49

2.3. DERIVABILITATE (RECAPITULARE)

Definiţia 1: Fie [ ] R→baf ,: continuă şi fie ( )bax ,0 ∈ . Spunem că f este

derivabilă în punctul def

x ⇔0 există, este unică şi finită limita :

( ) ( ) ( )0

00

'

0

limxx

xfxfxfxx

notatie

−−

=====→

(1).

Limita poartă numele de derivată a funcţiei f în punctul 0x şi are notaţia

( )0' xf sau ( )0x

dxdf .

Interpretare geometrică: Reprezentând grafic funcţia ( )xff = pe [ ]ba, , în sistemul cartezian xOy, atunci avem:

( ) ( )( ) ( )

ACBAOAOBxxxOAxOB

BCAABBxfxfAAxfBBxf

==−=−==

=−=−==

''''';'

''';'

0

0

0

0

Atunci raportul: ( ) ( ) ( )xtg

ACBC

xxxfxf

α==−−

0

0 (2)

Trecând la limită relaţiile (1)+(2) avem:

0x x

y

x

A

B

C

A’ B’

α Xα

50

( ) ( ) ( ) ( ) αα tgtgACBC

xxxfxfxf xxxxxxx

===−−

=→→→ 000

limlimlim0

00

' , unde α este unghiul

format de sensul pozitiv al axei Ox (dreapta AC) cu tangenta la grafic în punctul ( )00 , yxA . Concluzie: Derivata unei funcţii f în punctul 0x reprezintă panta tangentei la grafic în punctul ( )( )00 , xfx , adică ( ) αtgxf =0

' . Observaţii:

1. ( ) αtgxf =0'

2. Cum limita (1) trebuie să fie unică, atunci trebuie să avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

0

0

0

00

'

00

000

limlimlimxx

xfxfxx

xfxfxx

xfxfxfxxxx

xxxxxx −

−=

−−

=−−

=>→

<→→

(4).

Dar ( ) ( ) ( )0

00

'

00

limxx

xfxfxfxxxxs −

−=

<→

reprezintă panta tangentei la stânga

lui Error! Bookmark not defined. 0x , iar

( ) ( ) ( )0

00

'

00

limxx

xfxfxfxxxxd −

−=

>→

reprezintă panta tangentei la dreapta lui

Error! Bookmark not defined. 0x . Din relaţia (4) rezultă relaţia ( ) ( )0

'0

' xfxf ds = (5), care este importantă pentru înţelegerea noţiunii de derivată. 3. Dreapta sub formă explicită baxy += are panta αtga = .

x

y

y=ax+b

O

α

51

Dreapta sub formă generală 0=++ cbyax adusă la forma canonică

0, ≠−−= bbcx

bay are panta

batg −=α .

4. Pentru ca tangenta la graficul funcţiei ( )xfy = în punctul 0x să aibă panta m dată trebuie ca să fie îndeplinită condiţia: ( ) mxf =' (6).

5. Fiind dată o dreaptă sub forma baxy += şi o funcţie f pentru care se cere să se determine un punct 0x astfel ca tangenta la grafic să fie paralelă cu dreapta, trebuie pusă condiţia: ( ) axf =' (7).

6. Orice funcţie care este derivabilă în 0x este şi continuă în 0x . Reciproca nu este totdeauna adevărată, adică există funcţii care sunt continue în 0x şi care nu sunt derivabile în 0x .

Exemplu: Funcţia ( ) xxf = cu RR →:f este evident continuă în 00 =x , dar nu este derivabilă pentru că:

( )

<−≥

=0,

0,xx

xxxf , atunci ( )

<−≥

=0,1

0,1'

xx

xf şi ( ) ( ) 1010 '' =≠−= ds ff .

7. Pentru ca funcţiile ( )xfy 11 = şi ( )xfy 22 = să fie tangente în 0x ,

trebuie ca graficele celor două funcţii să treacă prin acelaşi punct ( )00 , yxA şi să aibă tangentele egale, adică să satisfacă condiţiile:

Error! Bookmark not defined.( ) ( )( ) ( )

=

=

0'20

'1

0201

xyxy

xyxy

(8)

x

y

O

),( 00 yxA

)(11 xfy =

)(22 xfy =

52

8. Ecuaţia tangentei la graficul funcţiei ( )xfy = în punctul 0x este

( ) ( ) ( )( )00'

0: xxxfxfyT −=− (9). 9. Ecuaţia normalei la graficul funcţiei ( )xfy = în punctul 0x este

( ) ( ) ( ) ( )00

'0

1: xxxf

xfyN −−=− (10).

Panta tangentei este ( )0

' xfm = . Panta normalei este ( ) mxf

m 11

0'

' −=−= .

