1

2 ELEMENTE DE CALCUL VARIATIONAL

2.1 Probleme clasice de calcul variational

Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variationaleste asa numita problema a lui Dido. Legenda mitologica spuneca Dido, sau Didona, printesa a unuia din cetatile vechii Greciisi sora a lui Pygmalion, era maritata cu pontiful Siharbas. Pyg-malion ıl asasineaza pe pontif si Dido fuge cu fratele sau si cuaverea sotului ıntr-o flotila improvizata. Debarcand pe tarmulafrican, localnicii ıi ofera ca loc de adapost atata pamant catpoate cuprinde cu o piele de taur. Dido taie pielea ın fasiiınguste pe care le leaga cap la cap si ınconjoara cu ele o bu-cata de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, a careiregina devine Dido. Inca din antichitate, latura matematica alegendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firulalcatuit din fasiile ınguste pentru ca el sa ınconjoare o portiunede arie maxima? Problema are mai multe variante. Una dintreacestea ar fi urmatoarea: sa presupunem ca axa x′Ox reprezintatarmul marii si ca punctele A(a, 0), B(b, 0) reprezinta capetelefirului, graficul functiei y = y(x), definita si derivabila pe [a, b],

1

este firul. Aria limitata de fir si de tarm este

S =

b∫a

y(x)dx,

ın timp ce lungimea firului este

L =

b∫a

√1 + y′(x)2dx.

Atunci problema lui Dido revine la determinarea functiei y =y(x), definite si derivabile pe [a, b], care satisface conditiile

y(a) = 0, y(b) = 0, L =

b∫a

√1 + y′(x)2dx

astfel ıncat integrala

S =

b∫a

y(x)dx

sa aiba valoarea maxima. Din motive evidente, o asemenea prob-lema se numeste problem a izoperimetrica. Inca din antichi-tate se cunostea ca forma cautata a firului este cea a unui arcde cerc, asa cum vom arata si noi mai ıncolo.

Putem rationa si altfel. Fied AB arcul graficului. In relatia

S =

∫AB

y(x)dx,

2

consideram pe x, y ca functii de abscisa curbilinie s si integramprin parti

S = yx|BA− =

∫AB

xdy = −L∫

0

x(s)√

1 + x′(s)2ds.

Problema revine la a determina functia x = x(s) definita peintervalul [0, L] cu proprietatea ca x(0) = a, x(L) = b si caintegrala

S = −L∫

0

x(s)√

1 + x′(s)2ds

are valoare minima.O alta varianta a problemei lui Dido ar fi aceea ın care pre-

supunem ca firul ar reprezenta o curba neteda ınchisa cu ecuatiileparametrice

x = x(t)y = y(t)t ∈ [t1, t2],

functiile x(t), y(t) fiind deci derivabile pe portiuni pe [t1, t2].Atunci lungimea firului este

L =

t2∫t1

√x′(t)2 + y′(t)2dt,

iar aria limitata de fir este

S =

t2∫t1

[y(t)x′(t)− x(t)y′(t)]dt.

Problema revine deci la determinarea celor doua functii x(t),y(t) definite si derivabile pe portiuni pe intervalul [t1, t2] astfel

3

ıncat sa aiba loc relatia

L =

t2∫t1

√x′(t)2 + y′(t)2dt

si ca integrala

S =

t2∫t1

[y(t)x′(t)− x(t)y′(t)]dt

sa fie maxima. Si aceasta este tot o problema izoperimetrica sicurba care da solutia este un cerc.

O alta problema importanta care a dus la aparitia calcululuivariational este problema brahistocronei. Ea a fost propusaın 1696 de catre Jean Bernoulli si a fost rezolvata ın diferite mod-uri de Jacob Bernoulli, Leibniz, lHospital, Euler. Ea consta ındeterminarea unei curbe care uneste punctele A(0, h) si B(b, 0)pe care se misca un punct material de masa m plecand din A cuviteza initiala nula si ajunge ın B sub influienta greutatii dupaun timp T minim. Daca presupunem ca y = y(x) este ecuatiacurbei cautate si v(x) este marimea vitezei punctului ın pozitia(x, y(x)), atunci conformlegii conservarii energiei avem

gm(h− y) =mv(x)2

2,

de undev(x) =

√2g(h− y).

Pe de alta parte

v =ds

dt=√

1 + y′(x)2dx

4

si deci timpul ın care mobilul se deplaseaza din punctul (x, y(x))ın punctul (x+ dx, y(x+ dx)) este

dt =

√1 + y′(x)2

2g(h− y)dx.

Rezulta ca timpul ın care mobilul ajunge din A ın B este

T =

b∫a

√1 + y′(x)2

2g(h− y)dx.

Deci problema brahistocronei revine la determinarea functieiy = y(x), definite si derivabile pe [0, b] astfel ıncat y(0) = h,y(b) = 0 si astfel ıncat integrala

T =

b∫a

√1 + y′(x)2

2g(h− y)dx

sa fie minima. Este evident ca si ın acest caz curba poate ficautata ca ın problema precedenta sub forma parametrica.

O problema asemanatoare este problema opticii geomet-rice. Intr-un mediu izotrop neomogen lumina se propaga ınfiecare punct M(x, y, z) cu o viteza v(x, y, z) independent ade directie. Timpul necesar ca lumina sa ajunga din punc-tul M1(x1, y1, z1) ın punctul M2(x2, y2, z2) de-a lungul curbei deecuatii y = y(x), z = z(x) este

T =

x2∫x1

√1 + y′(t)2 + z′(t)2

v(x, y(x), z(x)dx.

