universitatea “babeŞ - bolyai” cluj –...

UNIVERSITATEA “BABEŞ - BOLYAI” CLUJ – NAPOCA

FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ

Anamaria-Geanina MACOVEI

NOI CLASE DE

FUNCŢII UNIVALENTE

Rezumatul tezei de doctorat

Conducător ştiinţific:

Academician dr. Petru T. MOCANU

Cluj-Napoca, 2011

CUPRINS INTRODUCERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I. GENERALITĂŢI PRIVIND NOŢIUNEA DE FUNCŢIE UNIVALENTĂ . . 4 I.1. Probleme generale privind teoria funcţiilor univalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.2. Familii speciale de funcţii univalente în U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.3. Funcţii analitice cu partea reală pozitivă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.4. Subordonare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II. CLASE SPECIALE DE FUNCŢII UNIVALENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.1. Funcţii stelate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.2. Funcţii convexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.3. Funcţii aproape-convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.4. Funcţii alfa-convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.5. Funcţii alfa-convexe p-simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.6. Funcţii stelate de tip α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.7. Funcţii spiralate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.8. Funcţii stelate şi convexe de ordin α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.9. Funcţii analitice cu coeficienţii negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III. SUBORDONĂRI ŞI SUPERORDONĂRI DIFERENŢIALE . . . . . . . . . . . . 10 III.1. Subordonări diferenţiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.2. Subordonări diferenţiale de tip Briot-Bouquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 III.3. Aplicaţii ale subordonări diferenţiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.4. Aplicaţii ale subordonărilor diferenţiale Briot – Bouquet . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.5. Superordonări diferenţiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.6. Superordonări diferenţiale de tip Briot-Bouquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 III.7. Aplicaţii ale superordonărilor diferenţiale de tip Briot-Bouquet obţinute cu ajutorul operatorilor integrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III.8. Aplicaţii ale subordonărilor şi superordonărilor diferenţiale, teoreme “sandwich” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 III.9. Subordonări şi superordonări diferenţiale pentru funcţii analitice definite cu ajutorul operatorului liniar Ruscheweyh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 III.10. Subordonări şi superordonări diferenţiale obţinute cu ajutorul clasei transformarilor multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 IV. SUBCLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 IV.1. Subclase de funcţii univalente definite cu ajutorul convoluţiei . . . . . . . . . . . . . 37 IV.2. Subclase normate de funcţii stelate şi convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 IV.3. Subclase normate de funcţii univalente definite cu ajutorul convoluţiei . . . . . 40 IV.4. Subclase normate de funcţii stelate şi convexe de ordin α . . . . . . . . . . . . . . . . 42 IV.5. Subclase normate de funcţii alfa-convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 IV. 6. Subclase de funcţii univalente cu coeficienti negative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 BIBLIOGRAFIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

Cuvinte cheie: Funcţie univalentă, funcţie analitică cu partea reală pozitivă, funcţie stelată, funcţie convexă, funcţie aproape-convexă, funcţie alfa-convexă, funcţie spiralată, funcţie analitică cu coeficienţii negative, subordonare diferenţială, subordonare diferenţială de tip Briot-Bouquet, superordonare diferenţială, superordonare diferenţială de tip Briot-Bouquet, operatorul liniar Sălăgean, operatorului liniar Ruscheweyh.

INTRODUCERE Teoria geometrică a funcţiilor univalente este una dintre domeniile analizei complexe în care rigoarea raţionamentului analitic se împleteşte strâns cu intuiţia geometrică şi primele noţiuni au fost introduse la începutul secolului al XX - lea când au apărut primele lucrări importante cum ar fi cele scrise de P. Koebe, T. H. Gronwall, I. W. Alexander, L. Bieberbach. Este demn de menţionat faptul că, în dezvoltarea acestui domeniu al matematicii, matematicienii români au avut un merit deosebit. Creatorul şcolii româneşti de teoria funcţiilor univalente este G. Călugăreanu care a obţinut condiţii necesare şi suficiente de univalenţă. Continuatorul acestuia este Academicianul P. T. Mocanu care s-a impus pe plan mondial prin rezultate remarcabile şi amintim câteva, a introdus noi clase de funcţii univalente, funcţiile alfa-convexe sau funcţiile Mocanu, a abordat problema injectivităţii funcţiilor neanalitice şi a creat împreună cu S. S. Miller o nouă metodă de studiu a unor clase de funcţii univalente şi anume „metoda funcţiilor admisibile” sau „metoda subordonărilor diferenţiale”. Mai târziu Academicianul P. T. Mocanu şi S. S. Miller au introdus noţiunea duală a subordonării diferenţiale numită „superordonare diferenţială”. Sub conducerea domnului Academician P. T. Mocanu s-a format o puternică şcoală clujeană de toeria geometrică a funcţiilor. Dintre numeroşii colaboratori ai domniei sale pe plan naţional amintim: N.N. Pascu, G.Ş. Sălăgean, T. Bulboacă, G. Kohr, P. Curt, Gh. Oroş, M Acu şi alţii, iar pe plan internaţional, S.S. Miller, M.O. Reade, S. Ruscheweyh, S. Owa, R. Fourier, M.K. Aouf şi alţii. În această teză de doctorat s-au obţinut noi rezultate cu privire la subordonările şi superordonările diferenţiale precum şi unele subclase de funcţii univalente. Lucrarea cuprinde patru capitole, o introducere şi o bibliografie conţinând 138 titluri, dintre care 21 sunt semnate de autor. În primul capitol, intitulat „Generalităţi privind noţiunea de funcţie univalentă” şi structurat în patru paragrafe, sunt prezentate probleme generale privind teoria funcţiilor univalente, familii speciale ale acestora, funcţii analitice cu partea reală pozitivă şi noţiunea de subordonare. Al doilea capitol intitulat „Clase speciale de funcţii univalente” este structurat în nouă paragrafe. Aici sunt prezentate rezultate importante cu privire la clasa funcţiilor stelate, convexe, aproape-convexe, alfa-convexe, alfa-convexe p-simetrice, stelate de tip α , spiralate, stelate şi convexe de ordin α şi analitice cu coeficienţii negativi, fiind expuse definiţii, leme şi teoreme fundamentale. Aceste noţiuni şi rezultate sunt necesare pentru demonstrarea rezultatelor originale conţinute în capitolul IV. Următoarele două capitole conţin rezultate originale, publicate deja sau în curs de publicare. „Subordonări şi superordonări diferenţiale” este al treilea capitol, fiind structurat în zece paragrefe. În primele două paragrafe sunt prezentate definiţii, leme şi teoreme fundamentale referitoare la subordonări diferenţiale şi subordonări diferenţiale de tip Briot-Bouque. Aceste noţiuni şi rezultate sunt necesare pentru demonstrarea rezultatelor originale conţinute în următoarele paragrafe ale acestui capitol. În paragrafele III.3 şi III.4 s-au determinat aplicaţii ale

2

subordonărilor diferenţiale şi subordonări diferenţiale de tip Briot-Bouque şi sunt conţinute în [57], [61], [64]. În următoarele două paragrafe sunt prezentate definiţii şi teoreme fundamentale referitoare la superordonări diferenţiale şi superordonări diferenţiale de tip Briot-Bouque, necesare pentru demonstrarea rezultatelor originale conţinute în următoarele paragrafe ale acestui capitol. O parte din aceste rezultate sunt conţinute în [56]. În paragraful III.7 s-au determinat aplicaţii ale superordinărilor diferenţiale de tip Briot-Bouquet obţinute cu ajutorul operatorilor integrali, iar [54], [55], [58] conţin aceste rezultate. Paragraful III.8 conţine aplicaţii ale subordonărilor şi superordonărilor diferenţiale şi teoremele “sandwich”. Aceste rezultate sunt conţinute în [63], [65], [66]. Folosind operatorul Ruscheweyh în paragraful III.9 s-au determinat subordonări şi superordonări diferenţiale pentru funcţii analitice. Rezultatele acestui paragraf sunt conţinute în [67]. În ultimul paragraf a acestui capitol sunt prezentate subordonări şi superordonări diferenţiale folosind operatorul ( , ) ( )kI r f zλ , sunt conţinute în [60], [68]. Ultimul capitol intitulat „Subclase de funcţii univalente” este structurat în şase paragrafe. Toate rezultatele acestui capitol sunt originale. În paragraful IV.1 sunt prezentate subclase de funcţii univalente definite cu ajutorul convoluţiei, notate *

gS , gK , gC şi sunt conţinute în [62]. Paragraful

IV.2 intitulat „Subclase normate de funcţii stelate şi convexe” prezintă subclasele notate *( )S ζ , ( )K ζ , conţinute în [69]. Următorul paragraf este o împletire a paragrafelor anterioare, adică s-au

determinat subclase normate de funcţii univalente definite cu ajutorul convoluţiei, notate *( )gS ζ ,

(gK )ζ , ( )gC ζ , , ( )gMα ζ , , ( )gS γ ζ . Aceste rezultate sunt conţinute în [70]. Subclase normate de

funcţii stelate şi convexe de ordin α sunt prezentate în paragraful IV.4, sunt notate *( ; )S α ζ , ( ;K )α ζ şi sunt conţinute în [71]. Rezultatele paragrafului IV.5, subclase normate de funcţii alfa-

convexe, notate ( )Mα ζ , sunt conţinute în [72]. Ultimul paragraf a acestui capitol este intitulat „subclase de funcţii univalente cu coeficienti negativi” prezintă o nouă clasă de funcţii notată

, (nTS λ )α∗ şi aceste rezultate sunt conţinute în [73]. Ţin să aduc pe acestă cale sincere mulţumiri şi să-mi exprim sentimentele de stimă şi respect conducătorului ştiinţific al lucrării, domnului Academician Petru T. Mocanu pentru modul în care m-a îndrumat în elaborarea acestei lucrări, pentru sprijinul, încrederea pe care mi-a însufleţit-o şi încurajarea permanentă. De asemenea, mulţumirile mele se îndreaptă către domnul prof. univ. dr. Grigore Şt. Sălăgean ale cărui rezultate în domeniul funcţiilor cu coeficienţi negativi mi-au fost de un real folos, doamnei prof. univ. dr. Gabriela Kohr, precum şi celorlalţi domni profesori de la Catedra de Teoria Funcţiilor. Şi nu în ultimul rând aş vrea să mulţumesc copiilor, părinţilor şi soţului pentru susţinere, înţelegere, încurajare şi ajutorul acordat. În cele ce urmează, am selectat cele mai importante rezultate din fiecare capitol.

3

I. GENERALITĂŢI PRINVIND NOŢIUNEA DE FUNCŢIE UNIVALENTĂ

În acest capitol sunt prezentate noţiuni şi rezultate elementare privind teoria funcţiilor univalente, familii speciale ale acestora, funcţii analitice cu partea reală pozitivă şi noţiunea de subordonare.

I.1. Probleme generale privind teoria funcţiilor univalente Definiţia I.1.1 [38]: Fie D ⊆ domeniu şi fie funcţia f : D → . Spunem că funcţia f este o funcţie univalentă, dacă f ∈H (D) şi f este injectivă pe D. Definiţia I.1.2 [38]: Notăm cu Hu (D) = { f ∈H (D): f univalentă pe D }. Hu (D) poartă numele de clasa funcţiilor univalente. Teorema I.1.1 [20,38]: Dacă funcţia f ∈ Hu (D), atunci ( ) 0f z′ ≠ , pentru orice z∈D. Corolarul I.1.2 [38]: Fie D un domeniu convex din planul , f ∈ H (D) astfel încât

, pentru orice z∈D, atunci f Re ( ) 0f z′ > ∈ Hu (D).

I.2. Familii speciale de funcţii univalente în U

Notăm discul unitate în planul complex { }: 1U z z= ∈ < .

Mulţimea funcţiilor olomorfe în discul unitate se notează cu H (U). :f U →

Pentru şi , notăm a∈ *n∈H H (U) : {[ , ]a n f= ∈ }1

1( ) ...n nn nf z a a z a z +

+= + + + ,

∈ H (U) : }1 21 2( ) ...n n

n nf z z a z a z+ ++ += + + + , An { f=

iar pentru , A1 = A. 1n =Un loc important în teoria funcţiilor univalente îl ocupă clasa S a funcţiilor de forma:

2 32 3( ) ... ...n

nf z z a z a z a z= + + + + + , z U∈ olomorfe şi univalente în discul unitate U.

Notăm cu S = { f ∈ Hu (D): (0) (0) 1 0f f ′= − = }. Teorama I.2.4 [7]: Dacă f S∈ , 2 3

2 3( ) ... ...nnf z z a z a z a z= + + + + + , z U∈ , atunci a2 satisface

relaţia 2 2a ≤ . Are loc egalitatea 2 2a = dacă şi numai dacă f este o funcţie de tip Koebe, adică

( )2( ) ( )1 i

zf z K ze z

τ τ= =

+, z U∈ , τ ∈ .

Conjectura I.2.1 [9]: Dacă f S∈ , 2 32 3( ) ... ...n

nf z z a z a z a z= + + + + + , , atunci z U∈ na n≤ pentru orice , n≥ 2. n∈Corolarul I.2.3 [95]: Clasa S este compactă.

4

I.3. Funcţii analitice cu partea reală pozitivă Definiţia I.3.1 [95]: Introducem o nouă clasă de funcţii P = { p ∈H (U) : p (0) = 1, ,

} numită clasa de funcţiilor de tip Caratheodory. Re ( ) 0p z >

z U∈Definiţia I.3.2 [95]: Introducem o nouă clasă de funcţii B = { ϕ ∈H (U) : ϕ (0) = 0, ( ) 1zϕ < ,

} numită clasa de funcţiilor de tip Schwarz. z U∈Teorema I.3.4 [18]: Dacă p∈P, 2

1 2( ) 1 ...p z p z p z= + + + , z U∈ , atunci 2np ≤ pentru orice

. Egalitatea are loc dacă şi numai dacă: *n∈1( )1

zp zz

λλ

+=

−, z U∈ , λ∈ , 1λ = .

I.4. Subordonare

Definiţie I.4.1 [95]: Fie funcţiile f, F ∈H (U). Spunem că funcţia f este subordonantă funcţiei F şi vom nota f F≺ sau ,( ) Fzf ≺ ( )z z U∈ dacă există o funcţie w∈H (U) cu ( )0w 0= şi

( ) 1w z < , astfel încât z∈U ( ) ( )f z F w z= ⎡ ⎤⎣ ⎦ , z U∈ .

Teorema I.4.1 [95]: Fie funcţiile f, F ∈H (U) şi presupunem că F este univalentă în U. Atunci , dacă şi numai dacă ( ) ( )zFzf ≺ z U∈ ( ) ( )00 Ff = şi ( ) ( )f U F U⊆ .

Corolarul I.4.1 [49]: Fie funcţiile f, F ∈H (U) astfel încât F este univalentă în U.

a) Dacă şi ( ) ( )00 Ff = ( ) ( )f U F U⊆ , atunci ( ) ( )r rf U F U⊆ , 0 1r< < .

b) Egalitatea ( ) (r )rf U F U= pentru un 1r < are loc dacă şi numai dacă ( ) ( )f U F U= sau

( ) ( )f z F zλ= , 1λ = .

II. CLASE SPECIALE DE FUNCŢII UNIVALENTE În acest capitol sunt prezentate rezultate importante cu privire la clasa funcţiilor stelate, convexe, aproape-convexe, alfa-convexe, alfa-convexe p-simetrice, stelate de tip α , spiralate, stelate şi convexe de ordin α şi analitice cu coeficienţii negativi, fiind expuse definiţii, leme şi teoreme fundamentale.

II.1. Funcţii stelate

Funcţiile stelate sunt introduse pentru prima dată în 1920 de J. W. Alexander. Teorema II.1.1 [95]: Fie funcţia f ∈H (U), f (0) = 0. Atunci funcţia f este stelată în U dacă şi numai dacă şi (0) 0f ′ ≠

( )Re 0( )

z f zf z′

> , z U∈ .

5

Definiţia II.1.6 [95]: Notăm cu S* = { f ∈A : ( )Re 0( )

z f zf z′

> , z U∈ }. S* poartă numele de clasa

funcţiilor stelate. Teorema II.1.3 [95]: Clasa S* este compactă. Teorema II.1.5 [50,101]: Dacă *f S∈ , unde 2 3

2 3( ) ... ...nnf z z a z a z a z= + + + + + , , atunci z U∈

na ≤ n pentru orice , n 2. Egalitatea are loc dacă şi numai dacă n∈ ≥ ( ) ( )f z K zτ= , z U∈ , τ ∈ .

II.2. Funcţii convexe

Funcţiile convexe au fost introduse în anul 1913 de E. Study [138], iar studiul lor a fost continuat de T. H. Gronwall [35] şi K. Lowner [50]. Lema II.2.2 [123]: Fie funcţia p ∈H (U), astfel încât şi fie Re (0) 0p > α ∈ . Atunci:

( )Re ( ) 0( )

z p zp zp z

α′⎡ ⎤

+ >⎢ ⎥ z U⎣ ⎦

, ∈ , ⇒ Re ( ) 0p z > z U∈ .

Teorema II.2.1 [95]: Fie funcţia f ∈H (U). Atunci funcţia f este convexă în U dacă şi numai dacă şi (0) 0f ′ ≠

( )Re 1 0( )

z f zf z′′

+ >′

, z U∈ .

Definiţia II.1.4 [95]: Notăm cu K = { f ∈A : ( )Re 1 0( )

z f zf z′′

+ >′

, z U∈ }, K poartă numele de

clasa funcţiilor convexe. Teorema II.2.2 [95]: Funcţia f K∈ dacă şi numai dacă *g S∈ , unde , ( ) ( )g z z f z′= z U∈ sau f K∈ . ⇔ *( )z f z S′ ∈

Teorema II.2.5 [95]: Clasa K este compactă. Teorema II.2.6 [50]: Dacă f K∈ , 2

2( ) ... ...nnf z z a z a z= + + + + , z U∈ , atunci 1na ≤ pentru

orice n , . Egalitatea are loc dacă şi numai dacă: ∈ 2n ≥ ( )1

f z = i

ze zτ+

, , z U∈ τ ∈ .

G. S. Sălăgean şi S. Ruscheweyh introduc doi operatori diferenţiali care permit, în anumite situaţii, studierea simultană a funcţiilor stelate şi convexe, precum şi a unor subclase ale acestora. Definiţia II.2.8 [125]: Definim operatorul diferenţial Sălăgean Dn : A A , , prin: → n∈

( )

0

1

1

( ) ( ),( ) ( ) ( ),

...........................................

( ) ( ) .n n

D f z f zD f z Df z z f z

D f z D D f z−

=

′= =

=

)

Observaţia II.2.10: Dacă funcţia f ∈ A, 2

( ) jj

j

f z z a z∞

=

= +∑ , z U∈ , atunci:

6

2

( )nj

j

D f z z j a z∞

=

= +∑ n j z U, ∈ .

Definiţie II.2.9 [125]: Spunem că funcţia f ∈ A este n-stelată, n∈ , dacă verifică inegalitatea: 1 ( )Re 0

( )

n

n

D f zD f z

+

> , z U∈ .

Vom nota cu Sn* clasa acestor funcţii.

Teorema II.2.10 [5] Fie φ ∈A convexă, *g S∈ şi F ∈H (U) astfel încât , Re ( ) 0F z > z U∈ .

Atunci Fgg

φφ∗∗

este convexă.

Definiţia II.2.11 [121]: Definim operatorul Ruscheweyh Rn : A →A , n∈ , prin:

( )( )1

1

( )( ) ( )

(1 ) !

nnn

n

z z f zzR f z f zz n

−

+= ∗ =−

, z U∈ .

Observaţia II.2.12 [121]: Dacă funcţia f ∈ A, 2

( ) jj

jf z z a z

∞

=

= +∑ , z U∈ , atunci

12

( )n nn j j

j

jR f z z C a z∞

+ −=

= +∑ , z U∈ .

II.3. Funcţii aproape-convexe

Definiţia II.3.1 [95]: O funcţie f : U , f → ∈H (U) se numeşte aproape-convexă dacă există o funcţie ϕ convexă în U astfel încât:

( )Re 0( )

f zzϕ

′>

′, z U∈ .

Spunem că funcţia f este aproape-convexă în raport cu funcţia ϕ .

