1 | p a g e · pdf filela final sunt prezentate indicații de rezolvare dar recomandabil este...

1 | P a g e

1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]

*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate

**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică

Clasele VII-XI

INTRODUCERE ÎN INEGALITĂȚI. METODE

Manuela Prajea1)

Scopul lecției de față este acela de a familiariza elevii de clasele VII-IX care se pregătesc pentru concursuri cu

câteva din principalele metode de demonstrare a inegalitatilor simetrice și/sau nesimetrice , omogene și/sau

neomogene. Lecția poate fi parcursă și fără profesor, exercițiile fiind prezentate gradual, având în vedere (sau nu)

metodele specificate la acel paragraf. La final sunt prezentate indicații de rezolvare dar recomandabil este ca

acestea să fie consultate doar în cazul exercițiilor cu )* sau )** sau la primele aplicații din cadrul fiecărei metode.

A) INEGALITĂȚI UZUALE, SIMETRICE ȘI OMOGENE -CALCUL DIRECT, DESCOMPUNERI ÎN FACTORI, ÎNSUMAREA

UNOR INEGALITĂȚI ANALOAGE și/sau INEGALITATEA MEDIILOR

Inegalitatea mediilor pentru două numere:

2 22

1 1 2 2

a b a bab

a b

, , 0a b

Inegalitatea mediilor pentru trei numere:

2 2 2

33

1 1 1 3 3

a b c a b cabc

a b c

, , , 0a b c

Inegalitatea mediilor pentru n numere, , 2n n :

2 2 2

1 2 1 21 2

1 2

... ......

1 1 1...

n nnn

n

a a a a a ana a a

n n

a a a

, 1 2, ,..., 0na a a

1) , 04

a b aba b

a b

2) 3 3 , 0a b ab a b a b

3) 22 2 4 4 2 2 ,a b a b a b a b a b 4) , , 0a b c ab bc ca a b c

2 | P a g e




5) 1 1 1

9, , ,a b c a b ca b c

6) 9 , , ,a b c ab bc ca abc a b c

7) 2 2 2

2 2 2, , , 0

a b c a b ca b c

b c a c a b 8) 2 2 2 9 , , ,a b c a b c abc a b c

9) . , , 0bc ca ab

a b c a b ca b c 10) 4 4 4 , , ,a b c abc a b c a b c

11)

4

4 4 , , 08

a ba b a b

12) , , , 0

2

ab bc ca a b ca b c

a b b c c a

13) 6, , , 0a b b c c a

a b cc a b

14)

2 2 3 3 6 6

, ,2 2 2 2

a b a b a b a ba b

15) , , , , 0a c b d ab cd a b c d 16) 8 , , , 0a b b c c a abc a b c

17) 2 2 2 2 2 2 6 , , , 0a b c b c a c a b abc a b c

18) 3 3 32 , , , 0a b c a b ab b c bc c a ca a b c

19) 2 2 2 2 2 2

1, , , 0xy yz zx

x y zx xy y y yz z z zx x

20)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

yz zx xy

x y x z y z y x z x z y

3, , , 0

2x y z

21)

3, , , 0

2

a b ca b c

a b a c b c c a c a c b

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro-Etapa finală, clasa a VII-a, 2010

22)

9, , , 0

4

aa b c

a b a c a b c

23)

3

, , , 04

bca b c

a b a c

24) 3 2 6 22 4 6 , , , 0a b b c abc a b c 25) 3 3 2 3 2 22 4 , , 0a b a b ab a b a b

26) 33

, , , 02

x y zx y z

y z x 27)

2 21 1 9, , 0

a ba b

b a

28) 3 52 3 5 , , 0a b ab a b 29) 3 3 3 3 3 3

1, , , 01 1 1

xy yz zxx y z

x y y z z x

3 | P a g e




30) 2 2 2

1 1 12 , , , 0

a b b c c aa b c

c a b a b c

31) a)

33 3

22 2, , , , 0

a ba ba b x y

x y x y

b) 3 3 3

2 2 2, , , , , , 0,

a b ca b c a b c x y z a b c x y z

x y z

Olimpiada Națională de Matematică-Etapa județeană, clasa a IX-a, 2009

32) Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătați că:

2 2 2 2 2 2 4 4 41

2a b b c c a a b c

B) INEGALITĂȚI OMOGENE- SUBSTITUȚII si/sau INEGALITATEA CAUCHY-BUNIAKOVSKI

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nx y x y x y x x x y y y , , 2n n , , , 1,i ix y i n

Aplicație: Inegalitatea Panaitopol

1 2 *1 2

11 1 1

1 2 1 2

...... , ,

...

ppp pnn

pp p p

n n

x x xxx xn p

y y y y y y

1) 3

, , , 02

a b ca b c

b c c a a b

2)

3, , , 0

2 2 2 2 2 2 5

a b ca b c

a b c a b c a b c

3)

1 1 1 9, , , 0

2a b c

a b b c c a a b c

4) 1 4 9 36

, , , 0a b ca b c a b c

5) 1, , , , 03 3 3 3

a b c da b c d

b c c d d a a b

6) 221 , , , 0a b a b c a b c a b c

7) 6 , , , 0x y y z z x x y z x y z

4 | P a g e




8) 2 2 2 3

, , , 02

x y zx y z

y z z x x y

, 1xyz

9) 2 2 2

1 1 1 3, , , 0

2a b c

a b c b c a c a b

10) Dacă , , 0a b c astfel încât 2 2 2 5

3a b c , arătați că 2 10a b c

11) , , , 0abc a b c a b c a b c a b c (Euler)

C) INEGALITĂȚI NEOMOGENE ȘI/SAU NESIMETRICE –SUBSTITUȚII ȘI/SAU SIMETRIZARE/ OMOGENIZARE

1) 1 1 1 3

, , , 0, 12

a b c abca ab b bc c ca

2) 3

, , , 0, 11 1 1 2

a b ca b c abc

ab bc ca

3) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 21 ... 1 ... ... ... 1 ... ,

2n n n n n

nx x x x x x x x x x x x x x x

*

1 2, ,..., 1,nx x x n

4)* 3 3 3

2 2 2 2 2 2, , , 0

3

a b c a b ca b c

a ab b b bc c c ca a

5)* 33 3

2 2 21 21 2

1 2 2 3 1

1... ... ,

2

nn

n

aa aa a a

a a a a a a

1 2, ,..., 0, , 3na a a n n

6)* 2 2 2

0, , , 0, 81 1 1

a b ca b c abc

a b c

Test OBMJ, 2008

7) 3 3 3

1 1 1 3, , , 0, 1

2a b c abc

a b c b c a c a b

D) INEGALITĂȚI DE TIP CEBÂȘEV

Dacă , 2n n și avem două secvențe de aceeași monotonie, adică :

1 2 ... na a a și 1 2 ... nb b b , atunci:

1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1... ... ( ... )n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b

, unde 1 2, ,..., nb b b

reprezintă o permutare a numerelor 1 2, ,..., nb b b .

2) 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b .

Dacă , 2n n și avem două secvențe de monotonie inversă, adică :

1 2 ... na a a și 1 2 ... nb b b , atunci:

5 | P a g e




1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1... ... ( ... )n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b

, unde 1 2, ,..., nb b b

reprezintă o permutare a numerelor 1 2, ,..., nb b b .

2) 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b .

1) 3 3 2 2 , , 0a b a b ab a b

2) 3 3 3 2 2 2 , , , 0a b c a b b c c a a b c

3)

3, , , 0

2

a b ca b c

b c c a a b

(Nesbitt)

4)

2 2 2

4, , , 1, 4x y z

x y z x y zy z x

5)

2 2 2

, , , 02

a b c a b ca b c

b c c a a b

6)

3 3 3 3 1, , , , 1, 2

2x y z t x y z t x y z t

7)

* *321 1 22 2 2

1 1... 1 ... , , , ,..., ,

2 3 2

nn

a aaa n a a a distincte

n n

E) INEGALITATEA LUI HOLDER/ INEGALITATEA LUI JENSEN**

HOLDER) Dacă 1 1

, 0, 1r sr s

și *, 0, 0, 1,i in a b i n , atunci:

1 1

1 1 1

n n nr sr s

i i i i

i i i

a b a b

JENSEN)** Dacă :f I este o funcție convexă (concavă) pe ,I atunci

*

1

, , 0, 1, , 1n

i i i

i

n x I i n

, avem: 1 1

n n

i i i i

i i

f x f x

1)

33 3*1 2

1 2 1 2

1 2 2 3 1

1... , , , , , ,..., 0, ... 1n

n n

n

xx xn x x x x x x

x x x x x x n

Test selecție OIM, Moldova, 2002

2)

33 3 3

, , , , , , 03

a b ca b ca b c x y z

x y z x y z

6 | P a g e




3)** *1 2 1 21 2

... ..., , , , ,..., 0

mm m m

n nn

x x x x x xn m x x x

n n

4)** 1 1 1 3

3 2, , , 0,4

a b ca b c

a b c

5)** 2 2 2

9, , , 0,1

1 1 1 8

x y zx y z

x y z

6)**

9, , , 0

(2 ) 2 2 8

x y zx y z

x y z y z y z x z x z x y x y x y z

F) INEGALITĂȚI CU DEMONSTRAȚII GEOMETRICE

1) 1 1 1 1, , , 0,1x y y z z x x y z

2) 1 1 1 1 2, , , , 0,1x y y z z t t x x y z t

3) 2 2 2 2 , , , 0a ab b b bc c a c a b c

4) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 , , ,a b c ac a b c ac a b a b c

5) 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 4 2, , ,x y x y x y x y x y z

6) 2 2 2 2 2 2 2 , , ,x y y z z x x y z x y z

G) INEGALITĂȚI TRIGONOMETRICE

1) 2 21 1 1, , 1,1x y y x x y

2)

2

22

1 1,

41

x xx

x

3)

2 2

1 1, ,

21 1

x y xyx y

x y

H) INEGALITĂȚI CARE SE DEMONSTREAZĂ CU AJUTORUL PROPRIETĂȚILOR UNOR FUNCȚII

1) 1, , , 0,1x y z xy yz zx x y z

2) 2 2 2 2 2 2 2 23 2 , , , , 0a ab b c cd d a c abcd b d a b c d

3)** 1 1 1

9 10, , , 1,2a b c a b ca b c

7 | P a g e




4)** 3

2, , , 02

x y zx y z

x y y z z x

5)** 2, , , 0,11 1 1

a b ca b c

bc ca ab

6) 2 2 2 2 2 2 1, , , 0,1a b c a b b c c a a b c

7)** 2

2 2 2 2 2 2a b b c c a abc a b c a b c , , ,a b c lungimile laturilor unui triunghi

8)* 2 2 2 2 2 2, , ,b c a

a b c a b c a b cc a b lungimile laturilor unui triunghi Test OIM, Moldova, 2006

Bibliografie:

(1) A. Petrușel și alții Algebră pentru clasele IX-XII, Ed.Studia, 2010

(2) L.Panaitopol, M.Lascu, V.Băndilă Inegalități, Ed.Gil, 1996

(3) I.V.Maftei, M.Piticari, Cezar Lupu și alții Inegalități alese în matematică, Ed.Niculescu, 2005

(4) Vo Quoc Ba Can Old and New Inequalities, Ed.Gil, 2008

INDICAȚII:

Prescurtări utilizate:

IM –inegalitatea mediilor, ma- media aritmetică , mg- media geometrică , mh- media armonică , MS- membrul drept

, MD- membrul stâng , ICB- inegalitatea Cauchy-Buniakovski , IP- inegalitatea Panaitopol , IC- inegalitatea Cebâșev,

IH- inegalitatea Holder, IJ- inegalitatea Jensen

A) 1)-4)calcul direct cu descompunere în factori sau binoame sau mg&ma 5),6)calcul direct sau 7)binoame

sau mh&ma 8)calcul direct- binoame si mg&ma sau mg&ma de doua ori 9) calcul-binoame sau mg&ma

10) de doua ori ineg 2x xy sau binoame de doua ori 11) de doua ori mp&ma 12)mh si ma

