toate problemele pentru memorator
TRANSCRIPT
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
1
Capitolul 1 Paralelism şi calcul vectorial
Problema 1: Fie ABCDEF un hexagon oarecare, arătaţi că: a) AD BE CA BD CE+ + = + b) AD BE EC BD AC+ + = + c) BD AE FB AD FE+ + = + d) BD AE FB AD FE+ + = + e) FE AD EA CF CB BD+ + + = + f) FE BC DB AD AE FC+ + + = + Problema 2: Arătaţi că:
a) ( )AM mediana în ABCΔ ⇔ ( )12
AM AB AC= +
b) ( )BN mediana în ABCΔ ⇔ ( )12
BN BA BC= +
c) ( )CP mediana în ABCΔ ⇔ ( )12
CP CA CB= +
d) Dacă M, N, P sunt mijloacele laturilor (BC), (CA), respectiv (AB) ale unui triunghi ABC, calculaţi AM BN CP+ + Soluţie:
" "⇒ AM−mediană în ABCΔ ( ) ( )1 ?2
AM AB AC⇒ = +
În
În
adunăm 2
ABM AM AB BM
ACM AM AC CM
AM AB AC BM CM
Δ ⇒ = +
Δ ⇒ = +
⇒ = + + +
Dar, ( )M este mijlocul lui BC , vectori opuşiBM CM⇒
( )10 22
BM CM AM AB AC AM AB AC⇒ + = ⇒ = + ⇒ = +
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
2
" "⇐ ( )12
AM AB AC= + ⇒ AM−mediana în ABCΔ ( )?
( )
În
În
adunăm 201Dar, 2
2
ABM AM AB BM
ACM AM AC CM
AM AB AC BM CMBM CM
AM AB AC AM AB AC
Δ ⇒ = +
Δ ⇒ = +
⎫⇒ = + + +⎪ ⇒ = + ⇒⎬
= + ⇒ = + ⎪⎭
[ ] [ ] ( ) mijlocul lui BCBM CM BM MC M⇒ = − ⇒ ≡ ⇒ ⇒
AM−mediană în ABCΔ Problema 3: Arătaţi că: a) G este centru de greutate pentru ABCΔ 0GA GB GC⇔ + + = b) G este centru de greutate pentru DEFΔ 0GD GE GF⇔ + + = c) G este centru de greutate pentru PRQΔ 0GP GR GQ⇔ + + = Solutie : a) " "⇒ G − centru de greutate
( )0 ?GA GB GC⇒ + + = Luăm punctele '; '; 'A B C astfel încât '; '; 'AA BB CC să fie mediane ale ABC GΔ ⇒ va fi la intersectia acestora. Vom
avea deci 2 '3
AG AA= şi cum
( )1'2
AA AB AC= ⋅ + obţinem ( ) ( )2 2 1 1'3 3 2 3
AG AA AB AC AB AC= = ⋅ ⋅ + = ⋅ +
În mod analog avem ( )13
BG BA BC= ⋅ + , ( )13
CG CA CB= ⋅ + şi
adunând obţinem :
( )1 03
AG BG CG AB AC BA BC BG CA CB+ + = ⋅ + + + + + + = ⇒
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
3
0GA GB GC+ + = " "⇐
0AG BG CG+ + = rezultă G centru de greutate pentru ( )?ABCΔ
Fie 'C mijlocul lui AB ( )1' 2 '2
GC GA GB GA GB GC⇒ = + ⇒ + = ⋅ .
Din 0GA GB GC GA GB CG+ + = ⇒ + = , aşadar 2 'GC CG⋅ = , deci vectorii ' şi GC CG sunt coliniari. Cum punctul G este comun, obţinem că punctele , , 'C G C sunt coliniare. Dar 'CC mediană, şi cum G centru de greutate pentru ΔABC Problema 4: Arătaţi că: a) G este centru de greutate pentru ABCΔ ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: 3MA MB MC MG+ + = b) G este centru de greutate pentru DEFΔ ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: 3MD ME MF MG+ + = c) G este centru de greutate pentru PRQΔ ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: 3MP MR MQ MG+ + = Solutie : a) " "⇒ G este centru de greutate pentru ABCΔ ⇒ pentru orice punct M al planului avem relaţia: ( )3 ?MA MB MC MG+ + =
3
MA MG GA
MB MG GB MG MA MB MC GA GB GC
MC MG GC
= +
= + => = + + + + +
= +
Dar, G centru de greutate, deci 0GA GB GC+ + = ⇒3MA MB MC MG+ + =
b) " "⇐ pentru orice punct M al planului avem relaţi 3MA MB MC MG+ + =
2 'GC CG⋅ = ⇒
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
4
⇒ G este centru de greutate pentru ( )?ABCΔ Obţinem analog ca mai sus
3
MA MG GA
MB MG GB MG MA MB MC GA GB GC
MC MG GC
= +
= + ⇒ = + + + + +
= +
şi cum MG3MCMBMA =++ rezultă 0GA GB GC+ + = , aşadar G centru de greutate pentru ABCΔ Problema 5: a) Arătaţi că ABCD paralelogram ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: MA MC MB MD+ = + b) Arătaţi că EFGH paralelogram ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: ME MG MF MH+ = + a) Arătaţi că XYZT paralelogram ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: MX MZ MY MT+ = + Soluţie : a) Vom demonstra prin echivalenţă că ABCD−paralelogram MA MC MB MD⇔ + = +
MA BM MD CM⇔ + = + BA CD⇔ = ⇔ paralelogramABCD − Problema 6 :
a) Dacă ( ) cu BMM BC kMC
∈ = , arătaţi că pentru orice punct A al
planului, avem relaţia : ACk1
kABk1
1AM+
++
=
b) Dacă ( ) cu EMM EF kMF
∈ = , arătaţi că pentru orice punct D al
planului, avem relaţia : 11 1
kDM DE DFk k
= ++ +
c) Dacă ( ) cu YMM YZ kMZ
∈ = , arătaţi că pentru orice punct X al
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
5
Soluţie : ( )1AM AB BM= +
Din BM k BM k MCMC
= ⇒ = ⋅ .
Deoarece şi BM MC au acelaşi sens BM k MC⇒ = ⋅ Înlocuind în relaţia ( )1 ⇒
AM AB kMC= + ⇒ ( )AM AB k AC MA= + +
( 1) : ( 1)AM k AM AB k AC k AM AB k AC k⇒ + = + ⇒ + = + + ⇒
11 1
kAM AB ACk k
⇒ = ++ +
Problema 7: Fie ABCDEF un hexagon regulat şi punctele
, , , , ,G H I J K L astfel încât: 12 , 2 , ,2
AG GB BH HC CI CD= − = =
3DE EJ= , 1 , 32
EK KF FA FL= = − . Determinaţi:
a) AJ în funcţie de şi CD CE b) AK în funcţie de şi CD CE c) AL în funcţie de şi CD CE d) AG în funcţie de şi CD CE Problema 8: În reperul cartezian ( ), ,O i j fie punctele
( ) ( ) ( )1,2 , 3, 2 , 1,4A B C− − şi ( )1, 2D − − . a) Scrieţi vectorii de poziţie pentru punctele , , ,A B C D . b) Exprimaţi vectorii , , , , , ,AB BC CD DA AC AD BD respectiv DB în funcţie de vectorii de poziţie ai capetelor acestor segmente. c) Scrieţi vectorii de poziţie ai mijloacelor segmentelor , ,AB BC
,CA DB şi AD .
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
6
Problema 9:
a) Arătaţi că M mijlocul segmentului ( )12M B CBC r r r⇔ = +
b) Fie segmentul BC şi M aparţine dreptei BC cu BM kMC
= . Dacă
A este un punct oarecare al planului, atunci avem relaţia: 1
1 1M B Ckr r r
k k= ⋅ + ⋅
+ +
c) Arătaţi că G este centrul de greutate al triunghiului ABC
( )13G A B Cr r r r⇔ = + +
d) Arătaţi că medianele unui triunghi sunt concurente e)Arătaţi că ABCD paralelogram A C B Dr r r r⇔ + = + Problema 10: a) Fie ABCΔ cu 3 , 2AB AM CN AN= ⋅ = − ⋅ . Atunci MN BC b) Fie ABCΔ cu 4 , 3AB AM CN AN= ⋅ = − ⋅ . Atunci MN BC c) Fie ABCΔ cu 5 , 4AB AM CN NA= ⋅ = ⋅ . Atunci MN BC Problema 11: a) Fie ABC un triunghi şi , ,M N P puncte pe dreptele ,AB AC şi
respectiv BC cu 3 7 2, ,2 3 7
AM MB CN NA BP PC= = = − . Arătaţi că
punctele , ,M N P sunt coliniare b) Fie ABC un triunghi şi , ,M N P puncte pe dreptele ,AB AC şi
respectiv BC cu 1 3 3, ,5 5 25
MA MB NC NA PC PB= − = − = . Arătaţi
că punctele , ,M N P sunt coliniare
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
7
Problema 12:
a) Dacă 3 1' 2 ' , ' ' , ' ' ,2 3
AC C B BA A C CB B A= = = atunci dreptele ''' ,, CCBBAA sunt concurente.
b) Dacă 3' 2 ', ' ' ,3 ' ' ,2
AC BC BA A C CB B A=− = = atunci dreptele ''' ,, CCBBAA sunt concurente.
Problema 13: Determinaţi coordonatele vectorului AB în situaţiile următoare: a) ( ) ( )2,1 , 3,5A B b) ( ) ( )2,1 , 3, 5A B− − c) ( ) ( )2,1 , 4, 5A B− − − d) ( ) ( )2,1 , 2,7A B e) ( ) ( )1,0 , 0,1A B f) ( ) ( )3,1 , 2, 5A B − − Problema 14: Determinaţi modulul vectorului AB în situaţiile următoare: a) ( ) ( )2,1 , 3,5A B b) ( ) ( )2,1 , 3, 5A B− − c) ( ) ( )2,1 , 4, 5A B− − − d) ( ) ( )2,1 , 2,7A B e) ( ) ( )1,0 , 0,1A B f) ( ) ( )3,1 , 2, 5A B − − Problema 15: Determinaţi, în fiecare caz, valorile reale ale lui m, pentru care vectorii consideraţi sunt perpendiculari: a) 2( 3) , 4 ;u m i m j v i j= + ⋅ + ⋅ = − ⋅ b) 2 2 , 4 ;u m i j v m i j= ⋅ − = ⋅ + ⋅ c) 2 , 3 6 ;u m i j v i j= ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ Problema 16: Determinaţi, în fiecare caz, valorile reale ale lui m, pentru care vectorii consideraţi sunt paraleli: a) ( 3) , 4 4 ;u m i j v i j= + ⋅ + = − ⋅ b) 2 2 , 4 ;u m i j v i m j= ⋅ + = + ⋅ c) 2 , 3 6 ;u m i j v i j= ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
8
Problema 17: Determinaţi produsul scalar al vectorilor : a) 3 2 , 2 3 ;u i j v i j= ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ b) , 2 ;u i j v i j= + = ⋅ − c) , 2 ;u i j v i j= + = ⋅ + d) 3 2 , 5 2 ;u i j v i j= + = ⋅ −
e) ( )( )3 , 5, , 30u v m u v= = = °
f) ( )( )2 , 3, , 60u v m u v= = = °
g) ( )( )2 , 5, , 15u v m u v= = = °
h) ( )( )3 , 4, , 75u v m u v= = = °
Problema 18: Determinaţi cosinusul unghiului dintre vectorii : a) 3 2 , 2 3 ;u i j v i j= ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ b) , 2 ;u i j v i j= + = ⋅ − c) , 2 ;u i j v i j= + = ⋅ + d) 3 2 , 5 2 ;u i j v i j= + = ⋅ − Problema19: Determinaţi coordonatele vectorilor AB şi exprimaţi vectorul AB în funcţie de versorii ,i j în situaţiile următoare: a) ( ) ( )2, 1 , 3,2 ,A B− b) ( ) ( )2,0 , 2,2 ,A B
c) ( ) ( )2, 1 , 3, 1 ,A B− − d) ( ) ( )2, 1 , 3,1 ,A B− Problema 20:Calculaţi lungimile fiecăruia dintre vectorii următori: a) 2 3u i j= + b) 2 3u i j= − c) 3 2u i j= + d) 3 2u i j= − Problema 21: Determinaţi coordonatele mijlocului M al segmentului AB în fiecare din situaţiile următoare: a) ( ) ( )2, 1 , 3,2 ,A B− b) ( ) ( )2,0 , 2,2 ,A B
c) ( ) ( )2, 1 , 3, 1 ,A B− − d) ( ) ( )2, 1 , 3,1 ,A B− Problema 22: Determinaţi coordonatele centrului de greutate G al triunghiului ABC în fiecare din situaţiile următoare: a) ( ) ( ) ( )2, 1 , 3,2 , 3,2 ,A B C− − b) ( ) ( ) ( )2,0 , 2,2 , 3,2 ,A B C −
c) ( ) ( ) ( )2, 1 , 3, 1 , 3,2 ,A B C− − − d) ( ) ( ) ( )2, 1 , 3,1 , 3,2 ,A B C− −
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
9
Problema 23: Determinaţi coordonatele punctului M ce împarte segmentul AB în raportul k indicat: a) ( ) ( )2, 1 , 3,2 , 2A B k− = b) ( ) ( )2,0 , 2,2 , 3A B k =
c) ( ) ( ) 22, 1 , 3, 1 ,3
A B k− − = d) ( ) ( ) 12, 1 , 3,1 ,4
A B k− =
e) ( ) ( )2, 1 , 2,2 , 5A B k− = f) ( ) ( )2, 1 , 0,0 , 3A B k− = Problema 24: Determinaţi intersecţia următoarelor drepte cu axele de coordonate şi reprezentaţi în sistemul de axe de coordonate carteziene următoare drepte: a) 2 3 6 0x y+ + = b) 2 4 8 0x y+ − = c) 3 4 12 0x y+ − = d) 2 0x y+ + = e) 2 2 0x y− + = f) 3 6 0x y+ + = Problema 25: Determinaţi intersecţia următoarelor drepte: a) 1 2: 2 3 5 0, : 2 3 0d x y d x y+ + = + + = b) 1 2: 2 0, : 4 0d x y d x y+ + = − + = c) 1 2: 2 2 0, : 4 0d x y d x y− + = + + = Problema 26: Determinaţi panta dreptei atunci când ştim ϕ , unghiul dintre Ox şi dreapta d , în fiecare din situaţiile următoare: a) 0ϕ = ° b) 30ϕ = ° c) 45ϕ = ° d) 60ϕ = ° e) 120ϕ = ° f) 135ϕ = ° Problema 27: Determinaţi panta dreptei AB în fiecare din situaţiile următoare: a) ( ) ( )2, 1 , 3,2 ,A B− b) ( ) ( )2,0 , 2,2 ,A B
c) ( ) ( )2, 1 , 3, 1 ,A B− − d) ( ) ( )2, 1 , 3,1 ,A B−
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
10
Problema 28: Determinaţi panta dreptei d atunci când ştim ecuaţia dreptei d în fiecare din situaţiile următoare: a) : 2 3 7 0d x y+ − = b) : 2 3 0d x y+ + = c) : 2 3 5 0d x y+ + = d) : 2 0d x y+ + = e) : 2 2 0d x y− − = f) : 2 2 0d x y− − = g) : 2 2 0d x y− + − = h) : 4 0d x y− + = Problema 29: Determinaţi panta dreptei d atunci când ştim un vector director v al său în fiecare din situaţiile următoare: a) 2 3v i j= + b) v i j= + c) v i j= − d) 2v i j= − Problema 30: Determinaţi ecuaţia dreptei d atunci când ştim două puncte AB ale dreptei: a) ( ) ( )2, 1 , 3,2 ,A B− b) ( ) ( )2,0 , 2,2 ,A B
c) ( ) ( )2, 1 , 3, 1 ,A B− − d) ( ) ( )2, 1 , 3,1 ,A B− Problema 31: Determinaţi ecuaţia dreptei d în situaţiile următoare: a) trece prin origine şi are panta 1m = − b) trece prin origine şi are panta 1m = c) trece prin origine şi are panta 2m = d) trece prin origine şi are panta 3m = − e) trece prin ( )2,1A şi este paralelă cu dreapta : 3d x = f) trece prin ( )2,1A şi este paralelă cu dreapta : 3d y = g) trece prin ( )2,1A şi este perpendiculară pe dreapta : 3d x = h) trece prin ( )2,1A şi este perpendiculară pe dreapta : 3d y =
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
11
Problema 32: Verificaţi dacă punctele , şi A B C sunt coliniare, în fiecare din situaţiile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,3 , 5,5A B C b) ( ) ( ) ( )2,0 , 3,0 , 5,0A B C
c) ( ) ( ) ( )0,2 , 0,4 , 0,5A B C d) ( ) ( ) ( )2,2 , 4,4 , 5, 5A B C− − − Problema 33: Determinaţi parametrul real m astfel încât dreptele următoare să fie paralele: a) 1 2: 2 4 5 0, : 3 0d x y d mx y+ + = + + = b) 1 2: 2 0, : 4 0d x y d x my+ + = − + = c) 1 2: 2 2 0, : 4 0d mx y d x y− + = + + = d) 1 2: 2 2 0, : 4 0d x y d mx y− − + = − + = Problema 34: Determinaţi parametrul real m astfel încât dreptele următoare să fie perpendiculare: a) 1 2: 2 4 5 0, : 3 0d x y d mx y+ + = + + = b) 1 2: 2 0, : 4 0d x y d x my+ + = − + = c) 1 2: 2 2 0, : 4 0d mx y d x y− + = + + = Problema 35: Determinaţi distanţa de la punctul A la dreapta d în fiecare din cazurile următoare: a) ( )1,0 , : 2 3 0A d x y+ + =
b) ( )1,0 , : 2 3 0A d x y+ − = Problema 36: Calculaţi aria triunghiului ABC în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,3 , 1,0A B C b) ( ) ( ) ( )2,1 , 3,0 , 5,0A B C
c) ( ) ( ) ( )2,2 , 0,4 , 0,0A B C d) ( ) ( ) ( )1,2 , 3,4 , 5,0A B C
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
12
Problema 37: Determinaţi ecuaţia medianei din A a triunghiului ABC în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,2 , 1,0A B C b) ( ) ( ) ( )2,1 , 3,0 , 5,0A B C
c) ( ) ( ) ( )2,2 , 0,4 , 0,0A B C d) ( ) ( ) ( )1,2 , 3,4 , 5,0A B C Problema 38: Determinaţi ecuaţia înălţimii din A a triunghiului ABC în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,2 , 1,0A B C b) ( ) ( ) ( )2,1 , 3,0 , 5,0A B C
c) ( ) ( ) ( )2,2 , 0,4 , 0,0A B C d) ( ) ( ) ( )1,2 , 3,4 , 5,0A B C Problema 39: Determinaţi ecuaţia mediatoarei corespunzătoare laturii BC a triunghiului ABC în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,2 , 1,0A B C b) ( ) ( ) ( )2,1 , 3,0 , 5,0A B C
c) ( ) ( ) ( )2,2 , 0,4 , 0,0A B C d) ( ) ( ) ( )1,2 , 3,4 , 5,0A B C Problema 40: Determinaţi ecuaţia bisectoarei interioare a unghiului A al triunghiului ABC în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,2 , 3,0A B C b) ( ) ( ) ( )2,1 , 2,5 , 1,5A B C
c) ( ) ( ) ( )2,2 , 0,2 , 0,4A B C d) ( ) ( ) ( )1,2 , 3,2 , 3,0A B C
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
13
Capitolul 2 Elemente de trigonometrie
Problema 1: Transformaţi în grade :
a) 12π b)
15π
c) 76π d) 4
3π
Problema 2: Transformaţi în radiani : a) 35° b) 75° c)135° d)315° e)330° f)15° g) 20° h)150° Problema 3: Calculaţi: a) sin 0° b) cos0°
c) sin2π d) cos
2π
e) sinπ f) cosπ
g) 3sin2π h) 3cos
2π
i) sin 2π j) cos 2π Problema 4: Calculaţi:
a) 37sin6π b) 22cos
3π
c) 174
tg π d) 1234
ctg π
e) 5123
ctg π f) 514sin3
π
g) 215cos6
π h) 2216
tg π
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
14
i) sin14π j) cos15π
k) 25sin6π l) 31cos ,
6π
m) 20033
tg π n) 10053
ctg π
Problema 5: Determinaţi:
a) cos ?x = dacă 1sin , Cd. I2
x x= ∈
b) cos ?x = dacă 1sin , Cd. II2
x x= ∈
c) cos ?x = dacă 1sin , Cd. III2
x x= − ∈
d) cos ?x = dacă 1sin , Cd. IV2
x x= − ∈
e) sin ?x = dacă 3cos , Cd. I2
x x= ∈
Problema 6: Calculaţi: a) sin13 cos17 sin17 cos13 ;o o o o⋅ + ⋅ b) sin1 cos91 sin 91 cos1 ;o o o o⋅ − ⋅ c) cos77 cos 47 sin 47 sin 77 ;o o o o⋅ + ⋅ d) cos 22 cos52 sin 22 sin 52 ;o o o o⋅ + ⋅ Problema 7: Calculaţi: a) sin13 sin 73 sin17 cos13 ;o o o o⋅ + ⋅ b) sin1 cos91 sin 91 sin89 ;o o o o⋅ − ⋅ c) sin13 cos 47 sin 47 sin 77 ;o o o o⋅ + ⋅ d) sin 68 cos52 sin 22 sin 52 ;o o o o⋅ + ⋅ Problema 8: Calculaţi: a) sin15 ;o b) cos15 ;o
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
15
c) sin 210 ;o d) cos150 ;o e) sin120 ;o f) cos 240 ;o g) sin135 ;o h) cos330 ;o Problema 9: Calculaţi:
a) dacă 2
a b π− = , calculaţi: ( )sin 2 sin 2 2cosa b a b+ − −
b) dacă 32
a b π+ = , calculaţi: sin 2 sin 2a b−
Problema 10 : Calculaţi în funcţie de a : a) 1 cos 20− ° dacă sin10 a° = b) 1 cos 20+ ° dacă sin10 a° = c) 1 cos50− ° dacă sin 25 a° = d) 1 cos50+ ° dacă sin 25 a° = Problema 11 : Calculaţi: a) 15tg ° b) 75tg ° c) 120tg ° d) 210tg ° e) 135ctg ° f) 330ctg ° g) 300ctg ° h) 150ctg ° Problema 12: Verificaţi egalităţile : a) ( ) ( )cos cos sin sin cosx y y x y y x− − − =
b) ( ) ( )cos cos 2cos cosx y x y x y+ + − =
c) ( ) ( ) ( )cos cos 2sin sinx y x y x y+ − − = −
d) 2 2cos ( ) cos ( ) 4sin cos sin cosx y x y x x y y− − + = e) ( ) ( ) ( )22 2cos cos cos cos cos cosx y x y x y x y+ − − = + + −
f) ( ) ( ) 2 2cos cos cos sinx y x y x y− + + = − Problema 13: Verificaţi egalităţile :
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
16
a) 22tg xctgx tgx
=−
b) ( )cos1
cos cosa b
tga tgba b
+= − ⋅
c) ( )( )
sin 1sin 1
a b ctga tgba b ctga tgb
+ + ⋅=
− − ⋅
d) sin 32sin 2cos
xx tgxx
− =
e) 2sin 2
tgx ctgxx
+ =
Problema 14 : Calculaţi:
a) sin x dacă 12 2xtg = b) cos x dacă 3
2xtg =
c) sin x dacă 22xtg = d) cos x dacă 5
2 2xtg =
e) sin x dacă 12 7xtg = f) sin x dacă 6
2xtg =
Problema 15: Calculaţi, folosind substituţia universală:
a) 3sin 4cos 5E x x= − + dacă 22xtg =
b) 2 5cos sinE tgx x x= − + dacă 32xtg =
c) 2 5ctg sinE tgx x x= − + dacă 22xtg = −
d) 2cos 2ctg sinE x x x= − − dacă 22xtg = −
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
17
Problema 16: Transformaţi în produse : a) cos10 cos50 ;o o+ b) sin 40 sin80 ;o o+ c) sin 20 sin 40 ;o o+ d) sin 40 sin80 ;o o+ e) cos10 cos50 ;o o+ f) sin50 sin 70 .o o+ Problema 17: Dacă sin10 ,cos10 ,o oa b= = calculaţi: a) sin10 cos 20 ;o o b) cos10 cos 20 ;o o c) sin10 sin 20 ;o o d) sin 40 cos50 ;o o e) cos 40 cos50 ;o o f) sin 40 sin 50 ;o o Problema 18: Determinaţi x∈ pentru care au sens următoarele expresii:
a) arcsin2x
b) 1arccos5
x +
c) ( )2arcsin 3 2x x− + d) ( )2arccos 4 4x x− +
e) 1arcsin1
xx
−+
f) 2 4arccos3
xx
+−
g) 1arctg2x
x+−
h) 1arctg2x
x−+
Problema 19: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice fundamentale:
a) 1sin2
x = b) 3sin
2x = −
c) sin 1x = d) 2sin
2x = −
e) 1sin2
x = − f) 3sin
2x =
g) sin 0x = h) sin 1x = − i) sin 2x = j) sin 3x = −
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
18
Problema 20: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice fundamentale:
a) 1cos2
x = b) 3cos
2x = −
c) cos 1x = d) 2cos
2x = −
e) 1cos2
x = − f) 3cos
2x =
g) cos 0x = h) cos 1x = − i) cos 2x = j) cos 3x = − Problema 21: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice fundamentale: a) tg 3x = b) tg 1x = −
c) 1tg 3
x = − d) tg 0x =
e) tg 1x = f) tg 3x = − f) tg 2x = g) tg 3x = − Problema 22: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice fundamentale: a) ctg 3x = b) ctg 1x = −
c) 1ctg 3
x = − d) ctg 0x =
e) ctg 1x = f) ctg 3x = − f) ctg 2x = g) ctg 3x = −
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
19
Problema 23: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice reductibile la ecuaţii trigonometrice fundamentale:
a) 1sin
4 2x π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ b)
3cos 23 2
x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 1ctg 2
3 3x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ d) tg 3
4x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
e) 1cos 3
6 2x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ f)
3sin 23 2
x π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
g) 1tg
4 3x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ h) ctg 3 3
6x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Problema 24: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice date prin egalităţi de funcţii:
a) sin sin 24 2
x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b) sin sin 33 6
x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c) cos 2 cos 53 6
x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
d) cos 2 cos 43 4
x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
e) tg tg 34 2
x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
f) tg 5 tg 34 3
x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
g) ctg 2 ctg 54 6
x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ h) ctg 2 ctg 6
4 3x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Problema 25: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice: a)
2sin 3sin 2 0x x+ + = b)
22cos 3cos 1 0x x− + = c) ( )24cos 2 3 1 cos 3 0x x− + + =
d) ( )22 2 2 2 0tg x tgx− + + =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
20
Problema 26: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice: a) sin 3 cos 2x x+ = b) sin 3 cos 2x x− = − c) 3sin cos 3x x− + = d) 3sin cos 2x x− − = Problema 28: Fie ABCΔ , determinaţi latura neprecizată în fiecare din cazurile: a) ( )2, 3, 30AB AC m A= = = ° b) ( )2, 3, 60AB AC m A= = = ° c) ( )2, 3, 120BC AC m C= = = ° d) ( )5, 3, 150BC AC m C= = = ° e) ( )6, 5, 135AB AC m C= = = ° f) ( )6, 2, 15AB BC m C= = = ° Problema 29: Fie ABCΔ , găsiţi celelalte elemente ale ABCΔ : a) ( ) ( )30 , 15 , 2m A m B BC= ° = ° = b) ( ) ( )60 , 15 , 2m A m B BC= ° = ° = c) ( ) ( )120 , 15 , 4m A m B AC= ° = ° = Problema 30: Determinaţi raza cercului circumscris în ABCΔ în situaţiile următoare: a) 4, 3, 5a b c= = =
b) 10, 8, 6a b c= = =
c) 13, 12, 5a b c= = = d) 5, 3, 4a b c= = =
Problema 31: Determinaţi raza cercului înscris în ABCΔ în situaţiile următoare: a) 4, 3, 5a b c= = =
b) 10, 8, 6a b c= = =
c) 13, 12, 5a b c= = = d) 5, 3, 4a b c= = =
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
21
Capitolul 3 Numere complexe
Problema 1: Determinaţi ,x y ∈ astfel încât să aibă loc egalităţile următoare: a) ( ) ( )2 3 2 5 8x y i i+ + + = + b) ( ) ( )2 3 2 5 7x y i i+ + + = − −
c) ( ) ( )2 3 2 5x y i+ + + = − d) ( ) ( )2 3 2 8x y i i+ + + = Problema 2: Determinaţi conjugatul următoarelor numere complexe şi verificaţi în fiecare caz că z z+ ∈ şi z z⋅ ∈ : a) 2 3z i= + b) 2 3z i= + c) 2z = d) 3z i= Problema 3: Studiaţi dacă numerele complexe următoare sunt numere reale sau pur imaginare: a) 2z = b) 2z i= c) 2 3z i= + d) 2 3z i= − + e) ( ) ( )2000 20002 3 2 3z i i= + + − f) ( ) ( )2000 20002 3 2 3z i i= + − −
g) ( ) ( )2001 20012 3 2 3z i i= + + − h) ( ) ( )2001 20012 3 2 3z i i= + − −
Problema 4: Calculaţi 12N z= şi 23M z= − pentru următoarele numere complexe: a) 1 22 3 , 4 5 ,z i z i= − = − + b) 1 22 3 , 2 5 ,z i z i= + = − + c) 1 22, 4 5 ,z z i= = − + d) 1 22 , 4 5 ,z i z i= = − + Problema 5: Calculaţi 1 2N z z= + şi 1 2M z z= − pentru următoarele numere complexe: a) 1 22 3 , 4 5 ,z i z i= − = − + b) 1 22 3 , 2 5 ,z i z i= + = − + c) 1 22, 4 5 ,z z i= = − + d) 1 22 , 4 5 ,z i z i= = − +
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
22
Problema 6: Calculaţi 1 2N z z= ⋅ şi 21M z= pentru următoarele
numere complexe: a) 1 22 3 , 4 5 ,z i z i= − = − + b) 1 22 3 , 2 5 ,z i z i= + = − + c) 1 22, 4 5 ,z z i= = − + d) 1 22 , 4 5 ,z i z i= = − +
Problema 7: Calculaţi 1
2
zNz
= şi 2
1
zMz
= pentru următoarele
numere complexe: a) 1 22 3 , 4 5 ,z i z i= − = − + b) 1 22 3 , 2 5 ,z i z i= + = − + c) 1 22, 4 5 ,z z i= = − + d) 1 22 , 4 5 ,z i z i= = − + Problema 8: Calculaţi: a) 2000i b) 4201i c) 8423i d) 6083i e) 200532 ... iiii ⋅⋅⋅⋅ f) 2 3 2007...i i i i⋅ ⋅ ⋅ ⋅ g) 2 3 2005...i i i i+ + + + h) 2 3 2007...i i i i+ + + + Problema 9: Calculaţi modulele următoarelor numere complexe: a) 2 3z i= + b) 2 3z i= + c) 2z = d) 3z i= Problema 10: Folosind proprietăţile, calculaţi modulele următoarelor numere complexe:
a) 11
izi
+=
− b) 6 8
4 3izi
+=
−
c) ( )2004 3z i= + d) ( )2001z i= +
e) ( )6
1 2 2 1z i= + + − f) ( )6
1 2 2 1z i= − + +
g) ( )( )( )2 4 2 1z i i i= + − + h) ( )( )( )2 4 2 1z i i i= − + −
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
23
Problema 11: Determinaţi numărul complex z cu proprietatea: a) ( )1 2z i i+ = − b) ( )1 2 2z i i i+ + = −
c) ( )( )1 1 2z i i− + = − d) ( )( )1 1 2z i z i− + = −
e) izz −=+ 32 f) ziz ⋅= Problema 12: Descompuneţi în factori ireductibili: a) 22 6 4z z− + b) 2 4z − c) 23 12 12z z+ + d) 25 5z + Problema 13: Fără a rezolva ecuaţiile, determinaţi 1 2S z z= + şi
1 2P z z= ⋅ : a) 2 (1 ) 0z z i i− − − = b) 2 (2 ) 2 0z z i i− − − = c) 2 (3 ) 3 0z i z i− + + = d) 2 (1 ) 0z i z i+ − − = Problema 14: Rezolvaţi următoarele ecuaţii bipătrate: a) 4 2 0z z− = b) 4 1 0z + = c) 4 25 4 0z z− + = d) 6 39 8 0z z− + =
Problema 15: Formaţi o ecuaţie de gradul II care are rădăcinile indicate în fiecare caz: a) 1 22, 1z z= = b) 1 22 , 1z i z= = c) 1 22 ,z i z i= = d) 1 22 , 2z i z i= = − Problema 16: Scrieţi sub formă trigonometrică următoarele numere complexe: a) 3z i= − b) 3z i= c) 3z = − d) 3z i= − + e) 1z i= + f) 2 2z i= − −
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
24
Soluţie parţială: a) 3 3 0, 3 3z i a b r= − ⇒ = = − ⇒ =
Din 0, 3a b M Oy= = − ⇒ ∈ ⇒ 33 3 33 cos sin2 2 2
z iπ π πϕ ⎛ ⎞= ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
d) 3 3 1 2z i r= − + ⇒ = + =
11
63arctg πϕ = =
−; ( )3;1 M Cd II− ∈ ⇒
1 15 5 52 cos sin6 6 6
z iπ π πϕ π ϕ ϕ ⎛ ⎞= − ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
f) 2 2 2z i= − − ⇒ 2 2 2r = + =
12
42arctg πϕ −
= =−
; ( )2; 2 M Cd III− − ∈ ⇒
1 25 5 52 cos sin4 4 4
z iπ π πϕ π ϕ ϕ ⎛ ⎞= + ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 17: Scrieţi sub formă algebrică următoarele numere complexe:
a) ( )2 cos0 sin 0z i= + b) 3 cos sin2 2
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
c) ( )3 cos sinz iπ π= + d) 3 32 cos sin2 2
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
e) 2 cos sin4 4
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
f) 7 72 cos sin4 4
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
25
Problema 18: Calculaţi produsul 1 2z z⋅ în situaţiile următoare, scriind rezultatul sub formă algebrică:
a) ( )1 23 32 cos 0 sin 0 , 2 cos sin2 2
z i z iπ π⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 1 25 5 3 32 cos sin , 3 cos sin6 6 2 2
z i z iπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c) ( )1 23 33 cos sin , 2 cos sin4 4
z i z iπ ππ π ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
d) 3 23 3 5 52 cos sin , 2 cos sin2 2 4 4
z i z iπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Soluţie parţială:
b) 1 25 5 3 32 cos sin 3 cos sin6 6 2 2
z z i iπ π π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦5 3 5 36 cos sin6 2 6 2
iπ π π π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠14 14 7 76 cos sin 6 cos sin
6 6 3 3i iπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒
1 2 6 cos 2 sin 23 3
z z iπ ππ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⇒
1 21 36 cos sin 6
3 3 2 2z z i iπ π ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ = + = + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ 1 2 3 3 3z z i⋅ = +
Problema 19: Calculaţi împărţirea 1
2
zz
în situaţiile următoare,
scriind rezultatul sub formă algebrică:
a) ( )1 23 32 cos 0 sin 0 , 2 cos sin2 2
z i z iπ π⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 1 23 3 5 53 cos sin , 2 cos sin2 2 6 6
z i z iπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
26
c) ( )1 23 33 cos sin , 2 cos sin4 4
z i z iπ ππ π ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
d) 3 23 3 5 52 cos sin , 2 cos sin2 2 4 4
z i z iπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Soluţie parţială:
b) 1
2
3 33 cos sin3 3 5 3 52 2 cos sin
5 5 2 2 6 2 62 cos sin6 6
iz iz i
π ππ π π π
π π
⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒
1
2
3 4 4cos sin2 6 6
z iz
π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒
1
2
3 3 2 3 1 3 4 3 3cos sin2 3 3 2 2 2 3 4
z i i iz
π π ⎛ ⎞⎛ ⎞= + = − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Problema 20: Calculaţi inversul lui 1z , notat 1
1z
în situaţiile
următoare, scriind rezultatul sub formă algebrică:
a) ( )1 2 cos0 sin 0z i= + b) 1 3 cos sin2 2
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
c) ( )1 3 cos sinz iπ π= + d) 33 32 cos sin2 2
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 21: Calculaţi puterile lui 1z cerute în situaţiile următoare, scriind rezultatul sub formă algebrică: a) ( )1 2 cos0 sin 0z i= + , se cere 3
1z
b) 15 52 cos sin6 6
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
, se cere 3001z
c) ( )1 3 cos sinz iπ π= + , se cere 51z
d) 33 32 cos sin2 2
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
, se cere 61z
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
27
Soluţie parţială:
b) ( )300 3001
5 52 cos 300 sin 3006 6
z iπ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( )( )3002 cos 250 sin 250iπ π= + =
( ) ( )300 300 3002 cos0 sin 0 2 1 0 2i i= + = + ⋅ = Problema 22: Folosind formula lui Moivre, calculaţi puterile lui
1z cerute în situaţiile următoare, scriind rezultatul sub formă algebrică: a) 1 cos 0 sin 0z i= + , se cere 3
1z
b) 1 cos sin2 2
z iπ π= + , se cere 4
1z
c) 1 cos sinz iπ π= + , se cere 51z
d) 33 3cos sin2 2
z iπ π= + , se cere 6
1z
Problema 23: Rezolvaţi ecuaţiile ,nz a= unde a este numărul complex indicat în fiecare caz, cu soluţiile sub formă trigonometrică:
a) 4 cos sin2 2
z iπ π= +
b) 3 cos sinz iπ π= +
c) 3 5 52 cos sin4 4
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
d) 3 5 5cos sin3 3
z iπ π= +
Soluţie parţială:
c) 3
5 52 24 42 cos sin ; 0, 2
3 3k
k kz i k
π ππ π⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= + =⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
30
5 50 2 cos sin12 12
k z iπ π⎛ ⎞= ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
28
31
13 131 2 cos sin12 12
k z iπ π⎛ ⎞= ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
32
21 212 2 cos sin12 12
k z iπ π⎛ ⎞= ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 24: Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2 1z =
b) 3 1z =
c) 4 1z = d) 5 1z = e) 6 1z = f) 9 1z = Problema 25: Dacă α şi β sunt rădăcinile ecuaţiei 012 =+− xx , calculaţi: a) α β+ b) α β⋅ c) 2 2α β+ d) 3 3α β+ e) 3α f) 2000α Problema 26: Dacă α şi β sunt rădăcinile ecuaţiei 2 1 0x x+ + = , calculaţi: a) α β+ b) α β⋅ c) 2 2α β+ d) 3 3α β+ e) 3α f) 2000α
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
29
Capitolul 4 Conice
Problema 1. a) Determinati ecuatia cercului de centru C(-1;2) si raza 5. b) Verificati pozitia punctelor A(0 ;1) , B(2 ;6) , C(4,3) fata de cercurile : ( ) ( )2 21 2 25x y+ + − = respectiv 2 22 4 20x x y y+ + − = . c) Determinati ecuatia cercului ce trece prin punctele A(-1 ;-3) , B(4 ;2) , C(2 ;-2) . d) Determinati ecuatia cercului ce trece prin punctele A(1 ;2) , B(3 ;6) , C(4 ;8) . e) Deduceti ecuatia tangentei în A(-1 ;-3) la cercurile :
( ) ( )2 21 2 25x y+ + − = respectiv 2 22 4 20x x y y+ + − = f) Deduceti ecuatia tangentei din B(1 ;-3) la cercurile :
( ) ( )2 21 2 25x y+ + − = respectiv 2 22 4 20x x y y+ + − = . Soluţie :
a) Ecuatia este: ( ) ( )2 2 21 2 5x y+ + − = sau 2 22 4 20.x x y y+ + − =
b) Pentru cercul ( ) ( )2 21 2 25x y+ + − = , inlocuind punctul A(0 ;1)
( ) ( )2 20 1 1 2 2 25 (0;1) interiorA⇒ + + − = < ⇒
Pentru ( ) ( )2 2B(2;6) 2+1 6 2 9 16 25 (2;6) cerculuiB⇒ + − = + = ⇒ ∈
Pentru ( ) ( )2 2C(4;3) 4 1 3 2 25 1 26 25 (4;3) exterior.C⇒ + + − = + = > ⇒
c) ( ) ( ) ( )1; 3 , 4;2 , 2; 2 .A B C− − − Verificam prima data daca punctele sunt necoliniare
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
30
1 1
2 2
3 3
11 0.1
x yx yx y
⇔ ≠ Calculam 1 3 1
4 2 1 2 6 8 4 2 122 2 1
− −= − − − − − + =
−
10 0= − ≠ , ,A B C⇒ necoliniare. Ecuatia cercului este 2 2
2 21 1 1 12 22 2 2 22 2
3 3 3 3
11
: 011
x y x yx y x yx y x yx y x y
++
= ⇔++
2 2 110 1 3 1
0.20 4 2 18 2 2 1
x y x y+− −
=
−
Efectuand transformarile 1 2 3 1 4 1 ; ;l l l l l l− − − si dezvoltand dupa
ultima coloana obtinem :
2 2 10 1 3 010 1 3 1
010 5 5 0
2 3 1 0
x y x y+ − + +− −
= ⇔
−
2 2
2 4
10 1 3( 1) 1 10 5 5 0.
2 3 1
x y x y+
+ − + +− ⋅ ⋅ =
−
Dand factor comun pe 5 pe 2l ⇒ 2 2x 10 1 3
2 1 1 02 3 1
y x y+ − + += ⇔
−
2 2 10 2( 1)x y x+ − − + +
2 26( 3) 2( 3) 3( 10) 2( 1) 0y y x y x+ + + + − + − − + = ⇔ 2 22( 10) 4( 1) 8( 3) 0. x y x y− + − − + + + =
Impartind cu (-2) si efectuand calculele ⇒ 2 2 2 210 2( 1) 4( 3) 0 2 4 20 0.x y x y x x y y+ − + + − + = ⇔ + + − − =
d) (1;2); (3;6); (4;8).A B D Verificam mai intai coliniaritatea
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
31
punctelor. 1 2 1 1 1 13 6 1 2 3 3 1 04 8 1 4 4 1
= ⋅ = (am dat factor comun pe
2C ) ⇒ A, B, C coliniare ⇒ nu exista cerc care trece prin aceste puncte. e) ( 1; 3), A − − cercul ( ) ( )2 21 2 25.x y+ + − =
Folosind ecuatia tangentei la cercul ( ) ( )2 2 20 0x-x y y R+ − = in
punctul 1 1A(x ; ) y de ecuatiei tangentei in acel punct si este : ( )( ) ( )( ) 2
0 1 0 0 1 0x x x x y y y y R− − + − − = . Cum A apartine
cercului obtinem ( )( ) ( )( )1 1 1 2 3 2 25x y+ − + + − − − = ⇔
( )5 2 25y− − = ⇔ 2 5 3y y− = − ⇔ = −
( 1; 3), A − − cercul 2 2 x 2 4 20 0.x y y+ + − − = Observam ca A apartine cercului caci :
2 2(-1) 2( 1) ( 3) 4( 3) 20 1 2 9 12 20 0+ − + − − − − = − + + − =
Dedublam ecuatia⇒ 1 1 1 11 1x x 2 ( ) 4 ( ) 20 02 2
x x y y y y⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ + − =
( 1) ( 1) ( 3) 2( 3) 20 0x x y y⇔ ⋅ − + − + ⋅ − − − − = ⇔ 1 3 2 6 20 0 5 15 3.x x y y y y− + − − − + − = ⇔ − = ⇔ = −
Problema 2: a) Gasiti ecuatia elipsei ce intersecteaza axa Ox inA(-5;0) , respectiv Oy in B(0;2) . Determinati focarele elipsei, distanta focala si exentricitatea elipsei.
b) Fie elipsa 2 2x 1
25 4y
+ = . Gasiti ecuatia tangentei in 8C -3; .5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Soluţie :
a) Ecuatia elipsei este 2 2
2 2
x 1ya b
+ = . A(-5 ;0) ∈ elipsei
pe cerc se obtine prin dedublarea
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
32
22
25 0 1 25a
a⇔ + = ⇔ = . B(0 ;2) ∈ elipsei 22
40 1 4bb
⇔ + = ⇔ =
⇒ ecuatia elipsei este 2 2x 1
25 4y
+ =
Deoarece 2 2 2 2b 4 25 21a c c c= − ⇒ = − ⇔ = ± ⇒
( ) ( )21;0 si F 21;0F ′− . Distanta focala ' 'FF 2 2 21c FF= ⇒ =
Exentricitatea este : c 21e=a 5
=
b)2 2x 81, C -3;
25 4 5y ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠apartine elipsei caci 9 64 36 64 1
25 100 100+
+ = =
Ecuatia tangentei o gasim prin dedublare 8
-3x -3x 85 1 1 3 10 2525 4 25 20
y y x y⇔ + = ⇔ + = ⇔ − + =
Problema 3 : a) Gasiti ecuatia hiperbolei ce intersecteaza axa Ox
in ( )0;5−A si pentru care exentricitatea este .529
=e Gasiti
hiperbola conjugata a hiperbolei determinate anterior, ecuatiile asimptotelor hiperbolei determinate anterior precum si ecuatia hiperbolei echilatere ce contine ( )0;5−A .
b) Fie hiperbola ,1425
22
=−yx gasiti ecuatia tangentei in punctul
( ).32;10C Soluţie :
a) Ecuatia hiperbolei este 12
2
2
2
=−by
ax si ( )∈− 0;5A hiperbolei ⇔
1252 =
a⇔ 252 =a si
529
=e ⇒529
=ac
⇔ .29=c Cum
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
33
222 acb −= ⇔ 25292 −=b ⇔ 42 =b ⇒ .1425
22
=−yx Hiperbola
conjugata: .1425
22
−=−yx Ecuatiile asimptotelor pentru 1
425
22
=−yx
sunt xaby ±= ⇔ .
