teorie matematică bacalaureat 2014 (reparat)

8/10/2019 Teorie Matematică Bacalaureat 2014 (Reparat)

http://slidepdf.com/reader/full/teorie-matematica-bacalaureat-2014-reparat 1/19

TEORIE MATEMATICĂ BACALAUREAT 2013-2014 TEHNOLOGIC RECAPITULARE ŞCOALA GENERALĂ

Mulţimi de numere N ! " R C #n$%ur$leincluse &n &n%re'iincluse &n r$ţi(n$leincluse &n re$leincluse &n)(m*le+e, N={0,1,2,3,4,…}. ! ={… -3,-2,-1,0,1,2,3, …}. "/! + fracţii . R/" +radicali . C/R numere complexe

Ordine$ (*er$ţiil(r m$%em$%i)e elemen%$re! " paran#e$ele %dac& sun# mai mul#e' din in#erior spre ex#erior sau de la cele ro#unde la acolade()* " ridicarea la pu#ere %'' o +nmulţire repe#a#&,( Exemplu-*. /*0*0*/1). " +mp&rţirea sau +nmulţirea %''o adunare repe#a#&,( Exemplu-*0./*2*2*/3)

4 " adunarea sau sc&dereaAdun$re$ ) dere$ &nmulţire$ i &m* rţire$ numerel(r re$le5 adunarea a dou& numere po$i#i6e d& re$ul#a# po$i#i6 Exemplu-*2./7)5 adunarea a dou& numere ne8a#i6e d& re$ul#a# ne8a#i6 Exemplu- %5*(2%5.(/ 57)5 adunarea unui num&r ne8a#i6 cu unul po$i#i6 d& semnul celui mai mare +n 6aloare a9solu#&%sa6alorile a9solu#e ale celor dou& numere sun# e8ale(' iar 6aloarea se afl& sc&$:nd 6alorile a9sonumerelor%cea mai mare din cea mai mic&(Termenii adun&rii se po# sc;im9a +n#re ei) NU ?.5!*/5> ==== Exemple- +2-3= 2-3= -(3-2)=-1; 12 – 3=9; 3-12=-(12-3)=-9; 12-12=0; -12 +12=-(12-12)=-0=0.5$) e $dun m$i mul%e numere e $dun &n%re ele )ele )u *lu &n%re ele )ele )e minu i $*($dun$re$ (7i nui% $ d(u numere re$le Exemplu- *2. 2!@ " 3 " !*/!75!1/5%!15!7(/ 5 .L$ $dun$re$8 ) dere$ li%er$l e $dun $u e )$d %ermenii )u li%ere de $)el$ i 9el l$ $)ei$$dun$re$8 ) dere$ e re$li6e$6 &n%re )(e9i)ienţii $)e %(r %ermeni Adunarea sau sc&derea cu @ nu modificare$ul#a#ul Exemple- 2x2-3x2 y-4x2+3xy-5=-2x2-3x2 y+3xy-5; 5+0 = 5-0 =5; 2x3-0=2x3+0=2x3.

Adun$re$8 ) dere$ $ d(u $u m$i mul%e 9r$)ţii e *($%e 9$)e d($r d$) $u $)el$ i numi%(r lre$li6e$6 *rin $du)ere$ l$ $)el$ i numi%(r Numi%(rul )(mun e %e de (7i)ei )el m$i mi) mul%i*lu )%u%ur(r numi%(ril(r 9r$)ţiil(rO fracţie nu poa#e a6ea numi#orul e8al cu $ero %+mp&rţirea cu @ nu es#e per

Exemple:

15

31

15

2110

15

21

15

10

53

73

35

25

5

7

3

2

5

7

3

2 /3/5

=+

=+=•

•+

•

•=+=+ ; 3 şi 5 sunt nume e ! ime şi "tun#i #e$ m"i mi# mu$ti!$u #%mun

este ! %&usu$ &int e e$e, "&i#' 3 5=15.

2

2

22

2

22

2

2

/3/5

2 15

2110

15

21

15

10

53

73

35

25

5

7

3

2

5

7

3

22

xy

x y

xy

x

xy

y

y x

x

x y

y

y x y x

x y +=+=

•

•+

•

•=+=+

Re8ula semnelor la +nmulţire sau +mp&rţire- : / 8 / ) 5 5 / 5B5 / 2) 2 5 / 5 2 / 2B5 / 5B2 / 5 ac#orii +nmulţirii se po# sc;im9a +n#re ei) NU <i cei ai +mp&rţirii=

Exemple- *0./ .0*/3) !* - ./4?.-!*/!B4 ==== Exemple-2 3= ; (-2) (-3)= ; (-2) 3=2 (-3)= - ; 12*3=4; (-12)*(-3)=4; -(12)*3=12*(-3)= -4. 12*3=12:3=4.L$ &nmulţire$8&m* rţire$ li%er$l li%erele e &nmulţe )8 &m*$r% )u li%ere de $)el$ i 9el i$r )i9r Exemple- 2x2 3x2 y=(2 3)(x2 x) y= x3 y; 2x2 y*3x2=(2*3)(x2 *x) y=(2*3)x y.;nmulţire$ $ d(u # $u m$i mul%e, 9r$)ţii e 9$)e num r %(r )u num r %(r i numi%(r )u numi%(r

Exemple- 225196

13531172

1311

57

32 =••

••=•• ) 222 1514

5372

57

32

xy y x y x=

••=• )

Dmp&rţirea a dou& fracţii se face +nmulţind prima cu a doua in6ersa#&. &m* rţire$ unei 9r$)ţii )u un num r e9$)e &nmulţind 9r$)ţi$ )u num rul r %urn$% Dnmulţirea sau +mp&rţirea cu ! nu modifica re$ul#a#ul .

Exemple- 2110

7352

75

32

57

:32 =•

•=•= ) x y

x y y

x y x

y

x21

1073

527

532

5

7:

32

5

732

222

2

2

=•

•=•== ) 5 1 = 5:1 =5

2x3 1=2x3:1=2x3.Ori)e num r re$l e *($%e )rie )$ ( 9r$)ţie )u numi%(rul 1 nmu$ i e" #u e % " e #" e u$t"t /"$%" e" e

1

Exemple- ;12

2 = ;10

0 = ;11

1 −=− ;1

55

−=− ;1

π π = ;

12

24

4 x x = 1 2 3 0 (-1) 5=0

M(dulul unui num r re$l e %e ( (*er$ţie m$%em$%i) *rin )$re num rul de<ine nene'$%i</=

<−=>

=0)(,

0)(,0

0)(,

"&"#'"

"&"#'

"&"#'"

"

Exemplu- 5 =5; 0 =0; -5 =5;

<<=><−+−=−−=<=>=−

><=>>−−=−

20)2(,2)2(

20)2(,0

20)2(,2

2 x x&"#" x x

x x&"#"

x x&"#" x

x

L$ &nmulţire$ unui num r )u ( *$r$n%e6 e &nmulţe %e 9ie)$re num r )u 9ie)$re %ermen din *$r$n% Exemple-2(x-5)=2 x-2 5=2x-10; 3y2(x-5)=3y2 x-3y2 5=3xy2-15y2.Minu ul &n 9$ţ$ unei *$r$n%e6e )>im7 emnul %u%ur(r %ermenil(r din *$r$n%e6 Exemple- -(x-5)=-x-(-5)=-x+5; -3y2(x-5)=-3y2 x-3y2 (-5)=-3xy2+15y2.Minu ul &n 9$ţ$ unei 9r$)ţii )>im7 d($r emnul num r %(rului $u emnul numi%(rului #nu l$ $m7i

Exemple-3

232

32

−=−=− )32

32

32

32

3)2(

32 =+=

−−==−−=−− ) ;

32

32

32

x x x −=−=−

x x x x x x 32

32

32

32

3)2(

32 =+=

−−==−−=−−

@(rmule de )$l)ul *re )ur%$% "#"2#2" ±=± )( ; 2222 ))(( """" −=−+=− ; 2"2"2" −=−•+ )()( ;222 2)( 2"2"2" ++=+ ; 222 2)( """ +−=− ; 2#"#"2#2"#2" 222)( 2222 +++++=++ ;

32233 33)( 2"22""2" +++=+ ;

32233 33)( 2"22""2" ++−=− ; ))(( 2233 2"2"2"2" +−+=+ ; ))(( 2233 2"2"2"2" ++−=− ; Exemple- y x y x 22)(2 ±=± ; 2222 4)2()2)(2( y x y x y x y x −=−=−+ Exemple- 812622323)2( 22332233 +++=+•+•+=+ x x x x x x x ;

812622323)2( 22332233 −+−=−•+•−=− x x x x x x xE)u$ţi$ de 'r$dul I o ecuaţie de gradul I are for a:$ x 7/0! "oluţia ace#$ei ecuaţii e#$e x /-78$, cu $ %0!Triun'>iul e#$e 9i'ur$ 'e(me%ri) )u %rei l$%uri&i um$ un'>iuril(r de 1 00 ($%e 9i ($re)$re #un8;iuri il$%er$l #cu #oa#e la#urile e8ale i) #cu un un8;i drep# <i la#urile numi#e ca#e#e " formea$& un8;iul drep# 5 <i ipo#enu$&,

$%rul$%erul e#$e figura geo e$ric' cu 4 la$uri! a$rula$erul cu dou' la$uri aralele &i dou' *e aral%r$*e6 $r$lel('r$mul e#$e o figur' geo e$ric' cu 4 la$uri( a$rula$er), aralele &i egale dou' c $e dou'5re*%un'>i aralelogra ul cu u* u*g-i dre $ aralelogra ul cu $oa$e la$urile egale #e *u e&$er(m7.

%r$%/ dre $u*g-iul cu la$urile egaleum" un iu i$% unui !" "$e$% "m s"u t "!e este 3 00

Aria unui paralelo8ram es#e- 7$6$ &n lţime$ Perime#rul u*ui a$rula$ere %e um$ lun'imil(r l$%uril(r $le

#riun8;i paralelo8ram drep#un8;i rom9 p&#ra#

CLADA A I -$I UTERI FI RA5ICALI

PUTERI Pu#eri cu exponen# na#ural- a* u*de a∈ . , *∈ . ; a0 1; a1 a; $n ori*de

a!!!aa ⋅⋅⋅ u*de$ a a u$erii;n e o*e*$ul u$erii;

ormul& Exem plu#$7,n/ $n7n, ∀ a, ∈ . , *∈ . ; $0 / 1 e*$ru orice a % 0 (2 3)4=2434; (62 3)4=(62)4 34=22 34#$m,n/ $m:n,∀ a∈ . , *∈ . ; $1/ $ e*$ru orice a∈ . ;0$ / 0 e*$ru orice a∈ .

(23 ) 4=23 4=212; 21=2,(-1)1=-1, 1= ; 01=02=0-1 =0-7 =07 =0; 11=12=1-1=1-7=17 =1

2

$m⋅$n/ $m n, ∀ a∈. , ,*∈ . ; nm

n

m

""

" −= , ∀ a∈. , ,*∈ . ,

*!

23⋅24=23+4=28 ; 235

3

5

2222 == −

n

nn

2

"2" =

, ≠ 0,∀ a, ∈. , *∈. ; 1a 1 e*$ru orice a∈. 8116

32

32

4

44

==

)

Pu#eri cu exponen# +n#re8 ne8a#i6- nn

""

1=− u*de a∈ ,*∈ ;re#$ul ro rie$'ţilor #e '#$rea '! :"

" 11 =− ;

81

21

2 33 ==−

u$eri cu e o*e*$ raţio*al o i$i :

n mnm

"" = , 9 !

nm

9 !

nm

"""+

=⋅, ( ) n

mnm

nm

2""2 ⋅= ,nm

∈ℚ+;nm

nm

nm

2

"2" =

, a, 0,

nm , 9

!∈ℚ+; ( ) 9

!

n

m9

!

n

m""

⋅

=

,

9

!

n

m

9

!

n

m

"

"

" −= ,

u$eri cu e o*e*$ raţio*al *ega$i : n mnm

nm

""

" 11 ==

−, a 0,

nm

∈ +; E+ 77 57

575

32

1

2

1

2

12 ===

−

;

2

1

2

12

2

12

1

==−

RA5ICALI Proprie#&ţile radicalilor- m n N m n 2

nnn 2""2 ⋅= ,∀ a, 0; Ex- 333 2""2 ⋅= ; n

nn

2

"

2

" = ,∀ a 0, 0; Ex-3

3

3

2

"2" = ; mn mn "" = ,∀ a 0; Ex- 43 34 "" =•

( n

" ) n m

" ,∀

a 0; Ex-( )43

"3 4

" ;n m

" n: m:

" ,∀

a 0; Ex 3 4

" 53 54• •

" ;nmn m

"" = ,∀

a 0 Ex-12433 4 """ == •

II @ORMULE TRIGONOMETRICE@(rmul$ 9und$men%$l: cos* x 2 sin* x/ sin* x 2 cos* x /! ; x∈∀ !