Aceste două pante sunt legate de relaţia 01' =+⋅mm , care reprezintă condiţia de ortogonalitate a tangentei şi a normalei.

Definiţia 2: Fie [ ] R→baf ,: ; ( )bax ,0 ∈ este un punct de maxim local pentru funcţia f dacă ( ) ( )0xfxf ≤ pentru ( ) x∀ în vecinătatea punctului 0x (

0xx V∈ ). Definiţia 3: Punctul 0x este punct de minim local pentru funcţia f dacă ( ) ( )0xfxf ≥ pentru ( )

0xx V∈∀ .

x

y

O

y=f(x)

(T)

(N)

53

10. Teorema Fermat: Dacă [ ] R→baf ,: este derivabilă în ( )bax ,0 ∈ şi dacă 0x este punct de extrem, atunci ( ) 00

' =xf . Reciproca acestei teoreme nu este totdeauna adevărată, adică dacă

( ) 00' 0 xxf ≠>= este punct de extrem.

Contraexemplu: Funcţia RR →:f cu ( ) 3xxf = are ( ) 00' =f , dar punctul 00 =x nu este punct de extrem.

Definiţia 4: Pentru o funcţie ( )xfy = , un punct 0x care are ( ) 00

' =xf spunem că este punct staţionar. Determinarea punctelor de extrem (faţă de cele staţionare) se face cu ajutorul semnului derivatei. a)

x 0x f’(x) + 0 - f(x)

Max 0x este punct de maxim

b)

x 0x f’(x) - 0 + f(x)

Min

3xy =

54

0x este punct de minim

c) x 0x

f’(x) - 0 - f(x)

staţionar 0x este punct staţionar d)

x 0x f’(x) + 0 + f(x)

staţionar

0x este punct staţionar

11. Dacă 0x este punct de maxim (minim) şi maximul (minimul) funcţiei f în 0x este a , atunci avem condiţiile:

( )( )

==

axfxf

0

0' 0

(12).

Definiţia 5: Funcţia [ ] R→baf ,: continuă este derivabilă pe ( )ba, dacă este derivabilă în fiecare punct ( )bax ,0 ∈ , adică în ( ) ( )bax ,0 ∈∀ , avem

îndeplinite condiţiile: ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( )

=

==

0'

0'

000

xfxfbxfxfxfa

ds

ds (13).

Definiţia 6: Funcţia [ ] R→baf ,: este de clasă n ( [ ]

nbaCf ,∈ ) dacă este continuă,

are derivate de orice ordin până la ordinul n inclusiv şi fiecare derivată este continuă. Definiţia 7:

55

Funcţia [ ] R→baf ,: este indefinit derivabilă (nedefinit derivabilă) dacă este continuă, are derivată de ordin n continuă pentru ( ) *N∈∀ n .

12. Funcţiile elementare sunt funcţii indefinit derivabile. Teoremele analizei matematice Teorema Fermat: Fie [ ] R→baf ,: o funcţie derivabilă şi ( )bax ,0 ∈ punct de extrem pentru funcţia f , atunci ( ) 00

' =xf (sau altfel spus, în orice punct de extrem derivata se anulează). Teorema Rolle: Fie [ ] R→baf ,: . Dacă:

a) f este continuă pe [ ]ba, b) f este derivabilă pe ( )ba, c) ( ) ( )bfaf =

Atunci ( ) ( )bac ,∈∃ astfel încât ( ) 0' =cf . 13. Teorema lui Rolle spune că dacă f este continuă, derivabilă şi

( ) ( )bfaf = , atunci ( ) ( )bac ,∈∃ pentru care panta tangentei este zero sau punctul c este punct de extrem.

14. Consecinţa teoremei lui Rolle: Dacă funcţia f este un polinom de grad n , ( ) ( )xPxf n= şi dacă 1x şi 2x sunt două rădăcini consecutive ale ecuaţiei ( ) 0=xPn , atunci [ ] [ ]21 ,, xxba ≡ şi aplicăm teorema lui Rolle pentru că ( ) ( )xPxf n= este funcţie elementară (continuă şi derivabilă) şi ( ) ( ) ( ) ( ) 02121 ==== xPxPxfxf nn . Deci rezultă că există ( )21 , xxc∈ astfel ca ( ) ( ) 0'' == cPcf n . Altfel spus, această consecinţă afirmă că între două rădăcini consecutive ale funcţiei polinomiale există cel puţin o rădăcină a derivatei (una, trei, ... rădăcini ale derivatei – vezi figurile a, b)

x

y

O 1x c 1x 2x 1c 2c

2x 3c

y

x

56

15. Reciproca consecinţei: Între două rădăcini consecutive ale dervatei unei funcţii polinomiale există cel mult o rădăcină a funcţiei. Fie 1c şi 2c două rădăcini consecutive ale ecuaţiei ( ) 0' =xf . Dacă ( ) ( ) 021 <⋅ cfcf , atunci există ( )210 ,ccx ∈ astfel încât:

( ) 00 =xf (14). Dacă ( ) ( ) 021 >⋅ cfcf , atunci între cele două rădăcini ale derivatei nu există nici o rădăcină a funcţiei sau are un număr par de rădăcini. Teorema Lagrange: Fie [ ] R→baf ,: . Dacă:

a) f este continuă pe [ ]ba, b) f este derivabilă pe ( )ba,

atunci ( ) ( )bac ,∈∃ astfel încât ( ) ( ) ( )cfab

afbf '=−− (15).

Consecinţele teoremei Lagrange: În condiţiile prezentate la teorema Lagrange avem:

)1C Dacă ( ) ( ) ( )baxxf ,0' ∈∀> , atunci f este crescătoare ( ) ( ) ( )( )2121 avem xfxfbxxa <<<<∀ .

x

y

O 1c 2c

(c) (d)

1c

2c x

57

)2C Dacă ( ) ( ) ( )baxxf ,0' ∈∀< , atunci f este descrescătoare ( ) ( ) ( )( )2121 avem xfxfbxxa ><<<∀ . )3C Dacă ( ) ( ) ( )baxxf ,0' ∈∀= , atunci ( ) cxf = (constantă) ⇔ Dacă o

funcţie are derivata nulă pe un interval, atunci ea este constantă. )4C Dacă ( ) ( ) ( ) ( )baxxgxf ,'' ∈∀= , atunci ( ) ( ) cxgxf += (Dacă două

funcţii au derivatele egale pe un interval, atunci ele diferă printr-o constantă). Tipuri importante de probleme: Tip 1 Să se calculeze derivata funcţiilor folosind tabelul de derivare a funcţiilor simple şi compuse. Tema 3.1. Funcţii algebrice:

1. 324 34 −+−= xxxy

2. 335

32

23 −+⋅−⋅= xxxy

3. 42 5,031

41 xxxy −+−=

4. axy

25−=

5. 22

4

babaxy

+

+=

6. 3 44 xxy ⋅=

7. 43 2 xxb

xay

⋅−= , x>0.

8. 2dxc

bxay++

=

Funcţii trigonometrice:

9. xxy cos3sin5 += 10. xctgxtgy −=

58

11. xxxxy

cossincossin

−+

= , 0cossin ≠− xx

12. xarcctgxarctgy += 13. xctgxy = 14. xxy arccosarcsin +=

Funcţii exponenţiale şi logaritmice:

15. xexy += 7 16. ( ) xexy 1−=

17. 2x

eyx

=

18. xey x cos⋅= 19. xarcctgxarctgxy −= 20. xxy arccosarcsin ⋅= 21. xey x arcsin⋅=

22. x

xyln

2

= , 1≠x

23. 3

ln3

3 xxxy −⋅=

24. xaxxy aa loglnlogln ⋅−⋅= , x>0 25. xxy arcsin2 ⋅= 26. xxy arccos=

Funcţii compuse:

27. ( )112531 xxy ++= 28. 2

5 xey −⋅= 29. xy arcsin1+=

30. 2

51x

y =

31.

=

2

1arcsinx

y , 0≠x

32. xxy 22 10⋅= 33. ( )xy arccos= , x>0 34. ( )xxy 2sin=

59

35.

=

xarctgy 1

36. xey arccos=

37. xxarcctgy

−+

=11

38. ( )72ln += xy 39. ( )21ln xy −= 40. ( )xxy x arccos4sin53ln −+= 41. ( ) ( )xarctgxarctgy lnln −=

42. m

n

n

bxabxay

−+

=

43. ( )xxey x 3cos3sin3101

−= −

44.

