8.2. EXTREMELE FUNCIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

8.2.1. EXTREME LIBERE

BREVIAR TEORETIC Definiia 1. Funcia RRAf n : admite un maxim local (minim local) n punctul Aaaaa n = ),...,,( 21 dac exist o vecintate V a punctului a astfel nct oricare ar fi

AVxxxx n = ),...,,( 21 are loc inegalitatea )()( afxf (respectiv )()( afxf ). n aceste condiii, spunem c punctul a este punct de extrem local pentru funcia f . Dac inegalitile de mai sus sunt verificate pe tot domeniul de definiie A , spunem c punctul a este punct de maxim (minim) global pentru funcia f .

Definiia 2. Fie RRAf n : . Punctul Aaaaa n int),...,,( 21 = este punct staionar pentru funcia f

dac f este difereniabil n a i difereniala 0);( =axdf . Observaie. Dac punctul Aaaaa n int),...,,( 21 = este punct

staionar, 0);( =axdf implic nkafkx ,1,0)(

' == .

Propoziie. Dac funcia RRAf n : admite un extrem local

n punctul Aaaaa n = ),...,,( 21 i exist '

kxf ntr-o vecintate a

punctului a , nk ,1= , atunci nkafkx ,1,0)(

' ==

Teorema 1. Fie RRAf 2: i ( ) Aba int, un punct staionar pentru f . Presupunem c f admite derivate pariale de ordinul doi, continue ntr-o vecintate V a punctului ( )ba, . Considerm O

nly

for s

tude

nts

expresia ( ) ( )[ ] ( ) ( )bafbafbafba yxxy ,,,, ''''2'' 22 = . Atunci: 1. Dac 0),( baf x ;

- punct de maxim local, dac 0),('' 2 ba , atunci ( )ba, este punct a.

Teorema 2. Fie RRAf n : . Presupunem c punctul Aa este punct staionar pentru f i funcia f are derivate pariale de ordinul doi continue ntr-o vecintate V a punctului a . Atunci: )1 dac ( ) 0;2 axfd , pentru orice AVx , atunci a este

punct de minim local; )3 dac ( )axfd ;2 este nedefinit, atunci a este punct a.

Algoritm de determinare a punctelor de extrem local pentru o funcie RRAf n : Etapa 1. Determinm punctele staionare, care sunt soluiile

sistemului: ( )

( )

( )

=

=

=

0,...,,

.....................................

0,...,,

0,...,,

21'

21'

21'

2

1

nx

nx

nx

xxxf

xxxf

xxxf

n

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staionare sunt puncte de extrem local. Acest lucru se poate realiza n mai multe moduri:

Metoda I. Pentru fiecare punct staionar ( )naaaP ,...,, 21 calculm matricea hessian: O

nly

for s

tude

nts

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

nxnxxnxx

nxxnxnxx

nxxnxxnx

n

aafaafaaf

aafaafaaf

aafaafaaf

aaaH

nnn

n

n

,..,.........,..,,..,

......................................

,..,.........,..,,..,

,..,........,..,,..,

),...,,(

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

21

221

22212

12121

i minorii n ,......,, 21 ai acesteia, unde i este minorul format din primele i linii i i coloane ale matricei ),( baH , ni ,1= . Discuie. Dac toi minorii 0>i , atunci ),...,,( 21 naaaP este punct de minim local. Dac minorii i alterneaz ca semn, ncepnd cu minus, atunci

),...,,( 21 naaaP este punct de maxim local. Orice alt combinaie de semne, cu 0i , implic

),...,,( 21 naaaP punct a.

Metoda II. (pentru funciile de dou variabile) Pentru fiecare punct staionar ( )baP , calculm expresia:

( ) ( )[ ] ( ) ( )bafbafbafba yxxy ,,,, ''''2'' 22 = . 1. Dac ( ) 0, bafx ;

- punct de maxim local, dac ( ) 0,'' 2 ba , atunci ( )ba, este punct a.

Observaia 1. n cazul funciilor de dou variabile, ( ) 2, = ba . Prin urmare, dac 02 ba , deci ( )ba, este punct a.

