7/22/2019 2012_Matematica_Concursul 'Euclid' (Etapa 2)_Clasa a X-A M1_Barem

1/1

Concursul National EUCLID 28 01 2012 MATEMATICBAREM DE CORECTARE Clasa a X -a Programa M1

Not: Pentru orice soluie corect, se acord punctajul maxim corespunztor. Nu se acord fraciuni de punct , dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale,n limitele punctajului indicat n barem.

Oficiu (10p)

I.(20p) 1. (4p) b); 2. (4p) b); 3. (4p) c); 4. (4p) c); 5. (4p) a)

II.(40p) 1) (4p) 3log x 2) (4p) 3 3)(4p) 2 4) (4p) 2log 3 5)(4p) 1 6) (4p) 1 7) (4p) 4 8) (4p)

0 9)(4p) k k Z 10) (4p) cos0 SUBIECTUL III

a) 11

1

n

nnnf . b) 1

11

2

1122

p

pppf . c) 2 1f p f p p , cu 2p

deci functia nu este injectiva. d)Dac 4n , atunci nf par, iar 1 2 1f f 3 nf , functia

nu este surjectiva. e) Fie np un numr prim i p q un alt numr prim. Atunci f p f q . f) Fie

np un numr prim i 2p q p un alt numr prim. Atunci lum 2c p i c q i

1 1f c p f d q .

g) Fiekr

k

r

ppn ...1

1 descompus n factori primi. Inegalitatea cerut este echivalent cu

1

1 11 ... 1 1

k

np p

.Cum

n

k

kpp

pppp

n1

1...1

1...1

1....1

11

1

1

, vom

arta c 11

1...1

1...1

1

n

kpp

pp .Inegalitatea1

1 1pp

este adevrat 3p , dar nu

este adevrat pentru 2p . Dac n conine numai factori primi impari este evident. Daca n conine o

putere a lui 2 cel putin egala cu 3, este evident. Daca 22n p cu 3p , impar se verifica. Daca

2n p cu 5p , impar se verifica.

SUBIECTUL IV

a) 543 i si 3 4i A .b) Daca z a bi si w c di , atunci z w a c b d i A , deoarece

, , ,a b c d N . c) Luam 1u i si 2v i si se verifica cerinta. d) Luam 1 2p i si 1 3q i si se

verifica cerinta. e) Rezulta din faptul ca partea reala si partea imaginara sunt strict pozitive.

f) Alegem2

k

nz k i

, 1,2,...,k n , si cerinta este rezolvata, deoarece 1,2,...,k n ,

1 1

arg2 2 2

kz arctgn n n

k k

si atunci 1 2arg ... 0,2

nz z z

.

g) Daca cos sinz r a i a , alegem n astfel incat 22 na

, sau2

2 na a

, posibil deoarece

2 31

2 2a a a

. Atunci nz A , deoarece ori partea reala este negativa, ori partea imaginara este

negativa.