4 214 48f X X X .
(5p) a) S se arate c 2
2 7 1f X .
(5p) b) S se demonstreze c polinomul nu are rdcini ntregi.
(5p) c) S se descompun polinomul f n produs de factori ireductibili n X .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 2: , 3f f x x x .
(5p) a) Calculai , f x x .
(5p) b) Determinai ecuaia asimptotei spre la graficul funciei.
(5p) c) Determinai intervalele de monotonie ale funciei f .
2. Se consider funciile 1
: 3, , 33
f f x xx
i
2
: 3, , 3 ln 32
xF F x x x .
(5p) a) Calculai 1
0
3x f x dx .
(5p) b) Verificai dac funcia F este o primitiv a funciei f .
(5p) c) Calculai 0
2
F x f x dx
,
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
22
Varianta 16
Prof. Ciocnaru Viorica
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai conjugatul numrului complex z = (1+ 2i)(2- i).
(5p) 2. Determinai coordonatele punctelor de intersecie ale graficelor funciilor f, g: RR f (x)=
832 xx i g (x) = - x -3.
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia iraional 3 12 x = x +1.
(5p) 4. Calculai probabilitatea ca, alegnd la ntmplare un numr din mulimea numerelor naturale de
dou cifre, acesta s fie divizibil cu 6.
(5p) 5. Se consider vectorii AB 3
i 2
j i BC - 2
i - 4
j . Calculai AB + 2 AC .
(5p) 6. Calculai lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC tiind c C = 3
i AB = 8.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricele Ap, Bp M3 (R), Ap =
1 1 2
3 1 2
2 3 1 3
p p
p p
p
, Bp=
1
2
0 4
p p
p p
p
p
R .
(5p) a) Calculai Tr (A0 +A
t2).
(5p) b) Determinai CA0, unde C =
1 1 2
0 1 1
2 1 0
.
(5p) c) Calculai )(1
n
p
pp BA , nN.
2. Se consider polinomul fR[X], f = X3 + aX2 + X + a, unde aR.
(5p) a) Calculai f (-2).
(5p) b) Pentru a = 2, determinai rdcinile polinomului f.
(5p) c) Calculai 31x 3
2x3
3x unde x1, x2, x3 sunt rdcinile polinomului f.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia f : RR, f (x) = 42 x .
(5p) a) Calculai f '(x) i f '(-2), xR .
(5p) b) Cercetai dac funcia admite asimptot oblic.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
23
(5p) c) Determinai curbura funciei f , oricare ar fi x real.
2. Se consider funcia f: RR, fn(x) = xne
-x, nN*.
(5p) a) Calculai dxxf3ln
2ln
1 )( .
(5p) b) Stabilii o relaie de recuren pentru In, cu In = dxxfn )( , xR, nN* i aplicai relaia gsit
n cazul I2.
(5p) c) Calculai dttf
x
nx
0
)(lim .
Varianta 17
Prof. Ciocnaru Viorica
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinai numrul real x pentru care numerele 3, x + 1 i 12 sunt termeni consecutivi ai unei
progresii geometrice cu termini pozitivi, apoi scriei suma termenilor.
(5p) 2. Determinai numerele reale nenule a i b astfel nct funcia f : RR f (x) = a 12 bxx s
admit vrful V(1, 2), punct de maxim.
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 24 22
2 xx .
(5p) 4. Determinai numerele naturale pare ab care se pot forma, tiind c a, b{4, 5, 6, 7}.
(5p) 5. Se consider dreapta d : y = 7
14 x i punctul M (-2, -1). Determinai distana de la punctul
M
la dreapta d.
(5p) 6. Transformai n produs E(a) = sin a sin 5a i calculai E(6
) .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricea AM3 (R) A =
p p p
p p p
p p p
, pR .
(5p) a) Calculai A2 .
(5p) b) Aflai valoarea det (A I3) det (A + I3).
(5p) c) Artai c An = (3p)
n-1 A, nN*, pR i calculai A2014.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
24
2. Se consider polinomul fR[X], f = X3 - 2X2 - X + m unde m este numr real i ecuaia x4- 5x3+
5x2 + 5x 6 = 0 cu rdcinile x1, x2, x3, x4.
(5p) a) Determinai m, numr real, pentru ca - 2 s fie rdcin pentru f.
(5p) b) Determinai rdcinile ecuaiei.
(5p) c) Calculai f (x1) + f (x2) + f (x3) + f(x4) unde x1, x2, x3, x4 sunt rdcinile ecuaiei.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia f: D R, f (x) = 3
3ln
x
x.
(5p) a) Determinai D domeniul de definiie al funciei f i cercetai dac funcia are asimptote
verticale.
(5p) b) Calculai f (x), unde xD.
(5p) c) Calculai )(lim xxfx
.
2. Se consider funciile f: RR, f(x) = cos x i g: [0, 2
)R, g(x) =
tgx2 .
(5p) a) Calculai dxxf )(2
.
(5p) b) Calculai volumul corpului determinat de rotaia n jurul axei Ox a graficului funciei g(x)/ f(x)
pentru x[0, 4
].
(5p) c) Dac In = dxxfn
4
6
)(
, nN*, stabilii o relaie de recuren pentru In.
Varianta 18
Prof. Ciocnaru Viorica
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Rezolvai n mulimea numerelor reale inecuaia xx 3234 )
2
5()
5
2( .
(5p) 2. Determinai mulimea soluiilor inecuaiei logaritmice log 2 ( log 0,5 (x+1)) >1.
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor complexe ecuaia z3 + 64 = 0.
