1.electrostatica
TRANSCRIPT
CAPITOLUL 1
ELECTROSTATICA
Tema 1
ELECTRIZAREA CORPURILOR
Scurt istoric Electrizarea corpurilor a fost descoperită cu mai bine de 2500 de ani în urmă, în Grecia antică. Fenomenul de electrizare, “focul ascuns” , cum îl numeau vechii greci, a fost pentru mult timp considerat o curiozitate. Cuvântul “electricitate” a fost introdus în ştiinţele naturii probabil la sfârşitul secolului al XVI-lea, fiind atribuit lui W. Gilbert (1540-1603). Etimologia acestuia, precum şi a tuturor noţiunilor derivate, o constituie cuvântul grecesc pentru chihlimbar (electron), o răşină naturală care a fost utilizată în Grecia antică pentru a obţine “focul ascuns”- adică sarcini electrice acumulate prin electrizare. Abia în secolul al XIX-lea, cercetările efectuate de Ampere, Faraday, Maxwell şi mulţi alţii, continuate de fizicienii şi chimiştii secolului al XX-lea , au condus la concluzia că proprietăţile fizice şi chimice a tot ce ne înconjoară, de la atom la celula vie, sunt în mare parte, determinate de existenţa interacţiunii electrice.
METODE DE ELECTRIZARE A CORPURILORA. Electrizarea prin frecare Experimental se constată că, în anumite condiţii, de exemplu prin frecare, corpurile pot fi aduse într-o stare care modifică unele dintre proprietăţile mediului în care acestea se află. Modificarea este pusă în evidenţă prin aceea că alte corpuri, aduse în aceeaşi stare, sunt supuse unor forţe. Prin frecarea unei baghete de ebonită sau chihlimbar (!) cu o bucată de blană se constată că bagheta atrage bucăţele de hârtie sau fire de păr, praf etc.
1
Dacă o baghetă de ebonită, după ce se freacă cu o blană, este adusă în apropierea unui pendul electric se constată că bobiţa pendulului este atrasă de către baghetă.
Din aceste experienţe se trage concluzia că bagheta de ebonită, prin frecare, capătă proprietatea de a atrage corpuri mici din preajma ei. Se spune că bagheta s-a electrizat prin frecare.Prin convenţie s-a stabilit că unele corpuri se electrizează negativ (bachelita, chihlimbarul) iar altele se electrizează pozitiv (sticla, plexi).Explicaţia acestui fenomen este că substanţele sunt alcătuite din atomi care la rândul lor conţin în nucleu protoni e+ (pozitivi) şi neutroni iar învelişul conţine atâţia electroni e- (negativi), încât pe ansamblu atomul este neutru din punct de vedere electric. Cu “e” a fost notată unitatea de sarcină electrică, care are valoarea:
e=1,6.10-19CDacă printr-un procedeu oarecare (frecare) se modifică numărul de electroni din înveliş, atunci atomii devin ioni pozitivi dacă au pierdut electroni şi ioni negativi dacă există un surplus de electroni faţă de numărul protonilor din nuclee.
Prin frecare poate fi electrizată orice substanţă, chiar şi metalele, dar trebuie ca acestea să fie prevăzute cu mâner izolator, altfel sarcina electrică se scurge prin corpul nostru în pământ iar pedulul nu este deviat, ca în figura alăturată.
2
- - - - - -- - - - - -
B. Electrizarea prin contactDacă o baghetă, electrizată prin frecare, este adusă în apropierea unui pendul electric cu bilă metalică, se constată că în prima etapă o va atrage dar imediat este respinsă. Se trage concluzia că după ce s-a atins bila de baghetă se produce o electrizare a bilei cu acelaşi fel de sarcină electrică care se distribuie pe toată suprafaţa ei.
Dacă două corpuri electrizate cu sarcinile Q10 şi Q20 sunt aduse în contact, ele îşi distribuie sarcinile, proporţional cu dimensiunea lor, încât, dacă sistemul este izolat, are loc conservarea sarcinilor electrice:
Q10+Q20=Q1+Q2
În urma electrizării prin contact corpurile vor avea acelaşi fel de sarcină electrică, fie numai pozitivă, fie numai negativă. După atingerea bilelor pendulelor electrice, acestea se resping.
3
- - - - - -- - - - - -
++
+ +++ +
++ +
++
++
+++
++
+
Q10
Q10
Q2Q
1
12 3
C. Electrizarea prin influenţăÎn cazul conductoarelor metalice este specifică existenţa unui număr mare de electroni care se pot mişca aproximativ liber în interiorul materialului.Dacă în apropierea unui corp metalic, izolat, se apropie o baghetă de ebonită electrizată prin frecare, se produce o deplasare a sarcinilor electrice, determinând o polarizare a acestora la capetele corpului.
Dacă se conectează corpul la pământ, printr-un fir, sarcina pozitivă este anihilată de către electronii ce vin din pământ, iar pe corp rămân numai sarcini electrice negative.După ce se desface legătura cu pământul, se poate îndepărta bagheta căci corpul rămâne electrizat, prin influenţă, cu sarcină electrică negativă, care se distribue uniform pe toată suprafaţa corpului.Electrizarea prin influenţă se poate realiza şi la corpurile izolatoare, unde, în prezenţa câmpului electric, forţele electrice produc deformarea învelişurilor electronice ale atomilor realizându-se dipoli electrici care se orientează ordonat. Această electrizare este locală dar la capetele corpului se vor găsi straturi subţiri de sarcini electrice “legate” pe feţele acestuia.Din cele prezentate mai sus rezultă clar că prin electrizare nu se generează sarcini electrice ci doar se transferă sarcini de la un corp la altul sau se redistribue sarcina electrică pe un sistem de corpuri.
