24 difractia luminii

A. Rusu, S. Rusu 23. Difracia luminii

1

24. Difracia luminii

24.1. Principiul Huygens-Fresnel. Difracia Fresnel

Fenomenul de interferen studiat n capitolul precedent demonstreaz foarte clar proprietile ondulatorii ale luminii. ns acest fenomen nu poate explica propagarea rectilinie a luminii n medii omogene i izotrope. Mai mult ca att, dup cum arat observaiile experimentale, n apropierea obstacolelor au loc devieri de la propagarea rectilinie.

Fenomenul de ocolire a obstacolelor ntlnite n calea propagrii undelor sau orice deviere de la legile opticii geometrice la propagarea lor n apropierea obstacolelor se numete difracie.

n cazul undelor mecanice fenomenul de difracie se explic uor cu ajutorul principiului Huygens.

Conform principiului Huygens orice punct al mediului pn la care a ajuns unda la momentul dat devine o surs de unde sferice secundare, iar nfurtoarea lor la un moment ulterior reprezint noul front de und.

Din figura 24.1, care ilustreaz acest principiu, se observ c unda plan ptrunde parial i n regiunea din spatele paravanului. De exemplu, sunetul poate fi auzit i dup colul cldirii, ceea ce nseamn c unda sonor ocolindu-l, ptrunde n regiunea de umbr a cldirii. Este evident, c dac lumina reprezint o und, atunci ea trebuie s posede un comportament asemntor. Din observaii, ns, rezult c la propagarea luminii exist anumite particulariti.

S analizm procesul de propagare a luminii cnd n calea ei este situat un paravan prevzut cu o diafragm, care limiteaz o deschidere circular reglabil. Dac deschiderea circular este mare, atunci pe un ecran situat n apropierea diafragmei se observ o pat luminoas cu un contur pronunat, urmat de regiunea de umbr (fig. 24.2, a). Conturul pronunat al petei luminoase demonstreaz c lumina se propag rectiliniu i nu ptrunde n regiunea de umbr, adic efectul de difracie nu se manifest. Dac, ns, vom ndeprta ecranul, atunci la distane mult mai mari dect dimensiunile deschiderii diafragmei vom observa o uoar ptrundere a luminii n regiunea de umbr, adic dispariia conturului pronunat al petei luminoase i manifestarea efectului de difracie. Condiia respectiv poate fi ndeplinit i n alt mod, i anume, micornd dimensiunile deschiderii diafragmei astfel nct diametrul ei s fie mult mai mic dect distana pn la ecran. n acest caz pe ecran se formeaz o serie de inele concentrice alternativ luminoase i ntunecate (fig. 24.2, b). Imaginea obinut pe ecran n asemenea situaii este numit tablou de difracie. Acesta demonstreaz c n apropierea obstacolelor de dimensiuni mici lumina nu se propag rectiliniu, ea poate ptrunde i n regiunea de umbr. Fenomenul de difracie poate fi observat uneori i n condiii obinuite. De exemplu, inelele colorate care se observ n jurul surselor de lumin, privite n condiii de cea sau prin geamuri aburite, apar din cauza difraciei luminii pe

Fig. 24.1

Fig. 24.2


2

particulele foarte mici de ap, care constituie obstacole de dimensiuni comparabile cu lungimea de und.

Fenomenul difraciei luminii a fost observat pentru prima dat de ctre savantul italian Francesco Grimaldi (1618 1663), ns a fost explicat abia n anul 1818 de ctre fizicianul francez A. J. Fresnel (1788 1827). El a observat c principiul Huygens explic doar modul de propagare a frontului de und i direcia de propagare a undei, ns nu spune nimic despre amplitudinea i intensitatea undelor secundare care se propag n diferite direcii. Pentru rezolvarea acestei probleme Fresnel a completat principiul Huygens cu ideea despre interferena undelor secundare (numit ulterior principiul Huygens Fresnel).

Orice punct al mediului pn la care ajunge unda luminoas la momentul dat devine surs de unde sferice secundare coerente, care apoi interfereaz, iar rezultatul interferenei reprezint noul front de und.