52 xy ±= Ecuatia hiperbolei echilatere este
12
2
2
2
=−ay
ax
⇔ .222 ayx =− ( )∈− 0;5A hiperbolei ⇒ 225 a= ⇒
.2522 =− yx
b) 1425
22
=−yx si ( ).32;10C Inlocuind in ecuatia hiperbolei ⇒
14
1225
100=− ⇒ ∈C hiperbolei, asadar ecuatia tangentei o gasim
prin dedublare ⇒ 1432
2510
=−yx
⇒ 123
52
=−yx ⇔
.10354 =− yx Problema 4. a) Gasiti ecuatia parabolei ce are parametrul .3=p Gasiti ecuatia directoarei parabolei. b) Fie parabola ,62 xy = gasiti ecuatia tangentei in ( ).12;24A
Soluţie : a) Ecuatia parabolei este pxy 2= ⇒ .62 xy = Ecuatia directoarei
parabolei este .23
−=x
b) ,62 xy = ( ).12;24A inlocuit in ecuatie da 246122 ⋅= adevarat ⇒ ( )∈12;24A parabolei. Prin dedublare, ecuatia tangentei este
( )11 212 xxpyy +=⋅ ( )112 6 24
2y x⇔ ⋅ = ⋅ + ⇔ .244 += xy
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
34
Problema 5:. Să se reprezinte grafic conicele care au următoarele ecuaţii ( să se precizeze şi tipul fiecărei conice ) a) 2 2 4 ;x y+ = b) 2 24 4 ;x y+ = c) 2 4 ;y x= d) 2 9 ;y x= e) 2 ;y x= f) 2 2 4 ;x y− = g) 2 2 1.x y− = h) 2 24 1.x y− = Problema 6:. Să se reprezinte grafic conicele care au următoarele ecuaţii ( să se precizeze şi tipul fiecărei conice ) a) 2 2 4 ;x y+ = b) 2 24 4 ;x y+ = c) 2 4 ;y x= d) 2 9 ;y x= e) 2 ;y x= f) 2 2 4 ;x y− = g) 2 2 1.x y− = h) 2 24 1.x y− = i) j) 2 29 9 ;x y+ =
2 24 4 ;x y− =
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
35
Capitolul 5 Mulţimi, logică matematică, ecuaţii
Problema 1. Determinaţi:
a) ∪ b) ∪ c) \ d) ∩ e) ∪ f) ∩ g) \ h) \
Problema 2: Fie intervalele [ )1 2;5I = − ; ( ]2 1;4I = ; [ ]3 4;5I =Calculaţi : a) 1 3I I∪ b) 2 1I I∪ c) 2 3I I∩ d) 1 3I I∩ e) 3 1\I I f) 2 3\I I g) ( )1 2 3\I I I∪ h) ( )1 2 3I I I∩ ∪ Problema 3.1: Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2 0;x x− = b) 2 3 2 0;x x− + = c) 2 6 0;x x− − = d) 2 4 4 0;x x− + =
e) 2 5 1 0;6 6
x x− + = f) 2 1 0;4
x x− + =
g) ( )2 2 3 4 6 0;x x− + + =
h) 2 2 2 2 0;x x− + = Problema 3.1: Determinaţi valorile lui m∈ astfel încât ecuaţiile următoare să aibe : a) rădăcini reale : 2 0;x mx− =
2 3 0;x x m− + = b) rădăcini reale distincte : 2 4 0;x mx− + =
2 0;x x m− + =
Problema 3.1: Determinaţi valorile lui m∈ astfel încât ecuaţiile următoare să aibe aceleaşi rădăcini:
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
36
a) 2 2 0;x mx− + = 2 3 2 0;x x− + =
b) 2 4 0;x mx− + = 2 0;x x m− + =
Problema 5,6: Rezolvaţi ecuaţiile de grad superior următoare: a) 01546368 23 =−+− xxx b) 3 26 11 6 0x x x− + − = (rezultat { }1;2;3 )
c)3 7 6 0x x− + = (rezultat { }1;2; 3− )
d) 3 29 23 15 0x x x− + − = (rezultat { }1;3;5
e) 3 224 10 13 6 0x x x+ − − = (rezultat 1 2 3; ;2 3 4
⎧ ⎫− −⎨ ⎬⎩ ⎭
)
Problema 7: Rezolvaţi: a) ( )( )2 9 20 1 0x x x− + − + ≤ b) ( )( )2 5 6 1 0x x x+ + + ≥
c) ( )( )2 2 1 1 0x x x+ + − + ≥ d) ( )( )2 3 2 1 0x x x+ + + ≤
e) 0)1)(1(
)1)(2(2 ≤
−+−+−−
xxxxx f) ( )( )
( )( )2
3 50
1 1x xx x
+ −≥
− −
g) ( )( )
( )( )2
2
3 5 60
1 1
x x x
x x
+ − +<
− − h)
( )( )( )2 2
3 01 1 5 6
xx x x x
+<
− − − +
Soluţie parţială:
e) Rezolvam ecuaţia ataşată : 0)1)(1(
)1)(2(2 =
−+−+−−
xxxxx
Cond: 2( 1)( x-1) 0 1x x x+ − + ≠ => ≠ − şi 2 x-1 0x− + ≠ Deoarece 21 4 0 x-1 0; x RxΔ = − < => − + < ∀ ∈ , aşadar intervalul de condiţii este ( ) ( ); 1 1;−∞ − ∪ − ∞
1 2( 2)(1 ) 0 rădăcinile: 2; 1x x x x− − = ⇔ = = Folosim tabelul de semne pentru a determina semnul fractiei
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
37
aşadar soluţia este: ( ) [ ], 1 1,2x ∈ −∞ − ∪ Problema 8,9,10: Rezolvaţi următoarele ecuaţii şi inecuaţii: a) 5x =
b) 5x = − c) 5x <
d) 5x > e) 5x > −
f) 5x < − g) 2 2 22 4 1 5 1x x x− − − = +
h) 21 5 6 2 2x x x x x− + + − + + − = +
i) 2 21 3 6 1x x− − − > −
j) 21 5 6 2 2x x x x x− + + − + + − ≤ + Problema 11: Determinaţi partea întreagǎ şi partea fracţionară a urmǎtoarelor numere: a) 2; b) 2;− c) 2,7;
d) 2,7;− e) 7 ;3
f) 7 ;3
−
Problema 13: Rezolvaţi ecuaţiile următoare:
a)2
13
1 −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ + xx b) 1 2 1;
2 3x x+ +⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
c) 3 1 1;4 2
x x− −⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ d) 2;
3x x⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
38
Problema 14: Calculaţi folosind formule de calcul prescurtat: a)
( )( )5 2 5 2− +
b) ( )( )3 2 3 2− +
c) ( ) ( )2 23 2 3 2− − +
d) ( )( ) ( )25 3 5 3 5 3 2 3− + − + +
e) ( )( ) ( )25 2 5 2 5 2 8− + − − −
f) ( )( )( )2 23 2 3 2 9 4x y x y x y+ − +
g) ( )( )( )( )2 2 4 4x y x y x y x y− + + +
h) ( ) ( )
( )( )2 2 : 4a b a b a
b a b a a
⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦− + +
Problema 15.1. Calculaţi cu două zecimale exacte: a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 813,45 f) 123, 4 g) 432,1 h) 312, 4 Soluţie: a)deoarece trebuie două zecimale exacte, completăm cu patru zerouri 3 3,0000=
e) 813, 45 813, 4500=
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
39
Problema 15.2: Extrageţi următorii radicali: a) 15129 b) 17424 c) 103041 d) 97344 e) 54756 f) 104976 Problema 16: Calculaţi: a)1 2 3 ... 1000+ + + + b) 2 2 21 2 ... 1000+ + + c)
3 3 31 2 ... 1000+ + + d)1 2 3 ... 2000+ + + + e) 2 2 21 2 ... 2000+ + + f)
3 3 31 2 ... 2000+ + + Problema 17: Determinaţi: a) câte numere de 5 cifre au toate cifrele numere pare. b) câte numere de 5 cifre au toate cifrele numere impare. c) câte numere de 5 cifre sunt divizibile cu 2. d) câte numere de 5 cifre au prima cifra pară şi sunt divizibile cu 2. e) câte numere de 5 cifre au suma dintre prima şi ultima cifrǎ egalǎ cu 10. Problema 18: Determinaţi numărul submulţimilor cu: a) 3 elemente b) 5 elemente c) 2 elemente d) 4 elemente Problema 19: Calculaţi:
a) ( )1
11
n
kS
k k==
+∑ b)( )( )1
11 2
n
kS
k k==
+ +∑
c) ( )( )1
11 3
n
kS
k k==
+ +∑ d)( )( )1
17 6 7 1
n
kS
k k==
− +∑
e)( )( )1
13 2 3 1
n
kS
k k==
− +∑
f) ( )( )1 1 2
n
k
kSk k=
=+ +∑
g) ( )( )1
11 2
n
k
kSk k=
−=+ +∑ h)
( )( )( )1
11 2 3
n
kS
k k k==
+ + +∑
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
40
Soluţie parţială:
d) 1 (7 1) (7 6)(7 6)(7 1) 7 6 7 1 (7 6)(7 1)
A B A k B kk k k k k k
+ − −= − = =
− + − + − +07 ( ) 6 7 1
6 1(7 6)(7 1)A B A Bk A B A B BA Bk k
⎧ − = => =− + += => => = =>⎨ + =− + ⎩
1 17 7
B A=> = => = . Dând pe rand valori lui k obţinem:
1
1 111 7 7 8
1 127 8 7 15
1 137 15 7 22
.....................................1 1
7(7 6) 7(7 1)
1 1 1 (7 1) 1 7(7 6)(7 1) 7 7(7 1) 7(7 1) 7(7 1) 7 1
n
k
k
k
k
k nn n
n n nk k n n n n=
= => −⋅ ⋅
= => −⋅ ⋅
= => −⋅ ⋅
= => −− +
+ −= − = = =
− + + + + +∑
Problema 20: Să se arate că, n ∗∀ ∈ avem:
a) ( )11 2 ...
2n n
n+
+ + + =
b) ( )( )2 2 2 1 2 11 2 ...
6n n n
n+ +
+ + + =
c) ( ) 23 3 3 1
1 2 ...2
n nn
+⎛ ⎞+ + + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
d) ( )2
22 2 4 11 3 ... 2 13
nn n −+ + + − = ⋅
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
41
e) ( ) ( )( )22 2 4 2 1 2 12 6 ... 4 2
3n n n
n− +
+ + + − =
f) ( ) ( )21 4 2 7 ... 3 1 1n n n n⋅ + ⋅ + + ⋅ + = ⋅ +
g) ( )2
1)1()1(.....321 121222 +⋅−=⋅−+−+− −− nnn nn
Soluţie parţială:
g) I. P(1): ( ) 2 1 1 1 21 :1 ( 1) 1 1( )2
P A− ⋅= − ⋅ ⇔ =
II. Presupunem P(k) adevarată si vrem sa arătăm că P(k+1) adevarată, unde:
2 2 2 1 2 1 ( 1)( ) :1 2 3 ... ( 1) ( 1)2
k k k kP k k− − +− + − + − ⋅ = − ⋅
2 2 2 ( 1)( 2)( 1) :1 2 ... ( 1) ( 1) ( 1)2
k k k kP k k + ++ − + + − ⋅ + = − ⋅
Ştim 2 2 1 2 1 2( 1)1 2 ... ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2
k k kk kk k− − +− + + − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ + ⇔
( )22 2 1 2( 1)1 2 ... ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)2
k k kk kk k− +=> − + + − ⋅ + = − ⋅ + − ⋅ +
Rămâne să arătăm că
( )1 2( 1) ( 1)( 2)( 1) ( 1) ( 1) 12 2
kk kk k k kk− + + +− ⋅ + − ⋅ + = − ⋅ ⇔
( ) ( )1 2( 1) ( 1)( 2)1 ( 1)( 1) 12 2
k kk k k kk− + + +⎛ ⎞− ⋅ + − + = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) 11 ( 1)k k−− ⋅ + ( ) ( )( 1)
1 12
k kk k+⎛ ⎞⋅ − + = − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
( 2)2
k +⇔
( ) ( )1 2 2 ( 2)1 12 2
k kk k k− − − +⎛ ⎞− ⋅ = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
, relaţie adevărată
Deoarece din ( )P k am obţinut P(k+1)adevărată ( )P n⇒ este adevărată, n∀ ∈
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
42
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
43
Capitolul 6 Şiruri, progresii
Problema 1: Calculaţi 7a dacă na este progresie aritmetică care verifică relaţiile: a) 5 1912, 40a a= = b) 3 66, 15a a= − = − c) 2 68, 28a a= = d) 3 57, 9a a= =
e) 5 2 10
3 5
2 3 42112
a a aa a
− + =⎧⎨ ⋅ =⎩
f) 5 3
4 7
2 120
a aa a
− = −⎧⎨ + =⎩
Soluţie: a) Vom folosi formula termenului general al unei progresii aritmetice, ( )1 1na a n r= + −
⇒ (i) 1
1
4 1218 30
a ra r
+ =⎧⎨ + =⎩
. Scăzând ecuaţiile ⇒ 14 28r = ⇔ 2r = .
Înlocuind în ecuaţia (1) ⇒ 1 8 12a + = ⇒ 1 4a = ⇒ 7 1 6a a r= + ⇔ 7 4 12 16a = + = .
e)( ) ( )
( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 1
1 11 1
2 4 3 9 42 2 8 3 3 9 422 4 1122 4 112
a r a r a r a r a r a ra r a ra r a r
+ − + + + =⎧ + − − + + =⎧⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ + + =+ + = ⎪⎪ ⎩⎩
( )( ) ( )( ) 21 1 1 1 1 1
14 42 3 32 4 112 6 12 112 18 72 112
r r ra r a r a a a a
= = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ + = + + = + + =⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩.
Ecuaţia a 2-a devine 21 118 40 0a a+ − = cu soluţiile
( )1 1,2
18 324 1602
a − ± += ⇔ ( )1 1,2
18 484 18 222 2
a − ± − ±= = ⇒
{ }1 2; 20a ∈ − . Aşadar, sunt două progresii: 1 23
ar
=⎧⎨ =⎩
şi 1 203
ar
= −⎧⎨ =⎩
⇒ 7 2 6 3 20a = + ⋅ = respectiv 7 20 6 3 2a = − + ⋅ = − .
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
44
Problema 2.1: Verificaţi dacă na este progresie aritmetică unde 1n ≥ pentru:
a) 3 4, 1na n n= − ≥ b) 2 1, 1na n n= + ≥ c) 2 2, 1na n n= + ≥ d) 2 , 1n
na n= ≥ e) 2 , 1n
na n−= ≥ f) 7, 1na n= ≥
g) 7 , 1na nn
= ≥ h) , 1na n n= ≥
Soluţie parţială: a) metoda I: verificăm dacă 1 1 2n n na a a− ++ = ⇔
( ) ( ) ( )3 1 4 3 1 4 2 3 4n n n− − + + − = − ⇔ 6 8 6 8n n− = − , adev.,
n∀ ∈ ⇒ na progresie aritmetică. metoda II: calculăm ( ) ( )2 1 13 2 4 3 1 4 3a a r− = ⋅ − − ⋅ − = = ;
( )1 23 1 4 2 4 3n na a n n r+ − = + − − + = = . Deoarece 1 2r r= ⇒ na progresie aritmetică. c) metoda I: ( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 2 1 2 1 2 2 2n n na a a n n n− ++ = ⇔ − + + + + = +
⇔ 2 2 22 1 2 2 1 2 2 4n n n n n− + + + + + + = + ⇔ 2 22 6 2 4n n+ = + , n∀ ∈ ceea ce e fals ⇒ na nu e progresie aritmetică.
metoda II: ( )2 22 1 1 16 3 3 ; 1 2 2 2 1n na a r a a n n n+− = − = = − = + + − − = + ;
care nu e constant ⇒ 1 2r r≠ ⇒ na nu e progresie aritmetică. Problema 2.2: Determinaţi numărul real x astfel încât numerele
; ;a b c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice: a) ; 7 2 ; 2a x b x c= = + = b) 5; 2; 7a b x c= = − = c) 3; 4 ; 11a b x c= = + = d) 4; 5; 2a x b c x= + = = − e) 2 ; 5; 2a x b c x= − = = − f) 2; 2; 4a b x c= = − = g) ; 7; 10a x b c x= = = + h) 5 ; 2; 7 3a x b x c x= + = − = −
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
45
Problema 3: Calculaţi în fiecare caz 1 2 ...n nS a a a= + + + cerut, dacă na este progresie aritmetică care verifică relaţiile: a) 7 ?S = dacă 2 1na n= + b) 11 ?S = dacă 3 4na n= − c) 15 ?S = dacă 2na n= d) 23 ?S = dacă 3na n= − + e) 7 ?S = dacă 5 1912, 30a a= = f) 11 ?S = dacă 3 76, 18a a= − = − g) 15 ?S = dacă 2 78, 33a a= = h) 23 ?S = dacă 3 107, 28a a= = Problema 4: Calculaţi 7b dacă nb este progresie geometrică care verifică relaţiile: a) 2 52, 16b b= = b) 1 41, 27b b= = c) 1 43, 24b b= = d) 2 48, 72b b= =
e) 5
11
161024
bb
=⎧⎨ =⎩
f) 1 2 3
2 3 4
2142
b b bb b b
+ + =⎧⎨ + + =⎩
Soluţie parţială: e) Vom folosi formula termenului general al unei progresii geometrice, 1
1n
nb b q −= ⋅
5
11
161024
bb
=⎧⎨ =⎩
⇔ 4
110
1
16
1024
b q
b q
⎧ ⋅ =⎪⎨
⋅ =⎪⎩. Împărţind relaţiile ⇒
101
41
102416
b qb q
⋅=
⋅ ⇔ 6 64q = ⇔ 6 62q = ⇔ 2q = ± .
Caz I: 2q = ⇒ 41 2 16b ⋅ = ⇔ 1 1b = ⇒ 6 6
7 1 2 64b b q= ⋅ = = şi
analog pentru caz II: ( )412 2 16q b= − ⇒ ⋅ − = ⇔ 1 1b = ⇒ 7 64b =
f) 1 2 3
2 3 4
2142
b b bb b b
+ + =⎧⎨ + + =⎩
⇒ 2
1 1 12 3
1 1 1
21
42
b b q b q
b q b q b q
⎧ + + =⎪⎨
+ + =⎪⎩. Împărţind relaţiile
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
46
⇒ ( )( )
21
21
1 21421
b q q
b q q q
+ +=
+ + ⇔ 1 1
2q= ⇔ 2q = , înlocuind în
ecuaţia (1) ⇒ 61 1 1 1 72 4 21 3 3 2 192b b b b b+ + = ⇔ = ⇔ = ⋅ =
Problema 5.1: Verificaţi dacă nb e progresie geometrică unde
1n ≥ pentru:
a) 13
4
n
n nb+
= b) 1 5nnb = +
c) 2 2, 1na n n= + ≥ d) 2 , 1nna n= ≥
e) 2 , 1nna n−= ≥ f) 7, 1na n= ≥
g) 7 , 1na nn
= ≥ h) , 1na n n= ≥
Soluţie parţială: a) metoda I: verificăm dacă ( )2
1 1n n nb b b− +⋅ = ⇔ 22 1
1 1
3 3 34 4 4
n n n
n n n
+ +
− +
⎛ ⎞⋅ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠⇔
2 2 2 2
2 2
3 34 4
n n
n n
+ +
= adev.
metoda II: calculăm 3
212 2
1
3 4 34 3 4
b qb
= ⋅ = = şi 2
121 1
3 4 34 3 4
n nn
n nn
b qb
++
+ += ⋅ = =
Deoarece 1 2q q= ⇒ nb e progresie geometrică.
b) metoda I: verificăm dacă ( )21 1n n nb b b− +⋅ = ⇔
( )( ) ( )21 11 5 1 5 1 5n n n− ++ + = + ⇔ 1 1 2 21 5 5 5 1 2 5 5n n n n n+ −+ + + = + ⋅ + ⇔ ( )1 2 15 5 1 2 5 5n n− −+ = ⋅ ⋅ ⇔
26 10= fals ⇒ nb nu e progresie geometrică.
metoda II: 21
1
1 25 26 131 5 6 3
b qb
+= = = =
+. Cum
11 1 5
1 5
nn
nn
bb
++ +
=+
care nu
e constant ⇒ 1 2q q≠ ⇒ nb nu e progresie geometrică.
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
47
Problema 5.2: Determinaţi numărul real x astfel încât numerele ; ;a b c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice:
a) ; 2; 8a x b c= = = b) 5; 10;a b c x= = = c) 2; 3 ; 8a b x c= = + = d) 2; 3 ; 8a b x c= = − = e) 5 ; 1; 8a x b x c= − = + = f) 5 ; 1; 5a x b x c x= − = + = + g) 1; 3 ; 7a x b x c x= + = + = + h) 2 ; 3 ; 9a x b x c x= = + = − Problema 6: Calculaţi în fiecare caz 1 2 ...n nS b b b= + + + cerut, dacă na este progresie geometrică care verifică relaţiile: a) 7 ?S = dacă 2n
nb = b) 11 ?S = dacă 2nnb = −
c) 15 ?S = dacă ( )2 nnb = − d) 23 ?S = dacă 2 n
nb −=
e) 7 ?S = dacă 1 43, 24b b= = f) 11 ?S = dacă 2 48, 72b b= =
g) 15 ?S = dacă 7 1018,2
b b= = h) 23 ?S = dacă 3 6125,5
b b= =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
48
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
49
Capitolul 7 Funcţia de gradul I şi de gradul II
Problema 1: Calculaţi produsul cartezian A B× dacă: a) { } { }2;3 , 4;6A B= = b) { } [ ]2;3 , 4;6A B= =
c) [ ] { }2;3 , 4;6A B= = d) [ ] [ ]2;3 , 4;6A B= =
e) { } { }1;3 , 4;5;6A B= = f) { } [ ]1;2 , 3;5A B= =
g) [ ] { }1;2 , 3;5A B= = h) [ ] [ ]1;2 , 3;5A B= = Soluţie parţială: a) { } { }2;3 , 4;6A B= = ⇒
( ) ( ) ( ) ( ){ }2;4 , 2;6 , 3;4 , 3;6A B× =
Reprezentarea e formată din patru puncte
b) { } [ ]2;3 , 4;6A B= = ⇒
( ) { }{ }, 2;3 şi 4 6A B x y x y× = ∈ ≤ ≤
Reprezentarea e formată din
două segmente paralele cu Ox c) [ ] { }2;3 , 4;6A B= =
( ) { }{ }, 2 3 şi 4;6A B x y x y× = ≤ ≤ ∈
Reprezentarea e formată din
două segmente paralele cu Oy
d) [ ] [ ]2;3 , 4;6A B= =
( ){ }, 2 3 şi 4 6A B x y x y× = ≤ ≤ ≤ ≤
Reprezentarea e formată dintr-un dreptunghi
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
50
Problema 2.1: Spuneţi în ce cadran sau pe ce axă de coordonate sunt situate punctele următoare: a) ( )2, 1A − a) ( )2, 1B − −
c) ( )2,1C d) ( )2,1D −
e) ( )0,1E f) ( )2,0F −
g) ( )0, 1G − h) ( )2,0H Problema 2.2: Daţi exemple de: a) un punct A din cadranul I care are abscisa iraţională b) un punct B din cadranul II care are ambele coordonate iraţionale c) un punct C din cadranul III care are suma coordonatelor egală cu -1 d) un punct D din cadranul IV care are produsul coordonatelor egal cu -1 e) un punct E de pe axa Ox cu abscisa negativă f) un punct F de pe axa Ox cu abscisa pozitivă g) un punct G de pe axa Oy cu ordonata pozitivă h) un punct H de pe axa Oy cu ordonata negativă Problema 3: Determinaţi numărul de funcţii :f A B→ , unde: a) { } { }2 , 5A B= = b) { } { }2;3 , 4A B= =
c) { } { }2 , 5;6A B= = d) { } { }2;3 , 5;6A B= =
e) { } { }2;3;4 , 5;6A B= = f) { } { }2;3 , 4;5;6A B= =
g) { } { }2;3;4 , 4;5;6A B= = h) { } { }2;3;6;8 , 4;5;6A B= = Problema 4: Verificaţi care din următoarele funcţii sunt pare sau impare: a) ( ) 3: ,f f x x→ = ; b) ( ) ( ) 3: 0; ,g f x x∞ → = ;
c) ( ) 2: , 1h h x x→ = + ; d) ( ) 2: ,i i xx
∗ → = ;
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
51
e) ( ) 2: , 2j j xx
∗ → = − ; f) ( ) 2007: ,k k x x+ → =
g) ( ) 2: ,j j xx
∗ → = − ; h) ( ): , 2007xk k x+ → =
Problema 5: Studiaţi monotonia funcţiilor următoare şi determinaţi punctul de extrem (minim sau maxim al acestor funcţii): a) ( ) 2 1f x x x= + + b) ( ) 2 3 2f x x x= + +
c) ( ) 2 5 6f x x x= − + − d) ( ) 2 4 4f x x x= − +
e) ( ) 2 2 1f x x x= − + − f) ( ) 2 2 2f x x x= − + − g) ( ) 2f x x= h) ( ) 2 1f x x= − + Problema 6,7,8: Verificaţi dacă funcţiile următoare sunt monotone: a) ( ): , 1f f x x→ = + ; b) ( ) ( ): 1;2 , 1g g x x→ = + ;
c) ( ) ( ) 2: 1;2 ,h h xx
→ = ; d) ( ) 2: ,i i xx
∗ → =
e) ( ): , 2 1f f x x→ = − ; f) ( ) ( ): 1;2 , 2 1g g x x→ = − ;
g) ( ) ( ) 2: 1;2 ,1
h h xx
→ =−
; h) ( ) 2
2: ,1
i i xx
∗ → =+
Problema 9: Ştim că funcţia :f → este inversabilă. a) dacă ( )2 3f = , calculaţi b) dacă ( )5 1f = , calculaţi ( )1 1f −
c) dacă ( )2 1f = , calculaţi ( )1 1f −
d) dacă ( )3 2f = − , calculaţi ( )1 2f − − Problema 10: Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2 3 5x x+ = b) 3 4 7x x+ = b) 1 1 2
2 3
x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c) 0,1 0,2 0,005x x+ =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
52
Problema 11,12,13,14,15: Studiaţi bijectivitatea funcţiilor următoare şi, în caz afirmativ, calculaţi inversa: a) ( ): , 2 1f f x x→ = +
b) ( ) ( ) ( ): 1, 3, , 2 1f f x x∞ → ∞ = +
c) ( ) 2: , 1f f x x→ = +
d) [ ) ( ) 2: 0, ,f f x x→ ∞ =
e) ( ] [ ) ( ) 2: ,0 0, ,f f x x−∞ → ∞ =
f) ( ] [ ) ( ) 2: ,0 1, , 1f f x x−∞ → ∞ = + Problema 17: Scrieţi forma canonică a următoarelor funcţii: a) ( ) 2 1f x x x= + + b) ( ) 2 3 2f x x x= + +
c) ( ) 2 5 6f x x x= − + − d) ( ) 2 4 4f x x x= − +
e) ( ) 2 2 1f x x x= − + − f) ( ) 2 2 2f x x x= − + − g) ( ) 2f x x= h) ( ) 2 1f x x= − + Problema 18: Descompuneţi în factori următoarele expresii: a) ( ) 2 3 2E x x x= − + b) ( ) 2 2 1E x x x= − + c) ( ) 26 5 1E x x x= − + d) ( ) 24 4 1E x x x= + + e) ( ) 2 2E x x x= + − f) ( ) 2 2E x x x= − − g) ( ) 2 6 8E x x x= − + h) ( ) 2 12E x x x= − − Problema 20,21: Rezolvaţi următoarele sisteme simetrice:
a) 2
1x y
xy+ =⎧
⎨ =⎩ b)
32
x yxy+ =⎧
⎨ =⎩
c) 2 2 5
3x yx y
⎧ + =⎨
+ =⎩ d)
( )( )
2 3 77 9 5
x y xyx y xy
+ + =⎧⎪⎨ + − =⎪⎩
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
53
e) 3 3
2 2
77
x yx xy y
⎧ + =⎨
− + =⎩
f) 3 3
2 2
95
x yx y
⎧ + =⎨
+ =⎩
g) 2 2
1 1 43
7x y
x xy y
⎧ + =⎪⎨⎪ − + =⎩
h) 52
2 2 4
y xx y
x xy y
⎧ + =⎪⎨⎪ − + =⎩
Soluţie parţială:
a)Este un sistem simetric, notăm x y Sxy P+ =⎧
⎨ =⎩ şi folosind ecuaţia
ataşată este 2 21 20 2 1 0 1, 1t St P t t t t− + = ⇒ − + = ⇒ = = 1, 1x y⇒ = =
Problema 22: Rezolvaţi sistemele:
a) 2 2
2 2
19
x yx y
⎧ − = −⎨
+ =⎩ b)
2
2
2x x yx y
⎧ − =⎨
=⎩
c) 2 2
2 2
2 12 2x yx y
⎧ − =⎨
+ =⎩ d)
2 2
2 2
2 33 4x yx y
⎧ + =⎨
+ =⎩
e) 2 2
2
5 12 6
x yx y
⎧ − = −⎨
+ =⎩ f)
2 2
2 2
3 2 43 5
x xy yx xy y
⎧ − + =⎨
+ + =⎩
g) 2
2
1010
x xy yx xy y
⎧ + + =⎨
+ + =⎩ h)
2 2
2 2
3 2 43 3
x xy yx xy y
⎧ − + =⎨
+ − =⎩
Soluţie parţială:
a) Este un sistem omogen, notăm y tx= ⇒2 2 2
2 2
5 16
x t xx tx
⎧ − = −⎨
+ =⎩.
Împărţind cele 2 ecuaţii obţinem ( )( )
2 22
1,22
1 5 1 1 76 30 1 ;1 6 2 15
x tt t t
x t− ⎧ ⎫= − ⇒ − = − − ⇒ ∈ −⎨ ⎬+ ⎩ ⎭
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
54
Cazul I: 2
2 2 21 6 3 12 42 2 2
x xt y x x x= ⇒ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =
2 1x y⇒ = ± ⇒ = ± , deci soluţiile sunt ( ) ( ) ( ){ }, 2; 1 ; 2;1x y ∈ − −
Cazul II: 2
2 27 7 7 6 8 9015 15 15
x xt y x x= − ⇒ = − ⇒ − = ⇒ = ⇒
2 45 3 5 7 3 54 2 15 2
x x y= ⇒ = ± ⇒ = ⋅∓
Problema 24: Verificaţi inegalitatea mediilor în cazul numerelor următoare: a) 3 2x = + , 3 2y = − b) 5 2, 5 2x y= + = − ;
c) 12
x = , 13
y = ; d) ( )0, 3x = , 13
y =
e) 12
x = , 1b = ; f) 0,3x = , 13
y =
g) 12
x = , 0b = ; h) 14
x = , 12
y =
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
55
Capitolul 8 Mulţimi de numere
Problema 1. Calculaţi: a) 4 b) 4 16 ; c) 5 32 ; d) 6 64 ; e) 3 64 ; f) 3 256 ; g) 4 1024 ; h) 6 64 ; i) 5 128 ; Problema 2.1: Calculaţi:
a) 3
6 323 4
163322
⋅⋅⋅ ; b)
123
34 32
531553
⋅⋅⋅ ;
c) 5 4 2 103 7 63 : 21⋅ ⋅ ; d) 33 24228 ⋅⋅⋅ ;
e) 2882 ⋅ ; f) 121
4 33 55555−
⋅⋅⋅ ; Problema 2.2: Determinaţi mulţimea valorilor reale ale lui x pentru care au sens următoarele expresii, adică determinaţi intervalul de condiţii: a) 4 1 2x x− = − b) 3 1 2x x− = − c) 6 x x− = d) 5 1 2x x+ = −
e) 261 3 2
2x x x
x+
= − +−
f) 261 3 2
2x x x
x− +
= + ++
g) 251 3 2
2x x x
x− +
= + ++
h) 62
1 23 2x x
x x− +
= ++ +
Problema 3: Comparaţi următoarele numere reale : a) 34 126, 4, 280a b c= = =
b) 3 42, 7, 10a b c= = =
c) 3 42, 3, 100a b c= = =
d) 5 10100, 20, 1000a b c= = =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
56
Problema 4: Rezolvaţi: a) 1 3 1x x+ = − b) 1 3 1x x+ = + c) 16 4x x+ = − d)
3 1 2x + = e) 3 3 23 1 1x x x− + = − f)
3 3 3 1 1x x x+ + = + g) 2 3 1 1x x+ − + = h) 3 4 4 2x x x+ + − = i) 3 2 1 1x x− + − = j) 3 35 7 5 12 1x x+ − − = Problema 5.1: Calculaţi:
a) ( ) 12 5 7 48 : 2 2 2−
⋅ ⋅ b) ( ) ( )2 23 33 9
−⎡ ⎤− ⋅⎣ ⎦
c) ( ){ }12 3 12 8 2 2 5 7 4 4 44 2 2 2 : 2 4 8 : 2 2 2 2 : 2−− ⎡ ⎤⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
d) ( ){ }12 3 12 8 3 2 4 3 7 4 4 43 3 9 3 :3 9 : 27 9 3 3 3 3 :3−− ⎡ ⎤⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
e) ( ){ }12 3 12 3 3 2 8 3 7 4 4 45 5 5 5 :125 25 :5 5 25 5 5 5 :5−− ⎡ ⎤⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
f) ( ) ( )
( )
2 23 3 3 6
3 95
2 4 8 : 2:22 2
−⎡ ⎤− ⋅⎣ ⎦⋅ −
g)
( ) ( )( )
2 23 3 3 6
3 95
3 9 27 :3:33 3
−⎡ ⎤− ⋅⎣ ⎦⋅ −
Problema 5.2: Comparaţi: a) 52 cu 72 ; b) ( )50,2 cu ( )70,2 ;
c) ( )52 cu ( )7
8 ; d) ( ) 52
− cu ( ) 7
8−
;
e)5
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ cu
7
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ f)
5
53
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ cu
7
53
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
g)51
4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
cu 7
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ h)
535
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
cu 73
5⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
57
Problema 6: Folosind proprietăţile radicalilor, calculaţi: a) 4 4 412 3 : 36⋅ b) 4 4412 : 3 : 4
c)4
4 4
123 : 36 d)
4
44
363 : 12
e) 4 412 3 : 6⋅ f) 4 812 3 : 6⋅ g) 412 3 : 6⋅ h) 8 412 3 : 6⋅ Problema 7: Calculaţi: a) 2 3 2 3;+ + − b) 3 2 2 3 2 2 ;+ + −
c) 8 3 7 8 3 7+ − − ; d) 9 4 5 9 4 5+ + − Problema 8: Raţionalizaţi numitorii fracţiilor următoare :
a) 12
b) 15
c) 13 2
d) 12 5
e) 3
15
f) 3 2
15
g) 7 2
13
h) 7 5
13
i) 12 3+
j) 12 3−
k) 12 3+
l) 12 3−
m) 3 3
15 3+
n) 3 3
15 3−
q) 3
15 3+
r) 3
15 3−
Problema 9: Nu există :
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
58
Problema 10: Calculaţi : a) 2log 8 ; b) 3log 1;
c) 21log64
; d) 16log21 ;
e) 4log 0, 25 ; f) 4log 0,125 g) lg100 ; h) lg 0,001
i) 3ln e ; j) 2ln e Problema 11: Determinaţi valorile lui x pentru care sunt definiţi logaritmii: a) ( )3log 4 x− ; b) ( )3log 1 x+ ; c) ( )log 1x x + ; d) ( )1log 2x x+ −
e) ( )23log 3 2x x− + ; f) ( )2
0,3log 4 4x x− + − ;
g) 2
4 21
2log2 7 3x
x
x xx x−
+
+ −− +
h) ( )21
2 1
log 2xx
x x−−
− −
i) ( )1 12 3
log log 1x⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
j) ( )( )1 22
log log 1x +
Problema 12.1: Calculaţi : a) 2log 1 ; b) 2log 2 ; c) 6 6log 3 log 2+ ; d) 6 6log 12 log 2− ; e) 6 6log 27 log 8+ ; f) 2 2log 60 log 15− ;
g) 2log 16 ; h) 43log 27 ;
i) 8log 2 ; j) 9log 27 ;
k) 3 52 16log ; l) ( )3 2
4 25,0log ;
m) 43 27log ; n) 5
2 64log ;
o) 3log 103 p) 2log 54
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
59
q) 2 2 2 2log 2 log 2 2 log 2 2 2 log 2 2 2+ + + + + + − +
r) 6 52 4 2
5log 2 6log 2 2 log 2 22
+ + + −
s) ( ) ( )6 8
1 1log 5 log 725 49+
Soluţie parţială:
r) 6 52 4 2
5log 2 6log 2 2 log 2 22
+ + + − =
( ) ( )2 2 21 1 1 5 1log 2 6 log 2 2 log 2 22 6 2 2 5
+ ⋅ ⋅ + + ⋅ − =
( ) ( )2 2 21 1 1log 2 log 2 2 log 2 22 2 2
+ + + − =
( )( )( )( ) ( )2 21 1 1log 2 2 2 2 2 log 2 2 2 12 2 2
⋅ + − = ⋅ ⋅ = ⋅ =
Problema 12.2: Logaritmaţi în baza ( ) { }0, \ 1b∈ ∞ expresiile:
a) 3 2E x y= b) 3 24E x y=
c) 3 24E x y= ⋅
d) 3 24 5E x y= ⋅
e) 5
6x yE
xy= f) 56E x y xy= ⋅
g) 6
23 3
54 yE xx z
⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
h) 6
23
35
4 yE xx z
⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
Problema 12.3: Ştiind că 2 2 2log 3 , log 5 , log 7a b c= = = , exprimaţi în funcţie de , ,a b c următoarele numere reale: a) 3log 2 b) 3log 4 c) 3log 5 d) 3log 6
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
60
e) 3log 7 f) 3log 8 g) 5log 7 h) 7log 5 Problema 13: Rezolvaţi următoarele ecuaţii: a) 4 3 2 2 0x x− ⋅ + = b) 9 3 6 0x x− − = c) 164210 =−⋅ xx d) xxx 543 =+ e) )32(log)1(log 22 −=+ xx f) 24log 1 =+x g) xx lg5lg61 2 =+ h) 2lglg2 =− xx
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
61
Capitolul 9 Combinatorică
Problema 1: Rezolvaţi următoarele ecuaţii:
a) ( 3)! 30;( 1)!nn
+=
+ b)
3 ! 1 ;( 2)! 4
nn
⋅=
+
c) (2 1)! 42;(2 1)!
nn
+=
− d)
! ( 1)! 8 ;( 1)! 7
n nn
+ +=
+
Problema 2: Nu există: Problema 3,4,5: Rezolvaţi următoarele ecuaţii: a) 6 4 424 11 ;x x xA x C A− ⋅ ⋅ = ⋅ b) 2 2
12 30;x xA A ++ ⋅ =
c) 3 2 33 3 3 24 ;x
x xC A−+ += ⋅ d) 2 2 2 2
1 1 240;x x x xA C A C+ +⋅ + ⋅ =
e) 8 4416 57 ;x xC A+⋅ = ⋅ f) 1 2 2
12 3 13.x x xC C C ++ ⋅ + ⋅ = Problema 3,4,5: Rezolvaţi următoarele ecuaţii: a) 6 4 424 11 ;x x xA x C A− ⋅ ⋅ = ⋅ b) 2 2
12 30;x xA A ++ ⋅ =
c) 3 2 33 3 3 24 ;x
x xC A−+ += ⋅ d) 2 2 2 2
1 1 240;x x x xA C A C+ +⋅ + ⋅ =
e) 8 4416 57 ;x xC A+⋅ = ⋅ f) 1 2 2
12 3 13.x x xC C C ++ ⋅ + ⋅ = Problema 6: a) Determinaţi numărul de funcţii: { } { }: 1,2,3 4,5f →
b) Determinaţi numărul de funcţii injective : { } { }: 1,2,3 4,5,6,7f →
c) Determinaţi numărul de funcţii surjective : { } { }: 1,2,3 4,5f →
d) Determinaţi numărul de funcţii: { } { }: 1,2,3 4,5,4f →
e) Determinaţi numărul de funcţii injective : { } { }: 1, 2,3 4,5,6f →
f) Determinaţi numărul de funcţii surjective : { } { }: 1, 2,3 4,5,6f →
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
62
Problema 7: Demonstraţi egalităţile : a) 1 2 3 12 3 ... 2 ;n n
n n n nC C C nC n −+ + + + = ⋅
b) 9 9 9 9 109 10 11 19 20... ;C C C C C+ + + + =
Problema 8: Scrieţi desfăşurat, folosind binomul lui Newton :
a) 2
12 ;3
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠ b) ( )32 ;x −
c) 4
3 1 ;xx
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠ d)
33 2 1 ;x
x⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 9: Care este al şaselea termen al fiecăreia din dezvoltările următoare?
a) 8
1 ;x xx
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠ b)
1213 ;xx
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 10
2 ;2x yy x
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠ d)
1111 ;3
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
Problema 10,11: Determinaţi rangul celui mai mare termen al fiecăreia din dezvoltările următoare:
a)1001 2 ;
2 3⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 801 3 ;
4 4⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 1003 2 ;
2 3⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
d) 401 4 ;
5 5⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 12: Găsiţi câţi termeni raţionali şi câţi iraţionali are fiecare din următoarele dezvoltări :
a) ( )301 3 ;+ b) ( )40
32 3 ;+
c) ( )6042 2 ;+ d) ( )50
3 52 3 ;+
e) ( )2545 4 ;+ f)
10041 4 .
2⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
63
Problema 12: Găsiţi câţi termeni raţionali şi câţi iraţionali are fiecare din următoarele dezvoltări :
a) ( )301 3 ;+ b) ( )40
32 3 ;+
c) ( )6042 2 ;+ d) ( )50
3 52 3 ;+
e) ( )2545 4 ;+ f)
10041 4 .
2⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 13:
a) Găsiţi termenul care îl conţine pe 3x în dezvoltarea ( )92 .x y+
b) Găsiţi termenul care îl conţine pe 8x în dezvoltarea ( )204 .x x+
c) Găsiţi termenul care îl conţine pe 1x
în dezvoltarea 18
3
4
4 .3x
x⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
d) Determinaţi termenul din dezvoltarea
17
3
x yy x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠în care x şi y
au puteri egale. Problema 14: Calculaţi: a) 0 1 2 8
8 8 8 8...C C C C+ + +
b) 0 1 2 88 8 8 8...C C C C− + − +
c) 0 2 4 88 8 8 8...C C C C+ + +
d) 1 3 5 78 8 8 8...C C C C+ + +
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
64
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
65
Capitolul 10 Permutări
Problema 1: Precizaţi a∈ pentru care următoarele tablouri sunt permutări :
a)1 2 3 41 4 3a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
b)1 2 3 42 4 1 a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 1 2 33 4 1 2
a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
d)1 3 42 4 1 3
a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
e) 1 2 3 4 55 4 3 1a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
f)1 2 3 4 5
2 3 4 5a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 2: Calculaţi inversele următoarelor permutări:
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4, ,
4 2 1 3 2 3 1 4 3 2 4 1α β γ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
, ,4 3 2 1 4 3 1 2 1 3 4 2
σ λ ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Problema 3: În mulţimea 4S a permutărilor de gradul 4 fie permutările:
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4, , ,
4 2 1 3 2 3 1 4 3 2 4 1 1 2 3 4eα β γ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Verificaţi dacă: a) e eα α= b) e eγ γ= c)αβ βα= d) αγ γα= e) βγ γβ= f) γα αγ= g) 1 1 eαα α α− −= = h) 1 1 eββ β β− −= = i) ( ) ( )αβ γ α βγ= j) ( ) ( )γ βα γβ α=
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
66
Problema 4: Să se determine numărul inversiunilor fiecăreia dintre următoarele permutări din 5 :S
a)1 2 3 4 5
;1 3 5 2 4
α⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 1 2 3 4 5
;4 3 5 1 2
β⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 1 2 3 4 5
;2 4 5 1 3
δ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
d) 1 2 3 4 5
;3 2 5 1 4
θ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
e) 1 2 3 4 5
;5 3 1 2 4
ω⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
f) 1 2 3 4 54 5 1 3 2
ζ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 5: Să se determine care din următoarele permutări din
6S sunt pare şi care sunt impare:
a) 1 2 3 4 5 63 2 5 6 1 4
α⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 1 2 3 4 5 65 2 4 6 1 3
β⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 1 2 3 4 5 61 2 5 6 3 4
γ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
d) 1 2 3 4 5 62 6 5 3 4 1
δ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
e) 1 2 3 4 5 66 4 5 3 1 2
ε⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
f) 1 2 3 4 5 6
.4 6 1 5 3 2
φ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
67
Capitolul 11 Matrice
Problema 1,2: Nu există: Problema 3: Calculaţi transpusa următoarelor matrici:
( )1 2 4A = − , 436
B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
, 1 2 30 4 50 0 0
C⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, 7 0 02 0 10 3 0
D⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
,
3 47 61 9
E⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, 1 0 03 1 02 1 1
F⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
, 1 0 00 2 00 0 5
G⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, 4 1 22 3 5
H−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
Problema 4: Să se determine numerele reale x, y astfel încât să avem A B= în fiecare dintre cazurile următoare :
a) 1 4
2 3 2 3x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b)2 3 2
, ;6 5 6x
A By
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c) 1 1 3
1 3 3x y y
x y x y y+⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d) 2
3 2 2, ;
2x y x
A Bx y x x
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Problema 7: Să se determine matricea C A B= ⋅ în fiecare dintre următoarele cazuri :
a) 1 2 2 1
, ;3 0 3 1
A B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b)
3 1 1 0, .
3 0 2 1A B
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c) 1 0 2 3
, ;3 1 1 1
A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d)
1 1 1 4, .
5 2 2 1A B
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
e) 1 1 2 1 3 10 1 1 , 0 1 1 .0 0 1 0 0 1
A B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 0 1 0 1) 0 1 0 , 0 1 0
0 1 2 1 0 0f A B
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
68
Problema 8,9: Calculaţi nA prin toate metodele posibile dintre: intuirea regulii, binomul lui Newton şi şiruri:
a) 1 01 2
A⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 1 20 1
A⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 1 01 1
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ d)
1 01 0
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
e) 1 1 20 1 10 0 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
f) 1 1 00 1 10 0 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
g) 1 0 20 1 00 0 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
h) 1 0 01 1 02 1 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Soluţie parţială: a)metoda I:
calculăm ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
8701
;4301 32 AA şi unii dintre noi intuiesc că
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= nnnA
21201
.Arătăm prin inducţie matematică acest lucru.
I. ( ) 1 1 01 :
2 1 2P A ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠adevărată
II. Presupunem ( )P k adevărată ( ) ( )? 1P k⇒ + adevărată, unde
( )1 0
:2 1 2
kk kP k A
⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
( ) 11 1
1 01 :
2 1 2k
k kP k A ++ +
⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠
Ştim că: 11 0 1 0 1 01 22 1 2 2 1 2
k kdk k k k
A A A +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
69
11 1
1 0( 1)
2 1 2k
k kA P k+
+ +
⎛ ⎞⇒ = ⇒ +⎜ ⎟
−⎝ ⎠adevărată ( )P n⇒ adevărată, n∀ ∈
metoda II:
Fie ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒−=
1100
2 BIAB BB =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒
1100
1100
11002
deci 1, ≥∀= kBBk 0 0 12( ) ...n n n n
n n nA I B C B C B C B⇒ = + = + + +
∑=
++++=+=⇒n
k
nnnn
kn
n CCCBICBIA1
2122 )...(
)...( 02102 n
nnnnn
n CCCCCBIA −+++++=⇒
)12(2 −+=⇒ nn BIA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒
121200
1001
nnnA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=⇒
nnnA
21201
Se arată apoi prin inducţie ca la metoda I.
e) .100110211
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=A Calculăm 32 , AA şi obţinem
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
100310931
,100210521
32 AA şi nu putem intui forma generală
pentru nA (cel puţin eu nu o intuiesc). Folosim metoda II, binomul
lui Newton 3
0 1 20 0 10 0 0
B A I B⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
70
Calculăm ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
000000100
2B şi 33 OB =
Din ⇒+=⇒+= nn BIABIA )( 33 putem aplica binomul lui Newton căci 33 BIBI = ,deci nn
nnnnn BCBCBCICA ++++= …221
30
Cum 3,333 ≥∀=⇒= kOBOB k 0 1 2 2
3n
n n nA C I C B C B⇒ = + + ⇒
23
( 1)12
n n nA I n B B−= ⋅ + ⋅ +
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ +
=⇒100
102
312
n
nnn
An
Se arată apoi prin inducţie. Problema 10: Să se calculeze matricea ( )f A în fiecare dintre cazurile următoare :
a) 2 1
, ( ) 2 ;1 3
A f x x⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 2 1
, ( ) 2 1;1 3
A f x x⎛ ⎞
= = +⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 22 1, ( ) 2 2;
1 3A f x x x
⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
d) 3 22 1, ( ) 3 2 5;
1 3A f x x x x
⎛ ⎞= = − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
e) 2
1 1 00 1 1 , ( ) 2 ;0 0 1
A f x x x⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
71
Problema 11: a)Arătaţi că 2 ( ),A M∀ ∈ A verifică relaţia:
222 )det()( OIAAAtrA =+− ,unde 11 22( )tr A a a= + .
b)Determinaţi matricile 2 ( )X M∈ cu det( ) 0X = şi care verifică
relaţia 3 2 2 23
2 2X X
− −⎛ ⎞− = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
.
c)Determinaţi matricile , ,n n nA B C dacă 1 2 2 1 2 1
, , .3 6 8 4 8 4
A B C⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Soluţie parţială:
a)2
22
a b a b a b a bc ab bdA A
c d c d c d ac cd bc d⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⇒ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )a d a a d b
tr A a d tr A Aa d c a d d
+ +⎛ ⎞= + ⇒ ⋅ = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
.0
0detdet 2 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⋅→−=
bcadbcad
IAbcadA
Înlocuind în relaţie obţinem: 2 2
22 2
00
ad bca bc ab bd a ad ab bdO
ad bcac cd bc d ac cd ad d−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + ⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−+ + + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
adică relaţia cerută . b) 2 ( )X M C X∈ ⇒ verifică relaţia de la punctul a)
22 2( ) det( )X tr X X X I O⇒ − + =
Dar , 2det( ) 0 ( ) .X X tr X X= ⇒ = Fie
2( )a b
X tr X ad bc t X t Xc d
⎛ ⎞= ⇒ = − = ∈ ⇒ = ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠| X⋅
3 2 2X tX t t X t X= = ⋅ ⋅ = ⋅ .Cum 3 2 2 23
2 2X X
− −⎛ ⎞− = ⇒⎜ ⎟− −⎝ ⎠
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
72
2 2 2( )
2 2t t X
− −⎛ ⎞− = ⇒⎜ ⎟− −⎝ ⎠
( ) 2 .a a
X tr X aa a
⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Deci, 2 3 22 2(4 2 ) 4 2 2
2 2a a
a a a aa a
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⇔ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
|:2
3 21 2 3
12 1 0 1;2
a a x x x⇔ − + = ⇒ = = = − cu Horner
1 11 1
X ⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠ respectiv
1 12 2 .1 12 2
X
⎛ ⎞− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 12: a) Fie a b
Ab a
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠, , , 0a b b∈ ≠ . Arătaţi că dacă
( )2X M∈ verifică AX XA= , atunci u v
Xv u
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠;
b) Fie 0 11 0
A−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
. Arătaţi că dacă ( )2X M∈ verifică
AX XA= , atunci a b
Xb a
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠;
c) Fie 0 01 0
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠. Arătaţi că dacă ( )2X M∈ verifică AX XA= ,
atunci 0x
Xy x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠;
d) Fie 1 00 0
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠. Arătaţi că dacă ( )2X M∈ verifică AX XA= ,
atunci 0
0a
Xb
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠;
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
73
Capitolul 12 Determinanţi
Problema 1: Calculaţi cu ajutorul formulelor de calcul următorii determinanţi de ordin 3:
a) a b cd e fg h i
b)b c ad a be c f
c) a d cd a aa d d
d) a c ca c aa c a
e) 2 1 03 2 10 2 1
f) 2 1 0
1 2 10 2 1
−
−
g) 2 1 0
4 5 10 2 1
− h)
2 1 03 2 10 2 1
−
Problema 2: Fie matricea 2 3 41 2 33 1 2
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. Calculaţi minorii şi
complemenţii algebrici asociaţi următoarelor elemente: a) 11a b) 32a c) 13a d) 22a e) 12a f) 21a g) 23a h) 31a
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
74
Problema 3: Dacă ihgfedcba
=Δ 2= , calculaţi:
a) 1
a b cg h id e f
Δ = ; b) 2
b a ch g ie d g
Δ =
c) 3
b h ea g dc i g
Δ = ; d) =Δ4
3 3 3a b cd e fg h i
e) 5
3 3 33 3 33 3 3
a b cd e fg h i
Δ = ; f) =Δ6
cd ce cfd e fg h i
g) 7 2 3 2 3 2 3a b c
a g b h c ig h i
Δ = + + + ;
h)
ihg
xfxexdcba
ihg
fxexdxcba
22
22
22
2228 −−−+−−−=Δ
i) 9
a b cd e f
a d g b e h c f iΔ =
+ + + + + +
Soluţie parţială: a) 1Δ se obţine din Δ prin inversarea 2l cu 3l 1 1 2⇒ Δ = −Δ ⇒ Δ = − b) 2Δ se obţine din 1Δ prin inversarea 1c cu 2c 2 1 2 2⇒ Δ = −Δ ⇒ Δ = c) 3Δ are ca matrice traspusa matricii lui 2 3 2 3 2Δ ⇒ Δ = Δ ⇒ Δ = e obţine din 1Δ prin inversarea 1c cu 2c 2 1 2 2⇒ Δ = −Δ ⇒ Δ =
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
75
d)Scoţând factor comun de pe prima linie pe 3 4 3 6⇒ Δ = ⋅Δ = e) 54227333 515 =⋅=Δ⇒Δ⋅⋅⋅=Δ
f) 06 ==Δihgfedfed
c căci are două linii identice
g) ∆7 se descompune în sumă de doi determinanţi astfel:
0323332227 =⋅+⋅=+=Δihgihgcba
ihgcbacba
ihgihg
cba
ihgcba
cba,
căci fiecare din cei doi determinanţi are câte două linii identice
h)Adunând cei doi determinanţi obţinem 288 =Δ⇒Δ==Δihgfedcba
i) 200 99 =Δ⇒Δ++=++=Δihgfedcba
fedfedcba
cbafedcba
Problema 4: Calculaţi determinantul
1 1 2 11 3 4 01 1 0 02 1 3 0
−
− prin
dezvoltare după linia sau coloana indicată în ficare caz: a) dezvoltare după linia 1; b) dezvoltare după linia 2; c) dezvoltare după linia 3; d) dezvoltare după linia 4;
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
76
Problema 5: Calculaţi prin formare de zerouri următorii determinanţi:
a) 2 1 03 2 10 2 1
b) 2 1 0
1 2 10 2 1
−
−
c)
1 1 2 11 3 4 01 1 0 02 1 3 0
−
− d)
1 1 2 11 0 4 01 1 0 02 1 3 0
−
−
Problema 6: Calculaţi următorii determinanţi, scriiind rezultatul sub formă de produs:
a) 12 2 2
1 1 1a b ca b c
Δ =
b) 2 2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1a b c da b c da b c d
Δ =
c) 2 23
2 2
22
2
a b a ba b ab a ba b a b ab
− −Δ = − − +
− + −
d) 42 2 2 2 2 2
b c c a a bb c c a a b
b c c a a b
− − −Δ = + + +
− − −
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
77
Soluţie parţială:
a)222
1
111
cbacba=Δ . Efectuând 2 1 3 1,c c c c− − obţinem
))(())((
001001
2222221
acacababaacaba
acabaacaba
+−+−−−=
−−−−=Δ
Dezvoltând după 1 1 ( )( ) ( )( )b a c a
lb a b a c a c a
− −⇒ Δ =
− + − +
Dând factor comun 1c pe ( )b a−
şi din 3c
pe ( )c a−
)()(11
))((1 acabacab
++−−=Δ⇒
))()((1 abacacab −−+−−=Δ⇒ ))()((1 bcacab −−−=Δ⇒
b) Analog pentru 2Δ , vom efectua:
E1) 2 1 3 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
1 0 0 0
; ;a b a c a d a
C C C C C Ca b a c a d aa b a c a d a
− − −− − − ⇒ Δ =
− − −− − −
E2) Dezvoltăm dupa prima linie şi descompunem 2 2 3 3 2 2( )( ), ( )( )x y x y x y x y x y x xy y− = − + − = − + + ⇒
))(())(())(())(())(())((
2222222
adadadacacacabababadadacacabab
adacab
++−++−++−+−+−+−
−−−=Δ
E3)Dăm factor comun la 1C pe ( )b a− , la 2C pe ( )c a− , la
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
78
pe ( )d a− ⇒
22 2 2 2 2 2
1 1 1( )( )( )b a c a d a b a c a d a
b ba a c ca a d da aΔ = − − − ⋅ + + + =
+ + + + + +
3( )( )( )b a c a d a= − − − ⋅Δ E4)La 3Δ facem
babdadbabcacababbdbcabCCCC
−−+−−+++−−+=Δ⇒−−
22222231312
001;
E5)Dezvoltând după prima linie
3 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )c b d b
c b c b a c b d b d b a d b− −
⇒ Δ = ⇒− + + − − + + −
3 ( )( ) ( )( )c b d b
c b c b a d b d b a− −
Δ =− + + − + +
E6)Dăm factor la 1C pe ( )c b− la 2C pe ( )d b−
31 1( )( )c b d b
c b a d b a⇒ Δ = − − ⋅ ⇒
+ + + +
3 3( )( )( ) ( )( )( )c b d b d b a c b a c b d b d cΔ = − − + + − − − ⇒ Δ = − − − ⇒
2 ( )( )( )( )( )( )b a c a d a c b d b d cΔ = − − − − − −
c)abbababaabbababa
22
2
22
221
−+−+−−−−
=Δ
E1) Adunăm 22 3 3
2 2 2
2 2( )2 ( )
( )
a b a bC C a b ab a b
a b a b a b
− −+ ⇒ Δ = − − −
− + −
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
79
E2)Dăm factor comun la 3C pe ( )a b−
0222
)( 122
1 =Δ⇒−+−−−−
−⋅−=Δ⇒
babababaabba
baba căci are 1 3C C= .
2222222 _
baaccbbaaccbbaaccb
−−−++−−−
=Δ
E1)Adunăm 23 CC + la 1C 42 2 2 2
02( )
0
c a a ba b c c a a b
c a a b
− −⇒ Δ = + + + +
− −
E2)Descompunem după
1 4 2( )( )( ) ( )( )
c a a bC a b c
c a c a a b a b− −
⇒ Δ = + + ⋅− + − +
E3)Dăm factor comun la 2C pe ( )c a− la 3C pe ( )a b−
41 12( )( )( )a b c c a a b
c a a b⇒ Δ = + + − − ⋅ ⇒
+ +
4 2( )( )( )( )a b c c a a b a b c aΔ = + + − − + − −
4 2( )( )( )( )a b c c a a b b c⇒ Δ = + + − − − Problema 7: Calculaţi următorii determinanţi Vandermonde:
a) 2 2 2
1 1 1a b ca b c
b) 2 2 2
4 4 4
1 1 1a b ca b c
c) 1 1 12 3 44 9 16
d) 1 1 11 2 3
1 4 9− −
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
80
e) 2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1a b c da b c da b c d
f) 2 2 2 2
4 4 4 4
8 8 8 8
1 1 1 1a b c da b c da b c d
g)
1 1 1 11 2 3 11 4 9 11 8 27 1
−
−
h)
1 1 1 11 1 2 21 1 4 41 1 8 8
− −
− −
Problema 8: Calculaţi rang A pentru :
a) 1 42 3
A⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 1 42 8
A⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 0 00 0
A⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
d) ( )3A =
e)⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
111012111
A ; f)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
=
41222111
20122111
A
g)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
=
04122021110201214121
A ;
h)
1 2 1 2 32 4 3 6 93 6 9 18 274 12 27 54 81
A
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
;
Soluţie parţială: a) ( )2,2 2A M rangA∈ ⇒ ≤ . Deoarece A este matrice pătratică, calculăm det 1 0 2 1 0 2 2 0 2A rangA= + + + − − = ≠ ⇒ = ;
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
81
g)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
=
04122021110201214121
A . Din ( ) { }4,5 min 4;5A M rangA∈ ⇒ ≤
4rangA⇒ ≤ . Cum A nu e pătratică, nu putem calcula det A .
Fie minorul 2042211
≥⇒≠=−
=Δ rangA .
Bordăm cu 05122111012
23 ≠−=−⇒lsiC 3rangA⇒ ≥
Bordam cu 1L şi 4C
1 2 1 42 1 0 2
01 1 1 22 2 1 4
−
⇒ =− −
, căci dacă din 4C dăm
factor comun pe 2 obţinem 2C şi 4C identice . Acest lucru nu este suficient pentru a demonstra că 3rangA = , ar trebui ca toţi minorii de ordin 4 obţinuţi prin bordare să fie nuli. Aşadar, bordăm altfel, adaug 1 5şi l c ⇒
( )1 4
1 2 1 12 1 0
2 1 0 01 1 1 1 5 0 4
1 1 1 02 2 1
2 2 1 0
rangA+
−
= − ⋅ − = ≠ ⇒ =−
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
82
Problema 9: Verificaţi dacă matricile A şi B verifică relaţiile: 3A B I⋅ = şi 3B A I⋅ = . Ce puteţi deduce din aceste relaţii?
a) 2 11 2
; ;3 13 42 2
A B−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b)
7 21 2 5 5; ;1 7 1 1
5 5
A B
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 0 13 4
; ;1 31 04 4
A B⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Problema 10: Să se precizeze care dintre următoarele matrice nesingulară şi, dacă e cazul, să se determine inversa :
a) 2 3
;1 0
A⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 1 12 2 ;1 2
B−⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 2 3
;4 6
C⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
d) 1 1 12 1 01 1 1
D−⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
e) 1 1 22 2 4 ;3 2 1
E⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
f) 1 2 32 3 1 .3 1 2
F⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
g) 2 1 11 2 1 ;2 0 2
G⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
h)2 1 11 2 0 ;2 0 0
H⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
83
Soluţie parţială:
d) 02201201det ≠=−−+++=A 1,A−⇒ ∃ unde 1 1det
A AA
− ∗= ⋅
Calculăm matricea adjunctă ∗A 1 2 11 1 11 0 1
tA⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
deci
* * *11 12 13* * *21 22 23* * *31 32 33
a a aA a a a
a a a
∗
⎛ ⎞⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
unde
*, .( 1)i j
i j i ja d+= − ⋅ , găsiţi din tA
* 1 11,1
1 1( 1) 1
0 1a + −
= − ⋅ = , * 1 21,2
1 1( 1) 0
1 1a + −
= − ⋅ =−
.
Continuând procedeul obţinem *
1 0 12 2 23 2 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
.
1
1 101 0 1 2 21 2 2 2 1 1 12
3 2 1 3 112 2
A−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⇒ = − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
84
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
85
Capitolul 13 Sisteme de ecuaţii liniare
Problema 2: Să se rezolve, folosind metoda lui Cramer, sistemele:
a) 2 4
3 2 62 3 4 9
x y zx y z
x y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
b) 2 3 3
2 3 3;3 2
x y zx y zx y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
c) 3 2 1
2 32 3
x y zx y zx y z
− + =⎧⎪ + + =⎨⎪− + + =⎩
d) 2 3
3 4 9;3 2 2 5
x y zx y zx y z
+ + =⎧⎪− + − =⎨⎪ + + =⎩
e) 2 3
2 3 1;3 4
x y zx y zx y z
+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + + =⎩
f) 2 4
2 5 .3 2 7
x y zx y z
x y z
+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + + =⎩
Soluţie parţială:
a)A=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
432231112
. det A= 41263424 −−−++ ⇒ det A=9
Sistemul se poate rezolva cu regula lui Cramer
Δ x= 9242427181848439236114
=−−−++=
Analog Δ y 9492261142
== , Δ z 9932631412
==
Ax x
detΔ
= =1, A
y y
detΔ
= =1, A
z z
detΔ
= =1.
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
86
Problema 3. Rezolvaţi sistemele :
a) 2 4
3 64 2 2 10
x y zx y z
x y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
b) 2 4
3 64 2 2 8
x y zx y z
x y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
c) 2 5
3 64 2 2 9
x y z tx y z t
x y z t
+ + + =⎧⎪ + + + =⎨⎪ + + + =⎩
d)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+
=+=+
43532
4332
yxyx
yxyx
e)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+
=+=+
33532
4332
yxyx
yxyx
f)
2 3 32 4 1
.2 0
2 2 4
x y yx y zx y zx y z
+ − =⎧⎪ − + =⎪⎨− + − =⎪⎪ + − =⎩
g) 2 3 5
2 1 ;3 4 2 5
x y z tx y z
x y z t
− + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + + =⎩
h) 2 4
2 3 7;2 3 4
x y zx y z tx y z t
+ + =⎧⎪ + + + =⎨⎪ − + + =⎩
Soluţie parţială:
a)A=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
224131112
, detA= 0 căci are l1 şi l3 proporţionale.
Calculăm rang A
⇒≠=−= 05163112
rang A 2≥ .Deoarece det A=0⇒ rang A=2
şi 53112
==Δ p este minorul principal.
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
87
Calculăm toţi minorii caracteristici:
⇒≠=Δ⇒−−−++==Δ 010102448248601024631412
cc siste-
mul este incompatibil.
b)⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
224131112
A . det A=0 căci are 1l si 3l proporţionale
calculam rang A şi analog exemplului anterior⇒ rang A=2,
053112
≠==Δ p este minorul principal.
Avem un singur minor caracteristic 0824631412
==Δc căci are 1l şi
3l proporţionale⇒ sistemul este compatibil. Notăm cu z α= necunoscuta secundară iar x,y sunt necunoscute principale .
Sistemul devine: ⎩⎨⎧
−−=+−=+
)2(|6342
αα
yxyx
.
Prin adunare obţinem: 85 8
5y y αα −
− = − + ⇒ = . Înlocuind 6 3x yα= − − ⇒
24 365
x αα −= − − ⇒ 30 5 24 3 6 2
5 5x xα α α− − + −
= ⇒ = .
Soluţia sistemului este
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−=
−=
α
α
α
z
y
x
58
526
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
88
c)⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
122411311112
A . A nu e pătratică deci calculăm rang A
2 16 1 5 0
1 3= − = ≠ ⇒ rang A 2≥ .
Bordăm224131112
⇒ =0 căci 1l si 3l sunt proporţionale.
Deoarece2 1 11 3 14 2 1
= 6+4+2–12–4–1= –5 0≠ ⇒ rang A 3≥
Deoarece nu există minori de ordinul 4 rezultă ca rang A=3 . Nu există minori caracteristici, deci sistemul e compatibil cu x,y,z necunoscute principale si t necunoscuta secundara. Notăm t =α
Sistemul devine 2 5
3 64 2 2 9
x y zx y z
x y z
αα
α
+ + = −⎧⎪ + + = −⎨⎪ + + = −⎩
229136115
ααα
−−−
=Δ x , 294161152
ααα
−−−
=Δ y si ααα
−−−
=Δ924631512
z
soluţiile sistemului sunt : x
p
x Δ=
Δ,
p
yyΔ
Δ= ,
p
zzΔΔ
=
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
89
d)
2 11 32 33 1
A
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. A nu e pătratică, calculam rang A
05163112
≠=−= ⇒ rang A 2≥ .
Deoarece nu există minori de ordinul 3 rezultă rangA=2
0524189830532431312
1=−−−++==Δc
2
2 1 31 3 4 24 12 3 27 4 8 03 1 4
cΔ = = + + − − − =
Deoarce toţi minorii caracteristici sunt nuli rezultă că sistemul este compatibil. Păstrăm doar ecuaţiile ce intră in minorul principal şi
obţinem ⎩⎨⎧
−=+=+
)2(|4332
yxyx
.
Adunând obţinem 5 5y− = − ⇒ y =1, înlocuind rezultă x =1
e)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
13323112
A calculăm ca la punctul anterior rangA 2rangA⇒ = ,
05163112
≠=−==Δ p . Calculăm minorii caracteristici
1
2 1 31 3 4 30 8 9 18 24 5 02 3 5
cΔ = = + + − − − =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
90
2
2 1 31 3 4 18 12 3 27 3 8 5 03 1 3
cΔ = = + + − − − = − ≠
Deoarece există un minor caracteristic nenul⇒ sistemul e incompatibil Problema 4. Discutaţi compatibilitatea următoarelor sisteme, folosind teorema lui Rouche, apoi teorema lui Kronecker-Capelli(fără a rezolva efectiv sistemnele):
a) 2 4
3 64 2 2 10
x y zx y z
x y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
b) 2 4
3 64 2 2 8
x y zx y z
x y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
c) 2 5
3 64 2 2 9
x y z tx y z t
x y z t
+ + + =⎧⎪ + + + =⎨⎪ + + + =⎩
d)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+
=+=+
43532
4332
yxyx
yxyx
e)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+
=+=+
33532
4332
yxyx
yxyx
f)
2 3 32 4 1
.2 0
2 2 4
x y yx y zx y zx y z
+ − =⎧⎪ − + =⎪⎨− + − =⎪⎪ + − =⎩
Problema 5.1. Determinaţi valorile real ale parametrului m astfel încât următoarele sisteme să aibe:
a) soluţii diferite de soluţia banală:2 02 2 02 0
x my zx y zx y z
+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩
b) soluţii diferite de soluţia banală:2 0
2 03 2 0
x y zx my z
x y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ − + =⎩
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
91
c) doar soluţia banală: 000
mx y zx my zx y mz
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
d) doar soluţia banală: 0
02 0
mx y zx y zx y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
e) soluţii diferite de soluţia banală:2
000
mx y zx my zx y m z
⎧ + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
f) soluţii diferite de soluţia banală:2 0
2 02 0
mx y zx my zx y mz
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
Soluţie parţială:
a)
det 0A =2 1
det 2 2 1 4 4 12 1 1
mA m m⇒ = − = − − ⇒ = −
−
Problema 5.2. Rezolvaţi următoarele sisteme omogene:
a) 2 0
2 0;2 0
x y zx y zx y z
− − =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩
b) 2 0
2 0 ;3 2 0
x y zx y z
x y z
+ − =⎧⎪ − − =⎨⎪− + − =⎩
c) 3 0
2 5 0 ;3 4 2 0
x y zx y z
x y z
+ + =⎧⎪ − − =⎨⎪ − + =⎩
d) 4 3 2 02 4 3 0;2 0
x y zx y zx y z
− − =⎧⎪− + + =⎨⎪ + + =⎩
e) 2 03 0 ;
2 2 3 0
x y zx y z
x y z
+ + =⎧⎪ − − =⎨⎪ + − =⎩
f) 2 0
3 2 3 0.4 0
x y zx y zx y z
+ − =⎧⎪− + + =⎨⎪ − − + =⎩
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
92
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
93
Capitolul 14 GRUP
Problema 1: Să se precizeze care dintre următoarele operaţii sunt legi de compoziţie pe mulţimea M indicată în fiecare caz: a) adunarea pe { }2 1/M k k= + ∈ b)înmulţirea pe { }2 1M k k= + ∈ c) adunarea pe { }2 /M k k= ∈ d)înmulţirea pe { }2 /M k k= ∈ Soluţie parţială: a) adunarea numerelor întregi nu este lege internă pe mulţimea M (căci există 2 numere impare care adunate nu dau număr impar, de exemplu: 1 , 3 şi a+b=4a M b M M= ∈ = ∈ ∉ b)
înmulţirea numerelor reale este lege internă pe mulţimea M
( )2 1 , 2 1 4 2 2 1
2 2 1a p M b s M a b ps p s
ps p s M= + ∈ = + ∈ ⇒ ⋅ = + + +
= + + + ∈
Problema 2: Alcătuiţi tablele următoarelor legi: a) , ,x y x y x y∗ = + ∀ ∈ şi { }1,2,3,4 ;M = b) , ,x y x y x y∗ = ⋅ ∀ ∈ şi { }1,2,3,4 ;M = c) , ,x y x y x y∗ = − ∀ ∈ şi { }1,2,3,4 ;M = d) max( , ), ,x y x y x y∗ = ∀ ∈ şi { }1,2,3,4 ;M = Problema 3: Precizaţi care din următoarele legi sunt legi de compoziţie pe mulţimile M indicate: a) 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )1, ;M = ∞ b) 2 2 6, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )2, ;M = ∞ c) 3 3 12, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )3, .M = ∞ d) 4 4 20, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )4, .M = ∞ Soluţie parţială: a) ( ), ?x y M x y M∀ ∈ ⇒ ∗ ∈
1 1 0x M x x∈ ⇒ ≥ ⇒ − ≥
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
94
1 1 0y M y y∈ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ Înmulţind relaţiile obţinem ( )( )1 1 0 1 0 1x y xy x y xy x y x y M− − ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ − − ≥ − ⇔ ∗ ∈ Problema 4: Precizaţi dacă operaţia de înmulţire a numerelor reale este lege de compoziţie pe mulţimile M indicate: a) { }2 22 / , , 2 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
b) { }2 23 / , , 3 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
c) { }2 25 / , , 5 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
d) { }2 26 / , , 6 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
Problema 5: Precizaţi dacă operaţia de înmulţire a matricilor este lege de compoziţie pe mulţimile M indicate:
a) ( )2
1 0
12
0 0 1
xxM A x x x
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
b) ( )2
1 0
12
0 0 1
xxM A x x x
⎧ − ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
c) ( )1 0
0 0 0 /0 1
x xM A x x
x x
⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭
d) ( )1 0
0 0 0 /0 1
x xM A x x
x x
⎧ ⎫+ −⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎩ ⎭
Soluţie parţială: a) ( )( ), ( ) ( ) ( ) ?A x A y M A x A y M∀ ∈ ⇒ ⋅ ∈
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
95
2 2
1 0 1 0
( ) ( ) 1 12 2
0 0 1 0 0 1
x yx yA x A y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = − − ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
1 0
( ) 1 ( ) deoarece 2 2
0 0 1
x yx yx y xy M x y
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− + − − − = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2 2( )2 2 2x y x yxy +
− − − = −
Problema 6: Precizaţi care din următoarele legi sunt asociative: a) 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )1, ;M = ∞ b) 2 2 6, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )2, ;M = ∞ c) 3 3 12, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )3, .M = ∞ d) 4 4 20, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )4, .M = ∞ Problema 7: Precizaţi care din următoarele legi sunt asociative: a) înmulţirea numerelor reale pe { }2 22 / , , 2 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
b) înmulţirea numerelor reale pe { }2 23 / , , 3 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
Problema 8: Precizaţi care din următoarele legi sunt asociative:
a) înmulţirea matricilor pe ( )2
1 0
12
0 0 1
xxM A x x x
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
96
b) înmulţirea matricilor pe ( )1 0
0 0 0 /0 1
x xM A x x
x x
⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭
Soluţie parţială: a) Deoarece înmulţirea matricilor e asociativă pe 3M ( ) şi înmulţirea matricilor este lege internă pe ( )3M M⊂ ⇒înmulţirea matricilor este asociativă şi pe M Problema 9: Precizaţi care din următoarele legi sunt comutative: a) 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )1, ;M = ∞ b) 2 2 6, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )2, ;M = ∞ c) 3 3 12, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )3, .M = ∞ d) 4 4 20, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )4, .M = ∞ Problema 10: Precizaţi care din următoarele legi sunt comutative: a) înmulţirea numerelor reale pe { }2 22 / , , 2 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
b) înmulţirea numerelor reale pe { }2 23 / , , 3 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
c) înmulţirea numerelor reale pe { }2 25 / , , 5 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
d) înmulţirea numerelor reale pe { }2 26 / , , 6 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
Soluţie parţială: a) Deoarece înmulţirea e comutativă pe şi cum înmulţirea este lege internă pe M ⊂ (s-a arătat la un exerciţiu anterior), rezultă că înmulţirea este comutativă pe M. Problema 11: Precizaţi care din următoarele legi sunt comutative:
a) înmulţirea matricilor pe ( )2
1 0
12
0 0 1
xxM A x x x
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
97
b) înmulţirea matricilor pe ( )1 0
0 0 0 /0 1
x xM A x x
x x
⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭
c) înmulţirea matricilor pe ( )1 ln 0
( ) 0 1 0 , , 00 0
xM A x A x x x
x
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈ >⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭
d) înmulţirea matricilor pe ( ) ( )1 0
0 0 /0 0 1
x
x
M A x A x e x
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
Soluţie parţială: a) Deoarece înmulţirea matricilor nu e comutativă pe 3M ( ), nu putem folosi ereditatea. Se arată uşor că M(a) iM(b)=M(a+b) Vrem să arătăm că ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M a M b M M a M b M b M a∀ ∈ ⇒ =i i
( ) ( )M a b M a b⇔ + = + , relaţie adevărată. Deoarece s-au folosit echivalente ⇒ înmulţirea matricilor este comutativă pe M Problema 12: Precizaţi care din următoarele legi admit element neutru şi, în caz afirmativ, determinaţi elementul neutru: a) * 5 20( ) 84x y xy x y= − + + şi [ )4, ;M = ∞ b) 2 2 6, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )2, ;M = ∞ c) 3 3 12, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )3, .M = ∞ d) 4 4 20, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )4, .M = ∞ Soluţie parţială: a) e G∃ ∈ a.î. ( )* * ?x G x e e x x∀ ∈ ⇒ = = Fie * 5 20( ) 84x e x xe x e x= ⇔ − + + = (5 20) 21 84e x x⇔ − = −
Pentru 21( 4) 215 20 0 45( 4) 5
xx x ex
−− ≠ ⇔ ≠ ⇒ = =
−
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
98
Pentru 5 20 0 4x x− = ⇔ = obţinem 0 0e∗ = , adevărată
e∀ ∈ dar e trebuie să fie acelaşi, [ ) 214,5
x e G∀ ∈ ∞ ⇒ = ∈ căci
21 45
> (1)
Deoarece * comutativă pe G (căci evident * * , ,x y y x x y G= ∀ ∈ )
* *x e e x⇒ = (2) Din (1)+(2) 215
e⇒ = element neutru
Problema 13: Precizaţi care din următoarele legi admit element neutru şi, în caz afirmativ, determinaţi elementul neutru:
a) înmulţirea matricilor pe ( )2
1 0
12
0 0 1
xxM A x x x
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
b) înmulţirea matricilor pe ( )1 0
0 0 0 /0 1
x xM A x x
x x
⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭
c) înmulţirea matricilor pe ( )1 ln 0
( ) 0 1 0 , , 00 0
xM A x A x x x
x
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈ >⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭
Soluţie parţială:
a) Deoarece înmulţirea matricilor are pe 3( )M pe 3
1 0 00 1 00 0 1
I⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
element neutru şi 3I M∈ căci 3 3(0)I A I= ⇒ element neutru pentru înmulţirea matricilor din M
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
99
Problema 14: Precizaţi care din următoarele legi admit elemente simetrizabile şi, în caz afirmativ, determinaţi simetricul acestor elemente: a) , ,x y xy x y x y∗ = + + ∀ ∈ şi ( )1, ;M = − ∞ b) 2 2 6, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi ( )2, ;M = ∞ c) 3 3 12, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi ( )3, .M = ∞ d) 4 4 20, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi ( )4, .M = ∞ Soluţie parţială: a) Studiem dacă , ' astfel încât ' 'x M x M x x x x e∀ ∈ ∃ ∈ ∗ = ∗ = Se arata usor că 0e = este elementul neutru.
* ' 0 ' ' 0 '(1 )x x x x xx x x x= ⇒ + + = ⇒ + = −
Cum 1 1 0 1 0 '1
xx x x xx
> − ⇒ + > ⇒ + ≠ ⇒ = −+
Rămâne să arătăm că 'x M∈
1 1 1 01 1 1
x x xx x x
⇔ − > − ⇔ < ⇔ − <+ + + 1 10 0
1 1x x
x x− − −
⇔ < ⇔ <+ +
, relaţie adevărată pentru că
1 1 0x x> − ⇔ + > . Deoarece am folosit relaţii echivalente
'x M⇒ ∈ . Cum ' 'x x x x∗ = ∗ '1
xxx
⇒ = −+
este simetricul lui x ,
x G∀ ∈ , deci orice element e simetrizabil. Problema 15: Precizaţi care din următoarele legi admit elemente simetrizabile şi, în caz afirmativ, determinaţi simetricul acestor elemente: a) înmulţirea numerelor reale pe { }2 22 / , , 2 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
b) înmulţirea numerelor reale pe { }2 23 / , , 3 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
c) înmulţirea numerelor reale pe { }2 25 / , , 5 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
100
d) înmulţirea numerelor reale pe { }2 26 / , , 6 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =
Soluţie parţială: c) Determinăm înainte elementul neutru,
1 2 5e e M∃ + ∈ astfel încât 5a b M∀ + ∈
1 2 1 2( 5)( 5) ( 5)( 5) 5a b e e e e a b a b⇒ + + = + + = + Deoarece înmulţirea numerelor reale are pe 1e = element neutru şi
1e M= ∈ căci 1 1 0 5= + şi 2 21 5 0 1 1e− ⋅ = ⇒ = element neutru şi pentru înmulţire pe M. Verificăm dacă orice element e simetrizabil: 5 , ' ' 5a b M a b M∀ + ∈ ∃ + ∈ a.î. ( 5)( ' ' 5) ( ' ' 5)( 5)a b a b a b a b e+ + = + + =
Deoarece înmulţirea numerelor reale nenule are pe 1'xx
=
simetricul lui x şi *M ⊂ (căci dacă 0 0 0 5M M∈ ⇒ + ∈ însă 2 20 0 5 0− = , fals) 1' ' 5
5a b
a b⇒ + = ⇔
+
2 2
5' ' 5 ' ' 5 55
a ba b a b a ba b
−+ = ⇔ + = −
−. Rămâne să arătăm că
5a b M− ∈ , adevărat căci 2 2 2 25( ) 5 1a b a b− − = − = Problema 16: Precizaţi care din următoarele legi admit elemente simetrizabile şi, în caz afirmativ, determinaţi simetricul acestor elemente:
a) înmulţirea matricilor pe ( )2
1 0
12
0 0 1
xxM A x x x
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
b) înmulţirea matricilor pe ( )1 0
0 0 0 /0 1
x xM A x x
x x
⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
101
Soluţie parţială: a) S-a arătat că ( )( ) ( ) 2A x A y A xy= şi că elementul neutru este
12
A⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
verificăm dacă toate elementele sunt simetrizabile
( ) , ( ')A x M A x M⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ a.î. 1( ) ( ') ( ') ( )2
A x A x A x A x A⎛ ⎞⇔ ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )1 1 1 1( ) ( ') 2 ' 2 ' ' , 0 ip.2 2 2 4
A x A x A A xx A xx x xx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Deoarece legea e comutativă şi 1' 04
xx
= ≠ simetricul lui ( )A x este
14
Ax
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, aşadar orice element e simetrizabil.
Problema 17: Studiaţi dacă legea „ ” este ditributivă în raport cu legea „ ∗ ” în fiecare din cazurile următoare: a) 1x y x y∗ = + + şi , , ;x y x y xy x y= + + ∀ ∈ b) 2x y x y∗ = + + şi 4 4 2 6 , , ;x y x y xy x y= + + + ∀ ∈ c) 5x y x y∗ = + − şi 5 5 30 , , ;x y xy x y x y= − − + ∀ ∈ Problema 18: Arătaţi că ( ),M ∗ este monoid comutativ în fiecare din situaţiile: a) { }\ 2 , 2 2 6M x y xy x y= ∗ = − − + b) { }\ 1 ,M = 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ c) { }\ 3 , 3 3 12, ,M x y xy x y x y= ∗ = − − + ∀ ∈ Soluţie parţială: a) { } ( )\ 2 , 2 6M x y xy x y= ∗ = − + +
)0M * - lege internă pe M ,x y M x y M⇔ ∀ ∈ ⇒ ∗ ∈ . Evident, ,x y x y∈ ⇒ ∗ ∈ .
Rămâne să arătăm că 2, 2 2x y x y∀ ≠ ≠ ⇒ ∗ ≠ . Prin reducere la absurd, presupunem că ( )2 2 6 2x y xy x y∗ = ⇒ − + + = ⇒
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
102
( )( )2 2 0 2 sau 2x y x y− − = ⇒ = = , contradicţie, aşadar *- lege internă pe M
)1M * - asociativă pe M ( ) ( ), ,x y z M x y z x y z⇔ ∀ ∈ ⇒ ∗ ∗ = ∗ ∗ Vrem să arătăm că ( ) ( ), ,x y z M x y z x y z⇔ ∀ ∈ ⇒ ∗ ∗ = ∗ ∗ ⇔
( )( ) ( )( )2 6 2 6xy x y z x yz y z− + + ∗ = ∗ − + + ⇔
( )( ) ( )( )2 6 2 2 6 6xy x y z xy x y z− + + − − + + + + =
( )( ) ( )( )2 6 2 2 6 6x yz y z x yz y z− + + − + − + + + ⇔ 2 2 2 4 4 4 12 2 2 2 4 4 4 12xyz xz yz xy x y z xyz xz yz xy x y z− − − + + + − = − − − + + + −
relaţie adevărată. Deoarece am folosit relaţii echivalente rezultă că legea * este asociativă
)2M * - comutativă pe M ,x y M x y y x⇔ ∀ ∈ ⇒ ∗ = ∗ Vrem să arătăm că ,x y M x y y x⇔ ∀ ∈ ⇒ ∗ = ∗
( ) ( )2 6 2 6xy x y yx y x⇔ − + + = − + + relaţie adevărată. Deoarece am folosit relaţii echivalente rezultă că legea * este comutativă.
)3M * - admite elem neutru pe M ,e M x M x e e x x⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∗ = ∗ =
Din ( ) ( ) ( )2 6 2 3 2x e x xe x e x e x x⇔ ∗ = ⇒ − + + = ⇔ − = − . Deoarece ( )3 2
2 32
xx M x e M
x−
∈ ⇒ ≠ ⇒ = = ∈−
. Deoarece legea * este
comutativă pe M 3x e e x e⇒ ∗ = ∗ ⇒ = element neutru. Din 0 1 2 3, , ,M M M M obţinem că ( ),M ∗ este monoid comutativ. Problema 19: În fiecare din cazurile următoare, admitem că ( ),M ∗ este monoid, determinaţi elementele inversabile ale acestui monoid. a) { } ( )\ 2 , 2 6M x y xy x y= ∗ = − + + b) { }\ 1 ,M = 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ c) { }\ 3 , 3 3 12, ,M x y xy x y x y= ∗ = − − + ∀ ∈ d) { }\ 4 , 4 4 20, ,M x y xy x y x y= ∗ = − − + ∀ ∈ Soluţie parţială: a) S-a arătat într-un exemplu anterior elementul neutru 3e =
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
103
Studiem dacă toate elementele sunt simetrizabile , ' ' 'M x M x x x x e⇔ ∀∈ ∃ ∈ ⇒ ∗ = ∗ = .
Din ( ) ( )' ' 2 ' 6 3 ' 2 2 3x x e xx x x x x x∗ = ⇒ − + + = ⇔ − = − .
Cum 2 32 '2
xx M x xx
−∈ ⇒ ≠ ⇒ =
−.
