8.1 introducere - erasmus pulse · introducerii unor erori de cuantizare suplimentare la conversia...

Prelucrarea numerica a semnalelor. Capitolul 8 Silviu Ciochina

1

8. SISTEME MULTIRATĂ

8.1 Introducere

În multe aplicaţii practice privind prelucrarea şi transmiterea

numerică a semnalelor apare necesitatea modificării (conversiei) frecvenţei de

eşantionare. Vom denumi "sisteme multirată" acele sisteme de prelucrare

numerică a semnalelor în care se lucrează cu mai multe frecvenţe de

eşantionare.

Conversia frecvenţei de eşantionare poate fi realizată în principiu pe două

căi:

-trecerea semnalului discret printr-un convertor numeric-analog, iar după o

eventuală filtrare, reeşantionarea cu noua frecvenţă de eşantionare şi conversia

analog-numerică;

-modificarea frecvenţei de eşantionare operând numai asupra semnalelor

discrete în timp.

Prima metodă are avantajul că permite conversia în orice raport a

frecvenţei, dar şi dezavantajul apariţiei unor distorsiuni ce apar la reconstituirea

semnalului analogic în urma conversiei numeric-analogice, precum şi al

introducerii unor erori de cuantizare suplimentare la conversia analog-numerică.

În cele ce urmează ne vom ocupa numai de al doilea procedeu. Notând cu

Tx=1/Fx şi Ty=1/Fy perioadele de eşantionare la intrarea, respectiv la ieşirea

sistemului, vom avea în vedere următoarele situaţii:

-reducerea frecvenţei de eşantionare (decimare),

xy MTT = , xy FM

F 1= , N∈M (1)

-mărirea frecvenţei de eşantionare (interpolare),


2

xy TL

T 1= , xy LFF = , N∈L (2)

-modificarea fracţionară a frecvenţei de eşantionare

xy TLMT = , xy F

MLF = , N∈LM , (3)

8.2 Reducerea frecvenţei de eşantionare (decimare)

Decimarea reprezintă procesul reducere a ratei de eşantionare conform

relaţiilor:

xy MTT = , xy FM

F 1= , N∈M . (4)

Vom defini pentru început un operator de reducere a frecvenţei de eşantionare, pe

care-l vom numi decimator elementar, prin relaţia:

( ) ( )nMxny = (5)

Fig. 1

Pentru acesta vom utiliza notaţia simbolică din figura 1.

Caracterizarea în domeniul timp a decimatorului elementar este ilustrată

în figura 2, pentru o secvenţă ( )nx dată şi M=3.

Fig. 2

( )ny

xy MTT =

( )nx

xTM

( )nx ( )ny

n n

2 100 1 3 4 5 6 7 8 9 11 0 1 2 3 4


3

Să găsim relaţia dintre spectrele celor două semnale.

Reeşantionarea unui semnal discret în timp

Vom considera mai întâi un semnal ( )nv , având aceiaşi frecvenţă de

eşantionare ca şi ( )nx , definit prin relaţia: ( ) ( ) =

=restin ,0

, mMnnxnv

El este reprezentat în figura 3a.

Se poate considera că ( )nv provine din înmulţirea secvenţei ( )nx cu

secvenţa "delta periodic":

( ) ( ) ( )nnxnv Mδ= (6)

unde

( ) ( )∑∞

−∞=−=

mM mMnn δδ (7)

este reprezentat în figura 3b, pentru M=3.

Fig. 3

Semnalul ( )nv poate fi privit ca provenind din ( )nx printr-un proces de

reeşantionare, cu o perioadă xy MTT = .

Semnalul periodic ( )nMδ se poate reprezenta cu ajutorul seriei Fourier

discrete:

( ) ( ) nkM

M

kM WkT

Mn −

−

=∑=

1

0

~1δ , M

jM eW

π2−

= (8)

unde

( )n3δ

n n

0 3 6 9 12 0 3 6 9 12

1

a). b).

