1

MĂRIMI MAGNETICE

Se introduc speciile de mărimi primitive: inducţia magnetică în vid vB

r şi momentul

magnetic mv , iar în interiorul corpurilor se definesc mărimile derivate inducţia magnetică Br

şi intensitatea câmpului Hr

. Pentru determinarea mărimilor se va elabora teoria modelului

amperian a magnetizaţiei, teoria laplaceană a câmpului magnetic staţionar, modelul dipolar al

corpurilor magnetizate, tensiunea şi fluxul magnetic.

INDUCŢIA ÎN VID Starea de magnetizare Câmpul magnetic este câmpul electromagnetic studiat din punct de vedere al proprietăţilor

magnetice .

Câmpului magnetic i se asociează regiunea din spaţiu în care asupra corpurilor se exercită

forţe şi cupluri de natură magnetică şi funcţia de punct care îl caracterizează.

Inducţia magnetică în vid

Pentru explorarea câmpului magnetic se utilizează un mic corp de probă încărcat cu sarcină

electrică. În afara condiţiilor pe care trebuie să le îndeplinească corpul de probă pentru studierea

câmpului electric în vid, pentru studierea câmpului magnetic trebuie să fie magnetizat. Dacă două

mici corpuri de probă încărcate cu sarcină electrică nu sunt acţionate de o forţă exterioară

suplimentară forţei coulombiene, ele nu sunt magnetizate.

Pentru detectarea speciilor de mărimi magnetice, se măsoară forţa magnetică asupra

corpului cu sarcina de probă q şi viteză vr , suplimentară faţă de forţa electrică qvFr

.

Se constată că forţa magnetică mqFr

depinde de sarcina corpului de probă q , de viteza lui

relativă şi de poziţia în câmp reperată de raza vectoare rr .

),,( rvqFF mqmqrrrr

=

Experimental, se constată că:

- direcţia forţei magnetice depinde de poziţia corpului de probă şi de viteza sa, dar nu de

sarcină;

2

- sensul pe direcţia forţei este dependent doar de sarcină. Deci sarcina electrică intervine ca

factor în expresia forţei magnetice.

),( rvfqF mmq

rr=

),( rvfm

reste forţa magnetică exercitată asupra corpului încărcat cu sarcina +1C.

- într-un punct oarecare din câmp, la viteze diferite ale corpului de probă, forţele magnetice

sunt perpendiculare pe vr ;

0),( ==⋅ rvfvqFv mmq

- într-un punct oarecare din câmp, la aceeaşi sarcină electrică, forţa magnetică este funcţie

liniară de viteză, adică satisface relaţiile:

),(),(),(

),(),(

22112211 rvFrvFrvvF

rvFrvF

mqmqmq

mqmqrvrrvrrrrr

rrrr

λλλλ

λλ

+=+

=

unde λλλ ,, 21 sunt scalari reali.

- vectorul mqFr

perpendicular pe vr şi funcţia liniară de viteză, este egal cu produsul vectorial

dintre viteza vr şi un vector axial, depinzând numai de raza vectoare rr , notat )(rBv

r.

)(),( rBvqrvF vmq

rrrr×=

Mărimea vectorială de stare a câmpului magnetic în vid, care multiplicată cu produsul

între sarcina electrică q şi viteza corpului de probă vr determină forţa magnetică mqFr

care se

exercită asupra corpului de probă, se numeşte inducţie magnetică în vid, vBr

.

Unitatea de măsură a lui vBr

corespunde vectorului câmp în care asupra corpului de probă

încărcat cu sarcina electrică de 1C, având viteza de 1m/s în direcţia în care forţa este maximă,

acţionează o forţă magnetică de 1N. ( )1sin =α

[ ] Τ=sivBr

Ansamblul liniilor inducţiei magnetice constituie spectrul magnetic. Câmpul magnetic este

omogen şi uniform dacă în fiecare punct, vectorul vBr

are aceeaşi orientare şi valoare, liniile

inducţiei fiind paralele şi echidistante.