(5p) 4. Determinai numrul natural n astfel nct 3
nC , 2
nA i 2
1nA s fie termenii consecutivi ai unei
progresii aritmetice.
(5p) 5. Fie triunghiul ABC cu centrul de greutate G(4, 3), iar A(3, 6) i B(-2, 3). Determinai
coordonatele vrfului C al triunghiului.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
25
(5p) 6. Dac a(
,2
), b(2
3,
) i sin a =5
3, sin b = -
5
4 calculai cos a - cos b.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider determinanii d1=
a b b a
b a b a
b a a b
i d2(x) =
1 4 9 4
2 5 8 2 5
3 6 8 3 6
x x
x x
x x
unde a, b,
x sunt numere reale.
(5p) a) Calculai d1 dezvoltnd dup o linie sau o coloan.
(5p) b) Calculai d2(0).
(5p) c) Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia d2 (x) = 0, cu ajutorul proprietilor
determinanilor.
2. Se consider mulimea M = {AxM2 (R)| Ax = 1 0
1x
, xR}.
(5p) a) Artai c este lege de compoziie pe M.
(5p) b) Artai c este asociativ i aflai nN tiind c A1 A4 A9 A 2n = A55.
(5p) c) Determinai elementele simetrizabile ale lui M.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funciile f: R {1, 2}R, f(x) =23
322
2
xx
xx i g: DR, g(x) = arcsin f(x).
(5p) a) Determinai ecuaia tangentei n punctul M (0, 2
3) la graficul funciei f.
(5p) b) Determinai D domeniul de definiie al funciei g i calculai g(-1).
(5p) c) Calculai )1(3))((lim
gx
xxf .
2. Se consider funciile fn: (0, )R, fn(x) = xn ln x.
(5p) a) Calculai dxx
xfn
n
)(
.
(5p) b) Calculai dxxf
e
e
2
)(
1
1
.
(5p) c) Determinai volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei Ox a graficului funciei
g: [1, 2]R, g(x) = fn(x) /xn .
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
26
Varianta 19
Prof: Ciocnaru Viorica
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai suma tuturor numerelor naturale de dou cifre care se divid cu 7.
(5p) 2. Determinai mR pentru ca graficul funciei f: R R, f (x) = (m - 1) x2 + 3(m +1) x +
2(m+1),
s intersecteze axa Ox n dou puncte distincte.
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia iraional 3 12 x = x +1.
(5p) 4. Pentru ce valori ale lui nN are loc inegalitatea 3
nC > 6
nC ?
(5p) 5. Se consider vectorii
v 2
i (a + 2)
j i
u 3
i (a 3)
j , , cu aR. Determinai a astfel
nct vectorii
v i
u s fie coliniari.
(5p) 6. Calculai lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC tiind c C = 3
i AB = 8.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricele ApM3 (R) Ap =
1 1 2
3 1 2
2 3 1 3
p p
p p
p
, pR .
(5p) a) Cercetai dac A0 este inversabil, scriei At
1, calculai Tr (A0 +A
t1).
(5p) b) Determinai A-1
pentru p = 0.
(5p) c) Calculai
n
p
pA1
, nN.
2. Se consider polinoamele f, gR[X], f = X4 + aX3 + bX2 + 3X + 1, a,b R, g = X2 + X +1.
(5p) a) Determinai a,b R dac f(1) = 7 i f(-1) = 5.
(5p) b) Determinai a,b R dac polinomul g divide polinomul f.
(5p) c) Aflai coeficienii a i b i celelalte rdcini ale polinomului f dac acesta admite rdcina 1+
2 i conjugata ei.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funciile f: R {1, 2}R, f(x) =23
322
2
xx
xx i g: DR, g(x) = arcsin f(x).
(5p) a) Determinai ecuaia tangentei n punctul M (0, 2
3) la graficul funciei f.
(5p) b) Determinai D domeniul de definiie al funciei g i calculai g(-1).
(5p) c) Calculai )1(3))((lim
gx
xxf .
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
27
2. Se consider funcia f: (0, )R, f(x) = ln x.
(5p) a) Calculai dxxxf
e
1
)( .
(5p) b) Calculai volumul corpului determinat de rotaia n jurul axei Ox a graficului funciei
g: [1, e2] R, g(x) = f(x).
(5p) c) Dac In = dttnx
1 )(ln , t > 0, x > 1, nN*, stabilii o relaie de recuren pentru In.
Varianta 20
Prof: Ciocnaru Viorica
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinai modulul numrului complex zC, z = i
i
31
23
.
(5p) 2. Se consider funcia f: R R, f (x) = 2x -1. Calculai f(f(1)) + f(f(2))+ . f(f(12)).
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia xx 3 =2.
(5p) 4. Determinai probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea numerelor naturale impare de
dou cifre , acesta s fie divizibil cu 3.
(5p) 5. Se consider dreapta d : 2x 3y +1= 0 i punctul A(2, 1). Determinai ecuaia dreptei care trece
prin punctul A i este paralel cu dreapta d .
(5p) 6. Dac a(
,2
) i sin a =5
3, calculai ctg
2
a.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider sistemul de ecuaii
2 1
(2 1) 3 1
( 3) 2 1
x my z
x m y z
x my m z m
, mR.
(5p) a) Calculai d determinantul matricei sistemului i precizai cnd este nenul.
(5p) b) Cercetai compatibilitatea sistemului pentru m{2; 5}.
(5p) c) Rezolvai sistemul pentru m = 1.
2. Se consider mulimea M = {AxM2 (R)| Ax = 1 0
1x
, xR}.
(5p) a) Artai c este lege de compoziie pe M.
(5p) b) Artai c este asociativ i aflai nN tiind c A1 A4 A9 A 2n = A55.
