UNIVERSITATEA POLITEHNICA din BUCURETI

FACULTATEA DE INGINERIE AEROSPAIAL

ECHIPAMENTE I INSTALAII DE AVIAIE

Proiect de curs la disciplina:

Comanda i filtrarea optimal

Aspecte privind utilizarea filtrului optimal Kalman

Profesor:

profesor univ. dr.ing Adrian-Mihail Stoica Masterand:

Ing. Mihai Adrian

2

CUPRINS

CAPITOLUL I ........................................................................................................................................ 3 Introducere n metodologia filtrului Kalman ............................................................................................ 3

1 .Introducere ...................................................................................................................................... 3 1.1 Definirea filtrului Kalman ......................................................................................................... 3 1.2 Consideraii privind algoritmii de filtrare adaptiv ..................................................................... 4

1.2.1 Algoritmul celor mai mici ptrate generalizate .................................................................... 5 1.2.2 Algoritmul Celor Mai Mici Ptrate ....................................................................................... 5

1.3 Sistemul in bucl nchis, phase-locked loop (PLL) ................................................................... 6 CAPITOLUL II ....................................................................................................................................... 6 Sisteme dinamice lineare ......................................................................................................................... 6

2.1 Sisteme dinamice lineare continue ................................................................................................. 6 2.1.1 Modelul intrare ieire al sistemelor lineare dinamice continue .............................................. 6 2.1.2 Traiectoria de stare i matricea de tranziie a strilor ............................................................... 8

2.2 Sisteme dinamice liniare discrete ................................................................................................... 9 2.2.1 Traiectoria de stare i matricea de tranziie a strilor n cazul discret ....................................... 9

2.3 Controlabilitatea i observabilitate sistemelor dinamice lineare .................................................... 10 2.3.1 Controlabilitatea sistemelor lineare discrete .......................................................................... 10 2.3.2 Controlabilitatea sistemelor liniare continue ......................................................................... 11 2.3.3 Observabilitatea sistemelor liniare discrete ........................................................................... 11

CAPITOLUL III.................................................................................................................................... 12 Procese aleatoare i sisteme stohastice ................................................................................................... 12

3.1 Introducere n procese aleatoare ................................................................................................... 12 Definiia axiomatica a probabilitii:.............................................................................................. 13 Definiia probabilitii ca frecventa relativa: .................................................................................. 13 Funcia masei de probabilitate ....................................................................................................... 14 Funcia de probabilitatea a densitii .............................................................................................. 14

3.2 Proprietile statistice ale variabilelor aleatoare si ale proceselor aleatoare ................................... 17 Momente....................................................................................................................................... 17 Funcia variabilelor aleatoare....................................................................................................... 18

3.3 Proprieti statistice ale proceselor aleatoare ................................................................................ 18 Procese aleatoare (PA) .................................................................................................................. 18 Modele de sisteme lineare ale proceselor aleatoare ........................................................................ 18

3.4 Corelaia, covariana i independena ........................................................................................... 19 CAPITOLUL IV ................................................................................................................................... 20 Filtre Kalman ........................................................................................................................................ 20

4.1 Metoda filtrului Kalman discret............................................................................................. 20 Estimarea procesului ..................................................................................................................... 21 Calculele de baz ale filtrului ........................................................................................................ 21 Originile filtrului ........................................................................................................................... 23 Algoritmul filtrului Kalman- discret .............................................................................................. 23 Parametrii filtrului i ajustarea. ...................................................................................................... 24

4.2 Filtrul Kalman extins (EKF) ........................................................................................................ 26 4.2.1 Estimarea procesului ............................................................................................................ 26

4.2.2 Originile calculate ale filtrului .................................................................................................. 27 V. CONCLUZII .................................................................................................................................... 31 BIBLIOGRAFIE ................................................................................................................................... 32

3

CAPITOLUL I

Introducere n metodologia filtrului Kalman

1 .Introducere Teoretic, un filtru Kalman este un estimator pentru problema liniar ptratic. Aceasta se

definete ca fiind o problem n estimarea unei stri instantanee al unui sistem dinamic liniar perturbat de zgomot alb, folosind msurtori legate liniar de stare, dar perturbate de zgomot alb. Estimatorul rezultant este unul optim din punct de vedere statistic.

Practic este una dintre cele mai mari descoperiri n istoria estimrilor statistice. Primele aplicaii au fost reglarea unui sistem dinamic complex cum sunt procesele continue de fabricaie, avioane, vapoare, nave spaiale. Pentru aceste aplicaii nu este ntotdeauna posibil sau de dorit sa msuram fiecare variabil pe care vrem sa o reglm, iar filtrul Kalman furnizeaz mijloacele pentru a deduce informaiile lipsa din msurtorile indirecte si asociate de zgomot. Filtrul Kalman este, de asemenea, folosit pentru a prezice cursul probabil pe viitor al sistemelor dinamice in care sunt anse puine ca ele sa fie reglate, cum ar fi cursul rului in timpul unei inundaii, traiectoria unui corp ceresc, sau preturile articolelor de comer.

Un filtru Kalman este un algoritm optimal recursiv de procesare a datelor. Sunt multe posibiliti de a defini cuvntul optimal depinde ns, de criteriul ales pentru a evalua performana. Filtru Kalman este optimal (FKO) deoarece conine toate informaiile care ii sunt furnizate. FKO prelucreaz toate msurtorile disponibile, indiferent de precizia lor i estimeaz valoarea curent a variabilelor de interes cu ajutorul: cunotinelor despre sistem i msurtorile dispozitivului dinamic; descrierii statistice a zgomotului din sistem, eroriore de msurare i incertitudinile modemului dinamic; informaiilor disponibile despre condiiile iniiale ale variabilelor de interes. Un filtru este de fapt un algoritm de procesare a datelor.

1.1 Definirea filtrului Kalman

i) FK- instrument. Nu rezolva probleme de unul singur. Nu este un instrument fizic ci unul matematic. Este realizat din modele matematice.

ii) FK- program pe calculator. Este considerat potrivit pentru implementarea pe calculatoare digitale, n parte pentru ca folosete o reprezentare finit a problemei de estimare (un numar finit de variabile).

iii)FK- ca o caracterizare statistic complet a unei probleme de estimare. Este mult mai mult decat un estimator, deoarece el propag ntreaga distribuie de probabilitate a variabilelor pe care trebuie sa le estimeze. Aceasta e o caracterizare complet a strii de cunoatere curent a sistemului dinamic, incluzand influena msurrilor anterioare. Aceste distribuii de probabilitate

4

sunt de asemenea, folositoare pentru analizele statistice si modelele predictive al sistemelor senzoriale.

