xii 2013-14 1 grupuri

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

1/11

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

2/11

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

3/11

SUPORT DE CURS XII / I. Grupuri/P a g e | 5

EXERCIII PROPUSE

1) S se demonstreze c urmtoarele legi definite pe suntasociative : a) 4 4 12x y xy x y ; b) 2 6 6 21x y xy x y ;c) 2( ) 6x y xy x y ; d) ( 4)( 4) 4x y x y ;

e) 3 33 1x y x y ; f) 7( ) 42x y xy x y ;

g) 5( ) 30x y xy x y ; h) ( 2)( 2) 2x y x y ;i) x y x y m , m ; j) 2x y xy x y ;

k) 2 1x y xy x y ; l) 3 33x y x y ;m) 2 2 2x y xy x y ;2) Pe se consider legea de compoziie 1x y ax by , ,a b .S se determine ,a b pentru care legea de compoziie esteasociativ .3) Pe mulimea (0, ) \ {1}G se consider operaia 3ln yx y x .

a) S se demonstreze c x y G , pentru ,x y G ;b) S se arate c operaia este asociativ pe mulimea G.4) Pe mulimea numerelor ntregi se definete legea de compoziie

11x y x y .a) S se arate c legea de compoziie este asociativ ;b) S se rezolve n mulimea numerelor ntregi ecuaia

de 6 ori x

... 1x x x

5) Pe se consider legea de compoziie 1x y x y .a) S se arate c legea este asociativ ;b) S se calculeze 2013 2014 ;c) S se rezolve n inecuaia 2 3x x 6) Pe mulimea numerelor reale se consider legea de compoziie

2( ) 6x y xy x y ;a) S se arate c ( 2)( 2) 2x y x y , ,x y ;b) S se demonstreze c 2 2x oricare ar fi x ;c) S se arate c legea este asociativ .


3. ComutativitateDEFINIIE

Legea se numete comutativdac : x y y x ,( ) ,x y M .OBSERVAIE

Pe tabla operaiei se poate vedea dac o lege este comutativatunci cnd tabla este simetric fa de diagonala principal .OBSERVAIE

Dac H este o parte stabil a lui M n raport cu legea i dac este comutativ pe M , atunci rmne comutativ i pe H .EXEMPLE DE LEGI COMUTATIVE :1) Adunarea i nmulirea pe , , , , sunt legi de compoziiecomutative :2) Reuniunea i intersecia pe ( )MP sunt legi comutative :3) Adunarea matricelor pe , ( )m n M este o lege comutativ :EXEMPLE DE LEGI NECOMUTATIVE :

1) Scderea pe nu este comutativ : ( ) ,x y a x y y x ;2) Compunerea funciilor pe ( )F nu este comutativ : ( ) , ( )f g F a f g g f ;3) nmulirea matricelor pe ( )

n M nu este comutativ : exist

, ( )n

A B M astfel nct A B B A ;

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

4/11


EXERCIII PROPUSE

1) Pe mulimea a numerelor ntregi se definete legea de compoziie2x y xy x ay . S se determine a pentru care legea de

compoziie este comutativ .2) S se studieze comutativitatea legilor de compoziie definite pemulimea Mn cazurile :a) (1, )M , 2 2 2 3x y xy x y ; b) [1,3]M ,

2 2 6x y xy x y ; c) M , x y x y xy ; d) M ,7 2 2 8x y xy x y ; e) M , x y xy x y ;

3) S se studieze comutativitatea legii de compoziie definite pemulimea M, n cazurile :

a) ( 1, 1)M ,1x y

x yxy

; b) M , x y x y ixy ;

c) (1, )M , 2 2 2 2 2x y x y x y ; d) (0, )\ {1}M ,

ln yx y x ; e) 1 |0 1aM a

, 22A B AB A B I ;

4) S se determine constantele reale pentru care legile de compoziiesunt comutative i asociative pe mulimile M:a) M , x y cx ay b ; b) M , 2x y xy x ay b ;

c) M , x y ixy ax by ; d) (0, )M ,1

ax by x y

xy

;

5) Se d legea pe mulimea , 2 3x y x my . S sedetermine m , pentru care legea este comutativ .

6) Pe mulimea Mse definete legea de compoziie . Studiaicomutativitatea i asociativitatea legii , dac :a) M , 5 5 30u v uv u v , ,u v ;b) ( 1, )M , x y x y xy , ,x y ;


4.Element neutruDEFINIIE

Un element e M se numete element neutrupentru legea dac pentru orice x M avem x e e x x .TEOREM

Dac o lege de compoziie admite element neutru , atunci acestaeste unic .

