1

Tema 1. Structura algebrică şi topologică a mulţimilor R şi R .

Modulul 1. Mulţimile R şi R . Aspecte algebrice.

Pentru a defini axiomatic mulţimea R, amintim cele ce urmează ( până la enunţul 5). Definiţia 1. O mulţime K, având cel puţin două elemente, înzestrată cu două operaţii algebrice interne – adunarea, notată cu “+” şi înmulţirea, notată cu “∗” – astfel încât

(I) ( K,+ ) este grup abelian ( aditiv ),(II) ( K*,∗) – unde K* înseamnă K \ {0} , cu 0 elementul neutru în raport cu “+” –

este grup abelian ( multiplicativ ),(III) înmulţirea este distributivă faţă de adunare

se numeşte corp comutativ.Acesta se notează cu ( K,+, ∗), iar elementul său neutru faţă de “∗” cu 1.Observaţie. Elementele 0 şi 1, precum şi simetricele, în raport cu “+” şi “∗”, ale oricăror elemente din K sunt unice.Definiţia 2. i) O relaţie binară pe o mulţime nevidă A, notată cu “≤”, se numeşte relaţie de ordine ( parţială ) pe A dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă, adică dacă suntsatisfăcute axiomele:

( r ) x ≤ x , ∀ x ∈ A ;( a ) ∀ x, y ∈ A , x ≤ y şi y ≤ x ⇒ x = y ;( t ) ∀ x, y, z ∈ A , x ≤ y şi y ≤ z ⇒ x ≤ z .

ii) Mulţimea A, înzestrată cu relaţia de ordine “≤”, se numeşte ( parţial ) ordonată, fiindnotată cu ( A, ≤ ).iii) ( A, ≤ ) se numeşte total ( liniar ) ordonată când ∀ x, y ∈ A , x ≤ y sau x ≥ y.Exemple. 1) Mulţimea ( N, ≤1 ) , unde , ∀ x, y ∈ N , x ≤1 y dacă şi numai dacă există

k ∈ N astfel încât y = x + k, este total ordonată.2) ( N, ≤2 ) , cu x ≤2 y dacă şi numai dacă există k ∈ N astfel încât y = k⋅x este o

mulţime parţial ordonată.3) Dacă X ≠ ∅ , iar P(X)={A / A ⊂ X} este mulţimea părţilor lui X, atunci relaţia de strictă

incluziune A ⊂ B ( ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B şi ∃ x*∈ B astfel încât x*∉ A) este una de ordine parţială pe P (X).

4) Mulţimea ( Q, ≤ ), adică mulţimea numerelor raţionale dotată cu ordinea uzuală “≤”este total ordonată.

Definiţia 3. O mulţime total ordonată (A, ≤) se numeşte complet ordonată, dacă orice submulţime nevidă şi majorată a lui A admite o margine superioară în A.Observaţie. Nu orice mulţime total ordonată este şi complet ordonată.Astfel, de exemplu,( Q, ≤ ) este total ordonată şi are submulţimea B = {r ∈ Q| r3 < 2} nevidă şi majorată, cusup B = 3 2 ∉ Q. Deci B nu are marginea superioară în Q , Q nefiind complet ordonată.Definiţia 4. Fie ( K,+, ∗) un corp comutativ şi “≤” o relaţie de ordine definită pe K. a) Dacă sunt satisfăcute axiomele

(O1) ( K, ≤ ) este mulţime total ordonată,(O2) ∀ x, y ∈ K , x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z, ∀z ∈ K,(O3) ∀ x, y ∈ K , x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ xy ≥ 0,

{

2

K se numeşte corp ordonat , fiind notat cu ( K,+, ∗;≤ ).b) ( K, +, ∗; ≤ ) se numeşte corp complet ordonat când mulţimea (K, ≤) este completordonată în raport cu relaţia de ordine dată “≤”.Teorema 1. Într-un corp comutativ şi ordonat ( K,+, ∗;≤ ) sunt adevărate următoarele afirmaţii:

(1) ∀ x, y ∈ K are loc una şi numai una din relaţiile:x < y (x ≤ y şi x ≠ y), x = y, x > y (x ≥ y şi x ≠

y);(2) 0 < 1;(3) 0 < x ⇒ −x< 0;(4) ∀x, y, z, t ∈ K, x ≤ y şi z ≤ t ⇒ x + z ≤ y + t;(5) ∀x, y ∈ K, x ≥ 0 şi y ≤ 0 ⇒ xy ≤ 0;(6) ∀x, y, z ∈ K, x ≤ y şi z ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz.