Definiţia II.3.2 [95]: Notăm cu C = { f ∈A : ( ) Kϕ∃ ∈ , ( )Re 0( )

f zzϕ

′>

′, z U∈ }, C poartă numele

de clasa funcţiilor aproape-convexe şi normate. Teorema II.3.1 [43,106]: Fie un domeniu simplu conex şi fie funcţia D ⊂ f ∈H (D). Să presupunem că există o funcţie ϕ∈Hu (D) astfel încât ( )Dϕ = Δ este undomeniu convex. Atunci

( )Re 0( )

f zzϕ

′>

′, ( adică funcţia f este aproape-convexă în raport cu z D∈ ϕ ) implică funcţia f

univalentă în D. Teorema II.3.3 [116,117]: Dacă f C∈ , 2

2( ) ... ...nnf z z a z a z= + + + + , , atunci z U∈ na n≤ ,

. Egalitatea are loc dacă şi numai dacă 2n ≥( )2( ) ( )1 i

zf z K ze z

τ τ= =

+, , z U∈ τ ∈ .

7

II.4. Funcţii alfa-convexe ( funcţii Mocanu )

Cu scopul de a stabili o legătură între noţiunile de convexitate şi de stelaritate, în anul 1969, P. T. Mocanu [92] introduce noţiunea de alfa-convexitate. Mai târziu au fost obţinute diverse proprietăţi ale acestora de către P. T. Mocanu, S. S. Miller şi M. O. Reade [88,89]. Teorema II.4.1 [92]: Fie funcţia f alfa-convexă pe cercul { }:z z r∈ = dacă şi numai dacă

Re ( , ; ) 0J f zα > pentru z r= , unde:

( ) ( )( , ; ) (1 ) 1( ) ( )

z f z z f zJ f zf z f

α α α′ ′⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟′⎝ ⎠z′

.

Definiţia II.4.3 [92]: Notăm cu Mα = { f ∈H (U) : , (0) (0) 1 0f f ′= − =( ) ( )f z f z′ 0

z≠ , Re ( , ; ) 0J f zα > , z U∈ }, Mα poartă e clasa func

alfa-convexe.

II.5. Funcţii alfa-convexe p-simetrice

efiniţia II.5.1 [26]: Fie

numele d ţiilor Mocanu sau

D şi p∈ , 1p ≥ . α ∈ Notăm cu

{ }1: ( ) 2p p 1, 1 2 1 ...,p p pM f M f z z a += ∈ = + + + ∈ poart n le de clasa

Teorema II.5.2 [26]: Dacă funcţia f

z a z Uα α+

+ + z , , pMα ă umefuncţiilor alfa-convexe p-simetrice.

, pMα∈ , unde 0α > şi z U∈ este un punct fixat, atunci: 1 1

( , ) ( ) ( , )p pp pM r p f z M r pα α⎡ ⎤ ⎡− − ≤ ≤⎣ ⎦ ⎣ ,⎤⎦

unde

1 1

20

1( , )(1 )

rM r d

α

α

α

ρα ρα

ρ

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢

−⎢⎣∫ ⎥

⎥⎦

. Egalitatea este atinsă ( în ambele părţi ) dacă funcţia f este

de forma 1

( ) ( , )p pf z K z pτ α⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

II.6. Funcţii stelate de tip α

efiniţia II.6.1 : Fie funcţia . Spunem că funcţia f este stelată de tip α*f S∈D , şi notăm *[ ]f S α∈ , dacă ( ) sup }{ :f f M βα α β= = ∈ .

Definiţia II.6.2: Fie şi p∈ , 1p ≥ . α ∈ Notăm cu

{ }* 11 2[ ] *[ ]: ( )S f S f z z a zα α= ∈ = + + 1

p z∈ ,2 U *pS1 ...,p p

p p a z+ ++ ++ [ ]α poartă numele de clasa

funcţiilor stelate de tip α p-simetrice. Teorema II.6.1 [26]: uncţia f S *[ ]g S pα∈*[ ]p αF dacă şi numai dacă , 0α ≥∈ , unde

1

( ) ( )p pf z g z⎡ ⎤= ⎣ ⎦

, 2, 3, ...p = .

8

II.7. Funcţii spiralate

În anul 1932, L. Spacek [136] prezintă o generalizare a funcţiilor stelate şi anume clasa funcţiilor s

Fie funcţia piralate.

Teorema II.7.1 [8] : H (U), cu (0) 0f = , (0) 0f ′ ≠ f ∈ ş şi fie i ( ) 0f z ≠ , z U∈

,2 2π π⎛ ⎞γ ∈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠. Atunci funcţia f este s iralată dep tip γ dacă şi numai dacă:

( )Re 0( )

i z f zef z

γ− ′⎡ ⎤>⎢ ⎥

⎣ ⎦, z U∈ .

Definiţia II.7.7 [8]: Notăm cu A : S fγ⎧

= ∈⎨⎩

( )Re 0,( )

i z f ze zf z

γ− ⎫′⎡ ⎤> ∈ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎭U , unde ,

2 2π πγ ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

S γ poartă numele de clasa func te de tip ţiilor spirala γ şi normate uzual în discul unitate U.

II.8. Funcţii stelate ş i convexe de ordin α

ţia II.8.1 [95]: Fie Defini 0 1α≤ < . Notăm cu *( )S fα⎧

= ∈⎨⎩

A ( ):Re ,( )

z f z z Uf z

α′ ⎫

> ∈ ⎬⎭

, *( )S α

poartă numele de clasa func iilor stelate de ordin ţ α .

Definiţia II.8.2 [95]: Fie 0 1α≤ < . Notăm cu: ( )K fα⎧

= ∈⎨⎩

A ( ): Re 1 ,

( )z f z z U

f zα

′′ ⎫+ > ∈ ⎬′ ⎭

,

( )K α poartă numele de iilor convexe de ordin clasa funcţ α .

II.9. Funcţii analitice cu coeficienţii negativi

Definiţia II.9.1: Notăm cu şi prin

, poartă i negativi,

2

: ( ) , 0, \{0,1},nn n

n

T f S f z z a z a n z U∞

=

⎧ ⎫= ∈ = − ≥ ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

∑

numele de clasa funcţiilor stelate cu coeficienţ* * *

)ST T S= ∩

*( )T TT(*α α= ∩ , *( )T α poartă numele de clasa funcţiilor stelate de ordin α cu coeficienţi

K poartă numele de clasa funcţiilor convexe cu coeficienţi negativi şi ( )cT T

negativi, cT T= ∩( )K

, cTα α= 1∩ , cu 0 α≤ < poartă numele de clasa funcţiilor convexe de ordin α cu

i.

Definiţia II.9.2: Notă

coeficienţi negativ

m cu: * ( ): 1 1,( )d

z f zT f T z Uf z

⎧ ⎫′= ∈ − < ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

.

Teorema II.9.2 [134]: Fie funcţia f definită de relaţia (II.9.1). Atunci *( )f T α∈ dacă şi numai

dacă: 2

11 n

n

n aα∞ −≤∑ şi ( )cf T

α= −α∈ dacă şi numai dacă:

2

( )n n aα∞ − 11 n

n α=

≤−

∑ .

9

III. SUBORDONĂRI ŞI SUPERORDONĂRI DIFERENŢIALE

În acest capitol sunt prezentate definiţii, leme şi teoreme fundamentale referitoare la subordonări şi superordonări diferenţiale, subordonări şi superordonări diferenţiale de tip Briot-Bouque, precum şi aplicaţii ale acestora folosind diferite funcţii şi operatori liniari.

III.1. Subordonări diferenţiale

Metoda subordonărilor diferenţiale, cunoscută şi sub numele de metoda funcţiilor admisibile, este una dintre cele mai noi metode folosite în teoria geometrică a funcţiilor analitice şi a fost introdusă de S. S. Miller şi P. T. Mocanu în lucrările [76,77] şi apoi dezvoltată în multe alte lucrări. Definiţia III.1.1: Fie 3: Uψ × → şi fie funcţia h univalentă în discul unitate U. Dacă funcţia p∈H [ ],a n verifică subordonarea diferenţială:

( )2( ), '( ), "( ); ( ) ,p z z p z z p z z h z z Uψ ∈≺ , (III.1.4) atunci funcţia p se numeşte (a, n) soluţie a subordonării diferenţiale (III.1.4). Definiţia III.1.2: Subordonarea din relaţia (III.1.4) se numeşte subordonare diferenţială de ordinul doi, iar funcţia q univalentă în U, se numeşte (a, n) dominantă a soluţiilor subordonării diferenţiale din relaţia (III.1.4). Definiţia III.1.3: O dominantă q~ astfel încât ( ) ( )zqzq ≺~ oricare ar fi dominanta q pentru relaţia (III.1.4) se numeşte cea mai bună (a, n) dominantă. Definiţia III.1.4: Fie 3: Uψ × → şi fie funcţia h univalentă în discul unitate U. Dacă p este o funcţie analitică în discul unitate U şi verifică subordonarea diferenţială din relaţia (III. 1.4), atunci funcţia p se numeşte soluţie a subordonării diferenţiale. Definiţia III.1.5: Funcţia univalentă q se numeşte o dominantă a subordonării diferenţiale din relaţia (III.1.4), dacă p q≺ , pentru orice p care satisface relaţia (III.1.4). Lema III.1.1 [76]: Fie 0

0 0iz r e θ= , cu 10 0 << r şi fie ( ) 1

1 ...n nn nf z a z a z +

+= + + o funcţie

continuă în U (0; r0) şi analitică în ( ) { }00 zr ∪;0U cu ( )f z ≡ 0 şi . Dacă 1≥n

( ) ( ) ( ){ 00 ;0:max rUzzfzf ∈= }, atunci există un număr real m, , astfel încât: n≥m

a) 0 0

0

'( )( )

z f z mf z

= ; b) 0 0

0

''( )Re 1'( )

z f z mf z

+ ≥ .

Definiţia III.1.6: Se notează cu Q mulţimea funcţiilor q care sunt olomorfe şi injective pe ( )qEU \ , unde

( ) ( ){ }∞=∂∈=→

zqUqEz ζ

ζ lim: ,

şi în plus ( ) 0' ≠ζq pentru ( )qEU \∂∈ζ . Mulţimea E(q) se numeşte mulţime de excepţie. Notăm cu Q (a) subclasa funcţiilor Q care îndeplinesc condiţia (0)q a= . Definiţia III.1.6 [76, 77]: Fie mulţimea Ω⊂ , fie funcţia q∈Q şi ,n n 1∈ ≥ . Vom nota cu

clasa funcţiilor [ qn ,ΩΨ ] 3: Uψ × → care satisfac condiţia ( ) Ω∉ztsr ;,,ψ , atunci când:

10

( ), '( ),r q s m qζ ζ ζ= ="( )Re 1 Re 1'( )

t qs q

ζ ζζ

⎡ ⎤⎡ ⎤+ ≥ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦, (III.1.5)

unde , Uz∈ ( )qEU \∂∈ζ şi . Mulţimea nm ≥ [ ]qn ,ΩΨ se numeşte clasa funcţiilor admisibile, iar condiţia ( ) Ω∉ztsr ;,,ψ se numeşte condiţie de admisibilitate. Teorema III.1.3 [82]: Fie [ ],n h qψ ∈Ψ , unde q(0) = a şi ( ,0,0;0) (0)a hψ = . Dacă funcţia

, ( ) ...nnp z a p z= + + p∈H [ ],a n , iar funcţia ( )2 "( );( ), '( ),p z z p z z p z zψ ∈ H (U), atunci avem:

( ) ( )2( ), '( ), "( );p z z p z z p z z h zψ ≺ ⇒ ( ) ( )zqzp ≺ .

Teorema III.1.4 [76,77]: Fie funcţiile univalente ,h q∈Hu(U) cu q(0) = a şi notăm )()( zhzh ρρ = , )()( zqzq ρρ = . Fie funcţia 3: Uψ × → cu ( ,0,0;0) (0)a hψ = care verifică

una din următoarele condiţii: a) [ ]ρψ qn ,ΩΨ∈ , pentru un anumit ( )1,0∈ρ , sau b) există un ( 1,00 ∈ )ρ astfel încât [ ]ρρψ qhn ,Ψ∈ pentru orice ( )1,0ρρ ∈ .

Dacă funcţia , ( ) ...nnp z a p z= + + p∈H [ ],a n , iar funcţia ( )2( ), '( ), "( );p z z p z z p z zψ ∈ H (U),

atunci avem: ( ) ( )2( ), '( ), "( );p z z p z z p z z h zψ ≺ ⇒ ( ) ( )zqzp ≺ .

Teorema III.1.7 [53]: Fie funcţia ( ) ...nnp z a p z= + + , p∈H [ ],a n .

a) Dacă [ ],n aψ ∈Ψ Ω , atunci avem:

( )2( ), '( ), "( );p z z p z z p z zψ ∈Ω , Uz∈ ⇒ ( ) 1p z < , . Uz∈

b) Dacă [ ]n aψ ∈Ψ , atunci avem:

( )2( ), '( ), "( ); 1p z z p z z p z zψ < , Uz∈ ⇒ ( ) 1p z < , Uz∈ .

Teorema III.1.9 [95]: Fie funcţia ( ) ...nnp z a p z= + + , p∈H [ ],a n .

a) Dacă { an ,ΩΨ∈ }ψ , atunci avem:

( )2( ), '( ), "( );p z z p z z p z zψ ∈Ω , Uz∈ ⇒ . 0)(Re >zp , Uz∈

b) Dacă { }anΨ∈ψ , atunci avem:

( )2( ), '( ), "( ); 0p z z p z z p z zψ > , Uz∈ ⇒ , . 0)(Re >zp Uz∈

Teorema III.1.11 [53]: Fie funcţia ( ) ...nnp z a p z= + + , p∈H [ ],a n , unde 1a < şi fie funcţia

, cu :P U → ( ) 1P z < , . Atunci avem: Uz∈

( ) ( ) '( ) 1p z P z z p z+ < , Uz∈ ⇒ ( ) 1p z < , Uz∈ .

Teorema III.1.12 [53]: Fie funcţia ( ) ...nnp z a p z= + + , p∈H [ ],a n , unde a M< , şi

fie funcţia , cu

0M >

:P U → ( )P z M< , Uz∈ . Atunci avem:

( ) ( ) '( )p z P z z p z M+ < , Uz∈ ⇒ ( )p z M< , Uz∈ . Definiţia III.1.7: Fie numărul c cu , fie ∈ 0Re >c *n∈ şi definim

11

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++== c

ncc

cncCC nn ImRe21

Re)( .

Dacă funcţia univalentă R este definită prin relaţia 212)(

zzCzR n

−= , atunci vom nota cu Rc,n funcţia

„Open Door” definită prin relaţia:

22, )()1()1()(2

1)(

bzzbzbbzC

zbbzRzR nnc +−+

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= , unde . )(1 cRb −=

Lema III.1.7 [85]: Fie numărul c cu , fie ∈ 0Re >c *n∈P şi Rc,n funcţia „Open Door” şi fie

funcţia H care verifică subordonarea diferenţială . Dacă funcţia P∈ [ , ]c n )()( , zRz nc≺ p∈H 1 ,nc⎡ ⎤

⎥⎢⎣ ⎦ verifică ecuaţia diferenţială 1)((' )() =+ zz pzPpz , atunci , . 0)(Re >zp Uz∈

Teorema III.1.14 [83,84]: Fie funcţiile ,φ ϕ∈H , cu [1, ]n 0)()( ≠zz ϕφ , . Fie numerele Uz∈, , ,α β γ δ ∈ astfel încât 0≠β , γβδα +=+ şi 0) >Re( +δα . Fie funcţia f ∈An şi

presupunem că

)()()('

)()(')( zR

zzz

zfzfzzP δαδ

ϕϕα +++≡ ≺ ,

unde Rc,n este funcţia „Open Door”. Dacă )(, fIF γβ= este definită prin relaţia 1

1 110

( ) ( ) ( ) ...( )

z nnF z f t t t dt z A z

z z

βα δ

γ

β γ ϕφ

− ++

⎡ ⎤+= =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ + + ,

atunci An , F ∈ 0)(≠

zzF , , şi Uz∈ 0

)()('

)()('Re >⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++ γ

φφβ

zzz

zFzFz , Uz∈ .

III.2. Subordonări diferenţiale de tip Briot-Bouquet

Definiţia III.2.1: Printr-un operator diferenţial de tip Briot – Bouquet înţelegem un operator de forma:

( )( ), '( )p z z p zΦ , unde γβ +

+=Φrsrsr ),( .

Definiţia III.2.2: Fie β şi γ două numere complexe, fie funcţia h∈H(U) şi fie funcţia p∈H(U), , cu proprietatea 1( ) (0) ...p z h p z= + + )0()0( hp = . Printr-o subordonare diferenţială de tip

Briot – Bouquet înţelegem o subordonare diferenţială de forma: '( )( ) ( )

( )z p zp z hp zβ γ

++

≺ z .

Lema III.2.1 [95]: Funcţia , cu pentru şi 2 31 2 3( , ) ( ) ( ) ( ) ...L z t a t z a t z a t z= + + + 0)(1 ≠ta 0≥t

∞=∞→

)(lim 1 tat

, este un lanţ de subordonare dacă şi numai dacă există constantele ]1,0(∈r şi

astfel încât: 0>M

12

a) L(z,t) este analitică în discul rz < pentru orice 0≥t , este local absolut continuă pe

),0[ ∞ pentru orice rz < , şi verifică )(),( 1 taMtzL ≤ pentru rz < şi 0≥t . b) Există o funcţie p(z,t) analitică în U pentru orice ),0[ ∞∈t şi măsurabilă pe ),0[ ∞ pentru

orice Uz∈ , astfel încât 0),(Re >tz , Uzp ∈ , 0≥t şi ),(),(),( zt

tzL tzptzzL∂

∂=

∂∂ pentru rz < şi

aproape peste tot pentru orice ),0[ ∞∈t . Teorema III.2.1 [78,79]: Fie β şi γ două numere complexe, cu 0≠β şi fie funcţia convexă h care verifică:

[ ] 0)(Re >+ γβ zh , Uz∈ . Dacă funcţia p∈H [ ( , atunci avem: 0), ]h n

'( )( ) ( ) ( ) ( )( )

z p zp z h z p zp zβ γ

+ ⇒+

≺ ≺ h z .

Teorema III.2.4 [85]: Fie β şi γ două numere complexe, cu 0≠β şi fie funcţia univalentă Hu(U), cu q(0) = a, astfel încât q∈ 0)( ≠+ γβ zq , Uz∈ şi [ ] 0Re >)0( + γβ q . Vom nota:

γβ +=

)()(')(

zqzqzzQ şi

γβ ++=+=

)()(')()()()(

zqzqznzqzQnzqzh .

Presupunem că:

a) 0)()(')(Re

)()('Re >⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

zQzQznzq

zQzhz

βγβ , Uz∈

şi b) h este convexă sau b’) ]log[ γβ +q este convexă (sau Q este stelată).

Dacă p∈H verifică subordonarea diferenţială de tip Briot – Bouquet [ , ]a n

)()(

)(')( zhzp

zpzzp ≺γβ +

+ , (III.2.10)

atunci şi funcţia q este cea mai bună (a,n) dominantă a subordonării (III.2.10). Funcţia extremală este , iar funcţia q este soluţia ecuaţia diferenţială de tip Briot – Bouquet.

)()( zqzp ≺)()( nzqzp =

Teorema III.2.13 [78]: Fie funcţia univalentă q∈ Hu(U) şi fie funcţiile ,θ φ ∈H(D), unde este un domeniu, astfel încât )(UqD ⊃ 0)( ≠wφ , )(Uqw∈ .

Să notăm ( ))()(')( zqzqzzQ φ= , ( )( ) ( ) ( )h z q z Q zθ= + şi să presupunem că: a) h este convexă sau Q este stelată în U,

b) ( )( ) 0

)()('

)()('Re

)()('Re >⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

zQzQz

zqzq

zQzhz

φθ , Uz∈ .

Dacă funcţia p∈ H(U), cu p(0) = q(0) şi , atunci avem: DUp ⊂)(( ) ( ) ( ) ( ) )()()(')()()(')( zhzqzqzzqzpzpzzp =++ φθφθ ≺ (III.2.31)

implică , iar funcţia q este cea mai bună dominantă a subordonării (III.2.31). )()( zqzp ≺

13

III.3. Aplicaţii ale subordonări diferenţiale

În paragraf s-au determinat aplicaţii ale subordonărilor diferenţiale, folosind funcţia

1( )1

A zq zA z

+=

−. Rezultatele sunt originale şi sunt conţinute în [57], [61].

