termodinamica - probleme

7/30/2019 Termodinamica - Probleme

1/21

ENUNURI

(Soluiile sunt prezentate ncepnd cu pagina 7)

1. Se consider un gaz molecular, plasat ntr-un cmp electric Er

. Se cunoate numrul demolecule din unitatea de volum, n. Fiecare molecul are un moment electric dipolar p. Sistemul

este izolat fa de alte aciuni externe. Calculai polarizarea electric P a gazului, n funcie detemperatur.

2. ntr-un recipient de volum V se afl un gaz la temperatura T, compus din N particule cu masade repaos nul.tiind c energia i impulsul particulei sunt corelate prin relaia E = pc,scrieiecuaia de stare i deducei expresia energiei interne a gazului.

3. Calculai procentul q de molecule ale cror viteze nu difer cu mai mult de q = 10% de viteza:a) cea mai probabil; b) medie; c) ptratic medie.

4.

a) Precizai curba pe care se plaseaz maximele distribuiei maxwelliene, cnd temperaturavariaz;b) Precizai cel de al doilea punct de intersecie al unei curbe de distribuie cu curba maximelor;c) Calculai raportul temperaturilor pentru care dou curbe de distribuie se intersecteaz chiar n

punctul de maxim al celei de a doua curbe?

5. ntr-un cuptor se afl un gaz perfect la temperatura T. Moleculele gazului pot prsicuptorul printr-un mic orificiu ajungnd ntr-o incint vidat.a).Estimai numrul total de molecule ce prsesc cuptorul n unitatea de timp, pe uni-tatea de arie;b).Estimai energia cinetic medie a moleculelor emise prin orificiu i comparai valoa

rea acesteia cu valoarea energiei cinetice medii datorate translaiei moleculelor din in-teriorul cuptorului;c).Stabilii expresia vitezei celei mai probabile a moleculelor ntr-un astfel de fascicul molecular.

6. Stabilii expresia probabilitii ca o molecul aflat n cmp gravitaional terestru, consideratomogen, s se gseasc la o nlime cuprins n intervalul z, z+dz i s aib viteza cuprins nvolumul elementar dvxdvydvz din spaiul vitezelor, centrat pe v.

7. Se presupune c la temperatura T apropiat de punctul de fierbere, moleculele superficiale aleunui lichid se mic dup o repartiie a vitezelor de tip Maxwell. Cunoscnd cldura latent deevaporare L i numrul de molecule din unitatea de volum n, precizai:

a)

viteza de evaporare pe unitatea de arie;b) expresia dependenei presiunii vaporilor saturai de temperatura la echilibrul statistic.

8. Se consider un gaz rarefiat aflat n echilibru termodinamic la temperatura T. Fiecare atom algazului emite o singur linie spectral cu frecvena 0 n sistemul de coordonate legat de atom.Masa unui atom gram de gaz este M. Se cere:a) S se gseasc repartiia spectralI() a luminii emise de gaz;


2/21

b) Definind lrgimea Doppler a liniei spectraleD ca intervalul de frecvene, pentru care I()este egal cu jumtate din valoarea sa maxim stabilii expresia acestei lrgimi.

c) Calculai D a liniei 0=6328 nm emise de neon la T=300K, cunoscnd Ne=20KgKmol-1

9. Calculai numrul moleculelor dN(v) care lovesc unitatea de suprafa a peretelui n unitatea de

timp i au modulul vitezei cuprins ntre v i v+dv. Calculai apoi numrul total N de moleculecare lovesc unitatea de suprafa a peretelui n unitatea de timp. Care este energia cinetic detranslaie Ec a celor dN(v) molecule?

10. Precizai traiectoria punctului figurativ n spaiul fazelor pentru un corp de masm care este aruncat de jos n sus cu viteza iniial v0 n cmp gravitaional de la nli-mea h0.

11. Precizai traiectoria punctului figurativ n spaiul fazelor pentru un oscilator armonic liniarcare oscileaz dup legea: ( ) += tAq cos Verificai prin calcul direct conservarea volumului din spaiul fazelor n timpul micrii.

12. Se consider un oscilator amortizat, a crui lege de micare este de forma:( ) += tAeq t cos

a) precizai i reprezentai grafic traiectoria punctului figurativ n spaiul fazelor;b) dac


3/21

jurul unei axe verticale ce trece printr-unul din capete. Se va considera pentru variaia presiunii

gazului cu distanax fa de ax, relaia: )(pp,ep)x(p TRx

0002

22

==

19.Se consider un gaz n cmpul gravitaional terestru considerat omogen. Precizai pentru acestsistem:a) greutatea coloanei de gaz de nlime h;b) energia potenial medie a unei molecule din gaz;c) cldura molar suplimentar pe care o are n cmp gravitaional.

