xii 2012-13 3 metode de calcul a integralelor definite
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite
1/7
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 19
III. Metode de calcul a integralelor definite
COMPETENE SPECIFICE
1. Identificareaunor date i relaii matematice si corelarea lor nfuncie de contextul n care au fost definite2. Prelucrareadatelor de tip cantitativ, calitativ, structural saucontextual cuprinse n enunuri matematice3. Utilizareaalgoritmilor si a conceptelor matematice pentrucaracterizarea local sau global a unei situaii concrete4. Exprimareacaracteristicilor matematice cantitative sau calitativeale unei situaii concrete si a algoritmilor de prelucrare a acestora5. Analizasi interpretareacaracteristicilor matematice ale uneisituaii problem n scopul gsirii de strategii pentru optimizareasoluiilor6. Modelareamatematic a unor contexte problematice, prin
integrarea cunostinelor din diferite domeniiCONINUTURI Integrarea prin pri , integrarea prin schimbare de variabil
Calculul integralelor de forma( )( )
b
a
P xdx
Q x , 4gradQ prin metoda
descompunerii n fracii simple Aria unei suprafee plane Volumul unui corp de rotaie
BIBLIOGRAFIE BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT2, programa M2 Mircea Ganga MATEMATIC-Manual pentru clasa a XII-a , profil
M2 , Editura MATHPRESS Marius Burtea , Georgeta Burtea Clasa a XII-a , Culegere de
exerciii i probleme , MATEMATIC M2 ,Editura CAMPION .
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 20
1. Integrarea prin pri
T. ( Formula de integrare prin pri) . Dac , : ,f g a b sunt
dou funcii derivabile , cu derivate continue , atunci :
b b
b
a
a a
f x g x dx f x g x f x g x dx (1)
(1) se numete formula de integrare prin pri pentru integraladefinit .
Pentru a aplica uor formula integrrii prin pri vom aranjafunciile astfel :
f x
g x
(prin derivare)
(prin integrare)
f x
g x
( din prima integral ) ( din a doua integral )
-
7/25/2019 XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite
2/7
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 21
EXERCIII PROPUSE
1) S se calculeze integralele :
a)1
0
xxe dx ; b)1
2
0
xx e dx ; c)0
sinxe xdx
; d)0
sinx xdx
; e)1
lne
xdx
f)
2
0arcsin xdx
;
2) S se calculeze integralele : a)1
lne
x xdx ; b)2
1
lne
x xdx ;
c) 2
1
lne
xdx ;d)3 2
1
lne
x xdx ; e) 2
2
1
3 lne
x x xdx ; f) 1
2
0
ln 1x dx ;
3) S se calculeze integralele : a)1
0
xxe dx ; b)1
2 2
0
xx e dx ;
c)
2
03
x
x dx ; d)1
2
05
x
x dx ; e)
12
02 1
x
x x e dx ;
f) 1
3 2 2
0
5 2 xx x e dx ; g) 1
2 3
0
2 xx x e dx ; h)1
2 2
0
x
x e dx
;
4) S se calculeze integralele : a)
1
2
0
arcsinx xdx ; b)1
2
0
arccosxdx ;
c)1
0
arctgxdx ; d)1
0
xarctgxdx ;
5) S se calculeze integralele : a)2
0
cosxe xdx
; b)0
2 sinx xdx
;
c)3
2
0
sin3xe xdx
; d)2
0
sinxe xdx
; e)2
2 2
0
cosxe xdx
;
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 22
6) S se calculeze integralele : a) 2
0
sinx xdx
; b)2
0
cosx xdx
;
c)3
0
sin3x xdx
; d)2
0
sinx xdx
; e)4
2
0
cos2x xdx
;
f) 2
03 5 sin2x x xdx
; g)3
0sinx xdx
;
7) S se calculeze integralele : a)1
2
0
9x dx ; b)5
2
3
9x dx ;
c)4
2
0
16 x dx ; d)4
2
3
9x x dx ; e)4
2 2
3
9x x dx ;
f)2
2
0
1x x dx ;
8) Se consider funcia :f ,
2 , 0
1 , 0
xx e x
f x x x
. S se
calculeze 0
1
xf x d x
.
9) Se consider funcia :f , , 1
2 , 1
xe e xf x
x x
. S se
calculeze 0
2
xf xdx
e .
