verificare la stabilitate a elem din otel

Upload: andra-paul

Post on 07-Apr-2018

315 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    1/234

    UNIVERSITATEAPOLITEHNICA

    TIMIOARA

    FACULTATEA DE CONSTRUCIIDEPARTAMENTUL DE CONSTRUCII METALICE I

    MECANICA CONSTRUCIILORCentrul de Excelenta pentru Mecanica Materialelor i Sigurana Structurilor

    CEMSIGIoan Curea 1, 300224 Timioara, ROMNIATelefon

    Departament: ++40.256.403911CEMSIG: ++40.256.403932

    e-mail:[email protected]

    Fax++40.256.403917++40.256.403932

    http://cemsig.ct.upt.ro

    Contract nr. 424/08.12.2009

    Verificarea la stabilitate a elementelor din oel nconformitate cu SR EN 1993-1.1

    Recomandri de calcul, comentarii i exemple deaplicare

    Redactarea a II-a

    revizuit n urma anchetei publice

    Timioara, Decembrie 2010

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    2/234

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    3/234

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    4/2343

    4. ELEMENTE SOLICITATE LA NCOVOIERE

    4.1. Determinarea mom entuluicritic elastic pentru bare solicitate la ncovoiere

    4.2 Efectul modului de ncrcare i al condiiilor de rezemare

    4.3 Efectul imperfeciunilor i efectul plasticizrii

    4.4 Verificarea la flambaj lateral prin ncovoiere rsucire a barelor ncovoiate n conformitate

    cu SR EN 1993-1-14.4.1. Metoda generalde calcul

    4.4.2 Metoda alternativ de calcul pentru profile laminate sau seciuni sudate

    echivalente

    4.5 Calculul momentului critic pentru grinzi cu seciune nchis din eav laminat

    4.6 Metode pentru mbuntirea capacitii elementului structural ncovoiat

    4.7 Metoda simplificat pentru grinzi cu legturi transversale, fcnd parte din structuri

    Exemplul E.10. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire

    Exemplul E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire a unuielement cu legaturi transversale continue

    Exemplul E.12. Calculul unei grinzi cu seciune transversal de tip C format la rece, solicitat lancovoiere

    5. BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE I NCOVOIERE

    5.1 Aspecte generale. Producerea fenomenelor

    5.2 Rezistena barelor comprimate i ncovoiate la pierderea stabilitii generale

    5.2.1 Bazele teoretice

    5.2.2 Flambajul prin ncovoiere i flambajul prin ncovoiere-rsucire

    5.3 Bare solicitate la ncovoiere i compresiune cu seciune transversal uniform. Utilizareafactorilor de interaciune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2)

    conform SR EN 1993-1-15.4 Metoda general de verificare a elementelor structurale la flambaj prin ncovoiere i flambajprin ncovoiere rsucire a componentelor structurale

    Exemplul E.13. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii interaciunea M-N

    Exemplul E.14. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii a unui cadru portal

    Exemplul E.15. Determinarea unei seciunii echivalente pentru verificarea elementelor cu seciunevariabila solicitate la M-N

    Exemplul E.16. Calculul unui stlp cu seciune transversal de tip C format la rece, solicitat lacompresiune cu ncovoiere

    ANEXA I: Coeficientul de zveltee transformat pentru barele cu seciuni cu o ax de simetriesolicitat la compresiune axial care flambeaz prin ncovoiere-rsucire

    ANEXA II: Lungimi de flambaj ale stlpilor structurilor multietajateII.1 Baze teoreticeII.2 Determinarea lungimilor de flambaj ale stlpilor structurilor multietajate cu metodaWoodII.3 Metoda Merchant - Rankine

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    5/2344

    ANEXA III: Lungimi de flambaj ale stlpilor structurilor parter

    ANEXA IV: Lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zbrele

    ANEXA V: Monogramele pentru coeficieni C1 i C2, pentru elemente structurale sub efectulcombinat al momentelor ncovoietoare aplicate la capete i al ncrcrilor transversale directaplicate

    ANEXA VI: Clase de seciuni

    ANEXA VII: Calculul prin metoda elementului finit (MEF) conform Anexei C din SR EN 1993-1-5

    VII.1 Utilizarea imperfeciunilorVII.2 Proprietile materialelor

    VII.3 ncrcri

    ANEXA VIII: ImperfeciuniVIII.1 Imperfeciuni pentru analiza global a cadrelorVIII.2 Imperfeciuni pentru calculul sistemului de contravntuiriVIII.3 Imperfeciunile elementelor

    ANEXA IX: ncrcarea critic de flambaj elastic pentru cadre portal

    IX.1 Grinzi pereche de coam

    IX.2 Stlp exterior i grindIX.3 Stlp interior i grind de fiecare parteIX.4 Cadru parter cu stlpi dublu articulai sau cu grind de dolie

    BIBLIOGRAFIE

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    6/2345

    1. INTRODUCERE

    Problemele de stabilitate a structurilor metalice sunt nu numai complicate dar i cu ponderemajor n asigurarea siguranei structurilor. n SUA se elaboreaz de ctre SSRC StructuralStability Research Council, periodic (la 5 ani), Ghidul pentru verificarea la stabilitate astructurilor metalice, care conine circa 600 de pagini. n Europa, Convenia EuropeanpentruConstrucii Metalice a editat i publicat n 2008 un Manual explicativ pentru calculul la

    stabilitate a structurilor metalice, n conformitate cu EN 1993-1-1 cu exemple, avnd 250 depagini. n Marea Britanie, Steel Construction Institute a elaborat o serie ntreaga de documentededicate verificrilor i calculelor de stabilitate a diferitelor tipuri de elemente structurale. La fel,astfel de materiale au fost elaborate n Frana, la CTIMi OTUA, sau n Germania documentaiile

    DAST.

    Pe plan naional nu exist recomandri de proiectare care s abordeze problema verificrilor destabilitate n format Eurocode (SR EN 1993-1-1), n condiiile n care verificrile de stabilitate,

    n format SR EN 1993-1-1, difer formal de cele cu care proiectanii romni erau obinuii inconformitate cu STAS 10108/0-78. n ultimele decade s-au investit eforturi uriae n dezvoltareaEurocodurilor pentru construcii, a cror scop este de a dispune de un set de documente care saformeze o baz comun n Europa pentru proiectarea structurilor realizate din diverse materiale.

    Versiunea final a Eurocodurilor se bazeaz pe cercetri recente i introduc astfel, formule decalcul noi, care permit o proiectare mai economic. De asemenea, n EN 1993 sunt datemetodologii de rezolvare cu ajutorul programelor de calcul structural a unor probleme destabilitate. Prin urmare, procedurile SR EN 1993 sunt noi nu numai n con inut, dar i ca form,

    n comparaie cu procedurile din STAS 10108/0-78.

    Documentul de fa este conceput ca un instrument de explicitare i aplicare a SR EN 1993-1-1.Versiunea final a SR EN 1993-1-1 are o abordare complex, uneori confuz a problemelor destabilitate a structurilor din bare. Pentru elementele care i pot pierde stabilitatea prin

    ncovoierersucire, n norma se dau trei metode, din care se alege, de ctre proiectant, cea carese aplic, existnd ns condiii impuse i restricii n aplicarea acestora la anumite cazuri sauclase de probleme. n norm nu se dau indicaii pentru determinarea momentului ncovoietor

    critic sau a altor formule similare. Nu sunt precizri explicite pentru verificarea la stabilitategeneral, a elementelor cu seciuni de clasa 4, trebuind combinate prevederile din EN 1993-1-1cu cele din EN 1993-1-3 i EN 1993-1-5. Nu sunt prevederi explicite pentru stlpii cu seciunevariabil, liniar sau n trepte i cu condiii de rezemare altele dect cele corespunztoarecazurilor fundamentale. Toate aceste aspecte (i nu numai) sunt tratate n cadrul prezentelorrecomandri de calcul, care prezint baza normativ (SR EN 1993-1-1, SR EN 1993-1-3, SR EN1993-1-5) pentru verificarea la stabilitate a elementelor structurale din oel, cu relaiile de calculi prevederile de proiectare, respectiv comentarii privind aplicarea acestora, nsoite de aplicaii.Documentul trateaz verificarea la stabilitate a barelor din oel si nu trateaz verificarea lastabilitate a structurilor din plci plane solicitate la ncrcri n plan sau n afara planului i niciverificarea la stabilitate a plcilor curbe subiri.

    In cadrul recomandrilor de calcul se prezint si informaii complementare neconflictuale cuprevederile SR EN 1993. Unele dintre aceste informaii sunt strict necesare n calcule, altele suntprezentate datorit caracterului practic. Ca surs de documentare s-a folosit i bazaAccess Steel(www.access-steel.com, 2006).

    n principiu, n norma SR EN 1993-1-1 modelele de calcul (formulele de calcul) au la bazamodelele clasice din Rezistena materialelor i Teoria Elasticitii. Din acest punct de vedere, nuexist deosebiri fundametale ntre SR EN1993-1-1 i STAS 10108/78. Formatul este ns diferit

    n SR EN 1993-1-1, utiliznd n general noiunea de efort capabil, i nu cu tensiuni, aa cum

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    7/2346

    era obinuit inginerul proiectant n Romnia, n baza STAS 10108/78. Raiunea pentru care seopereaz cu eforturi capabile este c, n acest fel, se face comparaia n mod direct cu solicitrile(eforturile) care se obin din calculul static!

    n cuprinsul documentului s-au utilizat coeficienii de sigurana stabilii prin Anexele Naionale.n Anexa Naionala SR EN 1993-1-1:2006/NA:2008 s-a pstrat valoarea recomandat n cadrulEN 1993-1-1, adic valoarea unitar pentru coeficientul parial de siguran M1 pentru

    verificarea de stabilitate. n cadrul SR EN 1993-1-3/NB:2008, s-a adoptat coeficientul M1 =1,10(fa de valoarea unitar recomandat n EN 1993-1-3) datorit fenomenului de interaciune amodurilor de flambaj local i general, care caracterizeaz comportarea profilelor cu perei subiri.n zona de interaciune, influena imperfeciunilor crete, producnd eroziunea ncrcrii criticeteoretice.

    Capitol 2 al recomandrilor de calcul debuteaz cu prezentarea unor aspecte generale referitoarela fenomenul de pierdere al stabilitii. Se prezint noiunea de ncrcare critic de flambaj iproblemele de bifurcare / limitare a echilibrului. n acest capitol se prezint fenomenulflambajului prin ncovoiere, prin rsucire i prin ncovoiere rsucire a barelor comprimatecentric, respectiv fenomenul de pierdere a stabilitii barelor ncovoiate. Tot n acest capitol seprezint problemele specifice de stabilitate pentru profile cu perei subiri.

    Capitolul 3 este destinat fenomenului de pierdere a stabilitii elementelor comprimate centric.Capitolul debuteaz cu calculul ncrcrii critice de flambaj prin ncovoiere la bare idealecomprimate centric, nsoit de determinarea lungimilor de flambaj pentru cazurile elementare derezemare. Sunt date n continuare formulele de calcul pentru ncrcarea critic de flambaj prinrsucire i pentru ncrcarea critic de flambaj prin ncovoiere-rsucire. Ca informaiecomplementar neconflictual cu prevederile SR EN1993-1-1, n relaie cu acest capitol, Anexa Iprezint calculul coeficientului de zveltee transformat pentru barele cu seciuni cu o ax desimetrie solicitat la compresiune axial care flambeaz prin ncovoiere-rsucire.