Fie o curbă Γ închisă. Totalitatea liniilor de câmp prin punctele curbei Γ alcătuiesc o

suprafaţă ΓS numită tub magnetic. Ca şi în câmp electric, nici o linie de câmp nu înţeapă suprafaţa

tubului, iar numărul liniilor de câmp prin orice suprafaţă transversală este acelaşi. Dacă aria

secţiunii transversale este infinit mică, tubul se numeşte elementar.

3

CURENT ELECTRIC DE CONVECŢIE

Forţa magnetică mqFr

asupra corpurilor încărcate cu sarcini electrice aflate în mişcare într-

un câmp magnetic este condiţionată de valorile nenule ale sarcinii şi vitezei.

Anularea oricărei mărimi din acestea, implică anularea forţei magnetice. Se introduce o

nouă mărime, derivată, definită prin efectele mecanice, magnetice ale corpurilor mobile încărcate

electric. Mişcarea corpurilor încărcate cu sarcină electrică, constituie curent electric de convecţie.

Curentul de convecţie nu este însoţit de efecte calorice şi chimice. Efectele mecanice,

magnetice (de producere de câmp magnetic) şi efectele electrice nestaţionare sunt similare.

Analogia dintre efectele mecanice şi magnetice, care însoţesc curenţii de conducţie şi

convecţie, permite caracterizarea acestuia din urmă cu o mărime derivată, scalară, similară

intensităţii i .

Se numeşte intensitate a curentului de convecţie vi , mărimea globală referitoare la o

suprafaţă deschisă ΓS cu sensul de referinţă al curbei Γ asociat după regula burghiului drept,

sensului vitezei v a corpului încărcat cu sarcina q .

Considerăm:

- vr viteza locală a mediului în care sarcina este repartizată cu densitatea de volum ),( trvρ ;

- =qd 2 sarcina care trece prin elementul de volum;

- dtvAdnvd ⋅⋅′=′ are expresia dtAdnvdvqd vv ′⋅⋅==rrρρ `2

ir

ρv

Sr

vJ vvrρ=′

Ad ′ nv

x x x αcos⋅⋅ dtv

α

4

Intensitatea curentului de convecţie elementar vdi prin elementul de suparfaţă Ad ′ se

obţine: Adnvdt

qddi vv ′⋅⋅== ρ2

.

Integrând în raport cu sarcina, rezultă relaţia dtdqiv = .

Integrând pe suprafaţă ΓS , se obţine: ∫Γ

′⋅⋅⋅=S

vv Adnvi ρ .

Mărimea vectorială vJ vv ρ= al cărei flux prin suprafaţă deschisă ΓS este curentul de

convecţie vi , se numeşte densitate a curentului de convecţie:

∫Γ

′⋅⋅=S

vv AdnJi

Rezultă că pentru [ ]2,0),( π∈vn curentul de convecţie este pozitiv pentru .0⟩vρ şi este

negativ 0⟨vi pentru .0⟨vρ

DENSITĂŢI DE VOLUM ŞI SUPRAFAŢĂ ALE FORŢEI MAGNETICE

Forţa magnetică elementară mqFdr

asupra sarcinii dq aflată în mişcare cu viteza vr în

câmp magnetic de inducţie vBr

se calculează cu relaţia: BvdqFd mq ×=r

.

Dacă sarcina este distribuită cu densitatea de volum dvdq vρ= , atunci densitatea de

forţă este: vvvvmq

mq BJBvvd

Fdf

rrr

r×=×=

′= ρ numită densitatea de volum a forţei magnetice. Dacă

sarcina este distribuită cu densitatea de suprafaţă Aρ , atunci dAdq Aρ= şi mărimea:

vAvAmq

mqs BJBvAd

Fdf ×=×=

′= ρ

rr

.

