0 di vizibilitate

În loc de ...INTRODUCERE !Bună !!!Salut !

-Vrei să împărțim

între noi ,doi, merele ?

Da, dar în mod egal !

Atunci, să ne

apucămde treabă!

De acord!

-Deci:Unul ție...

...unul mie,...

Realizator:

Profesor IOAN AIACOBOAIEŞcoala “ Emil Racoviţă”

Oneşti

Divizibilitatea

Să ne reamintim: Pentru orice pereche de numere naturale , a și b ≠ 0 ,

există o altă pereche de numere naturale , c și r , astfel încât:

Exemplu 13 : 5 = 2Calcule

2 x 5 =1010=3

(cât)

(rest)Verificare 13 = 5 • 2 + 3

a : b =c

r

a = b • c +r ;r < b; b ≠ 0;

Observație ●Dacă restul împărțirii lui a la b este egal cu 0 ,(r = 0), spunem că împărțirea este exactă. În această

situație spunem că numărul a este divizibil cu b.

a=b•c+r ; r < b(împărțirea cu rest).

Definiție

Fie a și b ≠ 0 două numere naturale;

Spunem că a este divizibil cu b dacă există un alt număr natural,

c, astfel încât : a = b• cCu alte cuvinte, numărul a se împarte exact la b ,sau restul

împărțirii lui a la b este 0 .!

! Se notează:

a … b (a este divizibil cu b)sau

b / a (b divide pe a)Convenții de denumirişi notaţii:

b - divizor al lui aa - multiplu al lui bDa

-mulțimea divizorilor unui număr aMa-mulțimea multiplilor unui număr

a

(împărţitorul unei împărţiri cu rest 0)

(deîmpărţitul unei împărţiri cu rest 0)

Exemple:

15 … 3 pentru că 15 = 3 • 5 3 / 1528 … 7 pentru că 28 = 7 •4 7 / 28

D24=

=

Calcule

24 = 1 x24

1 I 24

1; 24=2x12

2I24

2;24=3x8

3I24

3;Analog…….

44;6;

6

88; 1212;24

24;

D30 = 1; 2; 3; 5; 6;10;15; 30;►Proprietăți ale relației de divizibilitate

1 1 / a, oricare ar fi aϵN2 a / a ,oricare ar fi aϵN*

3 a / 0 ,oricare ar fi aϵN*

4 a / b și b/c

a / c

5 Dacă a / b și a / c atunci

a / b ± c6 Dacă a I b sau a I c atunci

a / b•c

►Mulţimea divizorilor unui număr :

7 Dacă a/b şi b/a , atunci

a=b

●Exemplu

! Oricare număr natural , nenul ,admite cel puțin doi divizori: 1 și

“EL ÎNSUȘI”.Aceștia se numesc

●Divizorii diferiți de divizorii improprii se numesc

Divizori improprii, divizori proprii

D15= 1; 3; 5; 15;

►Divizorii improprii ai lui 15 sunt: 1; 15;►Divizorii proprii ai lui 15 sunt: 3;5;! Mulțimea divizorilor unui număr natural conține un număr finit de

elemente (are cardinal finit).►Numere prime

●Definiție Un număr care are numai divizorii improprii , ( adică pe 1 şi pe “EL ÎNSUŞI “),se numește

divizori improprii.

divizori proprii.

număr prim .

●Exemple:

Mulţimea numerelor naturale prime mai mici decât 30 :

P={ 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 ; }

Criterii de divizibilitate

►În mod obişnuit,pentru a vedea dacă un număr natural, a, este divizibil cu un alt număr natural, b≠0,trebuie să efectuăm împărţirea lui a la b şi în funcţie de restul obţinut putem să stabilim dacă cele două numere sunt în relaţia de divizibilitate,sau nu.

●Totuşi, fără a efectua împărţirea , putem stabili dacă un număr este divizibil cu un alt număr. Acest lucru va fi posibil dacă ne însuşim câteva reguli sau criterii de divizibilitate

Multiplii unui număr natural a , sunt numere naturale de forma {a▪n}, unde n este număr natural.

Ma ={ a▪n / nЄN}Exemplu:Mulţimea multiplilor lui 7 conţine numere de forma {7▪n/ nЄN}.n

7▪n

0

0

1

7

2

14

3

21

4

28

▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

M7={ 0; 7; 14; 21; 28; 35; …}

O întâmplare ...cu tâlc!Mai mulţi prieteni hotărăsc să plece într-o drumeţie, sâmbăta la ora 8. Condiţia de participare este ca fiecare să aibă un partener .

Ca de obicei , Gigel soseşte primul, la 7 45.

După alte două minute , încep să sosească ,pe rând şi ceilalţi copii.

La ora plecării, copiii îşi aleg perechea şi se constată că au venit doar 7 copii , existând riscul ca unul dintre ei, Oana , să nu participe ,neavând pereche.

Cu scuzele de rigoare , soseşte în sfârşit şi Vasilică ...

...perechea Oanei !

...şi astfel , toţi copiii au plecat voioşi în drumeţie !

O mică discuţie în jurul acestei “întâmplări” !

