transfer de caldura si masa.pdf

7/25/2019 Transfer de caldura si masa.pdf

1/257

Prof.dr.ing. Adrian Alexandru Badea

INITIERE IN TRANSFERUL DECALDURA SI MASA

2004


2/257

CUPRINS

Cap.1 Consideraii generale

1.1. Definiii 11.1.1. Cmpul de temperatur!... 11.1.2. Suprafaa izoterm!.. 21.1.3. Gradientul de temperatur!.. 21.1.4. Fluxul termic... 31.1.5. Fluxuri termice unitare... 31.1.6. Linii $i tub de curent. 3

1.2. Analogia electric!a transferului de c!ldur! 41.3. Modurile fundamentale de transfer al c!ldurii 4

1.3.1. Conducia termic!... 41.3.2. Convecia termic!.. 51.3.3. Radiaia termic!. 7

Cap.2 Transferul de c!ldur!prin conducie2.1. Ecuaiile difereniale ale conduciei termice 9

2.1.1. Ecuaia legii lui Fourier.. 92.1.2. Ecuaia general!a conduciei termice 92.1.3. Condiii de determinare univoc!a proceselor

de conducie 132.1.4. Conductivitatea termic!.. 15

2.2. Conducia termic!unidirecional!n regim constant.. 172.2.1. Corpuri cu forme geometrice simple f!r!surse

interioare de c!ldur!. 172.2.1.1. Peretele plan.. 172.2.1.2. Peretele cilindric. 30

2.2.1.3. Peretele sferic. 362.2.2. Corpuri cu forme geometrice simple cu surse

interioare de c!ldur!uniform distribuite.. 382.2.2.1. Peretele plan.. 382.2.2.2. Peretele cilindric. 422.2.2.3. Perete cilindric tubular 432.2.3. Conducia termic!prin suprafee extinse... 462.2.3.1. Ecuaia general!a nervurilor.. 462.2.3.2. Nervura cu seciune constant! 482.2.3.3. Nervura circular! 54


3/257

Iniiere n transferul de c!ldur!$i mas!viii

2.2.3.4. Transferul de c!ldur!printr-un perete nervurat.. 582.3 Conducia termic!bidirecional!n regim constant. 61

2.3.1. Metoda separ!rii variabilelor.. 612.3.2. Metoda grafic! 652.3.3. Metode numerice 71

2.4. Conducia termic!n regim tranzitoriu 732.4.1. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene

interne neglijabile... 752.4.2. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene

de suprafa! neglijabile. 78

2.4.3. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezisteneinterne $i de suprafa!finite... 802.4.3.1. Perete plan infinit 802.4.3.2. Discretizarea ecuaiei difereniale a conductei

tranzitorii 87Cap.3 Convecia termic!

3.1. Introducere n convecia termic!.. 913.1.1. Elemente fundamentale $i definiii. 913.1.2. Ecuaiile difereniale ale conveciei 943.1.2.1. Ecuaia conduciei.. 943.1.2.2. Ecuaia mi$c!rii.. 953.1.2.3. Ecuaia continuit!ii 97

3.1.2.4. Condiii de determinare univoc!. 983.1.3. Factorii care influeneaz!transferul de c!ldur!.. 993.1.4. Metode de determinare a coeficientului de

convecie. 1003.1.5. Studiul experimental al proceselor de convecie

termic! 1033.1.5.1. Bazele teoriei similitudinii.. 1043.1.5.2. Analiza dimensional!.. 1063.1.5.3. Planificarea experimentului $i corelarea datelor

experimentale.. 1113.2. Convecia liber!... 114

3.2.1. Convecia liber!n spaii mari 115

3.2.2. Convecia liber!n spaii limitate.. 1193.3. Convecia forat!monofazic!exterioar!. 122

3.3.1. Convecia forat!la curgerea peste o plac! 1223.3.2. Convecia forat!la curgerea peste un cilindru.. 1263.3.3. Transferul de c!ldur! la curgerea forat! peste

un fascicul de evi.. 1303.4. Convecia forat!monofazic!la curgerea prin canale. 135

3.4.1. Curgerea prin canale circulare 1353.4.1.1. Transferul de c!ldur!la curgerea laminar! 1353.4.1.2. Transferul de c!ldur!la curgerea turbulent!.. 139


4/257

Cuprins ix

3.4.2. Curgerea prin canale necirculare 1443.4.2.1. Canale inelare. 1443.4.2.2. Canale rectangulare 1463.4.2.3. Canale ondulate.. 147

3.5. Transferul de c!ldur!la fierbere.. 1503.5.1. Clasificarea proceselor de fierbere. 1503.5.2. Fierberea n volum mare. 1513.5.2.1. Condiiile amors!rii nucleaiei 1513.5.2.2. Regimurile fierberii 1533.5.2.3. Transferul de c!ldur!la fierberea nucleic!. 156

3.5 .2.4. Transferul de c!ldur!la fierberea pelicular!.. 1613.5.3. Fierberea cu convecie forat! 1623.5.3.1. M!rimi caracteristice.. 1623.5.3.2. Structura curgerii bifazice.. 1633.5.3.3. Transferul de c!ldur!la fierberea cu convecie

forat!. 1673.6. Transferul de c!ldur!la condensare. 168

3.6.1. Condensarea pelicular!. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . 1693.6.1.1. Transferul de c!ldur!la condensarea pelicular!

cu curgere laminar!. 1713.6.1.2. Transferul de c!ldur!la condensarea pelicular!

cu curgere turbulent!.. 176

3.6.1.3. Influena vitezei vaporilor asupra coeficientuluide convecie 177

3.6.1.4. Influena prezenei gazelor necondensabileasupra condens!rii peliculare.. 178

3.6.1.5. Condensarea pelicular!n interiorul evilor... 1793.6.2. Transferul de c!ldur!la condensarea nucleic!... 181

Cap.4 Radiaia termic!4.1. Elemente fundamentale 183

4.1.1. Natura fenomenului 1834.1.2. Definiii... 1844.1.3. Legile radiaiei termice... 1894.1.3.1. Legea lui Planck. 189

4.1.3.2. Legea lui Stefan Boltzmann 1914.1.3.3. Legea lui Kirchhoff. 1944.1.3.4. Legea lui Lambert... 195

4.2. Transferul de c!ldur!prin radiaie ntre corpuri separateprin medii transparente 1954.2.1. Transferul de c!ldur! prin radiaia ntre dou!

suprafee plane paralele.. 1954.2.2. Transferul de c!ldur! prin radiaie ntre dou!

corpuri oarecare.. 1984.3. Radiaia gazelor 205


5/257

Iniiere n transferul de c!ldur!$i mas!x

Cap.5 Intensificarea transferului termic5.1. Intensificarea transferului termic convectiv 212

5.1.1. Metode de intensificare... 2125.1.2. Nervurile. 2165.1.3. Inseriile.. 2205.1.4. Suprafee rugoase 2215.1.5. Intensificarea transferului termic la fierbere... 2235.1.6. Intensificarea transferului de c!ldur!la

condensare.. 2255.2. Intensificarea transferului termic prin radiaie 228

Cap.6 Transferul de mas!6.1. Transferul de mas!prin difuziune molecular!. 2296.1.1. Definiii. Legi de baz! 2296.1.2. Ecuaii difereniale ale difuziei moleculare 2356.1.2.1. Ecuaia de continuitate 2356.1.2.2. Forme speciale ale ecuaiei de continuitate 2386.1.2.3. Condiii iniiale $i la limit!. 2406.1.3. Difuzia masic!prin medii cu geometri simple

f!r!reacii chimice care genereaz!mas!nvolum.. 241

6.2. Transferul de mas!convectiv... 2436.2.1. Ecuaii de baz! 244

6.2.2. Transferul de mas!interfazic.. 245Bibliografie


6/257

CAP.1 CONSIDERA'II GENERALE

1.1. Definiii

Transferul de c!ldur!este $tiina proceselor spontane, ireversibile,de propagare a c!ldurii n spaiu $i reprezint!schimbul de energie termic!ntre dou!corpuri, dou!regiuni ale unui corp sau dou!fluide sub aciuneaunei diferene de temperatur!.

Transferul de c!ldur! face parte din $tiina mai larg! a studiuluic!ldurii, el respectnd cele dou! principii ale termodinamicii: primul

principiu care exprim! legea conserv!rii energiei termice n procesele detransfer $i cel de al doilea principiu potrivit c!ruia transferul de c!ldur! serealizeaz!ntotdeauna de la o temperatur!mai ridicat!c!tre o temperatur!

mai cobort!.

1.1.1.Cmpul de temperatur!

Temperatura caracterizeaz!starea termic!a unui corp, caracterizndgradul de nc!lzire a acestuia.

n fiecare punct M (x,y,z) dintr-un corp solid, lichid sau gazos sepoate defini o temperatur!, funcie scalar!de coordonatele punctului $i detimp:

T= T (x,y,z,) (1.1)

Cmpul de temperatur!definit de relaia (1.1) este tridimensional $inestaionar. Dac!temperatura nu depinde de timp, cmpul de temperatur!este staionar sau permanent.Cel mai simplu cmp de temperatur!, careva fi utilizat cel mai des n acest curs este cmpul staionar unidirecional:

T = T (x). (1.2)


7/257

Iniiere n transferul de c!ldur!$i mas!2

1.1.2. Suprafaa izoterm!

Suprafaa izoterm!este locul geometric al punctelor din spaiu carela un moment dat au aceea$i temperatur!. n regim nestaionar suprafeeleizoterme sunt mobile $i deformabile; n regim staionar ele sunt invariabile.Suprafeele izoterme nu pot intersecta, acela$i punct din spaiu la acela$imoment de timp, neputnd avea temperaturi diferite.

Unitatea de m!sur! pentru temperatur! este gradul Kelvin [ ] ,definit ca 1/273,16 din temperatura termodinamic!a punctului triplu al apei.

In sistemul internaional de unit!i de m!sur!este tolerat $i gradul Celsius[C], care are aceea$i m!sur!cu gradul Kelvin, diferind doar originea sc!riide m!sur!. Din aceste considerente vom utiliza n lucrare att K ct $i C.

1.1.3. Gradientul de temperatur!

Cmpul de temperatur! fiind o funcie derivabil!se poate defini norice punctM, la fiecare moment un vector al gradientului de temperatur!n direcia normal!la suprafaa izoterm!care trece prin acel punct (1.1):

grad T=

=

n

T

n

t

n 0

lim [K/m] . (1.3)

Fig.1.1Gradientul de temperatur!

n

x

T+t n x

T


8/257

Consideraii generale 3

1.1.4. Fluxul termic

Fluxul termic este cantitatea de c!ldur!care trece printr-o suprafa!izoterm!n unitatea de timp:

=Q

Q [W] . (1.4)

unde: Q este cantitatea de c!ldur!, n J; este intervalul de timp n s.

