11

170METODA CARACTERISTICILOR169ECUAII CU DERIVATE PARIALE DE ORDINUL NTI

11.2. Ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti

Studiul ecuaiilor cu derivare pariale i are originea n secolul XVIII. Acest tip de ecuaii au numeroase aplicaii n optic, fizica teoretic, mecanic, calculul variaional geometria diferenial etc..

Definiia 11.1. Se numete ecuaie cu derivate pariale de ordinul nti un simbol de forma

,(11.2.1)

unde funcia depinde de variabilele independente , funcia necunoscut i derivatele ei pariale de ordinul nti i .

Definiia 11.2. Se numete soluie a ecuaiei cu derivate pariale de ordinul nti (11.2.1) o funcie , de clas , mulime deschis, care verific identic ecuaia

,(11.2.2)

Folosind notaiile lui Gaspard Monge (1746-1818), i , ecuaia (11.2.1) se scrie sub forma

,(11.2.1)

Observaia 11.2.1. n cazul unei singure variabile ecuaia (11.2.1) se scrie sub forma

,(11.2.3)

i reprezint o ecuaie diferenial de ordinul nti sub forma implicit.

Definiia 11.2.2. Dac derivatele pariale ale funciei necunoscute intervin linear n ecuaia (11.2.1), atunci ecuaia cu derivate pariale se numete ecuaie cvasilinear cu derivate pariale de ordinul nti:

,(11.2.4)

unde i sunt funcii cunoscute, definite n , de clas i este funcia necunoscut.

Aceste ecuaii sunt lineare n raport cu derivatele pariale ale funciei necunoscute, dar, n general, nelineare n raport cu funcia necunoscut.

Dac funciile nu depind de funcia necunoscut i , atunci ecuaia (11.2.4) se numete linear i omogen.

Observaia 11.2.2. n cazul a trei variabile, ecuaia cvasilinear cu derivate pariale de ordinul nti se scrie sub forma

,(11.2.5)

. Funciile i sunt date, definite n , de clas i , , presupus de clas este funcia necunoscut.Dac funciile i nu depind de funcia necunoscut i , atunci ecuaia (11.2.5) se numete linear i omogen.Folosind notaiile lui Monge (1746-1818), i , ecuaia (11.2.4) se scrie sub forma

(11.2.6)

Fie ecuaia

,(11.2.7)

care definete implicit soluia a ecuaiei cu derivate pariale (11.2.6).

Este bine neles c integrarea ecuaiei (11.2.6) const n a gasi funcia pentru care aceast ecuaie este verificat;

S derivm ecuaia (11.2.7), avem

,

apoi, introducnd n ecuaia (11.2.6) valorile lui i obinem ecuaia diferenial

,(11.2.8)

linear i omogen n raport cu derivatele pariale ale funciei .

Atam ecuaiei cu derivate pariale (11.2.8) sistemul simetric al caracteristicilor :

,(11.2.9)

Fie i dou soluii independente ale acestui sistem simetric (adic, dou integrale prime independente).

Aceste integrale prime independente rezolvate n raport cu constantele i , arbitrare

(11.2.10)reprezint o curb caracteristic, variabil de parametrii , de exemplu,

Curba caracteristic este curba generatoare a suprafeei integrale.

O relaie arbitrar

,(11.2.11)

ntre cei doi parametrii conduce, prin eliminarea parametrilor ntre (11.2.10) i (11.2.11), la ecuaia

,(11.2.12)

care constituie soluia general a ecuaiei (11.2.6).

Observaia 11.2.2. Fie o integral prim a sistemului simetric (11.2.9). Atunci este soluie a ecuaiei cu derivate pariale (11.2.6) i, reciproc, orice soluie a ecuaiei cu derivate pariale (11.2.6) egalat cu o constant arbitrar este integral prim a sistemului simetric (11.2.9).

