4. restrictii de unilateralitaterestrictii de … · 2011-10-07 · 4.3 generarea unui semnal blu...

4 RESTRICTII DE UNILATERALITATE4. RESTRICTII DE UNILATERALITATE. TRANSFORMATE HILBERT

4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale

Fie o secvenţă reală cauzală în sensul că: Fie o secvenţă reală cauzală, în sensul că:

0, pentru 0x n n

Ce constrângeri derivă din această restricţie pentru transformata Fourier în timp discret ? jX e transformata Fourier în timp discret ? X e

Partea pară x (n) şi partea impară x (n) Partea pară xp(n) şi partea impară, xi(n)

p ix n x n x n p i


1 11( ) ( ( ) ( ))

2px n x n x n 1

( ) ( ( ) ( ))2ix n x n x n

x(n) x(-n)

n n

xp(n) xi(n)

nn


Din condiţia de nilateralitate: Din condiţia de unilateralitate:

2 ( ), 0px n n 2 ( ) 0x n n

( ) ( ), 0

0, 0

px n x n n

n

2 ( ), 0( )

0, 0ix n n

x nn

sau:

,

Introducem funcţia:2, 0

( ) 1 0

n

s n n

Introducem funcţia: ( ) 1, 0

0, 0

s n n

n

aşa încât px n s n x n

0ix n s n x n x n şi


1

1 1

2 1( ) 2 ( ) ( ) 1

zS z Z u n n

2, 0

( ) 1, 0

n

s n n

1 1

( ) ( ) ( )1 1z z

( ) ,

0, 0n

Notând:

( ) { ( )} ( ) { ( )} ( ) { ( )}X Z X Z X Z

avem

( ) { ( )}; ( ) { ( )}; ( ) { ( )}i i p pX z Z x n X z Z x n X z Z x n

avem( ) ( )( )

( ) ( )( ) (0)

pX z S X z

X z S X z x

( ) ( )( ) (0)iX z S X z x


( ) ( )( )

( ) ( )( ) (0)

p

i

X z S X z

X z S X z x

Rezultă:

11 1( ) ( ) ( )

2 2p p

C C

z z v dvX z X v S v dv X v

j v j z v v

{ 1}C v C v unde

1( ) ( ) (0)

2 i

C

z v dvX z X v x

j z v v

C


Pres p nem ( ) absol t s mabil e istă Presupunem x(n) absolut sumabil există transformata Fourier (TFTD) şi cercul z=1 se află în domeniul de olomorfie al funcţiei H( )în domeniul de olomorfie al funcţiei H(z).

( ) ( ) ( ) ( )j

j j jR IX z X e X e jX e

( ) ( ) ( ) ( )j R Iz ej

x(n) este o secvenţă reală

( ) TFTD{ ( )} ( )

( ) TFTD{ ( )} ( )

j jR p p

j j

X e x n X e

jX X

( ) TFTD{ ( )} ( )j jI i ijX e x n X e


Integralele se efect ea ă pe cerc l nitar Integralele se efectuează pe cercul unitar, 1

( ) ( ) , 12 R

z v dvX z X v z

j

( ) ( )

2

1( ) ( ) (0), 1

R

C

I

j z v v

z v dvX z X v x z

( ) ( ) ( ),2 I

C z v v

Pe C v=ejω şi vom exprima z sub forma z=rejω

1( ) ( ) , 1

2

j jj j

R j j

re eX re X e d r

Pe C, v e şi vom exprima z sub forma z re

( ) ( ) ,2 R j jre e

21 1 2 sin( )

( ) ( ) ( )j j j r jrX re jX re X e d

2

( ) ( ) ( )2 1 2 cos( )

j j jR I RX re jX re X e d

r r


Re ltă: Rezultă:

2

1 2 sin( )( ) ( ) , 1j j

I R

rX re X e d r

2( ) ( ) , 1

2 1 2 cos( )I RX re X e d rr r

Relaţia de mai sus permite calculul părţii Relaţia de mai sus permite calculul părţii imaginare a transformatei Z în exteriorul cercului unitar, în funcţie de partea reală, evaluată pe cerculunitar, în funcţie de partea reală, evaluată pe cercul unitar.

Procedând la fel cu cea de a doua ecuaţie se obţine:

1 2 sin( )( ) ( ) (0) 1j j

R I

rX re X e d x r

Procedând la fel cu cea de-a doua ecuaţie, se obţine:

2( ) ( ) (0), 1

2 1 2 cos( )R IX re X e d x rr r


21

2 sin( ) sin( )lim ctg

1 2 cos( ) 1 cos( ) 2r

r

r r

care tinde către atunci când θ→ω, aşa încât integralele vor trebui calculate în sensul de valoriintegralele vor trebui calculate în sensul de valori principale:

1 1( ) . . ctg

2 2j j

I RX e V P X e d

1( ) . . ctg (0)