= xctg

y1

3 45. 2xn axy −⋅= 46. ( )cbxaxy ++= 2ln 47. xaxy coscos ⋅= 48. ( )22ln xaxy ++= 49. ( )22ln xaxaxy +++=

50. xaxxaxy

−+

++=

22

22

ln

Tip 2. Calculul derivatelor de ordin superior al funcţiilor A) Calculul derivatelor de ordin superior al funcţiilor elementare

60

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )xxf

xxfaxfexf

baxxfbax

xf

baxxf

xxf

x

x

αα

α

α

α

α

α

α

cossin

ln

1,

,

8

7

6

5

4

3

2

1

===

=

+=+

=

∈+=

∈=

R

R

Observaţii: Pentru a determina derivata de ordin n a funcţiei f , se calculează

'""' ,, fff , apoi se „ghiceşte” derivata de ordinul n şi în final se demonstrează prin inducţie. Procedând astfel se obţine:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) nn

nn

xnnn

xnn

n

nnnn

n

nnn

nnn

nn

nxxf

nxxf

aaxf

exfbax

anxfaxf

baxanxf

baxanxf

xnxf

απα

απα

α

α

ααα

ααα

α

α

α

α

⋅

⋅+=

⋅

⋅+=

⋅⋅=

⋅=

+⋅−−

=⋅=

+⋅⋅−

=

+⋅⋅+−−=

⋅+−−=

−−

+

−

−

2cos

2sin

ln

!11

!1

11

11

)(8

)(7

)(6

)(5

1)1(

3)(

4

1)(

3

)(2

)(1

Tema 3.2. Să se calculeze ( )xy n)( pentru funcţiile:

1. xy sin= 2. ( )xy 2cos=

61

3. xey 3−= 4. ( )xy += 1ln

5. 1

1+

=x

y

6. x

xy−+

=1

1

7. xy 2sin= 8. ( )32ln += xy

9. 6116

123 +++

=xxx

y

B) Calculul derivatelor de ordin superior al produsului a două funcţii elementare

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xgxfC

xgxfCxgxfCxgxfC

xgxfCxgxfCxgxf

nnn

kknkn

nn

nn

nn

n

k

kknkn

n

)()0(

)()()2()2(2')1(1

)0()(0

0

)()()(

⋅⋅++

+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+

+⋅⋅=⋅⋅=⋅

−−−

=

−∑

reprezintă forumula lui Leibnitz de derivare a produsului. Remarcă: ( ) ( )xfxf =)0( Tema 3.3. Să se calculeze )(ny pentru funcţiile:

1. xexy 22 ⋅= 2. xexy ⋅= 3. xexy 33 −⋅= 4. ( ) xxy cos1 2−=

5. xxy +

=1 , 0>x

6. xxy ln3 ⋅= , 0>x Exemplu: Fie ( ) xexxF 22= . Se cere ?)( =nF

62

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(2)0(2'"2)3(23"2)2(22

'2)1(21)0(2)(20

0

)(2)(2)(22)(

nxnn

nxn

nxn

nxn

nxn

n

k

kknxkn

nxn

xeCxeCxeC

xeCxeCxeCxexF

⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅=

−−

−

=

−∑

Considerăm pe post de funcţie ( ) xexf 2= , care are ( )( ) xkk exf 2)( 2 ⋅= , iar pe post de funcţie ( ) 2xxg = . Atunci: ( )( )( )( )( )( )( )( ) 3,0

2"2

)(

'

2)0(

≥=

==

=

kxg

xgxxg

xxg

k

Înlocuind obţinem: ( ) =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= −− 22222 222211220)( xn

nxn

nxn

nn eCxeCxeCxF

( )[ ]1442 222 −++⋅= − nnnxxe xn Tip 3. Calculul derivatelor funcţiilor ( ) ( )xvxu Din tabelul de derivare a funcţiilor compuse avem:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )**ln

*''

'1'

xuaaa

xuxuxuxuxu ⋅⋅=

⋅⋅= −αα α

Derivata funcţiei ( ) ( )xvxu se poate obţine după schema următoare:

( ) ( ) ( ) '1'(*)

(**)

'

|

'

|

' ln uuvuvuuuu vvctv

vctu

vv ⋅⋅+⋅⋅==+= −==

Tema 3.4. Să se calculeze )(ny pentru funcţiile:

1. xxy =

2. 2xxy =

3. x xy = 4. xxy = 5. xxxy = 6. xxy sin= 7. ( ) xxy sincos= 8. ( )xxarctgy =

63

Tip 4. Formula lui Taylor Fie [ ]

1,+∈ nbaCf (este de clasă n+1 dacă funcţia este continuă şi are

derivate până la ordinul n+1 toate continue) cu [ ] R→baf ,: şi fie ( )bax ,0 ∈ , atunci există ( )xx ,0∈ζ astfel încât să avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn

n

Rxxn

xfxxxfxxxfxfxf +−++−⋅+−⋅+= 00

)(2

00

00

'

0 !!2"

!1 (16)

unde

( )( ) ( ) ( ) 1

01

0

)1(

!1++

+

−⋅=−⋅+

= nnn

n xxkxxn

fR ξ (17)

reprezintă restul Lagrange, cu ( )( )!1

)1(

+=

+

nfk

n ξ constantă.