%sinx 2 cosx(*/sin* x 2 * sinx cosx2cos* x/! 2 * sinx cosxu*cţiile #i*u# &i co#i*u# #u*$ eriodice cu erioada 2 , iar $a*ge*$' &i co$a*ge*$' #u*$ eriodic

< e :)( #+ 2 ,/)( x ; in#+ 2 ,/ in x ; #8%x2 F(/#8 x&ic#8%x2 F(/c#8 x Exemple- )( #J0K 2 ,/)( J0K; in#J0K 2 ,/ in J0K. #8%7@ 2 F(/#8 7@

u*cţia co#i*u# e#$e ar'cos%5x(/cos x) fu*cţia #i*u# e#$e i ar' sin%5x(/ 5 sin xRedu)ere l$ *rimul )$dr$n #e a lic' a$u*ci c *d aloarea de calcula$nu es#e din Cadranul I (#e co*#ider'

)un( )u%e doar alorile re arca ile di* ri ul cadra*:@@

).@@

)47@

)3@@

i mul#iplii de FB*)!CII-CI <ie )180;90( 00∈ y şi y = -x=1700-x, un&e x este % /"$%" e &in "& "nu$ >. ?/em:

sin H/ sin( -x)= sin x sin H =sin(1700-x)=sin x;cos H= #%s( -x) = - #%s x cos H = #%s(1700-x)= - #%s y) #8 H = t ( -x) =- t x #8H = t (1700-x)=t x; Exemple- H/!*@@/ sin 120@ = sin(1700- 0@)=sin 0@; #%s 120@ = #%s(1700- 0@)= - #%s 0@ ) CIII-CI <ie )270;180( 00

∈ y şi y = +x = 1700+x, un&e x este % /"$%" e &in "& "nu$ >. A<em sin%F2x( / 5 sin x sin%!1@@2x( / 5 sin x) cos%F2x( / 5 cos x cos%!1@@2x( / 5 cos x) #8%F2x( / #8 x) Exemple- H/*!@@/ sin 210@ = sin(1700+30@)= -sin 30@; #%s 210@ = #%s(1700 + 30@)= - #%s 30@ ) CI -CI <ie )360;270( 00

∈ y şi y = 2 -x=3 00-x, un&e x este % /"$%" e &in "& "nu$ >. ?/em: sin%*F5x( / 5 sin x sin%@@5x(/sin%.3@@5x(/5 sinx) cos%*F5x( / cos x cos%.3@@5x(/cosx) #8%*F5x(/ 5#8 x ! Exemple- H/.@@@/ sin 300@ = sin(3 00- 0@)= -sin 0@; #%s 300@ = #%s(3 00- 0@)=- #%s 0@;

@(rmule %ri'(n(me%ri)e *en%ru um i di9erenţ )( #$ 7, / )( $:)( 7 in $: in 7.cos%FB*2x( / 5 sin x )( #$-7, / )( $:)( 7 in $: in 7.in#$ 7, / in $:)( 7 )( $: in 7.sin%FB*2x( / cos x in#$-7, / in $:)( 7 - )( $: in 7.

3

t42t4"t42t4"

2"t4 •−+=+

1)(

t42t4"t42t4"

2"t4 •+−=−

1)(

@un)ţii %ri'(n(me%ri)e *en%ru un'>iuri )(m*lemen%$re "" #i*2

co# =

−

π

; "" co#2

#i* =

−

π

;

#t4""t4 =

−2

π

; t4""#t4 =

−2

π

cos%>@@5x(/sin x) sin%>@@5x(/cos x) #8%>@@5x(/c#8 x) c#8%>@@5x(/#8 x) Exemplu- #%s(900- 0@)=sin 0@; sin (900- 0@)= #%s 0@; Un'>iul du7lu 1co#2#i*21#i*co#2co# 2222 −=−=−= x x x x x . x x x co##i*22#i* •= ;

xt4 t4x

xt4 212

2−=

;=alori ar$iculare e*$ru #i*, co#, $g #%re7uie %iu%e <$l(rile rem$r)$7ile *en%ru )$dr$nul I i mul%i*lii de + r$di$ni.

'r$de000

8300

844J0

8300

82P00

2 831200

3 8413J0

J 81J00 1 00

Q 82100

3 822Q00

J 833000

11 83300

23 00

sin x @ !B* J*B* J.B* !63*2 62*2 1*2 @ -1*2 5! - 63*2 -1*2 @cos x ! J.B* J*B* !B* @5!B* 5J*B* 5J.B*5! 5J.B* @ K J.B* !

+ - 82/-P00 - 83/- 00 - 84/-4J0 - 8 /-300 0/00 8 /300 84/4J0 83/ 00 82/P00#8 x/!Bc#8x 5 /!B@5 5J./!B%5J.B.( 5!/!B%5!( 5J.B./!B%5J.( @ J.B./!BJ. !/!B! J. 2 /!B@2

CLADA A - $III COMBINATORICĂC(n ider m mulţime$ numerel(r n$%ur$le N>@'!'*'.'4'7'MM? o$' n?/1 2 3 S #n-2, #n-1, n/#n-1,? n/n#n-1,#n-2,? #n?#e ci$e&$e n 9$)%(ri$l ,C(n<enţie 0?/1 . 1?/1. Exemple- *=/! */*) 7=/! * . 4 7/!*@ Permu#&ri- *u 'rul de er u$'rin n/ n?/1:2:3:S:n ,n N. Aran amen#e- " i#$e ele ordo*a$e (#u ulţi ile ordo*a$e) cu @ ele e*$e care #e o$ for a cu el

ulţi i cu * ele e*$e (*≥ @), #e *u e#caran amen#e de n elemen#e lua#e ca#e ' no#a#e: n ? !

)1!!!()2()1()A(

A +−⋅−⋅−⋅=−= : nnnn: n

n ? :

n cu co*diţia ca *≥ @ ; co* e*ţie:n/ ⇒ nn ? * *A

1B2B3BCB*! 10 =n ?

Com9in&ri- )A(AA

: n: n= :

n −= num&rul de su9mulţimi cuelemen#e al unei mulţimi den elemen#ecu co*diţian≥ !Con6enţie - 0

n= / nn= / 1. 1

n= / 1−nn= / n , n=0 or ula e*$ru co i*'ri co le e*$are::

n= / : nn= −

Exemplu- 102

202154

3212154321

A3A2A5

)A25(A2A52

5 ==••=••••

••••=•=−== !Bin(mul lui Ne %(n Dac' a, ∈ , *∈ A , a$u*ci: (a+ )* E*

0a*+E*1a*F1 +E*2a*F2 2+C+E*

@a*F@ @+C+E**F1a *F1+E*

* *

∑∑=

+=

− =⋅=+n

: :

n

:

: : n: n

n B 2"= 2"0

10

)( un&e : : n: n: 2"= B ⋅= −

+1 u*deB +1=te men ene "$; = "n u$ te menu$ui@ "$

&e /%$t' ii;

∑∑=

+=

− =⋅−=−n

: :

n

:

: : n: n

: n B 2"= 2"0

10

)1()( un&e : : n: n

: : 2"= B ⋅−= −

+ )1(1 #au

( ) nnn

nnnn

n: : n: n

: nnn

nn

nn

n 2= 2"= 2"= 2"= 2"= "= 2" )1(!!!)1(!!!)1(!!! 11112221110 −++−++−+−+−=− −−−−−−−

O7 : 1) G* de ol$area#$ 7,n, du ' for ula i*o ului lui eH$o*, #u*$ *+1 $er e*i; 2)C n@ ' C n! ' C n* 'M'C nn #e *u e#ccoeficie*ţi i*o iali; 3) "' #e fac' di#$i*cţie G*$re coeficie*$ul u*ui $er e* al de ol$'rii &i coeficie*$ul i$er e*; 4) I* de ol$area (a+ )* #i (aF )*, dac' a a$u*ciCn

0 Cn1 Cn

2 S Cnn/2 n / *u 'rul $u$uror #u ulţi ilor u*ei ulţi

cu * ele e*$e. Cn0 Cn

2 Cn4 S/C n

1 Cn3 Cn

J S/2 n-1

r(7$7ili% ţi ro a ili$a$ea* ca u* e e*i e*$ #' #e G*$ le (#au o relaţie #' fie ade 'ra$') e#$e u* *ufracţieFegal' cu:* /

mu$time&ine$emente&et%t"$ n

#%n&iti"#in&e!$ines#emu$time&ine$ementen

t%t"$e#".u in

C"/% "2i$e#".u in

!!!!!

!!!!!!

!!

!! = , cu ri*# G*i*$er alulV0.1W Pen#ru a calcula pro9a9ili#a#ea +n ca$ul mulţimilor' #re9uie s#a9ili# clar cine es#e mulţimea' c:#e elemen/ cardinalul mulţimii(' care es#e condiţia <i c:#e elemen#e din mulţime sa#isfac condiţia Exemplu- ' se st" i$e"s#' ! % " i$it"te" #" "$e Dn& un num' n"tu "$ &e &%u' #iC e, "#est" s' "i ' #iC

4

• ?={10,11,12,…..,99} şi #" & ?=90 (sunt 90 &e nume e s# ise #u &%u' #iC e);• %n&i ie: n∈ ?, #iC e$e $ui n s' Cie e "$e; #%n&i i" este En&e!$init' &e:11,22,33,44,55, ,88,77,99,nume e.

• F % " i$it"te" /" Ci 9*90=1*10=0,1T A/ *4 %6aloarea T A poa#e s& difere=( )T A din preţ/Preţ *4 /Preţ @'*4R$%$ d(7Xn6ii/#d(7Xnd im*l ,8 um$ iniţi$l /# um$ 9in$l - um$ iniţi$l ,8 um$ iniţi$l Qo9:nda/ra#a do9:n$ii0suma iniţial&) uma final& / suma iniţial& 2 do9:nda Exemplu- G" % "n#' s-"u &e!us 900 $ei, i" &u!' un "n, En #%nt e "u 1007 $ei. ' se #"$#u$e e "t" &% D

I1212,0900108

9009001008

J J J J ===−=−=

initi"$' sum"initi"$' sum" Cin"$' sum"&%2Dn.ii ;"t" 5(7Xnd$=1007-900=107 $ei.

I FIRURI FI ROGREDIIFirurile #u*$ fu*cţii de for a:$n N-=M u*de K e#$e o ulţi e oarecare (de o icei de *u ere)!=alorile &irului #e *u e#ai &irului! Lirul e#$e carac$eri a$ de aloarea # re care $i*d $er e*ii #'i c *d *F M, *u i$'limi%$ irului&i *o$a$' n

n"$

∞→= li ,

u*de a* e#$e for ula $er e*ului ge*eral al &irului (li i$a a are &i la fu*cţii, locul lui * fii*d lua$ de (care oaaloare *u eric', i*clu#i +M #au F M))!

Pro8resii ari#me#ice-un% iruri de numere &n )$re 9ie)$re %ermen )u e+)e*ţi$ *rimului e (7ţi*re)eden%ul *rin $dun$re$ $)elui$ i num r r numi%raţie O *r('re ie $ri%me%i) e %e %(%$l de9ini% de%ermen $1 i r$ţi$ r $di) *u%em $9l$ (ri)e %ermen $l *r('re iei $ri%me%i)e d$) %im <$l($re$ *rimul

i r$ţi$< e :$2/$ 1 r. $3/$ 2 r/ $1 2r. S $ n/$ n-1 r / $1 #n-1,r.an5! 2 an2! / * an) a! 2 a. / *a* (#%n&i i" #" % i#" e t ei te meni #%nse#uti/i s' Cie "i unei ! % esii " itme)! uma primilor n #ermeni ai pro8resiei ari#me#ice es#e- Dn / $1 $2 S $n / n

n"n

"" n ••−+

=•+

2)1(2

211

Exemplu-$1 /2 &i raţiar/3 /= &irul 2 J 11 14 1Q 20 $101 a100+r a1 + 99r 2 + 99B3 2+197/1PP S$n 1 / $n 3/2 #n-1,:3 S D100/ $ 1 $2 S $100 /

!10050502012

100201100

23)1100(22

10021992 =•=•=••−+•=•+

Pro8resii 8eome#rice: un% iruri de numere &n )$re 9ie)$re %ermen )u e+)e*ţi$ *rimului e (7ţi*re)eden%ul *rin &nmulţire$ )u $)el$ i num rN numi% " ie O *r('re ie 'e(me%ri) e %e %(%$l de9ini%*rimul %ermen 71 i r$ţi$ Y $di) *u%em $9l$ (ri)e %ermen $l *r('re iei 'e(me%ri)e d$) %im <$l($re$ *%ermen i r$ţi$< e : 2 1BN; 3 2BN 1BN2; C * *F1BN 1BN*F1;9n5! 9n2! / 9*n) 9! 9. / 9**! (#%n&i i" #" % i#" e t ei te meni #%nse#uti/i s' Cie "i unei ! % esii e%met i)! uma primilor n #ermeni ai pro8resiei 8eome#rice:Dn/7 1 72 S 7n/7 1 71:YS 71:Yn-1/7 1#1 Y S Yn-1, /

11

1 −−

99

2n

Exemplu- 1 2 &i raţia N 3: &irul: 2; 6 2B3; 18 6B3 2B32; 54 18B3 2B33; C! *+1 *B3 2B3*F1; C 4= 1+ 2+…+ 4=2+2 3…+2 34-1=2(1+3+… 34-1 ) / 80

2160

280

22

1812

1313

24

==•=−•=−−•

GEOMETRIE ECTORIAL Ă1, Re*er )$r%e6i$n &n *l$n "e *u e&$ereper car#e$ian %+n plan) cu lul de a e ( O,P,i), (QQO,P, H), u*de dre $ele O, Q Q#u*$ er e*diculare (G* la*ul ),P u*c$ul de i*$er#ecţie, iari &i #u*$ er#orii (adic& 6ec#orii uni#a#e " de lun8ime !) celor dou'a e &i defi*e#c #e*#ul de e fiecare a '; #e ia ele P ;PQ #u*$ o i$i e, iar #e ia ele P O;PQO #u*$ *ega$O+ #e *u e&$e a aa #ci#elor,OZ #e *u e&$e a a ordo*a$elor)! e erul car$e ia* G* la* #e *o$ea '#Oi , cuO origi*ea re erului! la*ul G* care #defi*i$ re erul Gl *u i la*ul+OZ! 2,C((rd(n$%e )$r%e6iene iec'rui u*c$M di* la*ul+OZ, Gi a#ocie erec-ea de *u ere reale ( ,Q) *u i$ecoordona#elecar#e$iene ale punc#ului S! eci roc fiec'rei erec-i de *u ere reale ( ,Q), Gi core# u*de u* u*c$ i*e de$er i*coordo*a$e ( ,Q), *o$a$ K( ,Q);+ #e *u e&$ea9scis&, Z #e *u e&$eordona#& Exemplu- ieM#2.3, A7 )i $lui K, *o$a$'+M e#$e egal' cu 2iar(rd(n$%$lui K, *o$a$' ZM e#$e egal' cu 33, e)%(ri iec'rui u*c$ S%x S)H H S( (di* la*ul +OZ &i $ ()iem6ec#orul de po$iţie →→

•+•= H yi xIJ J J !

