@w

mate^iboo*consolidare

algebr5,,gcornetrie

'TFE=fGtrEffie fr A3=-#_

ll"'. yY, +ig=i" -r. -" 'r".*': :.o_-.:.". .*' . ."

Editura Paralela 45

cd

H

6Ndg{ctlki

"4(xI

HCS

r-HGT

*".X

t{c0

i;mmnune Emifice $iuir"fr.- ;a\ orabil in Dan ZAHARIA

Maria ZAHARIA

Solufiile testelor de autoevaluarepot fi consultate la adresa:

http://www.ed itu rapara lela4 S,ro Idown load/sol uti i_teste_de_autoeva I ua re

_consolidare_clasa6_sem 2 _20i 7 .rar

algGhrfl

sB0mGtriG

Glasn fl u-alanGa a ll-aedilia aY-a, revizuitd

matG 2000 - Gons0lidare

)

iD

t ii \MAD * LNAD (L.U'L') (ftg. l1).

----. = L * m(<B) = 30" $i m(dCJ =

ar <8)) 4

C,\l L AB. Triunghiul MBD isoscel +ll. 29. Din cnunf avem c6 MN ll EF += .-{-\' + 4,1 z 4M" Dar dF medianl in

= <4 + AIEF echilateral :' frr(<A) =

Fig. 13

\j-BC qi MDB srtntisoscele s <CAD:-t, -.tB) = lABl, <EAB - <FBA 9i cazul de

rccnsiderd DB ll a. Cum a ll b qi B e b =l) >: m(<CBD) = 35' (alterne interne) +L a r Cum lAOl = lBOl, rAOD e <BOD,

)- i t. Cum AD l10B qi secanta OD =tia:e = <BOD = <AOD > A.4OD isos-

-L L.) = MOB = MDB; b) Din a) +r". OAD > AB L OD (fig' 16).

Fig. 16

Cuprins

ARITMETICA. ALGEBRA

Capitolul I. RAPOARTE $I PROPORTII..........,,,..... ..,.,,.......51. Rapoarte .,,.................52. Procente.. ,...........,....113, Propo(ii.. .................15Probleme de matematicb aplicatd in viata cotidiand..... ........,,.19Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ .......................21Test de autoevaluare .......................23

capitolul II. MARIMI PROPORTIONALE.... ...................,,,25L Mdrimi direct proporfionale ,...,.,,.. ..................252. Mdrimi invers propo(iona1e........ ............,.,..,.,27Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ ...,...................32Probleme de matematicd aplicatd in viala cotidiand..,.. ...........33

I,LEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR. REPREZI]NTAREADATELOR PRIN GRAFICE............. ............,.....35

Test de autoevaluqre ................,..,...39

Capitolul III. NU\{ERE iNTREGI ,...,,..,............411. Numdr intreg, Mullimea numerelor intregi. Opusul unui num6r intreg.Reprezentarea pe axd a numerelor intregi ,..,..,,...412. Modulul unui numdr intreg. Compararea gi ordonarea numerelor inffegi,.............,,,..46Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ ................,......50Test de autoevaluare .......................51

opERATrr cu \uMERn iurnBcr ...............,,531. Adunarea numerelor intregi. Scdderea numerelor intregi .,...,....,,...........532. Proprietdtile adundrii numerelor intregi ...,,.,...56Recapitulare 9i sistematizare prin teste ...,........ .......................59Test de autoevaluare ,,,....................613. inmuilirea numerelor intregi. Propriet6!i... ...........,..............63,i4. Impa(irea numerelor intregi .......685, Multimea multiplilor unui numbr intreg........... .,...............,.71Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ ,.....,,,,,,.,,,,......73Test de autoevaluare ....................,,,756. Mullimea divizorilor unui numdr intreg.......... .......,.,,....,,,..777, Puterea unui numdr intreg cu exponent num6r natural. Reguli de calcul cu puteri.,...808. Ordinea efectudrii operatiilor qi folosirea parantezelor ,.,.,..85Recapitulare gi sistematizare prin teste ,........... ,,..,,,,.,...,,..,,,.,.88Test de autoevaluare .......................89