(5p) c) Determinai elementele simetrizabile ale lui M.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
28
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia f: D R, f (x) = 1
1ln
x
x.
(5p) a) Determinai D domeniul de definiie al funciei f i asimpotele sale.
(5p) b) Fie Sn = f(2) + f(3) + ... + f(n). Calculai nx
S
lim .
(5p) c) Calculai )(lim xxfx
.
2. Se consider funciile f, g, h: RR, f(x) = sin x, g(x) = dttf
x
0
2 )( i h(x) = xe xf cos)( .
(5p) a) Calculai 30
)(lim
x
xg
x.
(5p) b) Determinai primitivele funciei h.
(5p) c) Dac In = dxxfxn
20 )(
, nN*, calculai I2 i stabilii o relaie de recuren pentru In.
Varianta 21
Prof: Ciocnaru Viorica
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai numerele 2012
12)1(
i
iz
i
_
z .
(5p) 2. Se consider ecuaia ,02 baxx cu x1, x2R i a, bZ. Artai c 3
2
3
1 xx Z.
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 22x+1
+ 2x-1
=132.
(5p) 4. Aflai valoarea lui aR astfel nct n binomul 11)
22
1( a , T9 s fie 112
165.
(5p) 5. Se consider punctele A(3, 2) i B(-2, 4). Determinai ecuaia mediatoarei segmentului AB.
(5p) 6. Dac tg2 a = 2, calculai cos 2a.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricea AM3 (R) A =
p p p
p p p
p p p
, pR .
(5p) a) Calculai A2 .
(5p) b) Aflai valoarea det (A I3) det (A + I3).
(5p) c) Artai c An = (3p)
n-1 A, nN*, pR i calculai A2012.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
29
2. n inelul comutativ (Z, , ), x y = x + y n i x y = xy n(x + y) + n(n + 1), x, yZ, nN
*.
(5p) a) Determinai elementul neutru al legii , pentru n = 2.
(5p) b) Rezolvai n Z Z sistemul 1x y
x y n
, nN*.
(5p) c) Determinai a, b Z, a nenul, pentru ca funcia f: Z Z, f (x) = ax + b s fie un izomorfism
ntre inelele (Z, , ) i (Z, + , ), nN*.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funciile f: (3
2, + ) R, f(x) = ln (3x - 2), g: (1, + ) R, g(x) = logx (x +1),
h: RR, h(x) = 2x2 + x - 3.
(5p) a) Calculai )(
)(lim
1 xh
xf
x.
(5p) b) Fie funcia k :DR, k(x) = )(
)(
xh
xf. Calculai k(x) i stabilii domeniul su de derivabilitate.
(5p) c) Artai c g este strict descresctoare pe (1, + ) i verificai inegalitatea log5 6 < log3 4.
2. Se consider funcia f: RR, fn(x) = xne
-x, nN*.
(5p) a) Calculai dxxf3ln
2ln
1 )( .
(5p) b) Stabilii o relaie de recuren pentru In, cu In = dxxfn )( , xR, nN* i aplicai relaia gsit
n cazul I2.
(5p) c) Calculai dttf
x
nx
0
)(lim .
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
30
Varianta 22
Prof. Cristea Maria
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1.Calculai 2010
1005
1(1 )
2i
(5p) 2.S se determine astfel nct tripletul: 3,1 2,2 3 5x x x s constituie
termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.
(5p) 3.Rezolvai ecuaia 4 2 12 0x x .
5p) 4.Se consider mulimea {1,2,3,4,5,6,7}A . S se calculeze probabilitatea ca alegnd la
ntamplare o submulime dintre submulimile nevide ale mulimii aceasta s aib toate
elementele pare.
(5p) 5.S se determine numrul real tiind c vectorii ( 3) 4 8 (15 )u m i j iu i m j sunt
perpendiculari.
(5p) 6.Determinai lungimea razei cercului circumscris triunghiului cu laturile de lungimi 6,8 ,
respectiv 10
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
(5p) 1.Fie mulimea (1,2) (2; )G i legea de compoziie * pe definit prin
ln 1* 1 ( 1)
yx y x
, oricare ar fi , .x y G .
(5p) a) S se arate c legea de compoziie * este bine definit.
(5p) b) S se arate c legea de compoziie * este comutativ.
(5p) c) S se rezolve ecuaia 1* 1 2x e , unde 1e este elementul neutru a legii de compoziie *.
2. Se consider numrul 10 2
2
ia
i polinomul 4 2, 4 9f f x x
(5p) a) S se arate c ( ) 0.f a
(5p) b) S se arate c polinomul f reductibil n [x] i n [x] i ireductibil n [x] .
(5p) c) S se calculeze 6 6 6 6
1 2 3 4a a a a , unde6 6 6 6
1 2 3 4, , ,a a a a sunt rdcinile polinomului .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funciile
2
: ( 1; ) , ( ) ln(1 ) : ( 1, ) , ( ) ln(1 ) .2
xf f x x x i g g x x x
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
31
(5p) a) S se verifice c
2
'( ) '( ) , 11 1
x xf x i g x x
x x
(5p) b) S se arate c ( ) 0 ( ), 0f x g x x
(5p) c) S se calculeze2 2 2
1 3 2 1lim(ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ))x
n
n n n
, tiind c
22 2 2 2 2 *(4 1)1 3 5 ... (2 1) 1 3 ... (2 1) , .