Fig.1.1 Concepte fundamentale in filtrarea Kalman

n Figura 1.1 se prezint elementele de baz pentru teoria filtrelor Kalman. Aplicatiile filtrelor Kalman se refer n special la estimare si analiza performanelor estimatoarelor.

Avantaje relative ale filtrelor Kalman si Wiener:

1. Implementarea filtrului Wiener n circuite electronice analogice poate determina la o eficient mult mai mare dect filtrul digital Kalman.

2. Filtrul Kalman este implementat n forma unui algoritm pentru calculatoarele digitale, care inlocuiete circuitele analogice pentru estimare i conducere n vremea n care filtrul Kalman a fost introdus. Aceasta implementare poate fi mai nceata, dar este capabil de o precizie mult mai mare dect poate fi atins de un filtru analogic.

3. Filtrul Wiener nu are nevoie de modele deprocese stohastice finite dimensional pentru semnal si zgomot.

4. Filtrul Kalman este compatibil cu formularea controlerelor optimale n spaiul strilor ale sistemelor dinamice, iar Kalman a reuit s dovedeasc utilitatea celor dou proprieti ale estimrii i conducerii pentru aceste sisteme.

1.2 Consideraii privind algoritmii de filtrare adaptiv

Este important de subliniat nc de la nceput ca o aplicaie de filtrare adaptiv nu admite o

soluie unic. n fapt, avem la dispoziie un ntreg arsenal de tehnici diferite, fiecare avnd avantaje si dezavantaje specifice, iar alegerea uneia sau alteia dintre variantele posibile trebuie sa ia n considerare criterii precum viteza de convergenta, volumul de calcul si de memorie necesar, ori efectul apariiei erorilor specifice implementrii algoritmului folosind circuite care ofer precizie limitata.

n cele ce urmeaz vom trece n revista cteva exemple de algoritmi adaptivi reprezentativi, anume algoritmul celor mai mici patrate (Least-Mean-Squares), algoritmul celor mai mici patrate recurente (Recurrent Least-Squares) si filtrul Kalman. Aceti algoritmi au fost elaborai n

Filtrare Kalman

Cele Mai Mici Patrate

Generalizate

Sisteme Stohastice

Cele Mai Mici Patrate

Teoria Probabilitatii

Sisteme Dinamice

Fundamente matematice

5

contextul utilizrii unor filtre liniare, nsa cu modificri specifice se regsesc si n cazul filtrelor neliniare, n particular al reelelor neurale.

1.2.1 Algoritmul celor mai mici ptrate generalizate Una dintre abordrile cele mai des utilizate n teoria filtrrii adaptive este cea bazata pe

formularea unei astfel de aplicaii sub forma unei probleme de optimizare. n mod concret, se definete un criteriu de performanta (denumit de regula funcie de eroare) care depinde de setul de coeficieni ai filtrului si de proprietile statistice ale semnalelor de la intrarea si ieirea dorita a acestuia, care asociaz fiecrui vector de coeficieni o valoare scalara. Aspectul geometric al suprafeei multidimensionale rezultate poate fi foarte complicat, nsa n cazul particular al unui filtru discret liniar de tip FIR si al erorii ptratice medii aceasta se prezint ca o suprafaa parabolica de forma convexa, avnd o valoare minima unica. Mai mult, vectorul de coeficieni corespunztor acestei valori minime este chiar setul optim definit de ecuaiile Wiener-Hopf! n principiu, determinarea acestui sistem de ecuaii s-ar putea efectua dintr-un singur foc prin calcul algebric, nsa n multe situaii practice apar dificulti datorate dimensiunilor mari ale matricelor implicate sau probleme de stabilitate ale metodelor numerice folosite n inversarea matricei de autocorelaie R.

Determinarea valorilor extreme ale unei funcii de mai multe variabile poate fi asigurata printr-o paleta larga de metode, expuse cu acuratee n textele referitoare la tehnicile de optimizare. Una dintre cele mai des folosite soluii o reprezint descreterea dup gradient (gradient descent), care n esena se bazeaz pe modificarea succesiva a variabilelor pe direcia si n sens invers gradientului funciei supuse procesului de optimizare. n cazul particular al unui filtru liniar adaptiv modul de operare al algoritmului.

1.2.2 Algoritmul Celor Mai Mici Ptrate

Problema de filtrare liniara optimala poate fi abordata si dintr-o perspectiva complementara celei specifice filtrului Wiener, renunnd la punctul de vedere statistic, bazat pe considerarea unui ansamblu de realizri individuale ale unor procese aleatoare cu rol de intrare si ieire dorite ale filtrului si nlocuindu-l cu o abordare temporala. n mod concret, aciunea operatorului de mediere statistic E{.} este nlocuita cu simpla mediere aritmetica a valorilor unor realizri particulare unice ale proceselor aleatoare menionate anterior.

6

1.3 Sistemul in bucl nchis, phase-locked loop (PLL)

Fig. 1.2 Schema unui sistem cu bucl nchis

Un sistem de reglare n bucl deschis este acela n care aciune de reglare este independent de ieire.

Un sistem de reglare n bucl nchis este acela n care aciunea de reglare este dependent de ieirea sistemului.

Reglarea n bucl nchis a unui sistem este de cele mai multe ori denumit reglarea pe reacie sistemului.

PLL sunt construite n general din: detector de faz , filtru trece-jos i un oscilator de reglare a voltajului (VCO) plasat pe reacia negativ. Acesta poate fi divizat n partea de reacie i partea de referin. Oscilatorul genereaz un semnal periodic de ieire.

CAPITOLUL II

Sisteme dinamice lineare

2.1 Sisteme dinamice lineare continue

2.1.1 Modelul intrare ieire al sistemelor lineare dinamice continue Fie cvartetul matricial (A,B,C,D) care satisface ecuaiile:

x Ax + Buy Cx + Du

(MIMO) sau

T

x Ax + buy C x + du

(SISO) (2.1)

Fo

U Detector de Frecventa

Pompa de

Umplere

Filtru Trece Jos

Generator

Oscilator de control al tensiunii

Convertor de iesire

N

Fi

D

VCO

7

unde u nU u(.) |u(.) : continu pe poriuni, n nx(t) : , y(t): , se numete sistem linear dinamic. Dac matricele reprezentrii de stare sunt dependente de timp atunci sistemul se scrie:

x A(t)x + B(t)uy C(t)x + D(t)u

(2.2) i sistemul se

numete liniar variabil.

Intrrile, care sunt sub controlul nostru i cunoscute de noi sau msurate de noi, pe care le-am notat cu u sunt aleatoare dar cunoatem proprietile statistice ale acestora

Variabilele de stare, care nu pot fi msurate direct, dar pot fi msurate cu ajutorul ecuaiilor

Ieirile care pot fi verificate prin msurtori pe care le-am notat cu y

Pentru intrri:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx t x t A t x t B t u tdt

(2.3)

unde elementele componente ale matricelor i vectorilor sunt funcii dependente de timp:

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 2

( ) a ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )........................................