ECUATII,INECUATII, PROBLEME CARE SE REZOLVA CT] AJUTORULECUAT[rLOR,.,,,,,,...,.. ,,,..,....,,.,,,,,,..91

1" Rezolvarea unor ecualii in mulfimea numerelor intregi ,,,.,,....912. Rezolvarea unor inecuatii in mullimea numerelor intregi .....,,................953. Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecualiilor .,.......,..........98Recapitulare gi sistematizare prin teste ..,......... ,.,..,,,,,,,,,,,.....101

Probleme de matematicd aplicatd in viala cotidiand..... .........102Test de autoevaluare .....................105

GEOMETRIE

Capitolul I. PERPENDICULARITATE........... ..,.................1071. Aria unui triunghi (intuitiv pe relele de pdtrate)... .............1072. Drepte perpendiculare. Distanla de la un punct la o dreaptd. Oblice ........................1113. Indllimea in triunghi; concurenla inillimilor unui triunghi.......................................I 144. Congruenla triunghiurilor dreptunghice............. ...............1165. Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi. Construclia bisectoarei unuiunghi cu rigla gi compasul. Concurenla bisectoarelor unghiurilor unui triunghi ..........1l96. Mediatoarea unui segment. Proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment;construclia mediatoarei unui segment cu rigla negradati qi compasul. Mediatoarelelaturilor unui triunghi; concurenla mediatoarelor laturilor unui triunghi.................. ....1227. Simetria fa!6 de o dreapt6..... .....125Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ .....................128Test de autoevaluare .....................131

Capitolul Il" PARALELISM.......... ....................1331. Unghiuri determinate de doud drepte cu o secant[ ............1332. Drepte paralele. Criterii de paralelism. Construclia unei drepte paralelecu o dreaptl da16............. ...............1343. Axioma paralelelor. Tranzitivitatea relaliei de paralelism ....................1364. Unghiuri determinate de doud drepte paralele cu o secantd ..................1375. Paralele intersectate de paralele. Linia mijlocie a unui triunghi (oplional) ...............138Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .....................143Test de autoevaluare .....................145

capitctut III. PRopR!ETATI ALE TRIUNGHIURILOR..,............. ....1471. Suma mdsurilor unghiurilor unui triunghi. Unghi exterior unui triunghi.Teorema unghiului exterior....... ....1472. Mediana in triunghi; concuren{a medianelor unui triunghi.......................................1503. Proprietdfile triunghiului isoscel (unghiuri,linii importante, simetrie).....................1534. ProprietSlile triunghiului echilateral (unghiuri, linii importante, simetrie) ...............1565. Proprietdtile triunghiului dreptunghic (catetd opusi unghiului de 30'; medianacorespunzdtoare ipotenuzei - teoreme directe gi reciproce) ......................1586. Relatii intre laturile gi unghiurile unui triunghi (oplional) ....................163Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .....................166Test de autoevaluare .....................I6i

MODELIi DE Tt_rZE SEMESTRIALE............ .....................169MOI}ELE DE TESTE FINALE ....T73PROB I-E M E PENTR.U PREGATIREA CONCURSURILOR $COLARE .............. I 82

INI}IC]ATIT $I RASPUNSURT

Aritmeticf,. Algebri

;.:

,.1

Capitolul IRapoalte gi proporfii

EE 1, Rapoarte

1.1, Raport

Raportul a doui numere a gi 6 cu 6 * 0 este ca/*rl q: 6 gi se nateaz6,

b se numesc termenii raportului.

Ohservalii:1. Raportul misurilor a doud mdrimi de acelaqi fel se face dupd ce mbrimile se mdsoard

cu aceeagi unitate de mdsurd. Acest raport nu depinde de unitatea de mdsurd folositd.2. De multe ori se definegte raportul a doud mdrimi care nu sunt de acelagi fel. De

exemplu, viteza unui mobil este raportul dintre distanla parcursd de acesta gi iimpul incare mobilul parcurge distanfa respectivb.

