2 dinamica

7/23/2019 2 Dinamica

1/9

A. Rusu, S. Rusu 2. Dinamica punctului material.

2. Dinamica punctului material i a sistemului depuncte materiale. Conservarea impulsului

2.1. Principiul I al dinamicii. Ineria i masa corpurilor

Dup cum am observat, pentru rezolvarea problemei fundamentale a mecanicii, adic pentrudeterminarea poziiei unui corp la orice moment de timp, este necesar s cunoatem acceleraiacorpului. ns acceleraia caracterizeaz variaia vitezei corpului. De aceea pentru a determinaacceleraia unui corp trebuie s stabilim cauzele ce conduc la variaia vitezei acestuia. Experienademonstreaz c viteza oricrui corp poate varia numai dac asupra lui acioneaz alte corpuri.Dac nu exist aceast influen, viteza nu trebuie s varieze i acceleraia corpului trebuie s fienul. Primul, care a ajuns la aceast concluzie n urma analizei multor experienea fost G. Galilei.Ulterior aceast deducie a fost acceptat de ctre I. Newton n calitate de principiul I al dinamiciisaulegea ineriei. Acesta poate fi formulat n modul urmtor:

Orice corp i pstreaz starea de repaus sau de micare rectilinie uniform atta timp ct

influena altor corpuri nu-l oblig s-i schimbe starea.

Asemenea corpuri snt numite libere, iar micarea lor micare libersau dup inerie.Riguros vorbind, este imposibil s verificm direct n experien principiul I al dinamicii.

Totui, se poate situa un corp n astfel de condiii, nct influenele externe s fie ct mai mici sau sse compenseze ntre ele. Dac vom admite c influena extern se micoreaz nelimitat, vom ajungela reprezentarea unui corp liber sau a unei micri libere. De exemplu, o piatr alunec pe osuprafa cu att mai mult, cu ct mai neted este aceasta, adic cu ct mai mic este influenaexercitat din partea suprafeei.

Dup cum am stabilit anterior orice micare mecanic este relativ. De aceea apare ntrebarea:n raport cu care sistem de referin se analizeaz repausul i micarea rectilinie uniform?Rspunsul la aceast ntrebare ni-l oferexperiena. ntr-adevr, un corp aflat pe o poli absolutneted a unui vagon ce se mic rectiliniu, se poate afla n micare n raport cu vagonul fr ca sexiste vreo influen asupra lui din partea altor corpuri. Pentru aceasta este suficient ca vagonul snceap s se mite cu acceleraie. Conchidem c n acest caz principiul I al dinamicii nu estevalabil n sistemul de referin legat cu vagonul. Totui, n raport cu sistemul de referin legat cuPmntul acesta este valabil. Rezult c principiul I al dinamicii nu este valabil n orice sistem dereferin.

Sistemul de referin, n raport cu care este valabil legea ineriei se numete sistem

inerial de referin.

Din cele expuse pn acum este clar c n calitate de cauz a variaiei vitezei corpului serveteinfluena exercitat de alte corpuri asupra celui studiat. ns, dup cum arat experiena, gradulvariaiei vitezei unui corp depinde, de asemenea, de proprietile corpului. De exemplu, aceeaiinfluen poate comunica unui corp mic o acceleraie mare, iar unui corp masiv - o acceleraie mic.Din acesta i multe alte exemple rezultc orice corp posed proprietatea de a se opune variaieivitezei. Aceast proprietate se numete inerie. La diferite corpuri ea se manifest diferit. nexemplul considerat mai sus corpul mic posed o inerie mic, iarcel masiv - o inerie mare.

Ca i orice proprietate a corpurilor, proprietatea de inerie trebuie s se descrie cantitativ printr-o anumit mrime fizic. De exemplu, proprietatea corpurilor de a ocupa un loc n spaiu se descriecantitativ cu ajutorul mrimii fizice numit volum al corpului. Dar, care este mrimea fizic ce

descrie proprietatea de inerie a corpurilor? Pentru a rspunde la aceast ntrebare este necesar srecurgem la experiment i s introducem conceptul de sistem nchissausistem izolat de corpuri(puncte materiale).