Trebuie să vedem care din aceste elemente este în { }\ 2M = . Aşadar, trebuie impusă condiţia ca
( ) ( ) 12 2 12 3 1' 2 2
2 2 2xxx x D
x x x− +−
∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔ + ∈ ⇔ − ∈− − −
(mulţimii divizorilor numărului 1). Aşadar, ( ) { } { }2 1,1 1,3x x− ∈ − ⇔ ∈ . Deoarece simetricul lui 1x = este
1' 2 11 2
x M= + = ∈−
şi simetricul lui 3x = este 1' 2 33 2
x M= + = ∈−
,
deci ( ) { }1,3U M = Problema 20. Arătaţi că ( ),*M grup abelian, unde: a) (3; ), 3 3 12M x y xy x y= ∞ ∗ = − − + b) ( )2; , 2 2 6M x y xy x y= ∞ ∗ = − − + c) ( )1; ,M = ∞ 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ d) ( )4; , 4 4 20, ,M x y xy x y x y= ∞ ∗ = − − + ∀ ∈ Soluţie parţială: a) (3; ), 3 3 12M x y xy x y= ∞ ∗ = − − + G1) * lege internă pe M ⇔ , *x y M x y M∀ ∈ ⇒ ∈
, 3 3 0 3 3 0x y M x x
y y∈ ⇒ > ⇒ − >
> ⇒ − >
Înmulţind relaţiile obţinem ( 3)( 3) 0x y− − > 3( ) 9 0 | 3xy x y⇒ − + + > + *x y M⇒ ∈ .
G2) * asociativă pe M , ,x y z M⇔ ∀ ∈ *( * ) ( * )*x y z x y z⇒ = . Vrem să arătăm că * ( * ) ( * )*x y z x y z= ⇔
* ( 3( ) 12)x yz y z− + + = ( 3( ) 12)*xy x y z− + + ⇔ ( 3( ) 12) 3( 3( ) 12) 12x yz y z x yz y z− + + − + + − + + + =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
104
( 3( ) 12) 3( 3( ) 12 ) 12xy x y z xy x y z− + + − − + + + + ⇔ 3 3 12 3 3 9 9 24xyz xy xz x x yz y z− − + − − + + − = 3 3 12 3 9 9 24 3xyz xz yz z xy x y z− − + − + + − − adevărat. Deoarece
am folosit relaţii echivalente ⇒ * asociativă pe M G3) * comutativă pe M ⇔ ,x y M∀ ∈ ⇒ * *x y y x= . Vrem să arătăm că * * 3( ) 12 3( ) 12x y y x xy x y yx y x= ⇔ − + + = − + + adevărat. Deorece am folosit relaţii echivalente⇒ * comutativă peM G4) * admite element neutru pe M ⇔ e M∃ ∈ a.î. x M∀ ∈ ⇒
* *x e e x x= = . Din *x e x= ⇒ 3( ) 12xe x e x− + + = ⇒ ( 3) 4 12e x x− = − .
Deorece x M∈ ⇒ 3 0x − ≠ ⇒ 4( 3)3
xex
−=
− ⇒ 4 (3; )e = ∈ ∞ .
Deoarece legea * este comutativă * * 4x e e x e= ⇒ = este element neutru. G5) Orice element din M e simetrizabil ⇔ 'x M x M∀ ∈ ∃ ∈ a.î.
* ' '*x x x x e= = . Din * 'x x e= ⇒ ' 3( ') 12 4xx x x− + + = ⇔ '( 3) 8 3x x x− = − + .
Deorece x M∈ ⇒ 3x ≠ ⇒ 3 8'3
xxx
−=
−. Trebuie să arătăm că
'x M∈ ⇔3 8 3
3xx
−>
−⇔
3 8 3 9 03
x xx
− − +>
−⇔ 1 0
3x>
−, adevărat
căci x M∈ ⇒ 3x > . Deorece legea * este comutativă pe M
⇒ * ' '*x x x x= ⇒1'
3x
x=
− simetricul lui x pe mulţimea M
Din (G1) – (G5) ⇒ ( ),*M grup abelian. Problema 21: Dacă notăm nS mulţimea permutărilor de ordinul n, arătaţi că: a) ( )3,S este grup
b) ( )2 ,S este grup
c) ( )4 ,S este grup
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
105
Soluţie parţială: a) Scriem toate permutările de ordin 3 şi obţinem
1 2 3,
1 2 3e ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , ,
1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2σ σ σ σ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5
1 2 33 2 1
σ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
. Verificăm axiomele grupului:
1)G o lege de compoziţie pe 3S căci orice compunere a 2 permutări de ordinul 3 dă permutare de ordinul 3. Este indicat să facem aici tabla legii. G2) o asociativă pe G căci orice permutare e funcţie şi compunerea funcţiilor e asociativă G3) o nu e comutativă pe G căci, spre exemplu, 1 2 4;σ σ σ=
2 1 3σ σ σ= G4) o are element neutru permutarea identică 3e S∈ G5) orice element e simetrizabil căci, din tablă,
1 1 13 3 , a.i. =S S eσ σ σ σ σ σ− − −∀ ∈ ∃ ∈ =
Problema 22. Arătaţi că: a) 4( , )+Z e grup abelian b) 4( , )iZ este monoid comutativ. c) *
5( , )iZ e grup abelian. d) 3( , )+Z e grup abelian Soluţie parţială: a) 4( , )+Z e grup abelian
ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 3 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 3 0 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 0 1 2
+
Evident + este lege internă pe 4Z , adunarea e asociativă pe 4Z căci
ˆˆ ˆ ˆ( )a b c a b c a b c+ + = + + = + + , există 0elemnt neutru şi simetricul oricărui element a este în caz general n a− , deci în cazul nostru simetricul lui a este 4 a−
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
106
b) 4( , )iZ este monoid comutativ. ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 0 2 0 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 0 3 2 1
i
Evident i este lege internă pe 4Z , şi deoareceˆˆ ˆ ˆ( )a b c a b c a b c= =i i i i i i , arătăm că i este
asociativă pe 4Z , 1 este element neutru şi evident elementele sunt simetrice faţă de diagonala principală, deci i e asociativă pe 4ZObservăm că 0 nu are simetric, deoarece
4x∃ ∈Z cu ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0 1x x= =i i , simetricul lui 1 este tot 1 , ∃ simetricul
lui 2 , ˆ ˆ3' 3= şi 4ˆ ˆ(( , )) {1;3}U =iZ care e grup. Observăm că
elementele simetrizabile sunt cele prime cu 4 . c) *
5( , )iZ e grup abelian. ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 4 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 1 4 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 3 2 1
i
Evident *5( , )iZ este monoid şi
fiecare element e simetrizabil căci ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1' 1; 2 ' 3; 3' 2; 4 ' 4= = = = .
Problema 23. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ˆ ˆ3 4x =i în 5Z ; b) ˆ ˆ3 2x =i în 4Z ;
c) ˆ ˆ2 2x =i în 4Z ; d) ˆ ˆ2 3x =i în 4Z ;
e) 3x x= în 6Z ; f) ˆ ˆ2 1x y+ = în 4Z ;
g) 3 2x =i în 7Z ; h) ˆ ˆ3 4x =i în 6Z ;
i) 2 4x =i în 6Z ; j) ˆ ˆ2 3x =i în 6Z ;
k) 3x x= în 4Z ; l) ˆ ˆ2 3 1x y+ = în 6Z ; Soluţie parţială:
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
107
a) ˆ ˆ3 4x =i în 5Z . Deoarece 3 este inversabil în 5Z şi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3' 2 3 4 | 2 3x x= ⇔ = ⇔ =i b) ˆ ˆ3 2x =i în 4Z ; Deoarece 3 este inversabil în 4Z (căci 3 este prim
cu 4) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 | 3 3 2x x⇔ = = ⇔ =i i c) ˆ ˆ2 2x =i în 4Z ; Deoarece 2 nu e prim cu 4 2 '⇒ ∃ , deci trebuie
verificate toate variantele din 4Z . 0x = nu verifică, 1x = soluţie,
2x = nu verifică, 3x = soluţie ˆ ˆ{1;3}x⇒ ∈ d) ˆ ˆ2 3x =i în 4Z . Cum 2 nu e prim cu 4 2⇒ nu e simetrizabil. Verificând variantele din 4 ⇒Z că ecuaţia nu are soluţie x⇒ ∈∅ . e) 3x x= în 6Z ; Prin înlocuire, toate elementele lui 6Z sunt soluţii
pentru ecuaţie, rezultă ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ{0;1;2;3;4;5}x ∈ . f) ˆ ˆ2 1x y+ = în 4Z ;
ˆ ˆ0 1x y= ⇒ = deci soluţie este ˆ ˆ(0;1) ˆ ˆ1 3x y= ⇒ = deci soluţie este ˆ ˆ(1;3) ˆ ˆ2 1x y= ⇒ = deci soluţie este ˆ ˆ(2;1) ˆ ˆ3 3x y= ⇒ = deci soluţie este ˆ ˆ(3;3)
Soluţia este ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) {(0,1); (1;3); (2,1); (3,3)}x y ∈ Problema 24: Rezolvaţi sistemul(prin oricare metodă):
a) ˆ ˆ2 4
ˆ ˆ2 5
x y
x y
⎧ + =⎪⎨
+ =⎪⎩ în 6Z b)
ˆ ˆ2 4ˆ ˆ3 1
x y
x y
⎧ + =⎪⎨
+ =⎪⎩ în 6Z
c) 2 3 7
2 4
x y
x y
⎧ + =⎪⎨
+ =⎪⎩ în 8Z d)
3 5 3
3 5
x y
x y
⎧ + =⎪⎨
+ =⎪⎩ în 8Z
Soluţie parţială: a) metoda reducerii
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
108
ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 2 4ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 22 5 2 4 4
x y x y
x y x y
⎧ ⎧+ = + =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨+ = + =⎪ ⎪⎩ ⎩i
Scăzând ˆ ˆ ˆ ˆ3 0 3 0.y y⇒ − = ⇒ = Cum 3 nu e inversabil trebuie verificate toate elementele din 6Z şi obţinem soluţiile ˆ ˆ ˆ{0;2;4}y ∈ . Găsim soluţiile din prima ecuaţie şi verificăm care sunt soluţii pentru cea de-a doua. Pentru ˆ ˆ0 5y x= ⇒ = , pentru ˆ ˆ2 1y x= ⇒ = , pentru ˆ ˆ4 3y x= ⇒ = , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ( , ) {(1;2); (3;4); (5;0)}x y⇒ ∈ iar a 2-a ecuaţie o verifică doar ˆ ˆ( , ) (1;2)x y = metoda substituţiei
ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 4 2ˆ ˆ2 5
x y y xx y
⎧ + = ⇒ = −⎪⎨
+ =⎪⎩
Înlocuind în ecuaţie a 2-a obţinem ˆ ˆ ˆ{1;3;5}x ∈ , apoi obţinem soluţiile de mai sus.
regula lui Cramer ˆ ˆ2 4
ˆ ˆ2 5
x y
x y
⎧ + =⎪⎨
+ =⎪⎩
ˆˆ 1 ˆdet 3ˆ ˆ1 2
S2
= = care nu e inversabil în 6Z , deci nu
putem folosi această metodă. b) metoda reducerii
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 3 3 0
ˆ ˆˆ ˆ 3 13 1
x y y
x yx y
⎧ ⎧+ = ⋅ =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨+ =⎪⎪ + = ⎩⎩
Scăzând cele 2 ecuaţii 1x⇒ = şi { }ˆ ˆ ˆ0;2;4y ∈ . Soluţie în prima
ecuaţie este doar ˆ ˆ( , ) (1, 2)x y = şi verifică şi cea de-a doua ecuaţie metoda substituţiei
ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 4 2ˆ ˆ3 1
x y y x
x y
⎧ + = → = −⎪⎨
+ =⎪⎩
Înlocuind în ecuaţia 2 2y⇒ = , soluţie ce verifică ambele ecuaţii
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
109
regula lui Cramer
ˆ ˆ2 4
ˆ ˆ3 1
x y
x y
⎧ + =⎪⎨
+ =⎪⎩ det S =
ˆ ˆ2 15
ˆ ˆ1 3= care este inversabil in 6 si 'ˆ ˆ5 5=
'ˆ ˆ ˆ ˆ4 1 2 4 ˆ ˆ5, 4 (det ) 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 3 1 1
x y x x S xΔ = = Δ = ⇒ = Δ ⋅ ⇒ =
' ˆ(det ) 2y y S y⇒ = Δ ⋅ ⇒ = ˆ ˆ( , ) (1, 2)x y⇒ = Problema 25: Arătaţi că următorii monoizi ( ),M ⋅ şi ( )',M ⋅ sunt izomorfi unde:
a) { }3 ,M x y i x y= + ∈ şi 3
' ,x y
M x yy x
⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.
b) { }2 ,M x y i x y= + ∈ şi 2
' ,x y
M x yy x
⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.
c) { }3 ,M x y i x y= + ∈ şi 3
' ,x y
M x yy x
⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.
Soluţie parţială:
a) Fie : 'f M M→ , ( ) 33
x yf x y i
y x⎛ ⎞− ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
.
Arătăm cele două relaţii de la izomorfism şi că f este bijectivă:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )3 ' ' 3 3 ' ' 3 ?f x y i x y i f x y i f x y i+ ⋅ + = + ⋅ +
( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 ' 3 ' ' ' 3f x y i x y i f xx yy i xy yx+ ⋅ + = − + + =
( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 1
' ' ' 3 'xx yy xy yxxy yx xx yy
⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠
( )( ) ( )( ) 3 ' 3 '3 ' ' 3
' 'x y x y
f x y i f x y iy x y x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜+ ⋅ + = ⎟⋅ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
110
( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 2
' ' ' 3 'xx yy xy yxxy yx xx yy
⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠
Din ( ) ( )1 2+ rezultă relaţia cerută
Arătăm că f este bijectivă ( )?
Arătăm injectivitatea: 3 , ' ' 3x y i M x y i M∀ + ∈ + ∈ cu
( ) ( )3 ' ' 3f x y i f x y i+ = + arătăm că ( )3 ' ' 3 ?x y i x y i+ = + .
Din ( ) ( )3 ' ' 3f x y i f x y i+ = +
3 ' 3 ' '' ' '
x y x y x xy x y x y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧− − =⎪⎪⎟ ⎟⎜ ⎜⇒ ⎟= ⎟⇒⎨⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎪ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩
3 ' ' 3x y i x y i⇒ + = +
deci f este injectivă
Arătăm surjectivitatea: 3
', 3x y
M x y i My x
⎛ ⎞− ⎟⎜∀ ⎟∈ ∃ + ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠astfel
încât ( ) 33
x yf x y i
y x⎛ ⎞− ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
, relaţie adevărată din definiţia lui f
Aşadar, f este izomorfism de monoizi. Problema 26: Se ştie că ( ),*G grup. Arătaţi că *:f G+ → este
un izomorfism între ( )* ,+ ⋅ şi ( ),*G unde:
a) ( )1;1 , *1x yG x y
xy+= − =+
şi ( ) 11
xf xx−=+
b) ( ) 4 42,2 , , , , 24x yG x y x y xy
xy+
= − ∗ = ∀ ∈ ≠ −+
şi ( ) 2 21
xf xx−=+
c) ( ) 9 93,3 , , , , 99x yG x y x y xy
xy+
= − ∗ = ∀ ∈ ≠ −+
şi ( ) 3 31
xf xx−=+
d) ( ) 16 164,4 , , , , 1616
x yM x y x y xyxy
+= − ∗ = ∀ ∈ ≠ −
+ şi ( ) 4 4
1xf xx−=+
Soluţie parţială:
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
111
a) Arătăm că ( ) ( ) ( ) 1 1 1* *1 1 1
xy x yf x y f x f yxy x y
− − −⋅ = ⇔ =+ + +
.
Cum
1 11 1 1 11 1* 1 11 1 1 11
1 1
x yx y xy x y xy y xx y
x yx y xy x y xy x yx y
− −+− − + − − + + − −+ += = =− −+ + + + + + − − ++ ⋅
+ + 2 2 12 2 1
xy xyxy xy
− −=+ +
, obţinem că f este morfism.
Rămâne să arătăm că f este bijectivă.
Arătăm că f este injectivă: ( ) ( ) 1 11 1
x yf x f yx y− −= ⇔ =+ +
1 1xy x y xy x y⇔ + − − = + − − relaţie adevărată. Deoarece s-au folosit relaţii echivalente obţinem că f este injectivă. Arătăm că f este surjectivă: *, y G x +∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât
( )f x y= . Fie ( ) 11
xf x y yx−= ⇔ = ⇔+
( )1 1 1x xy y x y y⇔ − = + ⇔ − = + .
Deoarece y G∈ 1y⇒ ≠ deci 11
yxy+=−
.
Mai rămâne să arătăm că *x +∈ , evident deoarece ( )1;1y ∈ − Aşadar f este bijectivă, deci f este izomorfism. Obs.1: O ală metodă de a arăta bijectivitatea este: ,y G∀ ∈
* unic x +∃ ∈ astfel încât ( )f x y= , şi obţinem *11
yxy ++= ∈−
şi
este soluţie unică, deci f bijectivă. Obs. 2: Se mai putea arăta bijectivitatea folosind metode de analiză.
Deorece ( )( )
*2
2' 0,1
f x xx
+= > ∀ ∈+
⇒ f este strict crescătoare,
deci f este injectivă.
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
112
Deoarece f este continuă, calculând limitele la capetele domeniului
obţinem capetele codomeniului căci ( )0 0
0 0
1lim lim 11x x
x x
xf xx→ →
> >
−= =−+
şi
( ) 1lim lim 11x x
xf xx→∞ →∞
−= =+
, rezultă că f este surjectivă.
Problema 27: Fie *( , )⋅ grupul multiplicativ al mulţimii numerelor complexe. Studiaţi dacă H este subgrup al lui *( , )⋅ în fiecare din cazurile următoare: a) { }* | 1H z z= ∈ = . b) { }* | 0H z z= ∈ > .
c) { }* | 1H z z= ∈ > . d) { }* | 0H z z= ∈ ≠ . Soluţie parţială:
a) ,x y H∀ ∈ arătăm că 'xy H∈ . Vom avea: 1' xxy xy y
= ⋅ = ,
calculăm 1xx
y y= = ' ( , )xy H H⇒ ∈ ⇒ ⋅ subgrup pentru ( )*, ⋅
Problema 28: Să se precizeze care dintre următoarele mulţimi H de numere raţionale sunt subgrupuri ale grupului ( ),+ : a) 2 ;H = b) 2 1;H = + c) 3 ;H = d) 3 1;H = + e) 3 2;H = + f) 4 ;H = Problema 29: Să se determine, în fiecare caz, ordinul elementului x în grupul indicat: a) 3x = în ( )12 , ;+ b) 4x = în ( )6 , ;+
c) 2x = în ( )5 , ;∗ ⋅ d) 6x = în ( )11 , ;∗ ⋅
e) 1 2 32 1 3
x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠în ( )3, ;S ⋅ f)
1 2 3 42 4 1 3
x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠în ( )4 , .S ⋅
g) 1 20 1
x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
în ( ) ( ){ }2, , / det 0 ;G G X X⋅ = ∈ ≠M
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
113
Capitolul 15 INELE ŞI CORPURI
Problema 1: Arătaţi că ( ), ,M ∗ este un inel, unde
a) * 2x y x y= + + , ( )2 2x y xy x y= + + + . , ;x y∀ ∈ M = b) 1x y x y∗ = + + şi , , ;x y x y xy x y= + + ∀ ∈ M = c) 5x y x y∗ = + − şi 5 5 30 , , ;x y xy x y x y= − − + ∀ ∈ M = d) 3x y x y∗ = + + şi 3 3 6 9 , , ;x y x y xy x y= + + + ∀ ∈ M = Soluţie parţială:
1) ( ,*)A grup abelian
( )1 * este lege de compoziţie pe : , *x y x y∀ ∈ ⇒ ∈ adevărat căci e rezultat de adunări de numere întregi ( )2 * asociativă , ,x y z∀ ∈ ⇒ *( * ) ( * )*x y z x y z= .
( ) ( )* 2 2 * 4 4x y z x y z x y z x y z⇔ + + = + + ⇔ + + + = + + + relaţie adevărată ( )3 * comutativă , * *x y x y y x∀ ∈ ⇒ = .
* * 2 2x y y x x y y x= ⇔ + + = + + relaţie adevărată. ( )4 * are element neutru a.î. e x∃ ∈ ∀ ∈ să avem
* *x e e x x= = Din * 2 2x e x x e x e Z= ⇒ + + = ⇒ = − ∈ ( )i
Deoarece * comutativă rezultă * *x e e x= ( )ii
Din ( )i şi ( )ii 2e⇒ = − este element neutru pentru legea *
( )5 Orice element e simetrizabil în raport cu legea * ' a.î. * ' ' *x x x x x x e∀ ∈ ∃ ∈ = =
Din ( ) * ' ' 2 2 ' 4 iiix x e x x x x= ⇒ + + = − ⇒ = − − ∈
Deoarece * comutativă rezultă ( )* ' ' * iv x x x x=
Din ( )iii şi ( ) ' 4iv x x⇒ = − − este simetricul lui ,x x∀ ∈
*x y
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
114
2 ) ( , )A monoid
( )1 este lege de compoziţie pe : ,x y x y∀ ∈ ⇒ ∈ adevărat căci x y e rezultat de adunări de numere întregi ( )2 asociativă , , ( ) ( )x y z x y z x y z∀ ∈ ⇒ =
( )( ) ( )( )2 2 2 2x yz y z xy x y z⇔ + + + = + + + ⇔
( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2x yz y z x yz y z⇔ + + + + + + + + + =
( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2xy x y z xy x y z= + + + + + + + + + ⇔2 2 2 2 2 4 4 4 2xyz xy xz x x yz y z⇔ + + + + + + + + + =
2 2 2 2 4 4 4 2 2xyz xz yz z xy x y z= + + + + + + + + + ⇔2 2 2 4 4 4 6xyz xy xz yz x y z+ + + + + + + =2 2 2 4 4 4 6xyz xy xz yz x y z+ + + + + + + , relaţie adevărată
( )3 comutativă ,x y x y y x∀ ∈ ⇒ = .
( ) ( )2 2 2 2x y y x xy x y yx y x= ⇔ + + + = + + + adevărat.
( )4 are element neutru a.î. xθ∃ ∈ ∀ ∈ să avem x x xθ θ= = Din ( ) ( ) ( )2 2 2 2x x x x x x xθ θ θ θ= ⇒ + + + = ⇒ + = − + Pentru
2 1x Zθ≠ − ⇒ = − ∈ , iar pentru 2x = − există o infinitate de valori ale lui θ care verifică relaţia ( ) ( )2 2x xθ + = − + . Deoarece θ
trebuie să existe, x∀ ∈ 1 Zθ⇒ = − ∈ ( )i
Deoarece * comutativă rezultă x xθ θ= ( )ii
Din ( )i şi ( )ii 1θ⇒ = − este element neutru pentru legea
3 )A " " este distributivă faţă de “*” " " este distributivă la stânga faţă de “*” dacă
( * ) ( )*( ), , ,x y z x y x z x y z= ∀ ∈ ( ) ( ) ( )
( )( * ) 3 2 2 2 2
2 2 2 2 6 4 2 2 6
x y z x y z x y z x y z
xy xz x x y z xy xz x y z vi
= + + = + + + + + + +
+ + + + + + = + + + + +
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
115
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )*( ) 2 2 * 2 2
2 2 2 2 2 4 2 2 6
x y x z xy x y xz x z
xy x y xz x z xy xz x y z vii
= + + + + + +
= + + + + + + + + = + + + + +
Din relaţiile ( )vi şi ( )vii rezultă că " " este distributivă la stânga faţă de “*” . Deoarece " " este comutativă rezultă distributivitatea lui " " la stânga este echivalentă cu distributivitatea la dreapta pentru " ", deci " " este distributivă faţă de “*” Din ) ) ) ( )1 2 3 ,*,A A A A+ + ⇒ este un inel
Problema 2. Studiaţi dacă ( ), ,+ ⋅A este un inel comutativ unde “+” şi “·” sunt adunarea şi înmulţirea matricilor, în fiecare din cazurile următoare:
a) ,a b
a bb a
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
A b) ,2a b
a bb a
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
A
c) ,4a b
a bb a
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
A d) ,a b
a bb a
⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
A
Problema 3.: Determinaţi elementele inversabile ale inelului ( ), ,M ∗ , în fiecare din situaţiile următoare:
a) ( )3, ,+ ⋅ b) ( )6 , ,+ ⋅
c) ( )5 , ,+ ⋅ d) ( )4 , ,+ ⋅
e) * 2x y x y= + + , ( )2 2x y xy x y= + + + , M = f) 1x y x y∗ = + + şi , , ;x y x y xy x y= + + ∀ ∈ M = Soluţie parţială: e) S-a arătat anterior că ( ), ,∗ este inel comutativ cu 2e = − este element neutru pentru legea * şi 1θ = − este element neutru pentru legea *. Pentru a determina elementele inversabile ar trebui ca
, 'x x∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ' 'x x x x θ= = . Din 'x x θ= ⇒ ( ) ( )' 2 ' 2 1 ' 2 3 2xx x x x x x+ + + =− ⇒ + =− − .
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
116
Pentru 3 22 '2
xx xx
− −≠− ⇒ =+
.
Mai trebuie pusă condiţia ca 'x ∈ de unde obţinem 3 2 4 2 1'
2 2x xx
x x− − − − += =+ +
4 2 1 122 2 2
xx x x
− −= + =− ++ + +
de
unde 12x∈
+, adică { }12 2 1;1x D x+ ∈ ⇔ + ∈ − ⇔ .
{ }3; 1x ∈ − − . Aşadar ( ) { },*, 3; 1U = − − Problema 4. Studiaţi care din inelele următoare are divizori ai lui zero, în fiecare din situaţiile următoare: a) ( )3, ,+ ⋅ b) ( )6 , ,+ ⋅
c) ( )5 , ,+ ⋅ d) ( )4 , ,+ ⋅
e) ( ), ,∗ , unde * 2x y x y= + + , ( )2 2x y xy x y= + + + , f) ( ), ,∗ , unde 1x y x y∗ = + + şi , , ;x y x y xy x y= + + ∀ ∈ g) ( ), ,∗ , unde 5x y x y∗ = + − şi 5 5 30, ,x y xy x y x y= − − + ∀ ∈ h) ( ), ,∗ , unde 3x y x y∗ = + + şi 3 3 6 9 , , ;x y x y xy x y= + + + ∀ ∈ Soluţie parţială: a) ( )3, ,+ ⋅ este un inel fără divizori ai lui zero căci
1 1 0, 1 2 0, 2 1 0, 2 2 0⋅ ≠ ⋅ ≠ ⋅ ≠ ⋅ ≠ b) ( )6 , ,+ ⋅ este un inel cu divizori ai lui zero căci
6 62 , 3 cu 2 0,3 0∃ ∈ ∃ ∈ ≠ ≠ şi 2 3 0⋅ = e)S-a arătat anterior că ( ), ,∗ este inel comutativ cu 2e = − este element neutru pentru legea * şi 1θ = − este element neutru pentru legea . Presupunem că inelul are divizori ai lui zero
{ }, \ 2x y∃ ∈ − astfel încât 2x y = − . Din 2x y = − obţinem
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0xy x y x y y+ + + =− ⇔ + + + =
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
117
( )( )2 2 0 2 sau 2x y x y⇔ + + = ⇔ =− =− , fals, deci inelul
( ), ,∗ nu are divizori ai lui zero Problema 5: Să se rezolve următoarele sisteme de ecuaţii în inelele indicate în fiecare caz:
a) 2 3 3
4 2 3
x y
x y
⎧ ⋅ + ⋅ =⎪⎨
⋅ + ⋅ =⎪⎩ în ( )5, , ;+ ⋅ b)
3 1
2 4 4
x y
x y
⎧ ⋅ + =⎪⎨
⋅ + ⋅ =⎪⎩ în ( )5, , ;+ ⋅
c) 4 3 1
2 5 4
x y
x y
⎧ ⋅ + ⋅ =⎪⎨
⋅ + ⋅ =⎪⎩ în ( )7 , , ;+ ⋅ d)
2 3 1
4 2 5
x y
x y
⎧ ⋅ + ⋅ =⎪⎨
⋅ + ⋅ =⎪⎩ în ( )7 , , ;+ ⋅
Problema 6: Studiaţi dacă ( ), ,M ∗ este un corp, unde
a) * 2x y x y= + + , ( )2 2x y xy x y= + + + , M = b) 1x y x y∗ = + + şi , , ;x y x y xy x y= + + ∀ ∈ M = c) 5x y x y∗ = + − şi 5 5 30;x y xy x y= − − + M = d) 3x y x y∗ = + + şi 3 3 6 9;x y x y xy= + + + M = Soluţie parţială: a) S-a arătat anterior că ( ),*, este inel comutativ cu 2e = − este element neutru pentru legea * şi 1θ = − este element neutru pentru legea . Rămâne să arătăm că orice element diferit de 2e = − este inversabil în raport cu legea . Pentru a determina elementele inversabile ar trebui ca , 'x x∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât
' 'x x x x θ= = . Din ( )' ' 2 ' 2 1x x xx x xθ= ⇒ + + + =−
( )' 2 3 2x x x⇒ + =− − . Pentru 3 22 '2
xx x Rx
− −≠− ⇒ = ∈+
,
aşadar toate elementele diferite de 2e = − sunt inversabile, deci ( ), ,M ∗ este corp
Problema 7: Studiaţi dacă inelele( ), ,M + ⋅ şi ( )', ,M + ⋅ sunt izomorfe, unde
a) { }3 ,M x y i x y= + ∈ R şi 3
' ,x y
M x yy x
⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭R .
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
118
b) { }2 ,M x yi x y R= + ∈ şi 4
' ,x y
M x yy x
R⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
.
Soluţie parţială:
a)Fie : 'f M M→ , ( ) 33
x yf x y i
y x⎛ ⎞− ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
. Arătăm că
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 3 ' ' 3f x y i x y i f x y i f x y i+ + + = + + +
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 3 ' ' 3f x y i x y i f x y i f x y i+ ⋅ + = + ⋅ + şi că
( )1 2f e e=
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' 3 '3 ' ' 3 ' ' 3 1
' 'x x y y
f x y i x y i f x x y y iy y x x
⎛ ⎞+ − + ⎟⎜ ⎟+ + + = + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠
( )( ) ( )( ) 3 ' 3 '3 ' ' 3
' 'x y x y
f x y i f x y iy x y x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜+ + + = ⎟+ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠( ) ( )' 3 '
2' '
x x y yy y x x
⎛ ⎞+ − + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠
Din ( ) ( )1 2+ rezultă relaţia cerută
( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 ' 3 ' ' ' 3f x y i x y i f xx yy i xy yx+ ⋅ + = − + + =
( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 3
' ' ' 3 'xx yy xy yxxy yx xx yy
⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠
( )( ) ( )( ) 3 ' 3 '3 ' ' 3
' 'x y x y
f x y i f x y iy x y x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜+ ⋅ + = ⎟⋅ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 4
' ' ' 3 'xx yy xy yxxy yx xx yy
⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠
Din ( ) ( )3 4+ rezultă relaţia cerută
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
119
( ) ( )1 2 21 0 3f e e f i I= ⇔ + = , adevărată căci
( ) ( )1 3 01 0 3 3
0 1f i
⎛ ⎞− ⋅ ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Din ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5+ + + + rezultă că f este morfism de inele Rămâne să arătăm că este bijectivă. Arătăm injectivitatea: 3 , ' ' 3x y i M x y i M∀ + ∈ + ∈ cu
( ) ( )3 ' ' 3f x y i f x y i+ = + arătăm că 3 ' ' 3x y i x y i+ = + . Din
( ) ( )3 ' ' 3f x y i f x y i+ = +
3 ' 3 ' '' ' '
x y x y x xy x y x y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧− − =⎪⎪⎟ ⎟⎜ ⎜⇒ ⎟= ⎟⇒⎨⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎪ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩
3 ' ' 3x y i x y i⇒ + = +
deci f este injectivă
Arătăm surjectivitatea: 3
', 3x y
M x y i My x
⎛ ⎞− ⎟⎜∀ ⎟∈ ∃ + ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠astfel
încât ( ) 33
x yf x y i
y x⎛ ⎞− ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
, relaţie adevărată din definiţia lui f
Aşadar, f este izomorfism între cele două inele.. Problema 8: Fie corpurile ( ), ,M + ⋅ şi ( )', ,M + ⋅ . Studiaţi dacă ele sunt izomorfe, unde:
a) { }3 ,M x y i x y= + ∈ şi 3
' ,x y
M x yy x
⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.
b) { }2 ,M x y i x y= + ∈ şi 2
' ,x y
M x yy x
⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.
Soluţie parţială:
a)Fie : 'f M M→ , ( ) 33
x yf x y i
y x⎛ ⎞− ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
. Arătăm că
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
120
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 3 ' ' 3f x y i x y i f x y i f x y i+ + + = + + +
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 3 ' ' 3f x y i x y i f x y i f x y i+ ⋅ + = + ⋅ +
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' 3 '3 ' ' 3 ' ' 3 1
' 'x x y y
f x y i x y i f x x y y iy y x x
⎛ ⎞+ − + ⎟⎜ ⎟+ + + = + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠
( )( ) ( )( ) 3 ' 3 '3 ' ' 3
' 'x y x y
f x y i f x y iy x y x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜+ + + = ⎟+ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠( ) ( )' 3 '
2' '
x x y yy y x x
⎛ ⎞+ − + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠
Din ( ) ( )1 2+ rezultă relaţia cerută
( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 ' 3 ' ' ' 3f x y i x y i f xx yy i xy yx+ ⋅ + = − + + =
( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 3
' ' ' 3 'xx yy xy yxxy yx xx yy
⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠
( )( ) ( )( ) 3 ' 3 '3 ' ' 3
' 'x y x y
f x y i f x y iy x y x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜+ ⋅ + = ⎟⋅ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 4
' ' ' 3 'xx yy xy yxxy yx xx yy
⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠
Din ( ) ( )3 4+ rezultă relaţia cerută
Din ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4+ + + rezultă că f este morfism de corpuri Rămâne să arătăm că este bijectivă, ceea ce e uşor..
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
121
Capitolul 16 INELE
Problema 1: Discutaţi gradul polinoamelor următoare: a) ( ) ( ) [ ]2 21 1 1f m X m X m X= − + − + + ∈
b) ( ) ( ) [ ]2 21 1 1f m X m X m X= − + + + + ∈
c) ( ) ( ) [ ]2 21 1 1f m X m X m X= − + − + − ∈
d) ( ) ( ) [ ]2 2 21 1 1f m X m X m X= + + − + + ∈
e) ( ) ( ) ( ) [ ]4 3 2 21 1 1 1f m X m X m X m X= − + − + + + − ∈ Soluţie parţială: e) ( ) ( ) ( ) [ ]4 3 2 21 1 1 1f m X m X m X m X= − + − + + + − ∈
Caz I: Pentru { }4 1 0 \ 1;m m i− ≠ ⇔ ∈ ± ± ⇒ grad 4f =
Caz II: Pentru { }4 1 0 1;m m i− = ⇔ ∈ ± ± distingem subcazurile:
Caz II 1: 1m = − ⇒ 3 20 0 0 0f X X X= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⇒ 0f = ⇒ grad f = −∞
Caz II 2: Pentru 1m = ⇒ 3 20 0 2 2f X X X= ⋅ + ⋅ + + ⇒ 2 2f X= + ⇒ grad 1f =
Caz II 3: Pentru m i= − ⇒ ( )3 20 2 1 1f X X i X i= ⋅ − + − + −
⇒ ( )22 1 1f X i X i= − + − + − ⇒ grad 2f =
Caz II 4: Pentru m i= ⇒ ( )3 20 2 1 1f X X i X i= ⋅ − + + + + ⇒ grad 2f = Problema 2: Calculaţi suma coeficienţilor polinomului: a) ( ) ( )100 1001 1f X X= − + + b) ( )20102 1f X X= + −
c) ( )20102 1f X X= − − d) ( )20102f X X= +
e) ( ) [ ]100
52 1 ,f X f X= − ∈ f) ( ) [ ]100
32 1 ,f X f X= + ∈
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
122
Soluţie parţială: a) suma coeficienţilor este ( ) ( ) ( )100 100 1001 1 1 1 1 2f = − + + =
e) suma coeficienţilor este ( ) ( )100 1001 2 1 1 1 1f = ⋅ − = =
Problema 3: Calculaţi termenul liber al polinomului: a) ( ) ( )100 1001 1f X X= − + + b) ( )20102 1f X X= + −
c) ( )20102 1f X X= − − d) ( )20102f X X= +
e) ( ) [ ]100
52 1 ,f X f X= − ∈ f) ( ) [ ]100
32 1 ,f X f X= + ∈ Soluţie parţială: a) termenul liber este ( ) ( ) ( )100 1000 0 1 0 1 2f = − + + = e) termenul liber este
( ) ( ) ( ) ( )50100 100 100 2 500 2 0 1 1 4 4 1 1f = ⋅ − = − = = = =
Problema 4: Calculaţi suma coeficienţilor de rang par ai polinomului: a) ( ) ( )100 1001 1f X X= − + + b) ( )20102 1f X X= + −
c) ( )20102 1f X X= − − d) ( )20102f X X= +
e) ( ) [ ]100
52 1 ,f X f X= − ∈ f) ( ) [ ]100
32 1 ,f X f X= + ∈ Soluţie parţială: a) suma coeficienţilor de rang par este
( ) ( ) 100 100 1001001 1 2 2 2 2 2
2 2 2f f+ − + ⋅= = =
Problema 5: Calculaţi suma coeficienţilor de rang impar ai polinomului a) ( ) ( )100 1001 1f X X= − + + b) ( )20102 1f X X= + −
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
123
c) ( )20102 1f X X= − − d) ( )20102f X X= +
e) ( ) [ ]100
52 1 ,f X f X= − ∈ f) ( ) [ ]100
32 1 ,f X f X= + ∈ Soluţie parţială: a) suma coeficienţilor de rang impar este
( ) ( ) 100 1001 1 2 2 02 2
f f− − −= =
Problema 6: Să se determine polinoamele a) [ ],grad 1f X f∈ = pentru care ( 1) 2, (1) 3.f f− = = b) [ ],grad 2f X f∈ = pentru care (0) 0, ( 1) 2, (1) 3.f f f= − = = c) [ ],grad 2f X f∈ = pentru care ( 1) 6, (1) 2, (2) 3.f f f− = = = d) [ ],grad 2f X f∈ = pentru care ( 1) 3, (1) 1, (2) 6.f f f− = − = − = Problema 7: Calculaţi f g+ şi f g− în fiecare dintre următoarele cazuri: a) 2 22 3 1, 2 3 2f X X g X X= + − = − − + , [ ], ;f g X∈
b) [ ]2 22 3 1, , , ;f iX iX g iX iX i f g X= − − = + − ∈
c) [ ]3 2 3 22 , + , , ;f iX iX X i g iX iX X i f g X= − − + = + − ∈
d) [ ]2 1, 1 , , ;f X X g X f g X= + + = − ∈
Problema 8: Calculaţi f g⋅ şi 2f în fiecare dintre următoarele cazuri: a) 2 22 3 1, 2 3 2f X X g X X= + − = − − + , [ ], ;f g X∈
b) [ ]2 22 3 1, , , ;f iX iX g iX iX i f g X= − − = + − ∈
c) [ ]3 2 3 22 , + , , ;f iX iX X i g iX iX X i f g X= − − + = + − ∈
d) [ ]2 1, 1 , , ;f X X g X f g X= + + = − ∈ Problema 9: Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f prin polinomul g în fiecare dintre următoarele cazuri: a) [ ]4 34 5 , 1, ,f X X X g X f g X= + + = + ∈
b) [ ]3 22 5 , 1 , , ;f X X X g X f g X= + − + = + ∈
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
124
c) [ ]4 3 2 32 , 2, , ;f X X X X g X X f g X= + − + + = − + ∈
d) [ ]4 2 , +1, , ;f X X g X f g X= + = ∈
e) [ ]3 2 23 1 , 1 , , ;f X X X g X X f g X= + + − = + + ∈ Soluţie parţială: a) 4 3
4 3
4 5
X X XX X
+ +
− −
3 2
13 3 8
XX X X
+
+ − +
3
3 2
3 5 3 3
X XX X
+
− −
2
2
3 5 3 3
X XX X
− +
+
8 8 8
XX− −
8− ⇒ câtul 3 23 3X X X+ − , restul 8− f) 32 X X− 5 1X − 3 22 +6XX− 26 4 2X X+ +
2
2
\ 6X
6X 4
X
X
−
− +
\ 3
3 2
X
X− +
2⇒ câtul 26 4 2X X+ + , restul 2 Problema 10: Determinaţi m∈ astfel încât a) polinomul 2005 1002f X mX m= + + împărţit la 1X + să dea restul 2 b) polinomul 2005 1002f X mX m= + + împărţit la 1X − să dea restul 2 c) polinomul 2005 1002f X mX m= + + împărţit la 1X + să dea restul 3 d) polinomul 2005 1002f X mX m= + + împărţit la 2X + să dea restul 2
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
125
Soluţie parţială: b) Folosim faptul că restul ( ):f X α− este ( )f α , deci
( ) 31 2 1 2 2 32
f m m m m− = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ =
Problema 11: Să se determine restul împărţirii polinomului f prin polinomul g în fiecare dintre următoarele cazuri: a) 2005 1, 1f X X g X= + + = − b) 2005 1,f X X g X= + + =
c) [ ] [ ]36 62 , 3f X X X g X XZ Z= − ∈ = − ∈
d) 2005 21,f X X g X X= + + = − e) 2005 21,f X X g X X= + + = +
f) ( )22006 1, 1f X X g X= + + = −
g) ( )22005 1, 1f X X g X= − + = +
h) 2005 3 21, 2f X X g X X X= + + = − + Soluţie parţială: c) Restul lui împărţit la este ( ) [ ]
3
63 2 3 3f X= ⋅ − ∈ Z adică 3
d) Rădăcinile lui g sunt 1 20, 1x x= = ⇒ ( ) : ( ) ( ) ( )f X g X C X R X= + unde ( ) 2grad R X < , deci ( ) R X aX b= + ⇒
( ) ( )( ) 1f X X X C X aX b= − ⋅ + +
( )0 0 0X f a b= ⇒ = ⋅ +
( )1 1 1X f a b= ⇒ = ⋅ + dar, (0) 1, (1) 3f f= = deci avem sistemul 0 11 3
a ba b
⋅ + =⎧⎨ ⋅ + =⎩
de unde ( ) 2 1R X X= +
f) Din proba împărţirii ⇒ ( ) ( )2: 1f X C X− = rest aX b+ ⇒
( ) ( )21f X C X aX b= − ⋅ + + (1)
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
126
Fie ( )1 1x f a b= ⇒ = + (2). Derivând relaţia (1) ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2' 2 1 1 'f X X C X X C X a= − + − +
⇒ ( )' 1f a= (2). Cum ( )' 2006 1f X X= + avem sistemul
( )( )1
' 1
f a b
f a
= +⎧⎪⎨
=⎪⎩⇔
32007
a ba
+ =⎧⎨ =⎩
⇒ 2004b = − ⇒ restul
2007 2004X − h) Rădăcinile lui g sunt 1 0x = iar 2, 1x = rădăcină multiplă de
ordinul 2, deci ( ) ( ) ( )2 2( ) 1 1f X X X C X aX bX c= − ⋅ + + +
( ) ( )20 0 0 0 1 2X f a b c= ⇒ = ⋅ + ⋅ + =
( ) ( )21 1 1 1 3 3X f a b c= ⇒ = ⋅ + ⋅ + = derivând relaţia (1) obţinem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2'( ) 1 2 1 1 ' 2f X X C X X X C X X X C X aX b= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + +
deci ( ) ( ) ( )'(1) 0 0 0 0 0 ' 0 2 0f C C C a b= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
Dar, 2004'( ) 2005 1 '(1) 2006f X X f= ⋅ + ⇒ = , aşadar 2006b = , iar din relaţiile ( ) ( )2 3+ obţinem restul cerut Problema 12: Folosind schema lui Horner, determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f prin polinomul g în fiecare dintre următoarele cazuri: a) 4 34 5f X X X= + + şi 1g X= + b) 4 34 5f X X X= + + şi 1g X= −
c) 24 5 1f X X= + − şi 1g X= +
d) 24 5 1f X X= + − şi 1g X= −
e) [ ]3
52 , 3, ,f X X g X f g X= − = − ∈
f) [ ]3 254 2 1 , 4 , , ;f X X X g X f g X= + + + = + ∈
Soluţie parţială: a)
4 3 2 1 0 X X X X X
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
127
1 4 0 5 0 1− 1 3 3− 8 8−
⇒ câtul 3 23 3X X X+ − , restul 8− e) 3X 2X X 0X 2 0 4 0
3 2 3 2 0 1⋅ + = 3 1 4 2⋅ + = 3 2 0 1⋅ + =Deci câtul este ( ) [ ]2
52 2C X X X X= + + ∈ , iar restul este
1R= Problema 13: Să se determine m∈ ştiind că în fiecare caz polinomul [ ]f X∈ se divide prin [ ]g X∈ indicat:
a) 3 2 2 , 1;f X X X m g X= + + + = +
b) 3 2 22 , 1;f X X X m g X X= + − + = + +
c) 4 3 2 22 , 2;f X X X mX g X X= + − + + = + +
d) 3 2 23 , 3;f X X X m g X X= − − + = + + Problema 14: Să se determine m ∈ ştiind că în fiecare caz polinomul
[ ]f X∈ se divide prin [ ]g X∈ indicat:
a) 3 2 , 1;f X X X m g X= + + + = +
b) 3 22 , 1;f X X X m g X= + − + = +
c) 4 3 2 2 , 2;f X X X mX g X= + − + + = +
d) 3 2 3 , 3;f X X X m g X= − − + = + Problema 15: Arătaţi că f divizibil cu g, unde : a) 103 102 1f X X X= + + + şi 3 2 1g X X X= + + + b) ( ) ( ) ( )2 1 2 12 2 21 1 1
n nX X X X X
+ ++ + + − + +
c) ( ) ( )3 2 3 21 1n nX X X X+ +⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦
Soluţie parţială: b) Rădăcinile lui 2 1g X= + sunt iα = ±
Pentru iα = ⇒ ( ) ( ) ( )2 1 2 12 21 1n n
f i i i iα+ +
= + + + − + ⇒
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
128
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 0nn n nf i i i iα ++ + += + − = − =
Pentru ( ) ( ) ( )2 1 2 12 21 1 0n n
i f i i i i f gα α+ +
= − ⇒ = − + + + + = ⇒
c) ∀ rădăcină pentru 2 1 0X X− + = verifică ( )2 31 0 1 1α α α α− + = ⋅ − ⇔ = − se notează cu ω . Aşadar,
2
3
1 01
1
ω ω
ωω
⎧ − + =⎪
= −⎨⎪ ≠ −⎩
.