2 2j j

R IX e V P X e d x


S d fi f Hilb f i Se defineşte transformata Hilbert pentru o funcţie periodică de perioadă 2 (transformata Hilbert în d i l f ă) idomeniul frecvenţă) prin:

{ }( ) ( ) tH f V P f d { }( ) . . ( ) ctg

2FH f V P f d

i ltă ă t ţă lă şi rezultă că pentru o secvenţă cauzală:

1( ) { }( )jX e H X ( ) { }( )

21

( ) { }( ) (0)

jI F R

j

X e H X

X e H X x

( ) { }( ) (0)2R F IX e H X x

4.2 Restricţii în domeniul timp pentru semnale ţ p punilaterale în domeniul frecvenţă

C di i d il li î f ă Condiţia de unilateralitate în frecvenţă:

( ) 0 pentru 0jX e ( ) p

Ne propunem să vedem ce efecte are această restricţie asupra secvenţei x(n)restricţie asupra secvenţei x(n).

x(n) nu poate fi reală, pentru că altfel ar trebui ca

( ) ( )j jX e X e

( ) ( ) ( ) { ( )} { ( )}j R R( ) ( ) ( ), { ( )} , { ( )}R I R Ix n x n jx n x n x n R R

Se spune că x(n) este semnalul analitic asociatp ( )oricăreia din secvenţele reale xR(n) sau xI(n)


TFTD { ( )} TFTD{ ( )} TFTD{ ( )}jTFTD { ( )} TFTD{ ( )} TFTD{ ( )}

( ) ( )

R I

j jr i

x n x n j x n

X e jX e

Notăm:

1( ) TFTD ( ) TFTD ( ) ( )j

r RX e x n x n x n

( ) ( ) ( ) ( )2r R

1( ) TFTD{ ( )} TFTD ( ) ( )jX e x n x n x n

( ) TFTD{ ( )} TFTD ( ) ( )2i IX e x n x n x n

j

Deci:

1( ) ( ) ( )

2j j j

rX e X e X e

11( ) ( ) ( )

2j j j

ijX e X e X e


Atât cât şi s nt transformate ale( )jX ( )jX Atât cât şi sunt transformate ale

unor secvenţe reale, astfel încât( )j

rX e ( )jiX e

( ) ( )j jr rX e X e

( ) ( )j ji iX e X e ( ) ( )i i

2 ( ) 0jX e 2 ( ), 0( )

0, 0j rX e

X e

2 ( ), 0( )

0, 0

jj ijX e

X e


Condiţia de nilateralitate Condiţia de unilateralitate

( ) ( ) 0 pentru. 0j jr iX e jX e

( ), 0( )

( ) 0

jj r

i j

jX eX e

jX e

( ), 0jrjX e

( ) ( ) ( )j j ji HX e H e X e Sau ( ) ( ) ( )i H rX e H e X e

, 0( )j j

H

Sau

d ( ), 0

jH

jH e

j

t t f t l Hilb t id l

unde

este transformatorul Hilbert ideal.


R( )jX ReIm

( )jX e

-π π 2π ω( )jX e

ω( )jX ( )j

rX e

ω( )j

iX e

ω

Transformatorul Hilbert idealf

, 0( )j j

H e

20( ) ( )

jj jH HH e e H e

( ), 0HH e

j 0 ( ) sign , ,j

HH e

Funcţia de pondere a transformatorului Hilbert

1

0j j

1

( ) ( )2

j jnH Hh n H e e d

02 2

jn jnj je d e d

j j j j1 1

2 2

jn jnj e j e

jn jn

2

2

jn jne e

n

2sin ( )1 cos 2 2( ) pentru 0H

nnh n n

n n

n n

(0) 0Hh


Hh n2

2

2

3 2

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n

22

3

22sin ( )2 2

n

2

2 2 , 0( )

0 , 0

Hnh n

nn

0 , 0n


Observaţii:

– Funcţia de pondere este, cum era de aşteptat, o funcţie impară.

– Filtrul obţinut este necauzal.

– Modulul şi argumentul funcţiei de transfer:Modulul şi argumentul funcţiei de transfer:

( )jHH e arg ( )j

HH e

ω2

ω ω

2

ω-π π

2


– Se constată imediat că.( )

( ) ( ) ( )( )

jj j ji

r H ijH

X eX e H e X e

H e

– Rezultă în domeniul timp.

( ) ( ) ( ) ( )I R H T Rm

x n x m h n m x n

( ) ( ) ( ) ( )R I H T Im

x n x m h n m x n

d t t H t l t f tunde s-a notat cu H operatorul transformator Hilbert în domeniul timp

. .T Hh n

4.3 Generarea unui semnal BLU

Este utilă introducerea unui semnal analitic în b d d b ăbanda de bază.