1.1.5. Fluxuri termice unitareFluxul termic unitar de suprafa! (densitatea fluxului termic)

reprezint!fluxul termic care este transmis prin unitatea de suprafa!:

S

Qqs = [W/m2] . (1.5)

Fluxul termic unitar lineareste fluxul termic transmis prin unitateade lungime a unei suprafee:

L

Qql= [W/m] (1.6)

Fluxul termic unitar volumic este fluxul termic emis sau absorbitde unitatea de volum dintr-un corp:

V

Qqv = [W/m

3] . (1.7)

1.1.6 Linii $i tub de curent

Liniile de curent sunt tangentele la vectorii densit!ii fluxului termic

sq

Ansamblul liniilor de curent pentru un contur dat formeaz!tubul decurent.


9/257


1.2. Analogia electric!atransferului de c!ldur!

Dou! fenomene sunt analoge dac! difer! ca natur! dar au ecuaiicare le caracterizeaz!identice ca form!.

n cazul transferului de c!ldur! exist! o analogie a acestuia cufenomenul de trecere a curentului electric printr-un circuit:

t

s R

Tq

= [W/m2], respectiv:

eR

UI

= [A], (1.8)

unde: et RR , sunt rezistenele termice, respectiv electrice, n (m2K)/W,

respectiv ; T diferena de temperatur!, n K; U diferena depotenial, n V;I curentul electric, n A.

n baza acestei analogii, se pot aplica problemelor de transfer dec!ldur!o serie de concepte din teoria curentului electric, pentru un circuittermic putnd construi un circuit electric echivalent , pentru care calcululrezistenei termice total!se face cu acelea$i reguli ca la circuitele electrice.

1.3. Modurile fundamentalede transfer al c!ldurii

Transferul de energie termic! se poate realiza prin trei modurifundamentale distincte: conducia termic! , convecia termic!$i radiaiatermic!.

1.3.1. Conducia termic!este procesul de transfer al c!ldurii dintr-ozon!cu o temperatur!mai ridicat!c!tre una cu temperatur!mai cobort!,n interiorul unui corp (solid, lichid sau gazos) sau ntre corpuri solide

diferite aflate n contact fizic direct,f!r!existena uneideplas!ri aparente aparticulelorcare alc!tuiesc corpurile respective [ 1 ] .

Mecanismul conduciei termice este legat de cinetica molecular!, deinteraciunea energetic! ntre microparticulele care alc!tuiesc corpurile(molecule, atomi, electroni).

n corpurile solide nemetalice , conducia se realizeaz! printransferul energiei vibraiilor atomilor. Purt!torii asociai acestor undelongitudinale $i transversale sunt fononi(teoria statistic!Bose-Einstein $iDebye)[ 11 ] .


10/257


n cazul metalelor conducia termic! se realizeaz! att prin fononict $i prin electroni liberi (teoria statistic! Fermi-Dirac). n acest caz

ponderea electronilor liberi este de 10 30 ori mai mare dect cea afononilor.

n cazul gazelor macroscopic imobile, conducia termic! seefectueaz! prin schimbul de energie de translaie, de rotaie $i vibraie amoleculelor (teoria cineticii gazelor, statistica Maxwell-Boltzmann).

Pentru lichide exist! dou! mecanisme de propagare a c!ldurii princonducia: ciocnirile elastice legate de mi$carea de mic! amplitudine a

moleculelor n jurul poziiilor lor de echilibru $i deplasarea electronilorliberi (potenialul Van der Waals).Ecuaia fundamental! a conduciei termice este ecuaia legii lui

Fourier (1822):

dx

dTSQ = [W]. (1.9)

sau:gradTqs = [W/m

2] , (1.10)

unde: este conductivitatea termic!, n W/(mK); S suprafaa, n m2;

sqQ, fluxul termic, respectiv fluxul termic unitar de suprafa!, n W,

respectiv W/m2; T temperatura, n K.Ecuaia legii lui Fourier este valabil! pentru conducia termic!

unidirecional! n regim staionar, prin corpuri omogene $i izotrop!, f!r!surse interioare de c!ldur!.

Semnul minus din ecuaia (1.1) $i (1.2) ine seama c! fluxul termicse propag!de la o temperatur!mai ridicat!c!tre una mai cobort!, avndsens invers gradientului de temperatur!.

1.3.2. Convecia termic!Convecia termic!reprezint!procesul de transfer de c!ldur!ntre un

perete $i un fluid n mi$care, sub aciunea unei diferene de temperatur!ntre perete $i fluid.

Convecia presupune aciunea combinat! a conduciei termice nstratul limit!de fluid de lng!perete, a acumul!rii de energie intern!$i ami$c!rii de amesteca particulelor de fluid.

Intensitatea procesului de convecie depinde n m!sur! esenial!demi$carea de amestec a fluidului. Dup!natura mi$c!rii se disting dou!tipuri


11/257


de mi$care c!rora le corespund dou!tipuri de convecie: liber!sau natural!$i forat!. Mi$carea liber! este datorat! variaiei densit!ii fluidului cutemperatur!. La nc!lzirea fluidului densitatea lui scade $i el se ridic!; lar!cire, densitatea cre$te $i fluidul coboar!pe lng!suprafaa de schimb dec!ldur!. Intensitatea mi$c!rii libere este determinat! de natura fluidului,diferena de temperatur! ntre fluid $i perete, volumul ocupat de fluid $icmpul gravitaional.

Mi$carea forat! a unui fluid este determinat! de o for!exterioar!care l deplaseaz!(pomp!, ventilator, diferen!de nivel, etc.).

Ecuaia fundamental! a conveciei termice este dat! de formula luiNewton (1701):

TSTTSQ pf == // [W] , (1.11)

sau:

Tqs = [ W/m2] . (1.12)

unde: este coeficientul de convecie, n W/(m2K); pf TT , temperaturile

fluidului, respective a peretelui, n K; S suprafaa, n m2

.Coeficientul de convecie , caracterizeaz! intensitatea transferuluide c!ldur! convectiv. El este diferit de legea lui Newton ca fluxul termictransmis prin convecie prin unitatea de suprafa! izoterm!la o diferen!detemperatur!de 1 K.

Coeficientul de convecie se poate modifica n lungul suprafeei detransfer de c!ldur!. Valoarea sa ntr-un anumit punct se nume$te local!.ncalculele termice se utilizeaz!de obicei valoarea medien lungul suprafeeia coeficientului de convecie.

Valoarea coeficientului de convecie depinde de numero$i factori:natura fluidului, viteza fluidului, presiune, temperatur!, starea de agregare,

geometria suprafeei, etc.n tabelul 1.1 sunt prezentate ordinele de m!rime a coeficientului de

convecie pentru diferite fluide [39].


12/257


Tabelul 1.1Ordinul de m!rime a coeficientului de convecie

Fluidul $i tipul conveciei , n W/(m2K)Gaze, convecie liber! 6 - 30Gaze, convecie forat! 30 - 300Ulei, convecie forat! 60 - 1800Ap!, convecie forat! 500 - 40.000Ap!, fierbere 3000 - 60.000

Abur, condensare 6000 - 120.000

1.3.3 Radiaia termic!

Radiaia termic!este procesul de transfer de c!ldur!ntre corpuri cutemperaturi diferiteseparate n spaiu.

Orice corp S emite prin radiaii electromagnetice energie.Transportul se realizeaz!prin fotoni, care se deplaseaz!n spaiu cu vitezaluminii. Energia transportat! de ace$tia este n funcie de lungimea de und!a radiaiei.

Transferul de c!ldur! prin radiaie se realizeaz! de la distan!.Fenomenul are dublu sens: un corp radiaz!energie c!tre altele, dar la rnduls!u prime$te energie emis!sau reflectat!de corpurile nconjur!toare. Dac!avem dou!corpuri S$i S, corpul S emite energie prin radiaie c!tre corpulS dar $i prime$te radiaie de la corpul S , emis! sau reflectat! de acesta.Dac! ,'ss TT > pe ansamblu apare un flux termic net transmis de corpul Sc!tre corpul S.

Relaia de baz!a transferului de c!ldur!prin radiaie a fost stabilit!experimental de Stefan n 1879 $i teoretic de Boltzmann n 1984. EcuaiaStefan Boltzmann exprim! fluxul termic emis de un corp negru absolutsub forma:

40STQ = [W] (1.13)

unde: 0 este coeficientul de radiaie a corpului negru( 80 1067,5

= W/(m2K4); S, T suprafaa, respective temperatura, n m2,respective K.


13/257

CAP. 2 TRANSFERUL DE C(LDUR(PRIN CONDUC'IE

2.1. ECUA'IILE DIFEREN'IALEALE CONDUC'IEI TERMICE

2.1.1. Ecuaia legii lui Fourier

Aceast! ecuaie care caracterizeaz! conducia termic!unidirecional!, n regim permanent prin corpuri omogene $i izotrope, f!r!surse interioare de c!ldur!, reprezint!ecuaia fundamental!a conduciei.

Ea a fost enunat!n capitolul anterior $i are forma:

dxdTqS = [W/m2]. (2.1)

2.1.2. Ecuaia general!a conduciei termice

Aceast! ecuaie caracterizeaz! conducia tridimensional!, n regimnestaionar, prin corpuri cu surse interioare de c!ldur!uniform distribuite.

Ipotezelecare stau la baza determin!rii acestei ecuaii sunt:- corpul este omogen $i izotrop, astfel nct conductivitatea termic!

este constant! $i are acelea$i valori n toate direciile:

.;constzyx ==== - c!ldura specific! pc $i densitatea sunt constante n intervalul de

temperatur!considerat;- n interiorul corpului exist!surse de c!ldur!uniform distribuite cu

densitatea volumic!(flux termic unitar volumic) qv[W/m3] = const.;

- deformarea corpului prin dilataie datorit! variaiei temperaturiieste neglijabil!:

Pentru determinarea acestei legi se consider!un element cu volumuldv dintr-un corp (figura 2.1), pentru care se va scrie bilanul termic [20].


14/257


Fig.2.1.Conducia termic!printr-un element de volum

Ecuaia bilanului termic pentru elementul dvare forma:

c'ldura intrat'$i r'mas'n corp c'ldura generat'de surseprin suprafeele lui exterioare (dQ1) interioare de c'ldur'(dQ2)

c'ldura acumulat'n corp (dQ3)

C!ldura intrat! n elementul dvprin conducie dup!direcia Ox, sepoate scrie, utiliznd ecuaia legii lui Fourier:

==dydzd

TdydzdqdQ

sx1 [J], (2.3)

unde: dxdzeste suprafaa de schimb de c!ldur!prin care intr'c!ldura dup!direcia Ox.