Observaia 11.2.3. Pentru a alege funcia arbitrar , astfel ca suprafaa integral s conin o curb dat, numit curb directoare:

,(11.2.13)

diferit de curba caracteristic, pe care o conine prin definiie, va trebui s exprimm c generatoarea (11.2.10) ntlnete aceast curb directoare. Aadar, va trebui s eliminm ntre cele patru ecuaii (11.2.10) i (11.2.13), obinnd astfel ecuaia

,(11.2.14)

care nlocuiete ecuaia (11.2.11) dat ntr-un mod arbitrar. Suprafaa integral cutat va fi unic determinat i are forma

,(11.2.15)

Condiia suplimentar (11.2.14), ca suprafaa integral s treac prin curba directoare , care nu este curb caracteristic, se numete condiie de compatibilitate a sistemului (11.2.10) i (11.2.13).

Dac curba directoare este curb caracteristic atunci soluia (11.2.15) (funcia ) rmne nedeterminat deoarece fiecare curb caracteristic aparine unei familii infinite de suprafee.

ntr-adevr, dac curba se afl pe o suprafa integral , atunci trebuie s avem verificate relaiile:

Deoarece de aici putem calcula derivatele pariale i , atunci acest sistem definete planele tangente la suprafaa integral de-a lungul curbei . Astfel, dac

atunci sunt unic determinai: i . Dac avem i , atunci sistemul este nedeterminat. Ori acest lucru este echivalent cu relaiile , ceea ce arat c suprafaa se afl printre caracteristici.

Observaia 11.2.4. Studiul ecuaiilor cu derivate pariale (11.2.6) este cel clasic i const ntr-un sistem de ecuaii difereniele ordinare asociat ecuaiei cu derivate pariale, numit sistemul simetric al caracteristicilor. Acest fapt ne determin s afirmm c rezultatele sunt considerate ca aplicaii ale ecuaiilor difereniale ordinare; pe de alt parte, ecuaiile cu derivate pariale de ordinul nti, este o treapt intermediar ntre teoria ecuaiilor difereniale ordinare i teoria ecuaiilor cu derivate pariale de ordin superior, pentru care conceptul matematic este cel oferit de analiza funcional.

Interpretarea geometric a metodei caracteristicilor. Fie ecuaia diferenial (11.2.6),

i soluia acestei ecuaii, care, n reperul cartezian , reprezint o suprafa numit suprafa integral a ecuaiei (11.2.6).

Se tie c planul tangent la aceast suprafa este dat de ecuaia

unde este un punct curent al planului, este punct al spaiului cartezian prin care trece suprafaa integral a crei normal exterioar este dat de vectorul .

Punctului al spaiului facem s-i corespund dreapta de ecuaii

avnd direcia vectorului fixat .

Dac punctul aparine suprafeei integrale, atunci ecuaia cu derivate pariale (11.2.6) exprim c dreapta este situat n planul tangent , deoarece .

Se numete curb caracteristic o curb definit prin aceea c n fiecare din punctele sale este tangent la dreapta corespunztoare acelui punct.

Exprimnd c tangenta

unui punct curent al suprafeei integrale coincide cu aceast dreapt, obinem condiia

(11.2.13)care trebuie ndeplinit n orice punct al caracteristicii.

Reciproc, orice curb ale crei coordonate verific ecuaiile (11.2.13) este o curb caracteristic. Noi observm c sistemul (11.2.13) este tocmai sistemul simetric al caracteristicilor (11.2.9), care se ataeaz ecuaiei cu derivate pariale (11.2.6) pentru a gsi soluia integral.

Integralele prime independente

ale sistemului (11.2.10) reprezint o curb caracteristic, variabil de parametrii . Curba caracteristic este tocmai curba generatoare a suprafeei integrale.

Aplicaia 11.2.1 Ecuaia diferenial a suprafeelor cilindrice. (O aplicaie a ecuaiilor cu derivate pariale de ordinul nti n geometria diferenial).