Semnalul modulator real xR(n) de frecvenţă Semnalul modulator real xR(n) de frecvenţă maximă ωM

Semnal analitic asociat

( ) ( ) ( ) ( ) ( )j ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )R I I Rx n x n jx n x n x n

( ) 0 pentru 0jX e ( ) 0 pentru. 0jX e


Semnalul modulat0( ) ( ) ( ) ( )j n

R Is n x n e s n js n

d t f ţ tăt

În domeniul frecvenţă

unde ω0 este frecvenţa purtătoare.

În domeniul frecvenţă

0(( ) ( )jjS e X e

1( ) TFTD ( ) ( ) ( )

2j j j

r RS e s n S e S e

1( ) TFTD ( ) ( ) ( )

2j j j

i IjS e j s n S e S e


( )jrX e

-π M πω

M

( )jijX e

ω-π π

ω

( )jX e ( )X e

-π πω


( )jS e

0 M ω

0-π π

( )jS e ( )rS e

ω-π π

( )jijS e

-π π

ω


Dacă este tot un spectru de il l d i

0 ,M ( )jS e

( ) ( ) ( )j j ji H rS e H e S e

suport unilateral, deci

( ) ( ) ( )i H r

sR(n) este tocmai semnalul BLU căutat.

Semnalul complex poate se mai poate scrie ( )( ) ( ) j nx n A n e ( ) ( )

sau partea reală şi cea imaginară (componentele în cuadratură)cuadratură)

( ) ( ) cos ( )Rx n A n n ( ) ( )sin ( )Ix n A n n


1

2 2 2( ) ( ) ( )R IA n x n x n ( )

( ) arctg( )

I

R

x nn

x n

Semnalul modulat complex va fi

( )Rx n

0( ( ))( ) ( ) j n ns n A n e

i t lă t l l ă t t iar partea sa reală este semnalul căutat

0 0 0( ) ( ) cos ( ) ( ) cos ( )sinR R Is n A n n n x n n x n n 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )R R I

+( )Rx n cos ( )Rs n+–

H

( )R0cos n ( )R

H0sin n( )Ix n

Demodulatorul BLUe odu o u U

0 0 0( ) ( )sin ( ) ( )sin ( )cosI R Is n A n n n x n n x n n

2 20 0 0 0( )cos ( )sin ( ) sin cos ( )R I R Rs n n s n n x n n n x n

0cos n 0cos n

( )Rs n ( )Rx n

0cos n

0sin n

( )Is n

H

4.4 Schimbătorul de frecvenţăţ

Fie x(n) un semnal real, de bandă limitată, centrat pe frecvenţa ω cu spectrul jX e pe frecvenţa ω0, cu spectrul jX e

Dorim să translatăm acest semnal de pe frecvenţa lă î ficentrală pe , în care poate fi

– pozitiv (conversie superioară de frecvenţă) sau1 0 0

– negativ (conversie inferioară).

Vom nota cu spectrul dorit. Soluţia jY e p ţobişnuită constă în multiplicarea cu , urmată de o filtrare cu un filtru trece-sus, dacă

cos n ,

, sau trece-jos, dacă .0 0

jH ( )x n ( )u n ( )y n jH e

cos n ( )x n ( )u n ( )y n


jH e

( )x n ( )u n ( )y n

cos n

1 1cos jn jnu n x n n x n e x n e cos

2 2u n x n n x n e x n e

1 1j jjU e X e X e 2 2

U e X e X e

Vom considera cazul Prin filtrare trebuie0 Vom considera cazul . Prin filtrare trebuie eliminat spectrul centrat pe . Pentru ca acest lucru să fie posibil, este necesar ca

0

0

M acest lucru să fie posibil, este necesar ca M

Metoda se poate aplica numai pentru fi i t d

M

suficient de mare.

4.4 Schimbătorul de frecvenţă

jX e

ţ

0 M 0 0 M

0 0 0 M0

jY e

11

jU jU e jH e

0 M 0 M

0 M


O metodă ce poate fi aplicată în condiţii mai lgenerale.

( )u n

( )y n( )x n +–

( )v n

cos n ( )y n( )x n

H( )Ix n

( )v n

sin n sin n

Este de fapt echivalentă cu o modulaţie cu bandă laterală unică a purtătoarei cos(nΔω) cu semnalullaterală unică a purtătoarei cos(nΔω) cu semnalul x(n)

S l l ( ) i i t l d d i Semnalul u(n) are expresia şi spectrul deduse mai sus.


( )u n

( )( ) +–

( )v n

cos n ( )y n( )x n

H( )Ix n

( )v n

sin n sin n

1 1sin

2 2jn jn

I I Iv n x n n x n e x n ej j

2 2j j

1 1j jjI IV e X e X e

Prin scăderea spectrelor semnalelor u(n) şi x(n) se

2 2I Ij j

p ( ) ş ( )obţine spectrul semnalului dorit, y(n)

jX e

0 M 0 0 M

0

jY e

11 jU e

jIX e

jV e

4. restrictii de unilateralitaterestrictii de … · 2011-10-07 · 4.3 generarea unui semnal blu...

Documents