1

Trapezul. Arii

3.1. Trapezul

Definiie: Patrulaterul convex cu dou laturi paralele i celelalte dou laturi neparalele se numete trapez. Cele dou laturi paralele se numesc bazele trapezului. Clasificare:

Trapezul isoscel este trapezul cu laturile neparalele congruente. Trapezul dreptunghic este trapezul care are o latur din cele neparalele perpendicular pe bazele

trapezului. Trapezul oarecare. Teorema 1: ntr-un trapez este isoscel dac i numai dac unghiurile alturate aceleiai baze sunt congruente. Teorema 2: ntr-un trapez este isoscel dac i numai dac are diagonalele congruente. Definiie: Se numete linie mijlocie n trapez segmentul de dreapt determinat de mijloacele laturilor neparalele. Teorem: Linia mijlocie n trapez este paralel cu bazele i egal cu semisuma lungimilor bazelor.

Probleme rezolvate 1. n trapezul ABCD, AB CD (AB > CD), M AD, MA = MD, N BC, NB = NC, MN AC = {P} i MN BD = = {Q}. Demonstrai c:

a) MP = NQ = CD2

; b) PQ = 2

CDAB .

Rezolvare: a) n DAC, MP || DC i MA = MD MP = 2

DC.

n DBC, NQ || DC i NB = NC NQ = DC2

. Atunci MP = NQ = 2

DC MP + NC = DC.

b) MN = 2

CDAB+ ; PQ = MN MP NQ PQ = MN DC PQ = 2

CDAB+ CD PQ = 2

CDAB+ .

2. n orice trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, nlimea trapezului este egal cu linia mijlocie a sa.

Rezolvare: Fie trapezul ABCD, AB || CD, AC BD, AC BD = {O}. Construim prin O nlimea MN, cu M (AB) i N (CD). Trapezul fiind isoscel, unghiurile formate de diagonale cu bazele sunt congruente AOB i COD sunt triunghiuri dreptunghice isoscele. Deci M i N sunt mijlocele bazelor.

AOM este dreptunghic isoscel OM = AM = 2

AB

CON este dreptunghic isoscel ON = NC = 2

DC

OM + ON = 2

CDAB+ MN = 2

CDAB+ , deci nlimea este congruent cu linia mijlocie.

D

A B

C

M

N

O

M

D C

B A

N P Q

2

Probleme propuse 1. Demonstrai c n trapezul ABCD (AB CD), AB = baza mare i MN = linia mijlocie, are loc relaia:

AB MN = MN CD.

2. Fie unghiul propriu xOy n care considerm dou puncte A i B situate n interiorul su. Distanele de la punctul A la laturile unghiului sunt de 2 cm i respectiv 8 cm, iar distanele de la punctul B la laturile unghiului sunt de 3 cm i 7 cm. Calculai distanele de la mijlocul segmentului AB la laturile unghiului.

3. Fie paralelogramele ABCD i ABCD care au AB = 3 cm i AB = 7 cm, iar AB || CD || AB || CD. Fie M, N, P i Q mijloacele segmentelor AA, BB, CC i respectiv DD. Calculai lungimile segmentelor MN i PQ.

4. ntr-un trapez, lungimea liniei mijlocii este de 20 cm, iar lungimea segmentului ce unete mijloacele diagonalelor este de 6 cm. Calculai lungimile bazelor trapezului.

5. Un trapez dreptunghic ABCD (ABCD), m('B) = 60 are BC = 10 cm, CD = 5 cm. Calculai lungimea bazei mari i a diagonalei AC.

6. Fie trapezul isoscel MNPQ (MN || PQ), [MQ] [QP] [NP], m('M) = 60 i EF = 9 cm, unde EF este linia mijlocie a trapezului. Calculai perimetrul trapezului.

7. Se consider patrulaterul ABCD n care AC BD = {O} i punctele M (AC) astfel nct [AM] [MO] [OC] i N (BD) astfel nct [DN] [NO] [OB]. Demonstrai c ABCD este un trapez i lungimea bazei mici este jumtate din lungimea bazei mari.

8. Fie MNPR trapez, cu NP || MR, NP > MR, MR = 6 cm. Paralela prin M la RP i paralela prin R la MN se intersecteaz n S, iar S (NP). Calculai lungimea liniei mijlocii a trapezului.

9. Latura triunghiului echilateral ABC are 12 cm. BB i CC sunt nlimi, iar M i N mijloacele lor. Calculai MN.

10. n trapezul dreptunghic ABCD, cu m('A) = 90, diagonala AC este perpendicular pe BC. Prin mijlocul M al laturii [AD] se duce paralela MN (N BC) la bazele trapezului, care intersecteaz pe AC n P. Demonstrai c dreapta determinat de punctul P i punctul de intersecie al dreptelor AD i BC este perpendicular pe AN.

11. n trapezul ABCD, AB CD, AD = BC = DC i AB = 2DC. Demonstrai c m('ABC) = 60 i AC BC.

12. n trapezul ABCD, AB CD, DA AB i (AC est bisectoarea !DAB. Demonstrai c AB = 2CD dac i numai dac AC BC.

13. Demonstrai c mijloacele diagonalelor unui trapez aparin liniei mijlocii a trapezului.

14. n trapezul ABCD, AB || CD, AB > CD, se tie c CD = 8 cm, segmentul care unete mijlocele laturilor neparalele are lungimea 12 cm, iar msurile unghiurilor A, B, C i D sunt proporionale cu numerele 1, 2, 4 i respectiv 5. Dac AD BC = {E}, demonstrai c ABE este dreptunghic, n care [CD] este linie mijlocie.

15. Fie G centrul de greutate al ABC, D mijlocul laturii [BC] i d o dreapt oarecare ce trece prin G. Fie BB || AD, B d i CC || AD, C d. Demonstrai c BB + CC este constant.

16. Pe laturile AB i AC ale ABC echilateral se construiesc n exterior ptratele ABED i ACFG. Artai c: a) DC = BF; b) BCDG este trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare.

17. Fie M un punct mobil pe (AB). Construim de aceeai parte a lui AB ptratele AMNP i MBRQ. Demonstrai c, indiferent de poziia lui M pe AB, segmentele PR trec printr-un punct fix.

18. Se consider trapezul ABCD, AB CD i AD = AB + CD. Artai c dac E este mijlocul lui [BC], atunci EAD este dreptunghic.

O.M., jud. Satu Mare, Etapa local, 2007, (Enun parial), Sita Florentina

19. Se d trapezul ABCD n care AB CD, AD = CD = BC, m( "A ) = 60, M este mijlocul lui [AB] i AC BD = {O}. Artai c BMDC este romb.

O.M., jud. Sibiu, Etapa local, 2007, Enun parial, Simona Dumitrescu

3

20. n trapezul ABCD oarecare, AB CD, (AM este bisectoarea !CAB, M [BC] astfel nct [BM] [MC] i

DM AB = {E}. a) S se arate c DBEC este paralelogram. b) Dac AM CE = {N} i BP BC, P [CE], artai c 2MN = BP.

O.M., jud. Galai, Etapa local, 2007, (Enun parial), Maria Minea

21. Fie ABCD un trapez cu AB CD, AB = 2DC. Notm mijloacele diagonalelor AC i BD cu E, respectiv F. Dac EM AD, M BD, FN BC, N AC i P este mijlocul lui (AB) demonstrai c:

a) punctele D, E, P sunt coliniare; b) AB = 8MN. O.M., jud. Cluj, Etapa local, 2007, Alexandru Zgrian

3.2. Arii Aria triunghiului. Fie AA, BB, CC nlimile ABC.

A[ABC] = 2

ABCC2

ACBB2

BBAA =

=

.

De regul, n formule notm aria cu S nlimile cu ha, hb, hc:

2hc

2hb

2haS cba ===

Observm c a ha = b hb = c hc, adic n orice triunghi produsele dintre nlimi i bazele corespunztoare sunt egale.

Pentru triunghiul dreptunghic, catetele sunt i nlimi i aria se poate calcula ca semiprodusul catetelor.

Astfel, A[ABC] = 2

BCAD2

ABAC =

AC AD BC AD =

2ACAB

.

Cu aceast formul putem calcula nlimea triunghiului dreptunghic, cunoscnd catetele i ipotenuza.

Aria paralelogramului este egal cu produsul dintre nlime i baza corespunztoare. n paralelogramul din figura alturat avem: A[ABCD] = DE AB = DF BC.

Aria dreptunghiului = L $

Aria ptratului = $2

Aria rombului = 2Dd

, unde d i D sunt diagonalele rombului

Aria trapezului = 2

i)Bb( +, unde b i B sunt lungimile bazelor, iar i este nlimea trapezului.

A[ABCD] = 2

CE)CDAB( +

Aria cercului = R2, unde R este lungimea razei i 3,1415.

Probleme rezolvate

1. n ABC, M (BC), calculai valoarea raportului [ABM][ABC]

AA

.

Rezolvare: Fie AD BC. Observm c AD este nlime i n ABM i n ABC.

[ABM]

[ABC]

AD BMAD BM2= =AD BC AD BC

2

AA

[ABM][ABC]

BM=BC

AA

.

A

C D

B

A B

C D

E

F

A B

C D

E

B DM

C

A

4

Dac M este mijlocul lui BC [ABM] [ABC] [ABM] [ACM]1 1= =2 2

A A A A .

Deci mediana mparte triunghiul n dou triunghiuri echivalente. 2. n ABC, AB = 13 cm, BC = 14 cm, AC = 15 cm i nlimea AD = 12 cm. Calculai aria ABC i lungimile celorlalte nlimi.