( )nv

00


4

( ) ( ) ( ) 1~ 1

0

1

0=−== ∑ ∑∑

−

=

∞

−∞=

−

=

M

n

nkM

m

M

n

nkMM WmMnWnkT δδ , k=0,1, …, M-1 (9)

Deci

( ) ∑−

=

−=1

0

1 N

k

nkMM W

Mnδ (10)

Utilizând această exprimare a secvenţei "delta periodic" (sau "pieptene")

se obţine:

( ) ( )∑−

=

−=1

0

1 M

k

nkMWnx

Mnv (11)

Transformata Z a acestui semnal este

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑ ∑∑−

=

∞

−∞=

−−∞

−∞=

−−

=

−∞

−∞=

− ===1

0

1

0

11 M

k n

nnkM

n

nM

k

nkM

n

n zWnxM

zWnxM

znvzV (12)

sau

( ) ( )∑−

==

1

0

1 M

k

kM zWX

MzV (13)

Trecând pe cercul de rază unitate, rezultă transformata Fourier

∑−

=

−

=

1

0

21)(

M

k

kMxj

xj eXM

eVπ

ωω (14)

unde ωx=ΩTx, având în vedere că v(n) este eşantionat cu frecvenţa Fx.

Se constată că spectrul semnalului x(n), reeşantionat cu δM(n), v(n), se

obţine prin repetarea la intervale de 2π/M a spectrului secvenţei iniţiale x(n).

Ne interesează proprietăţile spectrale ale semnalului y(n). Să observăm

că v(n) şi y(n) au aceleaşi eşantioane nenule, dar diferă frecvenţa de

eşantionare:

( ) ( )nMvny = (15)

Caracterizarea în domeniul transformatelor Z.

Transformata Z a secvenţei de iesire y(n) este


5

( ) ( ) ( )∑ ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−∞

−∞=

−

====

n n

MMn

n

n

n zVznvznMvznyzY1

)(

(16)

unde

( ) ( ) nvzV Z= (17)

deci

∑−

=

=

1

0

11)(M

k

MkM zwX

MzY (18)

Caracterizarea în domeniul frecvenţă.

Pe cercul de rază unitate,

yTjyj eez Ω==

ω (19)

se găseste:

( ) ( ) ∑−

=

−Ω

Ω

==

1

0

21 M

k

Mk

MyT

jyjyTj eX

MeYeY

πω (20)

sau

( ) ( )∑−

=

−

=

1

0

121 M

k

Mkyjyj eX

MeY

πωω (21)

sau

( ) ( )∑−

=

Ω

−ΩΩ =

=

1

0

21 M

k

xTjMkxTj

yTj eVeXM

eYπ

(22)

În figura 4 sunt reprezentate spectrele în frecvenţe nenormate, iar în figura

5 în frecvenţe normate, având în vedere frecvenţa de eşantionare corespunzătoare

fiecărui semnal. S-a luat M=3.


6

( )xTjeX Ω

MΩxTπ

xTπ2 Ω

( ) ( )xTjyTj eVeY ΩΩ =

ΩxTMπ21

xTMπ22

xTπ2

Fig. 4

( )xjeX ω

( )xjeV ω

( )yjeY ω

Mxω π

π

π

π2 xx TΩ=ω

π2

π2

Mπ2

Mπ22 xx TΩ=ω

Myω Myωπ −2yy TΩ=ω

Fig.5

Observaţii

• În frecvenţe nenormate, spectrele lui v(n) şi y(n) coincid, ceea ce era de

altfel de aşteptat, având în vedere că cele două secvenţe conţin aceleaşi

eşantioane nenule.

• În spectrele lui v(n) şi y(n) apar în plus faţă de x(n) termenii pentru

k=1,2,...,M-1.


7

• În frecvenţe normate apar diferenţe între spectrele lui v(n) şi y(n) ca

urmare a frecvenţelor diferite de normare. Programele uzuale reprezintă spectrele

de obicei în frecvenţe unghiulare normate, între -π şi π. În consecinţă, în spectrul

lui v(n) se vor putea observa termenii suplimentari, în timp ce în spectrul lui y(n)

se constată doar o lărgire de M ori.

O problemă interesantă este aceea a posibilitaţii refacerii semnalului

analogic iniţial x(t) din semnalul y(n).

Prin eliminarea unui număr de eşantioane poate avea loc o pierdere de

informaţie. Aceasta este efectivă dacă nu mai este posibilă refacerea semnalului

analogic iniţial din y(n). Lucrul acesta se întâmplă dacă se suprapun zonele

spectrale corespunzătoare lui k=0 şi k=1, caz în care rezultă un fenomen de aliere.