4
++++
+_
+_
+_
+_
+_
+_
+_
+_
+_
+_
+_
+_
+_ ++
++
+
+ + + + + ++ + + + + +
___
++ + + + + ++ + + + + +
___
++ + + + + ++ + + + + +
___
___
__
_
__
_ _ ___
__
+
Tema 2
LEGEA LUI COULOMB
Experimental s-a constatat că două corpuri electrizate interacţionează între ele prin forţe de atracţie sau de respingere după cum ele au sarcini electrice diferite sau au acelaşi fel de sarcină electrică.
Pe baza datelor experimentale, fizicianul Charles Coulomb a formulat în anul 1785 legea interacţiunii dintre corpurile electrizate:
Între două corpuri punctiforme, purtătoare de sarcini electrice Q1 şi Q2 se exercită forţe orientate pe linia ce uneşte corpurile, de valoare proporţională cu produsul sarcinilor Q1.Q2 şi invers proporţională cu pătratul distanţei r dintre corpuri.
Constanta de proporţionalitate k depinde de mediul în care se află sarcinile electrice şi de sistemul de unităţi de măsură, în SI ea este dată de expresia:
unde “” se numeşte permitivitate electrică a mediului.Astfel, forţa electrică va avea expresia:
Permitivitatea electrică a vidului (aerului) este o constantă universală cu valoarea: 0=8,85.10-12F/m
5
+ + +_
+_F
Q1
Q2
r
iar constanta k=9.10-9Nm2/C2 Pentru a compara, din punct de vedere electric, un mediu dat cu vidul sau cu aerul, se foloseşte permitivitatea electrică relativă r ce arată de câte ori forţa de interacţiune în vid este mai mare decât în acel mediu:
sau =r.0
În tabelul alăturat se dau câteva valori ale permitivităţii relative ale unor substanţe.După cum se vede, permitivitatea rela-tivă a aerului este apropiată de unitate, motiv pentru care se consideră că proprie-tăţile electrice ale aerului sunt aceleaşi cu ale vidului.
PROBLEME
1) Două sfere metalice, au razele R1=R2=8cm. Prima sferă este încărcată cu sarcina electrică Q10=6.10-8C iar a doua neîncărcată. Se ating sferele între ele. Ce sarcini vor avea ele? Dar dacă a doua sferă este încărcată cu sarcina electrică Q20=-4.10-8C?
R: a) Q=3.10-8C b) Q’=10-8C
2) Două sfere metalice identice încărcate cu sarcinile Q10=18.10-9C şi Q20=4.10-9C se află în aer la o distanţă oarecare între ele. Sferele sunt aduse în contact şi apoi introduse într-un lichid la aceeaşi distanţă ca la început. Se constată că forţa de interacţiune dintre sfere a rămas neschimbată. Să se calculeze permitivitatea relativă a lichidului.
R: r=1,68
3) Se consideră două sfere metalice mici cu sarcinile Q1=+1C şi Q2=+4C, situate în aer la distanţa d=6cm. În ce loc şi cu ce sarcină
6
Substanţa r Substanţa r
Aer 1,00059 Porţelan 4…..5Petrol 2…..2,3 Mică 4.….8Hârtie 2…..2,5 Glicerină 43Ebonită 3…..4 Apă 81sticlă 2…..12 ceramică 8000
trebuie plasat al treilea corp punctiform, încât sistemul să fie în echilibru mecanic?
R: x13=2cm Q3=-0,44.10-6C
4) În vârfurile unui pătrat cu latura =4cm se găsesc patru corpuri cu sarcinile Q1=Q3=+2.10-6C respectiv Q2=Q44.10-6C. Să se calculeze forţa ce se exercită asupra corpului Q4.
R: F4=18N
5) Două sfere metalice identice, cu masele egale m=0,1g, situate în aer, sunt suspendate din acelaşi punct prin două fire izolatoare, de lungime =20cm. Care sunt sarcinile electrice (egale) ale celor două sfere, dacă unghiul format de cele două fire este =900 ?
R: Q=9,4.10-8C
7
+
+
-
-
Tema 3CÂMPUL ELECTROSTATIC
A. NOŢIUNEA DE CÂMP FIZICNoţiunea de câmp fizic s-a impus în fizică începând din a doua jumătate a secolului al XIX-lea, ca noţiune fundamentală pentru explicarea transmiterii interacţiunilor din aproape în aproape şi de la distanţă.Noţiunea de câmp fizic este asociată cu descrierea în fiecare punct a proprietăţilor unei regiuni din spaţiu, proprietăţi determinate de corpurile prezente în regiunea respectivă.Expresiile funcţiilor care descriu în fiecare punct proprietăţile spaţiului, includ în mod obligatoriu mărimi fizice asociate proprietăţilor specifice ale corpurilor sursă de câmp.Indiferent de natura fizică a câmpului, prezenţa acestuia într-un anume punct este detectată prin acţiuni specifice exercitate asupra unui corp plasat în câmp, numit corp de probă. Câmpul fizic există independent de prezenţa corpului de probă iar prezenţa acestuia nu trebuie să perturbe proprietăţile câmpului existent.De obicei, pentru câmpul fizic, se defineşte câte o funcţie vectorială şi una scalară, relaţionate între ele în fiecare punct al câmpului, numite intensitatea câmpului, respectiv potenţialul câmpului.Cunoscând intensitatea câmpului în fiecare punct, se poate determina forţa exercitată de corpul sursă a câmpului asupra oricărui alt corp plasat în orice punct din câmp.Cunoscând potenţialul în fiecare punct, se poate determina energia potenţială corespunzătoare interacţiunii dintre corpul sursă a câmpului şi oricare alt corp plasat în orice punct din câmp.
