unitatea de invatare 13

8/13/2019 Unitatea de Invatare 13

1/9

Elemente de geometrie sferic

115

Algebr liniar, geometrie analitici diferenial Curs i aplicaii

Unitatea de nvare nr. 13

ELEMENTE DE GEOMETRIE SFERIC

Cuprins Pagina

Obiectivele unitii de nvare nr. 13 116

13.1 Cercuri mari i mici. Ax, poli, polare. Unghiuri sferice 116

13.2 Coordonate sferice 118

Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 13 120Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 120

Bibliografie unitatea de nvare nr. 13 123


2/9


116Algebr liniar, geometrie analitici diferenial Curs i aplicaii

OBIECTIVELEunitii de nvare nr. 13

Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 13 sunt: nsuirea noiunilor fundamentale ale geometriei sferice

Efectuarea operaiilor cu logaritmi i utilizarea tabelelorpentru logaritmii funciilor trigonometrice necesarecalculelor ulterioare

13.1 Cercuri mari i mici. Ax, poli, polare. Unghiuri sferice

Studiul trigonometriei sferice necesit cunoaterea teoremelor fundamentale ale

geometriei sferice care are ca obiect de studiu proprietile figurilor de pe suprafaa sferei.

1.1 Cercuri mari i cercuri mici

Sferasau suprafaa sfericeste locul geometric al punctelor din spaiu egal deprtatede un punct fix numit centrul sferei.

Suprafaa generat de rotaia unui semicerc n jurul diametrului su este, deasemenea, o sfer.

Segmentul de dreaptcare unete orice punct de pe suprafaa sferei cu centrul ei senumete raza sferei . Segmentul de dreapt care unete dou puncte de pe suprafaadiametrul . Razele sunt egale ntre ele i diametrul este dublul razei .

Planul care trece prin centrul sferei se numeteplan diametral.

Teorema 1.Intersecia unei sfere cu un plan oarecare este un cerc.

Demonstraie.

Fie seciunea suprafeei sferei cu un plan. Ducemperpendiculara pe plan; pentru orice punct din seciuneconsiderm i . Cum este perpendicular pe plan,unghiul este drept; prin urmare, .Punctele si fiind fixe, este constant. este, deasemenea, constant, fiind raza sferei, deci i . Cum toatepunctele din seciunea planului sunt la distan egal de sfer,deducem caceastseciune este un cerc cu centrul n .

Seciunea suprafeei sferei cu un plan se numete cerc maredacplanul trece princentrul sferei i cerc micdacplanul nu trece prin centrul sferei. Astfel, raza unui cerc mareeste egalcu raza sferei.

Prin centrul sferei i orice dou puncte de pe suprafaa ei trece un singur plan.Excepie face cazul n care cele dou puncte se afl la extremitile diametrului sferei. n

acest caz o infinitate de plane trec prin cele trei puncte. Prin cele dou puncte date pe


3/9


117


suprafaa sferei trece un singur cerc mare. Dacpunctele sunt la extremitile diametrului, sepoate vorbi de o infinitate de cercuri mari.

Doupuncte care nu sunt diametral opuse mpart cercul mare n douarce neegale.Arcul mai mare se numete arc majoriar arcul mic se numete arc minor. Dacpunctele suntdiametral opuse, cele douarce sunt semicercuri egale ntre ele.

Prin arcul de cerc marecare unete doupuncte se nelege arcul minor.Date doupuncte i pe o sfer, arcul minor al celor dou

puncte se numete distan sferic a celor dou puncte pe sfer(fig. 1).

Distana sfericeste distana cea mai micdintre doupunctede pe sfer i se msoar prin arcul determinat de razelecorespunztoare celor doupuncte, .

Arcul de cerc mare se numete i ortodrom iar distanasferic, distanortodromic.

1.2 Ax, poli, polare

Axa unui cercal sferei este acel diametru al sferei care esteperpendicular pe cerc. Extremitile axei se numesc polii cerculuii pentru cercul n figura 2 .

Polii unui cerc mare sunt la egaldistande planulcercului. Polii unui cerc mic nu sunt la egaldistande planulcercului.

Un pol este egal deprtat de orice punct de pe circumferinacercului.

ntr-adevr, dacconsiderm cercul i polii i , c fiind un punct oarecare depe circumferina cercului, ducem , i . Avem astfel . Cum i

sunt constante, rezultc este, de asemenea, constant. Considerm un cerc marecare trece prin si . Coarda fiind constant, arcul de cerc mare considerat esteconstant, oricare ar fi poziia lui pe cercul . Astfel, distana de la polul Pla orice punct depe circumferina cercului este constant, indiferent dacaceastdistaneste msuratprinsegmentul de dreaptcare unete punctele sau prin arcul de cerc mare determinat de celedoupuncte.

Daccercul este un cerc mare, distana de la un pol la un punct de pe cerc este egal

cu un sfert de cerc mare.Raza polar sau raza sferica unui cerc este arcul de cerc mare care unete polulunui cerc de pe sfercu un punct al cercului. Raza sferica unui cerc mare este egalcu unsfert de cerc mare.

Un cerc mare mparte sfera n dou calote sferice numiteemisfere. Fiecare emisfer conine un pol al cercului. Puncteleemisferei se afl la o distan mai mic dect distana polar acercului care determincalota.

Cercul mare corespunztor polului Pse numete i polarapunctului P. Raza sferica polarei este un sfert de cerc mare.


4/9



1.3 Unghiuri sferice

Unghiurile i (figura 3) sub care se ntretaie arcele de cerc mare se numescunghiuri sferice.

