1

Variaţia rezistivităţii electrice a metalelor şi semiconductorilor cu temperatura

1. Scopul lucrării Evaluarea comparativă a dependenţei rezistivităţii metalelor şi semiconductorilor cu

temperatura.

2. Noţiuni introductive Într-un corp solid, atomii legaţi sunt aşezaţi la distanţe mici. În urma apropierii lor

orbitele electronice exterioare se suprapun. Pentru atomii vecini stările energetice sunt

aceleaşi astfel că principiul de excluziune al lui Pauli, care impune ca stările cu aceeaşi

energie şi acelaşi spin să nu poată coexista, ar fi încălcat. Pentru a se respecta acest

principiu energiile orbitelor care se suprapun se modifică, deplasându-se cu o anumită

cantitate de energie. În acest fel se formează benzile energetice (efect Stark) prin

despicarea nivelelor

energetice individuale.

Într-un cristal format

din N atomi, fiecare

nivel energetic discret

(1s2, 2s2, 2p6,…) se va

transforma într-o bandă

energetică având N

subnivele după cum

este prezentat în Fig.

1. Pentru o degenerare

cu (2l+1) a unui nivel

energetic vor exista

2p6

n=3

n=2

n=1

2s2

1s2 Ben

zi e

nerg

etic

e

Niv

ele

ener

get

ice

dis

cret

e E E

a r

Figura 1. Formarea benzilor energetice din nivelele energetice discrete ale atomilor; a este constanta reţelei cristaline

(distanţa dintre 2 atomi consecutivi).

2

N(2l+1) subnivele. Zonele energetice obţinute astfel reprezintă benzi permise care sunt

separate prin benzi interzise (Eg). Se observă că pe măsură ce energia electronilor

creşte, benzile de energie permise se lărgesc, iar cele interzise se îngustează (vezi Eg1

şi Eg2 din Fig. 1).

În cazul unui corp solid există un număr destul de mare de benzi energetice care

se succed. Deoarece benzile permise interioare complet ocupate nu pot participa la

conducţie, pentru simplitatea modelului, se optează de cele mai multe ori pentru

prezentarea ultimelor două benzi (BV şi BC). În funcţie de valoarea lui Eg, de gradul de

ocupare cu electroni a benzii energetice, rezistivitate şi alte proprietăţi corpurile solide

se pot împărţi în trei mari categorii: conductoare (metale), izolatoare şi

semiconductoare.

Metalele – în cazul lor nu există benzi interzise. Se formează benzi parţial ocupate din

suprapunerea unei BV complet ocupate cu a unei BC libere sau parţial ocupate (vezi

Fig. 2a); ρ (10-8 10-6 m), unde ρ este rezistivitatea.

Semiconductorii - în cazul lor BC este liberă, iar BV este complet sau parţial ocupată

(vezi Fig. 2b); Eg < 3eV şi (10-6 10-12 m).

Izolatorii - în cazul lor BC este liberă, iar BV este complet ocupată (vezi Fig. 2); Eg >

3eV şi (10-12 10-22 m).

Din perspectiva aplicaţiilor termoelectrice, există o serie de elemente diferite în cazul

metalelor faţă de cel al semiconductorilor şi care conferă valoare materialelor

Figura 2. Reprezentarea schematică a benzilor energetice în cazul metalelor

(a), semiconductorilor (b) şi a izolatorilor (c).

(a) (b) (c)

BC

BI

BV Ev

Eg BC

BV

Ec Ec BI

BC

BV

Ev Ev

Ec

3

semiconductoare. Dintre acestea amintim: valoarea rezistivităţii electrice (menţionată

mai sus) dependenţa de temperatură a rezistivităţii electrice, semnul coeficientului de

temperatură al rezistivităţii, conductivitatea electrică la temperatură foarte joasă sau

influenţa impurităţilor asupra conductivităţii electrice.

(a) metale

Rezistivitatea electrică în cazul celor mai multe metale este determinată, la temperatura

camerei, de ciocniri ale electronilor de conducţie cu reţeaua fononilor, iar la temperaturi

mult mai mici (ex. heliului lichid 4K) de ciocniri cu atomi de impuritate şi imperfecţiuni

mecanice care apar în reţea. Rezistivitatea netă este dată de următoarea expresie:

iT ρρρ , (1)

unde ρT este rezistivitatea cauzată de fononii termici, iar i este rezistivitatea cauzată de

împrăştierea electronilor pe defectele statice ale reţelei. De cele mai multe ori T este

independentă de numărul de defecte atunci când concentraţia acestora este mică, iar i

este independentă de temperatură. Rezistivitatea reziduală, i(0) este rezistivitatea

extrapolată la 0K, deoarece valoarea lui T devine neglijabilă atunci când T 0.