( ) ( ) ( ) ( )

n

n

n n n nn

a t t a t a ta t a t a t a t

A t

a t a t a t a t

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 2

( ) b ( ) b ( ) b ( )( ) b ( ) b ( ) b ( )

( )........................................

( ) b ( ) b ( ) b ( )

r

r

n n n nr

b t t t tb t t t t

B t

b t t t t

1 2 3( ) ( ) u ( ) u ( ) u ( )T

ru t u t t t t

Matricea A se numete matricea coeficienilor dinamici, B se numete matricea de intrare a coeficienilor, iar u(t) se numete vectorul intrrilor.

8

Pentru ieiri:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dy t y t C t x t D t u tdt

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 2

( ) c ( ) c ( ) c ( )( ) c ( ) c ( ) c ( )

( )........................................

( ) c ( ) c ( ) c ( )

n

n

l l l ln

c t t t tc t t t t

C t

c t t t t

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 2

( ) d ( ) d ( ) d ( )( ) d ( ) d ( ) d ( )

( )........................................

( ) ( ) d ( ) d ( )

r

r

l l l lr

d t t t td t t t t

D t

d t d t t t

1 2 3( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( )T

ly t y t t t t

Matricea C se numete matricea msurrilor sensibile, () matricea D se numete matricea cuplajului intrare ieire, iar y(t) reprezint vectorul mrimilor msurate le ieire.

2.1.2 Traiectoria de stare i matricea de tranziie a strilor

Pentru sistemele dinamice lineare, traiectoria de stare se obine ca soluie unic

00

( ) ( )0( ) ( ) ( )

tA t t A t

t

x t e x t e Bu d (2.4) se numete

matrice de tranziie a strilor funcia:

t

( ) t

At

t

et

A

(2.5)

cu ajutorul acesteia se poate scrie traiectoria sistemului liniar continuu

0

( ) ( ) (0) ( ) ( )t

x t t x t Bu d (2.6)

iar rspunsul sistemului liniar continuu, cu condiia ca matricea D s fie nul, se obine

introducnd traiectoria de stare n a doua ecuaie a sistemului x Ax + Buy Cx + Du

9

rezultnd 00

( ) ( )0( ) ( ) ( )

tA t t A t

t

y t Ce x t C e Bu d (2.7)

Un sistem dinamic linear continuu este reprezentat prin mulimea sistemelor dinamice a cror ecuaie diferenial de transfer:

n m

n m

d y dy du d uF ,..., , y(t);u(t), ,..., 0dt dt dt dt

(2.8)

este o ecuaie diferenial linear ordinar:

n m

n 1 0 0 1 mn m

d y dy du d ua (t) ... a (t) a (t)y(t) b (t)u(t) b ... b 0dt dt dt dt

(2.9)

cu n m Discretizarea semnalelor netede se face cu ajutorul extrapolatorului de ordin zero i este descris de sistemul de ecuaii:

d dTd d

x(t 1) A x(t) + b u(t)

y(t) C x(t) + d u(t)

cu t i cu reprezentarea de stare:

d 0

d

, b

, d

hAh A

d

T Td

A e e d b

c c d

(2.10)

2.2 Sisteme dinamice liniare discrete

Cvartetul matriceal (A,B,C,D) care satisface ecuaiile

x(t 1) Ax(t) + Bu(t) t

y(t) Cx(t) + Du(t)

(2.11)

se numete sistem dinamic liniar discret. Dac matricele reprezentrii sunt dependente de timp (A(t),B(t),C(t),D(t)) sistemul se numete linear variant discret.

2.2.1 Traiectoria de stare i matricea de tranziie a strilor n cazul discret

Pentru sistemele dinamice lineare discrete, traiectoria de stare se obine n urma aplicrii unei secvene de comand {u(0),u(1),u(t-1))}:

10

t-1

t- -1

=0( ) (0) A ( )tx t A x Bu

(2.12)

se numete matrice de tranziie a strilor funcia:

t

( ) t Z

At

t

et

A

(2.13)

cu ajutorul acesteia se poate scrie traiectoria sistemului liniar discret

1

0( ) ( ) (0) ( 1) ( )

t

x t t x t Bu

(2.14)

rspunsul sistemului liniar discret, condiia ca matricea D s fie nul, se obine

1

1

0( ) (0) ( )

tt ty t CA x C A Bu

(2.15)

2.3 Controlabilitatea i observabilitate sistemelor dinamice lineare

2.3.1 Controlabilitatea sistemelor lineare discrete

Controlabilitatea prin definiie reprezint posibilitatea aducerii sistemului, prin comand, n timp finit cu valori negative, dintr-un punct al spaiului de stare, considerat drept condiie iniial n origine.

n( 1) ( ) ( ), t , x , , nxn nxmx t Ax t Bu t Z A B se consider un ir

{u(0),u(1)u(k-1)} de k pai de comand care aduce sistemul din starea x(0) n x(k) se calculeaz irul : {x(0),x(1)x(k-1)} cu x(0) dat

2

1

k-1

(1) (0) (0);(2) (1) (1) (0) (1) (0);

...( ) ( 1) ( 1) (0) ( 1) ( 2) ... (0)

( 1)( 2)

(0) [ AB ... A ]... (0)

k k

k

x Ax Bux Ax Bu A x Bu ABu

x k Ax k Bu k A x Bu k AB k A Buu ku k

A x B B

u

11

Notm cu :

k-1[ AB ... A ]kR B B matricea de controlabilitate n k pai i

( 1)( 2)

... (0)

k

u ku k

u

u

vectorul cu elementele irului de k pai de comand

n acest caz se poate scrie : ( ) (0)k k kx k A x R u iar dimensiunea spaiului de stare =n

O stare x a sistemului liniar discret este controlabil n k pai, dac exist un sir de k pai de comand care conduce sistemul din starea iniial, x(0), dat, n starea final x(k).

Sistemul discret este controlabil n k pai sau perechea (A,B) este controlabil n k pai, dac orice stare x este controlabil n k pai.

Sistemul discret este controlabil n k pai dac d im k n

2.3.2 Controlabilitatea sistemelor liniare continue

Ecuaia diferenial de stare a unui sistem liniar continuu multivariabil la intrare

n( 1) ( ) ( ), t , x , , nxn nxmx t Ax t Bu t Z A B

tranziia sistemului dintr-o stare x(0) n starea x(t) este soluia ecuaiei difereniale

( )00

( ) ( )t

At A tx t e x e Bu d (2.16)

Sistemul liniar continuu este controlabil dac orice stare x n este controlabil

Observabilitatea vizeaz perechea (C,A) din reprezentarea structural. Observabilitatea prin definiie reprezint posibilitatea de a observa ntr-un interval finit i pozitiv evoluia liber a sistemului (fr comand) din condiia iniial.