B. INTENSITATEA CÂMPULUI ELECTROSTATICRegiunea din spaţiu în care se exercită forţe electrice asupra corpurilor electrizate aflate în repaus sau în mişcare se numeşte câmp electric.
8
Corpul electrizat care generează câmpul este numit sursă a câmpului. Dacă sursa câmpului electric este în repaus, câmpul generat se numeşte câmp electrostatic. Pentru detecţia câmpului electric într-un punct oarecare din spaţiu se utilizează un corp punctiform, încărcat electric, numit corp de probă.De fapt interacţiunile se realizează instantaneu între câmpul electric şi corpul de probă.Pentru a descrie câmpul electric în fiecare punct al spaţiului, se defineşte mărimea fizică vectorială numită intensitatea câmpului electric, numeric egală cu forţa electrică ce acţionează asupra unui corp punctiform încărcat cu o sarcină de 1C, plasat în acel punct al câmpului:
Ţinând cont de expresia forţei din legea lui Coulomb, se găseşte modulul intensităţii câmpului electric:
sau vectorial:
Din această formulă se constată că intesitatea câmpului electric scade exponenţial cu distanţa r.
La o sferă metalică electrizată distribuţia intensităţii câmpului este astfel:
9
+ +F
+
+
+
+
+
_
E
r
+
+
++
+
++
++
+
+
++
+
+
+
_
Eint=0
în interiorul sferei câmpul electric este nul deoarece sarcinile electrice sunt în echilibru, chiar pe sferă
în exteriorul sferei intensitatea se calculează ca şi cum întreaga sarcină ar fi concentrată în centrul sferei.
corpurile metalice au proprietatea de a ecrana câmpul electric atât de la interior la exterior cât şi de la exterior la interior dacă acestea sunt legate la pământ.
în funcţie de semnul sarcinii “Q” sursă a câmpului, intensitatea câmpului este orientată la fel cu dacă Q0 sau în sens contrar lui dacă Q0.
10
+ -
C. LINIILE DE CÂMPNoţiunea de linie de câmp a fost introdusă în fizică de către Faraday în scopul unei reprezentări de tip geometric a câmpurilor electrice şi magnetice. Linia de câmp este o linie imaginară care admite, în fiecare punct al său, ca tangent vectorul intensitate a câmpului electric. Sensul liniei de câmp este acelaşi cu sensul intensităţii câmpului electric.Totalitatea liniilor de câmp trasate pentrtu o sursă oarecare constituie spectrul câmpului respectiv. Liniile de câmp nu se intersectează în
nici un punct al câmpului.
Liniile de câmp unesc sarcini de semne contrare. Traiectoria unui corp de probă coincide cu linia de câmp. Liniile de câmp se desenează astfel încât “desimea” lor să constituie o
măsură a intensităţii câmpului electric. Pentru un câmp electric uniform, liniile de câmp sunt paralele şi
echidistante.În cazurile în care într-un punct din spaţiu, câmpul electric este generat de un ansamblu de sarcini electrice, este valabil principiul superpoziţiei: intensitatea câmpului electric , într-un punct din spaţiu, este egală cu suma vectorială a intensităţilor ale câmpurilor electrice generate de fiecare sarcină electrică punctiformă Qk , independent de celelalte câmpuri
D. FLUXUL ELECTRIC
11
+ -
Termenul flux provine din cuvântul latinesc fluere, care înseamnă a curge. Originea sa se găseşte în teoria fluidelor, unde fluxul reprezintă debitul unui fluid care trece printr-o suprafaţă oarecare.
Fluxul unui câmp electric uniform, de intensitate , printr-o suprafaţă plană de arie S, este: =E.S.cos unde este unghiul dintre vectorul câmpului electric şi vectorul normalei la suprafaţa dată. TEOREMA LUI GAUSSConsiderăm un corp punctiform, încărcat cu sarcina electrică Q şi un înveliş sferic de rază R cu centrul pe corpul punctiform.Fluxul total al câmpului electric prin suprafaţa dată este: =E.Ssau ţinând cont că aria sferei este S=4R2
rezultă:
După simplificări rezultă că fluxul câmpului electric printr-o sferă este:
Acest rezultat a fost generalizat pentru orice suprafaţă închisă şi orice distribuţie spaţială de sarcini electrice de către Gauss (1777-1855):Fluxul câmpului electric printr-o suprafaţă închisă este egal cu raportul dintre sarcina electrică totală aflată în interiorul suprafeţei şi permitivitatea electrică a mediului în care se află suprafaţa considerată:
Dacă o suprafaţă închisă se află în câmp electric, dar nu are sarcini electrice în interior, atunci fluxul prin
12
+
suprafaţă este zero deoarece numărul liniilor de câmp care intră în suprafaţă este egal cu numărul liniilor care ies din suprafaţă. APLICAŢII1. Câmpul electric creat de o distribuţie sferică a sarcinii electriceSe consideră o suprafaţă sferică, de rază R, pe care este distribuită uniform sarcina electrică Q, denumită pătură sferică. Se alege o suprafaţă de rază r, pe care urmează să se aplice teorema lui Gauss, denumită suprafaţă gaussiană. Fluxul câmpului electric prin suprafaţa aleasă este: =E.4r2
Ţinând cont de teorema lui Gauss rezultă:
a) pentru rR , rezultă
b) pentru rR , =0 (sarcina este pe suprafaţă) rezultă: E=0