3
n nn n i n n
2. Se consider funciile
1
2 2002
0
: , ( ) 1 ... : , ( ) ( ) ,f f x x x x i F F x f t dt x ,
(5p) a) S se calculeze (1)f
(5p) b) S se arate c '(x) f(x)F , x
(5p) c) tiind c funcia ( )F x este bijectiv, s se calculeze 0
( )
a
g x dx , unde :g
reprezint inversa funciei ( )F x i 1 1 1
...1 2 2013
a .
Varianta 23
Prof. Cristea Maria
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1.S se calculeze 5 1 1
2 1 2 1 2i i
.
(5p) 2. S se determine x astfel nct tripletul: 3 1, 3,9x x x s constituie termenii
consecutivi ai unei progresii geometrice.
(5p) 3.Rezolvai ecuaia 10 4 2 25 0x x x .
(5p) 4. Se consider mulimea A={1,2,3,4,5,6} . S se calculeze probabilitatea ca alegnd la
ntamplare o submulime dintre submulimile nevide ale mulimii aceasta s aib cel puin 3
elemente.
(5p) 5. S se determine numrul real tiind c vectorii ( 3) 4 8 (15 )u m i j iu i m j sunt
coliniari.
(5p) 6. Determinai raza cercului circumscris triunghiului cu laturile de lungimi 7, 5, respectiv 6.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
32
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Definim pe legea de compoziie * prin * 3 6 6 14(x, y )x y xy x y
(5p) a) Artai c legea de compoziie este bine definit.
(5p) b) Demonstrai c ( ( ,*) este monoid comutativ.
(5p) c) Rezolvai ecuaia * * 11x x x .
2. Se consider ,a b i funcia polinomial 3 2( ) .f x x x ax b .
(5p) a) S se determine ,a b tiind c 1 i este rdcin a funciei f .
(5p) b) S se determine tate rdcinile funciei ( )f x tiind c 1 x este una dintre rdcinile
acesteia.
(5p) c) S se determine ,a b tiind c tiind ca funcia f are o rdcin tripl .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funciile 0: , ( )x
nf f x xe i 1( ) '( ), n , x .n nf x f x
(5p) a) S se rezolve ecuaia 2 ( ) 0f x .
(5p) b) S se calculeze *1( )lim ,
( )
n
xn
f xn
f x
(5p) c) S se determine asimptota la graficul funciei 0f ctre .
2. Se consider funcia : ( 1; ) , ( ) ln(1 )f f x x x , i irul 1( )n nI , definit prin nI
1
*
0
, .2004
n
n n
xI dx x
x
(5p) a) S se calculeze '(x)f , 1x .
(5p) b) Utiliznd metoda integrrii prin pri, s se arate c
1
*
0
1 2005 1ln ln(2004 ) ,
2004
n
nI x dx nn n
.
(5p) c) S se calculeze lim nn
nI
, unde
1
0
.1
n
n n
xI dx
x
.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
33
Varianta 24
Prof: Dobre Andrei Octavian
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1.Soluia ecuaiei (x+1)+(x+4)+(x+7)+...+(x+28)=155
(5p) 2.S se determine mulimea tuturor parametrilor reali m pentru care 2( 1) 1 0m x mx m
oricare ar fi x
(5p) 3. S se rezolve n multimea numerelor reale ecuaia ln( 1) ln( 1) 1x xe e
(5p) 5. Fie punctele A(0,2), B(4,6), C(8,10) . Daca punctul A este simetricul lui A fa de BC, aflai
lungimea segmentului AA.
(5p) 6. n triunghiul ABC avem BC=4, AC=2 si AB = 6. Dac M este mijlocul segmentului [BC] aflai
( )m BAM
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie 5 2
10 4A
, 2
1 0
0 1I
i 2{ ( ) / , ( ) }M X a a X a I a A
(5p) 1. Calculai 2A A .
(5p) 2. S se arate c ( ) ( ) ( ).X a X b X a b ab
(5p) 3. S se calculeze (0) (1) (2) ... (2014)X X X X
2. Definim pe legea de compozitie * prin 2014log (2014 2014 ) ( , )x yx y x y
(5p) a) Artai ca legea * este asociativa, dar nu admite element neutru.
(5p) b) Demonstrai c 2014 ( ) (2014 ) (2014 )y z y z , oricare ar fi ,y z
(5p)c ) Rezolvai n ecuaia 2014log 6042x x x x
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 2: ( , 1] [0, ) , ( )f f x x x x .
(5p) a) Calculai '( )f x
(5p) b) S se determine intervalele de monotonie ale funciei f
(5p) c) S se determine ecuaiile asimptotelor ctre la graficul funciei f
2. Pentru fiecare n se consider 1
2
0
1
( 1)n n
I dxx
.
(5p) a) S se arate c 0 14
4I I
(5p) b) S se arate c 22
8I
(5p) c) S se demonstreze c 2nI I , oricare ar fi , 3n n
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
34
Varianta 25
Prof: Dogaru Ion
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I ( 30 de puncte)
5p 1. Rezolvai ,n mulimea numerelor reale,ecuaia 2 1 3 26
3 2 1 3
x x
x x
.
5p 2. S se determine a > 0 tiind c termenul din mijloc al dezvoltrii
12
3
1a
a
este egal
cu 2012.
5p 3. S se determine ecuaia medianei duse din vrful A al triunghiului ABC tiind c
A(3,2),
B(-2,3) i C(6,-5).
5p 4. S se calculeze 0 0 01 2 89tg tg tg .
5p 5. Fie mulimea { 1, 2, 3,0}A i o funcie bijectiv f : A A. S se calculeze suma
f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3).
5p 6. Rezolvai ,n mulimea numerelor reale,ecuaia 2lg 7lg 30x x .