Conform acestui principiu unda de lumin emis de o surs poate fi prezentat ca rezultatul superpoziiei undelor secundare coerente care sunt emise de nite surse imaginare aflate pe o suprafa nchis, n interiorul creia se afl sursa de lumin. n calitate de surse imaginare pot servi elementele infinit mici ale suprafeei de und care oscileaz n aceeai faz i deci sunt coerente. Dac se iau n considerare amplitudinile i fazele undelor secundare, atunci n fiecare caz concret poate fi determinat amplitudinea undei rezultante n orice punct al spaiului. n caz general rezolvarea acestei probleme este destul de complicat i se conine n teoria matematic a difraciei luminii care a fost elaborat n anul 1883 de ctre fizicianul german G. R. Kirchhoff (1824 1887).

n cazul n care lumina se propag de la o surs punctiform printr-un mediu omogen i izotrop Fresnel a rezolvat aceast problem folosind o metod de calcul cu raionamente simple, care ulterior a fost numit metoda zonelor Fresnel.

S determinm amplitudinea undei luminoase care se propag de la o surs punctiform S ntr-un punct oarecare M din spaiu (fig. 24.3). n conformitate cu principiul Huygens Fresnel nlocuim aciunea sursei S prin aciunea surselor secundare imaginare care se afl pe frontul de und F. Esena metodei zonelor Fresnel este de a mpri frontul de und n zone inelare dispuse astfel, nct distanele de la marginile a dou zone vecine pn la punctul de observaie M s se deosebeasc cu /2 (fig. 24.3), adic

1 0 2 1 ...2

FM F M F M FM

.

O astfel de mprire poate fi realizat, dac vom trasa nite sfere cu centru n punctul M, avnd razele ce difer cu /2:

; 2 ; ...;2 2 2

b b b m

,

unde b este distana de la punctul de observare M pn la vrful frontului de und, iar m este numrul zonei. ntruct modificarea diferenei de drum optic de la dou zone vecine cu /2 conduce la variaia defazajului undelor care se propag de la ele cu , aceste unde vor sosi n punctul de observaie M n opoziie de faz i se vor atenua reciproc. Din aceast cauz amplitudinea undei luminoase rezultante n punctul M este

1 2 3 4 ... ...mE E E E E E (24.1)

Fig. 24.3


3

unde 1 2, ,... mE E E sunt amplitudinile oscilaiilor punctului M provocate de undele sosite de la zonele

cu numerele 1, 2,, m.

Valoarea amplitudinii mE depinde de aria

suprafeei zonei m i unghiul m dintre normala

exterioar la suprafaa zonei i direcia spre punctul de observare M (fig. 24.4). S calculm aria suprafeei zonei cu numrul m. Pentru aceasta observm c zona m evideniaz pe frontul de und un segment sferic cu

nlimea mh . Dac notm aria lui cu mS , iar a

segmentului sferic delimitat de zona m 1 - cu 1mS ,

atunci aria zonei m este egal cu diferena ariilor segmentelor sferice menionate

1m m mS S . (24.2)

Aria segmentului sferic se exprim prin nlimea lui mh , care poate fi determinat cu ajutorul

figurii 24.4. ntr-adevr, din triunghiurile dreptunghice mSF O i mMF O rezult

2 2

2 22 2 2 22 2

m m m m mr a a h b m b h ah mb bh m

. (24.3)

Lund n considerare c b i mh a din (24.3) obinem relaiile pentru nlimea segmentului

sferic

2mmb

ha b

(24.4)

i pentru raza zonei cu numrul m

2m mab

r ah ma b

. (24.5)

Aria suprafeei laterale a segmentului sferic delimitat de zona m reprezint suma ariilor a m zone

2m mab

S ah ma b

i din (24.2) pentru aria zonei m obinem

mab

a b

. (24.6)

Se observ c aria zonei arbitrare m nu depinde de numrul ei, adic toate zonele au arii egale i cu ct ele se afl mai departe de punctul de observaie, cu att aciunea ei n acest punct va fi mai

mic. Totodat pentru zonele mai ndeprtate se mrete i unghiul m , iar conform principiului