Vrfurile unghiurilor sunt date de punctele de intersecie ale arcelor iar laturile de arce

n figura 3, fie arcel

e i care se intersecteazn punctul P. Unghiul este un unghisferic cu vrful n i cu laturile si . Msura unghiului sferic poate fi datprin: unghiul diedru format de planele i ; unghiul plan ; arcul , polara vrfului ; unghiul dintre tangentele la vrful Pal unghiului, duse la laturile unghiului sferic.

Unghiurile sferice au valori cuprinse ntre i i pot fi ascuite, drepte i obtuze.

De reinut!

Noiunile fundamentale ale geometriei sferice iproprietile lor principale (cerc mare, cerc mic,ax, poli, polare, unghiuri sferice)

Test de autoevaluare 13.1Operaii cu unghiuriSse determine:

a. pentru ,b. pentru ,c. pentru

d. pentru

13.2 Coordonate sferice

Poziia punctelor situate pe suprafaa unei sfere poate fi raportat la diferite sistemede coordonate. Cele mai utilizate ns n astronomie, geodezie sau geologie suntcoordonatele sferice: ecuatoriale sau orizontale.


5/9


119


Sistemul de coordonate ecuatoriale

Fie un punct oarecare pe suprafaa sferei i arcul de cercmare care-i corespunde. Se rotete sfera astfel nct coincidecu polul al Pmntului (fig. 4). Arcul de cerc mare l

numim meridian, iar polara , ecuator.Determinm poziia punctului pe sfer n raport cuecuatorul i meridianul. Considerm arcul de cerc marenumit meridianulsau cercul de latitudinea lui . Distana sferic

de la ecuator a punctului pe arcul de cerc mare senumete latitudineapunctului i se noteaz cu . Latitudineapoate avea valori de la la , de la ecuator la polul nord saupolul sud, fiind nordicsau sudic.

Cea de a doua coordonateste longitudineai se msoarcu unghiul diedru dintre planulprimului meridian (pentru globul pmntesc s-a adoptat meridianul de la Greenwitch) iplanul meridianului punctului , sau cu unghiul sferic . Se noteazcu i are

valori cuprinse ntre i n sens invers trigonometric sau ntre i spre est ispre vest (longitudine estici vestic).

Observaie. n locul latitudinii se poate folosi , distana polar (arculcorespunztor unghiului la centru ). Avem relaia .

Sistemul de coordonate orizontaleSe rotete sfera astfel nct coincide cu zenitul .

Coordonatele punctului sunt in acest caz:

- distana zenital, arcul sau unghiul , obinutconsidernd semicercul ce trece prin punctele (nadir) i .

- azimutul (arcul de la , nordul, pana la , unde semicerculse intersecteazcu orizontul ).

Azimutul are valori cuprinse ntre i n sens inverstrigonometric, ncepnd de la nord sau sud i se noteazacu .

Observaie.n locul distanei zenitale se poate folosi unghiul de nclinaieal punctuluimsurat prin arcul sau prin unghiul . Acest unghi determindistana punctului laorizont. Avem relaia .


6/9



De reinut!

Tipurile de coordonate sferice i utilitatea lor npractic

Test de autoevaluare 13.2Utilizarea tabelelor pentru logaritmii funciilor trigonometrice

Calculai:

Lucrare de verificare la Unitatea de nvare nr. 13

Calculai:

Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare

Test de autoevaluare 13.1

a.Transform secundele n minuteDeci

b.


7/9


8/9


9/9


123


Axa unui cerc al sferei este acel diametru al sferei care esteperpendicular pe cerc. Extremitile axei se numescpolii cercului.

Raza polarsau raza sferica unui cerc este arcul de cerc marecare unete polul unui cerc de pe sfercu un punct al cercului.

Un cerc mare mparte sfera n dou calote sferice numite

emisfere.Unghiurile i sub care se ntretaie arcele de cerc mare senumesc unghiuri sferice.

Sistemul de coordonate ecuatorialeFie un punct oarecare pe suprafaa sferei i arcul de cerc mare

care-i corespunde. Se rotete sfera astfel nct coincide cu polul alPmntului (fig. 4). Arcul de cerc mare l numim meridian, iarpolara , ecuator.

Determinm poziia punctului pe sfer n raport cu ecuatorul imeridianul. Considerm arcul de cerc mare numit meridianulsau

cercul de latitudinea lui . Distana sferic de la ecuator a punctuluipe arcul de cerc mare se numete latitudinea punctului i se

noteaz cu . Cea de a doua coordonat este longitudinea i semsoar cu unghiul diedru dintre planul primului meridian i planulmeridianului punctului , sau cu unghiul sferic .

Sistemul de coordonate orizontaleSe rotete sfera astfel nct coincide cu zenitul . Coordonatele

punctului sunt in acest caz:- distana zenital, arcul sau unghiul , obinut considernd

semicercul ce trece prin punctele (nadir) i .- azimutul (arcul de la , nordul, pana la , unde semicerculse intersecteazcu orizontul ).

Bibliografie1. F.F. Pavlov, V.P. Makevici, Trigonometrie

sferic, Editura Tehnic, Bucureti, 19542. E. Blbnescu, C. Chiriac, Trigonometriesferic i aplicaiile ei n astronomia nautic,Editura Militara Ministerului Forelor Armate aleR.P.R., Bucureti, 1964

3. Gh.D. Simionescu, Trigonometrie sferic, EdituraTehnic, Bucureti, 1965

unitatea de invatare 13

Documents