2.3.3 Observabilitatea sistemelor liniare discrete

Se consider sistemul liniar discret fr comand i fr transfer proporional intrare ieire ( 1) ( )( ) ( )

x t Ax ty t Cx t

se face un ir de k observaii pentru momentele de timp t=0,1,2,,k-1 i rezult:

12

1

(0)(1) (0)

( 1) (0)k

xx Ax

x k A x

i

1

(0)(1) (0)(2) (1) (0)

( 1) (0)k

yy Cxy Cx CAx

y k A Cx

se consider

2k

1

(0)(1)

si matricea Q

( 1)

pkxnk

k

Cy CAy

y CA

y kCA

Sistemul discret este observabil n k pai dac orice stare x este observabil n k pai

Sistemul linear discret este observabil n k pai dac i numai dac kr a n g Q n

n cazul sistemelor lineare continue avem sistemul de ecuaii :

0, (0)x Ax x x

y Cx

2

1

matricea Q pkxn

k

CCACA

CA

numit matricea de observabilitate

Sistemul linear continuu este observabil n k pai, dac orice stare x este observabil, singura stare neobservabil fiind x=0

Sistemul linear continuu este observabil n k pai, dac i numai dac rangQ n

CAPITOLUL III

Procese aleatoare i sisteme stohastice

3.1 Introducere n procese aleatoare

Procesele stohastice sunt de obicei folosite pentru a descrie procesele aleatoare care genereaz semnale secveniale precum vorbirea i zgomotul. Modelul probabilistic furnizeaz descrierea matematic complet a proceselor aleatoare.

13

Definiie: Se numete sistem de evenimente o mulime de evenimente, care pot apare intr-o anumita experiena.

Definiie: Evenimentul, care se realizeaz ntotdeauna intr-o experiena data, se numete eveniment sigur sau total si se noteaz cu S.

Definiie: Evenimentul care consta in nerealizarea unui eveniment A se numete complementarul (opusul sau contrarul) lui A si se noteaz cu .

Definitie: Complementul evenimentului sigur se numete eveniment imposibil si se noteaz cu .

Definiia axiomatica a probabilitii: Se numete probabilitate pe cmpul de evenimente F, funcia P(A), pozitiva, definita pentru

orice eveniment din F si care are proprietile: 1) P(A) este pozitiva

P(A)0 2) Probabilitatea evenimentului sigur este egala cu 1

P(S)=1 (S este evenimentul sigur) 3) Daca A si B sunt evenimente mutual exclusive, atunci

P(A B)=P(A)+P(B) daca A B=

Din definiie si din proprietile de mai sus se pot deduce alte proprieti: a) Daca F are un numr infinit de evenimente, atunci:

k k k j

11

P( A ) P(A ); A A = ; kkk

j

b) 0P(A)1, pentru orice A F c) P()=0

P()=1-P(A); (P()0P(A)i)

Definiia probabilitii ca frecventa relativa:

Daca doua evenimente A si B legate de acelai experiment sunt incompatibile si daca efectund de n ori experiena, evenimentul A s-a realizat de nA ori, iar evenimentul B de nB ori, atunci, evident, evenimentul A sau B s-a realizat de nA+nB ori. Intre frecventele celor doua evenimente exista relaia: fn(A sau B)=fn(A)+fn(B) (3.1)

In mod natural, pentru un numr mare de probe, vom transforma aceasta proprietate a frecventelor intr-o proprietate a probabilitilor.

14

Proprietile de mai sus sunt doar cteva. Celelalte se pot deduce din acestea prin calcule simple si pot fi generalizate pentru un numr finit sau infinit de evenimente.

Pentru a estima cel mai bine un semnal sau un proces aleator avem nevoie de teoria probabilitilor. Spre exemplu, posibilitatea ca evenimentul A sa se produc se calculeaz dup formula urmtoare:

Posibilitatea ca evenimentul A sa se produca( )Totalul tuturor posibilitatilor

P A (3.2)

Zgomotul alb este definit ca un proces de zgomot necorelat cu putere egal pe toate frecvenele. Un zgomot care are putere egal pe toate frecvenele n domeniu trebuie s aib putere infinit i este n consecin doar un concept teoretic.

Funcia masei de probabilitate

Pentru variabilele aleatoare discrete, X reprezint o sum de valori discrete dintr-un set de N valori 1 2 nx , x ,...x fiecare ix poate fi considerat un eveniment si desemnat o frecven de apariie. Probabilitatea ca o variabil aleatoare cu valoare discret s ia o valoare ix P(X=x )i se numete funcia de probabilitate n mas.

Funcia de probabilitatea a densitii

Fie o variabil aleatoare cu valori continue. O variabil cu valori continue poate cuprinde un numr infinit de valori, probabilitatea pe care o ia o valoare dispare la un zero.

Valorile ateptate au un rol deosebit n modelarea proceselor. Mai mult, probabilitatea modelelor a proceselor aleatoare este de obicei o funcie cu valori ateptate. De exemplu, funcia de densitate de probabilitate Gaussian este definit ca o funcie exponenial a mijlocului i covarianei proceselor.

Variabila aleatoare pe spaiul evenimentelor elementare S este asociata unui experiment aleator si are valori reale, apriori necunoscute, care apar datorita ntmplrii, cu probabiliti nedeterminate.

Definiie: Se numete variabila aleatoare X funcie real definit pe un sistem complet de evenimente

X:S R

unde:

1 2 n i S={A , A , ..., A , ...} ; A P(S) (3.3)

cu proprietile:

15

i j

i

i=1

i i i

1

1) A A ; i j;

2) A =S;

3) =1; p =P(A )i

p

care ia valoarea x1R cnd se realizeaz evenimentul A1 cu probabilitatea p1=P(A1), ia valoarea x2R cnd se realizeaz evenimentul A2 cu probabilitatea p2=P(A2), ia valoarea xi R cnd se realizeaz evenimentul Ai cu probabilitatea pi,

Daca pentru un rezultat al unui experiment S o operaie de evaluare furnizeaz un numr real X(), funcia reala X, care asociaz fiecrui S valoarea X() este o variabila aleatoare atunci cnd mulimea {: X()

16

Fig. 3.1 Modelul conceptual pentru o variabila aleatoare Variabilele aleatoare f trebuie sa aib proprietatea ca, pentru orice valoare reala a si b astfel nct

a b , ieirile O precum a

17

f fP (x)= P (x)ddx

(3.7)

este numita funcia de densitate de probabilitate a variabilei aleatoare f, i diferenial:

f fp ( x ) P ( x )d x d (3.8)

reprezint msura probabilitii lui f definit pe o algebr sigma care conine intervalele deschise (numita algebra lui Borel peste R).