20. Scriei funcia care descrie distribuia canonic a strilor unei molecule de gaz ideal, nesupusnici unui cmp de fore exterior.

21. Se consider o cavitate cubic de latur a n care se formeaz unde staionare. Deduceiexpresia densitii spectralo-volumice a numrului de unde staionare

+=

30

),(lim

a

n care ( ) +, reprezint numrul undelor staionare distincte, de frecvene cuprinse ntrei + care pot exista n cavitate.

22.Precizai dependena de altitudine a raportului concentraiilor a dou gaze cu maselemoleculare 1 i 2 i calculai nlimea la care coninutul de hidrogen se dubleaz fa deconinutul de bioxid de carbon.Se cunosc:T=280K,

2H=2 [kg/kmol],

2CO=44 [kg/kmol].

23. Se consider un corp paramagnetic caracterizat de o magnetizaie totalM. Demonstrai c ncazul acestui sistem fizic exist relaia:

.0,

=

p

M

H

V

pT

24. Precizai efectul produs de polarizarea unitii de volum a unui dielectric atunci cnd seneglijeaz variaia volumului la temperatur constant i particularizai pentru cazul n

careT

ctT

.1)( += .

25. Se consider un sistem continuu de volum constant ce conine un singur component izotop in interiorul cruia se creeaz un gradient de temperatur. Neglijnd celelalte fenomene detransport n afara conduciei termice, se cere:

a)s se scrie expresia sursei de entropie i ecuaia fenomenologic n acest caz;b)s se arate c n starea staionar este valabil principiul produciei minime de entropie;

c)s se verifice prin calcul direct c n general 0

dt

Sd

t

i ,n care

dt

Sdi este producia

minim de entropie =V

Si dVdt

Sd .


4/21

26. n cazul unei substane para e ideale, magnetizaia variaz cu temperatura nmagnetic

conformitate cu legea lui Curie:T

CHM =

at adiabatic,

. Artai c n condiiile n care cmpul magnetic

variaz, iar sistemul este izol ,0 dHTc

CH

dT H

= n care cHeste capacitatea caloric anitii de volum.u

27. Susceptibilitatea a unei substane paramagnetice este de forma: ,T

= unde C este o

constant pozitiv. Determinai cldura schimbat de unitatea de volum a substanei cu mediulextern cnd temperatura se menine la va

C

loarea T1 iar intensitatea cmpului magnetic crete de lalaH. Se neglijeaz variaia volumului.

e de temperatur dupgea U=aT4,n care a este o constant. Se neglijeaz variaia volumului.

l H/T, este independent de M. Se neglijeaz variaia volumului. Stabilii expresiantropiei.

nd energia E este nchis n volumul V. S se

espunztor din spaiul fazelor

0

28. Determinai variaia temperaturii ntr-un proces de demagnetizare adiabatic a unei substane

paramagnetice pentru care energia intern a unitii de volum u depindle29. Artai c energia intern a unitii de volum pentru o substan a crei magnetizaie depindede raportue30. Un gaz ideal format din N particule i avexprime cu ajutorul distribuiei microcanonice:a) Volumul cor .

) Ecuaia de starea a gazului.

1. S se calculeze volumul unei sfere de raz R ntr-un spaiu n dimensional.

ticul a unui gaz ideal plasat ntr-

n cmp exterior

b) Entropia S.

c)

Temperatura T a sistemului.d332. Estimai n baza distribuiei canonice, probabilitatea ca o par

)rU s aib coordonata cuprins n intervalul )rdr,r + .u33. Un gaz ideal ce conine n molecule de masm n unitatea de volum, este nchis la temperaturaT ntr-un vas care are pe unul din perei un mic orificiu. Care este viteza medie cu care ies

oleculele n direcia axei x prin orificiu?m

34. S se determine 2xv peste o distribuie maxwellian a vitezelor moleculelor unui gaz, apoi s

e identifice energia cinetic medie ce revine unui grad de libertate n micarea de translaie.

nea din numrul total al moleculelor unui gaz cu modulul vitezelor mai mic dect

s35. Calculai:a) Fraciu

v .viteza


5/21

b) Fraciunea din numrul moleculelor cu viteza mai mare dect viteza cea mai probabil, vp.c) Ce fraciune din numrul total al moleculelor gazului au energia cinetic a micrii de

laie mai mare dect energia cinetic medie2

3KTtrans .