Calculăm ( ) ( ) ( ) 33 2 3 2 2 31nn n nf ω ω ω ω ω
++ + += − + = + ⇒
( ) 2 6 2 3n nf ω ω ω ω ω= ⋅ + ⋅ ⇒ ( ) 2 2 0n nf ω ω ω= − = ⇒ f g Problema 16: Să se descompună în factori ireductibili peste corpul indicat fiecare dintre următoarele polinoame: a) 3 8f X= − peste b) 3 8f X= − peste c) 3 8f X= − peste d) 3 2f X X= + − peste e) 3 2f X X= + − peste f) 3 2f X X= + − peste Problema 17: Să se determine m
astfel încât numărul α să fie
rădăcină a polinomului f în fiecare din cazurile următoare : a) [ ]21, ,f X X m X mα= = + + ∈ ∈
b) [ ]21, ,f X X m X mα=− = − + ∈ ∈
c) [ ]3 22, ,f X X mX m X mα=− = + − + ∈ ∈
d) [ ]22, ,f mX X m X mα= = + + ∈ ∈
Problema 18: Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinilor α indicate în fiecare caz: a) 2 2 1 , 1f X X α= − + = b) 3 23 3 1 , 1f X X X α= − + − = c) 2 2 1 , 1f X X α= + + = − d) 3 23 3 1 , 1f X X X α= + + + = −
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
129
Problema 19: a) Dacă [ ] ( ) şi 1 3 2 4 5 2f X f∈ + = + , găsiţi ,a b ∈ astfel
încât ( )1 3 2 2f a b− = +
b)Dacă [ ] ( ) şi 1 3 4 5 ,f X f i i∈ + = + puteţi găsiţi ,a b ∈ astfel
încât ( )1 3f i a bi− = + ?
c)Dacă [ ] ( ) şi 1 3 4 5 ,f X f i i∈ + = + puteţi găsiţi ,a b ∈ astfel
încât ( )1 3f i a bi− = + ?
d) Să se rezolve ecuaţia 4 3 22 3 8 4 0x x x x− + − − = ştiind că admite rădăcina 1 2.+ e) Să se rezolve ecuaţia 4 3 2 2 2 0x x x x+ − − − = ştiind că admite rădăcina 2. f) Să se rezolve ecuaţia 4 3 23 5 4 2 0x x x x− + − + = ştiind că admite rădăcina 1 .i+ Soluţie parţială: a)Cum [ ] ( ) şi 1 3 2 4 5 2f X f∈ + = + , folosim proprietatea:
[ ] şi ( ) ( )f X f a b c a d c f a b c a d c∈ + = + ⇒ − = − , aşadar
( )1 3 2 4 5 2f − = − , deci 4, 5a b= =−
b) Cum [ ] ( ) şi 1 3 4 5 ,f X f i i∈ + = + folosim proprietatea:
[ ] şi ( ) ( )f X f a bi c di f a bi c di∈ + = + ⇒ − = − , aşadar
[ ] ( ) ( ) şi 1 3 4 5 1 3 4 5f X f i i f i i∈ + = + ⇒ − = − , deci4, 5a b= =−
c) Cum [ ] ( ) şi 1 3 4 5 ,f X f i i∈ + = + folosim proprietatea:
[ ] şi ( ) ( )f X f a bi c di f a bi c di∈ + = + ⇒ − = − , aşadar
[ ] ( ) ( ) şi 1 3 4 5 1 3 4 5f X f i i f i i∈ + = + ⇒ − = − , aşadar 4, 5a b= =−
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
130
Problema 20: Să se calculeze 1 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1, ,s x x x s x x x x x x= + + = + +
3 1 2 3s x x x= pentru fiecare dintre următoarele ecuaţii: a) 32 3 1 0 x x+ + = ; b) 3 25 3 1 0x x x− − + = ; c) 3 5 1 0 x x− − + = ; d) 3 22 4 1 0 ;x x− − + = e) 3 23 2 0 ;x x x− − + + = f) 3 2 2 0x x x+ + − = . g) 34 2 0 ;x x+ + = h) 3 22 2 0x x− + − = . Problema 21: Să se calculeze 1 1 2 3 4 ,s x x x x= + + +
2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 ,s x x x x x x x x x x x x= + + + + + 3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4s x x x x x x x x x x x x= + + + 4 1 2 3 4s x x x x= pentru fiecare dintre următoarele ecuaţii:
a) 4 32 3 1 0 x x x+ + + = ; b) 4 3 23 3 1 0x x x x+ − − + = ; c) 4 35 5 1 0 x x x+ − + = ; d) 4 3 27 4 1 0 ;x x x+ − + = e) 4 3 2 2 0 ;x x x x+ − + + = f) 4 3 2 2 0x x x x− + + + − = . g) 4 32 2 0 ;x x x− + + + = h) 4 3 25 2 0x x x− + + − = . Problema 22: Fie 3 23 1f X X= − + şi 3 22 1g X X X= + − + . Calculaţi: a) 1 2 3x x x+ + b) 2 2 2
1 2 3x x x+ + c) 3 3 3
1 2 3x x x+ + d) 4 4 41 2 3x x x+ +
Soluţie parţială: Pentru 3 23 1f X X= − + a) 1 2 3 3x x x+ + = , direct din Viete
b) ( ) ( )22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 12 9x x x x x x x x x x x x+ + = + + − + + =
c) 1x rădăcină ⇒ 3 21 13 1 0x x− + =
2x rădăcină ⇒ 3 22 23 1 0x x− + =
3x rădăcină ⇒ 3 23 33 1 0x x− + =
Adunând ⇒ ( )3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 33 3 0x x x x x x+ + − + + + = şi folosind b)
⇒ 3 3 31 2 3 3 9 3 0x x x+ + − ⋅ + = ⇒ 3 3 3
1 2 3 24x x x+ + = d) Înmulţind relaţiile de la c) cu 1x , 2x respectiv 3x obţinem
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
131
4 31 1 13 0x x x− + =
4 32 2 22 0x x x− + =
4 33 3 33 0x x x− + =
şi adunând ⇒ 4 4 41 2 3 3 24 3 0x x x+ + − ⋅ + = ⇒ 4 4 4
1 2 3 69x x x+ + = Problema 23: Cunoscând rădăcinile ecuaţiei şi gradul său n , formaţi ecuaţia ce admite acele rădăcini în fiecare din situaţiile următoare: a) 1 2 33, 1, 3, 2n x x x= = = = ; b) 1 2 33, 1, 3, 2n x x x= = − = = ; c) 1 2 33, 1, 3, 2n x x x= = = − = ; d) 1 2 33, 2, 3, 2n x x x= = − = = − e) 1 2 3 44, 1, 3, 2, 1n x x x x= = = − = = − f) 1 2 3 44, 1, 3, 2, 1n x x x x= = = = = . g) 1 2 3 44, 1, 1, 1, 1n x x x x= = = = = h) 1 2 3 44, 1, 1, 1, 2n x x x x= = =− =− = Problema 24: Determinaţi m, apoi rezolvaţi ecuaţiile, ştiind că între rădăcini există relaţiile: a) 3 2
1 23 3 0, 0x x mx x x− + + = + =
b) 3 21 2 32 2 0,x x mx x x x− + + = + =
c) 3 2 2 21 27 7 0, 10x x x m x x− + + = + =
d) 3 2 2 2 21 2 312 60 0,x x mx x x x− + − = + =
Soluţie parţială: a) Din Viete şi relaţia din enunţ avem:
1 3 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
1 2
3
30
x x xx x x x x x mx x xx x
+ + =⎧⎪ + + =⎪⎨ = −⎪⎪ + =⎩
⇒ 3 3x = ; 1 2 1x x = − şi 1 2 0x x+ = . Din
ultimele 2 relaţii ⇒ 1 2x x= − ⇔ 22 1x− = − ⇔ 2 1x = ± . Aşadar
soluţiile sunt { }1;1;3− . Înlocuind în ec. (2) ⇒ 1m = − Problema 25: Să se rezolve în următoarele ecuaţii: a) 4 25 4 0;x x− + = b) 4 23 4 0;x x+ − = c) 4 22 3 0;x x+ − = d) 4 24 3 1 0;x x+ − =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
132
Problema 26: Să se rezolve ecuaţiile următoare: a) 3 22 2 1 0;x x x+ + + = b) 3 24 4 1 0;x x x− − + = c) 3 22 2 0;x x x+ + + = d) 3 23 3 1 0;x x x− − + = e) 4 3 22 3 2 3 2 0;x x x x− + − + = f) 4 3 218 1 0;x x x x+ − + + = g) 4 3 22 6 2 1 0;x x x x+ − + + = h) 4 3 24 10 4 1 0.x x x x+ − + + = i) 5 4 3 22 7 5 5 7 2 0;x x x x x− + + − + = j) 5 4 3 22 9 9 2 0;x x x x x+ − − + + = k) 5 4 3 23 13 10 10 13 3 0;x x x x x− + + − + = l) 5 4 3 212 44 33 33 44 12 0;x x x x x− − − − + =
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
133
Capitolul 17 ŞIRURI
Problema 1+2: Studiaţi monotonia şi mărginirea şirurilor:
a) 1nx
n= ; b) nx n= ;
c) 1 ( 1)nnx = + − ; d) 2
!
n
nxn
= ;
e) 1nx n n= + − ; f) 2nx n n= + −
i) 31nx
n= −
+; j) 2nx n= − ;
k) 2 ( 2)nnx = + − ; l)
( )5
1 !
n
nxn
=+
;
Soluţie parţială:
a) 11 1 1 1 0
1 ( 1) ( 1)n nn nx x
n n n n n n+
− −− = − = = − <
+ + + nx⇒ strict
descrescător 1nx x⇒ ≤ ( ]11; 0 0;1n n n nx x x xn
⇔ ≤ = > ⇒ ∈ ⇒
mărginit. b) 1 1 1 0n n nx x n n x+ − = + − = > ⇒ strict crescător
1 1n nx x x⇒ ≥ ⇒ ≥ . Presupunem că nx mărginit superior 0M⇒∃ > fixat astfel încât nx M n M≤ ⇔ ≤ , fals căci n →∞ iar
M fixat, deci de la un moment dat n îl va depăşi pe nM x⇒ nemărginit. c) 1
1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1 1)n n nn nx x ++ − = + − − − − = − − − deci nu putem
determina monotonia lui nx . Calculăm 1 2 30; 2; 0 nx x x x= = = ⇒ nu e monoton. Deoarece ( 1) { 1;1}n− ∈ − [ ]{0;2} 0;2n nx x⇒ ∈ ⇔ ∈ ⇔
nx mărginit
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
134
d) 0nx > , calculăm
1
1
22( 1)! 1
2 1!
n
nnn
n
x n xx n
n
+
+ += = ≤ ⇒+
monoton
descrescător 1 2n nx x x⇒ ≤ ⇔ ≤ . Cum ( ]0 0;2n nx x> ⇒ ∈ .
e) ( 1 )( 1 )11n n
n n n nx n n xn n
+ − + += + − ⇔ = ⇔
+ +
11n
n nxn n+ −
= ⇔+ +
11nx
n n=
+ +;
11 1
2 1 1n nx xn n n n+ − = − =+ + + + +
1 2 1( 2 1)( 1 )
n n n nn n n n+ + − + − +
=+ + + + +
2 0( 2 1)( 1 )
n nn n n n
− +<
+ + + + +
nx⇔ strict descrescător 1 2 1n nx x x⇒ ≤ ⇒ ≤ − .
Deoarece (0 0; 2 1n n nx x x⎤> ⇒ ∈ − ⇒⎦ mărginit
Problema 3. Studiaţi monotonia şi mărginirea următoarelor şiruri: a) 1 11; 6n nx x x+= = + . b) 1 11; 2n nx x x+= = + .
c) 1 12; 3 2n nx x x+= = − . d) 1 13; 6 8n nx x x+= = − .
e) 1 11; 2 1n nx x x+= = + f) 1 11; 2 2n nx x x+= = − g) 1 11; 1n nx x x+= = + h) 1 11; 2 1n nx x x+= = − +
i) 1 111; 12n nx x x+= = + j) 1 1
11; 25n nx x x+= = +
k) 1 11; 3 1n nx x x+= = − Soluţie parţială: a) 1 11; 6n nx x x+= = + , 2 17x x= > .
Arătăm prin inducţie monotonia: Fie propoziţia: 1 1( ) : nP n x x+ > .
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
135
I. 2 1(1) :P x x> adevărată II. Presupunem ( )P k adevărată ( 1)P k⇒ + adevărată ( )? , unde:
1( ) : k kP k x x+ > ;
2 1( 1) : k kP k x x+ ++ > ;
Vrem să arătăm că 2 1 16 6k k k kx x x x+ + +> ⇔ + > + ⇔
1 16 6k k k kx x x x+ ++ > + ⇔ > adevărată. Deoarece s-au folosit relaţii echivalente ( 1)P k⇒ + adev. snx⇒ 1 1.n nx x x⇒ ≥ ⇔ ≥ Valoarea de care se apropie şirul este l astfel încât 6l l= + . Pentru 20 6 0l l l≥ ⇒ − − = 1 22; 3l l⇔ = − = . Cum 0 3l l≥ ⇒ = . Deoarece şirul este strict crescător, arătăm că 3nx ≤ prin inducţie: I. 1(1) : 3 1 3P x ≤ ⇔ ≤ adevărată II. Presupunem ( )P k adevărată ( 1)P k⇒ + adevărată ( )? , unde
( ) : 3kP k x ≤ ;
1( 1) : 3kP k x ++ ≤
Vrem să arătăm că 1 3 6 3 6 9 3k k k kx x x x+ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ , adevărată. Deoarece s-au folosit relaţii echivalente ( 1)P k⇒ + adevărată 3nx⇒ ≤ , aşadar [ ]1;3nx ∈ .
e) 1 11; 2 1n nx x x+= = + 2 13x x= > . Arătăm prin inducţie că 1n nx x+ > căci
I. 2 1(1) :P x x> adevărată II. Presupunem ( )P k adevărată ( 1)P k⇒ + adevărată ( )? , unde
1( ) : k kP k x x+ > ;
2 1( 1) : k kP k x x+ ++ > Vrem să arătăm că 2 1 1 12 1 2 1k k k k k kx x x x x x+ + + +> ⇔ + > + ⇔ > , adevărată. Deoarece am folosit relaţii echivalente nx⇒ strict
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
136
crescător 1 1n nx x x⇒ ≥ ⇒ ≥ . Posibila valoare de care se apropie şirul este l astfel încât 2 1 1l l l= + ⇔ = − , fals căci nx strict crescător şi 1nx ≥ . Cum nx strict crescător nl x⇒ =∞⇒ nemărginit. Problema 6,8: Să se determine intuitiv limitele următoarelor şiruri:
a) 21 , 1;na nn
= + ≥ b) 2
3 , 1;na nn
= ≥
c) 2 , 1;
1nna n
n= ≥
+ d)
3 1, 1;1n
na nn−
= ≥+
e) 2
, 1;1n
na nn
= ≥+
f) 2 1 , 1.na n nn
= + ≥
g) ( )1 , 1.nna n= − ≥ h) ( )2 , 1.n
na n= − ≥
Problema 10.1: Calculaţi următoarele limite: a) ( )3lim 2 1 ;
nn n− + b) ( )3lim 2 1 ;
nn n+ +
c) lim 2;
n d) ( )lim 1 ;
n−
e) ( )3 4lim 2 ;n
n n n− + f) ( )23lim 2 1 ;n
n n+ +
g) ( )23 4lim 2 3 ;n
n n n− + h) ( )33 4lim 2 3 ;n
n n n− +
Problema 10.2: Calculaţi următoarele limite:
a) 2
2 1lim ;2n
nn
+−
b) 2 1lim ;3 2n
nn
− +−
c) 3
2 1lim ;2n
nn
+−
d) 2 1lim ;3 2n
nn+−
e)22 1lim ;
3 2n
nn+
− + f)
22 1lim ;3 2n
nn
− +− +
g)2
2
2 1lim ;3 2n
nn n
+− −
h)22 1lim ;
3 2n
nn++
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
137
Problema 10.3 : Studiaţi, şi în caz afirmativ calculaţi următoarele limite:
a) 2lim ;3
n
n
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
b) lim1 ;n
n
c) lim 2 ;n
n d) ( )lim 2 ;n
n−
e) ( )lim 1 ;n
n− f) 2lim ;
3
n
n
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
g) lim3 ;n
n h) 1lim ;
2
n
n
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 10.4 : Calculaţi următoarele limite:
a) lnlimn
nn
b)
2
2
lnlimn
nn
c)
( )ln 1lim
1n
nn
++
d) lnlim1n
nn +
e)
( )ln 3lim
1n
nn++
f) 3lnlim1n
nn +
g)
1lnlim
1n
nn+
h) 21ln
lim1n
nn
n
+
+
Problema 10.5 : Calculaţi următoarele limite:
a) 2 1lim2nn
n→∞
− b)
1lim2nn→∞
c)
22 1lim3nn
n→∞
− d) 2010 5 7lim
3nn
n n→∞
+ +
e)
2 1lim32
nn
n→∞
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
f) 2 1lim23
nn
n→∞
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
g)
2 1lim1nn
n→∞
− h) ( )
42 1lim0, 2 nn
n n→∞
− − +
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
138
Problema 10.6: Calculaţi următoarele limite: a) 2lim log
nn
→∞ b)
( )3lim log 1
nn
→∞+
c)
( )13
lim log 1n
n→∞
+ d) ( )213
lim log 1n
n→∞
+
e)
( )22lim log 3n
nn
→∞+ f) ( )3
3lim logn
n n→∞
−
g)
( )213
lim log 1n
n→∞
+ h) ( )20,3lim log 4n
nn
→∞+
Problema 12: a) Dacă 3 1 3 1 1 3 2 1lim ; lim ; lim ;n n nn n n
x l x l x l+ +→∞ →∞ →∞= = =
calculaţi limita şirului nx
b) Studiaţi existenţa limitei şirului ( )nnx 1−=
c) Studiaţi existenţa limitei şirului ( )n
yn
n1−
=
d) Studiaţi existenţa limitei şirului ( )cosnx nπ= e) Studiaţi existenţa limitei şirului ( )sinnx nπ= Soluţie parţială: a) Deoarece 23133 ,; ++ nnn xxx sunt subşiruri care acoperă şirul nx şi cum toate aceste subşiruri au limita 1 1nl x l⇒ → ;
b) Fie ( )1 nnx = − . Cum ( ) 111 2
2 →=−= nnx şi x ( ) 111 12
12 −→−=−= ++
nn
sunt subşiruri ale şirului nx , ele au limita diferită nx⇒ nu are limită
c) Fie ( )1 n
nyn−
= . Deoarece ( ) 021
21 2
2 →=−
=nn
yn
n şi
( )12
112
1 12
12 +−=
+−
=+
+ nny
n
n 0→ sunt subşiruri ce acoperă şirul ny ,
cum ele au aceeaşi limită 0→⇒ ny e) ( ).cos πnxn = Deoarece
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
139
( ) ( )2 cos 2 cos 0 2nx n nπ π= = + = cos0 1 1= = → şi
( )( ) ( )2 1 cos 2 1 cos 2nx n nπ π π+ = + = + = cos 1π= = − sunt
subşiruri ale şirului nx cu limită diferită nx⇒ nu are limită. Problema 15.1: Calculaţi următoarele limite:
a)
1sinlim 1n
n
n→∞
; b)
3
3
5sin2lim5
2
n
n
n
n n
n n→∞
+
+;
c) 1limn
n tgn→∞
⋅ ; d)
3
3
5sin2lim5
2
n
n
n
n n
n n→∞
+
+
e)
1sinlim 1n
arcn
n→∞
; f)
1
lim 1n
arctgn
n→∞
;
g) 1lim arcsinn
nn→∞
⋅ ; h) 1limn
n tgn→∞
⋅ ;
Soluţie parţială:
a) 11
1sinlim =
n
nn
(s-a folosit 1sin
lim0
=→
n
n
x xx
n
);
c) 11
1
lim1lim ==⋅
n
ntg
ntgn
nn (căci 1lim
0=
→n
n
x xtgx
n
);
e) 11
1arcsinlim1arcsinlim ==⋅
n
nn
nnn
;
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
140
f) 1lim 1n
n arctgn
⋅ = ;
Problema 15.2: Calculaţi următoarele limite:
a)
1
2 1lim 1n
n
n→∞
− ; b) 2
2
1
13 1lim
nn
nnn
+
+→∞
− ;
c) 1
lim 2 1nn
n→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠; d)
( )
11lim 1 2 1n
nn +
→∞
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
e)
1ln 1lim 1n
n
n→∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ ; f)
2
2
1ln 1lim 1n
nn
nn
→∞
+⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
+;
g) 1lim ln 1n
nn→∞
⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
; h)
2
2
1lim ln 11n
n nn n→∞
+⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
i)
321 13
lim23
n
nn→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
; j)
53 2lim 1 12 3
n n
n→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
Soluţie parţială:
c) 2ln1
12lim12lim
11
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
n
nn
nn
n;
g) 11
11lnlim11lnlim =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
n
nn
nnn
(căci 1)1ln(
lim0
=+
→n
n
x xx
n
);
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
141
Problema 15.3: Calculaţi următoarele limite:
a) 1lim 1n
n n→∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
; b)
2 1
2lim 11
nn
n
nn
+
→∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠;
c) 1lim 11
n
n n→∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠; d) 1lim
2
n
n
nn→∞
+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
;
e) 2limn
n
nn→∞
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
f) 22 12
2
1lim2
n n
n
n nn n
+ +
→∞
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
g) 2
2limn n
n
nn
+
→∞
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
h) 12
2
1lim2
n
n
n nn n
+
→∞
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
i) 3
1 1 1sin coslim 1n
n n n
n
−
Soluţie parţială:
d) =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++
++∞
11
111lim1
111lim
nn
n
n
n
n nnlim
1n
nne e+ = ;
h) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++ ∞
n
n
n
n nn
nn 1
211lim1
21lim
12 2
11lim 12
nn n
n n
−⋅+ +
−⎡ ⎤−⎛ ⎞⎢ ⎥+ =⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦
lim 12n
nne e−
−+= = ; Problema 16, 17, 18: Calculaţi limitele şirurilor următoare:
a) 1lim sinn
nn⋅ b) 1lim cos
nn
n⋅
c) ( )1
limn
n n→∞
− d)
( )cos 2lim
3n
nn→∞
++
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
142
e) Dacă n
xn1
21<− , calculati nn
xlim .
f) Dacă 2
1 1nx
n n− < , calculati nn
xlim .
g) Dacă 2
2
1 12
n
nnx
n n⎛ ⎞+
− < ⎜ ⎟+⎝ ⎠, calculati nn
xlim .
Soluţie parţială:
a) 0sin1lim =nnn
(căci 01→
n şi nsin e mărginit) ;
c) 0)1(01)1(→
−⇔→=
−nnn
nn
, căci 00 →⇔→ nn xx ;
e) Din n
xn1
21<− şi ⇒→ 01
n 21
→nx (criteriul majorării) ;
Problema 19: Folosind criteriul cleştelui, calculaţi limitele şirurilor:
a) sinn
nxn
= ; b) cosn
nxn
= ;
c) narctgnx
n= ; d) n
arcctgnxn
= ;
Problema 20, 21: Folosind criteriul cleştelui, calculaţi limitele şirurilor:
a) nnnn
xn+
+++
++
=222
1...2
11
1 ;
b) ∑= +
+=
n
kn kn
kkx1
4
3
;
c) [ ] [ ] [ ]3
22 ...2n
xnxxxn+++
= ;
Soluţie parţială:
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
143
a) 1
11
11222 +
≤+
≤+ nnnn
1
12
11222 +
≤+
≤+ nnnn
--------------------------------------------
1
111222 +
≤+
≤+ nnnnn
Adunând obţinem 122 +
≤≤+ n
nxnn
nn
2
1111n
n
nx
nn
nn
+≤≤
+⇔
2
11
111
1
n
x
n
n
+≤≤
+⇔ ;
Cum 111
1→
+n
, 1111
1
2
→⇒→+
nx
n
.
b) 1
...122
111
4
3
4
3
4
3
++
++++
+++
=n
nnnn
xn
111
11111
4
3
4
3
4
3
++
≤++
≤++
nnnn
122
22222
4
3
4
3
4
3
++
≤++
≤++
nnnn
------------------------------ 3 3 3
4 4 4 1n n n n n nn n n n n+ + +
≤ ≤+ + +
Adunând relaţiile obţinem : 14
3
4
3
+
+≤≤
+
+ ∑ ∑∑ ∑n
kkx
nnkk
n
2 2
4 4
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2 2 2 2
1n
n n n n n n n n
xn n n
+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ≤ ≤
+ +.
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
144
Deoarece 412
)1(4
)12(
4
22
→+
++
++
nn
nnnnn
şi 2 2
4
( 2 1) ( 1)1 14 2
1 4 4n
n n n n n
xn
+ + ++
→ ⇒ →+
.
c) Fie [ ] [ ] [ ]xnxxyn ⋅++⋅+= 22 ...2 ⇒ [ ] xxx ≤<−1 [ ] xxx ⋅≤<− 222 2212 ------------------------------------ [ ] xnxnxn ⋅≤<− 222 1 Adunând relaţiile obţinem: ( ) ( )22222 ...21...21 nxynnx n +++≤<−+++
⇔ ( )( ) ( )( )6
1216
121 ++⋅≤<−
++⋅
nnnxynnnnx n
Împărţind relaţiile prin 3n care e pozitiv obţinem :
( )( ) ( )( )
336
1216
121
n
nnnxx
n
nnnnxn
++⋅
<<−
++⋅
Cum limitele şirurilor care încadrează şirul nostru sunt
1 2 3 3nx xl l x= = ⇒ →
Problema 21: Calculaţi limitele şirurilor în cazul∞ −∞ : a) ( )lim 2 3n n
n→∞− b) 2lim(2 )n
nn
→∞−
c) ( )lim lnn
n n→∞
− d) ( )lim 1n
n n→∞
+ −
e) ( )2lim 1n
n n→∞
+ − f) ( )3 3lim 1n
n n→∞
+ −
Soluţie parţială:
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
145
a) (0 1)2lim3 1
3
nn
n
∞ −⎛ ⎞⎛ ⎞ − = −∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
b) 2 (1 0)
lim 2 1 2
nnn
n ∞ −⎛ ⎞− = ∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
c) ( )(1 0)lnlim ln lim 1
n n
nn n nn
∞ −⎛ ⎞− = − = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
d) ( )( )1 1 1 1lim lim lim 0
1 1 1n n n
n n n n n nn n n n n n
+ − + + + −= = =
+ + + + + +
e) ( )( ) 01
1lim1
1lim1
11lim22
22
2
22
=++
=++
−+=
++
++−+
nnnnnn
nnnnnn
nnn
f) ( )( ) ( )
( )
23 33 3 3 23
3 3
2 33 3 23
1 1 1lim 1 lim
1 1n n
n n n n n nn n
n n n n
⎛ ⎞+ − + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠+ − = =+ + + +
( ) ( )0
1
1lim11
1lim23 33 2323 33 23
33
=++++
=++++
−+=
nnnnnnnn
nnnn
Problema 22.1: Calculaţi limitele şirurilor în cazul∞∞
:
a) 4lim3 5
n
n nn→∞ + b) 2 4lim
3 5
n n
n nn→∞
++
c) 5 4lim3 5
n n
n nn→∞
−+
d) 5 4lim3 2
n n
n nn→∞
−+
e) ( )( )
2ln 1lim
ln 1
n
nn
e
e→∞
+
+ f)
( )( )2
ln 5lim
ln 3
n
nn
e
e→∞
+
+
g) 4
2
2 3lim1n
n nn→∞
+ ++
h) 5
2
2 3lim2 1n
n nn→∞
− ++
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
146
i) ( )( )2 2
lnlim
ln
n
nn
n e
n e→∞
+
+ j) 2 1lim
5lnn
nn n→∞
++
Soluţie parţială:
a) =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=++ ∞
∞
1535
1424
lim5342lim
nn
nn
nnn
nn
n
0 100 1
2 144lim 0
5 3 15
n
n
nn
+⋅+
⎛ ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎝ ⎠⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
e) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11lnln
11lnlnlim
11
11lnlim
22
22
nn
nn
n
nn
nn
n
ee
ee
ee
ee
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=11ln
11ln2lim
2
n
n
n
en
en 2 0 0
2 1 0 0
1 12 ln 1lim 2
1 11 ln 1
n
n
n
nn e
nn e
+ ⋅+ ⋅
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ =⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Problema 22.2: Calculaţi limitele şirurilor în cazul 00
:
a)
14lim25
n
nn→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 2 1lim25
nn
nn
→∞
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
c)
2sinlim 2n
n
n→∞
d)
2sinlim 1n
arcn
n→∞
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
147
e)
1ln 1lim 3n
n
n→∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ f) 1
1ln 12
lim13
n
nn +→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 23: Calculaţi limitele şirurilor în cazul 0 , 0⋅∞ ∞⋅ :
a) 1lim ln 1n
nn→∞
⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
b) 1lim sinn
nn→∞
⋅
c) ( )1
2lim 1 3 1nn
n +
→∞
⎛ ⎞+ ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠ d) ( )1lim 3 1
1n
n n→∞⋅ −
+
e) 3
2
1lim sin1n
nn n
⋅+
f) 3
2
1lim1n
n n tgn n+
⋅+
g) 1lim ln3
n
nn ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
h) 1lim 12n
nnn
⎛ ⎞+−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
Soluţie parţială:
e) 11
lim111
1sinlim01sin
1lim 2
2
2
3
2
3
=+
=⋅+
⋅⋅∞⋅+ n
nnn
n
n
nnn
nnnn
;
g) 1 lnlim ln 0 lim 0 0 03 3
n
nn n
n nnn
⎛ ⎞⋅ ∞ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
;
h) 1 1 2lim 1 0 lim2 12n n
n n n nnn n
⎛ ⎞+ + − +− ∞ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
2
1 2lim lim2 1 2 3 2 2n n
n n n nn n n n n n
+ − − −= ⋅ = =
+ + + + + + + +
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
148
22
1 1lim lim23 2 23 2 2 1 11 1
n n
n
nn n nn n n
− −= = = −
⎛ ⎞+ + + ++ + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Problema 24: Calculaţi limitele şirurilor în cazul1∞ :
a)
n
nn
n
ba
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
∞→ 2lim
11
; b)n
n
n nn −
−
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++ 1
1
21lim ;
c) 22 1lim
n
n
nn→∞
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
; d)1lim 1
2
n
n n→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠;
e)
11 1
2 3lim2
n
n n
n
+
→∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
; f)1 21
lim2
nn
n
nn
−−
→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
;
Soluţie parţială:
a)
1 1 1 1
2lim 1 lim 12 2
n n
n n n n
n n
a b a b∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1
1 1
1 1
22 2 1 1 11 1 lim 1 1 222lim 1
2
n n
n n
n n n
na b
a b nna bn n
n nn
a b e
+ −⎛ ⎞⎜ ⎟− −
+ ⋅ ⋅⎜ ⎟+ − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥+ −⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= + = =⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
( ) 1 1ln ln ln( ) ln2 2a b ab abe e e ab+ ⋅
= = = = ;
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
149
b)1 1
1 11 1lim lim 1 12 2
n nn n
n n
n nn n
− −− −+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 12 2 1 1 1lim1 02 11lim 1 1
2n
nn n n n
n nn
e en
− −⋅+ + − −
⋅−+ −
⎡ ⎤−⎛ ⎞⎢ ⎥= + = = =⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦
Problema 25: Calculaţi limitele şirurilor în cazul 0 00 ;0 ;∞ ∞ :
a) nn
n1
lim ; b) n
n n
1
1lim ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→;
c) n
n n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
1lim ; d) nnnn
n
1
3432lim ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++∞→
;
e) 21
lim nn
n ; f) 2
1
1limn
n n→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;
g) 2
1lim1
n
n n→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
; h)
1
2 3lim2
n n n
n→∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
;
i) ( )1
lim 2 nn
n + ; j) 1
2lim1
n
n
nn→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
;
Soluţie parţială:
a) 1 1 lnln0 0lim lim lim 1
nnn n n
n n nn e e e
⋅∞ = = = ;
b) 1
1 1 1ln ln0 01lim 0 lim lim 1n n
n n nn n n
e e en
−⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
;
c) 1ln ln1lim 0 lim lim 0
nn n nn
n n ne e e
n∞ − −∞⎛ ⎞ =⎜ ⎟
⎝ ⎠;
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
150
d)
11 2 3 4ln0 32 3 4lim lim
3
n n nn n n nn
n ne
+ +⋅⎛ ⎞+ +
∞⎜ ⎟⎝ ⎠
. Fie
( )( )11lim ln 2 3 4 ln3n n n
nl
n= + + − =
1 2 3lim ln4 1 ln34 4
n nn
n n
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
1 2 3lim ln 4 ln 1 ln 34 4
n nn
n n
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
ln 4 1 2 3 1lim ln 1 ln 34 4
n n
n
nn n n
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
ln 4ln 4 4l e⇒ = = .
Problema 26: Folosind lema lui Cesaro-Stolz, calculaţi limitele următoare:
a) ( )
1! 2! !lim1 !n
nn→∞
+ + ++… ;
b) 1 1 12 2 2
12
log 1 log 2 loglim
logn
n
n→∞
+ + +…;
c) ( )
22 2 21 11 1 2 1 1
lim2
n
nn
nn
→∞
⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
…;
d) lnlim1n
nn→∞ +
e) 1ln
lim1
n
k
n
k
n=
→∞ +
∑
f) 1
1 1limn
n kn k→∞=
⋅∑ g) 1
1lim1
n
n k
kn n→∞
=
⋅+∑
h) lim ln 2 ln 3 ... lnn
nn
→∞⋅ ⋅ ⋅
i) Dacă 2
2 2 2
1 1 1 ,1 2 6nx
nπ
= + + + →… calculaţi 2
lim6nn
n x π⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠;
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
151
Soluţie parţială: a) Fie 1! 2! !na n= + + +… . ( )1 !nb n= + crescător şi nemărginit.
Calculăm ( )( ) ( )
1
1
1 !lim lim
2 ! 1 !n n
n nn n
na ab b n n
+
+
+−= =
− + − +
( )( ) ( )
1 ! 1lim lim 0 lim 01 ! 2 1 1
n
n nn
n an n n b
+= = = → =
+ + − +.
b) 1 1 12 2 2
12
log 1 log 2 loglim
logn
n
n
+ + +…
Fie 1 1 12 2 2
log 1 log 2 logna n= + + +… , 12
lognb n= descrescător la 0.
Calculăm ( )
( )
11 2
1 1 12 2
log 1lim lim
log 1 logn n
n nn n
na ab b n n
+
+
+−
= =− + −
( )
( ) ( ) ( )
12
1122
111222
log 11lim lim loglog
1log 1 1 log 1log 1
n n
n
nnn nn
+= =
⎛ ⎞⎜ ⎟ −+ −⎜ ⎟ ++⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Fie ( ) ( ) ( )
12
112
ln1log ln ln2lim lim lim
ln 1log 1 ln 11ln2
n n n
nn
nlnn n
= = =++ +
.
Cu schimbarea de variabilă ln ,tn t n e= ⇔ = pentru
n t→∞⇔ →∞( )1 lim lim
1ln 1 ln 1tt t t
t
t tle e
e→∞
⇒ = = =⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
152
lim lim 11 1 1ln ln 1 1 ln 1
t ttt t
t t
e te t e
= = ⇒⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
pentru
calcularea limitei avem nedeterminarea 01 .
Deoarece 101 1
1 11 ln 1 t
l
t e
+< ⇔ = ∞
⎛ ⎞+ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
lim n
nn
ab
→ =∞ .
c)
22 2 21 ...1 1 2 1 1lim
21
n
nn
n
n
+ + + ++ + +
+
.
Fie 22 2 21 ...
1 1 2 1 1
n
nan
= + + + ++ + +
, 21
n
nbn
=+
crescător şi
nemărginit.
Calculăm
1
11
1
22lim lim
2 22 1
n
n nn nn n
n n
a a nb b
n n
+
++
+
− += =− −
+ +
( ) ( )( ) ( )1
2 12 1lim lim2 2 1 2 2 2 2 1
n
n nn n
n n nn n n n n+
+ ⋅ + +⋅ = =
+ ⋅ + − ⋅ + + − −
1lim 1 lim 1n
n nn
ann b+
= = ⇒ =
i) Fie 2
6n na x π= − ; 1
nbn
= descrescător la 0, calculăm
( )
( )
( )( )
2 22
11
21
11 16 6lim lim lim lim 11 1 1 1
1 1
n nn n
n n n nn n
x x n n na an nb b n
n n n n
π π+
+
→∞ →∞ →∞ →∞+
− − + + +−= = = = −
− −− − +−+ +
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
153
Problema 27: Folosind criteriul radicalului, calculaţi limitele şirurilor:
a) 2nnx = ; b) 1
2n
nx = ;
c) nnx n= ; d) 1n
nx n= + ;
e) 23
nn
nxn+
=−
; f) 33
nnx
n=
−;
g) Dacă 1 1 11 ,1! 2! !na
n= + + + +… calculaţi 1 2lim n
nna a a… ;
Soluţie parţială: g) Fie 1 2...n ny a a a= , calculăm
( )1
11 1 1lim lim lim 1 ...1! 2! 1 !
nnn n n
n
y a ey n+
+
⎛ ⎞= = + + + + = ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
1 2lim lim ...n nn nn n
y e a a a e→∞
= ⇒ =
Problema 28: Folosind criteriul raportului, calculaţi limitele
şirurilor: a) 3!
n
nxn
= ; b) !3n n
nx =−
;
c) ( )2!
n
nnxn
= d) !
n
nnxn
=
e) !3n n
nx = ; f) 3!
n
nxn−
= ;
g) 2
!
n
nnxn
= h) ( )
2
2 !
n
nnx
n=
+
Soluţie parţială:
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
154
a) Fie ( ) [ )
1
1
31 !3 3 30 0,1 0
3! 1 !!
n
n nn
n nn
naan a n n
n
+
+ += ⇒ = = → ∈ ⇒ →
+
b) Fie
( )1
1
1 !! 13
!3 33
nn
n nn
n
nan na na
++
++−= ⇒ = = → ∞
−−
na⇒ →±∞ ,
deoarece 0n na a< ⇒ → −∞ .
c) Fie ( )
( )( )( )
( )
1
2
12
2
1
1 !
!!
n
nn
n nn
n
nananann
+
+
+
+= ⇒ = =
( )( )
1
2
1 11
n
n
nn n
++
= ⋅ =+ ( )2
1 1 1 11 0 0 01 1 !
n n nn nen n n n n+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + ⋅ → ⋅ = ⇒ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
155
Capitolul 18 LIMITE DE FUNCŢII. FUNCŢII CONTINUE
Problema 1.1: Cercetaţi existenţa următoarelor limite în punctele indicate:
a) ⎩⎨⎧
≥−
<−=
2,32,1
)(2 xx
xxxf , 2=α ; b)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=<−
=
2,32,2
2,1)(
2 xxx
xxxf , 2=α ;
c)⎩⎨⎧
≥−
<−=
2,12,1
)(2 xx
xxxf , 2=α ; d) 2
1, 2( )
3, 2x x
f xx x+ <⎧
= ⎨− ≥⎩
, 2=α ;
e) 2
1, 2( ) 2, 2
3, 2
x xf x x
x x
⎧ + <⎪= =⎨⎪ − >⎩
, 2=α ; f) 2
1, 2( )
1, 2x x
f xx x+ <⎧
=⎨− ≥⎩
, 2=α ;
e) 2
1, 1( ) 3, 2
1, 1
x xf x x
x x
⎧ + <⎪= =⎨⎪ + >⎩
, 2=α ; f) 2
1, 1( )
1, 1x x
f xx x+ <⎧
=⎨+ ≥⎩
, 2=α ;
Soluţie parţială: a)
2lim ( )x
f x→
se împarte în 2 limite: 2 2
2 2
lim ( ) lim( 1) 1s x xx x
l f x x→ →< <
= = − =
2
2 22 2
lim ( ) lim( 3) 1d x xx x
l f x x→ →> >
= = − = ; Deoarece (2) (2)s dl l f= ⇒ are
limită în 2=α . b) Procedând identic cu punctul anterior, (2) (2) 1s dl l f= = ⇒ are limită în 2=α . Obs.: Deşi )(lim2)2(
2xff
x→≠= , totuşi f are limită în 2=α
c) )(lim2
xfx→
se împarte în 2 limite: : 2 2
2 2
lim ( ) lim( 1) 1s x xx x
l f x x→ →< <
= = − =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
156
2
2 22 2
lim ( ) lim( 1) 3d x xx x
l f x x→ →> >
= = − = Deoarece (2) (2)s dl l f≠ ⇒ nu are
limită în 2=α . Problema 1.2 Cercetaţi existenţa următoarelor limite în punctele indicate:
a)3 2,
( )2 2,x x x
f xx x
⎧ − ∈=⎨
− ∈ −⎩, α∀ ∈ ; b)
1,( ) ,
0,x
f xx
α∈⎧
= ∀ ∈⎨ ∈ −⎩
c)2 ,
( )3 2,x x x
f xx x
⎧ + ∈=⎨
+ ∈ −⎩, α∀ ∈ ; d)
2,( ) ,
1,x
f xx
α∈⎧
= ∀ ∈⎨ ∈ −⎩
e) xxf cos)( = în α∀ ∈ ; f) ( ) sinf x x= în α∀ ∈ Soluţie parţială: a) Fie α ∈ un număr fixat )(lim xf
x α→⇒ se împarte în 2 limite:
3 2 3 2lim ( ) lim( )x xx x
f x x xα α
α α→ →∈ ∈
= − = −
lim ( ) lim (2 2) 2 2x xx x
f x xα α
α→ →∈ − ∈ −
= − = − .
Pentru ca f să aibă limită în α este necesar şi suficient ca 3 2 2( ) ( ) 2 2 ( 1) 2( 1) 0s dl lα α α α α α α α= ⇔ − = − ⇔ − − − = ⇔
{ }2;1; 2α ∈ − . Aşadar f are limită doar în { }2;1;2−∈α .
b) Fie α ∈ un număr fixat )(lim xfx α→
⇒ se împarte în 2 limite:
lim ( ) lim1 1x xx x
f xα α→ →
∈ ∈
= = , lim ( ) lim 0 0x xx x
f xα α→ →
∈ − ∈ −
= = .
Cum ( ) ( ),s dl l R fα α α≠ ∀ ∈ ⇒ nu are limită în nici un punct α ∈ . e) Dacă lim ( ) lim cos cos
x xf x x
α αα α
→ →∈ ⇒ = = ⇒ funcţia
xxf cos)( = are limită în α∀ ∈ .