Principiul lui Fermat afirma ca lumina se propaga de-a lungulacelei curbe pentru care T este minim. Problema opticii geo-metrice este deci determinarea functiilor y = y(x), z = z(x)

5

definite pe [x1, x2] astfel ıncat y(x1) = y1, y(x2) = y2, z(x1) =z1, z(x2) = z2 si pentru care integrala de mai sus are valoareminima.

O alta problema clasica a calculului variational este asa nu-mita problema a lui Plateau (Plateau, Antoine FerdinandJoseph, 1801-1883, belgian, profesor de fizica si anatomie laUniversitatea din Gand). Ea consta ın determinarea formei deechilbru a unei pelicule de sapun sustinute de doua inele (pen-tru simplitate de aceeasi raza R) perpendiculare pe axa comunaOx ın punctele de abscise -b, b. Neglijand greutatea peliculei,din proprietatile tensiunii superficiale rezulta ca pelicula se dis-pune astfel ıncat ea sa aiba o suprafata minima. Din motive desimetrie evidente, pelicula are forma unei suprafete de rotatiede arie minima. De aceea problema lui Plateau se mai numestesi problema suprafetei de rotatie de arie minima. Daca notamcu y = y(x), −b ≤ x ≤ b ecuatia curbei de sectiune cu planulx0y, atunci aria suprafetei de rotatie este

S = 2π

b∫−b

y(x)√

1 + y′(x)2dx.

Deci, problema lui Plateau revine la determinarea functiei y =y(x) definite si derivabile pe [−b,−b] astfel ıncat y(−b) = R,y(b) = R si astfel ıncat integrala

S = 2π

b∫−b

y(x)√

1 + y′(x)2dx

sa fie minima.Tot problema clasica de calcul variational este problema

formei de echilibru a unui fir greu omogen flexibil si

6

inextensibil de lungime data l fixat la capete. Se vede usorca la echilibru firul se afla ıntr-un plan vertical. Considerandacest plan vertical drept planul xOy, unde axa Oy este dirijatadupa verticala locului, curba de echilibru corespunde la aceacurba pentru care energia potentiala a firului este minima, adicala acea curba pentru care ordonata yG a centrului de greutateal firului este minima. Daca punctele A(a, ya), B(b, yb) suntcapetele firului, daca y = y(x), x ∈ [a, b] este ecuatia explicitaa curbei de echilibru, cu y(x) functie derivabila pe [a, b], dacaρ este densitatea lineara a firului, atunci ordonata centrului degreutate al firului este

yG =

b∫a

ρy(x)√

1 + y′(x)2dx

b∫a

ρ√

1 + y′(x)2dx

=1

l

b∫a

y(x)√

1 + y′(x)2dx

lungimea firului fiind

l =

b∫a

ρ√

1 + y′(x)2dx.

Deci, problema revine la determinarea functiei y(x) definite siderivabile pe [a, b], astfel ıncat

y(a) = ya, y(b) = yb,

b∫a

√1 + y′(x)2dx = l

si astfel ıncat integrala

b∫a

y(x)√

1 + y′(x)2dx

7

sa fie minima. si aici curba de echilibru poate fi cautata subforma parametrica luand ca parametru o abscisa curbilinie. Asacum vom vedea, curba de echilibru a firului este o portiune dinasa-numitul lantisor, un arc de curba apropiat de un arc deparabola.

Alta problema clasica de calcul variational este problemageodezicelor pe o suprafata S, adica problema determinarii peo suprafata S a unei curbe care uneste doua puncte de pe aceasuprafata si are lungimea minima. Daca suprafata S este dataparametric prin ecuatia vectorial parametrica

~r = ~r(u, v), (u, v) ∈ Du,v,

daca

ds2 = d~r2 = E(u, v)du2 + 2F (u, v)dudv +G(u, v)dv2,

este prima sa forma fundamentala cu coeficientii

E(u, v) = ~ru(u, v) · ~ru(u, v),

F (u, v) = ~ru(u, v) · ~rv(u, v),

G(u, v) = ~rv(u, v) · ~rv(u, v)

si daca

u = u(t), v = v(t), t ∈ [t1, t2], u(t1) = u1, v(t1) = v1, u(t2) = u2, v(t2) = v2

sunt ecuatiile parametrice ale unei curbe care uneste puncteleM1(u1, v1), M2(u2, v2), atunci lungimea acestei curbe este

l=

t2∫t1

y(x)√E(u(t), v(t))·u′(t)2+2F (u(t), v(t))·u′(t)v′(t)+G(u(t), v(t))·v′(t)2dt.

8

Deci, problema determinarii geodezicelor pe S revine la deter-minarea functiilor derivabile

u = u(t), v = v(t), t ∈ [t1, t2], u(t1) = u1, v(t1) = v1, u(t2) = u2, v(t2) = v2

astfel ıncat integrala

lFCE(u(t), v(t)) · u′(t)2 + 2F (u(t), v(t)) · u′(t)v′(t) +G(u(t), v(t)) · v′(t)2dt

sa fie minima. In cazul ın care suprafata S este planul xOy cuecuatia parametrica ~r = x~i + y~j, (x, y) ∈ R2 cu prima formafundamentala ds2 = dx2 + dy2, problema geodezicei care unestepunctele M1(x1, y1), M2(x2, y2) revine la determinarea functiilorderivabile x = x(t), y = y(t), t ∈ [t1, t2] cu x(t1) = x1, y(t1) =y1, x(t2) = x2, y(t2) = y2 astfel ıncat integrala sa fie minima.Daca alegem ca parametru coordonata x, problema revine ladeterminarea functiei derivabile y = y(x), x ∈ [x1, x2] cu y(x1) =y1, y(x2) = y2 astfel ıncat integrala

x2∫x1

√1 + y′(x)2dx

sa fie minima.