Exemplu- ieM#2.3, →→→→→+=•+•= Hi HiIJ 3232

Adun$re$ # $u ) dere$, <e)%(ril(r e 9$)e *e )(m*(nen%e(ce e#$e cui cu ce e#$e cui &i ce e#$e cu cu ce e#$e cu ( Dum$ <e)%(ril(r )e 9(rme$6 un )(n%ur &n)>i e %e nul →→

−= K? ?K ; →→→=+ 0 K? ?K s"u, En #" u$ unui !%$i %n

En# is (&e exem!$u $" un t iun i "/em →→→→=++ 0=? K= ?K ) sum" /e#t% i"$" " $"tu i$% este e %.

Dnmulţirea unui 6ec#or cu un num&r se face +nmulţind fiecare componen#& a 6ec#orului cu acel num&r Exemplu- ie Hiu •−•= 32 &i Hi/ •+•−= 43 ! "' #e calcule e /u 32 + !

5

< e : Hii Hi Hi Hi Hi Hi Hi/u 126941296443)3(33222)43(3)32(232 +−−=+−−=•+−•+•−•=+−+−=+

e)%(rul 9(rm$% de *un)%ele ABe %e →→→•−+•−= H y yi x x ?K ? K ? K )()( . ?K ?K =

→

Exemplu- ie A%*).(&i %7)3( →→→→→→→→→+=•+•=•−+•−=•−+•−= Hi Hi Hi H y yi x x ?K ? K ? K 3333)36()25()()(

Qoi 6ec#ori H/i// y x •+•= 111 <i H/i// y x •+•= 222 sun# coliniari sau paraleli dac'2

1

2

1

y

y

x

x

/

/

// = &i perpendiculari

dac' 6 x! 6 x*2 6 H! 6 H*/@ Dac' 21 /: / •= , a$u*ci 21 /: / •= #au 1/ coli*iar cu 2/ ! Qoi 6ec#ori se +nmulţesc scalar elemen# cu elemen# <i se ţine con# c& i i/ /!' i /sau c&( )212121 ,co# ////// ••=• !

4, 5i %$nţ$ din%re d(u *un)%e A#+A.ZA,B#+B.ZB, $u lun'ime$ e'men%ului ABe %e 22 )()( ? K ? K y y x x ?K −+−= Exemplu- ie A%*).( %7)3( 2329291899)3()3()36()25( 2222 =•=•==+=+=−+−= ?K

J, C((rd(n$%ele mi[l()ului M#+M.ZM, $le e'men%ului AB 22

21 K ? J

x x x x x

+=+= 22

21 K ? J

y y y y y +=+=

Exemplu- ie A%*).( %7)3( 27

252

2=+=+= K ?

J x x

x ;29

263

2=+=+= K ?

J y y

y

=>

29

;27

J ! ime#ricul punc#ului A faţ& de punc#ul es#e un punc# C afla# pe dreap#a A <i e8al dep&r#a# de A / C sau es#e mi locul se8men#ului AC x C /*x 5x A <i HC /*H 5H A

,5re*%e &n *l$n Orice dreap#& es#e defini#& <i de o ecuaţie de 8radul I' +n x <i H' de forma. $+ 7Z ) /0 $ 7 )∈R $ i 7 nu imul%$n nule #⇔ $2 72 = 0, *u i$' e)u$ţi$ )$r%e6i$n 'ener$l $ dre*%ei Exemplu-2x+3y-5=0; "=2; =3; #=-5.

Z / m:+ n e)u$ţi$ *rin % ie%uri $ dre*%ei Exemplu- y = -3x+8; m = -3; n = 8.

E)u$ţi$ dre*%ei de%ermin$% de d(u *un)%e di %in)%e A#+1 Z1, B#+2 Z2, #+1≠+2, e %e-12

1

12

1

y y

y y

x x

x x

−−=

−−

Dac'+1/ +2

, a$u*ci ecuaţia dre $ei e#$e+ / +1#\\ )u OZ,

!Dac'Z1/Z2 a$u*ci ecuaţia dre $ei e#$eZ / Z1 #\\ )u O+,! Exemplu- A%*).( %7)3(

!0:03333)3(3)3(33

33

2363

252 =−=>=+−−=>−=−=>−=−=>−=−<=>

−−=

−−

y x ?K y x y x y x y x y x

$n%$ dre*%ei )$re %re)e *rin d(u *un)%e A#+A.ZA,B#+B.ZB, +A ≠+B e %e m A / ? K

? K

x x y y

−−

Exemplu- A%*).( %7)3( 133

2536 ==−

−= ?Km / m A /!

5(u dre*%e de e)u$ţii $ + 7 Z ) / 0 $] + 7] Z )] / 0 )(in)iddac' RRR #

#22

"" == ! Dac' a2 0, a$u*ci

&i a1 0, #au dac' 2 0, a$u*ci &i 1 0! Dac' a 0, a$u*ci &i aO 0;dac' 0, a$u*ci &i O 0;dac' c 0, a$u5(u dre*%e de e)u$ţii Z / m+ n Z/m]+ n] )(in)id dac' m / mV <i n/nV !

Exemplu- ie d !- x2*H5./@) d *- *x24H53/@) d.- *x24H5!/@ d ! <i d * coincid' iar d ! <i d . sun# paralele

ie =++=++

0

0

222

111

# y2 x"# y2 x"

+=+=

22

11

n xm yn xm y

sis#emul forma# de ecuaţiile a dou& drep#e #d1, i%d * ( Punc#ul

de in#ersecţie al drep#elor %d ! ( <i %d * ( se 8&se<#e re$ol6:nd sis#emul forma# de ecuaţiile drep#elor

Exemplu- <ie =++−=++

052

032

y x

y x<du*' cele dou' ecuaţii, #e reduce &i a e :2Z+2Z+3+5 4H21/@/ 4H/51/ H/5

1-4/ 5*! Di* ri a ecuaţie afl' e : x2* %5*(2./@ / x2%54(2./@ / x542./@ / x5!/@ / x / !! d ! ∩d */S%!)5*(

<ie +=+=

342

x y x y S*locui e Q di* ri a ecuaţie G* a doua ecuaţie &i a e :*x24/x2./ *x5x/.54 / x/ 5! Di* a

doua ecuaţie afl' e Q: H / 5!2. / * / d ! ∩d */S%5!) *(

6

E)u$ţi$ dre*%ei de *$n% m i $<Xnd (rd(n$%$ l$ (ri'ine e'$l )u n e %e Z / m + n (ecuaţia explici#& adrep#ei , deoarece Q #e #crie e lici$ G* fu*cţie de , u*de coeficie*$ulm al lui e#$e a*$a dre $ei)!

E)u$ţi$ dre*%ei d )$re %re)e *rin A #+1 Z1, i $re *$n%$ m e %e H " H! / m%x " x ! (!• d$) m / 1 n / 0⇒ H / x - ecuaţia primei 9isec#oare;• d$) m / - 1 n / 0⇒ H / 5 x 5 ecuaţia celei de doua 9isec#oare;• d$) n / 0⇒ H / m x 5 ecuaţia unei drep#e care #rece prin ori8ine!• e)u$ţi$ H / @ este e#u" i" "xeiOx)• e)u$ţi$ x / @ este e#u" i" "xei OH)• e)u$ţi$ H / ^0 este e#u" i" unei & e!te !" "$e$e #u "x" Ox)• e)u$ţi$ x / ^0 este e#u" i" unei & e!te !" "$e$e #u "x" OHUn *un)%se afl& pe( dre$*%dac& coordona#ele lui 6erific& ecuaţia drep#ei $di) *en%ru + / +A Z / ZA $<em

e'$li%$%e$ ZA/m +A n!A $9l$ e)u$ţi$ unei dre*%e &n e$mn $ ' i *e m i n $ 7 i ) NU *e + i Z? Exemplu- ie A%!)*( <i d-x2H5./@ H/5x2. / x A2H A5./!2*5./.5./@/ A∈d sau H A/5x A2. */5!2. */*/ A∈d

Trei *un)%e A#+A.ZA, B#+B.ZB, C#+) Z), sun# coliniare d$) ? K

?=

? K

?=

y y y y

x x x x

−−=−

−

Exemplu- <ie ?(1;2), K(2;4), (3; ) . ?/em: 2224

12

2426

1213 =<=>==>

−−=

−− =L ?,K, sunt #%$ini" e.

5re*%ele #d1, $1 + 71 Z )1 / 0 #d2, $2 + 72 Z )2 / 0 sun# paralele d$)2

1

"" /

2

1

22 ≠

2

1

## $2 72≠0 !

Qou& drep#e d1 i d2 sun# paralele #d1\\d2 ( dac& pan#ele lor m! <i m* sa#isfac relaţia m1/m 2 # pan#ele sun# e8ale( Exemplu- <ie d !- x2*H5./@) d *- 5*x2H51/@) a!/!'9 !/*' a */ 5*'9*/!' d ! ) m!/!' m */!'n !?n* ' / d ! ) m!/!' m */5!' m! m*/! %5!(/ 5! / d ! <i d * sun# perpendiculare Qac& m! ≠m* ' cele dou& drep#e sun# concuren#e %sis#emul forma# de ecuaţiile drep#elor a6:nd soluţ Exemplu- <ie d !- H/x57) d *- H/*x57) m!/!? m */!'n !/n * ' / d ! <i d * sun# concuren#e

Qis#anţa de la un punc# la o dreap#& es#e lun8imea perpendicularei duse din aces# punc# pe dre

ie drea $ad- ax29H2c/@ &i u*c$ul S%x m 'H S ( ! Qis#anţa de la d la S e %e 22)),,(( 2"

# y2 x"& y x J &

J J J J +

+•+•=

Exemplu- <ie d- x2*H5./@ <i S%*).(/ a/!'9/*'c/5.'x S /*'H S /./

55

5

5

5

41

362

21

)3(3221)),3,2((

22===

+−+=

+−+•+•=& J &

erime%rul u*ui $riu*g-i e#$e #u a lu*gi ilor la$urilor #ale, adic':/AB BC CA/) $ 7 / perime#rul #riun8;iului A C'i$r

22#2" F

! ++== semiperime#rul

Ari$$riu*g-iului/2in"$time2".' • !

))()((2#i*

2 # !2 !" ! ! K ?K K= ?M K=

? ?K= −−−=••

=•

=∆ ( o$ fi oricare al$e dou' la$ui&i u*g-iul di*$re ele)! Dac' #e cu*o#c coordo*a$ele rfurilorA#+A.ZA, B#+B.ZB, C#+) Z),,

u$ili ' for ula: 1

1

1

21

= =

K K

? ?

?K=

y x

y x

y x

? =∆

(dac' <T<UE 0, u*c$ele <,U &i E #u*$ coli*iare)! <

u*ui T ec-ila$eral de la$ur'l : 432$

? $ e#5i$"te " =∆ , iar a u*ui $riu*g-i dre $u*g-ic e#$e egal' cu Vu '$a$e di* rodu#ul ca$e$elor!Teorema lui Pi#a8ora 8enerali$a#&#eorema cosinusului- ?K2+ ? 2 – 2?K ? #%s ? = K 2

Teorema sinusurilor : ;

=

#

K

2

?

"2

#i*#i*#i*

=== ;

=

?K

K

?=

?