Demonstraţia se bazează pe definiţiile 1, 2 şi 4.Observaţie. ( Q,+, ∗;≤ ) este corp comutativ ordonat, dar necomplet, pentru că, oricare ar fi α ∈ Q , x şi y din R astfel încât α < x şi y < α.Definiţia 5 ( a corpului R ). a) Un corp comutativ şi complet ordonat, incluzând pe Q, senumeşte mulţime a numerelor reale sau sistem al numerelor reale şi se notează cu R.b) Elementele din R se numesc numere reale , iar ( R,+, ∗;≤ ) este denumit corpul numerelor reale.Teorema 2. R are următoarele proprietăţi algebrice fundamentale:

( p1 ) ∀ x ∈ R, x > 0, ∃ n ∈ N* astfel încât x ≤ n < x + 1;( p2 ) ∀ x, y ∈ R, y > 0, ∃ n ∈ N astfel încât x ≤ ny ( principiul lui Arhimede );( p3 ) ∀ x ∈ R , x > 0 şi ∀ n ∈ N , n ≥ 2, există şi este unic y ∈ R , y > 0, astfel încâtyn = x ( y se notează cu n x şi se numeşte rădăcina reală, de ordin n, a lui x );

1( p4 ) ∀ x∈R, x > 0, ∃ n∈N \ {0}, astfel încât

0 < < x ;n

( p5 ) ∀ x, y∈R, x < y, ∃ r ∈ Q astfel încât x < r < y. Demonstraţia se poate vedea consultând bibliografia ([10], [11], [13]).Definiţia 6. Fie ( R,+, ∗;≤ ) corpul numerelor reale.

a) Aplicaţia | ⋅ |: R→R definită prin ⎧− x , x < 0

x = max − x, x = ⎨şi verificând axiomele:

(N1) |x| ≥ 0, ∀x ∈ R şi |x| = 0 ⇔ x = 0, (N2) |xy| = |x||y|, ∀x, y∈ R,(N3) |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ R

⎩ x , x ≥ 0

se numeşte funcţia modul (valoare absolută) sau normă pe R.def

b) Aplicaţia d: R × R → R, dată de d ( x, y ) =

x − y , ∀x, y ∈ R , care satisface axiomele:

(D1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R şi d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (D2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ R,(D3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ R

se numeşte funcţia distanţă (metrica uzuală) pe R.

3

Sunt cunoscute următoarele relaţii:x − y ≤ x − y , ∀x, y ∈ R;

⎨

x =

x, ∀x, y ∈ R, y ≠ 0;

y y

|x| ≤ α ⇔ -α ≤ x ≤ α, pentru x ∈ R şi α > 0.Dacă ( K’,+, ∗;≤ ) şi ( K’’,+, ∗;≤ ) sunt două corpuri ordonate, atunci o funcţie f:

K’→K’’ , bijectivă şi cu proprietăţile (de păstrare a operaţiilor “+” şi “∗”)f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y∈ K’ şi f(x y) = f(x) f(y), ∀x, y ∈ K’

şi (de păstrare a relaţiei de ordine)x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y), ∀x, y ∈

K’, se numeşte izomorfism de corpuri ordonate.Se poate vedea că un corp complet ordonat este unic până la un izomorfism de

corpuri ordonate. Mai exact, are loc următorul rezultat:Teorema 3. ([13]) Corpul complet ordonat al numerelor reale, introdus aici axiomatic (prin Definiţia 5) este unic determinat până la un izomorfism de corpuri complet ordonate.Observaţii.1. Există ([6], [13]) cel puţin patru moduri de a defini corpul numerelor reale: construcţia

lui Dedekind (cu tăieturi), construcţia lui Cantor (cu şiruri Cauchy de numere raţionale), construcţia zecimală (cu fracţii zecimale infinite neperiodice) şi construcţia axiomatică.

2. Modelul geometric pentru R este dat prin stabilirea unei corespondenţe biunivoce întrepunctele unei drepte (numită axa reală) şi elementele lui R, folosind conceptul de coordonată pe axă. Din acest motiv, în loc de R, mai spunem dreapta reală sau dreapta numerică reală.

