1.6-circuite-divizoare-şi-legile-lui-kirchhoff.pdf
TRANSCRIPT
-
107
06 - Circuite divizoare i legile lui Kirchhoff
1. Circuite divizoare de tensiune
Circuitele serie proporioneaz, sau divizeaz, cantitatea total de tensiune pe fiecare component n parte,
aceste proporii depinznd strict de rezistori: ERn = ETotal (Rn / RTotal
Analiza unui circuit serie simplu (divizor de tensiune)
).
S analizm un circuit electric serie simplu, determinnd cderile
de tensiune pe fiecare rezistor n parte.
Vom introduce valorile cunoscute precum i cele ce le vom afla prin
aplicarea formulelor ntr-un tabel ce cuprinde tensiunea (E), curentul (I) i
rezistena (R), precum i suma acestora n ntreg circuitul. Valorile sunt
exprimate in voli (V), amperi (A), respectiv ohmi ().
Folosind valorile individuale ale rezistenelor, putem determina valoarea
rezistenei totale din circuit, cunoscnd c valoarea total este suma
rezistenelor individuale n cazul circuitelor serie.
De aici, putem folosi legea lui Ohm (I = E / R) pentru determinarea valorii
totale a curentului, ce va fi aceeai cu valoarea curentului prin fiecare
rezistor, curenii fiind egali n toate componentele ntr-un circuit serie.
Cderea de tensiune pe fiecare rezistor este direct proporional cu rezistena sa
Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E
45 V
I
A R 5k 10k 7.5k
Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E
45 V
I
A R 5k 10k 7.5k 22.5k
Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E
45 V
I 2m 2m 2m 2m A R 5k 10k 7.5k 22.5k
-
108
Cunoscnd valoarea curentului (2 mA), putem folosi legea lui Ohm (E = IR) pentru calcularea cderilor de
tensiune pe fiecare rezistor n parte.
Putem observa c valoarea cderilor de tensiune pe fiecare rezistor este
proporional cu rezistena, datorit faptului c valoarea curentului este
aceeai prin toi rezistorii (circuit serie).
De asemenea, cderea de tensiune pe rezistorul R2 este dubl fa de cderea de tensiunea pe rezistorul R1,
la fel precum rezistena R2 este dubl fa de rezistena R1
Dac ar fi s modificm valoarea total a tensiunii din circuit, vom vedea c
.
proporionalitatea a cderilor de tensiune rmne constant
.
Cderea de tensiune pe R2 este n continuare exact dublul cderii de pe R1, n ciuda modificrii tensiunii
sursei. Proporionalitatea cderilor de tensiune este strict n funcie de valoarea rezistenelor.
Devine aparent faptul c pe fiecare rezistor, cderea de tensiunea este o fraciune fix din valoarea tensiunii
totale a sursei. Tensiunea pe R1 de exemplu, era 10 voli atunci cnd valoarea tensiunii sursei era de 45 de voli.
Atunci cnd am crescut tensiunea bateriei pn la 180 de voli (de 4 ori mai mult), cderea de tensiune pe R1 a
crescut de asemenea de 4 ori (de la 10 la 40 de voli). Raportul dintre cderea de tensiune pe R1
Formula divizorului de tensiune
i cderea de
tensiune total a rmas acelai:
De asemenea, nici raporturile dintre cderile de tensiune pe celelalte dou rezistene i tensiunea total a
bateriei nu s-au modificat:
Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 10 20 15 45 V I 2m 2m 2m 2m A R 5k 10k 7.5k 22.5k
Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 40 80 60 180 V I 8m 8m 8m 8m A R 5k 10k 7.5k 22.5k
-
109
Din aceast cauz, un circuit serie poart adesea numele de divizor de tensiune, pentru abilitatea sa de
divizare a tensiunii totale n fracii proporionale cu o valoare constant. Matematic, aceasta se poate exprima astfel:
n cadrul unui circuit divizor de tensiune, raportul dintre rezistenele individuale i cea total este acelai ca
i raportul dintre cderile de tensiune individuale i tensiunea total a sursei. Aceast formul poart denumirea de
formula divizorului de tensiune
Reanalizarea circuitului
, i este o metod mai rapid de aflare a cderilor de tensiune ntr-un circuit serie
faa de folosirea repetat a legii lui Ohm
Folosind aceast formul, putem reanaliza circuitul de mai sus folosind mai puini pai:
Aplicaii
-
110
Circuitele divizoare de tensiune se folosesc acolo unde o combinaie
specific de rezistori serie este folosit pentru a diviza tensiunea
n cantiti precise (n cazul aparatelor de msur, de exemplu).