10) Se consider funcia :g , 3 2
1 3 1g x x x . S se
determine numrul real 1a astfel nct 31
6a
x ag x x e dx e
11)Se consider funcia :f , 2 1xf x x e . S se
calculeze 1
0
xf x dx .
-
7/25/2019 XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite
3/7
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 23
2. Integrarea prin schimbare de variabil
Metoda substituiei ( schimbrii de variabil )
T. ( Prima formul a substituiei ) Fie ,f
a b J
( J interval
din ) dou funcii cu proprietile :1) f este continu pe J ;
2) este derivabil cu derivata continu pe ,a b
Atunci
bb
a a
f x x dx f t dt
(1)
Formula (1) se numete prima formul a substituiei. De la variabila,x a b se trece la noua variabil ,t x a b
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 24
EXERCIII PROPUSE
S se calculeze integralele de mai jos utiliznd substituia indicat :
I. a) 51
0
1x dx , 1t x ; b) 0
6
23
3 2x dx
; 3 2t x ;
c)
1
2 9
0
2 1x x dx ; 2 1t x ; d) 1 3
2
0
1x x dx ;2 1t x ;
e) 1
52 3
1
2
1 3 1x x x dx ,3 3 1t x x ; f)
15
2 3
0
1x x dx ,
3 1t x ;
II. a)2
0 3
dx
x , 3x , 3t x ; b)
1
2 2 1
dx
x
,
1
2x , 2 1t x ;
c)
2
1 1 4dxx , 14x , 1 4t x ; d)
1
50 2 1
dxx , 12x , 2 1t x ;
e)1
20 1
xdx
x , x ,
2 1t x ;f)2
21
2 1
9
xdx
x
, x ,
2 9t x ;
g)
3 3
102 1
xdx
x , 1x , 1t x ; h)
2 2
30 2 1
x dx
x , 0x ,
32 1t x ;
i)
2 2
33
0 2
x dx
x , 0x ,
3 2t x ; j)2
40 1
xdx
x , x ,
2t x ;
-
7/25/2019 XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite
4/7
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 25
EXERCIII PROPUSE
S se calculeze integralele de mai jos utiliznd substituia indicat :
III. a)2
0
2 1x dx ,1
2x , 2 1t x ; b)
1
0
1x xdx , 1x ,
1t x ; c) 2
23
0
2 1x dx , x , 2 1t x ; d)1
2
0
3x x dx ,
x , 2 3t x ; e)0
2 3
1
1x x dx
, 1x ,3 1t x ;
f)
3
23 2
2
1x x dx
, 1x ,2 1t x ; g)
2
31
25 1
dx
x ,
1
5x ,
5 1t x ;
IV. a)
0
3
2
xe dx , x
, 3t x ; b)
2
20
x
dx
e , x , 2t x ;
c)3
02
2
xx e dx
, x ,3t x ; d)
2
2
0x
xdx
e , x ,
2t x ;
e)1
0
x xx e dx , 0x , t x x ; f)2
1
xedx
x , 0x , t x ;
V. a)1
lne xdx
x, 0x , lnt x ; b)
1
sin lne xdx
x, 0x , lnt x ;
c) 5
2
1
1 ln x dxx
, 0x , 1 lnt x ; d)2 ln
e
dxx x
, 1x , lnt x ;
e) 2 ln 1
e dx
x x , 1x , ln 1t x ;
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 26
EXERCIII PROPUSE
1) S se calculeze integralele :
a) 1
5
0
2 1x dx ; b)1
2
0
1x x dx ; c)2
2
2
sin cosx xdx
;
d)1 2
30 1
x dx
x ; e)
2
1
lne xdx
x; f)
1
20 1
arctgxdx
x ; g)
3
20 cos
tgxedx
x
;
h)1 3
81 1
xdx
x ;
2) S se calculeze integralele de mai jos :
I. a) 1
4
0
2 1x dx ; b) 1
73
1
x x dx
; c) 1
5
2
1 3x x dx
;
II. a)
2
1 2 1
dx
x ; b)
0
1 1 3
dx
x ; c)
1
20
3
1
xdx
x ; d)
2
1 1 5
dx
x ; e)
1 2
30
2
3 2
x dx
x ;
f)
1 2
23
0 1
x dx
x ; g)
1
40 1
xdx
x ;
III. a)1
0
3 1x dx ; b)0
1
1x x dx
; c) 2
23
1
1 2x dx
;
IV. a)3
12
0
xx e dx ; b) 21
1x
xdx
e ; c)
4
1
x xx e dx ; d)9
1
xedx
x ;
V. a)
2
lne
e
x dxx
; b) 2
1
1 lne x dxx
; c)3
ln
e
e
dxx x
; d) 1 1 ln
e dxx x
;
VI. a)5
0
sin5xdx
; b)9
12
sin 34
x dx
; c)2
2
0
sin cosx xdx
;
-
7/25/2019 XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite
5/7
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 27
3. Calculul integralelor definite din funcii raionale
D. O funcie :f I , I interval , se numeteraional dac
P x
f xQ x
, unde P ,Q sunt funcii polinomiale cu coeficieni reali
i 0Q x , x I .