2.2 Functionale

Toate problemele enuntate mai sus erau probleme de extremum- determinarea maximului sau minimului - pentru o anumitaintegrala, care depinde de o anumita curba, deci de una saumai multe functii definite pe un anumit interval. Spre deosebirede problemele de extremum pentru functiile de o variabila saumai multe variable, rezolvate cu mijloacele calculului diferential,unde aveam de-a face cu probleme cu unul sau mai multe grade

9

de libertate (dar ın numar finit), aici avem de-a face cu problemecu un numar infinit de grade de libertate. In cazul extremelorfunctiilor de n variabile, cele n variabile x1, x2, ..., xn erau co-ordonatele unui element, unui punct x = (x1, x2, ..., xn) din Rn.In Rn avem operatiile de adunare a doua asemenea elemente sioperatia de ınmultire a unui element cu un numar real, Rn fiindastfel un spatiu vectorial n-dimensional, de aceea spuneam caavem un numar finit de grade de libertate. In plus, ın Rn puteamintroduce o norma, deci o distanta, astfel ıncat sa putem vorbide puncte vecine. In problemele calculului variational este vorbade gasirea extremului unei integrale care depinde de una sau maimulte functii si de derivatele acestora. O asemenea integrala esteo functie definita pe o multime de functii si are valori reale. Ease numeste functionala exprimata printr-o integrala. Decicalculul variational studiaza extremele functionalelor exprimateprin integrale. In continuare, vom conveni ca functionalele safie notate prin litere mari latine, marcand argumentele lor, decifunctiile de care depind, ıntre paranteze drepte. Vom convenisa marcam ın paranteze rotunde argumentul sau argumentelefunctiilor, desi acestea sunt variabile mute, deci pot fi notateoricum.

Astfel, functionala din problema lui Dido este

I[y(x)] =

b∫a

y(x)dx

sau

I[x(s)] =

L∫0

x(s)√

1− x′(s)2ds

10

sau

I[x(t), y(t)] =1

2=

t2∫t1

[x(t)y′(t)− y(t)x′(t)]dt

dupa cum folosim reprezentarea explicita sau parametrica a curbei.In celelalte probleme enuntate functionalele sunt:

- ın problema brahistocronei

I[y(x)] =

b∫a

√1 + y′(x)2

2g(h− y(x))dx;

- ın problema suprafetei de rotatie minime

I[y(x)] = 2π

b∫−b

y(x))√

1 + y′(x)2dx;

- ın problema echilibrului firului greu

I[y(x)] =

b∫a

y(x))√

1 + y′(x)2dx;

- ın problema geodezicelor ın plan

I[y(x)] =

x2∫x1

√1 + y′(x)2dx.

Domeniul de definitie al unei functionale este o multime defunctii reale definite pe un interval ın cazul functiilor de o vari-abila, sau pe un domeniu ın cazul functiilor de mai multe vari-abile, care satisfac anumite conditii de netezime - derivata con-tinua sau continua pe portiuni - ın interval sau domeniu si anu-mite conditii la capetele intervalului sau pe frontiera domeniului.

11

Multimile de functii reale definite pe un interval sau domeniu cuanumite conditii de netezime ınzestrate cu operatia de adunare afunctiilor si cu operatia de ınmultire a functiilor cu numere realeformeaza spatii vectoriale cu dimensiune infinita. Se spune caavem de-a face cu probleme cu un numar infinit de grade delibertate. Mai mult, aceste spatii vectoriale pot fi ınzestrate cuanumite norme, deci cu anumite distante, si putem astfel vorbidespre functii vecine si despre vecinatatea unei functii.

2.3 Clasificarea extremelor

Fie I[y(x)] o functionala definita pe o multime de functii M. Vom spune ca functionala I[y(x)] are minim (maxim) pemultimea M0 ⊂ M ın y0(x) ∈ M0 daca pentru orice y(x) ∈ M0

are loc relatia

I[y(x)]− I[y0(x)] ≥ 0(≤ 0).

Daca functionala I[y(x)] are minim (maxim) pe multimeaM0 ⊂ M ın y0(x) ∈ M0 atunci ea are minim (maxim) ın y0(x)pe orice multime mai mica M1 ⊂M0, y0(x) ∈M1.

Fie I[y(x)] o functionala definita pe o multime de functii M .Vom spune ca functionala I[y(x)] are un minim (maxim) tareın y0(x) ∈ C[a, b] ⊂ M daca exista o vecinatate tare V (y0(x))astfel ıncat functionala are un minim (maxim) pe V (y0(x)) ∈Mın y0(x). Analog, vom defini minimul (maximul) slab cu derivatadiscontinua.

Daca functionala I[y(x)] definita pe multimea de functii Mare un minim ( maxim) pe M ın y0(x) ∈ M vom spune ca eaare un minim (maxim) absolut pe M ın y0(x).

Definitiile date mai sus se extind ın mod natural atat ın cazulfunctionalelor care depind de o functie de mai multe variabile

12

definita pe un domeniusi de derivatele partiale ale acesteia catsi ın cazul functionalelor care depind de mai multe functii deo variabila definite pe un interval si de derivatele acestora. Inultimul caz, ın locul functiei y(x) putem considera ca avemde-aface cu o functie vectoriala y(x) cu n componente functii de osingura variabila.