2. Poteniometrul
Un poteniometru este o dispozitiv rezistiv variabil cu trei puncte de conectare, folosit frecvent pe post de
divizor de tensiune ajustabil.
Poteniometrul este un divizor de tensiune
Unul dintre dispozitivele folosite frecvent ca i divizor de tensiune este poteniometrul,
un rezistor cu un element mobil poziionat cu ajutorul unei manete. Elementul mobil,
denumit i perie, face contact cu un material rezistiv dezizolat, n oricare dintre punctele
selectate manual.
Pe msur ce contactul periei se apropie de
terminalul 1 i se ndeprteaz de
terminalul 2, rezistena spre terminalul 1
scade iar cea ctre terminalul 2 crete. Dac
apropiem contactul de terminalul 2, vom
obine efectul contrar. Rezistena ntre cele
dou puncte (1 i 2) este constant
indiferent de poziia contactului periei.
-
111
Poteniometre rotative i poteniometre liniare
Mai jos sunt ilustrate dou tipuri de poteniometre, rotative i liniare:
Raportul de divizare
Dac aplicm o tensiune constant
ntre cei doi terminali de la
extremiti, poziia periei va lua
doar o fraciune din tensiunea
aplicat, msurat ntre contactul
periei i oricare dintre ceilali doi
terminali.
Valoarea acestei fracii depinde n ntregime de poziia fizic a periei
Cu alte cuvinte,
. Ca i n cazul unui divizor de
tensiune fix, coeficientul de divizare este strict o funcie de rezisten i nu depinde de valoarea tensiunii aplicate.
Cu alte cuvinte, dac maneta poteniometrului este deplasat la exact jumtatea distanei dintre cei doi terminali
externi, cderea de tensiune ntre perie i oricare dintre cei doi terminali este exact jumtate (1/2) din valoarea
tensiunii aplicate, indiferent de valoarea aceteia sau de rezistena total a poteniometrului.
un poteniometru acioneaz precum
un divizor variabil de tensiune, iar coeficientul de
diviziune este stabilit de poziia periei
Aceast aplicaie a poteniometrului este una foarte
folositoare pentru obinerea unei tensiuni variabile
cu ajutorul unei surse fixe de tensiune precum
bateria.
.
-
112
Dac circuitul ce-l construim necesit o anumit valoare a tensiunii mai mic dect valoarea tensiunii la
bornele bateriei, putem conecta terminalii externi ai poteniometrului la baterie iar sarcina (bec, de exemplu) o
conectm ntre terminalul periei i oricare dintre cei doi terminali externi (vezi i exemplul alturat):
3. Legea lui Kirchhoff pentru tensiune
Suma algebric a tuturor cderilor de tensiune dintr-o bulc trebuie s fie egal cu zero
Analiza unui circuit serie simplu
S lum un circuit serie cu trei rezistori i s notm punctele din
circuit.
Dac ar fi s conectm un voltmetru ntre punctele 2 i 1, sonda roie la punctul 2 i sonda neagr la punctul 1, voltmetru va indica valoarea de +45 V. n mod normal, semnul + nu este artat, ci este implicit n cazul citirii aparatelor de msur digitale.
Cnd o tensiune este exprimat cu indice dublu (2-1
n cazul notaiei E2-1), nseamn ca tensiunea este
msurat ntre cele dou puncte. O tensiune exprimat
prin Ecd
ar nsemna c tensiunea msurat este cea
indicat de un voltmetru cu sonda roie conectat la
punctul c i sonda neagr la punctul d.
-
113
Dac ar fi s lum acelai voltmetru i s
msurm cderea de tensiune de pe fiecare
rezistor, parcurgnd circuitul n sensul acelor de
ceasornic, cu sonda roie n fa i cu cea neagr
n spate, am obine/citi urmtoarele valori:
Suntem deja familiarizai cu conceptul general al circuitelor serie, i anume: suma cderilor de tensiune
individuale este egal cu tensiunea total aplicat. Dar, msurnd cderile de tensiune n acest fel i innd cont de
polaritatea (+ sau -) citirilor, descoperim o alt variant a acestui principiu: suma tensiunilor msurat n acest
fel este zero
Definiie
:
Acest principiu este cunoscut sub denumirea de legea lui Kirchhoff pentru tensiune (descoperit n 1847 de
ctre Gustav R. Kirchhoff), i poate fi exprimat astfel:
Suma algebric a tuturor cderilor de tensiune dintr-o bulc trebuie s fie egal cu zero.