Observaţie: Dacă ∞→n , atunci 0→nR . Caz particular: Pentru 00 =x , atunci formula lui Taylor se mai numeşte şi formula lui Mac Laurin, care devine

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

nn

Rxn

fxfxffxf +++++=!0

!20

!100 2

"'

(18),

cu ( )( )

1)1(

1

!1+

++

+=⋅= n

nn

n xn

fxkR ξ şi ( )x,0∈ξ .

Observaţii:

1. Formula lui Taylor (Mac Laurin) este foarte utilizată la calculul limitelor de funcţii şi la rezolvarea unor inegalităţi.

2. Formula lui Taylor (Mac Laurin) aproximează o funcţie cu un polinom de grad n în vecinătatea punctului 0x .

Exemplu: Să se dezvolte după formula lui Mac Laurin funcţia ( ) xexf 2−= în vecinătatea punctului 00 =x cu 2=n . Soluţie:

64

Formula lui Mac Laurin pentru 2=n este:

( ) ( ) ( ) ( )2

2"'

!20

!100 Rxfxffxf +++= , unde ( ) 3

)3(3

2 !3xfxkR ξ

=⋅= cu

( )x,0∈ξ . Calculăm derivatele funcţiei:

( ) ( ) xx exfexf 2"2' 4;2 −− =−= şi ( ) ( ) ( ) 40;20;10 "' =−== fff .

Atunci 322

!2421 xkxxe x ⋅++−=− care reprezintă formula lui Mac Laurin

pentru ( )xf . Tema 3.5. Să se calculeze următoarele limite folosind formula lui Mac Laurin (Taylor).

1. ( )0;22lim 02

22

0==

−+−

→xn

xee xx

x

2. ( ) ( )0;322sin21lnlim 03

2

0==

+−+→

xnx

xxxx

3. ( )0;3sinlim 030==

−→

xnx

xxtgx

4. ( )0;311lim 03

3 3

0==

−+→

xnxx

x

5.

+−

∞→ xxx

x

11lnlim 2

Indicaţie:

Se face o schimbare de variabilă t

x 1= , după care se foloseşte formula

lui Mac Laurin pentru 00 =t şi 2=n . Exemplu:

Să se calculeze limita 2

22

0

2limxee xx

x

−+=

−

→ folosind formula lui Mac

Laurin. Soluţie:

65

Considerăm funcţia ( ) 222 −+= − xx eexf pe care o dezvoltăm după formula lui Mac Laurin în vecinătatea lui 00 =x cu 2=n . Calculăm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 80;44;00;22;00 "22"'22' =+==+−== −− feexffeexff xxxx

Scriind formula lui Mac Laurin: ( ) ( ) ( ) ( ) 32"'

!20

!100 xkxfxffxf ⋅+++= .

Prin înlocuire avem ( ) 3232 4!2

8 xkxxkxxf ⋅+=⋅+= .

Atunci ( ) 44limlim2lim2

32

0202

22

0=

⋅+==

−+=

→→

−

→ xxkx

xxf

xee

xx

xx

x , unde

( ) ( )x,0∈∃ ξ unde ( ) ( )

!3

3 ξfk = .

Tip 5. Regula lui L’Hospital

I. Cazul

∞∞

00

( )( )

( )( )xgxf

xgxf

xxxx '

'00

00

limlim→

∞∞→== dacă ( ) 0lim

0

=→

xfxx

şi ( ) 0lim0

=→

xgxx

sau ( ) ±∞=→

xfxx 0

lim şi

( ) ±∞=→

xgxx 0

lim .

II. Cazul ∞⋅0

( ) ( ) ( )

( )xg

xfxgxfxxxx 1

limlim00 →→

=⋅

Se aplică ( I ) dacă ( ) 0lim0

=→

xfxx

şi ( ) ±∞=→

xgxx 0

lim .

III. Cazul ∞−∞ Dacă ( ) ( ) ∞=∞=

→→xgxf

xxxx 00

lim,lim , atunci

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )00

1

11

limlim00

=

⋅

−=−

→→

xgxf

xfxgxgxfxxxx

(se aplică I ).

66

IV. Cazul ∞∞ ∞ 1;;0;0 00 Se notează cu ( ) ( )xg

xxxfL

0

lim→

= .

Atunci ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )xg

xfxfxgxfLxxxx

xg

xx 1lnlimlnlimlnlimln

000

0

→

∞⋅

→→==⋅== (se aplică I ).

Tema 3.6.

1. xxx

x 2sincos1lim

3

0

−→

2. x

xxx 2

3

0 sincoscoslim −

→

3. 20

cossinlim2

xxxxe x

x

−−→

4. axxe

xaxx 2sinlim

2

0 −→

5.