Pentru sarcina distribuită cu densitate de linie forţa elementară mqFdr

exercitată

asupra elementului de linie sd ′r

al firului C se calculează cu relaţia:

vmq BvdqrvFd ×⋅=),(r

unde `dvdq vρ=

'' dvBJBdvvFd vvvvmq ×=×=rr

ρ

5

miFdr

vB'ds

iΓ

luând 'sdJ ↑↑ , rezultă ( ) ( ) vvvvvvvv iBsdAJBsdsdABJdvBJ ×=⋅×=×=× '''''`

Deci forţa magnetică asupra firului are expresia:

vc

vmq BsdiFrrr

×= ∫ '

corespondenţa între curenţii de conducţie şi convecţie este:

CONDUCŢIE

dtdqi =

Jr

∫= dAnJi

vmi BsidFd ×=r

vm BJfrrr

×=

vems BJfrrr

×=

∫ ×= vm BsdiFrr

CONVECŢIE

dtdqi =

vJr

∫ ⋅⋅= dAnJi vv

vmq BvdqFdrr

×=

vvmq Bvfrr

×⋅= ρ

vAmq Bvfs

r×⋅= ρ

∫ ×= vvmq BsdiFrr

Din punct de vedere al efectelor mecanice, forţei Lorentz mqFr

îi corespunde forţa

magnetică miFr

exercitată asupra conductorului filiform parcurs de curentul de conducţie i având

conturul Γ identic cu curba închisă C a firului încărcat cu sarcină electrică:

vmi BsdiFrrr

×= ∫Γ

'

6

vBr

mur În poziţii de cuplu maxim

axă de rotaţie

Introducerea mărimii vBr

se poate face cu oricare dintre curenţii de convecţie sau de

conducţie. Experimental, se preferă curentul de conducţie deoarece este mai simplu de măsurat

forţa exercitată asupra conductorului fix decât asupra firului încărcat cu sarcină electrică în

mişcare.

MOMENT MAGNETIC. STAREA DE MAGNETIZARE

În afară de conductoarele parcurse de curent de conducţie şi de corpurile încărcate cu

sarcini electrice în mişcare se pot exercita acţiuni ponderomotoare şi asupra unor corpuri situate în

câmp magnetic, dintre care cele mai importante sunt cele feromagnetice. Materialele din această

clasă chiar fără tratament prealabil, produc câmp magnetic, la fel ca sarcinile în mişcare sau

curentul de conducţie.

Starea corpurilor care în câmp magnetic sunt acţionate de cupluri şi forţe suplimentare faţă

de cele condiţionate de starea lor electrocinetică sau de starea de încărcare cu sarcină electrică în

mişcare se numeşte stare de magnetizare sau polarizare magnetică. Corpurile în stare de

magnetizare se numesc magnetizate.

Considerăm un câmp magnetic de inducţie vBr

în care se aduc într-un punct, mici corpuri

magnetizate, de exemplu bucăţi de fier. Ele nu pot fi considerate puncte materiale, deoarece sunt

acţionate de cupluri. Lăsate libere se constată că pentru o anumită orientare, cuplul se anulează.

Dreapta trasată pe corpul imobil şi orientată în sensul lui vBr

se numeşte axă de magnetizare.

În orice poziţie s-ar afla corpul, rotit în jurul axei de magnetizare de versor mur , cuplul

rămâne neschimbat, axa de rotaţie formând cu versorul mur şi vectorul vBr

un triedru drept în

poziţia de cuplu maxim.

Notăm cu m funcţia care depinde numai de starea de magnetizare a corpului.

Analog cu starea de polarizare, cuplul magnetic are expresia:

vm BmCrrr

×=

mărimea mumm rr= care caracterizează starea de magnetizare a micului corp magnetizat se

numeşte moment magnetic. El este o mărime primitivă. Dimensional el este o mărime secundară.

7

Forţa exercitată asupra unui mic corp magnetizat

Se stabileşte ca şi forţa electrică pFr

şi se obţine ( ) ( ) vvm BgradmBmgradFrrrr

==

Deoarece produsul scalar vBmr

creşte cu modulul vectorului vBr

, forţa magnetică mFr

tinde

să deplaseze corpul magnetizat spre câmpul mai intens.

Dacă câmpul este uniform, 0=mFr

şi corpul este acţionat doar de cuplu.