D.O funcie raional se numete simpldac are una din formele :1) 11 1 0...
n n
n nf x a x a x a x a
( funcia polinomial );
2)
n
Af x
x a
, n ;
3) 2
n
Bx Cf x
x bx c
, n , 2 4 0b c .
T. Orice funcie raional poate fi reprezentat sub forma unei sumefinite de funcii raionale simple prin metoda coeficienilornedeterminai .
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 28
EXERCIII PROPUSE
1) S se descompun n fracii simple funciile raionale :f D :
a)1
( )( 3)
f xx x
; b)1
( )( 1)( 2)
f xx x x
; c)2
( )( 1)x
f xx x
;
d)2
2
1( )
( 1)( 2)
xf x
x x
;
2) S se descompun n fracii simple funciile raionale :f D :
a)2
1( )
( 1)f x
x x
; b)
2 2
1( )
( 2)
xf x
x x
; c)
2
1( )
( 1)f x
x x
;
d)2 2
1( )
( 4)
xf x
x x
3) S se descompun n fracii simple funciile raionale :f D :
a)2 2
( )( 1)( 4)
xf x
x x
; b)
2
2 2
1( )
( 4)( 9)
xf x
x x
;
c) 4 2( ) 1
x
f x x x ;4) S se calculeze integralele de funcii raionale ( numitorul arerdcini reale simple ) :
a)2
1
1( 3)
dxx x ; b)
3
1
1( 1)( 2)
dxx x x ; c)
4 3
2 23 ( 1)( 4)
xdx
x x ;
d)0 2
2 21
1
( 9)( 3 2)
x xdx
x x x
;
5) S se calculeze integralele ( numitorul are rdcini reale multiple ) :
a)
2
21
1
( 1)dxx x ; b)2
2 21
1
( 2)
xdxx x
; c)1 2
20
1
( 1) ( 2)
xdxx x
;
d)3 3
2 22 ( 2) ( 1)
xdx
x x ;
6) S se calculeze integralele de funcii raionale ( numitorul arerdcini complexe simple ) :
a)1 2
20
3
( 1)( 1)
x xdx
x x
;b)
1
2 20 ( 1)( 4)
xdx
x x ;c)
1
2 20
2 1
( 1)( 2 2)
xdx
x x x
-
7/25/2019 XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite
6/7
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 29
7) Calculai :
a)
32
0
2 1
1x
dxx
; b)
1 2
3 2x
dxx
; c)
12
2
2
1
( 1)dx
x x; d)
1
0
3( 1)( 2)
xdx
x x
;
e)1
20 ( 1)( 2)
xdx
x x ; f)
2
21
2 1
( 1)
xdx
x x
; g)
2
2 21
1
( 1)
xdx
x x
;
h)
1 2
2 20 ( 4)( 1)
xdxx x ; i)
1 2
2 20
1
( 1)( 9)
x xdxx x
;8) S se calculeze :
a)3 2
2
2 51
x xdx
x
; b)2
2
2 5
( 1)
x xdx
x
; c)
3 2
32
2 5
( 1)
x xdx
x
9) Se consider funcia :[0,1]f ,1
( )1
xf x
x
. S se calculeze
1
0
( )f x dx ;
10) Se consider funcia : \ 0, 1f , 2 22 1
( ) ( 1)
xf x x x
.
a) S se verifice c2 2
1 1( )
( 1)f x
x x
;
b) S se calculeze4
1
( )f x dx ;
11) Se consider funcia : (1, )f ,2
1( )
( 1)( )f x
x x x
a) S se verifice c1 1 1
( )
2( 1) 2( 1)
f x
x x x
;
b) S se calculeze4
2
( )f x dx ;
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 30
4. Aplicaii ale integralei definite
Dac : ,f a b este continu ,
atunci aria mulimii A delimitat de graficulfunciei f , axa Ox i dreptele x a i x b
este egal cu ( )b
a
aria A f x dx .