2.4 Conditii necesare de extremum

Orice conditie necesara de extremum va fi si o conditie nece-sara pentru extremum absolut. Exact ca ın cazul extremelorfunctiilor de mai multe variabile avem urmatoarele teoreme:

Teorema 2.1. Daca functia y0(x) realizeaza extremul functionaleiI[y(x)] atunci derivata sa de ordinul ıntai este nula.

Teorema 2.2. Daca functia y0(x) realizeaza minimul (maximul)functionalei I[y(x)] atunci derivata sa de ordinul doi este pozi-tiva (negativa).

Avem si o teorema care da conditii suficiente de extremum.

Teorema 2.3. Daca functia y0(x) este o extremala a functionaleiI[y(x)] si daca exista constanta C astfel ıncat

d2I[y0(x); η(x)] =∂2

∂t2I[y0(x) + tη(x)]

∣∣∣∣t=0

> C||η(x)||2

pentru orice

η(x) ∈M0 = {η(x)|η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}

, atunci functia y0(x) realizeaza minimul functionalei.

13

Demonstratie.In adevar, cum

I[y(x) + η(x)]− I[y(x)] =1

2δ2I[y0(x); η(x)] + o(||η(x)||2)

rezulta ca fiind dat ε > 0 exista δ(ε) astfel ıncat pentru ||η(x)|| <δ(ε) avem

I[y(x)+η(x)]−I[y(x)] ==1

2δ2I[y0(x); η(x)]+θε(||η(x)||2)cuθ ∈ [−1, 1].

Atunci pentru ε <C

2avem

I[y(x) + η(x)]− I[y(x)] ≥ ||η(x)||2(C

2+ θε

)> 0

pentru η(x) 6= 0. �Conditia nu poate fi ınlocuita cu conditia mai slaba

δ2I[y0(x); η(x)] = 0

cum se vede ın cazul functionalei

I[y(x)] =

1∫0

y2(x)(x− y(x))dx

pentru care functia identic nula extremala,

δ2I[0; η(x)] =

1∫0

xη(x)2dx ≥ 0,

dar functionala nu are extremum pentru ca pentru o functie

yε(x) =

{e− x pentru x < e0 pentrux = e

14

ia valori negative I[yε(x)] = −ε4

6. Din acest motiv aceasta

teorema este greu de aplicat ın practica.In particular vom avea:

Teorema 2.4. Daca functia y0(x) realizeaza extremul functionalei

I[y(x)] =

b∫a

F (x, y(x), y0(x))dx

pe multimea functiilor admisibile

M = {y(x)|y(x) ∈ C1[a, b], y(a) = y1, y(b) = y2}

atunci variatia ıntaia a functionalei este nula.Altfel spus, daca functia F are derivate partiale de ordinul

ıntai continue atunci are loc relatia

δI[y0(x); η(x)] =

b∫a

[Fy(x, y0(x), y′0(x))η(x)+Fy0(x, y0(x), y′0(x))η′(x)]dx = 0,

pentru orice functie

η(x) ∈M0 = {η(x)|η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}.

Daca functia F are derivate partiale de ordinul doi continue sidaca functiile admisibile sunt cu derivata de ordinul doi atunciare loc relatia

δI[y0(x); η(x)] =

b∫a

Fy(x, y0(x), y′0(x))− d

dxFy′(x, y0(x), y′0(x))η(x)dx = 0

pentru orice functie

η(x) ∈M0 = {η(x)|η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}.

15

Aceasta conditie este numai necesara pentru realizarea ex-tremului, nu si suficienta.

Definitia 2.1. Daca pentru functia y0(x) prima derivata a functionaleieste nula δI[y0(x); η(x)] = 0 pentru orice variatie

η(x) ∈M0 = {η(x)|η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}

se spune ca functionala este stationara de-a lungul lui y0(x).

Teorema 2.5. Daca functia y0(x)realizeaza minimul (maximul)functionalei

y(x)] =

b∫a

F (x, y(x), y(x))dx

pe multimea functiilor admisibile

= y(x)|y(x) ∈ C1[a, b], y(a) = y1, y(b) = y2

atunci derivata a doua a functionalei este pozitiva (negativa)

δ2I[y0(x); η(x)] ≥ 0(≤ 0)

pentru orice functie

η(x) ∈M0 = {η(x)|η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}.

Deci daca functia F are derivate partiale de ordinul doi con-tinue, atunci

δ2I[y0; η] =

b∫a

{Fyy(x, y0, y′0)η

2+2Fyy′(x, y0, y′0)ηη

′+Fy′y′(x, y0, y′0)η′2}dx ≥ 0(≤ 0)

pentru orice functie

η(x) ∈M0 = {η(x)|η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}.

Teoreme de genul celor de mai sus au loc evident si ın cazulcelorlalte functionale din exemplele de mai sus.

16

2.5 Lemele fundamentale ale calculului variational

Conditiile necesare de extremum slab stabilite mai sus continın enuntul lor functiile arbitrare η(x) sau δy(x). Pentru a sta-bili conditii necesare de extremum slab care sa contina numaifunctiile care realizeaza extremul vom da ın prealabil catevapropozitii ajutatoare, cunoscute sub numele de lemele funda-mentale ale calculului variational.

Lema 1. (lema lui Lagrange, prima lema fundamen-tala)Fie functia continua f(x) ∈ C0[a, b]. Daca

b∫a

f(x)η(x)dx = 0

pentru orice functie η(x) ∈ Ck[a, b], k ∈ N care verifica conditiileη(a) = η(b) = 0, atunci f(x) = 0 pentru orice x ∈ [a, b].