3. Bijecţia între R şi punctele unei drepte permite realizarea unor raţionamente de factură geometrică în anumite demonstraţii, precum şi folosirea unui limbaj geometric în prezentarea unor noţiuni şi afirmaţii din discipline matematice ce fac referire la R.

Există situaţii în care este de descris, în termeni matematici, ce se întâmplă “dincolo” sau

“dincoace” de orice număr real fixat. Altfel spus, avem nevoie de mulţimea R .Definiţia 7. Fie două elemente, notate cu -∞ şi +∞, care nu sunt numere reale şi care satisfac axiomele:

-∞ < +∞I) -∞ < x < +∞, ∀x∈R,

II)(+∞)+x=+∞, ∀x∈R

(-∞)+x=-∞, ∀x∈R,

III) (+ ∞)∗ x = ⎧+ ∞,

− ∞

∀x ∈ R ,

∀x ∈ R

x > 0,

x <⎩ , , 0

IV) sunt fără sens operaţiile (+∞)+(-∞) , 0 ∗ (±∞) , ± ∞ .

± ∞

Mulţimea R ∪ {− ∞,+∞}, notată

cu

R , pe care se păstrează adunarea, înmulţirea şi

ordinea de pe R, cu respectarea regulilor uzuale de calcul şi a axiomelor I-IV, se numeşte mulţimea extinsă a numerelor reale ( dreapta reală încheiată sau dreapta reală compactificată ).

)

Observaţii.1. Elementele -∞ şi +∞ (din R ) se numesc minus infinit şi respectiv plus infinit ( punctele de la infinit ale dreptei reale ). Întrucât, prin axiomele II şi III, -∞ şi +∞ au o parte din proprietăţile de calcul ale numerelor reale, ele se consideră numere improprii.

2. Adunarea şi înmulţirea nu sunt operaţii (algebrice, interne) peste tot definite pe R şi,

din acest motiv, nu dau o structură algebrică pe R .3. Prin extinderea relaţiei de ordine “≤” de la R la R (prin axioma I), ( R ,≤) este o mulţime total ordonată.

Modulul 2. Aspecte topologice ale lui R şi R

Definiţia 8. O submulţime I ⊂ R se numeşte interval dacă are proprietatea: (8) ∀ a, b ∈ I şi ∀ c ∈ R, a ≤ c ≤ b ⇒ c ∈ I.Observaţii.1. Mulţimile R şi ∅ sunt intervale.2. ∀ a, b ∈ R, a < b, sunt intervale mulţimile:

(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b},

(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b},

(a, + ∞) = {x ∈ R | x > a}, [a, + ∞) = {x ∈ R | x ≥ a},(- ∞, b) = {x ∈ R | x < b}, (- ∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b}.

În acest sens, R = (- ∞, + ∞) şi ∅ = (a, a), ∀ a ∈ R.3. Interval în R înseamnă o mulţime I ⊂ R de forma (a, b), [a, b], (a, b] sau [a, b), unde

a, b ∈ R şi a < b. Astfel, R = [− ∞,+∞].

4. Dacă I ⊂ R este interval din R , atunci J = I ∩ R este un interval din R.

În R are loc următorul rezultat:Teorema 4. (Cantor - Dedekind). ([16]) Dacă (I n n∈N este o familie de intervale închise şi

∞

mărginite din R, In = [an, bn], ∀ n ∈ N, astfel încât In ⊃ In+1, ∀ n∈N, atunci intersecţia

I In n=0

este o mulţime nevidă. Această mulţime este unipunctuală când d (an , bn

)(adică bn − an )

tinde la 0 pentruDefiniţia 9. Fie

n → +∞ .x0 ∈ R şi − ∞, + ∞ din R .

1) Se numeşte vecinătate a elementului x0 o submulţime V ⊆ R pentru care există un interval deschis (a, b) ⊂ R astfel încât x0 ∈ (a, b) ⊆ V.

2) Se numeşte vecinătate a elementului +∞ o submulţime W ⊆ R pentru care existăa∈R astfel încât (a, + ∞] ⊆ W.

3) Se numeşte vecinătate a elementului -∞, o submulţime W ⊆ R pentru care existăa∈R astfel încât [- ∞, a) ⊆ W.

