PRIETENII LUI

PITAGORARevista de matematică a elevilor din Şcoala “Nicolae Iorga”, Ploieşti

Nr.3, noiembrie,2009

Din sumar: Din istoria matematicii Probleme propuse

Matematica şi poezia Matematică distractivă

“ O teoremă e o scrisoare de dragoste către un necunoscut ,către acela care îi prinde nu numai înţelesul ,ci şi toate subînţelesurile ”. 

Grigore Moisil

1

MATEMATICA, un pas către gândirea logică

MOTTO: “Matematica într-o formă sau alta se află in orice act al nostru de gândire aşa

cum fiecare cuvânt scris cu cifre sau cu litere se află în fiecare ecuaţie.” Matematica este numită regina ştiinţelor.Fără ea ,multe lucruri n-ar putea fi explicate. Matematica este limba internaţională a minţilor ascuţite . Blaise Pascal spunea că „adevărul matematic ,indiferent unde ,la Paris sau la Toulouse ,este unul şi acelaşi.” Performanţa în matematică se obţine numai în urma unui program foatre sever de lucru.Multe ore dedicate poate unei singure probleme,multe întrebări care îşi caută răspuns şi multe ...”creioane roase”.Cel care va dori să înveţe matematica doar pentru notă se va strădui în zadar să o înţeleagă ,în schimb,cel care va întreba mereu „de ce?” acela are şanse de reuşită.Spre deosebire de alte materii la care învăţarea unei lecţii ne poate aduce un 10 ,la matematică totul este într-o înlănţuire perfectă astfel încât acel dorit 10 nu apare decât foarte greu,la sfârşitul unui capitol, an sau poate ciclu de învăţământ.

„Cu cât mai mult înveţi,cu atât mai mult ştii. Cu cât mai mult ştii ,cu atât mai mult uiţi. Dacă mai mult uiţi,mai puţin ştii.

Iar dacă mai puţin ştii,mai puţin uiţi. Dar dacă mai puţin uiţi,mai mult ştii. Atunci pentru ce să înveţi.”

Prof.PETRE CONSTANTA

2

“Învaţătura” e o perlă ,o avere mare ,pe care rudele n-o pot împărţi între ele, nici hoţii n-o pot fura şi care nu se împuţinează prin dăruire.”Nicolae Iorga

CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA“PRIETENII LUI PITAGORA”

Pe data de 6 iunie 2009 s-a desfăşurat la şcoala noastră ediţia I a Concursului Judeţean de Matematică “Prietenii lui Pitagora”.Concursul s-a adresat tuturor elevilor de gimnaziu din judeţ şi a dat posibilitatea acestora să-şi verifice cunoştinţele asimilate pe parcursul întregului an şcolar.Coordonatorii concursului au fost profesorii de matematica din şcoala noastră :Iancu Veronica,Apostol Adelina si Petre Constanţa.La concurs au participat elevi de la scoala noastra,de la şcoli din oraş şi din judeţ.Dintre acestea amintim:” C.N.I.L.Caragiale”Ploieşti,Scoala cu clasele I-VIII” Sf.Vineri ”Ploiesti,Scoala cu clasele I-VIII”Ienachiţă Văcărescu “,Ploiesti,Şcoala cu clasele I-VIII” Ioan Grigorescu”Ploieşti,de asemenea elevi de la scoli din Mizil, Câmpina, Poiana Tapului ,Târgşorul Vechi si altele. De la scoala noastra dintre elevii participanti s-au evidentiat urmatorii:CLASA aV-a1.Ivănescu Mihai V-A premiul I prof .Apostol Adelina 2.Marin Andrei V-A premiul III prof. Apostol Adelina F 3.Oana Cătălin V-B premiul III prof. Iancu Veronica4.Mihai Tiberiu V-C premiul III prof. Petre Constanţa E 5.Borş Gabriel V-A mentiune prof. Apostol Adelina6.Istrate Marina V-A mentiune prof. Apostol Adelina L 7.Lungu Claudiu V-B mentiune prof. Iancu Veronica8.Marinescu Ruxandra V-B mentiune prof. Iancu Veronica I9.Popescu Ştefan V-B mentiune prof. Iancu Veronica10.Manea Diana V-B mentiune prof. Iancu Veronica CCLASAaVI-a I1.Marin Maria VI-A premiul I prof. Apostol Adelina2.Velicu Alexandra VI-A premiul III prof. Apostol Adelina T3.Ştefan Ana VI-A premiul III prof. Apostol Adelina4.Popan Claudiu VI-D premiul III prof. Petre Constanţa Ă5.Sârbu Corina VI-A mentiune prof. Apostol Adelina6.Cîmpeanu Lucian VI-D mentiune prof. Petre Constanţa RCLASA aVII-a 1..Sin Florina VII-C premiul I prof.Petre Constanţa I2.Burcuşi Mădălina VII-C premiul III prof. Apostol Adelina 3.Ghiţă Iuliana VII-A premiul III prof. Iancu Veronica

4.Stan Roxana VII-A mentiune prof.Iancu Veronica ! CLASA a VIII-a1.Gheorghe Florin VIII-A premiul I prof.Petre Constanţa2.Huianu Bogdan VIII-A premiul III prof.Petre Constanţa3.Copăceanu Adrian VIII-A mentiune prof.Petre Constanţa