OBSERVAIEDac H este o parte stabil a lui M n raport cu legea i dac

e M este element neutru pentru , atunci dac e H , acesta esteelement neutru al legii induse de pe mulimea H .OBSERVAIE

Dac o lege de compoziie este notat multiplicativ , elementulneutru , dac exist , se numete element unitatei se noteaz deobicei cu simbolul 1.

Dac legea este notat aditiv , elementul neutru , dac exist , senumete element nuli se noteaz de obicei cu simbolul 0 .EXEMPLE CUNOSCUTE DE LEGI CU ELEMENT NEUTRU1) Adunarea pe , , , , are ca element neutru pe 0 :

0 0x x x , ( ) , , , ,x ;2) nmulirea pe , , , , are ca element neutru pe 1 :

1 1x x x , ( ) , , , ,x ;3) Compunerea pe ( )MF admite ca element neutru funcia identicamulimii M , 1 :

M M M , 1 ( )

Mx x , ( )x M : 1 1

M Mf f f ,

( ) ( )f M F ;

4) Adunarea matricelor pe ( )n M

are ca element neutru matriceanul( cu toate elementele zero ) notat nO : n nA O O A A ,( ) ( )

nA M ;

5) nmulirea matricelor pe ( )n

M are ca element neutru matriceaunitate nI : n nA I I A A , ( ) ( )nA M ;

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

5/11


EXERCIII PROPUSE1) S se determine elementul neutru al urmtoarelor legi pe :a) 6x y x y ; b) ( 4)( 4) 4x y x y ;

c) 5( ) 30x y xy x y ;d) ( 2)( 2) 2x y x y ;e) ( 3)( 3) 3x y x y ;f) ( 3)( 3) 3x y x y ;g) 3 7 7 14x y xy x y ;

h) 2009( ) 2009 2009x y xy x y ;2) Pe se definete legea de compoziie x y x y m , m . Sse determine mastfel nct 6e s fie elementul neutru al legii 3) Pe se consider legea de compoziie 3x y xy x ay b ,

,a b . S se arate c pentru 3a i 6b legea admiteelement neutru .4) Pe se definete legea de compoziie 2 2x y x y , ,x y .S se arate c legea nu admite element neutru pe .5) S se verifice c elementul e G este element neutru n raport culegea de compoziie pe G, dac :a) G , 2012x y x y , 2012e ; b) G , x y xy x y ,

0e ; c) G , 4 7 7 14x y xy x y , 2e ; d) G ,2009x y x y xy , 0e ;

6) S se determine m pentru care legile de compoziie pe Gauelementul neutru indicat :a) G , 4 4x y xy x y m , 5e ;b) G , 2 3 3x y xy x y m , 1e ;

c) G , 2 2 2x y mxy x y i , e i ;7) S se verifice dac operaia specificat admite element neutru pemulimea M:a) ( 1, )M , 5 5 5 4x y xy x y ; b) M , 10x y x y c) (2, )M , 2 4( ) 10x y xy x y ; d) 4,M ,

2 2 16x y x y


5.Elemente simetrizabileDEFINIIE

Fie ( , )M o structur algebric cu elementul neutru e M ix M . Spunem c un element x M este un simetrical lui xnraport cu legea dac x x x x e .

Dac exist x cu aceast proprietate , spunem c xesteelement simetrizabil, n raport cu legea .

Dac legea este notat multiplicativ , vom spune elementinversabiln loc de simetrizabil i element invers n loc de simetric ;inversul lui xse va nota cu 1x : 1 1 1x x x x ;

Dac legea de compoziie este notat aditiv , vom spuneopusullui xn loc de simetricul lui xi vom nota cu x n loc de x :

( ) ( ) 0x x x x ;EXEMPLE

1) Fa de nmulirea pe ( )n

M , unde elementul neutru esten

I ,elementele simetrizabile sunt matricele A cu det( ) 0A , simetricul

matricei A fiind matricea invers 1A : 1 1 nA A A A I 2) Fa de compunerea pe ( )MF , unde elementul neutru este 1

M,

elementele simetrizabile sunt funciile bijective , deoarece o aplicaieeste inversabil dac i numai dac este bijectiv : 1 1 1

Mf f f f

TEOREMFie ( , )M o structur algebric asociativ i cu element neutru e.