Teorema III.3.1 [61]: Fie Hu(U), q∈ 1( )1

A zq zA z

+=

−, cu ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ şi fie (0,1]α ∈ , astfel

încât 1 1 01

AA

αα− +

+ >−

. Dacă p∈ H(U), cu p(0) = q(0) = 1 şi

2

1 2(1 ) ( ) '( ) (1 )1 (1

A z A zp z z p zA z A z

α α α α)

+− + − +

− −≺ , atunci . )()( zqzp ≺

Teorema III.3.2 [61]: Fie şi fie( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ (0,1]α ∈ , astfel încât 1 1 01

AA

αα− +

+ >−

. Dacă

p∈ H(U), cu p(0) = 1 şi

2

1 2(1 ) ( ) '( ) (1 )1 (1

A z A zp z z p zA z A z

α α α α)

+− + − +

− −≺ , atunci . Re ( ) 0p z >


A zq zA z

+=

−, cu ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ şi fie , 0α β > ,

(0,1]γ ∈ , astfel încât: 2 1 1 0

1 1A AA A

α βγ γ

+ ++ + >

− −. (III.3.9)

Dacă p∈ H(U), cu p(0) = q(0) = 1 şi 2

22

1 1 2( ) ( ) '( )1 1 (1

A z A z A zp z p z z p zA z A z A z

α β γ α β γ⎛ ⎞+ +

+ + + +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠≺

), atunci . )()( zqzp ≺

Teorema III.3.4 [61]: Fie şi fie ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ , 0α β > , (0,1]γ ∈ , astfel încât are loc relaţia (III.3.9). Dacă p∈ H(U), cu p(0) = 1 şi

22

2

1 1 2( ) ( ) '( )1 1 (1

A z A z A zp z p z z p zA z A z A z

α β γ α β γ⎛ ⎞+ +

+ + + +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠≺

), atunci . Re ( ) 0p z >


A zq zA z

+=

−, cu ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ şi fie 0α >

şi (0,1]β ∈ , astfel încât: 2 3

2 2

1 2 2( 1)1 2 1 2

A A AA A A A

β− −4 0t

+ −− + − +

> , (III.3.16)

2

(1 ) 1 1 21 ( 1)1 1

AA A

α β β βα α− + ⎛ ⎞+ + + + −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

0A> . (III.3.17)

Dacă p∈ H(U), cu p(0) = q(0) = 1 şi

14

( ) [ ] ( )1

12

1 1 2 1( ) (1 ) ( ) '( ) ( ) (1 )1 1 (1 ) 1

A z A z A z A zp z p z z p z p zA z A z A z A z

β ββ βα α α α α α

−− ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ +

− + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − −⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠≺ +

−atunci . )()( zqzp ≺Teorema III.3.6 [61]: Fie , fie ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ 0α > şi (0,1]β ∈ , astfel încât sunt îndeplinite relaţiile (III.3.16) şi (III.3.17). Dacă p∈ H(U), cu p(0) = 1 şi

( ) [ ] ( )1

12

1 1 2 1( ) (1 ) ( ) '( ) ( ) (1 )1 1 (1 ) 1

A z A z A z A zp z p z z p z p zA z A z A z A z

β ββ βα α α α α α

−− ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ +

− + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − −⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠≺ +

−,

atunci . Re ( ) 0p z >Teorema III.3.7 [57]: Dacă funcţia f ∈A , atunci au loc următoarele implicaţii exacte:

( ) ( )''( ) 1 '( ) 1 ( ) 11'( ) 1 ( ) 1 1

a bz f z z z f z f zf z z f z z z z

++ ⇒ ⇒

− − −≺ ≺ ≺ .

Teorema III.3.8 [57]: Dacă funcţia f ∈A şi 0 A 1< ≤ , atunci au loc următoarele implicaţii exacte:

( ) ( )''( ) 1 '( ) 1 ( ) 11'( ) 1 ( ) 1 1

a bz f z A z z f z f zf z A z f z A z z

++ ⇒ ⇒

− −≺ ≺

A z−≺ .

Teorema III.3.9 [57]: Dacă funcţia f ∈A , atunci au loc următoarele implicaţii exacte: ( ) ( )

2

''( ) 1 1 ( ) 11 '( )'( ) 1 (1 ) 1

a bz f z z f zf zf z z z z z

++ ⇒ ⇒

− − −≺ ≺ ≺ .

Teorema III.3.10 [57]: Dacă funcţia f ∈A şi 0 A 1< ≤ , atunci au loc următoarele implicaţii exacte:

( ) ( )

2

''( ) 1 1 ( ) 11 '( )'( ) 1 (1 ) 1

a bz f z A z f zf zf z A z A z z

++ ⇒ ⇒

− −≺ ≺ ≺

A z−.

III.4. Aplicaţii ale subordonărilor diferenţiale de tip Briot - Bouquet

În paragraf s-au determinat aplicaţii ale subordonărilor diferenţiale de tip Briot-

Bouquet, folosind funcţia 1( )1

A zq zA z

+=

−. Rezultatele sunt originale şi sunt conţinute în [64].


A zq zA z

+=

−, unde ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ . Dacă p∈ H(U),

cu p(0) = q(0) = 1 şi

2 2

'( ) 1 2( )( ) 1 1

z p z A z A zp zp z A z A z

++ +

− −≺ , atunci . )()( zqzp ≺


A zq zA z

+=

−, unde ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ . Dacă p∈ H(U),

cu p(0) = q(0) = 1 şi

2 2

'( ) 1 2( )( ) 1 1

z p z A z A zp zp z A z A z

++ +

− −≺ , atunci Re . ( ) 0p z >

15

Teorema III.4.3 [64]: Fie şi fie funcţia h convexă în U, cu ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ (0) 1h = . Să presupunem că ecuaţie diferenţială:

( )( ) ( )( )

z q zh z q zq z′

= + , z U∈ . (III.4.9)

are soluţia univalentă 1( )1

A zq zA z

+=

− ce satisface (0) 1q = şi . ( ) ( )h z q z≺

Dacă f ∈A şi ( )( )

z f zf z′

este univalentă, ( )( )

z F zF z′

∈H[1,1]∩Q şi

( ) ( )( )

z f z h zf z′

≺ , z U∈ , atunci ( ) ( )( )

z F z q zF z′

≺ , z U∈ ,

unde

0

( )( )z f tF z dt

t= ∫ . (III.4.12)

Teorema III.4.4 [64]: Fie şi fie funcţia h definită de relaţia (III.4.9). Dacă ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪

f ∈A şi ( )( )

z f zf z′


z F zF z′

∈H [1,1]∩Q şi

( ) ( )( )

z f z h zf z′

≺ , z U∈ , atunci ( )Re 0( )

z F zF z′

> , z U∈ ,

unde funcţia F este definită de relaţia (III.4.12).


A zq zA z

+=

−, cu ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ , astfel încât:

(1 )11 1

A AA A A

0γγ γ

−+ −

− + + −> , (III.4.19)

1 0(1 ) (1 )A A Aγ γ

>− + + −

, (III.4.20)

2 3 4(1 ) 2 (1 ) 2 ( 1) ( 1) 0A A Aγ γ γ γ γ γ+ − + + − − − >2 . (III.4.21) Dacă p∈ H(U), cu p(0) = q(0) = 1 şi

'( ) 1 2( )( ) 1 (1 )(1 )

z p z A z A zp zp z A z A z A z A zγ γ γ

++ +

+ − − + + −≺ , atunci . )()( zqzp ≺


A zq zA z

+=

−, cu ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ şi sunt îndeplinite

relaţiile (III.4.19), (III.4.20) şi (III.4.21). Dacă p∈ H(U), cu p(0) = q(0) = 1 şi '( ) 1 2( )

( ) 1 1 (1 ) (1 )z p z A z A zp zp z A z A z A z A zγ γ

++ +

+ − − + + −≺ , atunci . Re ( ) 0p z >

Teorema III.4.7 [64]: Fie şi fie funcţia h convexă în U, cu ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ (0) 1h = . Să presupunem că ecuaţie diferenţială:

'( )( ) ( )( )z q zh z q z

q z γ= +

+, z U∈ . (III.4.29)

16

are soluţia univalentă 1( )1

A zq zA z

+=

− care satisface condiţiile (0) 1q = şi . Dacă ( ) ( )h z q z≺ f ∈A

şi ( )( )

z f zf z′


z F zF z′

∈H [1,1]∩Q şi

( ) ( )( )

z f z h zf z′

≺ , z U∈ , atunci ( ) ( )( )

z F z q zF z′

≺ , z U∈ ,

unde 1

0

1( ) ( )z

F z f t t dtz

γγ

γ −+= ∫ . (III.4.32)

Teorema III.4.8 [64]: Fie şi fie funcţia h definită de relaţia (III.4.29). Dacă ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪

f ∈A şi ( )( )

z f zf z′


z F zF z′

∈H [1,1]∩Q şi

( ) ( )( )

z f z h zf z′

≺ , z U∈ , atunci ( )Re 0( )

z F zF z′

> , z U∈ ,

unde unde funcţia F este definită de relaţia (III.4.32).

III.5. Superordonări diferenţiale

Metoda superordonărilor diferenţiale a fost introdusă de S. S. Miller şi P. T. Mocanu în articolul „Subordinants of Differential Superordinations” [86]. Utilizarea acestei metode a permis obţinerea unor rezultate noi în teoria geometrică a funcţiilor analitice. Definiţia III.5.1: Fie f şi F două funcţii olomorfe în U. Spunem că funcţia f este subordonată lui F, sau că F este superordonată lui f, dacă există o funcţie w, analitică în U, cu (0) 0w = şi

( ) 1w z < , astfel încât (( ) ( ))f z F w z= . În acest caz scriem f F≺ sau ( ) ( )f z F z≺ . Dacă funcţia F este univalentă, atunci f F≺ dacă şi numai dacă (0)f (0)F= şi ( ) ( )f U F U⊂ . Definiţia III.5.2: Fie şi fie funcţia h univalentă în discul unitate U. Dacă funcţia 3: Uϕ × →p∈H [ ],a n verifică subordonarea diferenţială:

( )2( ) ( ), '( ), "( ); ,h z p z z p z z p z z z Uϕ ∈≺ , (III.5.4) atunci funcţia p se numeşte (a, n) soluţie a superordonării diferenţiale (III.5.4). Definiţia III.5.3: Superordonarea din relaţia (III.5.4) se numeşte superordonare diferenţială de ordinul doi, iar funcţia q univalentă în U, se numeşte (a, n) subordonantă a soluţiilor superordonării diferenţiale a relaţiei (III.5.4). Definiţia III.5.4: Fie şi fie funcţia h univalentă în discul unitate U. Dacă p este o funcţie analitică în discul unitate U şi verifică superordonarea diferenţială din relaţia (III.5.4), atunci funcţia p se numeşte soluţie a superordonării diferenţiale.

3: Uϕ × →

Definiţia III.5.5: Funcţia univalentă q se numeşte o subordonantă a superordonării diferenţiale din relaţia (III.5.4), dacă , pentru orice p care satisface relaţia (III.5.4). q p≺Definiţia III.5.6: O subordonantă q~ astfel încât ( ) ( )q z q z≺ oricare ar fi subordonata q pentru relaţia (III.5.4) se numeşte cea mai bună subordonantă.

17

Definiţia III.5.7 [77, 81]: Fie mulţimea Ω⊂ , fie funcţia q∈H [ , şi . Vom nota cu

]a n ,n n∈ ≥1

[ ],n qΦ Ω clasa funcţiilor care satisfac condiţia 3: Uϕ × → ( ), ,r s ;t ζ ∈Ωϕ , atunci când:

'( )( ), ,z q zr q z sm

= =1 "( )Re 1 Re 1

'( )t z q zs m q z

⎡ ⎤+ ≤ +⎢ ⎥

⎣ ⎦,

unde , Uz∈ Uζ ∈∂ şi . Mulţimea nm ≥ [ ],n qΦ Ω se numeşte clasa funcţiilor admisibile, iar

condiţia se numeşte condiţie de admisibilitate. ( , , ;r s t z ∈Ω)ϕ

Teorema III.5.1 [85]: Fie ,Ω⊂ q∈H [ ],a n şi fie [ ],n qϕ∈Φ Ω , unde q(0) = a. Dacă funcţia

p∈Q (a) şi ( ( ), '( ) )2, "( );p z z pϕ z z p z z este o funcţie univalentă în discul unitate U, atunci

( ){ }2( ), '( ), "( ); ,p z z p z z p z z z UϕΩ ⊂ ∈ ⇒ ( ) ( )q z p z≺ .

Teorema III.5.2 [56]: Fie , fie qΩ⊂ ∈H , cu q(0) = a şi fie [ , ]a n ,n qρϕ ⎡∈Φ Ω⎣ ⎤⎦ , pentru un

anumit 1ρ ≥ , unde )( zq)(zq ρρ = . Dacă funcţia p∈Q (a) şi ( )( ) ;2, '( ), "( )p z z p z z p z zϕ este o funcţie univalentă în discul unitate U, atunci

( ){ }2( ), '( ), "( ); ;p z z p z z p z z z UϕΩ ⊂ ∈ ⇒ ( ) ( )q z p z≺ .

Teorema III.5.3 [86]: Fie H şi fie h analitică în U şi fie q∈ [ , ]a n [ ],n h qϕ∈Φ . Dacă funcţia

p∈Q (a) şi funcţia ( 2( ), )( ) ' "( );,p z z p z z p z zϕ este univalentă în discul unitate U , atunci

( ) ( )2( ), '( ), "( );h z p z z p z z p z zϕ≺ ⇒ ( ) ( )q z p z≺ .

Teorema III.5.4 [56]: Fie , fie funcţiile Ω⊂ ,h q∈H , cu q(0) = a şi notăm [ , ]a n)()( zhzh ρρ = , )()( zqzq ρρ = . Fie funcţia 3: Uϕ × → , cu ( ,0,0;0) (0)a hϕ = care verifică

una din următoarele condiţii: a) ,n qρϕ ⎡∈Φ Ω⎣ ⎤⎦ , pentru un anumit 1ρ ≥ , sau b) există un 0 1ρ ≥ astfel încât ,n h qρ ρϕ ⎡ ⎤∈Φ ⎣ ⎦ pentru orice ( )01,ρ ρ∈ .

Dacă funcţia p∈Q (a) şi funcţia ( 2( ), '( ), "( ); )p z z p z z p z zϕ este univalentă în discul unitate U, atunci

( ) ( )2( ), '( ), "( );h z p z z p z z p z zϕ≺ ⇒ ( ) ( )q z p z≺ .

Teorema III.5.5 [86]: Fie h o funcţie analitică în U şi fie . Presupunem că ecuaţia diferenţială:

3: Uϕ × →

( ) ( )2( ), '( ), "( );q z z q z z q z z h zϕ =

are o soluţie Q (a). Dacă q∈ [ ],h qϕ∈Φ , p∈Q (a) şi ( )2( ), '( ), "( );p z z p z z p z zϕ este univalentă în U, atunci

( ) ( )2( ), '( ), "( );h z p z z p z z p z zϕ≺ ⇒ ( ) ( )q z p z≺ . şi funcţia q este cea mai bună subordonantă .

18

Teorema III.5.6 [56]: Fie funcţia univalentă h∈Hu(U) şi fie 3: Uϕ × → . Presupunem că ecuaţia diferenţială:

( ) ( )2( ), '( ), "( );q z z q z z q z z h zϕ = are o soluţie q, cu q(0) = a, şi că una din din următoarele condiţii este verificată:

a) Q şi q∈ [ ],h qϕ∈Φ ,

b) q este univalentă în U şi ,h qρϕ ⎡ ⎤∈Φ ⎣ ⎦ , pentru un anumit 1ρ ≥ ,

c) q este univalentă în U şi există un 0 1ρ ≥ , astfel încât ,h qρ ρϕ ⎡∈Φ ⎣ ⎤⎦ pentru

orice ( )01,ρ ρ∈ .


( ) ( )2( ), '( ), "( );h z p z z p z z p z zϕ≺ ⇒ ( ) ( )q z p z≺ . şi funcţia q este cea mai bună subordonantă. Teorema III.5.7 [56]: Fie funcţia univalentă h∈Hu(U) şi fie 3: Uϕ × → . Presupunem că ecuaţia diferenţială:

( )( ) ( )2 2( ), '( ), 1 '( ) "( );q z n z q z n n z q z n z q z z h zϕ − + = are o soluţie q, cu q(0) = a, şi că una din următoarele condiţii este verificată:

a) Q şi q∈ [ ],n h qϕ∈Φ ,

b) q este univalentă în U şi ,n h qρϕ ⎡ ⎤∈Φ ⎣ ⎦ , pentru un anumit 1ρ ≥ ,

c) q este univalentă în U şi există un 0 1ρ ≥ , astfel încât ,n h qρ ρϕ ⎡∈Φ ⎣ ⎤⎦ pentru

orice ( )01,ρ ρ∈ .


( ) ( )2( ), '( ), "( );h z p z z p z z p z zϕ≺ ⇒ ( ) ( )q z p z≺ şi funcţia q este cea mai bună subordonantă. Teorema III.5.15 [13,15]: Fie q o funcţie convexă (univalentă) pe discul unitate U, fie funcţiile ϑ şi ϕ analitice în domeniul D conţinut în şi fie ( )q U μ∈H . Presupunem că are loc inegalitatea:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

' ( ) ( ) ( )Re 0

( ) ( )q z q z t z q z

q z t z q zϑ ϕ μ

ϕ μ′ ′+

>′ ′

, Uz∈ , . 0t ≥

Dacă p∈ H [ ( Q, cu p(0) = q(0), şi 0),1]q ∩ DUp ⊂)( ( ) ( ) (( ) ( ) ( ))p z z p z pϑ μ ϕ′+ z este univalentă în U, şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q z t z q z q z p z z p z p zϑ μ ϕ ϑ μ ϕ′ ′+ +≺ atunci . Funcţia q este cea mai bună subordonantă. ( ) ( )q z p z≺Corolarul III.5.6 [13]: Fie q o funcţie convexă (univalentă) pe discul unitate U, fie funcţia ϕ analitică în domeniul D conţinut în şi fie ( )q U ϕ∈H . Presupunem că au loc relaţiile: ( )

19

a) este stelată în U, (( ) '( ) ( )z z q z q zξ ϕ= )

b) ( )( )' ( )

Re 0( )

q zq z

ϑϕ

> , Uz∈ .

Dacă p∈ H [ ( Q, cu p(0) = q(0), şi 0),1]q ∩ DUp ⊂)( ( ) (( ) '( ) ( ))p z z p z p zϑ ϕ+ este univalentă în U, şi

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )q z z g z z q z p z z p z p zϑ ϕ ϑ ϕ′ ′+ +≺ atunci . Funcţuia q cea mai bună subordonantă. ( ) ( )q z p z≺Teorema III.5.16: Fie Hu(U) şi fie funcţiile q∈ ϑ şi ϕ analitice în domeniul D conţinut în

, cu ( )q U ( ) 0wϕ ≠ , unde . Fie )(Uqw∈ ( )) ( )z z z q zξ ϕ( ) = '(q , ( )( ) ( ) ( )l z q z zϑ ξ= + şi presupunem că au loc relaţiile:

a) ξ este stelată,

b) ( )( )' ( )'( ) '( )Re Re 0

( ) ( ) ( )q zz l z z z

z q z zϑ ξ

ξ ϕ ξ⎡ ⎤

= + > Uz⎢ ⎥⎣ ⎦

, ∈ .

Dacă p∈ H [ ( Q, cu p(0) = q(0), şi 0),1]q ∩ DUp ⊂)( ( ) (( ) '( ) ( ))p z z p z p zϑ ϕ+ este univalentă în U şi

( ) ( ) ( ) ( )( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )q z z q z q z p z z p z p zϑ ϕ ϑ ϕ+ +≺ , atunci . Funcţuia q cea mai bună subordonantă. ( ) ( )q z p z≺

III.6. Superordonări diferenţiale de tip Briot-Bouquet Definiţia III.6.1: Fie β şi γ două numere complexe, fie funcţia h∈H(U) şi fie funcţia p∈H(U),

, cu proprietatea 1( ) (0) ...p z h p z= + + )0()0( hp = . Printr-o superordonare diferenţială de tip Briot – Bouquet înţelegem o subordonare diferenţială de forma:

'( )( ) ( )( )

z p zh z p zp zβ γ

++

≺ .

Teorema III.6.1 [87]: Fie h o funcţie convexă în U, cu (0)h a= , şi fie funcţiile şi analitice în domeniul D. Fie

Θ Φp∈ H [ ,1]a ∩Q şi presupunem că ( ) (( ) ( ))( )p z z z p zΘ + p′ Φ este

univalentă în U. Dacă ecuaţia diferenţială: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )q z z q z q z h z′Θ + Φ =

are soluţia univalentă q, , şi (0)q a= ( )q U D⊂

( )( ) ( )q z h zΘ ≺ , atunci

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )h z p z z p z p z′Θ + Φ≺ . ⇒ ( ) ( )q z p z≺Funcţia q este cea mai bună subordonantă. Teorema III.6.3 [87]: Fie funcţiile Θ şi Φ analitice în domeniul D şi fie q o funcţie univalentă în U, cu , . Fie (0)q a= ( )q U D⊂ ( )( ) ( )Q z z q z= Φ( ) z q′ , ( )( ) ( ) ( )h z Q z q z= +Θ şi presupunem că

a) este stelată, ( )Q z

20

b) ( )( )

( )Re 0

( )q zq z

′Θ>

Φ.