K= 2

#i*#i*#i*

=== u*de R/ra$a cercului circumscris #riun8;iului %la #riun8;iul drep#un8;ic aceas#& ra$& R es#e e um&#a#e din ipo#enu$& <i cu mediana din un8;iul drep#( Sedian& / se8men# ce une<#e un 6:rf al #riun8;iului cu mi locul la#urii opuse) punc#ul de +n#:lmedianelor %la o #reime de 9a$& iul ABC *($%e 9i:- ec;ila#eral $oa$eu*g-iurile egale(600) &ila$urile egaleFisoscel W dou' la$uriegale &i dou' u*g-iuriegaleFdrep#un8;ic "u*u*g-i dre $ (900)Foarecarer/ ra$a cercului +nscris+n #riun8;i) r/ BpCen#rul cercului+nscris +n #riun8;i es#e punc#ul de +n#:lnire al9isec#oarelor

Sedia#oare/ dreap#& perpendicular& pe mi locul la#urii opuse %sau a unui se8men#() punc#ul +n#:lnire al media#oarelor se nume<#e or#ocen#ru %no#a# de o9icei cu W() Dn&lţime/se8men# ce pleac& din#r5un 6:rf <i es#e perpendicular pe la#ura opus&) isec#oare/semidreap#& ce pleac& din#r5un 6:rf <i +mpar#e un8;iul +n dou& p&rţi e8aleCen#rul cercului circumscris #riun8;iului es#e punc#ul de +n#:lnire al media#oarelor Lun8imea medianei dus& din A%x A)H A ( pe mi locul la#urii %x )H (C%x C )HC (-

5 calcul&m coordona#ele mi locului S%x S )H S (- 2

= K J

x x x

+= ;2

= K J

y y y

+=

Fcalcul&m lun8imea se8men#ului AS-22

)()( ? J ? J y y x x ?J −+−=E)u$ţi$ )er)ului cu ce*$rul G*C%x C )HC ( &i ra 'r e#$e :

222 )()( y y x x = = =−+− !Orice ecuaţie de cerc de al#& form& se aduce la aceas#& form& %pen#ru a se afla ra$a <i coordona#ele cen#rului(

I @UNC_II ELEMENTARE NUMERICE"u*$ fu*cţii defi*i$e e ulţi i de *u ere (N ! " R C, i*$er ale #au reu*iu*i de i*$er ale ale ace#$ora) &i $o$ G* ulţi i de *u ere! or a ge*eral' e#$e:9 A-=B 9#+,/Zu*de Zes#e o sui#& de operaţii ma#ema#ice c x%expresia funcţiei( =aloarea u*ei fu*cţii G*$rFu* u*c$ 0 e#$e f(0); la fel erific' &i dac' graficul fu*cţiei $r ri*$rFu* u*c$ <(<;Q<) (#au u*c$ul <(<;Q<) #e afl' e graficul fu*cţiei): dac' f%x A (/H A a$u*ci graficul fu*cţiei $rec ri* <(<;Q<)! A/ domeniu de definiţie) / domeniu de 6alori %codomeniu(E+em*lu C: -L , C(x) = x2 – 1; C(0)=02-1=0-1=-1, &e#i ?(0;-1) este !e "Ci#u$ $ui C. Dac' u*ul di* fac$orii u*ei G* ulţiri ( rodu#) e#$e ero, a$u*ci re ul$a$ul G* ulţirii e#$e ero <ce#$ lucru e#$e u$il lacalculul rodu#ului alorilor u*ei fu*cţii G* diferi$e u*c$e c *d aloarea G* u*ul di* ace#$e u*c1 @un)ţi$ de 'r$dul I 9 R-=R. 9#+,/$:+ 7a?@ N "Ci#u$ unei Cun# ii &e "&u$ > este % & e"!t' (# es#'t%" e &"#' "L0 s"u &es# es#'t%" e &"#' "O0este iHe#ti/'(e/i&ent &"#' "P0). <un# i" este # es#'t%" e &"#' "L0 şi &es# es#'t%" e &"#' "O0. Exemplu- 9#+,/+- "=1P0; = - .2 @un)ţi$ de 'r$dul II 9 R-=R. 9#+,/ $:+2 7:+ ).a?@ N "Ci#u$ unei Cun# ii &e "&u$ >> C(x)=" x2+ x+# este % !" " %$' (#u /D Cu$ En sus &"#' "O0 şi #u /D Cu$ E

"L0). %% &%n"te$e /D Cu$ui%x )H ( "$ !" " %$ei "s%#i"te Cun# iei sunt:"

y"

2 x Q Q 4

;2

∆−=−= , "&i#'

)4

;2

(""

2Q

∆−− şi Z< #%nstituie minimu$ (&"#' "L0) s"u m"ximu$ (&"#' "O0) Cun# iei. <un# i" este # e

!ent u xOxQ şi &es# es#'t%" e !ent u xLxQ &"#' "O0 şi in/e s. M"#' RO0, !" " %$" nu inte se#te" ' "x" Ix; &" R=0, !" " %$" ( "Ci#u$ Cun# iei) este t"n ent' "xei Ix En /D C; &"#' RL0 !" " %$" inte se#te" ' Ix En(x1;0) şi (x2;0). Exemplu- 9#+,/ -+2 3+-J. "= -1P0; =3; # = -53 @un)ţi$ *(lin(m 9 R-=R. 9#+,/ $n +n $n-1 +n-1 S $1 + $0 Exemplu- 9#+,/ /+3 - 4 +2 2+ - . "3=1; "2=-4; "1=2; "0= - ;

4 @un)ţi$ r$ţi(n$l)()(

)( xS x F

x= = unde #+, i "#+, un% *(lin($meDo e*iul de defi*iţie e#$eR " Xr&d&cinile

numi#orului Y%x( ZJ @un)ţi$ *u%ere 9 R-=R. 9#+,/ $ +n

emnu$ Cun# iei !ute e &e!in&e &e semnu$ $ui " şi &"#' n este !" s"u im!" . Exemplu-9#+,/ -4+J. "=-4; n=5.

@un)ţi$ r$di)$l 9 5-=R.n

x x C =)( ! M"#' n este !" , "tun#i #e-i su "&i#"$ nu t e uie s' Cie ne "ti/"$%" e" $ui C este !% iti/' s"u e %;&"#' n este im!" , "tun#i x∈ şi semnu$ $ui C este $" Ce$ #u semnu$ ex! esi su "&i#"$. Exemplu- 5)( x x C = ' n =5 Q @un)ţi$ e+*(nenţi$l 9 R-=#0. `,. f%x( / a x . $=0 $ ^1.

<un# i" ex!%nen i"$' este num"i !% iti/' şi f%@(/a@/! Exemple- f !%x( / e x ) f *%x( / * x ) f . %x( / *5x /%*5! ( x /%![*( x x21=

) @un)ţi$ l('$ri%m 9 #0. `-=R. f%x(/lo8 a x un&e $=0 $ ^1 şi+ =0

Xogari$ ii a ar ca #oluţii ale ecuaţiilor$+/N u*de a a $=0 $^1 iargu e*$ulN=0 r(*rie% ţi lo8 a N ! 2 lo8 a N */lo8 a N ! N * ) lo8 a N ! 5 lo8 a N * / lo8 a N ! BN *) lo8 a N / lo8 a N) lo8 a a/!) lo8 a !/@)

E+em*lu lo8 * 7 2 lo8 * \/lo8 * 70\/ lo8 a .7) lo8 * 7 5 lo8 * \/lo8 * 7B\) lo8 * . 7 / 7 lo8 * .)3

5log5log5log 231

23

2 == <un# i" $% " itm este !% iti/' &"#' "L1 şi xL1 s"u 0O"O1 şi 0OxO1; Cun# i" $% " itm este ne "ti/' & xO1 s"u 0O"O1 şi xL1; f%!(/lo8 a!/@!

8

Exemple- f !%x(/lo8 . x) f *%x(/lo8 !@ x/l8x) f . %x(/lo8 e x/lnxP @un)ţii %ri'(n(me%ri)e dire)%ea sinus- f- R5 ]5!)2!^) f%x(/ sin x ! <un# i" sinus este !e i%&i#' &e !e i%"&' 2 .9 cosinus- f- R5 ]5!)2!^) f%x(/ cos x <un# i" #%sinus este !e i%&i#' &e !e i%"&' 2 .c #an8en#&- f-R5X FZ5 R) f%x(/ #8 x <un# i" t"n ent' este !e i%&i#' &e !e i%"&' şi ne&eCinit' En mu$ti!$ii d co#an8en#&- f-R5X FB*Z5 R)f%x(/c#8 x%t"n ent" este !e i%&i#' &e !e i%"&' şi ne&eCinit' En mu$ti!$ii &10 @un)ţii %ri'(n(me%ri)e in<er ea arcsinus- f- ]5!)2!^ 5 R) f%x( / arcsin x) 9 arccosinus- f- ]5!)2!^ 5 R) f%x( / arccos x)

c arc#an8en#&- f- R5 R) f%x( / arc#8 x) d arcco#an8en#&- f- R5 R) f%x( / arcc#8 xun)%ele de in%er e)ţie $le 'r$9i)ului unei 9un)ţii 9 R-=R )u $+ele de )((rd(n$%e un%Fcu axa OH: #0.9#0,, )el mul% un in'ur *un)% #t e uie #"$#u$"t C(0), F i*$er#ecţia cu a aOZe i#$' *u ai dac'fu*cţia e#$e defi*i$' G* 0.Fcu axa Ox : (9#+,/0. 0) Wunul $u m$i mul%e *un)%e($re uie re ol a$' ecuaţia f( ) 0 &i afla$a r'd'ci*ilor); i*$er#ecţia cu a aO+e i#$' *u ai dac' ecuaţia f%x( / @ are #oluţii! Exemplu- <ie9#+,/ -+2 3+-J. "= -1P0; =3; # = -5

F N C TI U : C(0)=-02+3· 0-5=0+0-5=-5 =L N C TI U =?(0;-5)F N C TI V : C(x)=0 -x2+3x-5=0; R=2-4· " · #=32-4· (-1)· (-5)=9-20=-11O0 =LN Cnu inte se#te" ' "x" I V .

Un *un)% A#+A ZA, $*$rţine 'r$9i)ului unei 9un)ţii 9#+, d$) )((rd(n$%ele *un)%ului <eri9i) rel$ţi$ *rin )e %e d$% 9un)ţi$ $di) 9#+A,/ZA Qe exempluu* u*c$ u* u*c$ A%x A 'H A ( a arţi*e graficului u*ei dre $e (adic' afl' e drea $a) de ecuaţie$+ 7Z )/0 ##au Z/m+ n, d$) e#$e erifica$' ecuaţia$ +A 7 ZA )/0 ##auZA/m +A n, Exemplu- C % x)=3 x; ?(0;1); x ?=0, y ?=1; C(x ? )=C(0)=30=1=y ? =L?∈N C .L$ )$l)ulul *un)%el(r de in%er e)ţie $ 'r$9i)ului $ d(u 9un)ţii 9#+, i '#+, e re6(l< e)u$ţi$ 9#+,/'#+,

9#+,-'#+,/0 >#+,/0 e ' e ) r d )inile +1 +2 S +n $le lui >#+, $*(i e )$l)ule$6 9#+1,/'#+ 1, 9#+n,/'#+ n,*un)%ele de in%er e)ţie 9iind A1#+1 9#+1,, S An#+n 9#+n,, Exemplu- M"#' "/em &e #"$#u$"t inte se# i" &int e "Ci#u$ unei Cun# ii &e "&u$ >(% & e"!t') şi " "&u$ >> (% !" " %$'), /%m "/e" m"xim 2 !un#te &e inte se# ie (&" !utem "/e" un !un#t s"u ni#iunu$). Exemplu- <ief (x)= -x2+3x-5 şi (x)= -3x; C(x)= (x) -x2+3x-5=-3x =L-x2+3x-5+3x=0 =L-x2+ x-5=0;"=-1; = ;#=-5; R=2-4· "· #= 2-4· (-1)· (-5)=3 -20=1 =42;

052

102

46;01

22

246

246

)1(2166

2 212,1 >=−−=−

−−=>=−−=−

+−=⇒−±−=−•

±−=∆±−= x x"

2 x

C(x1 )= (x1 )= (1)=-3·

1=-3; C(x2 )= (x2 )= (5)=-3·

5=-15=L N C TN = J 1(1;-3) şi J 2(5;-15).II ECUA_II FI INECUA_IIE)u$ţi$ de 'r$dul I o ecuaţie de gradul I are for a:$ x 7/0! "oluţia ace#$ei ecuaţii e#$e x /-78$, cu$ %0! Exemple-*x24/@' a/*' 9/4 / x/%54([*/5*) *x2./7 / *x/75./*) / x/*-*/! / x/!E)u$ţi$ de 'r$dul $l II-le$ for a ca*o*ic' a u*ei ecuaţii de gradul al IIFlea e#$e:$: x 2 7: x )/0 , iar #oluţiile ei #u*$:

"2

x22,1

∆±−= u*de a/7 2 4$).de a#e e*ea, a e / +1 +2.* / +1:+2 Ecuaţiile de 8radul II de al#& form& se

aduc la forma canonic& %cu $ero +n dreap#a e8alului( cuaţia de gradul II care are r'd'ci*ile 1 &i 2 e#$e:a %x5x ! ( %x5x * (/@#au, dac' a/! x * "%x !2x * ( x2x ! x * / @ 'd'ci*ile #u*$ reale dac' T 0,(reale &i egale dac' T 0co le co*Vuga$e dac' TY0! Exemplu- x2+3x-4=0; "=1P0; =3; # = -4; R = 2-4● "W#=32-4· 1· (-4)=9+1 =25=52.