2

33limsinsin

2

2

ππ

−

−→ x

xx

x

6. x

xx

x2sin3

00

lim>→

7. xe x

xx

lnlim1

00

⋅−

>→

8. ( ) 11

11

1lim −

>→

− x

xx

ex

9. xtg

xx

x00

lim>→

10. ( )x

ex x

xx

−+

>→

1

00

1lim

11. x

x axax

−+

∞→lim

Exemplu:

Să se calculeze limita xxx

x 2sincos1lim

3

0

−=

→ .

Soluţie:

67

Cum limita ne dă un caz de excepţie 00 aplicăm regula lui

L’Hospital şi avem

( )( )

( )( )

43

2sin42cos22cos2cos3sincos6lim

2cos22sinsincos3lim

2cos22sinsincos3lim

2sincos1lim

2sincos1lim

32

0

'

'2

0

00

2

0'

'3

0

3

0

=−++−

=

=+

⋅==

+⋅

=−

=−

=

→

→→→→

xxxxxxx

xxxxx

xxxxx

xxx

xxx

x

xxxx

Deci 43

= .

Tip 6. Determinarea extremelor funcţiilor Punctele de extrem cât şi valorile extreme sunt date de derivata funcţiei împreună cu semnul ei. Fie 0x un punct în care ( ) 00

' =xf , atunci 0x se numeşte punct staţionar. Pentru a verifica dacă 0x este punct de extrem, atunci trebuie studiat semnul derivatei în jurul acestui punct. a) Dacă derivata ( )xf ' are următorul tabel de variaţie:

x 0x f’(x) ----------------------------------------0++++++++++++++++++++++++ f(x)

Min atunci 0x este punct de minim, iar valoarea minimă este ( )0min xf= cu

( ) 00' =xf .

b)Dacă derivata ( )xf ' are următorul tabel de variaţie:

x 0x

f’(x) ++++++++++++++++++++++++0---------------------------------------- f(x)

Max atunci 0x este punct de maxim, iar valoarea maximă este

68

( )0max xf= cu ( ) 00' =xf .

c) Dacă derivata ( )xf ' are următorul tabel de variaţie:

x 0x f’(x) ----------------------------------------0----------------------------------------- f(x)

staţionar sau

x 0x f’(x) +++++++++++++++++++++++0++++++++++++++++++++++++ f(x)

staţionar atunci 0x este punct staţionar. Tema 3.7. Să se determine punctele de extrem, cât şi

( ){ }fxxfyf lui domeniulin afla se|Im == pentru următoarele funcţii: 1. ( ) 32 36

1 +−= xxxf 2. ( ) xxxf sincos32 += 3. ( ) xxxf cossin3 +=

4. ( )

≥

<−=

− 0,0,

24 xexxx

xfx

5. ( )1

532

2

5 +++

=x

xxxf

6. Fie ( ) ( )( ) R∈−−= babxaxxxf ,,,αα .

a) Să se afle a şi b astfel încât ( )xf să admită 34

=x ca punct de

minim şi 6=x ca punct de maxim. b) Să se afle α astfel încât maximul lui f să fie 7.

7. Fie ( ) 0,1

22

2

≠+

+−= a

xbaxxxf .

69

a) Să se arate că există două puncte ale graficului f în care tangenta este paralelă cu Ox şi produsul absciselor acestor puncte este egal cu -1.

b) Să se determine a şi b astfel încât ( ) 21 =f şi ( ) 02' =f .

8. Fie ( ) R∈++++

= dcbadcxxbaxxxf ,,,,

22

2

2

.

Să se determine a, b, c, d astfel încât funcţia să aibă pentru 1−=x un maxim egal cu 2, iar pentru 1=x un minim egal cu 4.

9. Să se determine punctele de maxim şi minim pentru:

( )( )

>−+

≤+=

3,3ln

3,13

102

xex

xx

xxf

Exemplu: Să se determine punctele de extrem, cât şi fIm pentru funcţia

( )1

532

2

5 +++

=x

xxxf .

Soluţie: Determinăm punctele staţionare rezolvând ecuaţia ( ) 0'

5 =xf

echivalent cu ( )( )

=

−=⇒=−+⇔=

++−−

=

313

038301

383

2

12

22

2'

5 x

xxx

xxxxf

x ∞− -3 1/3 ∞+

f’(x) ---------------------------0++++++++++++0------------------------------- f(x)

1 Min Max 1

Deci ( )2

1131max;

213min =

==−= ff şi 31 −=x este punct de minim,

iar 31

2 =x este punct de maxim local.

Cum 5f este funcţie elementară şi ( ) 1lim =±∞→

xfx

, atunci

[ ]

==

211'

21maxmin,Im f .