Dac x M are un element simetric , atunci acesta este unic .NOTAIE

Dac ( , )M o structur algebric asociativ i cu element neutru ,

atunci notm ( )MU submulimea elementelor din M simetrizabile nraport cu . Aadar ( ) | ( ) ,M x M x M x x x x e U

TEOREMFie ( , )M o structur algebric asociativ i cu element neutru .

1) Dac ,x y M sunt simetrizabile atunci x y este simetrizabil i( )' ' 'x y y x ;

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

6/11


2) Dac x M este simetrizabil atunci simetricul su 'x estesimetrizabil i ( )x x ;3) Dac x M este simetrizabil , iar y M nu este simetrizabil ,atunci ,x y y x M nu sunt simetrizabile .


EXERCIII PROPUSE1) Pe (2, )G se consider operaia 2( ) 6x y xy x y . S searate c toate elementele mulimii Gsunt simetrizabile n raport culegea .2) Pe se consider legea de compoziie 2 6 6 21x y xy x y .S se determine elementele simetrizabile n raport cu legea .3) Pe se definete legea de compoziie ( 3)( 3) 3x y x y . Sse determine elementele simetrizabile ale lui n raport cu legea 4) Pe mulimea se definete legea de compoziie x y restul

mpririi lui x y la 6 . Fie 0,1,2,3,4,5H . Artai c ( , )H este o structur algebric . Determinai elementele simetrizabile dinH n raport cu .5) Se consider operaia algebric pe mulimea ,

11 11 132x y xy x y , ( ) ,x y .a) S se arate c operaia admite element neutru ;

b) S se determine elementele simetrice pentru 1,0,9x ;c) S se determine ( )U 6) Pe mulimea numerelor reale definim legea de compoziie

T 3( ) 12x y xy x y . Determinai elementele simetrizabile din n raport cu T .7) Pe mulimea se definete legea de compoziie

2( 3)( 3) 3x y x y , ( ) ,x y . S se determine elementelesimetrizabile n raport cu legea .

8) Fie 2 2| 10, , , 10 1H x x a b a b a b i operaia denmulire pe . Demonstrai c orice element din H admite un simetric( invers ) n raport cu operaia de nmulire .9) Pe mulimea (0, )G se consider legea de compoziie

2log yx y x . S se determine simetricul elementului 38x n raportcu legea .

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

7/11

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

8/11


7. Grupul de permutri

Fie Mo mulime finit cu nelemente , 1,2,3,...,M n .

Mulimea :M f M M F mpreun cu operaia decompunere a funciilor este un monoid . Considerm o submulime a lui

MF , MB format din aplicaii bijective . Un element din MB l

numim permutare de graduln.Elementele lui MB le desemnm prin litere mici ale alfabetului

grec (alfa), (beta), (gama), (delta), (sigma), (tau)...n loc de MB vom folosi notaia nS .Permutarea :M M o reprezentm prin tabloul

1 2 ...1 2 ...

n

n

unde prima l inie o reprezint domeniul de

definiie i a doua mulimea de valori .

Pe mulimea nS a permutrilor de grad nse definete operaia decompunere a permutrilor .

Fie , nS , atunci

nS se definete prin

k k , 1,k n . Vom scrie n loc de simplu .TEOREM

Cuplul ( , )n

S este un grup finit de ordin !n

S n , numit grupul

simetric de gradul n .Asociativitate : ( ) ( ) , ( ) , ,

nS ;

Elementul neutru este 1 2 ...1 2 ... n

ne S

n

: e e ,

( ) n

S ;Orice element

nS , are un invers ( simetric ) notat 1

nS :

1 1 e


De exemplu , dac1 2 3 4 53 4 5 1 2

atunci 11 2 3 4 54 5 1 2 3

OBSERVAIEDac 3n atunci ( , )

nS este un grup necomutativ.