Dacă p∈ H Q , [ ,1]a ∩ ( )p U ⊂ D şi presupunem că ( ) (( ) ( ) ( ))p z z p z p z′Θ + Φ este univalentă în U, atunci

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )h z p z z p z p z′Θ + Φ≺ . ⇒ ( ) ( )q z p z≺Funcţia q este cea mai bună subordonantă. III.7. Aplicaţii ale superordonărilor diferenţiale de tip Briot-Bouquet obţinute

cu ajutorul operatorilor integrali

În paragraf s-au determinat aplicaţii ale superordonărilor diferenţiale de tip Briot-Bouquet cu ajutorul operatorilor integrali. Rezultatele sunt originale şi sunt conţinute în [54], [55], [58]. Teorema III.7.1 [54]: Fie . Funcţia ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪

1( )1 1

A z A zh zA z A z

+= +

− −, z U∈ .

este convexă. Teorema III.7.2 [55]: Fie şi funcţia h convexă în U, cu . Presupunem că avem ecuaţia diferenţială:

( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ (0) 1h =

'( )( ) ( )( ) 1

z q zh z q zq z

= ++

, z U∈

cu soluţia univalentă 1( )1

A zq zA z

+=

− ce satisface (0) 1q = şi . Dacă ( ) ( )q z h z≺ f ∈A şi ( )

( )z f z

f z′


z F zF z′

∈H Q şi [1,1]∩

( )( )( )

z f zh zf z′

≺ , z U∈ , atunci ( )( )( )

z F zq zF z′

≺ , z U∈ ,

unde

0

2( ) ( )z

F z f t dtz

= ∫ . (III.7.10)

Corolarul III.7.1 [55]: Fie . Dacă ( 1,0) (0,1)A∈ − ∪ 1 2,f f ∈A, 1

1

( )( )

z f zf z′

şi 2

2

( )( )

z f zf z′

sunt univalente,

1 2

1 2

( ) ( ),( ) ( )

z F z z F zF z F z′ ′

∈H[ , Q şi 1]a ∩

1 2

1 2

( ) ( )1( ) 1 1 ( )

z f z z f zA z A zf z A z A z f z

z U′ ′+

+− −

≺ ≺ , ∈ , atunci 1 2

1 2

( ) ( )1( ) 1 ( )

z F z z F zA zF z A z F z′ ′+

−≺ ≺ , , z U∈

unde

0

2( ) ( )z

i iF z f t dtz

= ∫ , 1, 2i = . (III.7.11)

Teorema III.7.3 [58]: Fie , unde0a A∈ 0 ( , 4.5115...) (0.7571..., )A = −∞ − ∪ +∞ . Funcţia

21

( )1

zh z z az a

= + ++ +

, z U∈

este convexă. Teorema III.7.4 [58]: Fie şi fie h o funcţie convexă în U, cu . Presupunem că ecuaţia diferenţială:

0a A∈ (0)h = a

'( )( ) ( )( ) 1

z q zh z q zq z

= ++

, z U∈

are soluţia univalentă ce satisface ( )q z z a= + (0)q a= şi . Dacă ( ) ( )q z h z≺ f ∈A şi ( )( )

z f zf z′


z F zF z′

∈ [ ,1]a ∩H Q şi

( )( )( )

z f zh zf z′

≺ , z U∈ , atunci ( )( )( )

z F zq zF z′

≺ , z U∈ ,

unde funcţia F este definită de relaţia (III.5.10).

Corolarul III.7.2 [58]: Fie . Dacă 0a A∈ 1 2,f f ∈A , 1

1

( )( )

z f zf z′

şi 2

2

( )( )

z f zf z′

sunt univalente,

1 2

1 2

( ) ( ),( ) ( )

z F z z F zF z F z′ ′

∈H Q şi [ ,1]a ∩

1 2

1 2

( ) ( )( ) 1 ( )

z f z z f zzz af z z a f z

z U′ ′

+ ++ +

≺ ≺ , ∈ , atunci 1 2

1 2

( ) ( )( ) ( )

z F z z F zz aF z F z′ ′

+≺ ≺ , , z U∈

unde , iF 1,2i = , este definită de relaţia (III.5.11).

III.8. Aplicaţii ale subordonărilor şi superordonărilor diferenţiale, teoreme “sandwich”

În paragraf s-au determinat aplicaţii ale subordonărilor şi superordonărilor

diferenţiale.Rezultatele sunt originale şi sunt conţinute în [63], [65], [66]. Teorema III.8.1 [63]: Fie funcţia q convexă în U şi presupunem că Re ( )q z β> . Fie f ∈A

, şi ( , )k n k ∈ 0α > . Presupunem că funcţia q satisface relaţia: ( )Re ( ) 1 0

( )z q z q zg z

β′′⎡ ⎤

+ − + >⎢ ′⎣ ⎦⎥ . (III.8.1)

Dacă 2 1 2

1

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2k k k k

f z f z f z f z q zk qz z z z

α α α

α β α β−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′− + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≺ z z q z ,

atunci ( ) ( )k

f z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ .

Funcţia q este cea mai bună dominantă.

22

Teorema III.8.2 [63]: Fie funcţia q convexă în U şi presupunem că Re ( )q z β> . Fie f ∈A

, , ( , )k n k ∈ ( )k

f zz

α⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H [ (0),1]q ∩Q, 0α > şi fie

2 1

1

1 ( ) ( ) ( ) ( )( )2 k k k

f z f z f z f zkz z z

α α

α β α kz

α−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o funcţie univalentă în U . Presupunem că funcţia q satisface relaţia: [ ]Re ( ) ( ) ( ) 0q z q z q zβ′ ′− > . (III.8.4)

Dacă 2 12

1

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 k k k

q z f z f z f z f zq z z q z kz z z

α α

β α β α−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′− + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≺ kz

α

,

atunci ( )( ) k

f zq zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺

şi q este cea mai bună subordonantă. Teorem III.8.3 [63]: Fie funcţiile convexă şi univalentă în U şi presupunem că 1q 2q

Re ( )q z β> . Fie f ∈A , k , ( , )k n ∈( )k

f zz

α⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H [ (q 0),1]∩Q , 0α > şi fie

2 1

1

1 ( ) ( ) ( ) ( )( )2 k k k

f z f z f z f zkz z z

α α

α β α kz

α−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

univalentă în U . Presupunem că funcţia satisface relaţia (III.8.4) şi funcţia satisface relaţia (III.8.1). Dacă

1q 2q

2 121

1 1 1

22

2 2

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

( ) ( ) ( ),2

k k k

q z f z f z f z f zq z z q z kz z z

q z q z z q z

kz

α α α

β α β α

β

−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′− + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′− +

≺

≺

atunci

1 2( )( ) ( )k

f zq z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺

şi este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. 1q 2qTeorema III.8 [65]: Fie f ∈A ( , , )k n k ∈ , 0γ > şi 0α > . Fie funcţia q convexă în U şi presupunem că funcţia q satisface relaţia:

( )Re 1 0( )

z q zg z

αγ

′′⎡ ⎤+ + >⎢ ′⎣ ⎦

⎥ . (III.8.7)

Dacă 1

1

( ) ( ) ( ) ( )(1 ) ( )k k k

f z f z f z z qk q zz z z

α α γγ γα

−

−

′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≺ z ,

atunci

23

( ) ( )k

f z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺

şi q este cea mai bună dominantă. Teorema III.8.5 [65]: Fie f ∈A ( , , )k n k∈ , fie funcţia q convexă în U şi fie

( )k

f zz

α⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H Q , [ (0),1]q ∩ 0γ > şi 0α > . Fie

1

1

( ) ( ) ( )(1 )k k k

f z f z f zkz z z

α α

γ γ−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

univalentă în U . Presupunem că funcţia q satisface relaţia ( )Re 0q zγα′⎡ ⎤ >⎢ ⎥⎣ ⎦

. (III.8.10)

Dacă 1

1

( ) ( ) ( ) ( )( ) (1 )k k k

z q z f z f z f zq z kz z z

α αγ γ γα

−

−

′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≺ − ,

atunci ( )( ) k

f zq zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺

şi q este cea mai bună subordonantă.

Teorema III.8.6 [65]: Fie f ∈A , ( , )k n ( )k

f zz

α⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H [ (0),1]q Q∩ , k∈ 0γ > şi 0α > . Fie

1

1

( ) ( ) ( )(1 )k k k

f z f z f zkz z z

α α

γ γ−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

univalentă în U . Fie funcţiile convexă şi univalentă în U. Presupunem că funcţia satisface relaţia (III.8.10) şi satisface relaţia (III.8.7). Dacă

1q 2q 1q

2q1

1 21 21

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (1 ) ( )k k k

z q z z q zf z f z f zq z k q zz z z

α αγ γγ γα α

−

−

′ ′′⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≺ ≺ + ,

atunci

1 2( )( ) ( )k

f zq z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺

şi este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. 1q 2qTeorema III.8.7 [66]: Fie f ∈A , ( , )k n k ∈ , 0γ > şi 0α > . Fie funcţia q univalentă în U şi presupunem că această funcţie satisface relaţia

( ) ( )Re 1 0( ) ( )

z q z z q zg z q z′′ ′⎡ ⎤

− + >⎢ ′⎣ ⎦⎥ . (III.8.13)

Dacă ( ) ( )1 1

( ) ( )z f z z q zk

f z q zγα γ α γ

′ ′+ − +≺ ,

24

atunci ( ) ( )k

f z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺

şi q este cea mai bună dominantă.


f zz

α⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H[ (0),1]q ∩Q, k∈ 0γ > şi 0α > . Fie

( )1( )

z f z kf z

α γ α γ′

+ −

univalentă în U . Fie q o funcţie convexă în U şi presupunem că această funcţie satisface relaţia (III.7.13). Dacă

( ) ( )1 1( ) ( )

z q z z f z kq z f z

γ α γ α γ′ ′

+ + −≺ ,

atunci ( )( ) k

f zq zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺



f zz

α⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H[ (0),1]q ∩Q, k ∈ , 0γ > şi 0α > . Fie

( )1( )

z f z kf z

α γ′

+ −α γ univalentă în U . Fie funcţiile convexă şi univalentă în U şi

presupunem că satisfac relaţia (III.8.13). Dacă

1q 2q

1 2

1 2

( ) ( )( )1 1 1( ) ( ) ( )

z q z z q zz f z kq z f z q z

γ γα γ α γ′ ′′

+ + − +≺ ≺ ,

atunci

1 2( )( ) ( )k

f zq z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺ ,

şi este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. 1q 2qTeorema III.810 [66]: Fie f ∈A ( , , )k n k∈ şi 0α > . Fie funcţia q univalentă în U şi presupunem că satisface relaţiile:

Re ( ) 0q z > (III.8.18) şi

( ) ( )Re 1 0( ) ( )


− + >⎢ ′⎣ ⎦⎥ . (III.8.19)

Dacă ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )k

f z z f z z qk q zz f z

α

α γ α γ zq z

′ ′⎛ ⎞ + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ,

atunci ( ) ( )k

f z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ,

25



f zz

α⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H [ (0),1]q ∩Q , k∈ şi 0α > . Fie

( ) ( )( )k

f z z f z kz f z

α

α γ α′⎛ ⎞ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠γ

univalentă în U . Fie funcţia q convexă în U. Presupunem că funcţia q satisface relaţiile (III.8.19) şi

[ ]Re ( ) ( ) 0q z g z′ > . (III.8.22) Dacă

( ) ( ) ( )( )( ) ( )k

z q z f z z f zq z kq z z f z

α

α α′ ′⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠≺ − ,

atunci ( )( ) k

f zq zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺



f zz

α⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H[ (0),1]q ∩Q, k∈ şi 0α > . Fie

( ) ( )( )k

f z z f z kz f z

α

α α′⎛ ⎞ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

univalentă în U . Fie funcţiile convexă şi univalentă în U. Presupunem că funcţia satisface relaţiile (III.8.19) şi (III.8.22), iar funcţia satisface relaţiile (III.8.18) şi (III.8.19). Dacă

1q 2q 1q

2q

1 21 2

1 2

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )k

z q z z q zf z z f zq z k q zq z z f z q z

α

α γ α γ′ ′′⎛ ⎞+ + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠≺ ≺ ,

atunci

1 2( )( ) ( )k

f zq z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺ ,

şi este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. 1q 2qTeorema III.8.13 [65]: Fie f ∈A , ( , )k n k∈ , 0λ > şi 0α > . Fie funcţia q convexă în U. Dacă

1

1

( ) ( ) ( )(1 ) (1 ) ( ) ( )k k k

f z f z f zk q zz z z

α α

α λ λ α λ λ λ−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′+ − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≺ z q z ,

atunci ( ) ( )k

f z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ,


26


f zz

α⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H [ (0),1]q ∩Q, k ∈ , 0λ > şi 0α > . Fie

1

1

( ) ( ) ( )(1 )k k k

f z f z f zkz z z

α α

α λ λ α λ−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o funcţie univalentă în U. Fie funcţia q convexă în U. Presupunem că q satisface relaţia: (1 ) ( )Re 0q zλ

λ′−⎡ >⎢⎣ ⎦

⎤⎥ . (III.8.27)

Dacă 1

1

( ) ( ) ( )(1 ) ( ) ( ) (1 )k k k

f z f z f zq z z q z kz z z

α α

λ λ α λ λ α λ−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′− + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≺ ,

atunci ( )( ) k

f zq zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺

şi q este cea mai bună subordonantă. Teorema III.8.15 [65]: Fie f ∈A , H [ (( , )k n 0),1]q ∩Q, k∈ , 0λ > şi 0α > . Fie

1

1

( ) ( ) ( )(1 )k k k

f z f z f zkz z z

α α

α λ λ α λ−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

univalentă în U . Fie funcţiile convexă şi univalentă în U şi presupunem că funcţia satisface relaţia (III.8.27). Dacă

1q 2q 1q

1

1 1 2 21

( ) ( ) ( )(1 ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) ( ) ( )k k k

f z f z f zq z z q z k q z z q zz z z

α α

λ λ α λ λ α λ λ λ−

−

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′− + + − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≺ ≺ ,

atunci

1 2( )( ) ( )k

f zq z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺

şi este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. 1q 2q

III.9. Subordonări şi superordonări diferenţiale pentru funcţii analitice definite cu ajutorul operatorului liniar Ruscheweyh

În [59] şi [67] autorul obţine noi subordonări şi superordonări diferenţiale folosind operatorul liniar Ruscheweyh. Aceste rezultate sunt originale.

Definim operatorul Ruscheweyh :mR An → An , n∈ , {0}m∈ ∪ , 0

1

1

( ) ( )( ) ( )

( 1) ( ) ( ) ( ),m m m

R f z f zR f z z f z

m R f z z R f z m R f z z U+

=

′=

′⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦ .∈

Dacă f ∈ An, atunci avem: 11

( )m mm j j

j n

jR f z z C a z∞

+ −= +

= + ∑ .

27

Teorema III.9.1 [59]: Fie f ∈An , {0}m∈ ∪ şi 0α > . Fie q o funcţie univalentă în U şi presupunem că satisface condiţiile:

Re ( ) 0q z > (III.9.1) şi

( ) ( )Re 1 0( ) ( )


− + >⎢ ′⎣ ⎦⎥ . (III.9.2)

Dacă

( )1( ) ( 1) ( ) ( )1 ( )

( ) ( )

m m

m

R f z m R f z z q zm q zz R f z

α

α α+

q z′⎛ ⎞ +

+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ + ,

atunci ( ) ( )

mR f z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺


Teorema III.9.2 [59]: Fie f ∈An , ( )mR f zz

α⎛ ⎞

∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H [ (0),1]q ∩Q, {0}m∈ ∪ şi 0α > . Fie

(1( ) ( 1) )1

( )

m m

m

R f z m R mz R z

α

α α+⎛ ⎞ +

+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )f zf

univalentă în U. Fie funcţia q convexă în U şi

presupunem că satisface relaţiile (III.9.2) şi [ ]Re ( ) ( ) 0q z g z′ > (III.9.5)

Dacă

( )1( ) ( ) ( 1) ( )( ) 1

( ) ( )

m m

m

z q z R f z m R f zq z mq z z R f z

α

α α+′ ⎛ ⎞ +

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ − + ,

atunci ( )( )

mR f zq zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺


Teorema III.9.3 [59]: Fie f ∈An , ( )mR f zz

α⎛ ⎞

∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H [ (0),1]q ∩Q, {0}m∈ ∪ şi 0α > . Fie

(1( ) ( 1) )1

( )

m m

m

R f z m R mz R

α

α α+⎛ ⎞ +

+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )f zf z

univalentă în U. Fie funcţiile convexă şi

univalentă în U. Presupunem că funcţia 1 satisface relaţiile (III.9.2) şi (III.9.5), iar funcţia satisface relaţiile (III.9.1) şi (III.9.2). Dacă

1q 2q

2q q

( )1

1 21 2

1 2

( ) ( )( ) ( 1) ( )( ) 1 ( )( ) ( ) ( )

m m

m

z q z z q zR f z m R f zq z m q zq z z R f z q z

α

α α+′ ′⎛ ⎞ +

+ + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺ + ,

atunci

28

1 2( )( ) ( )

mR f zq z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺ ,

şi este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. 1q 2qTeorema III.9.4 [59]: Fie f ∈An , {0}m∈ ∪ şi 0α > . Fie q o funcţie univalentă în U şi presupunem că satisface condiţiile (III.9.1) şi (III.9.2). Dacă

1 2 1

1

( ) ( ) ( ) ( )( 2) 1 ( 1) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )

m m m

m m m

R f z z R f z R f z z q zm m qz R f z R f z R f z q z

α

α+ + +

+ z′⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞

+ + − + + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

≺ ,

atunci 1 ( ) ( )

( )

m

m

R f z z q zz R f z

α+ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ,


Teorema III.9.5 [59]: Fie f ∈An, 1 ( )

( )

m

m

R f z zz R f z

α+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠H [ (0),1]q Q∩ , şi {0}m∈ ∪ 0α > .

Fie 1 2

1

( ) ( ) ( )( 2) 1 ( 1) 1( ) ( ) ( )

m m

m m

1m

m

R f z z R f z R f zm mz R f z R f z R f z

α

α+ +

+

⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞+ + − + + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢

⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣

+ ⎤⎥⎦

univalentă în U. Fie

funcţia q convexă în U şi presupunem că satisface relaţiile (III.9.2) şi (III.9.5). Dacă 1 2

1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 2) 1 ( 1) 1( ) ( ) ( ) ( )

m m

m m

z q z R f z z R f z R f zq z m mq z z R f z R f z R f z

α

α+ +

+

′ 1m

m

+⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞+ + + − + +⎜ ⎟

⎤−⎢ ⎥ ⎢

⎝ ⎠⎥

⎣ ⎦ ⎣≺

⎦

atunci 1 ( )( )

( )

m

m

R f z zq zz R f z

α+ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺


Teorema III.9.6 [59]: Fie f ∈An, 1 ( )

( )

m

m

R f z zz R f z

α+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠H Q , şi [ (0),1]q ∩ {0}m∈ ∪

0α > . Fie 1 2 1m

m1

( ) ( ) ( )( 2) 1 (( ) ( ) ( )

m m

m m 1) 1f z z R f z f zmz R f z R f z f z

α+ +

+

RmR

α +⎡ ⎤ ⎡+ −

⎤⎛ ⎞⎜ ⎟

R+ + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣q

⎦ univalentă în

U. Fie funcţiile convexă şi univalentă în U. Presupunem că funcţia satisface relaţiile (III.9.2) şi (III.9.5), iar funcţia satisface relaţiile (III.9.1) şi (III.9.2). Dacă

1q 2q

2q1

1 21

1 11

12

22

( ) ( ) ( )( ) ( 2) 1( ) ( ) ( )

( )( )( 1) 1 ( ) ,( ) ( )

m m

m m

m

m

z q z R f z z R f zq z mq z z R f z R f z

z q zR f zm q zR f z q z

α

α

+ +

+

+

′ ⎡ ⎤⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ − +⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦′⎡ ⎤

+ + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

≺

≺

atunci 1

1 2( )( ) ( )

( )

m

m

R f z zq z q zz R f z

α+ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺

29

şi este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. 1q 2qTeorema III.9.7 [59]: Fie f ∈An , {0}m∈ ∪ şi 0α > . Fie q o funcţie univalentă în U şi presupunem că satisface condiţiile (III.9.1) şi (III.9.2). Dacă

2 1

1

( ) ( ) ( )( 2) 1 ( )( ) ( ) ( )

m m

m m

R f z R f z z q zm m q zR f z R f z q z

+ +

+

′+ − − +≺ ,

atunci 1 ( ) ( )

( )

m

m

R f z q zR f z

+

≺


Teorema III.9.8 [59]: Fie f ∈An , 1 ( )

( )

m

m

R f zR f z

+

∈H [ (0),1]q ∩Q , {0}m∈ ∪ şi 0α > . Fie

2 1

1

( ) ( )( )m

f zmz

( 2) 1( )

m m

m

R f z RmR f z R f

+ +

++ − − univalentă în U . Fie funcţia q convexă în U şi presupunem că

satisface relaţiile (III.9.2) şi (III.9.5). Dacă 2 1

1

( ) ( ) ( )( ) ( 2) 1( ) ( ) ( )

m m

m m

z q z R f z R f zq z m mq z R f z R f z

+ +

+

′+ + −≺ − ,

atunci 1 ( )( )

( )

m

m

R f zq zR f z

+

≺


Teorema III.9.9 [59]: Fie f ∈An , 1 ( )

( )

m

m

R f zR f z

+

∈H [ (0),1]q ∩Q , {0}m∈ ∪ şi 0α > . Fie

2 1

1

( ) ( )( )m

zz

( 2) 1( )

m m

m

R f z R fm mR f z R f

+ +

++ − − univalentă în U . Fie funcţiile convexă şi univalentă în U.