Deci acţiunile ponderomotoare, constau din:

- forţa magnetică mFr

nenulă numai în câmp magnetic neomonogen;

- momentul rezultant meCr

care conţine o componentă datorită forţei mFr

şi o componentă de

forma: ( ) vvmmme BmBgradmrCFrCrrrrr

×+×=+×=

meC - datorită momentului magnetic ( mr )

-datorită forţei mFr

r - raza vectoare a punctului în care se găseşte corpul magnetizat, în raport cu originea

referenţialului.

Comparând expresiile lui mFr

şi meCr

cu expresiile similare pentru câmp electric, se constată

că nu intervin termeni similari lui vEqr

şi vEqrr

× . Deoarece în natură nu există forţe magnetice ║

vBr

, de tipul vBqr

.

Deci nu există sarcină magnetică adevărată mq , de tipul sarcinii electrice adevărate.

În SI unitatea de măsură a momentului magnetic este [ ]2mA ⋅ .

Magnetizaţiile Mr

şi sMr

Prin fragmentarea macroscopică a unui mic corp magnetizat, fiecare element de volum `v∆

are un moment magnetic mr∆ . Starea de magnetizare a unui corp finit se caracterizează local prin

mărimea vectorială egală cu densitatea de volum a momentului magnetic, numită magnetizaţie.

''0'lim

dvmd

vmM

Dvs

rrr=

∆∆

=→

şi momentul magnetic este integrala de volum a magnetizaţiei ∫ ′=v

vdMmrr

Liniile vectorului Mr

sunt situate în interiorul corpului.

8

O folie de grosime neglijabilă faţă de dimensiunile suprafeţei şi magnetizată se numeşte

foiţă magnetică. Mărimea vectorială egală cu densitatea de suprafaţă a momentului magnetic se

numeşte magnetizaţie de suprafaţă (superficială, respectiv puterea foiţei magnetice) sM sau mΠ .

Admd

AmM

As ′=

′∆∆

=→′∆ 0

limr

Momentul magnetic rezultat al forţei magnetice este egal cu integrala magnetizaţiei

superficiale sMr

, efectuată pe suprafaţa S.

∫ ′=S

s AdMm

[ ] mAM Si =

[ ] AM Sis =

ENERGIA DE INTERACŢIUNE A UNUI MIC CORP MAGNETIZAT

Ca şi în câmp electric, lucrul mecanic elementar dLm al unui mic corp magnetizat de

moment magnetic mr , invariabil în timp şi situat în câmp magnetic de inducţie vBr

este 0,

diferenţială exactă, iar forţele magnetice conservative derivă din energia potenţială mW .

vmm BdmdWdLrr

⋅=−=

Dacă momentul magnetic este exclusiv permanent pmr se obţine prin integrare, energia de

interacţiune a micului corp magnetizat vpm BmWr

⋅−= .

Dacă momentul magnetic este exclusiv temporar tm şi proporţional cu vBr

, deci

magnetizaţia este liniară vBrr

mtm α= unde =mα polarizabilitate magnetică, energia magnetică are

expresia:

vtvvmm BmBdBWrrr

21

−=⋅−= ∫α

9

MODELUL AMPERIAN AL CORPURILOR MAGNETIZATE

În regim staţionar, unui corp magnetizat i se asociază o repartiţie fictivă de curent electric,

echivalentă atât din punct de vedere al acţiunilor ponderomotoare exercitate de un câmp din

exterior, cât şi din punct de vedere al producerii unui câmp magnetic.

BUCLA ELEMENTARĂ DE CURENT

ACŢIUNEA PONDEROMOTORE ASUPRA EI

a) Vectorul arie al unei bucle

Se numeşte buclă elementară de curent, un conductor filiform, parcurs de curent mi ,

formând o curbă Γ de arie plană foarte mică (spiră de probă). Pentru orice suprafaţă deschisă ΓS

care se sprijină pe ea, se defineşte un vector arie ΓAr

care depinde numai de forma curbei Γ , fiind

un invariant al acesteia.

Considerăm un punct arbitrar 0 şi vectorul său de poziţie r a elementului rdr al curbei.