    Tot in cadrul acestui capitol se prezint modul de determinare a caracteristicilor eficace aseciunilor transversale pentru profile cu perei subiri, pentru a ine cont de efectul voalrii

    pereilor seciunii transversale (flambajul local). Capitolul prezint n continuare efectulimperfeciunilor i procedura de verificare la flambaj a barelor comprimate centric nconformitate cu SR EN 1993-1-1.

    Pentru cazul general al unui element ntr-o structur, pentru stabilirea ncrcrii critice i implicita lungimii de flambaj, n Anexa II se prezint o metodologie de determinare a lungimilor deflambaj pentru stlpii structurilor n cadre multietajate (metoda Wood), iar n Anexa III seprezint tabele pentru determinarea lungimilor de flambaj pentru stlpii structurilor parter cuseciune constant sau n trepte. De asemenea, n Anexa II, se prezint o metod de determinare a

    ncrcrii ultime de cedare (Metoda Merchant-Rankine) pentru structuri multietajate cu noduririgide. Dei aceste metodologii de verificare nu apar n norma SR EN 1993-1-1, s-a consideratutil prezentarea acestora, ca informaie complementara neconflictual, necesar n calculul deverificare la stabilitate, sau avnd n vedere caracterul practic al acestora (Metoda Merchant-Rankine).

    Capitolul trateaz n final particularitile verificrii la flambaj a barelor compuse uniformesolicitate la compresiune centric (cazul barelor comprimate compuse ale cror ramuri sunt ncontact sau sunt puin deprtate i legate cu fururi), respectiv a barelor comprimate solidarizatecu zbrele respectiv cu plcue.

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    8/2347

    Exemplele de calcul aferente acestui capitol conin verificarea stabilitii generale a barelorsolicitate la compresiune uniform, inclusiv a celor cu seciunea de clasa 4 (cu determinareacaracteristicilor eficace) i a barelor cu seciune compus solidarizat cu plcue, influenablocajelor laterale, determinarea lungimii de flambaj a stlpilor dintr-un cadru multietajat,respectiv determinarea lungimii de flambaj a stlpilor cu seciune variabil n trepte.

    Capitol 4 este destinat fenomenului de pierdere a stabilitii elementelor ncovoiate. Se prezint

    instabilitatea n domeniul elastic, urmat de instabilitatea n domeniul inelastic, cu determinareamomentului critic elastic pentru elemente solicitate la ncovoiere. Se studiaz efectele moduluide ncrcare i a condiiilor de rezemare la capetele barei asupra momentului critic elastic,precum i efectul imperfeciunilor i efectul plasticizrii.

    Se prezint metodele de verificare la flambaj prin ncovoiere rsucire, conform SR EN 1993-1-1, att Metoda general de calcul, ct i Metoda alternativ de calcul pentru profile laminate sauseciuni sudate echivalente. Se prezint i metoda simplificat pentru grinzi cu legturitransversale, fcnd parte din structuri.

    Ca informaie complementar neconflictual cu prevederile SR EN 1993-1-1, n relaie cu acestcapitol, Anexa V prezint o procedur de calcul pentru coeficieni C1 i C2, pentru elemente

    structurale sub efectul combinat al momentelor ncovoietoare aplicate la capete i al ncrcrilortransversale direct aplicate.

    Exemplele de calcul aferente acestui capitol conin determinarea rezistenei la pierdereastabilitii prin ncovoiere-rsucire a barelor ncovoiate pentru cazul barei simplu rezematenefixate lateral (se prezint de asemenea, determinarea momentului critic pentru diverse situaiide ncrcare, rezemare, respectiv fixare laterala), respectiv a unei pane de acoperi solicitatalternant (se verific condiiile n care tabla asigur fixarea tlpii superioare i se consider deasemenea ipoteza utilizrii unor tirani de fixare lateral). Exemplele de calcul prezint deasemenea verificarea barelor cu seciuni de clasa 4.

    Capitolul 5 prezint stabilitatea elementelor solicitate la ncovoiere cu compresiune axial. La

    nceput se trateaz aspecte legate de producerea fenomenului, respectiv bazele metodelor decalcul aplicate n practic. n continuare se prezint metodele de verificare a elementelorconform SR EN 1993-1-1: (1) Bare solicitate la ncovoiere i compresiune cu seciunetransversal uniform. Utilizarea factorilor de interaciune folosind metoda din anexa A (Metoda1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1; (2) Metoda general de verificare aelementelor structurale la flambaj prin ncovoiere i flambaj prin ncovoiere rsucire: aplicarela componentele structurale i la cadre parter.

    Exemplele de calcul aferente acestui capitol conin determinarea rezistenei la pierdereastabilitii a barelor cu seciune constant, a barelor cu seciune variabil (3 tlpi) i a barelor cuseciune compus solidarizate cu plcue. De asemenea, se prezint determinarea seciuniiechivalente pentru verificarea barelor cu seciune variabil solicitate la interaciunea M-N,precum i verificarea barelor cu seciuni de clasa 4.

    Prezentul document se adreseaz firmelor de proiectare, experilor, verificatorilor, precum iunitilor de nvmnt de profil.

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    9/2348

    2. FENOMENUL DE PIERDERE AL STABILITII. ASPECTE GENERALE

    2.1 Pierderea stabiliti prin bifurcarea i prin limitarea echilibrului

    2.1.1 Stri de echilibru

    Teoria clasic a stabilitii stabilete condiiile n care un sistem structural, sau un element

    structural aflat iniial n stare de echilibru, nceteaz a mai fi stabil. n termeni generali,stabilitatea unui sistem fizic poate fi definit ca abilitatea sistemului respectiv de a se ntoarce nstarea de echilibru iniial, dup ce a fost uor perturbat.

    Pentru un sistem mecanic (fenomenul de pierdere a stabilitii elementelor de rezisten utilizaten construcii poate fi descris utiliznd noiunile de mecanic clasic) poate fi adoptat definiiadat de Dirichlet: Echilibrul unui sistem mecanic este stabil, dac prin deplasarea punctelorsistemului din poziia de echilibru cu o cantitate infinitezimali dnd fiecrui punct o viteziniial, deplasrile diferitelor puncte ale sistemului rmn, n timpul micrii, coninute ntreanumite limite.

    n spiritul definiiei date de Dirichlet, dac se consider un sistem elastic conservativ aflat iniial

    n stare de echilibru sub aciunea unui set de fore, sistemul va prsi starea de echilibru doardac va fi acionat de o for exterioar sistemului iniial n echilibru (n conformitate cu primalege a Mecanicii Clasice aa cum a fost enunat de Newton Legea ineriei). Considerndenergia total, E, introdus n sistem de ctre fora perturbatoare, se poate scrie urmtoareaecuaie de echilibru, n virtutea legii de conservare a energiei:

    E=Ec +Ep = constant (2.1)

    n careEc este energia cinetic a sistemului, respectivEp este energia potenial a acestuia.

    O cretere a energiei cinetice este nsoit de o scdere a energiei poteniale i invers, nconformitate cu legea conservrii energiei. Dac sistemul este iniial ntr-o configuraie de

    echilibru cu energie potenial minim, atunci energia potenial din ecuaia de conservare aenergiei crete i n aceste condiii energia cinetic datorat micrii sistemului, trebuie s scad.Astfel, deplasarea din starea iniial de echilibru n urma perturbrii sistemului cu o forexterioar va rmne mici starea de echilibru este una stabil.

    Acest fenomen poate fi foarte bine ilustrat pe modelul mecanic binecunoscut din Figura 2.1, cuajutorul unui corp rigid sferic pe o suprafa curb. Dac n starea iniial de echilibru sfera seafl pe o suprafa concav (a se vedea Figura 2.1a), atunci echilibrul este stabil; dac sfera estescoas din poziia iniial cu energie potenial minim, aceasta va ncepe s oscileze i, n celedin urm, va reveni la poziia de echilibru. Dac sfera se afla pe o suprafa convex, ntr-opoziie de energie potenial maxim (a se vedea Figura 2.1c), atunci o perturbare a pozi ieiiniiale conduce la creterea energiei cinetice, respectiv la scderea energiei poteniale i sfera seva ndeprta cu vitez tot mai mare de poziia iniial de echilibru. n acesta situaie se spune cechilibrul este instabil. Starea de echilibru indiferent este ilustrat de modelul mecanic prin sferape un plan orizontal (a se vedea Figura 2.1b), n care pentru orice vecin tate a poziiei iniiale deechilibru, energia potenial este aceeai.

    Se poate face mai departe o analogie ntre comportamentul modelului mecanic cu corp rigid icomportamentul unui element structural (bara comprimat) pentru definirea strilor de echilibruale acestuia. Se presupune bara ideal comprimat (perfect dreapt, fr imperfeciuni, cu un

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    10/2349

    comportament de material perfect elastic) din Figura 2.1a, aflat iniial n stare nedeformat,solicitat la o for axial de compresiuneN.

    a) echilibru stabil b) echilibru indiferent c) echilibru instabilFig. 2.1: Analogia ntre comportamentul modelului mecanic cu corp rigid i comportamentul

    unui element structural pentru definirea strilor de echilibru

    Dac se perturb poziia de echilibru a acesteia, spre exemplu cu o for concentrat deintensitate redus aplicat orizontal la mijlocul nlimii, bara va suferi o ncovoiere. Poziia deechilibru stabil, prin analogie cu modelul mecanic, presupune ca dup anularea foreiperturbatoare, bara revine n poziia dreapt sub aciunea foreiN.

    Dac se mrete treptat foraN, se constat c bara revine din ce n ce mai greu la poziia iniialnedeformat dup anularea forei perturbatoare. Pentru o anumit valoare a forei decompresiuneN=Ncr, bara nu mai revine n poziia iniial dup anularea forei perturbatoare iva rmne n poziia deformat sub aciunea forei Ncr. Aceasta este situaia de echilibruindiferent pentru bara comprimat, n care, la limit, pot exista sub aciunea forei decompresiuneNcr, dou configuraii de echilibru a barei: poziia iniial dreapt, n absena foreiperturbatoare, sau poziia deformat, dup aciunea forei perturbatoare cu intensitate redus.

    Dac fora de compresiune este mai mare dect valoareaNcr, bara se deformeaz accentuat la ceamai mic for perturbatoare. Depirea lui Ncr conduce la pierderea stabilitii echilibrului(cedarea elementului prin pierdere de stabilitate, sau cedarea elementului prin flambaj). Situaia

    N>Ncrcorespunde situaiei de echilibru instabil.

    2.1.2 Flambajul prin bifurcarea echilibrului

    Exemplele intuitive prezentate mai sus arat c stabilitatea unui sistem este legat de energiapotenial a acestuia. Cu toate acestea, stabilitatea unui sistem elastic (a unui element structuralsau a unei structuri) poate fi exprimati prin conceptul de rigiditate al sistemului. Cu referire laFigura 2.1a, n cazul modelului mecanic, derivata energiei poteniale n raport cu deplasarea esterigiditatea sistemului dat de panta suprafeei.

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    11/23410

    n cazul barei comprimate, rigiditatea sistemului este dat de rigiditatea la ncovoiere a acesteia,care depinde de seciunea transversal, lungimea barei, modulul de elasticitate al materialului dincare este alctuit i nu n ultimul rnd de condiiile de rezemare. Toate aceste caracteristicireprezint, n calculul structurilor pentru construcii, parametrii care condiioneaz fenomenul deinstabilitate.

    n consecin, o rigiditate pozitiv a sistemului implic o stare stabil de echilibru, n timp ce nsituaia de echilibru indiferent rigiditatea devine nul. Pentru o structur de rezisten, rigiditateaeste dat sub forma matriceal (matrice de rigiditate a structurii), care dac este pozitiv definitgaranteaz starea de echilibru stabil a structurii. Punctul n care starea unui element sau sistemstructural elastic trece din starea de echilibru stabil n cea de echilibru indiferent definete starealimit de stabilitate a elementului sau a structurii.