05210

253;01

22

253

253

12253

2 212,1 <−=−=−−=>==+−=⇒±−=•±−=∆±−= x x"

2 x

E)u$ţii ir$ţi(n$le#)u r$di)$li, Condiţie- ce e#$e #u radicalii de ordi* ar #au egal cu ei #' fie 0. #e #ca ' deradicali ri* ridicare la u$ere egal' cu ordi*ul radicalilor(u*eori #ucce#i '), ri* a lificare cu co*Vu Exemplu- 442 =− x ! e %$/" e: "e u*e co*diţia:2F4 0; #e ridic' la u$erea a 2Fa (&e%" e#e "/em "&i#"$ &e% &inu$ 2) a ii e ri &i o ţi*e :( ) 228444424 2,1

2222

2 ±=⇒=+=⇔=−⇔=− x x x x

E)u$ţii e+*(nenţi$le ecuaţii ce conţine 6aria9ila necunoscu#& la exponen#ul pu#erii .Eea ai #i l' ecuaţie e o*e*ţial' e#$e de for a$+ / 7 # $u $9#+,/7, u*de a 0, a %1!S*cerc' #'Fl #crie e u$ere a lui a, adic' 1 x"2 = &i G* ace#$ ca x/x ! #au f%x(/x ! Dac' *u u$e #'Fl #crie e7 ca o u$ere a lui$,a$u*ci e*$ru Y0 ecuaţia *u are #oluţii, iar e*$ru 0 ecuaţia da$' are o #oluţie u*ic' +/l(' $7 #au9#+, /l('$7 Exemple- ' se e %$/e e#u" ii$e:a( * x / 54 , 9( * x / 1 , c( * x / 7 Re6(l<$re! $)cu e rul di* #$ *ga ecuaţiei e#$e o i$i∀ +∈R , iar e rul di* drea $a e#$e *ega$i , ecu*u are #oluţii;7, "e o ţi*e log28, adic' 3 #au2+/2 3 &i re ul$' c' 3;), #i ilar e e lului recede*$ #e o ţ+/l(' 2J e ul$' c' ecuaţia e o*e*ţial' de $i ul$9#+,/7 , u*de a 0, a%1 &i 0 e#$e ec-i ale*$' cu ecuaţia f%x(/lo8 a9O al#& 6arian#& es#e s& se #ransforme ecuaţia exponenţial& +n#r5o ecuaţie polinomial& %de o9icei de

9

Exemplu- "' #e re ol e ecuaţia 4 W 2 F2 0; e$ol6are- S*cerc' #' o ţi*e u$eri cu aceia&i a ', de referaai ic', adic' a a 2 G* ace#$ ca ! 4 W2F2 0 022)2( 2 =−− x x 0222 2 =−−⋅ x x 0222 2 =−−• x x

022)2( 2 =−− x x ! o$' 2+/Z=0 G*locui &i o ţi*e H*5H5*/@'adic' o ecuaţie de 'r$dul II &n Z< e :a/! , 9/5! , c/5* _/9 *54 a c (F1)2F4Z1Z(F2) 1+8 9 32!

0122

231

;0224

231

231

129)1(

2 212,1 <−=−=−=>==+=⇒±+=•

±−−=∆±−= x x"

2 x Doar Q Q1 erific'

co*diţia #' fie ai are ca ero, deci2+

/Z1 2+

/1/20

/=+/0 #egali$a$e de u$eri, egali$a$e de a e egale o*e*ţi)!E)u$ţii l('$ri%mi)e ecuaţia ce conţine necunoscu#a su9 semnul lo8ari#mului sau %<i( +n 9a$a lui Eea ai #i laecuaţie logari$ ica e#$e ecuaţia de $i ull(' $+ / N Dac'$=0 $ ^1 ecuaţia, e*$ru orice *u 'r real 0, are o#oluţie u*ic',+ / $N S*ai*$e de a re ol a ecuaţia #e u* co*diţiile: a 0, a %1, 0! "e a ţi*e co*$ c': e#$e e o*e*$ul la care #e ridic' a a ca #' *e dea argu e*$ul[ adic' G* ca ull(' $ + / 7 /= $7 / + O al#& 6arian#&es#e s& se #ransforme ecuaţia lo8ari#mic& +n#r5o ecuaţie polinomial& %de o9icei de 8rad I'II sau III ( Exemplu- ' se e %$/e e#u" ii$e ") $% 2 x = 3, ) $% 3 x = -1, #) 0log

31 = x Re6(l<$re "e u$ili ea 'l(' $+ / N &i

+/$N #i #e o ţi*e$, x 23 #au x 8; 7, x 3F1 #au x 1/3; ), (1/3)0 1 #au 1 Ine)u$ţiile se re$ol6& re$ol6:nd mai +n#:i ecuaţia ce se formea$& din inecuaţie <i s#a9ilind semnul %funcţiei( ce formea$& inecuaţia 5 se #rece #o#ul +n par#ea s#:n8& %+n dreap#a r&m:ne @( <i se sexpresiei din par#ea s#:n8& %re$ul#a#ul re$ol6&rii unei inecuaţii es#e de o9icei o mulţime sau un in#er6a Exemplu- *x5\`@) Re$ol6&m +n#:i ecuaţia *x5\/@ / x/]5%5\(^[*/\B* / x ∈%5 )\B*(Demnul 9un)ţiei de 'r$dul I Cun# i" " e semn #%nt " $ui " !ent u xO- *" şi semnu$ $ui " !ent u xL- *".\* ca ar$icular de i*ecuaţie de gradul I e#$e\$ + 7\bm (#au\$ + 7\=m)! <cea#$' ecuaţie de i*e mb$ + 7bm (#au

W m=$ + 7=m) adic' u* #i#$e de dou' ecuaţii de gradul I:

−≤•−−≥•⇒

≤+•−≥+•

2m x"

2m x"

m2 x"

m2 x"&i o ţi*e dou' i*$er ale de alori e*

(c $e u*ul e*$ru fiecare ecuaţie), iar a fi G* i*$er#ecţia celor dou' i*$er ale!

Exemplu-\2+ 3\bJ/=-Jb2+ 3bJ/= ]1;4̂]1;();4̂14

2

22

8

2282352352552532 −∈⇒−∞≤∞−∈⇒≤−≥⇒≤

−≥⇒≤−≥⇒−≤−−≥⇒≤+−≥+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

10

Demnul 9un)ţiei de 'r$dul II &"#' _`@ , !este t%t "/em semnu$ $ui " (&"#' R=0 !este t%t "/em semnu$ $ui "ex#e! i" !un#tu$ui x=x1=x2=- *"); &"#' _ @ , Ent e '&'#ini$e x1 şi x2 "/em semn #%nt " $ui ", i" En "C"

'&'#ini$% "/em semnu$ $ui ". Exemplu- 2F4Z +3 0;a 1 0; F4;c 3;T2F4ZaZc (F4)2F4Z1Z3 16F12 4 22;

);3̂]1;(122

224

;326

224

224

124)4(

2 212,1 ∞∪−∞∈⇒==−===+=⇒±=•

±−−=∆±−= x x x"

2 x

Al%e emne de 9un)ţii$rigo*o e$rice, oli*oa ele, radicalul de ordi* i ar, logari$ o$ fi o i$i e #aIII OLINOAME CU COE@ICIEN_I REALI

ie f a*_ * +a*F1_ *F1+C+a1_+a0 u* oli*o cu coeficie*ţi reali (an ' an5! ' M ' a! ' a@#u*$ *u ere reale, a*%0); 8rad f/nO r d )in $ *(lin(mului 9e#$e acel *u 'r cu care, dac' G*locui e , o ţi*e aloarea ero! Exemplu- f%x( / *x . 5.x * 2 1x 5\) f%!(/*· ! . 5.· ! *21· !5\/* · !5.· !215\/*5.215\/5!2!/@/ x/! 5 r&d&cin& a lui f\* oli*o de gradul * cu coeficie*ţi reali are * r'd'ci*i: 1, 2, 3, C , *F1, * care o$ fi *u ere co le e, realeraţio*ale #au G*$regi! \* oli*o cu coeficie*ţi reali de grad i ar are cel uţi* o r'd'ci*' real'!Dac'+1 / $ i: e#$e o r'd'ci*' co le ' a lui f, a$u*ci &i co*Vuga$a #a+2 / $ 7 i e#$e r'd'ci*' a lui f!Dac'+1 / A cB e#$e o r'd'ci*' real' a lui f, a$u*ci &i+2 / A cB e#$e r'd'ci*' a lui f!Dac'+i/#*8Y, e#$e o r'd'ci*' raţio*al' a lui f, a$u*ci di ide $er e*ul li er a0 &i N di ide coeficie*$ul $er e*ulura*g a i , a*, adic' r'd'ci*ile raţio*ale ale u*ui oli*o #e cau$' f'c *d ra or$ul di i orilor celor doi Qou& polinoame sun# e8ale dac& au acela<i 8rad <i coeficienţii corespun$&#ori pu#erilor de acela<i 8raRe %ul &m* rţirii lui 9 l$ -$ e %e 9#$,Dac'$ e#$e r'd'ci*' a lui f, a$u*ci f(a) 0, f #e di ide (G ar$e e ac$

-$

&i reci roc! Dac' 1

,2

#u*$ r'd'ci*i ale lui f, a$u*ci f(1

) f(2

) 0, f #e di ide cu (_F1

)B(_F2

)

&i reci roc! Exemplu- f%x( / *x . 5.x * 2 1x 5>) f%!(/*· ! . 5.· !*21· !5>/*· !5.· !215>/*5.215>/5!5!/5*/ x/! nu es#e r&d&cin&a lui fTe(rem$ &m* rţirii )u re % 9 /) ' r un&e: f " de+mp&rţi#) 8 " +mp&rţi#or) c " c:#) r " res# Grad f / 8rad c28 Dmp&rţirea a dou& polinoame se C"#e "sem'n't% #u Em!' i e" nume e$% (se Em!" t te menii &e "& m&eEm!' it – C (x3 En "#est #" ) şi Em!' it% – (x2 En "#est #" ) #%eCi#ient #u #%eCi#ient şi ne#un%s#ne#un%s#ut'), &%" #' e u$t"te$e inte me&i" e se s# iu #u minus şi se "&un' (nu se s# iu #u !$us şi se s# Exemplu- &m* rţire$ $ d(u *(lin($me 9#+, / +3 2 +2 3 + 1. 8%x( / x * " !. f%x( -8%x( / %x . 2 * x * 2 . x 2!( -% x * 5 !(/ x2* res# 4x2.)9 /de+mp&rţi# . '/ +mp&rţi#or . )/ x2*/c:# . r/ 4x2./res# grad%f-8( /grad f 5grad 8)grad r`grad 8

+3 2 +2 3 + 1 x * 5 ! t e#em #u semn s# im "t -L -+3 + + 2 -=c:#

adun&m 5 B *x *

2 4x t e#em #u semn s# im "t -L 5*x * 2* adun&m 5 B 4 + 3 5 res#

;nmulţire$ $ d(u *(lin($me " se Enmu$ eşte Cie#" e te men &e $" ! imu$ !%$in%m #u Cie#" e te men & !%$in%m;( &"#' ! imu$ !%$in%m " e 4 te meni, i" "$ &%i$e" " e 2 te meni, e u$t"tu$ /" "/e" 2 4=7 t 8rad%f 8(/ 8rad f 2 8rad 8 ; un !%$in%m #u "&u$ XY I este % #%nst"nt', &e % i#ei nenu$'. Exemplu- &nmulţire$ $ d(u*(lin($me- f%x( 8%x(/%x . 2* x *2. x2!( %x *5!(/%x . 2* x *2. x2!( x *5%x . 2* x *2. x2!( !/ /x . 2* x 42. x. 2x *5 x. 5* x 5. x 5!/x 7 2* x 2* x . 2x*5*x*5.x5!/ x 2* x 2* x . 5 x *5.x5!)

I RELA_IILE LUI IETE un# relaţii +n#re r&d&cinile <i coeficienţii unei ecuaţii polinomiale de diferi#e 8rade Pen#ru polinoame de 8radul I 5 f%x( / a! x 2 a@ / @) x ! / %5a@ (Ba! Exemplu- f %x(/ 54 x2./@) a!/54) a@/.) x !/%5.(B%54(/.B4

Pen#ru polinoame de 8radul II 5 f%x( / a* x * 2 a! x 2 a@ / @) "2

"" x x −=−=+

2

121 "

#"" x x ==•

2

021

Exemplu- f %x(/x *54 x2./@) a/a*/!)9/a !/54)c/a@/.) 414

14

21 ==−−=+ x x ) 313

21 ==• x x

Pen#ru polinoame de 8radul III 5 f%x( / a. x . 2 a* x * 2 a! x 2 a@ / @

3

2321 "

" x x x −=++ )

3

1323121 "

" x x x x x x =•+•+• )

3

0321 "

" x x x −=••

Exemplu- f%x( / *x . 5.x * 2 7x 5\ / @) a. /*) a*/5.) a !/7) a@/5\)

23

23

321 =−−=++ x x x )25

323121 =•+•+• x x x x x x )27

27

321 =−−=•• x x x

en%ru *(lin($me de 'r$dul I - 9#+, / $4 +4

$3 +3

$2 +2

$1 + $0 / 0

11

4

34321 "

" x x x x −=+++ )

4

2434232413121 "

" x x x x x x x x x x x x =•+•+•+•+•+• )

4

1432431421321 "

" x x x x x x x x x x x x −=••+••+••+•• )

4

04321 "

" x x x x =•••

CLADA A I- $ MATRICE FI 5ETERMINAN_I

Ka$ricele #u*$ $a louri de *u ere cu li*ii &i * coloa*e, iar la i*$er#ecţia fiec'rei li*ii cu o coloa*u 'r! )()( ,!!!1;!!!1 = J " ? nmn HmiiH ∈= == +nseamn& o ma#rice cum linii' n coloane <i forma#& cunumere)(m*le+e Qou& ma#rice se po# aduna numai dac& au acela<i num&r de linii <i de coloane Qou& ma#rice sun#dac& au acela<i num&r de linii <i de coloane <i sun# e8ale elemen# cu elemen#O m$%ri)e e &nmulţe %e )u un num r #)(n %$n% , &nmulţind %($%e elemen%ele m$%ri)ei )u $)el nTranspusa unei ma#rice A' no#a#& A# ' se o9ţine in6ers:nd liniile cu coloanele J"t i#e$e !'t "ti#e "u "#e$"şi num' &e $inii şi #%$%"ne ' Sa#ricea nul& %cu #oa#e elemen#ele e8ale cu $ero( es#e elemen# neu#ru la adunarea %A 2 O / O 2 A / A(' iar I n %ma#ricea cu #oa#e elemen#ele de pe dia8onala e8ale cu ! <i res#ul nule( es#eneu#ru la +nmulţirea ma#ricelor p&#ra#ice de ordinul n %A I n / I n A / A( Exemplu-

@ie $ /3 i

−

−

=231112

231

? /=

−

−

=

••−••••

−•••

=

−

−

•=•693336

693

2333)1(3131323

)2(33313

231112

231

3 ?"