2. Câmpul electric generat de o distribuţie plană de sarcină electricăSe consideră o suprafaţă plană pe care este depusă sarcină electrică cu densitatea . Intensitatea câmpului electric este perpendiculară pe suprafaţa plană. Se alege ca suprafaţă gaussiană un cilindru de rază r, cu generatoarea perpendiculară pe suprafaţa plană. Fluxul elctric prin cilindru este suma dintre fluxul prin baze şi fluxul prin suprafaţa laterală: =baze+lateral
Întrucât câmpul electric este paralel cu suprafaţa laterală, fluxul elctric lateral este nul: lateral=0. Fluxul câmpului electric prin cele două baze este: baze=E.2S=E.2r2
Fluxul total prin cilindru este: =E.2r2 Sarcina electrică aflată în interiorul cilindrului este: q=.r2
Conform teoremei lui Gauss fluxul electric prin cilindru este:
Egalând cele două expresii ale fluxului electric se obţine:
13
Rezultă că intensitatea câmpului electric creat de o suprafaţă plană este:
3. Câmpul electric creat de două distribuţii plane şi paraleleConsiderând unsistem de două plane paralele pe care se găsesc sarcini electrice diferite ca semn dar cu aceeaşi densitate 1=2=
Cele două distribuţii plane vor crea câmpuri egale:
Cele două intensităţi sunt paralele şi de acelaşi sens, câmpul total este:
PROBLEME
1) Două corpuri punctiforme încărcate cu sarcinile elctrice q1+4.10-6C respectiv, q2+2.10-6C sunt situate la distanţa d=6cm. Calculaţi intensitatea câmpului electric la jumătatea distanţei dintre ele. Aceeaşi cerinţă dacă q2 este negativă. R: E=2.107V/m
2) Să se reprezinte graficele intensităţilor câmpurilor electrice create de cele două sarcini electrice considerate punctiforme şi graficul câmpului electric rezultant în spaţiul dintre sarcini pe linia ce le uneşte.
3) O sferă metalică cu raza R=2cm este încărcată cu sarcina electrică q=2.10-6C. Să se reprezinte grafic intensitatea câmpului electric în funcţie de distanţa r măsurată de la centrul sferei.
4) Arătaţi că, dacă un ecran electric este legat la pământ, el permite ecranarea în ambele sensuri (de la exterior spre interior şi invers), iar dacă ecranul este izolat, el permite ecranarea numai de la exterior spre interior.
14
++++++++
__
_
_
_
_
_
_
+1 2
E1
E2
5) În vârfurile A, B, C ale unui pătrat cu latura =4cm, se află trei corpuri punctiforme, cu sarcinile: Q12.10-6C, Q2=4 .10-6C şi Q3=Q1.
Să se calculeze intensitatea câmpului electric în punctul D. R: E=16.106V/m
6) Două sfere concentrice, din metal, au razele R1R2. Pe sfera interioară se află sarcina electrică +q, iar pe cea exterioară +Q. Să se exprime intensitatea câmpului electric în următoarele situaţii:
a) în interiorul sferei mici; b) în spaţiul dintre cele două sfere; c) în exteriorul sferei mari; d) să se reprezinte grafic E(r) .
7) Într-un câmp electric omogen, caracterizat prin vectorul intensitate E, orientat vertical în sus şi de modul E=104V/m, se află o sferă metalică cu masa m=10g încărcată cu sarcina electrică q=+10-6C, care este suspendată cu un fir izolant de lungime =1m. Se imprimă sferei, din poziţia de echilibru, o viteză iniţială vo=1m/s, pe o direcţie
orizontală. Să se calculeze tensiunea din fir în momentul când sfera se află la distanţa maximă faţă de poziţia iniţială. R: T=0,18N
8) Într-un punct situat între două corpuri punctiforme, încărcate electric, pe linia ce le uneşte, intensitatea câmpului electric este zero. Cum sunt sarcinile electrice?
15
Tema 4POTENŢIALUL ELECTRIC
A. LUCRUL MECANICDacă în câmpul creat de sarcina Q se găseşte sarcina q, forţa exercitată asupra ei poate să efectueze un lucru mecanic: L=Fmed.dunde d=r2-r1 iar După înlocuiri şi calcule se găseşte expresia lucrului mecanic:
Această relaţie se poate scrie sub forma:
Din această relaţie se trage concluzia că lucrul mecanic nu depinde de forma drumului parcurs de sarcina de probă, deci câmpul de forţe electrice este conservativ. Astfel, lucrul mecanic este egal cu diferenţa energiilor corespunzătoare celor două stări: L=W1-W2
unde
este energia potenţială a sistemului celor două sarcini electrice.
B. POTENŢIALUL ELECTRICPentru a caracteriza capacitatea unui câmp electric de a efectua lucru mecanic, se foloseşte noţiunea de potenţial electric:
sau
16
Astfel, lucrul mecanic efectuat de câmpul electric pentru a deplasa o sarcină electrică q între două puncte este: L=q(V1-V2)sau L=q.Uunde U=V1-V2 este definită ca diferenţă de potenţial sau tensiune.Aşadar:
câmpul electric E caracterizează capacitatea de acţiune F asupra corpului de probă
potenţialul electric V caracterizează capacitatea de a efectua un lucru mecanic L asupra corpului de probă
între intensitatea câmpului electric şi potenţial este relaţia de legătură:
B. ENERGIA UNUI SISTEM DE SARCINIPentru un sistem de două sarcini electrice q1 şi q2,
energia potenţială este:
care se poate scrie şi sub forma:
apoi
În această relaţie V21 este potenţialul creat de sarcina q2, în care se află sarcina q1 , iar V12 este potenţialul creat de sarcina q1, în care se află sarcina q2.Pentru un sistem format dintr-un număr oarecare de sarcini electrice
energia sistemului este:
unde Vk reprezintă potenţialul total în care se află fiecare sarcină qk.