Considerm dreapta , avnd direcia , de parametrii directori cu , i care trece prin origine, ca generatoare a suprafeei cilindrice. Deoarece am presupus , atunci putem scrie ecuaiile acestei drepte sub forma

(1)

unde parametrii i sunt determinai de formulele

Planul tangent ntr-un punct oarecare al suprafeei cilindrice , are ecuaia

(2)

unde i i conine generatoarea acestui punct, adic planul paralel cu (2) i trecnd prin origine

(3)

va conine dreapta (1). De aici rezult condiia

(4)

care este tocmai ecuaia diferenial a suprafeelor cilindrice.

Atand sistemul simetric al caracteristicilor

,(5)

observm c putem obine dou integrale prime independente de forma

i

(6)

care reprezint generatoarele suprafeei. n consecin, ecuaia general a suprafeei cilindrice are forma

(7)

unde este o funcie arbitrar de clas .

n continuare, ne propunem s determinm funcia arbitrar astfel nct suprafaa s treac prin cercul

(8)

Cernd ca sistemul de ecuaii (6) i (8) s fie compatibil, putem elimina ntre aceste ecuaii i obinem condiia de compatibilitate

(9)

Atunci, pentru suprafaa cilindric, avem ecuaia

(10)

Reciproc. Ecuaia (7) a suprafeei cilindrice ne conduce, oricare ar fi funcia arbitrar , la ecuaia diferenial (4) ceea ce constituie o verificare c (7) este o soluie a acestei ecuaii.

Pentru aceasta vom introduce notaiile

(11)

Ecuaia (7) se scrie . Derivnd aceast ecuaie n raport cu i respectiv obinem

Eliminnd i avem: i introducnd n a doua ecuaie rezult .

Deoarece atunci va trebui s fie verificat condiia .

Aplicaia 11.2.2. S se determine ecuaia diferenial a suprafeei ortogonale paraboloizilor , care trece prin curba .

Soluie. Fie ecuaia suprafeei cutate. Introducem notaiile i . Avem

i .

Condiia de ortogonalitate este ca produsul scalar al celor doi vectori i s fie egal cu zero. Aadar, ne conduce la ecuaia diferenial a suprafeelor ortogonale:

,

care se integreaz. Asociem sistemul simetric .

Scriind combinaia integral , rezult integrala prim

. Din combinaia integral , obinem a doua integral prim independent de forma . Din sistemul

.

obinem condiia de compatibilitate . Atunci suprafaa cutat este elipsoidul

.

Aplicaia 11.2.3. Fie ecuaia cvasilineare cu derivate pariale de ordinul nti

,.(1)

(i). Determinai soluia general a acestei ecuaii.

(ii). Determinai suprafaa integral care trece prin curba (curba directoare este un cerc n planul ).

Soluie. (i). Funcia reprezint soluia integral explicit a acestei ecuaii, nc necunoscut. Pentru a determina integrala general folosim metoda caracteristicilor. Fie

sistemul simetric al curbelor caracteristice asociat ecuaiei date. Acest sistem este echivalent cu sistemele combinaiilor integrale:

care conduce la integralele prime independente

i

Deoarece constanta poate fi exprimat ca funcie de constanta , putem scrie relaia , unde este o funcie arbitrar de clas . Atunci relaia

,

reprezint integrala general a ecuaiei date.

(ii). Soluia problemei Cauchy cere s determinm acea suprafa integral care trece prin curba dat. Pentru aceasta trebuie s facem compatibil sistemul:

Determinm i : , din avem i , care nlocuite n a doua ecuaie a sistemului ne d condiia de compatibilitate . Substituind n condiia de compatibilitate obinem soluia problemei Cauchy . Aadar, suprafaa cutat este sfera de raz , avnd centrul n originea reperului cartezian .Aplicaia 11.2.4. Determinai soluia general a ecuaiei lineare cu derivate pariale de ordinul nti

,.(1)

Soluie. Funcia reprezint soluia integral explicit a acestei ecuaii. Atam sistemul simetric al curbelor caracteristice:

Din , obinem integrala prim . Din primul i ultimul raport , folosind c , avem . Prin integrare obinem a doua integral prim independent, sau sub forma . Soluia general a ecuaiei difereniale date se exprim cu ajutorul unei funcii arbitrare i este dat de ecuaia .