Daca f nu ar fi identic nula ın [a, b] atunci ar exista un punctc ∈ [a, b] unde f(c) 6= 0. In virtutea continuitatii lui f putempresupune ca punctul c este punct interior intervalului. Daratunci, tot ın virtutea continuitatii, exista un ıntreg interval(α, β) care ıl contine pe c si unde functia nu se anuleaza, este deexemplu strict pozitiva. Daca consideram functia

η(x) =???(x− a)2(x− β)2, x?(a, β), 0, x/?(a, β)

ea satisface conditiile lemei si avem

b∫a

f(x)η(x)dx =

β∫α

f(x)(x− α)2(x− β)2dx > 0

si ajungem la o contradictie cu ipoteza lemei.

17

O lema asemanatoare avem ın cazul functiilor de mai multevariabile:

Lema 2. (lema lui Lagrange pentru functii de maimulte variabile) Fie functia f(x) ∈ C0(D) unde D este undomeniu marginit din Rn si D = D ∪ ∂D este ınchiderea sa.Daca ∫

D

f(x)η(x)dx = 0

pentru orice functie η(x) ∈ C1(D) care verifica conditia η(x)|D =0, atunci functia f este nula ın D.

Aici am notat prin x punctul x = (x1, x2, ..., xn) din Rn sidx = dx1dx2...dxn.

Demonstratia este identica celei de sus.Lema 3. (lema lui Paul Du Bois Raymond) Fie functia

g(x) ∈ C0[a, b]. Daca

b∫a

g(x)η′(x)dx = 0

pentru orice functie η(x) ∈ C1[a, b] care verifica conditiile η(a) =η(b) = 0, atunci g(x) =constant ın [a, b].

Demonstratie.Intr-adevar, functia

η(x) =

x∫a

g(t)dt− C(x− a)

apartine lui C1[a, b], este nula ın a si putem determina constanta

C =1

b− a

b∫a

g(x)dx

18

astfel ıncat si η(b) = 0. Dar atunci avem

b∫a

g(x)η′(x)dx =

b∫a

g(x)(g(x)− C)dx

=

b∫a

g(x)[g(x)(g(x)− C)− C(g(x)− C)]dx

=

b∫a

(g(x)− C)2dx = 0

si deci g(x) = C (∀)x ∈ [a, b]. �Lema 4. (a doua lema fundamentala) Fie functiile f(x), g(x) ∈

C0[a, b]. Dacab∫

a

η(x) + g(x)η′(x)]dx = 0

pentru orice functie η(x) ∈ C1[a, b] care verifica relatiile η(a) =η(b) = 0, atunci functia g este derivabila pe [a, b] si verificarelatia g′(x) = f(x) (∀)x ∈ [a, b].

Demonstratie.Intr-adevar, considerand functia

F (x) =

x∫a

f(t)dt, F ′(x) = f(x),

integrand prin parti putem scrie

b∫a

f(x)η(x)dx = F (x)η(x)|b∫

a

−b∫

a

f(x)η′(x)dx = −b∫

a

f(x)η′(x)dx.

19

Relatia din lema devine

b∫a

[g(x)− F (x)]η′(x)dx = 0

si dupa Lema 3 rezulta ca

g(x) = F (x) + C.

Cum membrul al doilea este o functie derivabila, rezulta ca simembrul ıntai este derivabil si g′(x) = f(x). �

2.6 Ecuatiile lui Euler-Lagrange

Fie y0(x) functia care realizeaza extremul functionalei

I[y(x)] =

b∫a

F (x, y(x), y0(x))dx

pe multimea functiilor admisibile

M = {y(x)|y(x) ∈ C1[a, b], y(a) = y1, y(b) = y2}.

Atunci conform teoremei 6., daca functia F are derivate partialede ordinul ıntai continue, atunci are loc relatia

∂I[y0(x); η(x)] =

b∫a

[Fy(x, y0(x), y′0(x))η(x)+Fy′(x, y0(x), y′0(x))η′(x)]dx = 0,

pentru orice functie

η(x) ∈M0 = {η(x)|η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = 0, η(b) = 0}.

20

Conform celei de a doua leme a calculului variational functiaFy′(x, y0(x), y′0(x)) este derivabila pe [a, b] si are derivata Fy(x, y0(x), y′0(x)),altfel spus are loc ecuatia lui Euler- Lagrange:

d

dxFy′(x, y0(x), y′0(x)) = Fy(x, y0(x), y′0(x)), (∀)x ∈ [a, b]

sau ecuatia lui Euler-Lagrange sub forma integrala existaC astfel ıncat oricare ar fi x ∈ [a, b]

Fy′(x, y0(x), y′0(x)) =

x∫a

Fy(t, y0(t), y′0(t)) + C.

Definitia 2.2. Orice functie y0(x) care verifica ecuatia lui Euler-Lagrange se numeste extremala a functionalei I[y(x)].

Teorema 2.6. Daca y0(x) este functia care realizeaza extremulslab al functionalei

I[y(x)] =

b∫a

F (x, y(x), y0(x))dx

pe multimea functiilor admisibile

M = {y(x)|y(x) ∈ C1[a, b], y(a) = y1, y(b) = y2}

si daca functia F are derivate partiale de ordinul ıntai continueatunci ea este o extremala a functionalei care verifica la capeteleintervalului conditiile date.

Vom observa ca daca functia F are derivate partiale de or-dinul doi si daca functia y0(x) are derivata de ordinul doi, primadin ecuatiile lui Euler-Lagrange rezulta din a doua forma avariatiei de ordinul ıntai si din lema fundamentala a calculului

21

variational (lema lui Lagrange). In aceste conditii, prima ecuatiea lui Euler-Lagrange este o ecuatie diferentiala de ordinul doi:

Fxy′(x, y0, y′0)+Fyy′(x, y0, y

′0)y′0+Fy′y′(x, y0, y

′0)y”0−Fy(x, y0, y

′0) = 0.