1


2/9


Un sistem de puncte materiale se numete izolat, dac toate corpurile sistemului sunt att

de ndeprtate de corpurile externe, nct acestea nu exercit nici o influen asupra

sistemului. Punctele materiale ale sistemului pot interaciona numai ntre ele.

Considerm un sistem izolat compus din dou puncte materiale 1 i 2. Presupunem c naintede interaciune vitezele lor erau 1v

i, respectiv, 2v

, iar dup interaciune au devenit 1v

i 2v

.

Experimental s-a stabilit c punctele materiale snt caracterizate de constantele pozitive 1m i,respectiv, 2m , astfel nct:

1 1 2 2 1 1 2 2m m m m + = +v v v v

, (2.1)

unde constantele 1m i 2m nu depind de caracterul interaciunii dintre punctele materiale.

Interaciunea poate avea loc prin intermediul unei ciocniri dintre punctele materiale, prinintermediul cmpului electric, dac lor li s-au transmis anticipat sarcini electrice, prin intermediulunui resort, prin intermediul cmpului magnetic, dac corpurile sunt magnetizate, etc.S clarificmsensul fizic al constantelor 1m i 2m . Din (2.1) avem

( ) ( )1 1 1 2 2 2m m = v v v v ,

iar de aici:

( )

( )1 12

1 2 2

m

m

=

v v

v v

. (2.2)

Din formula (2.2) rezult c 2m este de attea ori mai mare dect 1m de cte ori variaia vitezei

particulei a doua ( )2 2v v

este mai mic dect variaia vitezei primei particule ( )1 1v v

. Cu alte

cuvinte, de cte ori 2m este mai mare dect 1m de attea ori corpul al doilea se va opune mai mult

variaiei vitezei n comparaie cu primul corp. Astfel constantele 1m i 2m descriu proprietile deinerie ale corpurilor 1 i 2. Acestea se numescmasesau, mai exact, mase inerialeale corpurilor 1i 2.

Lund 1m n calitate de etalon de mas, adic considernd 1m egal cu o unitate de mas, din (2.2)

obinem urmtoarea formul pentru masa corpului al doilea cunoscnd variaia vitezelor corpurilor 1i 2:

( )

( )1 1

2 1

2 2

m m

=

v v

v v

. (2.3)

Conceptul de mas dedus din formula (2.3) are sensul de msur a ineriei corpuluin micarea luide translaie. Masa corpurilor se msoar n kilograme (kg). Unitatea de mas kg este o unitatefundamental a sistemului internaional (SI) de uniti.

n formula (2.1) intr mrimea exprimat cu produsul dintre masa corpului i viteza lui:

p m= v

(2.4)

Aceast mrime vectorial se numete impuls sau cantitate de micare a unui corp. Direcia isensul impulsului coincide cu direcia i sensul vitezei. Impulsul se msoar n k g m s .

Se numete impuls sau cantitate de micare a unui sistem de puncte materiale mrimea

vectorial egal cu suma impulsurilor tuturor punctelor materiale ce formeaz sistemul:

1 1

n n

i i i

i i

p m= =

= v

P = . (2.5)

2


3/9


Pentru sistemul din 2 puncte materiale 1 2 1 1 2 2p p m m= + = +v v

P . Acum expresia (2.1) poate fi

scris sub forma

=

P P . (2.6)

unde 1 2p p= +

P i 1 2p p = +

P sunt impulsurile sistemului nainte i dup interaciune.Astfel,

impulsul sistemului izolat din dou puncte materiale se conserv, adic se menineconstant n timp oricare ar fi interaciunea dintre ele.

Aceast afirmaiereprezintlegea conservrii impulsului. Ea este rezultatul experimentului ia definiiei date mai sus pentru mas.