SUBIECTUL al II-lea ( 30 de puncte)
1. Pentru xR, se consider matricea
4 7 0
2 4 0
0 0
A
x
5p a) Rezolvai ecuaia det A = 2012.
5p b) Pentru 2x calculai ,nA nN*.
5p c) Determinai numerele reale t pentru care det(t2A) = t
2detA, oricare ar fi xR.
2. Se consider a,b R i polinomul f = 2X4 + 9X
2 + aX + b care are rdcinile complexe
x1, x2, x3, x4
5p a) S se determine a i b tiind c f are rdcina i .
5p b) S se calculeze 2 2 2 2
1 2 3 43 2 3 2 3 2 3 2x x x x .
5p c) S se determine a i b tiind c f are toate rdcinile reale.
SUBIECTUL al III-lea ( 30 de puncte)
1. Se consider funcia f : R R , 3 3 2( ) 3 4,f x x x x R .
5p a) S se determine asimptotele graficului funciei f .
5p b) S se arate c 2 2( ) ( ) 2 ,f x f x x x x R\{-2,1}
5p c) S se determine derivatele laterale ale graficului funciei f n punctual x0 = - 2
2. Se consider funcia f : R R, f(x) = x3 3x + 2.
5p a) S se calculeze 3
2
( )
1
f xdx
x .
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
35
5p b) S se calculeze 2
0
1
13
( )
xdx
f x
.
5p c) S se determine valorile fmin , respectiv fmax .
Varianta 26
Prof: Dogaru Ion
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I ( 30 de puncte)
5p 1. Calculai 2012 20121 (1 )i i .
5p 2. Rezolvai, n mulimea numerelor reale, ecuaia 11 4 2x x .
5p 3. n mulimea [0,2] rezolvai ecuaia 2 2sin cos cosx x x .
5p 4. Se consider mulimile A = {1,2,3,4} i B = {1,2,3}. S se determine numrul
funciilor strict cresctoare f : A B.
5p 5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele A(3,-2), B(-5,4). S se
determine ecuaia mediatoarei segmentului [AB].
5p 6. Fie 1n n
a
o progresie aritmetic. tiind c a6 + a16 = 2012, calculai a3 + a19 .
SUBIECTUL II ( 30 de puncte)
1. Pentru mR se consider matricea M =
2 1
2 1 3 1
3 1
m
m
m m
i punctele A(m,2), B(2m-1,3),
C(m,m-3).
5p a) Determinai mR pentru care rangM = 2. 5p b) Determinai mR pentru care punctele A,B,C sunt necoliniare. 5p c) Pentru m[1,5] determinai valoarea maxim a ariei triunghiului ABC.
2. Se consider: mulimea G = (-1,1), legea de compoziie dat prin , ,1
x yx y x y
xy
G i
funcia f : G R ,1
( )1
xf x
x
.
5p a) Artai c G este parte stabil fa de legea de compoziie . 5p b) Artai c ,x y G, ( ) ( ) ( )f x y f x f y .
5p c) tiind c legea de compoziie este asociativ, s se calculeze 1 1 1
2 3 9 .
SUBIECTUL III ( 30 de puncte)
1. Se consider funcia f : RR, f(x) = x3- 2x + 5arctg x.
5p a) Artai c funcia f este strict cresctoare pe R.
5p b) Artai c funcia f este bijectiv.
5p c) Determinai mR pentru care ( )
limmx
f x
x exist, este finit i nenul.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
36
2. Se consider irul (In)n>0 dat de : In = 1
0,n xx e dx n N
*.
5p a) S se calculeze I2 .
5p b) S se demonstreze c irul (In)n>0 este convergent.
5p c) S se calculeze lim nn
nI
Varianta 27
Prof: Dogaru Ion
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I ( 30 de puncte)
5p 1. S se calculeze partea ntreag a numrului 2( 5 11) .
5p 2. Rezolvai,n mulimea RR, sistemul 2 2 13
7
x y xy
x y
.
5p 3. S se determine xN, x > 1 astfel nct 2 22 1524 xx xC A .
5p 4. S se determine probabilitatea ca alegnd un element al mulimii divizorilor naturali ai
numrului 2012, acesta s fie divizibil cu 2.
5p 5. S se calculeze modulul vectorului u v tiind c 7 4u i j i 3v i j .
5p 6. S se calculeze tgx , tiind c 3
( , )2 4
x
i sin2x = 4
5 .
SUBIECTUL II ( 30 de puncte)
1. Fie matricele A =
1 2 1
2 2 0
1 4 3
i B =
2
7
1
.
5p a) Calculai rangul matricei A*, adjuncta matricei A.
5p b) Artai c A3 = 10A.
5p c) Rezolvai ecuaia AX = B, unde XM3,1(C)
2. Se consider polinomul f C[X], 100 100( ) ( )f X i X i ,care are forma algebric
f = 100 99100 99 1 0...a X a X a X a .
5p a) S se calculeze 100 99a a .
5p b) S se determine restul mpririi polinomului f la 2 1X .
5p c) S se demonstreze c f are toate rdcinile reale.
SUBIECTUL III ( 30 de puncte)
1. Se consider functia f : R R, dat prin f(x) = - x3 + 5x
2 3x + m.
5p a) Determinai intervalele de monotonie ale funciei f.
5p b) Determinai intervalele de concavitate ale funciei f.
5p c) Determinai valorile reale ale parametrului m pentru care ecuaia f(x) = 0 are trei
rdcini reale distincte.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
37
2. Pentru fiecare nN*, se consider funcia nf : [0,1] R, nf (x) = (1 - x)
n.
5p a) S se calculeze aria subgraficului funciei fn .
5p b) S se arate c 1
0
1( ) ,
( 1)( 2)nxf x dx n
n n
N
* .