C!ldura ie$it!din elementul dv dup!aceea$i direcie, innd seama

c!temperatura feeiA'B'C'D' a elementului dveste dxT

T

+ , va fi:

dydzddxx

TT

xdQx

+

=2 [J]. (2.4)

C!ldura r!mas!n elementul dvdup!direcia Oxva fi atunci:

dQ 2

A'A

D

C

D'

C'

B B'

T

dQx1

dQz1

dQx2

dQ 1

d z2

+ dxx

TT

O

+ =

=


15/257

Transferul de c+ldur+prin conducie 11

ddvx

Tdxdydzd

T

dydzddxx

TT

xdydzd

x

TdQdQdQ xxx

=

=

=

+

+

==

2

2

2

2

21

[J]. (2.5)

n mod analog se poate scrie cantitatea de c'ldur' r'mas' nelementul dvdup!direciile Oy $i Oz:

ddv

y

TdQy 2

2

= , (2.6)

.2

2

= ddvz

TdQz (2.7)

Cantitatea total! de c!ldur! intrat! prin suprafaa lateral! aelementului dv$i r!mas!n aceasta va fi:

,22

2

2

2

2

2

1 =

+

+

= dTdvddvz

T

y

T

x

TdQ (2.8)

unde: T2 este laplacianul temperaturii.Cantitatea de c!ldur! generat! de sursele interioare de c!ldur!

uniform distribuite este:ddvqdQ v =2 [J] . (2.9)C!ldura acumulat!n corp se poate determina utiliznd relaia:

=

= dT

dvcdT

cmdQ pp3 [J] . (2.10)

nlocuind valorile lui 321 ,, dQdQdQ n ecuaia bilanului termic

(2.2), se obine:

+=

ddvqTdvdddv

Tc vp

2 , (2.11)

sau:

.2cp

qTcp

T v

+

=

(2.12)

Definind difuzivitatea termic!pc

a

= ecuaia general! a

conduciei are forma:

+=

vqTT

a21 (2.13)


16/257


Difuzivitatea termic! a reprezint! o proprietate fizic! a unuimaterial, ea caracteriznd capacitatea acestuia de transport conductiv alc!ldurii.

Ecuaia general! a conduciei termice are o serie de cazuriparticulare, prezentate n tabelul 2.1

Tabelul 2.1

Ecuaiile difereniale ale conduciei termice

Denumire Regimul EcuaiaEcuaia general!a

conduciei

Regim tranzitoriu cusurse interioare de

c!ldur! +=

vqTT

a21

Ecuaia lui PoissonRegim constant cu surse

interioare de c!ldur!02 =

+ v

qT

Ecuaia lui FourierRegim tranzitoriu f!r!

surse interioare dec!ldur!

TT

a21 =

Ecuaia lui LaplaceRegim constant f!r!surse interioare de

c!ldur!02 = T

n cazul corpurilor neomogene $i neizotrope : ,,, zyx = la

care )(T= $i )(Tcc pp= $i care au surse interne de c!ldur! discrete n

punctelexi,yi,zi, cu densit!ile ( ),,,, iiii zyxq ecuaia general!a conducieise poate scrie [39] :

( ) ( )

( ).,,,0

ii

n

iiiz

yxp

zyxqz

T

z

y

T

yx

TTTTc

=

+

+

+

+

=

(2.14)


17/257


2.1.3. Condiii de determinare univoc+a proceselor de conducie

Ecuaiile difereniale prezentate descriu o scar! larg!de procese deconducie termic!. Pentru descrierea unui proces concret de transferconductiv, ecuaiilor difereniale trebuie s! li se ata$eze condiii dedeterminare univoc'a procesului.

Aceste condiii sunt de urm!toarele tipuri:Condiii geometrice, care dau forma $i dimensiunile spaiului n

care se desf!$oar!procesul de conducie.Condiii fizice, care dau propriet!ile fizice ale corpului: pc,, $i

variaia surselor interioare de c!ldur!.Condiiile iniiale, care apar n cazul proceselor nestaionare $i dau

de obicei, valorile cmpului de temperatur!, la momentul iniial 0= .Condiiile limit!sau de contur, care definesc leg!tura corpului cu

mediul ambiant $i care se pot defini n mai multe forme [36] :a) Condiiile la limit!de ordinul I (condiii Dirichlet) se refer! la

cunoa$terea cmpului de temperatur!pe suprafaa corpului n orice momentde timp: ( ).,,, zyxTp

Un caz particular al acestui tip de condiii la limit!este cel n caresuprafaa corpului este izoterm!n timp: ctTp= .

b) Condiiile limit! de ordinul II (condiii Neumann), la care secunosc valorile fluxului termic unitar pe contur n orice moment de timp:

( )=

= ,,, zyxfn

Tq

psp (2.15)

n acest caz exist!dou!cazuri particulare:- fluxul termic unitar pe suprafa!este constant: .constqsp= ;- fluxul termic unitar la suprafa! este nul (corp izolat termic,

adiabat):

.0=

pnT (2.16)

c) Condiiile la limit!de ordinul III, la care se dau temperaturafluidului care nconjoar!corpul fT $i legea de transfer de c!ldur! ntre

corp $i fluid.n cazul n care transferul de c!ldur!ntre corp $i fluid se realizeaz!

prin convecie, condiia la limit!de ordinul III se scrie:


18/257


).( fpp

TTn

T=

(2.17)

d) Condiiile limit!de ordinul IV, care caracterizeaz!condiiile detransfer la interfaa dintre dou!corpuri solide de naturi diferite (figura 2.2)

Fig.2.2Condiii la limit!de ordinul IV

n cazul n care contactul ntre cele dou! corpuri este perfect (nuexist!rezistene termice de contact), fluxul termic unitar de suprafa! fiindacela$i n ambele corpuri, condiiile la limit!de ordinul IV se scriu:

.221

1pp dx

dT

dx

dT

=

(2.18)

La interfaa de contact pantele celor dou!variaii ale temperaturilorndeplinesc condiia:

.1

2

2

1 consttgtg == (2.19)

2.1.4. Conductivitatea termic!

Conductivitatea termic!se define$te din ecuaia legii lui Fourier:

Tgrand

qs= [W/(mK)] . (2.20)

Solid 1 Solid 2

T

x

T

T1

1

T22

1 2


19/257


Ea reprezint! fluxul transmis prin conducie prin unitatea desuprafa!izoterm!la un gradient de temperatur!de 1K/m.

Conductivitatea termic!este o proprietate a corpurilor care depindede natura acesteia, temperatur! $i presiune. Ordinul de m!rime alconductivit!ii termice pentru diferite materiale este prezentat n figura 2.3[39].

Fig. 2.3.Ordinul de m!rime al conductivit!ii termicepentru diferite materiale [20]

Pentru corpurile solide influena presiunii asupra lui esteneglijabil!, variaia cu temperatura avnd forma:

( )T= 10 [W/(mK)] (2.21)Variaiile conductivit!ii termice pentru cteva solide, lichide sau gaze sunt

prezentate n figurile (2.4), (2.5) $i (2.6) [20].


20/257


Fig.2.4.Variaia cu temperatur!a conductivit!ii termice pentru solide

Fig. 2.5.Variaia cu temperatur!a conductivit!ii termice pentru lichide


21/257


Fig.2.6.Variaia cu temperatur!a conductivit!ii termice pentru gaze

2.2. Conducia termic+unidirecional+n regim constant

2.2.1. Corpuri cu forme geometrice simplef+r+surse interioare de c+ldur+

2.2.1.1. Peretele plan

Se consider' un perete plan ci grosimea p, dintr-un material cuconductivitatea termic'p, prin care se transmite c!ldura de la un fluid caldcu temperatura Tf1, la un fluid rece cu temperatura Tf2(figura 2.7)

a) Conducia la limit+de ordinul I

n acest caz m!rimile cunoscute sunt: grosimea peretelui , n m;conductivitatea termic'p, n W/(mK); temperaturile celor doi perei Tp1$iTp2, suprafaa peretelui S, n m

2.


22/257


Se ce m!rimile: cmpul de temperatur'T(x), fluxul termic unitarqs$i fluxul termic Q.

n acest caz conducii a fiind unidirecional', n regim permanent,f'r'surse interioare de c'ldur'se poate pleca de la ecuaia legii lui Fourier:

Fig. 2.7Conducia termic'printr-un perete plan

dxdTqs = (2.22)Prin separarea variabilelor $i integrare se obine:

=2

10

p

p

p T

T

ps dTdxq , (2.23)

sau:

21 pppps TTq = . (2.24)Rezult':

Tp1

Fluid cald1

Fluid rece2

Tf1

Tf2

Tp2

x x=p

p

Tf1Tf2

Rs1 Rs2 Rs3Tp1 Tp2

qs


23/257


p

p

pps

TTq

= 21 [W/m3] . (2.25)

Comparnd ecuaia (2.25) cu ecuaia analogiei electrice (1.8), rezult'c'rezistena termic'conductiv'pentru un perete plan este:

p

psR

= [(m2K)/W] (2.26)

Fluxul termic va fi:

Q = qsS [W] (2.27]

Pentru determinarea cmpului de temperatur' ecuaia (2.22) se vaintegra de la 0 lax, respectiv de la Tp1la T(x). Rezult':

qsx= [Tp1T(x)] , (2.28)

de unde, nlocuind pe qscu valoarea din (2.25), rezult':

xTTTTp

pppx =

211 . (2.29)

Rezult'c'variaia temperaturii prin perete este linear+.n cazul n care conductivitatea termic'nu este constant', ci variaz!

liniar cu temperatura:

= 0(1 + T) [W/(mK)] , (2.30)

ecuaia legii lui Fouriei va fi:

dxdTTqs )1(0 += [W/m2] . (2.31)Prin separarea variabilelor $i integrare se obine:

( ) ( )2221210 2 ppppps

TTTTq

+= , (2.32)

sau:

( )21210

21 pp

pp

ps TT

TTq

++

= [W/m2] , (2.33)


24/257


( )21 ppms TTq

= [W/m2] . (2.34)

Rezult'c'n acest caz pentru determinarea fluxului termic unitar sepoate utiliza aceea$i ecuaia ca pentru cazul = ct., conductivitatea termic'calculndu-se la temperatura medie a peretelui Tm= 0,5 (Tp1+ Tp2).

n cazul n care = 0(1 + T), cmpul de temperatur', determinatanalog ca pentru = ct., are forma:

+=

121)(0

2

1 xqTxT sp . (2.35)

Variaia temperaturii prin perete n acest caz este prezentat'n figura2.8.

Fig. 2.8Distribuia temperaturii la conduciatermic'printr-un perete plan omogen

b) Condiii la limit+de ordinul III

n acest caz m!rimile cunoscute sunt temperaturile celor dou'fluideTf1 $i Tf2, cei doi coeficieni de convecie 1 $i 2, grosimea $iconductivitatea termic'a peretelui p$i p, suprafaa de schimb de c!ldur'S.

Tp1

Tp2

= const.(=0)

=0(1+t)

T(x)

T

0


25/257


Se ceredeterminarea fluxului termic unitar qs, a fluxului termic $i atemperaturilor peretelui Tp1$i Tp2.

Fluxul termic unitar de suprafa'se poate scrie n acest caz:

( ) ( ) ( )22221111 fpppp

ppfs TTTTTTq =

== [W/m2] (2.36)

Din aceste egalit!i vor rezulta:

=

=

=

222

21

1

11

1

1

sfp

p

pspp

spf

qTT

qTT

qTT

(2.37)

Prin nsumare se obine:

+

+

=

2121

11

p

psff qTT . (2.38)

Rezult'fluxul termic unitar de suprafa':

21

21

11

+

+

=

p

p

ffs

TTq [W/m2] . (2.39)

La acela$i rezultata se ajunge folosind analogia electric' atransferului de c!ldur'. n acest caz apar trei rezistene termice nseriate:

Rst=Rs1+Rs2+Rs3 [(m2K)/W] , (2.40)

unde: Rs1este rezistena termic'convectiv'la transferul ntre fluidul cald

$i perete; Rs2 rezistena termic' conductiv' prin perete; Rs3 rezistenatermic'convectiv'de la perete la fluidul rece;Rstrezistena termic'total'.