Qou& ma#rice se po# +nmulţi%linie cu coloan&( numai dac& num&rul de coloane al primei ma#ricenum&rul de coloane al celei de a doua ma#rice Prima ma#rice d& num&rul de linii al re$ul#a#ului' iadoua d& num&rul de coloane nmu$ i e" m"t i#e$% nu este #%mut"ti/' S* ulţirea a$ricelor #e reali ea ' linie % &e$" ! im" m"t i#e) cu coloan&(&e $" " &%u" m"t i#e). Exemplu de +nmulţire a dou& ma#rice(Enmu$ i e" se e"$i e" ' ,, fiecare linie din prima ma#rice cu fiecare coloan&din a doua ma#riceVV ) :

−

−=

231112

231 ? .

−

−=

211212101

K .A:B/

−

−

231112

231

−

−

211

212

101

/

•+•+−•−•+•+•−−•+•+•−•+•+−••+•+•−•+•+•

•−+•+−••−+•+•−•−+•+•

2223)1()1(12130)1()1(2231)1(

2121)1(2111102)1(12112

2)2(23)1(11)2(1301)1()2(2311

/

/

=

++++−+−++−++−+−+−−+++

1153

223

119

461230261

222110122

461230261

Exemplu- ie

−

−=

231112

231 ? /=

−

−=

212313121

?t .

=

000000000

3I .

=

100010001

3 >

@ie A/ < (aiV)∈K*(C) ( m$%ri)e * %r$%i) =o a#ocia ace#$ei a$rice u* *u 'r *o$a$de%#A, *u i$de#erminan#ul ma#ricei ADac' < (a11)∈K*(C) e#$e o a$rice '$ra$ic' de ordi*ul G*$ i, a$u*ci de$(<) !.a11. a11! Exemplu- ie < (F5) de$(<) !.F5. F5!

De$er i*a*$ul a$ricei

=

2221

1211

""

"" ?

e#$e *u 'rul ( ) 21122211de$ """" ? −= 2221

1211

""

""=

&i #e *u e&$e de$er i*a*$ordi* 2! `er e*ii a11Ba22, a21Ba12 #e *u e#c $er e*ii de ol$'rii de$er i*a*$ului de ordi* 2!

Exemplu- ie

=

4321

? de$(<) 1Z4F2Z3 4F6 F2!

De$er i*a*$ul a$ricei

=

333231

232221

131211

"""

""""""

?

e#$e 322311332112312213312312322113332211)de$( """""""""""""""""" ? −−−++=&i #e *u e&$ede#erminan# de ordin .!`er e*ii care a ar G* for ul' #e *u e#c $er e*ii de ol$'rii de$er i*a*$uluiRe'ul$ lui D$rru ie u* de$er i*a*$ de ordi* 3! e*$ru a calcula u* a#$fel de de$er i*a*$ #e u$ili ea

ai Vo# (e e luF$m )ri u7 de%ermin$n% *rimele d(u linii): #e face rodu#ul ele e*$elor de e diago*

12

014!31211

: =

y x ?K

care co*ţi* 3 $er e*i! rodu#ul ele e*$elor de e o diago*al' de#ce*de*$' (#$ *ga #u# W drea $a lu#! < e $rei a#$fel de rodu#e: 312312322113332211 ,, """"""""" ! rodu#ul ele e*$elor de e o diago*al' a#ce*d(#$ *ga Vo# W drea $a #u#) e#$e cu #e *ul i*u#! < e $rei a#$fel de rodu#e: 322311332112312213 ,, """"""""" −−− !"u acelor &a#e rodu#e d' aloarea de$er i*a*$ului de ordi* 3!

Qe#erminan#ul es#e nul dac&-F a&a re ul$' di* calcul; F are o li*ie #au o coloa*' cu $oa$e ele e*$ele egalF are dou' li*ii #au dou' coloa*e egale #au ele e*$ele de e dou' li*ii #au coloa*e #u*$ ro orţio*ale! Sa#ricele <i de#erminanţii #e o$ u$ili a la re ol area #i#$e elor de ecuaţii li*iare cu ai ul$e *ecu*o*ecu*o#cu$' e#$e de gradul I #au ero (li #e&$e)) folo#i*d regula lui Era er:

F #e for ea ' a$riceaA Ae+%in a #i#$e ului &i a$ricea a $er e*ilor li eri;F #e #$a ile&$e dac' #i#$e ul e#$e co a$i il (ra*g < ra*g <e $i*#) #au *u; F #ecalculea 'de# A;

#e calculea ' d, dQ, d C! u*de d_ #e o ţi*e di*de# A G*locui*d coloa*a coeficie*ţilor lui cu coloa*a $er e*i

li eri; F #e calculea ' ?

& x V

de$= ,

?

& y y

de$= ,

?&

. .

de$= e$c!

cuaţia u*ei dre $e <(<,Q<)U( U,QU) #e oa$e afla re ol *d de$er i*a*$ul: 01!11

: = K K

? ?

y x y x y x

?K !

Exemplu- <(1,2)U(3,4) B1B2+QB1B3+1B4B1F3B2B1F1B4B F1BQB1 02++3y+4F6-4+F y 0

F2 +2QF2 0 :(F2)+-Z 1/0 /=AB +-Z 1/0

In<er $ unei m$%ri)e A A-1 are #e*# *u ai e*$ru a$rice '$ra$ice &i *u ai dac' de$er i*a*$ul

*e*ul! <$u*ci: ∗− •= ? ?

?de$

11 u*de

=∗

nnn

n

? ?

? ? ?

!!!1

1!!!!11 #e *u e&$e a$rice adVu*c$' ce are ca ele

de$er i*a*ţi care #e o ţi* di* ele e*$ele a$ricei < ri* eli i*area li*iilor &i coloa*elor cor

nnn

n Hi

iH

""

""

?

!!!

!!!!!!!!!

!!!

)1(

1

111

+−= , "&i#' &in e$emente$e $ui ? s-"u s#%s $ini" i&i#%$%"n" H)!

Exemplu- e*$ru o a$rice '$ra$ic' de ordi*ul doi, a e

•=•= ∗−

2212

21111

de$1

de$1

? ? ? ?

? ?

? ? !

e*$ru o a$rice '$ra$ic' de ordi*ul $rei, a e

•=•= ∗−

332313

322212

3121111

de$1

de$1

? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?

? ? !

Exemplu- ie

=

230112001

? /=de$< F1;

−=

•−=•−= ∗−

332313

322212

312111

332313

322212

3121111 1

11

? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ;

13

1)32()1321()1(2311

)1( 21111 −=−+=•−•−=•−= + ? ; 0

2300

)1( 1221 =•−= + ? (o li*ie di* de$er i*a*$ e#$

ero); 011

00)1( 13

31 =•−= + ? &!a! !d!

−−−=−

136124001

1 ?

A A-1/A A-1/I n - *r(*rie%$%e$ in<er ei unei m$%ri)e A-A/On *r(*rie%$%e$ (*u ei unei m$%ri)eI LIMITE 5E FIRURI FI @UNC_II

Xa calculul u*ei li i$e de &ir ( )(li 0* ∞=∞→ nn "" ) #au li i$e de fu*cţie ( ( ) ( )00li x C x C =→ ) #e G*locuie&$e * (la &iru

&i (la fu*cţii) cu aloarea # re care $i*de (li i$ele #e folo#e#c &i e*$ru a erifica co*$i*ui$a$ea0

ale do e*iului de defi*iţie:l s%x @ (/f%x @ (/l d %x @ ( )()()(

0

0

0

00 x C im$ x C x C im$

x x x x

x x x x

>>−

<>−

== (

Exemplu- f%x(/e x5*) ( ) ( )3lili 1232

33 C eeee x C x ===== −−

→→ ! "" =→ 0

li , u*de a∈R e#$e o co*#$a*$'!

O*er$ţii )u ` ;;0 ∞=∞•∞=∞±" aBM F M dac' aY0 #au +M dac' a 0;±∞=∞±

" dac' a 0; ∞=∞±" dac' a

Y 0! ∞=∞∞ !e ul$a$ul calculului u*ei li i$e oa$e fi &i o *ede$er i*are!Nede%ermin ri

!;0;;1;;0;0;;00

00 et#•∞∞−∞∞∞∞ ∞∞ Qac& re$ul#& o nede#erminare' aceas#a se elimin&)

• 080 i `8 ̀#e eli i*' ri* #i lificare #au regula lui lO o# i$al:)(R)(R

li)()(

li00

0

0

x 4 x C

x 4 x C

x x

s"u

x x →

∞∞

→= ;

• `-` ri* G* ulţire cu co*Vuga$a #au ri* fac$or forţa$;• MB0 ri* aducere la 0/0 #au M/M;

• ∞∞ ∞ 1,,0,0 00 #e eli i*' ri* logari$ are #au folo#i*d li i$a re arca il' e x

n

n

x

n x

=

+

∞→

11li !

Exemplu de eliminare a nede#ermin&rii B - 13

)( −−

= x x

x C ;( ) 11li

11

li)R1()R3(

li13

13

lili ===−−=∞

∞=−∞−∞=−

−=→∞→∞→∞→∞→∞ x

x x x

x C

II ADIM TOTEA im*%(%ele sunt & e!te s! e #" e tin&e "Ci#u$ Cun# iei C $" #"!ete$e inte /"$u$ui &e &eCini ie F%t s"u % i %nt"$e.Dac' graficul are a#i $o$' ori o*$al', a$u*ci el *u ai oa$e a ea a#i $o$' o lic' la±∞ &i reci roc! S* ca ulfu*cţiilor eriodice, u* grafic oa$e a ea o i*fi*i$a$e de a#i $o$e er$icale;1 <er%i)$le <#i $o$ele er$icale #e defi*e#c e*$ru fu*cţii *e 'rgi*i$e, c-iar dac' #u*$ defi*i$

'rgi*i$e! le $re uie c'u$a$e la ca e$ele i*$er alului de defi*iţie al fu*cţiei,al#ele dec:# 5 sau 2 ! cuaţia u*eia#i $o$e er$icale e#$e de for a+/+0, iar acea#$' a#i $o$' e#$e aralel' cu a a PQ!Dac' drea $a+ / +0 e#$e ecuaţiaa#i $o$ei er$icale la graficul fu*cţiei f, a$u*ci li i$ele la$erale G* #$ *ga &i drea $a lui 0 #u*$ i*fi*i$e &i di#$a*ţa di*$re grafa#i $o$', '#ura$' e ori o*$al', de#cre&$e c *d u*c$ul de e grafic #e a ro ie de ca '$ul de i*$er al la#i $o$a er$ical'! <#i $o$ele er$icale #e calculea ' u$ili *d li i$ele la$erale! Exemplu- <ie f%@)2 (5 R' f%x(/x2lnx La x/@ pu#em c&u#a asimp#o#& 6er#ical& %la dreap#a(

( ) −∞=∞−=−∞+=+=+= ++>→>→0)(00l*0)l*(lili

0,00,0 x x x C

x x 0 W a#i $o$' er$ical' (la drea $a)

2 (ri6(n%$le Dac' e i#$' &i e#$e fi*i$' " x C x

=±∞→

)(li , a$u*ci drea $a H / a e#$e a#i $o$' la± ∞ , aralel' cu a aP ! Dac' drea $aZ / $ e#$e a#i $o$' ori o*$al' la graficul fu*cţiei f, a$u*ci di#$a*ţa di*$re grafic &i a#i $

er$ical', de#cre&$e c *d u*c$ul de e grafic #e de 'r$ea ' de origi*ea a elor # re +M! Exemplu- <ie f%@)2 (5 R' f%x(/x2lnx G"+ Z !utem #'ut" "sim!t%t' % i %nt"$' (s"u % $i#', &" nu /e ti#"$'[)

( ) ∞=∞+∞=∞+∞=+=∞→∞→

l*)l*(lili x x x C / G f nu are asimp#o#& ori$on#al& spre 23 (7li)e "e cau$' # re +M #au F M e*$ru fu*cţii defi*i$e e ulţi i *e 'rgi*i$e! Dac' e i#$' #i #u*

x x C

m x

)(li

±∞→= , %0, ])(^li mx x C n

x−=

±∞→ # u*e c' drea $aZ / m + n e#$e a#i $o$' o lic' la∞± agraficului!