Rezolvare: [ ABC]AD BC 12 14

2 2

= =A = 84 cm2;

[ABC]BB AC BB 15 2 84= =84 BB

2 2 15 =A BB =

556

cm;

[ABC]CC AB CC 13 16884 CC

2 2 13 = = =A .

3. n trapezul ABCD, AB || BC, M este mijlocul lui (BC). Demonstrai c: [ABCD][MAD]= 2A

A .

Rezolvare: Fie DM AB = {N} !DMC !BMN (op. vf.) (MC) (MB) (ip.) !DCM !NBM (alt. int.)

DCM NBM (ULU) A[DCM] A[BMN] A[ADN] A[ABCD] (1).

DCM NBM DM = MN, deci (AM) este median i, conform problemei 1 [ADN][ADM]= 2A

A , (2)

Din (1) i (2) [ABCD][MAD]= 2A

A .

Probleme propuse 1. Aflai aria triunghiului isoscel cu lungimea bazei de 16 cm i lungimea medianei corespunztoare acesteia de

90 mm.

2. n ABC, AB = 20 cm i nlimea CD = 16 cm, M (AB) astfel nct 23

MBMA

= . Calculai A[ABC], A[AMC] i

A[CBM].

3. Aflai aria unui triunghi dreptunghic cu lungimile catetelor de 1,8 dm i 0,3 m.

4. Demonstrai c orice median a unui triunghi determin cu latura corespunztoare dou triunghiuri de arii egale.

5. Fie ABC, cu AM median i MM AB (nlime n AMB). tiind c AB = 8 cm i MM = 40 mm, calculai AABC.

6. n ABC, m(!A) = 90, laturile AB, AC, BC sunt proporionale cu 3; 4; 5. nlimea (AD) dus din vrful drept are 36 cm. Calculai aria i perimetrul triunghiului.

7. n ABC, AB = AC i M (BC). Demonstrai c suma distanelor de la M la AB i AC este constant oricare ar fi poziia lui M.

8. Fie ABC echilateral, M un punct interior triunghiului i M1, M2, M3 picioarele perpendicularelor din M pe AB, BC, AC. Artai c MM1 + MM2 + MM3 = k (nu depinde de alegerea lui M).

9. n paralelogramul ABCD, BD AD, BD = BC i AB = 20 cm. Calculai aria paralelogramului. 10. n dreptunghiul ABCD, AB = 40 cm, BC = 30 cm. Fie M (DC) astfel nct MD = 30 cm, N (AD) astfel nct

ND = 20 cm. Calculai aria MNB.

11. Demonstrai c aria unui patrulater ortodiagonal este jumtate din produsul lungimilor celor dou diagonale.

12. Calculai nlimea rombului cu lungimile diagonalelor de 6 cm i 0,8 dm, iar lungimea laturii de 5 cm.

B D

B

C

A

A B

CD

MN

5

13. Punctul M este mijlocul laturii [BC] a paralelogramului ABCD i {E} = AM CD. Dac DF AM, F AM, AM = 25 cm i DF = 8 cm, calculai aria paralelogramului ABCD.

14. Patrulaterul ABCD este romb cu perimetrul i aria egale cu 40 cm i respectiv 80 cm2. tiind c lungimile

diagonalelor rombului sunt invers proporionale cu numerele 0,125 i 0,2, calculai lungimile diagonalelor i nlimii rombului, precum i msurile unghiurilor acestuia.

15. Calculai aria unui trapez dreptunghic cu baza mic de 12 cm, baza mare de 2,4 dm i latura perpendicular pe baz de 8 cm. Dac trapezul are aria egal cu aria unui ptrat, aflai perimetrul ptratului.

16. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 108 cm, iar lungimile laturilor i a nlimii corespunztoare bazei sunt proporionale cu numerele 8, 5 i respectiv 3. Aflai aria triunghiului.

17. Se d trapezul isoscel ABCD, AB || CD, AB = 20 cm, CD = 10 cm, DE i CF nlimi, DE = 12 cm. Calculai: A[ADE], A[DEFC] i A[ABC], A[ABCD].

18. Fie triunghiul ascuitunghic ABC, M mijlocul segmentului AC i Q ( )BM . Dac QT || AB, T ( )BC i aria

patrulaterului AQTB este egal cu 516

din aria triunghiului ABC, artai c BQ=QM.

19. Fie ABCD un paralelogram i M un punct interior paralelogramului astfel nct A(MAB) = A(MBC). a) Artai c A(MCD) = A(MAD). b) Determinai locul geometric al punctului M.

O.M., jud. Dolj, Etapa local, 2007

20. Se consider trapezul ABCD, cu AB CD i AB = 2CD. Fie M mijlocul laturii [AB] iar {E} = AC DM. tiind

c A CME = 4 cm2, calculai aria triunghiului ABP, unde {P} = AD BC. O.M., jud. Giurgiu, Etapa local, 2007, Rodica Mrcineanu

TEOREMA LUI THALES

Raportul a dou segmente. Segmente proporionale Definiie: Prin raportul a dou segmente, msurate cu aceeai unitate de msur, nelegem raportul lungimilor lor.

Ex. AB = 18 cm; CD = 35 cm AB 18CD 35

= .

n general, dac AB mCD n

= , nseamn c exist o unitate de msur care se cuprinde n AB de m ori i n CD de n ori.

De regul, scriem AB mCD n

= AB = mk, CD = nk, k +% .

Fiind date: mulimea segmentele {(A1B1), (A2B2), ..., (AkBk)} i mulimea segmentele {(M1N1), (M2N2), ..., (MkNk)},

spunem c cele dou mulimi sunt formate din segmente proporionale numai dac 1 1 2 2 k k1 1 2 2 k k

A B A B A B...M N M N M N

= = = .

mprirea unui segment ntr-un raport dat Teorema 1: Exist un punct n interiorul unui segment care mparte segmentul ntr-un raport dat. Acest punct este unic. Teorema 2: Exist un punct n exteriorul segmentului care mparte segmentul ntr-un raport dat. Acest punct este unic. Observaie: Exceptnd cazul cnd raportul este 1 (punctul este mijlocul segmentului), n toate celelalte rapoarte exist

cele dou puncte de mai sus. Ele se numesc puncte conjugate armonic. Teorema paralelelor echidistante: Dac trei sau mai multe drepte paralele determin pe o secant segmente congruente,

atunci ele determin pe orice secant segmente congruente.

6

Teorema lui Thales: O paralel dus la una din laturile unui triunghi determin pe celelalte dou laturi segmente proporionale.

MN || BC AM ANMB NC

= MB NCAM AN

= AM ANAB AC

= BM CNAB AC

= AB ACBM CN

= AB ACAM AN

= .

Folosind proporii derivate obinem: AM AN AM AN AM ANMB NC AM MB AN NC AB AC

= = =+ +

. Analog AB ACBM CN

= etc.

Reciproca teoremei lui Thales: Dac o dreapt determin pe dou laturi ale unui triunghi segmente proporionale,

atunci ea este paralel cu a treia latur a triunghiului.

Formulare matematic: Dac n ABC, M AB i N AC astfel nct AM ANAB AC

= atunci MN || BC

Teorema paralelelor neechidistante: Trei sau mai multe paralele determin pe dou secante segmente proporionale.

a || b || c || d 1 1 1 1 1 1

AB BC CDA B B C C D

= =

Probleme rezolvate

1. Determinai M (AB) astfel nct MA 2MB 5

= .

Rezolvare: Ne vom folosi de teorema paralelelor echidistante. Din A construim o

semidreapt (Ax pe care purtm un segment AA1 de apte ori, respectiv n punctele A2, A3, ..., A7. Unim A7 cu B, apoi, prin diviziunile A2, A3, ..., A6 trasm paralele la A7B. Acestea determin pe Ax segmente congruente, deci vor determina i pe AB segmente congruente. Am mprit astfel [AB] n apte pri congruente. MA 2 MA 2 MA 2MB 5 MA MB 5 2 MB 7

= = =+ +

.

A doua diviziune corespunde lui M.

2. Se dau segmentele a, b, c. S se construiasc un segment d astfel nct a cb d= .

Rezolvare: Fie ! xOy. Lum OA = a i AC = c pe (Ox, iar pe (Oy lum OB = b. Prin C construim CD || AB, D (Oy. Conform teoremei paralelelor

neechidistante avem: OA AC a cOB BD b d

= = , deci BD = d este segmentul cutat.

3. Teorema bisectoarei. n orice triunghi, bisectoarea unui unghi interior (sau exterior) determin pe latura opus segmente proporionale cu celelalte dou laturi.

Demonstraie: I. Fie (AD bisectoarea ! BAC. Construim BE || AD, E CA ! EBA ! BAD (alt. int.)

! BEA !DAC (coresp.) ! ABE ! BEA AE = AB (1) ! BAD !DAC (ip.)

n BEC, AD || EB (1)T.Th. BD AE

DC AC = BD AB

DC AC= .

M N

C B

A

M N C B

A

C B

A

M N

A1

B1

d

c

b

a

D

C

B

A

D1

C1

A M B

xA7A6

A5A4

A2 A3

A1

O A

C

D

B b

a

d

c x

y

A

BC

E

D

7

II. Fie (AF bisectoarea ! BAx, F CB. Construim BB || AF, B AC ! FAB ! ABB (alt. int.)

! FAx ! BBA (coresp.) ! ABB ! BBA AB = AB (2) ! FAB ! FAx

BB || AF (2)T.Th. FB AB

FC AC

= FB ABFC AC

= .