Huygens Fresnel se micoreaz intensitatea undelor secundare emise de aceast zon n direcia

spre punctul de observare M, adic se micoreaz amplitudinea mE . Din cele menionate rezult, c

amplitudinile oscilaiilor punctului M, provocate de undele secundare care sosesc n acest punct sunt ntr-o relaie descresctoare, adic

1 2 3 ... ...mE E E E

ntruct lungimea de und a luminii este de ordinul micrometrilor, numrul de zone de pe frontul

de und este foarte mare, de ordinul 610 . De aceea se poate considera c amplitudinea mE a oscilaiei

Fig. 24.4


4

provocate de aciunea zonei m este egal cu valoarea medie a amplitudinilor 1mE i 1mE ale

oscilaiilor provocate de zonele nvecinate

1 1

2

m m

m

E EE

. (24.7)

Atunci amplitudinea undei luminoase rezultante n punctul de observaie M poate fi reprezentat sub forma

3 3 51 1 12 4 ...2 2 2 2 2 2 2 2

m mE E E E EE E EE E E

. (24.8)

ntruct conform (24.7) expresiile dintre toate parantezele sunt egale cu zero, iar amplitudinea oscilaiei provocate de ultima zon este neglijabil, obinem

1

2

EE .

Aadar, aciunea rezultant ntr-un punct oarecare al spaiului este egal cu jumtate din aciunea doar

a zonei centrale Fresnel, a crei raz este destul de mic (pentru 10cma b i 60,5 10 m din

(24.5) avem 1 0,016 cmr ). Rezult c propagarea luminii ntr-un mediu omogen de la sursa S spre

punctul de observaie M are loc printr-un canal ngust de-a lungul dreptei SM, adic rectiliniu. n funcie de forma frontului de und care ajunge n punctul de observare se deosebesc dou tipuri

de difracie. Dac acest front de und este plan atunci difracia este numit difracie Fraunhofer sau difracie n raze paralele, iar dac frontul de und este sferic atunci ea este numit difracie Fresnel sau difracie n raze concurente. n continuare vom analiza dou exemple n care se manifest difracia Fresnel.

1. Difracia pe un orificiu circular mic. Admitem c o und sferic emis de sursa punctiform S, ntlnete n calea sa un obstacol de form circular practicat ntr-un paravan netransparent. Tabloul de difracie se va observa pe un ecran E cu centrul n punctul M situat pe dreapta ce unete punctul S cu centrul orificiului (fig. 24.5). Ecranul E este paralel cu planul

orificiului i se afl la distana b de la acesta. mprim partea deschis a frontului de und F n zone Fresnel. Este evident c aspectul tabloului de difracie depinde de numrul de zone Fresnel care se cuprind pe suprafaa deschis a frontului de und. Dup cum rezult din (24.1) i (24.8) amplitudinea undei luminoase rezultante n punctul M este

1

1

1, impar,

2

1, par.

2

m

m

E E E m

E E E m

(24.9)

Aadar,

dac pe frontul de und deschis de orificiu se cuprinde un numr impar de zone Fresnel, atunci n centrul tabloului de difracie se formeaz un maxim de interferen, iar dac numrul de zone este par un minim de interferen.

Fig. 24.5


5

Maximele i minimele vor fi cu att mai pronunate, cu ct valorile 1E i mE vor fi mai apropiate,

adic numrul de zone Fresnel de pe poriunea deschis a frontului de und va fi mai mic. Acest numr depinde att de dimensiunile orificiului, ct i de distana b de la planul orificiului pn la

ecran. Este evident c dac 1mE E , atunci tabloul de difracie dispare: lumina se propag rectiliniu.

Pentru un numr mic de zone Fresnel tabloul de difracie reprezint un sistem de inele concentrice cu centrul n punctul M alternativ luminoase i ntunecate (fig. 24.2,b). Dac orificiul este iluminat cu lumin alb (ne monocromatic), atunci inelele din tabloul de difracie sunt colorate.