Evident, pentru a nu apărea un asemenea fenomen, este necesar ca

yMyM ωπω −≤ 2 (23)

(vezi figura 5), unde

yMyM TΩ=ω (24)

iar ωM reprezintă frecvenţa maximă din spectrul semnalului analogic.

Rezultă

πω ≤yM ; xy

M TMTππ 1

=≤Ω (25)

deci semnalul trebuie să îndeplinească şi condiţiile teoremei eşantionării pentru

noua frecvenţă de eşantionare .

Pentru a avea garanţia că reducerea ratei de eşantionare nu conduce la

un fenomen de aliere, decimatorul elementar va fi precedat de un filtru cu

frecvenţa de tăiere

xyc MTT

ππ==Ω ;

Mxcπ

ω = . (26)

Un circuit complet de decimare va avea deci schema din figura 6, în care

este reprezentată şi caracteristica de frecvenţă a filtrului.


8

Mπ

Mπ

−

( )nwFTJ M↓

( )nx ( )ny

xT xT yT xω

( )xjeH ω

Fig.6

Relaţiile intrare/ieşire pentru schema din figura 6 sunt:

( ) ( ) ( )∑∞

−∞=−=

kknhkxnw (27)

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=−==

kkMnhkxMnwny (28)

Operatorul de decimare nu este invariant în timp, deoarece, pentru o

secvenţă de x(n), există M posibilităţi de calcul a ieşirii; întârzierea secvenţei de

intrare cu un tact nu conduce la întârzierea cu un tact a secvenţei de ieşire. El este

totuşi un operator liniar.

4.3 Mărirea frecvenţei de eşantionare (interpolare)

Operatorul elementar de interpolare.

Vom defini mai întâi un operator de mărire a ratei de eşantionare prin

introducerea de eşantioane nule, pe care îl vom numi interpolator elementar,

=Ν∈= kkLn

Lnx

ny,,

restn i,0)( (29)

Reprezentarea simbolică a acestui operator este dată în figura 7, iar în figura 8

este exemplificată acţiunea sa pentru L=3 şi o formă particulară de semnal.


9

( )nx

xT

( )ny

xy TL

T 1=

L

Fig. 7

( )nx ( )ny

n n

Fig. 8

Spectrul semnalului y(n)

Transformata Z a secvenţei y(n) este:

)()()()( LzXzkxzLnxznyzY

k

Lkn

kLknx

n =⋅⋅

=⋅= ∑∑∑

∞

−∞=

⋅−=−∞

−∞=⋅=

∞

−∞=

− (30)

În domeniul frecvenţă,

=

=

=

xTjΩyTjΩ

xjyjLyj

eXeY

eXeXeYωωω

(31)

Cum era de aşteptat, cele două secvenţe, având aceleaşi eşantioane nenule,

au acelaşi spectru (figura 9).


10

( )xTjeX Ω

MΩ

xTπ2

xTπ4

xTπ6

( )yTjeY Ω

yTLπ1

yTLπ21

yTLπ22

yTπ2

Ω

Ω

Fig. 9

În figura 10 sunt reprezentate aceleaşi spectre, dar în frecvenţe normate.

Ca urmare a normărilor la frecvenţe diferite, spectrele nu mai coincid.

( )xjeX ω

π2 π4 π6Mxωxω

( )yjeY ω

π2Lπ2

Lπ22 π4 π6

yω

Fig. 10

Se constată o comprimare a spectrului ca urmare a trecerii prin sistem. În

banda de bază a semnalului de ieşire apar L-1 termeni spectrali suplimentari,

centraţi pe frecvenţele ( )L

LLL

πππ 21,,22,2−L .

Aceştia poartă numele de spectre imagine.


11

Spre deosebire de cazul decimării, nu pot apare fenomene de aliere, dacă

eşantionarea iniţială a fost făcută corect.

Structura completă a circuitului de interpolare

Interpolarea cu zerouri, realizată de operatorul prezentat până aici, nu

prezintă însă un interes practic deosebit. Ar fi de dorit ca eşantioanele x(1), x(2),..,

x(L-1) să fie refăcute la valorile corecte ))1((),...,2(),( yayaya TLxTxTx − . Cu alte

cuvinte, am dori să refacem toate eşantioanele semnalului analogic ( )txa ,

eşantionat cu perioada Ty.