Presupunem că funcţia satisface relaţiile (III.9.2) şi (III.9.5), iar funcţia satisface relaţiile (III.9.1) şi (III.9.2). Dacă

1q 2q

2q1q

2 11 2

1 211 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 2) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )

m m

m m

z q z R f z R f z z q zq z m m q zq z R f z R f z q z

+ +

+

′ ′+ + − − +≺ ≺ ,

atunci 1

1 2( )( ) ( )

( )

m

m

R f zq z q zR f z

+

≺ ≺

şi este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. 1q 2qTeorema III.9.10 [67]: Fie f ∈A , ( , )k n ,k n∈ , {0}m∈ ∪ şi 0α > . Fie funcţia q univalentă în U şi presunem că satisface condiţiile:

Re ( ) 0q z > (III.9.13) şi

( ) ( )Re 1 0( ) ( )


− + >⎢ ′⎣ ⎦⎥

Dacă

. (III.9.14)

30

( )1( ) ( 1) ( ) ( )( )

( ) ( )

m m

k m

R f z m R f z z q zm k q zz R f z

α

α α+

q z′⎛ ⎞ +

+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ,+

atunci ( ) ( )

m

k

R f z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺


Teorema III.9.11 [67]: Fie A ( , )k n , ,k n∈ , ( )m

k

R f zz

α⎛ ⎞

∈⎜ ⎟⎝ ⎠

f ∈ H şi [ (0),1]q Q∩ , {0}m∈ ∪

0α > . Fie

( )1( ) ( 1) ( )

( )

m m

k m

R f z m R f z m kz R f z

α

α α+⎛ ⎞ +

+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠


[ ]Re ( ) ( ) 0q z q z′ > . (III.9.17) Dacă

( )1( ) ( ) ( 1) ( )( )

( ) ( )

m m

k m

z q z R f z m R f zq z m kq z z R f z

α

α α+′ ⎛ ⎞ +

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ,− +

atunci ( )( )

m

k

R f zq zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺


Teorema III.9.12 [67]: Fie A ( , )k n , ,k n∈ , ( )m

k

R f zz

α⎛ ⎞

∈⎜ ⎟⎝ ⎠

f ∈ H şi [ (0),1]q Q∩ , {0}m∈ ∪

0α > . Fie

( )1( ) ( 1) ( )

( )

m m

k m

R f z m R f z m kz R f z

α

α α+⎛ ⎞ +

+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

univalentă în U . Fie funcţiile convexă şi q univalentă în U. Presupunem că satisface 1qr q

2

la1q

relaţiile (III.9.14) şi (III.9.17), ia satisface re ţiile (III.9.13) şi (III.9.14). Dacă 2

( )1m mz q z z q

α +′ ′⎛ ⎞ +1 21 2

1 2

( ) ( )( ) ( 1) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )k m

zR f z m R f zq z m k q zq z z R f z q z

α α+ + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺ ,

atunci

1 2( )( ) ( )

m

k

R f zq z q zz

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺

şi este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. 1q 2q

31

Teorema III.9.13 [67]: Fie f ∈A , ( , )k n ,k n∈ , {0}m∈ ∪ şi 0α > . Fie funcţia q univalentă în U şi presunem că satisface condiţiile (III.9.13) şi (III.9.14). Dacă

1 2

1

1

( ) ( )( 2) ( 1) (( ) ( )

( ) ( )( 1) ( ) ,( ) ( )

m k m

k m m

m

m

R f z z R f zm m kz R f z R f z

R f z z q zm q zR f z q z

α

α

α

+ +

+

+

⎛ ⎞)m k+ + − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠′

− + +≺

+

atunci 1 ( ) ( )

( )

m k

k m

R f z z q zz R f z

α+ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺


Teorema III.9.14 [67]: Fie f ∈A , ( , )k n ,k n∈ , 1 ( )

( )

m k

k m

R f z zz R f z

α+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠H [ (0),1]q ∩Q,

şi {0}m∈ ∪ 0α > . Fie 1 2

1

( ) ( ) ( )( 2) ( 1) ( ) ( 1)( ) ( ) ( )

m m

m m

1m

m

R f z z R f z R f zm m k m k mz R f z R f z R f z

α

α α+ +

+

⎛ ⎞+ + − + + + + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

univalentă în U . Fie funcţia q convexă în U. Presupunem că funcţia q satisface relaţiile (III.9.14) şi (III.9.17). Dacă

1 2

1

1

( ) ( ) ( )( ) ( 2) ( 1)( ) ( ) ( )

( )( ) ( 1) ,( )

m m

m m

m

m

z q z R f z z R f zq z m m kq z z R f z R f z

R f zm k mR f z

α

α α

+ +

+

+

′ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + − +

≺ − + +

atunci 1 ( )( )

( )

m k

k m

R f z zq zz R f z

α+ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺


Teorema III.9.15 [67]: Fie f ∈A , ( , )k n ,k n∈ , 1 ( )

( )

m k

k m

R f z zz R f z

α+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠H [ (0),1]q ∩Q,

şi {0}m∈ ∪ 0α > . Fie 1 2

1

( ) ( ) ( )( 2) ( 1) ( ) ( 1)( ) ( ) ( )

m m

m m

1m

m

R f z z R f z R f zm m k m k mz R f z R f z R f z

α

α α+ +

+

⎛ ⎞+ + − + + + + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

univalentă în U . Fie funcţiile convexă şi univalentă în U. Presupunem că satisface relaţiile (III.9.14) şi (III.9.17), iar satisface relaţiile (III.9.13) şi (III.9.14). Dacă

1qq

2q 1q

2

32

1 21

1 11

12

22

( ) 1) ( )( ) ( )mm k m q z

R f z q zα α+ + − + +≺

( ) ( ) ( )( ) ( 2) ( 1)( ) ( )

( )( )( ,

m m

m m

m

z q z R f z z R f zq z m m kq z z R f z R f z

z q zR f z

α+ +

+

+

′ ⎛ ⎞+ + + − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠′

≺

atunci

( )

1m k α+

1 2( )( ) ( )

( )k m

R f z zq z q zz R f z

⎛ ⎞⎜ ⎟≺ ≺ ⎝ ⎠

şi este c

III.10 ubo uperordonări diferenţiale obţinute cu ajutorul clasei transformarilor multiple

Rezultatele acestui paragraf sunt originale şi sunt conţinute în [60], [68].

Definiţia III.10.1: Fie funcţia

1q ea mai bună subordonantă, iar 2q este cea mai bună dominantă.

. S rdonări şi s

f ∈A ( , )k n , ,k n∈ . Fie operatorul ( , )kI r :A A( , )k n → ( , )k n , λdefinit prin

1

( , )kj( )

rk j

j k

I r λ +jf z z a z

kλ∞

= +

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟+⎝∑ , 0λ ≥

λ ⎠,

.

Teorema III.10.4 [60]: Fie [ ]( ) ( 1, ) ( ) ) ( ) ( , ) ( )k k kk I r f z z I r f z I r f zλ λ λ λ λ′+ + = +( ,

f ∈A ,( , )k n ,k n∈ şi 0λ ≥ . ă satisface relaţiile:

(III.10.4) şi

Fie q o funcţie univalentă în U şi presupunem c

Re ( ) 0q z >

( ) ( )Re 1 0( ) ( )


− + >⎢ ⎥′⎣ ⎦. (III.10.5)

Dacă ( 2, ) ( ) ( 1, ) ( ) ( )( )( 1, ) (

kk ( 1) ( )) ( , ) ( ) ( )

kI r f z I r f z z q zk q zλ

k kI r f z I r f z q zλλλ

λ λ′+ +

− + − +≺ (III.10.6) ++

atunci ( 1, ) ( ) ( )

( , ) ( )k

k

I r f z q zI r f z

λλ

+ ≺

şi q este cea mai bună dominantă. ( 1, ) ( )Teorema III.10.5 [60]: Fie funcţia f ∈A ( , )k n , ,k n∈ ,

( , ) ( )k

k

I r f zI r f z

λλ

+∈H [ (0),1]q ∩Q şi

. Fie 0λ ≥( 2, ) ( ) ( 1, ) ( )( ) ( 1)( 1, ) ( ) ( , ) ( )

k k

k k

I r f zk k I r f zλ λ+I r f z I r f z

λ λλ λ

++ − + −

+


33

[ ]Re ( ) ( ) 0q z g z′ > (III.10.8) Dacă

( 2, ) ( ) ( 1, ) ( )( )( ) ( ) k kI ( 1)( 1, ) ( ) ( ) ( )k k( ) ,r f z I r f zk

I r f z I r f zz q zq z k λ λλ

λq zλ

′ +λ

+− + − (III.10.9)

atunci

+ +≺+

( 1, ) ( )) ( )

( )( ,

k

k

I rq z f zr f z

λλ

+I

≺

.

şi q este cea mai bună subordonantă

Teorema III.10.6 [60]: Fie f ∈A ( ,k )n , ,k n∈ , ( 1, ) ( )( , ) ( )

k

k

I r f zI r f z

λλ

+∈H Q şi [ (0),1]q ∩ 0λ ≥ . Fie

( 2, ) ( ) (1)k k

k k

1, ) (, ) ( )

)( 1, ) ( ) (

( ) I (r f z zI r fk kI r f z zI r f

λ λλ λ

−

face re

λ λ+ −+ +

+

1q satis+

univalentă în U. Fie i

univalentă în U. Presupunem că laţiile (III.10 şi relaţiile (III.10.4) şi (III.10.5). Dacă

funcţiile 1q

(III.10.8), iar

convexă ş

2 satis

2q

face q.5)

1 ( 2, ) ) ( 1, ) ( )( )( ) ( ) ( 1)k kI r f I r f zz q zq z k k 2( ( )( )( 1, ) )k k

z z q zq zI f I1 2

1 2( ) ( ( , ) ( ) ( )q z r z r f z q zλ λλ λ

′ + ++ + − + −≺ ≺

λ λ′

+ , +

atunci

1 2( 1, ) ( )( ) ( )

( , ) ( )k

k

I r f zq z q zI r f z

λλ

+≺ ≺

şi 1q este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. Teorema III.10.7 [60]: Fie

2qf ∈A ( , )k n , ,k n∈ şi 0λ ≥ . Fie q o funcţie univalentă în U şi

presupunem că satisface relaţiile (III.10.4) şi (III.10.5). Dacă ( , ) ( ) (kI r f z αλ α⎛ ⎞ +⎜ ⎟

( 1, ) ( ) ( )) ( ) ( )( , ) ( ) ( )

kk

k

I r f z z q zk k q zr f z q z

λλ α λλ

′++ − + +≺ ,

z I⎝ ⎠atunci

( , ) ( ) ( )z ,


kk

I r f z qz

αλ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺

Teorema III.10.8 [60]: Fie f ∈A ,( , )k n ,k n∈ , ( , ) ( )kk

I r f zz

αλ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

H şi [ (0),1]q ∩ 0λ ≥ . Q

( , ) ( ) ( 1,( , )

λ λ) ( )( )f zk k

r( )k k

z I( )k

k

r f z I rf z

αIFie α λ α− λ⎞ + + +⎟⎝ ⎠

univalentă

în U. Presupunem că funcţia q satisface relaţiile (III.10.5) şi III.10.8). Dacă λ

+⎛⎜ în U . Fie funcţia q convexă

(( ,( )( ) kI rz q zq z λ λ) ( ) ( 1, ) ( )( ) ( )

( , ) ( )k

kk

f z I r f zk kz I r f z

α

α( )q z

λ α λλ

+⎞ + + − +⎝ ⎠

,

atunci

′ ⎛+ ⎜ ⎟≺

( , ) ( )( ) kk

I r f zq zz

αλ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎠

⎝≺

34


Teorema III.10.9 [60]: Fie f ∈A ( , )k n , ,k n∈ , ( 1, ) ( )( , ) ( )

k

k

I r f zI r f z

λλ

+∈H Q şi [ (0),1]q ∩ 0λ ≥ .

( , ) ( ) ( 1,( , )

λ λ) ( )( )f zk k

r( )k k

z I( )k

k

I r f z I rf z

α

Fie α λ α−

ă 1q sa

λ⎛ ⎞ + + +⎟⎠

univalentă în cţ

convexă şi univalentă tisface relaţ (III.10.5) )satisface relaţiile (III.10.4) şi (III.10.5). Dacă

λ+

în U. Presupunem c

⎜⎝

U . Fie fun

şi (III.10.8

iile 1q

, iar 2q 2q iile

1 ( , ) ( ) ( 1, ) ( )( )( ) ( ) ( )k kI r f z I r f zz q zq z k kαλ λα λ α λ

′ +⎛ ⎞+ + + − +≺ ≺ 2 ( )( )( , )

z q zq zr λ

′+⎟ , 1 2

1 2( ) ( ) ( )kkq z z I f z q z⎜

⎝ ⎠atunci

1 2( , ) ( )( ) ( )k

k

I r f zq z q zz

αλ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺

şi 1q este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. Teorema III.10.10 [68]: Fie

2qf ∈An , n∈ şi 0λ ≥ . Fie q o funcţie univalentă în U şi

II.10.4) şi (III.10.5). Dacă presupunem că satisface relaţiile (I( 2, ) ( ) ( 1, ) ( ) ( )( )

( ( , ( ) )( 1)

( 1, ) ) ) (I r f z I r f z z q zq z

′λI r f zz I r f z q

λλ λλ λ

+ ++≺

i

+ −+

atunc( 1, ) ( ) ( )

( , ) ( )I r f z q z

I r f zλ

λ+ ≺


Teorema III.10.11 [68]: Fie funcţia f ∈An , n∈ , ( 1, ) ( )( , ) ( )

I r f zI r f z

λλ

+∈H Q şi [ (0),1]q ∩ 0λ ≥ .

Fie ( 2, ) ( ) ( 1, ) ( )( 1)( 1, ) ( ) ( , ) ( )

I r f z I r f zI r f z I r f z

λ λλ λλ λ

+ ++ −

+

univalentă în U . Fie funcţia q convexă în U. Presupunem c funcţia q satisface relaţiile (III.10.5) ăşi (III.10.8). Dacă

( )z q z ( 2, ) ( ) ( 1, ) ( )1)( ) 1, ) ( ) ( , ) ( )

I r f z I r f zz r f z r f z

( ) ((

q zq I I′ λ λλ λ

λ λ+ +

−+

atunci

+ +≺

( 1, ) (( )( , ) ( )

)I r fq z zI r f z

λλ

+≺

şi q este cea mai bună subordona tă.

Teorema III.10.12 [68]: Fie

n

f ∈A , nn ∈ , ( 1, ) ( )( , ) ( )

I r f zI r f z

λλ

+∈H [ (0),1]q ∩Q şi . Fie 0λ ≥

( 2, ) ( ) ( 1, ) ( )( 1)( 1, ) ( ) ( , ) ( )

I r f z I r f zI r f z I r f z

λ λλ λλ λ

+ ++ −

+

35

univalentă în U . Fie funcţiile 1q convex şi 2q univalentă în U. Presupă unem că satisface ce r le (III

1qrelaţiile (III.10.5) şi (III.10.8), ia 2 satisfa elaţii .10.4) şi (III.10.5). Dacă r q

1( ) ( 2, ) ( ) ( 1,( ) ( 1)z q z I r f z I rq z 21 2

1 2

( )) ( ) ( )( ) ( 1, ) ( ) ( , ) ( ) (

z q zf z q zq z I r f z I r f z q

λ λλ λ′

)zλ λ′+ +

+ + −≺ ++

≺ ,

atunci

1 2( 1, ) ( )( ) ( )

( , ) ( )I r f zq z q z

I r f zλ

λ+≺ ≺

şi este cea mai bună subordonantă, iar este cea mai bună dominantă. 1q 2qTeorema III.10.13 [68]: Fie f ∈An , n∈ şi 0λ ≥ . Fie q o funcţie univalentă în U şi

iile ş (III.10.5). Dacă presupunem că satisface relaţ (III.10.4) i( , ) ( ) ( 1, ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( )

( , ) ( ) ( )I r f z I r f z z q zq z

z I r f z

α

q zλα λ α λλ

+ + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ,

atunci

λ ′+⎛ ⎞

( , ) ( ) ( )I r f z q zαλ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ≺ z⎝ ⎠


a III.10.14 [68]: Fie An , n∈ , ( , ) ( )I r f zz

αλ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

f ∈ H [ (0),1]q ∩Teorem Q şi 0λ ≥ . Fie

( , ) ( ) ( 1, ) ( )( 1) ( 1)( , ) ( )

I r f z I r f zz I r f z

αλ λα λ α λλ

+⎛ ⎞ + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

în U. Presupunem că funcţia q satisface relaţiile (III.10.5) univalentă în U . Fie funcţia q convexăşi (III.10.8). Dacă

( ) ( , ) ( ) ( 1, ) ( )( ) ( 1) ( 1)( ) ( , ) ( )

z q z I r f z I r f zq zq z z I r f z


′ +⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ − + ,

atunci ( , ) ( )( ) I r f zq z

z

αλ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺


Teorema III.10.15 [68]: Fie An , n∈ , ( , ) ( )I r f zz

αλ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

f ∈ H [ (0),1]q ∩Q şi 0λ ≥ . Fie

( , ) ( ) ( 1, ) ( )( 1) ( 1( , ) ( )

I r f z I r f zz I r f z


+⎛ ⎞ )+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

+

ă unem că satisface elaţiile (III.10.5) şi (III.10.8), iar satisface re iile (III.10.4) şi (III.10.5). Dacă

univalentă în U . Fie funcţiile 1q convex şi 2q univalentă în U. Presup 1qr 2q laţ

1 22

( ) ( , ) ( ) ( 1, ) ( )( 1) ( 1) ( )z q z z qI r f z I r f z q zαλ λα λ α λ

′ ′+⎛ ⎞+ + + − + +⎜ ⎟≺ ≺1( )( )

( ) ( , ) ( ) ( )zq z

q z z I r f z q zλ⎝ ⎠,

tun i 1 2

a c

36

1 2( , ) ( )( ) ( )I r f zq z q z

z

αλ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≺ ≺

i este cea mai bună subordonantă, iar ş 1q 2q este cea mai bună dominantă.

IV. SUBCLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE efinite cu ajutorul convoluţiei, funcţii univalente efinite

a fu

În capitol sunt prezentate subclase de funcţii univalente dsubclase normate de funcţii stelate şi convexe, subclase normate de d cu ajutorul convoluţiei, subclase norm te de ncţii stelate şi convexe de ordin α şi subclase de funcţii univalente cu coeficienti negativi. Rezultatele prezentate în acest capitol sunt originale şi sunt conţinute în [62], [69], [70], [71], [72].

IV.1. Subclase de funcţii univalente definite cu ajutorul convoluţiei

Folosind definiţia convoluţiei s-au obţinut noi subclase de funcţii univalente. Rezultatele acestui paragraf sunt originale şi sunt conţinute în [62].