2.2. Principii le al II-lea ial III-lea ale dinamicii. Fora

Proprietatea corpurilor de a se opune variaiei vitezei de care depinde acceleraia lor se descriecu ajutorul mrimii fizice numit mas. ns, cum am spus i mai devreme, acceleraia corpului

depinde, de asemenea, de influena sau, mai exact, de intensitatea influenei altor corpuri asupracorpului n cauz. Proprietatea corpurilor de a exercita influen asupra altor corpuri, ca i alteproprieti ale corpurilor, trebuie s se descrie cu o anumit mrime fizic. Pentru a clarifica cereprezintaceast mrime fizic observm c dac asupra unui punct material nu acioneaz altecorpuri, atunci impulsul acestuia rmne constant. Dac, ns, asupra lui acioneaz alte corpuri,atunci impulsul suvariazn timp. Evident, variaia impulsului odat cu scurgerea timpului va ficu att mai mare, cu ct mai intens va fi influena altor corpuri asupra celui considerat. De aceeaeste natural s considerm n calitate de msur a intensitii influenei altor corpuri asupra

punctului material rapiditatea variaiei impulsului punctului material, adic prima derivat a

impulsului acestuia n raport cu timpul:dp

pdt

. Experiena demonstreaz c n mecanica clasic

derivata impulsului punctului material p este determinat de poziia acestuia fa de corpurile ce lnconjoar, iar n unele cazuri i de viteza lui. Aadar, derivata impulsului este o funcie de vectorulde poziie r

i de viteza v

a punctului material i mai poate depinde, de asemenea, de coordonatele

i vitezele punctelor materiale ce l nconjoar ca parametriai acestei funcii. Notm aceast funcie

prin ( ),F r v

i atunci putem scrie:

d pF

dt=

(2.7)

Funcia de coordonatele i viteza punctului material ( ),F r v

, determinat de derivata impulsului

acestuia n raport cu timpul a fost numit for. Fora este un vector, ntruct se obine prinderivarea vectorului p

n raport cu argumentul scalar t. Fora se consider cunoscut dac se

cunoate valoarea ei, direcia i sensul, precum i dac se indic asupra crui corp i din partea cuiacioneaz.

Din (2.7), de asemenea, se mai observc

derivata impulsului punctului material n raport cu timpul este egalcu fora (rezultantaforelor) ce acioneaz asupra lui.

n acest sens ecuaia (2.7) intervine deja nu ca definiia unei mrimi fizice fora, dar ca o legefundamental care a cptat denumirea de principiul al doilea (fundamental) al dinamicii saulegea a doua a lui Newton. Cu ajutorul acestei legi se poate determina acceleraia corpului,necesar pentru rezolvarea problemei fundamentale a mecanicii. Evident, pentru determinareaacceleraiei trebuie s cunoatem forele ce acioneaz asupra corpului, care se pot stabili din

3


4/9


experiment (vezi, 2.4). Admindc masa punctului material nu depinde de timp i c prin F

sesubnelege rezultanta tuturor forelor ce acioneaz asupra acestuia, din (2.7) obinem (la derivarea

produsului mv

, m se scoate n afara derivatei ca fiind o constant):

dm F ma F

dt= =

v

, (2.8)

de undeF

am

=

. (2.9)

Expresia (2.9) ne permite s dm o alt formulare a legii a doua a lui Newton:

acceleraia unui punct material este direct proporional cu rezultanta F

a tuturorforelor ce acioneaz asupra lui, invers proporional cu masa ma punctului material iorientat n sensul rezultantei forelor.

Din aceast formulare a principiului fundamental al dinamicii se observ dependena acceleraiei

corpului de cauzele variaiei micrii lui ( F

) i de proprietile ineriale ale acestuia ( m ). Ecuaia(2.8) permite definirea unitii de for, numit n SI newton (N). Un newton este fora carecomunic unui corp cu masa de 1 kg o acceleraie de 21 m s :

2

kg m1N = 1

s

.