Acestea corespund unui spectru periodic, cu perioada 2π/Ty, obţinut din

spectrele din figura 9 prin eliminarea termenilor centraţi pe

( )yyy LT

LLTLT

πππ 21,,22,2−L (32)

Dar un asemenea spectru poate fi simplu obţinut cu ajutorul unui filtru

trece jos care să elimine spectrele imagine. Caracteristica filtrului este

reprezentată punctat în figura 9.

Rezultă că schema completă a interpolatorului este cea din figura 11a, iar

în figura 11b este dată caracteristica amplitudine-frecvenţă a filtrului.

L↑ FTJ( )nx

xT yT yT

( )nw ( )ny

( )yjeH ω

( )yjeH ω Lπ

−Lπ

yω

a) b)

G

Fig. 11

Relaţia intrare-ieşire se poate exprima prin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞==

−⋅=−⋅

=−⋅=

rkr

rLkrLnhrxknh

Lkxknhkwny (33)


12

O altă exprimare a acestei relaţii se poate obţine pornind de la schimbarea

de variabilă

lLnr −

= (34)

unde prin a s-a notat partea întreagă a lui a.

Se observă că

lLnlLLLnnrLn L +=+

−=− (35)

unde

LLnnLnn L

−=⋅= mod (36)

Rămâne

( ) ( )

−

+= ∑

∞

−∞=l

LnxnlLhny

lL (37)

Dar ( ) ( )Ln nlLhlh += reprezintă răpunsul la impuls al unui filtru

variabil periodic în timp, cu perioada L. Deci

( ) ( )∑∞

−∞=

−

=

ln l

Lnxlhny (38)

Calculul câştigului G al filtrului de interpolare

Vom determina câştigul impunând ca ( ) ( )nLynx = la un moment de timp

arbitrar ales. Luând, de exemplu, n=0,

( ) ( ) Ω== ∫∫−

Ω

−

d)(2

d210

xT

xT

xTjxx

xj eXTeXx

π

π

π

π

ω

πω

π(39)

( ) ( ) ( ) yyjyj eWeHy ω

πω

π

π

ω d210 ⋅= ∫

−

(40)

După cum s-a arătat,

)()( xjyj eXeW ωω = (41)

aşa încât


13

( ) ( )

==≤Ω≤−Ω

otherwise,0

for,xTxT

GyTjyj eHeHππ

ω (42)

şi

( ) Ω= ∫−

Ω d)(2

0xT

xT

xTjy eGXT

y

π

ππ(43)

Rezultă

yx GTT = (44)

LTTG

y

x == (45)

4.4 Modificarea fracţionară a ratei de eşantionare

Să presupunem că dorim să modificăm frecvenţa de eşantionare într-un

raport raţional

N,, ∈= MLML

FF

x

y (46)

În principiu, lucrul acesta este posibil, utilizând un cicuit de interpolare,

urmat de unul de decimare (figura 12).

Filtrul interpolatorului va trebui să aibă câştigul L în banda de trecere şi

frecvenţa limită a benzii de trecere π/Tx (în frecvenţe nenormate) sau π/L în

frecvenţe normate.

Pentru ca prin decimare să nu rezulte aliere, trebuie ca spectrul secvenţei

( )nv să fie cuprins în intervalul

yy TTππ

≤Ω≤− (47)


14

Fig.12

Ca urmare, filtrul decimatorului va avea banda de trecere rezultând din

relaţia de mai sus, sau lucrând în frecvenţe normate

ytDtvD T

ΩM

ππω == sau (48)

S-a aratat deja ca filtrul de interpolare are banda de trecere:

xtItvI T

ΩL

ππω == sau (49)

Fig. 13

Cele două filtre, lucrând cu frecvenţa de tact Fv, vor putea fi înlocuite cu

unul singur (figura 13), a cărui bandă de trecere va îndeplini relaţia:

=

LMtvππ

ω ,min (50)

sau în frecvenţe nenormate :

=

yxt TT

Ω ππ ,min (51)

L↑ )( vjI eH ω )( vj

D eH ω M↓

( )nx ( )nv' ( )nv ( )ny

xvy TLMMTT ==vT

LTT x

v =xT

( )nv ′′

vT

L↑ )( vjeH ω M↓

( )nx ( )nv' ( )nv '' ( )ny

xvy TLMMTT ==vT

LTT x

v =xT


15

Se poate pune problema dacă prin aceste operaţii are loc sau nu o

pierdere de informaţie, deci dacă din semnalul discret obţinut mai poate fi

refăcut complet semnalul analogic iniţial.