Definiţia IV.1.2: ie funcţiile f, g F ∈A , definite astfel 2

( ) jj

jf z z a z

∞

=

= +∑ , z U∈ şi

2j

j=

( ) jg z z b z∞

= +∑ , z U∈ , cu ) (0) 0= şi notăm: (g f∗

= ( )( ) ( )( )

: Re 0, ,z g f z

f S z U g f⎧ ⎫′∗⎪ ⎪′∈ > ∈ ∗*

gS (0) 0( )g f z

≠⎨ ⎬∗⎪ ⎪⎩ ⎭,

gK = ( )( )

( )( ): Re 1 0, , (0) 0

( )

z g f zf S z U g f

g f z

⎧ ⎫′′∗⎪ ⎪′∈ + > ∈ ∗ ≠ ⎬′ ⎪∗

.

Teorema IV.1.1 [62]: Dacă

⎨⎪⎩ ⎭

*f S∈ şi funcţia g este convexă, atunci *gf S∈ .

Teorema IV.1.2 [62]: Dacă *gf S şi funcţia h este convexă, atunci *

gh f S∗ ∈ . ∈Teorema IV.1.3 [62]: Fie funcţia h convexă, cu proprietatea . Atunci (0) (0) 1 0h h′= − =

* *g h gS S ∗⊆ .

Definiţia IV.1.3: Fie 0 1α≤ < . Notăm:

) ( )( ) ( )( )

: Re , , (0) 0( )

z g f zf S z U g f

g f zα

⎧⎪⎨

⎫′∗ ⎪′∈ > ∈ ∗ ≠ ⎬∗, *(gS α =

⎪ ⎪⎩ ⎭

( )gK α = ( )( )

( ): Re 1 ,

( )

z g f zf S z

g f zα

⎧ ⎫′′∗⎪ ⎪∈ + >⎨ ⎬′⎪ ⎪∗⎩ ⎭

U∈ .

Teorema IV.1.4 [62]: Fie funcţia g convexă . Atunci gK ⊆ *gS

37

Teorema IV.1.5 [62]: Fie funcţia g convexă . Funcţia f K∈ g dacă şi numai dacă *gh S∈ , unde

(′( ) )h z z f z= , z U∈ sau gf K∈ ⇔ *( ) gz f z S′ ∈ .

Definiţia IV.1.6: ţiile Fie func j

2( ) j

jf z z a z

=

+∑∞

= j∞

, , , cu 0 2

( ) jj

g z z b z=

= +∑ z U∈ ( )(0)g f∗ =

şi *gSϕ∈ . Notăm: gC = ( )

( )( )

: Re( )

z z0,

g ff S z

⎧ ⎫⎪ ⎪∈ > ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

. Ug zϕ

′∗∗

*S ⊆Teorema IV.1.6 [62]: Fie funcţia g convexă . Atunci g gC Teorema IV.1.7 [62]: Fie funcţia g convexă . Dacă gf C∈ şi funcţia h este convexă, atunci

gh f C∗ ∈ . Teorema IV.1.8 [62]: Fie funcţia g convexă . Fie gf C∈ şi ia h c fie funcţ onvexă, cu proprietatea

(0) (0) 1 0h h′= − = . Atunci g h gC C ∗⊆ .

⎧ ( )( )

( ): Re ,

( )z g f z

f S zg z

αϕ

Definiţia IV.1.7: Fie 0 1α≤ < . Notăm: ( )gC α = U⎫′∗⎪ ⎪∈ > ∈⎨ ⎬∗⎪ ⎪

norm

⎩ ⎭.

cţii stelate şi convexe

În [42] S. Kanas şi F. Ronning introduc clasele

IV.2. Subclase ate de fun

*( )S ζ şi ( )K ζ a funcţiilor stelate şi e e folo area respectiv conv x sind norm 1( ) ( ) 0f fζ ζ′= − = , unde Uζ ∈ este un punct fixat. În

raf prezentă ţii între ace e funcţii care sunt cot

acest parag m rela ste clase d nţinute în [69]. Definiţia IV.2.1: Fie punctul fixa U ζ ∈ . Notăm cu P ( )ζ clasa funcţiilor

1( ) 1 (np z p= + − 1) ( ) ...n nnz p zζ ζ +++ − +

( ) 1p ζ = şi P Re ( ) 0p z > . ( )ζolomorfă în U şi satisface condiţiile poartă numele de clasa funcţiilor de tip Caratheodory normate în ζ . Definiţia IV.2.2: Fie pu tnctul fixa Uζ ∈ , fie funcţia

2 ...n+

şi notăm: An

11 2( ) ( ) ( ) ( )n

n nf z z a z aζ ζ ++ += − + − + −z ζ +

}( ) ( ) 1 0f fζ ζ′= − = ,(ζ ) { f= ∈ H (U) :

iar pentru , A ) { f= ∈ H (U) : }( ) ( ) 1 0f fζ ζ′= − = .1n = (ζ )1 = A(ζ

Definiţia IV.2.3: Notăm cu: S (ζ )= { f ∈ A(ζ ) : f este uni leva ntă în U . S } (ζ ) de clasa funcţiilor univalente norma

poartă numele te în ζ .

Definiţia IV.2.4: Notăm cu: *( )S ζ = ( ) ) 0, ) 0z z⎧ ⎫

≠⎨ ⎬ . (( ) : Re , (( )

f zf S U ff zζζ ζ

′− ′∈ > ∈⎩ ⎭

*( )S ζ poartă numele de clasa funcţiilor stelate norma e în t . ζ

( )K ζ = ( ) ( )( ) : ((

f zζζ ζ′′⎧ ⎫

⎨ ′⎩Re 1 0, , ) 0

)zf S z U f

f z− ′∈ + > ∈ ≠ ⎬

⎭.

38

( )K ζ poartă numele de clasa funcţiilor convexe normate în . ζi fie funcţia 3: Uψ × →Lema IV.2.1 [42]: Fie punctul fixat Uζ ∈ ş , care satisface condiţia

Re ( , , ; ) 0i i zψ ρ σ μ ν+ ≤ ,

atunci când , , ,ρ σ μ ν ∈ , 2(1 )2nσ ρ≤ − + , 0σ μ , u den z U∈ , 1. Dacă n ≥ p∈H şi [1, ]n + ≤

( )2Re ( ), ( ) '( ), ( ( ); 0p z z p z p z zψ ζ ′′− − >)z ζ , z U∈ , atunci .

Teorema IV.2.2 [69]: Fie punctul fixat

Re ( ) 0p z > , z U∈

Uζ ∈ . Funcţia ( )f K ζ∈ da şi numai dacă *( )g S ζ∈ , căunde ( ) ( ) ( )g z z f zζ ′= − , z U∈ sa *( ) ( ) ( )z f z Sζ ζ′− ∈ . u ( )f K ζ∈ ⇔Teorema IV.2.3 [69]: Fie punctul fixat Uζ ∈ . Dacă p∈P ( )ζ ,

1n+ , 1( ) 1 ( ) ( ) ...nn np z p z p zζ ζ+= + − + − +

atunci avem: ( ) '( )Re ( ) 0

( )z γ+, Uzz p zp z

pζ

β⎡ ⎤−

+ >⎢ ⎥⎣ ⎦

∈ ⇒ 0)(Re >zp , Uz∈ .

Definiţia IV.2.7: Fie punctul fixat Uζ ∈ funcţia , fie ...2 3

2 3( ) ( ) ( ) ( )f z z a z a zζ ζ ζ= − + − + − + . H H de [0 [0 definit prin relaţia L(f ) = F, un, ]n → , ]n Definim operatorul integral L :

2( ) ( )z

F z f t dtz ζζ

=− ∫

ma IV 2.4 [69]: Dacă

(IV.2.5)

Teore . ) este operatorul integral definit de relaţia :L A(ζ ) A→ (ζ(IV.2.5), atunci:

a) * *[ ( )] ( )L S Sζ ζ⊂ , b) [ ( )] ( )L K Kζ ζ⊂ . Definiţia IV.2. 9]: Fie punctul fix8 [6 at Uζ ∈ , fie funcţia

22( ) ( ( )f z a z a= + − + 3 ... .

Definim operatorul integral 3) ( )z zζ ζ ζ− − +

H H prin relaţia Lγ ( f = F, unde [0, ]n → [0, ]n ):Lγ

11( ( )z

F f dγ) ) (( )

z t t tz γ ζ

γ ζ −

ζ+

= −− ∫ , (IV.2.7)

unde . Teorema IV.2.5 [69]: Fie punctul fixat

*γ ∈Uζ ∈ . Dacă :Lγ ζ )→A (ζ )(A este operatorul

integral definit de relaţia (IV.2.7) şi 0Re ≥γ , atunci: * *[ ( )] ( )L S Sγ ζ ζ⊂ , b) [ ( )] ( )L K Kγ ζ ζ⊂ . a)

Definiţia IV.2.9: Fie punctul fixat Uζ ∈ şi fie funcţia ...

Definim operatorul diferenţial

2 32 3( ) ( ) ( ) ( )f z z a z a zζ ζ ζ= − + − + − +

: A ( )ζ →nDζ A ( )ζ , n∈ , prin:

39

( )

1

1

( )

( ) ( ) ( ),...........................................

( ) ( ) .n n

f z

D f z z z

D f z D D f z

ζ

ζ ζ

ζ

−

=0 ( ),

( )

D f z

D f z fζ

ζ ′= = −

=

Observaţia IV.2.1: Dacă funcţia f ∈ A ( )ζ , ( ) ( ) ( ) jjf z z a z

2jζ ζ

∞

= − + −∑ , z U∈ , atunci =

2

) ( ) ( )n n jj

j

z j a zζ ζ∞

=

= − + −∑ , z U∈ . (D f zζ

Definiţie IV.2.10: Fie punctul fixat Uζ ∈ . em că funcţia f Spun ∈ A ( )ζ este

în

n-stelată normată 1n+

ζ , , dacă verifică inen∈ galitatea: ( )

Re 0( )n

D f zD f zζ

ζ

> , z U∈ . nota Vom cu Sn* ( )ζ clasa

or funcţii. acest

IV.3. Subclase normate de funcţii univalente definite cu ajutorul convoluţiei

u obţinut folosind normaRezultatele acestui paragraf sunt originale, s-a rea ( ) ( ) 1 0f fζ ζ′= − = , unde Uζ ∈ este un punct fixat şi definiţia c unt onvoluţiei. Aceste rezultate s

conţinute în [70]. Definiţia IV.3.1 [70]: Fie punctul fixat Uζ ∈ şi fie gfuncţiile f, ∈ A ( )ζ , definite astfel:

2

( ) ( ) ( ) j

j

f z z a zjζ ζ∞

=

= − + −∑ , şi z U∈ 2

) ( ) ( )jj

z b z(g z jζ ζ∞

=

= − + −∑ , z U∈ . Vom nota prin

f g∗ convoluţia sau produsul Hadamard al celor două funcţii, dat prin relaţia:

2

( )( ) ( ) ( ) jj j

j

f g z z a b zζ ζ∞

=

∗ = − + −∑ , z U∈ .

at2

( ) ( ) ( ) jj

jf z z a zζ ζ

∞

=

= − + −∑ Definiţia IV.3.2 [70]: Fie punctul fix U ζ ∈ , fie funcţiile şi

2j

j

( ) ( ) ( ) jg z z b zζ ζ∞

= − + −∑ , z U∈ , cu=

( ) ( )f ζ 0g ∗ = : şi notăm

(( )

) ( )( ) ( )e 0,

z g zU

g fζ⎧ ⎫′− ∗⎪ ⎪′∗

( ) : R , ( ) 0( )f

f S z g fz

ζ ζ∈ > ∈ ∗ ≠⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

. *(gS ) = ζ

( )( )

( )( ) ( )( ) : Re 1 0, , ( ) 0

( )

z g f zf S z U g f( )gK ζ =

g z⎪ ⎪⎩ ⎭Teorema IV. tul fixat

f

ζζ ζ

− ∗⎪ ⎪′∈ + > ∈ ∗ ≠⎨ ⎬′∗

.

3.1 [70]: Fie punc

⎧ ⎫′′

Uζ ∈ . Atunci ( )gK ⊆ *( )gS ζ .ζ

nctul fixatTeorema IV.3.2 [70]: Fie pu Uζ ∈ . Dacă *( )f S ζ∈ şi funcţia g este convexă*

, atunci ( )gf S ζ∈ .

40

Teorema IV.3.3 [70]: F e pu Ui nctul fixat ζ ∈ . Funcţia ( )gf K ζ∈ dacă şi numai dacă *( )gh S ζ∈ , unde ( ) (z z ) ( )h f zζ ′ , z U∈ sau ( )gf K ζ∈ ⇔ ( )z f *( ) (gz S )ζ ζ′− ∈ .

tul fixat

= −

. Dacă *( )gf S ζ∈ Teorema IV.3.4 [70]: Fie punc Uζ ∈ şi funcţia h este convexă, atunci *( )gh f S ζ∗ ∈ .

Teorema IV.3.5 [70]: Fie punctul fixat Uζ ∈ . Fie *( )gf S ζ∈ şi fie funcţia h convexă, cu

proprietatea ( ) ( ) 1 0h hζ ζ′= − = . Atunci ) ( )g* *

g hS S(ζ ζ . ∗⊆

Teorema IV.3.6 [70]: Dacă ( )gf K ζ∈ cţia h es , atunci ( )gh f Kşi fun te convexă ζ∗ ∈ . Teorema IV.3.7 [70]: Fie ( )gf K ζ∈ şi fie funcţia h convexă, cu proprietatea

( ) ( ) 1 0h hζ ζ′= − = . Atunci ( ) (g h gK K ) . ζ ζ∗⊆Definiţia IV.3 : .4 [70]: Notăm

( )gC ζ = ( )( ) ( )( ) ( )

( ) : Re 0, , ( ) 0( )

z g f zf S z U g f

g zζ

ζ ζϕ

⎧⎪ ⎫′− ∗ ⎪′∈ > ∈ ∗ ≠⎨ ⎬∗⎪ ⎪⎩ ⎭.

Uζ ∈ . Atunci *( ) ⊆Teorema IV.3.8 [70]: Fie punctul fixat ( )gC ζ .gS ζ Teorema IV.3.9 [70]: Fie punctul fixat Uζ ∈ . Dacă ( )gf C ζ∈ şi func este convexă, atunci ţia h

( )gh f C ζ∗ ∈ . Uζ ∈Teorema IV.3.10 [70]: Fie punctul fixat . Fie ( )gf C ζ∈ şi fie funcţia h convexă, cu

proprietatea ( ) ( ) 1h hζ ζ′= = . Atunci ( ) ( )gg hC Cζ ζ∗⊆ . Definiţia IV.3.5 [70]: Notăm cu:

,g ( )Mα ζ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) : Re (1 ) 1 0,( )( ) ( ) ( )

z g f z z g f zf S zg f z g f zζ ζζ α α

⎧ ⎫′ ′′⎛ ⎞− ∗ − ∗∈ − + + >⎨ ⎬⎜ ⎟′∗ ∗⎝ ⎠

U∈⎭

Teorema IV.3.11 [70]: Fie punctul fixat ⎩

Uζ ∈ . Pentru orice α ∈ avem *, ( ) ( )g gM Sα ζ ζ⊆ .

, cu 0 1βα

≤ <Teorema IV.3.12 [70]: Fie punctul fixat Uζ ∈ . Oricare ar fi ,α β ∈ , avem

, ,( ) ( )g gM Mα βζ ζ⊂ . Definiţia IV.3.6 [70]: Notăm cu:

, ( ) ( )gS fγ Sζ ζ⎧

= ∈⎨⎩

: ( ) ( ) ( )Re 0,( )( )

i z g f ze z Ug f z

γ ζ ⎫′⎡ ⎤− ∗> ∈ ⎬⎢ ⎥∗⎣ ⎦ ⎭

, unde ,2 2π πγ ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Definiţia IV.3.7 [70]: Notăm cu ,

,2 2

( ) ( )ggS S γγ γγ

ζ ζ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∪ .

Definiţia IV.3.8 [70]: Notăm:

*gS ( , )ζ α = ( )

( ) ( )( ) ( )( ) : Re , , ( ) 0

( )z g f z

f S z U g fg f zζ

ζ α⎧ ⎫′− ∗⎪ ⎪′∈ > ∈⎨ ⎬∗⎪ ⎪⎩ ⎭

ζ∗ ≠ .

41

(gK , )ζ α = (( )

) ( )( ( )z g f zζ⎧ ′′− ∗⎪ ′)( ) : Re 1 , , ( ) 0

( )f S z U g f

g f zζ α ζ

⎫⎪∈ + > ∈ ∗ ≠⎨ ⎬′⎪ ⎪∗⎩ ⎭

.

( , )gC ζ α = ( )( )

( ) ( )( ) : Re ,

( )z g f z

f S zg zζ

ζ αϕ

⎧ ⎫′− ∗⎪ ⎪∈ >⎨ ⎬∗U∈ .

⎪ ⎪⎩ ⎭

, ( , )gMα ζ γ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) : Re (1 ) 1 ,( )( ) ( () )

z g f z z g f zf S z Ug f z fζ ζζ α α γ

⎧ ⎫′ ′′⎛ ⎞− ∗ − ∗∈ − + + > ∈⎨ ⎬⎜ ⎟∗ ∗⎝ ⎠⎩ ⎭

. g z′

, ( , ) ( )gS f Sγ ζ α ζ= ∈⎨⎩

: ⎧ ( ) ( ) ( )Re ,( )( )

i z ge z Ug f z

γ α> ∈ ⎬⎢ ⎥∗⎣ ⎦ ⎭, unde f zζ ⎫′⎡ ⎤− ∗ ,

2 2π πγ ⎛ ⎞∈⎜

⎝

3.13 [70]: Fie p nctul

− ⎟⎠

.

Definiţia IV. u fixat Uζ ∈ . Definim operatorul nRζ : A ( )ζ →A ( )ζ , , prin: n∈

( )( )

(1 ( )) !

n

z nζ− −

Observaţia IV.3.5: cţia

1

1

( ) ( ) ( )( )( ) ( )n

nn

z z f zzR f z f zζ

ζ ζζ−

+

− −−= ∗ = , z U∈ .

Dacă fun f ∈ A ( )ζ , 2

( ) ( ) ( ) jj

jf z z a zζ ζ

∞

=

= − + −∑ , z U∈ , atunci

12

( ) ( ) ( )n nn j j

j

R f z z C a zζjζ ζ+ −

=

= − + −∑∞

, z U∈ .

niţia IV că funcţia f Defi .3.14 [70]: Spunem ∈ A ( )ζ este n-convexă, , dacă verifică

inegalitatea:

n∈

1 ( ) 1Re

( ) 2R f zζ

n

n

R f zζ+

> , Vom nota cu Kz U∈ . n ( )ζ clasa acestor func

IV.4. Subclase normate de funcţii stelate şi convexe de ordin

ţii.

α

t olosind normarea Rezultatele acestui paragraf sunt originale, s-au obţinu f

( ) ( ) 1 0f fζ ζ′= − = , unde Uζ ∈ este un punct fixat şi sunt conţinute în [71]. Definiţia IV.4.1: Fie punctul fixat Uζ ∈ şi fie funcţia

2 32 3( ) ( ) ( ) ( )f z z a z a zζ ζ ζ= − + − + − + ...

Fie 0 1α≤ < . Atunci notăm cu: *( ;S α ∈An ()ζ ⎧

= ⎨⎩

f ) ( )( ) ( ):Re , , ( ) 0( )

z f z z U g ff zζ α ζ

′ ⎫− ′> ∈ ∗ ≠ ⎬⎭

, ζ

*( ; )S α ζ poartă numele de clasa funcţiilor stelate de ordin α normate în ζ .

An( ; )K fα ζ⎧

= ∈⎨ ( )ζ ( )( ) ( ): Re 1 , , ( ) 0⎩ ( )f z

z f z z U g fζ α ζ′′ ⎫− ′+ > ∈ ∗ ≠ ⎬

⎭.

′( ; )K α ζ poartă numele de clasa funcţiilor conexe de ordin α normate în .ζ

42

Teorema IV.4.1 [71]: Fie ζ un punct fix din U şi fie 0 1α≤ < . Atunci au loc ( )* *( , )S Sα ζ ζ⊂ şi ( , ) ( )K Kα ζ ζ⊂ .

Teorema IV.4.2 [71]: Fie un punct fix din U şi fie 0 1α≤ < . Funcţia *( , )f S α ζ∈ζ dacă şi numai dacă funcţia *( )g S ζ∈ , unde

11( )( ) ( ) f zg z z

z

αζ

ζ

−⎡ ⎤= − ⎢ ⎥−⎣ ⎦

,

11( ) 1

z

f zz

α

ζ

ζ

−

=

⎡ ⎤=⎢ ⎥−⎣ ⎦

11( )f z

z

α

ζ⎢ ⎥−⎣ ⎦este determinarea olomorfă pentru care

−⎡ ⎤ .