Realizat de Prof.Petre Constanţa3

Matematicieni romani Alexandru Orascu Alexandru Orascu. a publicat cu litere chirilice “ Tratatia asupra geometriei descriptive”, traducere dupa Lefebure de Fourcy, a fost profesor de matematica( geometrie descriptiva), la Universitatea din Bucuresti. Orascu s-a nascut la Targoviste, la 30 august 1871, ca fiu al serdarului Hristea Orascu. Parintii l-au dat sa urmeze la Bucuresti Colegiul Sf. Sava( 1831- 1841). Dupa ce a absolvit acest colegiu si dupa ce la 8 martie 1840 a obtinut diploma de hotarnic eliberata de Directia Eforiei scolilor, a plecat la Berlin pe cheltuiala parintilor sai, unde a studiat arhitectura; apoi, pentru specializare, a stat un timp la Munchen si Paris. De la Munchen a obtinut la 4 martie 1847 certificat de absolvire a studiilor de arhictura, eliberat de Academia de Belle Arte din acest oras. Mai inainte, la 3 aprilie 1844 obtinuse un certificat de absolvire a Scolii de constructii din Munchen. De la studii revine in tara in 1847, deci in preajma revolutiei din 1848, la care ia parte cu tot avantul celor 31 de ani ce-I avea. La 30 septembrie 1847 a fost numit profesor la Colegiul Sf. Sava. A intrat la divanul ad-hoc de dupa 1848, ca secretar al acestui divan. A cerut deci si el cele 4 puncte: autonimia tarii, domn strain, unirea si regim constitutional. In anul 1851 era director si preda geometria descriptiva la Scoala de conductori( constructori) de poduri si sosele, iar dupa 1855 profesor de arhitectura si poduri si sosele la Scoala de ofiteri, infiintata de Barbu Stirbei. In anul 1857 era profesor la Colegiul Sf. Sava, la clasele superioare, predand matematica. Dupa infiintarea Scolii superioare de stiinte din Bucuresti( octombrie 1863), a fost numit aici profesor de geometrie descriptiva si arhitectura, apoi in noiembrie 1864, la infiintarea universitatii, a ramas in continuare profesor la aceeasi catedra la Facultatea de stiinte, unde a functionat pana in 1864. In urma a ajuns rector al Universitatii din Bucuresti( mai 1885-1892). Cu ocazia aniversarii a 25 de ani de la infiintarea universitatii a tinut un discurs, care a fost publicat. . Ilie Elena Cls a 7 a D

4

„Matematicile pun în joc puteri sufletști care nu sunt cu mult diferite de cele

solicitate de poezie și arte.”

Ion Barbu

ION BARBU - DAN BARBILIAN (1895 -1961) „Există undeva, în domeniul geometriei, un loc luminos unde se întîlneşte cu poezia [. ..] Ca şi în geometrie, înţeleg prin poezie o anumită simbolică pentru reprezentarea formelor posibile de existenţă." Aşa scria marele poet Ion Barbu, pseudonimul literar al matematicianului Dan Barbilian. Intr-adevăr, toţi acei care l-au cunoscut pe matematicianul Dan Barbilian au rămas impresionaţi de profunzimea raţionamentului său matematic, de puterea intuiţiei sale ştiinţifice, de aria întinsă a preocupărilor sale, care cuprindea atît geometria proiectivă cît şi algebra modernă, axiomatizarea matematicii, dar şi a mecanicii. Lecţiile sale, ţinute în amfiteatrul „Spiru Haret" al Facultăţii de Matematică de la Universitatea din Bucureşti erau, de fiecare dată, remarcabile creaţii, în sensul cel mai adevărat al noţiunii: profesorul cu plete de poet şi cu ochi vii, profunzi, crea, în faţa studenţilor, universuri strălucitoare ale raţionamentului, iar auditoriul, uimit, îl urmărea în lumea fascinantă a matematicii pure. Nu mai puţin captivaţi erau şi literaţii care beneficiau de vraja personalităţii sale unice. Iar azi, cu mult mai mulţi sînt acei care citesc şi recitesc versurile poetului Ion Barbu - unul dintre cei trei mari „B" ai poeziei interbelice (Lucian Blaga, Ion Barbu, George Bacovia). Istoria culturii umane nu prezintă decît foarte puţine cazuri de mari poeţi care în acelaşi timp să fi fost şi mari oameni de ştiinţă. Să-1 amintim pe ilustrul matematician -poet persan medieval Omar Khayyam. Dan Barbilian poate fi considerat în filiaţia acestuia. Născut în 1895 la Cîmpulung-Muscel (ca fiu al unui judecător) a început acolo şi cursurile şcolii primare. Urmîndu-şi părinţii care, după necesităţile serviciului, trebuiau să schimbe adesea domiciliul, tînărul elev frecventează şcoli din diferite oraşe (remarcat încă din liceu de Gh. Ţiţeica la un concurs al „Gazetei matematice"), pentru ca primul război mondial să marcheze apoi o întrerupere a şcolarităţii, el participînd la războiul din 1916-1918. Matematica şi poezia îl atrag deopotrivă. Urmează pînă la urmă matematicile şi îşi ia ulterior doctoratul în matematici (1929), cultivînd,

5

simultan, o poezie de o factură cu totul nouă. Se impune pe plan beletristic prin volumul Joc secund, placheta După melci, ca şi printr-o serie de scrieri în proză, unele de polemică literară, altele cu interesante consideraţii asupra matematicii.

Timp de cîţiva ani a predat matematica în învăţămîntul secundar, la Giurgiu şi Bucureşti (1925-1929), dar încă din 1926 îşi începe cariera în învăţămîntul superior din Bucureşti, predînd geometria, algebra, teoria numerelor, teoria grupurilor, axiomatica şi ţinînd prelegeri la universităţi din Austria şi Germania. De asemenea a participat la numeroase manifestări ştiinţifice internaţionale. Moştenirea sa matematică cuprinde, în primul rînd, crearea unei şcoli de gîndire orientată spre ceea ce am putea numi matematica secolului nostru, în care axiomatica ocupă un loc de seamă. Savantul Barbilian a introdus în ştiinţă noi concepte, denumite, pe drept cuvînt, spaţii Barbilian.

Fără nici o îndoială, poetul Ion Barbu a rămas în istoria literaturii române, la fel după cum Dan Barbilian a intrat în istoria ştiinţei mondiale. Cu toate acestea a scris: „Mă stimez mai mult ca practician al matematicilor şi prea puţin ca poet, şi numai atît cît poezia aminteşte de geometrie".

Poate e o dovadă de modestie literară, căci pentru posteritate el este la fel de mare şi ca matematician şi ca poet.

Pytagora

In calmul multor zile de drumuri lungi pe mare Spre sanul adancimei fluide am privit;Iar ochiul meu launtric e inca napaditDe-a umbrei si-a culorii bobata-amalgamare;

Cand repezi, cand sticloase, si umede si rare,In orbul marii limpezi – tezaur negrait –Rasfrangeri fara numar, pe rand au oglinditMultipla apatenta vecinica schimbare.

Dar mai apoi Crotona, cu zidul dorian,M-au despatit de-a pururi de glaucul noian...O , Ion ... Duhul Spartei incrunta stramta zare;Si sus, prin golul noptii – mai trist si mai sever – Cetatea siderala in stricta-i descarnare Isi dezveleste –n Numar vertebra ei de fier .....