►Conform convenţiei , fiecare copil trebuia să aibă un (o) partener(ă )!●Dacă partenerul Oanei nu ar fi venit , numărul copiilor ar fi fost impar, (7) şi atunci Oana nu ar fi mers alături de ceilalţi copii în drumeţie. Nicicând 7 copii nu pot fi grupaţi în perechi , fără ca unul dintre ei să rămână pe dinafară.

●Datorită faptului că ,în final, numărul copiilor a devenit par , se pot forma perechi , în orice mod , oricare copil, făcând, în mod sigur, parte dintr-o pereche (deoarece orice număr par se împarte exact la 2 )►Prin asemănare cu întâmplarea de mai sus, am putea să găsim numărul optim de copii care ar putea fi grupaţi câte 3 ,sau câte 4 ,sau câte 5 ,etc.


►Criteriul de divizibilitate cu 2●Să observăm mai întâi că numerele divizibile cu 2 sunt multiplii lui 2, adică mulţimea numerelor pare :

M2 = { 0; 2; 4; 6; …; 2n;…}; n, număr natural .Dacă ultima cifră a unui număr natural este cifră pară sau 0 ,atunci acel număr este divizibil cu 2.Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este cifră pară sau 0 ,atunci acel număr nu este divizibil cu 2.

!

M2={ 2▪n/nЄN }

►Criteriul de divizibilitate cu 5

●Multiplii lui 5 au forma :

M 5= { 5▪n / nЄN}

M5={ 0; 5; 10;15; 20;25;30;….}

►Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0 sau 5, atunci acel număr este divizibil cu 5.►Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este 0 sau 5 ,atunci acel număr nu este divizibil cu 5.


●Contraexemplu

5729 … 5 5729 :5 = 1145 ,rest4


►Criteriul de divizibilitate cu 10 (10= 2▪5)

M10= {0; 10; 20; 30; …2100 …};

M10= {10▪n / nЄN }

●Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0 ,atunci acel număr este divizibil cu 10.●Dacă ultima cifră a unui număr natural NU este 0 ,atunci acel număr NU este divizibil cu 10.

2 I aDacă

5 I a=>10 I a

►Dacă un număr natural este divizibil cu 2 şi cu 5 ,atunci acel număr este divizibil cu 10!►Dacă un număr este divizibil cu 10 , atunci acel număr este divizibil atât cu 2 cât şi cu 5 !



M3= {0; 3; 6; 9; 12; 15; …2010...}

M3={3▪n / nЄN }

●Dacă suma cifrelor unui număr natural (considerate ca unităţi ) este divizibilă cu 3 atunci numărul este divizibil cu 3.

abcd...3 I 3 I (a+b+c+d+…)Exemplu 7019

4

… 3 ;

( 7+0+1+9+4) =21 ; şi 3/21

70194 : 3 = 23398 ,rest 0 !


M9={ 0; 9; 18; 27; 36;….785601…}

M9= {9▪n / nЄ N }

Dacă suma cifrelor unui număr natural (considerate ca unităţi ) este divizibilă cu 9 atunci numărul este divizibil cu 9.

9 I abcd... 9 I (a+b+c+d+…)

Dacă un număr este divizibil cu 9, atunci acel număr este divizibil şi cu 3!

Exemplu 4378248 … 9 ;

(4+3+7+8+2+4+8=36 şi 9/36


! De o mare importanţă este şi cunoaşterea următoarelor reguli:

=>

►Dacă un număr natural “a” este divizibil cu un alt număr natural,”b” atunci a este divizibil şi cu divizorii lui b.

●Exemplu

…

a

…

b

b=d1·d2

=> a…

d1 a

…

d2

şi72

12

12= 3 ▪ 4

72 3 72 4

… …

şi

►Pentru a arăta că un număr natural este divizibil cu 6 este necesar să arătăm că acel număr este divizibil cu divizorii lui 6 ,adică cu 2 şi cu 3.

►Analog, pentru a arăta că un număr natural este divizibil cu 15 ,vom arăta că acel număr este divizibil cu 3 şi 5 .

●Proprietatea enunţată anterior ne ajută ,de exemplu ,la :

Este bine să ştim că :

►Produsul a ”n” numere naturale consecutive este divizibil cu n.

nn )...321(

2)1( nnProdusul a două numere consecutive este divizibil cu 2

Produsul a trei numere naturale consecutive este divizibil cu 3

3)2)(1( nnn

Dacă n=2k, kЄN, atunci avem:

n(n+1)= 2k(2k+1)= 2[k(2k+1)]

p

= 2∙pЄ M2

Analog, se arată că dacă n este impar, atunci n+1 este par; produsul n(n+1) conţine, de asemenea, ca factor pe 2, deci este multiplu de 2!

În particular:

Exerciţii

Completaţi coloanele din tabelul de mai jos cu numerele corespunzătoare din mulţimea :

M= { 24; 108 ; 39 ;444; 101010; 45744; 56 99312030; 105; 144; 11100 ;845; 252.}

nЄM

n … n … n … n … n … n … n …2 3 5 9 10 6 15

ProfesorIOAN AIACOBOAIE

ONEȘTI

octombrie,2008

[email protected]

0 di vizibilitate

Documents