3.2 Proprietile statistice ale variabilelor aleatoare si ale proceselor aleatoare

Valorile ateptate ale variabilelor aleatoare. Simbolul E este folosit ca operator de ateptare al variabilelor aleatoare. Este numit i expectana sau valoare ateptat i expresia

( ( ))Ex f x este folosit pentru a denota valoarea ateptata a funciei f aplicata ansamblului tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare x. Simbolul de sub litera E indica variabila aleatoare (VA) asupra creia va fi evaluata valoarea ateptata. Cnd VA in cauza este evident din context, simbolul de sub litera E va fi eliminat. Daca argumentul operatorului de expectana este de asemenea evident, si expresia din paranteza poate fi eliminata, folosindu-se Ex in loc de E(x), de exemplu.

Momente Al n-lea moment al variabilei aleatoare scalara x cu densitatea probabilitii p(x) este definit de

formula:

( ) ( ) ( )nE n nx x x p x dxx

(3.9)

Al n-lea moment central al lui x este definit ca:

n nn-

(x)=E(x-Ex) = (x-Ex) p(x)dx

(3.10)

Primul moment al lui x se numete valoarea sa medie:

1-

=Ex= xp(x)dx

(3.11)

n general, o funcie cu mai multe argumente ca de exemplu f(x, y, z) are primul moment:

-

Ef(x,y,z)= f(x,y,z)p(x,y,z)dxdydz

. (3.12)

18

Funcia variabilelor aleatoare.

O funcie a variabilelor aleatoare y=f(x) unde x i y reprezint intrarea i respectiv ieirea; proprietile statistice alea lui y n funcie de x sunt descrise de ecuaiile:

( ) ( )

[ ( )] ( )n n

Ey f x p x dx

Ey f x p x dx

unde y este un scalar

Probabilitatea densitii lui y se poate obine din densitatea lui x.

x=g(y) care se obine dup formula:

( )

( ( ))( ) ( ) |x

y

x g y

p g yp y f xx

unde ( )yp y i xp (x) sunt funciile de densitate a lui y, respectiv a lui x.

3.3 Proprieti statistice ale proceselor aleatoare

Procese aleatoare (PA)

Un proces aleator (PA) este definit ca o funcie x(s) definita pentru fiecare rezultat al unui experiment identificat prin s. Acum, daca asociem fiecrui rezultat s o funcie de timp x(t,s), obinem o familie de funcii numita proces aleator sau proces stochastic. Un PA este numit discret daca argumentele sale sunt variabile discrete precum:

x(k,s), k=1, 2,

Este clar ca valoarea unui PA x(t) la orice moment de timp t=t0, numita x(t0,s), este o VA.

Modele de sisteme lineare ale proceselor aleatoare

Fie un sistem liniar dat de:

-

y(t)= x()h(t,) d

, (3.13)

19

unde x(t) reprezint datele de intrare si h(t, ) reprezint funcia pondere a sistemului. Daca

sistemul este invariant in timp, atunci ecuaia de mai sus devine: -

y(t)= h( x(t- )d

.

Figura 3.3 Diagrama bloc a unui sistem liniar Acest tip de integrala este numit integral de convoluie. Calcule asupra ultimei ecuaii

conduc la relaia de autocorelare funciilor x(t) si y(t):

x

0 0

x, 1 x

0

( ) h( ) h( ) (

( ) ( ) ( d

y

y

d d

h

(3.14)

i relaiile PSD:

2( ) ( ) ( ),

( ) | ( ) | ( ),xy x

y x

H jH j

(3.15) unde H este sistemul funciei de transfer din Figura 3.3, definit cu notaiile transformrii Laplace:

0

H(s)= h( )es d

, unde s=j. (3.16)

3.4 Corelaia, covariana i independena

Valorile ateptate din produsul a dou varibile aleatoare X i Y reprezint un caz special de interes. n general, este dat de ecuaia:

( ) ( , ) dyx x

XYx x

E XY xy f x y dx

(3.17)

Acesta este cazul special n care X i Y sunt independente, n cazul n care fXY este factorizat ecuaia se reduce la :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x

X yx x

E XY xf x dx yf y dy E X E Y

(3.18)

20

n teoria probabilittilor i statisticii, corelaia, care se mai numete si coeficientul de corelare, indic puterea i direcia a relaie liniare dintre dou variabile aleatoare.

Corficientul de corelaie intre dou variabile aleatoare ,X Y , cu valorile ateptate, X i

Y i deviaia standard , X i Y se definete :

,(( )( ))cov( , ) X Y

X YX Y X Y

E X YX Y

(3.19)

unde E reprezin valoare ateptat i cov este covariana lor. Dac

2 2 2X( ), ( ) ( )X E X E X E X (3.20)

i analog pentru Y putem scrie:

, 2 2 2 2

( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

X YE X Y E X E Y

E X E X E Y E Y

(3.21)

Corelaia este definit dac deviaia standard sunt ambele finite cu termenii diferii de zero

Dac corelaia este zero, atunci putem spune c cele dou variabile sunt independente

n teoria probabilittilor i statisticii, covariana este definit de msura n care dou variabile aleatoare variaz mpreun (diferit de variant care msoar ct de mult variaz o singur variabil)

Covariana ntre dou valori reale ale variabilelor aleatoare X i Y, cu valorile ateptate ( ) si E(Y)=E X este definit :

( , ) (( )( ))Cov X Y E X Y (3.22)

Analog, matricea de covarian este matricea cu covariana ntre elementele sale.

CAPITOLUL IV

Filtre Kalman

4.1 Metoda filtrului Kalman discret

n 1960 R.E. Kalman a publicat faimoasa sa lucrare descriind o soluie recursiv a problemei de filtrare a datelor discrete liniare . De atunci, datorat n mare parte avansrii calculului digital, filtrul Kalman discret a fost subiectul unei vaste cercetri n special n domeniul navigaiei asistate.

21

Estimarea procesului

Filtrul Kalman abordeaz problema general a estimrii strii x R a unui process controlat n timp discret care este guvernat de ecuaii difereniale stohastice liniare.

1 1 1k k k kx Ax Bu w (4.1)

cu msuratoarea mz R :

k k kz Hx v (4.2)

Variabilele aleatoare wk i vk reprezint procesul i msuratoarea zgomotului. Se presupune a fi independente (una de cealalt), curate i cu distibuii cu probabiliti normale

( ) (0, )p w N Q (4.3)

( ) (0, )p v N R (4.4)

n practic, matricile procesului covarianei de zgomot Q i msurtrii covarianei zgomotului R se pot schimba la fiecare pas de timp sau msuratoare, oricum n acest caz spunem c sunt constante.