p gravitaionalmogen, cunoscnd acceleraia gravitaieig, masa moleculei m, i temperatura, T.

prinse ntervalele: vx ntre 200 i 202 ms

-1; vy ntre 450 i 455 ms-1; vz ntre 300 i 299 ms

-1.

zot cu vitezele cuprinse la 0 C n intervalul 250

60

36. Precizai poziia centrului de greutate al unei coloane de gaz ideal aflat n cmo37. Se consider oxigen ntr-o incint avnd volumul de 1 mm3, la temperatura 300Ki presiunea2 at. Calculai numrul moleculelor al cror componente de vitez au valori cuin38. Calculai numrul relativ de molecule de a 0

sm2 . Se cunoate masa molar a azotului 013,28= .

rilor s se calculeze numrul moleculelor dintr-un kmol de H2

cu

m/s.

) care au viteza m/s.

ell s se determine numrul de particule care au energia mai mic,spectiv mai mare dectKT.

mic P0 pentru ca temperatura

urma ndepr-rii peretelui izolant. Volumele celor dou compartimente sunt egale.

2. Exprimai energia intern U cu ajutorul funciei de partiie a distribuiei canonice (3.81):

are satisface repartiia Maxwell. Calculai pentru o molecul:

39. Folosind funcia erotemperatura T = 500 K:a) care au proiecia x a vitezei vx < 500 m/s.b) care au mrimea vitezei v < v0 = 10

3

3c 0 102vv =>40. Folosind distribuia Maxwre41. Se consider un sistem izolat, alctuit din 2 subsisteme la temperaturile T1 i T2 de valoriapropiate desprite de un perete adiabatic i care conin cte un mol de gaz ideal. S se

determine de cte ori este mai mare probabilitatea termodinasubsistemelor s devin aceeai dect probabilitatea termodina-mic P1 pentru ca sistemele s rmn la temperaturile avute iniial, nt443. Se consider un gaz molecular c

a. Energia cinetic medie, cE .2b. Energia cinetic ptratic medie, cE .

2c2c EE c. Abaterea ptratic medie a energiei, .

m/s. Se cunosc: masa molar a oxigenului i

onstanta R gazelor perf

44. Estimai numrul relativ de molecule de oxigen a cror vitez la temperatura T = 300K este

cuprins n intervalul 200 s/m -210 1Kmol32 =

ecte, 8310 11KKmolJ .c


6/21

45. Se defin te drumul liber mediu ntre dou ciocniri ale moleculelor,e ca distaolecul ntre dou alte molecule. Calculai numrul mediu

na medieparcurs de o m ciocniri succesive cu

de ciocniri N ale moleculelor unui gaz n unitatea de timp cunoscnd m104 6= i viteza

ptratic medie 12 sm900v = .

46. Calculai va sei ce poate fi estimat prloarea minim a ma in folosirea unei balane cu fir de

uar, la 300K cunoscnd constanta elastic a resortului. Se cunosc: constanta

47. Se consider c nivelele energetice E cu gradele de degenerare gi sunt populate ncomformitate cu repartiia la echilibru n statistica Maxwell Boltzmann:

16 mN106k =clui Boltzmann 123B KJ1038,1k

= i acceleraia gravitaiei 2sm8,9g = .

KT

1,egZ,eg

Z

NN

i

Ei

Eii

ii === 0

48. Scriei expresiile urmtoarelor mrimi termodinamice: energia intern

volum constant, energia liber, presiunea, entalpia i entalpia liber. Se va folosi pentru

,capacitatea caloric la

probabilitatea termodinamic n statistica Maxwell Boltzmann, expresia: =i i !N

!NP .

49. Precizai funcia de p

Nig

i

artiie, energia intern, entropia i capacitatea caloric la volum constant

ergie E i E2 ( ) de ponderi statistice g1 i respectiv g2. Se presupune clibru cu un termostat la temperatura T i ascult de statistica Maxwell

Boltzmann.Aplicaie numeric:

51. S considerm unnul de altul i cu ponderile statistice

. Sistemul se afl la temperatura 300K. s se determine capacitatea caloric

3. Deducei expresia vitezei medii n cazul distribuiei lui Maxwell a moleculelor dup valoarea

pentru un gaz molecular n care fiecare molecul are dou nivele de energie electronice deaceeai degenerescen.

