Predarea matematicii pentru elevi de performanta

Conf.dr.Cringanu Jenica Obiectivele disciplinei:

- Identificarea conexiunilor utile dintre matematica elementara si cea universitara;- Obţinerea unor noi inegalităţi, pornind de la inegalităţi celebre în matematică;- Valorificarea si configurarea de modele ludice in predarea elementelor de analiza

combinatorie;- Dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea elementelor de analiză combinatorică;- Identificarea celor mai potrivite metode de predare a funcţiilor şi a ecuaţiilor funcţionale;- Exprimarea şi redactarea corectă şi coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme.

Competenţe:

- Utilizarea corecta a algoritmilor matematici in rezolvarea de probleme cu grade diferite de dificultate;- Generalizarea unor proprietăţi prin modificarea contextului iniţial de definire a problemei sau prin îmbunătăţirea sau generalizarea algoritmilor;- Folosirea corecta a terminologiei specifice matematicii in contexte variate;- Analiza unei situaţii problematice şi determinarea ipotezelor necesare pentru obţinerea concluziei;- Folosirea corectă a terminologiei specifice matematicii în contexte variate;- Dobândirea unei imagini de ansamblu a matematicii elementare ca parte a unui sistem aflat în permanentă evoluţie şi interacţiune cu lumea înconjurătoare.

Conţinutul cursului:

Cap. I. Inegalitati celebre in matematica elementara .......................................... 4 oreModalitati de integrare a inegalitatilor lui Holder, Minkowski, Cauchy, Bernoulli, Cebisev in

pregatirea suplimentara. Metoda inductiei matematice in predarea inegalitatilor. . CapII. Analiza

combinatorie....................................................................................4 ore Principiul includerii si al excluderii. Probleme de combinatorica a multimilor. Identitati

combinatorii, formulele de inversiune si numerele lui Stirling, Bell, Fibonacci, Catalan.

Cap.III. Probleme de teoria functiilor.................................................................... 4 oreFunctii injective, surjective, bijective. Ecuatii functionale. Cap.IV. Tehnici moderne de rezolvare a problemelor date la concursurile scolare.................................................................................................................................2 ore

Conţinutul seminariilor:

Aplicaţii la temele de la curs.

CAP. I.

Inegalităţi celebre în matematica elementară

Chiar daca avem impresia ca stim totul despre aceasta lume eleganta a inegalitatilor,

totdeauna mai avem ceva de descoperit.

Inegalitatea lui HÖLDER

(∀) ai, bi ∈ R, i =1, n , p,q > 1, 1 1

p q+ = 1

n

i ii=1

| a b |∑ ≤ 1/p 1/qn n

p qi i

i=1 i=1

| a | |b | ∑ ∑ .

p =q =2

Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowski-Schwartz:

(∀) ai, bi ∈ R, i = 1, n

2

2 2

1 1 1

n n n

i i i ii i i

a b a b= = =

≤ ∑ ∑ ∑ .

Aplicatie.

Fie x1, x2, … , xn >0 astfel incat x1+ x2+ … + xn=1.

Atunci 2

1 2

1 1 1...

n

nx x x

+ + + ≥ .

Rezolvare. Se obtine din inegalitatea lui Cauchy

luand i ia x= , 1

i

i

bx

=

Inegalitatea lui MINKOWSKI

(∀) ai, bi ∈ R, i = 1, n , p ≥ 1

Ce se obtine pentru p=2 ?

Obtineti alte inegalitati particularizand inegalitatea lui Cauchy.

1/

1

| |pn

pi i

i

a b=

+ ∑ ≤

1/ 1/

1 1

| | | |p pn n

p pi i

i i

a b= =

+ ∑ ∑ .

Inegalitatea lui JENSEN

Fie I ⊂ R, interval şi f: I → R, convexă.

Atunci (∀) ai ∈ I, λ i > 0, i = 1, n avem

1

1

n

i ii

n

ii

xf

λ

λ

=

=

∑

∑ ≤ 1

1

( )n

i ii

n

ii

f xλ

λ

=

=

∑

∑.