Matricea ( )A n n n ecuaia diferenial (1.1) arat starea de la pasul de timp anterior k-1 la starea de la pasul curent k, n absena fie a unei funcii de conducere fie a unui proces de zgomot. Menionm c n practic A se poate modifica cu fiecare pas de timp, dar aici se presupune ca e constant. Matricea ( )B n l arat intrarea de control opional lu R la starea x. Matricea ( )H m n n ecuaia msuratorii (1.2) arat starea la msuratoarea kz .

n practic H se poate modifica cu fiecare pas de timp sau msuratoare, dar aici spunem este constant.

Calculele de baz ale filtrului

Definim nkx R ca fiind starea a priori estimat la pasul k innd cont de procesul

anterior la pasul k, i nkx R ca fiind starea a posteriori estimat la pasul k cunoscnd kz . Putem defini erorile de estimare a priori i a posteriori:

k k ke x x i k k ke x x .

22

Eroarea de estimare a prori a covarianei este:

[ ]Tk k kP E e e (4.5)

Eroarea de estimare a posteriori a covarianei este:

[ ]Tk k kP E e e (4.6)

n derivarea ecuaiilor pentru filtrul Kalman, ncepem cu scopul de a afla o ecuaie care

calculeaz o stare de estimare kx a posteriori ca o combinaie liniar a unei estimri a priori kx

i o diferen semnificativ ntre o msuratoare actual kz i o msura prezis kHx cum este artat n (4.7).

( )k k k kx x K z Hx (4.7)

Diferena ( )k kz Hx n (4.7) este numit inovaia msuratorii sau rezidual. Rezidualul

reflect discrepana dintre msuratoarea prezis kHx i msuratoarea actual kz . A rezidual de

zero nseamn c cele dou sunt n compatibilitate perfect.

Matricea ( )K n m n (4.7) este aleas ctigul sau factorul de amestec care minimizeaz eroarea covarianei a posteriori (4.6). Aceast minimizare poate fi obinut mai nti substituind (4.7) n definiia lui ke , substituind aceasta n (4.6), ndeplinind rezultatele dorite, lund derivata rezultatului fa de K, egalnd rezultatul cu zero i rezolvndu-l pentru K. Una din formele rezultatului K ce minimizeaz (4.6) este dat de:

1( )T

T T kk k k T

k

P HK P H HP H RHP H R

(4.8)

Un alt mod de abordare a msurrii de catre K este aceea ca pe masura ce msuratoarea erorii de covarian R se apropie de zero, msuratoarea actual kz se ia n calcul din ce n ce mai

mult, n timp ce msuratoarea prezis kHx se ia n calcul din ce n ce mai puin. Pe de alt parte,

pe msur ce estimarea a priori a erorii de covarian kP se apropie de zero msuratoarea

actual kz este luat n calcul din ce n ce mai putin, n timp ce msuratoarea prezis kHx este

luat n calcul din ce n ce mai mult.

23

Originile filtrului

Justificarea pentru (4.7) ii are rdcinile n probabilitatea estimrii a priori kx

condiionat n toate msurtorile antrerioare kz (regula lui Bayes). Filtrul Kalman menine primele dou momente distribuiei strii:

[ ]k kE x x

[( )( ) ]Tk k k k kE x x x x P (4.9)

Estimarea strii a posteriori (1.7) reflect sensul distribuiei strilor este normal distribuit dac sunt ndeplinite condiiile (1.3) si (1.4). Estimarea a posteriori a erorii de covarian (1.6) reflect varianta distribuiei strii.

( | ) ( [ ], [( )( ) ]) ( , )Tk k k k k k k k kp x z N E x E x x x x N x P (4.10)

Algoritmul filtrului Kalman- discret

Filtrul Kalman estimeaz un proces folosind o form a controlului feedback: filtrul estimeaz starea procesului la momente de timp i apoi obine feedback sub forma de msuratori. Ecuaiile filtrului Kalman se mpart n: ecuaiile de actualizare a timpului i ecuaile de actualizare a msurtorii. Ecuaiile de actualizare a timpului sunt responsabile cu proiectarea timp a strii actuale i a erorii covarianei estimeaz obinerea a priori aproximnd urmtorul pas de timp. Ecuaiile de actualizare a msurtorii sunt responsabile cu feedback-ul de exemplu pentru a aduga o nou msurtoare la estimrile a priori pentru a obine estimri a posteriori mbuntite. Ecuaiile de actualizare a timpului pot fi de asemenea considerate ecuaii predictor, n timp ce ecuaiile de actualizare a msurtorii pot fi ecuaii corector. ntr-adevr, algoritmul de estimare final seamn cu un algoritm predictor corector pentru rezolvarea problemelor numerice asa cum rezult din figura 4.1.

Actualizarea timpului Actualizarea msurtorii

(predicie) (corecie)

Fig 4.2 Conceptul de filtru Kalman

24

Ecuaiile specifice actualizrii timpului i msurtorii sunt prezentate n tabelele 4.1 i 4.2.

Tabelul 4.1: Ecuaiile de actualizare a timpului ale filtrului Kalman discret

1 1 k k kx Ax Bu

(4.11)

1T

k kP AP A Q

(4.12)

nc o dat se poate observa cum ecuaiile de actualizare a timpului din tabelul 4.1 proiecteaz estimrile de stare i covariana de la pasul k-1 la pasul k.

Tabelul 4.2: Ecuaiile de actualizare a masuratorii ale filtrului Kalman discret

1( )T Tk k kK P H HP H R (4.13)

( )k k k k kx x K z Hx (4.14)

( )k k kP I K H P (4.15)

Primul pas ntr-o actualizare de msurtoare este calcularea rezultatelor Kalman, Kk. Apoi se msoara efectiv procesul pentru a obtine zk, iar apoi generarea unei stari a posteriori prin adugarea msurtorii ca n (4.14). De asemenea (4.14) este la fel cu (4.7). n final se obine o estimare a erorii de covarian a posteriori prin (1.15).

Procesul se repet cu estimri a posteriori anterioare folosite pentru a proiecta sau aproxima noile estimri a priori. Unul din caracaterele de baz ale filtrului Kalman este cel recursiv. Prin urmare face ca implementrile practice s fie mult mai realizabile. Filtrul Kalman condiioneaz recursiv estimarea curent a tuturor msurtorilor anterioare. Figura 4.2 ofer o imagine de ansamblu a modului de operare a filtrului Kalman, combinnd diagrama de nivel nalt din figura 4.1 cu ecuaiile din tabeelel 4.1 i 4.2

Parametrii filtrului i ajustarea.

n implementarea filtrului msurtoarea covarianei zgomotului R este de obicei obinut inaintea operaiei filtrului. Determinarea covarianei zgomotolui de proces Q este n general mai dificil deoarece nu avem posibilitatea s observm direct procesul care trebuie estimat. Cteodat un model de proces relativ simplu poate da rezultate acceptabile dac se insereaz suficient incertitudine n proces prin selectarea lui Q. Desigur, n acest caz ne asteptm ca msurtorile procesului s fie sigure.