17
C. TENSIUNE-CÂMP ELECTRICConsiderând că între două plăci există un câmp electric uniform E, acesta poate efectua un lucru mecanic asupra unei sarcini q :
L=F.d=qE.dPe de altă parte, lucrul mecanic se poate scrie şi astfel: L=q(V1-V2)=q.U
Astfel, se deduce că:
E. SUPRAFEŢE ECHIPOTENŢIALEPotenţialul electric este o mărime fizică scalară dependentă de coordona-tele unui punct din spaţiu: V=f(x,y,z) Suprafeţele din spaţiu pentru care potenţialul este constant se numesc suprafeţe echipotenţiale. Deplasarea unei sarcini electrice pe o suprafaţă echipotenţială se face fără efectuare de lucru mecanic. Vectorul câmp electric este orientat perpendicular pe suprafeţele echipotenţiale şi are sensul de la o suprafaţă cu potenţial mai mare spre o suprafaţă cu potenţial mai mic.
F. APLICAŢII CORP METALIC (SFERĂ)Considerând un corp metalic, de formă sferică, încărcat cu sarcina electrică q care se distribuie uniform pe toată suprafaţa, formând o pătură sferică.
Potenţialul electric din interiorul unui corp metalic încărcat cu sarcină electrică Q este constant şi egal cu cel de pe suprafaţa corpului
18
iar în exteriorul corpului se aplică formula generală a potenţialului:
SFERE CONCENTRICE (izolate)Considerând un sistem de două sfere metalice, concentrice dintre care sfera mică de rază r, este încărcată cu sarcina +q iar sfera mare de rază R, iniţial fără sarcină electrică.Prin influenţă sfera exterioară se electrizează cu sarcinile electrice +q’ şi –q’. Potenţialele celor două sfere se obţin prin însumarea potenţialelor produse de fiecare sarcină din sistem.
SFERE CONCENTRICE (cu legare la pământ)Legarea la pământ aunei sfere (exterioară) va determina scurgerea sarcinilor pozitive în pământ iar sistemul arată ca în figură. Potenţialele celor două sfere sunt:
Era de aşteptat ca potenţialul sferei mari, care este legată la pământ, să fie nul, egal cu cel al pământului.
PROBLEME
19
1) Două corpuri punctiforme încărcate cu sarcinile elctrice q1+4.10-6C respectiv, q2+2.10-6C sunt situate la distanţa d=6cm. Calculaţi potenţialul electric la jumătatea distanţei dintre ele. Aceeaşi cerinţă dacă q2 este negativă. R: V=18.105V
2) Să se reprezinte graficele potenţialelor electrice create de cele două sarcini electrice, din problema precedentă şi graficul potenţialului electric rezultant în spaţiul dintre sarcini pe linia ce le uneşte.
3) O sferă metalică cu raza R=2cm este încărcată cu sarcina electrică q=2.10-6C. Reprezentaţi graficul potenţialului electric în funcţie de distanţa r măsurată de la centrul sferei.
4) În vârfurile A, B, C ale unui pătrat cu latura =4cm, se află trei corpuri punctiforme, cu sarcinile: Q12.10-6C, Q2=4 .10-6C şi Q3=Q1.
Să se calculeze potenţialul electric în punctul D. R: V=0V 5) Două corpuri punctiforme A şi B cu sarcinile electrice QA=2C respectiv QB4C, se află în aer la distanţa d=1,8m. Să se calculeze intensitatea câmpului electric în punctele de pe dreapta AB unde potenţialul este nul şi apoi valoarea potenţialului electric unde intensitatea câmpului electric este nulă. R: E=75.103V/m 6) Două sfere concentrice, din metal, au razele R1R2. Pe sfera interioară se află sarcina electrică +q, iar pe cea exterioară +Q. Să se exprime
valoarea potenţialului electric în următoarele situaţii: a) în interiorul sferei mici; b) în spaţiul dintre cele două sfere; c) în exteriorul sferei mari; d) să se reprezinte grafic V(r) .
20
7) Pot exista puncte în care intensitatea câmpului electric să fie nulă, iar potenţialul electric să fie diferit de zero? Explicaţi!
8) Două sfere metalice mici, având aceeaşi sarcină electrică, situate la distanţa d=50cm între centrele lor, interacţionează cu forţa de respingere F=10-5N. Care este potenţialul sferelor, dacă diametrul lor este D=1cm? R: V=15kV
9) Care este sarcina electrică Q a unui corp care crează în aer o diferenţă de potenţial DV=180V între două puncte situate la r1=1m respectiv r2=2m de acel corp? R: Q=4.10-8C
10) Două corpuri punctiforme au sarcinile electrice q1=3.10-8C respectiv q2=5.10-8C iar distanţa dintre ele este d=5cm. Care este energia localizată în câmpul electric al sistemului celor două corpuri? R: W=2,7.10-4J
21
Tema 5CAPACITATE ELECTRICĂExperimental s-a constatat că un conductor se poate încărca cu sarcina electrică Q dacă este supus unui potenţial electric V. Această proprietate se numeşte capacitate elctrică a conductorului.Experienţele arată că raportul dintre sarcina electrică Q şi potenţialul V la care se află suprafaţa exterioară a conductorului, este constant, depinzând doar de dimensiunile şi forma conductorului:
Constanta C este o mărime fizică ce caracterizează capacitatea conducto-rului de a se încărca cu sarcină electrică şi se numeşte capacitate electrică.