Aplicaia 11.2.5. Determinai soluia general a ecuaiei cvasilineare cu derivate pariale de ordinul nti

,.(1)

Soluie. Funcia reprezint soluia integral explicit a acestei ecuaii. Atam sistemul simetric al curbelor caracteristice:

,

care conduce la integralele prime independente: din avem , iar din avem,. Relaia , unde este o funcie arbitrar de clas este soluia general a ecuaiei date.

Aplicaia 11.2.6. Determinai soluia general a ecuaiei cvasilineare cu derivate pariale de ordinul nti

,.(1)

Soluie. Funcia reprezint soluia integral explicit a acestei ecuaii. Atam sistemul simetric al curbelor caracteristice:

,

care conduce la integralele prime independente: i .

Din relaia , unde este o funcie arbitrar de clas , prin eliminarea parametrilor i obinem soluia general a ecuaiei date sub forma .

Altfel, dac exprimm constanta cu ajutorul unei funcii arbitrare de constanta , avem expresia soluiei generale de forma: sau , unde funcia arbitrar este de clas

Aplicaia 11.2.7. Determinai soluia general a ecuaiei lineare i omogene cu derivate pariale de ordinul nti

,.(1)

Soluie. Funcia este funcia necunoscut. Atam sistemul simetric al curbelor caracteristice

,

care ne dau dou integrale prime independente: din obinem, i deci este o integral prim; a doua integral prim se obine prin integrarea ecuaiei i avem . Soluia general va depinde de o funcie arbitrar i putem scrie

.

Aplicaia 11.2.8. Fie ecuaia cu derivate pariale de ordinul nti linear i omogen n dou variabile

,.(1)

(i). Determinai soluia general a acestei ecuaii.

(ii). Determinai suprafaa integral care trece prin curba directoare (dreapta): .

Soluie. (i). Funcia este funcia necunoscut. Atam sistemul simetric al curbelor caracteristice

,

care conduce la integrala prim . Atunci soluia general se exprim cu ajutorul unei funcii arbitrare i avem .

Observaie. Din sistemul caracteristicilor putem scrie i exprimnd constanta ca funcie de avem . Aadar, putem scrie soluia general .

(ii). Pentru a determina suprafaa integral care trece prin dreapta dat va trebui s eliminm i ntre relaiile i . Din ultimele dou egaliti avem i , care nlocuite n prima relaie ne d . Deci i suprafaa integral cutat este conul cu vrful n origine .

Aplicaia 11.2.9. Fie ecuaia cu derivate pariale de ordinul nti linear i omogen n trei variabile

,.(1)

(i). Determinai soluia general a acestei ecuaii.

(ii). Determinai suprafaa integral care trece prin curba directoare .

Soluie. (i). Funcia este funcia necunoscut. Atam sistemul simetric al curbelor caracteristice

,

care conduce la integralele prime i . Atunci soluia general se exprim cu ajutorul unei funcii arbitrare i avem .

Observaie. Din sistemul caracteristicilor putem scrie i exprimnd constanta cu ajutorul unei funcii arbitrare de constantele i , avem . Aadar, putem scrie soluia general .

(ii). Soluiile sistemului simetric definesc curbe tangente n fiecare punct al lor cmpului vectorial , dat odat cu ecuaia diferenial (1). Aceasta sugereaz ideea generrii soluiei ecuaiei cu derivate pariale (1) pornind de la cele dou familii de integrale prime independente ale sistemului simetric. Problema Cauchy cere s determinm suprafaa integral care satisface condiia iniial .

Pentru a determina suprafaa integral care trece prin curba dat , va trebui s determinm, din sistemul,

,

pentru , pe i i apoi suprafaa se obine prin nlocuirea valorilor gsite pentru i n a doua ecuaie a acestui sistem (adic, s verificm condiia de compatibilitate exprimat de acest sistem):

Avem i atunci condiia de compatibilitate este dat de relaia . Substituind i gsim c suprafaa integral, care trece prin curba directoare dat, are forma

.