14

O9ser6aţii- dac& m exis#&' es#e fini# <i nenul' dar n nu exis#& sau e infini#' 8raficul funcţiei nu are asimla ± ) dac& nu exis#& m' es#e nul sau es#e infini#' 8raficul funcţiei nu are asimp#o#& o9lic& la± Exemplu- <ie f%@)2 (5 R' f%x(/x2lnx G" +Z !utem #'ut" "sim!t%t' % $i#'.

( )1

1

1

li1R

)R(l*li1

l*1

l*li1

l*1li

l*li

l*lili =+=+=

∞∞+=+=

+=

+=+==

∞>−∞>−

∞∞

∞→∞→∞→∞→∞>− x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x C

m x x x

;%0,fi*i$!

∞=∞==−+=•−+=•−= +∞→+∞→+∞→+∞→l*)(l*li)l*(li]1l*^li])(^li x x x x x x x xm x C n

x x x x * *efi*i$/ G f nuare asimp#o#& o9lic& spre 2III 5ERI ATE

C$l)ulul deri<$%ei *re u*une $*li)$re$ re'ulil(r de deri<$re i $*(i $ 9(rmulel(r de deri<$re Re8uli 8enerale de deri6are-

• ( ) RR C # C # •=• F#%nst"nt" iese En C" " &e i/"tei;• %f28(V/fV28V) %f58(V/fV58V – sum" s"u &iCe en " &e i/"tei este sum' s"u &iCe en ' &e &e i/"te)• %f 8(V/fV 82f 8 O; 2

,,,

4 4 C 4 C

4 C •−•=

;

)(R)()(

li 0

0

0

0

x C x x

x C x C x x

=−

−>−

5&eCini i" &e i/"tei En !un#tu$ x0

Exemple- )4(R4

)4()(li

4 C

x C x C

x=−

−>−

) )0(R)0()(

li0

C x

C x C x

=−>−

) )1(R1

)1()(li

1−=+

−−−>−

C x

C x C x

Ta9loul de deri6are al funcţiilor elemen#are Ta9loul de deri6are al funcţiilor compuse)O 0+O 1

(+n)O *B*F1

(+$)O aBaF1

( ) x

x2

1R =

x x 1)(l*

R =

(e)O e(a)O aBl*"

# in x)\=)( x#)( x)\=- in x

*V/@V/FV/J*V/!@@V/@V/%5!(V/@%x * (V/*x *5!/*x)%x . (V/.x .5! / .x *

%x 5. (V/5.x 5.5!/5.x 54

%* x (V/* x ln*) %. x (V/. x ln.

u]/u]#un,]/n:u n-1:u]#ur,]/r:+ r-1:r]

%x *5!(V/%x * (V5!V/*x5@/*x %x *2!(V/%x * (V2!V/*x2@/*x %.x(V/. xV/. !/. ]%x *5!(. ^V/.%x *5!(.5! %x *5!(V/

/.%x *

5!(*

*x/3x %x *

5!(*

( ) x x

x x

2

1

22

2

22

)R2(2

R===

( ) x x

x

x

x x

22RRl* 22

22 ===

( ) ( ) x x x e xe xee 333 R3R3R =•=•=( ) ( ) 233l*R32R2 333 •=••= x x x x( ) x x x c3)R3(3co#R3#i* =•=( ) x x x )R3(3#i*R3co# =•−=

( ) x x

xt4 co

)R3(3co#

1R3

2 =•=

( ) x x

x#t4 )R3(3#i*

1R3 2 =•−=

( )2

3()3(1

1R3arc#i*

x x •

−=

( )2

()3(1

1R3arcco#

x x •

−−=

( ) 3 )R3()3(1

1R3 x

x x" #t4 •

+=

Tan8en#a la 8raficul funcţiei f +n punc#ul S%x @ ' H@ / f%x @ (( es#e dreap#a de ecuaţie -Z / 9]#+0, :#+ +0, 9#+0, Ecuaţia #an8en#ei la 8raficul funcţiei f +n punc#ul de a9scis& x @ es#e Z 9#+0, / 9]#+0, #+-+0, cu pan#a fV%x @ ("e *ul deri a$ei G*$ i fO( ) #$a ile&$e dac' o fu*cţie e#$e cre#c'$oare #au de#cre#c'$oare; dacre#c'$oare; dac' fO( )Y0, f( ) e#$e de#cre#c'$oare! u*c$ele de e $re ale fu*cţiei ( i*i #au u*c$e u*de deri a$a G*$ i #e a*ulea ' &i G&i #c-i ' #e *ul (G* e e lul de ai Vo#M#+0.9#+0,, e#$eun maxim)!

15

Jin M&eC (ex.-Z) x @ J"x M&eC (ex +Z) fV%x( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 @ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 59#+, f %x @ (

I*$er alele e care fu*cţia e#$e cre#c'$oare #au de#cre#c'$oare #e *u e#c i*$er ale de o*o$o*ie!

"e *ul deri a$ei a doua (adic' deri a$a deri a$ei I) #$a ile&$e dac' o fu*cţie e#$e co*

fOO( ) 0) #au co*ca ' (,,*u ţi*e a '[fOO( )Y0)! u*c$ele de i*fle iu*e ale fu*cţiei #u*$ acele

deri a$a a doua #e a*ulea ' &i G&i #c-i ' #e *ul! Exemplu- f-R5 R' f%x(/x *5*' fV%x(/%x *5!(V/x *V5!V/*x5@/*x fV%x(/@ *x/@ / x/@) f%@(/@*5*/@5*/ 5*) fVV%x(/%*x(V/*xV/*· !/* @

-` 0 ` fV%x( 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 @ 2 2 2 2 2 2 9]]#+, 2 2 2 2 2 29#+,

5*Gr$9i)e de 9un)ţii e re i*$' $o$ali$a$ea u*c$elor K( ,f( )), u*de e#$e di* do e*iul de defi*iţie a

CLADA A II-AI LEGI 5E COM O!I_IE

P relaţie ,,OO (#au orice al$ #i ol: o,T,b, ) defi*i$' G*$re dou' ele e*$e ale u*ei ulţi i *e ide K #de co o iţie i*$er*' dac':∀ + Z∈M + Z∈M Exemplu- Eo*#ider' ur '$oarea lege de co o iţie:+ Z / + Z 2 + 2 Z 2defi*i$' e ulţi eaM/#-2.`, adic'la co u*erea a dou' ele e*$e di* ulţi eaM +nmulţim primul cu al doilea' adun&m produsul din#re * <i prielemen#' adun&m produsul din#re * <i al doilea elemen# <i adun&m 3 ie S o mulţime ne6id& cu cel puţin * elemen#e <i le8ile de compo$iţie '' , <i ''o, defini#e pe aceas#& mu

M(n(idul

Du le$ul (K, ) e#$e o*oid dac':1 le'e$ ]] e %e $ ()i$%i< $di)∀ + Z 6∈M $<em #+ Z, 6 / + #Z 6,. Pen#ru le8ea din exemplu ' a e :(x]y)] = (xy + 2x + 2y + 2)] =(xy+2x+2y+ 2) +2(xy+2x+2y+2)+2 +2= xy +2x +2y +2 +2xy+4x+4y+4+2 +2=xy +2x +2y +2xy+4x+4y+4 + x](y] )=x](y +2y+2 +2)=x(y +2y+2 +2)+2x+2(y +2y+2 +2)+2 = xy +2xy+2x +2x+2x+2y +4y+4 +4+ xy +2xy+2x +2y +4x+4y+4 + = (x]y)]

2 le'e$ ]] $re elemen% neu%ru $di)∀ +∈M ∃ e∈M $ & + e / e + / +. Pen#ru le8ea din exemplu, a e : x e / x xe + 2x + 2e + 2=x xe+ 2x+2e+ 2- x=0 xe + x + e + 2= 0 x(e+ 1) + 2e+ 2 = 0 x(e+ 1) + 2(e+ 1) = 0 (e+1)(x+2)=0 =Le + 1 =0 =Le / 5 !

Gru*ulDu le$ul (K, ) e#$e gru dac':

1 le'e$ ]] e %e $ ()i$%i< $di)∀ + Z 6∈M $<em #+ Z, 6 / + #Z 6,.2 le'e$ ]] $dmi%e elemen% neu%ru $di)∀ +∈M ∃ e∈M $ & + e / e + / +.3 le'e$ ]] $dmi%e elemen% ime%ri6$7il $di)∀ +∈M ∃ +]∈M $ & + +] / +] + / e.

Pen#ru le8ea din exemplu ' a e : x ] x\ =e xx\ + 2x + 2x\ + 2= -1; xx\ + 2x + 2x\ +2 +1 = 0; xx\ +2x+2x\+3=0; =L x\(x+2) + 2x+3=0; =L

21

22

12

)2(22

1)2(22

1422

32R

++−=++++−=+

++−=++−−=+

−−= x x x

x x x

x x

x x

x

Dac' gru ul ad i$e &i:4 ∀ + Z∈M $<em + Z / Z + )(mu%$%i<i%$%e$, a$u*ci gru ul #e *u e&$e co u$a$i #au a elia*

Inelul`ri le$ul (K, , ) e#$e i*el dac':

1 #M , e %e 'ru* $7eli$n $di)$ le'e$ ]] e %e $ ()i$%i< $di)∀ + Z 6∈M $<em #+ Z, 6 / + #Z 6,.7 le'e$ ]] $dmi%e elemen% neu%ru $di)∀ +∈M ∃ e1∈M $ & + e1 / e 1 + / +.) le'e$ ]] $dmi%e elemen% ime%ri6$7il $di)∀ +∈M ∃+]∈M $ & + +] / +] + / e1.d le'e$ ]] e %e )(mu%$%i< $di)∀ + Z∈M $<em + Z / Z +.

16

= x x x x

&x x&x x +==+

==+

∫ ∫ 331

1

21

22

1

2 #M , e %e m(n(id $di)$ le'e$ ]] e %e $ ()i$%i< $di)∀ + Z 6∈M $<em #+ Z, 6 / + #Z 6,.7 le'e$ ]] $dmi%e elemen% neu%ru $di)∀ +∈M ∃ e2∈M $ & + e2 / e 2 + / +. e1ê2.

3 di %ri7u%i<i%$%e$ l$ %Xn'$ i l$ dre$*%$adic':$ ∀ + Z 6∈M $<em + #Z 6, / #+ Z, #+ 6, dis#ri9u#i6i#a#ea la s#:n8a 7 ∀ + Z 6∈M $<em #+ Z, 6 / #+ 6, #Z 6, dis#ri9u#i6i#a#ea la dreap#a

Dac' #e ad i$e &i2!) le'e$ ]] e %e )(mu%$%i< $di)∀ + Z∈M $<em + Z / Z +.inelul se nume<#ecomu#a#i6

C(r*ul`ri le$ul (M ) e#$e cor dac':1 #M , e %e 'ru* $7eli$n $di)$ le'e$ ]] e %e $ ()i$%i< $di)∀ + Z 6∈M $<em #+ Z, 6 / + #Z 6,.7 le'e$ ]] $dmi%e elemen% neu%ru $di)∀ +∈M ∃ e1∈M $ & + e1 / e 1 + / +.) le'e$ ]] $dmi%e elemen% ime%ri6$7il $di)∀ +∈M ∃+]∈M $ & + +] / +] + / e1.d le'e$ ]] e %e )(mu%$%i< $di)∀ + Z∈M $<em + Z / Z +.

2 #M , e %e )(r* $di)$ le'e$ ]] e %e $ ()i$%i< $di)∀ + Z 6∈M $<em #+ Z, 6 / + #Z 6,.7 le'e$ ]] $dmi%e elemen% neu%ru $di)∀ +∈M ∃ e2 ∈M $ & + e2 / e 2 + / +. e1ê2.) le'e$ ]] $dmi%e elemen% ime%ri6$7il $di)∀ +∈M +≠e1 ∃+]∈M $ & + +]/+] + / e2

3 di %ri7u%i<i%$%e$ l$ %Xn'$ i l$ dre$*%$adic':$ ∀ + Z 6∈M $<em + #Z 6, / #+ Z, #+ 6, dis#ri9u#i6i#a#ea la s#:n8a

7 ∀ + Z 6∈M $<em #+ Z, 6 / #+ 6, #Z 6, dis#ri9u#i6i#a#ea la dreap#aDac' #e ad i$e &i:2 d le'e$ ]] e %e )(mu%$%i< $di)∀ + Z∈M $<em + Z / Z +corpul se nume<#ecomu#a#i6 Uneori exis#& un elemen#$ ce are proprie#a#ea- x $/$ +/$ #de e e lu, ero la G* ulţire +:0/0:+/0, <ie (N1 ,]) un u! şi (N2 ,%) un "$t u!. <un# i" C:N1-LN2#u ! %! iet"te" f%x H(/f%x( o f%H( se numeşte morfism&e $" u!u$ N1 $" u!u$ N2%i$omorfism&"#' f es#e <i 9i ec#i6&(

INTEGRALEie f:â, ]FR N(% m in%e'r$l din 9#+, ∫ = &x x C x < )()( u*de %x( es#e primi#i6a lui f%x( #au V%x(/f%x(

O 9un)ţie $dmi%e *rimi%i<e *e un in%er<$l unde e %e de9ini% d$) e %e )(n%inu *e $)el in%er<$lOrice funcţieelemen#ar& sau com9inaţii de funcţii elemen#are sun# deri6a9ile pe domeniul de definiţie

∫ += = x C x C )()(,

Finte "$" &in &e i/"t" unei Cun# ii este # i" Cun# i"(+ % #%nst"nt');

∫ ∫ •=• &x x C "&x x C " )()( F#%nst"nt" iese En C" " inte "$ei;

∫ ∫ ∫ ±=± &x x 4 &x x C &x x 4 x C )()())()(( F inte "$' &in sum' s"u &iCe en ' este sum' s"u &iCe eninte "$e! La in#e8rarea direc#& %cu #a9elul de in#e8rale( se aplic& re8ulile de in#e8rare' apoi se compar& in#e8rcu in#e8ralele din #a9el' se face asocierea cu formula de in#e8rare po#ri6i#& <i se aplic& formula

Exemplu-

= x x

&x x= n

x&x x

n

nn

+=+

∫ +++=

=∫ =

+

413

4131

3

3

1

La in#e8rarea prin p&rţi se cere s& se pun& in e6idenţ& o funcţie fV <i o funcţie 8 pen#ru a se pu#ea apliin#e8r&rii prin p&rţi -∫ ∫ −= &x x 4 x C x 4 x C &x x 4 x C )()(R)()()(R)( % &e % i#ei se i" $nx=C(x,) xn=C(x),e x= \(x)).