2. Difracia pe un disc mic. Unda sferic emis de sursa S ntlnete n calea sa un obstacol sub forma unui disc de dimensiuni mici. Tabloul de difracie se observ pe ecranul E ntr-un punct M situat pe linia care unete centrul discului cu sursa S (fig. 24.6). n acest caz primele zone Fresnel sunt acoperite i de aceea amplitudinea undei rezultante n punctul M este

1 1 3 3 5

1 2 3 4 5 2 4... ...2 2 2 2 2

m m m m m

m m m m m m m

E E E E EE E E E E E E E

sau

1

2

mEE

,

deoarece n conformitate cu (24.7) expresiile dintre

paranteze sunt egale cu zero. Rezult c n centrul

tabloului de difracie (punctul M de pe ecran)

ntotdeauna se va observa un maxim de interferen,

adic o pat luminoas numit i pata lui Poisson,

care corespunde unei jumti din aciunea primei

zone Fresnel deschise. Pata luminoas este

nconjurat de inele concentrice cu centrul n

punctul M, fiind alternativ ntunecate i luminoase,

iar intensitatea lor se micoreaz odat cu

ndeprtarea de centru. Dac discul este iluminat cu

lumin alb, atunci n centrul tabloului se observ o pat luminoas tot alb, dar nconjurat de inele

concentrice colorate.

Mrind dimensiunile discului se acoper tot mai multe zone Fresnel, iar prima zon descoperit se

ndeprteaz tot mai mult de punctul de observare M i unghiul m (vezi fig. 24.4) se mrete. Ca

rezultat intensitatea luminii din pata lui Poisson se micoreaz, iar inelul ntunecat care urmeaz se

lrgete, formnd regiunea de umbr a discului.

24.2. Difracia Fraunhofer

Un interes practic aparte al fenomenului de difracie -l constituie cazul difraciei Fraunhofer. n

acest caz asupra obstacolului luat sub forma unei fante sau a unui orificiu ngust este incident un flux

de raze paralele. Acesta se obine cnd sursa se afl foarte departe de la obstacol (de exemplu, razele

de lumin care provin de la un corp ceresc luminos) sau dac o surs de dimensiuni mici este plasat

n focarul unei lentile convergente. La trecerea luminii prin fant sau prin orificiul ngust se produce

fenomenul de difracie i razele de lumin -i pierd proprietatea de a fi paralele, propagndu-se sub

diferite unghiuri fa de direcia iniial. Undele care se formeaz dup trecerea luminii prin fant sau

orificiu sunt numite unde difractate, iar direciile de-a lungul normalelor la suprafeele lor de und

Fig. 24.6


6

se numesc raze difractate. Distribuia intensitii undelor

difractate n diferite direcii poate fi observat cu ajutorul unei

lentile convergente, n planul focal al creia este aezat un

ecran.

S analizm difracia luminii n raze paralele de la o fant

cu lungimea mult mai mare dect limea acesteia (o deschidere

cu limea de ordinul sutimilor de milimetru i lungimea de

civa milimetri dintr-un paravan netransparent). Admitem c

pe o fant cu limea a este incident normal un flux de raze

paralele (fig. 24.7). ntruct planul fantei coincide cu frontul

undei incidente, toate punctele lui oscileaz n aceeai faz i,

deci, sunt surse de unde secundare coerente care dup

difractare pot s interfereze. Astfel pe ecranul E se va observa

un sistem de franje luminoase i ntunecate numit n acest caz

tablou de difracie. Din multitudinea de raze difractate ce se

propag de la planul fantei n toate direciile posibile, doar

razele paralele vor avea aceeai faz i vor interfera. De aceea

tabloul de difracie poate fi observat cu ajutorul lentilei

convergente L. Diferena de drum optic AC dintre razele ce pleac de la marginile fantei AB

sinBC a , (24.10)

unde este unghiul de inciden pe lentila L, plasat paralel cu planul fantei, a razelor paralele

difractate, numit i unghi de difracie.