Să presupunem că semnalul analogic este de spectru limitat la frecvenţa

ΩM şi eşantionarea initială a fost corect făcută:

xM T

π≤Ω (52)

Prin alegerea corectă a filtrului, fenomenele de aliere sunt excluse.

Rămâne doar condiţia ca filtrul să nu distorsioneze semnalul util. Pentru aceasta

este necesar ca:

≤Ω

yxM TT

ππ ,min (53)

Apar două cazuri.

• mărire fractionară a ratei de eşantionare

yx TT > sau 1<=LM

TT

x

y sau 1>x

y

FF

(54)

în care caz x

c Tπ

=Ω şi condiţia de mai sus este îndeplinită dacă semnalul a fost

iniţial corect eşantionat.

• reducere fractionară a ratei de eşantionare

yx TT < or 1>=LM

TT

x

y sau 1<x

y

FF

(55)

În acest caz, y

c Tπ

=Ω şi condiţia de mai sus revine la

ML

TT xyM

ππ=≤Ω (56)

deci se poate realiza o reducere cu un raport


16

xM TLM

Ω≤

π (57)

Relaţia intrare-ieşire (figura 13).

( )

=

=restin ,0

,' mLnLnxnv (58)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞==

∞

−∞=−=−

=−=

km

mLk mmLnhmxknh

Lkxknhkvnv ''' (59)

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=−==

mmLnMhmxnMvny '' (60)

O altă expresie se poate obţine pornind de la schimbarea de variabilă

lL

nMm −

= (61)

( )

+

−

−

= ∑

∞

−∞=lLL

LnMnMhl

LnMxny

l(62)

Dar

LnMnMLL

nMnM L mod==

− (63)

deci

( ) ( )∑∞

−∞=+

−

=

lLnMlLhl

LnMxny (64)

Relaţia de mai sus reprezintă însă răspunsul la x(n) al unui filtru variabil

periodic în timp, având funcţia de pondere

( ) ( )Ln nMlLhlh += (65)

Spectrul secvenţei de ieşire

Vom putea scrie succesiv

)()()(' vjLxjvj eXeXeV ωωω == (66)


17

≤

≤

==πω

ππωωωωω

v

vvjL

vjvjvj LMeLX

eHeVeVuiintervalul restulin ,0

,min,)()()()(''

(67)

( )∑−

=

−

=

1

0

12''1)(

M

k

Mkyjyj eV

MeY

πωω (68)

Cum însă filtrul previne fenomenul de aliere, rămâne în banda de bază

≤

≤

=πω

ππωω

ω

y

yyM

Ljyj

LMeX

ML

eYuiintervalul restulin ,0

,min),()( (69)

Aplicaţie

Să presupunem că un semnal analogic de bandă limitată, cu frecvenţa

limită superioară ΩM, este eşantionat cu o perioadă Tx,

MxM

x FFT 3;32

=Ω

=π (70)

El este deci eşantionat cu o frecvenţă mai mare decât frecvenţa limită

impusă de teorema eşantionării. Dorim să transmitem acest semnal printr-un

sistem de comunicaţii. Este indicat să se folosească o frecvenţă de eşantionare

cât mai mică pentru a utiliza raţional canalul de comunicaţii. Va trebui deci

trecut la frecvenţa de eşantionare minimă

xM

y TT23

=Ω

=π (71)

Fig. 14

2↑ )( vjeH ω 3↓

( )nx ( )nv' ( )nv '' ( )ny

xvy TTT233 ==vT

2x

vTT =

xT


18

Schema va fi cea din figura 14. Spectrele respective sunt date în figura

15.Filtrul trebuie să elimine spectrele imagine, fără a deteriora spectrul util.

Rezultă că el trebuie să aibă o caracteristică de frecvenţă constantă în domeniul

3, πωωω =≤ vMMvv

şi nulă în domeniul

πωωπ ≤≤− vMv

Rezultă că filtrul poate avea o bandă de tranziţie nenulă, aşa cum rezultă

din desen, ceea ce facilitează realizarea lui. Se poate constata că spectrul obţinut

în final "umple" toată banda de bază [-π,π].