Rezolvnd diferite tipuri de probleme ale dinamicii deseori apare necesitatea de a utiliza oproprietate important a forelor, exprimat prin principiul al treilea al dinamiciisau legea a treiaa lui Newton. Pentru a stabili aceast proprietate considerm un sistem izolat constituit din dou

puncte materiale. Impulsul total al sistemului se conserv:

1 2 const.p p+ =

Derivnd aceast expresie n raport cu timpul, obinem:

1 2 1 20p p p p+ = = ,

sau n baza legii a doua a lui Newton (2.7),

1 2F F=

, (2.10)

unde 1F

i 2F

sunt forele, prin intermediul crora punctele materiale interacioneaz ntre ele.

innd seama de faptul experimental c forele 1F

i 2F

sunt orientate dea lungul dreptei ce unete

punctele materiale, ajungem la legea a treia a lui Newton(principiul al treilea al dinamiciinumiti principiul aciunii i reaciunii):

Forele de interaciune dintre dou puncte materiale sunt egale ca mrime, orientate dea

lungul dreptei ce le unete i contrare ca sens.

Legea a treia a lui Newton formulat n aceast form este valabil pentru un sistem izolatconstituit din dou puncte materiale ce interacioneaz ntre ele. nsexperimentul demonstreaz c

ea este valabil i pentru un sistem constituit dintr-un numr arbitrar de puncte materiale. Fielk

F

fora cu care punctul material cu numrul kacioneaz asupra celui cu numrul l, iarkl

F

este fora

cu care punctul material cu numrul l acioneaz asupra celui cu numrul k. Legea a treia a luiNewton afirm c aceste dou fore sunt orientate dea lungul dreptei ce le unete i

4


5/9


lk klF F=

. (2.11)

Legea a treia a lui Newton generalizat sub aceast form permite trecerea de la mecanica unuipunct material la mecanica unui sistem de puncte materiale. n particular aceasta permite extinderealegii conservrii impulsului (2.6) i pentru cazul unui sistem cu un numr arbitrar de punctemateriale ce interacioneaz. Vom analiza aceste chestiuni n cele ce urmeaz.

2.3. Legea conservrii impulsului. Micarea centrului de mas

Forele care acioneaz asupra punctelor materiale ce constituie un sistem pot fi divizate ninterne i externe. Forele externe sunt acele fore, cu care corpurile externe acioneaz asupra

punctelor materiale ale sistemului, iar cele interne, evident, snt forelecu care interacioneaz ntreele punctele materiale ale sistemului. Conform legii a treia a lui Newton (2.11), pentru forele

interne de interaciune dintre dou puncte materiale arbitrate li kale sistemului 0lk klF F+ =

. De

aici rezultc suma vectorial a tuturor forelor interne ce acioneaz ntr-un sistem este egal cu

zero. Scriem acest rezultat sub forma:( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 0i i i i

nF F F F + + + + =

, (2.12)

unde indicele superior (i) subliniaz apartenena forelor la cele interne, iar cel inferior indic

numrul punctului material asupra cruia acioneaz forele. De exemplu, ( )1i

F

reprezint fora

intern rezultantce acioneaz asupra primului punct material din partea celorlalte care fac parte

din sistem. Notm acum prin ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , ,e e e e

nF F F F

forele externe ce acioneaz asupra punctelor

materiale corespunztoare ale sistemului. Scriem legea a doua a lui Newton pentru fiecare punctmaterial al sistemului:

( ) ( )11 1

( ) ( )22 2

( ) ( )

,

,

.

i e

i e

i enn n

dpF F

dt

dpF F

dt

dpF F

dt

= +

= + = +

(2.13)

Adunnd aceste ecuaiiparte cu parte i innd seama de expresia (2.12), obinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3e e e e

n n

dp p p p F F F F

dt+ + + + = + + + +

,

sau

( )ed Fdt

=

P

, (2.14)

unde 1 2 3 np p p p+ + + +

P = este impulsul ntregului sistem, iar ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3e e e e e

nF F F F F = + + + +

este rezultanta tuturor forelor externe ce acioneaz asupra tuturor punctelor materiale alesistemului. Astfel derivata impulsului sistemului de puncte materiale n raport cu timpul este egal

rezultanta tuturor forelor externe ce acioneaz asupra tuturor particulelor sistemului. Ecuaia (2.14)este ecuaia (2.7) generalizat pentru un sistem de puncte materiale. Pot avea loc urmtoarele cazuri

particulare:

5


6/9


1.Admitem c ( ) 0eF =

. Aceasta are loc, de exemplu, pentru un sistem izolat. n acest caz din

(2.14) rezult c 0d

dt=

P

, iar de aici se obine

const.=

P , (2.15)cu alte cuvinte

dac suma vectorial a tuturor forelor externe este egal cu zero, atunci impulsulsistemului se conserv, oricare ar fi interaciunile dintre particulele sistemului.

Aceasta este legea conservrii impulsului pentru un sistem de puncte materiale.n particular, ea areloc pentru un sistem izolat de corpuri.

2. Presupunem c ( ) 0eF

, dar una din proieciile acestei rezultante pe axele de coordonateeste egal cu zero, de exemplu, ( ) 0exF = . Atunci din (2.14) rezult:

0 const.x xd

dt= =

PP (2.16)

Aadar,impulsul total al sistemului nu se conserv, dar se conserv proiecia impulsului pe direciax .

Astfel, presupunnd c punctele materiale ale sistemului izolat interacioneaz ntre ele ctedou i c aceast interaciune se subordoneaz legii a treia a lui Newton am dedus legeaconservrii impulsului pentru un sistem de puncte materiale. ns, dup cum sevede din deducere,

pentru valabilitatea legii este suficient s cerem satisfacerea relaiei mai puin riguroase (2.12). Sepoate demonstra, c aceast condiie este o consecin a proprietii fundamentale de omogenitateaspaiului. De aceea se spune c

legea conservrii impulsului este o consecin a omogenitii spaiului.

Omogenitatea spaiului nseamn, c dac n dou zone arbitrare ale acestuia vom stabili toatecorpurile sistemului n condiii identice, atunci toate fenomenele fizice n sistem se vor produce lafel. ntruct fenomenele fizice se descriu prin legi fizice, omogeneitatea spaiului nseamn, deasemenea, invariana legilor fizice n raport cu alegerea originii de coordonate a sistemului dereferin. Nu se poate exclude i faptul, c relaia (2.12) nu este o condiie necesar pentruvalabilitatea legii conservrii impulsului. Experimentul arat, c legea conservrii impulsului estevalabil nu numai n lumea macroscopic, ci i n cea microscopic, unde adesea divizareasistemului n pri i pierde sensul i este imposibil utilizarea conceptului de fore interne. Astfel,legea conservrii impulsului este o lege fundamental a naturiice nu cunoate excepii. ns, nacest sens, ea nu mai poate fi considerat ca o consecin a legilor lui Newton.

3. S analizm acum mai detaliat micarea unui sistem de puncte materiale, cnd rezultantatuturor forelor externe ce acioneaz asupra tuturor punctelor materiale ale sistemului este diferit

de zero, adic ( ) 0eF

. n acest caz micarea se descrie cu ajutorul ecuaiei (2.14). Reprezentmimpulsul total al sistemului sub forma:

1 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3 ,

n nn n

m r m r m r m r dm m m m m

dt m

+ + + + = + + + + =

v v v v

P

unde 1 2 3, , , , nr r r r

sunt vectorii de poziie ai punctelor materiale ale sistemului, iar

1 2 3 nm m m m m= + + + + este masa sistemului.Notm

1 1 2 2 3 3

1

1 nn nC i i

i

m r m r m r m r R m r

m m =

+ + + += =

. (2.17)

6


7/9


Punctul, a crui vector de poziie se exprim prin relaia (2.17) se numete centru de mas saucentru de inerieal sistemului de puncte materiale. Cu aceast notaie impulsul sistemului poate fireprezentat sub forma:

,CC

dRm m

dt= = v

P (2.18)

unde

1 1 2 2 3 3 1

n

i i

n n iC

mm m m m

m m

=+ + + += = v

v v v v

v

este viteza centrului de mas al sistemului. Substituind (2.18) n (2.14), obinem( )eCdm F

dt=

v

,

sau( )e

Cma F=

. (2.19)