Fluxul termic unitar la convecie este dat de relaia lui Newton:

( )s

pfpfs R

TTTTTq

=

==

1 . (2.41)

Rezult'c'rezistena termic'convectiv'n cazul peretelui plan este:


26/257


= 1scvR [(m

2K)/W] . (2.42)

Atunci fluxul termic unitar de suprafa'va fi:

21

21

11

+

+

=

=

p

p

ff

sts

TT

R

Tq [W/m2] . (2.43]

Se define$te coeficientul global de transfer de c'ldur'Ks:

21

11

11

+

+

==

p

psts R

K [W/(m2K)] . (2.44)

Fluxul termic transmis va fi:

Q =Ks STf1Tf2) [W] . (2.45)

Temperaturile suprafeelor peretelui se stabilesc fie din ecuaiile(2.36 ), fie cu ajutorul rezistenelor termice.n general temperatura ntr-un punct oarecare din perete se determin'

cu relaia:

Tx= T0qsRs, ox , (2.46)

unde:T0este temperatura cunoscut'ntr-un punct de referin';Rs,oxrezistena termic'ntre punctul de referin'$i punctul cuTx.Aplicnd relaia (2.46) rezult':

( )322111 sssfssfp RRqTRqTT ++== ,sau:

+

+=

=

2111

112

p

psfsfp qTqTT ; (2.47)

$i


27/257


( ) 322112 ssfsssfp RqTRRqTT +=+= ,sau:

22

112

11

+=

+

= sf

p

psfp qTqTT . (2.48)

c) Rezistene termice de contact

Dac'dou' suprafee plane vin n contact una cu cealalt!, contactul

fizic direct, datorit'rugozit!ii suprafeelor, se realizeaz!pe o suprafa'Sc,care reprezint!o mic'parte din suprafa'total'de contact S(figura 2.9)

Fig. 2.9Rezistena termic'de contact

Suprafaa efectiv'de contact este funcie de rugozitatea suprafeelor$i de fora de strngere ntre acestea, ea reprezentnd ntre 18% dinsuprafaa total'.

Deoarece conductivitatea termic' a fluidului din interstiiile ntrecele dou' suprafee este diferit' de conductivitatea termic' a celor dou'suprafee, la suprafaa de contact apare o diferen+de temperatur+ Tc,datorit'unei rezistene termice de contactRscdefinit'ca:

s

csc q

TR

= [(m2K)/W] . (2.49)

M'rimea invers' rezistenei termice de contact este conductanatermic+de contact:


28/257


scR

1* = [W/(m2K)] . (2.50)

Rezistena termic' de contact este compus' din dou' rezistenetermice legate n paralel: rezistena termic'prin punctele solide de contact

Rss$i rezistena termic'prin fluidul din interstiiiRsf:

sfsssc RRR

111* +== [W/(m2K)] . (2.51)

Fluxul termic transmis n zona de contact va fi:

( )21*2121 TTSS

R

TTS

R

TTQ f

sfc

ss

=

+

= [W] . (2.52)

Dar:

2

2

1

1

+

=ssR , (2.53)

fsfR

= . (2.54)

nlocuind valorile Rss$iRsf n ecuaia (2.52) $i f!cnd ipoteza: 1=2= /2, rezult':

+

+

= ffc

S

S

S

S

21

21* 21 , (2.55)

sau:

+

= f

fmed

c

S

S

S

S1* [W/(m2K)] , (2.56)

unde: med este media armonic' a conductivit!ii celor dou' corpuri ncontact (1$i 2).

Din relaia (2.56) rezult'c'rezistena termic'de contact, respectivconducia termic'de contact sunt dependente de:

presiunea de strngere a celor dou'suprafee; rugozitatea suprafeelor; rezistena la ruperera materialului cu duritate mai mic'; conductivitatea termic'a celor dou'solide; conductivitatea termic'a fluidului din interstiii.


29/257


n figura 2.10 sunt date curbele de variaie a conductanei termice decontact n funcie de presiunea de strngere pentru 10 perechi de materiale

prezentate n tabelul 2.2 [37].

Fig. 2.10Variaia conductanei termice de contact


30/257


Tabelul 2.2

Caracteristicile suprafeelor n contact corespunz!toarecurbelor de conductan+termic+din figura 2.10

Curbanr.

Perechea demateriale

Rugozitateasuprafeelor

m

Fluidul dininterstiiu

Temperaturamedie decontactC

1 Aluminiu 1,221,65 Vid (10-2 Pa) 43

2 Aluminiu 1,65 Aer 933 Aluminiu 0,150,2

(neplane)Foi' de plumb

(0,2 mm)43

4 Oel inoxidabil 1,081,52 Vid (10-2 Pa) 305 Oel inoxidabil 0,250,38 Vid (10-2 Pa) 306 Oel inoxidabil 2,54 Aer 937 Cupru 0,180,22 Vid (10-2Pa) 46

8 Oel inoxidabilaluminiu

0,761,65 Aer 93

9 Magneziu 0,20,41(oxidat)

Vid (10-2Pa)30

10 Fieraluminiu Aer 27

d) Perete plan neomogen cu straturi perpendicularepe direcia de propagare a c!ldurii

Vom considera un perete plan format din 2 straturi cu rezisten'termic'de contact ntre ele, cu condiii la limit'de ordinul III (figura 2.11).

M!rimile cunoscute n acest caz vor fi: temperaturile celor dou'fluide Tf1$i Tf2, coeficienii de convecie 1$i 2, grosimile celor doi perei1$i 2, conductivit'ile termice ale pereilor 1$i 2, conductana termic'de contact

*$i suprafaa de schimb de c!ldur'S..


31/257


Fig. 2.11Transferul c!ldurii ntre dou'fluide printr-un perete omogencu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a c!ldurii:a distribuia temperaturii; b schema electric'echivalent'.

Se cer: fluxul termice unitar de suprafa'qs, fluxul termic Q$i temperaturilepereilor Tp1, Tp2, Tp3, Tp4.

Vom porni de la schema electric'echivalent'care este format'din 5rezistene termice nseriate. Rezult':

=

=

5

1

21

isi

ffs

R

TTq [W/m2] , (2.57)

sau, nlocuind valorile celor 5 rezistene:

T

Tp11

11

1

== ssps qRqT

*

1

== sscsc qRqT

2

2

22

==

sspspqRqT

222

1

== sss qRqT

1

111

== sspsp qRqT

Tf2

Tf1

Tp2

T3

Tp4

21

21

2

1

qsS

a

1

1

1

=sR1

11

=spR

*

1

=

sc

R 2

22

=spR

22

1

=sR

Tf1 Tf2Tp1 Tp2 Tp3 Tp4

qs

b)


32/257


22

2*

1

1

1

21

111

+

+

+

+

= ffs

TTq [W/m2] . (2.58)

Coeficientul global de transfer de c!ldur'va fi:

22

2*

1

1

1

11111

+

+

+

+

==st

s RK [W/(m2K)] (2.59)

Fluxul termic transmis va fi:

Q= qsS=Ks S(Tf1Tf2) [W] . (2.60)

Aplicnd regula dat'de relaia (2.46) rezult':

11111

1

== sfssfp qTRqTT ; (2.61)

( )

+

=+=

1

1

112112

1

sfsssfp

qTRRqTT ; (2.62)

( )

+

+

=++=*

1

1

1132113

11sfssssfp qTRRRqTT ; (2.63)

2224

1

+=+= sfspsfp qTRqTT . (2.64)

e) Perete compozit

Pentru exemplificarea acestui caz vom considera faada unei cl'diri(figura 2.12) constituit'din beton cu conductivitatea termic'1(ha$urat) $iun material izolant (aer sau polistiren) cu conductivitatea termic'2[1].


33/257


)innd seama de simetria sistemului, acesta se poate descompune, nelemente de n'lime identic'b. Schema electric'echivalent'este compus'din 7 rezistene termice legate n serie $i paralele.

Fig. 2.12Perete compozit [1]

Rezistena termic'total'echivalent'va fi:

76

543

21 1111

ss

sss

ssst RR

RRR

RRR ++++

++= . (2.65)

Pentru determinarea rezistenelor termice vom scrie fluxul termicunitar pe fiecare zon', considernd o l!ime a pereteluiz, astfel cazb=1m2.Vom obine pentru zonele omogene 1, 2, 4 $i 5:

5241

12

1

111 TTTTqs =

=

== . (2.66)

1

b3

b

b

T3T1 T2 T4 T5

Rs2Rs1

Rs3

Rs4

Rs5

Rs6 Rs7Tf1 Tf2

Tf1 Tf21 2

b1

b2

1


34/257


Rezult':

27

1

16

1

12

11

1;;;

1

=

=

=

= ssss RRRR [(m2K)/W] (2.67)

Pentru zona 3 care este neomogen'fluxul termic unitar va fi:

332

22

2

11

2

2321 Tzbzbzbqqqq ssss

+

+

=++= . (2.68)

Rezult':

12

2

12

2

2

123

1

b

b

zbzbRs

=

=

= ; (2.69)

21

2

21

2

2

2114

1

b

b

zbzbRs

=

=

= ; (2.70)

32

2

32

2

2

325

1bb

zbzbRs

=

=

= . (2.71)

2.2.1.2. Peretele cilindric

Se consider' un perete cilindric tubular cu raza interioar' ri(diametrul di) $i raza exterioar're (diametrul exterior de), alc!tuit dintr-unmaterial omogen cu conductivitatea termic'= const.

a) Condiii la limit+de ordinul I

Se dau: diametrele di$i de, conductivitatea termic', lungimea l acilindrului $i temperaturile pe cele dou'fee Tp1$i Tp2.

Se cer: determinarea cmpului de temperatur', fluxului termic unitarlinear $i fluxului termic.

n cazul peretelui cilindric suprafaa sa variaz! n lungul razei $i nconsecin' $i fluxul termic unitar de suprafa' va fi variabil n funcie de


35/257


raz'. Din aceste motive n acest caz se utilizeaz'fluxul termic unitar linearql. Leg!tura ntre cele dou'fluxuri unitare este:

dqq sl = [W/m] . (2.72)

Fig. 1.13Transferul de c!ldur'conductiv printr-un perete cilindric:a) variaia temperaturii; b) schema electric'echivalent'

Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se porne$te de laecuaia legii lui Fourier:

dr

dTSlqQ l == . (2.73)

Suprafaa de schimb de c!ldur'este: S= 2rl. Rezult':

ri

re

di

de

Tp1

Tp2

Tf1

Tf2

drr

d

dT

l=1m

=const.