    Comportamentul barei ideale comprimate din Figura 2.1 poate fi definit prin caracteristica forde compresiune sgeat la mijlocul barei deformate, aa cum se arat n graficul din Figura 2.2(ESDEP, 1994). Punctul critic din acest grafic, corespunztor atingerii forei Ncr, dup care,pentru o fora perturbatoare foarte mic deplasrile sistemului devin mari i se produce flambajulbarei, se numete punct de bifurcare. Acest tip de pierdere a stabilitii echilibrului unui

    element structural (sau a unei structuri), n care n punctul de bifurcare sunt posibile dou formede echilibru, aa cum se arat i n Figura 2.2, una descris de caracteristica fora-deplasareprimar de echilibru (echilibru instabil n configuraia nedeformat), respectiv de caracteristicasecundar de echilibru, n configuraia deformat (curba post-critic), se numete pierdere destabilitate prin bifurcarea echilibrului, sau flambaj prin bifurcare.

    Fig. 2.2: Stabilitatea barei comprimate drepte fr imperfeciuni flambajprin bifurcarea echilibrului (ESDEP, 1994)

    Dac bara nu este iniial dreapt (exist imperfeciuni, definite printr-o curbur iniial a barei)sgeata crete odat cu ncrcarea Ni nu se mai produce o pierdere de stabilitate brusc prinbifurcarea echilibrului; n acest caz exist o cretere continu accentuat a deplasrilor, aa cumse arat n Figura 2.3 (ESDEP, 1994). Acest fenomen este numit divergen a echilibrului i numai exist, n acest caz, o limit strict de stabilitate. Dac materialul rmne elastic, aa cum s-a

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    12/23411

    presolicitat iniial, rigiditatea barei comprimate (dat aici de panta caracteristicii for deplasare) este ntotdeauna pozitiv, dar o cretere mic de for axial implic un spor importantde deplasare.

    (a) Bara comprimata cu imperfeciuni (b) caracteristica for axial - deplasareFig. 2.3: Stabilitatea barei comprimate drepte cu imperfeciuni iniiale (ESDEP, 1994)

    Reducerea rigiditii unui element structural se datoreaz n general schimbrii n geometriaacestuia, sau a proprietilor mecanice. Reducerea rigiditii datorit doar modificrii geometrieielementului n cazul elementelor ideale, cu un comportament de material perfect elastic, nucauzeaz ntotdeauna pierderea de stabilitate, dar conduce la deplasri mari. Pe de alt parte,reduceri substaniale de rigiditate ale elementului pot fi rezultatul schimbrii proprietilormecanice, care conduc la cedarea elementului. Acest aspect important va fi discutat n sec iunea3.2. Este de menionat aici, totui, faptul c modelul fizic cel mai apropiat de realitatea

    fenomenului de instabilitate este cel al divergenei echilibrului, aa cum a fost definit de ctreDutheil (1966), care st la baza calculului de stabilitate al elementelor structurale din oel, nconformitate cu normele de calcul europene. Acest model se aplic la bara real, afectat deimperfeciuni, care pot fi asimilate cu o curbur iniial (a se vedea Figura 2.3a). Dac n acestmodel se ine cont i de plasticizarea materialului, odat cu creterea ncrcrii, gradul deplasticizare a celei mai solicitate seciuni transversale (seciunea de la mijlocul barei, pentrumodelul de bar dublu-articulat la capete cu curbur iniial, solicitat la compresiune cu

    ncovoiere), micoreaz la un moment dat gradientul de cretere al momentului ncovoietor,obinut prin reducerea forelor interioare. Astfel, creterea efortului moment ncovoietor ajunge

    n divergen cu creterea momentului exterior (dat de fora de compresiune prin sgeata barei)i echilibrul devine instabil, producndu-se astfel cedarea barei (Mateescu .a., 1980). Aa cums-a menionat anterior, aspectele legate de plasticizare vor fi reluate n sec iunea 3.2. n

    continuare, n aceast seciune, se vor prezenta doar aspectele legate de cedarea prin flambaj aelementelor care prezint un comportament al materialului perfect elastic.

    Dup punctul de bifurcare, aa cum a fost definit n Figura 2.2, pentru caracteristica decomportament for deplasare post-critic pot s apar trei situaii, funcie de tipul sistemuluistructural. Figura 2.4 prezint curbele de echilibru ale sistemului perfect, respectiv a sistemuluicu imperfeciuni (imperfect) pentru cele trei situaii menionate. n aceast figur, N este

    ncrcarea aplicat, este o deplasare a unui punct din structur i este amplitudineaimperfeciunii.

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    13/23412

    Figura 2.4a (ESDEP, 1994) prezint situaia flambajului prin bifurcare simetric stabil. naceast situaie, comportamentul post-critic nu este afectat de semnul imperfeciunilor (spreexemplu, la bara comprimat cu imperfeciuni din Figura 2.3, nu conteaz sensul curburii iniiale

    n comportamentul post-critic). Imperfeciunile pozitive sau negative au efect similar i conducla o curb post-critic stabil, n care creterea deplasrilor se face odat cu creterea

    ncrcrilor. Acest tip de comportament apare spre exemplu la bara dreapt comprimat (a sevedea Figura 2.2), la plci plane, sau la structuri, cum este cazul cadrului dublu-articulat din

    Figura 2.5 (ESDEP, 1994).

    Figura 2.4b (ESDEP, 1994) prezint situaia flambajului prin bifurcare simetric instabil. naceasta situaie, imperfeciunile joac un rol important n modificarea comportrii sistemuluistructural, acestea introducnd o ncrcare de cedareNu mai mic dect ncrcarea critic. Acesttip de comportament apare spre exemplu la cilindrul circular comprimat sau la arcul dublu-articulat ncrcat radial, aa cum se arat n Figura 2.6 (ESDEP, 1994).

    a) Bifurcare simetric stabil

    b) Bifurcare simetric instabil

    c) Bifurcare nesimetricFig. 2.4: Comportamentul post-critic (ESDEP, 1994)

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    14/23413

    Figura 2.4c (ESDEP, 1994) prezint situaia flambajului prin bifurcare nesimetric. n aceastsituaie, comportamentul post-critic depinde de sensul imperfeciunilor. Pentru valori mici aleimperfeciunilor negative, spre exemplu, aa cum se arat n Figura 2.4c, curba post-critic estestabil. Pentru valori mici ale imperfeciunilor pozitive, sistemul i poate pierde stabilitatea la o

    ncrcare limitNu mult redus fa de ncrcarea criticNcr. Un exemplu tipic de structur cuacest tip de comportament este prezentat n Figura 2.7 (ESDEP, 1994) (bara cotit, pentru careimperfeciunea pozitiv sau negativ este dat de punctul de aplicare al forei concentrate, spre

    exteriorul cadrului n cazul comportrii post-critice stabile, respectiv spre interiorul cadrului ncazul comportrii post-critice instabile).

    Fig. 2.5: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric stabil (ESDEP, 1994)

    Fig. 2.6: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric instabil (ESDEP, 1994)

    Fig. 2.7: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric instabil (ESDEP, 1994)

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    15/23414

    n concluzie, flambajul prin bifurcarea echilibrului apare n general la structuri ideale, frimperfeciuni, sau la structuri pentru care deformaia primar a componentei pre-critice nucuprinde deformaia de instabilitate. n cazul n care deformata primar pre-critic cuprindedeformata de instabilitate, pierderea de stabilitate se produce, la fel ca n exemplul din Figura 2.7pentru imperfeciuni pozitive, prin limitarea echilibrului i ncrcarea limit n aceast situaie senumete ncrcare de limitare a echilibruluiNu. Nu toate structurile ideale, fr imperfeciuni, i

    pierd stabilitatea prin bifurcare; pot s apar situaii n care o structur fr imperfeciuni ipierde stabilitatea prin limitarea echilibrului.

    2.1.3 Flambajul prin limitarea echilibrului

    Aa cum s-a artat n 2.1.2, flambajul prin bifurcarea echilibrului nu este singura form deinstabilitate care poate s apar. Pentru anumite structuri elastice, pentru care deformatapre-critic cuprinde deformata de instabilitate, flambajul prin limitarea echilibrului apare atuncicnd caracteristica ncrcare-deplasare iniial stabil devine instabil la atingerea unui maximlocal al ncrcrii (ncrcarea de limitare a echilibrului Nu), denumit punct limit al sistemuluistructural, aa cum se arat n Figura 2.8 (ESDEP, 1994). n aceeai figur, se arat c pentru

    astfel de sisteme structurale, rspunsul aceluiai sistem cu imperfeciuni este similar cu cel alsistemului perfect, diferena constnd n valoarea ncrcrii Nui a sistemului cu imperfeciuni,care poate fi superioar sau inferioar ncrcrii Nu a sistemului perfect, funcie de sensulimperfeciunilor. Tipic pentru acest mod de pierdere al stabilitii este c dup atingerea

    ncrcriiNu deplasrile cresc fr creterea suplimentar a ncrcrilor.

    Fig. 2.8: Flambaj prin limitarea echilibrului pentru un sistem fr imperfeciuni geometrice,respectiv pentru un sistem cu imperfeciuni (imperfect) (ESDEP, 1994)

    n cazul structurilor reticulate intr-un singur strat sau a arcelor pleotite, la care sgeata

    (nlimea) este mic n raport cu deschiderea, se produce aa numitul flambaj prin traversare,sau salt al echilibrului. n aceste situaii, dup atingerea ncrcrii de limitare a echilibrului,structura gsete alt poziie de echilibru, la care ajunge dup parcurgerea unor deplasri mari,aa cum se arat n figura 2.9 (ESDEP, 1994), pentru cazul unui sistem static determinat cu douabare articulate. La aplicarea ncrcrii, caracteristica ncrcare-deplasare urmrete curba 0-1 dinfigura. n punctul 1 se atinge ncrcarea de limitare a echilibrului i sistemul trece brusc npoziia de echilibru 2, trecnd prin curba 1-3 de echilibru instabil (care nu este accesibila nprocesul de ncrcare), respectiv prin curba 3-2 de echilibru stabil. In punctul 2 sistemul segsete n poziie inversat fata de poziia iniial, aa cum se arat n figura 2.9 i suportcreterea ncrcrii, care se produce pe o caracteristic ncrcare-deplasare stabil.

    NUi

    NUi

    NU

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    16/23415

    Fig. 2.9: Saltul echilibrului (ESDEP, 1994)

    2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric

    Flambajul barelor zvelte comprimate centric se produce, n general, prin ncovoiere n jurul axeiprincipale minime de inerie a seciunii transversale, sub fora de compresiune critic, Ncr, aacum se arata n Figura 2.10a.

    n cazul barelor cu seciune transversal deschis, dublu-simetric (centrul de tiere coincide cucentrul de greutate), sau chiar cu seciune mono-simetric (T, corniere cu aripi egale), la care

    rigiditile la ncovoiere n raport cu axele principale sunt apropiate ca valoare, poate s aparflambajul prin rsucire sau torsiune, sub fora de compresiune critic, Ncr,T. Flambajul prinrsucire se produce prin rotirea seciunii transversale n jurul axei longitudinale, aa cum se arat

    n Figura 2.10b (da Silva .a., 2010).