Astfel, am demonstrat teorema despre micarea centrului de mas:

Centrul de mas al unui sistem de puncte materiale se mic ca un punct material, a crui

mas este egal cu masa total a sistemului sub aciunea unei fore egale cu rezultanta

tuturor forelor externe ce acioneaz asupra tuturor particulelor sistemului.

n calitate de exemplu, vom analiza micarea unui proiectil pe o traiectorie parabolic.Dac laun moment oarecare de timp proiectilul se fragmenteaz n buci mici, atunci aceste fragmente subaciunea forelor interne vor zbura n toate direciile. ns centrul de mas al fragmentelor i gazelorce se formeaz n timpul exploziei i va continua micarea pe traiectoria parabolic, ca i cum n-arfi avut loc explozia proiectilului.

2.4. Legi de aciune a forelor

Revenind la problema fundamental a mecanicii vom observa c dac se cunosc legile deaciune a forelor, acceleraia corpului se poate determina cu ajutorul legii a doua a lui Newton.

Matematic aceasta nseamn cunoaterea dependenei explicite ( ),F F r= v

, care n diferite cazuri

poate fi stabilit doar experimental. Sa considerm cteva exemple.

1.Forele de elasticitate. Din experien se cunoate c la deformarea corpurilor apar fore cetind s restabileasc forma i volumul anterior al acestora. Aceste fore se numesc fore deelasticitate. Deformaiile pot fi att elastice, ct i neelastice. Se numesc elastice deformaiile ce

dispar complet dup ncetarea aciunii forelor externe, corpul restabilindu-se att ca form ct i cavolum. n caz contrar deformaiile se numesc neelastice. Experiena demonstreaz c

n limitele elasticitii corpurilor fora de elasticitate este direct proporional cudeformaia i orientat n sens opus acesteia.

Aceast afirmaie reprezintlegea lui Hooke. Matematic ea se scrie sub forma:

.elF kx=

. (2.20)

Semnul minus n (2.20) subliniaz faptul, c forade elasticitate .elF

este orientat n sens opus

deformaiei x . Coeficientul de proporionalitate k este numit constant de elasticitate a corpului.Trebuie sa menionmc formula (2.20) este valabilnumai n cazul deformaiilor elastice.

Dac fora extern deformeaz un anumit corp, de exemplu, un resort, atunci conform legii atreia a lui Newton, fora de elasticitate ce apare este egal n modul cu fora extern. Dac inem

7


8/9


Fig. 2.1

seama c fora de elasticitateeste proporional cu deformaia(cu alungirea resortului), este evidentc elasticitatea resortului poate fi utilizatla msurarea forelor externe. Dispozitivul confecionat nacest scop se numete dinamometru.

2.Forele de frecare i de rezisten. Dac un corp alunec pe suprafaa altuia, atunci dinpartea corpului inferior acioneaz ofor asupra corpului superior care este orientat n sens opusmicrii, adic vitezei. Aceast for se numete for de frecare la alunecare. Experimental s-astabilit c aceast for este proporional cu fora de presiune normal exercitat de corpul superiorasupra celui inferior. ntruct fora de presiune normal a corpului superior asupra celui inferior,conform legii a treia a lui Newton, este egal n modul cu fora ce acioneaz din partea corpului

inferior asupra celui superior, adic cu fora de reaciune normal N

, atunci expresia pentru forade frecare poate fi scris sub forma (fig. 2.1):

fr.al.F N= , (2.21)

unde coeficientul de proporionalitate este numitcoeficient de frecare. Dup cum se observ din (2.21)coeficientul de frecare este o mrime adimensional.