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
157
Fie ∞=α , din grafic intuim că xxf cos)( = nu are limită spre ∞ (nici spre ∞− ). Pentru a demonstra aşa ceva, fie ,n nx x′→ ∞ →∞ astfel încât 1cos nx l→ ; 2cos nx l′ → cu 21 ll ≠ . Fie 2 cos cos(2 ) cos(0 2 ) cos0 1 1n nx n x n nπ π π= →∞⇒ = = + = = →
2 cos cos 2 cos 0 02 2 2n nx n x nπ π ππ π⎛ ⎞′ ′= + →∞⇒ = + = = →⎜ ⎟
⎝ ⎠
Deoarece ∃ 2 şiruri ce tind la ∞ cu ( ) 1, ( ) 0 ( )n nf x f x f x′→ → → nu are limită. Analog pentru −∞=α , functia cos x nu are limita doar că şirurile
sunt 2 ; 22n nx n x nπ π π′= − = − cu cos cos 0;cos cos0 1
2n nx xπ ′= = = =
Problema 4: Studiaţi existenţa limitele următoare, şi în caz afirmativ, calculaţi limitele respective:
a) 0
limx→ 2
1 ;x
b) 1
limx→
;)1(
12−
−x
c) 0
limx→
;13x
d) 1
limx→ 21
1x−
;
e) limx→∞ 2
1x
; f) limx→−∞ 3
1x
;
g) 1
limx→ 321
1x
x−+ ; h) 3
1lim1 2x
xx→−∞
+−
;
i) 3
31
1lim1 2x
xx→
+−
; j) 3
3
1lim1 2x
xx→−∞
+−
;
k) 1
limx→ x
x21
13
−+ ; l)
3 1lim1 2x
xx→−∞
+−
;
m) 5
3 1lim4x
xx→
+−
n) 2
5
4 1lim4x
x xx→
− −−
o) 3 1lim
4x
xx→∞
+−
p) 3 1lim
4x
xx→−∞
+−
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
158
q) 2
3 1lim4x
xx→∞
+−
r) 2
3 1lim4x
xx→−∞
+−
s) 3
2
3 1lim4x
xx→∞
+−
ş) 3
2
3 1lim4x
xx→−∞
+−
t) 3
22
3 1lim4x
xx→
+−
ţ) 3
22
3 1lim4x
xx→
+−
u) ( )
3
22
3 1lim2x
xx→
+
− v)
( )
3
32
3 1lim2x
xx→
+
− Soluţie parţială:
a) 10
20
1limx x
+
→= ∞ ; b)
( )
10
21
1lim1x x
−+
→
−=−∞
−; c)
1?0
30
1lim ,x x→
= însă trebuie să
găsim semnul lui 0. Facem tabelul de semne ⇒ x 0
3
1x
+ + + + + \ - - - - - - - ⇒
00
limxx→<
∞−=−01
3
1x
şi ∞=+
>→
01
300
1limxx
x,
aşadar 3
1x
nu are limită în x = 0.
d) 1
?0
21
1lim1x x→
=−
x –1 1 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
21 x−
- - - - - - 0 + + + + + + + + + +0 - - - -
211x−
- - - - - - -/ + + + + + + + + + +/ - - - -
∞=−
+
<→
01
211 1
1limxx
x;
10
211
1lim1x
x x−
→>
=−∞−
21
1lim1x x>
⇒ ∃/−
; e) 1
2
1lim 0x x
∞
→∞= ;
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
159
c) 1
3
1lim 0x x
−∞
→−∞= ;
g) 31
1 1 1lim 21 2 1 2x
xx→
+ += = −
− −;
h) 3
1lim 01 2x
xx→−∞
+=
−;
i) 3
31
1 1 1lim 21 2 1 2x
xx→
+ += = −
− −;
j) 3
3
1 1 1lim1 2 2 2x
xx→−∞
+= = −
− −;
k)3
1
1 1 1lim 21 2 1 2x
xx→
+ += = −
− −;
Problema 8: Studiaţi existenţa limitele următoare, şi în caz afirmativ, calculaţi limitele respective:
a) 0
sinlimx
xx→
b) 0
limsinx
xx→
c) ( )
1
sin lnlim
lnx
xx→
d) 0
sin 3limsin 5x
xx→
e) 2
1
1limsinx
xxπ→
− f) 2
coslim2x
xxπ π→ −
g)
0
2limx
xtgx→
h)
0
3limsin 5x
tg xx→
i)
0
3limsin 5x
arctg xx→
j) 0
3lim5x
arctg xtg x→
k) ( )22
2lim
4x
arctg xx→
−−
l) ( )3
50
sinlimarcsinx
xx→
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
160
Problema 9.1: Determinaţi asimptotele funcţiilor următoare:
a) ( ) 2: ,1f
xf D f xx
→ =−
b) ( )3
2: ,1f
xf D f xx
→ =−
c) ( ) ( ) 2: 1; ,1
xf f xx
∞ → =−
d) ( ) ( )2: , ln 3 2ff D f x x x→ = − +
e) ( ): , 1 xf f x x e→ = −
f) ( ) 11: ,f
x
f D f xe e
→ =−
g) ( ): , sinf f x x x→ = +
h) ( ): , 2ff D f x x arctgx→ = − Soluţie parţială:
a) ( ) 2 1xf x
x=
−
Cond.: ( ) ( ) ( )2 1 0 ; 1 1;1 1; fx x D− ≠ ⇔ ∈ −∞ − − ∞ =∪ ∪ As. orizontale
fD nemărginit, calculăm spre ∞−
001
lim 2 =→=−−∞→
yx
xx
as. orizontală spre ∞−
001
lim 2 =→=−∞→
yx
xx
as. orizontală spre∞
as. oblice Deoarece fG are as. orizontală spre fG−∞⇒ nu are as. oblică spre ∞− .
Deoarece fG are as. orizontală spre fG∞⇒ nu are as. orizontală spre∞ . As. verticală
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
161
Calculăm as. verticale în capetele deschise ale domeniului. 10
211
lim1 fx
x
x Gx
−+
→−<−
=−∞⇒−
are as. verticală la stanga în x=-1
x -1 1 12 −x + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + +
fxx
Gx
x→∞=
−
−−
−>−→
01
211 1
lim are as. verticală la dreapta în x=-1
Analog ∞−=−
−
<→
01
211 1
limx
x
xx
şi 11
lim0
1
211
=→∞=−
+
>→
xx
x
xx
este asimptotă la
stanga şi dreapta pentru fG .
b) ( )3
2 1xf x
x=
−
Cond.: ( ) ( ) ( )2 1 0 ; 1 1;1 1; fx x D− ≠ ⇔ ∈ −∞ − − ∞ =∪ ∪ As. orizontale
( ) ( ) fxxGxfxf →∞=−∞=
∞→−∞→lim;lim nu admite as.orizontale nici spre
∞− , nici spre ∞ as. oblice
( )( )
3
2Fie ; lim lim 1
1x x
f x xmx x x
α→−∞ →−∞
= −∞ = = = ∈ℜ−
( )3
2 2lim lim lim 01 1x x x
x xn f x mx xx x→−∞ →−∞ →−∞
⎛ ⎞= − = − = = ∈ℜ⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ − −⎝ ⎠
y mx n⇒ = + oblică y x⇒ = as.oblică spre ∞− Analog pentru ,α = ∞
( ) ( )( )3
22lim 1 , lim lim 0
11x x x
x xm n f x xxx x→∞ →∞ →∞
= = ∈ = − = =−−
y x⇒ = as. oblică spre ∞
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
162
As.verticale Procedăm ca în exemplul anterior obtinem că 1−=x şi 1=x sunt asimptotele verticale
c) ( ) ( ) 2: 1; ,1
xf f xx
∞ → =−
as. orizontale Deoarece fD nemărginit doar spre ∞ ,căutăm as.orizontale doar în
acea direcţie ( ) 001
limlim 2 =→=−
=∞→∞→
yx
xxfxx
as.orizontale spre ∞
as.oblice Deoarece ∃ as. orizontala spre ∞ , fG nu are as.oblice in directia rspectiva. Cum fD mărginit inferior fG⇒ nu are as. oblice spre ∞− . As verticale
Singura asimptotă posibilă este ( ) 21 11 1
lim lim1x x
x x
xf xx→ →
> >
= = ∞−
1x→ =
as verticala la dreapta. d) ( ) ( )2ln 3 2f x x x= − +
Cond. : : ( ) ( )2 3 2 0 ;1 2;x x x− + > → ∈ −∞ ∞∪ As orizontale
( ) ( )2 2 2lim ln 3 2 ln lim 3 2 ln limx x x
x x x x xα→−∞ →−∞ →−∞
= −∞⇒ − + = − + = =∞
deci fG nu are orizont spre ∞−
Analog, ( )limx
f x→∞
= ∞→ fG nu are orizont spre ∞
As oblice
−∞=α limx
n→−∞
=( )2
22 3
ln 3 2 3 2lim 01x
xx x x x
x →−∞
−− + − += = ∈R
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
163
Insa ( )( ) ( )( )2lim lim ln 3 2 0 0x x
n f x mx x x→−∞ →−∞
= − = − + − = →Gf nu
are as oblice nici spre ∞ As verticale
1=α ; ( )2
11
lim 3 2 1xx
x x x→<
− + = −∞→ = as verticala la stanga.
As verticala la dreapta nu exista căci nu pot calcula ( )11
limxx
f x→>
Analog, x = 2, as verticala la dreapta
e) ( ) ( )( )
1 , 1, :
1 , 1
x
x
x e xf x f R R
x e x⎧ − + <⎪= →⎨ − ≥⎪⎩
as orizontale
−∞=α limx→−∞
( ) ( ) 11 lim 1 lim 0x yyy y
yx e y ee
−
→∞ →∞
+− + = + = = (căci
lim 0, 1yy
polinom aa→∞
= ∀ > ) 0=→ y as orizontala spre ∞−
As oblice Cercetam daca gf nu are as orizontale spre ∞
( ) ( )1 1lim lim limx
x
x x x
f x x xmx x x
e e→∞ →∞ →∞
− −⎛ ⎞= = = ⋅ = ∞∉ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
fG nu
are as oblica spre ∞ As verticala Deoarece f continuă pe ⇒ limita în orice punct este un număr din , deci fG nu are as verticale.
f) ( ) 11
x
f xe e
=−
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
164
Cond.: 1
0
0x
x
e e
≠⎧⎪⎨⎪ − ≠⎩
( ) ( ) ( )1 1 1 ;0 0;1 1;fx Dx
⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇒ = −∞ ∪ ∪ ∞
As orizontale
−∞=α 11 1lim
1xx e
e e→−∞
=−
−
101căci 0 şi 1xe e
⎛ ⎞→ → =⎜ ⎟−∞⎝ ⎠
11
ye
⇒ =−
as orizontală spre -∞
11 1 1lim
1 1xx
ye ee e
α→∞
= ∞⇒ = ⇒ =− −
− as orizontală spre ∞
As oblice Deoarece fG are as orizontale si spre ∞− so spre →∞ fG nu are orizontale in nicio directie As verticale
0=α ; 1 1000
1 1 1 1limx
xxe e e
e e e e−∞→
−<
= = = ∈ ⇒− −
− −fG nu are as
verticală la stânga
1 1000
1 1 1 1lim1x
xx e e e e→
+>
= = =∞ − ∞
− −0= ⇒ fG nu are as verticală la
dreapta
1=α : 1
?0
111
1limx
xx e e→<
=−
(01 )?. Cum 11, 1 1x x
x→ < ⇒ → si
1
111
1 1 11 lim ( ) 10
xx
xx
e e xx e e
→<
> → > → = = ∞→ =+
− este as verticala la
stânga
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
165
111
1 1lim ( ) 10x
xx
xe e
→>
= = −∞→ =−
− este as verticala la dreapta
g) ( ) xxxf sin+= , :f → as orizontale
−∞=α ; limx→−∞
1( ) lim ( ) lim 1 sinx x
f x x isnx x xx→−∞ →−∞
⎛ ⎞= + = + = −∞⎜ ⎟⎝ ⎠
(caci 01→
x,sin x e marginit 0sin1
→→ xx
)→ fG nu are as oriz
spre ∞−
∞=α ; 1lim ( ) lim 1 sin 0x x
f x x xx→∞ →∞
⎛ ⎞= + = →⎜ ⎟⎝ ⎠
fG nu are oriz spre ∞
As oblice
−∞=α ; ( ) sinlim limx x
f x x xmx x→−∞ →−∞
+= = =
1 sin1lim lim 1 sin 1
x x
x x xx xx x→−∞ →−∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
lim ( ) ] lim ( sin ) lim sinx x x
n f x mx x x x x→−∞ →−∞ →−∞
= − = + − = care nu exista
→Gf nu are as oblica spre ∞− Analog, fG are as oblica spre ∞ . As verticale Deoarece f continua pe ff GD → nu are as verticala
h)Deoarece : ;2 2
tg π π⎛ ⎞− →⎜ ⎟⎝ ⎠
: ;2 2 farctg Dπ π⎛ ⎞⇒ → − ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
As orizontale:
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
166
2; lim ( 2 ) lim (1 )x x
x arctgx x arctgxx
α→−∞ →−∞
= −∞ − = − = −∞ (deoarece
;2 2
arctg π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠
,deci e marginit si fGx
⇒→ )02 nu are as
orizontala spre ∞
As oblice
21( ); lim lim 1
x x
x arctgxf x xm
x xα
→−∞ →−∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= −∞ = = = ∈
lim ( 2 ) lim ( 2 ) 22x x
n x arctgx x arctgx π π→−∞ →−∞
⎛ ⎞= − − = − = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
,deoarece
graficul functiei avem 2 2
tg tg arctgπ π→∞⇒ ∞→
2 2tg y mx nπ π⎛ ⎞− → −∞→ − ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
, adica π+= xy este
as.oblica spre ∞− . Analog, π−= xy va iesi as. oblica spre ∞ . Problema 9.2: Determinaţi asimptotele funcţiilor următoare:
a) 2( ) ;1
xf xx+
=−
b) 2 4( ) ;
2xf x
x−
=−
c) 2
2
2( ) ;1
xf xx+
=+
d) 2( ) ;1
xf xx
=−
e) 2
2
1( ) ;4
xf xx
+=
− f) 2( ) .
3 2xf x
x x=
− +
g) 2
( ) ;1
xf xx
=−
h) 22 1( ) ;
2x xf xx+ −
=−
i) 3
2( ) ;9
xf xx
=−
j) 2 1( ) ;
2xf x
x+
=−
k) 2
1( ) ;4
xf xx−
=+
l) 2 1( ) .
1xf xx+
=−
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
167
m) ( ) ln( 1);f x x x= ⋅ − n) 2( ) 4 ;f x x x= −
o) 1
( ) ;xf x x e= ⋅ p) 1 ln( ) ;2 ln
xf xx
+=
+
q) sin( ) ;xf x
x= r) 1
1
1( ) .x
f xe e−
=−
Problema 10, 11: Studiaţi continuitatea funcţiilor următoare în punctele indicate şi precizaţi tipul de discontinuitate al punctelor respective :
a)⎩⎨⎧
≥−<−
=2;3
2;1)( 2 xx
xxxf , în 2=α ;
b)⎩⎨⎧
>−<−
=2,3
2,1)( 2 xx
xxxf , în 2=α ;
c)
2 1; 2: ( ;2] , ( ) 21; 2
xe xf f x xx
−⎧ −<⎪−∞ → = −⎨
⎪ =⎩
, în 2=α ;
d) { }: ( ;2) 3 , ( ) 2f f x x−∞ ∪ → = − , în 3=α ;
e)⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=<−
=2;3
2;32;1
)(2 xx
xxx
xf , în 2=α ;
f)⎩⎨⎧
≥−<−
=2,1
2,1)( 2 xx
xxxf ; în 2=α ;
g)⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−
<−=
1,1
1,1
1)(
xx
xxxf ; în 1α = ;
h)⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−=
1,1
1,1
1)(
x
xxxf , în 1α = ;
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
168
i)3 2 ,
( )2 2, \
x x xf x
x x⎧ − ∈
= ⎨− ∈⎩
, în α∀ ∈
Soluţie parţială: a) ffff ds ⇒=== 1)2(;1)2(;1)2( continuă in 2=α . b)Deoarece fD f ⇒∉= 2α nu e continua in 2=α si 2=α nu e punct de discontinuitate(caci punctele de discontinuitate sunt puncte din domeniu in care f nu e continua).
c)2
2 22 2
1lim ( ) lim 12
x
x xx x
ef xx
−
→ →< <
−= =
− si ff ⇒= 1)1( continua in x=1. (caci
2 22
lim ( ) lim ( )x x
x
f x f x→ →
<
= ).
d)Deoarece 3 este punct izolat al domeniului lui f f⇒ continua in x = 3 oricare ar fi forma lui f. e) )(lim
2xf
x→ se imparte in 2 limite :
1)1(lim)(lim)2(22
22
=−==<→
<→
xxffxx
xxs
2
2 22 2
(2) lim ( ) lim( 3) 1d x xx x
f f x x→ →> >
= = − = si cum ff ⇒= 3)2( nu e
continua in 2=α . Cum (2) , (2) , 2s d ff f Dα∈ ∈ = ∈ si f nu e continua in
22 =⇒= αα punct de discontinuitate de prima speta. f) )(lim
2xf
x→ se imparte in 2 limite :
2
2 22 2
(2) lim( 1) 1; (2) lim( 1) 3s dx xx x
f x f x→ →< >
= − = = − =
23)2( =⇒= αf punct de discontinuitate de prima speta
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
169
g) ∞−=−
=−
<→
01
11 1
1lim)1(x
fxxs ; 10)1(;0)1(lim)1(
11
=⇒==−=>→
αfxfxxd
punct de discontinuitate de a doua speta.
h) ∞=−
=−∞=−
=>→
<→ 1
1lim)1(;1
1lim)1(11
11 x
fx
fxxd
xxs
11)1( =⇒= αf e punct de discontinuitate de a doua speta. i) f continuă în x α= ⇔ ( ) ( )lim
xf x f
αα
→= . Dar, ( )xf
x α→lim
se împarte în 2 limite: ( )limxx
f xα→
∈
şi ( )limxx
f xα→
∈ −
Caz I : Fie ( ) ( )3 2 3 2, lim , lim 2 2 2 2x xx x
x x xα α
α α α α→ →∈ ∈ −
∈ − = − − = −
şi ( ) 23 ααα −=f , f continuă în 3 2 2 2α α α α⇔ − = − ⇔
( ) ( ) ( )( )( )2 1 2 1 0 1 2 2 0α α α α α α− − − = ⇔ − − + = ⇔
{ }2;1; 2α ∈ − . Dar, 1=⇒∈ αα Q .
Caz II: Fie ( )3 2 3 2, lim ,xx
x xα
α α α→∈
∈ − − = −
( )lim 2 2 2 2xx
xα
α→∈ −
− = − şi ( ) 22 −= ααf .
f continuă în 3 2 2 2α α α α⇔ − = − ⇔
( ) ( ) ( )( )( )2 1 2 1 0 1 2 2 0α α α α α α− − − = ⇔ − − + = ⇔
{ }2;1; 2α ∈ − . Dar 2; 2α α α∈ − ⇒ = − = .
Aşadar, f continuă în 2;1;2 ==−= ααα şi orice punct α ∈ este un punct de discontinuitate de I speţă.
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
170
Problema 12.1: Folosind proprietatea că o funcţie continuă nu îşi schimbă semnul decât eventual în rădăcini, să se stabilească semnul următoarelor funcţii :f D → : a) ( ) 1f x x= − b) 2( ) 6 8f x x x= − +
c) ( ) ( )( ) 2 2 2 4 ;x xf x = − ⋅ − d) ( ) ( )( ) 2 1 3 9 ;x xf x = − ⋅ −
e) ( ) ( )2( ) 2 3 4 2 ;xf x x x= + − ⋅ − f) ( )2( ) 5 6 ln( 1);f x x x x= − + ⋅ −
g) ( )( )( ) ln 1 1f x x x= − − h) ( ) 2 1 2 ;x xf x x x= ⋅ − + − Problema 12.2:Folosind proprietatea că o funcţie continuă nu îşi schimbă semnul decât eventual în rădăcini, sau în capetele deschise ale domeniului, să se stabilească semnul următoarelor funcţii: a) 3 4 0;x x− ≤ b) 4 25 4 0;x x− + ≤
c) 3 2 3 0;x x+ − > d) ( )( )2 4 1 0;xx e− − ≤
e) 2 1 0;
ln 1
x
x−
≤−
f) 2 4 0;3 1
x
x
−≤
−
g) 2 2 0.3 3x
x x+ −>
− h)
ln 1 01
xx−
≤−
Problema 12.3: Să se arate că următoarele ecuaţii au cel puţin o soluţie pe intervalele I indicate: a) ( )3 2 2 0 , 1, 2 ;x x I− − = = b) ( )4 2 3 0 , 1, 2 ;x x I+ − = =
c) ( )ln 0 , 0,1 ;x x I+ = = d) ( )1 sin 0 , , ;x x I π π+ + = = −
e) f) cos 2 , , ;2
x x I π π⎛ ⎞+ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
g) ( )2 0 , 1, 2 ;xe x I− − = = h) ( )1 2ln(1 ) 2 , 0, 1 .x x I e+ + = = −
i) ( )1 , 0,1 ;arctgx x I+ = = j) ( )arcsin 1 , 0,1 .x x I+ = =
cos , 0, ;2
x x I π⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
171
Problema 14: Cercetaţi dacă au proprietatea lui Darboux funcţiile:
a) 1, 1
( )2 , 1x x
f xx x+ <⎧
= ⎨ ≥⎩ b)
1, 1( )
2 , 1x x
f xx x− <⎧
= ⎨ ≥⎩
c)
1,( )
0, \x
f xx
∈⎧= ⎨ ∈⎩
d)
2
2 ,( )
, \
x xf x
x x⎧ ∈
= ⎨∈⎩
e) 3, 1
( )2 , 1x x
f xx x+ <⎧
= ⎨ ≥⎩ f)
2, 2( )
2 , 2x x
f xx x+ <⎧
= ⎨ ≥⎩
g)
2,( )
1, \x
f xx∈⎧
= ⎨− ∈⎩ h)
2
3 ,( )
, \
x xf x
x x⎧ ∈
= ⎨∈⎩
Soluţie parţială: a) Cercetam dacă f continuă. Evident, f este continuă pe ( ),1−∞ şi
pe ( )1,∞ ca şi funcţie elementară, studiem continuitatea în 1x =
1 11 1
1 11 1
lim ( ) lim( 1) 2
lim ( ) lim(2 ) 2 continuă în 1
(1) 2
x xx x
x xx x
f x x
f x x f x
f
→ →< <
→ →> <
= + = ⎫⎪⎪= = ⇒ =⎬⎪⎪= ⎭
Aşadar, f continuă pe ⇒ f are proprietatea lui Darboux pe b) Cercetam dacă f continuă. Evident, f este continuă pe ( ),1−∞ şi
pe ( )1,∞ ca şi funcţie elementară, studiem continuitatea în 1x =
1 11 1
1 11 1
lim ( ) lim( 1) 0
lim ( ) lim(2 ) 2 1
(1) 2
x xx x
x xx x
f x x
f x x x
f
→ →< <
→ →> <
= − = ⎫⎪⎪= = ⇒ =⎬⎪⎪= ⎭
este punct de discontinuitate de
prima speţă ⇒ f nu are proprietatea lui Darboux pe
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
172
c) Deoarece exista ( );I = −∞ ∞ astfel încât { }( ) 0;1f I = ,avem un interval a cărui imagine nu e interval, deci f nu are proprietatea lui Darboux ⇒ f nu admite primitive. d) Vom arăta că f nu are proprietatea lui Darboux. Presupunem că f Db∈ . Fie ( ) ( ) ( )( )64 63,65 63 , 65f fλ = ∈ = . Presupunem
că ( )63, 65c∃ ∈ astfel încât ( ) 64f c = . Sunt 2 posibilităţi
( )2
( ) 2 64 6 63, 65 , contradicţie
\ ( ) 64 8 ,contradicţie cu \
cc f c c
c f c c c c
∈ ⇒ = = ⇒ = ∉
∈ ⇒ = = ⇒ =± ∈ ∈, deci
nu există c cu proprietatea că ( )f c λ=
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
173
Capitolul 19 FUNCŢII DERIVABILE
Problema 1: Folosind definiţia , să se studieze derivabilitatea următoarelor funcţii în punctele indicate: a) :f → , ( ) 1f x x= + în 2α =
b) { }: ( ; 1) 2f −∞ − ∪ → , 1( )1
f xx
=+
în 2α =
c) { }: 1f − − → , 1( )1
f xx
=+
în 1α = −
d) [ ): 1;f − ∞ → , ( ) 1f x x= + în 1α = −
e) :f → , 3( ) 1f x x= + în 1α = −
f) :f → , ( )23( ) 1f x x= + în 1α = − Soluţie parţială: Pentru a studia derivabilitatea trebuie caα punct de acumulare si punct din domeniu lui f .
f − derivabilă în ( ) ( )limx
f x fxxα
ααα→
−= ⇔ ∈
− şi
are derivata în ( ) ( )limx
f x fxxα
ααα→
−= ⇔ ∈
−.
a) 2=α punct al domeniului si punct de acumulare al domeniului
2 2
( ) (2) 1 3lim lim 12 2x x
f x f x fx x→ →
− + −= = ∈ ⇒
− −derivbila în 2x = şi
' (2) 1f = . b) 2=α e punctul din domeniu insa nu e punct de acumulare al domeniului, deci f nu e derivabila in 2=α si nici nu are derivata in acest punct. c) 1−=α nu e punct din domeniu, deci f nu derivabila si nici nu are derivata in 1−=α
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
174
d) 1−=α e punct al domeniului si punct de acumulare al
domeniului, calculăm 1 1
( ) ( 1) 1 0lim lim1 1x x
f x f xx x→− →−
− − + −= =
+ +
11
1lim1 ( 1)x
x
xx x→−
>−
+=
+ +
10
11
1lim1x
x x
+
→−>−
= ∞⇒+
f nu e derivabila in
1x = − dar are derivata in 1x = − , '( 1)f − = ∞ e) 1−=α e punct al domeniului si punct de acumulare al
domeniului, calculăm3
1 1
( ) ( 1) 1 0lim lim1 1x x
f x f xx x→− →−
− − + −= =
+ +
21 3
1lim( 1) ( 1)x
xx x→−
+=
+ + ( )
10
21 3
1lim1x x
+
→−= ∞⇒
+ f nu e derivabilă in
1x = − dar are derivate in 1x = − şi '( 1)f − = ∞ . f) 1−=α e punct al domeniului si punct de acumulare al
domeniului, calculăm 23
1 1
( 1) 0( ) ( 1)lim lim1 1x x
xf x fx x→− →−
+ −− −= =
+ +
31
1lim( 1) 1x
xx x→−
+=
+ + 31
1lim1x x→− +
. Cum
10
311
1' ( 1) lim1s x
x
fx
−
→−<−
− = =−∞+
,
10
311
1' ( 1) lim1d x
x
fx
+
→−>−
− = = ∞+
⇒ f nu e derivabila în 1x = − si nici nu
are derivata in 1x = − Problema 2: Să se determine , ,a b c∈ pentru care următoarele funcţii :f → sunt derivabile pe :
a) 2 1 , 0
( ) ;sin cos , 0
x x xf x
a x b x x⎧ − + ≥
= ⎨⋅ + ⋅ <⎩
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
175
b) 2 1 , 0
( ) ;, 0x
ax x xf x
b e x⎧ + + <
= ⎨⋅ ≥⎩
c) 2
3
2 , 2( ) ;
2 11 , 2x a x
f xbx b x
⎧ + ≤= ⎨
+ >⎩
d) 2 , 0
( ) ;ln( 1) , 0x ax x
f xb x x⎧ + <
= ⎨⋅ + ≥⎩
e) , 1
( ) ;, 1
xx e xf x
ax b x⎧ ⋅ ≤
= ⎨+ >⎩
f) 2
1 , 0( ) .3
2 , 0
x xf x x
ax b x
−⎧ >⎪= +⎨⎪ + ≤⎩
Problema 3: Să se scrie ecuaţia tangentei la graficele următoarelor funcţii :f D→ în punctele x a= indicate şi panta tangentei în acele puncte : a) ( ) 1f x x= − , 2a = ; b) ( ) 3 1f x x= − 1a =
c) ( ) ( )23 1 , 1f x x a= − = d) ( ) ( )23 1 , 1f x x a= − = e) ( ) 2, 1;f x a= = f) ( ) 2, 3;f x x a= + = g) 2( ) 3 2, 1;f x x x a= − + = − h) 3( ) , 1;f x x x a= + =
i) 1( ) , 2;f x ax
= =
j) 2
1( ) , 2;f x ax
= =
k) ( ) , 0;f x x a= = l) ( ) 1, 1;f x x a= − = Soluţie parţială: Ecuatia tangentei este: ( ) ( )( )y f f xα α α′− = − in cazul in care f
e derivabila in x α= , respectiv x α= in cazul in care ( )f x′ = ±∞ . Daca ∃ doar o derivata laterala f⇒ are doar semitangenta in directia respectiva.
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
176
a) Deoarece ( )2 1f = ⇒ ecuatia tangentei este: ( )11 22
y x− = − ⇔
2 2 2 2y x x y− = − ⇔ = b) Deoarece ( )1f ′ = ∞⇒ f nu e derivabila in 1x = , dar f are derivata in 1x = si deci ecuatia tangentei este 1x = . c) ⇒ graficul functiei are semitangente la stanga 1=x , la dreapta
1=x deci fG are tangenta pe 1x = Problema 4. Să se determine punctele unghiulare sau de întoarcere ale graficelor următoarelor funcţii :f D → :
a) ( ) 3 1f x x= − b) ( ) ( )23 1f x x= −
c) ( ) 1, 11, 1
x xf xx x
⎧ − >⎪= ⎨− ≤⎪⎩
d) ( ) 2
1, 11, 1
x xf x
x x− ≤⎧
= ⎨− >⎩
e) ( ) 11
f xx
=−
f) ( ) 2
2 , 01, 0
x xf x
x x
⎧ >⎪= ⎨− + ≥⎪⎩
g) 2( ) ;f x x x= − h) 1
( ) ;1x
f xx
−=
+
i) ( ) ;f x x= j) ( ) 1 ;f x x x= ⋅ −
k) ( )2 , 0
1, 0x
x xf x
e x
⎧ ≤⎪= ⎨− >⎪⎩
l)
( )2 2, 0
1, 0x
x xf x
e x
⎧ + ≤⎪= ⎨+ >⎪⎩
Soluţie parţială:
b) f contiuna in 1x = , 3
2 1( )3 1
f xx
′ = ⋅−
,
(1) ; (1) 1s df f x′′ = −∞ = ∞⇒ = e punct de intoarcere; c) fDx ∈= 1 si evident f continua in 1x =
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
177
b) f contiuna in 1x = , 3
2 1( )3 1
f xx
′ = ⋅−
,
(1) ; (1) 1s df f x′′ = −∞ = ∞⇒ = e punct de intoarcere; c) fDx ∈= 1 si evident f continua in 1x = ;
11
1( ) lim1d x
x
f xx→
>
′ = = ∞−
si 1
1
( ) lim1 1s xx
f x→<
′ = = ⇒ f nu e derivabila in
x = 1 , f nu are derivate in 1x = si 1x = e punct unghiular. d) fDx ∈= 1 ,f continua in 1x = si (1) 1; (1) 2 1s df f x′ ′= = ⇒ = e punct unghiular.
e) { }1( ) \ 1 ,1 ff x D
x= ⇒ =
− deci ⇒∉= fDx 1 f nu e continua
in 11 =⇒= xx nu e punct de intoarcere, nici unghiular
f)⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
>=
0,10,2
)(2 xx
xxf
x
f continua in x=0
2
0 00 0
( ) (0) 1 1(0) lim lim 0s x xx x
f x f xfx x→ →
< <
− − −′ = = =
0 00 0
( ) (0) 2 1(0) lim lim ln 2x
d x xx x
f x ffx x→ →
> >
− −′ = = = ⇒ f nu e derivabila in
0x = , 0x = e punct unghiular Problema 5: Folosind formulele de derivare, calculaţi derivatele de ordin I şi II pentru funcţiilor următoare: : ff D → unde:
a) 5( )f x x= ; b) 3 2( )f x x= ; c) ( ) lnf x x= d) ( ) cosf x x= e) ( ) arccosf x x= f) ( ) 3 ;xf x = g) ( ) ;xf x e= h) ( ) arcsin ;f x x=
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
178
Problema 6: Folosind formulele de derivare, calculaţi derivatele funcţiilor următoare: : ff D → unde:
a) 5( ) 2 5 7f x x x x= + + + ; b) 3 21( ) 2x xf x x ex
= + + + ;
c) ( )( ) 1 ;xf x x e= ⋅ + d) ( )2( ) 1 ( 1);xf x x x e= − + ⋅ −
e) ( ) sin cos ;f x x x= ⋅ f) 2( ) ln .f x x x= ⋅
g) 1( ) ;1 2
xf xx
−=
+ h)
i) ( ) ;1
x xf xx
=+
j) sin( ) ;
2 cosxf x
x=
−
Problema 7. Folosind regula de derivare a funcţiilor compuse , să se calculeze derivatele următoarelor funcţii :f D → :
a) ( ) ( )( )512sin += xxf ; b) 3 21)( xx
xf += ;
c) ( )sin cos( ) xf x e= ; d) ln( ) 2 xf x = e) ( ) ( )( )( )12arccoslog2 −= xctgxf g) ( ) ( )( )arccos 2 1f x ctg x= − h) ( ) ( )( )( )12arccoslog2 −= xctgxf Soluţie parţială: a) ( ) ( ) ( ) 212cos12sin5' 4 ⋅+⋅+= xxxf ;
b) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅
+=
323 2 3
2112
1'xx
xx
xf ;
c) ( ) ( ) ( ) ( )( )x
xxexf xx 12ln2sincoscos' lncossin ⋅⋅+−⋅⋅= ;
h) ( )( )( )( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1' 21 arccos 2 1ln2 arccos 2 1 1 2 1
f xxctg x x
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⋅ − ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⋅ − ⎜ ⎟⎝ ⎠ − −⎝ ⎠
sin( ) .1 cos
xf xx
=+
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
179
Problema 8. Folosind regula de derivare a funcţiilor compuse , să se calculeze derivatele următoarelor funcţii :f D → :
a) ( )4( ) 2 1 ;f x x= + b) ( )32( ) 3 4 ;f x x x= − +
c) ( )2( ) 2 ln ;f x x x= + d) ( )32( ) sin .xf x x x e= +
e) ( )3( ) 2 sin ;f x x x= − f) 2( ) 1 ;f x x x= + +
g) ( ) sin .f x x x= + h) 3( ) sin ;f x x= Problema 9. Folosind regula de derivare a funcţiilor compuse , să se calculeze derivatele următoarelor funcţii :f D → :
a) 4( ) cos ;f x x= b) 2( ) 1 ;f x x= −
c) d)
e) 1( ) ln .1
xf xx−
=+
f) 2 1( ) ln .
1xf xx−
=+
g) ( ) sin .f x x x= + h) 3( ) sin ;f x x= Problema 10. Folosind formulele şi regulile de derivare, calculaţi derivatele funcţiilor următoare: : ff D → unde:
a) ( ) ( )tgxxxf arccos= b) ( ) ( )arcsin cos xf x x=
c) ( ) ( ) xxxf cossin= d) ( ) ( )sincos xf x x=
e) xxxf ln)( = f) xxxf ln)( =
g) ( )ln( ) sin xf x x= h) ( )sin( ) ln xf x x=
Soluţie parţială:
a) ( ) ( )arccos22
1 1' lncos1
tgxf x x xxtg x
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ − ⋅ +⎜ ⎟−⎝ ⎠
( ) ( )arccos 1arccos 1tgxtgx x −+ ⋅ ⋅ ⇒
( ) ( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⋅−−=
xtgx
xxtgxxxf tgx arccos
cos1ln'
22
arccos ;
3( ) 2 sin(2 1);f x x x= − ( )( ) 1 ln(1 2 );f x x x= + ⋅ +
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
180
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos 1' sin ln sin sin cos sin cosx xf x x x x x x x−= ⋅ ⋅ − + ⋅ =
= ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅⋅
xxxxx x
sincossinsinlnsin
2cos ;
h) ( ) 1ln1ln' 1lnln ⋅⋅+⋅⋅= −xx xxx
xxxf
( ) ⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⇒
xx
xxxxf x lnln' ln ( ) xx
xxxf lnln2' ⋅⋅= .
Problema 11:
a) Calculaţi ( )1
2
n
x⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
b) Calculaţi ( )
2
12 6 4
n
x x⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
c) Calculaţi ( )
2
13 2
n
x x⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
d) Calculaţi ( )( )( )ln 1n
x −
e) Calculaţi ( )( )( )2ln 3 2n
x x− +
f) Arătaţi că: ( )(sin ) sin2
n nx x π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
g) Arătaţi că: ( )(cos ) cos2
n nx x π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
h) Calculaţi 20042 )sin( xx ⋅ . i) Calculaţi 2 2010( cos )x x⋅ .
l) Calculaţi ( )( )( )2 1nxe x⋅ +
m) Calculaţi ( )( )( )2 3 1n
xe x x⋅ + +
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
181
Soluţie parţială:
c) ( ) 2 2
1 1 12( 3 2) 2 3 2
f xx x x x
= = ⋅− + − +
. Deoarece
2
1 1 ( ) 23 2 ( 1)( 2) 1 2 ( 1)( 2)
A B A B x A Bx x x x x x x x
+ − −= = + =
− + − − − − − −
Egalind coeficientii ⎩⎨⎧
=−−=+
⇒12
0BA
BA1,11 =−=⇒=−⇒ BAA
1 1 1( )2 1 2
f xx x−⎛ ⎞⇒ = ⋅ + ⇒⎜ ⎟− −⎝ ⎠
( )1 1
1 ( 1) ( 1) ! ( 1) !( )2 ( 1) ( 2)
n nn
n n
n nf xx x+ +
⎛ ⎞− ⋅ − ⋅ − ⋅= + ⇒⎜ ⎟− −⎝ ⎠
( )1 1
( 1) ! 1 1( )2 ( 2) ( 1)
nn
n n
nf xx x+ +
⎛ ⎞− ⋅= −⎜ ⎟− −⎝ ⎠
.
d) 1( ) ln( -1) ( )1
f x x f xx
′= ⇒ =−
Atunci ( 1)
( ) ( 1) 1( ) ( ( ))1
nn nf x f x
x
−− ⎛ ⎞′= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠
= n
n
xn)1(
)!1()1( 1
−−⋅− −
e) ( )2( ) ln 3 2f x x x= − + ⇒
2
2 3 ( ) 2( )3 2 1 2 ( 1)( 2)
x A B x A B A Bf xx x x x x x
− + − −′ = = + =− + − − − −
Egalind coeficientii 2
1 12 3
A BA A
A B+ =⎧
⇒ ⇔ − = − ⇔ =⎨− − = −⎩si 1B =
( ) ( 1)1 1( ) ( ) ( ( ))1 2
n nf x f x f xx x
−′ ′⇒ = + ⇒ = =− −
( 1) 1 11 1 ( 1) ( 1)! ( 1) ( 1)!1 2 ( 1) ( 2)
n n n
n n
n nx x x x
− − −− ⋅ − − ⋅ −⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠
= 1 1 1( 1) ( 1)!( 1) ( 2)
nn nn
x x− ⎛ ⎞
− ⋅ − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠.
f) Aratam prin inductie:
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
182
I (1) : (sin ) sin cos sin cos cos sin2 2 2
P x x x x xπ π π⎛ ⎞′ = + ⇔ = + ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠
1cos0sincos ⋅+⋅=⇔ xxx adev.
II Presupunem ( )P k adev. (?)
( 1)P k⇒ + adev. unde ( )( ) : (sin ) sin
2kP k x x π⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠( 1) ( 1)( 1) : (sin ) sin
2k kP k x x π+ +⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Stim ca ( ) ( 1)(sin ) sin | () (sin ) cos2 2
n kn kx x x xπ π+⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ramane sa aratam ca ( 1)sin cos2 2
k kx xπ π+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Fie sin sin cos cos sin2 2 2 2 2 2
k k kx x xπ π π π π π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
sin 0 cos 1 cos ( 1)2 2 2
k k kx x x P kπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + + ⋅ = + ⇒ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
adev.
( )P n⇒ adev. n∀ ∈ . h)Folosind formuzla lui Leibniz avem că : 2 (2004)( sin )x x⋅ =
0 2 (2004) 1 2 (2003) 2004 2 20042004 2004 2004( ) sin ( ) (sin ) ... (sin )C x x C x x C x x′+ + + ⋅
Fiind greu de observat care termeni se anulează, folosim:=⋅= )2004(2)2004(2 )(sin)sin( xxxx
02)(sin2)(sin)(sin )2002(22004
)2003(12004
2)2004(02004 +++ xCxxCxxC caci
0)( )4(2 =x si 4,0)( )(2 ≥∀= nx n 2 (2004)( sin )x x⇒ =⋅ 22004 20031 sin 2004 sin 2
2 2x x x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
183
2004 2003 2002sin 22 2
x π⋅ ⎛ ⎞+ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2sin( 1002 )x xπ+ +
32004 sin 1000 22
x xππ⎛ ⎞+ ⋅ + + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
2004 2003sin( 1000 )x π π⋅ + + =
2 3sin 2004sin 2 2004 2003sin( )2
x x x x xπ π⎛ ⎞= ⋅ + + ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
Calculând 3 3 3sin sin cos cos sin2 2 2
x x xπ π π⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
si
Problema 12: Arătaţi că funcţiile următoare sunt inversabile şi calculaţi derivata de ordin I a funcţiei inverse în punctele indicate: a)Fie :[ ; ) [ 2; )f e e∞ → + ∞ , ( ) ln 1f x x x= + + . Calculaţi
( ) ( )1 23f e− ′ +
b)Fie :[1; ) [3; )f ∞ → ∞ , ( ) 3 1f x x x= + + . Calculaţi ( ) ( )1 11f − ′
c)Fie :[1; ) [4; )f ∞ → ∞ , ( ) 2 1xf x x= + + . Calculaţi ( ) ( )1 12f − ′
d)Fie :[1; ) [3; )f ∞ → ∞ , ( ) 2 ln 1xf x x= + + . Calculaţi ( ) ( )1 3f − ′ Soluţie parţială: a) Arătăm bijectivitatea:
( ) [ )1' 1 0, , injectivăf x x e f s fx
= + > ∀ ∈ ∞ ⇒ ⇒
sin 0 cos ( 1) cosx x x= ⋅ + ⋅ − = − sin( ) sin cosx xπ π+ = +cos sin sin ( 1) cos 0 sinx x x xπ+ = ⋅ − + ⋅ = −
2 (2004) 2( sin ) sin 2004cos 2 2004 2003sinx x x x x x x⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ =2sin ( 2004 2003) 4008 cosx x x x= − ⋅ − ⋅
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
184
( )( )
2lim surjectivă
continuăx
f e ef x f
f→∞
⎧ = +⎪⎪ = ∞⇒⎨⎪⎪⎩
Aşadar, f este bijectivă.
( ) ( ) ( ) ( )1 2 20
0
13 unde 3f e f x ef x
− ′ + = = +′
( ) 2 2 23 ln 1 3 ln 2f x e x x e x x e= + ⇔ + + = + ⇔ + = +
Observam ca 2x e= e solutie, cum f este bijectivă rezultă că 2x e=
e soluţie unică ( ) ( ) ( )1 2
2
13f ef e
− ′⇒ + =′
Cum ( ) ( )2
22 2
1 1 11 1 ef x f ex e e
+′ ′= + ⇒ = + = ⇒ ( ) ( )2
1 223
1ef e
e− ′ + =
+
( ) ( )2
22 2
1 1 11 1 ef x f ex e e
+′ ′= + ⇒ = + =
Problema 13: Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinii 0xindicate în fiecare caz pentru următoarele ecuaţii : a) 01 0 , 1;x x− = = b) 2
03 2 0 , 1;x x x− + = = c) 2
02 1 0 , 1;x x x− + = = d) 3 2
01 0 , 1;x x x x− + − = = e) 3 2
03 3 1 0 , 1;x x x x− + − = = f) 4 3 2
05 9 7 2 0 , 1;x x x x x− + − + = = g) 5 4 3 2
03 2 6 7 1 0 , 1;x x x x x x+ − + − − = =
h) 4 3 2011 44 50 48 0 , 2.x x x x x− + − + = =
i) 4 3 204 2 12 9 0, 1x x x x x+ − − + = =
Soluţie parţială:
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
185
i) Fie ( ) 4 3 24 2 12 9f x x x x x= + − − + ; ( )1 1 4 2 12 9 0f = + − − + = ,
( ) 3 24 12 4 12f x x x x′ = + − − , ( )1 4 12 4 12f ′ = + − − ,
( ) 212 24 4f x x x′′ = + − , ( )1 12 24 4 0f ′′ = + − ≠ ⇒ ordinul de
multiplicitate pentru 1α = este 2 caci ( ) ( )1 0, 1 0f f ′= = si
( )1 0f ′′ ≠ . Problema 14. a) Cercetaţi dacă funcţia ( ) 1 2f x x x x x= − + − e derivabilă pe .
b) Cercetaţi dacă funcţia ( ) ( )1 1f x x x= + − e derivabilă pe .
c) Cercetaţi dacă funcţia ( ) ( ) 21 1f x x x= + − e derivabilă pe .
d) Cercetaţi dacă funcţia ( ) ( )2 1 1f x x x= − − e derivabilă pe . Problema 15: Determinati a∈ astfel incat graficele lui f si g sa aiba o tangenta comuna intr-un punct de intersectie a curbelor . a) ( ) 2f x x= si ( ) 2 4 ,g x x x a a= − + + ∈ .
b) Fie ( )f x x= , ( ) 3g x x ax b= + + . Sa se determine a si b pentru care graficele celor doua functii sunt tangente in 1x = . c) Determinati coeficientul unghiular al tangntei in punctul ( )2;A e e la graficul functiei ( ): 0;f ∞ → , ( ) ln 1f x x x= + − .