Unitatea de măsură a capacităţii este: (farad)
În practică se utilizează de obicei submultiplii faradului:- 1mF=10-3F- 1F=10-6F- 1nF=10-9F- 1pF=10-12F
Pentru un conductor sferic izolat, de rază R, capacitatea electrică este:
Din această formulă se vede că pentru corpurile obişnuite capacitatea electrică a lor are valori foarte mici. CONDENSATORUL ELECTRICDin cauză că un conductor izolat realizează o capacitate electrică foarte mică, în tehnică s-au realizat dispozitive, numite condensatori, formate din două conductoare, numite armături, separate de un strat izolator foarte subţire numit dielectric. Dacă între armăturile condensatorului se aplică o tensiune electrică U=VA-VB (unde VA şi VB sunt potenţialele armăturilor) atunci armăturile se încarcă cu sarcini egale QAQB, dar de semne contrare.
22
C
Capacitatea C a unui condensator depinde de forma, poziţia relativă şi dimensiunile armăturilor şi de natura dielectricului dintre ele şi nu depinde de tensiunea dintre armături sau de sarcina electrică.Clasificarea condensatorilor după: forma armăturilor natura dielectricului
mobilitatea armăturilor
Condensatorul plan
Condensatorul plan este alcătuit din două armături plane, de arie S fiecare, dispuse paralel la distanţa d una de cealaltă. Între armături se găseşte un dielectric cu permitivitatea electrică .Conform teoremei lui Gauss intensitatea câmpului electric dintre
armăturile condensatorului plan este dată de relaţia: ştiind că
Q=S iar U=E.d rezultă:capacitatea condensatorului plan
Din această relaţie se vede că un condensator va avea capacitatea mai mare dacă aria suprafeţelor celor două armături este mai mare, dacă distanţa dintre armături este mai mică şi dacă dielectricul are permitivitatea electrică mai mare.De multe ori pentru a realiza o capacitate mare se folosesc straturi multiple de armături şi eventual rulate pentru a ocupa un volum cât mai mic.
23
Condensatorul sfericConsiderând un sistem de două sfere concentrice, conductoare, cu razele R şi r cu valori apropiate. Sfera interioară se încarcă cu sarcina electrică +Q iar sfera exterioară se leagă la pământ. După stabilirea echilibrului sistemul arată ca în figura alăturată.
Potenţialele celor două sfere sunt:
Tensiunea electrică între sfere este egală cu diferenţa celor două potenţiale
Capacitatea condensatorului sferic se calculează din:
de unde rezultă:
Dacă se ţine cont că Rr şi dacă notăm cu d=R-r iar S=4R2 rezultă că:
şi regăsim formula de calcul pentru condensatorul plan care ar avea aceeaşi suprafaţă cu cea sferică.
24
GRUPAREA CONDENSATORILOR
a) Gruparea serie
Considerând grupul de condensatori C1, C2 şi C3
conectaţi în serie, trebuie găsit un condensator cu o capacitate echivalentă care conectat în locul grupării să se încarce cu aceeaşi sarcină electrică. Armăturile vecine a doi condensatori consecutivi şi conductorul ce le uneşte formează un conductor izolat pe care sarcina iniţială este zero. După aplicarea tensiunii U condensatorii se încarcă cu sarcini egale. Pentru gruparea serie de condensatori se poate scrie: U=VA-VB=VA-V1+V1-V2+V2-V3+V3-VB sau U=U1+U2+U3
Dar ţinând cont că:
rezultă:
Pentru condensatorul echivalent:
de unde rezultă că:
25
CS
b) Gruparea paralel
Doi sau mai mulţi condensatori sunt conectaţi în paralel dacă armăturile lor sunt conectate la aceleaşi două puncte ale unui circuit electric. Este evident că toţi condensatorii dintr-o grupare paralel au aceiaşi tensiune între armături. Sarcina acumulată de grupare este: Q=Q1+Q2+Q3 sau Q=C1U+C2U+C3U=(C1+C2+C3)UPentru condensatorul echivalent sarcina este: Q=CPUDe unde rezultă: CP=C1+C2+C3
ENERGIA DIN CONDENSATOR
Deoarece la încărcarea condensatorului sarcinile electrice sunt deplasate de pe o armătură pe alta, lucrul mecanic efectuat de câmpul electric constituie un transfer de energie spre condensator.
Energia potenţială electrică a sistemului este dată de relaţia:
sau ţinând cont că sarcinile de pe cele două armături sunt egale: QA=Q şi QB=-Q
Rezultă:
Sau
26
CP
Din punct de vedere al dispunerii spaţiale, această energie este localizată în câmpul electric dintre armăturile condensatorului, motiv pentru care mai este denumită energia câmpului electric dintre armături.
27
PROBLEME
1) Între armăturile unui condensator plan de capacitate Co se introduce o placă dielectrică lipită de una din armături având grosimea egală cu jumătate din distanţa d dintre armături şi permitivitatea relativă r. Care va fi noua capacitate a condensatorului? R: C=2rCo/(1+r)2) Între plăcile unui condensator plan cu suprafaţa armăturilor S şi distanţa dintre armături d, se introduce o placă dielectrică de grosime d, arie S' şi permitivitate electrică r. Găsiţi expresia capacităţii în acest caz.