Fig.15

vω

vω

)( yjeY ω

)( vjeV ω′′

)( vjeH ω

)( vjeV ω′

xMω xω

yωπ

)( xjeX ω

π2

vω


19

4.5 Echivalenţe în circuitele de decimare şi interpolare

A. Inversarea poziţiei unui decimator cu un filtru liniar. Fie circuitele

din figura 16.

a b

Fig. 16

Să demonstrăm că sunt echivalente. Pentru circuitul din figura a) putem

scrie:

( ) ( )nMxnv = (72)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )knhkMxknhkvnykk

−=−= ∑∑∞

−∞≡

∞

−∞≡(73)

În această schemă, filtrul lucrează pe frecvenţa mică xy FM

F 1= . În schema

din figura 16b, filtrul lucrează la frecvenţa mare, Fx şi, având în vedere relaţiile

stabilite la interpolare, functia sa de pondere, ( )nh′ , se obţine din funcţia de

pondere ( )nh′ a filtrului ( )zH , prin:

( )

=

=′restin 0

, mMnMnhnh (74)

Concret, filtrul având ( )MzH se obţine din filtrul cu funcţia de transfer ( )zH ,

înlocuind fiecare circuit de întârziere cu M asemenea circuite conectate în

cascadă.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )Mn-mx mhnMuny

mMnxmhknxMkhknxkhnu

-m

mmMkmk

∑

∑∑∑

∞

∞=

∞

−∞=

∞

=−∞=

∞

−∞=

==

−=−

=−=

.'

(75)

Făcând schimbarea de variabilă k=n-m, rezultă

( )nx

xT xy MTT = yT

MzHM↓ M↓

( )nu ( )ny( )zH( )nx( )nv ( )ny

xT xT xy MTT =


20

( ) ( ) ( )∑∞

−∞=−=

kknhkMxny (76)

Se obţine deci aceeaşi relaţie intrare-ieşire în ambele cazuri.

B. Inversarea poziţiei unui interpolator cu un filtru liniar. Fie circuitele

din figura 17.

a b

Fig. 17

Să demonstrăm că şi aceste circuite sunt echivalente. Pentru circuitul din figura

17a:

( ) ( ) ( )

( )

=

=

−= ∑∞

−∞=

restin , 0

, y

mLnLnv

n

knhkxnvk

(77)

aşa încât

( ) ( )

=

−

= ∑∞

∞=

restin , 0

, -k

mLnkLnhkx

ny (78)

Pentru circuitul din figura 17b,

( )

=

=restin , 0

, mLnLnx

nu (79)

Funcţia de pondere a filtrului cu funcţia de transfer ( )LzH este

( )

xT

nx ( )

xT

nvL↑

( )

xy TL

T

n

1

y

=

L↑ )( LzH( )

yT

ny( )zH

( )

xT

nx ( )

xy TL

T

nu

1

=


21

( )

=

=restin , 0

, mLn Lnh

nh' (80)

aşa incât se obţine

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑ ∑

∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

=−∞=

∞

−∞=

=

−

=−=

=−

=−=

mm

mLkk

k

rLnmLnhmx

mLnhmx

knhLkxknhkuny

restin , 0

, '

''

(81)

-aceiaşi relaţie intrare-ieşire ca în cazul a.

C. Inversarea poziţiei unui decimator cu un interpolator. Să stabilim în

ce condiţii structurile din figura 18 sunt echivalente. În general, cele două

sisteme nu sunt identice, aşa cum se poate uşor verifica pentru L=M.

a) b)

Fig. 18

Pentru configuraţia a):

( )

∑∑−

=

−

=

==

=

1

0

11

0

1)(1)(

)(M

m

ML

mLM

MM

m

mM

L

zWXM

zWVM

zY

zXzV

(82)

Pentru configuraţia b):

)(1)()(

)(1)(

1

0

11

0

∑

∑

−

=

−

=

==

=

M

m

ML

mM

L

MM

m

mM

zWXM

zVzY

zWXM

zV(83)

( )

xv MTT

nv

=

( )

xv TL

T

nv

1

=

M↓ M↓( )

xT

nx ( )

xv TLMT

ny

=

( )

xT

nx ( )

xv TLMT

ny

=

L↑ L↑


22

Cele două expresii obţinute pentru Y(z) nu sunt identice. Ele coincid totuşi dacă

mulţimile

[ ] [ ] 1,0,

1,0,

−∈

−∈

MmW

MmWmL

M

mM (84)

conţin aceleaşi elemente.