Valoarea lui depinde de starea suprafeelor ce intr ncontact. Sub form vectorial expresia (2.21) poate fiscris n modul urmtor:

fr.al.F N=

v

v

, (2.22)

unde =v v

este modulul vitezei. Dup cum se observdin (2.22) fora de frecare la alunecare nu

depinde de mrimea vitezei, ci numai de sensul ei. Semnul "minus" n (2.22) subliniaz faptul, c

fr.al.F

este orientat n sens opus vitezei v

. Dac 0=v

(corpul se afl n stare de repaus), atunci

conform legii a doua a lui Newton ext. fr.rep. 0F F+ =

, deoarece 0a =

. De aici, obinem:

fr.rep. ext.F F=

, (2.23)

unde fr.rep.F

este fora de frecare de repaus. Sub form scalar relaia (2.23) are aspectul:

fr. rep. ext.F F= (2.23,a)

Expresiile (2.23) i (2.23,a) subliniaz faptul, c fora de frecare de repaus este orientat n sens

contrar forei ext.F

i este egal cu ea n modul. Dependenele forei de frecare la alunecare (2.21) i

forei de frecare de repaus (2.23) de fora exterioar sunt reprezentate grafic nfigura 2.2. Saltul din

grafic arat c la nceputul alunecrii corpului are loc o micorare mic a forei de frecare. npractic, ns, se consider c

( )fr.rep. fr.al.maxF F . (2.24)

Este de reinut c cele menionate se refer numai la forele defrecare uscat,cnd ntre suprafeele ce intr n contact nu se afldiferii lubrifiani.

S analizm acum forele de rezisten ce apar la micareacorpurilor n lichide i gaze. Experiena demonstreaz c acestefore depind de viteza relativ a micrii corpului n raport cu

lichidul sau gazul, de forma suprafeei lui i de proprietilemediului n care acesta se mic. Pentru viteze relative mici forade rezisten se determin cu ajutorul legii lui Stokes:

Fig. 2.2

8


9/9


fora de rezisten este proporional cu viteza relativ a micrii corpului n raport culichidul sau gazul:

rez.F =

v , (2.25)

unde coeficientul de proporionalitate depinde de dimensiunile corpului, forma lui i deproprietile mediului n care acesta se mic. n SI [ ] N s m = . Semnul minus n (2.25) arat cfora de rezisten ca i cea de frecare este orientat n sens opus micrii.

Pentru viteze mari ale corpului n micare fora de rezistense determin cu ajutorul legii luiNewton:

fora de rezisten este proporional cu ptratul vitezei relative a corpului n raport culichidul sau gazul:

2

rez.F = =

v

v vv

v

. (2.26)

Coeficientul de proporionalitate este o constant ce depinde de dimensiunile corpului, forma luii de proprietile mediului n care acesta se mic.

3. Fora de gravitaie universal. Studiind micarea Lunii n jurul Pmntului cu ajutorulprincipiului al doilea al dinamicii, Newton a ajuns la concluzia c

orice dou puncte materiale se atrag ntre ele cu o for direct proporional cu produsul

dintre masele lor 1m i 2m , invers proporional cu ptratul distanei dintre ele2

r i este

orientat dea lungul dreptei ce le unete:

1 2

2

m mF K

r= . (2.27)

Aceasta este legea atraciei universale. Coeficientul de proporionalitate K reprezint constantgravitaional. Valoarea numeric a acestei constante a fost determinat pentru prima datde ctresavantul englez G. Cavendish n 1878, msurnd n laborator forele de atracie dintre dou corpurisferice. Conform datelor recente n SI

311

2

m6,6745(8) 10

kg sK

=

.

Dup cum se observdin (2.27) constanta gravitaional K este numeric egalcu fora de atraciedintre dou puncte materiale cu masele de 1 kg fiecare situate la distana de 1 m unul de altul. Dup

cum au demonstrat experimentele, interaciunea descris de legea atraciei universale a lui Newton(2.27) are loc pentru orice dou puncte materiale i nu poate fi explicat cu ajutorul unor legi maisimple. Interaciunea gravitaional aparine categoriei celor mai simple, adic interaciunilorfundamentale. Ulterior se va vedea ccelelalte interaciuni analizate pot fi explicate n baza unorlegi mai simple i de aceea nu pot fi considerate fundamentale.

9

2 dinamica

Documents