Teorema reciproc: Dac un punct D (CB) astfel nct DB ABDC AC

= , atunci (AD este bisectoarea ! BAC.

4. n ABC, AB = c, AC = b, BC = a i (AD este bisectoarea ! BAC. Calculai BD i DC.

Rezolvare: (AD bisectoare BD ABDC AC

= BD ABBD DC AB AC

= + +

BD ABBC AB AC

=+

BD = AB BCAB AC

+

BD = acb c+

DC = a acb c+

DC = ab ac abb c ++

DC = abb c+

.

5. Teorema lui Menelaus sau teorema transversalei. Dac o dreapt d intersecteaz laturile ABC sau prelungirile

acestora n punctele M (AB), N (AC) i P BC, atunci MA PB NCMB PC NA

= 1.

Demonstraie: Prin P ducem o dreapt d, apoi construim AA || CC || BB, A,B,C d

i exprimm rapoartele din teorem cu ajutorul unor segmente de pe d folosind teorema paralelelor neechidistante, nu teorema lui Thales. Obinem: MA PAMB PB

=

; PB PB

PC PC

=; NC PC

NA PA'

= MA PB NC PA PB PCMB PC NA PB PC PA

=

= 1.

Teorema reciproc: Dac M (AB), N (AC) i P BC astfel nct:

MA PB NCMB PC NA

= 1, atunci M, N i P sunt coliniare.

Observaie: Demonstraia se face prin reducere la absurd, considernd c MN BC = = {P}. Se va demonstra c P = P.

Definiie: Numim cevian orice dreapt care trece prin vrful unui triunghi i intersecteaz latura opus.

6. Teorema lui Ceva: Dac AA, BB, CC sunt trei ceviene concurente n ABC, atunci A B B C C AA C B A C B

= 1.

Demonstraie: Conform teoremei lui Menelaus n ABA, cu transversala C-M-C, avem:

C A CB MAC B CA MA

= 1.

n AAC, cu teorema lui Menelaus i transversala B-M-B B C MA A BB A MA BC

= 1.

nmulind membru cu membru obinem: C A B C CB MA MA A B A B B C C A1 1C B B A A C MA MA BC A C B A C B

= =

.

Teorema reciproc: Dac AA, BB, CC sunt cevine n ABC i A B B C C A 1A C B A C B

=

, atunci AA, BB, CC sunt

concurente. Demonstraia se face prin metoda reducerii la absurd, presupunnd c AA BB = {M} i CM AB = {D} D = C.

A

BC

x

F B

A

CD

B

b c

A

B C

N M

d

A

P

C

B

A

CAB

BC

M

8

7. Teorema lui Van Aubel: Dac n ABC cevienele AA, BB, CC sunt concurente n P, atunci exist relaia B A C A PAB C C B PA

+ =

.

Demonstraie: Vom aplica teorema lui Menelaus n AAC i n AAB

B A BC PAB C A B CA

= 1 B A PA A BB C PA BC

=

;

C A BC PA C A PA A C1C B A C PA C B PA BC

= =

.

Adunnd membru cu membru obinem: B A C A PA A B A CB C C B PA BC + + =

B A C A PAB C C B PA

+ =

.

Probleme propuse 1. Raportul a dou segmente

1. Fie segmentul AB i M un punct n interiorul lui astfel nct raportul segmentelor AM i MB = 23

. tiind c

AB = 15 cm, calculai lungimile AM i MB. 2. Fie [AB] un segment dat. Construii C (AB) astfel nct 7AC = 3AB. 3. Se d un segment [MN]. Construii I (MN) astfel nct 8MI = 5 MN. 4. Segmentul AB este mprit de punctele M i N n trei segmente cu lungimile direct proporionale cu numerele 3; 5 i

7. Determinai ANMB

.

5. Se consider punctele M, N (AB), cu M (AN) i AM 1MB 3

= ; AN 4BN 5

= . Calculai MNAB

.

6. Se d un segment AB = 36 cm i fie O mijlocul su. Construii M (AB) astfel nct 4AM = 5MB. Construii N (AB) astfel nct 5AN = 4NB i verificai relaia: OB2 = OM ON.

7. Calculai raportul segmentelor AB i CD tiind c: a) AB = 48 mm i CD = 0,36 cm; b) AB = 7,(3) m i CD = 3,1(6) m. 8. Fie AB = 24 cm i M (AB) astfel nct 6AM = 5AB.

a) Calculai lungimea segmentului AM. b) Calculai MBAB

.

9. Se d segmentul AB i punctele M i N n interiorul lui astfel nct segmentele AM i BN sunt proporionale cu MB i AN. Artai c [AM] [BN].

10. Lungimea segmentului AB este de 10 cm. M (AB) i P AB, P este exterior lui (AB) astfel nct PA MA 2PB MB 3

= = .

Calculai MA, MB, PA, PB. 11. mprii segmentul (AB) de lungime a n cinci pri egale. Fie A1, A2, A3, A4 punctele de diviziune. Determinai

rapoartele: 3 41 2 11 2 3

A A A AA A A A A A; ; ; ;A B A B AB A B AB

.

12. Un segment AB are lungimea de 120 cm i C (AB).

a) Dac CA 5CB 7

= , calculai CA i CB. b) Dac CB 3AB 5

= , calculai CB i CA.

13. Fie M (AB) astfel nct:

a) MA 2MB 7

= . Calculai MAAB

i MBAB

. b) MA 2AB 7

= . Calculai MBAB

i MAMB

.

14. Punctele M, P, Q, R, N, n aceast ordine, sunt coliniare astfel nct P (MQ) i R (QN). Segmentele [MP], [PQ], [QR] i [RN] au lungimile proporionale cu numerele 3, 5, 2 i respectiv 4.

Calculai valoarea fiecruia din rapoartele: MQ MR,PN QN

i RNPQ

.

15. Gsii pe dreapta AB punctele M i N, conjugate armonic n raport cu extremitile segmentului [AB], tiind c

AB = 7,2 cm, M (AB) i AM 1MB 2

= .

A

CAB

BC

P

9

16. Pe dreapta d se consider punctele A, B, C, D astfel nct [AB] [BC] [CD], B (AC) i C (BD). Dac E este

mijlocul [BC], F = simBE, G = simDE i H = simFD, calculai valorile rapoartelor: AC AC BD EF; ; ;CD AH AG GH

i BGAE

.

17. Desenai pe o dreapt d punctele distincte A i B. Determinai pe dreapta d poziia unui punct C astfel nct:

a) AC 3BC 2

= ; b) BC 2AC 5

= .

18. Fie punctele coliniare A, C, D, B, n aceast ordine, astfel nct CA DB 3CB DA 5

= = . Demonstrai c:

a) 4CD = AB; b) mijlocul lui (AB) este i mijlocul lui (CD). 19. Pe o dreapt d se iau punctele distincte A i B astfel nct AB = 320 mm. mprii segmentul [AB] n trei segmente

proporionale cu segmentele [MN], [PQ], [RS], ale cror lungimi sunt de 18 mm, 35 mm i respectiv 27 mm.

20. Se d segmentul [PA] i C (PA), D (PA), B (PA) astfel nct CA 2 DA 2;CB 5 DB 5

= = ; PA 11PB 4

= .

a) Stabilii poziiile lui C i D fa de mijlocul lui (AB).

b) Calculai ABPB

. c) Demonstrai c PB = 2BD.

2. Paralele echidistante

1. Segmentul AB = 5 cm. Determinai poziia unui punct C (AB) astfel nct AC 3CB 4

= folosind teorema paralelelor

echidistante.

2. Desenai un segment de lungime 10 cm. Folosind teorema paralelelor echidistante, mprii-l n 7 segmente de aceeai lungime.

3. Fie dreptele a1 || a2 || a3 || a4 || a5 i secantele a i b. tiind c A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 i B2B5 = 12 cm, calculai lungimile: B1B3, B3B5, B1B5, B1B4.

a A1

B1

A2

B2

A3

B3

A4

B4

A5

B5

b

a1 a2 a3 a4 a5

4. Un grup de paralele echidistante determin pe dou secante punctele A1, A2, A3, A4, A5, respectiv B1, B2, B3, B4, B5. tiind c A1B1 = 2a i A3B3 = 2b, calculai A5B5.

5. Se consider trapezul ABCD (AB || CD). Pe latura AB se iau punctele M1, M2, M3, M4 astfel nct AM1 = M1M2 =

= M2M3 = M3M4 = M4D. Prin punctele M1, M2, M3, M4 se construiesc dreptele paralele M1N1 || M2N2 || M3N3 || M4N4 (N1, N2, N3, N4 BC). Dac BN3 = 18 cm, calculai lungimea segmentului BC.

6. Fie trapezul ABCD (AB || CD). Pe latura AB se consider punctele M, G, E astfel nct AM = MG = GE = ED i

MN || GM || EF || AB (N, M, F BC). Demonstrai c segmentele DE, DG, DM i DA sunt proporionale cu segmentele CF, CM, CN i CB.

7. Fiind dat [AB] = 5 cm, determinai punctele M i P conjugate armonic, tiind c M (AB) i MA 1MB 4

= . Folosii

teorema paralelelor echidistante.

8. n ABC, trei paralele cu BC, echidistante, mpart pe (AC) n patru segmente congruente, ca n figura alturat. Dac BC = 12 cm, calculai lungimile segmentelor de pe paralele cuprinse ntre laturile (AB) i (AC). Putei generaliza rezultatul obinut?

3. Teorema lui Thales

1. Se consider ABC, MN || BC, M (AB), N (AC). a) Dac AM = 8, MB = 6, AN = 6, calculai NC i AC. b) Dac AM = 10, AN = 4, NC = 6, calculai MB i AB.

A

B C

M3 M2

M1 N1

N3N2

x 2x

3x

12

10

2. n MNP avem EF || NP, E (MN), F (MP). a) Dac MN = 16, MP = 32, ME = 6, calculai MF, EN i FP. b) Dac MP = 24, MF = 16, EN = 12, calculai MN, ME i FP.

3. Folosind figura alturat completai tabelul: AB AC AD AE DB EC

1 16 8 3 24 8

12 8 9 16 12 15

4. n ABC determinai poziiile dreptelor BC i BC, B (AB) i C (AC), tiind c: a) AB = 6 cm; AC = 9 cm; AB = 2 cm i AC = 3cm; b) AB = 12 cm; BB = 0,4 dm; AC = 1,5 dm i CC = 5 cm.

5. Fie ABC un triunghi oarecare, E (AB), F (AC). Artai c EF || BC dac: a) AE = 12; EB = 18; AF = 10; FC = 15; b) AE = 4; AB = 16, AC = 20; FC = 15. 6. n ABC, M (AB), MN || BC, N (AC), MM || AC, M BC, NN || AB, N BC. Demonstrai c

[BN] [CM].

7. n ABC, D (AC). Dac DE || AB, E (BC) i DF || BC, F (AB), atunci CE AFBC AB

+ = 1.

8. n figura alturat se tie c AA || BB || CC i AB || BC || CD. Demonstrai

c: OA OB OCOB OC OD

= = .

9. n ABC, AB = 12 cm, BC = 16 cm, AC = 24 cm, N (BC), i P (AC)

astfel nct NC = PA = 6 cm. D (AB) astfel nct 3AD = DB. Dac PD AM = {Q} i (AM) este median n ABC, demonstrai c MNPQ este paralelogram.

10. n patrulaterul ABCD, M(AB). Dac MN || AC, N(BC), MP || AD, P (BD), demonstrai c NP || CD.

11. n patrulaterul convex ABCD, diagonalele sunt perpendiculare i M, N, P, Q sunt puncte ale laturilor [AB], [BC], [CD], [DA] astfel nct MN || AC, NP || BD i PQ || AC.

a) Demonstrai c paralela prin Q la BD intersecteaz pe AB n M. b) Demonstrai c MNPQ este dreptunghi. 12. n dreptunghiul ABCD, dreapta d intersecteaz (AB) n P, (DC) n N, BC n M i DA n Q. Demonstrai c QA

MN = QP MC. 13. n ABC, M (BC), N (AC) astfel nct MN || AB i NP || BC, P (AB). Este PM || AC ? 14. Fie P un punct pe mediana (AM) a ABC; BP AC = {B}, CP AB = {C}. Demonstrai c BC || BC.

15. n paralelogramul ABCD, m(!B) = 120, BC = 10 cm i BD AD. Dac BE CD, E CD i EF || BC,

F BD, calculai valoarea raportului BFBD

i perimetrul paralelogram ABCD. Dac, n plus, G AD astfel nct

AG 1GD 3

= , aflai perimetrul patrulaterului DEFG.

16. Segmentele [MN] i [PQ] se intersecteaz n A. Dac B PQ astfel nct MB || NQ i C MN astfel nct

CQ || MP, demonstrai c BC || NP.

17. n trapezul ABCD (AB || CD, AB > CD), avem MN || AB, M (AD) i N (BC), MP || BC i NQ || AD, unde P, Q AB. Demonstrai c [AP] [BQ].

18. Demonstrai c bisectoarele ntr-un triunghi sunt concurente. Folosii pentru demonstraie reciproca teoremei lui

Ceva.

B

A

C

ED

O

C

A B C D

A B

11

19. Se dau semidreptele (Ox, (Oy, (Oz i punctele B i B pe (Oy. Construim BA (Ox, BA (Ox, A, A (Ox,. BC || BC, C (Oz, C (Oz. Demonstrai c: AC || AC.

20. n ABC construim mediana (BD) i bisectoarea (AE, E (BC), AE BD = {F}. Demonstrai c FA AC 1FE AB

= .

4. Paralele neechidistante

1. n ABC, pe laturile AB i AC se consider punctele M, N (AB) i M, N (AC) astfel nct AM = 24 mm, MN = 3,6 cm, BN = 12 mm i AC = 9 cm. Dac MM || NN || BC, calculai lungimile segmentelor AM, MN i NC.

2. n figura alturat a || b || c || d, AB = 4 cm, CD = 2 cm, MN = 5 cm, NP = 10 cm. Calculai BC i PQ.

3. Lungimea segmentului AB este de 9 cm. mprii segmentul AB n pri proporionale cu numerele 2, 3, 1, 5 folosind teorema paralelelor neechidistante.

4. Fie ABC i mediana (AM), F(AM), CFAB ={D}, BFAC ={E}, Q (AD)

astfel nct AQ 4AD 5

= , iar N este mijlocul lui (AQ), R (AE) astfel nct AR = 80%AE i AP 1AR 2

= , P (AR). Demonstrai

c segmentele (AN, NQ, QD, DB) sunt proporionale cu (AP, PR, RE, EC).

5. Desenai un segment cu lungimea de 10 cm i un triunghi oarecare ABC. mprii segmentul n 3 segmente proporionale cu laturile [AB], [BC], respectiv [CA].

6. Dreptele a || b || c || d intersecteaz dreptele s1 n punctele A, B, C, respectiv D i s2 n punctele M, N, P, respectiv Q. Dac AB = 5 cm, AC = 13 cm, MN = 4 cm i MQ = 18 cm, calculai BC, CD, NP i PQ.

7. n ABC, prin D (AB) i F (AB) se duc paralele la BC care intersecteaz pe AC n E, respectiv G. Dac AD 1DB 2

= i BF 1FD 3

= , calculai valoarea raportului AFAB

i perimetrele triunghiurilor ADE i AFG, tiind c ABC este

echilateral cu latura de lungime 24 cm.

8. n trapezul ABCD, AB || CD, fie M i N mijloacele laturilor [AB], respectiv [CD]. Din M se construiesc bisectoarele (MP, P AD i (MQ, Q BC, ale unghiurilor NMA, respectiv NMB. Demonstrai c PQ || AB || CD.

5. Probleme recapitulative

1. Fie [Ox, [Oy i [Oz trei semidrepte oarecare, A, A (Ox, B, B (Oy i c, C (Oz astfel nct AB || AB i BC || BC.

a) Dac OA = 4 cm, AA = 6 cm, OC = 9 cm, aflai lungimile segmentelor OC i CC. b) Dac OA = 6 cm, OA = 8 cm, OC = 9 cm, OC = 12 cm, stabilii poziia relativ a dreptelor BC i BC.

2. n ABC, AB = 12 cm, AC = 18 cm, BC = 16 cm, M (AB), MA = 4 cm. Construim MN || BC, N (AC),

NP || AB, P BC, PQ || AC, Q (AB). Calculai PC, BQ i MQ.

3. Pe dreapta d se afl n ordine punctele A, C, B, P astfel nct CA 5CB 2

= i PA 4PB 3

= . Calculai CB OC OP; ;CP OA OB

, unde O

este mijlocul lui [AB].

4. Se d trapezul ABCD, AB || CD, cu AB = 24 cm, DC = 12 cm i MN || AB, M (AD) i N (BC). Calculai perimetrul trapezului, tiind c DM = 10 cm, MA = x + 1, CN = 14 cm i FB = 2x 1.

5. Se d ABC. Prin B i C construim paralele la mediana din A. CA i BA intersecteaz aceste paralele n E, respectiv

F. Demonstrai c BCFE este paralelogram.

d c

b

a M A

B N

C

D

P

Q

12

6. n ABC se consider punctele M, N (AB), Q, P (BC), R (AC) astfel nct NP || AC, NR || BC, RQ || AB,

QM || AC. Demonstrai c BP QB 1PC CQ

= .

7. n paralelogramul ABCD, M este mijlocul lui (DC), AM BD = {E}, BM AC = {F}. Demonstrai c EF || AB

8. n paralelogramul ABCD, printr-un punct oarecare M al diagonalei AC se construiete MN || BC, N AB i

MP || CD, P AD. Demonstrai c PN || BD. Aceast relaie este adevrat i dac ABCD este un patrulater oarecare?

9. n ABC se construiesc nlimile BH i CK, iar n AKH se construiesc nlimile KM i HL. a) Demonstrai c AB AM = AC AL. b) Demonstrai c LM || BC.

10. Fie patrulaterul ABCD, n care [AD] [BC]. Bisectoarele unghiurilor DAB i CBA intersecteaz diagonalele BD i

AC respectiv n E i F. Demonstrai c EB FC = FA ED.

11. n ABC, AD i BE sunt bisectoarele interioare (D (BC), E (AC)) i [AF este bisectoarea exterioar ! BAC, F BC. Dac AB = 4 cm, AC = 5 cm i BC = 6 cm, calculai lungimile segmentelor: BD, DC, BF i FC.

12. Se d un romb ABCD, cu AB = a. Prin A se duce o secant care intersecteaz prelungirile laturilor CB i CD n E,

respectiv F. Demonstrai c 1 1 1CE CF a

+ = .

13. n trapezul isoscel ortodiagonal ABCD, AB || CD, perpendiculara din C pe AB intersecteaz (AB) i (BD) n E,

respectiv F. a) Determinai natura triunghiului DAF. b) Dac AF BC = {M}, atunci M este mijlocul segmentului [BC] dac i numai dac m(! (AD, BC)) = 45, c) Dac M este mijlocul segmentului [BC], demonstrai c:

AB2 CD2 = 4 OA OC. 14. ntr-un triunghi ABC, laturile au lungimile AB = 10 cm, AC = 20 cm i BC = 15 cm. Se consider [BD bisectoarea

unghiului !ABC, D (AC) i se duc DE BC, E (AB) i EF AC, F (BC). S se determine:

a) perimetrul trapezului AEFC; b) raportul ODOB

, unde {O} = BD EF.

O.M., jud. Giurgiu, Etapa local, 2007, Radu Stnic

15. Fie ABC, D (AB), E (AC) astfel nct 7BD = 5AB. Fie {M} = CD BE, astfel nct 9DM = 2DC. Artai c DE BC.

O.M., jud. Cluj, Etapa local, 2007, Vasile erdean, Simona Pop 16. Fie ABC n care [AO] este median, G este centrul de greutate, iar GD AB i GE AC, unde D i E sunt pe

latura BC. a) Dac H este simetricul lui G fa de O, artai c GDHE este paralelogram. b) Dac {M} = DG AE i {N} = DG BH, artai c MN = 2DG. c) Artai c BC = 6OD.

O.M., jud. Mure, Etapa local, 2007, Georgeta Pnzaru

17. n paralelogramul ABCD, P (AD), Q (BC), PC AB = {M}, DQ AB = {N}, AP 1PD 3

= , BQ 2QC 3

= . Dac

DC = 12 cm, calculai MN. O.M., jud. Harghita, Etapa local, 2007, (Enun parial)

13

Teste recapitulative (Teorema lui Thales)

Testul 1

Partea I (Se vor scrie numai rezultatele) (8p) 1. Dac segmentul AB se mparte n 24 de pri congruente i punctele M i N sunt respectiv al aselea i al

paisprezecelea punct de diviziune, atunci valoarea rapoartelor MAAB

i NAAB

este .......

(8p) 2. Fie AB un segment. Un punct M l mparte n raportul MA 4MB 7

= . Atunci MAAB

i MBAB

sunt .........

(8p) 3. n ABC, MN || BC (M (AB), N (AC)). Dac AM = 3 cm, AB = 4 cm i AC = 8 cm, atunci MB, AN, NC sunt egale cu ..........

(8p) 4. n DEF, G (DE), H (DF) astfel nct DE = 7, DF = 14, DG = 1,5, DH = 3, atunci GH ...... EF.

(8p) 5. n desenul alturat AE = 30; AB = 60; AF = 35; AC = 70. Cum ?AE 1 AF

AB 2 AC= =

EF || BC.

(8p) 6. ntr-un triunghi oarecare ABC, [AM = bisectoare, M BC. Atunci ABAC

= .........

Partea a II-a (Se vor scrie rezolvrile complete) (12p) 7. n ABC, G = centrul de greutate al triunghiului dat, PQ || AC, PAB, QBC, GPQ. Dac AP = 9 cm,

BQ = 12 cm, calculai lungimile segmentelor BP, CQ i BC.

(15p) 8. n ABC, D (AC). Dac DE || AB, E(BC) i DF || BC, F(AB), atunci CE AFBC AB

+ = 1.

(15p) 9. n ABC se construiete mediana MB, M (AC). Bisectoarea 'AMB intersecteaz AB n P, iar bisectoarea !BMC intersecteaz BC n N. Demonstrai c NP || AC.

Testul 2

Partea I (Se vor scrie numai rezultatele)

(8p) 1. Dac C (AB) astfel nct AC 2AB 7

= , Atunci BCAB

= .......

(8p) 2. Latura Ox a unghiului xOy este intersectat de dreptele a || b || c || d n punctele A, B, C, D, de la O spre x, n aceast ordine, astfel nct OA = AB = BC = CD. Dac aceste drepte intersecteaz pe Oy n punctele M, N, P, Q, atunci .............

(8p) 3. n ABC, prin punctul M (AB) se duce MN || BC, N (AC). Dac BM 1MA 2

= , atunci ANAC

= ..........

(8p) 4. Dac n ABC, M (AB) astfel nct AM 2AB 3

= i N (AC) astfel nct AN 2AC 3

= , atunci dreptele MN i BC

sunt .......... (8p) 5. n trapezul ABCD, AB || CD, prin punctele M i N situate pe (AD) se duc paralele la AB care intersecteaz pe

BC n P, respectiv Q. Dac AM 1AN 2

= i MN 1ND 2

= , atunci BQBC

= .........

(8p) 6. Laturile [AB] i [BC] ale triunghiului ABC sunt intersectate de dreapta d, d || AC, n punctele D i respectiv E. Dac AB = 16 cm, BE = 9 cm, EC = 3 cm, atunci AD = .........

Partea a II-a (Se vor scrie rezolvrile complete) (12p) 7. Fie D un punct oarecare al laturii [AC] a triunghiului ABC. Dac (DE i (DF sunt bisectoarele unghiurilor

! BDC i respectiv ! BDA, E BC i F AB, Demonstrai c BECDAF = BFADCE. (15p) 8. Pe laturile [BC], [AC] i [AB] ale triunghiului ABC se iau punctele D, E i respectiv F astfel nct EF || BC, iar

(DE i (DF s fie bisectoarele unghiurilor ! ADC i ! ADB. a) Demonstrai c D este mijlocul segmentului BC.

F A

EB

C

14

b) Dac AD = 11 cm, BC = 14 cm, AF = 223

cm i CE = 499

cm, aflai natura triunghiului ABC i calculai

perimetrul su. (15p) 9. Fie dreptunghiul ABCD i punctele E, F situate pe (AC), E (AF) astfel nct [AE] [EF] [FC]. Dac

BE AD = {M}, DF BC = {N}, demonstrai c: a) DF || BE; b) punctele M, O i N sunt coliniare.

Testul 3

Partea I (Se vor scrie numai rezultatele)

(8p) 1. n ABC, MN || BC, M (AB), N (AC), AM 4MB 3

= i AN = 12 cm. Atunci AC = .......

(8p) 2. Dac MN || BC, M (AB), N (AC) i AM = 16 cm, MB = 12 cm, AN = 24 cm, atunci NC = ......... cm.

(8p) 3. C (AB) astfel nct CA 2CB 3

= , atunci BCBA

= ..........

(8p) 4. (AD este bisectoarea din A a triunghiului ABC, D BC, AB = 9 cm i AC = 10 cm. Atunci BDBC

= .......

(8p) 5. n ABC, fie MN || BC, M (AB), N (AC) i G centrul de greutate al triunghiului. Dac G MN, atunci

raportul AMAB

= .........

(8p) 6. C (AB), O1 i O2 sunt respectiv mijloacele lui (AC) i (BC). Atunci 1 2O O

AB = ..........

Partea a II-a (Se vor scrie rezolvrile complete) (20p) 7. Pe semidreptele (Ox, (Oy, (Oz, (Ot se iau respectiv punctele A i A, B i B,

C i C, D i D astfel nct AB || AB, BC || BC, CD || CD. Demonstrai c ACD i ACD au unghiurile respectiv congruente.

(22p) 8. n ABC, AB = 8 cm, AC = 10 cm, BC = 15 cm i (AD este bisectoarea !BAC. Calculai BD.

Probleme propuse pentru lucrarea semestrial

Lucrarea 1

1. n triunghiul PQR se construiesc AB || CD || QR (A, C (PQ), B, D (PR)) astfel nct AP = 2 cm, AC = 5 cm, CQ = 3 cm i PR = 30 cm. Calculai lungimea segmentelor PB, BD i DR.

2. n ABC se construiete mediana AM i MN AC. Dac AC = 8 cm i MN = 40 mm, s se afle aria ABC. 3. n patrulaterul oarecare ABCD, M (BD). Dac MN || AB, MP || BC (N (AD), P (CD)), demonstrai c NP ||

AC.

Lucrarea 2

1. n ABC se construiesc MN || PQ || BC (M, P (AB), N, Q (AC)) astfel nct AM = 3 cm, MP = 7 cm, PB = 5 cm i AC = 30 cm. Calculai lungimea segmentelor AN, NQ i CQ.

2. n KLM se consider A mijlocul segmentului [KL] i AA nlime n LAM. Dac LM = 0,7 dm i AA = 3 cm, s

se afle aria KLM. 3. n patrulaterul MNPQ, R (MN). Dac SR || MQ, RT || MP (S (NQ), T (PN)), demonstrai c ST || PQ.

O

C

Cz

yBB

A

Ax

D

D t

15

Lucrarea 3

1. Pe laturile [AB] i [AD] ale ptratului ABCD, n exteriorul su, se construiesc triunghiurile dreptunghice ABE i ADF, m(! BAE) = m(!DAF) = 90 i AC = AE = AF. Demonstrai c:

a) patrulaterul BDFE este trapez isoscel; b) nlimea trapezului BDFE i linia sa mijlocie au aceeai lungime. 2. Punctul O este intersecia diagonalelor paralelogramului ABCD. Dac AD = 20 cm i OM BC, M BC,

OM = 8 cm, calculai aria paralelogramului ABCD. 3. Fie triunghiul ABC i DE || AC, D AB, E BC. a) Dac D (AB) i AD = 8 cm, AB = 12 cm, CE = 6 cm, calculai BD, BE, BC. b) Dac C (BE) i BE = 30 cm, EC = 6 cm, AD = 8 cm, calculai BC, AB, BD.

Lucrarea 4

1. Pe laturile [AB] i [AD] ale rombului ABCD, n exteriorul su, se construiesc triunghiurile dreptunghice ABE i ADF, m(! BAE) = m(!DAF) = 90 i AC = AE = AF. Demonstrai c:

a) patrulaterul BDFE este trapez isoscel; b) centrul rombului, mijlocul segmentului EF i vrful C al rombului sunt trei puncte coliniare. 2. Punctul O este intersecia diagonalelor paralelogramului ABCD. Dac AB = 30 cm i ON CD, N CD,

ON = 6 cm, calculai aria paralelogramului ABCD. 3. Fie triunghiul ABC i DE || AB, D AC, E BC. a) Dac D (AC) i CE = 8 cm, BE = 16 cm, AC = 18 cm, calculai CD, AD, BC. b) Dac C (AD) i AC = 20 cm, AD = 28 cm, BC = 25 cm, calculai CE, BE, CD.

Lucrarea 5

1. Pe o dreapt se iau n ordine punctele A, B, C, D. Se tie c BA 3 CA,BD 7 CD

= = 4 i BC = 10 cm. Calculai lungimile

segmentelor AB, CD, AD. 2. n ABC, BC = 20 cm i nlimea AA = 12 cm. Dac AD este median i G este centrul de greutate, calculai: a) A[ABC]; b) A[ABG]. 3. n MPQ fie R i S mijloacele laturilor [MP], respectiv [MQ]. Dac T este un punct oarecare pe [PQ] i aria

patrulaterului MRTS este de 11 cm2, aflai aria triunghiului MPQ.

Lucrarea 6

1. Pe o dreapt se iau n ordine punctele A, B, C, D astfel nct BC 3 AB 2,BD 4 BC 3

= = . Calculai lungimile segmentelor AB,

BC, AD, dac CD = 6 cm. 2. A[ABC] = 375 cm2 i BC = 30 cm. D i E sunt respectiv mijloacele laturilor [BC] i [AC]. a) Calculai nlimea din A. b) Aflai A[EDC]. 3. Trapezul isoscel ABCD are diagonalele perpendiculare i lungimea liniei mijlocii de 8 cm. Aflai aria trapezului.

16

ASEMNAREA TRIUNGHIURILOR

Definiie: Dou triunghiuri se numesc asemenea dac au laturile respectiv proporionale i unghiurile opuse lor respectiv congruente.

Teorema fundamental a asemnrii: O paralel dus la una din laturile unui triunghi formeaz cu celelalte dou laturi, sau cu prelungirile lor, un

triunghi asemenea cu cel dat.

Cazuri de asemnare a triunghiurilor Teorema: Dac dou triunghiuri sunt asemenea cu un al doilea triunghi, atunci sunt asemenea ntre ele. Teorema 1 (Cazul I de asemnare):

Dou triunghiuri sunt asemenea dac au cte dou unghiuri respectiv congruente. Teorema 2 (Cazul II de asemnare):

Dou triunghiuri sunt asemenea dac au cte dou laturi respectiv proporionale i unghiurile dintre ele congruente.

Teorema 3 (Cazul III de asemnare):

Dou triunghiuri sunt asemenea dac au laturile respectiv proporionale. Scriem ABC ABC i citim: ABC este asemenea cu ABC.

ABC MNP kNPBC

MPAC

MNAB

=== i !A !M; ! B !N; ! C ! P

k reprezint valoarea raportului de asemnare.

Probleme rezolvate 1. Punctul de intersecie a diagonalelor unui trapez determin pe diagonale segmente proporionale.

Demonstraie: DC || AB DOC BOA ABDC

OACO

OBDO

== ; fcnd proporii

derivate DCAB

DCACCO

DBDO

+==

2. Fie trapezul ABCD, AB || CD i MN || AB, M (AD), N (BC). Demonstrai c MP = NQ, unde {P} = MN AC i {Q} = MN BD. Demonstraie:

AB || MN || DC BCBN

ADAM

=

MP || DC (TFA) AMP ADCDCMP

ADAM

= DCNQ

DCMP

= MP=NQ.

NQ || DC (TFA) BNQ BCDDCNQ

BCBN

=

3. n trapezul ABCD, AB || CD, AC BD = {O}, EF || AB, O EF, E AD, F BC. Demonstrai c EO = OF. Calculai EF.

Demonstraie: I. Se poate considera un caz particular al problemei precedente n care P = Q = O.

A BO

CD

A B

NF

CD E

M O

P Q

17

II.

EF || AB || DC BCBF

ADAE

=

EO || DC AEO ADC EO AEDC AD

= DCFO

DCEO

= EO = FO.

OF || DC BFO BCD BCBF

CDFO

=

Din problema 1.AO ABAC AB DC

=+

EO AB AB DC

EODC AB DC AB DC

= =

+ +(I)

AEO ADCEO AODC AC

=

dar EO = OF EF = 2EO EF = DCABDCAB2

+ , deci EF este media armonic a bazelor trapezului.

Observaie: Relaia (I) mai poate fi scris: CD1

AB1

OE1

+= .

4. Mediana unui triunghi mparte orice paralel la baz n dou segmente congruente. Demonstraie: Fie ABC, (AD) median, MN || BC, MN AD = {P}

MP || BD BDMP

ADAP

=

PN || DC DCPN

ADAP

= =BDPN

BDMP MP= PN.

i BD = DC

5. Punctul de intersecie a diagonalelor unui trapez, punctul de intersecie a laturilor neparalele i mijloacele bazelor trapezului sunt coliniare. Demonstraie: n figura alturat trebuie s artm c P, N, O, M sunt coliniare. PO este median n PEF conform problemei 4. PO intersecteaz orice paralel la EF n mijlocul su, deci M este mijlocul lui (AB) i N este mijlocul lui (DC).

Probleme propuse 1. Raportul nlimilor, medianelor i bisectoarelor ce sunt construite din vrfurile corespondente a dou triunghiuri

asemenea este egal cu raportul de asemnare al celor dou triunghiuri.

2. Raportul ariilor a dou triunghiuri asemenea este egal cu ptratul raportului de asemnare.

3. n figura alturat laturile ABC au fost mprite n cte 7 pri congruente astfel nct. MN PQ SR 3AB BC AC 7

= = = iar AMAB

BN 2AB 7

= = etc. S se afle raportul dintre aria hexagonului

MNPQRS i aria ABC. 4. n SAM se consider TQ || AM. Dac ST = 3u, SA = 7u, TQ = 4u i MQ = 5u calculai

lungimea segmentelor SQ, SM i AM.

5. n desenul alturat avem MN || QR. Dac MN = 4n, PN = 3u, PQ = 5u i PR = 8u, calculai lungimea segmentelor MP i QR.

A

M

B D

C

NP

A

F

B

D C E

P

N O

M

M N

P

RQ

TFA

TFA

TFA

TFA

B P Q

R

C

S M

N

A

18

6. Fie trapezul ABCD (AB || CD); AC BD = {O} n care se cunosc AB = 30 cm, CD = 10 cm, AC = 24 cm i BD = 16 cm. S se calculeze: OA, OB, OC i OD.

7. n ABC, MN || BC, M (AB), N (AC), P (BC) i AP MN = {Q}. Demonstrai c: PCBP

QNMQ

= .

8. Demonstrai c mediana DM a DEF determin pe orice paralel la latura EF dou segmente congruente.

9. Se consider a || b. Pe dreapta a se consider punctele A, B, C n aceast ordine i pe dreapta b se iau punctele M,

N, P astfel nct AP BN CM = {O}. Demonstrai c: MPAC

MNBC

NPAB

== .

10. Fie paralelogramul MNPQ cu MN = 16 cm i MQ = 12 cm. Pe diagonala MP se consider un punct A astfel nct

31

APAM

= . Prin punctul A se construiesc AB || MN, B (MQ) i AC || MQ, C (PQ). Calculai perimetrul patrulaterului

ABQC.

11. Fie ABC cu lungimile laturilor de AB = 9 cm, AC = 12 cm i BC = 18 cm. Se construiete [BP bisectoarea !ABC, P (AC) i MP || BC, M (AB). Calculai perimetrul trapezului MBCP.

12. Trapezul MNPQ (MN || PQ), MN = 24 cm, PQ = 8 cm are laturile neparalele MQ = 10 cm i PN = 16 cm, MQ PN = {S}. Calculai perimetrul SPQ.

13. Fie PQR cu lungimile laturilor PQ = 16 cm, QR = 18 cm i PR = 20 cm. Se construiete MN || RQ astfel nct

PMN i trapezul MQRN s aib perimetre egale. Calculai lungimea segmentului MN.

14. Fie KLM n care se construiete AB || LM, A (KL) i B (KM). Prin A se construiete AC || KM, C (LM) i prin B paralela BD || KL (D (LM)). Demonstrai c [LC] [DM].

15. n patrulaterul MNPQ cu MQ = 3PQ i MN = 16 cm se construiete bisectoarea [QS a unghiului MQP (S (MP)), Prin S se duce paralela ST || MN, (T (PN)). Calculai lungimea segmentului ST.

16. n paralelogramul KLMN se construiete o secant oarecare care trece prin vrful L i intersecteaz dreptele MN i KN n punctele S i T. Demonstrai c produsul SMKT = constant.

17. Prin vrful K al KLM se construiete dreapta KP, P LM astfel nct ! LKP !KML. Demonstrai c LK este medie proporional ntre LM i LP.

18. Fie rombul ABCD. O dreapt variabil ce trece prin punctul A intersecteaz (n exteriorul rombului) laturile BC i

CD n punctele P i Q. Demonstrai c AB 4

CQCP +.

19. Fie triunghiul dreptunghic MNP (m(!M) = 90) n care se construiete MM NP. Fie S i T mijloacele segmentelor MM i MP. Demonstrai c ! SNM ! TNP.

20. Prin capetele segmentului AB se construiesc dou segmente paralele (AD = a i BC = b), AD || BC de aceeai parte a dreptei AB; AC BD = {P}, iar segmentul PQ || AD (Q (AB)). Calculai PQ n funcie de a i b.

21. n ABC, AB = 16 cm, BC = 30 cm, AC = 24 cm. Dintr-un punct D(AB) se construiete DE, E(AC) astfel nct DE = 10 cm i m(!ADE) = m(!ACB). Calculai perimetrul ADE i artai c AEB ACD.

22. Triunghiul ABC are perimetrul de 130 cm i lungimile laturilor [AB], [AC] i [BC] invers proporionale cu numerele 0,25; 0,(3) i respectiv 0,1(6). Fie M [AB], N [AC] i P [BC] astfel nct MN || BC, NP || AB i AM = 16 cm.

a) Demonstrai c BN MP; b) Aflai perimetrul patrulaterului MNPB.

23. Demonstrai c n orice trapez dreptunghic ortodiagonal latura perpendicular pe baz este medie geometric a bazelor.

24. Fie ABC, AB = AC, m(! BAC) = 36 i (BD bisectoarea !ABC, D (AC). Demonstrai c: a) AD = BC; b) AC2 BC2 = AC BC.

19

25. n triunghiul ABC, fie M (AC) i D (BM, M (BD), BM = 2 MD, CD || AB i N mijlocul segmentului [AB] astfel nct 6MN = AB. Demonstrai c DN NC.

26. n ABC, T este un punct al medianei (AD). O dreapt d care trece prin T intersecteaz (AB) n E i (AC) n F.

Dac kTDAT

= demonstrai c FC EB 2AF EA k

+ = .

27. Pe laturile !XOY se iau punctele A, B (OX; C, D (OY astfel nct OA = 4 cm, OB = 15 cm, OC = 5 cm,

OD = 12 cm. Demonstrai c m(!OCB)=m(!OAD); m(!OAC)=m(!ODB); m(!OBC)=m(!ODA).

28. n paralelogramul ABCD, N (AC) astfel nct NC = 41

AC.

BN DC = {M}. Demonstrai c AB = 3MC i calculai valoarea raportului ]BCN[

]MCN[

AA

.

29. n trapezul ABCD, AB || CD, AB = 25 cm, AD = DC = 10 cm. Construim MN || AB, 52

ADAM

= . MN AC =

= {P}, MN BD = {Q}. Calculai MN i PQ.

30. Fie ABC, H ortocentrul, AD nlime, D (BC). Demonstrai c ADHD = BDDC. (teorema generalizat a nlimii).

31. Se d patrulaterul convex ABCD cu m(!ADB) = m(!ACB) i AC BD = {M}. Demonstrai c:

a) MAMC = MBMD; b) m(!ACD) = m(!ABD); c) CDBCADAB

MCMA

= i DCADBCAB

MDMB

= .

32. n paralelogramul ABCD lum E, F (DC) astfel nct DE = EF = FC. BE AC = {M}. BF AC = {N}. Ct la

sut din AC reprezint MN?

33. Pe ipotenuza (BC) a ABC se ia punctul D astfel nct AB = BD. n A se construiete perpendiculara pe AD care intersecteaz pe BC n E. Demonstrai c:

a) ABE este isoscel; b) AC2 = ECDC; c) AB2 + AC2 = BC2.

34. n paralelogramul ABCD se duce MN || AB, M (AD) i N (BC). Fie MP AB, P AB i NQ CD, Q CD. Demonstrai c dac AC PQ = {R}, atunci punctele M, R i N sunt coliniare.

35. n ABC, m(!A) = 2m(! B). Dac (AD este bisectoarea unghiului BAC, cu D BC, demonstrai c AC2 = BCDC.

36. n ABC, AD BC (D BC), BE AC (E (AC). Demonstrai c ABC asemenea cu DEC, (Dreapta DE se numete antiparalel fa de dreapta AB).

37. n patrulaterul MNPQ se consider MN = 13, 5 cm, NP = 6 cm, PQ = 4 cm, MQ = 6 cm i MP = 9 cm. Demonstrai c [MP este bisectoarea unghiului !QMN.

38. n ABC se construiete prin punctul P al bazei BC o paralel la mediana AD, care se intersecteaz cu laturile AB i AC n N, respectiv M. Demonstrai c PM + PN = constant.

39. O secant intersecteaz laturile unui unghi XOY de msur 120 n A i B, iar bisectoarea lui n C. Prin C se duce paralela la AO care intersecteaz pe OY n D.

a) Stabilii natura OCD. b) Demonstrai c 1 1 1OC OB OA

= + .

O.M., jud. Alba, Etapa local, 2007 40. Fie ABCD un paralelogram i punctele E, F i G respectiv, interseciile perpendicularei din B pe AC cu dreptele

AC, DC, AD. S se arate c 2BE EF EG= . O.M., jud. Olt, Etapa local, 2007, Eduard Buzdugan

41. Fie ABCD trapez, AD CD i AC BD = {O}. Ducem prin O, MN AD, unde M AB, N CD i PQ BC, unde P AB, Q CD. Artai c CN BM = AP DQ.

O.M., jud. Arge, Etapa local, 2007

20

42. Se d ABC n care BB' este bisectoarea unghiului ABC, B' AC. Fie B'D AB i B'E BC, cu D BC i E AB.

a) Artai c BDB'E este romb. b) Demonstrai c: 1 1 1'AB BC B D

+ = .

O.M., jud. Braov, Etapa local, 2007, Dorina Mateia 43. Fie ABCD paralelogram. Bisectoarea unghiului A intersecteaz diagonala BD n M, iar bisectoarea unghiului D

intersecteaz diagonala AC n N. Demonstrai c MN AD. O.M., jud. Tulcea, Etapa local, 2007

44. Fie ABCD un patrulater convex. Paralela prin D la BC intersecteaz AC n M, iar paralela prin C la AD

intersecteaz BD n N. Demonstrai c AB MN. O.M., jud. Harghita, Etapa local, 2008, Ionescu Doina

45. Se consider paralelogramul ABCD i punctele M = mijlocul lui [BC] i E [AB] cu AE = 2EB. Fie AM BD =

= {N}, DE AC = {F}, MF AD = {P}. Demonstrai c NPDC este trapez. O.M., jud. Prahova, Etapa local, 2008, prof. Claudiu Militaru

46. n triunghiul ABC, D (BC). B (DE), C (DF) astfel nct BD = 3BE i DC = 3CF, iar punctele M, N sunt

simetricele punctului A fa de B i respectiv C. S se arate c ME, NF i AD sunt concurente. Concursul interjudeean de matematic Mathematica modus vivendi, 2008, prof. Irinel Definescu

Teste recapitulative

Testul 1

Partea I (Se vor scrie numai rezultatele)

1. Dac M (AB) astfel nct AM = 18 cm i 23

AMMB

= , atunci AB =

.. cm. 2. Segmentul AB = 15 cm, se mparte n dou segmente proporionale cu nr. 2 i 3. Lungimea segmentului mai mic

este de .. cm. 3. n ABC, M (AB), N (AC), MN || BC. Dac AM = 3 cm, MB = 7 cm, AN = 4 cm, atunci NC = cm. 4. n ABC, M (AB), N (AC), AM = 4 cm, AB = 8 cm, BC = 6 cm. Dac MN || BC, atunci MN = cm.

5. Dac ABC DEF, AB = 8 cm, BC = 6 cm, DE = 6 cm, atunci EF = . cm. 6. n paralelogramul ABCD, AB = 10 cm i AC BD = {O}. Dac M este mijlocul lui BC, atunci OM =. cm.

Partea a II-a (Se vor scrie rezolvrile complete)

7. n paralelogramul ABCD, avem AB = 32 cm i BC = 24 cm, M (AC) astfel nct 31

MCAM

= , MP || AB, P (BC)

i MQ || BC, Q (AB). Calculai perimetrul paralelogramului MPBQ. 8. n ABC, MN || BC, M (AB), N (AC), BN CM = {O}, AO BC = {P}. Demonstrai c P este mijlocul lui (BC).

9. Fie ABC cu lungimile laturilor de AB = 12 cm, AC = 15 cm i BC = 24 cm. Se construiete [BP bisectoarea !ABC, P (AC) i PQ || AB, Q (BC). Calculai perimetrul trapezului APQB.

Testul 2 Partea I (Se vor scrie numai rezultatele) (8p) 1. n ABC, E (AB), F (AC) i EF || BC. Dac AE = 8 cm, AB = 12 cm i AF = 10 cm atunci AC = cm.

(8p) 2. Dac n ABC, MN || AB, M (AC), N (BC), AC = 12 cm, BC = 16 cm i MC 3AC 4

= atunci NC = .......cm,

AM = ...........cm. (8p) 3. n MNP, EF || NP, E (MN), F (MP), MA median, MA EF = {P}, EF = 12 cm atunci PF = ..cm. (8p) 4. n trapezul ABCD, AB || CD, AB = 25 cm, CD = 10 cm, AC = 21 cm i AC BD = {O}. Segmentul AO are

cm.

