Concursul de Matematica ”TRAIAN LALESCU” - faza nationalaAnul I mai 2008

- profil electric si mecanic -

1. Fie A ∈ Mn(R) o matrice cu proprietate a A3 = A. Sa se arate carangA + rang(A− In) + rang(A + In) = 2n.

2. Fie seria∞∑

n=0

e−nx.

i) Sa se determnine domeniul de convergenta si sa se arate ca suma serieieste o functie continua si indefinit derivabila.

ii) Sa se decida daca seria se poate integra termen cu termen.iii) Sa se calculeze suma seriei

∞∑n=1

1n

(1− e−n) · e−n.

3. Sa se studieze proprietatea de ma rginire a multimilor ınchise din plan careo data cu doua puncte contin ıntregul cerc determinat de acestea ca diametru.

4. Pentru a ∈ R fixat, definim aplicatia fa : R3 → R3,

fa(x) =(

x1, ax1 + x2,a2

2x1 + ax2 + x3

), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

a) Sa se demonstreze ca aplicatia este un endomorfism.b) Sa se determine matricea Ma a lui fa ın baza canonica si sa se precizeze

structura multimii Ma; a ∈ R. Sa se studieze convergenta si sa se afle dacadaca exista limita sirului Sn

Sn = I +11!

Ma +12!

M2a + . . . +

1n!

Mna .

c) Sa se afle valorile proprii si vectorii proprii ale matricii Ma.

1