Vectorul arie elementar ΓdA al triunghiului format de elementul vd şi razele vectoare ale

extremităţilor acestuia orientat în sensul asociat după regula burghiului drept sensului curbei Γ ,

are expresia:

rdrAd ×=Γ 21r

Integrând se obţine vectorul arie ΓAr

∫Γ

Γ ×= rdrA21r

i

rdr

rr

i

'r

0rr

0 0′

10

Pentru a arăta că expresia obţinută este invariantă în raport cu punctul O, considerăm un

punct oarecare 'O şi 'rr raza vectoare a elementului 'rdrd = . Vectorul arie 'ΓA în raport cu

punctul 'O , calculat cu relaţia anterioară are expresia:

( ) ∫∫∫∫∫ΓΓΓ

ΓΓΓ ×=×+×=×+=×= rdrrdrrdrrdrrrdrA21

21

21

21

21

21

00'''

r

Deoarece 0=∫Γ

rd

Deci vectorul arie este independent de alegerea punctului O.

b) Acţiuni ponderomotoare în câmp magnetic uniform. Forţa magnetică mbFr

asupra buclei

de curent, se calculează cu relaţia:

Vmi BsdiF ''rr

×= ∫Γ

,

care devine:

0'' =×

=×= ∫∫

ΓΓvmvmmb BrdiBrdiF

r

deoarece 0' =∫Γ

rd

Deci forţa exercitată asupra unei bucle de o formă oarecare în câmp magnetic uniform este

nulă.

0=mbF

În raport cu un punct oarecare, O, cuplul elementar bCd al forţei elementare

vm BridFd ×= `r

are expresia:

( )( ) ( )''

'

rdrBirBrdiCdBrdriFdrCd

vmvmb

vmmb

−=

××=×=

Dublul produs vectorial a trei vectori ( )CBA ×× este un vector obţinut prin înmulţirea

vectorului A cu vectorul CB × , având expresia:

( ) ( ) ( )BACCABCBA ⋅−⋅=×× FORMULA LUI GIBBS

Integrând, se obţine:

)()(''

∫∫ΓΓ

−⋅= rdrBirdrBiC vmvmb

Ultimul termen se poate pune sub forma:

11

∫∫ΓΓ

= 2'

21)( rdBirdrBi vmvm

El se anulează deoarece este integrală curbilinie pe o linie curbă închisă a unei diferenţiale

totale exacte.

Considerăm relaţia lui Stokes :

dAVgradnVgradAdrVdSS∫∫ ∫ΓΓ

×=×=Γ

)(

câmp uniform

şi grad ( ) ( ) vvvvv BrotrrrotBBgradrrgradBrBrr

×+×++=⋅ )(

Deoarece vBr

este constant, expresia cuplului bC se transformă astfel:

( ) ( ) ∫∫∫ΓΓ

×=⋅×=⋅=Γ

S vmS vmvmb BAdirBgradAdirdrBiCr

'

Deoarece ∫Γ

Γ=S

AdA , rezultă

vmb BAiCr

×= Γ

Mărimea vectorială egală cu produsul intensităţii curentului mi prin vectorul arie ΓA al

unei bucle se numeşte moment megnetic al buclei elementare de curent, prescurtat momentul

buclei sau moment amperian bm .

Γ= Aimb

rr

şi

vbb BmCr

×=

c) Acţiuni ponderomotoare în câmp magnetic neuniform: lucrul mecanic elementar mdL

efectuat prin deplasarea elementară sdr a buclei de curent sub acţiunea forţei magnetice mbFr

, are

expresia:

( )( ) AdsdBrotidL

rdsdBiBrdsdisdFdL

S vmm

vmvmmbm

rr

r

∫∫ ∫

Γ

Γ Γ

×=

×=×=⋅=

12

( ) ( ) vvv BdivsdBgradsdsdBrotrrr

−=×

şi fiindcă div 0=vB (Inducţia magnetică în vid este un câmp de vectori solenoidal) relaţia devine:

( )[ ]∫Γ

=S vmm dABgradsdidL

rr ≈ ( )[ ]∫ Γs mv AdiBgradsd &

( )[ ]( )

( )vbmb

bvm

bvm

BmgradFmBgradsddL

mBdAgraddL

⋅=

=

=

r

rr