Rezistivitatea reţelei poate fi exprimată ca fiind:

0ρρρ iT T (2)

şi este aceeaşi pentru diferite tipuri de metale, chiar dacă i(0) poate varia semnificativ.

Raportul dintre rezistivitatea materialului la temperatura camerei şi rezistivitatea

reziduală reprezintă un indicator al purităţii acestuia. Partea dependentă de temperatură

a rezistivităţii electrice este proporţională cu rata de ciocnire a electronilor cu fononii

termici şi electronii termici. Rata de ciocnire cu fononii este proporţională cu

concentraţia fononilor termici. În concluzie putem spune că rezistivitatea electrică a

metalelor creşte liniar cu temperatura conform următoarei relaţii :

00 α1ρρ ttmt , (3)

4

(-1)

T(K)

care, după înlocuirea lui din relaţia bine cunoscută R = (L/S), devine:

00 α1 ttRR mt , (4)

În ultimele două expresii 0 este rezistivitatea metalului la temperatura t0(0C), iar tm

este coeficientul termic al rezistivităţii metalului. Exprimând rezistivitatea electrică în

funcţie de temperatura absolută se obţine:

TttT mt

mt αραρρ 000 . (5)

O reprezentare mai puţin riguroasă a dependenţei rezistivităţii electrice de temperatură,

dar care poate contribui la formarea unei percepţii mult mai bune asupra

comportamentului conductivităţii electrice ( = 1/) a metalelor este prezentată în Fig 1.

Derivând ultima ecuaţie în raport cu temperatura şi împărţind la 0 se obţine:

01ρρ1α

00

dTdR

RdTdm

t . (6)

Aşadar, coeficientul termic al metalelor este pozitiv.

Figura 1. Dependenţa rezistivităţii de temperatură în cazul metalelor.

5

Trebuie menţionat faptul că metalele au conductivitate electrică diferită de zero

indiferent cât de joasă este temperatura ceea ce înseamnă că în metale există purtători

de sarcină liberi (electroni) la orice temperatură.

Întrebarea care se pune este dacă fononii sunt responsabili pentru existenţa

curentului de căldură în metal. În metalele pure contribuţia electronică este dominantă

la toate temperaturile, în timp ce în metalele impure sau în aliajele “dezordonate”

drumul liber mediu al electronilor este redus de ciocnirile cu impurităţi şi contribuţia

fononilor poate fi comparabilă cu contribuţia electronilor. Rămâne însă important faptul

că conductivitatea electrică a metalelor este foarte putin sensibilă la impurificarea

metalului. În mod similar, diferiţii factori externi cum sunt radiaţiile electromagnetice,

corpusculare, cîmpul magnetic sau presiunea influenţează nesemnificativ

conductivitatea electrică a metalelor.

(b) semiconductori

Spre deosebire de dependenţa liniară a rezistivităţii electrice a metalelor, în cazul

semiconductorilor rezistivitatea electrică s scade exponenţial cu creşterea temperaturii

conform următoarei relaţii:

kTE

TB

s

g

ee 2 , (7)

unde B este o constantă legată de

energia de activarea conductivităţii,

iar , Eg, k şi T reprezintă

rezistivitatea extrapolată la T ,

lărgimea benzii interzise, constanta

lui Boltzmann şi respectiv

temperatura (vezi Fig. 2).

Procedând ca şi în cazul metalelor, prin derivarea ultimei ecuaţii în raport cu

temperatura şi împărţirea cu se obţine coeficientul termic al seimconductorilor ts:

Figura 2. Dependenţa rezistivităţii de temperatură

în cazul semiconductorilor.

(-1)

T(K)

6

02

ρρ1α 2 kT

EdTd gs

t , (8)

care este unul negativ. De remarcat este faptul că în cazul semiconductorilor acest

coeficient depinde de temperatura la care se găseşte materialul.

Analizând cu atenţie expresiile de mai sus se poate observa că prin intermediul

unor reprezentări grafice şi evaluarea acestora, pot fi determinaţi parametrii importanţi

ai semiconductorilor. Astfel, prin înmulţirea ecuaţiei (7) cu raportul dintre lungimea şi

suprafaţa semiconductorului, L/S, şi logaritmarea expresiei se obţine următoarea relaţie:

TBRRs 3

3

0 1010lnln (9)

Dacă vom considera un caz particular, în care se vor utiliza valorile rezistenţelor R1 şi

R2 obţinute pentru două temperaturi diferite T1 şi T2 şi se va ţine seama de faptul că R0

este o constantă, în urma reprezentării dependenţei logaritmului rezistenţei

semiconductorului de inversul temperaturii se poate determina tan folosind

următoarea relaţie:

12

3

12

1110

lnlntan

TT

RR, (10)

Prin utilizarea relaţiei (7) se va putea mai apoi determina lărgimea benzii interzise Eg.