25

i ntr-un caz i n altul, chiar dac nu exist o baz raional pentru alegerea parametrilor, de cele mai multe ori performanele superioare ale filtrului (din punct de vedere statistic) pot fi obinute prin ajustarea parametrilor Q i R. Ajustarea este fcut de obicei off-line, de cele mai multe ori cu ajutorul unui alt filtru Kalman ntr-un proces care poart numele de recunoaterea sistemului.

Actualizarea timpului (predictie)

(1) Proiectarea starii

1 1 k k kx Ax Bu

(2) Proiectarea erorii de covarian

1T

k kP AP A Q

Estimri iniiale pentru 1kx i 1kP

Figura 4.3 Ecuaiile filtrului Kalman

n ncheiere reinem faptul c n cazul n care Q i R sunt constante, estimrile covarianei de eroare Pk ct i rezultatul Kalman Kk se va stabiliza rapid i va ramne constant (vezi ecuaiile de actualizare a filtrului din figura 1.2). Dac ne confruntm cu un astfel de caz, parametrii pot fi precalculati fie prin punerea filtrului n funciune off-line sau de exemplu prin determinarea valorii de stare stabil a lui Pk.

n cele mai multe cazuri msurtoarea erorii nu rmane constant. De asemenea procesul de zgomot Q este cteodat dinamic schimbat n timpul operaiei de filtrare devenind Qk cu scopul de a se ajusta different dynamics. n unele cazuri Qk poate fi ales s justifice incertitudinea inteniilor utilizatorului i incertitudinea de model.

Actualizarea msurtorii (corecie)

(1) Calculul catigului Kalman

1( )T Tk k kK P H HP H R

(2) Actualizarea estimrii cu zk

( )k k k k kx x K z Hx

(3) Actualizarea erorii de covarian

( )k k kp I K H P

26

4.2 Filtrul Kalman extins (EKF)

4.2.1 Estimarea procesului

Filtrul Kalman adreseaz problema general unui process controlat n timp discret care este guvernat de o ecuaie cu diferene liniare finite. Un filtru Kalman ce liniarizeaz pasul curent i covariana este un filtru Kalman extins (EKF). Asemntor seriei Taylor, putem liniariza estimarea n jurul aproximrii curente utiliznd derivate pariale ale proceselor i funcii estimate pentru a calcula aproximrile chiar i n expresia relaiilor neliniare. Presupunem c procesul are

un vector de stare ( nx R ) i este descris de o ecuaie diferenial neliniar

1 1 1( , , )k k k kx f x u w (4.2.1)

cu msurtoarea mz R

( , )k k kz h x v (4.2.2)

unde variabilele aleatoare wk i vk reprezint procesul i msoar zgomotul. n acest caz funcia neliniar f, n ecuaia diferenial 4.2.1 face legatura ntre starea la pasul k-1 i starea la pasul curent k. Aceasta include ca parametri orice funcie de conducere uk-1 i the zero-mean process noise wk. Funcia neliniar h, n ecuaia 4.2.2 arat starea xk la msurtoarea zk.

Putem aproxima starea i vectorul msurtoare astfel:

1 1 ( , ,0)k k kx f x u (4.2.3)

i

( ,0)k kz h x (4.2.4)

unde kx este o estimare a posteriori a strii (de la pasul anterior de timp, k).

Este important de reinut c distribuirea (sau a densitilor n cazul continuu) variabilelor aleatoare nu mai sunt aceleai dup transformrile neliniare respective. EKF este un simplu estimator de stare ad-hoc ce aproximeaza optimizarea regulilor lui Bayes prin liniarizare.

27

4.2.2 Originile calculate ale filtrului

Pentru a estima un process cu relaii difereniale neliniare, ncepem prin a scrie noua ecuaie de guvernare care liniarizeaz o estimare despre (4.2.3) i (4.2.4),

1 1 1( )k k k k kx x A x x Ww (4.2.5)

( )k k k k kz z H x x Vv (4.2.6)

unde:

xk i zk sunt vectorii de stare respectiv msurare; xk i zk sunt vectorii de stare aproximat respectiv msurare; xk este un estimator a posteriori a strii la pasul k; variabilele aleatoare wk i vk descriu procesul i zgomotul msurat; A este matricea Jacobian a derivatelor pariale ale funciei f fa de x:

[ ][ , ] 1 1

[ ]

( , ,0)ii j k kj

fA x u

x

W este matricea Jacobian a derivatelor pariale ale funciei f fa de w: [ ]

[ , ] 1 1[ ]

( , ,0)ii j k kj

fW x u

w

H este matricea Jacobian a derivatelor pariale ale funciei h fa de x: [ ]

[ , ][ ]

( ,0)ii j kj

fH x

x

V este matricea Jacobian a derivatelor pariale ale funciei h fa de v: [ ]

[ , ][ ]

( ,0)ii j kj

hV x

v

n notaie nu se folosesc pai de timp k cu matricile Jacobiene A,W,H i V, chiar dac sunt diferite la fiecare pas.

Se definete o notaie pentru eroarea prediciei,

kx k k

e x x (4.2.7)

i pentru msurtoarea rezidual,

kz k k

e z z (4.2.8)

28

n practic vectorul de stare, cantitatea pe care ncercm s o estimm, nu are acces la xk n (4.2.7). Pe de alt parte msurtoarea actual, cea care e utilizat la estimarea lui xk, are acces la yk n (4.2.8). Utiliznd (4.2.7) i (4.2.8) putem scrie ecuaiile de guvernare pentru o eroare de proces, astfel:

1 1( )kx k ke A x x k (4.2.9)

k kx x ke He (4.2.10)

unde k i k reprezint noile variabile aleatoare independente cu pas zero i matricile

covariane TWQW i TVRV , cu Q i R ca n (4.3) i (4.4).