Divizm partea deschis a frontului undei plane (planul fantei AB) n zone Fresnel, care reprezint

nite benzi paralele cu muchia fantei A. Lrgimea fiecrei zone se ia astfel, nct diferena de drum

optic de la marginile zonelor vecine s fie egal cu 2 , de aceea pe limea fantei vor ncpea

2 zone. Folosind (24.10) avem

sin

Numrul de zone Fresnel2

a

. (24.11)

n punctul de observaie E de pe ecran care coincide cu un focar secundar al lentilei L se va

observa un maxim sau un minim n funcie de paritatea sau imparitatea numrului de zone Fresnel de

pe limea fantei AB. Dac numrul de zone este impar atunci din (24.11) se obine condiia

maximelor de difracie

sin 2 12

a m

, (24.12)

iar dac numrul de zone este par condiia minimelor de difracie

sin 22

a m

, (24.13)

unde 1, 2, 3,...m este numrul de ordine al maximului sau al minimului de difracie. n centrul

tabloului de difracie (punctul 0E pe ecranul E) n direcia 0 acioneaz oscilaiile n aceeai faz

provocate de toate regiunile fantei i de aceea se formeaz maximul de cea mai mare intensitate,

numit maxim de difracie central.

Fig. 24.7


7

Dup cum rezult din condiiile (24.12) i

(24.13) direciile n care se formeaz maximele i

minimele sunt date, respectiv, de relaiile

max min

sin 2 1 , sin2

m ma a

.

Calculele teoretice demonstreaz c intensitatea

luminii n maxime descrete foarte repede

0 1 2 3: : : :... 1:0,047 :0,017 :0,0083:...I I I I ,

adic, partea principal a energiei luminoase este

concentrat n maximul central (fig. 24.8,a). Acelai

rezultat se confirm i experimental. n figura

24.8,b este prezentat fotografia tabloului de

difracie obinut cu lumin monocromatic roie.

Se observ c intensitatea luminii n maximele

de difracie este destul de redus i de aceea

observarea fenomenului de difracie de la o singur fant este dificil. S-a constatat c pentru

obinerea unui tablou de difracie mai pronunat, lumina trebuie transmis printr-un sistem de fante.

ntr-adevr, cu ct numrul fantelor este mai mare, cu att mai mult lumin ptrunde n ele. Pe de

alt parte, franjele luminoase observate n acest caz reprezint rezultatul nu numai al difraciei, dar i

al interferenei mai multor unde, a undelor care sosesc n punctul dat al ecranului de la celelalte fante.

Cu alte cuvinte, intensitatea luminoas a franjei obinute de la o fant este amplificat de aciunea

celorlalte.

Aceast metod de amplificare a intensitii

luminoase a tabloului de difracie st la baza

dispozitivului numit reea de difracie. Ea este

alctuit dintr-un numr mare de fante nguste

paralele, rectilinii, egale, echidistante i foarte

apropiate una de alta. Reelele de difracie sunt

confecionate din lame transparente sau

reflectoare (oglinzi plane). n ambele cazuri

sunt trasate un numr N de linii (zgrieturi)

echidistante. Liniile reprezint poriuni cu

multe asperiti, de aceea mprtie lumina

incident pe reea, iar spaiile dintre ele,

rmnnd transparente sau reflectoare,

ndeplinesc rolul fantelor reelei. Mrimea d =

a + b, unde a este limea unei fante, iar b a

unei zgrieturi, se numete constanta sau

perioada reelei (fig. 24.9). Dac se cunoate

numrul de zgrieturi (fante) pe o unitate de

lungime l, adic n = N/l, atunci pentru perioada reelei putem scrie:

1l

dN n

. (24.14)

Fig. 24.8

Fig. 24.9


8

Amplitudinea undei luminoase rezultante E ntr-un punct oarecare F al ecranului F, n care se

ntlnesc razele de la toate fantele reelei reprezint rezultatul interferenei mai multor unde de aceeai

amplitudine 0E . Conform relaiei (23.23) din Capitolul precedent amplitudinea undei luminoase n

punctul cercetat este

0

0

sin 2

sin 2

NE E

. (24.15)