Se notează cu V (x0) (⊂ P (R)) sistemul tuturor vecinătăţilor lui x0 ∈ R, cu V (+ ∞)

sistemul tuturor vecinătăţilor elementului +∞ şi cu V (- ∞) sistemul tuturor vecinătăţilorelementului -∞. Este evident că V (x) ≠ Φ , ∀x ∈ R , deoarece R ∈ V (x).Teorema 5. ∀ x∈ R , mulţimea V(x) are următoarele proprietăţi ce o

caracterizează: (v1) ∀ V ∈ V (x), x ∈ V (V ≠ ∅, ∀ V ∈ V (x) );(v2) ∀ V ∈ V (x), W ⊆ R , V ⊂ W ⇒ W ∈ V (x);

(v3) ∀ V, W ∈ V (x) ⇒ V ∩ W ∈ V (x).(v4) ∀ V ∈ V (x), ∃ U∈ V (x), astfel încât ∀ y∈U ⇒ V ∈ V (y).

Demonstraţie.(v1) ∀ V ∈ V (x) ⇒ ∃ (a, b) ⊂ R astfel încât x ∈(a, b)⊂ V (x). Deci x∈V şi V ≠ ∅.(v2) ∀ V∈V (x), W ⊆ R , cu V⊂W, ∃ (a, b) ⊆ R , astfel încât x∈(a, b) ⊆ V ⊂ W. Deci x∈(a, b) ⊂ W, adică W ∈ V (x).(v3) ∀ V, W ∈ V (x), ∃ (a, b) ⊂ R , astfel încât x∈(a, b) ⊆ V şi ∃ (c, d) ⊂ R , astfel încâtx∈(c, d) ⊆ W. Luând α = max{a, c} şi β = min{b, d}, avem x∈ (α, β) ⊂ V ∩W. DeciV ∩W ∈ V (x).(v4) ∀ V∈V (x), ∃ (a, b) ⊂ R , astfel încât x∈(a, b) ⊆ V. Luând U = (a, b), avem: ∀ y∈U,V ∈ V (y).◄Teorema 6. (Hausdorff) ∀ x, y ∈ R , x ≠ y, ∃V ∈V (x), W∈V (y), astfel încât V∩W = ∅.

Demonstraţie. x ≠ y ⇒ α = d(x, y) > 0. Luăm V = (x -

α , x +

α ), W = (y -

α , y +

α ) şi

3 3 3 3atunci V ∩W = ∅.◄Definiţia 10. Fie A o submulţime nevidă a lui R.

1. Un element x0∈A se numeşte punct interior al lui A dacă există V ∈ V (x0), astfel încât V ⊂ A.

o

2. Mulţimea punctelor interioare ale lui A, notată cu Ainteriorul lui A.

3. x0∈R se numeşte punct de acumulare al lui A, dacă(9) ∀ V ∈ V (x0), (A – {x0}) ∩ V ≠∅.

sau cu Int(A), se numeşte

4. Mulţimea punctelor de acumulare ale lui A, notată cu A’, se numeşte mulţimea derivată a lui A.

5. Un element x0 ∈ R se numeşte punct aderent al mulţimii A dacă(10) ∀ V ∈ V (x0), A ∩ V ≠∅.

6. Mulţimea punctelor aderente ale lui A, notată cu A , este numită aderenţa(închiderea) lui A.

Observaţii.

1. Evident, au loc incluziunile:o

A ⊆ A, A’ ⊆

A şi A ⊆ A .

2. Mulţimea A = { 1

n| n∈N*} are pe 0 ca singur punct de acumulare. Deci, în acest

caz, A’ = {0}.3. Pentru A = (a, b) ⊂ R, avem A’ = [a, b] = A , căci orice x0∈(a, b) este punct de acumulare al lui A şi, de asemenea, a şi b sunt puncte de acumulare pentru A.

4. Mulţimea A = N ⊂ R nu are puncte de acumulare aparţinând lui R. Elementul+∞ este singurul său punct de acumulare din R . Deci N’ = {+∞}.

Teorema 7 (Bolzano - Weierstrass) ([13], [16]). Orice mulţime infinită şi mărginită dinR admite cel puţin un punct de acumulare.Definiţia 11.1. O mulţime F⊂ R se numeşte închisă dacă orice punct de acumulare pentru F aparţine

lui F, adică F’ ⊆ F. Atlfel spus, F = F .