    Flambajul prin ncovoierersucire, sub fora critic de compresiune, Ncr,TF, apare la barele cuseciune transversal deschis mono-simetric sau cu seciune oarecare, la care centrul de tierenu coincide cu centrul de greutate i pentru care rigiditatea la ncovoiere n raport cu axa desimetrie are valori apropiate de rigiditatea la ncovoiere n raport cu axa perpendicular cu axa desimetrie. Flambajul prin ncovoiere rsucire se produce prin rotirea seciunii transversale n

    jurul axei longitudinale, concomitent cu ncovoierea elementului n lungul axei, aa cum se aratn Figura 2.10c (da Silva .a., 2010).

    Pierderea de stabilitate prin ncovoiere rsucire este caracteristica elementelor comprimate cuseciune transversal deschis, cum ar fi spre exemplu corniere, profile U, sau sec iuni n T,pentru care rigiditatea la torsiune este redus. Evident, exist ntotdeauna posibilitatea pierderiistabilitii prin ncovoiere n raport cu axa de inerie principal minimi o astfel de verificaretrebuie efectuat. Pentru barele comprimate cu seciune I sau H, modul critic de pierdere astabilitii este, n mod normal, flambajul prin ncovoiere. Totui, n prezena imperfeciunilor,inerente, i aceste bare i pot pierde stabilitatea prin rsucire, prin urmare o verificare din acest

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    17/23416

    punct de vedere este necesar. Doar barele comprimate cu seciuni tubulare, circulare saurectangulare, pot fi considerate la adpost de pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire.

    a) ncovoiere b) Rsucire c) ncovoiere-rsucireFig. 2.10: Flambaj prin ncovoiere, rsucire i ncovoiere rsucire pentru bare comprimate

    centric (da Silva .a., 2010)

    2.3 Instabilitatea barelor ncovoiate

    Dimensionarea barelor sub aciunea momentului ncovoietor conduce la seciuni cu rigiditate la ncovoiere mare n planul de aciune al momentului ncovoietor i mult mai redus n planperpendicular. Flambajul lateral prin ncovoiere rsucire este caracterizat printr-o translaie azonei comprimate a seciunii transversale (talpa comprimat, spre exemplu, n cazul profilelor Isau H), perpendicular pe planul de simetrie al seciunii care conine axa principal minim deinerie, concomitent cu o rsucire a seciunii elementului n jurul axei longitudinale (denumit nliteratura de specialitate i lateral-torsional buckling, deversement sau flambajul general algrinzii conform STAS 10108/0-78, caracteristic barelor solicitate la ncovoiere pur). Aceast

    parte a seciunii transversale se comport ca un element comprimat, care i pierde stabilitateaprin ncovoiere, dar are deplasarea mpiedicat de zona ntins din seciune, care nu are iniialtendina de a se deplasa lateral. Aa cum se arat n Figura 2.11, n care flambajul lateral prin

    ncovoiere - rsucire este ilustrat pentru o grind n consol, deformarea rezultant a seciuniitransversale include att ncovoierea lateral (dup axa minim de inerie a profilului) ct itorsiunea, de unde i denumirea fenomenului.

    Fig. 2.11: Flambajul lateral prin ncovoiere - rsucire pentru elemente ncovoiate

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    18/23417

    2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu perei subiri

    Utilizarea profilelor cu grosimi reduse i a oelurilor cu rezistene ridicate implic rezolvareaunor probleme de proiectare deosebite, care nu sunt ntlnite n proiectarea structurilor din o elclasice. Instabilitatea structural se produce mai repede, ca rezultat al voalrii pereilor seciunii

    transversale, care interacioneaz cu flambajul global al elementului. Utilizarea oelurilor curezistene ridicate poate face ns ca tensiunea critic corespunztoare voalrii pereilor seciuniitransversale s fie aproximativ egal cu limita de curgere.

    n analiza comportrii barelor cu perei subiri trebuie s se in cont de cele trei moduri specificede pierdere a stabilitii care apar, dup cum se prezint n Figura 2.12:1. Modurile de instabilitate locale, care se produc prin voalarea unuia sau mai multor pere i

    componeni ai profilului. n acest caz nodurile care descriu seciunea transversal ipstreaz poziia iniiali, are loc deformarea pereilor ntre aceste noduri.

    2. Modurile de instabilitate distorsionale, sunt moduri de instabilitate care se produc atunci cndrebordurile seciunii transversale nu au suficient rigiditate i, astfel, are loc o rotire aansamblului talp-rebord n jurul inimii, deci nodurile care descriu seciunea transversal nu

    i mai pstreaz poziia iniial ca n cazul voalrii.3. Moduri globale de instabilitate, care au loc prin flambajul barei prin ncovoiere, prin

    ncovoiere-rsucire (n cazul elementelor comprimate) sau prin ncovoiere lateral cuncovoiere-rsucire (denumit n literatura de specialitate i lateral-torsional buckling,deversement sau flambajul general al grinzii conform STAS 10108/0-78, caracteristicbarelor solicitate la ncovoiere pur).

    Modurile locale i distorsionale de instabilitate apar cu precdere n cazul zvelteilor de barreduse, i sunt caracterizate de lungimi de semiund diferite. Flambajul local i cel prindistorsiune pot fi considerate ca fiind moduri de flambaj secional i pot interaciona att ntre elect i cu moduri globale de flambaj (Dubin, 1996).

    Din punct de vedere al analizei de stabilitate, o bar cu perei subiri se caracterizeaz prin:- zvelteea redus de bar ( ) ;- zvelteea redus de perete ( p );- fora critic elastic (Ncr) sau momentul critic elastic (Mcr) pentru flambajul de bar,

    instabilitatea global;- fora critic (NL) pentru voalarea pereilor (instabilitatea local).

    Funcie de valorile zvelteilor reduse ( ) i ( p ), respectiv de valoarea raportului (Ncr/NL), sedisting trei categorii de bare:

    - bare scurte, care sunt caracterizate de instabilitatea local sau distorsional;

    - bare lungi, care sunt caracterizate de instabilitatea global;- bare de lungime medie, la care apar i interacioneaz ambele moduri de instabilitate.

    n Figura 2.12 se prezint cteva moduri de flambaj simple i cuplate pentru o seciune Csolicitat la compresiune. Rezultatele au fost obinute printr-o analiz de stabilitate cu elementfinit.

    Pentru o seciune dat se pot obine diferite moduri de pierdere a stabilitii funcie de lungimeade flambaj, aa cum se arat n Figura 2.13 (Hancock, 1998). Figura 2.13 s-a obinut n urmaunei analize cu un program bazat pe metoda fiilor finite i descrie modificarea forei critice de

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    19/23418

    flambaj funcie de lungimea de semiund. Primul minim (punctulA) apare pe curb la o lungimede semiund de 65mm i reprezint flambajul local. Flambajul local se produce prin deformareainimii elementului, fr rotirea ansamblului talp-rigidizarea n jurul punctului de legtura dintreinim i talp. Al doilea minim pe curb apare n punctul B, la o lungime de semiund de280mm. Acesta este modul de flambaj prin distorsiune, i se produce prin rotirea ansambluluitalp-rigidizarea fa de inima profilului, fr o deplasare de ansamblu a seciunii transversale.Efortul corespunztor flambajului prin distorsiune (n punctulB) este uor mai mare dect efortul

    corespunztor flambajului local (n punctul A) i n cazul unui profil lung solicitat lacompresiune, mpiedicat s flambeze global, este de ateptat ca acesta s i piard stabilitateaprin flambaj local, mai repede dect printr-un flambaj prin distorsiune. Elementul i pierdestabilitatea general prin ncovoiere sau ncovoiere-rsucire la lungimi de semiund mari(punctele C, D i E). n acest caz particular, pentru seciunea considerat n Figura 2.13,pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire apare pn la lungimi de semiund de aproximativ1800mm. La lungimi de semiund mai mari se produce flambajul prin ncovoiere.

    (a) (b) (c) (d) (e)

    (f) (g) (h) (i) (j) (k)Fig. 2.12: Moduri de flambaj pentru un profil C format la rece comprimat

    Moduri simple: (a) local (L); (b) distorsional (D); (c) ncovoiere (F); (d) torsional (T); (e) ncovoiere-rsucire (FT).Moduri cuplate (interaciune): (f) L + D; (g) F + L; (h) F + D; (i) FT + L; (j) FT + D; (k) F + FT.

    Linia punctat din Figura 2.13, adugat figurii originale a lui Hancock (1998), reprezint curbamodurilor cuplate de flambaj. Efectul interaciunii dintre modurile de flambaj secionale iglobale const n creterea sensibilitii elementului la imperfeciuni, conducnd la eroziunea

    ncrcrii critice de flambaj (zonele haurate n Figura 2.13). De fapt, n realitate, datorit

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    20/23419

    prezenei imperfeciunilor, interaciunea modurilor de flambaj apare ntotdeauna n cazulprofilelor formate la rece cu perei subiri, n special n cazul barelor cu lungimi medii i lungi.

    Incovoiere-rasucire

    AB

    Rezistentalaflambaj(M

    pa)

    800

    700

    600

    500

    400

    300

    200

    100

    010 100 1000 10000

    Lungime de semi-unda (mm)

    VoalareDistorsiune

    Flambaj prinincovoiere-

    rasucire

    Toate modurile (interactiune)

    65mm 280mm

    C

    D E

    Fig. 2.13: Moduri de flambaj funcie de lungimea de semiund pentru un profil C

    solicitat la compresiune (Hancock, 1998)

    Figura 2.14 arat diferena de comportament dintre o bar cu perei groi i o bar de aceeailungime cu perei subiri. Att cazul barei ideale ct i cazul barei cu imperfeciuni suntprezentate. Pentru prima situaie (bara cu perei groi), se poate observa c n punctul B, cndfibrele marginale ncep s se plasticizeze, bara ncepe s i piard rigiditatea pn la atingereastrii limit ultime, Nu, n punctul C, dup care tinde asimptotic spre curba teoretic decomportament rigid-plastic. Teoria elastic este capabil s determine deplasrile i tensiunilepn n punctul n care se atinge limita de curgere. Poziia curbei rigid-plastice determin limitaabsolut a capacitii portante.

    f0

    f

    N

    N

    N

    Npl

    Ncr

    Nu

    f0

    Initiatiere plastificare

    B

    C D

    Elasto-plastic

    Rigid-plastic

    Ideal elastic

    Elastic cu imperfectiuni

    f

    N

    Npl

    Ncr

    Nu

    NL

    f0

    Aparitie voalare

    L

    C DElasto-plastic

    Rigid-plastic

    Ideal elastic

    Elastic cu imperfectiuni

    f

    Initiatiere plastificare

    B

    Fig. 2.14: Comportarea unui profil comprimat cu (a) seciune obinuiti (b) perei subiri

    n cazul n care bara este cu perei subiri, fenomenul de instabilitate prin voalare local apereilor apare naintea nceputului plastificrii seciunii, n punctul L. Prin voalarea pereilor

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    21/23420

    apare o pierdere prematur de rigiditate a barei, ns nu se produce cedarea acesteia. Plastificareancepe n punctulB, la colurile seciunii transversale, cu puin nainte de cedarea elementului,cnd flambajul secional se transform ntr-un mecanism plastic local, simultan cu apariiaflambajului general (Dubina, 2000). n acest caz, ncrcarea ultim a barei este mai mic dectcea a unei bare la care nu apare voalarea. De fapt, flambajul secional apare naintea flambajuluigeneral, iar n practica proiectrii se opereaz cu caracteristici geometrice reduse ale seciuniitransversale.