5p c) S se calculeze 1
0lim ( ) nn
xf dx
n.
Varianta 28
Prof. Gaga Loghin
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Fie 1 3
2 2i . Calculai 3
(5p) 2. Fie funcia 2: , 4 3 1 5,f f x x m x m . S se determine cel mai mare
m astfel nct funcia s aib un maxim egal cu 6.
(5p) 3. Rezolvai, n , ecuaia 23 4 15 2x x x
(5p) 4. Calculai probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea 3 , 100A n n n , acesta s fie raional.
(5p) 5. Se consider punctele 5,6 , 1, 2 , 6,5A B C . Determinai coordonatele vectorului
AB BC
(5p) 6. Calculai produsul 0 0 0 0cos1 cos2 cos3 cos179P .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea
1 1 1
1 2 3
3 2 1
A
. Pentru orice x se definete matricea 3V x A xI i
funcia polinomial : , detf f x V x .
(5p) a) Determinai rangul matricei A ;
(5p) b) Rezolvai, n , ecuaia 1f x
(5p) c) Exist o matrice 3,1
x
B y M
z
, cu proprietatea
1
0
0
AB
? Justificai.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
38
2. n , se definesc legile de compoziie 3x y x y i 3 3 3x y x y
(5p) a) n , s se rezolve ecuaia x x x x .
(5p) b) S se determine a astfel nct relaia 3x a s aib loc, oricare ar fi x, ntreg.
(5p) c) Rezolvai sistemul 1I
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia 2 1
: \ 1 ,1
x xf f x
x
(5p) a) S se calculeze , \ 1f x x
(5p) b) S se calculeze
1
1lim
1x
f x f
x
(5p) c) S se studieze concavitatea funciei f x , pe intervalul 1,
2. Se consider
2
ln ,
e
n
n
e
I x x dx n
(5p) a) S se calculeze 1I
(5p) b) S se arate c 2
1, , ,n nI I x e e n
(5p) c) S se calculeze o formul de recuren pentru integrala nI
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
39
Varianta 29
Prof. Gaga Loghin
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se arate c numrul 3
1 3i
(5p) 2. S se determine a astfel nct ecuaia 2 3 1 3 0ax a x a are soluii reale.
(5p) 3. S se arate c ecuaia 2 3log log 16 1x are soluie un numr ntreg, ptrat perfect. (5p) 4. Dup o reducere de 20% i o scumpire cu 15%, preul unui produs devine 575 lei. Aflai preul
iniial.
(5p) 5. n reperul cartezian xOy, se consider punctele 1,2 , 5,6 , 1,1A B C . Determinai
ecuaia nlimii din C, n acest triunghi.
(5p) 6. Determinai valoarea maxim a expresiei sin cos2 2
x xE x
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider sistemul 1
1
x y z a
x ay z
x y az
(5p) a) S se scrie matricea A, a sistemului i s se calculeze det A .
(5p) b) S se calculeze rangul matricei A, dup valorile parametrului real, a. Poate fi rangA=2?
(5p) c) Pentru 1a , s se rezolve sistemul.
2. Se consider inelul 5 , ,Z , unde 5 0,1,2,3,4Z
(5p) a) S se rezolve ecuaia 2 4 3x , n 5Z .
(5p) b) S se calculeze, n 5Z , determinantul
1 3 4
2 2 1
3 1 3
(5p) c) S se rezolve, n 5 , , sistemul 3 4
2 3
x y
x y
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
40
1. Se consider funcia 2 2
: \ 1 ,2
x xf f x
x
(5p) a) Pentru \ 2x , s se calculeze f x
(5p) b) S se determine ecuaia asimptotei ctre la graficul funciei f
(5p) c) S se determine coodonatele punctelor de extrem ale graficului funciei f i punctele de
inflexiune, dac exist.
2. Se consider irul 1n n
I
,
1
4
01
n
n
xI dx
x
(5p) a) Calculai 4 1
nxdx
x , pentru n=3
(5p) b) Calculai 1I i 3I .
(5p) c) Demonstrai c 2
ln 2,
4 8I
Varianta 30
Prof. Gaga Loghin
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Fie ecuaia 2 1 0x mx , m , cu soluiile 1x i 2x . S se determine parametrul real m,
astfel nct 2 2
1 2 1 2 2x x x x
(5p) 2. Se consider irul 2 1,nx n n . Ct trebuie s fie valoarea lui n, astfel nct s existe
relaia 2
1 2 3 2014nx x x x
(5p) 3. Determinai soluiile ecuaiei 3 sin cos 1, 0,2x x x
(5p) 4. S se determine TVA-ul adugat unui produs, tiind c preul de vnzare (preul cu TVA) este
372 lei, iar TVA-ul este 24% din preul iniial al produsului.
(5p) 5. S se determine a astfel nct vectorii 1u ai a j i 3 3 1v i a j s fie
perpendiculari.
(5p) 6. S se calculeze suma 2 0 2 0 2 0sin 1 sin 2 sin 90S
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
41
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricea 3
0 0 0
1 0 0
1 1 0
A M
(5p) a) S se calculeze 3A
(5p) b) S se determine rangul matricei 3
tA A I
(5p) c) S se determine inversa matricei 3A I
2. Se consider polinomul 4 3 ;f X aX X b .
(5p) a) S se determine ,a b , astfel nct polinomul f s fie divizibil cu polinomul
2 1g X X .
(5p) b) S se determine polinomul f, tiind c una dintre rdcinile acestuia este 11 3
2 2x i .