Metoda III. Se calculeaz difereniala de ordinul al doilea a funciei n punctul staionar ( )naaaa ,...,, 21= i se aplic teorema 2. O

nly

for s

tude

nts

Observaia 2. Existena unui punct de extrem local poate fi pus n eviden cu ajutorul metodelor prezentate numai dac funcia f este difereniabil n acel punct i admite derivate pariale de ordinul doi continue ntr-o vecintate a punctului respectiv. n caz contrar sau n cazul n care prin aplicarea metodelor de mai sus nu se poate stabili natura punctului, se folosete:

Metoda IV. Definiia punctului de extrem local. PROBLEME REZOLVATE

1. S se determine punctele de extrem local ale funciei: 7514526),(,: 322 ++= yxyyxyxfRRf .

Rezolvare: Etapa 1. Determinm punctele staionare, care sunt soluiile

sistemului:

=

=

0),(

0),('

'

yxf

yxf

y

x

Avem c: 5166),(

4512),(22'

'

+=

=

yxyxf

xyyxf

y

x , prin urmare obinem sistemul:

=+

=

=+

=

21722

415

22 05166

04512

yx

xy

yx

xy

Notm

=

=

=

===+

42, 4

15

2172

415

S

P

PS

PPxySyx

Pentru 25

223

14152

415 ,04,4 ===+== ttttPS , deci O

nly

for s

tude

nts

=

=

25

1

23

1

y

x sau

=

=

23

2

25

2

y

x.

Pentru 25

223

14152

415 ,04,4 ===++== ttttPS ,

deci

=

=

25

3

23

3

y

x sau

=

=

23

4

25

4

y

x.

Am obinut punctele staionare: ( ) ( ) ( ) ( )

23

25

425

23

323

25

225

23

1 ,,,,,,, PPPP .

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staionare sunt puncte de extrem local. Metoda I. Scriem matricea hessian:

( )( ) ( )

( ) ( )

=

yxyx

yxyxyxH

ff

ff

yyx

xyx

,,

,,,

''''

''''

2

2

.

Avem: ( ) ( )[ ] yyxfyxf xxx 12,, '''' 2 == ; ( ) ( )[ ] ( )yxfxyxfyxf yxyxxy ,12,, '''''' === ; ( ) ( )[ ] yyxfyxf yyy 12,,

''''2 == , deci

=

yxxy

yxH12121212

),( .

( ) 057630181830

,03030181830

, 2125

23 >==>=

=H , prin

urmare ( )25231 ,P este punct de minim local. ( ) 0576

18303018

,01818303018

, 2123

25 =

=H , prin Onl

y fo

r stu

dent

s

urmare ( )23252 ,P este punct a. ( ) 0576

30181830

,03030181830

, 2125

23 >=

=

( )( )

=+

=+

=+

=+

=

=

21432

1832

032

032

0),(

0),(2

2

14

8

'

'

xyy

xyx

xy

yx

yxf

yxf

y

x

y

x .

Am obinut un sistem omogen. nmulim prima ecuaie cu 14 , pe cea de-a doua cu ( )8 i adunm relaiile obinute; rezult:

089140161828 2222 =+=+ yxyxyxyx . mprim aceast

ecuaie prin ( )022 yy i notm tyx = . Obinem: 21

278

12 ,08914 ===+ tttt . Rdcina negativ nu convine,

deoarece 0>x i 0>y , prin urmare avem xyt yx 22

1 === .

nlocuind xy 2= n ( )1 , rezult 1=x . Cum 0>x , rezult c singura valoare care se accept este 1=x , de unde obinem 2=y . Am obinut un singur punct staionar: ( )2,1P . Etapa 2. Stabilim dac acesta este punct de extrem local.

Avem: ( ) ( )[ ] 22 8'''' 2,, xxxx yxfyxf +== ; ( ) ( )[ ] ( )yxfyxfyxf yxyxxy ,3,, '''''' === ; ( ) ( )[ ] 22 14'''' 2,, yyyy yxfyxf +== , deci matricea hessian este: ( )

( ) ( )( ) ( )

+

+=

=

2

2

2

2

14

8

''''

''''

23

32

,,

,,,

y

x

yyx

xyx

yxfyxf

yxfyxfyxH .