R:
3) Armăturile unui condensator plan cu suprafaţa comună S, sunt aşezate la distanţa d una faţă de alta. Calculaţi capacitatea electrică dacă între armături se introduce o lamă metalică subţire. Dar dacă lama are grosimea d' ? R: C=S/d
4) Care condensator din gruparea alăturată va avea mai multă sarcină electrică, ştiind că toţi condensatorii au aceiaşi capacitate? R: C1
5) Cunoscând capacităţile C1=8F; C2=3F şi C3=6F din schema precedentă, calculaţi capacitatea echivalentă a grupării. R: C=10F
28
6) Calculaţi capacitatea echivalentă a grupării de condensatori din schema alăturată, cunoscând: C1=3F; C2=6F; C3=2F şi C4=2F . R: C=3F
7) Calculaţi capacitatea echivalentă a grupării de condensatori din schema alăturată, cunoscând: C1=3F; C2=6F; C3=6F şi C4=3F . R: C=4F8) În circuitul din figura alăturată capacităţile condensatorilor sunt: C1=3F; C2=2F şi C3=5F. Să se calculeze:
a) capacitatea echivalentă;b) tensiunea UAB pentru ca sarcina q2=6.10-5C. R: C=2,5F UAB=60V
9) Bateria de condensatori C1=1F; C2=3F; C3=2F şi C4=4F este conectată la tensiunea U=9V. Să se calculeze capacitatea echivalentă, tensiunile, sarcinile şi energiile electrice ale fiecărui condensator. R: C=2/3F Q1=6C Q2=6C Q3=2C Q4=4C
10) Doi condensatori având capacităţile C1=4F şi C2=2F sunt legaţi în serie şi conectaţi la o tensiune U=12V. Să se determine:
a) tensiunile U1 şi U2 la bornele condensatorilor; b) sarcinile electrice q1 şi q2 ale armăturilor. R: U1=4V; U2=8V; q1=16C; q2=16C
11) Doi condensatori C1=0,1F şi C2 sunt conectaţi în serie la o tensiune U=110V. Ce valoare are capacitatea C2 dacă
29
la bornele ei se măsoară tensiunea U2=10V? Care sunt sarcinile acumulate pe armăturile condensatorilor? R: C2=1F; Q1=10C; Q2=10C
12) Se consideră reţeaua de condensatori din figura alăturată, în care se cunosc capacităţile: C1=4F, C2=2F şi C3=3F, potenţialul electric al punctului A fiind VA12V. Să se determine potenţialul punctului B (VB) şi sarcinile electrice pe cei trei condensatori q1, q2 şi q3. R: VB8V; q1=16C; q2=8C; q3=24C
13) Doi condensatori cu capacităţile C1=1F şi C2=2F sunt încărcaţi fiecare la tensiunea Uo=50kV, după care se conectează între ei în serie. Să
se calculeze căldura Q disipată în sârmele de legătură. R: Q=1875J14) Doi condensatori C1 şi C2 sunt încărcaţi fiecare la tensiunile U1 şi U2, după care se conectează între ei: a) cu plăcile de aceeaşi polaritate în contact; b) cu plăcile cu polarităţi diferite în contact. Determinaţi tensiunile electrice la bornele grupării în fiecare caz.
R:
15) Un condensator plan, cu aer, este conectat la tensiunea U=20kV, după care se deconectează şi se umple jumătate din spaţiul dintre armături cu un dielectric cu permitivitatea electrică r=5, măsurându-se o tensiune U1 ,
respectiv U2. Cunoscând distanţa dintre armături d=2cm, să se calculeze cele două tensiuni şi să se compare capacităţile obţinute. R: U1=120kV U2=20/3 kV
16) Un condensator plan, cu aer, are dimensiunile armăturilor de 40cm şi 60cm, iar distanţa dintre armături d1=0,5cm. După încărcarea condensa-torului la tensiunea U=2kV, se deconectează de la sursă şi se depărtează plăcile la distanţa d2=2d1. Să se determine lucrul mecanic necesar. R: L=85.10-5J
30
17) Doi condensatori cu capacităţile C1 şi C2 sunt conectaţi în serie şi încărcaţi la o sursă cu tensiunea Uo. Se deconectează de la sursă şi se
leagă condensatorii în paralel. Să se calculeze căldura Q degajată în firele de legătură în timpul acestui proces.
R:
18) Să se calculeze capacitatea echivalentă a bateriei de condensatoare în care C1=C4=2F şi C2=C3=6F, în cazurile în care:
a) comutatorul K este deschis; b) comutatorul K este închis. R: Ca=3F ; Cb=4F 19) În circuitul din figura alăturată se cunosc: C1=1F; C2=2F; C3=1F; C4=5F şi U=6V. Să se calculeze capacitatea echivalentă şi tensiunea la bornele condensatorului C4.
R: Ce=2F U4=2V20) Cei doi condensatori din figura alăturată au capacităţile C1=6F, respectiv C2=4F şi sarcinile electrice Q01=24C, Q02=6C. Să se calculeze sarcinile Q1 şi Q2 , tensiunea U după închiderea întrerupătorului K. Care este diferenţa dintre energia iniţială şi cea finală înmagazinată pe cei doi condensatori? R: Q1=18C; Q2=12C; U=3V
21) În circuitul din figura alăturată, capacităţile condensatorilor au valorile: C1=1F, C2=4F şi tensiunea E=10V. În momentul iniţial comutatorul K se află în poziţia A iar condensatorul C2 este descărcat. Se trece comutatorul pe poziţia B, apoi readus pe poziţia A, ş.a.m.d. Să se calculeze tensiunea şi sarcinile condensatorilor după n=25 conectări ale lui K pe poziţia B.