NECULA MIRUNA clasa a VI-a B

6

Spiru Haret (n. 15 februarie 1851, Iaşi; d. 17 decembrie 1912, Bucureşti), academician, matematician, pedagog român, reformator al învăţământului românesc.

În septembrie 1862 a intrat la Liceul Sf. Sava din Bucureşti, unde a petrecut cinci ani din şapte intern.

Ca profesor, Spiru Haret a predat la Universitatea din Bucureşti, la Facultatea de ştiinţe, secţia fizico-matematici, mecanica raţională , din 1878 până în 1910. La Şcoala de poduri şi şosele Haret a fost numit profesor la anul preparator , predând trigonometria, geometria analitică, geometria elementară plană şi în spaţiu şi geometria descriptivă, până în 1885. Din 1885 şi până în 1910 Haret nu a mai predat la Şcoala de poduri şi şosele decât geometria analitică.

Haret a predat, de asemenea, mecanica raţională la Şcoala de ofiţeri de artileri şi geniu, din 1881 (data înfiinţării secţiei de artilerie şi geniu) până în 1890.

Profesează până în 1910, când se pensionează, ba chiar şi după aceea, până la moarte, ţinând prelegeri de popularizare la Universitatea populară. În 1910 publică Mecanica socială, la Paris şi Bucureşti, utilizând pentru prima oară, matematica în explicarea şi înţelegerea fenomenelor sociale.

Marile realizări ale lui Haret nu sunt totuşi în ştiinţă. Din 1879 se face cunoscut drept "om al şcolii", urmând o viaţă de inspector şi de om politic, lucrând în favoarea şcolii şi a educaţiei. El a fost poate cel mai mare reformator al şcolii româneşti din secolul al XIX-lea.

GOICEA SORIN GABRIEL

CLASA A-V-A A 7

EUCLID

Euclid din Alexandria ( originar din Damasc(ca. 325 î.Hr, 265 î.Hr) a fost un matematician grec care a trăit şi predat în Alexandria în Egipt în timpul domniei lui Ptolemeu I (323 î.Hr – 283 î.Hr).

EUCLID

În afara de Stihia în traducere românească Elementele ,tradusa în peste 300 de limbi şi în care pune bazele geometriei plane şi spatiale şi ale aritmeticii, au mai rămas câteva cărţi dintre care se amintesc: Datele, lucrare ce cuprinde teoreme şi probleme care completează Elementele şi Optica, privită ca o geometrie a "razei vizuale". A iniţiat tradiţia de a indica sfârşitul unei demonstraţii prin cuvintele: ceea ce era de demonstrat.

Într-o anecdotă, scrisă după 800 de ani de la moartea sa, se povesteşte că Ptolomeu l-ar fi rugat pe Euclid să-i arate o cale mai uşoară ca să înţeleagă geometria, iar Euclid ar fi răspuns: „În geometrie nu există drumuri speciale pentru regi”.

Cărţile I-IV se ocupă de geometria plană:

În tomul I găsim propoziţiiile de bază ale geometriei: Teorema lui Pitagora, unghiuri, arii, paralelisme, suma unghiurilor unui triunghi, cazurile de egalitate ale triunghiurilor.

Cartea II mai este denumită şi Cartea algebrei geometrice: Geometria este studiată cu ajutorul algebrei.

8

A III-a carte se ocupă de cerc şi proprietăţile sale: unghi înscris în cerc, puterea unui punct faţă de un cerc, tangentă

Volumul IV tratează triunghiurile şi poligoanele regulate înscrise în cerc.

În cărţile V-X intervin proporţiile: Volumul V tratează proporţiile dintre mărimi. Cartea VI aplică proporţiile în geometrie: Teorema lui Thales, figuri asemenea. Cartea VII se ocupă cu teoria numerelor: divizibilitate, numere prime, cel mai mare divizor comun, cel

mai mic multiplu comun. Al IX-lea tom aplică rezultatele din cele două precedente: infinitatea numerelor prime, suma unei serii

geometrice, numere perfecte. Volumul X încearcă să sistematizeze numerele incomensurabile (numerele iraţionale).

Cărţile XI-XIII sunt dedicate geometrie în spaţiu: Cartea XI generalizează în spaţiu conţinutul volumelor I-VI: perpendicularitate, paralelism, volumul

paralelipipedului. Cartea XII calculează ariile şi volumele prin metoda exhaustiunii la: con, piramidă, cilindru, sferă. Cartea XIII generalizează în spaţiu conţinutul cărţii IV: secţiunea de aur, cele cinci poliedre regulate

înscrise în sferă.

„O întreagă teorie cu figuri ,dar nu cu fiţe,

Dumnealui avea să scrie în lucrarea „ELEMENTE”.

Încă din antichitate,axiomele-i celebre au rămas

Intacte-aproape şi-or străbate peste veacuri

Nicovala şi ciocanul scăriţa şi chiar timpanul..”

Realizat de MIHAI TIBERIU

Clasa aVI-A C

ŞTIAŢI CĂ ..?9

Simbolurile matematice….

„În ochii unui neiniţiat simbolurile matematice sunt ca stindardurile duşmanilor, care se înalţă deasupra unui bastion de neînvins.”

Morris Kline

„Simbolul matematic este semnul care reprezintă noţiuni, obiecte sau operaţii matematice.” (DEX) . Simbolistica folosită pentru redarea operaţiilor aritmetice are o istorie interesantă, strâns legată de dezvoltarea societăţii omeneşti.

Simbolurile pentru operaţiile de adunare şi scădere

Simbolurile “+”şi “-” au apărut pentru prima oară tipărite în “Mercantile Arithmetic” (Aritmetica comercială) a lui Johann Widmann, publicată în Leipzig în 1489, dar se întâlnesc de asemenea şi în manuscrisele lui Leonardo da Vinci. Ele nu se refereau însă la adunare şi scădere, sau la pozitivitatea şi negativitatea numerelor, ci exprimau surplusul şi deficitul în problemele economice. În matematica românească simbolurile “+”şi “-” au fost introduse de T. Iancovici (1777), fiind frecvent folosite de G. Obradovici (1805), Gh. Şincai (1906), Gh. Lazăr (1821), etc., datorită cărora s-au impus sub această formă. Semnele de +şi - erau folosite de dinainte de a apărea tipărite (de ex. ele erau însemnate pe butoaie pentru a indica dacă acestea erau sau nu pline). Egiptenii foloseau ca simboluri pentru adunare şi pentru scădere, o persoană care vine respectiv pleacă, iar matematicianul francez Nicholas Chuquet nota în 1484 adunarea prin “p” de la plus şi scderea cu “m “ de la minus.