Termenul de sum algebric este folosit pentru a desemna faptul c trebuie luate n considerarea semnele
(polaritile) tensiunilor din circuit pe lng valorile acestora. Prin bucl se nelege orice drum prin circuit ce
ncepe i se termin n acelai punct. n exemplul de mai sus, bucla s-a format ntre punctele 1-2-3-4-1, n exact
aceast ordine. Nu conteaz punctul din care ncepem sau direcia pe care o urmm (n sensul acelor de ceasornic,
sau invers), suma cderilor de tensiune va fi tot zero. Pentru a demonstra acest lucru, putem modifica bucla astfel
(3-2-1-4-3):
-
114
Pentru o mai bun vizualizare, putem redesena
circuitul serie de mai sus, astfel nct toate
componentele s se regseasc pe aceeai linie dreapt:
Este exact acelai circuit, doar c aranjamentul componentelor este diferit. Observai polaritatea cderilor
de tensiune de pe rezistori n comparaie cu cea a bateriei: tensiunea bateriei este negativ n stnga i pozitiv n
dreapta, pe cnd tensiunile la bornele rezistorilor sunt orientate n sens opus: pozitiv n stnga i negativ n
drepta. Acest lucru se datoreaz faptului c rezistorii ntmpin o rezisten n faa curegerii electronilor mpini de
baterie. Cu alte cuvinte, rezistena mpotriva curgerii electronilor trebuie s fie direcionat n direcie opus sursei
de tensiune electromotoare.
Verificarea legii lui Kirchhoff pentru tensiune cu ajutorul voltmetrului
Dac am fi s introducem un voltmetru (sau mai
multe voltmetre simultan) n circuit, indicaiile
acestuia ar fi urmtoarele (sonda neagr n stnga,
cea roie n dreapta).
-
115
Dac am fi s lum acelai voltmetru pentru a citi
cderile de tensiune pentru combinaiile
componentelor din circuit ncepnd cu R1
, putem
observa adunarea algebric a tensiunilor (spre
zero).
n cadrul msurtorilor de mai sus, putem observa importana polaritii cderilor de tensiune atunci cnd le
adunm. Citind rezultatele msurtorilor tensiunii la bornele lui R1, R1--R2 i R1--R2--R3 (folosim simbolul --
pentru a desemna conexiunea serie ntre cei trei rezistori R1R2 i R3) vedem c suma cderilor de tensiune are
valori tot mai mari (dei negative), deoarece polaritatea cderilor de tensiune pe fiecare component are aceeai
orientare (stnga pozitiv, dreapta negativ).
Suma cderilor de tensiune pe R1, R2 i R3 este de 45 de voli, aceeai cu tensiunea la ieirea bateriei, cu
observaia c polaritatea bateriei este opus fa de cea a rezistorilor (stnga negativ, dreapta pozitiv) i prin urmare
rezultatul final este o msurtoare de 0 voli pe toate cele patru componente luate la un loc.
O un alt mod de a privi acest circuit este de a observa c partea stnga a circuitului (stnga rezistorului R1:
punctul 2) este conectat direct la partea dreapta a circuitului (dreapta bateriei: punctul 2), pas necesar pentru
nchiderea circuitului. Din moment ce aceste dou puncte sunt conectate direct, acestea sunt electric comune i prin
urmare, cderea de tensiune dintre cele dou trebuie s fie zero
Analiza unui circuit paralel simplu
.
-
116
Legea lui Kirchhoff pentru tensiune (prescurtat LKT)
funcioneaz pentru orice configuraie a circuitului, nu doar
pentru cele serie. S considerm prin urmare un circuit paralel
simplu.
Fiind un circuit paralel, cderile de tensiune pe fiecare rezistor n parte sunt egale cu tensiunea sursei de
alimentare: 6 voli. Msurnd tensiunile n bucla 2-3-4-5-6-7-2, obinem:
Observai notaia cderii de tensiune totale (sumei) cu E2-2. Din moment ce am nceput msurtorile buclei
la punctul 2 i am terminat tot la punctul 2, suma algebric a tuturor cderilor de tensiune va fi aceeai cu tensiunea
msurat ntre acelai punct (E2-2
Legea lui Kirchhoff este universal valabil
), care, desigur, trebuie s fie zero.