2. O mulţime D⊂R se numeşte deschisă dacă complementara sa în R, adică R \ D, este o mulţime închisă din R.

o

Se poate vedea ([13]) că D este o mulţime deschisă dacă şi numai dacă D = D .Notăm cu F familia mulţimilor închise din R şi cu T familia tuturor mulţimilor deschise din R. Evident, F ⊂ P (R) şi T ⊂ P (R).Teorema 8 ([3], [10], [13]).

( i ) F are următoarele proprietăţi caracteristice: ( i1 ) ∅ ∈ F , R ∈ F ;( i2 ) ∀ F1, ..., Fn ∈ F ⇒ F =

n

U Fi ∈ F ;i =1

( i3 ) ∀ {Fα}α∈I cu Fα ∈ F, ∀ α∈ I ⇒ F =

( ii ) T are proprietăţile :( ii1 ) ∅ ∈ T , R ∈ T ;

I Fα ∈ F ;α ∈I

( ii2 ) ∀ {Dα}α∈I cu Dα ∈ T, ∀ α∈ I ⇒ D =

n

U Dα ∈ T ;α∈I

Observaţii.

( ii3 ) ∀ D1, ..., Dn ∈ T ⇒ D =

I Di ∈ T .i =1

1. T se numeşte topologie ( uzuală ) pe R.2. ∀ D ∈ T , D ≠ ∅ şi ∀ x∈D ⇒ D∈ V(x).3. Orice D ∈ T se poate reprezenta printr-o reuniune oarecare de intervale deschise din R,adică D = U (aα , bα ) , unde aα, bα ∈ R şi aα < bα, ∀ α∈I.

α∈I

4. ∀ a, b ∈ R, cu a ≤ b ⇒ [a, b] ∈ F. De asemenea, (− ∞, a] şi [b, + ∞) aparţin lui F . Oricesubmulţime finită a lui R este din F. Q ∉ F.5. ∀(a, b) ⊆ R, cu a < b ⇒ (a, b)∈ T . La fel, (− ∞, a) şi (b, + ∞) sunt intervale deschise, camulţimi din T .Definitia 12.1. O mulţime A ⊂ R se numeşte mărginită, dacă există un interval I, mărginit, din R, I =

[α , β ] ⊂ R , astfel încât A ⊂ I.2. O mulţime A ⊂ R care este mărginită şi închisă se numeşte mulţime compactă.3. O mulţime A ⊂ R este denumită densă în R, dacă A = R.Pentru orice a, b ∈ R, cu a < b, intervalele (a, b), [a, b) , (a, b]

şi[a,

b]sunt mulţimi

mărginite în R, iar intervalele (− ∞,

a),(− ∞, a], (b, + ∞) şi [b, + ∞) sunt nemărginite.

Teorema 9 ([13], [16]). Mulţimea Q este densă în R.Definiţia 13. O mulţime nevidă A ⊆ R se numeşte convexă, dacă ∀ x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0,

1], avem: (1 - λ)x + λy ∈ A.Observaţii:1. Corespondenţa λ ∈ R → (1 - λ)a + λb cu a, b ∈ R este o funcţie strict crescătoare

şi surjectivă care aplică intervalul (0, 1) pe (a, b) şi respectiv [0, 1] pe [a, b].2. În R, este adevărată afirmaţia:(11) A este interval ⇔ A este convexă ⇔ ∀ x, y ∈ A, x < y, [x, y] ⊆ A.3. În R rămân valabile teoremele 6 şi 7.

4. Pentru A ⊂ R, avem +∞ ∈ A’ dacă şi numai dacă A este mulţime nemărginită în R. În aceste circumstanţe, teorema 7 (Boltzano – Weierstrass) are următorul enunţ:

“ În R orice mulţime infinită are cel puţin un punct de acumulare în R ”.Definiţia 14. O mulţime A ⊂ R se numeşte conexă dacă nu există două mulţimi(deschise) D1, D2 ∈ T, nevide (D1 ≠ ∅, D2 ≠ ∅) şi disjuncte (D1 ∩ D2 = ∅) astfel încât:A ⊆ D1∪ D2,

D1 ∩ A ≠ Φ,

D2 ∩ A ≠ Φ şi

A ∩ D1 ∩ D2 = Φ .

Observaţie. Singurele mulţimi conexe din R sunt intervalele (de orice tip).