Spre deosebire de metale, în cazul semiconductorilor conductivitate electrică

devine nulă la o anumită temperatură ceea ce înseamnă că în semiconductori nu există

purtători de sarcină liberi sub acea temperatură, care se numeşte temperature de

activare. De asemenea este important de menţionat faptul că impurificarea controlată a

semiconductorilor poate conduce la o creştere a conductivităţii electrice cu până la şase

ordine de mărime. O altă deosebire de cazul metalelor o reprezintă influenţa

semnificativă pe care o au factorii externi (radiaţiile electromagnetice, corpusculare,

cîmpul magnetic sau presiunea) asupra conductivităţii electrice a metalelor.

7

3. Desfăşurarea experimentului

I. Dependenţa de temperatură a rezistenţei metalului

1. Se realizează circuitul electric (vezi Fig. 3 şi Fig. 4)

2. Se monitorizează temperatura indicată de termometru şi de Ohmetrul digital,

datele se trec în Tabelul 1, aceste rezultate preliminare sunt considerate la temperatura

camerei.

3. Se conectează autotransformatorul la reţeaua de 220V, iar prin rotirea

tamburului spre dreapta se stabileşte în circuit un curent de 1,5 A (se va urmări indicaţia

ampermetrului).

4. Se urmăresc instrucţiunile de la punctul 2, monitorizând temperatura din 5 în 5

grade precum şi valorile corespunzătoare ale rezistenţei firului metalic. Temperatura se

va monitoriza în intervalul 250 – 900 C.

Tabelul 1. Parametrii obţinuţi în urma evaluării dependenţei de temperatură a rezistenţei

electrice a metalului.

t (0 C)

Rm (Ω)

8

o Ω

proba - metal

Figura 3. Schema de principiu a circuitului utilizat pentru evaluarea rezistenţei electrice cu temperatura în cazul metalelor.

~ o cuptor electric

autotransformator

A

Figura 4. Montaj practic realizat pentru evaluarea dependenţei rezistenţei electrice cu temperatura în cazul metalelor.

9

Figura 5. Schema de principiu a circuitului utilizat pentru evaluarea rezistenţei electrice cu temperatura în cazul semiconductorilor

o

Ω proba de

semiconductor

~ o reşou electric

autotransformator

Figura 6. Montaj practic realizat pentru evaluarea dependenţei rezistenţei electrice cu temperatura în cazul semiconductorilor.

10

II. Dependenţa de temperatură a rezistenţei semiconductorului

1. Se realizează circuitul electric (vezi Fig. 5 şi Fig. 6)

2. Se monitorizează temperatura indicată de termometru şi de Ohmetrul digital,

datele se trec în Tabelul 2, aceste rezultate preliminare sunt considerate la temperatura

camerei.

3. Se conectează autotransformatorul la reţeaua de 220 V şi se roteşte tamburul

spre dreapta până la valoarea de 180 V.

4. Se urmăresc instrucţiunile de la punctul 2, monitorizând temperatura din 5 în 5

grade precum şi valorile corespunzătoare ale rezistenţei probei de semiconductor.

Temperatura se va monitoriza în intervalul 250 – 750 C.

Tabelul 2. Parametrii obţinuţi în urma evaluării dependenţei de temperatură a

rezistenţei electrice a semiconductorului.

t (0 C) Rs () T (K) 1/T (K-1) 103/T (K-1) lnRs ()

4. Determinarea parametrilor şi rezultate

Se urmăreşte obţinerea următoarelor:

1. Dependenţa rezistenţei firului metalic de temperatură (grade Celsius)

2. Obţinerea coeficientului de temperatură a rezistivităţii electrice

3. Dependenţa rezistenţei semiconductorului de temperatură (grade Celsius),

dependenţa logaritmului rezistenţei semiconductorului faţă de inversul

temperaturii (grade Kelvin) înmulţit cu 103 (coloana a şasea din Tabelul 2 în

funcţie de coloana a cincea).

11

4. Se obţine constanta B apoi se determină lărgimea benzii interzise (ΔEg).

5. Discutarea rezultatelor În discutarea rezultatelor se va face referire la următoarele aspecte:

- analiza comparativă a dependenţei cu temperatura a rezistivităţii în cazul metalelor şi

a semiconductorilor

- discuţie comparativă a rezultatului obţinut în urma efectuării experimentelor cu

valoarea lărgimii benzii interzise a germaniului (se cere argumentarea diferenţelor

obţinute).

6. Concluzii Se vor menţiona cele mai importante rezultate obţinute în urma efectuării lucrării

experimentale.