50. Determinai probabilitile de regrupare a nivelelor energetice, funcia de parie Z i energiaintern U pentru un sistem molecular ce conine N molecule n care fiecare molecul are dounivele de en 21 EE


7/21

2v54. Stabilii expresia vitezei ptratice medii n cadrul distribuiei Maxwell Boltzmann a

moleculelor dup valoarea absolut a vitezelor.

5. S se obin expresia mediei statistice a puterii a n a a valorii absolute a vitezei n cadrul

6. Descriei expresia energiei cinetice medii de translaie

5distribuiei maxwelliene.

5 i expresia mediei ptratului energiei

cinetice de translaie a moleculelor unui gaz ideal 2 n cadrul distribuiei maxwelliene.

57. Calculai probabilitatea ca n cazul distribui ell direcia vitezei s fie cuprins ntr-ununghi solid dat.

58. Se consider un gaz ideal ntr-un cilin

ei Maxw

dru vertical de nlime h0i raz r0 care se rotete n

mpul magnetic terestru cu viteza unghiularc n jurul unei axe verticale. Stabilii expresiadistribuiei moleculelor dup coordonate.

mpul electric orienteaz dipolii moleculari pe o direciecorespunznd unei energii de interaciune. Energia de interac oleculei cu cmpul este de

c ,

*

SOLUII

1. n absena cmpului electric, orientarea momentelor dipolare ale moleculelor este haoticdatorit vibraiilor moleculelor. C

ie a mnatur poteniali se exprim prin:

cos)( 0EpEpW ==rr

unde este unghiul ntre momentul de dipol electric

0pr

i cmpul ele tric Er

. Valoarea medie acomponentei momentului dipolar molecular, paralelcu direcia cmpului

== dppp )(coscos 00 Pr

unde

=

de

KTE

d KTW )()(exp)(

P

reprezint fraciunea din moleculele dipolare ce se afl n unghiul solid d, adic n unghiulcuprins ntre conurile de unghiuri i +d. Se obine d=2sind, [ ] ,0

=

0

00

0

d

desincospp

cos

cosKTEp

r

Introducem notaia

0

esin KTEp

KT

Epa 0 i obinem:

d

p0cos

0pr d


8/21

( )

),a(Lpa

acthpaash

achpash

aln

ap

eea

lna

pea

lna

pd aacosa

esinlna

pp cosa

=

=

=

1

11

0

u T foarte mic)

= 0r

=

=

=

=12

L(a) fiindfuncia lui Langevin.Distingem dou cazuri de interes:

ppa

acth =r

01

1a.) a>>1 (E foarte mare sa ceea ce arat c n

apropierea lui 0K practic toate moleculele sunt orientate paralel cu cmpul.

b.)n cele mai multe cazuri, E este mic i a


9/21

b) pentrum

vv

= ,KT8

%,qeq 16182

==

64 4

c)m

KTvv

32 == i %,eqq 5182

312 2

3

==

4. a) Maximul distribuiei maxwelliene are loc pentru viteza cea mai probabil, vpi are valoarea

ppmax

v

,f

83014==

ve

echivalent cu830,vf pmax =

Rezult aadar c aceste maxime se distribuie pe o hiperbol de ecuaie

T2=2,14T1f2=0,688f1 T1

2pv

1pv

T2

v

f(v)

1

8301

pv

,f =

x

,y

830=

a) Punem condiia ca dou curbe de distribuie s se intersecteze:KT

mvTK

mv

eTeT 22

23

122

23

11 =

Rezult,

12

3

11

3

22 b) Punem condiia ca intersecia s pentru v=v . Se obine ecuaia:

2

1

2

2

1

1

2

2

=

=

T

T

Tln

v

TTm

TlnK

v pmc

se produc p

TT

( )

1

ln

2

31

1

Cu o prim soluie T1

2

12

=

T

T

TT

=T2i o alta 1421

2T ,T

= . Raportul maximelor corespunztoare, T1 este

6880142

1830

2

1

12

vf p

2 ,,T

T,f====


10/21

Rezult aadar c al doilea punct de intersecie dintre curba maximelori o curb de distribuieare loc pentru viteza

pv,m

,KTv 451

1422=

=

care confer funciei de distribuie valoarea: maxf,f 6880=

5.a)Restriciile impuse n problem viznd numrul moleculelordin unitatea de volum, n unitatea

v i v+dv, presupun folosireadistributiei Maxwell dup valoarea absolut a vitezelor. Rezult c numrul moleculelor dinunitatea de volum care prsesc cuptorul n unitatea de timp pe unitatea de arie i pentru careviteza are valoarea cuprins ntre v i dv este:

de timp, pe unitatea de arie i cu viteza cuprins ntre valorile

dvvenKT

mdn KT

vm3

2

223

2

=

Prin integrarea acestei relaii se obine numrul total de molecule

42

21

0

vnKTnN =

= m

a) dvevKTn 00 2222 m

mdn

vmvmE KTmv

c

=== 522 2

223

111 i folosind integrala

KTErezultA

dvevI cAv 2,

1230

5 === n interiorul cuptorului energia cinetic medie a moleculelor, este:

cc EKTE


11/21

2

22exp

==

m

KTdv

KT

mvy

y i

1

2exp

2exp

0

2

0

2

0

2

=

dv

KT

mvdv

KT

mvz

zx

x

mg

KTdz

KT

mgz

=

0

exp

Se obine, 12

D

0

I0

I()

8 mgm1 2

3

=KTKT

A

din care, rezult:2

5

2 KTexpresia final a probabilitii cutate:

16 =m

gA Acum se poate scrie

dzK

dvdvdvKTKT

gd zyx

= exp2

exp2

16

PT

mgzmvm

7. a) Molecula va prsi lichidul cnd energia cinetic a moleculei este mai mare dect lucrulmecanic L necesar pentru a ndeprta la infinit mole

225

cula din lichid.

Considernd ca ax Ox direcia normalei la suprafaa lichidului, scriem Lmvx >2

2

1.

Num u componenta x a vitezei cuprins n intervalul vx, vx+dvx esterul de molecule care a

n carexx dvvndn )(P= KTxvm

eKT

m)v( x

2

223

2

=

P .Considernd c aceste molecule au aceeai

tea de tim

vitez vx, numrul de ciocniri n care se implic aceste molecule n unitatea de timp rezultdin xxxx dvvvnfvdndN c)(== iar numrul de molecule ce prsesc unitatea de arie a suprafeei

libere a lichidului n unita p, se va obine prin

integrare:( )( )

=

==

=x

mL

KTL

mL xx

em

KTndvvndN

21

2 21

2

21

2)(

P

rul moleculelor N2 care se introduc n lichid diea vaporilor. a echilibru statistic,

=x

v

vN1

b) Numpresiun L

n stare de vapori este proporional cu

1 NN = .Cum2

pC

eTCN KTL

2

11 =

rezult

N2 =

KT

E

eTCp =

8.a) Frec

vena msurat a radiaiei emise de atom ce se deplaseaz cu viteza vx va avea n

sistemul laboratorului, valoarea:

+=

c

vx10 unde 0 este

frecvena radiaiei vzut n sistemul propriu al atomului.

Rezult, ( )00

=c

vx

Probabilitatea ca viteza atomului de gaz s fie cuprins nintervalul (vx, vx+dvx) este egal cu probabilitatea ca radiaiaemis de atom s aib frecvena cuprins n intervalul , +d.


12/21

( )

demc

ddvvdpKTmc

xx

22

020

22

1

)()(

=== PP

i, ntruct

KT20

N

dNdp = (dN fiind numrul atomilor ce emit radiaii la o frecven cuprins ntre i

+d), se obine: ( )3

2 2202

0 2x

cc m dN N e dvKT

=

nsitatea radiaiei este proporional cu numrul de emitoriCum inte( )

deconstdNconstd)(IdITR

c

220

20

2 ===

Rezult

RT)(

eI)(I2

0

02

0

=

c 22

n careI0=I(0)cvena radiaiei emiseb) Dac notm 1/2 fre de gaz pentru careI()=1/2Imax, 0212 =D

i din Imax =I0 rezult

2

0

0

2

2

00I2

1

2

1

=

KT

c

eI Se obine astfel expresia lrgimii Doppler:

c

b) A2106.1 =

TD 2

0=

9. n virtutea distribuiei Maxwell, numrul m elor cuprinsentre (vx, vx+dvx), (vy, vy+dvy)i ( vz, vz+dvz)

Rln22

oleculelor a nd componentele vitezeste:

v

( ) ( )dvvf4

=

ferice v,i : dddvvdvdvdv yx sin2=

Deci numrul dn (v,,) olecule avnd viteza

nm vm22

3

zdvydvxdveKT

nzv,yv,xvdnKT

22

=

Exprimm elementul de volum n coordonates

de mcuprins ntre v i v+dvi orientarea n interiorulunghiurilor sferice i +d, respectiv , + va fi:

z

y

z

d

ddsindvveKT

mn),,v(dn KT

mv 22

223

2

=

onsiderm normala la perete ca ax OZ. Numrulmoleculelor care lovesc n timpul dt elemC entul desuprafa dS al peretelui i au viteza v

rn

intervalul (v,v+dv) cu orientarea cuprins n

ds

ds

vzdt

intervalele (,+d) i (, +d) va

:vcos dt.