[ pu

unde

Corolarul IV.4.1 71]: Fie nctul fixat Uζ ∈ ( ; )f K α ζ∈. Dacă 0 1α≤ < , atunci funcţia dacă ş

numai dacă func

i

ţia ( ; )g S* α ζ∈ , unde [ ]1

1( ) ( ) ( )g z z f z αζ −′= − .

IV.5. Subclase n at

orm e de funcţii alfa-convexe

Rez para unt originale, s-au obţinut folosind normarea ultatele acestui graf s( ) ( )f f 1 0ζ ζ′= − = , unde Uζ ∈ i sunt co

[72]: Fie punctul fixat Ueste un punct fixat ş nţinute în [72].

Definiţia IV.5.1 ζ ∈ şi funcţia ( ) ( ) ( )z f z zζ ζ′ ′− −

⎠

( )( , ; , ) (1 ) 1( ) ( )

f zJ f zf z f z

α ζ α α⎛

= − + +⎜ ⎟′⎝

Notăm cu

′ ⎞ , z U∈ .

( )Mα ζ = { f H (U) : ∈ ( ) ( ) 1 0f fζ ζ′= − = , ( ) ( )z 0f z fz′

Re ( , ; , ) 0J f zα ζ >, ≠ ,

}z U∈ . M ( )α ζ poartă le de iilor alfa-convexe normate în nume clasa funcţ ζ . Teorema IV.5.1 [72]: Fie punctul fixat Uζ ∈ .

a) Pentru orice α ∈ *( ) ( )M S , avem ζ ζ⊆α

cu 0 1βα

≤ < avem ( ) ( )M Mα βb) Oricare ar fi ,α β ∈ ζ ζ⊂ .

unctulTeorema IV.5.2 [72]: Fie p ζ fixat şi fie 0α ≥ . Atunci ( )f Mα ζ∈ dacă şi numai dacă

*( )F S ζ∈ , unde ( ) ( )z f z( ) )( )

F z ff z

αζ ′⎡ ⎤−(z= ⎢ ⎥

⎣ ⎦, cu ( )z f ( )z

α

( )zfζ ′⎡ ⎤−

⎢ ⎥⎣ ⎦

î unn p ctul z ζ= să fie 1.

Definiţia IV.5.2 [72]: Fie un punct fix din U, ,α β ∈ şi fie fζ ∈An ), cu (ζ( ) ( ) 0f z f z′ , ( ) ( ) 0

( )z f z

f zζ ′−

≠ , z U∈ . z ζ

≠−

α

( )nMα ζ dacă funcţia , definită rin :F U → pSpunem că funcţia f aparţine clasei

( ) ( )( ) ( ) 1( )

z f zF z f zf z

αζα

′⎡ ⎤−= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

este o funcţie stelată în U.

43

*( ) ( )nαTeorema IV.5.3 [72]: Fie ζ un punct fix din U. Pentru orice 0α < , avem M S . ζ ζ⊂

Definiţia IV.5.3 [72]: Fie un punct fix din U, ,α β ∈ şi fie f ∈ ), cu ζ An(ζ( ) ( ) 0f z f z′

≠ , ( ) ( )1 z 0( )

z ff zζα α

′−− + ≠ U, z∈

z ζ−.

Spunem că funcţia f aparţine clasei , ( )Mα βn dacă funcţia , definită prin :F U →ζ

(1 )( ) ) ( )z f f z( ( )( ) ( ) 1

( ) ( )z zF z f z

f z f z

α β β−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ζ ζα α

′ ′− −= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

este o funcţie stelată în U. Teorema IV.5.4 [72]: Fie un punct fix din U. Pentru orice ,α β ∈ , (1 ) 0αβ α− ≥ , avem ζ

*, ( ) ( )nM Sα β ζ ζ⊂ .

Definiţia IV.5.4 [72]: Fie un punct fix din U, ,α β ∈ şi fie f ∈ ) cu (ζζ An

( ) ( ) 0f z f z′≠ , ( ) ( )1 0z f z

( )f zζα α

′−− + ≠ , z U∈ .

zSpunem că funcţia f aparţine clasei , ( )Mα β

n ζ dacă funcţia :F U → , definită prin (1 )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

z f z z f zF z f zf z f z

α β βζ ζα

−′ ′⎡ ⎤ ⎡− −

= ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥

este o funcţie stelată în U. Teorema IV.5.5 [72]: Pentru orice

⎦

, avem *, ( )nM Sα β ζ ⊂ . ,α β ∈

niv egativi

Rezultatele acestui paragraf sunt original i sunt co inuteH. M. Srivastava şi A. A. Attiya în lucrarea [137], au introdus operatoru

IV. 6. Subclase de funcţii u alente cu coeficienti n

e ş nţ în [73]. l , :nJ λ A → A

definit a el: stf

,2

1( )n

kn k

k

J f z z a zkλ

λλ

∞

=

+⎛ ⎞= + ⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ , z U∈ . (IV.6.3)

. (IV.6.4) ( )(1 ) ( ) ( ) ( )J f z z J f z J f zλ λλ λ+′+ = +1, , ,n n n λ

Notăm cu , ( )nS λ α∗ clasa de funcţii f ∈S ce îndeplinesc condiţia

( ),

,

Re( )n

zJ f zλ

( )nJ f zλ α′> , 0 1α≤ < , z U∈ . (IV.6.5)

f ∈ ţine clasei , ( )nS λ α∗S apar dacă Din relaţiile (IV.6.4) şi (IV.6.5) rezultă că o funcţie

şi numai dacă 1,

,

Re( ) 1nJ f zλ

( )nJ f zλ λ α+

λ+

>+

, 0 1α≤ < , z U∈ . (IV.6.6)

44

fDefiniţia IV.6.1 [73]: Spunem că o funcţie ∈T este din clasa , ( )nTS λ α∗ n∈ , 0/λ, −∈

funcţia f satisface condiţia (IVdacă .6.6). Teorema IV.6.1 [73]: Fie n , ∗∈ 0/λ −∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţia f ∈T . Atunci funcţia

( )f z este din clasa ,nTS λ ( )α∗ dacă şi numai dacă 2( 1) ( ) ( ) 1 1

nk aλ λ λ2k k

λ αkk

αλ λ=

+∞ + − + +⎛ ⎞ < −∑ . ⎜+ ⎝ (IV.6.7)

Rezultatul este exact. Rezultatul (IV.6.7) este exact pentru funcţia

⎟+ ⎠

n

2

(1 )( )( )( 1) ( ) ( ) 1

kk kf z zkλ λ λ

= −+ − + +

9)

,

zα λ⎜ ⎟+⎝ ⎠

. (IV.6.α λ λ− + +⎛ ⎞

∗∈ 0/λ −∈Corolarul IV.6.1 [73]: Fie n , 0 1α < şi fie funcţia f ∈T . Atunci funcţia ≤

( )f z este din clasa ,nTS λ∗ ( )α dacă

2

(1 )( )( 1) ( ) ( ) 1

n

kk ka

kα λ λ

λ λ λ α λ− + +⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟+ − + + +⎝ ⎠

.

Avem egalitate în relaţia (IV.6.10) dacă funcţi

(IV.6.10)

( )f z a este dată de relaţia (IV.6.9). Teorema IV.6.2 [73]: Fie n ∗∈ , 0/λ −∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţia f ∈T . Atunci

,, 1( ) ( )n nTS TSλ λα α∗ ∗+⊆ .

Teorema I

(IV.6.11)

V.6.3 [73]: Fie n ∗∈ , 0/λ −∈ , 1 20 1α α≤ ≤ < şi fie funcţia f ∈T. Atunci

, 2 , 1( ) ( )n nTS TSλ λα α∗ ∗⊆ . (IV.6.12)

Teorema IV.6.4 [73]: Fie , n ∗∈ 0/λ −∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţia f ∈T. Dacă

,n λ ( )f TS α∗∈ şi 1z r= < , atunci

2 22

(1 )( 2) 2 (1 )( 2) 2( )( 2)( ) 1 ( 1) ( 2)( ) 1

r f z r rα λ λ α λ λλ λ α λ λ λ λ α λ

− + + − + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + + + − + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2( 1)

n n

rλ

−+

(IV.6.16)

şi

2 21 ( ) 1( 1) ( 2)( ) 1 ( 1) ( 2)( )

zα αλ λ λ α λ α λ λ λ λ α

− − ≤ +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢+ − + + + + + − + +⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣

2( ) 2 2 2( 21

n n

r f rλ α λ λλ α λ

⎡ ⎤ ⎡+ + +⎛ ⎞ ⎞′≤ − ⎜ ⎟⎥ + +⎝ ⎠⎦ (IV.6.17)

şi (IV.6.17) sunt atinse dacă funcţ

) 2λ α λ λ⎤+ + +⎛

ia ( )f zLimitele în relaţiile (IV.6.16) este definită astfel:

2(1 2) 2( )) ( 12

) (( 1 ( 2) )

n

f z z zλ

= ⎟+, ( )z rα λ λ

λ λ α λ− + +⎛ ⎞− ⎜+ − + +⎝ ⎠

= ± .20)

rul IV.6.2 [73]: n ∗∈ , /λ

. (IV.6

Corola Fie 0−∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţia f ∈T. Dacă

, ( )nf TS λ α∗∈ , atunci discul unitate U dome este inclus în planul dat de niul discului

2

(1 ) ( 2) 21( 1) ( 2)( ) 1

n

w α λ λλ λ λ α λ

− + +⎛ ⎞< − ⎜ ⎟+ − + + +⎝ ⎠. (IV.6.21)

Rezultatul este exact dacă funcţia extremală ( )f z este dată de relaţia (IV.6.20).

45

, 1,i m=Considerăm func (ţiile )if z , d stfel:

( ) k

efinite a

,2

ik

k if z z a z∞

= −∑ , =

, 0k ia ≥ , z U∈ . (IV.6.22)

.5 [73]: ie , n ∗∈ 0/λ −∈Teorema IV.6 F , 0 1α≤ < şi fie funcţiile ,( ) ( )i nf z TS λ α∗∈ , cu

1,i m= . Atunci funcţia ( )h z definită de relaţia

, unde1

( ) ( )i ii

h z c f z∞

=

=∑ 0ic ≥ ,1

1ii

c∞

=

=∑ , (IV.6.23)

, ( )n λ α∗ . face parte din clasa TS

Teorema IV.6.6 [73]: Fie n ∗∈ , λ 0/ −∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţiile ,( ) ( )i nf z TS λ α∗∈ , cu

1,i m= . Atunci funcţia ( )z definh ită de relaţia:

1 2( ) ( ) (1 ) ( )h z f z f zγ γ= + − , unde 0 1γ≤ < . (IV.6.26) este din clasa , ( )nTS λ α

∗ . Teorema IV.6.7 [73]: Fie funcţiile

1( )f z z= şi 2

(1 )( )( )( 1) ( ) ( ) 1

nkk

kkz z

kα λ

λ λ λ α λ− +

= −+ − + + +⎝ ⎠

,

zλ +⎛ ⎞⎜ ⎟ , f

unde 2k ≥ , n ∗∈ , 0/λ∈ − 0 1α≤ < . Atunci funcţia (f )z este din clasa , ( )nTS λ α∗ dacă ş

numaii

dacă poate fi exprimată în forma

1

( ) ( )k kk

f z fυ∞

=

=∑ z , unde 0kυ ≥ ,1

1kk

υ∞

=

=∑ . (IV.6.29)

Definiţia IV.6.1 [73]: Fie funcţiile ( )if z , 1,2i = , definite în relaţia modificată sau produsul Hadamard modificat al funcţiilor

(IV.6.22). Convoluţia

1( )f z şi 2 ( )f z este dat de relaţia:

( 1 2 ) ,1 ,22

( ) kk k

k

f f⊗ z z a a z∞

=

= −∑ . (IV.6.30)

Teorema IV.6.8 [73]: Fie , n ∗∈ 0/λ −∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţiile ,( ) ( )i nf z TS λ α∗∈ ,

( )2 ( )f z1,2i = . Atunci produsul Ha d damar modificat 1 , ( )nf TS λ β∗⊗ ∈ , unde 2 2 2 2

22

2 2

22

2 ( 2)( 1) (1 ) ( 2) (1 )1 ( 1) ( 2) ( )

2 ( 2) (1 )11 ( 1) ( 2)( )

n

n

λ1 λ λ α λ λ αλ λ λ λ α

βλ λ αλ λ λ λ α

+ + + − − + −⎞⎟+⎝ ⎠ ⎡ ⎤+ − + +⎣ ⎦=

+ + −⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎡ ⎤+ − + +⎣ ⎦

. (IV.6.31)

funcţiile

⎛− ⎜

Rezultatul este exact pentru

22

(1 ) ( 2)( ) 2( 1) ( 2)( ) 1

n

if z z zλλ λ λ α λ

− + +⎛ ⎞= − ⎜ ⎟+ − + + +⎝ ⎠α λ , 1, 2 . i = (IV.6.32)

Corolarul IV.6.4 [73]: Fie , n ∗∈ 0/λ −∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţiile ,( ) ( )i nf z TS λ α∗∈ , cu

1,2i = . Atunci funcţia

46

,1 ,22

( ) kk k

k

h z z a a z∞

=

= −∑ ,

este din clasa , ( )nTS λ α∗ .

Teorema IV.6.9 [73]: Fie , n ∗∈ 0/λ −∈ , 0 1α≤ < , 0 1β≤ < , 0 1γ≤ < şi fie funcţiile

1 ,( ) ( )nf z TS λ α∗∈ şi 2 ,( ) ( )nf z TS λ β∗∈ . Atunci ( )1 2 ( )f f z , ( )nTS λ γ∗⊗ ∈ , unde

2

2 2

2

2 2

( 2)(1 ) (1 ) ( 1) ( 2) 211( 1) ( 2)( ) ( 1) ( 2)( )

( 2) (1 )(1 ) 211( 1) ( 2)( ) ( 1) ( 2)( )

n

n

λ α β λ λ λ λλ++λ λ λ α λ λ λ β

γλ α β λ

λ λ λ α λ λ λ β

⎡ ⎤+ − − + − + ⎛ ⎞⎣ ⎦− ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + + − + + ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦=+ − − +⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + + − + + ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (IV.6.37)

Rezultatul este exact pentru funcţiile

λ +

21 2

2 2( 1) (

n(1 ) ( )( )2)( ) 1

f z zαλ λ α λ

− + ⎛⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

,

şi

z λ λλ

+ ⎞= −+ −

22

(1 ) ( 2) 2( 1) ( 2)( ) 1

n

2 ( )f z z zβ λ λλ λ λ β λ

− + +⎛ ⎞= − ⎜ ⎟+ − + + +⎝ ⎠.

Teorema IV.6.10 [73]: Fie n , ∗∈ 0/λ −∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţiile ,( ) ( )i nf z TS λ α∗∈ ,

1,2i = . Atunci funcţia

, (IV.6.49)

este din clasa

( )h z definită astfel:

( )2 2,1 ,2

2( ) k

k kk

h z z a a z∞

=

= − +∑,n λ ( )TS υ∗ , unde

2 2

22

2 2

22

( 2) (1 ) ( 1) ( 2) 21 21) (

)

λλυ

+⎝ ⎠+= . (IV.6.50)

( 1 ( 2) )

( 2) (1 21( 1 ( 2)( )

n

λ λ λ

λ λ α

λ α λλλ λ α

⎡ + − + +⎛ ⎞⎣ ⎦− ⎜ ⎟⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦

+ − +⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦

Rezultatul es

nλ α λ ⎤+ −

1) λ + ⎠+

te exact pentru funcţiile ,( ) ( )i nf z TS λ α∗∈ , 1,2i = definite de relaţia (IV.6.32) din

teorema IV.6.8. Teorema IV.6.12 [73]: Fie 1 2,n n ∗∈ , 0/λ −∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţiile ,( ) ( )

ii nf z TS λ α∗∈ ,

1,2i = . Atunci ( )1 2 (f f1 2 , ( )n nTSλ λ,) ( )z TS α α∗ ∗∩⊗ ∈ .

Teorema IV.6.12 [73]: Fie n , ∗∈ 0/λ −∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţia f ∈T. Dacă

,n λ ( )f TS α∗∈ , atunci ( )f z este aproape-convexă de ordin γ , unde 0 1γ≤ < , în

1( , , , )z r n λ α γ< , unde 1

2 1

11 ( 1) ( ) ( ) 1( , , , ) inf

(1 ) ( )

n k

k

kr nk k kγ λ λ λ α λλ α γ

α λ λ

−⎡ ⎤− + − + + +⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟− + +⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦, cu . (IV.6.60) 2k ≥

47

( )f z dată de relaţia (IV.6.9). Rezultatul este exact, pentru funcţia extremalăTeorema IV.6.13 [73]: Fie , n ∗∈ 0/λ −∈ f ∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţia T. Dacă

, ( )nf TS λ α∗∈ , atunci ( )f z este stelată de ordin γ , unde 0 1γ≤ < , în 2 ( , , , )r nz λ α γ< , unde

12 1

21 ( 1) ( ) ( ) 1( , , , ) inf

(1 ) ( )

n k

k

kr nk k

γ λ λ λ α λλ α γγ α λ λ k

−⎡ ⎤− + − + + +⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟− − + +⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦, cu k ≥ (IV.6.63) 2 .

( )f zRezultatul este exact, pentru funcţia extremală dată de relaţia (IV.6.9). Teorema IV.6.14 [73]: Fi /e , n ∗∈ 0λ −∈ , 0 1α≤ < şi fie funcţia f ∈T. D

, ( )nf TS λ

acăα∗∈ , atunci ( )f z este convexă de ordin γ , unde 0 1γ≤ < , în 3( , , ,n )z r λ α γ< , unde

111 n kλ2

31 ( 1) ( ) ( )( , , ,( )

kr nk k k

γ λ λ λ αλ αγ α

) inf(1 ) ( )k k

γλ λ

−⎡ ⎤− + − + + ⎛ ⎞⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎥⎦

, cu . (IV.6.66)

funcţia extremal

+ 2k ≥= ⎢− + +⎢⎣

Rezultatul este exact, pentru (ă )f z dată d.15 [73]: Fie

e relaţia (IV.6.9). Teorema IV.6 n ∗∈ , 0/λ −∈ , 0 1α≤ < , fie funcţia f ∈T şi fie funcţia definită astfel:

( )F z

1

0

1( ) ( )z

F z t f t dtz

γγ

γ −+= ∫ . (IV.6.69)

Dacă , ( )nf TS λ α∗∈ , atunci , ( )F λ , pentru toţi γ , 1nTS α∗∈ − γ< .