31
R:
22) Cunoscând capacităţile C1=3F, C2=3F, C3=2F, C4=6F, C5=5F şi tensiunea aplicată U=6V, să se determine capacitatea echivalentă, sarcinile electrice pe fiecare condensator şi energia înmagazinată în bateria de condensatori. R: C=2F; Q1=12C; Q2=Q3=Q4=2C; Q5=10C
32
MIŞCAREA PARTICULELOR ELECTRIZATEÎN CÂMP ELECTRIC
Considerăm două plăci metalice paralele, situate la distanţa d, între care se găseşte aplicată o tensiune U ce crează un câmp electric uniform de intensitate:
O particulă electrizată de masă m şi sarcină electrică q pătrunde în câmpul electric cu viteza v0 perpendiculară pe liniile câmpului.Pentru a studia mişcarea particulei alegem un sistem de coordonate xOy.În interiorul câmpului, pe Ox viteza iniţială este v0, forţa Fx=0, acceleraţia ax=0 deci mişcarea este uniformă cu ecuaţia: x1=v0t
Pe axa Oy intervine forţa Fy=qE care imprimă o acceleraţie ,
ecuaţiile de mişcare sunt:
după eliminarea timpului, rezultă:
Această ecuaţie arată că traiectoria particulei în interiorul câmpului este un arc de parabolă.Calculând vitezele vx şi vy la ieşirea din câmp:
şi din asemănarea triunghiurilor vitezelor şi al deplasărilor în exterior:
33
E
v0 y1
y2
D
+
_
şi deviaţia totală este:
se constată că deviaţia y poate fi influenţată de valoarea tensiunii U.Una dintre aplicaţiile deviaţiei electronilor în câmp electric este la osciloscopul catodic.Osciloscopul catodic este un aparat care permite înregistrarea fenomenelor variabile în timp, transfomând semnalele electrice în semnale optice care pot fi observate pe ecran. Elementul mobil îl constituie un fascicul de electroni care este deviat de la o traiectorie rectilinie de către un câmp electric determinat de tensiune a de măsurat (analizat).
Părţi componente: filamentul f are rolul de degaja căldură la temperaturi ridicate catodul C ajungând la incandescenţă emite un flux de electroni grila G formează un fascicul îngust de electroni anodul A produce un câmp electric accelerator (tensiune foarte mare) plăcile de baleiaj pe vericală Bv deplasează fasciculul pe verticală plăcile de baleiaj pe orizontală Bo deplasează fasciculul pe orizontală ecranul E are un strat luminofor care transformă energia cinetică a
electronilor în energie luminoasă (spot).Funcţionare:
34
f
CBv
Bo E
fe
AG
Fasciculul de electroni emis de catod este accelerat de către câmpul electric foarte puternic produs de anod. Pe plăcile de baleaj pe orizontală se aplică o tensiune liniar crescătoare în timp, periodică, cu formă de dinte de fierăstrău:
Acest tip de tensiune, aplicat plăcilor de baleaj pe orizontală face ca fasciculul de electroni să fie dirijat permanent, periodic de la stânga spre dreapta pe suprafaţa ecranului şi foarte repede înapoi, producând pe ecran o dungă luminoasă orizontală.Dacă pe plăcile de baleaj pe verticală se aplică un semnal electric variabil în timp, fasciculul de electroni va fi dirijjat corespunzător pe verticală încât spotul de pe ecran va avea o poziţie rezultată din compunerea celor două mişcări şi va desena o figură geometrică corespunzătoare.
35
EXPERIENŢA LUI MILLIKAN
Determinarea experimentală a valorii sarcinii electrice elementare a fost făcută de către Millikan în 1913, drept pentru care i s-a decernat Premiul Nobel în anul 1913.
Dispozitivul este format din două plăci plane paralele, cea superioară fiind prevăzută cu un mic ajutaj prin care se pulverizează picături foarte fine de ulei. Prin frecare cu aerul picăturile de ulei se electrizează. Sub acţiunea greutăţii proprii ele coboară mărindu-şi viteza până când forţa de frecare cu aerul F=C.v devine egală cu greutatea picăturii. m.g=C.vDin acest moment picătura se mişcă uniform. Constanta C depinde de vâscozita-tea mediului.Dacă între plăci se aplică o tensiune încât forţa electrică să fie orientată în sus, la echilibru se poate scrie: G=Fr+Fe Sau mg=C.v1+q.EPrin eliminarea constantei C se poate găsi valoarea sarcinii electrice a picăturii de ulei care a fost “luată în colimator” Valoarea vitezelor se determină măsurând timpul necesar picăturii ca să parcurgă un spaţiu dat.
36
ProblemăO picătură de ulei electrizată, având masa m=10-14kg, se află între două plăci, plasate orizontal la o distanţă d=1cm una de alta. În lipsa câmpului electric, picătura, sub efectul greutăţii sale şi datorită frecării cu aerul, atinge o viteză limită v1=0,2mm/s. Aplicând o tensiune U=490V între plăci, viteza de cădere devine v2=0,12mm/s. Să se afle:a) sarcina q a picăturii de ulei (exprimată în sarcini elementare)b) viteza limită v3 a picăturii dacă se inversează polaritatea tensiuniic) valoarea tensiunii U’ şi polaritatea ei pentru a menţine în repaus
picătura între plăci. Se va lua g=9,8m/s2. R: a) q=8.10-19C=5e; b) v3=0,28mm/s; c) U’=1225V
37