Simbolurile pentru înmulţire Dintre simbolurile pentru înmulţire „×” a fost folosit de William Oughtred (1574 - 1660) în “Clavis Mathematicae” (Cheia matematicii) scrisă în 1628 şi publicată la Londra în 1631. Aceasta era denumită „Crucea Sfântului Andrei”. Punctul “·” a fost propus în 1631 de Harriot Thomas (1560 - 1621) şi impus ca simbol pentru înmulţire de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). În 29 iulie 1698 el scria într-o scrisoare către John Bernoulli:”Nu îmi place semnul “×” ca simbol pentru înmulţire, deoarece este foarte uşor de confundat cu litera x.” .

Simbolurile pentru împărţire Simbolul actual pentru împărţire „:” a fost propus de Leibniz în “Acta Eruditorum” (Jurnalul savanţilor) 1684,cartea în care pune bazele logisticii matematice, fiind anterior folosit de William Oughtred în 1657.

Prof.PETRE CONSTANTA

10

Curiozitati din lumea matematicii

Stiati ca … Un numar natural intreg, ridicat la patrat, poate genera

un rezultat remarcabil prin simplitatea si frumusetea lui? Ca de exemplu, numarul 111.111.111. Inmultit cu sine insusi, da urmatorul rezultat: 12.345.678.987.654.321.

Numele de Google este o greseala de ortografie? Initial trebuia sa se numeasca Googol, un termen din matematica si a fost inventat de Milton Sirotta, nepotul de 9 ani al matematicianului american Edward Kasner. Motorul de cautare urma sa primeasca acest nume datorita rolului pe care-l are: de a organiza cantitatea imensa de informatie disponibila pe web.

Parantezele au fost folosite prima dată de Girard ( 1595 - 1632) în anul 1629?

Semnele ( <), (>) au fost introduse de matematicianul englez Harriot ( 1560- 1621)?

Daca iei orice numar intre 1 si 9 si il inmultesti cu 9 ,suma celor doua numere din rezultat va fi intodeauna 9?

Daca iei orice numar,il dublezi,adunni 10 ,imparti prin 2, si apoi scazi numarul initial ,raspunsul va fi 5?

Primul “calculator” apare in 1623 si este realizat de Wilhelm Schickard? Masina este denumita Speeding Clock si putea face singura adunari si scaderi dar numai cu numere compuse din maxim 6 cifre.

Primul exercitiu matematic care utiliza inductia matematica apare in 1575? Acesta demonstra ca suma primelor N numere naturale impare este egala cu N la puterea 2.

Dascalescu Andreea Cristina cls. a VII-a D

11

Stiati ca.- In anul 2700 i. Hr. egiptenii introduc calendarul bazat pe 365 de zile.- In anul 2400 i. Hr. in Mesopotamia se dezvolta sistemul de numeratie pozitional in baza 60. Numarul 60 este ales, probabil, ca o consecinta a listei mari de divizori ai acestui numar (adica 12 divizori). - Sumerienii utilizeaza un calendar solar de 360 de zile impartit in 12 luni. - In anul 1800 i. Hr. mesopotamienii alcatuiesc primele tabele de inmultire.- In anul 585 i. Hr. utilizand proprietatile de divizibilitate a numerelor, Thales din Milet (636 - 546 i. Hr.) prezice o eclipsa de Soare.- In anul 500 i. Hr. pitagorienii, lucrand cu numere reprezentate prin figuri, atribuie cate un sex fiecarui numar, cele impare sunt de sex masculin, cele pare, de sex feminin. Tot ei introduc notiunile de numar prim, numar compus, numere relative prime, numere prime perfecte, numere prietene (amiabile).- Un numar este PERFECT daca suma S a divizorilor sai (exceptand numarul insusi) este egala cu numarul dat N. Daca S > N, atunci numarul este SUPRAPERFECT, iar daca S < N, numarul este IMPERFECT. ** Exemple de numere perfecte: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.** Exemple de numere supraperfecte: 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6; 18 < 1 + 2 + 3 + 6 + 9; 20 < 1 + 2 + 4 + 5 + 10. ** Exemple de numere imperfecte:

12

14 > 1 + 2 + 7; 16 > 1 + 2 + 4 + 8; 22 > 1 + 2 + 11.- Numerele prietene (amiabile) sunt numerele care au proprietatea ca fiecare este egal cu suma divizorilor celuilalt. Lui Pitagora ((570 - 500 i. Hr.) sau (580 - 496 i. Hr.)) i se atribuie gasirea primei perechi de numere prietene: 220 si 284.220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142; 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110. - In anul 440 i. Hr. Meton din Atena dezvolta conceptul de ciclu metonic, o perioada de aproximativ 19 ani, in care miscarea Soarelui si a Lunii observate de pe Pamant par a se suprapune. Acest ciclu sta la baza calendarelor grecesc si evreiesc.- In anul 300 i. Hr. Euclid (330 - 275 i. Hr.) prezinta o formula a numerelor perfecte si anume: 2 p -1 . (2 p - 1 ), unde p si 2 p - 1 sunt numere prime. - In anul 230 i. Hr. Eratostene din Cyrene (275 - 195 i. Hr.) dezvolta o metoda de determinare a tuturor numerelor prime mai mici decat un numar dat: Ciurul lui Eratostene.- In anul 180 i. Hr. intr-o lucrare de astronomie Hypsicles introduce uzanta impartirii cerului in 360 de grade in matematica greaca.- In anul 46 i. Hr. Iulius Cezar introduce, la sfatul astronomului Sosinge, calendarul compus din trei ani de 365 de zile si un an de 366 de zile - In anul 100 d. Hr. Nichomachus din Gerasa (secolul 1 - 2) strange laolalta toate cunostintele vremii in domeniul teoriei numerelor. Sunt prezentate cele patru numere perfecte cunoscute: 6, 28, 416 si 8128.- In anul 250 d. Hr. intr-un tratat de matematica a chinezului Sun - Tzi (secolul 3) apare problema: "Sa se gaseasca un numar care impartit prin 3, 5, 7 sa dea resturile 2, 3, respectiv 4", problema provenita din necesitatea intocmirii calendarului. In algebra moderna, o astfel de problema poarta numele de "lema chineza a restului". Ionita Alexandru-8b