Faptul c acest circuit este paralel i nu serie, nu ncurc cu
nimic aplicarea legii lui Kirchhoff pentru tensiune. Din punctul
nostru de vedere, ntregul circuit ar putea s fie o cutie neagr
- configuraia componentelor s fie complet ascuns i s avem
la dispoziie doar un set de puncte unde s putem msura
tensiunea - i legea lui Kirchhoff tot ar fi valabil.
Dac ncercm orice combinaie de pai, pornind de la oricare terminal n diagrama de mai sus, completnd
o bucl astfel nct s ajungem la punctul de plecare, vom vedea c suma algebric a tuturor cderilor de tensiune
va fi tot timpul
4. Circuite divizoare de curent
egal cu zero.
Circuitele paralel mpart cantitatea total de curent pe fiecare ramur n parte, proporiile fiind strict
dependente de valorile rezistenelor: In = ITotal (RTotal / Rn)
-
117
Analiza unui circuit paralel simplu
S analizm un circuit paralel simplu, determinnd valorile
curenilor prin fiecare ramur, respectiv prin fiecare rezistor
n parte.
Cunoscnd faptul c pe fiecare component n parte cderea de tensiune este
aceeai, putem completa tabelul tensiune/curent/rezisten astfel (mrimile sunt
exprimate n voli, amperi i ohmi).
Folosind legea lui Ohm (I = E / R) putem calcula curentul prin fiecare ramur.
tiind c n circuitele paralele suma curenilor de pe fiecare ramur reprezint
curentul total, putem completa tabelul cu valoarea total a curentului prin
circuit, 11 mA.
Ultimul pas este calcularea rezistenei totale, folosind legea lui Ohm (R = E /
I), sau folosind formula rezistenelor n paralel; indiferent de metoda folosit,
rezultatul este acelai.
Prin fiecare rezistor, curentul depinde strict de rezistena acestuia
Ar trebui s fie evident deja faptul c prin fiecare rezistor, curentul depinde de rezistena acestuia, tiind c
valoarea tensiunii prin toi rezistorii este aceeai. Aceast relaie nu este una direct proporional, ci invers
proporional. De exemplu, curentul prin R1 este dublu fa de curentul prin R3, iar rezistena lui R3 este de dou
ori cea a rezistorului R1
Dac ar fi s schimbm sursa de tensiune din acest circuit, am descoperi c
acest raport nu se modific.
.
Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 6 6 6 6 V I
A
R 1k 3k 2k
Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 6 6 6 6 V I 6m 2m 3m
A
R 1k 3k 2k
Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 6 6 6 6 V I 6m 2m 3m 11m A R 1k 3k 2k
Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 6 6 6 6 V I 6m 2m 3m 11m A R 1k 3k 2k 545.45
Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 24 24 24 24 V I 24m 8m 12m 44m A R 1k 3k 2k 545.45
-
118
Curentul prin R1 este i de data aceasta dublu curentului prin R3, cu toate c valoarea tensiunii de
alimentare (tensiunea bateriei) s-a modificat. Proporionalitatea curenilor ntre diferite ramuri ale circuitului
depinde de rezisten
Formula divizorului de curent
.
De asemenea, ca i n cazul circuitelor divizoare de tensiune, curenii ramurilor reprezint fraciuni fixe din
curentul total. Cu toate c tensiunea sursei a crescut de patru ori, raportul dintre curentul ramurii i curentul total a
rmas acelai:
Din acest motiv, un circuit paralel este denumit adesea un divizor de curent pentru abilitatea sa de divizare
a curentului total n fracii. Putem determina o formul
Recalcularea circuitului paralel iniial
pentru calculul curentului prin rezistorii paraleli, atunci cnd
cunoatem curentul total, rezistena total i rezistenele individuale:
Raportul dintre rezistena total i rezistena individual este acelai ca i ntre curentul individual (pe
ramur) i cel total. Aceast formul poart denumirea de formula divizorului de curent, i este o metod mai scurt
de determinare a curenilor prin ramur ntr-un circuit paralel atunci cnd se cunoate curentul total.