Avem c ( ) 0463

310,010

3

3102,1

21121

211 >==>=

=H ,

prin urmare ( )2,1P este punct de minim local. O

nly

for s

tude

nts

3. S se determine punctele de extrem local ale funciei:

( )zx

zyyxzyxfRRf 1

4),,(,:

3* +++= .

Rezolvare: Etapa 1. Determinm punctele staionare. Avem c:

2'

2'

2'

11),,(

41),,(

1),,(

zxzyxf

yxzyxf

xz

yzyxf

z

y

x

=

+=

=

, de unde rezult sistemul:

=

=+

=

011

041

01

2

2

2

zx

yx

xz

y,

echivalent cu

=

=

=

xz

yx

yzx

2

2

2

4

=

=

=

yzz

zy

zx

4

22

2

4

=

=

=

yzz

zy

zx

4

22

2

4

=

==

yz

zyzx

3

2

2 ; am folosit c *,, Rzyx .

Pentru 2,22,222 3 ===== xyzzzzy . Pentru 022 3 === zzzzy (nu convine) sau Rzz = 22 . Am obinut punctele staionare )2,22,2(1P i )2,22,2(2 P . Etapa 2. Stabilim natura punctelor staionare, folosind matricea hessian.

3'' 2),,(2

xzzyxfx = ; 3

'' 2),,(2y

xzyxf y =

3'' 2),,(2

zzyxf z =

Onl

y fo

r stu

dent

s

),,(1),,( ''2'' zyxf

yzyxf yxxy == ;

),,(1),,( ''2'' zyxf

xzyxf zxxz == ; ),,(0),,(

'''' zyxfzyxf zyyz ==

=

=

),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

),,(''''''

''''''

''''''

2

2

2

zyxfzyxfzyxf

zyxfzyxfzyxf

zyxfzyxfzyxf

zyxH

zzyzx

yzyyx

xzxyx

=

32

32

223

201

021

112

zx

yx

y

xyxz

, deci

=

220

41

082

81

41

81

42

)2,22,2(H

Avem c 042

1 >= ; 0643

2 >= ; 0642

3 >= , prin

urmare )2,22,2(1P este punct de minim local.

( )

=

220

41

082

81

41

81

42

2,22,2H

042

1 = ; 0642

3

4. S se determine punctele de extrem local ale funciei: ( )4),(,: 222 += yxxyyxfRRf .

Rezolvare: Funcia f se mai poate scrie: xyxyyxyxf 4),( 33 += . Etapa 1. Determinm punctele staionare. Avem c:

+=

+=

xxyxyxf

yyyxyxf

y

x

43),(

43),(23'

32'

=+

=+

043

04323

32

xxyx

yyyx

( )( )

=+

=+

043

04322

22

yxx

yxy

Cazul )a ( )0,000

1Pxy

== .

Cazul )b ( ) ( )0,2;0,2243

03222 PPxyx

y=

=+

=.

Cazul )c ( ) ( )2,0;2,020

4354

22PPy

xyx =

==+ .

Cazul )d

=+

=+

43

4322

22

yx

yx ; nmulim prima relaie cu ( )3 i apoi o

adunm cu cealalt; obinem: 112 == xx ; pentru ( ) ( )1,1;1,111 76 == PPyx ; pentru ( ) ( )1,1;1,111 98 PPyx == . Am obinut punctele staionare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,0,2,0,0,2,0,2,0,0 54321 PPPPP , ( ) ( ) ( ) ( )1,1;1,1,1,1;1,1 9876 PPPP .

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staionare sunt puncte de extrem local. O

nly

for s

tude

nts

xyyxf x 6),(''2 = ; xyyxf y 6),(

''2 = ; 433),( 22'' += yxyxf xy .

Matricea hessian: ( )

+

+=

xyyx

yxxyyxH

6433

4336,

22

22.