Soluţie parţială: a) Fie α abscisa punctului de intersectie ( ) ( ).αα gf =⇒ Faptul ca cele 2 grafice au o tangenta comuna in acel punct inseamna ca panta tangentei este ( )'f α si ( )'g α , deci ( ) ( ).'' αα gf = Avem
deci sistemul ( ) ( )( ) ( ) ⎩
⎨⎧
=⇒+−=++−=
⇔⎩⎨⎧
==
14224
''
22
αααααα
αααα c
gfgf
Inlocuind in prima relatie 2411 −=⇒++−=⇒ cc
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
186
b) Faptul ca graficele celor doua functii sunt tangente in x=1 inseamna ca au un punct de intersectie si ca in acel punct au aceeasi tangenta, deci rationand ca la punctul anterior avem sistemul
(1) (1)(1) (1)
f gf g
=⎧⎨ ′ ′=⎩
.Cum pentru 10, ( ) ( )2
x f x x f xx
′≥ = ⇒ = ⇒
1(1) ;2
f ′ = 2( ) 3 (1) 3g x x a g a′ ′= + ⇒ = + ⇒ sistemul
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=⇔+=
=+⇔++=
25
253
21
011
bsiaa
baba .
c) Coeficientul unghiular al unei drepte este panta acelei drepte.Cum panta este '( ) '( )m f m f eα= ⇒ =
21 1 2 1'( ) 2 '( ) 2 ef x x f e ex e e
+= + ⇒ = + = .
Problema 16: Determinaţi intervalele de monotonie, punctele critice şi punctele de extrem ale funcţiilor următoare. Determinaţi mulţimea valorilor acestor funcţii: a) : ( 1;3]f − → , ( ) 4 3 23 20 48 48 1f x x x x x= − + − +
b) :f → , ( ) 3 2f x x=
c) : ( 1;5]f − → , ( ) 3 1f x x= + ;
d) : ,f → ( ) 2
1f xx
= .
e) : ,f → ( ) 2 6 8;f x x x= − + ;
f) : ,f → ( ) 2 6 9;f x x x= − +
g) : ,f → ( ) 2 6 8;f x x x= − + − ;
h) : ,f → ( ) 2 6 9;f x x x= − + −
i) : ,f → ( ) 2 ;2
xf xx+
=−
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
187
Soluţie parţială: a) ( ) 3 212 60 96 48f x x x x′ = − + − ⇒ ( ) ( )3 212 5 8 4f x x x x′ = − + − .
Cu Horner ⇒ ( )( )23 25 8 4 1 2x x x x x− + − = − − . Rezolvand
( ) 1 20 1; 2f x x x′ = ⇒ = = . Gasim semnul lui ( ) 0f x′ = . x 1 2 1x − -------0+++++++++++ ( )22x − ++++++++++++0+++
( )f x′ -------0+++++++0+++
Facem tabelul atasat functiei f ⇒ x -1 1 2 3
( )f x′ ---------------------0 +++++++++ 0 ++++++++++++
( )f x -16 -15
Deoarece 3 e capat inchis al domeniului ⇒ 3x = e punct de maxim, iar punctele de extrem sunt deci 1x = (puncte de minim),
3x = (maxim) iar 1x = si 2x = sunt puncte critice.
b) ( ) ( ) ( )2 1
3 2 3 323
f x x f x x f x x−
′⎛ ⎞′ ′= ⇒ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )3
23
f xx
′ = . ( ) 0f x′ ≠ nu are
radacini.
x 0 f ′ - - - - - - + + + + f 0
Evident domeniul lui f ′ este { }0− iar pentru a gasi semnul lui
f ′ , dam valori lui x in stanga si dreapta lui 0. Astfel ( ) 21 03
f ′ − = <−
;
( ) 21 03
f ′ = > , ( )0 0 0f x= ⇒ = e punct de extrem (minim) desi
nu e punct critic (caci nu ( )0f ′∃ )
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
188
c) : ( 1;5]f − → , ( ) 3 1f x x= + , ( ) 23f x x′ = ;
( ) 0 0f x x′ = ⇒ =
x -1 0 5 f ′ +++++++ 0 +++++++ f 1
( )0 1f = insa 0x = nu e punct de extrem caci f creste si pana la 0x = si de la 0x = in continuare. Singurul punct de extrem este 5x = iar punctul critic este 0x = .
d) ( ) 2
1f xx
= ; ( ) ( );0 0;fD = −∞ ∪ ∞ ,
( ) ( )2 33
22f x x xx
− − −′′ = = − = .
x 0 f ′ ++++++ +++++ f
Evident f pe ( );0−∞ , f pe ( )0;∞ insa 0x = nu e punct de extrem caci 0 fx D= ∉ si 0x = nu e nici punct critic. Problema 17: Determinaţi intervalele de concavitate şi convexitate, precum şi eventualele punctele de inflexiune pentru : ff D → : a) ( ) 3 1f x x= + , b) ( ) 3 29f x x x= +
c) ( ) 11
xf xx+
=−
, d) ( )2
xf xx
=−
e) ( ) xf x xe= , f) ( ) xf x x e= − g) ( ) lnf x x x= , h) ( ) lnf x x x= + Problema 18: Studiaţi dacă se poate aplica teorema lui Fermat în punctele indicate: a) [ ] ( ): 1,4 , 2 4, 1f f x x c− → = − =
b) ( ) ( ): 1,4 , 2 4, 2f f x x c− → = − =
c) ln , 1
: , ( ) ,1 , 1
x xf f x c e
x x≥⎧
→ = =⎨ − <⎩
d) 2 , 0
: , ( ) , 01 , 0
x xf f x c
x x⎧ ≤
→ = =⎨− >⎩
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
189
Problema 19: a) Fie , 0a b > . Dacă ,x xa b a b x+ ≥ + ∀ ∈ , arătaţi că a b a ba b e +⋅ = b) Fie , 0a b > . Dacă 3 , ,x x xa b c x+ + ≥ ∀ ∈ calculaţi c) Determinaţi a∈ astfel încât 2 3 4 ,x x x xa x+ ≥ + ∀ ∈ d) Să se determine ( )0,a∈ ∞ astfel încât 1 2 3 , .x x xa x+ ≥ + ∀ ∈
Soluţie parţială: a) Fie :f → , ( ) x xf x a b= + si observăm că ( )1f a b= + .
Relatia din enunt devine ( ) ( )1 , 1f x f x x≥ ∀ ∈ ⇒ = este punct de minim pentru f. Cum 1x = este punct interior domeniului din Teorema lui Fermat ( )1 0f ′⇒ = . Cum ( ) ln lnx xf x a a b b′ = + ⇒
( ) ln lnf a a a b b′ = + ⇒ ln lna ba b a b+ = + ⇒
( )ln a b a b a ba b a b a b e +⋅ = + ⇔ ⋅ = .
c) Fie ( )xfRRf ,: → = xxxx a 432 −−+ . Cum ( )0 0f = , din inegalitatea din enunţ ( ) ( )0 ,f x f x⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒
0x = e punct de extrem ( )' 0 0f⇒ = .Cum
( ) ( )' 2 ln2 ln 3 ln3 4 ln4 ' 0 ln2 ln ln3 ln4x x x xf x a a f a= + − − ⇒ = + − −
( ) 2' 0 ln .12
af = Cum ( ) 611220
122ln00' =→=→=→= aaaf .
Problema 20: Să se determine , ,a b d ∈ astfel încât funcţiile următoare să îndeplinească condiţiile din ipoteza teoremei lui Rolle. Determinaţi punctul c din teorema lui Rolle.
a) [ ]2 , 0
: 1,1 , ( ), 0
ax bx d xf f x
x x⎧ + + ≤
− → = ⎨>⎩
b) [ ]2 , 0
: 1,1 , ( )ln( 1) , 0
ax bx d xf f x
x x⎧ + + ≤
− → = ⎨+ >⎩
c) [ ] 2
ln(1 ) , 1: 0, 2 , ( )
4 , 1a x x e
f f xx x b x e⋅ + ≤ −⎧
→ = ⎨ − + > −⎩
.a b c⋅ ⋅
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
190
d) [ ] 2
sin , 1: 0,2 , ( )
( 3 2) , 1x x
f f xa x x x
π ≤⎧→ = ⎨ − + >⎩
e) [ ] ( ) [ )[ ]
2
2
, 1;0: 1;1 ,
4 4, 0;1x ax b x
f f xdx x x
⎧ + + ∈ −⎪− → = ⎨ + + ∈⎪⎩
Soluţie parţială: e)Verificăm cele 3 condiţii: f continuă pe [ ] f⇔− 1;1 continuă în x=0
( ) ( ) ( )0 0
0 0
lim lim 0 4x xx x
f x f x f b→ →< >
⇒ = = ⇔ =
f derivabilă pe ( )1,1− ⇔ f derivabilă în x=0 ⇔
( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 0
0 0lim lim
0 0x xx x
f x f f x fx x→ →
< >
− −=
− − ⇔
2
00
4 4lim0x
x
x axx→
<
+ + −=
−2
00
4 4 4lim0x
x
dx xx→
>
+ + −−
⇔ ( ) ( )0 0
0 0
lim lim 4 4x xx x
x a dx a→ →< >
+ = + ⇔ =
( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 4 1 4 1 4 1 4 7f f d d− = ⇔ − + − + = ⋅ + ⋅ + ⇔ = −
Pentru determinarea lui c, calculăm ( ) [ )[ ]
2 4, 1;0'
14 4, 0;1x x
f xx x
⎧ + ∈ −⎪= ⎨− + ∈⎪⎩ şi
cum ( )' 0,f c = calculăm pe cele 2 ramuri:
Caz I: [ ) ( ) [ )1;0 ' 0 2 4 0 2 1;0c f c c c∈ − ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − ∉ −
Caz II: [ ] ( ) [ ]20;1 ' 0 14 4 0 0;17
c f c c c∈ ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = ∈ .
Aşadar, punctul căutat este 72
=c
Problema 21. Găsiţi numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiilor: a) 3 26 9 12 0x x x+ + + = ; b) 4 3 23 20 48 48 16 0x x x x− + − + = ;
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
191
c) 3 3 4 0 ;x x− − = d) 3 23 2 0 ;x x+ − = e) 4 3 22 3 4 0.x x x+ + − = f) 2 ;xe x= + g) ln ;x x= h) 2 ;arctgx x= Soluţie parţială: a) 3 2: , ( ) 6 9 12f f x x x x→ = + + + ;
( )2 2'( ) 3 12 9 3 4 3f x x x x x= + + = + + ; { }'( ) 0 1; 3f x x= ⇒ ∈ − − x −∞ –3 –1 ∞
'( )f x 0 0 ( )f x −∞ 12 8 ∞
lim ( ) ; ( 3) 27 54 27 12 12 0x
f x f→−∞
= −∞ − = − + − + = >
( 1) 1 6 9 12 8 0; lim ( )x
f f x→∞
− = − + − + = > = ∞
Şirul lui Rolle este ( ); ; ;− + + + deci are o singură schimbare de
semn, rezultă că ecuaţia are o singură rădăcină reală ( )1 ; 3x ∈ −∞ −
b) 4 3 2: , ( ) 3 20 48 48 16f f x x x x x→ = − + − + ;
( )( )23 2'( ) 12 60 96 48 1 2f x x x x x x= − + − = − − , căci am descompus cu schema lui Horner; 1 2 3'( ) 0 1; 2f x x x x= ⇒ = = = x −∞ 1 2 ∞
'( )f x 0 0 ( )f x −∞ –1 0 ∞
lim ( ) ; (1) 3 20 48 48 16 1 0x
f x f→−∞
=∞ = − + − + =− <
(2) 48 160 192 96 16 256 256 0; lim ( )x
f f x→∞
= − + − + = − = = ∞
Şirul lui Rolle este ( ); ;0;+ − + . Trebuie să cercetăm ordinul de multiplicitate pentru 2.x = Cum (2) 0, '(2) 0f f= = , calculăm
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
192
2''( ) 36 120 96 ''(2) 144 240 96 0f x x x f= − + ⇒ = − + = , calculăm şi '''( ) 72 120 '''(2) 144 120 24 0f x x f= − ⇒ = − = ≠ deci ecuaţia are o
rădăcină reală ( )1 ;1x ∈ −∞ şi 2 2x = rădăcină triplă. Problema 22: Se consideră : ,ff D → să se determine ,a b∈astfel încât funcţia dată să satisfacă condiţiile din ipoteza teoremei lui Lagrange şi apoi să se aplice această teoremă în fiecare din cazurile:
a) [ ] ( ) [ )[ ]
2
2
2 4 , 1;0: 1;1 ,
4, 0;1x x a x
f f xx bx x
⎧ + + ∈ −⎪− → = ⎨ + + ∈⎪⎩.
b) [ ]2 , 1
: 0,2 , ( ) .1 , 1
x xf f x
ax x⎧ ≤
→ = ⎨− >⎩
c) [ ]3
2
2 , 2: 1,3 , ( ) .
, 2x ax x
f f xx b x
⎧ − ≤→ = ⎨
− + >⎩
d) [ ] [ ]( ]
, 1,0: 1,2 , ( ) .
, 0,2
xe xf f x
ax b x⎧ ∈ −⎪− → = ⎨ + ∈⎪⎩
Soluţie parţială: a) f continuă pe [ ]1;1− ⇔ f continuă în 0x = ( ) ( )0 0s dl l⇔ = ⇔
4a = ⇒ ( ) [ )[ ]⎩
⎨⎧
∈++−∈++
=1;0,4
0;1,4422
2
xbxxxxx
xf .
f derivabilă pe [ ]1;1− f→ derivabilă în 0x = ⇔ 2
00
2 4 4 4lim0x
x
x xx→
<
+ + −=
−
2
00
4 4lim0x
x
x bxx→
>
+ + −−
( ) ( )0 0
0 0
lim 2 4 lim 4x xx x
x x b b→ →< >
⇔ + = + ⇒ = ⇒ ( ) [ )[ ]
2
2
2 4 4, 1;04 4, 0;1
x x xf x
x x x⎧ + + ∈ −⎪=⎨ + + ∈⎪⎩
( ) [ )[ ]
4 4, 1;0'
2 4, 0;1x x
f xx x
⎧ + ∈ −⎪⇒ = ⎨ + ∈⎪⎩.
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
193
Din teorema lui Lagrange ∃⇒ ( )1;1−∈c astfel încât.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 ' 1 1 9 2 2 'f f f c f c− − = − − ⇔ − = ( ) 7'2
f c⇒ =
Caz I: ( ) ( ) ( )7 11;0 ' 4 4 4 4 1;02 8
c f c c c c∈ − → = + ⇒ + = ⇒ = − ∈ −
Caz II: [ ) [ )1;041
27421;0 ∉−=⇒=+⇒∈ ccc .Aşadar
81
−=c
Problema 23: Demonstraţi egalităţile: a) 2 2sin cos 1,x x x+ = ∀ ∈ .
b) [ ]arcsin arccos , 1,12
x x xπ+ = ∀ ∈ −
c) ,2
arctgx arcctgx xπ+ = ∀ ∈
d) ( )3 1 1arcsin 3 4 3arcsin 0, ,2 2
x x x x ⎡ ⎤− − = ∀ ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
e) 1 , 11 4
xarctgx arcctg xx
π−− = ∀ > −
+
f) ( ), 0,2
arctg x arcctg x xπ+ = ∀ ∈ ∞
g) [ ]2
2
1arccos 2 , 0,1
x arctgx xx
−= ∀ ∈ ∞
+
h) [ ]2
2arcsin 2 , 1,1
x arctgx xx
π+ ⋅ = ∀ ∈ ∞+
Soluţie parţială: a)Fie ( ) 2 2: , sin cosf f x x x→ = + . Folosim faptul că dacă
( )' 0f x = pe un interval atunci f constantă pe acel interval :
( ) ( )' 2sin cos 2cos sin 0f x x x x x f x k= − = ⇒ = constant,
Rx∈∀ . Cum ( ) =+= 0cos0sin0 22f 0+1=1 şi cum f constantă ( ) ⇒∈∀=⇒ Rxxf ,1 2 2sin cos 1,x x x R+ = ∀ ∈ .
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
194
Problema 24 Calculaţi următoarele limite:
a) lnlimx
xx→∞
; b) 30
sin coslimx
x x xx→
− ⋅
c) ( )20
1 cos ln coslimx
x xx→
− −; d)
2
0
1sinlim
sinx
xx
x→
⋅
e) sinlimsinx
x xx x→∞
−+
f) 3
30
1limsin
x
x
ex→
−
g) 2
0
1coslimx
xx
tgx→
⋅; h) 2
20
1limx
ctg xx→
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
;
i) 1
lnlim
2x
xarctgxπ
→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
; j)
1
200
limx
xx
xetg x
−
→>
;
k) ( )1
00
1lim
x
xx
x ex→
>
+ −; l)
2
lim ;x
x
ex→∞
Soluţie parţială:
a) 01
1
limlnlim'
==∞→
∞∞
∞→
xxx
xHlx
b)00
3 20 ' 0
sin cos cos cos sinlim lim3x l H x
x x x x x x xx x→ →
− − += =
0 0
sin 1 sin 1lim lim3 3 3x x
x xx x→ →
= ⋅ =
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
195
c)00
20 ' 0
1sin ( sin )1 cos ln(cos ) coslim lim2x l H x
x xx x xx x→ →
− ⋅ −− −= =
0
1sin (1 )coslim
2x
xx
x→
+ 1
2cos
11sinlim0
=+
⋅=→
xx
xx
d)x
xxx
xxx
xx
x
xx
x
xxHlx cos
1cos1sin2lim
cos
)1(1cos1sin2lim
sin
1sinlim
0
22
0
00
'
2
0
−=
−⋅+=
→→→
Cum xx
1coslim0→
nu exista , putem aplica regula lui l’Hopital.
Calculam altfel: 01sinlim1sinsin
lim00
==⋅→→ x
xx
xx
xxx
e)xx
xxxx
xHlx cos1cos1lim
sinsinlim
' +−
=+−
∞→
∞∞
∞→ care nu exista , deci nu putem aplica
regula lui l’Hopital. Incercam sa calculam altfel:
1sin11
sin11lim
)sin11(
)sin11(lim =
+
−=
+
−
∞→∞→x
x
xx
xx
x
xx
x
xx caci 0sin1lim =
∞→x
xx
deoarece 01→
x iar ]1;1[sin −∈x .
f)xx
xex
e x
xHl
x
x cossin33lim
sin1lim 2
2
0
00
'30
33
⋅⋅
=−
→→ si daca aplicam recursiv se
complica . Calculam altfel: 1ln1limsin
1lim 30
3
30
33
==−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
−→→
ex
ex
xx
e x
x
x
x
g) 01coslim1coslim00
==⋅→→ x
xx
xtgxx
xx
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
196
h)
1 1 12
2 20 0 00 0 0
lim lim limx x x
x x xx x x
xe x e etg x tg x x x
− − −
→ → →> > >
= ⋅ = =
2
1 1 10 ' 0 00 0 0
2
1 11lim lim lim 0
1( )x l H x x
x x xx x x
x x
e e ex
∞∞
→ → →> > >
−= = =
−.
i)2 2 2 2
2 2 2 20 0
1 cos sin coslim limsin sinx x
x x x xx x x x→ →
⎛ ⎞ −− = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2 30
(sin cos )(sin cos )limsinx
x x x x x x xx x x→
− +⋅
⋅
32cossinlim
31cossin
311lim
00=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+⋅⋅=
→→x
xx
xxxx
xx .
j) earctgxx
arctgxx
x
x=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞→∞→ 2ln
ln1lim
2lim
00ln1
ππ
Fie
2
1 '
1 11ln
2 2lim lim 1lnx l H x
xarctgx arctgxl
xx
π π−∞∞
→∞ →∞
−⋅⎛ ⎞ +− −⎜ ⎟⎝ ⎠= = =
( )
02 0
'2
1lim lim1
22x x l H
xx x
arctgxarctgx xππ→∞ →∞
−− += =
⎛ ⎞ −− +⎜ ⎟⎝ ⎠
2
22 2
2
2
1(1 ) 21(1 )lim lim 11 (1 )
1x x
x x xxx
xx
→∞ →∞
− + + ⋅−+ = = −
− +−+
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
197
k)
1 010
20 ' 00 0
(1 ) 1 1 1lim lim(1 ) ln(1 )1
xx
x l H xx x
x e x xx x x x→ →
> >
+ − ⎛ ⎞= + − + + ⋅ =⎜ ⎟+⎝ ⎠1
200
( 1) ln( 1)lim(1 )( 1)
xxx
x x xxx x→
>
− + ++ ⋅
+
Fie 00
1 3 2 20 ' 00 0
( 1) ln( 1) 1 ln( 1) 1lim lim3 2x l H x
x x
x x x xlx x x x→ →
> >
− + + − + −= = =
+ +
00
20 ' 00 0
1ln( 1) 11lim lim
3 2 6 2 2x l H xx x
x xx x x→ →
> >
−− + += = −+ +
. Cum 2
)1(lim1
00
elex x
xx
−=⇒=+>→
.
Problema 25: Calculaţi următoarele limite:
a) lnlim ;2 1x
xx→∞ +
b) 2 2 3lim ;ln( 2)x
x xx→∞
+ ++
c) 2 lnlim ;
2 lnx
x x xx x→∞
− ++
d) 2 2
ln( )lim ;ln( )
x
xx
x ex e→∞
++
e) 2lim .1
x
x
x ex→∞
⋅+
f) 0
1 1lim ;sinx
xx→
+ −
g) 0
cos 2 coslim ;sinx
x xx x→
−⋅
h) 0
2sinlim ;1 cosx
xx x→ + −
i) 5
6 31
1lim ;2 3x
xx x→
−+ −
j) 3
62
8lim ;64x
xx→
−−
k) 20
1 3lim .x
cos xx x→
−+
; l) 2
lim ;x
x
ex→∞
Problema 26: Calculaţi următoarele limite:
a) 2
2
coslim3sinx
x xx x→∞
++
b) 1
1
ln( 1)lim
2xx
x x
tgxπ→
>
− −
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
198
c) 0
lim ;sin
x x
x
e ex
−
→
− d) ( )2
2
ln(sin )lim ;2x
xxπ π→ −
e) 20
1lim ;x
ctgxx x→
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
f) 220
1lim .x
ctg xx→
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
g) 0
1 1lim ;ln( 1)x x x→
⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠
h) 2 1lim ln ;x
xx xx→∞
+⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
i) 1lim ;1 1x
x xx arctg arctgx x→∞
−⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ j) lim .
4 1x
xx arctgx
π→∞
⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟+⎝ ⎠
Problema 27: Calculaţi următoarele limite:
e) 0
0
lim ;x
xx
x→>
f) ( ) 21
0lim cos ;x xx
x +→
g) sin
20
1lim ;x
x x→
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
h) ( )1
lim ;x
xx
→∞
e) ( )sin
00
lim ;x
xx
x→>
f) 2
1
0lim .
x
x
tgxx→
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
g) 1
lim ;2 1
x
x
xtgxπ
→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
h)
Problema 28: Calculaţi lim nn
x→∞
, unde:
a) lnn
nxn
=
b) ln2 1n
xxn
=+
c) lnn n
nxe
=
d) 2 1
n
nn exn⋅
=+
Soluţie parţială:
1ln
lim ;2
x
xarctgxπ
→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
199
a) deşi e cazul ∞∞
nu putem folosi direct l’Hopital căci n∈ şi deci
funcţiile ln n şi n nu sunt derivabile. Fie deci ln( ) nf nn
= ⇒
( ) ln: 1; ; ( ) xf f xx
∞ → = . Calculăm
( )1
lnlim lim lim 01x x x
x xf xx
∞∞
→∞ →∞ →∞= = = , deci şi lnlim 0
n
nn→∞
=
Problema 29: Demonstraţi inegalităţile: a) 1,xe x x≥ + ∀ ∈ ; b) sin , 0x x x≤ ∀ ≥ c) , 0x arctgx x≤ ∀ ≤ d) , 0arctgx x x≤ ∀ ≥ e) ( )ln 1 , 1x x x+ ≤ ∀ ≥ − f) ( )2ln 1 , 0x x x+ ≥ ∀ ≤ Soluţie parţială: a) Fie ( ) 1, :f x e x f= − − → ; ( ) 1xf x e′ = − ;
( ) 0 0f x x′ = ⇔ = . Facem tabelul atasat functiei: Calculam ( ) 00 0 1 0f e= − − =
x 0 f ′ ---------0++++++ f 0
( ) 0,f x x⇒ ≥ ∀ ∈ 1,xe x x⇒ ≥ + ∀ ∈
b) Fie ( ) sinf x x x= − , ( ) cos 1f x x′ = − . Ecuatia cos 1x = are o
infinite de solutii , { }2x k kπ∈ ∈ insa cum f continua si
cos 1x ≤ ⇒ ( ) 0,f x′ ≤ ∀∈ . x 2π− 0 2π f ′ ---------0 ------ 0 --------0----------- f 0
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
200
Cum ( )0 sin 0 0 0f = − = ⇒ ( ) 0, 0f x x≤ ∀ ≥ si evident
( ) 0, 0f x x< ∀ > ⇒ sin , 0x x x≤ ∀ ≥ si sin , 0x x x< ∀ >
f) ( ) xx >+1ln 2 . Condiţii: Rxx ∈→>+ 012 Fie ( ) ( )2: , ln 1f f x x x→ = + −
( ) ( ) 011
11212' 2
2
2
2
2 ≤+−−
=+−−
=−+
=xx
xxx
xxxxf şi ( ) 10' =↔= xxf .
x 1 f ’ - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - - f ln2-1 Calculăm ( ) 012ln <−=xf căci <→< 212ln е adevărat . Noi trebuie să găsim x astfel încât ( ) 0<xf şi cum f este strict descrescătoare evident x <1 ; Încercăm ( ) 001ln00 =−=→= fx .Cum ( ) 00 =f şi f este strict descrescătoare ( ) 0,0 >∀<→ xxf .Soluţia este aşadar ( )∞,0 .
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
201
Capitolul 20 REPREZENTAREA GRAFICĂ A
FUNCŢIILOR Problema 1:. Reprezentati grafic următoarele funcţii şi discutaţi grafic numărul de rădăcini ale ecuaţiei f(x)=m.
a) 3 2( )f x x x= + b) 1( )f x xx
= +
c) 3( ) 3 2 ;f x x x= − + d) 3( ) 2 ;f x x x= + −
e) 3
2( ) ;1
xf xx
=−
f) 2 16( ) ;xf x
x−
=
g) 1( ) ;1
xf xx−
=+
h) 2
1( ) ;1
xf xx−
=−
Soluţie parţială: a) 3 2( )f x x x= + 1) domeniul de definitie fD = simetric, calculam
3 2( ) ( )f x x x− = − + ⇒ f nu e para, f nu e impara, f nu e periodica; 2) :axele∩
ffXf GOfDXOG ∈⇒=⇒∈= )0;0(0)0(0:∩ ; 3 2
1 2: ( ) 0 0 0, 1f XG O f x x x x x= ⇒ + = ⇒ = = − ⇒∩( 1,0) ; (0;0)f fA G O G− ∈ ∈
Limitele la capete: 3 2 3lim ( ) lim ( ) limx x x
f x x x x→−∞ →−∞ →−∞
= + = = −∞ 3 2 3lim ( ) lim( ) lim
x x xf x x x x
→∞ →∞ →∞= + = = ∞
Asimptote Asimptote orizontale:Din lim ( ) şi lim ( ) fx x
f x f x G→−∞ →∞
= −∞ = ∞⇒ nu
are asimptote orizontale
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
202
Asimptote oblice:Deoarece ( )3 2
3 2lim lim fx x
x x x x Gx→±∞ →±∞
+= + = ∞⇒
nu are asimptote oblice. Deoarece nu exista in care f nu e definita rezulta Gf nu are asimptote verticale. 3)f continua pe R 2'( ) 3 2f x x x= + . Ecuatia f ’(x) = 0 are solutiile
1 220,3
x x= = − care sunt puncte critice pentru f si 274)
32( =−f
f(0)=0, f ’’(x)=0 11 1 8,3 3 27
x f −⎛ ⎞⇔ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
. Semnul lui f ’ si f ’’ se
poate determina direct, nu e nevoie de tabel separat. 4)tabelul de variaţie x
∞− -1 32−
31
− 0 ∞
f ’’ - - - - - - 0 + + + + f ’ + + + 0 - - - 0 + + f
∞− 0 274
272 0 ∞
B(274;
32− ) punct de maxim; C(
272;
31− ) punct de inflexiune;
O(0;0) punct de minim; A(-1;0)intersectia cu xO 5)trasarea graficului
6)discutia numarului de radacini pentru m<0 ecuatia are o radacina , 11 −<x pentru m=0 ecuatia are 2 radacini 11 −=x si 02 =x
pentru m ⇒−∞∈ )274;( ecuatia are 3 radacini
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
203
);0();0;32();
32;1( 321 ∞∈−∈
−−∈ xxx
pentru m = ⇒274 ecuatia are 2 radacini, 0;
32
21 >−= xx
pentru m> ⇒274 ecuatia are o radacina, 01 >x
b)x
xxf 1)( +=
1)Domeniul de definitie: Conditia { }0\0 ℜ=⇒≠ fDx fD simetric fata de O,
⇒−=−−=− )(1)( xfx
xxf f impara, deci fG simetric fata de O.
Vom trasa graficul doar pe );0( ∞ , urmand sa ducem apoi simetricul acestui grafic fata de O. f nu e periodica; 2)∩ cu axele: f: 0 deci G f yOy x D O= ∉∩ ∩
2 1: ( ) 0 0,care nu are soluţii fxOx f x G Ox
x+
= ⇔ = ⇒∩ ∩
limite la capete:
0 00 0
1lim ( ) lim( )x xx x
f x xx→ →
> >
= + = ∞ 1lim ( ) limx x
f x xx→∞ →∞
⎛ ⎞= + = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Studiem functia doar pe );0( ∞ , deci nu are rost sa calculam limita spre -∞ . asimptote orizontale : Din lim ( )
xf x
→∞= ∞ fG⇒ nu are as orizontala
spre ∞ .
asimptote oblice : =+
==∞→∞→ x
xx
xxfm
xx
1
lim)(lim
Rxx
∈=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∞→111lim 2 , calculam ( ) =−=
∞→xxfn
x)(lim
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
204
01lim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
∞→x
xx
x xy =⇒ asimptota oblica spre ∞ .
asimptote verticale : deoarece ∞=>→
)(lim00
xfxx
0=⇒ x
asimptota vericala la dreapta .
3) f continua pe ( )∞;02
2 2
1 1'( ) 1 xf xx x
−= − = , deci f derivabila pe
( )∞;0 . Ecuatia 012 =−x are radacinile 11 −=x , 12 =x insa in cazul nostru 12 =x e singura radacina in ( )∞;0 .
( )2 32 3
1 2''( ) 1 ' ' 2f x x xx x
− −⎛ ⎞= + = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠
care nu
are radacini pe ( )∞;0 . 4) tabel de variatie :
)2;1(A punct de minim
5) trasarea graficului : )1E hasuram portiunea care nu e
in domeniul de lucru )2E trasam asimptotele xy =
asimptota oblica si 0=x asimptota verticala
)3E punem punctele )2;1(A , );0( ∞+ si );( ∞∞ şi trasăm
graficul de sus )4E deoarece f impara fG→
simetric fata de O, deci graficul
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
205
final va fi cel alăturat
6) discutia numarului de radacini : pentru ⇒−< 2m 2 radacini, )1;(1 −−∞∈x , )0;1(2 −∈x pentru →−= 2m o radacina, 11 −=x pentru →−∈ )2;2(m ecuatia nu are radacini reale pentru →= 2m o radacina 11 =x pentru →> 2m 2 radacini, )1;0(1 ∈x , 12 >x Problema 2:. Reprezentati grafic următoarele funcţii şi discutaţi grafic numărul de rădăcini ale ecuaţiei f(x)=m.
a) ( )2( )
1xf x
x=
− b) xxxf 23)( 3 2 −=
c) 3( ) 3 2 ;f x x x= − + d) 3( ) 2 ;f x x x= + −
e) 3
2( ) ;1
xf xx
=−
f) 2 16( ) ;xf x
x−
=
g) 1( ) ;1
xf xx−
=+
h) 2
1( ) ;1
xf xx−
=−
Soluţie parţială:
a) ( )21
)(−
=x
xxf
1) Domeniul de definitie : );1()1;0[}1{\);0[ ∞∪=∞=fD
fD nu e multime simetrica, deci f nu e para nici impara, asadar
fG nu are simetrii, f nu e periodica. 2) intersectia cu axele :
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
206
OyG f ∩ : 0)0(0 =→∈= fDx f fGO ∈⇒ )0;0(
OxG f ∩ : 0)(0 =→= xfy 00)1( 2 =→=
−⇒ x
xx
fGO ∈→ )0;0(
limite la capete : 0)0( =f ; ∞=−
+
<→
01
211 )1(
limx
x
xx
∞=−
+
>→
01
21.1 )1(
limx
x
xx
; 0)1(
lim 2 =−∞→ x
xx
asimptote orizontale : Din 00)(lim =→=
∞→yxf
x asimptota orizontala spre ∞
asimptote oblice : Deoarece fG admite asimptota orizontala spre ∞ fG→ nu admite asimptote oblica asimptote verticale : Din ∞=
<→
)(lim11
xfxx
; ∞=>→
)(lim11
xfxx fG⇒ admite pe 1=x asimptota
verticala la stanga si la dreapta 3) f continua pe { }[0; ) \ 1∞
22
4 4
1 ( 1) 2( 1)( 1) 4 ( 1)2'( )
( 1) ( 1)
x x xx x xxf x
x x
− − ⋅ −− − −
= = =− −
4)1(2)13)(1(
−+−−
=xx
xx , );1()1;0( ∞∪∈∀x . '( ) 0f x = ↔
11 ,3f fx D x D= ∉ = − ∉ → fG nu are puncte de extrem
Evident f nu e derivabila in 0=x , nici in 1=x . Deoarece ''( )f x are o forma prea complicata , nu o mai calculam .
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
207
4) tabel de variatie : x 0 1 ∞ f’(x) ++++++++++++ – – – – – – – – – – – – – f’’(x) ∞
0 ∞ 0
5) Graficul :
6) Discutia numarului de radacini : pentru →< 0m ecuatia nu are radacini pentru →= 0m ecuatia are o radacina, 01 =x pentru →> 0m ecuatia are 2 radacini, )1;0(1 ∈x , ( )2 1;x ∈ ∞
b) 3 2( ) 3 2f x x x= − 1)Domeniul de definitie
fD = care e multime simetrica, însă ( ) ( )f x f x− ≠ şi
( ) ( )f x f x f− ≠ − ⇒ nu e functie para, nici functie impara; f nu e periodica. 2) Intersectia cu axele
: 0 (0) 0 (0;0) fOy x f O G∩ = → = → ∈
3 2: 0 ( ) 0 3 2 0Ox y f x x x∩ = ⇒ = ⇒ − = 3 23 2x x⇔ = . Ridicand la puterea a treia 2 327 8x x⇒ = ( )2 27 8 0x x⇔ − =
1 227 270, ;02 2 fx x A G⎛ ⎞⇔ = = ⇒ ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠
Limite la capete
( )3 2lim ( ) lim 3 2 lim ( 2 )x x x
f x x x x→−∞ →−∞ →−∞
= − = − = ∞
( )3 2lim ( ) lim 3 2 lim( 2 )x x x
f x x x x→∞ →∞ →∞
= − = − = ∞
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
208
Asimptote orizontale Din lim ( )
xf x
→−∞= ∞ si lim ( ) fx
f x G→∞
= −∞⇒ nu are asimptote
orizontale. Asimptote oblice
catre −∞ : 3 2( ) 3 2lim 2
x
f x x xmx x→−∞
−= = = − ∈
( )3 2lim ( ( ) ) lim 3 2 2x x
n f x mx x x x→−∞ →−∞
= − = − + = ∞ fG∉ ⇒ nu are
asimptote oblice. Analog pentru ∞ : m=-2∈ , n=∞ fG∉ ⇒ nu are asimptote oblice. Asimptote verticale : Deoarece f continua pe , rezulta ca graficul lui f nu are asimptote verticale. 3) f continua pe
23'( ) 3 2f x x x
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
13
3
2 23 2 23
xx
−= ⋅ − = = −
Deoarece ' (0)sf = −∞ , ' (0)df = ∞ si cum f continua in x=0⇒x =0
punct de intoarcere pentru fG şi3
1'( ) 0 1 1f x xx
= ⇔ = ⇔ =
Evident '( ) 0f x > pentru ( )0;1x∈ si '( ) 0f x < pentru
( ) ( );0 1;x∀ ∈ −∞ ∪ ∞ Cum 3 4
2"( )3
f xx
= − , 0x ≠ si f concava pe
fD , fG nu are puncte de inflexiune. 4) Tabel de variatie x
−∞ 0 1 278
∞
f ’’(x) – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – f ’(x) – – – – – – −∞ ∞+ 0 – – – – – – – – – – – – f ∞ 1
0 0 –∞
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
209
Se observa ca O(0;0) e punct de minim local si B(1 ;1) e punct de maxim local. 5) Trasarea graficului 6) Discutia numarului de radacini
pentru m<0 ecuatia are o singura radacina 1278
x >
pentru m=0, ecuatia are doua radacini : 1 0x = si 2278
x =
pentru m∈(0 ;1), ecuatia are 3 radacini, 1 0x < , ( )2 0;1x ∈ ,
3271;8
x ⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠
pentru m=1, ecuatia are 2 radacini : 1 0x < , 2 1x = pentru m>1, ecuatia are o radacina : 1 0x <
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
210
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
211
Capitolul 21 PRIMITIVE
Problema 1: Să se precizeze în fiecare caz care dintre următoarele funcţii :F → reprezintă o primitivă pentru funcţia : f →indicată: a) 2( ) , ( ) 2 ;F x x f x x= = b) 2( ) + , ( ) 2 ;F x x x f x x= = c) 2( ) +1 , ( ) 2 ;F x x f x x= = d) 2( ) +3 , ( ) 2 ;F x x f x x= = Problema 2.:Studiaţi dacă funcţiile : f → admit primitive:
a) 1, 1
( )2 , 1x x
f xx x+ <⎧
= ⎨ ≥⎩ b)
1, 1( )
2 , 1x x
f xx x− <⎧
= ⎨ ≥⎩
c) 1, 2
( )2 , 2x x
f xx x+ <⎧
= ⎨ ≥⎩ d)
2, 2( )
2 , 2x x
f xx x+ <⎧
= ⎨ ≥⎩
Soluţie parţială: a) Cercetam dacă f continuă. Evident, f este continuă pe ( ),1−∞ şi
pe ( )1,∞ ca şi funcţie elementară, studiem continuitatea în 1x =
1 11 1
1 11 1
lim ( ) lim( 1) 2
lim ( ) lim(2 ) 2 continuă în 1
(1) 2
x xx x
x xx x
f x x
f x x f x
f
→ →< <
→ →> <
= + = ⎫⎪⎪= = ⇒ =⎬⎪⎪= ⎭
Aşadar, f continuă pe ⇒ f admite primitive pe b) Cercetam dacă f continuă. Evident, f este continuă pe ( ),1−∞ şi
pe ( )1,∞ ca şi funcţie elementară, studiem continuitatea în 1x =
1 11 1
1 11 1
lim ( ) lim( 1) 0
lim ( ) lim(2 ) 2 1
(1) 2
x xx x
x xx x
f x x
f x x x
f
→ →< <
→ →> <
= − = ⎫⎪⎪= = ⇒ =⎬⎪⎪= ⎭
este punct de discontinuitate de
prima speţă ⇒ f nu admite primitive pe
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
212
Problema 3.:Studiaţi dacă funcţiile : f → admit primitive:
a) 2
2 ,( )
, \
x xf x
x x⎧ ∈
= ⎨∈⎩
b) 2 ,
( )2 , \x
x xf x
x⎧ ∈
= ⎨∈⎩
Soluţie parţială: a) Vom arăta că f nu are proprietatea lui Darboux. Presupunem că f Db∈ . Fie ( ) ( ) ( )( )64 63,65 63 , 65f fλ = ∈ = . Presupunem
că ( )63, 65c∃ ∈ astfel încât ( ) 64f c = . Sunt 2 posibilităţi
( )2
( ) 2 64 6 63, 65 , contradicţie
\ ( ) 64 8 ,contradicţie cu \
cc f c c
c f c c c c
∈ ⇒ = = ⇒ = ∉
∈ ⇒ = = ⇒ =± ∈ ∈, deci
nu există c cu proprietatea că ( )f c λ= b) Vom arăta că f nu are proprietatea lui Darboux. Presupunem că f Db∈ . Fie ( ) ( ) ( )( )2 264 63,65 log 63 , log 65f fλ = ∈ = .
Presupunem că ( )2 2log 63, log 65c∃ ∈ astfel încât ( ) 64f c = . Sunt 2 posibilităţi
( )22 2( ) 64 8 log 63,log 65 , contradicţie
\ ( ) 2 64 8 ,contradicţie cu \ c
c f c c cc f c c c∈ ⇒ = = ⇒ =± ∉∈ ⇒ = = ⇒ = ∈ ∈
, deci
nu există c cu proprietatea că ( )f c λ= Problema 4.:Studiaţi dacă funcţiile : f → admit primitive:
a) , 0
( ) 1 1 1sin cos , 0
x xf x
xx x x
≤⎧⎪= ⎨
− >⎪⎩
b) 1 12 sin cos , 0
( )0, 0
x xf x x x
x
⎧ − ≠⎪= ⎨⎪ =⎩
Soluţie parţială:
a) Observăm că '
2
1 1 1 1sin sin cosx xx x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
deci o posibilă
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
213
primitivă pentru ( )f x este
2
1
2
, 02( )
1sin , 0
x C xF x
x C xx
⎧+ ≤⎪⎪= ⎨
⎪ + >⎪⎩
Mai trebuie pusă condiţia ca F derivabilă şi ' ( ) ( )F x f x= . Pentru ca F derivabilă este necesar ca F să fie continuă, deci e necesar ca F să fie continuă în 0x =
1 2 10 00 0
lim ( ) lim ( ) (0)x xx x
F x F x F C C C→ →< >
= = ⇔ = = , deci am determinat
relaţia între constante.
2
, 02( )
1sin , 0
x C xF x
x C xx
⎧+ ≤⎪⎪⇒ = ⎨
⎪ + >⎪⎩
Dar F derivabilă F⇒ derivabilă în 0x =
0
( ) (0)lim0x
F x Fx→
−⇒ ∃ ∈
− 0 00 0
( ) (0) ( ) (0)lim limx xx x
F x F F x Fx x→ →
< >
− −⇒ =
2
0 00 0
1sin2lim lim
x xx x
x x C CC Cx
x x→ →< >
+ −+ −⇒ =
0 00 0
1lim limsin .2x x
x x
xx→ →
< >
⇒ =
Cum 0
0
1limsinxx x→>
nu există F⇒ nu e derivabilă în 0x f= ⇒ nu
admite primitive. b) Observăm că o posibilă primitivă pentru f este
21
2
1sin , 0( )
, 0
x C xF x x
C x
⎧ + ≠⎪= ⎨⎪ =⎩
Mai trebuie pusă condiţia ca F derivabilă şi ' ( ) ( )F x f x= . Pentru ca F derivabilă este necesar ca F să fie continuă, deci e necesar ca F să fie continuă în 0x =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
214
1 20lim ( ) (0)x
F x F C C→
= ⇔ = , deci am determinat relaţia între
constante. 2 1sin , 0
( ), 0
x C xF x x
C x
⎧ + ≠⎪= ⎨⎪ =⎩
Dar F derivabilă F⇒ derivabilă în 0x = 2
0 0
1sin( ) (0)lim lim0x x
x C CF x F xx x→ →
+ + −−∃ ∈ ⇒ =
−
0
1lim sin 0 (0) 0x
x Fx→
′= = ∈ ⇒ = Aşadar, f admite primitive.