Trebuie menionat faptul c ecuaiile (4.2.9) i (4.2.10) sunt liniare, i c se aseaman diferenei i msurtorii ecuaiilor (4.1) i (4.2) din filtrul Kalman discret. Aceasta ne motiveaz s folosim actual msurtoare rezidual ezk n (4.2.8) i un filtru Kalman secundar (ipotetic) pentru a estima eroarea prediciei exk dat de (4.2.9). Aceast estimare, numit ek, poate fi apoi folosit mpreun cu ecuaia (4.2.7) pentru a obine estimrile strii a posteriori pentru procesul neliniar initial ca

k k kx x e (4.2.11)

Variabilele aleatoare ale ecuaiilor (2.9) i (2.10) au urmatoarele probabiliati distribuite:

( ) (0, [ , ])

( ) (0, )

( ) (0, )

k k k

Tx x x

Tk

Tk

p e N E e e

p N WQWp N VRV

Dnd aceste aproximari i lsnd valoarea prevazut a lui ke s fie zero, ecuaia filtrului Kalman

utilizat n aproximarea lui ke este:

kk k z

e K e (4.2.12)

Substituind (2.12) n (2.11) i utiliznd la (2.8) se observ c nu este nevoie de filtrul Kalman secundar (ipotetic):

( )kk k k z k k k k

x x K e x K z z (4.2.13)

Ecuaia (4.2.13) poate fi acum folosit pentru actualizarea msurii n filtrul Kalman extins, cu xk i zk provenind din (4.2.3) i (4.2.4), i ctigul Kalman Kk care provine din (4.13) cu substituia corespunztoare pentru msurarea erorii covarianei.

29

Setul complet de ecuaii EKF este artat n Tabelul 4-1 respectiv Tabelul 4-2. Menionam faptul c avem substituit xk pentru ca xk s rmn consistent cu notaia super minus, i c ataam k matricilor Jacobiene A,W,H i V, pentru a ntri noiunea c sunt diferite (de aceea trebuie calculate) la fiecare pas de timp.

Tabelul 4.1: Ecuaiile de actualizare a timpului ale EKF

1 1 ( , ,0)k k kx f x u

(4.2.14)

1 1T T

k k k k k k kP A P A W Q W

(4.2.15)

n concordana cu filtrul Kalman discret, ecuaiile de actualizare a timpului n tabelul 4-1, proiecteaz starea i covariana estimeaz de la pasul de timp anterior k-1 la pasul de timp curent k. Funcia f n (4.2.14) provine de la (4.2.3), Ak i Wk sunt procese Jacobiene la pasul k, i Qk este procesul covarianei zgomotului (4.3) la pasul k.

Tabelul 4.2: Ecuaiile de actualizare a msurtorii ale EKF

1( )T T Tk k k k k k k k kK P H H P H V R V (4.2.16)

( ( ,0))k k k k kx x K z h x (4.2.17)

( )k k k kP I K H P (4.2.18)

n concordan cu filtrul Kalman discret, ecuaiile de actualizare a msurtorii n tabelul 4.2, corecteaz . Funcia h n (4.2.7) provine din (4.2.4), Hk i V sunt msurtori Jacobiene la pasul k i Rk este covariana msurtorii zgomotului (4.4) la pasul k.

Operaia de baz a filtrului Kalman extins este la fel cu cea a filtrului Kalman discret liniar aa cum este artat n figura 4-1. Figura 4-2 ofer n continuare o imagine complet a operaiilor filtrului Kalman extins, combinnd diagrama de nivel ridicat a Figurii 4-1 cu

kH ecuaiile din Tabelul 4-1 i Tabelul 4-4.

30

Actualizarea timpului (predictie)

(1) Proiectarea starii

1 1 ( , ,0)k k kx f x u

(2) Proiectarea erorii de covarian

1 1T T

k k k k k k kP A P A W Q W

Estimri iniiale pentru 1kx i 1kP

Figura 4.4 Ecuaiile filtrului Kalman

O caracteristic important a filtrului Kalman extins este aceea c Jacobianul ecuaia pentru ctigul Kalman este folosit pentru a propaga corect sau mri doar componenetele relevante ale informaiei msurtorii.

Actualizarea msurtorii (corecie)

(1) Calculul catigului Kalman

1( )T T Tk k k k k k k k kK P H H P H V R V

(2) Actualizarea estimrii cu zk

( ( ,0))k k k k kx x K z h x

(3) Actualizarea erorii de covarian

( )k k k kp I K H P

31

V. CONCLUZII

n acest proiect de curs se propune o introducere n domeniul proiectrii i simulrii performanelor i parametrilor sistemelor complexe de urmrire cu ajutorul filtrelor Kalman.

Primul capitol face o trecere n revist a unor elemente introductive n filtrele Kalman precum principiile matematice ce stau la baza construirii unui filtru Kalman : metoda celor mai mici ptrate , teoria probabilitilor precum si alte filtre asemntoare precum filtrul Wiener.

n capitolul II este prezentat suportul teoretic al filtrelor ,prin descrierea sistemelor dinamice i ecuaiile care stau la baza sistemelor dinamice, controlabilitatea i observabilitatea sistemelor dinamice discrete.

n capitolul III sunt prezentate o categorie de procese care stau la baza filtului Kalman, procese aleatoare, variabile aleatoare , matricea de varian i covarian

n capitolul IV sunt prezentate noiuni introductive desp filtrul Kalman si diferite forme ale acestuia , filtrul Kalman extins i filtrul Kalman discret care vor fi direct aplicate n capitolele urmtoare.

Filtrul Kalman estimeaz un proces folosind o form a controlului feedback: filtrul estimeaz starea procesului la momente de timp i apoi obine feedback sub forma de msuratori. Prin urmare, ecuaiile filtrului Kalman se mpart n: ecuaiile de actualizare a timpului i ecuaile de actualizare a msurtorii.

Ecuaiile de actualizare a timpului pot fi de asemenea considerate ecuaii predictor, n timp ce ecuaiile de actualizare a msurtorii pot fi ecuaii corector. ntr-adevr, algoritmul de estimare final seamn cu un algoritm predictor corector pentru rezolvarea problemelor numerice

Aplicatiile filtrelor Kalman acoper multe domenii, dar folosirea lui ca pe un instrument este aproape n exclusivitate pentru dou cauze: estimare si analiza performanelor estimatoarelor

32

BIBLIOGRAFIE

[1] Mahafza, B.R. and. A.Z. Elsherbeni, MatLab Simulations for Complex Systems Design, Chapman & Hall, CRC Press, 2004

[2] Mohinder S. Grewal, Angus P. Andrews (2001): Kalman Filtering: Theory and Practice Using Matlab, John Wiley & Sons Inc 2001.

[3] Sorenson, Harold W. (1985): Kalman filtering: theory and application, New York

[4] Lathi, B.P., Modern Digital And Analog Communication Systems, 3rd edition, Oxford University Press, NY, 1998

[5] Kalman, R. E. (1960), A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, Journal of Basic Engineering, (ASME) Vol. 82D.a.

[6] Kalman, R. E. (1961), Bucy, R. S. New Results in Linear Filering and Prediction Theory, Journal of Basic Engineering (ASME), Vol. 83D.