Daca functia F are derivate partiale de ordinul doi continue,folosind teorema functiilor implicite se poate arata ca ın toatepunctele ın care Fy′y′(x, y0, y

′0) 6= 0 functia y0(x) admite derivate

de ordinul doi si verifica ecuatia diferentiala de ordinul doi demai sus.

Teorema 2.7. Daca y0(x) este o extremala a functionalei

I[y(x)] =

b∫a

F (x, y(x), y0(x))dx

pe multimea functiilor admisibile

M = {y(x)|y(x) ∈ C1[a, b], y(a) = y1, y(b) = y2}

si daca functia F are derivate partiale de ordinul doi continue,atunci ın toate punctele ın care Fy′y′(x, y0, y

′0) 6= 0 functia y0(x)

are derivata de ordinul doi si verifica ecuatia lui Euler-Lagrangede ordinul doi:

Fxy′(x, y0, y′0)+Fyy′(x, y0, y

′0)y′0+Fy′y′(x, y0, y

′0)y”0−Fy(x, y0, y

′0) = 0.

Vom observa ca la fel ca ın cazul extremelor functiilor demai multe variabile, ecuatiile lui Euler-Lagrange reprezinta nu-mai conditii necesare pentru functia care realizeaza extremulfunctionalei. Cu alte cuvinte, functia care realizeaza extremultrebuie cautata printre functiile care verifica ecuatiile lui Euler-Lagrange.

22

Repetam, functiile care realizeaza extremul functionalei secauta printre extremalele functionalei; nu orice extremala real-izeaza extremul functionalei, o extremala poate fi numai banuitaca ar putea realiza extremul.

De-a lungul unei extremale putem scrie

d

dxF (x, y0(x), y′0(x)) = Fx(x, y0, y

′0) + Fy(x, y0, y

′0)y00 + Fy′(x, y0, y

′0)y”0

= Fx(x, y0, y′0) +

d

dxFy′(x, y0, y

′0)y′0 + Fy′(x, y0, y

′0)y”0

= Fx(x, y0, y′0) +

d

dx(Fy′(x, y0, y

′0)y′0)

adica ecuatiile lui Euler-Lagrange sunt echivalente si cu ecuatiileoricare fi x ? [a, b]

F (x, y0(x), y′0(x))−Fy′(x, y0(x), y′0(x))y′0(x)) = Fx(x, y0(x), y′0(x)) (∀)x ∈ [a, b]

sau exista C astfel ıncat oricare ar fi x ∈ [a, b]

F (x, y0(x), y′0(x))−Fy′(x, y0(x), y′0(x))y′0(x) =

x∫a

Fx(t, y0(t), y′0(t))dt+C.

Observam ca exista situatii cand ordinul ecuatiilor lui Euler-Lagrange se reduce cu o unitate, adica exista integrale prime:

Teorema 2.8. Daca functia F nu depinde de y, Fy = 0, atunciecuatia lui Euler- Lagrange admite o integrala prima:

exista C astfel ıncat oricare ar fi x ∈ [a, b]

Fy′(x, y0(x), y′0(x)) = C.

Teorema 2.9. Daca functia F nu depinde de x, Fx = 0, atunciecuatia lui Euler- Lagrange admite o integrala prima:

23

exista C astfel ıncat oricare ar fi x ∈ [a, b]

F (x, y0(x), y′0(x))− Fy′(x, y0(x), y′0(x))y′0(x) = C.

Exemplul 2.1. Fie functionala

I[y(x)] =

x2∫x1

√1 + y′(x)2dx

din problema geodezicelor ın plan definita pe multimea

M = {y(x) : [a, b]→ R|y(x) ∈ C2[a, b], y(a) = ya, y(b) = yb}.

Functia de sub integrala F =√

1 + y′(x)2 nu depinde de y,deci vom avea integrala prima Fy′ = C, adica

y′√1 + y′(x)2

= C,

sau renotand constanta,

y′ = C,

de undey = Cx+ C1.

Constantele C ,C1 se determina din conditiile

y(a) = ya, y(b) = yb,

adica extremala este segmentul de dreapta care uneste cele douapuncte. In acest caz, stim din geometrie ca extremala chiarrealizeaza minimul functionalei.

24

Exemplul 2.2. Fie functionala

I[y(x)] =

b∫0

√1 + y′(x)2

2g(h− y(x))dx

din problema brahistocronei definita pe multimea

M = {y(x) : [0, b]→ R|y(x) ∈ C2[0, b], y(0) = h, y(b) = 0}.

Functia de sub integrala

F =

√1 + y′(x)2

2g(h− y(x))

nu depinde de x deci vom avea integrala prima

F − y′Fy′ = C,

adica, lasand la o parte factorul constant1

2g,

=

√1 + y′(x)2

h− y(x)− y′2√

(h− y)(1 + y′2)= C,

de unde

y = h− C

1 + y′2.

Punandy′ = tanu,

avemy = h− C cos2 u.

Din relatia dy = tanudx gasim

dx = 2Ccos2u = C(1 + cos 2u)

25

si obtinem ecuatiile parametrice ale extremalei

x = C

(u+

1

2sin 2u

)+ C1

y = h− C

2(1 + cos 2u).

Extremala este un arc de cicloida. Constantele C, C1 se deter-mina din conditiile la capete

y(0) = h, y(b) = 0.