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    22/23421

    3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE

    3.1 Calculul ncrcrii critice de flambaj la prin ncovoiere la bare ideale comprimatecentric. Determinarea lungimilor de flambaj

    Aa cum s-a artat n 2.1, ncrcarea critic elastic de flambaj prin ncovoiere, Ncr (ncrcareacritic Euler), se definete ca fiind valoarea forei de compresiune pentru care, o bar ideal,

    ncrcat exclusiv cu fora axial, poate s prezinte i deplasri laterale. Flambajul prin ncovoierea unei bare ideale comprimate centric este ilustrat n Figura 3.1 (da Silva .a., 2010). ncrcareacritic corespunde punctului de bifurcare a echilibrului.

    Pentru calculul ncrcrii critice elastice a barei comprimate rezemata articulat la ambele capete,cu seciune transversal constant pe toata lungimea elementului, se consider urmtoareleipoteze:

    - materialul are un comportament liniar elastic;- nu exist imperfeciuni geometrice i nici tensiuni reziduale;- ncrcarea se aplic perfect centric;- este valabil teoria micilor deplasri.

    Fig. 3.1: Flambajul prin ncovoiere al barei ideale (Euler) (da Silva .a., 2010)

    Pn n momentul atingerii ncrcrii critice elastice de pierdere a stabilitii, bara se deformeazdoar axial. Dup pierderea stabilitii, bara este ncovoiati apar deplasri laterale. Condiia deechilibru static n poziia deformat, lund n considerare i momentul ncovoietor produs defora axial (dup axaz) prin deplasrile laterale, este dat de urmtoarea ecuaie:

    02

    2

    =+Nydx

    ydEI (3.1)

    n careEeste modulul de elasticitate al materialului i Ieste momentul de inerie al seciuniitransversale dup axa perpendicular pe planul ncovoierii (dup axaz).

    Ecuaia diferenial are soluia:

    ( ) ( )kxCkxCy cossin 21 += (3.2)

    n care: ( )2 /k N EI = .

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    23/23422

    Impunnd condiiile de margine (deplasrile laterale sunt nule pe reazeme), rezult:pentruy(x = 0) = 0 C2 = 0;pentruy(x =L) = 0 C1 sin (k L) = 0;

    soluia C1 = 0, care nu intereseaz, deoarece nseamn c bara nu se deformeaz,sau rmne rezolvarea ecuaiei sin (k L) = 0:

    soluia k= 0 nu intereseaz, deoarece nseamn cP = 0 i deci nu ar exista

    fora de compresiune, soluia ecuaiei este, n aceste condiii kL = n.

    ncrcarea critic de pierdere a stabilitii se obine n consecin din:

    EI

    N

    L

    nknkL ===

    2

    222 (3.3)

    ncrcarea critic minim, corespunztoare configuraiei deformate din Figura 3.1 este dat deformula:

    22

    LEINcr = (3.4)

    n concluzie, pentru o bar ideal, ncrcarea critic elastic de pierdere a stabilitii depinde derigiditatea la ncovoiere, de lungimea acesteia i de condiiile de rezemare. Pentru alte condiii derezemare, ca alternativ la rezolvarea ecuaiei difereniale, ncrcarea critic poate fi obinutdirect, nlocuind n formul lungimea realL cu lungimea de flambaj Lcr. Lungimea de flambaj

    Lcr a unui element este definit ca lungimea barei echivalente dublu articulate, pentru carencrcarea critic este egal cu ncrcarea critic a barei reale. Lungimea de flambaj mai poate fidefinit ca fiind distana dintre dou puncte de inflexiune succesive pe deformata de pierdere astabilitii barei, egal cu lungimea unei semiunde. Aceasta interpretare este ilustrat n Figura3.2 (da Silva .a., 2010), n care sunt artate lungimile de flambaj pentru bara ideal cu diversecondiii de rezemare.

    Fig. 3.2: Lungimea de flambajLcrfuncie de lungimea real a barei, pentrudiverse condiii de rezemare (da Silva .a., 2010)

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    24/23423

    Tensiunea critic se obine mprind ncrcarea critic la aria seciunii transversale a barei:

    2

    2

    2

    2

    E

    AL

    EI

    E

    cr == (3.5)

    n care =Lcr/ i este zvelteea barei i /i I A= este raza de giraie a seciunii.

    Pentru o bar fr imperfeciuni, cu un material avnd un comportament elasto-plastic (aa cumse poate considera, n mod ideal, pentru oelul obinuit pentru construcii), cedarea se produceprin flambaj n domeniul elastic, dac tensiunea critic este inferioar limitei de curgere fy.Pentru o bar scurt, cu zveltee redus, cedarea se produce prin curgerea seciunii transversale,cnd tensiunea aplicat este egal cu limita de curgere, adic atunci cnd =NA =fy.

    Limita dintre cele dou tipuri de comportament este dat de o valoare a zvelteii, notat1, caredepinde de limita de curgere a materialului, dat de:

    2

    12

    1

    cr yy

    E Ef

    f

    = = = (3.6)

    Funcie de zvelteea 1, zvelteea relativ a barei (adimensional) se obine cu formula:

    cr

    y

    N

    Af==

    1

    (3.7)

    Comportamentul unei bare fr imperfeciuni, solicitat la compresiune, funcie de zvelteeaacesteia, este reprezentat n Figura 3.3.

    Fig. 3.3: Relaia tensiune zveltee pentru bara comprimat fr imperfeciuni

    3.2 Efectul imperfeciunilor

    n structurile reale, imperfeciunile nu pot fi evitate i, n general, cedarea se produce nainte deatingerea valorii ncrcrii critice, aa cum a fost definit anterior. Imperfeciunile pot fi

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    25/23424

    clasificate n dou tipuri: imperfeciuni geometrice (curburi ale elementelor, excentriciti alencrcrilor) i imperfeciuni de material (tensiuni reziduale).

    Pentru a determina efectul imperfeciunilor, se consider bara comprimata din Figura 3.4a (daSilva .a., 2010), cu o configuraie iniial deformat cu o curbur sinusoidal:

    =

    L

    xey

    sin

    00 (3.8)

    Ecuaia diferenial a echilibrului barei dublu-articulate cu imperfeciuni este:

    0)( 02

    2

    =++ yyNdx

    ydEI (3.9)

    a) Deformata iniial sinusoidal b) relaia ncrcare deplasare lateralaFig. 3.4: Bara cu imperfeciune iniial (da Silva .a., 2010)

    Introducnd expresia (3.8) n ecuaia (3.9) i considernd condiiile de marginey(0)=0 iy(L)=0,se obine urmtoarea soluie:

    =L

    x

    N

    N

    ey

    cr

    sin

    1

    0 (3.10)

    n careNcreste ncrcarea critica elastic Euler.

    Ecuaia deformatei totale a elementului se obine funcie de ncrcarea aplicataNcu formula:

    =+=L

    xe

    N

    Nyyy

    cr

    t

    sin

    1

    100 (3.11)

    Valoarea maxim, notat cu e, care se obine pentrux=L/2, este dat de formula:

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    26/23425

    crN

    N

    ee

    =

    1

    0 (3.12)

    O deformat iniial a barei, chiar pentru valori reduse ale forei axiale N, produce un momentncovoietor, dat de formula:

    =+=L

    xe

    N

    NNyyNxM

    cr

    sin

    1

    1)()( 00 (3.13)

    care cauzeaz o cretere progresiva a deplasrii laterale.

    Relaia dintre deplasarea lateral maximi ncrcarea aplicat este reprezentat n Figura 3.4.b.Pentru un element cu un comportament de material perfect elastic, cu o configura ie iniialdeformat, deplasrile ncep s creasc de la valori reduse ale ncrcrii, n mod asimptotic, pemsur ce ncrcarea aplicat tinde spre ncrcarea critic (pentru bara fr imperfeciuni). naceast situaie, nu mai exist punct de bifurcare a echilibrului.

    Referitor la imperfeciunile de material, n cazul elementelor din oel, tensiunile reziduale apardatorit rcirii difereniate pe seciunea transversal, n urma laminrii la cald sau a altor procesetehnologice care implic temperaturi nalte (sudare, tiere cu flacr etc.), sau n urma formriiseciunilor transversale la rece prin ndoire. Aceste tensiuni schimb comportamentul seciuniitransversale pe ansamblu, chiar dac formeaz un sistem n echilibru, aa cum se arat n Figura3.5 (daSilva .a., 2010), n care se exemplific distribuia tensiunilor reziduale care apar peseciunea transversal a unui profil I n urma laminrii la cald.

    Fig. 3.5: Tensiuni reziduale ntr-un profil I laminat la cald (da Silva .a., 2010)

    Figura 3.6 (da Silva .a., 2010) ilustreaz rezultatele unor teste experimentale pe barecomprimate, avnd zveltei diferite, n comparaie cu comportamentul teoretic al elementelor frimperfeciuni (ECCS, 1976). Se observ c pentru valori reduse ale zvelteii relative, cedareabarei se produce prin plastificarea seciunii transversale (valorile raportului tensiune / limit decurgere mai mari dect unitatea apar datorit ecruisrii). Pentru valori mari ale zvelteii relative,cedarea se produce prin flambaj n domeniul elastic, imperfec iunile neavnd o influenimportant. Pentru valori intermediare ale zvelteii relative, cedarea se produce prin flambajelasto-plastic. Acesta este domeniul n care imperfeciunile joac un rol important, n carerezultatele experimentale deviaz mult de la curba teoretic.

    compresiune

    ntindere

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    27/23426

    Calculul rezistenei barelor comprimate centric n SR EN 1993-1-1, se bazeaz pe curbeleeuropene de flambaj (ECCS, 1977), care relaioneaz raportul tensiune i limita de curgere (datde factorul de reducere = / fy) i zvelteea adimensional . Ca rezultat al unui importantprogram experimental i numeric (ECCS, 1976), care a considerat toate imperfeciunile posibileale elementelor reale (curbura iniial, excentricitate a ncrcrii, tensiuni reziduale), au foststabilite cinci curbe de flambaj, funcie de tipul seciunii transversale i axa principal a seciuniitransversale dup care se produce flambajul. Imperfeciunile au fost definite statistic n urma

    unei campanii extinse de msurtori (Strating i Vos, 1973) care a permis adoptarea unorimperfeciuni iniiale sinusoidale n simulrile numerice.

    Fig. 3.6: Rezultate experimentale pe elemente comprimate (da Silva .a., 2010)

    Formularea analitic a curbelor de flambaj (determinarea factorului de reducere ), prezentat ncontinuare, a fost realizat de ctre Maquoi i Rondal (1978), fiind bazat pe formula Ayrton-Perry, considernd o deformat iniial sinusoidal, n care amplitudinea deformatei a fostcalibrat astfel nct s reproduc efectul tuturor imperfeciunilor.

    Pentru a calcula factorul de reducere , se consider

    elementul comprimat centric, dublu-articulat, cu o configuraie a deformatei iniiale sinusoidal, dat de formula (3.8). Considerndc elementul nu are tensiuni reziduale, plastificarea fibrelor extreme ale sec iunii transversale seproduce cnd este ndeplinit urmtoarea condiie:

    y

    el

    fW

    eN

    A

    N=+ maxmax (3.14)

    n care:Nmax este valoarea maxim a forei de compresiuneN(limitat deNcr);e este deplasarea lateral corespunztoare foreiNmax;Wel este modulul de rezisten elastic al seciunii transversale.