Defazajul 0 dintre dou raze care se propag de la dou fante vecine se poate determina prin

diferena de drum optic al acestora (fig. 24.9). ntr-adevr, din figur se observ c diferena de

drum optic

sind ,

unde este unghiul de difracie. Atunci pentru diferena de faz avem

02 2

sind

. (24.16)

Introducnd (24.16) n (24.15) i lund n considerare c undele provenite de la fiecare fant

reprezint interferena unui numr N de unde secundare cu amplitudinea

0

sin sin

sin

aE E

a

,

avem

0sin sin sin sin

sin sin sin

a NdE E

a d

(24.17)

Din (24.17) rezult c maxE E , atunci cnd sin sin 0d , adic atunci cnd se

ndeplinete condiia

sind n , (24.18)

unde 0, 1, 2,...n .Expresia (24.18) reprezint condiia maximelor principale, iar n este numit

numrul de ordine a maximului principal.

Tot din (24.17) rezult c 0E cnd sin sin 0a , adic undele provenite de la diferite

puncte ale fiecrei fante n rezultatul interferenei se suprim complet. Astfel obinem condiia

minimelor principale:

sina m , (24.19)

unde m = 1, 2,

Dup cum s-a constatat la interferena mai multor unde, n afar de maximele principale mai exist

i maxime secundare. Condiia acestora este

sinp

dN

, (24.20)

unde p ia orice valori ntregi pozitive cu excepia p = 0, N, 2N, 3N, pentru care ea trece n condiia

maximelor principale (24.18).


9

n figura 24.10,a i b sunt reprezentate

spectrele obinute cu reeaua de difracia

iluminat cu lumin violet i, respectiv,

roie. Dup cum se constat experimental,

odat cu creterea ordinului maximelor

intensitatea lor luminoas se micoreaz,

iar mrirea numrului de fante (micorarea

perioadei d) conduce la creterea distanei

dintre franjele luminoase.

Dac reeaua de difracie este iluminat

cu lumin alb, atunci tabloul de difracie apare colorat, obinndu-se cte un spectru pentru fiecare

ordin al tabloului, iar maximul central (m = 0) rmnnd tot din lumin alb (fig. 24.10, c). Totodat,

datorit dependenei poziiei maximelor principale de lungimea de und, partea violet a spectrelor

este orientat spre centrul tabloului, iar cea roie spre exterior. n acest caz reeaua de difracie poate

servi n calitate de aparat spectral pentru descompunerea luminii n spectru i pentru msurarea

lungimii de und.

Una dintre cele mai importante caracteristici ale aparatelor spectrale este puterea de rezoluie a

acestora.

Puterea de rezoluie caracterizeaz capacitatea unui aparat spectral de a separa dou linii

spectrale de lungimi de und apropiate.

n acest scop se utilizeaz criteriul Rayleigh n care se afirm c

dou componente de intensiti egale se consider separate dac

maximul uneia coincide cu minimul celeilalte (fig. 24.11,a).

Dac acest criteriu nu se ndeplinete, atunci se observ doar o

singur component (fig. 24.11,b). Astfel puterea de rezoluie R

a unui aparat spectral se definete prin relaia:

R

. (24.21)

S calculm puterea de rezoluie a unei reele de difracie.

Admitem c maximele de ordinul n pentru lungimile de und 1

i 2 se observ sub unghiurile de difracie 1 i 2 :

1 1 2 2sin ; sind n d n . (24.22)

La trecerea de la un maxim principal la minimul vecin diferena de drum optic se modific cu N ,

unde N este numrul de fante al reelei. Atunci pentru 1 minimul corespunde unui unghi de difracie

:

11sind nN

(24.23)

Conform criteriului Rayleigh 2 i din (24.22) i (24.23) obinem

12 1n nN

,

Fig. 24.10

Fig. 24.11


10

de unde, cu ajutorul definiiei (24.21), pentru puterea de rezoluie a reelei de difracie avem

1

2 1

R nN

. (24.24)

Aadar, puterea de rezoluie a reelei de difracie este proporional cu numrul de fante i cu numrul

de ordine al maximului principal.

24 difractia luminii

Documents