1,2. Probabilitate

- Numim probabilitatea realizdrli unui eveniment I raportul dintre num[ru] cazurllorfavorabile realizdrii evenimentului qi numdrul cazurilor poriuit" ale experien{ei.

g. Numerele a qi

(tIH(tgt/to\):ci.9+(tEq).Fo€

electronic

Exemplu: Intr-o cutie sunt 5 bile albe gi 2 negre. Mihaela extrage o bild la intdmplaredin cutie. Care este gansa (probabilitatea) ca bila extrasd si fie alb6? Care este probabi-litatea ca bila extrasb sd fie neagr6?

1@)=1 ti il,!=?.77

1.3. Titlul unui aliajNumim titlul unui aliaj raportul dintre masa metalului pretios gi masa aliajului:

!, '- aiculati valorile rapoartelor de

: .lC);i 30;

: il.(2) 9i 0,(3); e

{ t:rlculati valoarea rapoffulul dir

', l-{ m gi 12 km; b'I

: ' 15;m2 ii 102 ha; d2

:r 3 h $i 20 minute 9i t h qi.10 r:

5" i:n'-o cutie sunt 6 bile albe qi -1 1

: r Care este probabilitatea de a '

: r Dar una roqie?; r Care este probabilitatea de a ,

6" -{runcdm \nzar. Care este prob

:- -: numdr par de puncte?

7, . penarul Mihaelei sunt 3 creio: r Care este probabilitatea ca. h.

: r Dar albastru?

t" Drntr-un lot de 40 de piese.

''-:::rplare o piesd ea sd nu aib6 de:

9, O uma conline 20 de bile identii::;inplare o bild. Care gansi este

:a::tct sau sd extragem o bild num,

1 0, intr-un sac sunt I I bile roqii.

-rbabrlitatea ca extrdg?ind o bila irs t aib5; b) rogie; c) neagra v

1 1. lntr-un top de hdrtie sunt 26 c

:: ranie albd. Care este probabil-a:ematic6?12. Ce cantitate de argint se af'la ir

13. Se face un aliaj topind la un lo

14. Se topesc la un loc 200 g de

:-i,ul noului aliaj oblinut?15, Un aliaj de platind are titlul d

.liajului.16. Concentralia de sare dintr-o sr

l.-5 t de solulie?

17. Completali urmdtorul tabel:

ScaraI : 1.000.000 1a1cmI : 250.000 Ia cmI :20 la1cm5:1000000 la 1 cnl

Exemplu: Un aliaj contine 812 g aur 9i 1188 g cupru. Care este titlul aliajului?Rezolvare: Masa aliajului este M:812 + 1188 = 2000 (g), masa aurului este

m:8129, iar titlul aliajului este I = ?. = !)?== 0,406 ." M 2000

(tI

l-{

o(tvtoGxi.9oEq)

(t€

1.4. Concentralia unei solufiiNumim concentrafia unei solutii raportul dintre masa substanfei care se dizolv[ gi

masa soluliei. ^Exemplu: Intr-un vas se afl6 o solutie de sare in ap6. Masa solutiei este de 120 g, iar

cea a sdrii de 9,6 g. Care este concentratia solutiei?

Rezolvare: concentratia - masa substantei :9'6 - 96 = 0.08 .

masa soluliei 120 1200

1.5. Scara unui desenFie I gi ,B doud localitdii reprezentate intr-un desen (harti). Raportul dintre distan{a

mdsurati pe desen intre cele doui localitdfi gi distanla misuratb in teren (in realitate) estescara desenului gi notim:

O O I octivitdti de ?nv6fore f O O

{. Lungimea unui dreptunghi este de 8 m gi litimea de 2 m. Completati:a) Raportul dintre lungimea gi ldlimea dreptunghiului este ...; acest raport arati ci

lungimea este de ... ori mai mare decit ldtimea. Altfel spus, ldlimea dreptunghiului este de... ori mai mici decdt lungimea.

b) Raportul dintre lilimea gi lungimea dreptunghiului este .... Acest raport aratil cdlStimea este ... din lungime.2. O l6di15 cu fructe cdntdregte 17 kg.

a) CAt va cdntdri o alt6 l6dip cu fructe, de trei ori mai grea decdt prima?b) Care este raportul dintre masa primei lIdite gi masa celei de-a doua l6di1e?

c) Care este raportul dintre masa celei de-a doua lddile 9i masa primei l[dite?

