8/17/2019 2014 Matematica Locala Suceava Clasa a Viiia Subiectebarem

1/4

OLIMPIADA NA ŢIONAL Ă DE MATEMATIC Ă

ETAPA LOCAL Ă

SUCEAVA

22 februarie 2014

CLASA a VIII – a

1. Determina ți numerele reale a, b, c din egalitatea:

.

2. a) (2p) Demonstra ți inegalitatea: 1 2a bab

, pentru orice numere reale strict pozitive a,b .

b) (5p) Ar ătați că: 2 x y z t

y z t z t x t x y x y z

, oricare ar fi

numerele reale strict pozitive x, y, z, t .

3. Fie o prism ă dreapt ă cu baza triunghi echilateral cu latura de 4 a cm șiînălțimea =3 a cm. Se noteaz ă cu D și E mijloacele muchiilor' AA , respectiv .Să se determine m ăsura unghiului format de dreapta cu planul' AA .

4. Pătratele ABCD și ABMN sunt situate în plane perpendiculare. Calcula ți m ăsura unghiuluidiedru format de planele și .

Not ă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii.2. Fiecare subiect se puncteaz ă de la 0 la 7.3. Timp de lucru 3 ore.

8/17/2019 2014 Matematica Locala Suceava Clasa a Viiia Subiectebarem

2/4

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARECLASA a VIII–a

1. Determinați numerele realea, b, c din egalitatea:

. Prof. Gabriela Sasc ău, Răd ău ț i

Solu ț ie: Notăm: , , , de unde obținem: ,

, . Egalitatea devine: , de unde. Avem: , deci , iar

. Barem:

Notăm: , , , de unde obținem: , ,.

2

Egalitatea devine: , de unde2

111

1. a) (2p) Demonstrați inegalitatea: 1 2a bab

, pentru orice numere reale strict pozitivea, b .

b) (5p) Ar ătați că: 2 x y z t y z t z t x t x y x y z

, oricare ar fi numerele

reale strict pozitive x, y, z, t . Gazeta Matematica Nr.5/2010 Solu ț ie: a) Inegalitatea este echivalentă cu , ceea ce este adevărat, deoarece este

echivalentă cu: .

b) Folosind inegalitatea de la punctul a) pentru și , avem:

, echivalentă cu: . Analog,

, , . Prin adunarea ultimelor

patru inegalități obținem: , de undeinegalitatea cerută.

Barem:

a) Inegalitatea este echivalentă cu , ceea ce este adevărat,

deoarece este echivalentă cu: .

2

8/17/2019 2014 Matematica Locala Suceava Clasa a Viiia Subiectebarem

3/4

b) Folosind inegalitatea de la punctul a) pentru și , avem:2

, , ,

1

:

1

1

3. Fie o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral cu latura de 4a cm și înălțimea =3a

cm. Se notează cu D și E mijloacele muchiilor , respectiv . Să se determine măsura unghiuluiformat de dreapta cu planul .

Prof. Stela Boghian, Suceava Solu ț ie: Fie .

de unde rezultă:de unde rezultă , de unde .

Planul coincide cu planul . Fie M mijlocul lui .Cum , , , conform th. celor 3 perpendiculare, avem: .Cum , , avem: .Fie , cum și ., avem: .Din rezultă , deci , iar măsura unghiului cerut

. În dreptunghic în A, avem: , deci . Barem:

Fie .de unde rezultă:de unde rezultă , de unde .

1p

Planul coincide cu planul . Fie M mijlocul lui . Cum , , , conform th. celor 3 perpendiculare, avem: .

1p

Cum , , avem: . 1pFie , cum și ., avem: . 1pDin rezultă , deci , iar măsura unghiului cerut este

. 1p

Calculează . 1p

În dreptunghic în A, avem: , deci . 1p

8/17/2019 2014 Matematica Locala Suceava Clasa a Viiia Subiectebarem

4/4

4. Pătratele ABCDși ABMN sunt situate în plane perpendiculare. Calculați măsura unghiului diedruformat de planele și .

Prof. Ș lincu Gabriela, Suceava Solu ț ie: Cum și avem , dar , deci .Fie E mijlocul lui . Cum rezultă dar și (mediană în triunghiisoscel), deci . Fie , cum , conform teoremei celor tre perpendiculare, avem: . Muchia unghiului diedru este , deci măsura unghiului diedru este

. În dreptunghic în E: . În dreptnghic în A: , unde aeste latura pătratului. Cum , iar , triunghiul este dreptunghic în Ași

. Deci, , rezultă . Barem:

Cum și avem , dar , deci . Fie E mijlocullui . Cum rezultă dar și (mediană în triunghi isoscel), deci 2p

Fie , cum , conform teoremei celor trei perpendiculare, avem: . 1p Muchia unghiului diedru este , iar , , deci măsura unghiului diedru este

.

În dreptunghic în E: .

1p

În dreptnghic în A: , unde a este latura pătratului. Cum , iar , triunghiul este dreptunghic în Ași

.

2p

, rezultă .

1p