T l

a)

b)Tf2 Tf1Tp2 Tp1

Rl2 Rl1Rl3


36/257


dr

dTrql = 2 . (2.74)

Separnd variabilele $i integrnd se obine:

r

drqdT

e

i

p

p

r

r

e

T

T

= 22

1

, (2.75)

de unde:

i

e

ppl

r

r

TTq

ln2

121

= [W/m] . (2.76)

Din analogia electric'va rezulta valoarea rezistenei termice lineare pentruperetele cilindric:

i

e

i

el d

d

r

rR ln

2

1ln

2

1

== [(mK)/W] . (2.77)

Pentru determinarea ecuaiei cmpului de temperatur'ecuaia (2.75)se va integra de la Tp1la T(r), respectiv de la rila r. Se obine:

i

lp r

rqrTT ln

2)(1

= . (2.78)

nlocuind valoarea lui qldin (2.77), se obine:

( ))/(ln

)/(ln)( 211

ie

ippp rr

rrTTTrT = , (2.79)

relaie care arat'c'distribuia temperaturii n peretele cilindric este de tiplogaritmic.

n cazul n care conductivitatea termic' este variabil' linear cutemperatura: = 0(1+T) ecuaia (2.74) devine:

( )dr

dTrTql += 210 . (2.80)


37/257


Prin integrare ntre limitele r1$i r, respectiv Tp1$i T(r), rezult':

( )

+

=

1/ln1)(

0

1

2

1

rrqTrT lp . (2.81)

Distribuia temperaturii prin perete n funcie de semnul lui esteprezentat'n figura 2.14

b) Conducii la limit+de ordinul IIIn acest caz m!rimile cunoscute vor fi: temperaturile celor dou'

fluide Tf1 $i Tf2, coeficienii de convecie i, e, diametrele $i lungimeaperetelui: di, de, l$i conductivitatea termic'.

Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se va utilizaanalogia electric'a transferului termic pentru schema echivalent'din figura2.13.

Fig. 2.14Distribuia temperaturii la conduciatermic'printr-un perete cilindric omogen

Fluxul termic unitar linear va fi:

d1

const.(=0)T(r)

0

=0(1+T)

Tp1

Tp2

T

d2

r

ql


38/257


321

21

lll

ffl RRR

TTq

++

= [W/m] , (2.82)

unde: Rl1 $i Rl3 sunt rezistene termice convective, n mK/W; Rl2 rezistena termic'conductiv', n mK/W.

Pentru determinarea valorii rezistenei termice convective se pleac!de la relaia legii lui Newton:

TrlTSQ == 2 [W] . (2.83)Rezult

':

==

d

T

l

Qql 1

[W/m] . (2.84)

Rezistena termic'linear'convectiv'va fi:

=

dR cvl

1, [(mK)/W] . (2.85)

nlocuind n (2.82) valorile rezistenelor termice calculate cu (2.85)$i (2.77), rezult':

eei

e

ii

ffl

dd

d

d

TTq

+

+

= 1ln

2

1121 [W/m] . 2.86)

Definind coeficientul global linear de transferde c!ldur':

eei

e

ii

l

dd

d

d

K

+

+

=1

ln2

111

[W/(mK)] , (2.87)

fluxul termic va fi:

21 ffl TTlKQ = [W] . (2.88)

Pentru determinarea temperaturilor pereilor se va aplica relaia(2.46):

eilfllfp d

qTRqTT

==1

1111 ; (2.89)


39/257


( )

eelfllf

i

e

iilflllfp

dqTRqT

d

d

dqTRRqTT

1

ln2

11

232

12112

+=+=

=

+=+=

. (2.90)

c) Perete cilindric neomogen cu straturi perpendicularepe direcia de propagare a c!ldurii

Se consider'un perete cilindric format din dou'straturi cu rezisten'

termic'de contact ntre ele (figura 2.15).Rezistena termic'total'este:

232

3

2*

21

2

111

2211

1ln

2

11ln

2

11

+

+

+

+

=

=++++=

dd

d

dd

d

d

RRRRRR llplclpllt . (2.91)

Coeficientul global de schimb de c!ldur', fluxul termic unitar linear$i fluxul termic se determin'cu relaiile:

Fig. 2.15Transferul c!ldurii printr-un perete cilindric neomogencu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a c!ldurii

232

3

2*

21

2

111

1ln

2

11ln

2

111

+

+

+

+

=

dd

d

dd

d

d

Kl [W/(mK)];(2.92)

T1

T1

11

1

==d

qRqT lll

*

1

==

dqRqT llclc

322 ln

1 dqRqT llplp ==

22

1== qRqT lll

211 ln

1 dqRqT llplp ==

T2

T2

T3T4

i

d1

d2

d3

*


40/257


11 pfll TTKq = [W/m] . (2.93)

Temperaturile peretelui se determin' analog ca n cazul anterior(relaia 2.46). Pentru exemplificare:

( )2221113

lpllf

lclpllfp

RRqT

RRRqTT

++=

=++= [C] . (2.94)

2.2.1.3. Peretele sferica) Condiii la limit+de ordinul I

Se consider'un perete sferic (sfer'goal'la interior, (figura 2.16) curaza interioar' r1 $i cea exterioar' r2, dintr-un material cu conductivitateatermic'. Se cunosc cele dou'temperaturi pe suprafa'Tp1$i Tp2.

Fig. 2.16Transferul c!ldurii prin conducieprintr-un perete sferic omogen

T Tp1

Tp2

T(r)

r1

r2

r dr

dT

d1d2

0

=const.


41/257


Fluxul termic, conform ecuaiei legii lui Fourier va fi:

( )dr

dTr

dr

dTSQ 24== [W] . (2.95)

Prin separarea variabilelor $i integrare se obine:

=2

1

2

1

24

r

r

T

T r

drQdT

p

p

, (2.96)

Rezult':

=

2121

11

4 rr

QTT pp . (2.97)

Fluxul termic va fi:

=

=

21

21

21

21

11

2

111

4

dd

TT

rr

TTQ pppp [W] . (2.98)

Rezult'c'rezistena termic'conductiv'n cazul sferic va fi:

=

21

11

2

1

ddRtcd [K/W] (2.99)

Prin integrarea relaiei (2.96) de la Tp1la T(r), respectiv de la r1la r,rezult'ecuaia cmpului de temperatur':

( )21

1

2111

1 11

11

11

4)(rr

rr

TTTrr

Q

TrT pppp

=

= (2.100)

Relaia (2.100) arat'c'variaia temperaturii prin perete este n acestcaz de tip hiperbolic.

b) Condiii la limit+de ordinul III

Ecuaia fluxului termic convectiv n cazul sferei este:


42/257


===

2

2

1

d

TTdTSQ [W] (2.101)

Rezult' c' rezistena termic' convectiv' n cazul peretelui sfericeste:

=

2

1

dRtcv [K/W] . (2.202)

Aplicnd analogia electric', n cazul condiiilor la limit'de ordinul

III fluxul termic va fi:

222211

21

21

1

21

111

2

11

2

+

+

=

=++

=

dddd

TT

RRR

TTQ

ff

tcvtcdtcv

ff

[W] , (2.103)

sau:

21 ffsf TTKQ = [W] . (2.104)

Rezult' coeficientul global de schimb de c!ldur' pentru peretelesferic:

222211

21

111

2

11

1

+

+

=

dddd

Ksf [W/K] . (2.105)

2.2.2. Corpuri cu forme geometrice simplecu surse interioare de c+ldur+uniform

distribuite2.2.2.1. Peretele plan

a) Perete r!cit uniform pe ambele fee(fig.2.17a)Ecuaia diferenial' care caracterizeaz! conducia termic' prin

corpuri cu surse interioare de c'ldur'uniform distribuite n regim permanenteste ecuaia lui Poisson, care scris' pentru cmpul de temperatur'unidirecional este:


43/257


02

2

=

+ vq

dx

Td . (2.106)

Integrnd de dou'ori se obine:

1Cxq

dx

dT v +

= , (2.107)

212

2CxCx

qT v ++

= (2.108)

Pentru determinarea constantelor de integrare C1 $i C

2 se pot pune

condiii la limit'de ordinul I sau ordinul III. Peretele fiind r!cit uniform peambele fee, n centrul pl!cii temperatura va fi maxim', deci:

lax= 0 , 0=dx

dT. (2.109)

Fig. 2.17.Distribuia temperaturii printr-un perete plancu sursa interioar'de c'ldur'uniform distribuit':a) r!cit uniform pe ambele fee; b) r!cit neuniform

n cazul condiiile la limit+de ordinul I: lax= , T=Tp. (2.110)

Cu aceste condiii la limit'cele 2 constante rezult':

0

STf Tf

Tp

Q1/2 Q1/2

Tp

Tm

qv=const.

=const.

a)

v=const.=const.

Q1 Q2

Qx Qx+dx

dx

m

Tm

S

Tf1

T2

Tp1

T2

1 2

2

0 b)


44/257


01=C $i2

2 2

+= vpq

TC . (2.111)

Rezult':

+=

22 1

2

xqTT vp . (2.112)

Temperatura maxim'a peretelui va fi:

2

2

+= vpm qTT . (2.113)

Ecuaia cmpului de temperatur' se poate scrie $i pornind de latemperatura maxim', punnd condiia la limit':

lax= 0 , T= Tm . (2.114)Rezult': C1= 0; C2= Tm $i:

=

2

2xqTT vm . (2.115)

n cazul condiiilor la limit+de ordinul III, vom avea: lax= 0, 0=

dx

dT;

lax= , ( )fp TTdxdT

= . (2.116)

Se obine: C1= 0 $i:

+= vfpq

TT . (2.117)

nlocuind valoarea lui Tpn relaia (2.112), rezult':

+

+=

22

12

xqq

TTvv

f . (2.118)

Fluxul termic transmis prin fiecare fa'a peretelui cu suprafaa Svafi:

===

Sqdx

dTSQ v

x2/1 [W] . (2.119)


45/257


b) Perete r+cit neuniform pe cele dou+fee(fig. 2.17.b)

n acest caz punnd condiiile la limit+de ordinul I: lax= 0 , T= Tp1; lax= 2 , T= Tp2,

rezult':C2= Tp1 $i

+

= vpp

qTTC

212

1 . (2.120)

Ecuaia cmpului de temperatur'va fi:

112

2

22 pvppv Tx

qTTxqT +

+

+

= . (2.121)

Temperatura maxim'se realizeaz!la distanax=xm, care rezult'din ecuaiadT/dx= 0 :

+=

212 pp

vm

TT

qx . (2.122)

nlocuind valoarea lui xm n ecuaia (2.121), rezult' temperaturamaxim':

( ) ( )212

122

2

2

1

82 ppppv

vm TTTTq

qT ++

+

= . (2.123)

Fluxurile termice transmise prin cele dou' fee, avnd suprafaa Seste:

+

== vppmv

qTTSSxqQ

212

1 [W] ,

(2.124)

( )

==2

2 122ppv

mv

TTqSxSqQ [W] .

(2.125)Condiiile la limit'de ordinul III vor fi:

lax= 0 , ( )111 fp TTdxdT

= ;

la x = 2, ( )22 fp TTdxdT

= .