;\Fage o bilS la intdmplarei: albS? Care este probabi-

-,re este titlul aliajului?= :,1O0 (g), masa aurului este

L€ substanlei care se dizolvd gi

\{asa soluliei este de 120 g, iar

--4- =0.08.

I -r-t

r :artE). Raportul dintre distanla:;*r;;rari in teren (in realitate) este

rl a a

t I r. Completali:

!fu::..ri este ...; acest raport arati cdH s:.s. ldfimea dreptunghiului este de

3k:1ui este .... Acest raport aratA cb

irr,o1 g'.u decdt prima?mrsa celei de-a doua lddile?E::;e $i masa primei l6dile?

3. Calcula{i valorile rapoartelor de numere:

4. Calculali valoarea raportului dintre:

a) 120 9i 30;

d) 0,(2) ti 0,(3);

b) 12 si 144;

Ae) 2,1(3) qi -

b) 17 dm gi 1,7 hm;

d) 2,(3) dm3 9i 0,(3) m3;

ct z1sill:' 2' 4'

a) 24 m qi 12 km;

Q 25!m2 qi 102 ha;

e) 3 h 9i 20 minute qi I h qi 40 minute.5, intr-o cutie sunt 6 bile albe gi 4 bile roqii.

a) Care este probabilitatea de a extrage o bild albd?b) Dar una roqie?c) Care este probabilitatea de a extrage o bild care sd fie rogie sau albd?

6. Aruncdm un zar. Care este probabilitatea apariliei fefei cu gase puncte? Dar a unei fetecu un numdr par de puncte?

7. in penarul Mihaelei sunt 3 creioane galbene qi 2 albastre.a) care este probabilitatea ca,luind un creion la intAmplare, acesta sd fie galben?b) Dar albastru?

8. Dintr-un lot de 40 de piese, 2 sunt defecte. Care este probabilitatea ca ludnd laintAmplare o piesb ea sd nu aibS defect?9. O umd confine 20 de bile identice notate cu numere de la I la 20. Din urnd se extrage laintAmplare o bi15, Care gansd este mai mare: sd extragem o bilS numerotatd cu un pdtratperfect sau sd extragem o bild numerotatd cu un numdr prim?10. intr-un sac sunt 11 bile rogii, T bile negre, 12 bile albe 9i l0 bile galbene. Care esteprobabilitatea ca extrdgdnd o bild la intAmplare ea s6 fie:

a) albd; b) roqie; c) neagrb sau galbenb; d) albd sau roqie sau galben6?11. intr-un top de h6rtie sunt 26 de coli de matematicS, 15 coli de dictando 9i 30 de colide hArtie alb6. Care este probabilitatea ca extrbgdnd la intdmplare o coald ea s6 fie dematematicd?

12. Ce cantitate de argint se aflb in 800 g de aliaj cu titlul de 0,375?13. Se face un aliaj topind la un loc 16 g aur cu 234 g cupru. Care este titlul aliajului?14, Se topesc la un loc 200 g de aliaj cu titlul de 0,480 cu 300 g de aur pur. care va fititlul noului aliaj ob{inut?15. un aliaj de platind are titlul de 0,800 gi conline 196g g de platind purd.aliajului.

16. Concentralia de sare dintr-o solulie este de 171100. Ce cantitate de sare se gdseqte in2,75 t de solufie?'l7. Completali urm5torul tabel:

Scara Corespondenfa intre distanteI : 1.000.000 la cm pe desen corespund ... km in real tateI : 250.000 a cm pe desen corespund ... km in rea tateI :20 a cm pe desen corespund ... km in rea tate5:1000000 a cm pe desen corespund ... km in rea tate

Aflali masa

oI

l-l

C'ovloGl<i.U{-oEq){-o€

{ 8. DistanJa Bucureqti - Baia Mare este de 594 km. Distanla pe o harl[ este de 4,5 cm.

a) Determina{i scara hd4ii.b) $tiind cd distanla Bucureqti -

distanld?