-
119
Folosind circuitul paralel original ca i exemplu, putem recalcula curentul prin ramuri folosind aceast
formul, dac ncepem prin a cunoate valoarea total a curentului i a rezistenei:
Comparaie ntre formula divizorului de curent i cea a divizorului de tensiune
Dac facem o comparaie ntre cele dou formule divizoare, putem observa c sunt extrem de
asemntoare. Putem observa totui, c n cazul divizorului de tensiune, raportul este Rn (rezisten individual) la
Rtotal, iar n cazul divizorului de curent, raportul este chiar invers Rtotal la Rn:
Este foarte uor s ncurcm cele dou ecuaii prin inversarea raportului rezistenelor. O modalitate simpl
de memorare a formei corecte este s inem minte c ambele raporturi dintre cele dou ecuaii trebuie s reprezinte
un numr subunitar (ntre 0 i 1). Dac raportul este inversat, vom obine o valoare mai mare dect unu, prin urmare
greit. Cunoscnd faptul c rezistena total ntr-un circuit serie (divizor de tensiune) este tot timpul mai mare
dect oricare dintre rezistenele luate separat, putem s deducem c raportul corect este Rn/Rtotal. La fel, cunoscnd
faptul c rezistena total ntr-un circuit paralel (divizor de curent) este tot timpul mai mic dect valoarea oricrei
rezistene luate individual, putem s deducem raportul corect, Rn/Rtotal
Aplicaii ale divizorului de curent
.
Circuitele divizoare de curent i gsesc aplicaie (de exemplu)
n circuitele de msur, acolo unde o fracie din curentul de
msurat trebuie s fie redirecionat spre un dispozitiv sensibil de
-
120
detecie. Folosind formula rezistorului de curent, se poate afla valoarea exact a rezistenei folosit pe post de unt
pentru a devia cantitatea precis de curent prin dispozitiv n orice situaie.
5. Legea lui Kirchhoff pentru curent
Suma algebric a tuturor curenilor ce intr i ies dintr-un nod trebuie s fie egal cu zero
Analiza unui circuit paralel simplu
S considerm urmtorul circuit paralel.
Calculnd toate valorile tensiunilor i curenilor din acest circuit, obinem
tabelul alturat.
n acest moment cunoatem valorile
curenilor din fiecare ramur precum i
valoarea total a curentului din circuit.
Cunoatem faptul c valoarea total a curentului dintr-un circuit paralel trebuie s fie egal cu suma
curenilor de pe fiecare ramur, dar mai putem observa un principiu foarte important n acest circuit.
S observm aadar ce se ntmpl la fiecare nod (locul de ntlnire a cel puin trei ramuri).
Marime R R1 R2 Total 3 Unitate E 6 6 6 6 V I 6m 2m 3m 11m A R 1k 3k 2k 545,45
-
121
Pe ramura negativ de jos (8-7-6-5), la fiecare nod curentul
principal se divide pe fiecare ramur succesiv spre rezistori.
Pe ramura pozitiv de sus (1-2-3-4) curentul de pe fiecare
ramur se altur curentului principal. Dac ne uitm mai
atent la un anumit nod, precum 3, observm c valoarea
curentului ce intr ntr-un nod este egal cu valoarea curentului
ce prsete acel nod
Definiie
.
Avem doi cureni care intr n nodul 3, din partea dreapt i de jos. Din partea stng avem un singur curent
care iese din nod, egal ca i valoare cu suma celor doi cureni care intr. Acest lucru este valabil pentru oricare nod,
indiferent de numrul ieirilor/intrrilor. Matematic, putem exprima aceast observaie astfel:
O alt form uor diferit dar echivalet din punct de vedere matematic este urmtoarea:
Pe scurt, legea lui Kirchhoff pentru curent sun astfel:
Suma algebric a tuturor curenilor ce intr i ies dintr-un nod trebuie s fie egal cu zero
Adic, dac notm polaritatea fiecrui curent, cu + dac intr ntr-un nod i cu - dac iese, suma lor va
da tot timpul zero.
n cazul nodului 3 de mai sus, putem determina valoarea curentului ce iese din nod prin partea stng
folosind legea lui Kirchhoff pentru curent astfel:
Semnul negativ (-) pentru valoarea de 5 mA ne spune faptul c, curentul iese din acest nod, n contradicie
cu cei doi cureni de 2 mA i 3 mA ce sunt cu semnul pozitiv (+), i prin urmare intr n nod. Cele dou notaii (+
i -) pentru intrarea, respectiv ieirea curentului din nod sunt pur arbitrare, atta timp ct reprezint semne diferite
pentru direcii diferite i prin urmare putem aplica legeal lui Kirchhoff pentru cureni.