    Relaia poate fi scris ntr-o forma adimensional nlocuind amplitudinea deformatei cu formula(3.12) i mprind toi termenii lafy:

    1

    1 max

    0maxmax =

    +

    pl

    cr

    pl

    pl

    el

    plN

    N

    N

    N

    NW

    AeN

    N

    N(3.15)

    curba Euler

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    28/234

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    29/23428

    2

    , 2 2

    1 wcr T t

    o T

    EIN GI

    i L

    = +

    (3.23)

    ncrcarea critic de flambaj prin ncovoiere-rsucire pentru elemente comprimate centric secalculeaz cu formula (a se vedea Figura 2.9c):

    2, , , , , , ,1 ( ) ( ) 42cr TF cr y cr T cr y cr T cr y cr T N N N N N N N

    = + + (3.24)

    n care:

    io este raza de giraie polar, 2 2 ( ) /o o y zi y I I A= + + ;

    G It este rigiditatea la torsiune a seciunii transversale;It este momentul de inerie la rsucire liber al seciunii transversale;E Iw este rigiditatea la rsucire mpiedicat a seciunii transversale;Iw este momentul de inerie la rsucire mpiedicat al seciunii transversale;LT este o lungime de flambaj echivalent care depinde de condiiile de rezemare din punctde vedere al rsucirii i deplanrii la capetele seciunii;

    Ncr,y este ncrcarea critic pentru flambaj prin ncovoiere dup axa de inerie y-y a seciuniitransversale (axay-y este ax de simetrie); Atunci cnd seciunea este simetric dup axa z-z, necuaia (3.24),Ncr,y trebuie nlocuit cuNcr,z. este un factor care se calculeaz cu formula =1(yo / io)

    2, n care yo este distana nlungul axeiy dintre centrul de tiere i centrul de greutate al seciunii transversale.

    n Anexa I se prezint coeficientul de zveltee transformat pentru barele cu seciuni cu o ax desimetrie solicitat la compresiune axial care flambeaz prin ncovoiere-rsucire.

    3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a seciunilor transversale pentru profile cu pereisubiri

    n seciunea 2.4 s-au prezentat problemele specifice de stabilitate pentru profilele din o el cuperei subiri. Reducerea rigiditii barei cu seciune transversal de acest tip, ca urmare avoalrii, poate fi modelat cu ajutorul unei seciuni transversale reduse a profilului n comparaiecu seciunea sa brut. Aceast seciune se numete seciune eficace i se obine evalundlimile eficace ale pereilor.

    Pentru definirea limii eficace de perete, se poate utiliza exemplul unui element comprimat. Deexemplu, inima profilului se comport ca o plac rectangular lung, perfect plan iniial,articulat dup cele dou laturi longitudinale i solicitat n sens longitudinal unei solicitri decompresiune uniform (a se vedea Figura 3.7).

    Cnd aceast compresiune uniform depete efortul unitar critic de voalare cr al plcii, aparunde de voalare care se amplific pe msur ce crete tensiunea.Fibrele longitudinale situate nzona undelor, datorit curburii lor, prezint o rezisten mai mic la compresiune, care se vadescrca asupra zonelor mai rigide, ctre reazeme. Rezult o diagram de efort unitar careprezint o adncitur la mijlocul lungimii ei, respectiv valori majorate ctre reazeme. n final,aceste valori majorate pot atinge limita elastic a materialuluify (a se vedea Figura 3.8).

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    30/23429

    Fig. 3.7: Voalarea pereilor comprimai

    b b b

    1max

    2max

    fy< 1max < cr 2max = fy

    Fig. 3.8: Starea de efort unitar ntr-un perete plan care voaleaz

    Pornind de la aspectul diagramelor din Figura 3.8, a aprut ideea nlocuirii plcii n stare voalatprin dou fii longitudinale, avnd fiecare limea beff/2i reprezentnd zona eficace (activ) aseciunii. Astfel, rezult efortul unitar majorat max considerat uniform pe ntreaga limeeficace, aa cum se vede din Figura 3.9.

    P>Pcrb

    a

    yx

    P>Pcrmax

    med

    x

    P>Pcrb

    P>Pcr

    a

    ybef/2

    x(y)

    max

    bef/2

    Fig. 3.9: Seciunea eficace a unui perete voalat

    Se admite c rezistena ultim a plcii se atinge atunci cnd max devine egal cu fy. Pentru adetermina limea eficace beff a plcii n stare limit ultim, se utilizeaz ipoteza lui Von Karman(autorul conceptului de lime eficace) conform creia tensiunea max corespunznddomeniului post critic, este egal cu tensiunea critic elastic corespunznd limii eficace,

    deci ( )max cr eff = .

    tiind c n general tensiunea critic de voalare a plcii se scrie:

    2

    p2

    2

    crb

    t

    )1(12

    Ek

    =

    (3.25)

    rezult:

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    31/23430

    2 22

    max 2( )

    12(1 )

    pcr eff cr

    eff eff

    bE tk

    b b

    = = =

    (3.26)

    n care:k este coeficient de voalare;

    E este modul de elasticitate; este coeficientul lui Poisson.

    La starea limit ultim:

    ( )

    2

    max .p

    cr yefeff

    bf

    b

    = =

    (3.27)

    sau:

    eff cr

    p y

    b

    b f

    = = (3.28)

    Deci, conform ultimei relaii, limea eficace, beff, se obine nmulind limea plan total aplcii, bp, cu un coeficient de reducere 1 (deci eff pb b= ), n care:

    py

    cr 1

    f

    == (3.29)

    iarcr

    yp

    f

    = este zvelteea redus de plac.

    Coeficientul de voalare k ia valori diferite funcie de modul cum este rezemat placa i de tipul

    solicitrii n planul plcii (compresiune, ncovoiere, forfecare). Astfel, se poate face deosebirea ntre pereii rigidizai (plci rezemate pe cele dou laturi longitudinale) i pereii nerigidizai(plci rezemate pe o singur latur longitudinal). Pe baza limilor eficace determinate, se potobine mai departe caracteristicile eficace ale seciunii.

    Procedeul de fabricaie influeneaz anumite caracteristici mecanice i geometrice ale profilelorformate la rece. n primul rnd, formarea la rece produce modificarea curbei caracteristice aoelului. Prin ecruisare, laminarea la rece conduce la creterea limitei de curgere, uneori i arezistenei la rupere, fenomen mai accentuat n colurile profilelor i apreciabil n inimi i tlpi.Presarea la rece las aceste caracteristici aproape neschimbate n inimi i tlpi.

    Profilele laminate la cald sunt afectate de tensiuni reziduale de tip membran, care depind de

    forma seciunii transversale i au o influen semnificativ asupra comportamentului lastabilitate. De aceea, tensiunile reziduale au constituit factorul cel mai important pentruncadrarea profilelor laminate la cald pe diferite curbe de flambaj n normele de calcul europene.n cazul profilelor formate la rece, tensiunile reziduale sunt n principal de ncovoiere, iarinfluena acestora asupra comportamentului la stabilitate este mai puin important dect cele detip membran. Pe de alt parte, procedeul de formare la rece influeneaz mrimea tensiunilorreziduale; laminarea la rece produce tensiuni reziduale de ncovoiere mai mari dect presarea larece. Datorit faptului c proprietile mecanice ale profilelor formate la rece sunt diferite de celeale profilelor formate la cald, ar trebui luate n considerare curbe de flambaj distincte, dar pentru

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    32/23431

    simplitatea procesului de proiectare se utilizeaz aceleai curbe de flambaj ca i pentru profileleformate la cald.

    n Figura 3.10 se prezint comparaia dintre curbele de flambaj pentru un profil C solicitat lacompresiune, calculate n conformitate SR EN 1993-1-1, considernd caracteristicile brute aleseciunii transversale (fr considerarea flambajului local) i caracteristicile reduse ale seciunii(caz n care se produce interaciunea dintre modul secional i cel global).

    N=N/Npl(Npl=Afy)

    NE (Euler)

    Sectiune redusa (Aeff)

    1.0

    N=Aeff/A

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    33/234

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    34/234

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    35/234

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    36/23435

    n ceea ce privete alegerea lungimii de flambaj a elementelor dintr-o structur, se faceprecizarea c utilizarea valorilor pentru cazurile de rezemare ideal a barelor prezentate nseciunea 3.1, pot fi utilizate doar n cazuri izolate. Pentru cazul general al unui element ntr-ostructur, pentru stabilirea ncrcrii critice i implicit a lungimii de flambaj, poate fi utilizatteoria clasic a barelor pe rezeme elastice. n baza acesteia, n Anexa II se prezint ometodologie de determinare a lungimilor de flambaj pentru stlpii structurilor n cadre

    multietajate, iar n Anexa III se prezint tabele pentru determinarea lungimilor de flambaj pentrustlpii structurilor parter cu seciune constant sau n trepte. De asemenea, n Anexa II, seprezint o metod de determinare a ncrcrii ultime de cedare (Metoda Merchant-Rankine)pentru structuri multietajate cu noduri rigide. Dei aceast metod nu apare n norma SR EN1993-1-1, s-a considerat util prezentarea acesteia, avnd n vedere caracterul practic al acesteia.

    3.6 Voalarea elementelor realizate din plci plane

    Efectul voalrii pereilor (flambajul local) se ia n considerare prin utilizarea caracteristicilorgeometrice eficace, determinate pe baza conceptului de lime eficace ale pereilor componeniexpui fenomenului de voalare, aa cum se arat n SR EN 1993-1-3 i SR EN 1993-1-5.

    Caracteristicile eficace ale seciunilor transversale de clas 4 (Aeff, Ieff, Weff) se utilizeaz nverificrile seciunilor transversale sau a elementelor la flambaj, respectiv n determinarearigiditii acestora, conform SR EN 1993-1-1. Acestea se determin pe baza distribuiei liniare atensiunilor n seciune, cu atingerea limitei de curgere n planul median al plcii comprimate.

    Caracteristicile seciunii eficace ale elementelor se bazeaz pe ariile eficace ale elementelorcomprimate i pe ariile eficace ale elementelor ntinse datorit efectului de shear lag.

    Aria efectiv, Aeff, se determinat presupunnd c seciunea transversal este solicitat doar latensiuni din compresiunea axial uniform. Pentru seciunile nesimetrice, are loc deplasarea, eN,a centrului de greutate al ariei eficaceAeff n raport cu centrul de greutate al sec iunii brute, aacum se arat n Figura 3.12, ceea ce conduce la un moment ncovoietor suplimentar, care trebuie

    luat n considerare la verificarea seciunii transversale, aa cu se va prezenta n 5.3.

    Seciune transversal brut Seciunea transversal eficace

    G centrul de greutate alseciunii brute

    G centrul de greutate alseciunii eficace

    1 axa neutr a seciuniibrute

    2 axa neutr a seciuniieficace

    3 zon neeficaceFig. 3.12: Seciune transversal de clas 4 solicitat la compresiune

    Modulul de rezisten al seciunii eficace Weff se determin presupunnd c seciuneatransversal este solicitat doar la ncovoiere, aa cum se prezint n Figura 3.13. Pentru

    ncovoiere biaxial (ncovoiere oblic) trebuie determinate modululele de rezisten eficacepentru ambele axe principale.

    G1

    2

    3

    3

    G

    Ge

    N

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    37/23436

    GG

    GG

    1

    1

    2

    2

    3

    3

    Seciunea transversal brut Seciunea transversal eficace

    G centrul de greutate al seciuniibrute

    G centrul de greutate al seciuniieficace1 axa neutr a seciunii brute2 axa neutr a seciunii eficace3 zon neeficace

    Fig. 3.13: Seciune transversal de clas 4 solicitat la ncovoiere

    Ariile eficace ale elementelor comprimate plane se vor obine folosind Tabelul 4.1 pentruelemente comprimate rezemate pe dou laturi i Tabelul 4.2 pentru elemente comprimate nconsol. Aria eficace a zonei comprimate a unei plci cu seciunea brutAc se va obine din:

    Ac,eff= Ac (3.40)

    unde este factorul de reducere care ine cont de voalarea plcii.

