UNIVERSITATEA ”POLITEHNICA” din BUCUREŞTIFACULTATEA DE INGINERIE ELECTRICĂDEPARTAMENTUL DE ELECTROTEHNICĂ

Nr. Decizie Senat 219 din 28.09.2012

TEZĂ DE DOCTORAT

MODELAREA ELECTROMAGNETICĂ A INDUCTOARELORINTEGRATE PE SISTEME MULTIPROCESOR

ELECTROMAGNETIC MODELLING OF INTEGRATEDINDUCTORS USING MULTIPROCESSOR SYSTEMS

Autor: Ing. Mihail-Iulian ANDREIConducător de doctorat: Prof. dr. ing. Daniel IOAN

COMISIA DE DOCTORAT

Preşedinte Prof. dr. ing. Alexandru MOREGA UPBConducător de doctorat Prof. dr. ing. Daniel IOAN UPB

Referent Conf. dr. ing. Gabriela CIUPRINA UPBReferent Prof. dr. Raimond Grimberg NIRDTPReferent Prof. dr. ing. Dan Zlatanovici ICEMENERG

BUCUREŞTI2012

Această pagină este lăsată goală ı̂n mod intenţionat.

Mulţumiri

Încep prin a mulţumi domnului prof. dr. ing. Daniel IOAN, conducătorul ştiinţifical prezentei lucrări, pentru profesionalismul cu care m-a ghidat către obţinerea titlului dedoctor, pentru ı̂ndurmarea ştiinţifică, pentru sprijinul acordat pe ı̂ntreaga perioadă a docto-ratului şi a elaborării tezei de doctorat.

De asemenea, doresc să multumesc doamnei conf. dr. ing. Gabriela CIUPRINA pentrutot suportul acordat pe ı̂ntreaga perioadă pe care mi-am petrecut-o ı̂n Laboratorul de MetodeNumerice.

Le mulţumesc colaboratorilor din Polonia, prof. dr. ing. Mariusz KACZMAREK şi dr.ing. Sebastian KULA de la Universitatea ”Kazimierz Wielki” din Bydgoszcz, care au făcutposibil stagiul de pregătire doctorală.

Doresc să mulţumesc colegilor şi profesorilor ce fac parte din echipa din cadrul Depar-tamentului de Electrotehnică.

Aş vrea să mulţumesc Emei care mi-a fost colegă de birou şi alături de care am petrecutmulte momente frumoase, dar şi tuturor colegilor cu care am avut deosebita plăcere săcolaborez: Radu, Alex, Bogdan, Dan, Iulia, Cerasela, Carmen, Ştefan. Nu ı̂n ultimul rândmulţumesc Dianei MIHALACHE care m-a ı̂ndrumat sa aleg aceast drum spre o teză dedoctorat.

Mulţumesc familiei, ı̂n special mamei mele, pentru tot sprijinul acordat pe parcursulacestor ani.

Rezultatele prezentate ı̂n acestă teză au fost obţinute cu sprijinul Ministerului Muncii,Familiei şi Protecţiei Sociale prin Programul Operational Sectorial Dezvoltarea ResurselorUmane 2007-2013, Contract nr. POSDRU/88/1.5/S/61178, şi Comisiei Europene care afinanţat proiectele Codestar, Chameleon, Tok4nEDA. Tot legat de rezultatele prezentate ı̂nteză, doresc să mulţumesc companiilor AustriaMicroSistems (Graz, Austria), IMEC (Leu-ven Belgia) şi Philips (Eidhoven, Olanda) pentru că au proiectat, realizat practic şi măsuratstructurile de test, ce au permis validarea experimentală a programelor dezvoltate ı̂n cadrulLMN.

iii

Această pagină este lăsată goală ı̂n mod intenţionat.

Cuprins

Cuprins vi

Listă figuri ix

Listă tabele xi

Listă abrevieri xv

1 Introducere 11.1 Importanţa şi actualitatea temei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Structura lucrării . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate 52.1 Modele cu parametri concentraţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Modele cu parametri distribuiţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Modelarea inductoarelor spiralate integrate 333.1 Modelarea fizică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Modelarea matematică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Modelarea numerică (FIT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4 Reducerea ordinului modelului prin eşantionarea adaptivă a frecvenţelor cu

procedura Vector Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.1 Procedura Vector Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.2 Algoritmul AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Folosirea sistemelor multiprocesor ı̂n modelarea inductoarelor spiralate 574.1 Arhitectura hardware şi software a sistemelor multiprocesor . . . . . . . . 57

4.1.1 Sistemul de calcul multiprocesor ATLAS . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Rezolvarea directă şi iterativă, ı̂n paralel, a sistemelor lineare mari . . . . . 60

4.2.1 Rezolvarea directă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2 Rezolvarea iterativă paralelă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.3 Rezolvarea iterativă cu precondiţionare . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.4 Rezolvarea, ı̂n paralel, a mai multor sisteme liniare . . . . . . . . . 70

v

CUPRINS

4.3 Paralelizarea Eşationării Adaptive a Frecvenţelor cu Vector Fitting(AFS-VF paralel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Studii de caz - rezultate numerice şi validarea lor experimentală 775.1 Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1 Modelarea aproximativă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.1.2 Modelarea numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.1.3 Performanţele procedurii de extracţie a modelului . . . . . . . . . . 96

5.2 Inductorul spiralat hexagonal - CHRF217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2.1 Modelarea aproximativă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2.2 Modelarea numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2.3 Performanţele procedurii de extracţie a modelului . . . . . . . . . . 102

5.3 Inductoare spiralate cuplate - CHRF201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.3.1 Modelarea aproximativă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.3.2 Modelarea numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.3 Performanţele procedurii de extracţie a modelului . . . . . . . . . . 110

5.4 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6 Concluzii finale şi contribuţii originale 113

Listă lucrărilor publicate de autor 115

A Definire schedulere 117A.1 Definire scheduler JobManager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117A.2 Definire scheduler Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

B AFS-VF paralel 119B.1 Cod pm sys2snp vf3 v*.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119B.2 Cod compute list frequencies v*.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128B.3 Funcţie profilare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

C Solver iterativ paralel GPU 133C.1 Readme file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133C.2 Installation file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134C.3 Example file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136C.4 Solver call file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136C.5 CSC to COO convert procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138C.6 Complex solvers file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138C.7 Real solvers file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

D Save state space function 163

Bibliografie 178

vi

Listă de figuri

1.1 Legea lui Moore - Numărul de tranzistoare dintr-un procesor. . . . . . . . . 3

2.1 Forme inductoare: (a) pătratică, (b) octogonală, (c) hexagonală, (d) circulară 72.2 Modelul cu parametri concentraţi pentru inductorul spiralat . . . . . . . . . 82.3 Modelul cu parametri concentraţi pentru inductorul spiralat cu adăugarea

unui grup LskRsk paralel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Modelul cu parametri concentraţi pentru inductorul spiralat. . . . . . . . . 102.5 Modelul cu parametri concentraţi pentru inductorul spiralat 2π. . . . . . . . 102.6 Forma elementelor finite. (a) unidimensionale. (b) bidimensionale. (c)

tridimensionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7 Reţea de discretizare adaptiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8 Placă conductoare ı̂n domeniu 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.9 Distribuţia potenţialului ı̂n placă conductoare . . . . . . . . . . . . . . . . 182.10 Captură din ANSYS HFSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.11 Captură din SONNET. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.12 Captură din ADS-Momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.13 Captură din ASITIC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.14 Captură din COMSOL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1 Geometria tipică a unui inductor spiralat integrat . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Efectele câmpului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Domeniu de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Domeniu de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Sistemul de modelat (MIMO). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6 Elementul Electromagnetic de Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7 Modelul continuu, modelul discret şi modelul compact . . . . . . . . . . . 433.8 Reţeaua de discretizare duală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.9 Circuitele echivalente FIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.10 Structura sistemului de stare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.11 Reducerea efortului de calcul folosind algoritmul AFS-VF . . . . . . . . . 543.12 Algoritm AFS-VF - schema logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Calculatoare MIMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Structura clusterului ATLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Problemă de test Ucoupled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

vii

LISTĂ DE FIGURI

4.4 Matricea FIT ı̂nainte şi după factorizarea LU . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Pseudocod algoritm GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6 Pseudocod algoritm BiCGSTAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7 Structura suitei de programe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.8 Problema Ushape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.9 Structura matricelor problemei Ushape pentru diferite griduri de discretizare 664.10 Problema cu bobina spiralată . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.11 Performanţe metode de rezolvare directe vs iterative . . . . . . . . . . . . . 714.12 Abordări paralele ale AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1 Dispunerea straturilor ı̂n tehnologia folosită pentru problemele CODES-TAR şi CHAMELEON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 Problema CDST-SP-MIDLLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3 Materialele inductorului spiralat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4 Dimensiunile inductorului spiralat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.5 Modelul cu parametri concentraţi pentru inductorul spiralat . . . . . . . . . 815.6 Circuitul echivalent pentru inductorul integrat (LTSpice) . . . . . . . . . . 835.7 Simularea 1 - Y11 şi Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.8 Simularea 1 şi 2 - Y11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.9 Simularea 1 şi 2 - Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.10 Simularea 1 şi 3 - Y11 şi Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.11 Simularea 1 şi 4 - Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.12 Simularea 1 şi 5 - Y11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.13 Simularea 1 şi 5 - Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.14 Simularea 1 şi 6 - Y11 şi Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.15 Simularea 1 şi 7 - Y11 şi Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.16 Inductorul integrat CDST-SP-MIDDLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.17 Reţea de discretizare pe axa Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.18 Caracteristicile de frecvenţă pentru diferite distribuţii ale nodurilor pe Oy . 925.19 Reţea de discretizare pe axa xz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.20 Caracteristicile de frecvenţă pentru diferite reţele ı̂n planul xOz . . . . . . 935.21 Caracteristicile de frecvenţă pentru diferite reţele ı̂n planul xOz . . . . . . 945.22 Efectul tehnicii FredHo asupra caracteristicii de frecvenţă . . . . . . . . . . 945.23 Caracteristicile de frecvenţă Y11: măsurate, simulate ale modelului cu pa-

rametri concentraţi şi distribuiţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.24 Caracteristicile de frecvenţă Y12: măsurate, simulate ale modelului cu pa-

rametri concentraţi şi distribuiţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.25 Problema CHRF217 - Inductor spiralat hexagonal . . . . . . . . . . . . . . 975.26 Modelarea geometrică 3D a structurii CHRF217 . . . . . . . . . . . . . . . 985.27 Dimensiunile inductorului spiralat hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . 985.28 Simularea modelului aproximativ 1 şi 2 - Y11 . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.29 Geometria Manhattan a problemei CHRF217 - Vedere ı̂n planul xOz . . . . 1015.30 Problema CHRF217 - Reţeaua de discretizare adaptată . . . . . . . . . . . 1015.31 Simularea SPICE şi Chamy - Y11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.32 Problema CHRF201 - Inductoare spiralate cuplate . . . . . . . . . . . . . . 1035.33 Poziţionarea conductoarelor paralele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

viii

LISTĂ DE FIGURI

5.34 Problema CHRF201 echivalentă cu inductoare medii . . . . . . . . . . . . 1045.35 Circuitul echivalent pentru inductoare integrate cuplate (LTSpice) . . . . . 1065.36 Simularea modelului aproximativ 1 şi 2 - Y11 şi Y12 . . . . . . . . . . . . . 1085.37 Problema CHRF201 - Reţeaua de discretizare adaptată . . . . . . . . . . . 1085.38 Rezultate Chamy şi SPICE - Y11 şi Y12 - pentru CHRF201 . . . . . . . . . . 1095.39 Rezultate Chamy şi Fredho - Y11 - pentru CHRF201 . . . . . . . . . . . . . 1095.40 Rezultate Chamy şi Fredho - Y12 - pentru CHRF201 . . . . . . . . . . . . . 110

ix

Această pagină este lăsată goală ı̂n mod intenţionat.

Listă de tabele

4.1 Timpii de rezolvare pentru număr diferit de core-uri . . . . . . . . . . . . . 624.2 Timpii de rezolvare pentru diferite griduri de discretizare . . . . . . . . . . 624.3 Rezultatele testelor pentru diferite griduri de discretizare . . . . . . . . . . 674.4 Rezultatele testelor pentru diferite griduri de discretizare . . . . . . . . . . 674.5 Rezulte numerice obţinute cu metode iterative cu precondiţionare . . . . . . 704.6 Rezultatele numerice pentru cele două versiuni . . . . . . . . . . . . . . . 724.7 Convergenţa algoritmului AFS-VF3 pentru problema Ucoupled . . . . . . . 754.8 Timpii de execuţie ai algortimului AFS-VF pentru problema Ucoupled . . . 76

5.1 Parametri geometrici ai straturilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Materialele problemelor CODESTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3 Adâncimea de pătrundere la diferite frecvenţe pentru tronsoanele inductorului 835.4 Raportul dintre semilăţimea t

2a conductorului şi adâncimea de pătrundere

pentru tronsoanele inductorului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.5 Valorile parametrilor concentraţi pentru fiecare simulare . . . . . . . . . . 845.6 Valorile admitanţelor pentru simularea nr.1 la diferite frecvenţe . . . . . . . 865.7 Strategii de alegerea reţelei de discretizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.8 Strategii de alegerea reţelei de discretizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.9 Valorile admitanţelor la diferite frecvenţe şi abaterile lor . . . . . . . . . . 965.10 Convergenţa algoritmului AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.11 Materialele problemelor CHAMELEON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.12 Valorile parametrilor concentraţi pentru fiecare simulare . . . . . . . . . . 1005.13 Convergenţa algoritmului AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.14 Calculul inductivităţii mutuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.15 Valorile parametrilor concentraţi pentru fiecare simulare . . . . . . . . . . 1075.16 Convergenţa algoritmului AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

xi

Această pagină este lăsată goală ı̂n mod intenţionat.

Listă abrevieri

ADS Advanced Design System

AFS Adaptive Frequency Sampling

BEM Boundary Element Method

BiCGSTAB BiConjugate Gradient Stabilized

BiCMOS Bipolar Complementary Metal Oxide Semiconductor

BLAS Basic Linear Algebra Supprograms

CAD Computer Aided Design

CIF Common Intermediate Format

CMOS Complementary Metal Oxide Semiconductor

CPU Central Processing Unit

DAE Differential Algebraic Equations

DCS Distribted Computing Toolbox

DDM Domain Decomposition Method

DoFs Degrees of Freedom

DSO Distributed Solve Option

ED Electrodynamic

EDA Electronic Design Automation

EMCE Electro-Magnetic Circuit Element

EMCE ElectroMagnetic Circuit Element

ENIAC European Nanoelectronics Initiative Advisory Council

EQS Electro Quasi Static

xiii

LISTĂ DE TABELE

ES Electro Static

ETP European Technology Platform

FDM Finite Difference Method

FDTD Finite-Difference Time-Domain

FEM Finite Element Method

FFT Fast Fourier Transfrom

FIT Finite Integration Technique

FMM Fast Multipole Method

FSB Front-Side Bus

FW Full Wave

GMRES Generalized Minimum Residual

GPU Graphic Processing Unit

HPC High Performance Computing

HPS High Performance Solver

IC Integrated Circuit

ILU Incomplete LU

ITRS International Technology Roadmap for Semiconductors

KCL Kirchhoff’s Current Law

KVL Kirchhoff’s Voltage Law

LAPACK Linear Algebra Package

MCAD Mechanical Computer Aided Design

MG Magneto Static

MGE Maxwell Grid Equations

MIMD Multiple Instruction Multiple Data

MISD Multiple Instruction Single Data

MoM Method of Moments

MP MultiProcessing

xiv

LISTĂ DE TABELE

MPI Message Passing Interface

MQS Magneto Quasi Static

MtM More than Moore

MUMPS MUltifrontal Massively Parallel Sparse

NUMA Non-Uniform Memory Access

ODE Ordinary Differential Equation

PCT Parallel Computin Toolbox

PDAE Partial Differential Algebraic Equations

PDE Partial Differential Equations

PEEC Partial Element Equivalent Circuit

RAM Random Access Memory

RFICs Radio Frequency Integrated Circuits

SDM Spectral Decomposition Method

SIMD Single Instruction Multiple Data

SISD Single Instruction Single Data

spmd Single Program Multiple Data

SRA Strategic Research Agenda

UMFPack Unsymmetric MultiFrontal Package

VF Vector Fitting

xv

LISTĂ DE TABELE

Pagina goala

xvi

CAPITOLUL 1

Introducere

1.1 Importanţa şi actualitatea temei

Deoarece costurile pentru fabricarea componentelor de circuit integrat sunt ridicate atâtdin punct de vedere financiar, necesitând maşini şi instrumente de măsură costisitoare, câtşi din punct de vedere al timpului de fabricaţie, procesul de fabricaţie durând ı̂ntre 6 şi 8săptămâni, se alege ca soluţie alternativă modelarea. Faţă de fabricarea prototipului, pentruverificarea unui proiect, simularea are un cost mai scăzut fiind necesare doar un sistem decalcul (hardware) şi un program de modelare şi simulare a componentelor de circuit integrat(software). Modelarea şi simularea circuitelor integrate a devenit o tehnică obligatorie ı̂nproiectarea elctronică. Ea este baza unei tehnologii de proiectare ”automată” a circuitelorintegrate micro- şi nano-electronice numită EDA (Electronic Design Automation).

Tranziţia de la microelectronică la nanoelectronică a deschis drumul spre noi descope-riri. Evoluţia circuitelor integrate stă la baza dezvoltării multor domenii complementare(industrie, medicină, securitate, telecomunicaţii, etc.), deoarece perfomanţele circuitelorintegrate se reflectă ı̂n toată instrumentaţia folosită ı̂n aceste domenii.

În anul 2004, Comisia Europeană a publicat un document [1], prin care s-a ı̂nfiinţatPlatforma Tehnologică Europeană (ETP) şi prin care s-a creat Agenda de Cercetare State-gică (SRA), ambele urmând să promoveze şi să susţină dezvoltarea nanoelectronicii. Celedouă proiecte s-au desfăşurat sub sigla Consiliului Consultativ Iniţiativa Europeană pen-tru Nanoelectronică (ENIAC). ENIAC a avut şi ı̂ncă mai are ca obiectiv crearea unei co-munităţi formată din parteneri din toate domeniile (industriali, reprezentanţi ai cercetării,universităti, organizaţii financiare), care să asigure transferul de informaţie, diseminareade viziuni, accesul la resurse, ı̂ntr-un cuvânt, să asigure dezvoltarea nanoelectronică ı̂nUniunea Europeană. Comunitatea creată de ENIAC ı̂şi desfăşoară activitatea doar la niveleuropean, ı̂nsă există o comunitate şi la nivel global. Harta Internaţională a TehnologiilorSemiconductoarelor (ITRS) [2] are acelaşi rol de a crea o legătură la nivel global, ı̂nsă ı̂ntreindustrie şi comunităţile ce se ocupă de cercetare.

Dezvoltarea tehnicilor de modelare şi simulare cu calculatorul ı̂n proiectarea electronicăautomată a fost identificată ca una din priorităţile, atât ENIAC, cât şi ITRS. Fără simulăricosturile ar creşte şi mai mult, din cauza necesităţii realizării mai multor iteraţii, până cândsunt ı̂ndeplinite specificaţiile de proiect. Nivelul nano poate fi abordat doar folosind sisteme

1

1. Introducere

de calcul de ı̂naltă performanţă şi tehnici speciale de programare. Pentru ca tranziţia de lanivelul micro la nivelul nano să se poată face mai uşor, supercalculatoarele şi tehnicilespeciale de programare trebuie implementate ı̂ncă de la nivelul micro.

Marea majoritate a programelor folosite de proiectanţi pot simula componente de circuitintegrat doar ı̂n banda de frecvenţe 1-10GHz. Aplicaţiile zilelor noastre solicită frecvenţede până la 60-80GHZ, iar ı̂n ultimii ani au apărut aplicaţii până la 300GHz [3]. Pachetelede programe care au la bază rezolvarea câmpului electromagnetic pornind de la ecuaţiilelui Maxwell, sunt cele care pot răspunde acestei provocări, deoarece cu ajutorul lor se potobţine modele după o singură iteraţie, spre deosebire de instrumentele bazate pe analizacircuitelor electrice care pornind de la ecuaţiile Kirchhoff, au nevoie de iteraţii suplimentarepentru a obţine aceste modele.

Un aspect important al proiectării eficiente a componentelor de circuit integrat, se re-feră la efectele câmpului electromagnetic. Proiectarea acestor componente, ţinând cont deefectele câmpului electromagnetic, conduce la modele ce pot conţine milioane de grade delibertate. Din acest motiv, se impune aplicarea unor tehnici de reducere a ordinului mode-lelelor extrase, care transformă modelul iniţial ı̂ntr-unul echivalent din punct de vederea alcomportării pe la terminale, dar de ordin redus.

Pentru a avea timpi rezonabili de obţinere a modelelor, tehnicile de reducere a ordinuluimodelelor trebuie completate cu folosirea supercalculatoarelor şi a tehnicilor de calcul deı̂naltă performanţă.

Evoluţia circuitelor integrate digitale este guvernată de ”Legea lui Moore” [4], carespune că numărul de tranzistoare pe unitatea de suprafaţă se dublează la fiecare 2 ani. Acestlucru a permis dezvoltarea industriei electronice la cote foarte mari, circuitele integratefiind omniprezente ı̂n toate domeniile. Totodată, această creştere exponenţială aduce cuea şi o complexitate ridicată a circuitelor, dar şi un preţ mai scăzut. Până ı̂n anul 2020,strategia ”More Moore”, strategie ce se ı̂ncadrează ı̂n SRA, va ı̂ncerca să sustină dezvotareacircuitelor integrate menţinând costurile la acelaşi nivel scăzut, pentru ca evoluţia să ı̂şicontinue ritmul de creştere exponenţial, menţionat de ”Legea lui Moore”.

Conceptul ”More than Moore” (MtM)[5] se referă la tehnologii hibride, ce dau posi-bilitatea circuitelor integrate de a avea funcţii non-digitale. Dispozitivele MtM oferă con-versia informaţiilor non-digitale şi non-electronice (mecanice, termice, chimice, acustice,funcţii optice, biomedicale) ı̂n date digitale şi invers [6]. Tehnologiile şi produsele MtMcresc numărul de funcţii esenţiale ale unui dispozitiv cu circuite integrate. Dacă strategia”More Moore” continuă miniaturizarea circuitelor integrate, atunci MtM aduce diversifica-rea funcţiilor acestor circuite integrate.

Una din funcţiile analogice, care se integreaza pe acelasi cip cu blocurile digitale, estecea de radiofrecvenţă (comunicare fără fir - wireless). Spre deosebire de blocurile digi-tale, care conţin doar porţi logice şi interconexiuni, cele de rafiofrecvenţă conţin pe lângătranzistoare, şi multe componente pasive: rezistoare, condensatoare şi inductoare. Iată, dece modelarea cu acurateţe şi eficienţă a inductoarelor din circuitele integrate la frecvenţetot mai ı̂nalte, subiectul prezentei teze, este de interes tot mai sporit.

Revenind la infulenţa ”Legii lui Moore” asupra sistemelor de calul (Figura 1.1), scădereadimensiunii tranzistoarelor duce la imposibilitatea creşterii frecvenţei procesoarelor (CPU)supercalculatoarelor, din cauza puterii disipate foarte mari şi a imposibilităţii degajăriicăldurii. Alternativa o reprezintă procesoarele cu mai multe core-uri (nuclee), care au

2

1.1. Importanţa şi actualitatea temei

Figura 1.1: Legea lui Moore - Numărul de tranzistoare dintr-un procesor.

performanţe mai scăzute decât un procesor cu o frecvenţă foarte mare, ı̂nsă această performanţăpoate fi ı̂mbunătăţită dacă se exploatează ı̂n mod eficient arhitectura multicore a proceso-rului. Exploatarea, ı̂n mod eficient, se referă la folosirea paralelismului, ı̂n concepereaalgoritmilor. Acest tip de sisteme multiprocesor pe care se pot rula programe paralele suntreprezentate, fie printr-un calculator cu unul sau mai multe procesoare (multicore sau nu),fie prin sisteme tip cluster de calculatoare. O alternativă multicore, diferită de cea CPU,o reprezintă tehnologia cu procesoare grafice (GPU). Această tehnologie poate să apară ı̂nambele sisteme multiprocesor menţionate anterior.

Toate sistemele de calcul de ı̂naltă performaţă (IBM Sequoia [7], K computer [8] - Top500 Supercomputer [9]), indiferent de tehnologie, CPU sau GPU, au ı̂n comun un conceptcare stă la baza viitoarelor programe: paralelismul. Folosirea algoritmilor paraleli are un rolfoarte important ı̂n reducerea timpului de extragere a modelelor de ordin redus, devenindo necesitate ı̂n proiectarea electronică automată a viitorului, care va avea ca obiect circuiteintegrate de complexitate tot mai mare.

Din punct de vedere al compatibilităţii, programul de modelare trebuie să generezemodelul ı̂ntr-un format standard, compatibil cu alte programe. Majoritatea proiectanţilorde componente de circuit integrat preferă ca format standard modelul SPICE.

Teza de doctorat, ”Modelarea electromagnetică a inductoarelor integrate pe sis-teme de calcul multiprocesor”, are ca principal obiectiv folosirea acestor instrumente decalcul paralel, pentru ı̂mbunătăţirea tehnologiei de modelare electromagnetică a compo-nentelor pasive de circuit integrat, urmărind atât scăderea timpului şi a efortului de calcul,cât si obţinerea unei precizii acceptabile pentru modelele obţinute. Tema tezei este de ac-

3

1. Introducere

tualitate şi prezintă o importanţă ridicată datorită faptului că pe de o parte tot mai multecircuite integrate conţin inductoare sau au efecte inductive relevante, iar, pe de alta parte,foarte multe probleme de complexitate industrială nu pot fi abordate cu tehnicile clasicesecvenţiale, din cauza timpului foarte mare de execuţie [10].

1.2 Structura lucrăriiTeza este alcătuită din şase capitole. Primul capitol reprezintă o intoducere ı̂n care sunt

prezentate importanţa şi actualitatea temei de cercetare, structura tezei de doctorat.Capitolul doi prezintă stadiul actual al modelării inductoarelor integrate. Sunt tratate

atât modelelele cu parametri concentraţi, cât şi modelele cu parmetri distribuiţi, care pre-supun rezolvarea numerică ecuaţiilor câmpului electromagnetic ı̂n regimuri dinamice.

Capitolul trei prezintă descrierea şi analiza procesului de modelare al inductoarelorintegrate, ales pentru a fi studiat ı̂n vederea paralelizării. Sunt prezentate toate etapeleprocesului de modelare: modelarea fizică, modelarea matematică, modelarea numerică şimetoda de reducerea ordinului modelului.

Capitolul patru prezintă avantajele folosirii sistemelor multiprocesor, ı̂n modelarea in-ductoarelor spiralate. In prima parte a acestui capitol, sunt introduse arhitecturile calcu-latoarelor paralele folosite, atât din punct de vedere hardware, cât şi software. În a douaparte, sunt prezentate metodele de rezolvare directă şi iterativă a sistemelor liniare rezul-tate folosind tehnici de calcul paralel. În finalul acestui capitol, sunt propuse două abordăriparalele ale algoritmului de reducere a ordinului modelului, pentru care sunt prezentate şirezultatele obţinute pe probleme de test.

Capitoul cinci prezintă un studiu de caz pe trei probleme reale, ı̂n care se prezintă proce-sul de modelare electromagnetică, validarea lui experimentală şi perfomanţele abordărilorparalele propuse ı̂n capitolul anterior.

Ultimul capitol, face o sinteza a concluziilor ı̂ntregii lucrări, pune ı̂n evidenţă principa-lele contribuţii originale ale tezei şi se ı̂ncheie cu lista de lucrări publicate de autor.

Teza conţine ı̂n anexe codurile programelor dezvoltate de autor. Acestea ı̂mpreunăcu sursele acestui document şi modelele dezvoltate de autor au fost arhivate pe paginapersonală a autorului din intranetul LMN:

http://ro.wiki.lmn.pub.ro/index.php/Utilizator:Iulian

4

CAPITOLUL 2

Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralateintegrate

Stimulată de cererea mare de aplicaţii fără fir, dezvoltarea circuitelor integrate de ı̂naltăfrecvenţă a devenit un subiect de cercetare foarte important al zilelor noastre. Există o marevarietate de circuite integrate, clasificate ı̂n două categorii: circuite analogice şi circuitedigitale. Din punct de vedere tehnologic, circuitele integrate pot fi realizate sub formăhibridă sau sub formă monolitică.

Circuitele integrate hibride sunt circuite electronice ı̂n miniatură alcătuite din dipozitiveindividuale (tranzistoare, diode, rezistoare, inductoare, condensatoare) [11].

Circuitele integrate monolitice se obţin integral pe aceeaşi plăcuţă de material semicon-ductor (cip sau ”chip”) [11]. Cipul este alcătuit dintr-o combinaţie de mai multe straturi(straturi de difuzie, straturi de contact, straturi izolatoare), fiecare strat fiind realizat prinfotolitografie.

Acest studiu se va concentra pe cea mai importantă componentă pasivă integrată deı̂naltă frecvenţă: inductorul spiralat.

În general, cea mai ı̂ntâlnită tehnologie de fabricaţie a circuitelor integrate este teh-nologia CMOS [12] [10]. Principalele avantaje ale acestei tehnologii sunt consumul re-dus de putere, uşurinţa ı̂n procesul de proiectare şi performanţele din ce ı̂n ce mai buneobţinute odată cu scalarea dispozitivelor (Legea lui Moore). Consumul redus de putereşi performanţele bune se datorează tranzistoarelor din dispozitivul CMOS, care comutămult mai repede ı̂ntre starea pornit/oprit, deoarece componentele sunt foarte mici şi foarteaproape una de cealaltă. Tehnologia BiCMOS [13] adaugă noi avantaje, cum ar fi imu-nitatea la zgomot, liniaritatea, buna conectivitate cu alte dispozitive, capacitate de stocaremare, o mai bună optimizare a performanţelor şi un grad de integrare mai ridicat. Proce-sul de fabricaţie este unul complex, ce implică sute de paşi care trebuie executaţi ı̂ntr-osecvenţă bine definită, cu un control foarte riguros al parametrilor tehnologici. Pentru aobţine un randament bun, adică un preţ nu foarte ridicat, ı̂nsă cu păstrarea performanţelor,procesul de fabricaţie trebuie să fie foarte bine planificat.

De-a lungul anilor tehnologiile de fabricaţie a inductoarelor spiralate au evoluat, ı̂nsădin cauza costului ridicat al realizării de prototipuri, s-au dezvoltat diferite tehnici de mo-delare a acestor inductoare. Tehnicile de modelare au rolul de a extrage modele ce permitstudierea comportamentului componentei modelate ı̂n diferite situaţii (conectarea ı̂ntr-un

5

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

circuit), ı̂nainte ca aceasta să fie realizată practic. În prezent, se evidenţiză două tehnici dea inductoarelor:

1. modelul de circuit cu parametri concentraţi;

2. modelul de circuit cu parametri distribuiţi.

Pentru a putea face o comparaţie din care să rezulte avantajele şi dezavantajele folosiriilor, ı̂n continuare, se vor prezenta tehnici de modelare pentru inductoarele integrate, atât cuparametri concentraţi, cât şi cu parametri distribuiţi.

2.1 Modele cu parametri concentraţiCircuitele care conţin un număr finit de elemente ideale simple, caracterizate de para-

metrii lor rezistivi, capacitivi sau inductivi, sunt numite circuite cu parametri concentraţi.Elementele pot fi pasive (rezistoare, inductoare, condensatoare) sau active (surse, genera-toare). Acest studiu se va concentra asupra avantajelor şi dezavantajelor folosirii modelelorcu parametri concentraţi pentru inductoarelor spiralate.

Modelul pentru un inductor spiralat conţine o serie de paramtetri, ce sunt ı̂ntr-o strânsălegătură cu proprietăţile geometrice ale spirei. În funcţie de cerinţele aplicaţiei forma spira-lei poate fi [14]: rectangulară (Figura 2.1a), octogonală (Figura 2.1b), hexagonală (Figura2.1c) şi circulară (Figura 2.1d).

Din punct de vedere tehnologic, bobinele cu formă rectangulară sunt cel mai simplu derealizat, ı̂nsă, dezavantajul vine din faptul că adaugă un conţinut mare de zgomot din ca-uza unghiurilor drepte. Forma circulară oferă cele mai bune performanţe, dar, ı̂ngreuneazăprocesul de fabricaţie, fapt pentru care nu se foloseşte decât pentru realizarea inductoare-lor mari. Compromisul ı̂ntre dificultatea procesului de fabricaţie şi performanţe ı̂l oferăbobinele cu formă octogonală şi hexagonală.

Teoria circuitelor electrice cu parametrii concentraţi se elaborează prin particularizareateoriei câmpului electromagnetic, ı̂n anumite ipoteze simplificatoare [15]:

1. fenomenul de propagare nu se manifestă, condiţie ı̂ndeplinită dacă frecvenţa estedestul de mică, astfel ı̂ncât lungimea undei electromagnetice λ, să fie mult mai maredecât lungimea circuitului L:

L� λ = c · T = cf

; (2.1)

2. energia câmpului electric este localizată numai ı̂n dielectricul condensatoarelor, iarenergia câmpului magnetic este localizată numai ı̂n miezul bobinelor, ceea ce presu-pune că se neglijează atât inducţia electrică, implicit curentul de deplasare, peste totı̂n circuit cu excepţia condensatoarelor, cât si inducţia magnetică, cu excepţia bobi-nelor;

3. se neglijează repartiţia neuniformă a curentului variabil ı̂n timp pe secţiunea conduc-toarelor. La viteze mari de variaţie ı̂n timp a curentului electric electric de conducţieşi la valori mari ale conductivităţii σ, permeabilităţii µ şi a celei mai mici dimensiunii

6

2.1. Modele cu parametri concentraţi

Figura 2.1: Forme inductoare: (a) pătratică, (b) octogonală, (c) hexagonală, (d) circulară

d a secţiunii transversale a unui conductor izolat, densitatea de curent este mai marela suprafaţa conductorului. Acest efect, numit pelicular, este neglijabil dacă e sa-tisfăcută condiţia, ca diametrul conductorului d să fie mult mai mic decât adâncimeade pătrundere δ:

d

δ� 1; δ = 1√

πfµσ. (2.2)

Practic, modelarea se rezumă la găsirea unui circuit echivalent, care pentru a avea oacurateţe ridicată trebuie să modeleze principalele efecte parazite, ı̂ntr-o gamă de frecvenţecât mai extinsă.

În anul 1996, Yue propune unul din primele modele cu parametri concetraţi pentruinductorul spiralat [16]. Acesta se doreşte a fi un model cu acurateţe ridicată, care să ţinăcont de principalele efecte ale câmpului electromagnetic: curenţii turbionari din spiralaconductoare şi capacităţile parazite aparute ı̂ntre spire, dar şi cele apărute ı̂ntre spirală şisubstraturile inductorului. Câţiva ani mai târziu, ı̂n anul 2000, autorul publică ı̂n lucrarea[17], ı̂ntreg procesul de dezvoltare al modelului propus ı̂n lucrarea precedentă [16] (Figura2.2).

Parametri concentraţi ai modelului din Figura 2.2 sunt definiţi astfel:

• rezistenţa serie Rs:

Rs =ρ · l

w · δ · (1− e−t/δ), (2.3)

unde ρ rezistivitatea metalului, l lungimea totală a spiralei, w lăţimea liniei (Figura

7

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

Figura 2.2: Modelul cu parametri concentraţi pentru inductorul spiralat

2.1 (a)), adâncimea de pătrundere δ, t grosimea metalului (se constată, deci, că seı̂ncearcă modelrea efectului pelicular, chiar şi pe un model cu parametri concentraţi);

• inductivitatea serie Ls, calculată folosind algoritmul Greenhouse [18], care a devenito metodă de referinţă pentru calculul inductanţei proprii;

• capacitatea serie Cs:

Cs = (N − 1) · w2 ·εOx

tOx M1−M2, (2.4)

unde N numărul de spire, tOx M1−M2 grosimea stratului de oxid dintre stratul demetal al spiralei şi metalul folosit pentru legături;

• capacitatea stratului de oxid COx:

COx =1

2· l · w · εOx

tOx, (2.5)

unde tOx grosimea stratului de oxid dintre spirală şi substrat;

• capacitatea stratului de Si CSi:

CSi =1

2· l · w · CSub , (2.6)

unde CSub capacitarea substratului pe unitatea de suprafaţă;

• rezistenţa stratului de Si RSi:

RSi =2

l · w ·GSub, (2.7)

unde GSub conductanţa substratului pe unitatea de suprafaţă.

Parametrii paraziţi sunt aproximaţi folosind modele simple de câmp uniform. Apariţiaadâncimii de pătrundere, care depinde de frecvenţă, face ca modelul să nu fie riguros cuparametri concentraţi.

8

2.1. Modele cu parametri concentraţi

Factorul de calitate Q este calculat cu formula:

Q =ω · LsRs

· Rp

Rp +

[(ω·LsRs

)2+ 1

]·Rs×(

1− R2S · CoLS

− ω2 · LS · Co), (2.8)

unde Co = Cp + Cs. În relaţia factorului de calitate Q (2.8) primul termen conţineinformaţia referitoare la energia magnetică stocată şi pierderile rezistive ı̂n spirala conduc-toare. Al doilea termen este factorul de pierderi ı̂n substrat reprezentând energia disipată ı̂nstratul semiconductor de Si. Ultimul termen este factorul de rezonanţă.

Desigur, principalul neajuns al acestui model este acela că este valabil numai pentrufrecvenţe de maxim 1GHz.

O analiză comparativă a metodelor, pentru calculul inductivităţilor bobinelor spiralateplane, este prezentată ı̂n [19]. Rezultatele acestei lucrări sunt implementate ı̂ntr-un calcu-lator on-line de inductivităţi [20]. În anul 2001, raportul [21] prezintă analiza formulelorde calcul a inductivităţilor proprii şi mutuale, dintre tronsoanele conductoare.

În 2002, este adusă o ı̂mbunătăţire a modelului pentru inductorul spiralat de lucrarea[22], care propune un nou model cu parametri concentraţi (Figura 2.3), numit circuitul π.O schemă mai exactă de modelare a efectul pelicular şi a curenţilor turbionari, se obţineprin adăugarea unui grup LskRsk paralel (Figura 2.3). Banda de frecvenţe creşte până la3GHz.

Grupul LskRsk paralel modelează aproximativ dependenţa adâncimii de pătrundere ı̂nfuncţie de frecvenţă, iar acest lucru se reflectă ı̂n factorul de calitate, care are valori impre-cise la frecvenţe de ordinul gigahertzilor.

Figura 2.3: Modelul cu parametri concentraţi pentru inductorul spiralat cu adăugarea unuigrup LskRsk paralel.

În 2003, lucrarea [23] prezintă un studiu privind cercetările ultimilor ani ı̂n domeniulproiectării şi modelării inductoarelor spiralate. Circuitul echivalent propus de autori (Fi-gura 2.4), prezintă, pe lângă elementele cunoscute, şi un circuit cuplat mutual, care mode-lează curenţii induşi ı̂n substrat.

Acest studiu demonstrează că forma cea mai bună pentru inductoarele spiralate estecea circulară, iar frecvenţa maximă, ı̂n care factorul de calitate are valori acceptabile, este

9

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

Figura 2.4: Modelul cu parametri concentraţi pentru inductorul spiralat.

de 2.4GHz. Acestea nu reprezintă o soluţie, deoarece forma circulară implică procesetehnologice destul de complicate.

Tot ı̂n acelaşi an, lucrarea [24] introduce un nou model pentru inductorul spiralat, de-numit şi circuitul 2π (Figura 2.5). Modelul ı̂nlătură dependenţa de frecvenţă, calculândvalorile elementelor de circuit cu ajutorul unor fomule derivate din teoria circuitelor şi te-oria câmpului, formule ce au la bază forma geometrică a inductorului. Folosirea a douămodele π ı̂nlanţuite, care conţin elemente de circuit independente de frecvenţă permit ana-liza tranzitorie şi lărgesc banda de frecvenţe până la 4GHz.

Figura 2.5: Modelul cu parametri concentraţi pentru inductorul spiralat 2π.

Un an mai târziu, mergând pe aceeaşi idee de a folosi circuitul echivalent 2π cu ele-mente de circuit independente de frecvenţă, lucrarea [25] prezintă o metodă de modelarea caracterului distribuit al sistemului, prin extracţia valorilor elementelor de circuit dinmăsurătorile paramentrilor de ı̂mprăştiere S pentru circuitul cu două secţiuni. Modeleleextrase cu ajutorul acestei metode sunt valabile ı̂n banda de frecvenţe 0.1-10GHz. Chiardacă metoda de modelare este una empirică, ea demonstrează că există modele cu un numărrelativ redus de parametri concentraţi, pentru o plajă de frecvenţe destul de largă.

În 2005, lucrarea [26] propune extragerea elementelor circuitului echivalent folosindteoria liniei de transmisie. Folosind serii Taylor şi aproximări raţionale se demostrează că

10

2.2. Modele cu parametri distribuiţi

se pot obţine valori foarte acceptabile pentru elementele de circuit, ı̂n banda de frecvenţă0.1-25GHz. O analiza a scalabilităţii modelelor cu parametri concentraţi este prezentată ı̂n[27].

În 2008, lucrarea [28] continuă ideea de a extrage valorile elementelor circuitului decircuit din măsurătorile parametrilor reţelei (S sau Y). Cu toate acestea banda de frecvenţerămâne destul de ı̂ngustă pentru aplicaţiile actuale. Acest studiu demonstrează, că ipotezelesimplificatoare, ale teoriei circuitelor cu parametri concentraţi, sunt prea restrictive pentrusituaţiile practice: de exemplu, conform ipotezei 3, la frecvenţe de 60GHz, doar circuitelecu lungimi mult mai mici de 500µm se pot trata folosind teoria cu parametri concentraţi.Această limitare nu poate fi satisfăcută, deoarece există aplicaţii ı̂n care inductoarele inte-grate au dimensiuni mai mari de 500µm [29], iar lungimea de undă scade odată cu creştereafrecvenţei.

În concluzie, se constată, că ipotezele simplificatoare ale teoriei circuitelor cu parametriconcentraţi, nu mai pot fi satisfăcute de circuitele integrate actuale, deoarece aplicaţiileimplică frecvenţe mari de lucru, astfel ı̂ncât nu se mai poate neglija nici un efect al vreuneiadin componentele câmpului electromagnetic. Prin urmare, teoria cu parametri concetraţinu poate răspunde cerinţelor circuitelor integrate de ı̂naltă frecvenţă, astfel ı̂ncât, ı̂n acestcontext, o nouă teorie trebuie abordată, teorie care să ia ı̂n calcul toate efectele câmpuluielectromagnetic sau să fie mai puţin restrictivă decât teoria cu parametri concentraţi.

2.2 Modele cu parametri distribuiţi

Teoria liniilor de transmisie furnizează un model tipic cu parametri distribuiţi [30].Prin parametri distribuiţi ai unui circuit electric, se ı̂nţelege, că proprietăţile circuitului(rezistenţe, inductivităţi, capacităţi) sunt distribuite, ı̂n mod continuu ı̂n spaţiul circuitul saupe o parte a acestuia. În general, teoria liniilor de transmisie este folosită pentru aplicaţiicu frecvenţe de lucru foarte mari, ı̂nsă ea poate fi folosită şi la frecvenţe joase, pentru liniilungi (de exemplu, liniile de transport de energie electrică). Principala condiţie a acesteiteorii, este ca lungimea de undă λ (2.1) să fie comparabilă cu lungimea circuituluiL sau maimică decât aceasta. Astfel, la 60GHz, având o lungime de undă de 500µm, se pot abordacircuite cu lungimi comparabile cu această valoare [29][31], spre deosebire de teoria cuparametri concentraţi, ce impune o lungime a circuitului mult mai mică decât lungimea deundă.

Modelul cu parametri distribuiţi oferă o acurateţe mai mare decât modelul cu parametriconcentraţi, ı̂nsă complexitatea modelului este mult mai mare. Acurateţea modelului pro-vine din faptul că se ia ı̂n considerare interacţiunea reciprocă a efectelor câmpului electro-magnetic, iar complexitatea provine din faptul că modelul este descris de ecuaţii cu derivateparţiale. Modelul cu parametri distribuiţi, descris de ecuaţiile lui Maxwell, completat curelaţiile consitutive de material şi cu condiţiile pe frontieră, este un model continuu, infi-nit dimensional. Pentru a obţine un model discret, cu o dimensiune finită, se foloseşte ometodă numerică pentru a discretiza ecuaţiile lui Maxwell, dintre care cele mai importantesunt: FEM (metoda elementului finit), FDM (metoda diferenţelor finite) şi BEM (metodaelmentelor de frontieră), numită şi MoM (metoda momentelor).

Metoda elementului finit (FEM) reprezintă unul din cele mai populare instrumentepentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ı̂n diferite domenii, printre care şi electromagnetis-

11

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

mul. În continuare, se va prezenta principiul general al metodei, după care va fi prezentatun exemplu de problemă, având ca scop prezentarea modului de discretizare a ecuaţiilor luiMaxwell, care sunt un sistem de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale.

Principalul avantaj al acestei metode este că poate trata probleme cu o complexitate ri-dicată a geometriei. Acest lucru se datorează folosirii reţelelor de discretizare nestructurate(unstructured meshes), care pot fi alcătuite, ı̂n funcţie de tipul problemei 1D, 2D, 3D, dindiferite elemente geometrice simple, respectiv segmente, triunghiuri sau patrulatere, tetra-erdre, prisme, piramide sau hexaedre (triunghiulare sau patrulatere) (Figura 2.6). Folosireareţelelor de discretizare nestructurate permite modelarea obiectelor ce prezintă curbe, ı̂ntimp ce alte metode, cum ar fi metoda diferenţelor finite (FDM), nu pot aborda astfel deobiecte, decât introducând mari aproximări, din cauza restricţiei reţelei de discretizare, caretrebuie sa fie cartezian.

Figura 2.6: Forma elementelor finite. (a) unidimensionale. (b) bidimensionale. (c) tridi-mensionale.

În plus, folosirea formei triunghiulare pentru elementul finit, permite rafinarea reţelei dediscretizare pe anumite porţiuni, rezultând o reţea adaptivă (Figura 2.7) [32]. Prin utilizareareţelei adaptive se ı̂mbunătăţeşte acurateţea soluţiei, dar creşte şi dimensiunea modelului,lucru ce impune folosirea unor sisteme de calcul de ı̂naltă performanţă. Algoritmii de gene-rare a reţelelor de disctretizare adaptive se bazează pe estimarea erorii, folosind indicatoride eroare [33][34], astfel ı̂ncât, iterează următoarea secvenţă de paşi:

1. calculeză soluţia numerică pentru reţeaua actuală;

2. calculează indicatorii de eroare pentru fiecare element;

3. rafinează reţeua, prin divizarea elementelor care au cel mai mare indicator de eroare.

Metoda elementului finit are mai multe avantaje, totuşi, dezavantajul metodei este pusı̂n evidenţă la rezolvarea problemelor tranzitorii ı̂n domeniul timpului. După discretizareaspaţială cu FEM se obţine un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare, care trebuie integratenumeric. Din păcate, acest sistem are o formă, care impune folosirea metodelor implicite deintegrare, deci, la fiecare pas de timp trebuie rezolvat un sistem liniar de mari dimensiuni,lucru ce este inadmisibil de costisitor, din punct de vedere al resurselor computaţionale.În schimb, discretizarea directă a ecuaţiilor lui Maxwell prin diferenţe finite sau tehnica

12

2.2. Modele cu parametri distribuiţi

Figura 2.7: Reţea de discretizare adaptiv

integralelor finite (FIT), conduce la metoda FDTD, care are caracter explicit, astfel, efortulde calcul la fiecare iteraţie fiind mult mai mic. Deci, pentru un acelaşi model, metoda ele-mentului finit va avea nevoie de mai multe resurse, atât din punct de vedere al procesorului,cât şi din punct de vedere al memoriei.

Algoritmul de rezolvare al ecuaţiilor cu derivate parţiale cu metoda elementului finit,presupune execuţia unei serii de paşi. Se consideră ecuaţia ı̂n domeniul Ω de forma

Lφ = f , (2.9)

unde L este un operator diferenţial (de regulă liniar de ordinul doi, de tip eliptic, cum estede exemplu operatorului Lapalce), f este sursa câmpului şi φ câmpul necunoscut, de regulă,un potenţial.

În electromagnetism, acestă formă apare ı̂n rezolvarea problemelor din regimurile sta-tice, staţionare sau MQS, EQS, ED, cu variaţie armonică ı̂n timp, după reprezentarea ı̂ncomplex. În aceste situaţii, problema este descrisă de ecuaţii de tip scalar sau vectorial,eliptic (Poisson, Lapalce, Helmhotz), parabolic (cum este ecuaţia difuziei câmpului ı̂n re-gim MQS) sau hiperbolic (cum este ecuaţia de propagare a undelor electromagnetice). Ne-cunoscutele pot fi potenţialele scalar şi/sau vectorial sau componenetele câmpului electricşi/sau magnetic.

Metoda elementelor finite ı̂nlocuieşte domeniul continuu cu un număr finit de subdo-menii de formă geometrică foarte simplă, ı̂n interiorul cărora soluţia are variaţie spaţialăpolinomială.

Primul pas al analizei cu elemente finite constă ı̂n discretizarea domeniului, care presu-pune descompunerea domeniului Ω ı̂n elemente, care se vor nota cu e. Gradul de discreti-zare reprezintă un factor foarte important al metodei, deoarece o discretizare densă poateconduce la un timp de rezolvare foarte mare sau chiar imposibilitatea rezolvării, din motivede insuficinenţă a memoriei. În schimb, discretizarea insuficient de fină duce la o soluţie

13

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

numerică lipsită de acurateţe. Fiecare element este caracterizat de parametri geometrici,ce indică poziţia nodurilor, dar şi parametri topologici, care indică nodurile ce definesc olatură. Soluţia numerică a problemei este descrisă de gradele de libertate, care indică, deregulă, valoarea soluţiei ı̂n noduri sau circulaţia ei de-a lungul muchiilor.

Pornind de la valorile gradelor de libertate se interpoleaza soluţia ı̂n intregul domeniu decalcul, folosind un set de funcţii de bază, cu carcater polinomial. Acest set este definitoriupentru metoda de elemente finite folosită. Cu cât gradul polinoamelor este mai mare, cuatât ordinul metodei aplicate este mai mare [35]. Acest al doilea pas constă ı̂n alegereafuncţiilor de interpolare, numite şi funcţii de formă [36]. Expresia soluţiei numerice dinelementul e are forma:

φe =n∑j=1

N ej φej = [N

e]T [φe] , (2.10)

unde n este numărul de noduri ale elementului, φej reprezintă gradele de libertate, adicăvaloarea soluţiei φe ı̂n nodul j al elementului, iar N ej (x) funcţia de interpolare a nodului j,numită şi funcţia de bază.

Pasul al treilea ı̂l reprezintă generarea sistemului de ecuaţii algebrice liniare [37], pentrucare se foloseşte forma slabă a ecuaţiei obţinută fie prin metoda reziduurilor ponderate(metodă de proiecţie), fie prin metoda variaţională (minimizarea funcţionalei de energie).Metoda Rayleigh-Ritz se aplică atunci când există o funcţională de energie, al cărui minimcorespunde soluţiei, cum se ı̂ntâmplă ı̂n problemele staţionare de câmp electromagnetic.Metoda Galerkin face parte din familia metodelor de proiecţie şi este cea mai des folosităabordare ı̂n analiza cu elemente finite. În cazul problemelor staţionare, descrise de ecuaţiide tip eliptic, cele două metode sunt perfect echivalente, generând acelaşi sistem de ecuaţiiliniare.

Se consideră φ̃ aproximarea soluţiei φ, pentru care reziduul are forma

r = Lφ̃− f . (2.11)

Metoda reziduului ponderat impune condiţia

Ri =

∫Ω

wir dΩ = 0 i = 1, n, (2.12)

unde Ri reziduul ponderat al integralei şi wi reprezintă funcţiile pondere ”de test”, care ı̂ncazul metodei Galerkin se aleg identice cu funcţiile de bază. Înlocuind r şi wi ı̂n formula(2.13), se obţine reziduul ponderat al elementului e

Rei =

∫ΩeN ei (Lφ̃

e − f) dΩ i = 1, n. (2.13)

În relaţia reziduului ponderat (2.13) se ı̂nlocuieşte expresia elmentului e (2.10)

Rei =

∫ΩeN ei L[N

e]T dΩ [φe]−∫

ΩefN ei dΩ i = 1, n. (2.14)

Această relaţie este de forma a(u,w) = f(w) pentru orice w apartine unui spaţiu liniar H(de tip Hilbert). Această ultimă relaţie se numeşte forma slabă a ecuaţiei şi este descrisă de

14

2.2. Modele cu parametri distribuiţi

funcţionala biliniara a(u,w), simetrică şi pozitivă, şi de funcţionala liniara f(w). Dacă seconsidera spaţiul liniar H , ca unul finit dimensional, de exemplu, cel generat de funcţiilede bază, atunci forma slabă poate fi scrisă matriceal:

[Re] = [Ke][φe]− [be] (2.15)

unde [Re] vector n× 1, [Ke] matrice n× n, unde Kei,j sunt definiţi de relaţia (2.16), şi [be]vector n× 1, cu elemente bei definite de relaţia (2.17):

Kei,j =

∫ΩeN ei LN

ej dΩ , (2.16)

bei =

∫ΩefN ei dΩ , (2.17)

Matricea [Ke] poartă numele de matrice de rigiditate, datorită faptului că această metodă afost aplicată prima dată ı̂n mecanică.

Folosind valorile elementului e, se poate extinde relaţia (2.15) ca o sumă a tuturorelementelor

R =M∑e=1

[Re] =M∑e=1

[Ke][φe]− [be] . (2.18)

Egalând cu zero fiecare proiecţie a reziduului din relaţia (2.18) se obţine sistemul de ecuaţii

M∑e=1

[Ke][φe]− [be] = [0] , (2.19)

care poate fi scris sub formă compactă ca

[K][φ] = [b] . (2.20)

Aceşti paşi, de generare a sistemului de ecuaţii (2.20), reprezintă etapa de preproce-sare a analizei cu elemente finite. Următoarea etapă constă ı̂n rezolvarea sistemului deecuaţii (2.20) folosind fie metode directe, fie metode iterative de rezolvare. Ultima etapă oreprezintă interpretarea rezultatelor, şi anume calcularea şi vizualizarea diferitelor mărimiderivate asociate problemei, această etapă fiind postprocesarea.

Prezentarea metodei elementului finit, făcută anterior, are un caracter principial şi rela-tiv superficial, deoarece nu tratează ı̂n detaliu problema condiţiilor de frontieră. Pentru alămuri acest aspect vor fi prezentate câteva exemple preluate din [32], care detaliază apli-carea metodei elementului finit. Un exemplu de analiză cu elemente finite ı̂n domeniu 2Deste calculul rezistenţei unei plăci conductoare (Figura 2.8).

În regim electrocinetic, potenţialul scalar satisface o ecuaţie Laplace generalizată, re-latia (2.9) căpătând, ı̂n domeniul bidimenional S al plăcii, forma unei ecuaţii cu derivateparţiale de ordinul doi, de tipul:

− ∂∂x

(αx∂φ

∂x)∂

∂y(αy

∂φ

∂y) + βφ = f (x, y) ∈ S (2.21)

15

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

Figura 2.8: Placă conductoare ı̂n domeniu 2D.

care poate fi rescrisă ca

−∇ · (α∇φ) + βφ = f pe S (2.22)

şi completată cu condiţii pe frontieră Dirichlet (2.23) şi Neumann (2.24):

φ = p pe L1 , (2.23)

n̂ · (α∇φ) + γφ = q pe L2 . (2.24)

Reziduul ponderat, ”funcţia de test” wi (2.13), scris pentru domeniul S, devine∫S

wi[−∇ · (α∇φ) + βφ− f ]dS = 0 , (2.25)

care se rescrie ca ∫S

wi[−∇ · (α∇φ) + βφ]dS =∫S

wifdS . (2.26)

Întegrând prin părţi folosind identitatea lui Green, relaţia anterioară devine

∇ · [wi(α∇φ)] = α∇wi · ∇φ+ wi∇ · (α∇φ) . (2.27)

Folosind teorema lui Gauss pentru domeniu 2D∫S

∇ · FdS =∫L1+L2

n̂ · Fdl (2.28)

cu F = wiα∇φ, se obţine forma slabă a ecuaţiilor (2.22), (2.23) şi (2.24)∫S

(α∇wi · ∇φ+ βwiφ)dS =∫L2

wi(q − γφ)dl +∫S

wifdS . (2.29)

16

2.2. Modele cu parametri distribuiţi

Această etapă mai poate fi numită, şi trecerea de la forma tare (2.22), (2.23) şi (2.24),la forma slabă (2.29), ecuaţie integral-diferenţială ce conţine şi condiţiile pe frontieră. Înmetoda Galerkin se aleg funcţiile de interpolare identice cu funcţiile de bază. Deci, folosindrelaţia (2.10) ce descrie elementul, şi ı̂nlocuind wi ı̂n forma slabă se obţine:∫

S

(α∇N ei · ∇N ej + βN eiN ej )dS −∫L2

N ei (q − γN ej )dl =∫S

N ei fdS . (2.30)

În relaţia 2.31, se separă cunoscutele de necunoscute∫S

(α∇N ei · ∇N ej + βN eiN ej )dS +∫L2

N ei γNej dl =∫

L2

N ei qdl +

∫S

N ei fdS ,

(2.31)

unde ı̂n membrul stâng se vede funcţionala biliniară, iar, ı̂n membrul drept funcţionalaliniară. Relaţia (2.31), matriceal devine

[Ke][φe] = [be] (2.32)

unde

Kei,j =

∫S

(α∇N ei · ∇N ej + βN eiN ej )dS +∫L2

N ei γNej dl , (2.33)

bei =

∫L2

N ei qdl +

∫S

N ei fdS . (2.34)

Scriind relaţia (2.19), pentru toate elementele, se obţine sistemul liniar Kφ = b. Indicele jparcurge toate nodurile, ı̂nsă indicele i parcurge doar nodurile ı̂n care φei nu este cunnoscut(nodurile de pe curba L2, cele de pe curba L1 fiind cunoscute din condiţia Dirichlet). Deci,o parte din vectorul φ se cunoaşte, astfel că sistemul liniar se poate rescrie

[KD | Ke][φD φe]T = KDφD +Keφe = b . (2.35)

KD şi φD sunt cunoscute, datorită condiţiiei Dirichlet, şi, ı̂n consecinţă, sistemul de rezolvatse rescrie

Keφe = b−KDφD . (2.36)

Dimensiunea sistemului liniar ce trebuie rezolvat (numărul de necunoscute - grade delibertate) este egal cu numărul nodurilor interioare plus numărul nodurilor de pe frontierăNeumann. Nodurile de pe frontiera Dirichlet având potenţial fix, nu generează grade delibertate. În soluţia numerică aceste condiţii vor fi ı̂ndeplinite exact, ı̂n timp ce condiţiileNeumann sunt ı̂ndeplinite aproximativ, pe cât de bine posibil.

Condiţiile de frontieră de tip Neumann intervin ı̂n ecuaţia rezolvată, motiv pentru careele se numesc ”naturale”, ı̂n schimb condiţiile Dirichlet trebuie satisfăcute de funcţiile deforma, motiv pentru care ele se numesc ”esenţiale”. Această separare este esenţială pentru

17

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

Figura 2.9: Distribuţia potenţialului ı̂n placă conductoare

metoda elmentului finit. În lucrarea [35], sunt date expresii ale funcţiilor de bază pen-tru diferite grade ale polinoamelor de interpolare. Folosind coordonatele baricentrice, ı̂ncazul triunghiurilor şi tetraedrelor, contribuţiile elementelor la matricea sistemului capătăexpresii analitice compacte.

Revenind la problema iniţială, rezistenţa plăcii conductoare, se poate calcula ı̂n etapade postprocesare prin aproximarea potenţialului electrocinetic (Figura 2.9), ca soluţie aecuaţiilor (2.22)-(2.24), ı̂n care α este conductivitatea σ, β = 0, γ =0 si q = 0, ı̂n douămoduri:

• integrând componenta normală a densităţii de curent pe o secţiune a plăcii, pentru aobţine curentul:

I =

∫S

J · ndS . (2.37)

Resistenţa se obţine din legea lui Ohm R = U/I , unde U e definit ca diferenţăde potenţial ı̂ntre potenţialele plăcii conductoare (Figura 2.8, linie continuă şi linieı̂ntreruptă).

• calculând puterea totală disipată ı̂n placă

P =

∫V

J · EdV, (2.38)

apoi rezistenţa se calculează ca R = U2/P .

Folosirea potenţialului scalar, reprezintă modul tipic de rezolvare a problemelor statice,ı̂nsă pentru probleme de câmp, din regimurile magnetic staţionar, MQS şi general varia-bil, este necesară folosirea potenţialului vector şi a ecuaţiilor vectoriale pentru câmpuri.Modelele cu elemente nodale dau, ı̂n aceste cazuri, rezultate eronate. Cea mai bună me-todă de aproximare a câmpului electromagnetic, ı̂n acest caz, foloseşte elemente de muchie[38]. Funcţiile de bază pentru elementele de muchie sunt construite astfel ı̂ncât componentatangenţială este continuă pe frontiera elementelor, ı̂n timp ce componenta normală poateavea şi discontinuităţi. Din acest punct de vedere, principala diferenţă ı̂ntre problemele

18

2.2. Modele cu parametri distribuiţi

scalare şi cele vectoriale, constă ı̂n alegerea funcţiei de bază (wi). Expresii ale funcţiilor debază vectoriale cu elemente de muchie, de diferite ordine, sunt prezentate lucrarea ı̂n [35].

Un exemplu de utilizare a elementelor de muchie este rezolvarea ecuaţiei vectorialeHelmholtz de tip rot − rot pentru E, ı̂n regim general variabil, cu variaţie armonică ı̂nfuncţie de timp:

∇× (µ−1∇× E)− (ω2ε− jωσ)E = −jωJS pe S, (2.39)n̂× E = P pe L1, (2.40)

n̂× (µ−1∇× E) + γn̂× n̂× E = Q pe L2, (2.41)

unde relaţia (2.40) reprezintă o condiţie Dirichlet şi relaţia (2.41) o condiţie Robin, iar JS

este sursă de curent.La fel ca ı̂n cazul problemei statice (2.22)-(2.24), folosind identitatea lui Green, se

rescrie ecuaţia (2.39) cu ajutorul reziduului ponderat (”funţia de test”) wi:

∇ · [wi × (µ−1∇× E)] = µ−1(∇× wi) · (∇× E)−wi · ∇ × (µ−1∇× E)

(2.42)

Termenul divergenţă din relaţia (2.42) este integrat folosind teorema lui Gauss pentru do-menii 2D (2.28), rezultând forma slabă:∫

S

[µ−1(∇× wi) · (∇× E)− (ω2ε− jωσ)wi · E]dS

+

∫L2

wi · (Q− γn̂× n̂× E)dl = −jω∫S

wi · JSdS .(2.43)

Principala diferenţă, faţă de problema statică constă ı̂n alegerea funcţiilor de bază, care ı̂ncazul anterior erau funcţii nodale, iar ı̂n acest caz, funcţia wi = N ei (x) este de elementde muchie. Elementele de muchie vor reprezentă gradele de libertate. Soluţia Ee(x) sedezvoltă pentru toate elementele de pe muchie (analog relaţiei 2.10):

Ee =n∑j=1

N ejEej , (2.44)

Se aplică metoda Galerkin, alegând funcţiile de test wi(x) = N ei (x), apoi se ı̂nlocuieşteı̂n (2.43), şi, separând cunoscutele de necunoscute, se obţine:∫

S

[µ−1(∇×N ei ) · (∇×N ej )− (ω2ε− jωσ)N ei ·N ej ]dS

+

∫L2

γ(n̂×N ei ) · n̂×N ej )dl = −jω∫S

N ei · JSdS −∫L2

N ei ·Qdl ,(2.45)

care matriceal poate fi scris

[Ke][φe] = [be] . (2.46)

19

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

Rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea acestui sistem complex de ecuaţii algebriceliniare. Elementele matricei [Ke] pot fi scrise sub forma

Keij =

∫S

[µ−1(∇×N ei ) · (∇×N ej )− (ω2ε− jωσ)N ei ·N ej ]dS

+

∫L2

γ(n̂×N ei ) · n̂×N ej )dl ,(2.47)

termenii liberi

bei = −jω∫S

N ei · JSdS −∫L2

N ei ·Qdl , (2.48)

iar necunoscutele

φej = Eej . (2.49)

Indexul j merge până la numărul total de muchii din reţeaua de discretizare n, iar indexuli, reprezintă elementele ı̂n care E este cunoscut, din condiţia Dirichlet (2.40) pe L1.

Un alt exemplu este o problemă variabilă ı̂n timp pentru ecuaţia undei electromagnetice[32] ı̂ntr-o zonă fără pierderi, cu condiţii de frontieră nule, având ca sursă, condiţia iniţială:

∇×(

1

µ∇× E

)+ ε

∂2E

∂t2= 0 pe S, (2.50)

n̂× E = 0 pe L1, (2.51)E(r, t = 0) = E0(r) pe S, (2.52)

∂E(r, t)

∂t|t=0 = 0 pe S. (2.53)

Pe lângă condiţia pe frontieră (2.51), apar şi condiţiile iniţiale (2.52) şi (2.53), deoareceavem o ecuaţie de ordinul doi variabilă ı̂n timp (2.50). Câmpul electric se dezvoltă ı̂nelementele de muchie. Discretizarea trebuie făcută şi ı̂n timp, spre deosebire de cazulanterior, ı̂n care ea s-a facut doar ı̂n spaţiu. Sistemul rezultat este un sistem cu ecuaţiidiferenţiale ordinare (ODE):

Sφ(t) + c−20 M∂2φ(t)

∂t= 0, (2.54)

unde S este matricea de rigiditate, iar M matricea de masă. Pentru a rezova acest sistempot fi folosite diferenţe finite centrate:

M(φn+1 − 2φn + φn−1) = −(c0∆t)2Sφn (2.55)

şi trebuie specificate condiţiile iniţiale φ1 şi φ2, ı̂nsă principalul dezavantaj al acestei metodeeste acela că la fiecare pas de timp trebuie calculată inversa matricei M (2.56), operaţie cepoate fi costisitoare atât din punct de vedere al timpului, cât şi din punct de vedere alresurselor sistemului de calcul:

φn+1 = 2φn − φn−1 − (c0∆t)2M−1Sφn . (2.56)

20

2.2. Modele cu parametri distribuiţi

În concluzie, indiferent de tipul aplicaţiei, analiza cu elemente finite conduce la rezol-varea unui sistem liniar care, de regulă, are matricea rară, simetrică şi pozitiv definită, binecondiţionată, ceea ce garantează o rezolvare ce implică un consum mai redus de resurse decalcul.

O altă metodă de discretizare a ecuaţiilor lui Maxwell, este metoda momentelor (MoM)[39], cunoscută şi ca metoda elementului de frontieră (BEM). Din punct de vedere al me-moriei şi efortului de calcul, metoda momentelor este mai eficientă decât metoda elemen-tului finit, deoarece implică calculul valorilor, doar pentru elementele aflate pe frontieradomeniului de calcul şi pe interfeţele dintre subdomeniile omogene.

Făcând o analogie cu metoda elementului finit, rezolvarea unei probleme de electro-magnetism cu metoda momentelor, implică aproape aceeaşi secvenţă de paşi. Se considerăecuaţia ı̂n domeniul Ω:

Lφ = f , (2.57)

unde L este un operator, de această dată, integral, f este sursa câmpului şi φ câmpul ne-cunoscut. Aceasta este deosebirea fundamentală ı̂ntre cele două metode. Dacă ı̂n FEMse porneşte de la ecuaţiile diferenţiale, care se reformulează ı̂n forma slabă, ı̂n BEM sefolosesc ecuaţiile integrale ale câmpului electromagnetic. Aceste ecuaţii se scriu folosindfuncţia Green a domeniului de calcul, pentru un operator specific problemei. Această etapăpresupune, deci, inversarea operatorului difernţial. Soluţia φ problemei (2.57) se dezvoltăca ı̂n metoda elementului finit:

φ =n∑j=1

cjvj , (2.58)

unde cj coeficienţi necunoscuţi, iar vj funcţii de bază. Înlocuind (2.58) ı̂n (2.57), se obţine:

n∑j=1

cjLvj = f . (2.59)

Pentru a determina necunoscutele cj , se alege, ca soluţie a unui sistem matriceal, un set defuncţii de test (pondere) wi. Considerând produsul scalar al relaţiei (2.59) cu wi, rezultă

n∑j=1

cj〈wi, Lvj〉 = f i = 1,m . (2.60)

Cele mai folosite funcţii de test, pentru metoda momentelor, sunt:

• funcţia Dirac

wi(x) = δ(x− xi) , (2.61)

cu xi reprezentând un set de puncte ı̂n domeniul soluţiei. Relaţia (2.61) reprezintăsatisfacerea ecuaţiei integrale pe un anumit set de puncte. Formularea este cunoscutăsub numele de ”potrivirea punctului”.

21

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

• funcţia

wi(x) =

{1 x ı̂n Ωi0 ı̂n afară (2.62)

unde Ωi subdomeniul i. Relaţia (2.62) reprezintă satisfacerea ecuaţiei integrale pefiecare subdomeniu. Formularea este cunoscută sub numele de ”colocarea subdome-niului”.

• funcţia de test aceeaşi cu funcţia de bază

wi(x) = vi(x) , (2.63)

cunsocută sub numele de formularea Galerkin.

• funcţie de test Lvi

wi(x) = Lvi(x) , (2.64)

cunoscută ca formularea celor mai mici pătrate.

Folosind funcţiile de test se trece la forma matriceală a relaţiei (2.60):

[S][c] = [b] , (2.65)

unde S matricea sistemului cu elemente

Sij = 〈wi, Lvj〉 , (2.66)

b coloana termenilor liberi cu elemente

bi = 〈wi, f〉 , (2.67)

iar c vectorul necunoscutelor.Pentru a arăta modul de implementare al metodei MoM, se va prezenta un exemplu de

calcul al potenţialului electric, preluat din [32].În electrostatică, potenţialul electrostatic φ este determinat ı̂n vid de densitatea de sar-

cina ρ, care este sursă de câmp electric, conform ecuaţiei lui Poisson:

∇2φ = − ρε0

(2.68)

această fiind forma difierenţială de ordinul doi, a ecuţiei fundamentale a electrostaticii.Soluţia ecuaţiei Poisson este superpoziţia contribuţiilor φ = q

4πε0|x−x′| , sarcinilor elemen-tare q = ρvdV ı̂n x′:

φ(x) =

∫V

ρ(x′)dV ′

4πε0|x− x′|. (2.69)

expresie numită integrala coulombiană a potenţialului. Potenţialul produs de o sarcinăpunctiformă este chiar funcţia Green.

22

2.2. Modele cu parametri distribuiţi

Dacă potenţialul φ este cunoscut, relaţia (2.69) poate fi privită ca o ecuaţie integralăde variabilă ρ. Această formulare integrală este potrivită pentru probleme de calcul decapacităţi, unde potenţialul este cunoscut pe frontierele conductoare, iar sarcina există doarpe aceste frontiere şi distribuţia sa este necunoscută. Potenţialul, notat cu φS , va avea,valori egale cu 0 pe o armatura conductoare şi valori egale cu 1 pe cealaltă. Ca alternativăla rezolvarea ecuaţiei Laplace, pentru potenţialul ı̂n vid, se poate calcula densitatea desarcină ρS pe S, rezolvând ecuaţia integrală∫

S

ρs(x′)

4πε0|x− x′|dS ′ = φS(x) . (2.70)

Pentru un condesator 2D, integrala pe suprafaţă se reduce la o integrală pe linie şi sefoloseşte, ca pondere, potenţialul logaritmic, care are expresia potentialului coulombian,din problemele plan-paralele, produs de o sarcină distribuită lineic:

− 12πε0

∫S

ρl(x′)ln|x− x′|dl′ = φS(x) . (2.71)

În electrostatică, funcţia Green G(x, x′) reprezintă potenţialul electric ı̂n punctul x produsde o sarcină din punctul x′. Într-un domeniu 3D, ea este

G(x, x′) =1

4πε0|x− x′| . (2.72)

Aplicând principiul superpoziţiei, se obţine soluţia, ı̂n formă integrală, a ecuaţiei (2.57),pentru domeniu 3D

φ(x) =

∫G(x, x′)ρs(x

′)dV ′ . (2.73)

În general, problema diferenţială (2.57) se poate rescrie ı̂n formă integrală ca

φ(x) =

∫G(x, x′)f(x′)dV ′ . (2.74)

După aplicarea algoritmului metodei momentelor, sistemul Sc = b, ce caracterizeazăaceastă problemă, va avea elemente de forma

Sij =

∫wi(x)φk(x)dS =

xwi(x)G(x, x

′)f(x′)dS dS ′ , (2.75)

bi =

∫wi(x)(̄φ)(x)dS , (2.76)

unde φ̄(x) este cunoscut, el fiind potenţialul pe suprafeţele conductoare.În concluzie, algoritmul MoM discretizează nu forma slabă a ecuaţiilor diferenţiale,

cum se ı̂ntâmplă ı̂n cazul FEM, ci ecuaţiile integrale ale câmpului. Aceasta este şi princi-pala sa dificultate, deoarece, pentru obţinerea ecuaţiilor integrale, este necesară cunoaştereafuncţiei Green a operatorului problemei rezolvate. Un alt dezavantaj, este acela că matri-cea sistemului liniar, rezultat ı̂n urmă aplicării MoM, este densă (plină), ceea ce implicăun necesar mai mare de memorie, spre deosebire de FEM, la care matricea este rară, dar

23

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

de dimensiuni mai mari. De asemenea, şi rezolvarea sistemului dens necesită o cantitatede memorie mai mare decât rezolvarea unui sistem cu matrice rare. Mai mult, matriceasistemului nu este nici măcar garantat simetrică, ı̂n toate cazurile. Pentru a reduce atât con-sumul de resurse, cât şi timpul de rezolvare s-au dezovltat metode rapide de rezolvare: FFTsau FMM, ambele folosite ca metode iterative de rezolvare.

Metoda diferenţelor finite, cu varianta ei diferenţe finite ı̂n domeniul timpului (FDTD),este o metodă numerică de rezolvare a ecuaţiilor câmpului bazată pe discretizarea ecuaţiilorcu derivate parţiale prin diferenţe finite. Restricţia fundamentală a acestei metode constă ı̂nfaptul că soluţia este calculată ı̂ntr-o reţea de discretizare structurată, obţinută prin produsulcartezian al unor reţele unidimensionale după directiile x, y şi z. O restricţie asemănătoareeste impusă şi de metoda Integrătilor Finite (FIT), care poate fi aplicată atât ı̂n domeniultimpului (FIT-TD), cât şi ı̂n cel al frecvenţei (FIT-FD). Principiul acestei metode va fi pre-zentat ı̂n capitolul următor.

Ca şi concluzie generală, indiferent de metoda numerică folosită pentru discretizareaecuaţiilor lui Maxwell (MoM [39], FDTD [40], FEM [41], FIT [42]), problema se va re-duce, tot timpul, la rezolvarea unui sistem liniar. De aceea, tipul matricei sistemului (rară,plină, simetrică, nesimetrică, complexă, reală, pozitiv definită, diagonal dominantă, etc),rezultată ı̂n urma aplicării metodei numerice, este foarte important ı̂n alegerea unei metode”adecvate” de rezolvare, directă sau iterativă.

Modelarea efectelor inductive reprezintă un aspect important al obţinerii modeluluide ordin redus, sub forma unui circuit cu parametri concentraţi, pentru un dispozitiv de cir-cuit integrat. Istoric, prima metoda de modelare inductivă a fost propusa de Ruehli, care aintrodus prin metoda PEEC [43] [44], conceptul de inductivitate parţială pentru modelarea3D a dispozitivelor din circuitele integrate. Această metodă: discretizează conductoarele ı̂nsegmente elementare (de formă paralelipipedică) şi forma integrală a ecuaţiilor câmpului,evaluează elementele parţiale de circuit ce descriu cuplajele electrice şi magnetice şi asam-blează sistemul provenit din ecuacţiile Kirchhoff pentru curenţi şi tensiuni. Modelul re-zultat este descris de matrice pline ce conţin inductivităţile parţiale, proprii şi mutuale.Principalele dezavantaje ale acestei metode sunt matricele pline (a căror aproximare rarănu este pasivă, deci nici stabilă), şi inductivitatea parţială care este doar o mărime de calcul,nu şi o mărime fizică riguros definită, care să poată fi măsurată pentru o comparaţie cu dateexperimentale.

FastHenry [45] este o tehnică de accelerare a extragerii matricei inductanţelor parţialedin PEEC, bazată pe dezvoltarea ı̂n multipoli, care s-a dovedit foarte eficientă ı̂n cazurilepractice.

În lucrarea [46] este introdus modelul K, model caracterizat de matricea K a reluc-tantelor magnetice (numită greşit şi a susceptanţelor), definită ca inversa matrice inducti-vităţilor parţiale H = L−1. În lucrarea [47], acest subiect a fost reluat şi s-a demonstrat cămatricea K poate fi aproximată robust (fără pierderea pasivităţii) cu o matrice rară şi că eaeste matrice simetrică de tipM (cu termenii nediagonali negativi şi cu cei diagonali pozitivişi dominanţi) şi ı̂n consecinţă ea este diagonal dominantă. Principalul dezavantaj este cămatricele K nu pot fi direct simulate ı̂n SPICE. Lucrarea [48] demonstrează instabilitateanumerică a metodei K propuse ı̂n lucrările citate anterior (instabilitatea provine din anula-rea unor termeni negativi de pe diagonală care face ca matricea K să fie pozitiv definită) şipropune un nou algoritm care are la bază tot metoda K, prin care se obţin matrice K rare,

24

2.2. Modele cu parametri distribuiţi

dar care ı̂n acelaşi timp păstrează şi stabilitatea numerică.Iniţial metoda VPEC este propusă ı̂n lucrarea [49] pentru a două conductoare, ı̂nsă

Hao Yu preia acest subiect şi propune o metodă VPEC [50], metodă care are la bază totvarianta K a metodei PEEC, pentru N conductoare. Această metodă exprimă parametriiK folosind potenţialul magnetic vector şi ı̂nlocuieţe inductanţele cu reluctanţe magnetice.În final, modelul obţinut este caracterizat de matrice rare şi permite simularea ı̂n SPICE.Practic se porneşte de la modelul PEEC, se calculează inversa matricei L, se obţine modelulcu matrice pline VPEC, se generează modelul VPEC cu matrice rare, pentru ca ı̂n final săse facă simularea ı̂n SPICE.

În concluzie, metoda PEEC are ca principale dezavantaje folosirea inductivităţii parţiale,discretizarea conductorului şi cunoaşterea funcţiei Green (vezi prezentarea MoM), ı̂n timpce metoda VPEC are ca principal dezavantaj calculul inversei matricei inductivităţilorparţiale L−1.

Metoda circuitelor echivalente Magneto-Electrice (MEEC) [51] [52] reprezintă o al-ternativă ce evită dezavantajele metodelor PEEC şi VPEC. Această metodă foloseşte con-ceptul de element electromagnetic de circuit [53] şi tehnica de descompunere ı̂n subdomenii[54]. În cazul tipic al unui inductor integrat (Figura 3.1), domeniul de calcul este alcătuitdin trei subdomenii care conform metodei MEEC pot fi simulate ı̂n regimuri diferite (stra-tul de oxid de siliciu ı̂n FW, EQS+MS pentru stratul de siliciu şi ES+MS pentru stratul deaer). Avantajele acestei metode sunt: conceptul de inductivitate parţială este eliminat, con-ductorul nu este discretizat ı̂n segmente (de fapt el este discretizat ı̂ntr-un sistem de buclefundamentale, fiecare dintre acestea satisfăcând conservarea curentului), nu este necesarăcalcularea inversei matricei inductivităţilor, scrierea cu matrice rare este robustă, permitefolosirea calculului paralel pentru descompunerea ı̂n subdomenii şi permite simularea di-rectă ı̂n SPICE. Prin folosirea discretizării ı̂n bucle, complexitatea problemei este redusă şieste micşorat corespunzător atât efortul de calcul cât şi necesarul de memorie.

De cele mai multe ori, metodele de discretizare numerică şi de modelare prezentate maisus se găsesc ı̂n programe comerciale sau open-source, care conţin la rândul lor metode derezolvare corespunzătoare sistemelor liniare de rezolvat, generate ı̂n urma dicretizării. Încontinuare se vor prezenta pe scurt câteva din cele mai importante programe de modelarepentru inductoarele integrate, evidenţiind folosirea sistemelor multiprocesor.

ANSYS HFSS

ANSYS HFSS (High Frequency Structural Simulator) [55] este un program al firmei ame-ricane Agilent, ce foloseşte pentru simularea câmpului electromagnetic ı̂n domeniu 3D,special conceput pentru modelarea componentelor din circuitele integrate (Figura 2.10[56]). Programul conţine o suită de metode de rezolvare, proprii, pentru rezolvarea sis-temelor liniare rezultate ı̂n urma discretizării ecuaţiilor lui Maxwell cu metoda elementelorfinite, metode de rezolvare ce pot fi selectate manual ı̂n funcţie de tipul de simulare exe-cutat. HFSS a fost dezvoltat sub ı̂ndurmarea profesorului Zoltan Cendes ı̂n UniversitateaCarnegie Mellon ı̂n colaborare cu firma ANOSOFT, ı̂nsă, ulterior, a fost vândut, ı̂n finalajugând sub tutela companiei ANSYS.

Date de intrare: geometria poate fi importată prin programul AnsoftLinks dintr-unfişier schemă (layout file generat cu Cadence, Mentor Graphics, Synopsys, Zuken, Altium- AnsoftLinks for ECAD [57]) sau dintr-un fişier CAD (generat cu ProE, STEP, IGES -

25

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate

Figura 2.10: Captură din ANSYS HFSS.

AnsoftLinks for MCAD [58]). Reţeaua de discretizare este generat ı̂n mod automat, avândşi posibilitatea de a-l specifica manual.

Date de ieşire: ı̂n afara vizualizării câmpului electromagnetic, se mai pot extrage douătipuri de date:

• sub forma unor fişiere ce conţin funcţii de circuit şi parametri de ı̂mpăştiere (S, Y ,Z);

• sub formă unui fişier ce conţine descrierea, ı̂n limbaj SPICE, a circuitului echivalentpentru dispozit modelat.

HFSS poate accelera modelarea, obţinând timpi de execuţie mai mici, prin folosireacalculului de ı̂naltă performanţă (HPC) astfel:

• pe sisteme cu unul sau mai multe procesoare multicore, programul dispune de multi-procesare (MP - multiprocessing), aceasta constând ı̂n apelarea operaţiilor de algebrăliniară paralele, ı̂n procesul de factorizare, discretizare sau de calcul al câmpului;

• pe sisteme tip cluster, programul dispune de următoarele tehnici:

– descompunerea domeniului (DDM - domain decomposition method) ı̂maparteo problemă mare ce nu poate ı̂ncapea ı̂n memoria unui singur sistem de cal-cul, accesând memoria fiecărui nod din cluster ca o memorie globală (memoriecomună distribuită - distributed shared memory - subcapitolul 4.1). Aceastămetodă poate fi privită mai mult ca o metodă de abordare a problemelor foartemari, şi mai puţin ca o metodă de accelerare;

– descompunerea spectrală (SDM - spectral decomposition method) distribuiesubseturi din seria de frecvenţe, fiecare nod din cluster rezolvând sistemul li-niar doar pentru subsetul primit. În funcţie de numărul de frecvenţe, dar şide configuraţia hardware a nodurilor clusterului, timpul de simulare se reducefoarte mult;

26

2.2. Modele cu parametri distribuiţi

– metoda de rezolvare distribuită (DSO - distributed solve option) constă ı̂n ı̂mpărţireasarcinii de rezolvare ı̂n sarcini indepente (ı̂mpărţirea pe subdomenii a proble-mei), mai mici, ce pot fi executate ı̂n paralel pe noduri diferite. Această metodăpoate fi folosită ı̂n combinaţie cu medoda DDM.

Figura 2.11: Captură din SONNET.

SONNET

SONNET [59] este un program de modelare electromagnetică, ce ı̂şi propune să răspundăcerinţelor ridicate de simularea componentelor din circuitele integrate de ı̂naltă frecvenţă(Figura 2.11 [60]). Teoria de la baza acestui program [61] constă ı̂n rezolvarea ecuaţiilorlui Maxwell cu ajutorul metodei momentelor.

Date de intrare: geometria poate fi desenată ı̂n mediul grafic oferit de SONNET, ı̂nsă,geometriile pot fi importate din fişiere ı̂n format .DXF [62] sau .GDSII [63], precum şiformatul Gerber [64]. Reţeaua de discretizare se generează automat, având şi posibilitateade a-l specifica şi manual.

Date de ieşire: se pot vizualiza răspunsul, câmpul electromagnetic, densitatea de cu-rent, dar se poate extrage şi circuitul echivalent SPICE al dispozitivului modelat. În plus,aceste date se pot exporta ı̂n fişiere compatibile cu CADENCE, SPECTRE etc.

Din punct de vedere al folosirii resurselor hardware, SONNET foloseşte procesarea pe64 de biţi. Din punct de vedere al calculului de ı̂naltă performanţă (HPC), SONNET poateexploata arhitectura sistemelor multiprocesor astfel:

• pe sisteme cu unul sau mai multe procesoare multicore, programul perimte procesa-rea paralelă pentru a rezolva părţi individuale ale matrice momentelor (solver distri-buit), la fiecare frecvenţă. Folosind instrumentul SONNET Desktop Solver (DST) sepot folosi până la maxim 3 core-uri, ı̂n timp ce instrumentul SONNET High Perfor-mance Solver (HPS) poate