70

Tip 7. Identităţi Pentru demonstrarea identităţilor de funcţii se folosesc consecinţele teoremei Lagrange.

)1C Dacă [ ] R→baf ,: este continuă şi derivabilă şi dacă ( ) 0' =xf pentru ( ) ( )bax ,∈∀ , atunci ( ) cxf = (constant) ( ) ( )bax ,∈∀ .

)2C Dacă [ ] R→bagf ,:, sunt continue şi derivabile pe ( )ba, şi în plus ( ) ( )xgxf '' = , atunci ( ) ( ) ( ) ( )baxcxgxf ,∈∀+= (Dacă două funcţii au

derivatele egale, atunci el;e diferă printr-o constantă. Tema 3.8. Să se demonstreze că:

1. ( ) ( )∞∈∀=+− ,0,2

11arccos

2

2

xxarctgxx

2.

−≤−≥

=

+

+1,

1,1

2arcsin22 x

xxxxarctg

ππ

3. ( )0,1,arccos1arcsin 2 −∈=+− xxx π

4.

−<−

−>=

+−

+1,

43

1,4

11

x

x

xxarctgxarctg

π

π

5. ( )

−∈=−++

22'

22,

2312arcsinarccos3arcsin 2 xxxxx π

Exemplu:

Să se demonstreze că

−≤−≥

=

+

+1,

1,1

2arcsin22 x

xxxxarctg

ππ

.

Soluţie:

71

Considerând funcţia f cu ( )

+

+=21

2arcsin2xxxarctgxf , atunci

( ) ( )( ) ( )

( )( ) 22

2

2222

2

2'

1112

12

11

121

2xx

xxxx

xx

xf−⋅+

−+

+=

−+

−+

+= .

Explicitând modulul găsim că ( )( ] [ )

( )

−∈+

∞∪−∞−∈=

1,1,1

4,11,,0

2

'

xx

xxf

Cum ( ) 0' =xf pentru ( ] [ )∞∪−∞−∈ ,11,x , atunci aplicând 1C găsim că

( ) ( ) ( ]( ) [ )

∞∈∀−∞−∈∀

=,1,(const)

1,,(const)

2

1

xkxk

xf

Determinarea constantelor 1k şi 2k se face particularizând pe x , astfel pentru:

( ) ( ) π−=

−+−=−=⇒−=

22arcsin1211 1 arctgfkx şi

( ) ( ) π=

+==⇒=

22arcsin1211 2 arctgfkx .

Deci

−≤−≥

=

+

+1,

1,1

2arcsin22 x

xxxxarctg

ππ

.

Tip 8. Inegalităţi (Metode) Pentru demonstrarea unei inegalităţi se poate aplica una din metodele:

)1M Consecinţa I a teoremei Lagrange care spune: dacă ( ) ( ) ( ) ( )xfbaxxf ⇒∈∀> ,0' crescătoare ( ) ( ) ( )2121 xfxfbxxa <⇒<<<∀⇔ . )2M Consecinţa a II-a a teoremei Lagrange care spune: dacă ( ) ( ) ( )baxxf ,0' ∈∀< ( )xf⇒ descrescătoare ( ) ( ) ( )2121 xfxfbxxa >⇒<<<∀⇔ . )3M Formula lui Taylor. )4M Teorema Lagrange.

72

)5M Dacă 0x este punct de maxim local pentru f , atunci ( ) ( ) ( )

00 xVxxfxf ∈∀≥ . )6M Dacă 0x este punct de minim local pentru f , atunci

( ) ( ) ( )00 xVxxfxf ∈∀≥ .

)7M Inegalitatea Jenssen: dacă ( ) ( ) ( )baxxf ,0" ∈∀> , atunci ( ) ( ) ( ) ( )baxxxfxfxxf ,,

22 212121 ∈∀

+≤

+ .

Tema 3.9. Să se demonstreze:

1. ( ) ( )+∞∈∀<+

,0;1 2

xxarctgx

x

2. ( )

∈∀+>

2,0;

3

3 πxxxxtg

3. 2

0;sinsin π<<≤−≤− baabab

4. 2

0;coscos 22

π<<≤

−<−<

− bababatgbtg

aab

5. 0,1 ≠+> xxex

6.

∈<

45,0,sincos πxxxx

7. ( ) ( )2,00,2,2 2 ∪−∈> xxx

8. ( )1,0,6

arcsin3

∈+> xxxx

9. 2

0,coscos π<<<−≤− baabab

10. ( ) ( ) 1,0,11 >>>⋅−<−<⋅− −− pbaapbababpba pppp

11. abb

baba

aba

<<−

≤≤− 0,ln

12. ( ) R∈∀+

≤+

212 ,,

2

2121

xxeeexxxx

13. ( ) ( ) 0,1

1ln >∀+

>+ xx

xx

73

Exemplu:

Să se demonstreze că xarctgx

x<

+ 21 pentru ( ) 0>∀ x .