(5p) c) Pentru 4a , folosind polinomul f determinat la b), s se determine 2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 2 1
: 0, ,1
x xf f x
x
.
(5p) a) S se studieze monotonia funciei f.
(5p) b) S se arate c funcia f este convex pe 0,
(5p) c) S se arate c, pentru
, 1 3, ,2 2
f a f ba ba b f ab f
2. Se consider irul 1
31
0
,1
n
n nn
xI I dx
x
(5p) a) S se calculeze 2I
(5p) b) S se arate c irul 1n n
I
este strict descresctor
(5p) c) S se calculeze lim nn
I
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
42
Varianta 31
Prof: Gaga Loghin.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai produsul numerelor complexe 2 3 20i i i i .
(5p) 2. Verificai dac funcia 3: , 2012f f x x x este injectiv
(5p) 3. S se rezolve, n mulimea numerelor reale, ecuaia 116 5 4 21 0x x
(5p) 4. S se determine probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de trei
cifre,
acesta s aib exact dou cifre egale.
(5p) 5. n sistemul de axe de coordonate xOy, se consider punctele: 2,5 , 3,4 , 7, 2A B C .
Scriei ecuaia medianei corespunztoare laturii BC
(5p) 6. Fie ,2
a
i 4
cos5
a . Calculai 2
atg
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se consider matricea
1 1 1
1 0 ,
1 1
M m m
m
i sistemul de ecuaii
3
1 , , ,
3
x y z
mx y x y z
x y mz
(5p) a) S se calculeze determinantul matricei M
(5p) b) S se rezolve sistemul, tiind c m=1
(5p) c) S se studieze n ce condiii sistemul este incompatibil
2. Fie mulimea ,M a o mulime de numere reale i legea de compoziie, definit pe ,
2 4 4 5x y xy x y a
(5p) a) S se arate c, pentru orice 2a , mulimea G este parte stabil a lui n raport cu operaia
.
(5p) b) S se determine a, tiind c ,G este grup abelian
(5p) c) S se arate c grupurile ,G i , sunt izomorfe prin funcia
: , 2 4f G f x x
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 2
2
1: ,
1
xf f x
x
.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
43
(5p) a) S se calculeze f x i f x
(5p) b) S se determine intervalele de monotonie i cele de convexitate ale funciei f.
(5p) c) Fie 1
: ,g g x f x fx
. S se calculeze
2 2011 201320122
limx
g x g x g x x
x
2. Se consider irul 1
20
0
,1
n
n nn
xI I dx
x
(5p) a) S se calculeze 0I i 1I
(5p) b) S se arate c
1 1, 2
2 1 2 1nI n
n n
(5p) c) S se calculeze 1
lim3
nn
nI
Varianta 32
Prof: Gaga Loghin.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se determine primul termen al progresiei geometrice 1 3,7, ,28,b b
(5p) 2. Fie funcia 5: 0, , 5 logxf f x x . S se determine 1f f
(5p) 3. Se consider dezvoltarea binomial
9
4 20122012 , 0x xx
. S se dedetermine termenul
liber al dezvoltrii.
(5p) 4. Se consider mulimea M a tuturor funciilor definite pe A ={2010, 2011, 2012}cu valori n
B={1, 2, 3}. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd o funcie din mulimea M, aceasta s fie
injectiv .
(5p) 5. Se consider punctele A(-2,3), B(3,m), C(2,4)i D(n,5). S se determine m,n R astfel nct patrulaterul ABCD s fie paralelogram .
(5p) 6. Fie ABC un triunghi, cu tgA=2, 8 5 3
11tgB
. S se determine msura unghiului C
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Fie matricea
1 1 0
0 0 1
0 1 0
A
, de ordin 3, cu elemente din mulimea numerelor reale.
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
44
(5p) a) S se verifice dac 3 2
3A A A I
(5p) b) S se arate c 2 2
3, , 3n nA A A I n N n
(5p) c) S se arate c suma elementelor matricei An este n+3
2. Fie polinomul 3 2 , ,p X X aX X b a b i rdcinile 1 2 3, ,x x x
(5p) a) S se afle rdcinile polinomului p, pentru a=b=1
(5p) b) S se determine a i b, tiind c o rdcin a polinomului este x i .
(5p) c) tiind c b=1, s se determine a tiind c polinomul admite o rdcin raional
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 3
: 3,3 , ln3
xf f x
x
.
(5p) a) S se calculeze f x i s se determine intervalele de monotonie
(5p) b) S se determine asimptotele funciei f
(5p) c) S se calculeze 1
limx
xfx
2. Se consider irul 1
20
0
ln 1, ,
1
n
n nn
xI I dx n
x
(5p) a) S se calculeze 0I .
(5p) b) S se studieze monotonia irului
(5p) c) Folosind, eventual relaia ln 1 t t , s se arate c lim 0nn
I
Varianta 33
Prof. Ionescu Maria
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai suma tuturor numerelor naturale mai mici dect 100 care sunt divizibile cu 5.
(5p) 2. S se rezolve ecuaia 2 13 3 3 117x x x .
(5p) 3. Calculai numrul termenilor raionali din dezvoltarea 20
31 2 .
(5p) 4. S se determine probabilitatea ca, alegnd un numr de trei cifre cu elemente din mulimea
{0,1,2,3}, acesta s fie numr par.
(5p) 5. S se determine numrul real m astfel nct dreptele 1 :3 2 5 0d x y i
2 : 4 2 0d x my s fie paralele.
(5p) 6. Calculai lungimea medianei din A corespunztoare triunghiului ABC determinat de punctele
A(4,3), B(2,5) i C(-2,-1).