Aplicaia 11.2.10. Fie ecuaia cu derivate pariale de ordinul nti

,.(1)

(i). Determinai suprafaa integral care trece prin curba directoare (parabol n planul ).

Soluie. (i). Funcia este funcia necunoscut. Atam sistemul simetric al curbelor caracteristice

.

Acest sistem este echivalent cu combinaiile integrale

,

care conduce la integralele prime i . Din sistemul

avem ,, . Substituind aceste valori n ultima ecuaie a sistemului obinem condiia de compatibilitate . nlocuind parametrii i , gsim ecuaia suprafeei integrale cutate:

.

_1365229146.unknown

_1365278157.unknown

_1365302741.unknown

_1365303721.unknown

_1365304148.unknown

_1365305996.unknown

_1365306218.unknown

_1365306293.unknown

_1365306326.unknown

_1365306064.unknown

_1365304383.unknown

_1365304539.unknown

_1365305362.unknown

_1365305398.unknown

_1365305533.unknown

_1365304557.unknown

_1365305216.unknown

_1365304513.unknown

_1365304300.unknown

_1365304335.unknown

_1365304269.unknown

_1365303924.unknown

_1365304077.unknown

_1365304109.unknown

_1365303966.unknown

_1365303831.unknown

_1365303872.unknown

_1365303808.unknown

_1365303777.unknown

_1365303459.unknown

_1365303641.unknown

_1365303688.unknown

_1365303517.unknown

_1365303550.unknown

_1365303489.unknown

_1365303039.unknown

_1365303281.unknown

_1365303329.unknown

_1365303093.unknown

_1365302870.unknown

_1365302977.unknown

_1365302834.unknown

_1365300322.unknown

_1365301269.unknown

_1365302454.unknown

_1365302576.unknown

_1365302708.unknown

_1365302486.unknown

_1365301595.unknown

_1365301915.unknown

_1365302415.unknown

_1365301332.unknown

_1365301115.unknown

_1365301207.unknown

_1365301241.unknown

_1365301150.unknown

_1365300646.unknown

_1365301023.unknown

_1365300498.unknown

_1365281643.unknown

_1365298952.unknown

_1365299528.unknown

_1365299996.unknown

_1365300086.unknown

_1365299743.unknown

_1365299974.unknown

_1365299188.unknown

_1365299228.unknown

_1365299115.unknown

_1365281981.unknown

_1365282448.unknown

_1365282888.unknown

_1365283007.unknown

_1365283073.unknown

_1365282976.unknown

_1365282792.unknown

_1365282382.unknown

_1365281808.unknown

_1365281929.unknown

_1365281662.unknown

_1365280721.unknown

_1365281448.unknown

_1365281549.unknown

_1365281621.unknown

_1365281514.unknown

_1365281010.unknown

_1365281095.unknown

_1365280746.unknown

_1365278956.unknown

_1365279891.unknown

_1365280249.unknown

_1365280285.unknown

_1365280064.unknown

_1365278984.unknown

_1365278320.unknown

_1365278608.unknown

_1365278783.unknown

_1365278260.unknown

_1365238617.unknown

_1365266942.unknown

_1365275769.unknown

_1365276429.unknown

_1365277936.unknown

_1365278096.unknown

_1365277831.unknown

_1365276141.unknown

_1365276283.unknown

_1365276042.unknown

_1365275239.unknown

_1365275726.unknown

_1365275755.unknown

_1365267943.unknown

_1365268175.unknown

_1365268529.unknown

_1365268582.unknown

_1365273134.unknown

_1365274021.unknown

_1365275175.unknown

_1365274228.unknown

_1365274262.unknown

_1365274206.unknown

_1365273603.unknown

_1365273208.unknown

_1365271930.unknown

_1365273103.unknown

_1365271874.unknown

_1365268545.unknown

_1365268563.unknown

_1365268398.unknown

_1365268407.unknown

_1365268445.unknown

_1365268262.unknown