Pentru calculul integralei se expliciteaz
( )f x , ,x a b .
Notm ,f g regiunea delimitat de
graficele funciilor f i gi dreptele
x a i x b . Atunci
, ( ) ( )
b
f ga
aria f x g x dx
O alt aplicaie a calculului integral ( a integralei definite ) oconstituie determinarea volumelor unor corpuri prin rotaia unorsuprafee n jurul unei axe de rotaie .
Corpurile astfel generate se numesc corpuri de rotaie .T.Dac : , 0,f a b este o funcie continu , atunci corpul de
rotaie determinat de f are volum i 2( )b
fa
vol C f x dx .
-
7/25/2019 XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite
7/7
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 31
EXERCIII PROPUSE
1) Se consider funcia :f ,2 , 0
( )1 , 0
xx e xf x
x x
. S se
determine volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei Ox agraficului funciei :[0,1] , ( ) ( )g x f x .
2) Se consider funciile , :f F , ( ) xf x xe i ( ) ( 1) xF x x e
a) S se verifice c funcia F este o primitiv a funciei f ;b) S se calculeze aria suprafeei plane determinate de graficulfunciei f , axa Ox i dreptele 0x i 1x .
3) Se consider funcia :f ,, 1
( )2 , 1
xe e xf x
x x
. S se
calculeze volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei Ox , agraficului funciei :[0,2] , ( ) ( )g x f x , [0,2]x .
4) Se consider funcia :f , ( ) xf x x e .
a) S se calculeze aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei
f , axa Ox i dreptele de ecuaii 0x i 1x ;b) S se determine volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axeiOx a graficului funciei :[0,1]g , ( ) ( ) ( )g x f x f x
5) Se consider funcia : 1,f ,1
( )(1 ln )
f xx x
. S se
determine numrul real 2(1, )a e astfel nct aria suprafeei plane ,
determinate de graficul funciei f , axa Ox , dreptele de ecuaii
x a i 2x e , s fie egal cu3
ln2
.
6) Se consider funcia :f , 2( ) 1xf x e x . S se determinearia suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei :g ,
( ) ( )xx xe f x , axa Ox i dreptele de ecuaii 0x i 1x .
7) Se consider funcia : (0, )f , ( ) lnf x x x . S se
calculeze aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei: [1, ]h e , ( ) ( )h x f x x , axa Ox i dreptele 1x i x e
SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 32
8) S se calculeze volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei Ox
, a graficului funciei :[0,1]g , ( ) 3 xg x .
9) Se consider funcia : [2, )f ,1 1
( )1
f xx x
. S se
determine areal , 2a astfel nct aria suprafeei plane , mrginitede graficul funciei f , axa Ox i dreptele de ecuaii 2x i x a ,s fie egal cu ln3 .10) Se consider funcia : (0, )g , ( ) lng x x x . S se
determine aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei g , axa
Ox i dreptele de ecuaii 1x i x e 11) Se consider funcia :[0,1]f , ( ) 1f x x . S se determine
volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei Ox , graficuluifunciei f .
12) Se consider funcia : (0, )f , 2( ) lnf x x x x . S se
determine aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei f , axaOx i dreptele de ecuaii 1x i x e .13) Se consider funcia : (0, )F , ( ) lnF x x x . S se
determine aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei F ,axa Ox i dreptele de ecuaii 1x i x e .
14) Se consider funcia : (0, )f ,1
( )f x xx
. S se
demonstreze c volumele corpurilor obinute prin rotaia n jurul axeiOx a graficelor funciilor , : [1, ]h e , ( ) ( )g x f x i
1( )h x f
x
sunt egale .
15) Se consider funcia :f , 2( ) 2xf x e x x . S se
calculeze aria suprafeei plane mrginite de graficul funciei
:[0,1]h ,2( ) 2
( )1x
f x x x h x
e
, axa Ox i dreptele de ecuaii
0x i 1x .