fi egal cu numrul moleculelor care umplucilindrul cu baza dS i generatoarea vdt de nlime vzdt=v cosdt; adic

dn(v,,)dSvcos dt= nf(v) dv sin dddS

x


13/21

Dintre aceste molecule dN(v,,) lovesc unitatea de arie a peretelui n unitatea de timp i aumodulul vitezei cuprins ntre v i v+dv, se va obine integrnd pentru [ ] [ ] 2,0,0 2 i :

= )(4

)(

ndvvfvdN==

22

223

0

2

0

3

2)(

4sincos

dvve

KT

mdvvvf

ndd

mKT

mv

Integrm dup v i obinem: vndvveKTmnN v KT

mv

41

23

0

2

22

3

=

= sau

mKTnN

22==

pRT

p fiind presiunea gazului.Energia cinetic de translaie dEc a celordN(v) molecule, va fi:

dvvvfdvvvnmfmv

vdN 332

)(1

)(1

)( == 882

n care =nm reprezint densitatea gazului. Pr area contribu r moleculelor seobine

in nsum iilor tuturo

( )

== 54

121 222

3

dvevm

vE KTmv

sau2

3

28

=

KTEc .

0288 KTc

m10. Alegem drept coordonat generaliza de Pmnt. Considerm energia

:t q , nlimea famecanic total

qM

p

q

0mW2mW2

constmgqm

pW =+=

2

2

.

de unde ,gm

pWq

2

= mg 22

Constanta W rezult din condiiile iniiale.

021 mghmvW += 0

Maximul curbei, se obine pentru p=02

02h

gmgqM +=

20vW

11.Impulsul oscilatorului este p=m =-mA sin(t+) astfel, c se poate scrie:

=

q&

( )

( )si

=+

=+

Am

ptn

A

qtcos

rezult )(,1cos2 = : ,12222

2

2

=+Am

p

A

q

i cum sin2 +

La t=0, avem:

sin0

0

Amp

q

=

cosA=


14/21

iar elementul de volum, este .La un moment oarecare t,= 000 dqdp

= 0000 ),(),(

dqdpqp

qp

Folosind relaiile de mai sus, obinem:

= dpdq

( )

1100

00

0

0

=

=

+=

+=

tcostsinm

tsinmtcos

)q,p(

)q,p(

castfel,tcospqtsinmp

tsinmptcosqq

12.a) Scriem impulsul corespunztor coordonatei q

adic( ) ( ) +++== tsintetcostemAqmp &

teA

qtmAeqmp

22

21

=

Se obine:

( ) ( ) temAqmqmp 22222 =++ Aceast ecuaie reprezint

:

]

o elice eliptic prezentat n figur.

b) Condiiile iniiale presu un la t=0

p

[ sincoscos

0

0

+==

mAp

Aq

Cum


15/21

te

tcostetsintem

tsinm

tetcoste

q

q

q

p

q

p

p

p

)q,p(

)q,p(

2

00

00

00

=

=

=

reprezint jacobianul transformrii.Se obine:

02 te)t( =

= 000 dqdp fiind volumul ocupat de sistem n spaiul fazelor la momentul iniial. Relaiaexprim faptul c n acest caz teorema lui Liouville nu se mai verific volumul 0 reducndu-seexponenial n timp.

*13.a)n cazul unui gaz ideal, energia potenial a moleculelor sale este nul i prin integrarea

elementelor de volum pentru cele NA molecule se obine un factor constant . R mneintegrarea dup impulsuri ce trebuie calculat pentru valorile impulsurilor ce conduc la o energie

cel mult egal cu E, .

AN

V

= N

i

i Econstp1

n spaiul impulsurilor, aceste puncte sunt situate n interiorul unei sfere de raz egal cumembrul drept al acestei inegaliti i volum proporional cu puterea a treia a acesteiraze.Presupunnd c volumul delimitat n spaiul fazelor de suprafa de energie constant E este

(E), obinem: .AA NNEVconstE 3)( =n continuare, folosim relaia lui Boltzmann

ElnAKNVlnAKN.const)E(lnKS 3++==

i ntruct RKNT

ECiKTNEobinem

TE

SAvA 333,

1==

===

b) Se folosete integrala statistic de stare

= niKTc

pd...pdpdp

e...NVZ 21

unde dp reprezint elementul de volum n spaiul impulsurilor.Cum dp=4p2dp, integrala dup

impulsuri se compune din produsul a NA integrale de forma:

=0

244 pdpeI TKpc

Cu sustituia =KT

ci schimbarea de variabilp = x2 integrala devine:

34

054

2

=

= cTK

dxxxeI

i integrala statistic devine:

( ) NNN

NN TVctc

KTVZ 3

3

4 =

=

Energia liber3lnln TVctNKTZKTF ==

ntruct


16/21

NKvCrezult,T

FTvC 32

2=

=

valoare de dou ori mai mare dect n cazul gazului monoatomic nerelativist i reprezintclduramolar a unui corp cristalin.