PROBLEME PROPUSEConcursul de matematica “ Prietenii lui Pitagora”Scoala “Nicolae Iorga”

13

Clasa a V-a Ploiesti-iunie-2009Subiecte:I. Pe foaia de concurs completati spatiile libere cu raspunsurile corecte:1. Suma primilor 16 termeni ai sirului 1, 01; 2, 002; 3, 0003; 4, 00004; 5, 000005 ... este ...2. Daca a si b sunt numere naturale nenule care indeplinesc conditia 3 ∙ a ∙ b + a = 63, atunci a =... 3. Valoarea numarului: n = 2001∙ 2002 ∙ 2003 – 2001 ∙ 20022 – 2000 ∙ 2002 este numarul ... 4. Numarul numerelor de opt cifre contin in scrierea lor numarul 2009 este ... II. Pe foaia de concurs, pentru fiecare problema umpleti cerculetul de la varianta corecta.5. Care este numarul maxim de patrate ce se pot forma din 24 bete de chibrit?

a) 6 b) 16 c) 10 d) 14 e) 96. Fie cifrele a si b astfel incat + = 165. Valoarea sumei a + b este un numar egal cu:

a) 25 b) 15 c) 100 d) 65 e) 1657. Ordinea descrescatoare a numerelor: , , , daca a < b este:

a) , , , b) , , , c) , , , d) , , , e) , , ,

III. Pe foaia de concurs asociati fiecarui numar din coloana A raspunsul corect din coloana B8. Daca x y si z sunt numere naturale distincte astfel incat xy + 3z = 19, atunci:

A B 1. numarul de perechi de numere care verifica relatia este a. 192. maximul sumei x + y + z este ... b. 153. maximul produsului xyz este ... c. 14 4. cea mai mare valoare a lui x este ... d. 20

e. 30

9. O echipa de muncitori a realizat in prima zi din numarul de piese pe care trebuia sa le realizeze, a

doua zi din rest, a treia zi din noul rest si in ultima zi restul de 60 de piese. Aflati numarul de

piese executate zilnic. A B 1. prima zi a. 80 2. a doua zi b. 60 3. a treia zi c. 20 4. a patra zi d. 40 e. 30 10. Un paralelipiped dreptunghic are dimnesiunile L=1,5 dm, l=20cm î=10 dm

A B 1. volumul paralelipipedului este ... a.30 d.22,5 2. aria bazei este ... b.26 e.12,5 3. daca in paralelipiped se pun 0,004 m3 nisip cati litri de apa sunt c.3

necesari pentru a-l umple?

4.daca din paralelipipedul plin cu apa se varsa din lichid care este

in litri cantitatea de apa ramasa in vas? Nota: Fiecare problema se noteaza cu 10 puncte Timp de lucru 75 de minute Intocmit:Prof. Iancu Veronica Prof. Apostol Adelina si Prof.Petre Constanta

PROBLEME PROPUSEConcursul de matematica “ Prietenii lui Pitagora”-Scoala “ Nicolae Iorga”

Clasa a VI-a Ploiesti, iunie-200914

Subiecte:I. Pe foaia de concurs completati spatiile libere cu raspunsurile corecte:1. Daca intr-o clasa se aseaza doi elevi intr-o banca raman patru banci libere. Daca elevii se aseaza cate trei intr-o banca raman opt banci libere. Cati elevi si cate banci sunt in clasa? 2. Un unghi are masura egala cu o cincime din masura complementului sau. Aflati masura unghiului format de bisectoarea complementului sau cu laturile acestuia. 3. Numarul maxim de unghiuri formate in jurul unui punct avand masurile numere naturale distincte este ...

4. Rezultatul calculului: + + + ... + este ...

II. Pe foaia de concurs, pentru fiecare problema umpleti cerculetul de la varianta corecta.5. Cate numere de forma N = + cu a b exista? a) 81 b) 20 c) 15 d) 36 e) 906. De cate ori intr-o zi acele unui ceasornic formeaza triunghiuri de 90°? a) 36 ori c) 24 ori e) 60 ori b) 96 ori d) 48 ori 7. Ecuatia x + (x -1)3 + ( x – 2)5 + (x – 3)7 = 12 are in multimea numerelor intregi: a) doua solutii b) o solutie c) nici o solutie d) trei solutii e) patru solutii

III. Pe foaia de concurs asociati fiecarui numar din coloana A raspunsul corect din coloana B8. Din elevii unei clase 20 % merg la munte, 40% merg la mare, 16 % la mare si la munte, 24% numai la bunici si restul de 8 elevi raman acasa.

A B 1. la munte merg ... a. 102. numai la mare merg ... b. 153. la mare merg ... c. 64. nu merg la mare ... d. 5

9.Daca x; y si z sunt numere naturale astfel incat: x + = , atunci

A B1. x = ... a. 5 e.72. y = ... b. 13. z = ... c. 24. y – x = ... d. 3 10. Daca Δ ABC este isoscel de baza (BC), m (<A) = 40°, unghiul < ACD este unghi exterior al Δ ABC, perpendiculara in A pe AB si bisectoarea < ACD sunt concurente in E, atunci: A B1. m (< ACB) a. 55°

2. m (< ECD) b. 50° 3. m (< AEC) c. 70°

4. m (< EAC) d. 75°

e. 78°

Nota: Fiecare problema se noteaza cu 10 puncte Timp de lucru 75 de minute Intocmit:Prof.Apostol Adelina

PROBLEME PROPUSEConcursul de matematica “ Prietenii lui Pitagora” –Scoala “ Nicolae Iorga “

Clasa a VII-a Ploiesti, iunie-2009Subiecte:

15

I. Pe foaia de concurs completati spatiile libere cu raspunsurile corecte:

1. Daca numarul A = este un numar prim si a Z atunci a este egal cu

… 2. Suma elementelor multimii A = x N / x – 2 x - 2 este ...