: (0, )f ∞ → R

( ) lnf x x= −

Inegalitatea mediilor ponderate:

(∀) x1, x2,…,xn > 0, λ 1, λ 2,..., λ n > 0

1

1

n

i ii

n

ii

xλ

λ

=

=

∑

∑ ≥

1

1

1

n

i ii

n

ii

xλ λ=

=

∑ ∏ .

λ 1= λ 2 = … = λ n = 1

n

Inegalitatea mediilor

(∀) x1, x2,…, xn > 0, 11 2...

n

ii n

n

xx x x

n= ≥∑ ,

Inegalitatea lui CEBÂŞEV

(∀) ai, bi ∈ R, i = 1, n ,

a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an, b1 ≤ b2 ≤ . . . ≤ bn

1 1 1

n n n

i i i ii i i

a b a b

n n n= = =≥ ⋅∑ ∑ ∑ .

Ce inegalitati se obtin luand:

a) , , n≥ 2b) ,

Incercati sa demonstrati inegalitatea mediilor folosind metoda inductiei matematice.

Inegalitatea lui BERNOULLI

(∀) n ∈ N, a > -1, (1 + a)n ≥ 1 + na.

Cum se demonstreaza

inegalităţile de mai sus ?

• metoda inducţiei matematice

• reducerea la alte inegalitati cunoscute

• folosind funcţiile derivabile

Vom aplica aceste inegalitati in:

• obtinerea altor inegalitati

• rezolvarea unor probleme de minim şi maxim

• rezolvarea unor probleme propuse în revistele de matematică, concursuri şi

olimpiadele şcolare.

1. Fie a1, a2,…,an, b1, b2,…,bn > 0. Atunci

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n nnn n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≥ +

(Olimpiada U.R.S.S.)

2. Fie a1, a2,…,an > 0 astfel încât a1 ⋅ a2 ⋅ … ⋅ an = 1.

Atunci (1+a1)(1+a2)…(1+an) ≥ 2n.

(Concurs R.D.G.)

3. Să se determine minimul expresiei E = 2 2 21 2 ... nx x x+ + + ştiind că x1+x2+…+xn=1.

4. Să se demonstreze inegalitatea:

( ) ( ) ( )3 3 3

x y z y x z z x y+ + ++ + ≤

2

3(x+y+z), ∀ x, y, z ∈ R+.

(G.M. 1/1992)

Incercati sa demonstrati !

5. Arătaţi că dacă a, b, c ∈ R*+ şi a + b + c = k, avem inegalitatea:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 3a b b c c a k k⋅ + + ⋅ + + + ≤ + .

6. Fie x, y, z ∈ (0; ∞ ) astfel încât x + y + z = 1

2. Să se arate că:

1 1 1

y z z x x y+ +

+ + + ≥ 9.

În ce caz avem egalitate?

(Baraj, Vrancea, 2001)

7. Arătaţi că dacă a, b, c > 0, avem inegalitatea:

3

2 2 2 2

b c c a a b

a b c a b c a b c

+ + ++ + ≥+ + + + + +

.

8. Fie a,b ∈ R şi a2 + b2 = 1. Să se afle cea mai mare valoare a expresiei

E = a b (a+b).

(G.M. 5/1992)

9. Fie x,y > 0. Să se calculeze cea mai mare valoare pe care o poate lua expresia:

3 3 2 2

xy

x y x y x y+ − − + + .

(Concursul „Radu Miron”, 2002)

10. Fie n ≥ 3 natural şi

11 2

1 2 2 3 1 1

... n n

n n n

x xx xs

x x x x x x x x−

−

= + + + ++ + + +

unde x1, x2, …, xn ∈ R*+. Să se arate că s < n-1.

Să se determine mulţimea tuturor valorilor lui s când x1, x2,…, xn variază în R*+.

(Etapa finală, 1987)

CAP. II.

Analiza combinatorie

Stiti sa numarati? E o intrebare care pare simpla in matematica; si un copil de clasa

I-a ar raspunde DA. Raspunsul se dovedeste a fi foarte complicat cand este vorba de

numararea submultimilor cu anumite proprietati ale unei multimi, de impartirea unei multimi

in submultimi, de aranjarea elementelor unei multimi intr-un anumit fel.

Vom enunta doua principii de baza in analiza combinatorie, pe care le vom folosi apoi

in rezolvarea unor probleme.