Soluţie: Dacă folosim metoda 1M , atunci inegalitatea poate fi pusă sub forma

echivalentă 01 2

>+

−x

xxarctg pentru ( ) 0>∀ x şi considerăm funcţia

( )21 x

xxarctgxf+

−= pentru care

( )( ) ( )

( ) 0,011

11

122

2

22

2

2' >∀>

+=

+−

−+

= xx

xxx

xxf .

Deci ( ) ( ) 00' >∀> xxf adică f este crescătoare ( ) ∞<<<∀⇔ 210 xx avem ( ) ( )21 xfxf < .

Alegem 01 =x şi 02 >= xx , atunci ( ) ( )21

00x

xxarctgxff+

−<⇔<

21 xxxarctg+

>⇔ pentru ( ) 0>∀ x (c.c.t.d.).

Dacă folosim 4M , alegem funcţia [ ] R→xf ,0: cu ( ) tarctgtf = pentru [ ]xt ,0∈ , care este continuă şi derivabilă, atunci ( ) ( )xc ,0∈∃ astfel ca ( ) ( ) ( )

2'

11

00

cxxarctgcf

xfxf

+=⇔=

−− cu ( )xc ,0∈ .

Cum 22

2222

11

1111100

cxxcxcxc

+<

+⇒+<+<⇒<<⇒<<

222 11

11

11

xxxarctg

xcxxarctg

+>⇒

+>

+=⇒ , adică

( ) 0,1 2

>∀+

> xx

xxarctg (c.c.t.d.).

Tip 9. Graficele funcţiilor Pentru trasarea graficului unei funcţii ( )xfy = se parcurg următoarele etape: I. Domeniul de definiţie

74

1. Stabilirea domeniului maxim de definiţie. 2. Stabilirea perioadei funcţiei ( )xf . 3. Stabilirea punctelor unde se anulează modulul şi explicitarea funcţiei

( )xf . 4. Intersecţia cu Ox. 5. Intersecţia cu Oy 6. Semnul funcţiei (dacă este funcţie raţională) şi rezultă asimptotele

verticale. 7. Limitele funcţiei la capetele domeniului de definiţie (stabilirea

asimptotelor orizontale, dacă are). II. Derivata I

1. Se calculează ( )xf ' 2. Se rezolvă ecuaţia ( ) kxxxxf ,,,0 21

' ⇒= 3. Semnul funcţiei ( )xf ' 4. Se calculează ( ) ( ) ( )lxfxfxf ,,, 21 5. Dacă 0x este punct unde se anulează modulul, atunci se calculează

( )0' xf s şi ( )0

' xfd . III. Derivata a II-a (opţional)

1. Se calculează ( )xf " 2. Se rezolvă ecuaţia ( ) ''

2'1

" ',,0 kxxxxf ⇒= 3. Semnul funcţiei ( )xf "

IV. Asimptote

1. Asimptote verticale → vezi I 2. Asimptote oblice (dacă nu are asimptote orizontale)

Pentru −∞→x , atunci 11 nxmy += , unde ( ) ( )( )xmxfnxxfm

xx 111 lim;lim −==−∞→−∞→

.

Pentru ∞→x , atunci 22 nxmy += , unde ( ) ( )( )xmxfnxxfm

xx 222 lim;lim −==∞→∞→

.

V. Tabelul cu valorile colectate

x

75

f’(x) f(x)

f’’(x) VI. Graficul funcţiei Tema 3.10 Să se reprezinte grafic următoarele funcţii.

76

( ) ( )( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )2

11

5222

1

11

12arcsin

1ln11

11

11

592

42

411

1

14

13

12

2

11

2

2

10

29

8

2

2

7

6

5

12

4

2

3

3

2

2

221

−=

+−

=

−+=

−=

+−

=

+

=

+=

+−

=

+−

=

+−

=

+=

−−

=

−=

−−=

xexf

xx

xf

xxf

xx

xf

xxxf

xxxf

xxxf

xxxf

xxxf

xxxf

exxxf

xxxxf

xxxf

xxxf

x

x

77

( )

( )

( )

( )

( )

( ) xxxfx

xxf

xxf

xxf

exxfxx

xf

x

3320

19

18

17

116

15

sincos2cos

coscos11

cos1

142

+=

=

+=

=

⋅+=

−−

=

−−