13)nr.si inv.sau sau mg&ma 14) suma de cuburi in dreapta 15)calcul direct 16) mg&ma sau calcul direct

si binoame 17) binoame 18)însumare de ineg analoage –ineg de la 2) 19) însumare de ineg analoage-

fiecare fracție e mai mică ca 1/3 20)însumare de mg&ma 21)mg&ma 22),23) calcul direct și binoame

8 | P a g e




24)-29) mg&ma 30) se obtine prin însumarea unor ineg analoage 31)a) de doua ori mg&ma b) însumarea

ineg tip a) 32) descompunere în factori

B) 1)Substituții sau ICB: 2

2 2... ...

aa b c a b c

b c

și cu tranzitivitatea,etc. sau IP.

2)analog 3) 2

21... ... ...a b

a b

4) 2 2 2

2 2 2 21 4 91 2 3a b c

a b c

etc. sau IP .

5) 2

2 2... 3 ... ...

3

aa b c a

b c

,etc. sau IP . 6) ICB

7) 2 2

21 ... ... 1 ...x y x y

8) im de două ori pentru 3 numere sau binoame,etc

9)

22

, ,x

y z x IM etcy z

10) IM de două ori pentru două câte două din numere și adunate relațiile.

11) cu substituțiile: a b c A , etc se ajunge la ieg de la A)16) 12) mh&ma

C) 1) In vederea omogenizarii, fie , , ,x y z

a b cy z x

etc 2) analog cu 1) . 3) În vederea omogenizării: IM

11

1 11 1 ,

2

xx

etc. 4)*MS asimetric, MD simetric. În vederea simetrizării MS, obs că

3 3

2 20

a b

a ab b

, deci

3 3

2 2 2 2

a bS

a ab b a ab b

. și astfel ineg devine una simetrică:

2 2 22

3

a b cS

care se va obține prin însumarea ineg analoage de tipul

3 3

2 2 3

a b a b

a ab b

5)* Se

aplica IP sau, alta abordare:MS asimetric, MD simetric. Prin însumarea ineg de tipul 3 2 22 5

4

x x y

x y

(*).

Apare întrebarea :De ce (*)?Caut o ineg de tipul:3

2 22xax by

x y

, care aplicată pentru

1 2 2 3 1, , , , ,..., ,nx y a a a a a a , după însumare să conducă la un MD simetric.Deoarece egalitatea

are loc pentru 1 2 ... na a a , adică x y , deducem că 1a b și obținem: 3

2 221

xax a y

x y

2 22 2 2 1 0x y a x a xy a y , , 0x y (descompunerea are loc deoarece x y

9 | P a g e




iese factor comun- egalitatea avea loc pt x y ), deci din paranteza dreaptă mai iese factor x y a.î. ineg

precedentă să aibe loc. Atunci pt x y în paranteza dreaptă, ea devine nulă, adică a

5 1

2 2 2 1 0 ,4 4

a a a a b . 6) ineg este echivalentă cu:1 1 1

11 1 1a b c

și

considerăm, în vederea omogenizării: 2 , 2 , 2x y z

a b cy z x

,deci

22

2 2

11

1 2 2

yy

a xy y xy y

, conform IP. 7) cu

1 1 1, , , 1a b c xyz

x y z se obține ineg

de la B) 9).

D) 1) Ineg fiind simetrică în , ,a b c , putem presupune fără a afecta generalitatea problemei că a b .Atunci

secvențele 2 2( , ), ( , )a b a b sunt la fel ordonate, etc 2)inegalitatea nu este simetrică în , ,a b c deci nu putem

presupune că a b c fără a afecta generalitatea problemei. Dar se poate observa că secvențele2 2 2( , , ), ( , , )a b c a b c sunt la fel ordonate, etc. 3) Se poate presupune, datorită simetriei, că a b c și

atunci tripletele 2 2 2 1 1 1( , , ), , ,a b c

b c c a a b

sunt la fel ordonate.Sau se aplică CP al ICB. 4),5) Analog

cu 3).

6) Cu IC și IC sau IM, avem:

2

3 2 24 2 2 24

xx x x x

. 7) 1 21, 2,..., na a a n și se

aplică ineg de tip Cebâșev.