3. Solutia in multimea numerelor naturale a ecuatiei x + + = unde y 0; z 0 este ...

4. Urmatorul termen al sirului: 1;2;6;39;1525; ... este: ... II. Pe foaia de concurs, pentru fiecare problema umpleti cerculetul de la varianta corecta.5. Un obiect are acelasi pret in doua magazine. In primul magazin pretul a fost majorat cu p% si apoi ieftinit cu p%. In al doilea magazin pretul a fost ieftinit cu 16% obtinandu-se acelasi pret. Atunci p% este: a) 50% b) 25% c) 40% d) 16% 6. Numerele intregi care sunt solutiile ecuatiei

sunt :

a) 3 si 5 b) 3 si -5 c) 1 si 2 d) -2 si 3 e) 3 si -2

7. Fie Δ ABC echilateral si punctul M (BC), N (AC) astfel incat (AN) (MC). Daca AM BN = {D}, atunci masura unghiului < BDM este egala cu …a) 60° b) 45° c) 30° d) alt raspuns e)90°

III. Pe foaia de concurs asociati fiecarui numar din coloana A raspunsul corect din coloana B8. Se considera cercul C(o,r) cu r = 8 cm, A si B doua puncte de pe cerc astfel incat m()=30°Atunci:

A B1. d(O, AB) este ... a. 120°

2. AB=... b. 8 cm3. m( )=... c. 4 cm4.AAOB =... d. 60°

e. 32 cm2

f. 16 cm2

9. In triunghiul dreptunghic ABC, m ( ) =90°, avem AD BC, D (BC) si DE bisectoarea unghiului ADC, E (AC). Daca DE = 3 cm, EC= 5 cm si EF // AD atunci:

A B

1. FD=… a.

2. DC=… b. 3 cm 3. AC=… c. 7 cm

4. P ABC =… d. cm

e. cm10. Intr-un depozit sunt doua butoaie de vin avand cate 480 litri. Intr-un minut din primul curg 5 litri de vin, iar din al doilea 4 litri.Atunci:

16

A B1. Peste cat timp va fi de doua ori mai mult vin in al doilea butoi a.60 decat in primul daca butoaiele se deschid simultan? b.24

2. Cati litri de vin mai erau in al doilea butoi atunci cand primul c.80butoi s-a golit? d.963. Dupa cate minute ar trebui deschis primul butoi pentru ca e.64ambele butoaie sa se goleasca simultan? 4. In cat timp s-ar goli 3/4 din ambele butoaie daca s-ar scurge simultan 6 l de vin pe minut?

Nota: Fiecare problema se noteaza cu 10 puncte Timp de lucru 75 de minute

Intocmit: Prof. Iancu Veronica Prof. Apostol Adelina

Prof. Petre Constanta

PROBLEME PROPUSEConcursul de matematica “ Prietenii lui Pitagora”-Scoala “Nicolae Iorga”

Clasa a VIII-a Ploiesti ,iunie-2009Subiecte:

I. Pe foaia de concurs completati spatiile libere cu raspunsurile corecte:1. Daca x,y, si z sunt numere reala astfel incat: 4x + y + 2z + 4x + 7 - 2yz + 2y =0, atunci (x;y ;z) este (..., ..., ...)

17

2. Daca = · , atunci x= …

3.Tatal are 32 de ani, mama are 29 de ani si copiii au 4 ani respectiv 1 an. Suma varstelor membrilor familiei va fi 90 de ani peste a ani si suma varstelor membrilor familiei a fost de 56 de ani cu b ani in urma.

Atunci =….

4. Fie ABCDA’B’C’D’ paralelipiped dreptunghic avand dimensiuneile AB=4 cm; BC= 4 cm, AA’=8 cm. Fie M astfel incit AC=4 ∙AM si C’M A`O = , unde AC BD=Lungimea segmentului MN este egala cu ………..

II. Pe foaia de concurs, pentru fiecare problema umpleti cerculetul de la varianta corecta.

5. Daca x si y sunt numere reale nenule astfel incat x - 2x + y = = atunci y (x-y) este:

a) patrat perfect b) cub perfect c)numar prim d) alt raspuns e) -1

6. Fie A = si B = Numarul functiilor definite pe A cu valori in B este:a) 90 b)100 c) 120 … d)80… e) alt raspuns

7.Dintr-un cilindru circular drept din plastilina avand raza 4 cm si generatoarea 10 cm se confectioneaza sfere cu raza de 1 cm. Numarul maxim de sfere care se pot confectiona este:a) 140 b)110 c)105 d)120 e) alt raspuns

III. Pe foaia de concurs asociati fiecarui numar din coloana A raspunsul corect din coloana B

8. Daca x + = , atunci :

A B1. x = ... a. 42. y = ... b. 33. z = ... c.14. n = ... d.2

9. Fie triunghiul ABC isoscel cu AB=AC= cm si BC = 8 cm. In centrul de greutate al ABC construim GV (ABC), GV=12 cm. Atunci:

A B

1. BV=... a. cm

2. d(V; BC)= ... b. 3 cm3. VA=... c. 13 cm4. d( V; AB)= ... d. 6 cm

18

10. Se da ecuatia = , unde x R. Atunci:A B

1. Numarul solutiilor ecuatiei este ... a.

2. Suma solutiilor ecuatiei este... b. 43. Cea mai mare dintre solutiile ecuatiei este... c. 24. Dublul sumei partilor intregi ale solutiilor ecuatiei este... d. 1

e.

Nota: Fiecare problema se noteaza cu 10 puncte Timp de lucru 75 de minute

Intocmit:Prof. Apostol Adelina

19

Probleme propuse Clasa a VII-a 1.Printr-un punct X din interiorul unui triunghi ABC ducem la MN || BC si PQ || AB, unde M apartine AB, P apartine BC, iar N,Q apartine AC. Notam a,b,c,d distantele de la punctele M,B,X, respectiv P la AC. Aratati ca a + d = b + c. 2.Fie triunghiul ABC si mediana AM. Daca R,T,P sunt mijloacele segmentelor (AM) , (BR) , (CT) si aria (RTP) = 4, aflati aria (ABC). 3. Determinati 3 numere prime a<b<c care indeplinesc conditiile ab = c+1 si a+ b = c, apoi determinati numerele naturale ,y,z care sunt proportionale cu a,b,c si 2x + 3y – z =64. Clasa a VIII-a 1.Aflati toate numerele x,y,z apartin lui N care verifica ecuatia: 2z + 21 = (x + y)(5z + 7). 2.Numerele naturale x,y,z impartite la 28, dau resturile 27,26, respective 25. Care este cel mai mic numar natural n pentru care numarul (n + 1)x + ny + (n-1)z se divide cu 7 ? 3.Un numar natural da restul r la impartirea cu 6, iar cubul acelui numar natural da restul 3r la impartirea cu 216. Cat este r ? Stan Roxana Clasa a VIII-a A.

20

1) Un mosneag si o babă aveau un cocoş pe care s-au hotărât să-l vândă la piaţă.Baba i-a spus moşneagului să-l vândă cu 20 lei .Moşneagul când a ajuns în piaţă a gasit 2 băieti  de la care a cerut 25 de lei .Se intelege că unul a dat 12.50 si unul 12.50.Moşneagul a băgat 20 lei in buzunar pentru babă(banii pe care i-a cerut baba),iar cu ceilalti 5 lei a intrat la crâşmă,dar nu a cheltuit decât 3 lei.Ieşind de la crâşmă s-a îtâlnit cu băieţii care aveau cocoşul şi le-a spus:măi băieti v-am luat prea mult pe cocoş ,aşa că vă dau câte un leu înapoi.Acum băieţii nu mai dăduseră cate 12.50 de fiecare ci câte 11.50 lei..Tinând cont că 11.50 + 11.50 =23 + 3 lei pe care i-a băut moşneagul in crâşma =26 lei,de unde iese 1 leu in plus ?

2) O doamnă se duce la piată pentru a vinde ouă de raţă.Vine primul cumpărător si cumpără jumătate din ouăle pe care le avea doamna şi încă o jumatate de ou.Vine cel de-al doilea cumpărător si cumpără jumatate din ouale rămase si încă o jumatate de ou.Vine si cel de-al treilea cumpărător si cumpără jumatate din ouale rămase si încă o jumătate de ou.Ştiind că doamna nu a mai rămas cu nici un ou aflaţi cu câte ouă a venit doamna la piaţă şi câte ouă a cumpărat fiecare cumpărător. 

3)  Trei tipi iau o cameră de hotel care costă 30€, fiecare plătind câte 10€. Directorul decide să reducă preţul la 25€, deci cheamă camerista si-i dă 5€ pentru a-i restitui tipilor. Camerista nu primise bacşis şi nu ştia cum sa impartă la 3 cei 5€. Îşi opreşte 2€ şi restituie 3€. Acum cei trei au cheltuit 27€, iar camerista are 2€, total 29€. Unde e 1€?

Vrabiuta Marilena

Cls. a VII- a D

21

22

3. Numerotarea paginilor

După câte stiti, fiecare carte are paginile numerotate. Pentru a numerota un volum, un tipograf a avut nevoie de 2 989 cifre. Puteti socoti câte pagini a avut în total acest volum?

4. Indreptati greseala

5.Ghicirea sumelor punctelor de pe fetele ascunse

Realizat de RADULESCU MADALINA Clasa aVIII-a B

23

1.Ca în oglindă Ce remarci diferit la cele două înmulţiri? 23x12=276; 32x21=672 Se observă că inversând ordinea factorilor s-au obţinut la

produse numere formate cu aceleaşi cifre,doar că şi ele sunt aşezate in ordine inversă,la fel ca intr-o oglindă. Găsiţi si voi alte exemple! 2.Factori si produseIată inmulţirea: 21x87=1827 sau465x831=386 415Observaţi că fiecare produs este alcătuit din toate cifrele factorilor săi.Căutaţi si voi pentru că mai sunt o grămadă de astfel de exemple! 3.1111Care este cel mai mare număr care poate fi scris cu ajutorul a 4 cifre de 1? 4.A inmulţi sau a aduna?Există numeroase perechi de numere care ,fie că le aduni,fie că le înmulţesti,ele dau acelaşi rezultat cum ar fi:2x2=4 si 2+2=4.Căutaţi şi voi!

Teodora Vlădescu-clasa a V-a A

24

REBUS MATEMATIC

A 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. B ORIZONTAL:

1) Numărul care se împarte se numeşte ... 2) Într-o împărţire cu rest, restul trebuie să fie mai ... decât împărţitorul. 3) Restul împărţirii numerelor 15 şi 8 este ... 4) A afla un număr „de atâtea ori mai mic” decât un alt număr înseamnă a

efectua o operaţie de ... 5) Într-o împărţire exactă, restul este ... 6) Numărul la care se împarte se numeşte ... 7) Câtul numerelor 35 şi 7 este ... 8) Câtul numerelor 40 şi 5 este mai..decât câtul numerelor 27 şi 9. 9) În exerciţiul 48 : 6 = 8, împărţitorul este ...

10) Rezultatul operaţiei de împărţire se numeşte ... VERTICAL: A..........B

Realizat de elevul, Guraliuc Gabriel Cristian

Cls aVI-a C

25

REBUSURI MATEMATICE A

1

2

3

4

5 6

7

8 B

Orizontal

1. Latură a unui triunghi dreptunghic 2. Figură geometrică 3. Matematician grec 4. Materie de studiu în şcoală 5. Ramură a matematicii 6. Câtul neefectuat a două numere 7. Tip de triunghi 8. Altă latură a unui triunghi dreptunghic Vertical A-B: Numele unui matematician grec cunoscut şi pentru teorema care-i poartă numele

Realizat de Dumitru Iustin VIII B

26

REBUS MATEMATIC A

1

2

3

4

5

6

7

8

9 B

Orizontal 1. Triunghiul care are un unghi obtuz 2. Piramida care are baza un triunghi 3. Care mare matematician a afirmat:,,Pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor” 4. Perpendiculara dusă din vârful unghiului pe latura opusă se numeşte………. 5. Matematician celebru care a susţinut următoarea teoremă: ,, Într-un triunghi o paralelă dusă la una din laturi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale ” 6. Un triunghi care are toate unghiurile congruente 7. Drepte care au un punct comun 8. Centrul de greutate al unui triunghi se află situat la intersecţia .... 9. Triunghi oarecare sau .............. Vertical A-B: Obiect studiat începând cu clasa a VI-a

Realizat de Tudorache Maria VIII B

27

REBUS MATEMATIC Unităţi de măsură A

1.2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

BOrizontal:1.se măsoară în secunde

2.unitate de măsură pentru volumul lichidelor

3.unitate de măsură pentru lungime

4.se măsoară în grame.