14. n cazul gazului ideal, energia de interaciune ntre molecule este nul i energia total a

gazului este de natur pur cinetic: =

=N

i

i

m

pH

3

1

2

2

Probabilitatea ca molecula s zicem notat cu 1 s aib componentelep1,p2,p3 ale impulsuluicuprinse ntre (p1,p1+dp1), (p2,p2+dp2) i (p3,p3+dp3) indiferent de situaia celorlalte N-1

molecule, este 1 2 3 1 2 3

2 2 21 2 3

21p p p

mKTdp dp dp e dp dp dpZ

+ +

=P n care

++

= 3212

2

3

2

2

2

1

dpdpdpmKT

ppp

eZ

Integrala tripl se descompune n trei integrale simple de forma:

mKTcudue n

2

1==

Se obine ( )23

2 mKTZ = astfel c probabilitatea, devine:

( ) 3212321 223

22

21

23

dpdpdpeTKmdpdpdp mKTppp ++= P

sau exprimat n funcie de viteze: 3212

3212

223

dvdvdveKTm

mdvdvdv KT

vm

=

P

unde . S-a obinut astfel probabilitatea ca viteza v a moleculei 1 s aib

componentele cu valori cuprinse n intervalele (v1,v1+dv1), (v2,v2+dv2) i (v3,v3+dv3).

23

22

21

2 vvvv ++=

Pentru a obine probabilitatea f(v)dv ca mrimea vitezei v s fie cuprins ntre v i v+dvindiferent de orientare, se obine exprimnd volumul elementardv1dv2dv3 din spaiul vitezelor ncoordonate sferice i efectund apoi integrarea dup toate unghiurile i :

=

0

2

02

22

22

3

ddsindvveTK

mdv)v(f KT

vm

din care rezult funcia de distribuie maxwellian a vitezelor.

dvveKT

mdv)v(f KT

vm

2242

22

3

=

15. Calculm mai nti nlimea minimh0 la care energia potenial gravitaionalmgh0 este

egal cu energia cinetic medie de translaie KTEc 2

3=

Se obinemg

KTh

2

30 = .Numrul de molecule situate ntre cotele h i h+dh, este:


17/21

dhnCedn KThgm=

Deci ==

0h

dheCn

dnq KT

hgm

.Constanta C rezult din condiia de normare:

1

0

= dheCKT

hgm

Rezult %,edhe

hdhe

qKT

hgm

KT

hgm

322

0

2

3

0

==

=

16. Masa dm de aer coninut n stratul cilindric de nlime dy situat la cota y, va fi:

Sdydm =

Cotay0 a centrului de greutate rezult din relaia:

==

0

00

dyS

dyyS

dm

ydmy

sau innd

seama de variaia densitii cu altitudinea,g

RT

dye

dyyey

KT

yg

KT

yg

=

=

0

00 .La aceast cot, n virtutea

relaiei KTyg

e)()y(

= 0 se obinee

y)0(

)( 0

= .

17. Considerm relaiile:

KTS

NKT

dV

dNnKTp

P===

n care P este densitatea de probabilitate de tip Boltzmann, iar S sec iunea tubului.

Rezult KTU

e)(pp = 0 ,U fiind energia potenial a unei molecule

==x

xmxdxmU0

222

2

1

Rezult,

torre)(p)l(p RTl

7800 222

=

18.Densitatea a gazului rezult din ecuaia termic a gazului ideal: pRT

=

i fiind proporional cu presiunea, va urma o aceeai lege de variaie cu distana x

RT

x

e)x( 222

0

=


18/21

Masa de aer coninut n tub, este: ==l

dxeSl

dxSm RTx

0002

22

i n ipoteza c ,12

22


19/21

KTKT

mg

mg

KTmgp =

=

2

2)pentru h mult mai mic dectKT/mgse dezvolt n serie exponeniala de sub integra-l:

2

2

3

2...1

...1

2

2

0

0 hmg

KT

mghh

KTmghh

hmg

dzKT

mgz

dzKTmgzz

mgh

h

p

=

+

+=

i nu depinde de temperatur.b) Energia potenial medie a unui mol de gaz ntr-o coloan foarte nalt, este:

RTKTNNE AApp === i RT

EC

ppot

V =

=

comparabil cu contribuia energiei cinetice a moleculelor la cldura molar a gazului.n cazul unei coloane de nlime finit:

2

hmgNNE AApp == i 0=

=

T

EC

ppot

V

Aceasta arat c n cazurile de importan practic a unor coloane de gaz nu prea nalte,contribuia energiei poteniale n cmp gravitaional la cldura molar a gazului se poate neglija.

*20. Molecula de gaz ideal poate fi considerat ca un sistem cuasiizolat pentru care energiaE(p,q)a sistemului este chiar energia unei molecule.Pentru N=1 molecula are trei grade de libertate de translaie i deci spaiul fazelor are asedimensiuni, elementul de volum din spaiul fazelor fiind:

dxdydzdpdpdpd zyx=

Vom considera dxdydz=dVi exprimm impulsurile n coordonate sferice. Elementul de volumdin spaiul fazelor devine:

ddVddppd = sin2 n absena vreunui cmp de fore exterior energia moleculei este pur cinetic:

m

pqpE

2),(

2

=

i nu depinde de direcia de micare (unghiurile i ) sau de poziia sa n recipient. Astfel,energiei cuprins n intervalul E,E+dE i corespunde un numr de stri egal

cu: .DindpVpdddpdVpd 22 4sin == mEp 2= , rezult:

dEEmVd 2/12/3)2(4= Distribuia canonic a strilor unei singure molecule va fi descris de funcia:

dEEKT

E

Z

mVd

c

2/12/3

exp)2(4

P

=

Funcia de partiieZc pentru o singur molecul este:

2/1

0

2/3

0

exp)2(4exp EKT

EVmd

KT

EZc

=

=


20/21

Cu schimbarea de variabilE=x2,

VmKTKT

VxmdxxKT

xVmZc

2/32/3

2/3

0

22

2/3 )2(4

)()2(4exp)2(4 ==

=

Cu aceast expresie a sumei de stare, se poate scrie distribuia cerut:

dEEKT

E

KTd2/1

2/3 exp)(

4

=

P .

*21.Cnd mediul din exteriorul cavitii este mai dens dect cel coninut n cavitate, pe pereiiinteriori ai cavitii se vor forma noduri iar n cealalt situaie, cnd mediul din interiorul cavitiieste mai dens dect cel din exterior, se vor forma ventre. n cazul unei unde staionare formatentre feele cubului, perpendiculare pe axa Ox, avem:

2x

xna

= ia

nk xx

x

==

2

Analog, ankank zzyy

== ; , astfel c vectorul de und este cuantificat prin relaia:

a

nnnn

akkk

vk zyxzyx

22 222222

=++=++=== ,

n care

avannnn zyx

22222 ==++= are de regul valori mai mari de 1.

Vom considera un spaiu fictiv al numerelor reale nx, ny, nz n care fiecrei unde staionare

i se asociaz un punct cu coordonate ntregi. ntruct n este cu ctevaordine de mrime mai maredect 1 rezult c numrul undelor staionare diferite cu frecvene cuprinse ntre v, v + v esteegal cu volumul octantului (nx, ny, nz>0) de coroan sferic cuprins ntre sferele de raze ni n+n:

3v

a2

v

a

v

ann),(

3422

2

2

248

1=

==+

a

x

z

0

ynx

n+n

Figura 2

n

nz

ny

Figura 1


21/21

Se obine astfel expresia densitii spectralo-volumice (dup frecvene) a numrului de striondulatorii distincte:

3v

2

a

),(

4

3=

+= ,

v fiind viteza de faz a undelor din cavitate. *Concentraia moleculelorn se modific funcie de altitudine dup legea:

)(KTgh

e)O(n

)O(n

n

n

KT

gh

e)O(nn

KT

gh

e)O(nn

KT

gh

enKT

mgh

enn

2

2

1

1

2

1

2

1

22

11

00

=

=

=

=

=

Dac2>1, rezultn1>n2 ceea ce arat c la o cretere a altitudinii crete coninutul de gaz maiuor fa de concentraia gazului mai greu.

2244

2

2 =

=)(

KT

gh

eCOn

Hn,

din care, prin logaritmare se obine

].m[.

g

lnRTh 9203

42

2==

*

termodinamica - probleme

Documents