Problema 5: Să se determine ,a b∈ astfel încât :F → să fie o primitivă a funcţiei :f → în fiecare dintre cazurile următoare: a) 2 3( ) , ( ) ;f x ax b F x x x= + = + b) 2 3 2( ) , ( ) ;f x ax x F x x bx= + = + c) 2 3( ) 2cos 3 3 , ( ) sin 4;f x x x F x a x x bx= + + = + + + d) ( ) ( )2 2 2( ) 4 4 , ( ) 1 ;x bxf x e x F x ax e+ += ⋅ + = + ⋅ Problema 6: Folosind formulele de integrare, calculaţi mulţimea primitivelor următoarelor funcţii:
a) ( ) 3 23: 0, , ( ) ;g g x xx
∞ → = +
b) ( ) 29 6: 0, , ( ) ;
9g g x
xx∞ → = +
+
c) ( ) 64: 0, , ( ) ;g g x x x∞ → = + d) ( ): 0, , ( ) 2 ln 3 ;g g x x x∞ → = +
e) ( ) 2: 0, , ( ) 4 5 7ln ;g g x x x x∞ → = + −
f) ( ) 4: 0, , ( ) 2 4 5cos 3ln .xg g x e x x x∞ → = − + −
g) ( ): 0, , ( ) 2 5cosxg g x x x∞ → = − +
h) ( ): 0, , ( ) 5 3ln .xg g x e x ctgx x∞ → = + + −
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
215
Problema 7: Să se arate că următoarele funcţii :f → admit primitive pe :f → şi să se determine, în fiecare caz, câte o primitivă:
a) 1 , 0( ) ;2 sin , 0
xe xf xx x
⎧ + ≤⎪= ⎨− >⎪⎩
b) 1 , 0( ) ;sin , 0
xe xf xx x
⎧ − ≤⎪= ⎨>⎪⎩
c) 2 , 1( ) ;ln , 1
x x xf xx x
⎧ − ≤⎪= ⎨>⎪⎩
d) 2
2
1 , 12( ) ;
, 13
xxf x
x x
⎧ ≤⎪ +⎪= ⎨⎪ >⎪⎩
Problema 8: Folosind metoda integrării prin părţi, calculaţi integralele nedefinite: a) ( )ln , 0,x xdx x∈ ∞∫ b) ( )2 ln , 0,x xdx x∈ ∞∫
c) ( )1 ln , 0, ;x dx xx⋅ ∈ ∞∫ d) ( )2ln , 0, ;x x dx x∈ ∞∫
e) ;xx e dx⋅∫ f) 2 ;xx dx⋅∫
g) ( )2 1 , ;xx e x− ⋅ ∈∫ h) ( )2 1 ;xx e dx+ ⋅∫
Soluţie parţială:
a) 1( ) ln '( ) f x x f xx
= ⇒ =
2
'( ) ( ) 2xg x x g x xdx= ⇒ = =∫
2 2 21ln2 2 2x x xI x dx
x= ⋅ − ⋅ =∫ =>
2 1ln2 2xI x xdx= ⋅ − ∫
2 21ln2 2 2x xI x C⇒ = ⋅ − ⋅ +
d) ( )2 1( ) ln 2 lnf x x f x xx
= ⇒ = ⋅
( )2
( )2xg x x g x= ⇒ =
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
216
22ln
2xI x⇒ = - lnx xdx∫ . Notăm 1 lnI x xdx= ∫
pentru 1I : 2
1( ) ln '( )
x'( ) ( ) = 2
f x x f xx
g x x g x xdx
⎧⎪⎪ = ⇒ =⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = ⇒ =⎪⎪⎪⎩ ∫
2
1 ln2xI x⇒ = - 21
4x C+
2 22 21ln ln
2 2 4x xI x x x C⇒ = − + +
Problema 9: Folosind metoda integrării prin părţi, calculaţi integralele nedefinite: a) sinx xdx∫ b) cosx dx∫
c) 2 sinx xdx∫ d) 2 cosx xdx∫
e) ln xdx∫ f) 2ln xdx∫
g) 2
ln x dxx∫ h) 3
ln x dxx∫
Problema 10: Folosind metoda integrării prin părţi, calculaţi integralele nedefinite: a) ;xx e dx−⋅∫ b) ( ) ( )2 ln 2 , 0,x x dx x∈ ∞∫
c) ( )3 ln3 , 0, ;x x dx x⋅ ∈ ∞∫ d) ( )3 ln , 0, ;x x dx x⋅ ∈ ∞∫
e) sin 2x xdx∫ f) cos 2x xdx∫
g) 2 sin 2x xdx∫ h) 2 cos3x xdx∫ Problema 11: Calculaţi: a) 2 3x dx−∫ b) 2 4x dx−∫
c) 2 5x dx−∫ d) 2 3x dx+∫
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
217
Soluţie parţială:
a) 2 2
2
2 2 2
3 13 33 3 3
x xx dx dx dx dxx x x−
− = = −− − −
∫ ∫ ∫ ∫
2
1 2Pentru , fie
3xI dx
x=
−∫
2
2 2
( ) '( ) 1
'( ) ( ) 33 3
f x x f xx xg x g x dx x
x x
= ⇒ =
= ⇒ = = −− −
∫2 2 2
1 13 3 3I x x x dx I x x I⇒ = − − − ⇒ = − −∫2
2 2
1 ln 33
I dx x x Cx
= = + − +−
∫2 2
1 23 3 3ln 3I I I I x x I x x⇒ = − ⇒ = − − − + − ⇒
( )2 21 3 3ln 32
I x x x x C⇒ = − − + − +
Problema 12: Să se găsească câte o relaţie de recurenţă pentru calculul fiecăreia dintre următoarele integrale nedefinite: a) , ;n x
nI x e dx x= ⋅ ∈∫
b) 2 , ;n xnI x dx x= ⋅ ∈∫
c) cos , ;nnI x x dx x= ⋅ ∈∫
d) sin , ;nnI x x dx x= ⋅ ∈∫
e) sin , ;nnI x dx x= ∈∫
f) cos , ;nnI x dx x= ∈∫
Soluţie parţială: a) '( ) ( )x xg x e g x e= ⇒ = 1( ) '( )n nf x x f x nx −= ⇒ =
11
n x n x n xn n nI x e n x e dx I x e nI−
−⇒ = − ⇒ = −∫
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
218
trebuie calculat 1 ?I =
1xI xe dx= ∫
( ) '( ) 1'( ) ( )x x
f x x f xg x e g x e
= ⇒ =
= ⇒
1 1x x x xI xe e dx I xe e C⇒ = − ⇒ = − +∫
e) 1 2( ) sin '( ) ( 1)sin cosn nf x x f x n x x− −= ⇒ = − '( ) sin ( ) cosg x x g x x= ⇒ = −
1 2( ) sin '( ) ( 1)sin cosn nf x x f x n x x− −= ⇒ = −1 2 2sin cos ( 1) sin cosn n
nI x n xdx− −= − + − ∫( )1 2sin cos ( 1) sin sinn n n
nI x n xdx xdx− −⇒ = − + − −∫ ∫1
2sin cos ( 1)( )nn n nI x n I I−
−⇒ = − + − −1
2(1 1) sin cos ( 1)nn nI n x n I−
−⇒ + − = − + −1
2sin cos 1n
n nx x nI In n
−
−
−⇒ = − +
Deoarece este o recurenţă de ordinul II valabilă pentru 2n ≥ calculăm nI pentru 0n = şi 1n =
0 1nn I dx x C= ⇒ = = +∫ 1 sin cosnn I xdx x C= ⇒ = = − +∫
Problema 13: Folosind metoda integrării prin schimbare de variabilă, calculaţi integralele nedefinite: a) ( )54 2x dx+∫ b) ( )63 2x dx−∫
c) ( )72 1x dx−∫ d) ( )71x dx− −∫
e) ( ) ( )626 2 3 2 4x x x dx+ ⋅ + +∫ f) ( ) ( )422 1 3 ;x x x dx+ ⋅ + +∫
g) ( ) ( )42 33 5 5 3 ;x x x dx+ ⋅ + +∫ h) 3 4(2 1) 1 5(2 1)x x dx+ ⋅ + +∫
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
219
Soluţie parţială:
h) notăm 4 33(2 1) 4(2 1) 2
8(2 1)dtt x dt x dx dxx
= + ⇒ = + ⋅ ⇒ =+
33( ) (2 1) 1 5
8(2 1)dtI t x tx
⇒ = + + ⋅+∫ = 1 1 5
8tdt+∫
Notăm 1 5 5 5
duu t du dt dt= + ⇒ = ⇒ =1 ( )8 5
duI u u⇒ = ⋅ ⋅ =∫3
1 221 1 1 ( ) ( )340 40 60
2
uu du I u C I u u u C= ⇒ = ⋅ + ⇒ = +∫
1 ( ) (1 5 ) 1 5 60
I t t t C⇒ = + + + ⇒
( )4 41( ) 1 5(2 1) 1 5(2 1)60
I x x x C= + + + + +
Problema 14: Folosind metoda integrării prin schimbare de variabilă, calculaţi integralele nedefinite:
a) 2 1x dx
x +∫ b) 22 1
1x dx
x x+
+ +∫
c) 22 5
5 1x dx
x x+
+ +∫ d) 3
4 28 6
2 3 10x x dx
x x+
+ +∫
e) 32 xx e dx⋅∫ f)
32 12( 4) x xx e dx++ ⋅∫
g) 41x dxx+∫ h)
2
61x dx
x+∫
Problema 15: Folosind metoda integrării prin schimbare de variabilă, calculaţi integralele nedefinite:
a) 41
x dxx−
∫ b) 4 1
x dxx −
∫
c) 21
x
xe dxe+∫ d)
21
x
x
e dxe−
∫
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
220
e) ln x dxx∫ f)
2ln x dxx∫
g) ( )
11 ln
dxx x⋅ +∫ h)
( )21
1 lndx
x x⋅ +∫
Problema 16: Folosind metoda integrării prin schimbare de variabilă, calculaţi integralele nedefinite:
a) 5cossin
x dxx∫ b) 6
sincos
x dxx∫
c) 2
2 ;1
arctg x dxx+∫ d)
3
2 ;1
arcctg x dxx+∫
Problema 17: Folosind metoda integrării prin a doua schimbare de variabilă, calculaţi primitivele următoarelor funcţii:
a) 1 dxx x+∫ b) 1
1 2x dx
x+
+ +∫
c) 11
dxx x⋅ +∫ d) 1 xdx+∫
e) 1
tgx dxtgx +∫ e) 2tg xdx∫
g) 21
2
12
xtgdxxtg
+
+∫ h) 2
2xtg dx∫
Problema 18: Descompuneţi în funcţii raţionale simple:
a) ( ) 32 2xf x
x x=
+
b) ( ) 3 2
12 3xf x
x x x+
=+ +
c) ( ) 3 22xf x
x x=
+
d) ( )5 4 3 3
4 3 2
2 3 4 12 2 2 1
x x x x xf xx x x x+ + − − +
=+ + + +
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
221
e) ( )3 2
4 2
10 4 34 12 10 9
x x xf xx x− − +
=− +
f) ( )3 2
2 2
3 2( 1)
x x xf xx x+ + +
=+ +
Soluţie parţială:
d)5 4 3 3
4 3 2
( ) 2 3 4 1 Deoarece gr gr ,( ) 2 2 2 1
P x x x x x x P QQ x x x x x
+ + − − += >
+ + + +
împărţim ( ) ( ) la P x Q x3 2câtul ( ) , restul ( ) 5 5 1C x x R x x x x⇒ = = + + −
3 2
4 3 2
( ) 5 5 1( ) 2 2 2 1
P x x x xxQ x x x x x
+ + −⇒ = +
+ + + +
cu schema lui Horner 4 3 2 2 2 ( ) 2 2 2 1 ( ) ( 1) ( 1)Q x x x x x Q x x x⇒ = + + + + ⇒ = + +
3 2
2 2 2 2
5 5 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1x x x A B Cx D
x x x x x+ + − +
⇒ = + ++ + + + +
eliminând numitorii
⇒ 3 2 2 2 25 5 1 ( 1)( 1) ( 1) ( )( 1)x x x A x x B x Cx D x+ + − = + + + + + + + sau, dupa calcule, 3 25 5 1x x x+ + − =
3 2( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )A C x A B C d x A C D x A B D= + + + + + + + + + + + 12 5
sistemul 2 5
1
A CA B C DA C DA B D
+ =⎧⎪ + + + =⎪⇒ ⇒⎨ + + =⎪⎪ + + = −⎩
2; 1; 3; 2A B C D= − = − = =
⇒descompunerea este: 2 2
( ) 2 1 3 2( ) 1 ( 1) 1
P x xxQ x x x x
+= + + −
+ + +
e) 3 2
4 2
( ) 10 4 34 12 gr gr ,( ) 10 9
P x x x x P QQ x x x
− − += <
− +deci nu împăr�im
( ) ( ) la P x Q x . Cu Horner ( ) ( 1)( 1)( 3)( 3) Q x x x x x⇒ = − + − + ⇒
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
222
( ) ( ) 1 1 3 3
P x A B C DQ x x x x x
⇒ = + + +− + − +
. Aducem la acelaşi numitor,
formăm sistem şi găsim coeficienţii.
f) 3 2
2 2 2 2 2
3 2( 1) 1 ( 1)
x x x Ax B Cx Bx x x x x x+ + + + +
= ++ + + + + +
Eliminând numitorii obţinem A=1, B=0, C=2, D=2. Problema 19: Determinaţi primitivele următoarelor funcţii raţionale pe domeniul de definiţie adecvat:
a) 2
12 8 12
dxx x+ +∫ b) 2
1( ) ;6
f xx x
=+ +
c) 21( ) ;
6f x
x x=
− + d) 2
1( ) ;3 2
f xx x
=+ +
Soluţie parţială:
a) Folosim forma canonică: 2
2
2 4bax bx c a xa a
−Δ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
22 28 322 8 12 2 2( 2) 4
4 8x x x x⎛ ⎞⇒ + + = + + = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
1 1 12( 2) 4 2 ( 2) 2
I dx dxx x
⇒ = =+ + + +∫ ∫
notăm 2t x dt dx= + ⇒ = ⇒
2
1 1 1( )2 2 2 2 2
tI t dt arctg ct
= = ++∫
2
1 1( )( 2) 22 2
I x arctg cx
⇒ = ++ +
2
1 1( )4 62 2
I x arctg cx x
⇒ = ++ +
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
223
Problema 20: Determinaţi primitivele următoarelor funcţii raţionale pe domeniul de definiţie adecvat:
a) 2( ) ;2 8 12
xf xx x
=+ +
b) 2( ) ;6
xf xx x
=+ +
c) 2( ) ;6
xf xx x
=− +
d) 2( ) ;3 2xf x
x x=
+ +
Soluţie parţială:
a) 2 2
1 4 8 82 8 12 4 2 8 12
x xdx dxx x x x
+ −=
+ + + +∫ ∫
2 2
1 4 8 124 2 8 12 2 8 12
x dx dxx x x x
+= −
+ + + +∫ ∫
1 2
4 82 8 12
xI dxx x
+=
+ +∫
Notăm 22 8 12 (4 8)t x x dt x dx= + + ⇒ = + 2
1 11( ) ln | | ln | 2 8 12 |I t dt t c I x x ct
⇒ = = + ⇒ = + + +∫
2 2 2
1 1 12 8 12 4 62 2
I dx arctg cx x x x
= = ++ + + +∫ (se rezolvă cu
forma canonică) 22
1 1 1ln | 2 8 12 |4 4 62
I x x arctg cx x
⇒ = + + − ++ +
Problema 21: Folosind descompunerea în funcţii raţionale simple, calculaţi primitivele următoarelor funcţii:
a) 1( ) ;( 1)( 2)
f xx x
=+ +
b) 2( ) ;( 1)( 2)
f xx x
=− + +
c) ( ) ;( 1)( 3)
xf xx x
=+ +
d) 3 4( ) ;( 1)( 2)
xf xx x
+=
+ +
e) 1( )( 1)( 2)
f xx x x
=− −
f) ( )( )( )
3( ) 1 1 2
xf xx x x
+=
− + +
g) ( )( )2
( ) 4 1xf x
x x=
+ + h)
( )( )22 1( )1 2xf x
x x+
=+ +
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
224
Problema 22: Calculaţi primitivele următoare:
a) 2
2
1 cos sin , 0;1 cos 2
x x dx xx
π+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫
b)21 sin cos , 0;
1 sin 2x x dx xx
π+ ⎛ ⎞⋅ ∈⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫
c) 4 4
6 6
sin cos , 0;sin cos 2
x x dx xx x
π+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫
d) 1 sin , 0;(1 sin )sin 2
x dx xx x
π+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫
e) 2
2
cos sin , 0;1 cos 2
x x dx xx
π⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫
f) 2sin cos , 0;
1 sin 2x x dx xx
π⎛ ⎞⋅ ∈⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫
g) 4 4
2 2
sin cos , 0;sin cos 2
x x dx xx x
π+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫
h)
1 cos , 0;(1 sin ) cos 2
x dx xx x
π+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫
Soluţie parţială: a) cos sin t x dt x dx= ⇒ = −
2 21 2( ) ( ) 1 2ln(1 )1 1 2
t tI t dt t dt t t Ct t
+ ⎛ ⎞= ⋅ − = + + = + + − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠∫ ∫2cos( ) cos 2ln(1 cos )
2xI x x x C⇒ = + + − +
b) sin cos t x t xdx= ⇒ = 2 21 2( ) 1 2ln( 1)
1 1 2t tI t dt t dt t t Ct t
+ ⎛ ⎞⇒ = = − + = − + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫21( ) sin sin 2 ln(1 sin ) , 0;
2 2I x x x x C x π⎛ ⎞⇒ = − + + + ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
225
c) tgx t= 2
11
x arctgt dx dtt
⇒ = ⇒ =+
4
2 2 2 2
6 2
2 2 2 2
11(1 ) (1 )( )
1 1(1 ) (1 )
tt tI t dt
t tt t
++ +⇒ = ⋅
+−+ +
∫
4
6 2 2
1 1 2 2 2 1 2 1( )1 6 1 1 1 1
t t tI t dt dtt t t t t t t+ − +⎛ ⎞⇒ = = − + − =⎜ ⎟− − + − + + +⎝ ⎠∫ ∫
2
2
1 1 1 1ln ln3 1 6 1
t t t Ct t t− − +
= + + ⇒+ + +
2
2
1 1 1 1( ) ln ln3 1 6 1
tgx tg x tgxI x Ctgx tg x tgx
− − +⇒ = + +
+ + +
d) notăm 2
22 2 1x xt tg arctgt dx dt
t= ⇒ = ⇒ =
+
22
2 2
2 2
21 2 2 112 2 1 ( 1)1
1 1
tt t ttI dt dt
t t t t tt t
+ + ++⇒ = ⋅ = =+ −⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫ ∫
2
1 4 4ln | |( 1) 1
dt t Ct t t
⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠∫
4( ) ln2 1
2
xI x tg Cxtg=> = − +
−
Problema 23: Calculaţi:
a) 2 22
x
x x
e dxe e
−
−+ +∫ b) 2 3 2
x
x x
e dxe e+ +∫
c) 2 2
22 2 2
x
x x
dx−
−+ +∫ d) 2 1
33 3 2
x
x x dx++ +∫
e) 3
1 11 1
x dxx
+ +− +∫ f) 6
11
x dxx+−∫
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
226
g) 3
1 2 31 2 3
x dxx
+ −− −∫ h)
23
11)( 1)
dxx x− +
∫
Soluţie parţială: a) Notăm x xt e dt e dx= ⇒ =
4 2 2 2 22
2
11( ) 1 2 1 ( 1) 2(1 ) 22
dtdt dt tt tI t arctg t C
t t t ttt
⋅⇒ = = = = + +
+ + + ++ +∫ ∫ ∫
2
1( )2(1 ) 2
xx
x
eI x arctge Ce
⇒ = + ++
e) Notăm 6 1x t+ = ⇒ 6 51 6x t dx t dt= − ⇒ = 3 2
5 52
1 16 61 1
t t tI t dt t dtt t
+ − +⇒ = ⋅ = ⋅ =
− −∫ ∫ 7 7 6 5 4 3
5 66 6 6 ln( 1)1 7 6 5 4 3t t t t t tt dt dt t t t C
t⎛ ⎞
= + = − + + + + + + − +⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫ ∫ ,
apoi înlocuim pe t cu 6 1x +
h) 33
2 2 33 3
( 1)1 1 1 11 1( 1) ( 1)1)( 1) ( 1)( 1)
x xdx dx dx dxx xx xx x x x
+ += = = ⋅
+ −− ⋅ +− + − +∫ ∫ ∫ ∫
notăm 3 2
333 3 2
1 1 1 61 1 1 ( 1)
x x t tt t x dx dtx x t t+ + + −
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =− − − −
3 2
3 1( ) 31 ( 1)( 1)
I t dt dtt t t t−
⇒ = = −− − + +∫ ∫ care e integrală raţională
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
227
Capitolul 22 INTEGRALE DEFINITE
Problema 1: Studiaţi dacă, pentru intervalele indicate în fiecare caz, Δ este diviziune. În caz afirmativ, calculaţi norma diviziunii a) [ ]1;3I = , (1 1, 2 2,3 2,9 3)Δ = < < < < b) [ ]1;3I = , (1 3 4)Δ = < < c) [ ]1;3I = , (1 1,5 2 2,5 3)Δ = < < < < Problema 2: Studiaţi dacă, pentru diviziunile indicate în fiecare caz, ξ este sistem de puncte intermediare: a) (1 1, 2 2,3 2,8 3)Δ = < < < < , (1,1; 2; 2,5; 2,9)ξ = b) (1 1,5 2,3 2,5 3)Δ = < < < < , (1,1; 2; 2, 4; 2,9)ξ = c) (1 1, 2 2,3 2,5 3)Δ = < < < < , (1; 2; 2, 4; 2,9)ξ = Problema 3: Calculaţi sumele Riemann ( ), kfσ ξΔ în fiecare din cazurile următoare: a) [ ] ( ): 1,3 , ,f f x x→ = (1 2 3)Δ = < < , (1,1; 2,5)ξ = b) [ ] ( ) 2: 1,3 , ,f f x x→ = (1 2,3 3)Δ = < < , (1; 3)ξ = c) [ ] ( ): 1,3 , 1,f f x x→ = + (1 2 3)Δ = < < , (1; 3)ξ = d) [ ] ( ): 1,3 , 1,f f x x→ = + (1 2 2,5 3)Δ = < < < , (1; 2,2; 3)ξ = Problema 4: Utilizând criteriile de integrabilitate Riemann:
(1): “ f continuă f⇒ integrabilă” (2): “ f nemărginită f⇒ nu e integrabilă”, (3): “ f integrabilă, g f≠ doar într-un număr finit de
puncte g⇒ integrabilă şi ( ) ( )b b
a af x dx g x dx=∫ ∫ ”
studiaţi dacă următoarele funcţii sunt integrabile: a) [ ] ( ) 2: 1,3 , 2 3f f x x x→ = − + − ;
b) [ ] [ )[ ]
2 1 , 1,2: 1,3 , ( )
3 1 , 2,3x x
f f xx x
⎧ + ∈⎪→ = ⎨ − ∈⎪⎩;
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
228
c) [ ] [ )[ ]
3 1 , 1,2: 1,3 , ( )
4 3 , 2,3x x
f f xx x
⎧ − ∈⎪→ = ⎨ − ∈⎪⎩;
d) [ ] [ )
[ ]
1 , 1,2: 1,5 , ( ) 2
3 1 , 2,5
xf f x x
x x
⎧ ∈⎪→ = −⎨⎪ + ∈⎩
.
Problema 5: Utilizând criteriile de integrabilitate Riemann: (1): “ f monotonă f⇒ integrabilă” (2): “dacă ( )f x e mărginită şi discontinuă intr-un număr
finit de puncte ( )f x⇒ este integrabilă”, studiaţi dacă următoarele funcţii sunt integrabile: a) [ ] ( ): 1,3 , 2f f x x→ =
b) [ ] ( ) 2: 1,3 , 2 3f f x x x→ = − + −
c) [ ] ( ) 2: 3,5 , 5 6f f x x x→ = − +
d) [ ] [ )[ ]
1 , 1,2: 1,3 , ( )
2 1 , 2,3x x
f f xx x
⎧ + ∈⎪→ = ⎨ + ∈⎪⎩;
e) [ ] [ )[ ]
2 1 , 1,2: 1,3 , ( )
3 1 , 2,3x x
f f xx x
⎧− + ∈⎪→ = ⎨− − ∈⎪⎩;
Problema 6: Folosind formula Leibniz-Newton, calculaţi:
a) 3 2
1x d x∫ b)
1
1ed x
x∫
c) 3
12 x d x∫ d)
1
0
xe d x∫
e) 5
23
14
d xx −∫ f)
/ 2
2/ 3
14
d xx
π
π +∫
g) 7
23
14
dxx −
∫ h) 7
23
14
dxx +
∫
Soluţie parţială:
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
229
a) Metoda I: Deoarece 2:[1;3] , ( )f f x x→ = e continuă pe intervalul [1;3] f⇒ integrabilă pe [1;3]
3 3 33 2
1
3 3 1 2613 3 3 3
xx dx⇒ = = − =∫
Metoda II: Deoarece 2:[1;3] , ( )f f x x→ = e continuă pe intervalul [1;3] f⇒ adminte primitive pe [1;3] , fie F o primitivă a
sa. Atunci, 3 2 3
21
27 1 26( ) | (3) (2)3 3 3
I x dx F x F F= = = − = − =∫
Problema 7: Fără a calcula integralele, demonstraţi inegalităţile:
a) 3 3
2 21 1 ;
3 2dx dx
x x≤
+ +∫ ∫
b) 3 3
3 22 21 1 ;
2 2dx dx
x x≤
+ +∫ ∫
c) 1 1
20 01 1 ;
2 2dx dx
x x≤
+ +∫ ∫
d) 1 1
2 2 30 01 1 ;
2 2dx dx
x x x x≤
+ + + +∫ ∫
e) 1 1 10 0
(1 )x xe dx x dx+< +∫ ∫ Soluţie parţială: e) Arătăm că ( ) [ ]11 , 0,1xxe x x+≤ + ∀ ∈ . Prin logaritmare,
( ) ( ) ( )11 1 ln 1xxe x x x x+≤ + ⇔ ≤ + + . Fie funcţia
[ ] ( ) ( ) ( ): 0,1 , 1 ln 1f f x x x x→ = + + −
( ) [ ]' ln(1 ) 1 1 ln(1 ) 0, 0,1f x x x x= + + − = + > ∀ ∈ . Cum sf şi
( ) ( ) [ ]0 0 0, 0,1f f x x= ⇒ ≥ ∀ ∈ 1(1 ) ln(1 ) (1 ) x xx x x x e+⇔ + + ≥ ⇔ + ≥ şi 1(1 ) x xx e++ = doar pentru
0,x = deci într-un număr finit de puncte 1 1 10 0
(1 )x xe dx x dx+⇒ < +∫ ∫
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
230
Problema 8: Fără a calcula integralele, demonstraţi inegalităţile:
a) 3
21 0
3dx
x≥
+∫ b) 2
11 0
3dx
x≤
−∫
c) 23
20xe dx >∫ d) ( ) ( )
2 22 2
ln 2e
e
x ee e e dx e ex
− < < −∫
Soluţie parţială:
d) Fie 2: ,f e e⎡ ⎤→⎣ ⎦ funcţia definită prin ( )ln
xf xx
= . Evident f
este derivabilă şi ( ) 2
ln 1' 0ln
xf xx−= ≥ şi ( )' 0f x = doar pentru
( ) ( ) ( )2 21 s , ,x f f e f x f e x e e⎡ ⎤= ⇒ ⇒ ≤ ≤ ∀ ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 2
2, ,ln 2
x ee x e ex
⎡ ⎤≤ ≤ ∀ ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ , cu egalitate doar pentru 1x= , deci
într-un număr finit de puncte 2 2 2 2
ln 2
e e e
e e e
x eedx dx dxx
⇒ < <∫ ∫ ∫
( ) ( )2 22 22 2
2 2
ln 2 ln 2e e
e e
e ex e x ee x dx x e e e dx e ex xe e
⇒ ⋅ < < ⋅ ⇒ − < < −∫ ∫
Problema 9: Fără a calcula integralele, calculaţi lim nnI
→∞ unde:
a) 1
2
0
1sin .2 sin
nnI x dx
x⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+∫
b)
1
0sin .n
nI x xdx= ∫
c) 1
0cos .n
nI x xdx= ∫
d) ( )1
2
0
1 sin cos .n nI x dxx
= ∫ Soluţie parţială:
a) Evident 1 12 20 0
1 1sin sin2 sin 2 sin
n nx dx x dxx x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
231
11 1
0 0
1 1 001 1
nn n
nxx dx x dx In n
+
≤ = = = ⇒ →+ +∫ ∫
Problema 10: Calculaţi ( )4
0f x dx∫ dacă ştim că:
a) 1 4
0 1( ) 2, ( ) 6f x dx f x dx= =∫ ∫
b)
1 2 4
0 1 2( ) 2, ( ) 3, ( ) 2f x dx f x dx f x dx= = − =∫ ∫ ∫
c)
5 4
0 5( ) 2, ( ) 6f x dx f x dx= =∫ ∫
d)
1 4
0 1( ) 2, ( ) 6f x dx f x dx
−
−= = −∫ ∫
Problema 11: Fără a calcula integralele, calculaţi lim nnI
→∞ unde:
a) 1 / 2
0ln(1 ) ;n
nI x dx= +∫ b) 1 / 2
1 / 4ln ;n
nI x xdx= ∫
c) 1 / 220
;1
n
nxI dxx x
=+ +∫
d) 1 / 2
0;
1
n
n nxI dxx x
=+ +∫
e) 1
2 ;1
nnn n
xI dxx x
+=
+ +∫
f) ( )1ln 1 ;
n nn n
I x dx+
= +∫
Problema 12: Calculaţi '( )f x în fiecare din situaţiile următoare:
a) 3
2
0: [0;1] , ( )
x tf f x e dt→ = ∫
b)22
0: [0;1] , ( )
x tf f x e dt→ = ∫
c) 2
0: [0;1] , ( )
x tf f x e dt→ = ∫
d)24 1
2: , ( )
x t
xf f x e d t
+→ = ∫
Soluţie parţială: a) Funcţia
2
:[0;1] , ( ) xg g x e→ = e continuă deci admite primitive, fie G o primitivă a sa ( ) ( )'G x g x⇒ = ⇒
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
232
( ) ( )3( ) 0f x G x G⇒ = − ⇒ 3 2'( ) '( ) 3 0f x G x x= ⋅ − ⇒ 63 2 2'( ) ( ) 3 3xf x g x x e x= ⋅ = ⋅
Problema 13: Studiaţi monotonia şi determinaţi punctele de extrem local al funcţiilor:
a) 2
0: , ( ) ln(1 )
x tf f x e t t dt→ = − +∫ b) 2
0: , ( ) ln(3 3 )
x tf f x e t t dt→ = − +∫
Soluţie parţială: a) Funcţia 2( ) ln(1 )xg x e x x= − + este continuă, deci admite primitive, fie ( )G x o primitivă a sa
( ) 2'( ) ( ) (0) ' '( ) ( ) ln(1 )xf x G x G G x g x e x x⇒ = − = = = − + . Facem tabelul de variaţie 0x⇒ = punct de maxim şi 1x = punct de minim
sf pentru ( ;0] şi [1; )x∈ −∞ ∞ şi sf pentru [0;1]x∈
Problema 14: Calculaţi 0
0
( )lim( )x
x
f xg x→
>
unde:
a) , :[0;1]f g → 2
2
0( ) sin
xf x t dt= ∫ şi
2
0( )
x tg x e dt= ∫ .
b) , :[0;1]f g → 2
0( ) sin
xf x t dt= ∫ şi
2
0( )
x tg x e d t= ∫ .
Soluţie parţială: a) Din teorema de medie, 2 2
0 00 0
lim ( ) limsin ( 0) 0xx xx x
f x c x→ →> >
= − = căci
2(0; )c x∈ şi analog 2
0 00 0
lim ( ) lim 0c
x xx x
g x e x→ →> >
= ⋅ =
Rezultă că limita cerută este în cazul exceptat 00
, aplicăm l’Hopital
deci:
2
2
2
0
0 00 0
0
sin( )lim lim( )
x
xx x tx x
t dtf xg x e dt→ →
> >
= =∫∫
2
1 1
02 20
( ) (0)lim( ) (0)x
x
F x FF x F→
>
−=
−
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
233
2
2 41
0 020 0
'( ) 2 sinlim lim 0'( ) 1 xx x
x x
F x x x xF x e→ →
> >
⋅ ⋅= =
⋅
Problema 15: Calculaţi integralele definite:
a)1
ln e
x xdx∫ b) 3
1ln
ex xdx∫
c)1
ln e
xdx∫ d) 2
1ln
ex xdx∫
e)1
ln e
x xd x∫ f) 2
1
e xx e dx∫
g) 0
s in xe x d xπ∫ h)
0
cos xe x dxπ∫
Soluţie parţială: a) Metoda I: Deoarece :[1; ] , ( ) lnf e f x x x→ = e continuă pe [1; ]e ⇒ f e integrabilă pe [1; ]e deci putem să aplicăm metoda integrării prin părţi.
2
1( ) ln '( )
'( ) ( )2
f x x f xx
xg x x g x
= ⇒ =
= ⇒ =
2 2 2
1
1 1 ln 01 12 2 2 2 2
ee ex e xI x xdx I⇒ = − ⇒ = − −∫
2 2 2 12 4 4e e eI +
⇒ = − =
Metoda II: Fie ( ) ln ,F x x xdx= ∫ care există deoarece ( ) lnf x x x= e
continuă, deci admite primitive. Se arată că 2 2
( ) ln2 4x xF x x C= − + ,
aşadar 2
1
1ln ( ) (1) 4
e eI x xdx F e F I += = − ⇒ =∫
Problema 16: Calculaţi integralele definite:
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
234
a)
21
30
3 13
x dxx x
++ +∫ b)
22
31 1x dx
x +∫
c) ( )1 5
02 x dx+∫ d)
( )
1 5
02 1 x dx+∫
Problema 17: Calculaţi integralele definite:
a)22
31
1x dx
x +∫ b)
21
60 1x dx
x +∫
c)
31
80
1x dx
x +∫ d)
41
100 1x dx
x +∫
e) 1
ln e x dx
x∫ f) ( )1
11 ln
edx
x x+∫
g)
2
2
1ln
e
ed x
x x⋅∫ h) ( )21
11 ln
edx
x x+∫
Soluţie parţială: a) Metoda I: notăm 3 21 3t x dt x dx= + ⇒ =
1 22 9
x tx t= ⇒ == ⇒ =
9 922
1 1 1 9( ) ln | | | ln3 3 3 2
dtI t tt
⇒ = = =∫
Metoda II: Fie 2
3( )1
xF x dxx
=+∫
notam 3 21 3t x dt x dx= + ⇒ = 1 1( ) ln | |3 3
dtF t t ct
⇒ = = +∫
1 1 9( ) ln | | ( ) (9) (2) ln3 3 2
F x x c I x F F⇒ = + ⇒ = − =
Problema 18: Calculaţi integralele definite:
a)/ 4 cos
0sin xx e dx
π⋅∫ b)
/ 4 sin
0cos xx e dx
π⋅∫
c)/ 4
5/ 6
sincos
x dxx
π
π∫ d)
/ 4
5/ 6
cossin
x dxx
π
π∫
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
235
Problema 19: Folosind metoda integrării prin a doua schimbare de variabilă, calculaţi primitivele următoarelor funcţii:
a) 4
1
1 dxx x+∫ b)
2
1
11 2
x dxx−
++ +∫
c) 3
0
11
dxx x⋅ +∫ d)
9
0
1 xdx+∫
Problema 20: Calculaţi integralele următoare:
a) [ ]1 1
1( ) unde :[1; ] 1; 1 , ( ) ln
ef x dx f e e f x x x
+ − → + = +∫
b) [ ]1 1
1( ) unde :[1; ] 1; 1 , ( ) ln
ex f x dx f e e f x x x
+ −⋅ → + = +∫
c) [ ]10 1 3
2( ) unde :[1;2] 2;10 , ( )f x dx f f x x x− → = +∫
d) [ ]10 2 1 3
2( ) unde :[1;2] 2;10 , ( )x f x dx f f x x x− → = +∫
Soluţie parţială:
a) 1'( ) 1 0, [1; ]f x x e fx
= + > ∀ ∈ ⇒ strict crescătoare f⇒ injectivă.
Deoarece ( ) ( )1 1, 1f f e e= = + şi f continuă f⇒ surjectivă f⇒ bijectivă f⇒ inversabilă. Notăm 1( ) ( ) '( )t f x x f t dx f t dt−= ⇒ = ⇒ =
1 ( ) 1 ln 1x f t t t= ⇒ = ⇒ + = Observăm că 1t = soluţie şi cum f bijectivă 1t⇒ = soluţie unică.
1 ( ) 1 ln 1x e f t e t t e= + ⇒ = + ⇒ + = + Observăm că t e= soluţie şi cum f bijectivă t e⇒ = soluţie unică.
( )1 1
1( ) ' 1e e
I t t f t dt t dtt
⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
( )2 2 2
1
1 2 31 112 2 2 2
e et e e et dt t e⎛ ⎞ + −
+ = + = + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
236
Problema 21: Calculaţi integralele următoarelor funcţii raţionale:
a) 1
01
1e
dxx
−
+∫ b) 12
01
2 1e
dxx
−
+∫
c) ( )
130
1
1
edx
x
−
+∫ d)
( )
12
301
2 1
ed x
x
−
+∫
Problema 22: Calculaţi integralele următoarelor funcţii raţionale:
a) 2
11 ;
( 1)( 2)dx
x x+ +∫ b) 3
22 ;
( 1)( 2)dx
x x− + +∫
c) 2
1;
( 1)( 3)x dx
x x+ +∫ d) 2
13 4 ;
( 1)( 2)x dx
x x+
+ +∫
Problema 23: Calculaţi integralele următoarelor funcţii trigonometrice:
a) / 4
20 (1 ) costgx dx
tgx xπ
+∫
b) 2/3
/6
1 co s s in 1 co s
x x d xx
π
π
+−∫
c)2/3
/6
1 sin cos 1 sin
x x dxx
π
π
++∫
d) 4 4/3
6 6/6
sin cossin cos
x x dxx x
π
π
+−∫
Soluţie parţială:
a) notăm 2
1 1
t tgx x arctg t dx dtt
= ⇒ = ⇒ =+
0 0
14
x t
x tπ= ⇒ =
= ⇒ =
1
0( )
1tI t dt
t⇒ = ⇒
+∫
1 100
1( ) 1 [ ln(1 )] | 1 ln 21
I t dt t tt
⎛ ⎞= − = − + = −⎜ ⎟+⎝ ⎠∫
Metoda II: Fie 2( )(1 )cos
tgxF x dxtgx x
=+∫
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
237
,t tgx x arctg t= ⇒ = se calculează primitiva ( )F x a funcţiei
astfel: notâm t tgx= ⇒ 2
1 1
x arctg t dx dtt
= ⇒ = ⇒+
( ) ln(1 )1
tF t dt t t ct
= = − + + ⇒+
( ) ln(1 )F x tgx tgx c= − + + ⇒
(0) 1 ln 24
I F F Iπ⎛ ⎞= − ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 24: Calculaţi aria dintre fG , axa Ox şi dreptele x a= şi x b= în fiecare din cazurile următoare: a) ( ): , 1, dreptele 2 şi 3f f x x x x→ = − = = b) ( ): , 1, dreptele 2 şi 3f f x x x x→ = − = − = c) ( ) 2: , 5 6, dreptele 2 şi 3f f x x x x x→ = − + = = d) ( ) 2: , 5 6, dreptele 3 şi 4f f x x x x x→ = − + = = Soluţie parţială:
a) ( )3 3
2 21A f x dx x dx= = −∫ ∫
Se observă că 1 0, [2;3] 1 1x x x x− ≥ ∀ ∈ ⇒ − = −
( )23 3
22
9 41 3 22 2 2xA x dx x
⎛ ⎞⇒ = − = − = − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
32
A⇒ =
b) 3
21A x dx
−= −∫ . Având acelaşi tabel de semne
( )1 3
2 1
131 ( 1)2
A x dx x dx−
⇒ = − + + − =∫ ∫ Problema 25: Determinaţi aria subgraficului pentru fiecare dintre următoarele funcţii: a) [ ]: 1,2 , ( ) 2 ;f f x x→ = b) [ ]: 1,2 , ( ) 4 2 ;f f x x→ = − c) [ ]: 0,2 , ( ) 4 2 ;f f x x→ = −
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
238
Problema 26: Calculaţi aria mulţimii ,f gΓ în fiecare dintre următoarele cazuri: a) [ ] 2, : 1,4 , ( ) 2 , ( ) ;f g f x x x g x x− → = − = − b) [ ] 2, : 0,3 , ( ) 2 , ( ) ;f g f x x x g x x→ = − = − c) [ ] 2, : 1,0 , ( ) 2 , ( ) ;f g f x x x g x x− → = − = − d) [ ] 2, : 1,3 , ( ) +1 , ( ) 2 4;f g f x x g x x− → = = + Soluţie parţială:
a) ( ) ( )4 4 42 2
1 1 12 3A f x g x x x x dx x x
− − −= − = − + = −∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )0 3 42 2 2
1 0 33 3 3A x x dx x x dx x x dx⇒ = − + + − + − +∫ ∫ ∫ , arie ce se
calculează uşor. Problema 35: Calculaţi aria cuprinsă între curbele: a) 22, 4 2y x y x x= − = − + b) 2 24 , 4 .y x x y= = c) 2 4 , 2y x y x= = d) 2 , 2 1y x y x= = − Soluţie parţială: a) Găsim punctele de intersecţie
22
24 2 2
4 2y x
x x xy x x= −⎧
⇒ − + = − ⇒⎨= − +⎩
1
2
14
xx==
4 42 2
1 12 4 2 5 4A x x x dx A x x dx⇒ = − − + − = = − + −∫ ∫
Din tabel,
4 2
1
9( 5 4)2
A x x dx A⇒ = − + + ⇒ =∫
www.neutr
ino.ro
Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului
239
Problema 27: Găsiţi volumul corpului de rotaţie determinat de fiecare dintre următoarele funcţii prin rotirea subgraficului lor în jurul axei :Ox a) [ ]: 0,1 , ( ) ;f f x x→ =
b) [ ] 4: 0,1 , ( ) ;f f x x→ = c) [ ]: 1,2 , ( ) ;f f x x→ =
d) [ ] 2: 1,2 , ( ) ;f f x x→ = Problema 28: Să se calculeze limitele următoarelor şiruri definite prin termenul general:
a)
*
1
1 1 , ;n
nk
kx nn n=
= ⋅ + ∈∑ b) *
1
1 1 , ;1
n
nk
x nknn
=
= ∈+
∑
c) *
1
1 , ;n
nk
x nn k=
= ∈+∑ d)
*
1
1 , ;n
nk
x k nn n =
= ⋅ ∈∑
e)
*2 21
1 , ;4
n
nk
x nn k=
= ∈−
∑ f) ( )
*2
1
1 , ;n
nk
x n nn k=
= ⋅ ∈+
∑
Soluţie parţială:
b) Fie [ ]k 11 20 ... 1 si , unde k k
n x xn n n
ξ −⎛ ⎞Δ = < < < < = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
k k kkxn
ξ ξ= ⇒ = şi 1:[0;1] , ( )1
f f xx
→ =+
care e continuă pe
[0;1] deci integrabilă pe [0;1] 1 1
000 1
1 lim lim ln( 1) | ln 21
n
nn k
k dxx f xn n x→∞ Δ →
=
⎛ ⎞⇒ = = = + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠∑ ∫
e)
22 22
2 22 2
3 3 3 3 3 33 31 1 1 1
3 3
14 4 4 4
n n n n
nk k k k
kk knk n nn nxnn k k k n kn n
nn n= = = =
⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠= = = ⋅ =
+ ⎛ ⎞+ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ∑
Fie [ ]k 11 20 ... 1 si , unde k k
n x xn n n
ξ −⎛ ⎞Δ = < < < < = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu
240
k k kkxn
ξ ξ= ⇒ = şi 2
3:[0;1] , ( )4
xf f xx
→ =+
care e continuă
pe [0;1] deci integrabilă pe [0;1]
( )21 3
300 1
11 5lim lim ln 4 ln04 4
n
nn k
k x dxx f xn n x→∞ Δ →
=
⎛ ⎞⇒ = = = + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠∑ ∫