transfere de caldura si de masa

8/20/2019 transfere de caldura si de masa

1/200

Dr ing LUCIAN GAVRIL

Editura ALMA MATER

BACĂU 2000

Vol. II

TRANSFER DE CĂLDUR Ă ŞI DE MASĂ


2/200

UNIVERSITATEA BAC Ă U

UNIVERSITATEA din BACĂU

FACULTATEA DE INGINERIE

Dr ing LUCIAN GAVRIL

FENOMENEDE

TRANSFERVol. II

TRANSFER DE C Ă LDUR Ă Ş I DE MAS Ă

Editura ALMA MATER

Bacău 2000


3/200

Copyright © 2000 Lucian Gavrilă

Toate drepturile rezervate. Nici o parte a acestei lucr ări nu poate fireprodusă sau transmisă sub nici o formă şi prin nici un fel de mijloc –electronic sau mecanic – inclusiv prin fotocopiere, înregistrare magnetică sau prin alt sistem de stocare şi redare a informaţiei, f ăr ă permisiunea scrisă adeţinătorului de Copyright.

Referenţi ştiinţifici:

• Prof. dr. ing. STELIAN PETRESCU, Facultatea de Chimie

Industrială, Universitatea Tehnică “Gh. Asachi” Iaşi

• Prof. dr. ing. ABDELKRIM AZZOUZ, Facultatea de Inginerie,

Universitatea Bacău

Lucrarea “FENOMENE DE TRANSFER ” a fost discutată şi avizată

în cadrul Catedrei de Chimia ş

i Tehnologia Produselor Alimentare –Facultatea de Inginerie, Universitatea Bacău.

Tehnoredactare computerizată, grafica şi coperta:Lucian Gavrilă

Rotaprint executat la Universitatea Bacău, Str. Spiru Haret nr. 8


4/200

I

CUPRINS

4. TRANSFERUL DE CĂLDURĂ 14.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 14.1.1. Transferul de căldur ă şi principiile termodinamicii 14.1.2. Noţiuni fundamentale 34.1.3. Mecanisme de transmitere a căldurii 44.1.4. Conceptul de rezistenţă termică 64.2. TRANSFER DE CĂLDURĂ PRIN CONDUCTIVITATE 6

4.2.1. Ecuaţiile diferenţiale ale conductivităţii termice 64.2.2. Distribuţia temperaturilor într-un mediu imobil 94.2.3. Coeficientul de conductivitate termică 104.2.3.1. Conductivitatea termică a gazelor 114.2.3.2. Conductivitatea termică a lichidelor 124.2.3.3. Conductivitatea termică a materialelor solide 144.2.4. Transfer termic conductiv în regim staţionar 154.2.4.1. Transfer termic prin pereţi plani simpli 164.2.4.2. Transfer termic prin pereţi plani compuşi 184.2.4.3. Transfer termic prin pereţi cilindrici simpli 194.2.4.4. Transfer termic prin pereţi cilindrici compuşi 214.2.5. Transfer termic conductiv în regim nestaţionar 22

4.3. TRANSFER DE CĂLDURĂ PRIN RADIAŢIE 234.3.1. Noţiuni fundamentale 234.3.2. Legile radiaţiei termice 254.3.3. Transfer termic radiant între corpuri solide 264.3.4. Radiaţia gazelor şi vaporilor 274.4. TRANSFER DE CĂLDURĂ PRIN CONVECŢIE 284.4.1. Stratul limită termic 284.4.2. Coeficientul individual de transfer termic 294.4.3. Ecuaţia diferenţială a transferului termic convectiv 324.4.4. Ecuaţii criteriale ale transferului termic convectiv 344.4.5. Determinarea coeficienţilor individuali de transfer termic 364.4.5.1. Transfer termic la curgerea prin conducte şi canale 374.4.5.2. Transfer termic la curgerea peste fascicule tubulare 404.4.5.3. Transfer termic la curgerea pe suprafeţe plane 424.4.5.4. Transfer termic la amestecarea lichidelor cu agitatoare 434.4.5.5. Transfer termic la fierberea lichidelor 444.4.5.6. Transfer termic la condensarea vaporilor 474.4.5.7. Valori orientative ale coeficienţilor individuali de transfer termic 584.5. TRANSFERUL GLOBAL DE CĂLDURĂ 594.5.1. Transfer global de căldur ă indirect între două fluide 614.5.1.1. Transfer global de căldur ă la potenţial termic constant 61


5/200

II

4.5.1.2. Transfer global de căldur ă la potenţial termic variabil 644.5.1.2.1. Transfer termic la potenţial variabil în regim staţionar 674.5.1.2.2. Transfer termic la potenţial variabil în regim nestaţionar 694.5.1.2.2.1. Variaţia temperaturilor numai în timp 695.4.1.2.2.2. Variaţia temperaturilor în timp şi în spaţiu 724.5.2. Transfer global de căldur ă direct între două fluide 744.5.2.1. Transfer termic direct f ăr ă schimbarea stării de agregare 754.5.2.2. Transfer termic direct cu schimbarea stării de agregare 764.5.3. Valori orientative ale coeficientului global de transfer termic 794.5.4. Analiza coeficientului global de transfer termic 824.6. BIBLIOGRAFIE RECOMANDATĂ PENTRU APROFUNDARE 86

5. TRANSFERUL DE MASĂ 875.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 875.1.1. Exprimarea compoziţiei fazelor 875.1.2. Echilibrul între faze 905.1.2.1. Legea fazelor a lui Gibbs 915.1.2.2. Legea lui Raoult 935.1.2.3. Legea lui Henry 975.1.2.4. Legea de repartiţie a lui Nernst 995.2. MĂRIMI ŞI ECUAŢII FUNDAMENTALE ALE TRANSFERULUI

DE MASĂ 1005.2.1. Flux masic, flux masic unitar 1005.2.2. Mecanisme de transfer de masă 1015.2.3. Difuziunea molecular ă ordinar ă. Legea I a lui Fick 1025.2.4. Coeficientul de difuziune 1035.2.4.1. Coeficienţi de difuziune în gaze 1045.2.4.2. Coeficienţi de difuziune în lichide 1085.2.4.3. Coeficienţi de difuziune în solide 1115.2.5. Difuziunea turbulentă 1145.2.6. Difuziunea convectivă. Ecuaţia diferenţială a difuziunii 1155.2.7. Ecuaţii criteriale ale difuziunii 1195.3. DIFUZIUNEA ÎNTR-O SINGURĂ FAZĂ 1255.3.1. Difuziunea într-un amestec binar de gaze 1255.3.2. Procedee de separare bazate pe difuziunea într-o singur ă fază 126

5.3.2.1. Difuziunea molecular ă sub gradient termic 1265.3.2.2. Difuziunea molecular ă sub gradient de presiune 1275.3.2.3. Difuziunea de masă 1295.4. DIFUZIUNEA ÎNTRE DOUĂ FAZE 1305.4.1. Mecanismul transferului de masă interfazic 1325.4.1.1. Teoria celor două filme 1325.4.1.2. Teoria reînnoirii suprafeţei 1335.4.1.3. Teoria reînnoirii întâmplătoare a suprafeţei 1355.4.1.4. Teoria film – penetraţie 1365.4.2. Coeficienţi individuali de transfer de masă 138


6/200

III

5.4.2.1. Coeficienţi individuali de transfer în coloane cu pereţi udaţi 1415.4.2.2. Coeficienţi individuali de transfer în coloane cu umplutur ă 1425.4.2.3. Coeficienţi individuali de transfer în coloane cu talere 1445.4.2.4. Coeficienţi individuali de transfer în coloane cu barbotare 1475.4.2.5. Coeficienţi individuali de transfer în sisteme gaz – lichid prevăzute cu

agitare mecanică 1485.4.2.6. Coeficienţi individuali de transfer în sisteme gaz – solid 1495.4.3. Transferul global de masă 1525.4.3.1. Transfer global de masă la potenţial constant 1535.4.3.2. Transfer global de masă la potenţial variabil 1565.4.3.3. Calculul potenţialului global mediu al transferului de masă 1585.5. DIMENSIONAREA TEHNOLOGICĂ A UTILAJELOR DE TRANSFER

DE MASĂ 1625.5.1. Calculul diametrului coloanelor de transfer de masă 1635.5.2. Calculul înălţimii coloanelor de transfer de masă 1635.5.2.1. Calculul înălţimii coloanelor cu contact în trepte 1645.5.2.2. Calculul înălţimii coloanelor cu contact diferenţial 1665.5.2.2.1. Calculul înălţimii din suprafaţa de transfer de masă 1665.5.2.2.2. Calculul înălţimii ca produs între înălţimea unităţii de transfer (IUT) şi

numărul unităţilor de transfer (NUT) 1675.5.2.2.3. Calculul înălţimii ca produs între numărul de trepte teoretice de

contact (NT) şi înălţimea echivalentă a unei trepte teoretice de transfer(IETT) 168

5.6. BIBLIOGRAFIE RECOMANDATĂ PENTRU APROFUNDARE 169

6. ANALOGIA ÎNTRE TRANSFERUL DE IMPULS, CĂLDURĂ ŞI MASĂ 1716.1. TRANSFERUL SIMULTAN DE IMPULS, CĂLDURĂ ŞI MASĂ 1716.2. ELEMENTE COMUNE FENOMENELOR DE TRANSFER 1736.3. MECANISME DE TRANSFER 1756.3.1. Transfer prin mecanism radiant 1756.3.2. Transfer prin mecanism molecular 1756.3.3. Transfer prin mecanism convectiv 1786.3.4. Transfer interfazic 1796.4. TRANSFER MOLECULAR, CONVECTIV ŞI TURBULENT 1796.5. ANALOGIA FENOMENELOR DE TRANSFER 182

6.5.1. Analogia Reynolds 1826.5.2. Analogia Prandtl – Taylor 1846.5.3. Analogia von Kármán 1876.5.4. Analogia Chilton – Colburn 1886.6. SISTEMATIZAREA CRITERIILOR DE SIMILITUDINE 1896.7. BIBLIOGRAFIE RECOMANDATĂ PENTRU APROFUNDARE 1917. BIBLIOGRAFIE GENERALĂ 193


7/200

TRANSFERUL DE CĂLDUR Ă

1

4. TRANSFERUL DE CĂLDUR Ă

4.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Transferul de căldur ă este un fenomen complex, reprezentat deschimbul de energie termică între două corpuri solide, două regiuni aleaceluiaşi corp, două fluide, ca rezultat al existenţei unei diferenţe detemperatur ă (potenţial termic) între acestea. Existenţa unui potenţial termicdetermină transferul spontan de energie de la corpul cu temperatura mai

ridicată la corpul cu temperatura mai scăzută.Dacă în cazul termocineticii şi termodinamicii clasice se tratează procese şi stări de echilibru sau procese de transformare a energiei termiceîn energie mecanică, transferul de căldur ă se ocupă cu procese dinamice, încare energia termică la anumiţi parametri se transformă tot în energietermică, dar la alţi parametri. Legile transferului termic stau la bazaconceperii şi exploatării unui număr mare de procese, aparate şi instalaţiiindustriale, caracteristice nu numai industriei alimentare.

Cantitativ, transferul de căldur ă decurge conform principiuluiconservării energiei, principiu exprimabil pentru sistemele izolate prinurmătoarea ecuaţie generală de bilanţ termic:

primit cedat QQ = (4.1)Ecuaţia (4.1) exprimă faptul că într-un sistem izolat, în regim

staţionar, cantitatea de căldur ă cedată de corpul cu temperatura mai ridicată este egală cu cantitatea de căldur ă primită de corpul cu temperatura maiscăzută. Formularea este valabilă în cazul absenţei din sistem a unor sursede căldur ă: reacţii chimice, biochimice sau nucleare. În cazul sistemelorneizolate, ecuaţia (4.1) capătă forma:

pierderi primit cedat QQQ += (4.2)

în care ultimul termen din membrul drept reprezintă cantitatea de căldur ă schimbată cu mediul înconjur ător.

4.1.1. Transferul de căldură şi principiile termodinamicii

Principiul întâi al termodinamicii (principiul conservării energiei) poate fi scris sub forma:

0=∑ idE (4.3)


8/200

FENOMENE DE TRANSFER

2

adică “suma variaţiilor tuturor energiilor într-un sistem închis este nulă”. Încazul în care energiile transferate sunt energia internă şi energia mecanică,ecuaţia (4.3) devine:

dLdU dQ += (4.4)respectiv “căldura schimbată de sistem cu mediul exterior este dată de sumavariaţiei energiei interne şi a lucrului mecanic efectuat în interacţiuneadintre sistem şi mediu”. Căldura şi lucrul mecanic nefiind parametri de stare(diferenţiale totale exacte), sunt funcţii de succesiunea stărilor intermediareîntre stare iniţială şi cea finală a procesului. Ca urmare, variaţia energieitermice într-un proces termodinamic va fi o funcţie de proces, respectiv detransformare.

Entalpia este un parametru de stare definit de expresia: PV U i += (4.5)

Diferenţiind (4.5) şi înlocuind în (4.4), principiul I se poate scrie:VdP didQ −= (4.6)

Cu ajutorul relaţiei (4.6) căldura poate fi definită ca parametru destare în procesele izobare ( P = ct.) şi izobar – izoterme ( P = ct. ; T = ct.).Astfel de procese sunt procesele de transformare de fază: topirea, fierberea,sublimarea, cristalizarea, condensarea. Cantitatea de căldur ă schimbată înaceste procese poate fi exprimată funcţie de entalpia iniţială (i1) şi cea finală (i2) a sistemului:

( ) r iiQ T P =−= 12, (4.7)r reprezentând căldura specifică (latentă) a transformării de fază.

Principiul al doilea al termodinamicii (principiul creşteriientropiei) stabileşte sensul transformărilor spontane. Conform acestui

principiu, “orice proces spontan tinde să se petreacă de la o stare mai puţin probabilă la una mai probabilă”. Parametrul de stare care determină sensultransformării de energie este entropia (S ):

dQT

dS 1

≥ (4.8)

semnul “=” fiind expresia proceselor reversibile, iar semnul “>” fiind

expresia proceselor ireversibile. Deoarece T > 0, dQ şi dS au întotdeaunaacelaşi semn: ca urmare, acumularea de căldur ă decurge cu creştereaentropiei, iar cedarea căldurii decurge cu scăderea entropiei sistemului.

Principul al treilea al termodinamicii (principiul lui Nernst) arată că entropia tinde către o valoare finită când temperatura tinde către zero:

0lim0

=Δ→

S T

(4.9)

O consecinţă importantă a acestui principiu este inaccesibilitateatemperaturii de zero absolut (0 K).


9/200


3

4.1.2. Noţiuni fundamentale

În transferul de căldur ă nu se urmăreşte atingerea unui echilibrutermic, ci existenţa în permanenţă a unei for ţe motrice de transfer,determinată de diferenţa de temperatur ă dintre două puncte.

Temperatura este un parametru scalar de stare, definit de funcţia:),,,( t z y x f T = (4.10)

funcţie denumită ecuaţia câmpului de temperatură în regim termicnestaţionar. În regim staţionar, ecuaţia câmpului de temperatur ă are forma:

),,( z y x f T = (4.11)

Izoterma reprezintă totalitatea punctelor care la timpul t au aceeaşitemperatur ă. Între două izoterme vecine, T şi T + ΔT , la timpul t , variaţiatemperaturii pe diferite distanţe Δl 1, Δl 2, ... va fi o mărime variabilă deforma:

...;;...;;21 nl

T

l

T

l

T

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ (4.12)

a cărei valoare maximă se obţine pe direcţia normală, Δl n (fig. 4.1). Limitaraportului dintre variaţia temperaturii şi distanţa normală la izotermeleconsiderate poartă denumirea de gradient de temperatură:

nnl l

T

l

T

n

∂

∂=

Δ

Δ

→Δ 0

lim (4.13)

Gradientul de temperatur ă este o mărime vectorială, care se poatescrie:

( ) T k k

T j

y

T i

x

T l

l

T T n

n

∇=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂=

rrr

r

0,grad (4.14)

Deoarece gradientul detemperatur ă este un vector al căruisens corespunde creşterii detemperatur ă, gradientul cu semnnegativ va reprezenta o cădere de

temperatur ă. Dimensional:[ ] [ ]11 grad −− ⋅=⋅Θ= m K LT (4.15)

Cantitatea de căldur ă transferată în unitatea de timp

poartă denumirea de debit (flux) decăldură:

T

T + ΔT

Δln

Δl2 Δl3

P0

P2

P3

P1

Fig. 4.1. Varia ţ ia temperaturii între

două izoterme


10/200


4

dt

dQ

t

QQ

t s =

ΔΔ=

→0lim (4.16)

În regim termic staţionar, fluxul termic este constant în timp, putându-se astfel defini debitul (fluxul) mediu:

t

QQ s

Δ

Δ= (4.17)

Fluxul termic unitar (solicitarea termică) este definită ca fiindcantitatea de căldur ă transferată în unitatea de timp prin unitatea desuprafaţă:

dt dA

Qd

dt

dQ

dA

d

dA

dQ

q s

⋅=⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

==

2

(4.18)Pentru condiţii de staţionaritate a procesului de transfer termic se

poate defini un flux unitar mediu (solicitare termică medie):

t A

Qq

Δ⋅Δ

Δ= (4.19)

Cantitatea de căldur ă având dimensiunile unei energii, fluxul termiceste o energie raportată la unitatea de timp, măsurându-se în J/s = W. Fluxultermic unitar se va măsura corespunzător în J/(m2.s) = W/m2.

4.1.3. Mecanisme de transmitere a căldurii

Există trei modalităţi de transmitere a căldurii: prin conducţie, prinradiaţie şi prin convecţie. În majoritatea cazurilor întâlnite în practică,transmiterea căldurii se realizează simultan prin două sau chiar prin toatetrei mecanismele amintite mai sus. Întotdeauna transmiterea căldurii princonvecţie este însoţită de un transfer conductiv de căldur ă. Pierderea decăldur ă a unui corp cald în mediul înconjur ător se realizează prin toate celetrei mecanisme de transfer. În unele cazuri, deşi căldura se transfer ă printoate cele trei mecanisme, unul dintre ele deţine ponderea cea mai mare întransferul global, acest mecanism fiind mecanismul determinant de transfer

termic.Transferul de căldură conductiv (conducţie, conductivitate)

apare în medii imobile (solide) sau f ăr ă mişcări aparente (fluide). Transferulde căldur ă se realizează din aproape în aproape în interiorul unui corp sauîntre două corpuri aflate în contact nemijlocit, f ăr ă o deplasare aparentă desubstanţă. Transferul se realizează prin intermediul unor purtători de căldur ă microscopici: molecule (în fluide), atomi şi ioni (în reţele cristaline),electroni liberi (în reţele metalice). Purtătorii de căldur ă din zona aflată latemperatura mai ridicată sunt caracterizaţi printr-o energie cinetică mai


11/200


12/200


6

transferului de impuls. Deoarece la limita între fluidul în curgere şi conturulsolid vitezele sunt mici, tinzând spre zero, în această zonă devine importanttransferul termic conductiv (din aproape în aproape, prin mecanismmolecular).

4.1.4. Conceptul de rezistenţă termică

Dacă două sisteme sunt analoge (respectă ecuaţii similare care aucondiţii la limită similare), ecuaţiile care descriu comportarea unui sistem

pot fi convertite în ecuaţiile celuilalt sistem prin simpla substituire asimbolurilor variabilelor. Astfel, legea lui Ohm care exprimă legătura dintreintensitatea curentului electric I , diferenţa de tensiune (potenţial) ΔU şirezistenţa electrică Re, are o formă analogă în transferul termic, prin relaţiadintre fluxul termic unitar q, diferenţa de temperatur ă (potenţialul termic)ΔT şi o mărime denumită rezistenţă termică R:

R

T q

R

U I

e

Δ=

Δ= ; (4.20)

unde R se exprimă în (m2.K)/W dacă celelalte mărimi sunt exprimate înunităţi SI: [q] = [W/m2] şi [ΔT ] = [K].

În baza acestei analogii, pot fi aplicate transferului termic o serie de

concepte din teoria curentului continuu (un circuit electric are un circuittermic echivalent şi viceversa) şi alternativ (modelarea electrică a proceselortermice tranzitorii). Analogia electrică a transferului termic poate fi utilizată ca instrument de calcul şi vizualizare a ecuaţiilor transferului de căldur ă.

4.2. TRANSFER DE CĂLDUR Ă PRIN CONDUCTIVITATE

4.2.1. Ecuaţiile diferenţiale ale conductivităţii termice

Ecuaţia de bază care determină transferul de căldur ă conductiv estelegea lui Fourier, care se bazează pe principiul al doilea al termodinamiciişi arată că drumul urmat de fluxul termic este cel de minimă rezistenţă,respectiv cel mai scurt drum între două izoterme învecinate, drumdeterminat de gradientul de temperatur ă. Scrisă pentru un flux termicunidirecţional, legea Fourier are expresia:


13/200


14/200


8

Tab. 4.1. Ecua ţ iile diferen ţ iale ale temperaturii în transferul termicconductiv

Denumire Tipul transferului EcuaţiaEcuaţia generală a conducţiei

Regim nestaţionar cu sursă internă de căldur ă t

T

a

qT v

∂

∂⋅=+∇

12λ

PoissonRegim staţionar cu sursă internă de căldur ă

02 =+∇λ

vqT

FourierRegim nestaţionar f ăr ă sursă internă de căldur ă t

T

aT

∂

∂⋅=∇

12

LaplaceRegim staţionar f ăr ă sursă internă de căldur ă 0

2

=∇ T

HelmholtzRegim staţionar cu o funcţieliniar ă a termenului temperatur ă 0

22 =+∇ T BT

Pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ale transferului conductiveste necesar ă stabilirea condiţiilor de univocitate pentru proces, şi anume:• condiţii geometrice, care determină forma şi dimensiunile corpului;• condiţii fizice, care stabilesc valorile mărimilor fizice a şi λ , precum şilegea distribuţiei şi variaţiei spaţio-temporale a surselor termice interne;• condiţii iniţiale, care determină distribuţia temperaturii în interiorul

corpului la momentul iniţial;• condiţii de contur, care exprimă distribuţia temperaturii sau fluxul termic

pe suprafaţa corpului sau temperatura mediului ambiant şi legea schimbuluide căldur ă între corp şi mediu.

Expresiile laplacianului temperaturii (∇2T ) sunt redate în tab. 4.2.

Tab. 4.2. Expresiile laplacianului temperaturii

CoordonateTransfer liniar

(unidirecţional)Transfer spaţial(tridirecţional)

Carteziene 2

2

dx

T d

2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Cilindricedr

dT

r dr

T d ⋅+

12

2

2

2

2

2

22

2 11

z

T T

r r

T

r r

T

∂

∂+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂

ϕ

Sfericedr

dT

r dr

T d ⋅+

22

2

2

2

222

2

2

22

2

sin

11

tg

12

ϕ ψ ψ

ψ ψ

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

+∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂

T

r

T

r

T

r r

T

r r

T


15/200


9

4.2.2. Distribuţia temperaturilor într-un mediu imobil

Legea Fourier permite determinarea căldurii transferate princonducţie dacă se cunoaşte distribuţia temperaturilor în corp (expresiacâmpului de temperatur ă). Ecuaţiadiferenţială a câmpului detemperatur ă se obţine din bilanţultermic al unui element de volum

paralelipipedic (forma nu esterestrictivă) ΔV = dxdydz prin careare loc transferul termic (fig. 4.2):

( ) ( )( )

iesit s

sacumulat s

Q

QQ

−

−= intrat (4.25)

Bilanţul se întocmeşte pentru următoarele condiţii:

- corp imobil, omogen şi izotrop;- regim nestaţionar;- absenţa surselor interne de căl-

dur ă.

Energia termică acumulată în volumul elementar în unitatea de timp

va fi:

t

T cdxdydz p

∂

∂⋅⋅⋅ ρ

Fluxul termic care intr ă în volumul elementar pe direcţia x estedydz q x x ⋅ , iar fluxul termic ieşit din volumul elementar, tot pe direcţia x va

fi dydz q dx x x ⋅+ . În mod similar se pot scrie şi expresiile fluxurilor termice

intrate şi ieşite pe direcţiile y şi z . Cu aceste înlocuiri, ecuaţia (4.25) devinedupă simplificări şi împăr ţire prin dV :

q z

q

y

q

x

q

t

T c z

y x

p

−∇=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂⋅ ρ (4.26)

Înlocuind expresia fluxului unitar din relaţiile (4.23), ecuaţia (4.26)se va scrie sub forma:

T z

T

y

T

x

T

t

T c p

22

2

2

2

2

2

∇=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂⋅ λ λ ρ (4.27)

sau sub forma:

z

x

yqz

qz+dz

qy+dy

qx+dxqx

qy

O

Fig. 4.2. Transfer termic prin

conductivitate


16/200


10

T aT ct

T

p

22 ∇=∇⋅

=∂∂

ρ

λ (4.28)

Coeficientul de difuzivitate termică a este o funcţie numai de proprietăţile fizice ale materialului prin care se propagă căldura (λ , ρ, c p) şireprezintă iner ţia termică a sistemului. Dimensional:

[ ]( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅=

−−−

−−

s

m

K kg J mkg

K mW

ca

p

2

113

11

ρ

λ (4.29)

Coeficientul de difuzivitate termică are aceeaşi unitate de măsur ă caşi viscozitatea cinematică, υ, şi, aşa cum se va ar ăta în capitolul 5, ca şi

coeficientul de difuziune D. Dacă în elementul de volum considerat ar exista o sursă internă decăldur ă, atunci ecuaţia de bilanţ (4.25) s-ar scrie sub forma:

( ) ( ) ( ) ( ) generat siesit s sacumulat s

QQQQ +−=intrat

(4.30)

Existenţa unei surse interne de căldur ă se poate datora uneia sau maimultor cauze cum ar fi: transformarea energiei electrice în energie termică,reacţii de fisiune nuclear ă, degradarea energiei mecanice (disipare viscoasă),reacţii chimice sau transformări de fază.

Luând în considerare sursa internă de căldur ă şi ţinând cont de faptulcă λ , ρ , c p sunt funcţii de temperatur ă, iar corpul nu este omogen, ecuaţia

(4.27) capătă forma:( ) v z y x p q

z

T

z y

T

y x

T

xT c

t +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=

∂

∂λ λ λ ρ ,, (4.31)

cunoscută drept ecuaţia Fourier generalizată.În calcule practice, în absenţa surselor interne de căldur ă şi pe un

interval de temperatur ă nu prea mare, se poate neglija variaţia mărimilor λ , ρ , c p ca funcţii de temperatur ă, sau se lucrează cu valorii medii ale acestormărimi, astfel încât se poate utiliza ecuaţia (4.27).

4.2.3. Coeficientul de conductivitate termică

Coeficientul de conductivitate termică sau, pe scurt, conductivitateatermică λ este o proprietate fizică specifică fiecărui tip de material, careexprimă comportarea acestuia la transferul termic conductiv. Dimensiunileconductivităţii termice rezultă din condiţia de omogenitate dimensională aecuaţiei (4.21):

[ ] ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅

⋅=

K m

W

K m

m s J 2

/λ (4.32)


17/200


11

Conductivitatea termică este dependentă de proprietăţile fizice alematerialului: temperatur ă, densitate, porozitate, umiditate. În fig. 4.3 este

prezentat intervalul de variaţie al conductivităţii termice pentru diversemateriale.

Alegerea materialelor pentru construcţia aparaturii de transfer decăldur ă se face şi în funcţie de λ : pentru accelerarea transferului termic seutilizează materiale cu valori λ ridicate (metale, aliaje), iar pentru reducereasau inhibarea transferului se utilizează materiale cu valori λ scăzute(materiale izolante). De asemenea, în procesele de transfer termic estenecesar ă cunoaşterea sau determinarea conductivităţii fluidelor, mărimenecesar ă pentru calculul coeficientului global de transfer termic.

4.2.3.1. Conductivitatea termică a gazelor

Coeficientul de conductivitate termică pentru gaze poate fi dedus pe baza teoriei cinetico-moleculare şi exprimat prin ecuaţia Maxwell:

λ ⋅⋅= vc B (4.33)

în care μ reprezintă viscozitatea cinematică (Pa.s), cv este căldura specifică la volum constant (J.kg-1.K -1), iar B este un coeficient care ţine seama deinteracţiunea molecular ă:

Gaze organice si vapori

Materiale izolante amorfe

Uleiuri

Gaze anorganice si vapori

Lichide organice

Lichide anorganice

Solutii anorganice apoase

Solutii organice apoase

Materiale pulverulente

Materiale refractare

Cristale

Metale lichide

Aliaje metalice industriale

Metale pure

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000λ [W/(m.K)]

Fig. 4.3. Conductivitatea termică a unor materiale


18/200


12

v

p

c

c k

k B =−= ;

459 (4.34)

Deoarece pentru gazele cu un anumit număr de atomi indicele adiabatic k este aproximativ constant, coeficientul B ia următoarele valori: 2,52 pentrugaze monoatomice; 1,90 pentru gaze diatomice; 1,75 pentru gaze triatomice.

Variaţia conductivităţii termice cu temperatura este dată de relaţia luiSutherland:

23

0 273

273⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

+

+=

T

C T

C T λ λ (4.35)

în care λ T este conductivitatea la temperatura T , λ 0 este conductivitatea la273 K, T este temperatura absolută, iar C este o constantă caracteristică fiecărui gaz (tab. 4.3).

Tab. 4.3. Valorile 0 şi C din ecua ţ ia (4.35)

Gazul 0

[W/(m.K)]

C

[K]Gazul 0

[W/(m.K)]

C

[K]

Hidrogen 0,1594 94 Oxid de carbon 0,0215 156Azot 0,0243 102 Amoniac 0,0200 626Aer 0,0234 122 Dioxid de sulf 0,0077 396Oxigen 0,0234 144 Clor 0,0072 351

Conductivitatea termică nefiind o mărime aditivă, pentru calcululconductivităţii unui amestec de gaze se foloseşte relaţia (4.33) în carecăldura specifică a amestecului se calculează aditiv, funcţie de căldurilespecifice ale componenţilor, iar viscozitatea amestecului se calculează curelaţia:

criiicr cr

criiiicr cr

amT M xT M xT M x

T M xT M xT M x

+++

+++=

...

...

222111

22221111 μ μ μ μ (4.36)

în care xi sunt fracţiile molare (volumice), μi viscozităţile dinamice, M i masele molare şi T cri temperaturile critice ale componenţilor amestecului.

4.2.3.2. Conductivitatea termică a lichidelor

Ca şi în cazul gazelor, conductivitatea termică a lichidelor estefuncţie de temperatur ă şi de presiune. Cu excepţia apei şi glicerinei,conductivitatea termică a lichidelor scade cu creşterea temperaturii aşa cumreiese din fig. 4.4.


19/200


13

Conductivitatea termică a soluţiilor apoase este mai redusă decât a

apei şi scade cu creşterea concentraţiei solutului.Conductivitatea termică a lichidelor poate fi calculată cu relaţia

aproximativă a lui Weber:3

M ck p

ρ ρ λ ⋅⋅⋅= (4.37)

în care k este un coeficient care depinde de gradul de asociere al lichidelor[k = 3,58.10-8 pentru lichide asociate (apă); k = 4,22.10-8 pentru lichideneasociate (benzen)], c p căldura specifică la presiune constantă (J.kg

-1.K -1), ρ densitatea (kg.m-3) şi M masa molar ă a lichidului (kg.kmol-1).

Pentru lichide r ău conducătoare de electricitate, λ se poate calcula curelaţia lui Bridgeman:

32

3 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅

Ν

ℜ=

M v

s

ρ λ (4.38)

unde ℜ reprezintă constanta universală a gazelor, N numărul lui Avogadro,v s viteza sunetului în lichid, ρ densitatea şi M masa molar ă a lichidului.

Ecuaţiile (4.37) – (4.38) au un caracter orientativ, valorile obţinute prin calcul prezentând abateri faţă de cele determinate experimental.

26

24

22

20

18

16

14

12

10

61

59

57

55

53

51

49

47

45

0 20 40 60 80 100 120 140Temperatura, 0C

C

o n d u c t i v i t a t e a t e r m i c a ,

/ 1 , 1

6 W / ( m 2 . K )

C

o n d u c t i v i t a t e a t e r m i c a ,

/ 1 , 1

6 W / ( m 2 . K )

1 - glicerina anhidra;

2 - acid formic;

3 - metanol;

4 - etanol;

5 - anilina;

6 - acid acetic;

7 - acetona;

8 - butanol;

9 - nitrobenzen;

10 - benzen;

11 - toluen12 - xilen;

13 - ulei de vaselina;

14 - apa (pe ordonata din dreapta).

Fig. 4.4. Varia ţ ia conductivit ăţ ii termice a lichidelor cu temperatura


20/200


21/200


15

în care n L este numărul lui Lorenz iar λ el este coeficientul de conductivitateelectrică. Impurităţile prezente în metale conduc la scăderea considerabilă aconductivităţii termice a acestora. Aliajele metalice au o conductivitatetermică mai scăzută decât metalele constituente aflate în stare pur ă.

Cu excepţia cuprului şi aluminiului, conductivitatea termică ametalelor scade cu creşterea temperaturii după o relaţie de forma:

( )2210 1 T k T k −−= λ λ (4.43)în care k 1 şi k 2 sunt constante specifice fiecărui metal (aliaj) pe un anumitdomeniu de temperatur ă. Pentru calcule aproximative, se poate considera odependenţă liniar ă a conductivităţii de temperatur ă, de forma:

( )T k 10 1−= λ λ (4.44)În tab. 4.4. sunt prezentate valorile orientative ale unor coeficienţi de

conductivitate termică pentru o serie de materiale metalice şi nemetalice.

Tab. 4.4. Conductivitatea termică a unor materiale solide

Materiale

nemetalice [W/(m.K)]

Materiale

metalice

T

[K] [W/(m.K)]

azbest 0,15 - 0,21 alamă 303 113azbociment 0,35 aluminiu 373 207

beton 1,28 argint 373 416

căr ămidă 0,69 – 0,81 bronz 303 189lemn de fag 0,23 – 0,41 cadmiu 291 94lemn de brad 0,17 – 0,35 cupru 373 378nisip uscat 0,35 – 0,81 fontă 373 49

plută 0,04 – 0,05 grafit 373 151 polistiren 0,04 nichel 373 59 poliuretan 0,04 oţel (1%C) 291 45rumeguş 0,07 – 0,09 oţel inoxidabil 293 16sticlă 0,70 - 0,81 plumb 373 33vată minerală 0,07 staniu 373 59vată de sticlă 0,03 - 0,07 tantal 291 55

zgur ă 0,22 - 0,29 zinc 373 110

4.2.4. Transfer termic conductiv în regim staţionar

Regimul staţionar este definit prin constanţa în timp a câmpului detemperatur ă. Ca urmare, temperatura oricărui punct din sistem r ămâneconstantă, fluxul termic care trece prin orice secţiune a sistemului este


22/200


16

constant, fluxurile care trec prin suprafeţele izoterme sunt egale şiacumularea de căldur ă în sistem este nulă. Condiţia de staţionaritate se scrie:

0=∂

∂

t

T (4.45)

În condiţii de regim staţionar ecuaţia (4.27) devine:02 =∇ T a (4.46)

Întrucât difuzivitatea termică este diferită de zero, (4.46) se scrie:

02

2

2

2

2

22 =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

z

T

y

T

x

T T (4.47)

Ecuaţia (4.47) poate fi rezolvată analitic pentru câteva cazuri

particulare care prezintă importanţă practică.

4.2.4.1. Transfer termic prin pereţi plani simpli

Se consider ă (fig. 4.5) un perete plan, omogen, a căruisuprafaţă este infinit marecomparativ cu grosimea δ aacestuia. Transferul termic areloc unidirecţional, pe direcţia x,normală la suprafaţă peretelui.

În aceste condiţii, ecuaţia(4.47) se scrie:

02

2

=dx

T d (4.48)

După o primă integrare rezultă:

1k dx

dT = (4.49)

de unde printr-o nouă integrarese obţine:

21 k xk T += (4.50)ecuaţie care arată că variaţia temperaturii în interiorul peretelui este liniar ă dacă λ este constant în raport cu temperatura.

Constantele de integrare k 1 şi k 2 se obţin din condiţiile la limită:

2

1

, pentru

,0 pentru

T T x

T T x

==

==

δ (4.51)

Înlocuind prima condiţie la limită în (4.50) se obţine:

qx

x1 x2

T2

T1

δ

λ

Fig. 4.5. Transfer termic conductiv prin

pere ţ i plani omogeni simpli


23/200


17

12 T k = (4.52)Din a doua condiţie la limită şi valoarea k 2 înlocuite în (4.50) şi

ţinând cont de (4.49), se obţine:

δ

211

T T

dx

dT k

−−== (4.53)

ecuaţie care dă expresia gradientului de temperatur ă pentru un perete plan,omogen, de grosime δ. Înlocuind (4.53) în legea lui Fourier (4.22) se obţinerelaţia care permite calculul fluxului unitar pentru aceste condiţii de transfer:

( )21 T T q −=δ

λ (4.54)

Fluxul termic total va fi dat de expresia:

( ) T AT T AQ s Δ=−=δ

λ

δ

λ 21 (4.55)

în care A este suprafaţa peretelui prin care are loc transferul, iar ΔT estefor ţa motoare a procesului de transfer termic. Evident, dacă temperaturile pecele două feţe ale peretelui sunt egale (T 1 = T 2), for ţa motoare a procesuluise anulează şi transferul de căldur ă încetează (Q s = 0).

Dacă diferenţa de temperatur ă ΔT pe feţele peretelui este prea mare pentru ca λ să mai poată fi considerat constant, fie se împarte peretele în maimulte “felii” subţiri de λ constant, calculul efectuându-se ca în cazul

pereţilor compuşi, fie se foloseşte o valoare medie a conductivităţii termice pe intervalul de temperatur ă considerat:

∫−=

2

112

1~T

T

dT T T

λ λ (4.56)

fie se foloseşte ecuaţia Fouriergeneralizată (4.31), scrisă pentrutransfer unidirecţional, în regimstaţionar, f ăr ă sursă internă decăldur ă:

0=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

dxdT

dxd λ (4.57)

în care λ este o funcţie detemperatur ă, redată, de exemplu,de ecuaţia (4.41).

În practică este uneorinecesar ă cunoaşterea valoriitemperaturii în interiorul

qx = q

x = 0 x = δ

T2

T1

δ

λ

xTx

Fig. 4.6. Temperatura în interiorul unui

perete plan, omogen


24/200


18

peretelui, la o distanţă oarecare x faţă de suprafaţă (fig. 4.6). Fluxul unitarcare trece prin peretele de grosime δ este dat de ecuaţia (4.54). Analog, prinstratul de grosime x va trece fluxul:

( ) x x T T x

q −= 1λ

(4.58)

În regim staţionar cele două fluxuri sunt egale (q = q x) şi deci:

( ) ( ) xT T x

T T −=− 121λ

δ

λ (4.59)

de unde rezultă valoarea temperaturii T x la distanţa x în interiorul peretelui:

( )211 T T x

T T x −−=δ

(4.60)

4.2.4.2. Transfer termic prin pereţi plani compuşi

Se consider ă un perete format din n straturi paralele (fig. 4.7) cugrosimile δ1, δ2, ..., δn, având conductivităţile termice λ 1, λ 2, ..., λ n şi cucăderile de temperatur ă corespunzătoare ΔT 1 , ΔT 2, ..., ΔT n astfel încât:

nn T T T T T −=Δ++Δ+Δ 021 ... (4.61)

T 0 şi T n fiind temperaturile pe feţele exterioare ale peretelui.

Regimul fiind staţionar, fluxurile termice transmise prin fiecare stratsunt egale între ele:

qT T T nn

n =Δ==Δ=Δδ

λ

δ

λ

δ

λ ...2

2

21

1

1 (4.62)

Din (4.62) se poate scrie:

n

nnnn qT T T

qT T T

qT T T

λ

δ

λ

δ

λ

δ

=−=Δ

=−=Δ

=−=Δ

−1

2

2212

1

1101

................................

(4.63)

Adunând ecuaţiile (4.63),membru cu membru, se obţineexpresia:

∑=

=−n

i i

in qT T

10

λ

δ (4.64)

T0 T1 T2 Tn-1 Tn

δ

δ

δn

λ1 λ2 λn

T t o t a l

T 1

T 2

T n

q

Fig. 4.7. Transfer termic conductiv prin

pere ţ i plani compu şi


25/200


19

care poate fi pusă şi sub forma:

AT T T T

qn

i i

i

n

n

i i

i

n ⋅−

=−

=

∑∑== 1

0

1

0 Qsau

λ

δ

λ

δ (4.65)

Notând căderea totală de temperatur ă cu ΔT , (4.65) se poate scrie:T Ak Q Δ⋅⋅= (4.66)

unde:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅=

∑=

K m

W

12

1

n

i i

i

k

λ

δ (4.67)

reprezintă coeficientul total de transfer de căldură conductiv. Inversulacestuia este rezistenţa totală la transmisia căldurii prin conducţie, exprimată ca sumă a rezistenţelor termice par ţiale (raportate la unitatea de suprafaţă):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅== ∑

= W

K m

1 2

1

n

i i

iT

k R

λ

δ (4.68)

Din ecuaţiile prezentate se pot deduce următoarele:• pentru aceeaşi grosime δ a peretelui, căderea de temperatur ă va fi cu atâtmai mare cu cât λ este mai mic;• pentru materiale cu acelaşi λ , căderea de temperatur ă va fi propor ţională

cu grosimea stratului, δ.

4.2.4.3. Transfer termic prin pereţi cilindrici simpli

Transferul de căldur ă prin pereţi cilindrici este un fenomen desîntâlnit, multe din aparatele de transfertermic din industria alimentar ă sau din

biotehnologii fiind de tip tubular.Considerând un perete

cilindric omogen de lungime l , avândraza interioar ă r i şi raza exterioar ă r e (fig. 4.8) în care căldura se transmitedin interior spre exterior (deci T 1 >T 2), ecuaţia Fourier pentru transfertermic conductiv unidirecţional sescrie (în coordonate cilindrice):

T + d

T

T

T i

T e

r e

r i

r + d r r

Fig. 4.8. Transfer termic conductiv

prin pere ţ i cilindrici simpli


26/200


20

dr

dT AQ s λ −= (4.69)

Suprafaţa normală la fluxul termic este A = 2π rl şi ecuaţia (4.69) sescrie:

dr

dT rl Q s πλ 2−= (4.70)

Separând variabilele şi integrând, considerând că λ este independentde temperatur ă, rezultă:

∫∫ −=2

1

2

1

2T

T

r

r

s dT l r

dr Q πλ (4.71)

Rezolvând integralele şi grupând termenii se obţine în final:( ) ( )

1

2

21

1

2

21

lnln

2

d

d

T T l

r

r

T T l Q s

−=

−=

πλ πλ (4.72)

unde d 1 şi d 2 sunt diametrele corespunzătoare razelor r 1 şi r 2.Dacă în (4.72) se înmulţeşte şi numitorul şi număr ătorul cu grosimea

peretelui cilindric, (r 2 – r 1), rezultă:( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) r

T A

A Ar r

T T A A

r r r r

T T r r l Q

m

s

ΔΔ⋅=

−−⋅−=

=−

−⋅−=

λ λ

π λ

1212

2112

1212

2112

ln

ln

2

(4.73)

unde prin Am s-a notat aria medie logaritmică a suprafeţei de transfer termic:

( )1212

ln A A

A A Am

−= (4.74)

Dacă în relaţia (4.72) se adoptă l = 1 m, fluxul termic specific peunitate de lungime va fi:

( )( )

[W/m] ln

2

12

21

r r

T T q

−= πλ

(4.75)

Ecuaţia (4.72) scrisă sub forma:

11 ln2 r

r

l

QT T x s x ⋅=−

πλ (4.76)

permite calculul temperaturii în interiorul peretelui la o rază oarecare, r x:

( ) 11221

11

1 lnlnln

2 r

r

r r

T T T

r

r

l

QT T x x s x ⋅

−−=⋅−=

πλ (4.77)

Analizând ecuaţia (4.77) se poate constata că, în interiorul unui perete cilindric omogen, temperatura variază după o curbă logaritmică.


27/200


21

Pentru pereţi nu prea groşi calculul se poate simplifica, înlocuindraza medie logaritmică cu raza medie aritmetică: r ma = ½(r e + r i); pentru

pereţi subţiri, în locul razei medii se poate folosi r e sau r i. Acestesimplificări introduc următoarele erori:

• sub 10% când r e /r i < 3,2 şi se lucrează cu media aritmetică;• sub 10% când r e /r i < 1,24 şi se lucrează cu r e sau r i;• sub 1% când r e /r i < 1,5 şi se lucrează cu media aritmetică;• sub 1% când r e /r i < 1,02 şi se lucrează cu r e sau r i.

4.2.4.4. Transfer termic prin pereţi cilindrici compuşiSe consider ă un perete format

din n straturi cilindrice concentrice(fig. 4.9) cu grosimile δ1, δ2, ..., δn-1,având conductivităţile termice λ 1, λ 2,..., λ n-1 şi cu căderile de temperatur ă corespunzătoare ΔT 1 , ΔT 2, ..., ΔT n-1 astfel încât:

nn T T T T T −=Δ++Δ+Δ − 1121 ... (4.78)

T 1 şi T n fiind temperaturile pe faţainterioar ă, respectiv exterioar ă a

peretelui.Regimul fiind staţionar,

fluxurile termice transmise prinfiecare strat sunt egale între ele:

qqqq n ==== ...21 (4.79)

şi:( )( )

( )( )

( )( )1

11

23

32222

12

21111

ln

2

.......................................

ln

2

ln

2

−

−− −==

−==

−==

nn

nnn snn

s

s

r r

T T

l

Qq

r r

T T

l

Qq

r r

T T

l

Qq

πλ

πλ

πλ

(4.80)

Ecuaţiile (4.80) puse sub forma:

r n

T 2

T n - 1 T n

T 1

r 2

r 1

r 3

r n - 1

Fig. 4.9. Transfer termic conductiv

prin pere ţ i cilindrici compu şi


28/200


22

( )

( )

( )

1

11

2

2332

1

1221

2

ln

...............................

2

ln

2ln

−

−−

⋅=−

⋅=−

⋅=−

n

nnnn

r r qT T

r r qT T

r r qT T

πλ

πλ

πλ

(4.80.a)

şi adunate membru cu membru conduc la expresia:

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++⋅=−

−

−

1

1

2

23

1

121

ln...

lnln

2 nnnn

r r r r r r qT T

λ λ λ π (4.81)

de unde rezultă expresia fluxului unitar q, respectiv a fluxului total Q s:

( ) ( )

∑∑ −

=

+−

=

+ ⋅

−⋅⋅=

⋅

−=

1

1

1

11

1

1

1

ln2

1 respectiv

ln2

1 n

i i

i

i

n sn

i i

i

i

n

r

r

T T l Q

r

r

T T q

λ

π

λ

π (4.82)

4.2.5. Transfer termic conductiv în regim nestaţionar

În cazul proceselor nestaţionare, temperatura şi fluxul termic într-un punct oarecare sunt mărimi variabile în timp. În industriile de proces,conducţia în regim nestaţionar apare în cazul pornirii, opririi sau modificăriide sarcină a instalaţiilor termice care funcţionează predominant în regimstaţionar.

La încălzirea sau r ăcirea mediilor conductive, fluxul termic depindede rezistenţele termice interne şi de suprafaţă, cazurile limită fiindreprezentate de corpurile cu rezistenţe interne neglijabile şi de corpurile curezistenţe de suprafaţă neglijabile.

În cazul corpurilor cu rezistenţe termice interne neglijabile,

corpuri cu o conductivitate termică relativ ridicată şi având o suprafaţă exterioar ă de contact cu mediul ambiant mare în comparaţie cu volumulcorpului, temperatura T a corpului la momentul t se determină din ecuaţia:

( )GFoBiexp0

⋅⋅−=−

−

f

f

T T

T T (4.83)

în care:

V

l A

l

t al ⋅=

⋅=

⋅= G ;Fo ;Bi

2λ

α (4.84)


29/200


23

unde Bi reprezintă criteriul lui Biot, Fo criteriul lui Fourier (timpul relativ),iar G este un factor geometric (G = 1 pentru plăci infinite, G = 2 pentrucilindri infiniţi şi bare pătrate infinite, G = 3 pentru cuburi şi sfere). T 0 estetemperatura iniţială uniformă a corpului, T f este temperatura fluidului cucare corpul este pus în contact, α este coeficientul individual de transfertermic între corp şi fluid (W.m-2.K -1), l reprezintă raza suprafeţei sausemigrosimea corpului (m), a este difuzivitatea termică a corpului (m2.s-1), λ este conductivitatea termică a corpului (W.m-1.K -1), A reprezintă suprafaţacorpului (m2), iar V este volumul acestuia (m3).

În cazul corpurilor cu rezistenţe termice de suprafaţă

neglijabile, temperatura suprafeţei, T s, este constantă în timp şi egală cutemperatura fluidului, T f . În cazul unei plăci plane infinite, de grosime L, cutemperatura iniţială uniformă T 0, variaţia în timp a temperaturii în planulcentral ( z = 0) este de forma:

,...,3,2,1 ;Fo2

expsin14

1

2

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

−

−∑

=

nn

z L

n

nT T

T T n

i s

s π π

π (4.85)

4.3. TRANSFER DE CĂLDUR Ă PRIN RADIAŢIE

Energia radiantă, de natur ă termică, este emisă de orice corp aflat latemperaturi superioare lui zero absolut. În procesele industriale în careintervine transferul termic, este important transferul de energie radiantă latemperaturi cuprinse între 700 – 2200 K. Deşi emisia de radiaţii termice areloc la orice temperatur ă, iar transferul radiant decurge concomitent cutransferul conductiv şi convectiv, la temperaturi normale (300 – 400 K),

ponderea sa în transferul global de căldur ă este neglijabil.

4.3.1. Noţiuni fundamentale

Energia radiantă Q incidentă pe suprafaţa unui corp se distribuieastfel (fig. 4.10): o parte este absorbită (Q A), o parte este reflectată (Q R), iarrestul este difuzată (Q D), str ă bătând corpul.

1

)(

=++

⋅++=++=++=

D R A

Q D R A DQ RQ AQQQQQ D R A (4.86)

unde A, D şi R reprezintă respectiv coeficientul de absorbţie, coeficientul dereflecţie şi coeficientul de difuzie sau de permeabilitate. Aceşti coeficienţi


30/200


24

iau valori cuprinse între 0 şi 1, în funcţie de natura corpului, stareasuprafeţei sale, temperatur ă, spectrul radiaţiei incidente.

• Corpul negru absoarbe toate radiaţiile incidente: A = 1; R = D = 0.• Corpul alb reflectă toate radiaţiile incidente: R = 1; A = D = 0.• Corpul diaterm este transparent pentru toate radiaţiile incidente, având:

D = 1; A = R = 0.• Corpurile cenuşii absorb pe toate lungimile de undă o anumită

propor ţie din radiaţiile incidente. Aceste corpuri au A < 1 = constant.• Corpurile colorate absorb selectiv radiaţia incidentă pe anumitelungimi de undă.• Corpurile lucioase reflectă par ţial radiaţiile incidente într-o direcţiedeterminată, unghiul de incidenţă fiind egal cu unghiul de reflecţie.• Corpurile mate reflectă par ţial radiaţiile incidente în toate direcţiile.• Radiaţia monocromatică corespunde unei anumite frecvenţe (ν ) saulungimi de undă (λ ), între cele două mărimi existând relaţia:

ν λ c= (4.87)

în care c reprezintă viteza luminii.• Radiaţia integrală cuprinde întreg spectrul de radiaţii cu lungimi deundă variind de la zero la infinit.• Puterea totală de emisie ( E ) reprezintă cantitatea de energie radiată deun corp în unitatea de timp, pe unitatea de suprafaţă, în toate direcţiile şi petoate lungimile de undă:

Q

Q D

Q A

Q R

Fig. 4.10. Distribu ţ ia energiei radiante


31/200


25

][W/m 2 A

Q E = (4.88)

în care Q reprezintă energia radiată de corp în unitatea de timp, iar A estesuprafaţa de radiaţie.• Factorul de emisie (e) este raportul dintre puterea totală de emisie acorpului ( E ) şi puterea totală de emisie a corpului negru ( E 0):

0 E

E e = (4.89)

• Intensitatea de radiaţie ( I λ ) este energia radiată de unitatea de suprafaţă a unui corp, în unitatea de timp, pe o anumită lungime de undă, λ :

][W/m 3λ

λ d

dE I = (4.90)

Dacă se cunoaşte legea de distribuţie a energiei radiante în funcţie delungimea de undă, se poate determina puterea totală de emisie a corpului:

∫ ∫∞ ∞

==0 0

λ λ d I dE E (4.91)

4.3.2. Legile radiaţiei termice

Legea lui Planck este legea de distribuţie a intensităţii de radiaţie I λ , funcţie de λ , pentru corpul negru, la diferite temperaturi:

][W/m 1

1 3/5

1

2 −⋅=

T k e

k I

λ λ λ (4.92)

în care k 1 = 0,374.10-15 W.m2 şi k 2 = 1,4388.10

-2 m.K reprezintă prima şirespectiv a doua constantă a lui Planck. Din această lege rezultă că intensitatea de radiaţie creşte cu creşterea temperaturii şi că prezintă unmaxim pentru fiecare temperatur ă T . Valoarea lui λ max se obţine prinanularea primei derivate a intensităţii de radiaţie în raport cu lungimea deundă:

T d

dI const0 max =⇒= λ λ

λ (4.93)

Ecuaţia (4.93) reprezintă legea de deplasare a lui Wien, potrivitcăreia maximul intensităţii de radiaţie se deplasează cu creştereatemperaturii către lungimi de undă mai mici.

Legea Stefan – Boltzmann stabileşte, pe baza legii lui Planck,dependenţa puterii totale de emisie a corpului negru ( E 0) de temperatura sa:


32/200


26

∫∞

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ==

0

24

00 ][W/m 100

T cd I E λ λ (4.94)

unde c0 = 5,67 W.m-2.K -4 este coeficientul de radiaţie al corpului negru.

Pentru corpurile cenuşii, legea Stefan – Boltzmann are expresia:44

00 100100 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅=⋅=

T c

T ce E e E (4.95)

în care e = c/c0 < 1 este factorul de emisie al corpului cenuşiu, iar c estecoeficientul de radiaţie al corpului cenuşiu, exprimat în W.m-2.K -4.

Legea lui Kirchhoff exprimă legătura dintre cantitatea de energie

emisă şi absorbită de către un corp negru sau cenuşiu, în anumite condiţii detemperatur ă. Această lege stabileşte că raportul dintre puterea totală deemisie ( E ) şi coeficientul de absorbţie ( A) este acelaşi pentru toate corpurile,egal cu puterea totală de emisie a corpului negru ( E 0), şi este funcţie numaide temperatur ă:

( )T f T

c E A

E

A

E

A

E =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅=====

4

000

0

2

2

1

1

100... (4.96)

O consecinţă importantă a legii lui Kirchhoff este că pentru un corp înechilibru termodinamic, coeficientul de absorbţie A este egal cu factorul deemisie e.

4.3.3. Transfer termic radiant între corpuri solide

Între două corpuri solide având temperaturi diferite se stabileşte unschimb reciproc de emisii şi absorbţii de energii radiante, fluxul radiant alcorpului cu temperatur ă mai mare fiind mai mare. După un timp, întrecorpuri se stabileşte un echilibru termic: temperatura celor două corpuri seegalează şi potenţialul transferului se anulează. Transferul de căldur ă încetează, dar corpurile continuă să emită şi să absoarbă energie radiantă,fiecare corp cedând tot atâta energie câtă primeşte.

Se consider ă două suprafeţe negre plan – paralele, avândtemperaturile T 1 şi respectiv T 2. Emisia de energie în unitatea de timp(fluxul termic) pentru condiţia T 1 > T 2 va fi:

AT

cQ AT

cQ s s

4

202,

4

101, 100

respectiv 100

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ = (4.97)

Fluxul termic net (primit de suprafaţa cu temperatura mai mică) vafi:


33/200


27

AT T

cQQQ s s s ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =−=

42

41

02,1, 100100 (4.98)

Dacă cele două corpuri au o poziţie arbitrar ă în spaţiu, fluxul termicnet va fi:

2,11

4

2

4

102,1, 100100

k AT T

cQQQ s s s ⋅⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =−= (4.99)

în care k 1,2 este un factor geometric, numit coeficient mutual de iradiere,reprezentând fracţia din radiaţia emisă de suprafaţa A1 cu temperatura T 1, pecare o primeşte suprafaţa A

2 cu temperatura T

2.

În cazul unor suprafeţe reale, fluxurile radiante se corectează prinintroducerea coeficienţilor de emisie e:

1,21

4

2

4

11,20

2,11

4

2

4

12,10

100100

100100

k AT T

ec

k AT T

ecQ s

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

(4.100)

Ecuaţia (4.100) se poate scrie şi sub forma:

2,11

4

2

4

1

02,1, 100100 K AT T

cQQQ s s s ⋅⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

−⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

=−= (4.101)

în care K 1,2 este un coeficient care include atât influenţa factorului geometriccât şi a coeficienţilor de emisie.

4.3.4. Radiaţia gazelor şi vaporilor

Spre deosebire de corpurile solide, gazele şi vaporii prezintă o seriede particularităţi în ceea ce priveşte absorbţia şi emisia radiaţiei termice. Întimp ce solidele au spectre continue de radiaţie, gazele au un caracter

selectiv, absorbind şi emiţând energia numai în anumite intervale de lungimide undă, în altele fiind transparente (diaterme). Absorbţia şi radiaţia energieide către gaze nu are loc în stratul superficial, ca în cazul solidelor, ci învolum, datorită drumului mediu liber al moleculelor de gaz mult mai maredecât distanţa între particulele corpului solid.

Gazele mono- şi diatomice (He, Ar, O2, N2, H2) sunt practic complettransparente pentru radiaţia termică, în timp ce gazele poliatomice (CO2,


34/200


28

H2O, NH3, SO2, etc.) posedă o mare capacitate de emisie sau absorbţie aradiaţiei termice.

Fluxul termic specific schimbat prin radiaţie de un gaz avândtemperatura T g şi factorul de emisie e g cu un perete având suprafaţa S ,temperatura T p şi factorul de emisie e p se poate calcula cu relaţia:

[W] 1001002

144

0⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅

+= p g

g

g

p T A

T eS c

eq (4.102)

în care A g reprezintă coeficientul de absorbţie al gazului la temperatura T p a peretelui. Coeficientul de emisie al gazului, e g se determină pe baza unor

relaţii reprezentate grafic sub forma: b pT f e p g ⋅= , (4.103)

în care mărimea p.b reprezintă produsul dintre presiunea par ţială p a gazului(exprimată în bar) şi grosimea b a stratului de gaz (exprimată în m).

4.4. TRANSFER DE CĂLDUR Ă PRIN CONVECŢIE

Transferul termic convectiv apare datorită mişcării macroscopice afluidelor, sub formă de turbioane sau de curenţi. Cele două cazuri limită ale

transferului convectiv sunt convecţia liber ă (naturală) şi convecţia for ţată. Înambele cazuri, mişcarea fluidului este guvernată de legile transferului deimpuls.

În regim de curgere laminar, transferul de căldur ă după normala ladirecţia de curgere decurge preponderent prin conductivitate, în timp ce înregim turbulent determinant este transferul de căldur ă care se face simultancu mişcarea elementelor macroscopice de fluid. Transferul de căldur ă va ficu atât mai intens, cu cât regimul de curgere va fi mai puternic turbulent.

4.4.1. Stratul limită termic

Se consider ă deplasarea unui fluid de-a lungul unei plăci plane, întrefluid şi placă realizându-se un schimb de căldur ă. Regimul termic estestaţionar, iar curgerea fluidului este laminar ă. Fluidul are iniţial (la x = 0)temperatura T 0, iar placa are temperatura constantă T p (fig. 4.11).

Se consider ă T 0 > T p. Drept urmare, fluidul adiacent la placă se var ăci, având pe diverse zone, temperaturi intermediare între T 0 şi T p. Distanţade la placă, pe direcţia y, pentru care temperatura T a fluidului este cuprinsă


35/200


29

între T 0 şi T p, este grosimea stratului limită termic, iar zona de existenţă avariaţiei de temperatur ă de-a lungul suprafeţei plăcii se numeşte strat limită termic.

În regim de curgere turbulent, stratul limită termic sufer ă unelemodificări care conduc la schimbarea profilului de temperatur ă. După cumreiese din fig. 4.12, la intrarea fluidului pe placă se formează stratul limită cu curgere laminar ă. La o anumită distanţă ( x = xcr ) de capătul de atac al

plăcii, în stratul limită apare o mişcare turbulentă, iar grosimea stratuluilimită termic creşte mult mai repede decât în mişcarea laminar ă. În interiorulstratului limită r ămâne întotdeauna în apropierea peretelui o zonă degrosime redusă, în care mişcarea se menţine laminar ă. Această zonă în caremişcarea fluidului se menţine laminar ă poartă denumirea de substratlaminar. În domeniul laminar al stratului limită, gradienţii de temperatur ă sunt mult mai mari faţă de domeniul turbulent al stratului limită.

4.4.2. Coeficientul individual de transfer termic

Zona din stratul limită în care apare căderea cea mai mare de temperatur ă seconsider ă ca fiind zona determinantă de rezistenţă termică în transferul decăldur ă. Deoarece vitezele de curgere ale fluidului în apropierea peretelui

y

xx0 = 0 x1 x2 x3

T0 T0 > T > TP

T0

T0

TP TP TPTP

T0

Fig. 4.11. Formarea stratului limit ă termic la curgerea laminar ă de-a

lungul unei pl ăci plane


36/200


30

sunt mici, tinzând la zero la perete, se poate admite că în această zonă transferul de căldur ă decurge preponderent prin mecanism conductiv.

Dacă se consider ă (fig. 4.13) toată rezistenţa la transferul termicconcentrată în stratul limită termic, şi în special în apropierea suprafeţei detransfer, unde vitezele de curgere sunt foarte mici, se poate considera că transferul termic se realizează prin conductivitate, astfel încât:

α λ

δ 1==t R (4.104)

unde Rt este rezistenţa termică latransfer, δ este grosimea stratuluilimită, iar λ este coeficientul deconductivitate termică afluidului. Mărimea α , inversulrezistenţei termice, arată

intensitatea cu care se petrecetransferul de căldur ă într-un fluidîn mişcare şi poartă denumireade coeficient de transferconvectiv. Deoarece în transferultermic global schimbul decăldur ă are loc între două fluide,apar doi coeficienţi de transferconvectiv. Din acest motiv,

y

x

Curgere laminara Curgere turbulenta

T

T

stratlimita

laminarsubstrat laminar

substrat turbulent

x = xcrx = 0

Fig. 4.12. Formarea stratului limit ă termic la curgerea turbulent ă de-a

lungul unei pl ăci plane

T

y

Tperete

TfluidR = 1/

δ

Fig. 4.13. Zona de varia ţ ie maximă a

temperaturii


37/200


31

mărimea α se mai numeşte şi coeficient individual (parţial) de transfertermic.

Fluxul termic convectiv care trece printr-o suprafaţă A este dat delegea de răcire a lui Newton, care se poate scrie:

p f s f p s T T AQT T AQ −⋅⋅=−⋅⋅= α α sau (4.105)

Pentru α şi (T f – T p ) variabile, ecuaţia (4.105) se poate scrie subforma:

dAT T dQ p f s −=α (4.106)

Transferul în stratul limită termic realizându-se conductiv, esteaplicabilă legea Fourier:

dAdy

dT dQ s ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = λ (4.107)

Egalând (4.106) cu (4.107) se obţine expresia coeficientuluiindividual de transfer termic:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅

−=

dy

dT

T T p f

λ α (4.108)

Ecuaţia (4.108) arată că mărimea α creşte cu creşterea gradientuluide temperatur ă. Creşterea turbulenţei (respectiv creşterea lui Re) va conducela creşterea gradientului termic, ducând implicit şi la creşterea coeficientului

individual de transfer termic.Ecuaţiile (4.105 – 4.108) arată că α reprezintă fluxul termic

transferat pe unitatea de suprafaţă sub acţiunea unei for ţe motrice de 1 K.Dimensional,

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−⋅=

K m

W][

2 p f

s

T T A

Qα (4.109)

Asupra coeficientului individual de transfer termic influenţează omultitudine de factori, de natur ă hidrodinamică, termică, geometrică, etc.,astfel încât:

,...,,Re,,, l t T c f p ρ α = (4.110)

Coeficientul individual de transfer termic α ar putea fi determinatexperimental, prin cunoaşterea cantităţii de căldur ă schimbate între fluid şi

perete şi a temperaturilor fluidului şi peretelui. Această determinareexperimentală se poate face doar în cazul aparatelor aflate în exploatare.Pentru proiectare este necesar ă estimarea lui α pentru anumite condiţii detransfer termic impuse de procesul tehnologic. Studiul transferului termicconvectiv se poate realiza fie prin utilizarea unor modele matematice (bazate


38/200


32

pe ecuaţii diferenţiale), fie pe baza unor teorii statistice. În cazul în carerezolvarea analitică a ecuaţiilor diferenţiale care descriu transferul convectivde căldur ă este imposibilă – datorită complexităţii fenomenelor şi anumărului mare de parametrii care influenţează procesul – se face apel laecuaţiile criteriale, ecuaţii care se pot obţine fie aplicând analizadimensională, fie direct din ecuaţiile diferenţiale.

4.4.3. Ecuaţia diferenţială a transferului termic convectiv

Cantitatea de căldur ă transmisă prin convecţie este călduratransportată de un fluid aflat în mişcare. Se consider ă într-un curent de fluidun paralelipiped elementar de laturi dx, dy, dz (fig. 4.14).

Regimul se consider ă a fi staţionar: în orice punct alsistemului considerat, toţi

parametrii care definesc stareaşi dinamica sistemului nuvariază în timp (derivateleacestor parametri în raport cutimpul sunt nule), şi, ca

urmare, nu există acumularede substanţă sau de energie.Debitul de fluid care

intr ă pe direcţia x în paralelipiped este:

dz dyv x ⋅⋅ ρ

Acesta introduce în paralelipiped cantitatea decăldur ă:

dz dyT vcQ x p x ⋅⋅⋅⋅= ρ (4.111)

La ieşirea din paralelipipedul elementar, pe direcţia x, fluxulelementar de fluid (v x ρ) devine:( )

dx x

vv x x ⋅

∂

∂+⋅ ρ

ρ (4.112)

iar temperatura T devine:

dx x

T T ⋅

∂

∂+ (4.113)

Fluxul termic ieşit din paralelipiped pe direcţia x va fi:

z

x

yQz

Qz+dz

Qy+dy

Qx+dxQx

Qy

O

Fig. 4.14. Transfer termic convectiv


39/200


33

( ) dz dydx x

T T dx

x

vvcQ x x pdx x ⋅⋅⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⋅

∂∂+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

∂⋅∂+⋅=+ ρ

ρ (4.114)

Efectuând calculele în (4.114) şi neglijând diferenţialele de ordin doişi superior, ecuaţia (4.114) se scrie:

( ) ( )

( ) dV x

T v

x

vT cdydz T vcQ x

x p x pdx x ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+⋅⋅⋅=+ ρ

ρ ρ (4.115)

În mod analog cu ecuaţiile (4.111) şi (4.115) se pot scrie ecuaţiilefluxurilor termice intrate şi ieşite din paralelipiped pe direcţiile y şi z .

Excesul de căldur ă pe care fluidul îl lasă în timpul trecerii prin paralelipipedul elementar este:

z y xdz z dy ydx x QQQQQQdQ ++−++= +++ (4.116)

sau:( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) dV z

T v

y

T v

x

T vc

dV z

v

y

v

x

vT cdQ

x x x p

x x x p

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

(4.117)

Caracterul de regim staţionar al curgerii se introduce prinurmătoarele două condiţii:• Lipsa acumulării de substanţă, exprimată prin ecuaţia continuităţii(3.121.b):

( ) ) ( )0=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

v

y

v

x

v z y x ρ ρ ρ (4.118)

• Lipsa acumulării de căldur ă, care cere ca excesul de căldur ă dQ luat decurentul de fluid din paralelipipedul elementar să fie adus, princonductivitate, din exteriorul paralelipipedului. Încălzirea conductivă a

paralelipipedului este dată de ecuaţia:

dV z

T

y

T

x

T dQ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

2

2

2

2

2

2

λ (4.119)

Introducând aceste două condiţii în ecuaţia (4.117) se obţine:

( ) ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

z

T v

y

T v

x

T vc z y x p λ ρ ρ ρ (4.120)

sau:

T a z

T v

y

T v

x

T v z y x

2∇=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (4.121)


40/200


34

în care a = λ /( ρ.c p ) reprezintă difuzivitatea termică a mediului prin care areloc transferul. Ecuaţia (4.120) sau (4.121) este cunoscută drept ecuaţiadiferenţială Fourier – Kirchhoff , ecuaţie care redă distribuţia câmpului detemperatur ă pentru un fluid aflat în mişcare staţionar ă. În regim nestaţionar,ecuaţia (4.121) devine:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅

2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

z

T v

y

T v

x

T v

t

T c z y x p λ ρ (4.122)

sau:

T adt

DT 2∇= (4.123)

unde DT/dt este derivata substanţială a temperaturii.Întrucât în aceste forme complete ecuaţia Fourier – Kirchhoff este

imposibil de rezolvat analitic, pentru calculul profilului temperaturii,respectiv al coeficienţilor individuali de transfer termic, se face apel laecuaţii criteriale.

În anumite condiţii, ecuaţia (4.123) poate că păta forme mai simple.Astfel, in regim staţionar şi fluide imobile (v x = v y = v z = 0), (4.123) sereduce la forma ∇2T = 0, formă care corespunde transferului termicconductiv în regim staţionar [vezi ecuaţia (4.47)].

4.4.4. Ecuaţii criteriale ale transferului termic convectiv

În cazul transferului termic convectiv, integrarea analitică a ecuaţiei(4.122) nu este posibilă. Pentru a putea stabili criteriile de similitudine careintervin în transferul termic convectiv, ecuaţia (4.122) se pune sub forma:

02

2

2

2

2

2

=∂

∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

t

T c

z

T

y

T

x

T

z

T v

y

T v

x

T vc p z y x p ρ λ ρ (4.124)

Se poate observa că toţi termenii ecuaţiei (4.124) au dimensiuneaunei energii raportate la unitatea de volum [W/m3]. Trecând la formula

dimensională generalizată, (4.124) se poate scrie:0

2 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅⋅

t

T c

l

T

l

T vc p p ρ λ ρ (4.125)

Cel de-al treilea termen al ecuaţiei (4.125) reprezintă cantitatea decăldur ă Q acumulată în unitatea de volum de fluid în unitatea de timp:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅

⋅⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅

l

T

t l

t T l

t l

Q

t

T c p α α ρ 3

2

3 (4.126)


41/200


35

Înlocuind cantitatea de căldur ă Q din legea de r ăcire a lui Newton(4.105) în (4.126), formula dimensională generalizată (4.125) devine:

02

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅⋅

l

T

l

T

l

T vc p α λ ρ (4.127)

în care primul termen reprezintă viteza transferului termic convectiv, celde-al doilea viteza transferului termic conductiv, iar cel de-al treileacantitatea de căldur ă transferată.

Raportul dintre termenii I şi II reprezintă criteriul Péclet:

Pe2

=

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅

λ

ρ

λ

ρ

l vc

l

T l

T vc

p

p

(4.128)

iar raportul dintre termenii III şi II reprezintă criteriul Nusselt:

Nu

2

=⋅

=⋅

⋅

λ

α

λ λ

α

l

l

T

T

(4.129)

Funcţia criterială care descrie transferul termic convectiv va fi:( ) constant NuPe, = f (4.130)

Pe lângă condiţia de similitudine termică (PeM = PeP) se adaugă şicondiţiile de similitudine hidrodinamică (ReM = ReP ; Fr M = Fr P) şicondiţiile de similitudine geometrică, astfel încât funcţia criterială completă va fi:

constant...,,Fr,Re, Nu,Pe,0

2

0

1 =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

l

l

l

l f (4.131)

Se prefer ă înlocuirea criteriului Péclet cu un alt criteriu, criteriulPrandtl, care se obţine raportând criteriul Péclet la criteriul Reynolds:

a

c

l v

l vc

p

p

ν

λ

μ

μ ρ

λ

ρ

=⋅

=

⋅⋅

⋅⋅⋅

==

Re

Pe Pr (4.132)

Criteriul Pr conţine doar constante fizice ale fluidului prin care areloc transferul de căldur ă şi reprezintă raportul dintre viscozitatea cinematică (ν ) şi difuzivitatea termică (a) a fluidului.

Întrucât criteriul Nusselt conţine parametrul care trebuie determinat(α ), el este criteriul determinant, iar ecuaţia criterială (4.131) capătă forma:


42/200


36

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

⋅= ...,,Fr,Pr,Re, Nu

0

2

0

1

l

l

l

l f

l

λ

α (4.133)

Deoarece criteriul Fr provine din raportul dintre energia potenţială şienergia cinetică, el poate fi omis în cazul convecţiei for ţate în regimturbulent.

În cazul convecţiei naturale, când deplasarea fluidului şi deci şitransferul căldurii se realizează sub influenţa diferenţei de densitate afluidului la temperaturi diferite, criteriul Fr nu poate fi neglijat. Este de

preferat însă substituirea sa cu un alt criteriu, criteriul Grashof :

T gl T vl v gl T Δ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =Δ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =Δ⋅⋅⋅= β μ

ρ β μ ρ β

2

3

2

22ReFr Gr (4.134)

în care produsul adimensional β ΔT , dintre coeficientul de dilatare cubică şidiferenţa de temperatur ă, exprimă cauza care produce deplasarea liber ă afluidului.

Ţinând cont de criteriul Grashof, ecuaţia criterială (4.133) capătă forma generală:

( ),...G,GGr,Pr,Re, Nu 21 f = (4.135)în care G1, G2, ... sunt criteriile de similitudine geometrică. Ecuaţia (4.135)

poate lua una din formele simplificate redate în tab. 4.5.

Tab. 4.5. Forme particulare ale ecua ţ iei criteriale (4.135)

Transmiterea căldurii prin: Ecuaţia criterială lichide în convecţie for ţată Nu = f (Re, Pr, G1, G2, ...)lichide în convecţie liber ă Nu = f (Pr, Gr, G1, G2, ...)gaze în convecţie for ţată Nu = f (Re, G1, G2, ...)gaze în convecţie liber ă Nu = f (Gr, G1, G2, ...)

În cazul gazelor, s-a constatat că pentru substanţe având acelaşinumăr de atomi în moleculă, criteriul Prandtl este practic constant, avândurmătoarele valori: Pr = 0,67 (gaze monoatomice); Pr = 0,74 (gaze

diatomice); Pr = 0,80 (gaze triatomice); Pr = 1,00 (gaze tetraatomice).Ecuaţiile criteriale pentru descrierea transferului de căldur ă pot fi

deduse şi prin analiză dimensională, utilizând teorema π (vezi capitolul 2).

4.4.5. Determinarea coeficienţilor individuali de transfer termic

Cu foarte puţine excepţii, coeficienţii individuali de transfer decăldur ă α se determină cu ajutorul ecuaţiilor criteriale. Ecuaţiile criteriale


43/200


37

scrise sub forma generală (4.135) nu pot fi utilizate pentru determinareacoeficienţilor α . Pentru a putea fi utilizate, aceste ecuaţii se scriu sub formaunor produse de criterii, fiecare ridicat la o putere:

( ) ( ) ( ) ...GPr Re Nu 1 pnm

c= (4.136)Utilizată sub această formă, ecuaţia criterială îşi restrânge aria devalabilitate. Valorile constantei c şi ale exponenţilor m, n, p, ... se determină

pe cale experimentală. Ecuaţia criterială este valabilă doar în cadruldomeniului în care s-au determinat experimental parametrii c, m, n, p.Extrapolarea f ăr ă discernământ a ecuaţiilor criteriale în afara domeniului lorde valabilitate, poate duce de multe ori la erori grave în conceperea

echipamentelor de transfer termic.Câteva astfel de ecuaţii criteriale, frecvent utilizate, sunt prezentateîn cele ce urmează.

4.4.5.1. Transfer termic la curgerea prin conducte şi canale

• La curgerea turbulentă deplin dezvoltată (Re > 104) se recomandă utilizarea relaţiei:

25,0

43,08,0

Pr

Pr Pr Re021,0 Nu

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ =

p

l ε (4.137)

în care criteriul Pr p se calculează cu constantele fizice ale fluidului latemperatura peretelui. Coeficientul de corecţie ε l , arată influenţa raportuluidintre lungimea conductei L şi diametrul acesteia d a

transfere de caldura si de masa

Documents