Fie functionala

I[y(x)] =

b∫a

F (x, y(x), y′(x), ..., y(m)(x))dx

definita pe multimea functiilor admisibile

M = {y(x)|y(x) ∈ C2m[a, b], y(i)(a) = yia, y(i)(b) = yib, i = 0, 1, ...,m−1}

si unde presupunem ca functia F are derivate partiale de ordinul2m ın raport cu toate argumentele continue ıntr-un domeniu dinRm+2. Functia y0(x) este extremala a acestei functionale dacasatisface ecuatia lui Euler-Poisson

Fy −d

dxFy′ + ...+ (−1)m

dm

dxmFy(m) = 0.

Fie cazul unei funcionale

I[y1(x), y2(x), ..., yn(x)] =

∫ b

a

F (x, y1(x), y2(x), ..., yn(x), y′1(x), y′2(x), ..., y′n(x))dx,

definite pe o multime de n functii de obila derivabile pe intervalul[a, b] :

M = {yi(x), i = 1, 2, ..., n|yi(x) ∈ C1[a, b], yi(a) = yia, yi(b) = yib},

26

functia F fiind definita ıntr-un domeniu si cu derivatele partialede ordinul doi continue ın acel domeniu. Functiile y10(x), y20(x), ..., yn0(x)constituie extremala acestei functionale daca satisfac sistemul deecuatii ale lui Euler

∂F

∂yi(yi0(x), y′i0(x))− d

dx

∂F

∂y′i(yi0(x), y′i0(x)), i = 1, 2, ..., n.

Daca se introduc operatorii diferentiali

∂

∂y=

∂

∂y1...∂

∂yn

,∂

∂y′=

∂

∂y′1...∂

∂y′n

atunci acest sistem se scrie exact ca ecuatia lui Euler pentrufunctionala

I[y(x)] =

b∫a

F (x, y(x), y′(x))dx :

∂F

∂y(y(y0(x), y′0(x))− d

dx

∂F

∂y′(y0(x), y′0(x)) = 0.

In cazul unei functionale al carui argument este o functie dedoua variabile definita pe un domeniu D din planul xOy

I[z(x, y)] =

∫∫D

F (x, y, z(x, y), zx(x, y), zy(x, y))dxdy

definita pe multimea functiilor admisibile

M = {z(x, y)|z(x, y) ∈ C2(D), z(x, y)|∂D = dat}

27

presupunand ca functia F are derivate partiale de ordinul doicontinue ın raport cu toate argumentele sale ıntr-un domeniumarginit din expresia variatiei de ordinul ıntai rezulta ca functiaz0(x, y) este extremala a functionalei daca ea verifica ecuatia luiEuler- Ostrogradski

∂F

∂z− ∂

∂x

∂F

∂zx− ∂

∂y

∂F

∂zy= 0.

2.7 Exercitii

1. Sa se determine extremalele urmatoarelor functionale cuconditiile la capete date:

a) I[y(x)] =2∫

1(y′2 − 2xy)dx; y(1) = 0, y(2) = −1.

R.y =x

6(1− x2).

b) I[y(x)] =3∫

1(3x− y)ydx; y(1) = 1, y(3) =

9

2.

R. nu exista extremala.

c) I[y(x)] =2π∫1

(y′2 − y2)dx; y(0) = 1, y(2π) = 1.

R. o infinitate de extremale y = cosx+ C sinx.

d) I[y(x)] =0∫−1

(12xy − y′2)dx; y(−1) = 1, y(0) = 0.

R. y = −x3.

e) I[y(x)] =1∫

0yy′2dx; y(0) = 1, y(1) = 41/3.

R. doua extremale y = (x+ 1)2/3, y = (3x− 1)2/3.

f) I[y(x)] =1∫

0(y′2 − y2 − y)e2xdx; y(0) = 0, y(1) = e−1.

R.y =1

2[e−x + (1 + e)xe−x − 1].

28

g) I[y(x)] =1∫−1

(y′2 − 2xy)dx; y(−1) = −1, y(1) = 1.

R.y =7

6x− 1

6x3.

h) I[y(x)] =1∫

0(y′2 + 4y2)dx; y(0) = e2, y(1) = 1.

R.y = e2(1−x).

i) I[y(x)] =1∫

0(360x2y − y′′2)dx; y(0) = 0, y′(0) = 1, y(1) =

0, y′(1) = 2.5.

R. y =1

2x6 +

3

2x3 − 3x2 + x.

j) I[y(x)] =1∫

0(y2 + 2y′2 + y′′2)dx; y(0) = 0, y(1) = 0, y′(0) =

1, y′(1) = − sinh 1.R. y = (1− x) sinhx.

k) I[y(x)] =0∫−1

(240y−y′′′2)dx; y(−1) = 1, y(0) = 0, y′(−1) =

−4.5, y′(0) = 0, y′′(−1) = 16, y′′(0) = 0.

R. y =x3

6(x3 + 6x+ 1).

l) I[y(x)] =1∫

0y′′2dx, y(0) = 0, y(0) = 0, y′(1) = 1.

R. y =1

2x2.

m) I[y(x), z(x)] =2∫

1(y′2 + z2 + z′2)dx; y(1) = 1, y(2) =

2, z(1) = 0, z(2) = 1.

R.y = x, z =sinh(x− 1)

sinh1.

n) I[y(x), z(x)] =π∫0π(2yz−2y2+y′2−z′2)dx; y(0) = 0, y(π) =

29

1, z(0) = 0, z(π) = −1.