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

9/11


EXERCIII PROPUSE

1) Alctuii tabla legii de compunere a permutrilor pe 3S .2) S se rezolve ecuaiile x i x n cazurile :

a)1 2 3 44 1 3 2

,1 2 3 42 3 1 4

;

b) 1 2 3 4 54 3 1 5 2

, 1 2 3 4 52 5 4 3 1

;

c)1 2 3 4 5 62 5 1 6 4 3

,1 2 3 4 5 63 5 1 6 4 2

;

3) Artai c mulimea de permutri 1 2 3, , ,S e , unde :

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

e

;1

1 2 3 4 5 66 4 2 5 3 1

;

2

1 2 3 4 5 6

1 5 4 3 2 6

; 31 2 3 4 5 6

6 3 5 2 4 1

mpreun cuoperaia de compunere a permutrilor formeaz un grup .4) Se consider mulimea de permutri 1 2 3, ,G e S , unde

1 2 31 2 3

e

,1

1 2 32 3 1

,2

1 2 33 1 2

. S se arate c ,G

este grup comutativ .

5) S se rezolve ecuaia x dac1 2 32 1 3

,1 2 33 2 1

,

1 2 33 1 2

;

6) Se consider permutarea 51 2 3 4 53 1 2 5 4

S

. S se calculeze

2009 .


8.Grupul claselor de resturi modulo n n

Notm prin 0,1, ..., 1n n i se numete mulimea claselorde resturi modulo n.

Pen

se definesc dou operaii algebrice :

: n n n

,

a b a b numit adunarea claselor:

n n n , a b a b numit nmulirea claselor

TEOREM( , )

n este grup abelian , numit grupul aditiv al claselor de

resturi modulo n .TEOREM

( , )n

este un monoid comutativ, n care grupul elementelor

inversabile este ( ) | ( , ) 1n nk cmmdc k n U

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

10/11


EXERCIII PROPUSE1) Alctuii tablele operaiilor de adunare i nmulire pe 2 , 3 , 4 ,

5 ;2) Se consider 12 i Pprodusul elementelor inversabile . S se

determine valoarea expresiei 3 7E P .3) Se consider 10 i Pprodusul elementelor inversabile. S se

determine valoarea expresiei 4 5E P .4) S se determine toate elementele 6x pentru care

3 3x ;

5) S se calculeze inversul fa de nmulire al elementului 95 ;

6) S se determine simetricul elementului 3n grupul 8( , ) ;

7) S se calculeze : a) 2007

2 n 12( , ) ; b)

20134 n 8( , ) ;

8) S se calculeze probabilitatea ca un element 6x s verifice

egalitatea 3 0x ;

9) S se determine inversul fa de nmulire al elementului 113 ;10) S se rezolve ecuaiile : a) 4 2 4x n 6 ; b)

2 4 3x n 5 ;

c) 2 4x n 8 ;

11) S se rezolve n 7 : a)

4 6 5

3 2 4

x y

x y

; b)

3 1

2 3 6

x y

x y

;

i n 5 : c)

1

2 3 1

4 4 3 1

x y z

x y z

x y z

; d)

3 2 3 2 3 1

2 3 2

x y z

x y z

x y z

;

5) Se consider mulimea 8 1,3,5,7G . S se arate c ,G este grup comutativ .

6) Artai c mulimea

12

1 4

6 1

aG a

a

mpreun cu operaia

de nmulire obinuit a matricelor este grup abelian .


9.Morfisme i izomorfisme de grupuriDEFINIIE

Fie ( , )G i ( , )G dou grupuri . O funcie :f G G senumete morfism de grupuridac ( ) ( ) ( )f x y f x f y , ( ) ,x y G .TEOREM

Compunerea a dou morfisme de grupuri este tot un morfism degrupuri .TEOREM

Fie : ( , ) ( , )f G G un morfism de grupuri . Dac ,e e suntelementele neutre din grupurile Gi respectiv G , atunci :

1) ( )f e e ;2) 1 1( ) ( )f x f x , ( )x G ;3) ( ) ( )n nf x f x , ( )x G , ( )n .

DEFINIIEFie ( , )G i ( , )G dou grupuri .O aplicaie :f G G se numete

izomorfism de grupuridac :f este morfism de grupuri if estebijectiv ;

Dac ntre dou grupuri Gi G exist cel puin un izomorfismspunem c grupurile sunt izomorfei scriem GG OBSERVAIE

Dac :f G G este un izomorfism de grupuri , atunci i1 :f G G este tot un izomorfism .

EXEMPLE1) Aplicaia identic 1 :

G G G , 1 ( )

G x x este izomorfism de

grupuri

2) Aplicaia : ( , ) ( , )f , ( ) xf x e este izomorfism de grupuri ( , ) ( , )

7/25/2019 XII 2013-14 1 Grupuri

11/11

xii 2013-14 1 grupuri

Documents