5.multiplu al gramului egal cu 1000 g.

6.multiplu al kilogramului egal cu 1000 kg.

7.unitate de măsură pentru arie folosită în agricultură egală cu 100 m2

8.secol.

Vertical…………………….

Realizat de BACHE EMA clasa aVI-a C

28

REBUS MATEMATIC

FRACŢII

1. Desparte numǎrǎtorul de numitor. 2. Linia de fracţie se mai citeşte .......... . 3. Ne aratǎ câte pǎrţi din întreg sunt luate în considerare. 4. Una, mai multe, zero sau numǎrul total de pǎrţi luate în

considerare dintr-un întreg împǎrţit în pǎrţi la fel de mari formeazǎ o ................ .

5. O singurǎ parte dintr -un întreg. 6. Jumǎtate. 7. Pǎtrime.

Draghici Marius Clasa-7-D

MATEMATICA ŞI POEZIA

29

EMINESCU si ….MULŢIMILE Noţiunea de mulţime nu necesită o definiţie: este o noţiune matematică primară; cuvântul „mulţime“ sugerează tot ce trebuie pentru ca noi să înţelegem despre ce va fi vorba . Cuvântul „mulţime“ sugerează o categorie matematică foarte cuprinzătoare. Există cuvinte care numesc concret anumite mulţimi şi sugerează ce calitate au elemente din care sunt constituite: cârd ( raţe, gâşte), turmă ( oi); cireadă ( vite), herghelie ( cai), făget ( copaci tineri), adunare ( oameni), roi ( albine ), spoiederă ( furnici),valuri -valuri. Matematicianul şi logicianul german George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor între anii 1874 şi 1897 a creat teoria mulţimilor. Cantor scria: „O mulţime este o colecţie de obiecte ale percepţiei ori ale gândirii, colecţie concepută ca un întreg. Obiectele respective se numesc elemente ale mulţimii“. Matematicianul a fost contemporan cu Eminescu. Citind opera poetului, cu gândul la capitolul mulţimi din matematică, te cuprinde mirarea câte exemple descoperi şi asta numai cu trimiteri directe la caracterizarea dată de Cantor. . Fragmentele ce urmează sunt extrase din „Scrisoarea a – III -a“ a poetului naţional Mihai Eminescu; am subliniat cuvântul sau grupul de cuvinte care sugerează noţiunea de mulţime: a) „Când văzui a lor mulţime câtă frunză,câtă iarbă“ b) „Pentru a crucii biruinţă se mişcară râuri-râuri“ c) „Se mişcau îngrozitoare ca păduri de lănci şi săbii“ d) „La Nicopole văzut-ai câte tabere s-au strâns“ e) „Eu nu ţi-aş dori vreodată să ajungi să ne cunoşti Nici ca Dunărea să-nece spumegând a tale oşti“ f) „Mulţi durară,după vremuri,peste Dunăre vr’un pod De - au trecut cu spaima lumii şi mulţime de norod“ g) „Durduind soseau călării ca un zid înalt de suliţi Printre cetele păgâne trec rupându-şi large uliţi“

30

Fragmentele ce urmează sunt extrase din poezia “Călin –file din poveste “ a poetului naţional Mihai Eminescu. Pentru fiecare exemplu indicaţi cuvântul sau grupul de cuvinte care sugerează noţiunea de mulţime:

„ Iar pădurea lin suspină şi prin frunzele uscate

Rânduri,rânduri trece-un freamăt ce le scutură pe toate.“

„ Pe când codrul,dragul codru,troienindu-şi frunza toată“

„ Singuratice izvoare fac cu valurile larmă“

„ Şi pe câmpul gol el vede un copil umblând desculţ

Şi cercând ca să adune într-un cârd bobocii mulţi“

Curg în râuri sclipitoare peste flori de miere pline“

„ Umplu aerul văratic de mireasmă şi răcoare“

A popoarelor de muşte sărbători murmuitoare“

„ Până văd păienjenişul între tufe ca un pod

Peste care trece-n zgomot o mulţime de norod“

„ Fluturi mulţi de multe neamuri vin în urma lui un lanţ

Toţi cu inime uşoare, toţi şăgalnici şi berbanţi.

Vin ţânţarii, lăutarii, gândăceii, cărăbuşii

Iar mireasa viorică i-aştepta-ndărătul uşii.“

Prof.PETRE CONSTANTA

31

IMPORTANT !

Elevii care rezolvă problemele propuse , problemele distractive şi rebusurile matematice vor da rezolvările profesorilor de la clasă. Cei care vor rezolva corect vor apărea în numărul următor al revistei ca elevi rezolvitori.

SUCCES! COLECTIVUL DE REDACŢIE

32

PRIETENII LUI PITAGORA

REVISTA DE MATEMATICĂ –Nr 3, Noiembrie-2009 - a ŞCOLII „NICOLAE IORGA” PLOIEŞTI STRADA MINERVA NR.4 TEL.0244/552398

LA APARIŢIA ACESTUI NUMĂR AU COLABORAT:DIN ISTORIA MATEMATICII

Ilie Gabriela clasa a VII a DGoicea Sorin clasa a V a AMihai Tiberiu clasa a VI a CNecula Miruna clasa a VI a B

CURIOZITĂŢI DIN LUMEA MATEMATICIIProf.PETRE CONSTANŢA Dăscălescu Andreea clasa a VII a DIoniţă Alexandru clasa a VIII a B

MATEMATICĂ DISTRACTIVĂVrăbiuţă Marilena clasa a VII a DVlădescu Teodora clasa a V a A

Rădulescu Mădălina clasa a VIII a BPROBLEME PROPUSE

Prof. PETRE CONSTANŢAProf. APOSTOL ADELINAProf. IANCU VERONICA

Stan Roxana clasa a VIII-a AJOCURI SI REBUSURI MATEMATICE

Guraliuc Gabriel clasa a VI-a C Drăghici Marius clasa a VII-a D Dumitrache Iustin clasa a VIII-a B Tudorache Maria clasa a VIII-a B

Bache Emanuela clasa a VI-a CMATEMATICA ŞI POEZIA

Prof. PETRE CONSTANŢA

REDACŢIA: Prof. PETRE CONSTANŢA coordonator principal Prof. IANCU VERONICA Prof. APOSTOL ADELINA

Tehnoredactarea computerizată Prof. PETRE CONSTANŢA

33