R.y = C sinx− x

πcosx, z = C sinx+

1

π(2 sinx− x cosx) ,C

arbitrar.

o) I[y(x), z(x)] =

π

2∫0

(y′2 + z′2 − 2yz)dx; y(0) = 0, y(p/2) =

1, z(0) = 0, z(p/2) = 1.R. y = sinx, z = sinx.

p) I[y(x), z(x)] =1∫

0(y′2 + z′2 + 2y)dx; y(0) = 1, y(1) =

3/2, z(0) = 1, z(1) = 1.

R. y =x2

2, z = 1.

2.8 Conditii naturale, conditii de transversalitate

Fie y0(x) functia care realizeaza extremul slab al functionalei

I[y(x)] =

b∫a

F (x, y(x), y′(x))dx

pe multimea functiilor admisibile

M = y(x)|y(x) ∈ C1[a, b], y(a) = y1,

adica numai capatul din stanga este fixat, capatul din dreaptaputandu-se misca pe verticala x = b. Relativ la functia F ,presupunem ca are derivate partiale de ordinul doi continue.Functia y0(x) este evident o extremala a functionalei I[y(x)]pentru ca ea realizeaza minimul acestei functionale pe multimeafunctiilor care au aceleasi capete cu ea. Ea verifica deci ecuatia

30

lui Euler-Lagranged

dxFy′ − Fy = 0.

Vom avea prima variatie

δI[y0; η] =

b∫a

Fy(x, y0, y′0)−

d

dxFy′(x, y0, y

′0)ηdx++Fy′(x, y0(b), y

′0(b))η(b).

Cum y0(x) realizeaza extremul, trebuie sa avem δI[y0; η] = 0pentru orice functie

η(x) ∈M0 = {η(x)|η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = 0, η(b)arbitrar}.

Cum primul termen este nul pentru ca y0(x) este extremala,rezulta ca ın capatul mobil ın mod necesar trebuie sa aiba locasa numita conditie naturala

∂F

∂y′(b, y0(b), y

′0(b)) = 0.

Conditiile naturale sunt importante ın rezolvarea numericaa ecuatiilor diferentiale sau cu derivate partiale considerate caecuatii Euler-Lagrange a unei anumite functionale. In acest caznu trebuie sa se tina seama ın mod special de conditiile natu-rale pentru ca ele se realizeaza automat daca se rezolva directproblema de extremum.

Sa consideram acum problema mai generala a extremuluifunctionalei

I[y(x)] =

b∫a

F (x, y(x), y′(x))dx

31

pe multimea functiilor

M = {y(x)|y(x) ∈ C1[a,B], y(a) = y1, yc(b) = y(b), b ≤ B}

adica pe multimea functiilor al caror grafic are capatul din stangafixat, iar capatul din dreapta se poate deplasa pe o curba cuecuatia explicita y = yc(x), a ≤ x ≤ B.

Daca y0(x) realizeaza acest extremum, evident ea este o ex-tremala a functionalei, adica verifica ecuatia Euler-Lagrange

d

dxFy′ − Fy = 0.

tinand cont ca y0(x) este extremala rezulta

δI[y0(x); δy(x)] =∂F

y′(b, y0(b), y

′0(b))δy(b)+

+

(F (b, y0(b), y

′0(b))− y′0(b)

∂F

∂y′(b, y0(b), y

′0(b))

)δb = 0.

Punctul (b, y(b)) aflandu-se pe curba y = yc(x) avem δy(b) =y′c(b)δb si deci vom avea conditia

F (b, y0(b), y′0(b))− (y′0(b)− y′c(b))

∂F

∂y′(b, y0(b), y

′0(b)) = 0.

Daca punctul (b, y(b)) se deplaseaza pe curba cu ecuatia ex-plicita τ(x, y) = 0 avand ın vedere relatia

δy(b)

δx(b)= − τx(b, y0(b))

τy(b, y0(b))

vom avea conditia

F (b, y0(b), y′0(b))− Fy′(b, y0(b), y′0(b))y

′0(b)

τx(b, y0(b))=Fy′(b, y0(b), y′0(b))

τy(b, y0(b)).

32

Aceste conditii se numesc conditii de transversalitate. Eletrebuie verificate ın capatul mobil. In cazul ın care curba pecare se misca capatul din dreapta este x = b regasim conditianaturala.

Exemplul 2.3. Fie functionala opticii geometrice ın plan

I[y(x)] =

b∫a

√1 + y′(x)2

v(x, y(x))dx.

Cum

F =

√1 + y′(x)2

v, Fy′ =

y′

v√

1 + y′2, F − y′Fy′ =

1√1 + y′2

conditia de transversalitate devine

1

v√

1 + y′2τx=

y′√1 + y′2τy

sau1

τx=y′

τy,

adica extremalele si curba t(x, y) = 0 se taie ortogonal.

2.9 Exercitii

1. Sa se gaseasca distanta cea mai scurta ıntre parabola y = x2

si dreapta x− y − 5 = 0.Ind. Problema revine la a gasi minimul functionalei

I[y(x)] =

∫ b

a

√1 + y′(x)2dx

33

cu conditiile y(a) = a2, y(b) = b− 5. Extremalele sunt drepteley = C1x+C2. Conditiile la capete dau C1a+C2 = a2, C1b+C2 =b− 5. Conditiile de transversalitate dau√

1 + C21 + (2a− C1)

C1√1 + C2

1

= 0

√1 + C2

1 + (1− C1)C1√

1 + C21

= 0.

Rezulta C1 = −1, C2 =3

4, a =

1

2, b =

23

8. Deci extremala

este y = −x+3

4si distanta este

23

8∫1

2

√1 + (−1)2dx =

19√

2

8.

2. Sa se gaseasca distanta cea mai scurta dintre punctulA(1, 0) si elipsa 4x2 + 9y2 − 36 = 0.

R.4√5

.

34