46/257


Rezult'temperaturile suprafeelor peretelui:

+

+

+

++=

1

2

1

212

11

21

12 vff

fp

qTT

TT ;

(2.126)

+

+

+

++=

2

1

2

121

22

21

12 vff

fp

qTT

TT . (2.127)

nlocuind aceste valori n ecuaia (2.121) se stabile$te ecuaia cmpului detemperatur'.

2.2.2.2. Peretele cilindric(fig. 2.18)

Ecuaia lui Poisson pentru conducia unidirecional' n coordonatecilindrice are forma:

01

2

2

=

++ vq

dr

dT

rdr

Td , (2.128)

cu soluia general':

21

2

ln4

CrCrq

T v ++

= . (2.129)

Punnd condiiile la limit':

la r = 0 , 0=dr

dT;

la r = 0 , T= Tm ,rezult': C1= 0 $i C2= Tm. Ecuaia cmpului de temperatur'va fi:

=

4

2rqTT vm . (2.130)

Temperatura peretelui se obine pentru r = R:

=

4

2RqTT vmp . (1.131)

Fluxul termic generat n perete $i transmis prin suprafaa acestuiaeste:


47/257


( )lTTlqRdr

dTSQ pmv

r

====

42

0

[W] . (1.132)

Fig. 2.18Perete cilindric cu surse interioarede c'ldur'uniform distribuite

2.2.2.3. Perete cilindric tubular

n cazul transferului de c'ldur'printr-un perete tubular, dac' tubulcilindric are perei subiri(de/di1,1) el poate fi tratat cu bun'aproximaie

ca un perete plan. n cazul tuburilor cu perei gro$i (de/di > 1,1) se potntlni trei cazuri: tubul are suprafaa interioar' izolat'termic, fiind r'cit numai la

exterior (fig. 2.19.a); tubul are suprafaa exterioar' izolat'termic, fiind r'cit numai la

interior (fig. 2.19.b); tubul termic este r'cit pe ambele fee (fig. 1.19.c).

Ecuaiile cmpului de temperatur', razei la care apare temperatura maxim'$i fluxurile transmise prin cele dou'fee sunt prezentate n tabelul 2.3

qv= const.

= const.Tf Tf

Tp Tp

Tm

Qr+drQr

drrl

R

r0


48/257


Fig. 2.19.Perete tubular cu surse interioare de c'ldur'uniform distribuite:

a) r'cit la exterior; b) r'cit la interior; c) r'cit pe ambele fee

qv=const qv=const

qv=const

=const. =const.

=const.

Suprafa'

izola

t'

termic

Suprafa'izolat'

termic

Fluid der'cire

Fluid der'cire

Fluid der'cire

Fluid der'cire

Re Re

Re

Ri Ri

Ri

Ti

Ti

Ti

Te

Te

Te

Tm

Rm

Qe

QeQi

Qi

a) b)

c)


49/257

Tabelul2.3

Perete tubular cu surse interioare de c+ldur+

M+rimeaR+cit la exterior

(fig.2.19.a)R+cit la interior

(fig.2.19.b)R+cit pe ambele fee

(fig.2.19.c)

Cmpul detemperatur'

= 1ln24

22

ii

ivi R

r

R

rRqTT

= 1ln2

4

22

ee

eve

R

r

R

rRqTT

( ) ( )( )

( ) ( )

+

=

4

/ln

/ln

422

22

ievei

ei

iivi

RRqTT

RR

RrRrqTT

Raza la caretemperaturaeste maxim'

Rm=Ri Rm=Ri( ) ( )

i

ev

iev

ie

m

R

Rq

RRq

TTR

ln2

422

+=

Fluxultransmis

prin pereteleinterior

( ) viei lqRRQ22 = 0 ( ) vimi lqRRQ

22 =

Fluxultransmis

prin pereteleexterior

0 ( ) viee lqRRQ22 = ( ) vmee lqRRQ

22 =


50/257


2.2.3. Conducia termic+prinsuprafee extinse

n cazul transferului de c'ldur'ntre un fluid cald $i unul rece, printr-o suprafa' de schimb de c'ldur', coeficientul global de schimb dec+ldur+ este mai mic dect cel mai mic coeficient de convecie (Ks 4.

2.2.3.4. Transferul de c+ldur+printr-unperete nervurat

Dac' se consider' un perete plan nervurat pe una din p'ri cusuprafaa pe partea ne nervurat'S1$i suprafaa pe partea nervurat'St:

St= Sn+ Snn [m2] (2.182)

unde: Sn, Snn sunt suprafa' nervurilor, respectiv suprafaa din perete nenervurat'(dintre nervuri).


63/257


Fig.2.27Transferul de c'ldur'printr-unperete plan nervurat.

Fluxul termic transmis pe partea nervurat'va fi:

0022 =+=+= trednnnnnnn SSSQQQ [W](2.183)

Dar:

0= nn , deci:

00202 =+= trednnnn SSSQ [W] , (2.184)de unde:

t

nnnnred S

SS += 2 [W/(m2K)] . (2.185)

Fluxul termic transmis de la fluidul cald cu Tf1, c'tre cel rece cutemperatura Tf2va fi:

( ) ( ) ( )222111111 fptredpppf TTSTTSTTSQ =

== [W]

(2.186)Din acest $ir de egalit!i rezult':


64/257


red

tt

tff

tred

ff

S

S

S

S

STT

SSS

TTQ

+

+

=

+

+

=

11111

111

21

111

21 [W] (2.187)

n cazul peretelui nervurat se pot defini doi coeficieni globali deschimb de c'ldur', dup'cum ace$tia se refer'la suprafaa nervurat'sau nenervurat':

2122111 fftSffS TTSKTTSKQ == [W] . (2.188)

Rezult':

tred

S

S

SK

1

1

1 111

++

= [W/(m2K)] , (2.189)

red

ttS

S

S

S

SK

111

111

2

++= [W/(m2K)] . (2.190)

Raportul St/S1, poart'denumirea de coeficient de nervurare:

1S

Sn t= . (2.191)

Din analiza relaiei (2.189), rezult' ca prin nervurare (n ipotezan=1), coeficientul de convecie pe partea nervurat'se m!re$te de nori. Dinacest motiv n multe lucr!ri nervurarea este menionat' ca o metod' deintensificare a transferului de c'ldur'convectiv.


65/257


2.3. Conducia termic+bidirecional+n regim constant

Tratarea unidirecional' a problemelor de conducie d' rezultateacceptabile n cazul corpurilor cu grosimea mult mai mic'fa'de lungimealor, cum sunt evile, pl!cile subiri, cilindri cu diametru mic, la caretransferul de c!ldur'are loc predominant transversal. Exist' ns!cazuri ncare corpurile au contururi neregulate sau la care temperaturile pe contur nu

sunt uniforme. n aceste situaii tratarea problemelor trebuie f!cut'bidirecional sau chiar tridimensional.

Rezolovarea problemelor de conducie bi sau tridimensional' sepoate realiza prin metode analitice, grafice sau numerice.

2.3.1. Metoda separ!rii variabilelor

Pentru exemplificarea acestei metode vom considera o plac'rectangular'la care trei laturi sunt meninute la o temperatur'constant'T1,iar cea dea patra fat'este meninut'la temperatura T2T1(figura 2.28).Scopul studiului va fi determinarea cmpului de temperatur'T(x,y) n plac'

Transferul de c!ldur'conductiv va fi bidirecional, n regim staionarprintr-un corp omogen $i izotrop, f'r' surse interioare de c'ldur'. Ecuaiadiferenial'care caracterizeaz!procesul va fi:

02

2

2

2

=

+

y

T

x

T . (2.192)

Pentru simplificarea soluiei vom face schimbarea de variabil':

12

1

TT

TT

= , (2.193)

n acest caz ecuaia diferenial'fiind:

02

2

2

2

=

+

yx

, (2.194)

condiiile la limit'fiind:

( ) 0,0 = y $i ( ) 00, = x ; (2.195)( ) 0, = yL $i ( ) 1, = Wx . (2.196)


66/257


Fig. 2.28Conducia termic'bidirecional'printr-o plac'

Pentru rezolvarea ecuaiei se utilizeaz!metoda separ!rii variabilelor,considernd funcia ca un produs a dou' funcii, una numai funcie de x,cealalt!numai funcie dey:

( ) ( ) ( )yYxXyx = , . (2.197)Ecuaia (2.194) devine:

2

2

2

2 11

dy

Yd

Ydx

Xd

X

= (2.198)

Pentru a avea aceast' egalitate, fiecare membru al ei trebuie s' fieegal cu aceea$i constant'. Pentru ca s'se obin! o soluie care s' respectecondiiile la limit'impuse, constanta trebuie s'fie pozitiv' ( )2 . Vom scrieatunci:

022

2

=+ Xdx

Xd (2.199)

022

2

= Ydy

Yd (2.200)

T(x,y)T1,= 0 T1,= 0

T1,= 0

T2,= 1

0


67/257


Soluiile generale ale ecuaiilor (2.199) $i (2.200) sunt:xCxCX += sincos 21 ; (2.201)

yy eCeCY += 43 . (2.202)Soluia general'a funciei va fi:

( )( )yy eCeCxCxC ++= 4321 sincos . (2.203)

Din condiia (0,y) = 0 , rezult'c'C1= 0Din condiia (x, 0) = 0 , rezult':

( ) 0sin 432 =+ CCxC (2.204)Deoarece C2nu poate fi zero, pentru c' n acest caz funcia nu ar mai fivariabil'cux, rezult': C3+ C4= 0, deci C3= C4.Soluia general'devine:

( )yy eexCC = sin42 (2.205)Din condiia ( ) 0, = yL , se obine:

( ) 0sin42 = yy eeLCC

Aceast' condiie se poate realiza numai dac' constanta va luavalori pentru care 0sin =L . Aceste valori sunt:

L

n= cu n= 1, 2, 3.... (2.206)

Atunci:

( )LynLyn eeL

xnCC //42 sin

= . (2.207)

Combinnd cele 2 constante C2$i C4$i trecnd la funcii hiperbolicese obine:

L

yn

L

xnC

nn

sinhsin

1

=

= . (2.208)

Pentru determinarea lui Cn se pune ultima condiie la limit'

( ) 1, = Wx :1sinhsin

1

=

= L

Wn

L

xnC

nn

. (2.209)

Pentru determinarea lui Cn din ecuaia (2.209) vom folosi analogiacu dezvoltarea n serii a funciilor ortogonale [20]. Astfel un $ir infinit defunciig1(x),g2(x), .....,gn(x), .... va fi ortogonal n domeniul axb, dac':

( ) ( ) =b

a

nm dxxgxg 0 , mn . (2.210)


68/257


Orice funcie f(x) poate fi exprimat' ca o sum' infinit' de funciiortogonale:

( ) ( )xgAxf nn

n

=

=1

(2.211)

Forma coeficientului An din aceast' serie se poate determina prinmultiplicarea fiec!rui membru al ecuaiei cugn(x) $i integrarea ntre limitelea$i b:

( ) ( ) ( ) ( )dxxgAxgdxxgxf nn

n

b

a

n

b

a

n

=

=1

.