1. Principiul lui Dirichlet (sau Principiul cutiei)

A fost utilizat pentru prima data de Dirichlet (1805-1859) in teoria numerelor. Ulterior, F.

P. Ramsey a generalizat acest principiu, numerele lui Ramsey constituind unul din capitolele

importante din combinatorica.

Formulare intuitiva :

Daca incercam sa punem n+1 bile in n cutii, atunci exista o cutie

care contine cel putin doua bile.

Formulare matematica :

Fie A o multime nevida, iar A 1 ,A 2 ,…,A n o partitie a lui A. Daca avem

n+1 elemente din A, a1, a2,…an, an+1, atunci exista o submultime Ai a partitiei care

sa contina cel putin 2 elemente ale multimii { a1,a2,…an,an+1}.

Incercati sa aplicati principiul cutiei:

Intr-un grup de 13 persoane exista doua nascute in aceeasi luna.

Se da un cub de latura 1. Sa se arate ca oricum am alege 28 de

puncte interioare, cel putin doua dintre ele sunt situate la distanta

mai mica sau egala cu .

Partitie?

2. Principiul includerii si al excluderii

Acest principiu foarte important este o generalizare a regulei de calcul pentru cardinalul

reuniunii de multimi finite, nu neaparat disjuncte.

Teorema.

Fiind date n multimi finite A1, A2,…, An, atunci

card( i

n

iA

1=∪ ) =∑

=

n

i 1

card Ai - ∑≤<≤ nji1

card (Ai ∩ Aj) +

+ ∑≤<<≤ nkji1

card(Ai ∩ Aj ∩ Ak) + …+ (-1)n-1card(n

iiA

1=)

A B

A B

C

card(A∪B) = card A+ card B – card (A∩B)

Ce devine formula pentru trei multimi A, B, C ?

Pentru demonstratie se foloseste metoda inductiei matematice.

Determinati numarul functiilor

surjective f :A→ B, unde A, B sunt doua

multimi finite.

Aplicatii

1. Se dau n numere naturale distincte, toate mai mici decit 2n. Sa se demonstreze ca

printre ele exista un numar egal cu n sau doua numere a caror suma este 2n.

D.Mihet

2. Pe o sfera se iau la intimplare 9 puncte. Sa se arate ca exista doua puncte a caror

distanta nu depaseste 2 .

Baraj, O.M.

3. Fie n numere intregi, a1, a2, …, an. Sa se arate ca exista o submultime a acestor

numere avand suma elementelor divizibila prin n.

4. Cate numere naturale mai mici sau egale cu 1000 nu se divid nici cu 2, nici cu 3,

nici cu 5 ?

5. Daca E este o multime finita cu n elemente atunci numarul tuturor submultimilor

lui E este egal cu 2n.

6. Daca n∈N* se descompune in factori primi sub forma n = kkppp ααα

...22

11 si

notam cu ϕ (n) numarul numerelor prime cu n, mai mici sau egale cu n atunci

ϕ (n) = n (1-1

1

p ) (1-2

1

p ) … (1-kp

1).

7. Fie n un numar natural iar σ o permutare a multimii {1,2, … , n }. Spunem ca

permutarea σ admite o coincidenta daca exista i ∈ {1,2, …n} astfel incat σ (i) = i.

Sa se gaseasca numarul P(n) al permutarilor multimii {1,2, … , n } fara coincidente.

8. Daca fiecare persoana dintr-un grup de n persoane cunoaste cel putin jumatate din

persoanele din grup, sa se arate ca exista o asezare a grupului la o masa rotunda astfel incat

fiecare sta langa doua cunostinte. (Teorema lui Dirac)

9. La o conferinta se afla 12n matematicieni. Fiecare dintre ei cunoaste exact alti 3n+6

matematicieni si pentru oricare doi, numarul cunoscutilor comuni este acelasi. Sa se

determine numarul de persoane prezente la conferinta.

10. Numarul A(n) al partitiilor unei multimi cu n elemente este dat de

A(n) = 2 1( 1) 2

0

n n ii iCni

− −−∑=

.

CAP. III.

Probleme de teoria functiilor

Notiunea de functie apare din ce in ce mai mult in viata de zi cu zi. Nu ma refer la

functia economica, politica sau administrativa. Functia despre care vorbim e o relatie intre

elementele unei multimi si a altei multimi, fie ca este vorba de lingvistica, poetica, economie,

sociologie, etc. La baza tuturor acestor functii si a altora, neenumerate aici sta modelul

matematic.

1. Funcţii injective, surjective, bijective

O funcţie f: A → B se numeşte

• injectivă, dacă (∀) x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2);

• surjectivă, dacă (∀) y ∈ B, (∃ ) x ∈ A, astfel încât f(x) = y;

• bijectivă, dacă este injectivă şi surjectivă.

BAf1

BAf2 BA

f3

bijectiva

Nu e nici injectiva, nici surjectiva

Injectiva, nu surjectiva

2. Imaginea directa şi inversa

Pentru X ⊂ A, Y ⊂ B definim:

f(X) = {f(x): x ∈ X}, imaginea directă

f -1(Y) = {x ∈ A: f(x) ∈ Y}, imaginea inversă

Proprietăţi

Fie f: A → B. Atunci:

• f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y), (∀) X,Y ⊆ A ;

• f(X ∩ Y) ⊆ f(X) ∩ f(Y), (∀) X,Y ⊆ A (cu egalitate ⇔ f injectivă) ;

• f -1(X ∪ Y) = f -1(X) ∪ f -1(Y), (∀) X,Y ⊆ B ;

• f -1 (X ∩ Y) = f -1(X) ∩ f -1(Y), (∀) X,Y ⊆ B ;

• f -1(f(X)) ⊇ X, (∀) X ⊆ A (cu egalitate ⇔ f injectiva) ;

• f( f -1(Y)) = Y, (∀)Y ⊆ B ;

• f injectivă ⇔ f(CX) ⊆ Cf(X), (∀) X ⊆ A ;

• f surjectivă ⇔ f(CX) ⊇ Cf(X), (∀) X ⊆ A ;

• f bijectivă ⇔ f(CX) = Cf(X), (∀) X ⊆ A.

A BX f(X)

A Bf -1(Y) Y

Demonstrati aceste proprietati!

3. Compunerea funcţiilor

Fie f : A → B, g: B → C. Definim h: A → C ,

h = gof, h(x) = g(f(x)), (∀) x ∈ A.

Functia h se numeşte funcţia compusă a functiilor f si g.

Proprietăţi

• f, g injective ⇒ h injectivă;

• f, g surjective ⇒ h surjectivă;

• h injectivă ⇒ f injectivă;

• h surjectivă ⇒ g surjectivă.

Fie f : A → B o funcţie. Functia f se numeşte inversabilă dacă există o funcţie notată

f -1: B → A astfel încât

-1 1Af f =o ,

-1 1Bf f =o ,

1A, respectiv 1B fiind aplicaţiile identice ale multimilor A, respectiv B.

Teoremă. Fie f : A → B o funcţie.

f este inversabilă ⇔ f este bijectivă.

Propoziţie. Fie A o mulţime finită şi f : A → A o funcţie.

Atunci f injectivă ⇔ f surjectivă ⇔ f bijectivă.

Propoziţie. Fie f : A → B, g: B → C două funcţii bijective.

Atunci g o f : A → C este bijectivă şi (g o f)-1 = f -1 o g -1.

Demonstrati aceste proprietati!

4. Ecuatii functionale clasice

• Ecuatia lui Cauchy

f : R→R, f(x+y) = f(x) + f(y), (∀) x, y∈R.

• Ecuatii functionale de tip Cauchy

f : R→R, f(x+y) = f(x) f(y), (∀) x, y ∈R ;

f : R→R, f(xy) = f(x) + f(y), (∀) x, y ∈ R ;

f : R→R, f(xy) = f(x) f(y), (∀) x, y ∈R.

• Ecuatia lui Jensen

f : I→R , f((x+y)/2) = (f(x)+f(y)) / 2, (∀) x, y∈I.

• Ecuatia lui Hosszu

f : R→R, f(x+y - xy) = f(x) + f(y)- f(xy), (∀) x, y∈R.

• Ecuatia lui d’Alambert

f : R→R, f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y), (∀)x, y∈R.