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
45
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider punctele A(3,2) B(1,5) i C(-n,n), unde *n N
(5p) a) Pentru n=1 s se scrie ecuaia dreptei AC;
(5p) b) S se demonstreze c punctele A, B, C nu pot fi coliniare, *n N ;
(5p) c) S se determine *n N astfel nct aria triunghiului ABC s fie 10.
2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie:
6 5 5, ,x y xy x y x y R
(5p) a) S se demonstreze asociativitatea legii de compoziie;
(5p) b) S se determine simetricul lui 2 n raport cu legea de compozitie * ;
(5p) c) S se rezolve ecuaia ,x x x x x R
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 3 2: , ( ) 3 2f R R f x x x
(5p) a) Calculai
1lim
1x
f x
x ;
(5p) b) S se determine punctele de extrem local ale funciei f ;
(5p) c) Determinai numrul soluiilor reale ale ecuaiei ,f x m dac 2,2m .
2. Se consider irul *n n NI definit prin 1
*
0
,2014
n
n
xI dx n N
x
(5p) a) Calculai 1I
(5p) b) S se arate c irul *n n NI verific relaia *
1
12014 ,
1n nI I n N
n
(5p) c) S se calculeze lim nn
nI
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
46
Varianta 34
Prof. Ionescu Maria
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se calculeze modulul numrului complex 2 101 ...z i i i .
(5p) 2. S se determine m R astfel nct 2 9 0,x mx x R .
(5p) 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2 4 3 1x x x .
(5p) 4. S se determine probabilitatea ca, alegnd un element al mulimii A={0,1,2,...,10}, acesta s
verifice inegalitatea ! 100n .
(5p) 5. Se consider dreptele de ecuaii 1 : 2 3 5 0d x y i 2 : 6 1 0d ax y .S se determine
numrul real a astfel nct drepetele s fie perpendiculare.
(5p) 6. S se calculeze sin 75 sin15 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider sistemul de ecuaii :
1
2,
3
x y mz
x my z m R
mx y z
.
(5p) a) S se determine m R pentru care detrminantul matricei este nul;
(5p) b) Pentru m=0 s se rezolve sistemul de ecuaii;
(5p) c) S se discute n funcie de m R rangul matricei sistemului.
2. Se consider polinomul 4f Z X , 3f X aX b
(5p) a) S se determine numrul polinoamelor f de aceast form;
(5p) b) Pentru 2a b
s se determine restul mpririi polinomului f la polinomul 2X
;
(5p) c) Pentru 1b
s se determine 4a Z astfel nct polinomul f s nu admit rdcini n 4Z X
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia : / 2014 , .2014
xf R R f x
x
(5p) a) S se demonstreze c f este strict descresctoare pe intervalul ,0
(5p) b) S se determine asimptotele graficului funciei f ;
(5p) c) S se calculeze limx
xf x
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
47
2. Se consider funciile : 0, , ln 1f R f x x i : 0, , lng R g x x x
(5p) a) S se arate c funcia g este o primitiv a funciei f ;
(5p) b) Calculai 1
e
f x g x dx
(5p) c) S se arate c 1
1 2 1
e
e f x dx e
Varianta 35
Prof. Ionescu Maria
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai 2
31
4
log 2 6
.
(5p) 2. S se determine funcia de gradul al doilea :f R R care este tangent la axa OX i trece
prin punctele 0, 4A i 1, 1B .
(5p) 3. S se rezolve ecuaia 2 2lg 20lg 24 0x x .
(5p) 4. S se calculeze probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de trei
cifre, acesta s aibe produsul cifrelor egal cu 6.
(5p) 5. Calculai lungimea nlimii din C a triunghiului ABC determinat de punctele 3,0A ;
0,4B i 3,4C .
(5p) 6. tiind c1
sin2
x , s se calculeze cos2x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricele 2 0
1 4A
i 21 0
0 1I
(5p) a) S se arate c 2
2 26 8A A I O ;
(5p) b) S se determine matricea 2X M C astfel nct A X X A
(5p) c) S se determine numrul soluiilor ecuaiei 2Y A , n mulimea 2M C
2. Se consider polinomul f R X , 4 22014 2013f X X
http://www.mateinfo.ro/
-
100 Variante BAC 2014 - www.mateinfo.ro
+100 DE VARIANTE PROPUSE PENTRU BAC MATEMATIC M1 - 2014 WWW.MATEINFO.RO
48
(5p) a) S se calculeze 1 2 3 4x x x x ;
(5p) b) S se determine rdcinile reale ale polinomului f ;
(5p) c) Calculai 1 2 3 42 2 2 2x x x x
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 2: , ln 1f R R f x x (5p) a) S se studieze monotona funciei f .
(5p) b) S se determine ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul de abscis 0 1x , situat pe
graficul funciei f .
(5p) c) S se determine punctele de inflexiune ale graficului funciei f .
2. Se consider funcia 2: , 2014f R R f x x
(5p) a) Calculai 102
11
f x dx ;
(5p) b) S se arate c
11
2
1
45ln
2015
xdx
f x ;
(5p) c) S se arate c orice primitiv F a funciei f este strict cresctoare pe R.
Varianta 36
Prof. Isofache Ctlina Anca
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai partea imaginar a numrului: 20141 i .
(5p) 2. Rezolvai n RxR sistemul de ecuaii:
3
933
yx
yx.
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia: 2
52loglog 2 xx .
(5p) 4. Calculai numrul funciilor strict monotone 6;5;4;3;2;14;3;2;1: f .
(5p) 5. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia: 12cossin2 xx .
(5p) 6. Calculai aria triunghiului ABC, dac A(1;2);B(-1;-2) i C(0;-2).