Corolarul IV.6.5 Fie n ∗∈ , 0/λ[73]: −∈ , 0 1α≤ < , fie funcţia f ∈T şi fie definită el

funcţia astf

( )F z

0

( )( )z f tF z dt

t= ∫ . (IV.6.70)

Dacă , ( )nf TS λ α∗∈ , atunci , ( )nF TS λ α

∗∈ .

eorema IV.6.16 [73]: Fie n , ∗∈ 0/λ −∈T , 0 1α≤ < , fie funcţia f ∈T , fie γ un număr eal, astfel încât ş ţia (IV.6.69) ă i fie funcţia ( )F z definită de rela . Dac , ( )nf TS λ α

∗∈ 1 γ− < ,

tunci tă

r

( )F z este univalen în z r< , unde a1

2 1( 1) ( ) ( ) 1inf( 1) (1 )( )

n k

k

k krk kγ λ λ λ α λγ α λ λ k

−⎡ ⎤+ + − + + +⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟+ − + +⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦. (IV.6.71)

48

BIBLIOGRAFIE [1] S. Abdulbalin, On a class of analytic functions involving the Sălăgean differential operator, Tamkang Journal of Math. Vol. 23, No. 1, Spring 1992; [2] M. K. Aouf, H. E. Darwish, On new classes of analytic functions with negative coefficients, Bull. Korean Math. Soc, 31(1994), no. 2, 269-288; [3] M. K. Aouf, H. M. Hossen, The starlike functions of order a and type 3 with finitely many fixed coefficients, Mathematics 38(61), 1-2(1996), 3-9; [4] M. K. Aouf, G. S. Sălăgean, On certain class of p-valent functions with two fixed points, Mathematics, 38(61), 1-2(196), 13-19; [5] R. W. Barnard, C. Kellogg, Applications of Convolution Operators to Problems in Univalent Function Theory, Michigan, Math. J. 27 (1980), 81-94; [6] L. Bieberbach, Uber einige Extremal probleme im Gbiete der konformen Abbildung, Math. Ann., 77 (1916), 153-172; [7] L. Bieberbach, Uber die Koeffizientem derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsb., 1916, 940-955; [8] L. Brickman, Φ -like analytic functions I, bull. Amer. Math. Soc., 79 (1973), 555-558; [9] L. de Branges, A proof of the Bieberbach conjecture, Acta Math., 154 (1985), 137-152; [10] T. Bulboacă, On some classes of differential subordinations, Studia Univ. Babeş-Bolyai, Mathematica, 31, 1 (1986), 45-50; [11] T. Bulboacă, On some classes of differential subordinations II, Studia Univ. Babeş-Bolyai, Mathematica, 31, 2 (1986), 13-21; [12] T. Bulboacă, Classes of first-order differential subordinations, Mathematica (Cluj), 29 (52), 1 (1987), 113-118; [13] T. Bulboacă, Classes of first-order differential superordinations, Demonstratio Mathematica, 352 (2002), 11-17; [14] T. Bulboacă, A classes of superordination - preserving integral operators, Indag. Math. New Ser 13, 3 (2002), 301-311; [15] T. Bulboacă, Differential subordination and superordination – preserving integral operators, Complex Analysis and Free Boundary Flows, Transactions of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 3, 1 (2004), 19-28; [16] T. Bulboacă, M. A. Nasr, G. S. Sălăgean, Function with negative coefficients n-starlike complex order, Studia Univ. Babeş-Bolyai, Mathematica, 2 (1991), 7-12; [17] T. Bulboacă, M. A. Nasr, G. S. Sălăgean, A generalization of some classes of starlike functions of complex order, Mathematica (Cluj), 34 (57), 2 (1992), 113-118; [18] C., Caratheodory, Uber den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene werte nicht annehmen, Math. Ann., 64 (1907), 95-115; [19] C. Caratheodory, Uber den Variabilitatsbereich der Fourie schen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen, Rend. Circ. Mat. Palermo, 32 (1911), 193-217; [20] G. Călugăreanu, Sur la condition necessaire et suffisante pour l’univalence d’une fonction holomorphe dans un circle, C. R. Acad. Sci. Paris, 193 (1931), 1150-1153; [21] G. Călugăreanu, Sue les conditions necessaires et suffisante pour l’univalence d’une fonction holomorphe dans un circle, Mathematica, 6 (1932), 75-79; [22] Z. Chazynski, M. Schiffer, A geometric proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient, Scripta Math., 25 (1960), 173-181;

49

[23] Z. Chazynski, M. Schiffer, A new proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient, Arch. Rational Mech. Anal., 5 (1960), 187-193;

,Korean Math. Soc., 40 (3) (2003), 399-410;

delling, 37(1-2) (2003), 39-49;

40;

[24] N. E. Cho, T. H. Kim Multiplier transformations and strongly close-to-convex functions, Bull. [25] N. E. Cho, H. M. Srivastava, Argument estimates of certain analytic functions defined by a class of multiplier transformations, Math. Comput. Mo[26] H. B. Coonce, S. S. Miller, Distortion properties of p-fold symmetric alpha-starlike functions, Proc. Amer. Math. Soc., 44, 2 (1974), 336-3[27] P. J. Eenigenburg, On α -convex functions, Rev. Roum. Math. Pures Appl., 19, 3 (1974), 305-310; [28] G. Faber, Neuer Berweis eines Koebe-Bieberbachschen satzer uber conforme Abbildung, Sitzgsber. Bayer Acad. Wiss. Munchen, 1916, 39-42;

(1972), 356-368; [29] C. H. Fitzgerald, Quadratic inequalities and coefficient estimates for schlicht functions, Arch. Rational Mech. Anal., 46 [30] P. R. Garabedian, M. Schiffer, A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient, J. Rational Mech. Anal., 4 (1955), 427-465; [31] G. M. Goluzin, Zur Theorie der schlichten konformen Abbildungen, Mat. Sbornik N. S., 42 (1935), 169-190; [32] G. M. Goluzin, Geometric theory of functions of a complex variable, Transl. Math. Mon., Amer. Math. Soc., 1968; [33] A.W. Goodman, The critical points of a typically-real function, Proc. Amer. Math. Soc., 38, 1 (1973), 95-102; [34] G. S. Goodman, Univalent functions and optimal control, Thesis, Staford Universitz, 1968; [35] T. H. Gronwall, Some remarks on conformal reprezentation, Ann. of Math., 16 (1914-1915), 72-76; [36] H. Grunsky, Zwei Bemerkungen zur konformen Abbildung, Jahresber. Deutsch. Math. Ver., 43 (1933), 140-142; [37] W. K. Hayman, The asymptotic behavior of p-valent functions, Proc. London Math.Soc., (3) 5 (1955), 257-284; [38] P. Hamburg, P. Mocanu, N. Negoescu, Analiză Matematică (Funcţii complexe), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982; [39] A.A. Holhoş, Aplications of diferential subordinations, Studia Univ. Babeş-Bolyai, Mathematica, volume XLVIII, 2 (2003), 61-63; [40] H. M. Hossen, Generalization of certain class of univalent functions with negative

der eliptischer Modul-functionen auf einen setz der

convex functions and other related classes of

igan Math. J.1, 2 (1952), 169-185;

ca (Cluj), 38 (61), 1-2 (1996), 111-119;

coefficients, Studia Univ. Babeş-Bolyai, Mathematica, XLVI, 2 (2001), 41-55; [41] A. Hurwitz, Uber die Anwendungallgemeinen Functionentheorie, Vjscher Naturforsckala. Ges Zurich, 49 (1904), 242-253; [42] S. Kanas, F. Ronning, Uniformly starlike andunivalent functions, Annales Univ. Mariae Curie-Sklodowska, vol. L III, 10 (1999), 95-105; [43] W. Kaplan, Close-to-convex schlicht functions, Mich[44] P. Koebe, Uber die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven, Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Gottingen Math. Phys., (1907), 191-210; [45] A. Lecko, T., Yaguchi, Subclasses of typically-real functions defined by Sălăgean derivate, Mathemati[46] Z. Lewamdrowski, Sur l, identite de certaines classes de fonctions univalentes I, Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, sect. A, 12 (1958), 131-146;

50

[47] Z. Lewamdrowski, Sur l, identite de certaines classes de fonctions univalentes II, Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, sect. A, 14 (1960), 19-46; [48] R. J. Libera, Some classes of regular univalent functions, Proc. Amer. Math. Soc., 16 (1965),

,

755-758; [49] E. Lindelof, Memoire sue certaines inegalites dans la theorie des fonctions monogenes et sur quelques proprietes nouvelles de ces fonctions dans le voisinage d un point singulier essentiel, Acta Soc. Fenn., 35 (1908), No. 7; [50] K. Lowner, Untersuchungen uber die Verzerrung bei konforme Abbidungen des Einheitskreises 1z < , die durch Funktionen mit nichtverschwinderder Ableitung geliefert werden, Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Berichte, 69 (1917), 89-106; [51] K. Lowner, Untersuchungen über die Verzerrung bei schlichte konforme Abbidungen des Einheitskreises, Math. Ann., 89 (1923), 103-121; [52] T. H. Macgregor, The radius of convexity for starlike functions of order 1/2, Proc. Amer. Math. Soc, 14 (1963), 71-76;

tics, no. 6 (3) (2009), 84-86;

ication of differential subordination, Proceedings, Volume II,

nd Research, Series Mathematics and Informatics Vol. 19, No.

ubordinations and Superordinations for Analytic Functions

y 30 (2011), 7-14;

bian Journal for Science and Engineering -

ărea; s la

erential Subordinations and superordinations and

cations of Briot-Bouquet differential subordination, preprint rordinations and

t various differential

[53] A.G. Macovei, The Applications of Differential Subordinations in the Unit Disk, Journal of Applied Computer Science & Mathematics, no. 5 (3) (2009), 46-47; [54] A.G. Macovei, An Application of the Briot-Bouquet Integral Operator for Differential Superordinations, Journal of Applied Computer Science & Mathema[55] A.G. Macovei, An application of Briot-Bouquet differential superordinations, Bulletin of University of Agricultural Sciences and Veterinary Medicine Cluj-Napoca, volume 66 (2) (2009), 738-742; [56] A.G. Macovei, Differential superordinations and sandwich theorem , Proceedings, Volume II, Polytechnic International Press Montreal, Quebec (2009), 336-338; [57] A.G. Macovei, An applPolytechnic International Press Montreal, Quebec (2009), 333-335; [58] A.G. Macovei, An application of an integral operator using Briot-Bouquet differential superordination, Scientific Studies a2 (2009), 309 – 318; [59] A.G. Macovei, Differential SDefined by the Ruscheweyh linear Operator, International Journal of Academic Research, Volume 3, No. 3, Jul[60] A.G. Macovei, Differential Subordinations and Superordinations for Analytic Functions Defined by a class of Multiplier Transformations, AraMathematics, trimis spre publicare; [61] A.G. Macovei, Some applications of differential subordinations, Journal of Applied Computer Science & Mathematics, va ap[62] A.G. Macovei, Subclasses of univalent functions defined by convolution, ARA 2011, înscriconferinţă; [63] A.G. Macovei, Applications of DiffSandwich Theorems, ARA 2011, înscris la conferinţă; [64] A.G. Macovei, Appli[65] A.G. Macovei, Some Applications of Differential Subordinations and supeSandwich Theorems, preprint [66] A.G. Macovei, Applications of Differential Subordinations and superordinations, preprin[67] A.G. Macovei, Application of Ruscheweyh linear operator insubordination and superordination, preprint

51

[68] A.G. Macovei, Briot-Bouquet differential subordinations and superordinations using the

acovei, Subclasses of normed starlike and convex functions, preprint

i, Subclasses of normed starlike and convex functions of order

linear operator, preprint [69] A.G. M[70] A.G. Macovei, Subclasses of normed univalent functions defined by convolution, preprint [71] A.G. Macove α , preprint

ivalent functions with negative coefficients [72] A.G. Macovei, Subclasses of normed alpha-convex functions, preprint [73] A.G. Macovei, Subclasses unSubclase de funcţii univalente cu coeficienti negativi, preprint [74] I. M. Milin, Univalent functions and orthonormal systems, "Nauka", Moscow, 1971 (Russian); [75] S.S. Miller, Distortion properties of alpha-starlike functions, Proc. Amer. Math. Soc, 38, 2

r differetial inequalities in the complex plane, J. Math.

rntial subordinations and univalent functions, Michig. Math.

(1973), 311-318; [76] S.S. Miller, P.T. Mocanu, Second ordeAnal. Appl., 65 (1978), 298-305; [77] S.S. Miller, P.T. Mocanu, DiffeJ., 28 (1981), 157-171; [78] S.S. Miller, P.T. Mocanu, On some classes of first-order differential subordinations, Michig. Math., 32(1985), 185-195; [79] S.S. Miller, P.T. Mocanu, Univalent solution of Briot – Bouquet differential equations, J. Differential Equations, 56(1985), 297-308; [80] S. S. Miller, P. T. Mocanu, On a class of spiralike integral operators, Rev. Roum. Math. Pures AppL, 31, 3(1986), 225-230;

), 185-195;

their Applications, Halstead Press, J. Wiley & Sons,

[81] S.S. Miller, P.T. Mocanu, Differntial subordinations and inequalities in the complex plane, J. Diff. Eqn., 56 (1985[82] S.S. Miller, P.T. Mocanu, Marx-Strohhacker differential subordination systems, Proc. Amer. Math. Soc., 99 (1987), 199-211; [83] S.S. Miller, P.T. Mocanu, Integral operators on certain classes of analytic functions, Univalent Functions, Fractional Calculus andNew York (1989), 153-166; [84] S. S. Miller, P. T. Mocanu, Classes of univalent integral operators, J. Math. Anal. Appl., 157, 1(1991), 147-165; [85] S.S. Miller, P.T. Mocanu, Briot – Bouquet differential equations and differential subordinations, Complex V ariables. 33 (1997), 217-237; [86] S. S. Miller, P. T. Mocanu, Subordinants of Differential Superordinations, Complex Variables. Vol. 48, No. 10 (2003), 815-826; [87] S. S. Miller, P. T. Mocanu, Briot – Bouquet differential superordinations and sandwich theorems, J. Math. Anal. Appl., 329, 1(2007), 327-335; [88] S.S. Miller, P.T. Mocanu, M. O. Reade, All α -convex functions are starlike, Rev. Roum. Math. Pures Appl., 17, 9 (1972), 1395-1397; [89] S.S. Miller, P.T. Mocanu, M. O. Reade, All α -convex functions are univalent and starlike,

. Reade, Bazilevic functions and generalized convexity, Rev.

ş-Bolyai, Mathematica, 22, 1 (1977), 35-39;

Proc. Amer. Math. Soc., 37, 2 (1973), 553-554; [90] S.S. Miller, P.T. Mocanu, M. ORoum. Math. Pures Appl., 19, 2 (1974), 213-224; [91] S.S. Miller, P.T. Mocanu, M. O. Reade, On the radius of alpha-convexity, Studia Univ. Babe[92] P.T. Mocanu, Une propriete de convexite generalisee dans la theorie de la representation conforme, Mathematica (Cluj), 11 (34) (1969) , 127-133;

52

[93] P.T. Mocanu, On a close-to-convexity preserving integral operator, Studia Univ. Babeş-Bolyai, Math., 32, 2 (1987), 49-52; [94] P.T. Mocanu, On a class of some classes of first-order differential subordinations, Babeş-Bolyai Univ., Fac. of Math. Res. Sem., Seminar on Mathematical Analysis, Preprint (1991), 37- 47; [95] P.T. Mocanu, T. Bulboacă, G. S. Sălăgean, Teoria geometrică a funcţiilor univatente, Casa Cărţii de Ştiinţă (Cluj), 1999; [96] P. T. Mocanu, Gr. Moldovan, M. O. Reade, numerical computation of the convex Koebe

t conditions for starlikness, Studia Univ. Babeş-Bolyai,

, Sufficient conditions for starlikness II, Studia Univ. Babeş-Bolyai,

function, Studia Univ. Babeş-Bolyai, Math.-Mech., 19, 1 (1974), 37-46; [97] P.T. Mocanu, G. Oros, SufficienMathematica, 43, 1 (1998), 57-62; [98] P.T. Mocanu, G. OrosMathematica, 43, 1 (1998), 49-53; [99] P.T. Mocanu, G. S. Sălăgean, Integral operators and meromorphic starlike functions, Mathematica (Cluj) , 32 (55) , 2 (1990) , 147-152; [100] R. Nevanlinna, Uber dieschlichten Abbidungen des Einheitkreises, Oversikt av Finska Vet. Soc., Forh. (A), no 7, 62 (1920), 1-14; [101] R. Nevanlinna, Uber die konforme Abbidungen Sterngebieten, Oversikt av Finska Vet. Soc., Forh. (A), no 6, 63 (1921); [102] T. O. Opoola, On a new subclass of univalent functions, Mathematica (Cluj), 1994; [103] G. I. Oros, An application of Briot-Bouquet differential superordinations and sandwich

on of Briot-Bouquet differential superordinations, Buletinul

uquet diferential subordinations and superordinations using the Dziok-

ci. Rep. Tokyo Bunrika daigaku, A, 2,

h conjecture for the sixth coefficient, Kodai

theorem, Studia Univ. “Babeş-Bolyai”, Mathematica, vol. L, Number 1, 2005, 93-98; [104] G. Oros, G. I. Oros, An applicatiAcademiei de Ştiinţe a Republicii Moldova. Matematică, Nr. 1 (50) (2006), 101-104; [105] G. I. Oroş, Briot-BoSrivastava linear operator, Math. Reports 11 (61), 2 (2009), 155-163; [106] M. Ozawa, On the theory of multivalent functions, S40 (1935), 167-188; [107] M. Ozawa, An elementary proof of the BieberbacMath. Sem. Rep., 21 (1969), 129-132; [108] S. Owa, On a new class of analytic functions with negative coefficients, Internat. J. Math. Sci., 7(4), 1984, 719-730; [109] S. Owa, M. Obradovic, An application of differential subordinations and some criteria for

al., 31 (1968-69), 331-351;

972), 161-193;

rste Halfte, 1913;

like and strongly convex functions, Journal of Mathematical Inequalities, 3, 1 (2009),

9-732;

3-976;

univalency, Bull. Austral. Math. Soc., 41 (1990), 487-494; [110] R. N. Pederson, A proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient, Arch. Rational Mech. An[111] R. N. Pederson, A proof of the Bieberbach conjecture for the fifth coefficient, Arch. Rational Mech. Anal., 45 (1[112] J. Plemelj, Uber den Verzerrungssatz vom P. Koebe, Ges. Dtsch. Naturforschren Arzte, 85, Versammlung Wien Zeiter teie, E[113] J. K. Prajapat, S. P. Goyal, Applications of Srivastava-Attiya operator to the Classes of strongly star129-137; [114] B. N. Rahmanov, On the theory of univalent functions, Dokl. Akad. Nauk. SSSR (N.S.), 91 (1953), 72[115] B. N. Rahmanov, On the theory of univalent functions, Dokl. Akad. Nauk. SSSR (N.S.), 97 (1954), 97

53

54

54),

. Reade, On close-to-convex functions, Michig. Math. J., 3 (1955), 59-62;

(1936),

[116] M. O. Reade, Sur une classe de fonctions univalentes, C. R. Acad. Sci. Paris, 239 (191758-1759; [117] M. O[118] M. S. Robertson, A remark on the odd schlicht functions, Bull. Amer. Math. Soc., 42 (1936), 366-370; [119] M. S. Robertson, Analytic functions starlike in one direction, Amer. J. Math., 58 465-472; [120] M. S. Robertson, On the theory of univalent functions, Ann. Math., 37 (1936), 374-408; [121] S. Rucheweyh, New criterion for univalent functions, Proc. Amer. Math. Soc., 49(1975), 109-115; [122] S. Rucheweyh, V. Singh, On a Briot-Bouquet equation related to univalent functions, Pev.

i, A note on p-valent functions, J. Math. Soc. Japan, 14 (1962), 312-321; tegral

of analytic functions with negative

, M. K. Aouf, On certain Classes of p-valent functions with

e-Sklodowska, sect. A., 29 (1975), 99-107;

Roum. Math. Pures Appl., 24 (1979), 285-290; [123] K. Sakaguch[124] G. Ş. Sălăgean, Properties of starlikeness and convexity preserved by some inoperators, Roumanian – Finnish Seminar On Complex Analysis Proc. Bucharest (Springe-Verlag, Berlin), 1976 (1979) , 367-372; [125] G. Ş. Sălăgean, Subclasses of univalent functions, Lect. Notes in Math., 1013, Springer Verlog, 1983, 362-372; [126] G. Ş. Sălăgean, Analytic functions with negative coefficients, Mathematica (Cluj), 36 (59), 2 (1994), 219-224; [127] G. Ş. Sălăgean, Geometria Planului Complex, Ed. Promedia Plus, Cluj-Napoca, 1997; [128] G. Ş. Sălăgean, Integral properties of certain classes coefficients, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 1 (2005), 125-131; [129] G. Ş. Sălăgean, H. M. Hossennegative coefficients, Studia Univ. Babeş-Bolyai, Mathematica, Volume XLIX, 1 (2004), 77-85; [130] A. C. Schaeffer, D. C. Spencer, Coefficient regions for Schlicht Functions, Amer., Math. Soc. Colloq. Publ., vol 35, New York, 1950; [131] A. Schild, H. Silverman, Convolution of univalent functions with negative coefficients, Ann. Univ. Mariae Curi[132] T. N. Shanmugam, Convolution and differential subordination, Internat. J. Math. & Math. Sci., Vol. 12, nr.2 (1989), 333-340; [133] T.N. Shanmugam, S. Sivasubramnian, M. Darus, C. Ramachandran, Subordinations and

2 (2007), 1039-1052;

a linear Operator and Multiplier Transformation, Kyungpook Math. J., 46 (2006), 97-109; [136] L. Spacek, Contribution a la theorie des fonctions univalentes, Casopis Pest. Mat., 62 (1932), 12-19; [137] H. M. Srivastava, A. A. Attiya, An integral operator associated with the Hurwitz-Lerch zeta function and differential subordination, Int. Trans. Spec. Func., 18, 3 (2007), 207-216; [138] E. Study, Vorlesungen über ausgewahlte Gegenstande der Geometrie, 2. Heft, Teubner, Leipzig und Berlin, 1913.

Superordination Results for Certain Subclasses of Analytic Functions, International Mathematical Forum, no. 21, [134] H. Silverman, Univalent functions with negative coefficients, Proc. Amer. Math. Soc., 51 (1975), 109-116; [135] S. Sivaprasad Kumar, H. C. Taneja, V. Ravichandran, Classes of Multivalent Functions Defined by Dziok-srivastav

universitatea “babeŞ - bolyai” cluj –...

Documents