    Factorul de reducere poate fi considerat dup cum urmeaz: pentru elemente interne comprimate:

    = 1.0 pentru 0.673p (3.41a)

    ( )20, 055 3

    1.0p

    p

    += pentru 0.673p > , unde ( ) 03 + (3.41b)

    pentru elemente comprimate n consol:

    = 1.0 pentru 0.748p (3.42a)

    2

    0.1881.0

    p

    p

    = pentru 0.748p > (3.42b)

    unde/

    28.4y

    p

    cr

    f b t

    k

    = =

    este raportul de tensiuni;

    b este limea peretelui (pentru definiii, vezi Tabelul 5.2 din SR EN 1993-1-1)bw pentru inimi;b pentru elemente interne de talp (exceptnd seciunile tubulare rectangulare);b - 3 t pentru tlpi ale seciunilor tubulare rectangulare (RHS);c pentru tlpi n consol;h pentru corniere cu aripi egale;h pentru corniere cu aripi inegale;

    k este coeficientul de pierdere a stabilitii corespunztor raportului de tensiuni i condiiilorde margine (k se prezint n Tabelul 3.3 sau Tabelul 3.4, dup caz);

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    38/23437

    t este grosimea;cr este efortul unitar critic de voalare;

    2

    235

    /yf N mm =

    .

    Tabelul 3.3: Elemente comprimate rezemate pe dou laturi

    Distribuia tensiunilor (compresiune pozitiv) Limea eficace beff= 1:beff= bbe1 = 0.5 beff be2 = 0.5 beff

    1 > 0:beff= b

    effebb

    =

    5

    21 be2 = beff- be1

    < 0:

    beff= bc = b / (1-)be1 = 0.4 beff be2 = 0.6 beff

    = 2/1 1 1 > > 0 0 0 > > -1 -1 -1 > > -3Factor devoalare k

    4.0 8.2 / (1.05 + ) 7.81 7.81 6.29+ 9.782 23.9 5.98 (1 - )2

    Tabelul 3.4: Elemente comprimate n consolDistribuia tensiunilor (compresiune pozitiv) Limea eficace beff

    1 > 0:

    beff= c

    < 0:beff= bc = c / (1-)

    = 2/1 1 0 -1 1 -3Factor de voalare k 0.43 0.57 0.85 0.57 0.21+ 0.07

    2

    1 > 0:beff= c

    < 0:beff= bc= c / (1-)

    = 2/1 1 1 > > 0 0 0 > > -1 -1Factor de voalare k 0.43 0.578 / (+ 0.34) 1.70 1.7 - 5+ 17.1

    2 23.8

    b

    1 2

    bb e2e1

    b

    12

    bb e2e1

    b

    12b

    b

    b

    b

    e2

    t

    e1

    c

    2

    1

    b

    c

    eff

    2

    1

    b b

    beff

    t c

    12

    b

    c

    eff

    1

    2

    b

    cb b

    eff

    t

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    39/234

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    40/23439

    3.7.2 Flambajul elementelor componente ale barelor comprimate solidarizate cu zbrelerespectiv cu plcue

    n seciunea 3.6.1 s-a prezentat cazul barelor compuse cu seciune uniform, ale cror ramurisunt n contact sau sunt puin deprtate i legate cu fururi, pentru care se poate neglija efectulrigiditii la forfecare (rigiditatea la forfecare se poate considera infinit). Verificarea destabilitate pentru acest tip de bare se poate face la fel ca i n cazul barelor uniforme cu seciune

    unitar, ncadrnd seciunea n curbele de flambaj corespunztoare. Barele cu seciune compusdin elemente ndeprtate pot fi realizate prin solidarizare cu zbrele sau cu plcue, aa cum searat n Figura 3.16.

    (a) (b)Fig. 3.16: Bare cu seciune compus solidarizate cu (a) zbrele sau (b) plcue

    Problema specific pentru acest tip de bare compuse este flambajul n raport cu axa care nu taieprofilele care compun seciunea transversal, deoarece rigiditatea la forfecare nu mai poate fipresolicitat a fi infinit. Deformaiile din fora tietoare n elementele de solidarizare suntimportante i nu pot fi neglijate. Deformaiile din fora tietoare a elementelor de solidarizarereduc rigiditatea la ncovoiere i fora critic capabil a barei compuse. Fora critic a bareicompuse poate fi determinat cu relaia:

    v

    crcr

    vcr

    compcr

    S

    NN

    SN

    N

    +

    =

    +

    =

    1

    111

    1, (3.43)

    n care:

    Ncr este fora critic Euler, calculat neglijnd forfecarea cu formula

    2

    2

    L

    EIN

    eff

    cr

    = (3.44)

    Ieff este momentul de inerie efectiv a seciunii compuse care se poate calcula astfel:- pentru cazul barelor compuse cu zbrele:

    205.0 hAI cheff = (3.45a)

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    41/23440

    - pentru cazul barelor compuse cu plcue

    200.5 2eff ch chI A h I = + (3.45b)

    unde:Ach este aria seciunii transversale a unei ramuri (a se vedea Figura 3.16);

    h0 este distana ntre centrele de greutate ale ramurilor;Ich este momentul de inerie la ncovoiere al unei ramuri n plan;Sv este rigiditatea la forfecare a sistemului de solidarizare, cu zbrele sau plcue:

    echvGAS =

    unde: G este modulul de elasticitate transversal;Aech este aria inimii pline echivalente a stlpului,aa cum se prezint n Figura 3.17.

    Fig. 3.17: Seciune compus echivalent (principiu de calcul)

    SR EN 1993-1-1 abordeaz calculul de stabilitate al acestor tipuri de bare printr-un calcul deordinul II, considernd efectul imperfeciunilor de ansamblu coninut intr-o deformat

    echivalent sinusoidal cu o amplitudine iniialL/500, aa cum se arat n Figura 3.18.

    Fig. 3.18: Deformata iniial echivalent

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    42/234

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    43/23442

    Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stlp cu blocaje laterale;

    Exemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stlp dintr-un cadru multietajat;

    Exemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stlp in trepte;

    Exemplul E.6. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii a unui element compus solicitat lacompresiune uniform;

    Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale seciunii transversale a unui profil

    cu seciune de tip C format la rece, solicitat la compresiune;Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale seciunii transversale a unui profilcu seciune de tip C format la rece, solicitat la ncovoiere;

    Exemplul E.9. Calculul unui stlp cu seciune transversal de tip C format la rece, solicitat lacompresiune.

    EXEMPLE DE CALCUL

    E.1. Verificarea stabilitii generale a unui stlp solicitat la compresiune uniform(flambaj)

    Descrierea problemei

    Se consider o structur parter. Stlpul cadrului transversal este realizat din profilelaminate I i are nlimea de 6m. Rigla este realizat n soluie grind cu zbrele rezematarticulat pe stlp. Cadrele longitudinale sunt contravntuite. Se cere s se fac verificareastabilitii generale a stlpului cadrului.

    Schema static

    N

    L

    z

    y

    N

    L

    zy

    Figura E.1.1. Schema statica si lungimea de flambaj dup axele z-z, respectiv y-y

    Datele problemei

    Pentru verificarea de rezisteni flambaj a stlpului sunt necesare urmtoarele date:Fora axial NEd= 900 kNLungimea elementului L = 6,00 m

    Marca oelului S355Clasa seciunii Clasa 1

    Determinarea lungimii de flambaj

    Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); fL_y= 2,00Lungimea de flambaj (y-y); Lcr,y =fL_yL = 12,00 mMultiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 1,00Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z=fL_zL = 6,00 m

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    44/23443

    Observaie: Adoptarea lungimilor de flambaj egale cu 2L (dup axa maxim de inerie a

    stlpului), respectiv egale cu L (dup axa minim de inerie a stlpului) reprezint o soluie

    acoperitoare. Se subliniazfaptul c:

    - dac la extremitatea superioar a stlpului exist o contravntuire longitudinal de tipband n planul acoperiului, lucrnd eficienti care transmite solicitrile din stlp la

    frontoane, respectiv dac se evalueaz rigiditatea acestei contravntuiri, se poate lucra cu

    un reazem tip resort liniar la vrful stlpului, iar lungimea de flambaj pe aceasta direcie

    scade n consecin. Similar, s-ar putea opera n anumite cazuri, cu efectul de diafragmalnvelitorii. Ajungnd aici se poate extinde discuia i n legtur cu eficiena diafragmei

    acoperiului funcie de lungimea halei: la hale cu lungimi mari (unde frontoanele

    contravntuire sunt foarte departe de zona din mijlocul halei) probabil acest efect este

    neglijabil i ar fi perfect valabil ipoteza lungimii de flambaj egala cu 2L. Dimpotriv , la

    halele scurte, unde efectul de diafragmse poate manifesta mai pregnant, se poate conta pe

    o rezemare elastic la extremitatea stlpului i lungimea de flambaj luat n calcul se poate

    reduce;

    - referitor la baza stlpului analizat, trebuie menionat cefectul de articulaie dupdireciaaxei minime de inerie se obine, de fapt, foarte rar n practic. Aceast ipotez

    (acoperitoare i ea) este mai aproape de realitate pentru stlpii de halprini cu o singur

    pereche de buloane de ancoraj: un singur bulon n interiorul halei i un singur bulon la

    exteriorul halei dispuse dup direcia axei minime de inerie a stlpului. Este o soluieutilizat pn pe la mijlocul anilor 1980 i care corespundea bine ipotezei acoperitoare a

    lungimii de flambaj egale cu L dupaxa minim. Pentru cazul stlpilor ncastrai prini n

    fundaie cu grupuri de buloane, rigiditatea prinderii se poate evalua pe baza metodei

    componentelor, rezultnd o lungime de flambaj cuprins n intervalul [0,7L....1,0L]. Pentru

    cazul unei prinderi rigide la bazi n prezena unei contravntuiri longitudinale eficiente,

    care s fixeze vrful stlpului, rezult dup axa minim de inerie o lungime de flambaj

    egala cu 0,7L.

    Consecina aplicrii celor douabordri de mai sus ar fi reducerea lungimilor de flambaj dup

    ambele direcii i, n consecin, posibilitatea adoptrii unei seciuni mai mici pentru stlp (deci

    o economie de material).

    Dimensiunile i caracteristicile geometrice ale seciunii transversale

    HE 100 B - Marca S355;nlimea h = 100,0 mmLimea tlpilor b = 100,0 mmGrosimea inimii tw = 6,0 mmGrosimea tlpilor tf= 10,0 mmRaza de racord r= 12,0 mmAria seciunii transversale A = 26,0 cm2

    Momentul de inerie / y-y Iy = 450 cm4

    Momentul de inerie / z-z Iz = 167 cm4+

    Caracteristici mecanice - limita de curgere

    Marca de oel S355Deoarece grosimea maxim a pereilor seciunii transversale este 10 mm 40 mm, limita

    de curgere estefy = 355 N/mm2

    SREN 1993-1-1 Tabel 3.1

    Coeficienii pariali de siguran

    M1 = 1,00SREN 1993-1-1 6.1 (1)

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    45/23444

    z

    y

    b

    h

    tw

    tf

    r

    y

    z

    Figura E.1.2. Seciunea transversal

    Verificarea de rezistena seciunii transversale a stlpului

    Rezistena la compresiune

    Pentru a determin rezistena de calcul a seciunii transversale a stlpului la compresiuneuniform se folosete relaia de definiie corespunztoare clasei de seciune 1:

    2

    ,0

    26 10 355923000 N 923 kN

    1,0y

    c RdM

    A fN

    = = = =

    SREN 1993-1-1 (6.10)Dup determinarea capacitii portante se trece la verificarea condiiei:

    ,

    9000, 975 1, 0

    923Ed

    c Rd

    N

    N= = Seciunea verific

    SREN 1993-1-1 (6.9)

    Rezistena la flambaj prin ncovoiere a elementului solicitat la compresiune uniform

    Pentru a determin rezistena la flambaj a stlpului Nb,Rd, este necesar determinareafactorului de reducere pentru flambaj prin ncovoiere corespunztor curbei de flambaj pentru

    seciunea transversal a stlpului. Acest factor se determin cu ajutorul zvelteii relative . secalculeaz n funcie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat irezistena de calcul a seciunii transversale stlpului la compresiune uniform. Se calculeazfolosind proprietile seciunii transversale brute.

    Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj consideratNcrEfortul critic de flambaj, elastic se determin folosind urmtoarea relaie de definiie:

    2 2 5 4

    , 2 2,

    3,14 2,1 10 450 1064704 N 64, 7 kN

    12000y

    cr y

    cr y

    E IN

    L

    = = = =

    2 2 5 4

    , 2 2,

    3,14 2,1 10 167 1096049 N 96 kN

    6000z

    cr z

    cr z

    E IN

    L

    = = = =

    Efortul axial critic (3.4)

    unde Eeste modulul de elasticitate longitudinal, E= 210000 N/mm2i Lcr este lungimea deflambaj n planul de flambaj considerat,Lcr,y= 12,00 m iLcr,z = 6,00 m

    Zvelteea relativ

    Zvelteea relativ se calculeaz cu ajutorul formulei:

    2

    ,

    26 10 3553,77

    64704y

    ycr y

    A f

    N

    = = =

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    46/23445

    2

    ,

    26 10 3553,10

    96049y

    zcr z

    A f

    N

    = = =

    SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1)

    Pentru elemente cu zvelteea 0.2 sau cu raportulNEd/Ncr 0.04 verificarea de pierdere

    a stabilitii generale a elementului nu este necesar fiind suficient verificarea de rezisten aseciunii transversale.

    SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (4)Factorul de reducere pentru flambaj prin ncovoiere

    n cazul elementelor solicitate la compresiune uniform valoarea factorului de reducere depinde de zvelteea redus ce trebuie determinat innd seama de curbele de flambajcorespunztoare:

    2 2

    1 =

    + ns 1

    n care:20,5 1 ( 0,2) = + + ;

    este factor de imperfeciune. SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1)

    Pentru alegerea curbei de flambaj pentru seciunea transversal trebuie s lum nconsiderare urmtoarele condiii (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2):

    HEB 100 profil laminat;

    Raportul100

    1 1,2100

    h

    b= = ;

    Grosimea tlpilor 10 mm 100 mmft =

    Marca de oel S355

    Pierderea stabilitii generale n jurul axei y-y

    Curba de flambaj b, factorul de imperfeciune y = 0,34 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1);2 20,5 1 ( 0,2) 0.5 1 0,34 (3,77 0,2) 3,77 8,213y y y y = + + = + + =

    2 2 2 2

    1 10,0645

    8,213 8,213 3,77y

    y y y

    = = = + +

    Pierderea stabilitii generale n jurul axei z-z

    Curba de flambaj c, factorul de imperfeciune z = 0.492 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (3,10 0,2) 3,10 6,016z z z z = + + = + + =

    2 2 2 2

    1 10,0895

    6,016 6,016 3,10z

    z z z

    = = = + +

    = min(1.0, y, z) = 0.0645(n cazul n care > 1 atunci = 1)

    Rezistena la flambaj

    Rezistena la flambaj se determin cu urmtoarei relaie:2

    ,26 10 355

    0,0645 59533 N 59,5 kN1,00

    yb Rd

    A fN

    = = = =

    SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (3)

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    47/23446

    Verificarea condiiei:

    ,

    90015,2 1

    59.3Ed

    b Rd

    N

    N= = elementul nu verifici trebuie aleas o alt seciune

    transversal (profil).

    SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (1)

    Observaie: Cu toate ca elementul satisface cerinele de rezisten, rezistena la pierderea

    stabilitii generale este depit de peste 15 ori ceea ce subliniaz necesitatea efecturiiverificrilor de stabilitate n cazul elementelor de oel.n concluzie este nevoie s alegem o alt seciune transversal. Vom alege HEB 220.

    Dimensiuni i caracteristici geometrice ale seciunii transversale

    HE 220 B - Marca de oel S355;nlimea; h = 220,0 mmLimea tlpilor b = 220.,0 mmGrosimea inimii tw = 9,5 mmGrosimea tlpilor tf= 16,0 mmRaza de racord r= 18,0 mmAria seciunii transversale A = 91,0 cm2

    Momentul de inerie / y-y Iy = 8091 cm4

    Momentul de inerie / z-z Iz = 2843 cm4Efortul critic de flambaj Ncr

    Efortul critic de flambaj, elastic se determin folosind urmtoarea relaie de definiie:2 2 5 4

    , 2 2,

    3,14 2,1 10 8091 101163371N 1163 kN

    12000y

    cr y

    cr y

    E IN

    L

    = = = =

    2 2 5 4

    , 2 2,

    3,14 2,1 10 2834 101629956 N 1630 kN

    6000z

    cr z

    cr z

    E IN

    L

    = = = =

    Efortul axial critic (3.4)

    unde, E este modulul de elasticitate longitudinal E= 210000 N/mm2i Lcr este lungimea deflambaj n planul de flambaj considerat,Lcr,y = 12,00 m iLcr,z = 6,00 mZvelteea relativ

    2

    ,

    91 10 3551,666

    1163371y

    ycr y

    A f

    N

    = = =

    2

    ,

    91 10 3551,408

    1629956y

    zcr z

    A f

    N

    = = =

    SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1)Factorul de reducere

    Pentru alegerea curbei de flambaj pentru seciunea transversala trebuie s luam n

    considerare urmtoarele condiii (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2): HEB 220 profil laminat

    Raportul220

    1 1,2220

    h

    b= =

    Grosimea tlpilor 16 mm 100 mmft =

    Marca de oel S355 Pierderea stabilitii generale n jurul axei y-y:

    Curba de flambaj b, factorul de imperfeciune y = 0,34 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1);

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    48/23447

    2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (1,666 0,2) 1,666 2,137y y y y = + + = + + =

    2 2 2 2

    1 10,288

    2,137 2,137 1,666y

    y y y

    = = = + +

    Pierderea stabilitii generale n jurul axei z-z:Curba de flambaj c, factorul de imperfeciune z = 0.49

    2 2

    0,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (1,408 0,2) 1,408 1,784z z z z = + + = + + =

    2 2 2 2

    1 10.346

    1,748 1,748 1,408z

    z z z

    = = = + +

    = min(1,0, y, z) = 0,288 (n cazul n care > 1 atunci = 1)Rezistena la flambaj

    Rezistena la flambaj se determin cu urmtoarei relaie:2

    ,91 10 355

    0,288 930384 N 930 kN1,00

    yb Rd

    A fN

    = = = =

    SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (3)Verificarea condiiei:

    ,

    900 0,968 1930

    Ed

    b Rd

    N

    N= = elementul verific

    SREN 1993-1-1 6.3.1.1 (1)

    E.2. Verificarea de pierdere a stabilitii generale a unui element cu seciunea de clasa 4solicitat la compresiune uniform

    Descrierea problemei

    Se consider o grinda cu zbrele cu diagonale n V cu tlpi paralele realizat din eavptrat formata la rece. Tlpile executate din SHS 350 x 350 x 12. Se cere s se efectueze

    verificarea la flambaj a diagonalei comprimate realizate din SHS 200 x 200 x 5.Schema staticN

    L

    Figura E.2.1. Schema statica

    Element dublu articulat.Datele problemei

    Pentru verificarea de rezisten a stlpului sunt necesare urmtoarele date:Fora axial NEd= 1000 kNLungimea elementului L = 2.75 mMarca oelului S355

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    49/234

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    50/23449

    Calculul ariei efective20,903 3900 3522 mmeffA A= = =

    EN 1993-1-5 4.4 (1)

    Alternativ aria efectiv poate fi calculat astfel:24 ( ) 3900 4 5 (200 181) 3520 mmeff eff A A t b b= = =

    Rezistena la compresiunePentru a determin rezistena de calcul a seciunii transversale stlpului la compresiune

    uniform se folosete relaia de definiie corespunztoare clasei de seciune 4:2

    ,0

    35, 22 10 3551250310 N 1250 kN

    1,0net y

    c RdM

    A fN

    = = = =

    SREN 1993-1-1 (6.11)

    Dup determinarea capacitii portante se trece la verificarea condiiei:

    ,

    10000,8 1,0

    1250Ed

    c Rd

    N

    N= = Seciunea verific

    SREN 1993-1-1 (6.9)

    Determinarea lungimii de flambaj

    Deoarece grinda cu zbrele este cu tlpi paralele, cu diagonale n V, i tlpile executatedin SHS 350 x 350 x 12 se poate consider c multiplicatorul lungimii de flambaj este 0,75 nambele planuri.

    SREN 1993-1-1 BB1.3 (2) B

    2000,57 0,6

    350diagonala

    talpa

    h

    h= =

    Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); fL_y= 0,75Lungimea de flambaj (y-y); Lcr,y=fL_yL = 2,06 m

    Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 0,75Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z=fL_zL = 2,06 m

    Rezistena la flambaj prin ncovoiere a elementului solicitat la compresiune uniform

    Pentru a determin rezistena la flambaj a diagonalei Nb,Rd, este necesar determinareafactorului de reducere pentru flambaj prin ncovoiere corespunztor curbei de flambaj pentruseciunea transversal a diagonalei. Acest factor se determin cu ajutorul zvelteii relative funcie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat, bazat peproprietile seciunii transversale brute i rezistena de calcul a seciunii transversale stlpului lacompresiune uniform.

    Zvelteea relativ

    Zvelteea relativ se calculeaz cu ajutorul formulei:

    1

    1 2063 1 35220,322

    79,63 76,4 3900effcr

    y

    AL

    i A = = =

    1 93,9 76,4y

    E

    f = = =

    SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1)

    Pentru determinarea ariei eficace vezi exemplu de calcul 2.8.3.

  • 8/6/2019 Verificare La Stabilitate a Elem Din Otel

    51/23450

    Factorul de reducere pentru flambaj prin ncovoiere

    n cazul elementelor solicitate la compresiune uniform valoarea factorului de reducere depinde de zvelteea redus ce trebuie determinat innd seama de curbele de flambajcorespunztoare:

    2 2

    1 =

    + ns 1

    n care: 20,5 1 ( 0,2) = + + ;

    este factor de imperfeciune.SREN 1993-1-1 6.3.1.2 (1)

    Pentru alegerea curbei de flambaj pentru seciunea transversal trebuie s lum nconsiderare urmtoarele condiii: (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2): SHS 200 x 5 seciune tubular format la rece Pierderea stabilitii generale n jurul axei y-y sau z-z:

    Curba de flambaj c, factorul de imperfeciune y = 0,49 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1):2

    2

    0,5 1 ( 0,2)

    0,5 1 0,49 (0,322 0,2) 0,322 0,582

    y z z z z = = + + =

    = + + =

    2 2 2 2

    1 10,937

    0,582 0,582 0,322y z

    z z z

    = = = = + +

    = min(1.0, y, z) = 0.937(n cazul n care > 1 atunci = 1)

    Rezistena la flambaj

    Rezistena la flambaj se deter