21

(8p) 5. Dac ABCD este un trapez isoscel, AB || CD, n care AC BD i AB = 12 cm, DC = 8 cm, AD BC = {M} atunci nlimea din M a MAB are cm.

(8p) 6. n paralelogramul ABCD, M este mijlocul lui (DC), BM AC = {N} atunci =ACCN

..

Partea a II-a (Se vor scrie rezolvrile complete) (14p) 7. ABCD este un patrulater ortogonal. Demonstrai c patrulaterul determinat de mijloacele laturilor lui ABCD

este dreptunghi. (14p) 8. n ABC, AD este median, E (DC) i prin E construim o paralel la median care intersecteaz pe AC n G

i pe BA n F. Demonstrai c BECE

EFGE

= .

(14p) 9. n ABC, (AD este bisectoarea ! BAC, D (BC), DE || AB, E(AC). Calculai DE tiind c AB = 10 cm i AC = 15 cm.

Probleme pregtitoare pentru olimpiade 1. n ABC, m(! C) este media aritmetic a msurilor celorlalte dou unghiuri, iar m(!A) este ct m(! B) i nc jumtate din m(! C). Pe nlimea AD, D BC, se consider punctul E. Demonstrai c BE AC dac i numai dac 2DE = AC.

2. ntr-un ABC, m(! B) este media aritmetic a msurilor unghiurilor !A i ! C, nlimea AE (E BC) i bisectoarea [BD a unghiului !ABC, D AC, se intersecteaz n M. Demonstrai c 3BM = 2AE.

3. Fie ABC cu AB = AC. Construim AD BC, D BC i bisectoarea (BE a !ABC, E (AC). BE AD = {F}. Dac m(! BAD) = a, determinai valoarea lui a astfel nct AF = FE. Pentru valoarea gsit demonstrai c BE = 2AD.

4. Punctele A, B, C sunt coliniare cu B (AC) i AC = 3 BC. Pe perpendiculara n B pe AC se ia punctul D astfel

nct 3DB = 2AC. Dac E este mijlocul segmentului BD, iar F (AE, E (AF) s se demonstreze: a) AF CD; b) FDE DBC dac i numai dac E este mijlocul segmentului AF.

5. Pe mediatoarea segmentului [AB], pe care-l intersecteaz n O, se iau punctele C i D, D (OC) cu DC = 2DO, iar pe (AD se consider punctul F, D (AF) astfel nct 3DF = 2AF. Dac perpendicularele n A i F pe AC, respectiv FC se intersecteaz n M, atunci AF MB.

6. n ABC, M (AB), MN || BC, N (AC), BN MC = {O} i P este mijlocul lui (BC). a) Demonstrai c A, O, P sunt coliniare; b) Fie d || BC, A d, BN d = {D} i CM d = {E}. Demonstrai c BCDE este paralelogram dac i numai dac

31

ABAM

= .

7. Fie punctul A egal deprtat de punctele distincte B i C. Din C se duce perpendiculara CD pe AB, D AB. Se prelungete CD cu un anumit segment DM, [DM] [CD]. S se afle natura triunghiului ABC atunci:

a) Piciorul perpendicularei din M pe BC coincide cu B; b) MA || BC.

8. n triunghiul ascuitunghic ABC se construiete BE AC (E AC) i EF BC (F BC). Fie D AB astfel nct !ACD i !ACB s fie complementare.

a) Dac CD BE = {I} demonstrai c EF este median n triunghiul CEI; b) Dac M este mijlocul lui [BC] demonstrai c CI EM.

9. n trapezul ABCD, AB || CD, m(!DAC) = m(!ABD). Demonstrai c DCAB1

DADB 2

+=

.

10. n exteriorul ABC ascuitunghic se construiesc ptratele ABMN i ACPQ. S se arate c MP || BC dac i numai dac (AB) (AC).

11. Pe nlimea AD (D BC) a triunghiului echilateral ABC se construiete, de aceeai parte cu B, triunghiul dreptunghic isoscel ADE (m(!D) = 90). nlimea din E a triunghiului AEC intersecteaz pe AD n I, iar bisectoarea unghiului ACE intersecteaz pe AB, EI, AD respectiv n J, K, L. Demonstrai c:

a) triunghiul DIJ este isoscel; b) triunghiul IKL este echilateral; c) patrulaterul AEBI este trapez isoscel.

22

12. Simetricul triunghiului dreptunghic ABC (m(!ABC)=90) n raport cu un punct O din exteriorul triunghiului ABC este MNP. tiind c AQ MN, AQ =10 cm, AABMN = 80 cm2, PD BC, PD = 13 cm i ABCNP = 156 cm2, s se afle aria triunghiului ABC.

13. n triunghiul scalen ABC, m(! B) = 60, (BD este bisectoare unghiului !ABC, D AC. Fie E BC astfel nct AE BD, AE BD = {M} i F (BD astfel nct !AEF ! CEF. Dac {S} = EF AC, demonstrai c:

a) [BC]

BF 2 ;2h 3

,unde h[BC] este lungimea nlimii corespunztoare laturii [BC] a triunghiului ABC;

b) .32

hBFdac,1

SACS

ADCD,2

hBFdac,1

SACS

ADCD

]BC[]BC[==+==

14. n isoscel ABC ([AB] [AC]), AB = 27 cm, BC = 18 cm se construiete bisectoarea [BM a unghiului ABC, M (AC).

a) Demonstrai c MB < BCAB . b) Dac MN||AB, N(BC), s se calculeaz lungimea segmentului [MN].

15. Fie mediana (AM) a ABC isoscel, cu m(! BAC) = 120. Se consider un punct O, iar pe semidreapta opuse semidreptei (AC un punct P. Fie OP AB = {M}. Demonstrai c:

a) AN < AP; b) AO = AP ANAP-AN

.

16. ntr-un trapez dreptunghic una din diagonale mparte trapezul n dou triunghiuri, din care unul este echilateral. S se afle raportul n care aceast diagonal mparte cealalt diagonal a trapezului.

17. Fie M un punct al laturii (AC) a triunghiului ABC, D (BM astfel nct M (BD) i BM = 2MD. Dac N este mijlocul laturii [AB] i este coliniar cu M i punctul de intersecie al dreptelor AD i BC, demonstrai c:

a) CD || AB; b) AB = 6MN dac i numai dac AD BC; c) ABC este isoscel (AC = BC) dac i numai dac AD AB.

18. n triunghiul isoscel ABC (AB = AC), [AD este bisectoarea unghiului ! BAC, D [BC] i punctul P [AD] astfel nct AP = 2PD. Dac F este simetricul punctului B fa de P, iar M (BC, BM = 4BD, s se demonstreze:

a) Punctele A, F, M sunt coliniare; b) 3BF = 2AM; c) AB AM 3AF = 2AD.

19. ntr-un paralelogram ABCD, AC BD = {O}. Fie M mijlocul lui (AB). Perpendiculara dus din M pe AB

intersecteaz diagonalele BD i AC n P i Q. Fie OH AB, H AB. Demonstrai c OH2

MQ1

MP1

=+ .

20. Fie ABCD un paralelogram, Bisectoarea !ADC intersecteaz dreapta BC n E, iar mediatoarea laturii AD intersecteaz dreapta DE n M. Fie {F} = AM BC. S se arate c:

a) DE = AF; b) AD AB = DE DM. Olimpiada Naional - 2005, Daniela i Marius Lobaz - Timioara

21. Fie ABCD un trapez cu bazele AB i CD, avnd diagonalele perpendiculare n O. Pe semidreptele (OA i (OB se consider M i respectiv N astfel nct !ANC i ! BMD s fie drepte. Notnd cu E mijlocul segmentului MN. S se arate c: a) OMN si OBA sunt asemenea. b) Dreapta OE este perpendicular pe dreapta AB.

Olimpiada Naional 2005 , Claudiu tefan Popa

22. Fie ABCD un paralelogram n care raportul dintre AD i perimetrul su este 1

10. Se consider punctele E i

F (DC) astfel nct [AD] [DE] i [BC] [CF]. Dac AE BF = {M} demonstrai c AMB este triunghi dreptunghic. 23. Se consider ABC n care M este mijlocul segmentului [AB], iar D este piciorul bisectoarei din B. S se arate c dac MD BD, atunci | AB | 3 | BC |= . 24. Fie AB i CD dou drepte concurente, AB CD = {O}. Fie [OP bisectoarea !AOC, [OT bisectoarea !POB i [OR bisectoarea !TOD.

a) dac m(!POR)=140, aflai m(!AOC) i m(!AOD);

b) dac m(!POR)=25, aflai m(!AOC) i m(!AOD). O.M., Brila 2006, Stnic Nicolae

23

25. Fie B[AC] i D, E dou puncte de o parte i de alta a dreptei AC, astfel nct triunghiurile ABD i BCE s fie echilaterale. Dac perpendiculara din D pe AB taie EC n P, perpendiculara din E pe AB taie AD n F i P,B,F coliniare, demonstrai c AD=BC. Axioma nr. 23, 2007, Stnic Nicolae 26. Fie S i T dou puncte n interiorul triunghiul ABC dreptunghic n A, astfel nct ASBS, ATBT. Dac STBC, demonstrai c AS=DT, unde D este piciorul perpendicularei din A pe [BC].

27. Fie paralelogramul ABCD , ( ) 90m BAD &! . Punctele M i Q se afl pe semidreptele (CB i respectiv (CD astfel nct DAQ DAC! ! , .BAM BAC! ! Dac AQ AM= , artai c .CQ CM=

O.L., Brila, 2007, Stnic Nicolae

28. n triunghiul ascutitunghic ABC, AB