In general, mulţimea Z∈mW mM , conţine un număr de M elemente

distincte, ce se obţin pentru m=0,1,...,M-1, deoarece mMW este o funcţie periodică

de m, cu perioada M. Mulţimea [ ] 1,0 , −∈ MmW mLM va trebui să aibă tot M

elemente distincte, adică

1 sau )( ≠≠ − LmkM

mLM

kLM WWW (85)

pentru orice pereche [ ] m , k.M-k,m ≠∈ 10 . Aceasta implică

pMLmk ≠− )( (86)

deci L şi M trebuie să fie relativ prime.

Prin urmare, poziţiile celor două blocuri din figura 18 se pot inversa dacă

şi numai dacă M şi L sunt relativ prime.

4.6 Realizări eficiente pentru filtrele de decimare şi interpolare.Filtre

polifazice

Să considerăm pentru început cazul unui decimator, utilizând un filtru RFI

(figura 19), caracterizat prin ecuaţiile:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∑

∑−

=

−

=

−==

−=

1

0

1

0N

k

N

k

knMxkhnMvny

knxkhnv(87)


23

1−z 1−z 1−z

( )0h ( )1h ( )1−Nh

( )nx

( )nyM↓

( )nv

xT

yTxT

Fig. 19

Pentru a obţine un eşantion la iesire, într-un interval de timp Ty vor fi

efectuate un număr de NM înmulţiri şi (N-1)M adunări. O mare parte din

rezultatele acestor operaţii sunt însă neutilizate în final, datorită decimării, aşa

încât eficienţa schemei este redusă. Numărul de operaţii pe tact se poate reduce

efectuând decimări imediat după circuitele de întârziere (figura 20).

1−z 1−z 1−z( )nx

xT

( )0h ( )1h ( )1−Nh

( )ny

yT

M↓ M↓ M↓

( )1−nx ( )1+− Nnx

( )nMx ( )1−nMx ( )1+− NnMx

Fig.20

Pentru această schemă vor fi necesare N înmulţiri şi N-1 adunări pentru un

eşantion la ieşire. Să analizăm acum un interpolator, pentru care filtrul poate fi

realizat în oricare din variantele din figura 21 (forma directă şi forma transpusă).


24

1−z 1−z 1−z

( )0h ( )1h ( )1−Nh

( )nx

( )ny

L↑( )nv

xT

yT

yT

( )0h( )1−Nh

( )nx

( )ny

L↑( )nv

xT

yT

yT

1−z 1−z 1−z

( )2−Nh

Fig.21

( )0h( )1−Nh

( )nx

( )ny

L↑

xT

yT1−z 1−z 1−z

( )2−Nh

L↑L↑

Fig.22

Se observă în oricare din cele două variante că, pe durata unui tact Tx, se

vor efectua un număr de LN înmulţiri şi L(N-1) adunări. Din aceste operaţii, o


25

mare parte au un operand nul. Va fi deci de preferat ca interpolările să se facă

după efectuarea înmulţirilor (figura 22).

Vom arăta în continuare că filtrul de ordin N-1 se poate înlocui cu un set

de filtre de ordine inferioare.

Să reluăm cazul decimatorului. Să presupunem că N este multiplu de M şi

vom putea scrie:

( ) ( )∑−

=

−=1

0

N

k

kzkhzH (88)

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑ ∑−

=

−

=

−−−

=

−

=

+− +=+=1

0

1

0

1

0

1

0

M

p

MN

l

lMpMN

l

M

p

plM zplMhzzplMhzH (89)

în care s-a utilizat exprimarea:

1,,0,1,,0, −=−=+=MNlMpplMk LL (90)

pentru indicele de însumare.

Notând

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1,,0,

1

0

1

0−=+=

=+= ∑∑−

=

−−

=

−

MppnMhne

zlezplMhzE

p

MN

l

lp

MN

l

lp

L

(91)

rezultă

( ) ( )∑−

=

−=1

0

M

p

Mp

p zEzzH (92)

1−z 1−z 1−z( )nx

( )nyM↓

xT

yT

( )MzE0 ( )MzE1 ( )MM zE 1−

Fig.23


26

Cu această observaţie, structura din figura 19 se poate înlocui prin schema

din figura 23, sau, ţinând seama de echivalenţele demonstrate în paragraful

precedent, cu aceea din figura 24.