Calculm ( )

=

0440

0,0H ; avem c 01 = , prin urmare

natura punctului nu se poate preciza folosind matricea hessian. n acest caz, calculm expresia:

( ) ( )[ ] ( ) ( )yxfyxfyxfyx yxxy ,,,, ''''2'' 22 = i obinem ( ) ( ) 22222 36433, yxyxyx += . Avem c: ( ) 0160,0 >= , prin urmare ( )0,01P este punct a. ( ) 0640,2 >= , deci ( )0,22 P este punct a. ( ) 0640,2 >= , deci ( )0,23P este punct a. ( ) 0642,0 >= , deci ( )2,04 P este punct a. ( ) 0642,0 >= , deci ( )2,05P este punct a. ( ) 0321,1 =xf deci ( )1,16 P este

punct de minim local. ( ) 0321,1

5. S se determine punctele de extrem local ale funciei: 234),,(,: 2343 ++++= yxzzyxzyxfRRf .

Rezolvare: Etapa 1. Determinm punctele staionare. Avem c:

xzzyxf

yzyxf

zxzyxf

z

y

x

42),,(

33),,(

44),,(

'

2'

3'

+=

=

+=

, de unde rezult sistemul:

=+=

=+

042033

0442

3

xzy

zx,

echivalent cu

=

==

02

21

3

2

xx

xzy

==

==

=

22;0

2;0

1

3,21

3,21

2,1

mzz

xx

y

Am obinut punctele staionare ( )0,1,01P , ( )0,1,02 P , ( )22,1,23 P , ( )22,1,24 P , ( )22,1,25 P , ( )22,1,26 P .

Etapa 2. Stabilim natura punctelor staionare, folosind matricea hessian.

2'' 12),,(2 xzyxf x = yzyxf y 6),,(''2 =

2),,('' 2 =zyxf z

),,(0),,( '''' zyxfzyxf yxxy == ; ),,(4),,(

'''' zyxfzyxf zxxz == ;

),,(0),,( '''' zyxfzyxf zyyz ==

Matricea hessian este: ( )

=2040604012

,,

2

yx

zyxH .

Onl

y fo

r stu

dent

s

( )

=

204060400

0,1,0H ; avem c 01 = , prin urmare nu se

poate stabili natura punctului ( )0,1,01P folosind matricea hessian. De aceea vom studia semnul diferenialei de ordinul al doilea a funciei n punctul ( )0,1,01P . Avem c:

( ) ( )( ) dxdzdzdyydxxzyxzyxfd 82612,,;,, 2202200002 +++= .

( ) ( )( ) dxdzdzdyzyxfd 8260,1,0;,, 222 ++= . Pentru a afla semnul acestei expresii, folosim metoda lui Gauss de reducere la forma canonic a unei funcionale ptratice. Obinem: ( ) ( )( ) ( ) =+++= 22222 844260,1,0;,, dxdxdxdzdzdyzyxfd

( ) 222 8226 dxdxdzdy ++= , deci ( ) ( )( )0,1,0;,,2 zyxfd este nedefinit, prin urmare ( )0,1,01P este punct a. ( ) ( )( ) ( ) =+++= 22222 844260,1,0;,, dxdxdxdzdzdyzyxfd

( ) 222 8226 dxdxdzdy ++= , deci ( ) ( )( )0,1,0;,,2 zyxfd este nedefinit, prin urmare ( )0,1,02 P este punct a. ( ) ( )( ) =+++= dxdzdzdydxzyxfd 8262422,1,2;,, 2222

( ) 016226 222 >+++= dxdxdzdy , deci ( )22,1,23 P este punct de minim local. ( ) ( )( ) =++= dxdzdzdydxzyxfd 8262422,1,2;,, 2222

( ) 222 16226 dxdxdzdy +++= , deci ( )22,1,24 P punct a. Analog, obinem c ( )22,1,25 P este punct de minim local i ( )22,1,26 P este punct a. O

nly

for s

tude

nts

CAPITOLUL 8 - FUNCII DE MAI MULTE VARIABILE REALE8.1. LIMIT. CONTINUITATE. DERIVATE PARIALE. DIFERENIABILITATE8.2. EXTREMELE FUNCIILOR DE MAI MULTE VARIABILE8.2.1. EXTREME LIBERE8.2.2.EXTREME CONDIIONATE (CU LEGTURI)

8.3. METODA CELOR MAI MICI PTRATE