= x C

&x x C x C = &x x C x C x C x C &x x C x C +=•=>+•−•=• ∫ ∫ ∫ 2)(

)()()()()()()()(2

,,,

Exemple- ∫ ∫ •= x&x x x&x x #i*#i* Consider&m f%x(/x <i 8V%x(/in x / fV%x(/xV/! <i 8%x(/bin xdx/)( x <i o9ţinem-

= x x x x x x x&x x x x&x x x x&x x x&x x ++=−−=−⋅=⋅−•=⋅= ∫ ∫ ∫ ∫ #i*co#)#i*(co#co#co#co#1co##i*#i*

17

∫ ∫ •= x&x x x&x x l*l* Consider&m f%x(/lnx <i 8V%x(// x / fV%x(/lnxV/!Bx <i = x

x&x x 4 +== ∫ 2)(

2

<i

o9ţinem- x x x x x x

x&x x x

&x x

x x

&x x

x x

x x&x x x&x x +−=•−=−=−•=⋅−•=•= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 42

l*

221

2l*

21

2l*

2

l*2

1

2l*

2l*l*

22222222

La in#e8rarea prin sc;im9are de 6aria9il& se +nlocuie<#e o par#e din funcţia care se in#e8rea$& cu #' sedx +n funcţie de fV%x( <i d#' se +nlocuiesc <i se o9ţine o in#e8ral& +n # care #re9uie s& fie in#e8ral& Qup& calculul in#e8ralei +n #' re$ul#a#ul se #ransform& din nou +n x Exemplu - "' #e calcule e∫ &x x x 2co# "e o #er ' c' i*$egrala *u e#$e de $a el! No#&m +2/%! Difere*ţie &io ţi*e : dx */d#/ *x dx/d#/ dx/d#B*xS*locui &i o ţi*e :

∫ ∫ ∫ ∫ +===== = xt t&t &t

t x

&t x x&x x x 222 #i*

21

#i*21

co#21

2co#

2co#co# ;

ie9 V$ 7W→R o fu*cţie care ad i$e ri i$i e e ^a, ] &i@ o ri i$i ' a lui f (adic' f( ) f( ))!

Numim in#e8rala defini#& de la$ la 7 a lui f e re#ia∫ 2

"

&x x C )( / 2" x < )( /@#7, @#$,5 formula lui Lei9ni$5

Ne #on % la i*$egrala defi*i$' de o iceiNU a are co*#$a*$aC (

Exemplu- 4

15

4

116

4

1

4

16

4

1

4

2)1()4()(

413)(

4421

21

421

132

1

3 =−=−=−=−===+

==+

∫ < < x <

x x&x x x <

TABEL 5E INTEGRALE NE5E@INITE # RIMITI E,

∫ ++

=+

= n

x&x x

nn

1

1=

x=

x x&x +=++=∫

+

211

211

;∫ ∫ +=+=++

==+

= x= x

= x

&x x&x110

1110

0

; =

x=

x&x x +=+

+=∫

+

312

3122

∫ ++

=+

= "

x&x x

""

1

1

∫ −≠++

+•=+•+

1,)1(

)()(

1

m= m"

2 x"&x2 x"

mm

;∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++=+=+=+• = x x

&x x&x&x&x x&x x 22

312332)32(2

1;1

1 1≠+

+−==∫ ∫

+−− n=

n x

&x x&x x

nn

n = 2 x""

&x2 x"

++•=+•∫ )l*(

11

; ∫ ++=+

= " x&x" x

l*1

;∫ ++=+

= x&x x

3l*3

1

1;1

1

≠++

==∫ ∫ +

n=

n

m x

&x x&x xnm

nm

n m = x

= x

= x

= x

&x x&x x +=+=++

=++

==++

∫ ∫ 73

3

7

3

1

3

41

3

4

37

37

33

34

134

34

3 4

;

= x= x

&x x&x x

+=+==∫ ∫ −

2

2

11 2

1

21

∫ += = "

"&x"

x x

l* ; ∫ += = e&xe x x

; ∫ += = &x x

x

2l*2

2; ( )∫ ∫ +−=−= −−− = e&xe&xe x x x R

= x&x x

+=∫ l*1 ∫ += = x C &x

x C x C

)(l*)()(R

;( )

= x= x&x x C x C

x x

x x ++=++==

++=

+∫ ∫ ∫ )1l*()1(l*)()(RR1

12 22

2

2

2

∫ +−= = x x&x co##i* ;∫ += = x x&x #i*co# ∫ +−= = xt4x&x co#l* ; ∫ += = x#t4x&x #i*l*

∫ += = t4x x2co#

1

;∫ +−= = #t4x x2#i*

1

= n

" x&x" x

nn ++

+=+∫ +

1)(

)(1

; = x x x x

&x x&x x +==+

==+

∫ ∫ 32

23

121

23

121

21

= " x" x

"&x

" x++

−=−∫ l*

211

22=

x x&x

x&x

x+

+−

•=

−=

− ∫ ∫ 22l*

221

21

41

222 ;=

" x

" #t4 "

&x" x

+=+∫ 11

22 = x

" #t4 &x x

&x x

+=+=+ ∫ ∫ 221

21

41

222 ;= " x x&x

" x+++=

+∫ )l*(1 22

22 = x x&x

x+++=

+∫ )7l*(7

1 2

2

= " x x&x" x

+−+=−∫ 22

22l*

1 = x x&x x

+−+=−∫ 7l*

7

1 2

2

= " x

&x x"

+=−∫ arc#i*

122 ( )

= x

x&x

x+=

−=

−∫ ∫ 12arc#i*

12

1

12

1222

)()()( " < 2 < &x x C ?2

"NC −==

∫ - aria cuprins& +n#re 8raficul funcţiei f' axa Ox <i drep#ele de ecuaţie x/a) xll

cu axa OH(

18

Exemplu- ie f:^1,2]FR 9#+,/+3 /=4

154

11641

416

41

42

413

4421

421

132

1

3 =−=−=−==+

==+

∫ x x&x x ? NC

=olu ul cor ului de ro$aţie o ţi*u$ ri* ro$irea graficului fu*cţiei f:^a, ]FR G* Vurul a ei P e#$

∫ =2

"=C &x x C Q )(2π

ie f:^1,2]FR 9#+,/ x /=

43

214

21

24

21

22

211)(

2221

221

112

1

2

1

2 π

π π π π π π π π π =−=−=−==+===+

∫ ∫ x x x&x&x xQ =C

I OLINOAME1 )u )(e9i)ien%i re$li ie9 / $n

n $n-1n-1 S $1 $0 u* oli*o cu coeficie*ţi reali (a*, a*F1, C , a1, a0 #u*$

*u ere reale)!aloarea unui polinom +n#r5un punc# al domeniului de definiţie se afl& +nlocuind pe cu 6aloarea acelui

O r&d&cin& a polinomului f es#e acel num&r cu care' dac& +nlocuim pe x' o9ţinem 6aloarea $ero\* oli*o cu coeficie*ţi reali are * r'd'ci*i: 1, 2, 3, C , *F1, * care o$ fi *u ere co le e, reale, raţio*ale G*$regi! R&d&cinile unui polinom cu coeficienţi reali po# fi #oa#e complexe ' unele complexe' celelal#e reale' #oa#ereale Dac' u* oli*o *u are r'd'ci*i reale, a$u*ci e#$e ireduc$i il e#$eR , iar dac' are r'd'ci*i reale, a$u*ci #ede#co u*e G* fac$ori ireduc$i ili e#$eR Un polinom se descompune +n fac#ori ireduc#i9ili scriindu5l c produs de polinoame de 8rade mai mici) cele de 8radul ! sau de 8radul ! la diferi#e pu#eri mai mari cr&d&cini reale' iar cele de 8rad mai mare ca ! NU au r&d&cini realeDe#co u*erea G* fac$ori ireduc$i ili de i*de de *u 'rul &i ordi*ul r'd'ci*ilor reale ale oli*o ului5$) x ! / a 2 i 9 e#$e o r'd'ci*' co le ' a lui f, a$u*ci &i co*Vuga$a #a x * / a " i 9 e#$e r'd'ci*' a lui f!5$) +1 / A cB e#$e o r'd'ci*' real' a lui f, a$u*ci &i+2 / A cB e#$e r'd'ci*' a lui f!5$)

9 !

x =1 e#$e o r'd'ci*' raţio*al' a lui f, a$u*ci di ide $er e*ul li er a0 &i N di ide coeficie*$ul $er e*ului ra*g a i , a*, adic' r'd'ci*ile raţio*ale ale u*ui oli*o #e cau$' f'c *d ra or$ul di i orilor celor doi co Exemplu- f%x( / *x . 5.x * 2 1x 5>) a. /* Qi6i$orii +n#re8i ai lui a@/5> sun# X2!) 2.) 2>Z' iar di6i$orii +n#re8iai lui a. /* sun# X2!) 2*Z' deci r&d&cinile raţionale ale lui f po# fi- X2!) 2%!B*() 2.) 2%.B*() 2>) 2%>B*(\* oli*o cu coeficie*ţi reali de grad i ar are cel uţi* o r'd'ci*' real'!5$) 1 e#$e r'd'ci*' a lui f, a$u*ci f(1) 0 ; f #e di ide (G ar$e e ac$) cu _F1 &i reci roc!5$) 1, 2 #u*$ r'd'ci*i ale lui f, a$u*ci f(1) f(2) 0; f #e di ide cu (_F1)B(_F2) &i reci roc &!a! !d!5$) #u a coeficie*ţilor u*ui oli*o cu coeficie*ţi reali e#$e ero, a$u*ci 1 e#$e r'd'ci*' a #a ( oldi ide cu _F1)!5$) u* oli*o *u are $er e* li er, a$u*ci 0 e#$e r'd'ci*' a #a (#e di ide cu _)!Te(rem$ &m* rţirii )u re % f / c 8 2 r un&e:C – &eEm!' it; – Em!' it% ; # – #Dt; – est. Res#ul +mp&rţirii lui f la 5 a es#e f%a(' deci se poa#e 6erifica simplu dac& un polinom se di6ide cu " (di6i$iune /+mp&rţire f&r& res#' exac#&(:

• #e calculea '9#$,.• dac' 9#$, / 0 a$u*ci a e#$e r'd'ci*' a lui f( ), adic' (_Fa) di ide e f( )!

2 )u )(e9i)ienţi &n )l$ ele de re %uri !n * e#$e ulţi ea re#$urilor G 'rţirii u*ui *u 'r *a$ural la *;de exemplu'

= ∧∧

1,02 X ; = ∧∧∧

2,1,03 X ; = ∧∧∧∧

3,2,1,04 X &!a! !d! P eraţiile #u*$ a#e '*'$oare cu cele de la oli**or ale, G*#' $re uie ţi*u$ co*$ de G* ulţirea &i adu*area odulo * G* care #u*$ defi*iţi coeficie*G* ulţi ea cla#elor de re#$uri odulo * * #e defi*e#c doar dou' o eraţii: adu*area &i G* ulţirea (re#$ul oreduc *duF#e la ace#$ea)! De e e lu, dac'n X x∈ , a$u*ci &i o u#ul #'u n X x∈− &i +(F ) 0, adic' W e#$e a

aloare di* * a#$fel G*c $ +(F ) *; Dac'n X x∈ , a$u*ci &i i* er#ul #'u n X x ∈−1 &i Z F1 1, lucru ce $re uiecalcula$! Exemplu- ie

∧∧∧∧∧∧∧

=−⇒=∈ 313,2,1,01 4 X deoarece ∧∧∧∧

==+ 0431 ie∧

−∧∧∧∧∧∧

=⇒=∈ 113,2,1,011

4 X deoarece∧∧∧

=• 111`oa$e ele e*$ele lui * au o u#, darNU $oa$e ele e*$ele lui * au i* er#!

teorie matematică bacalaureat 2014 (reparat)

Documents