1−z 1−z 1−z( )nx

( )ny

M↓xT

yT

( )zE0 ( )zE1 ( )zEM 1−

M↓ M↓

( )1−nx ( )1+−Mnx

( )nMx ( )1−nMx ( )1+−MnMx

Fig.24

Ep(z), pentru p=0,...,M-1 formează un banc de filtre, numite filtre polifazice.

Ordinul fiecăruia dintre acestea este N/M. Aceste filtre lucrează la frecvenţa mică:

Fy=Fx/M. Filtrul ( )zE p poate fi considerat versiunea decimată cu factorul M a

filtrului având funcţia de pondere ( )pnh + . Dacă ( )zH este un filtru trece jos, cu

frecvenţa de tăiere Mπ , filtrele ( )zE p vor avea în consecinţă o frecvenţă de tăiere

de M ori mai mare, deci π şi prin urmare sunt toate de tip trece tot. Ele se

diferenţiază numai prin caracteristicile de fază, de unde le vine şi denumirea.

In principiu, ( )zE p depind deci şi de M. Cum însă de obicei M este fix, s-

a evitat complicarea notării prin introducerea unui indice suplimentar.

Operaţiile de întârziere-decimare din structura filtrului din figura 24 sunt

echivalente cu un comutator care comută pe rând filtrele cu un tact Tx (figura 25).

O altă variantă de descompunere a filtrului H(z) în filtre polifazice se

obţine făcând în relaţia (92) schimbarea de indice de însumare

1,,0,1,,0,1 −=−=−−+=MNlMppMlMk LL (93)


27

( )zE0 ( )zE1 ( )zEM 1−

( )nx

( )ny

( )nMx ( )1−nMx ( )1+−MnMx

Fig.25

( ) ( ) ( )

( ) ( )∑ ∑

∑ ∑

−

=

−−

=

−−−

−−+−−

=

−

=

−−+=

=−−+=

1

0

1

0

1

11

0

1

0

1

1

M

p

lMMN

p

pM

pMlMMN

l

M

p

zpMlMhz

zpMlMhzH(94)

sau

( ) ( ) ( )Mp

M

p

pM zRzzH ∑−

=

−−−=1

0

1 (95)

unde s-a notat

( ) ( ) ( )zEzpMlMhzR pMlM

N

lp −−

−−

==−−+= ∑ 1

1

01 (96)

Filtrele cu funcţia de transfer ( )zE p vor fi numite filtre polifazice de tipul

1, iar cele cu funcţia de transfer ( )zR p , filtre polifazice de tipul 2.

Să revenim asupra circuitului de interpolare din figura 21. Filtrul H(z) se

va putea înlocui cu un banc de filtre polifazice de tip 2, conform schemei 26, sau

de tip 1, ca în figura 27. Se poate obţine o structură mai eficientă, inversând

ordinea interpolatorului cu a filtrelor şi aplicând relaţiile de echivalenţă. De

exemplu, pornind de la schema din figura 27, rezultă aceea din figura 28, în care

filtrele ( )zE p lucrează la frecvenţa mică Tx.


28

( )nx

( )ny

L↑( )nv

xT

yT

yT

1−z 1−z 1−z

( )LzR0 ( )LzR1 ( )LL zR 1−

Fig.26

( )nx

( )ny

L↑( )nv

xT

yT

yT

1−z 1−z 1−z

( )LL zE 1− ( )L

L zE 2− ( )LzE0

Fig. 27

( )nx

( )ny

L↑

xT

yT1−z 1−z 1−z

( )zEL 1− ( )zEL 2− ( )zE0

L↑ L↑

Fig.28


29

Şi în această schemă grupul de interpolatoare şi circuite de întârziere poate

fi înlocuit cu un comutator (figura 29), care comută cu perioada Ty.

( )zEL 1− ( )zEL 2− ( )zE0

( )nx

( )ny

Fig. 29

. Practic acest comutator se realizează cu un circuit multiplexor cu liniile

de adresă conectate la ieşirile unui numărător modulo L.

8.1 introducere - erasmus pulse · introducerii unor erori de cuantizare suplimentare la conversia...

Documents