_1365268157.unknown

_1365268006.unknown

_1365268061.unknown

_1365267639.unknown

_1365267807.unknown

_1365267933.unknown

_1365267739.unknown

_1365267203.unknown

_1365267104.unknown

_1365267121.unknown

_1365265055.unknown

_1365266017.unknown

_1365266533.unknown

_1365266844.unknown

_1365266897.unknown

_1365266888.unknown

_1365266626.unknown

_1365266712.unknown

_1365266321.unknown

_1365266443.unknown

_1365266050.unknown

_1365266228.unknown

_1365265494.unknown

_1365265805.unknown

_1365266004.unknown

_1365265649.unknown

_1365265342.unknown

_1365265435.unknown

_1365265283.unknown

_1365239078.unknown

_1365264672.unknown

_1365264835.unknown

_1365265020.unknown

_1365264815.unknown

_1365263771.unknown

_1365264269.unknown

_1365238880.unknown

_1365239038.unknown

_1365238846.unknown

_1365233513.unknown

_1365237141.unknown

_1365238315.unknown

_1365238531.unknown

_1365238567.unknown

_1365238404.unknown

_1365238282.unknown

_1365237379.unknown

_1365237807.unknown

_1365238128.unknown

_1365238096.unknown

_1365237440.unknown

_1365237229.unknown

_1365236412.unknown

_1365236930.unknown

_1365236985.unknown

_1365236876.unknown

_1365234026.unknown

_1365234063.unknown

_1365233983.unknown

_1365230888.unknown

_1365232933.unknown

_1365233207.unknown

_1365233344.unknown

_1365233095.unknown

_1365231622.unknown

_1365232794.unknown

_1365231128.unknown

_1365229379.unknown

_1365229474.unknown

_1365230790.unknown

_1365229442.unknown

_1365229303.unknown

_1365229342.unknown

_1365229160.unknown

_1364277355.unknown

_1364281095.unknown

_1365226140.unknown

_1365227302.unknown

_1365228784.unknown

_1365228943.unknown

_1365228982.unknown

_1365228852.unknown

_1365228686.unknown

_1365228746.unknown

_1365227519.unknown

_1365226983.unknown

_1365227143.unknown

_1365226227.unknown

_1365222938.unknown

_1365223894.unknown

_1365224290.unknown

_1365226056.unknown

_1365223669.unknown

_1365223782.unknown

_1364281381.unknown

_1364281437.unknown

_1364281768.unknown

_1364281852.unknown

_1364281413.unknown

_1364281293.unknown

_1364281348.unknown

_1364281270.unknown

_1364278504.unknown

_1364280202.unknown

_1364280573.unknown

_1364280654.unknown

_1364280951.unknown

_1364280536.unknown

_1364279092.unknown

_1364279144.unknown

_1364278876.unknown

_1364277775.unknown

_1364278345.unknown

_1364278467.unknown

_1364278496.unknown

_1364277907.unknown

_1364277588.unknown

_1364277627.unknown

_1364277567.unknown

_1364272179.unknown

_1364273003.unknown

_1364276595.unknown

_1364276670.unknown

_1364276844.unknown

_1364273041.unknown

_1364273052.unknown

_1364276311.unknown

_1364273030.unknown

_1364272589.unknown

_1364272783.unknown

_1364272813.unknown

_1364272758.unknown

_1364272352.unknown

_1364272445.unknown

_1364272480.unknown

_1364272566.unknown

_1364272395.unknown

_1364272280.unknown

_1364272324.unknown

_1364272196.unknown

_1363863266.unknown

_1363863828.unknown

_1363928608.unknown

_1364271619.unknown

_1364271673.unknown

_1363927698.unknown

_1363863507.unknown

_1363863519.unknown

_1363863387.unknown

_1363862874.unknown

_1363863171.unknown

_1363863225.unknown

_1363863046.unknown

_1363862638.unknown

_1363862705.unknown

_1363862789.unknown

_1363862248.unknown