(2.212))innd seama de condiia (2.209) rezult' ca n membrul drept al

ecuaiei (2.212) va r!mne din sum' numai un singur termen pentru careintegrala nu este egal'cu zero, deci:

( ) ( ) ( )dxxgAdxxgxfb

a

nnn

b

a = 2 (2.213)

Rezult':

( ) ( )

( )dxxg

dxxgxf

A b

a

n

n

b

an

= 2 . (2.214)

Pentru determinarea lui Cndin ecuaia (2.209) vom alege f(x) = 1 $i( ) ( )Lxnxgn /sin = . Se va obine:

( )n

dxL

xn

dxL

xn

An

L

L

n

112

sin

sin1

0

2

0 +

=

=+

. (2.215)

nlocuindAnn ecuaia (2.211) avem:( )

1sin112 1

1

=+

+

=

L

xn

n

n

n

(2.216)

Comparnd ecuaia (2.216) cu (2.209), rezult':

( )( )LWnhn

Cn

n /sin

112 1

+

=+

, n = 1, 2, 3 ... (2.217)

Atunci ecuaia (2.208) devine:


69/257


( ) ( ) ( )

( )LWn

Lyn

L

xn

nyx

n

n

/sinh

/sinhsin

112,

1

1

=

+ += (2.218)

Ecuaia (2.218) este o serie convergent', care permite calculul lui pentru orice valoarex$iy. n figura 2.29 sunt prezentate izotermele obinutepentru placa considerat'[20].

Fig. 2.29Izotermele pentru o plac'cu conducie bidirecional'

2.3.2. Metoda grafic+

Metoda grafic'poate fi utilizat'pentru problemele la care conturulcorpului studiat este izoterm $i adiabat.

Metoda se bazeaz! pe faptul c' izotermele $i liniile care indic'direcia fluxului termic sunt perpendiculare.

Obiectivul metodei este s'construiasc! o reea de izoterme $i liniiale fluxului termic.

Procedura de construcie a reelei exemplificat' pentru un canalp!trat cu lungimea l(figura 2.30), are urm!toarele etape [1]:

0.75

0.50

0.25

0.1

= 0

= 1W

L

= 0 = 0

0


70/257


1. Prima etap' o constituie identificarea liniilor de simetrie $idescompunerea corpului n elemente identice care vor fianalizate (figura 2.30b).

2. Liniile de simetrie sunt adiabate, izotermele fiind perpendicularepe ele.

3. Se traseaz! toate izotermele cunoscute pe contur $i se face oncercare de construire a celorlalte izoterme, care va trebui s'fie

perpendiculare pe adiabate.4. Se traseaz!ntreaga reea de izoterme $i liniile de flux constant,

obinndu-se o reea de p!trate curbilinii care trebuie s'ndeplineasc! condiia ca liniile de temperatur' $i flux constants'formeze unghiuri drepte $i fiecare latur'a unui p!trat s'aib!aproximativ aceea$i lungime. Deoarece ultima condiie estedificil de respectat strict, se accept'ca s'fie egale sumele feeloropuse ale fiec!rui p!trat. Pentru unul din p!trate (figura 2.30c)condiia se scrie:

22

bdacy

cdabx

+=

+= . (2.219)

Fig. 2.30 Conducia bidirecional'ntr-un canalcu seciune p!trat'$i lungime l: a) liniile de simetrie;

b) reeaua de izoterme $i linii de flux; c) elementcurbiliniu al reelei

T1

T2

Linii desimetrie

Adiabate

Izoterme

Tjqiqi

T1

T2

Tj

y

x

ab

cd

qi

x

(a)

(b)

(c)


71/257


Realizarea unei reele corecte se poate realiza numai prin iteraiisuccesive cu r!bdare $i simartistic.

Dup! obinerea reelei finale se dispune de o distribuie atemperaturii n corp $i se poate calcula fluxul termic unitar.Astfel pentru celula din figura 2.30c avem:

( )T

lyx

TAQ jjii

=

= , (2.220)

Deoarece cre$terea de temperatur'este aceea$i pentru fiecare celul':

TTj

21= , (2.221)

unde: N este num!rul de intervale (pa$i) de temperatur' ntre feele cutemperaturile T1$i T2.

)innd seama c' avem M culoare paralele de flux termic $i c'yx , fluxul termic total va fi:

21== TMlMQQ i (2.222)

RaportulMl/N=Bdepinde de forma geometric'a corpului $i poart'numele de factor de form+. Atunci:

21= TSQ [W] . (2.223)


72/257

Tabelul 2.5Factorul de form+pentru cteva sisteme bidirecionale

Nr. Sistemul Schema Restricii Factorul de form+

1 2 3 4 5

1 Sfer'izoterm'ntr-un mediusemi-infinit

z>D/2zD

D4/1

2

2Cilindru orizontal izoterm culungimeaLntr-un mediusemi-infinit

L >>DL >>Dz> 3D/2

( )

( )DzL

Dzh

L

/4ln

2

/2cos

21

3Cilindru vertical ntr-unmediu semi-infinit

L >>D( )DL

L

/4ln

2

4Doi cilindri cu lungimeaLnmediu infinit

L>>D1,D2L>> w

21

22

21

21

2

4cos

2

DD

DDwh

L

LT1

D

T2

LDT1

z

T2

T1 D

z

T2

T

T

DD

w


73/257


74/257


75/257


76/257

Tabelul 2.5

(continuare)

1 2 3 4 5

8 Conducia n muchea a doi perei D>L/5 0.54D

9Conducia prin colul de interseciea trei perei

L


77/257


78/257


Pentru aproximarea ecuaiei (2.192) cu diferene finite se vorexprima derivatele de ordinul unu $i doi ale temperaturii:

x

TT

x

T nmnm

nm

,1,

,2/1

; (2.224)

x

TT

x

T nmnm

nm

+

+

,,1

,2/1

; (2.225)

$i

x

x

T

x

T

x

T nmnm

nm

+ ,2/1,2/1

,

2

2

. (2.226)

Atunci:

( )2,,1,1

,

2

2 2

x

TTT

x

T nmnmnm

nm

+

+ . (2.227)

Similar:

( )2,1,1,

,

2

2 2y

TTTy

T nmnmnm

nm +

+ . (2.228)

nlocuind n (2.192) $i utiliznd o reea la care yx = , ecuaia luiLaplace scris'cu elemente finite, caracteriznd conducia bidirecional'princorpuri omogene, f'r'surse interioare de c'ldur', n regim staionar va fi:

04 ,,1,11,1, =+++ ++ nmnmnmnmnm TTTTT (2.229)

Aceast' ecuaie trebuie scris' pentru fiecare nod al reelei, prinrezolvarea sistemului de ecuaii obinut se determin' temperaturile dindiferite noduri.

Rezolvarea sistemelor de ecuaii se pot realiza prin diferite metode[6,43]: metoda relax!rii, inversiunea matricelor, metoda Gauss-Seidel etc.


79/257


80/257


81/257


82/257


83/257


84/257


85/257


86/257


87/257


88/257


( )( )

( )( )

=

2

2 xax , (2.247)

sau:( ) ( ) ( ) ( )= xax "' . (2.248)

Separnd variabilele se obine:

( )( )

( )( )

==

=

const

x

xa

"' (2.249)

Deoarece o soluie ne banal'pentru ( )x se obine numai pentru < 0, vomalege: 2k= , obinndu-se sistemul de ecuaii:

( ) ( ) 0' 2 =+ ak ; (2.250)( ) ( ) 0" 2 =+ xkx . (2.251)

Soluiile celor dou'ecuaii difereniale sunt:

( ) =2

1akeC ; (2.252)

( ) ( ) ( )kxCkxCx cossin 32 += .

(2.253)Atunci:

( ) ( )[ ]kxCkxCeC ak cossin 3212

+= (2.254)Determinarea constantelor C1, C2, C3$i kse face utiliznd condiiile

iniiale $i la limit'.

Din condiia 00

=

=xx, rezult':

( ) ( )[ ] 0sincos 03212

= =

xak kxCkxCkeC (2.255)

Pentru a avea aceast'egalitate rezult': C2= 0. Soluia general'devine:

( ) ( )kxAekxeCCakak

coscos

22

31

== . (2.256)Punnd cea de a doua condiie la limit'rezult':

LxLxx

==

=

, (2.257)

sau:

( ) ( )kLAekLkAe akak cossin22

=

De unde:


89/257


90/257


Tabelul 2.6

Valorile constantelor n funcie de Bi

Bi 1 2 3 4 Bi 1 2 3 40 0,0000 3,1416 6,2832 9,4248 1,0 0,8603 3,4256 6,4373 9,52930,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249 1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,58010,002 0,0447 3,1422 6,2835 9,4250 2,0 1,0769 3,6436 6,5783 9,62960,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252 3,0 1,1925 3,8088 6,7040 9,72400,006 0,0774 3,1435 6,2841 9,4254 4,0 1,2646 3,9352 6,8140 9,81190,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256 5,0 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928

0,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 6,0 1,3496 4,1116 6,9924 9,96670,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269 7,0 1,3766 4,1746 7,0640 10,03390,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290 8,0 1,3978 4,2264 7,1263 10,09490,06 0,2425 3,1606 6,2927 9,4311 9,0 1,4149 4,2694 7,1806 10,15020,08 0,2791 3,1668 6,2959 9,4333 10,0 1,4289 4,3058 7,2281 10,20030,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 15,0 1,4729 4,4255 7,3959 10,38980,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 20,0 1,4961 4,4915 7,4954 10,51170,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565 30,0 1,5202 4,5615 7,6057 10,65430,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670 40,0 1,5325 4,5979 7,6647 10,73340,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 50,0 1,5400 4,6202 7,7012 10,78320,6 0,7051 3,3204 6,3770 9,4879 60,0 1,5451 4,6353 7,7259 10,81720,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983 80,0 1,5514 4,6543 7,7573 10,86060,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 100,0 1,5552 4,6658 7,7764 10,88710,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956

Rezult'ca vom avea pentru fiecare valoare io distribuie a temperaturii, detipul:

=

=

=

2

2

222

221

cos

...........................

cos

cos

222

111

L

a

nnn

L

a

L

a

neLxA

eL

xA

eL

xA

(2.260)

Soluia general'va fi atunci suma $irului de soluii:

=

=

1

22

cosn

L

a

nn

n

eL

xA (2.261)

ConstantaAnse va determina din conducia iniial'(= 0):


91/257


( )

==

= L

xAxF n

nn cos

10 . (2.262)

Pentru determinarea luiAnvom folosi propriet!ile funciilor ortogonale, nmod similar cu cele prezentate la studiul analitic al conduciei bidirecionale(vezi paragraful 2.3). n relaia (2.214) vom alege:

( )

=

L

xxg nn cos , $i

( ) ( )xFxf = .