Bacdu este de 304 km, cAt mdsoard pe hartd aceastd

calculati

AMc) _.'AB

Ply' se iau punctele I gi B astfel

l5 cm, calculafi:

P

26. Care este probabilitatea ca, inl:ir izibil cu:

a)2; b) 3; c) 4; d) 5; e) i(17. intr-o urnd sunt 45 de bile r

:rtragAnd un numdr el s5 conlina c?E, Care este probabilitatea ca aru

29. Care este probabilitatea ca. e

- ouncte?30. La Tombola Mdr{igorului. 21

,:urnpdrate de bdrbali gi 125 au t,

;istigdtor un copil?31. intr-un vas se afld 12litri de

:-.erbere, dupd 5 ore s-au evaporat -l

t2, Pe o harl[ frgureazdgradalia d

Care este scara h54ii?33. a) Scara unui desen este 1 : -11

;orespunde pe desen unei distanteb) Scara unui desen este 1 : 5{

:eald de 12 m?c) Un desen realizat la scari repn

ce 6 m, iar pe desen are lungimea de1) Care este scara desenului2) Care este lungimea reald

14. Se topesc impreund un aliaj --l

:: aramd cu titlul de 0,820. Aflali ria) c6nd din I se iau 4 g 9i din B

35. Se topesc la un loc 20 g aliaj

"haj cu titlul de 0,900. Ce titlu va ;

36. Dintr-un aliaj cu titlul de 0.8::itlul de 0,650 pentru a se obline pr37. Un aliaj cu masa de 30 g 9i titl:rnu1 cu titlul de 0,880 qi altul cu tCare este masa aliajului obtinut.r

38. O solu{ie de sare (dizolr-ati in

Catd apd trebuie sd addugim pentn

39. in doub vase se aflb solutii ro

iar a celei din al doilea .r,. 1. S."-5

din al doilea vas. Care este concenr

c) $tiind c6 pe hart6 distanla Bucureqti - Turnu-severin este de 2,6 cm,

distanla real6.

,l g. Numarul a este de 3 ori mai mare decat num[ru] b qi ! din numarul c. Afla]i:'4a) raportul dintre a qi b; b) raportul dintre a 9i c;

c) raportul dintre 3 ti |; d) raportul dintre c ai b;

e) de cdte ori este mai mare c dec6"t b; f) a cdta parle din c este b.

2O. Raportul dintre diametrul Lunii qi diametrul Pdmdntului ert. 1. Raportul dintre

diametrul Soarelui qi diametrul Pdmdntului "*. f . Aflali raportul dintre diametrul

Lunii qi cel al Soarelui.

2{. Mihai se pregdteqte sd meargd la un concurs de matematicb 9i pentru aceasta tezolvd

intr-o lun6 ? ainnumdrul de probleme , iar a doua lund restul. Calculali raportul dintreaJ

num6ru1 problemelor rczolvate qi numdrul problemelor ce urmeazd a fr rczolvate dacd

Mihai avea de rezolvat:a) 60 de probleme; b) 102 Probleme'Ce observalii puteli face?

22. Se considera un punct M pe segmentul [,48]. $tiind ca AB : I0 cm gi AM : 2 cm,

calculali valoarea rapoartelor:MB

a) _;.AM

^r M. MA. AP .

"' MP' AP'MP'NB NB PB

b) -.

. PN' BP PNCe observa{i?

MBb)

-.' AB'

(JIH(t(,rnI\):g(JF(,Eo).Fo

=

23, Se considera dou6 pdtrate cu lungimile laturilor de 3 cm 9i respectiv 9 cm.

a) Calculali raportul perimetrelor pdtratelor.

b) Calculali raportul ariilor pdtratelor.

24. Raportul ariilor a doud pdtrate "rt. l. Calculali raportul perimetrelor pdtratelor

respective.

25. Se considerd un triunghi MNP qi pe laturile MP qi

inc6,t MA: 3 cm $i l/B : 5 cm. Dacd MP:9 cm qi P//:

A.8

r-:-.ui este I. Raoortul dintrell.:--ia1i raportul dintre diametrul

- : :'c o hartd este de 4.5 cm.