E) 1) Cu IH avem: 3

3

1

1

1ii i i

i i

xn x x x

x x

, etc. 2) Cu IH generalizată. avem:

13 3 3 31 13

33 31 1 1 1 ...a b c a

x y z x a b cx y z x

. 3)** 2( ) ,f x x f convexă și

1,i

n etc. 4)** Jensen pentru

1( )

xf x

x

,

3: 0,

4f

,cu 0f ,deci f convexă. 5)**

2( ) , : 0,1

1

xf x f

x

este convexă deoarece 0f și Jensen. 6)** Dacă normăm inegalitatea cu

1x y z ( se înmulțește inegalitatea cu x y z și se simplifică apoi cu 2

x y z .se notează

x

x y z tot cu x , etc), ineg devine la fel cu cea precedentă.

F) 1) Se consideră un triunghi echilateral ABC de latură 1 și , ,M AB N BC P CA astfel ca

, ,AM x BN z CP y .Se utilizează arii. 2) analog 3)Se consideră un triunghi având două laturi ,a b și unghiul

dintre ele de 60 grade,etc.4)Dacă în reperul cartezian xOy alegem punctele ( , ), ( ,0), ( ,0)A a b B c C c atunci ineg

10 | P a g e




devine una geometrică, anume:2

AB ACOA

, adică ,

2a

b cm

etc. 5) Se aleg în reperul cartezian XOY

punctele ( , ), (2,0), (0,2), ( 2,0), (0, 2)M x y A B C D ,etc.

G) 1) Pentru orice , 1,1x y , există și sunt unice numerele , ,2 2

t s

a.î. 2sin , 1 cosx t x t și

2sin , 1 cos .y s y s Ineg. devine :sin( ) 1t s , evident adevărat. 2) , ,2 2

x tga a

, ineg devine

sin 2 1

4 4

a . 3) , , , ,

2 2x tga y tgb a b

,etc

H) 1) Fie ( ) (1 ) , : 0,1f x x y z y z yz f și cum f este funcție de gradul I, deci monotonă,

max f se va realiza în 0 sau 1, etc. 2) Cu ,x ac y bd obținem:

2 2 2 23 1 1 2 1x x y y x y xy și , ordonând după variabila x considerăam funcția de gradul

al II-lea în x care va avea 0 ,etc. 3)** Fie 1 1

( )b c

f a ab c a

, : 1,2f ,

2

2( ) ( )

a bcf a b c

a bc

. Din tabelul de variație avem: min f f bc , având loc pentru a bc și

max (1), (2)f f f .Analog se consideră funcțiile de variabile b,c și considerând

1 1 1

( , , ) ,F a b c a b ca b c

3: 1,2F , deducem că min ( , , ) 9F F a a a și max F are loc

pentru , , 1,2a b c și, după calcule- sunt deci 8 triplete în care se va calcula F , obținem

max (1,1,2) 10F F .4)** analog . 5)** analog cu 3)** doar că derivata întâi a funcției nu ne furnizează

rapid informații, în timp ce derivata a doua a funcției ne arată că f este convexă deci f își atinge maximul

în 0 1sau și atunci și F își atinge maximul în unul din punctele (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) .Se obține

max (1,1,0) 2.F F

6) 2 2 2 2 2( ) 1 1, : 0,1f a a b c a b c b c f .Dacă b=1 se arată că

( ) 0, , , 0,1f a a b c , dacă 0,1b atunci maxf are loc pentru x=0 sau x=1,etc.

7)Putem presupune fără a afecta generalitatea problemei, de exemplu, că a este cel mai mic dintre

numerele a,b,c și fie

2 2 2 2 2 2 2( ) 2f x a b c x a b b c c a x abc a b c

Deoarece ( ) 0, ( ) xf a a a b a c a b c f x , deducem că 0 ,etc.

8) Cu ICB: 2

2 2 2ba a bc a b

c

și se continuă apoi cu ineg precedentă.

1 | p a g e · pdf filela final sunt prezentate indicații de rezolvare dar recomandabil este...

Documents