Probleme propuse

1. Fie f : A → B. Să se demonstreze că:

i) f este injectivă ⇔ (∀) X multime arbitrara şi α , β : X → A, din f o α = f o β rezultă α

= β .

ii) f este surjectivă ⇔ (∀) Y multime arbitrara şi α , β : B → Y, din α o f = β o f rezultă α

= β .

2. Fie mulţimile A, B, C şi funcţiile f : A → B, g : B → C, h: C → A, considerăm aplicaţiile

compuse α = h o g o f, β = g o f o h, γ = f o h o g. Să se demonstreze că dacă două din

Incercati sa determinati aceste functii.

aplicaţiile α , β , γ sunt injective, iar a treia bijectivă, atunci aplicaţiile iniţiale f, g, h sunt

bijective.

3. Fie f: N → N astfel încât f(n+1) > f (f (n) ), (∀) n ∈ N.

(O.I.M)

4. Fie f: N → N şi a > 0 astfel încât f(n) ≥ a n2, (∀) n ∈ N. Atunci f nu poate fi surjectivă.

5. Fie f: N → N injectivă. Atunci există limn→∞ f(n) = ∞.

6. Găsiţi funcţiile f: Q → Q pentru care f(1) = 2 şi (∀) x, y ∈ Q avem:

f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) – f(x+y) + 1.

7. Să se determine toate funcţiile f: Z → R astfel încât f(-1) = f(1) şi pentru orice numere

întregi x,y avem

f(x) + f(y) = f(x + 2xy) + f(y – 2xy).

8. Să se determine toate funcţiile f: N → N care verifică pentru orice numere naturale x,y

relaţia

f(x + f(y)) = f(f(x)) + f(y).

9. Ştiind că f: R → R, f(0) = a, a ∈ R, să se determine expresia funcţiei f, dacă:

f(x + y) = x – y + f(y + 1), ∀ x,y ∈ R.

10. Determinaţi funcţia f: R\{-1} → R care verifică relaţia:

f(x) + 2 ⋅ f 1

1

x

x

− +

= x, (∀) x∈ R.

11. Să se determine funcţia f: R \ {-1;1} → R care verifică relaţia:

f(x) – f 3

1

x

x

+ −

- f 3

1

x

x

− +

= x, (∀) x∈ R \ {-1;1}.

(C.M. 1986)

12. Fie f: R → R, astfel încât a f(x) + b f(3 – x) = -3x + 5, pentru orice x∈ R, a, b fiind

constante reale. Să se determine funcţia f stiind ca f(1) = 2 şi f(2) = 5.

13. Să se determine funcţiile f şi g: R → R ştiind că

2f(x) + f(1-y) + g(x) – g(y) = 3 ⋅ (x+1)2 – 6y, (∀)x,y ∈ R.

14. Să se arate că nu există funcţii f : Z→ Z cu proprietatea : f(f(x)) = x+1, (∀)x∈Z.

Bibliografie:

1. M. Becheanu, B. Enescu, R. Gologan, M. Baluna, „Zece lectii alese de matematica elementara” , SSMR, Ed. Paralela 45, 1998;2. M. Becheanu, „A patruzeci si treia OIM”, 2002, GMB12/2002;3. T. Andreescu, D. Andrica, „O introducere in studiul ecuatiilor diofantice”, Ed. Gil, Zalau, 2002;4. I. Tomescu, „Probleme de combinatorica si teoria grafurilor”, EDP, Bucuresti, 1981;5. M.Lascu, L. Panaitopol, „Inegalitati”, Ed. Gil, Zalau, 1996;6. M.Ganga, „Teme si probleme de matematica”, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1991;7. D. Serbanescu, L. Panaitopol, „Probleme de teoria numerelor si combinatorica pentru juniori”, Ed. Gil, Zalau, 2003;8. M. Becheanu, „Probleme alese din olimpiadele de matematica”, Ed. Gil, Zalau, 1996;9. J. Cringanu, C. Ursu, „Culegere de probleme pentru concursurile scolare – clasele IX-X”, Ed. Porto Franco, Galati, 1992;10. Colectia revistei „Gazeta matematica”;11. Colectia revistei de matematica a societatii de stiinte matematice Galati.