Se va obine:( )

dxL

x

dxL

xxF

AL

L

n

L

L

n

n

=cos

cos

. (2.263)

)innd seama c':

24

2sincos2

x

m

mxmxdx += , (2.264)

( )

n

nnn

n

n

L

L

L

Ln

nL

L

n

LL

xL

x

Lx

+

=+

=

=+

=

cossin

2

2sin

24

2sin

cos2

(2.265)

Atunci:

( ) ( ) dx

L

xxF

LA n

L

Lnnn

nn

+

=

coscossin

(2.266)

Soluia general'a ecuaiei conduciei va fi:

( ) ( )

22

coscoscossin1

L

a

n

L

L

nn nnn

n neL

xdx

L

xxF

L

=

+

= .

(2.267)

Dac' vom considera c' la momentul iniial corpul are aceea$itemperatur'n toat'masa sa:F(x) = 0= ct.,


92/257


n

n

L

L

nn

L

L

n

L

L

xLdx

L

x

sin2sincos 000 =

=

(2.268)

Atunci soluia general'devine:

2

coscossin

sin2

10

L

a

nn nnn

n neL

x

=

+

= (2.269)

M!rimile L

x

L

an ,,, 20

sunt adimensionale.

Dac'vom nota:

0

= temperatura adimensional',L

xX= coordonata adimensional',

2L

aFo

= criteriul lui Fourier, soluia general'devine:

( ) ( )FoX nn

nnnn

n 2

1

expcoscossin

sin2

+

=

=

(2.270)

Analiza soluiei. *irul 1, 2, 3, neste rapid cresc!tor $i cu c't estemai mare icu att rolul elementului urm!tor din $ir este mai mic asupra lui.

Studiile au ar!tat c' pentru procese tranzitorii care nu sunt foarterapide, Fo 0,3 n ecuaia (2.270) este suficient s' consider'm numai

primul termen al $irului:

( ) ( )FoX 211111

1 expcoscossin

sin2

+

= (2.271)

Dar 1 este numai funcie de criteriul Biot. De obicei intersecteaz!temperatura n centrul pl!ciiX=0 sau pe suprafaa saX=1.

Atunci:

( )FoBiNX

21

00

exp)( =

=

; (2.272)


93/257


94/257


95/257


96/257


97/257


98/257


99/257

Convecia termic+ 93

Fig.3.1Stratul limit'la curgerea peste o plac':a) stratul limit'hidraulic; b) stratul limit'termic

La orice distan'xde la nceputul curgerii peste o plac'fluxul termicunitar local se poate determina aplicnd legea lui Fourier, pentruy = 0:

0=

=

y

S y

Tq . (3.6)

Coeficientul de convecie va fi:

=

=TT

y

T

p

y 0 . (3.7)

Rezult' c'gradientul de temperatur' n stratul limit' termic determin'valoarea coeficientului de convecie.

ww

w

x

x

t

w T

T

Tp

T

(x)

t(x)

0=y

T

0y

T

0=y

w

0y

w

a)

b)


100/257


O dat'cu cre$terea grosimii stratului limit' termic t (cre$terea luix) gradientul de temperatur'scade $i n consecin'coeficientul de conveciescade$i el.

3.1.2. Ecuaiile difereniale ale conveciei

3.1.2.1. Ecuaia conduciei

Pentru un element de volum din stratul limit' termic ecuaia

conduciei are forma:

Taz

T

y

T

x

T

cd

DT

p

22

2

2

2

2

2

=

+

+

=

(3.8)

Deoarece elementul de volum se afl' n mi$care derivata total' atemperaturii va fi:

+

+

+

=

ddz

z

T

d

dy

y

T

d

dx

x

TT

d

DT . (3.9)

Dar ddzddyddx /,/,/ sunt componentele vitezei dup'cele trei direcii:wx, wy, wz. Atunci:

zTwyTwxTwTdDT zyx +++= (3.10)

T

reprezint!variaia local'n timp a temperaturii iar

z

Tw

y

Tw

x

Tw zyx

+

+

este componenta convectiv' a variaiei

temperaturii.nlocuind (3.10) n (3.8) rezult'ecuaia conduciei pentru un element

de volum al stratului limit'termic:

TazTw

yTw

xTwT zyx 2=+++

. (3.11)

3.1.2.2. Ecuaia mi$c!rii

Pentru determinarea acestei ecuaii pentru elementul de volum dvdinstratul limit'hidraulic, vom stabili rezultanta forelor care acioneaz!asupraacestui element, care va fi egal' cu masa nmulit' cu acceleraia


101/257

Convecia termic+ 95

elementului. Forele care acioneaz!asupra elementului dvsunt: greutatea ,forele de presiune $i forele de frecare (figura 3.2) [21].

Fig. 3.2Forele care acioneaz'asupra elementului dvnmi$care. a) forele de presiune $i greutate; b) forele de

frecare

Proiecia acestor trei fore pe axa 0xeste: fora de greutate acioneaz! n centrul de greutate al

elementului, proiecia ei pe axa 0xeste:dvgdf x=1 [N] , (3.12)

fora de presiunecare acioneaz!pe suprafaa superioar'va fi:

pdydz. Presiunea pe suprafaa inferioar'va fi dxp

p

+ , iar fora

corespunz!toare: dydzdxx

pp

+ . Rezultanta celor dou' fore

va fi:dv

x

pdydzdx

x

pppdydzdf

=

+=2 [N] . (3.13)

fora de frecare care acioneaz! pe suprafaa din stnga aelementului dvva fi sdxdz. Semnul minus este datorat faptuluic'viteza fluidului wxn stnga elementului este mai mic'dectn element. La suprafaa din dreapta, n exteriorul elementului

dz

x

dx

dy

gx

dxx

pp

+

0

x

x

dx

dy

0

S

SP+S

wx

a) b)


102/257


103/257

Convecia termic+ 97

zzz

zz

yz

xz

yyy

zy

yy

xy

wz

pg

z

ww

y

ww

x

ww

z

w

wy

pg

z

ww

y

ww

x

ww

w

2

2

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

(3.23)

n form'vectorial'ecuaia va fi:

wgd

wd rr 2

+= (3.24)

3.1.2.3. Ecuaia continuit!ii

Pentru determinarea ecuaiei continuit!ii se consider'un element devolum de fluid dvdin stratul limit'hidraulic, pentru care se va calcula un

bilanmasic (figura 3.3).

Fig. 3.3Fluxurile masice pentru elementulde volum dv.

Masa de fluid care intr'n elementul de volum dup!direcia 0xeste:= dydzdwdM xx [kg] (3.25)

Masa care iese din elementul de volum dup!aceea$i direcie va fi:( )

+=+ dydzdx

wwdM xxdxx [kg] (3.26)

Masa r'mas'n element este:

x

dMz+dz

dMx+dx

dMy+dy

dMz

dMx

dMy


104/257


( )

=+ dvdxw

dMdM xxdxx (3.27)

n mod analog masa r'mas'n element dup!direciile 0y$i 0zva fi:

=+ dvd

y

wdMdM yydyy , (3.28)

( )

=+ dvdzw

dMdM zzdzz . (3.29)

Suma acestor mase va conduce la modificarea n timp a densit'iifluidului din elementul dv:

( ) ( ) ( )

=

+

+

dvddvdz

w

y

w

x

w zyx , (3.30)

sau:

( ) ( )0=

+

+

+

z

w

y

w

x

w zyx (3.31)

Pentru fluidele incompresibile ( = const.) $i:( ) ( )

0=

+

+

z

w

y

w

x

w zyx , (3.32)

sau:0=wdiv (2.33)

3.1.2.4. Condiii de determinare univoc+

Ecuaiile difereniale care descriu matematic procesul de conveciemonofazic'sunt: ecuaia fluxului convectiv (3.2), ecuaia conduciei (3.11),ecuaia mi$c!rii (3.24) $i ecuaia continuit!ii (3.31). Pentru a difereniafenomenul studiat de alte fenomene similare, setului de ecuaii diferenialetrebuie s'li se ata$eze condiii de determinare univoc'a procesului.

Analog cu cazul conduciei (vezi 2.1.3) acestea sunt: condiiigeometrice, condiii fizice, condiii iniiale $i condiii la limit'.

Primele 3 condiii sunt similare cu cazul conduciei. Dintre condiiilela limit' n cazul conveciei putem avea: temperatura sau fluxul termicunitar la peretele solid (Tp sau qsp), temperatura $i viteza fluidului lanceputul procesului de transfer, valoarea vitezei la perete (de obicei wp=0),etc.


105/257

Convecia termic+ 99

Pentru exemplificare, n cazul conveciei forate la curgereastaionar' a unui lichid printr-o eav' condiiile de determinare univoc' a

procesului sunt: condiii geometrice: diametrul d$i lungimea l a evii; condiii fizice: )(),(),(),( TTTcT p ;

procesul fiind staionar nu se pun condiii iniiale; condiii la limit': temperatura fluidului la intrare n eav'Tfi$i la

perete Tp, viteza la intrare w, iar viteza la perete wp= 0.

3.1.3. Factorii care influeneaz+transferulde c+ldur+

Transferul de c'ldur' convectiv este determinat n primulrnd de modificarea sau nu a fazei. Din acest punct de vedere convec ia semparte n dou'mari categorii: convecia monofazic'(f'r'schimbarea st!riide agregare) $i convecia bifazic'(fierberea $i condensarea).

Transferul de c'ldur' convectiv monofazic este influenat de patrucategorii de factori [39]: natura mi$c!rii, regimul de curgere, propriet!ilefizice ale fluidului $i forma $i dimensiunile suprafeei de schimb de c'ldur'.

n funcie de cauza care o determin!mi$carea unui fluid poate filiber+(natural+) sau forat+.Mi$carea liber+ este cauzat' numai de modificarea densit!ii

fluidului o dat' cu modificarea temperaturii sale: fluidul prin nc!lzire $imic$oreaz!densitatea $i se ridic'pe lng!suprafaa de nc!lzire; la r!cireasa, densitatea crescnd fluidul coboar!. Transferul de c'ldur'ntre un perete$i un fluid care are o astfel de mi$care se nume$te convecie liber+(natural+).

Mi$carea forat+ este datorat' unei fote exterioare produs' de opomp', un ventilator, diferena de nivel, vnt etc.

n acest caz transferul de c'ldur' se realizeaz! prin convecieforat+.

Regimul de curgerea unui fluid poate fi: laminar, turbulentsau detranziie (intermediar). Tipul de regim de curgere este determinatde valoarea criteriului lui Reynolds $i de geometria spaiului n careare loc curgerea.

Propriet$il e fizice ale fl uidului influeneaz! transferul de c'ldur'convectiv. Principalele m!rimi fizice care influeneaz! conveciamonofazic' sunt cele care apar n ecuaiile difereniale aleconveciei: conductivitatea termic' , c!ldura specific' cp,


106/257


107/257


108/257


109/257

Convecia termic+ 103

Forma ecuaiei criteriale care caracterizeaz! fenomenul se obine prinanaliza dimensional', valorile exponenilor $i constantelor ecuaieidimensionale fiind determinate prin prelucrarea datelor experimentale.

Din aceste motiv n prezentul capitol vom analiza numai metodaexperimental' de determinare a coeficientului de convecie, la studiulcondens!rii peliculare prezentnd $i o metod' analitic' de determinare acoeficientului de convecie

3.1.5. Studiul exp

transfer de caldura si masa.pdf

Documents