, r .:i mdsoard pe hartd aceastd

: :r--r este de 2,6 cm, caicula{i

- --:- numdrul c. Aflali:

: --.::e a gi c;

:-::re c gi b;

,:"= iin c este 6.

qi pentru aceasta rezolvd

:.sruI. Calculali raportul dintre

;.' urmeazd a fi rezolvate dacd

-eme.

;a -lB : 10 cm qi AM: 2 cm,

AMc)

-.AB

;:r ;i respectiv 9 cm.

:aportul perimetrelor pdtratelor

gi B astfelP-\- se iau punctele Ij cm, calculali:

P

26. Care este probabilitatea ca, inlocuind ia intdmplare pe x cu o cifrd, numhnl 3r4 sa fiedivizibil cu:

a)2; b)3; c)4; d)5; e)10; f)9?27. intr-o urnb sunt 45 de bile numerotate de la I la 45. Care este probabilitatea caextrAgend un numbr el sd conlind cifra 3?28' care este probabilitatea ca aruncdnd dou6 zaruri si oblinem o dubrb?29' Care este probabilitatea ca, aruncAnd doud zaruri, sd obfinem doud fele insumdnd- puncte?

30. La Tombola Md4iqorului,2175 de bilete au fost cumpdrate de femei, 3700 au fost;:mp[rate de bdrbali qi 125 au fost cump[rate de copii. Care este probabilitatea sd fie;i;tigdtor un copil?31. intr-un vas se afld l2litri de solulie de apd cu sare avdnd concentrafia de 8%. prin:-terbere, dupd 5 ore s-au evaporat 4 litri de apd. Care este concentra{ia soluliei rdmase in vas?32. Pe o harld ftgureazdgrada{ia din figura aldturatd.

Care este scara hdrtii?33. a) Scara unui desen este 1 : 42. Care este distanta reald cecorespunde pe desen unei distanle de 4,7 cm?

b) Scara unui desen este I : 500. Care este distanta pe desen ce reprezintd o distan{d:eald de l2 m?

c) Un desen realtzat la scard reprezinti doud obiecte Or $i Oz. Obiectul 01 are lungimea realdde 6 m, iarpe desen are lungimea de 7,2 cm; obiectul o2arepe desen lungimea de 1,6 cm.

1) Care este scara desenului?2) Care este lungimea reall a obiectului 02?

34. Se topesc impreund un aliaj A din aur qi aramd cu titlul 0,700 cu un aliaj B tot din aur;i aramd cu titlul de 0,820. Afla{i titlul noului aliaj in urmdtoarele situa{ii:

a) cAnd dinl se iatt4 g gidinBtot4 g; b) c6nd dinl se iau 3 g qi dinB 6 g.35. Se topesc la un loc 20 galiaj cu titlul de 0,825, 15 g aliaj cu titlul de 0,620 gi 12 galiaj cu titlul de 0,900. Ce titlu va avea noul aliaj oblinut?

36. Dintr-un aliaj cu titlul de 0,850 se iau 12 g. Cdte grame trebuie luate din alt aliaj cutitlul de 0,650 pentru a se obfine prin topire un nou aliaj cu titlur de 0,710?37. Un aliaj cu masa de 30 g 9i titlul de 0,870 se tope$te cu alte doud aliaje de mase egale,unul cu titlul de 0,880 qi altul cu titlul de 0,790. Se obline un nou aliaj cu titlul de 0,g50.Care este masa aliajului oblinut?

38. O solulie de sare (dizolvatd in apd) c6ntdreqte 25 g. Concentra{ia solufiei este de 1.l0

cdtd ap[ trebuie sd addugbm pentru a obline o solulie de concentrag" ] z20

39. in doud vase se afld solulii (o!et + ap6). Concentralia solufiei din primul uu, .rt. ],.5

iar a celei din al doilea erte 1 . Se amestec Ft 10 .(.de solu{ie din primul vas cu 4 / solutie5 '-- --^- r^^.

din al doilea vas. Care este concentralia solu{iei ob{inute?

lcm

ffi\------\a-------

200 km

oI

H

oot,l(t\)rci.9+(tEq,.t-o€,r\,