teoria_erorilor_de_masurare_pt examen compensarea masuratorilor.pdf

7/25/2019 Teoria_erorilor_de_masurare_pt examen compensarea masuratorilor.pdf

1/97

FACULTATEA DE CONSTRUCIISPECIALIZAREA MSURTORI TERESTRE I CADASTRU

TEORIA ERORILOR DE MSURARE

Suport de curs


2/97

CUPRINS

Capitolul 1

PROBLEME DE BAZ N STUDIUL TEORIEI ERORILOR DE

MSURARE .............

Capitolul 2

MSURTORI I ERORI DE MSURARE ...................................................Capitolul 3

CONCEPTE STATISTICE .................

Capitolul 4

COMPENSAREA MSURTORILOR DIRECTE................

Capitolul 5

COMPENSAREA MSURTORILOR INDIRECTE

Capitolul 6COMPENSAREA MSURTORILOR CONDIIONATE...............

Bibliografie...............................................................................................


3/97

1.

PROBLEME DE BAZN STUDIUL TEORIEIERORILOR DE MSURARE

Informaiile, care constituie baza concret de date necesar rezolvrii problemelorgeodezice, fotogrametrice i topografice, provin din observaiile efectuate asupra unormrimi cu care se lucreaz frecvent i care, n principal, sunt reprezentate demsurtorile de unghiuri i distane. Calitatea informaiilor obinute din acestemsurtori este funcie direct de volumulobservaiilor i de preciziainstrumentelorde msurat.

Se impune aadar, ca pornind de la scopul pentru care sunt efectuate msurtorile s sestabileasc valorile corespunztoare ca mrime i precizie, lund n considerareaspectul economic referitor la volumul strict necesar i suficient al observaiilor care seimpun.Teoria erorilor de msurare sau teoria prelucrrii msurtorilor geodezice intervine cusucces i rezolv favorabil aceste aspecte.

1.1 IMPORTANA TEORIEI ERORILOR DE MSURARE

Operaia de msurare reprezint un proces experimental de obinere a informaiei subforma unui raport numeric, ntre valoarea mrimii fizice msurate i valoarea unei alte

mrimi de acelai gen considerat drept unitate de msur.Scopul unei cercetri tiinifice const n descoperirea legilor care dirijeaz fenomenelenaturale, spre a fi puse n slujba activitii umane. Pentru aceasta, este necesarmbinarea cercetrii tiinifice cu aplicaia tehnic practic, fr de care oricespeculaie abstract devine steril.Pentru realizarea acestui deziderat, prima condiie n alegerea m rimilor fizice,nelegnd prin aceasta i mrimile care intervin n tehnic i n practic, este ca ele sfie msurabile.Pentru mrimi scalare, operaia de msurare se exprim matematic prin formula

qnQ 1.1

n care: Q mrimea fizic msurat, q unitatea de msur, n - numr oarecare.Este de remarcat faptul c membrul al doilea al ecuaiei (1.1) denumit uneori iecuaia fundamental a msurrii, este un produs de doi factori caracteristici distinci:unul cantitativ n, factor numeric, iar celalalt calitativ q, care definete natura mrimiirezultante Q.Rezultatul msurrii Q se mai numete msura sau valoarea mrimii considerate. Esteevident c, rezultatul final al operaiei de msurare presupune efectuarea msurriipropriu-zise, codificarea i prelucrarea informaiilor de msurare.


4/97

Din punctul de vedere al subordonrii metrologice, se deosebesc mijloace de msuratetalon i de lucru. Etaloanele servesc la reproducerea i pstrarea unitilor de msur,precum i la verificarea altor mijloace de msurat. Mijloacele de msurat de lucruservesc la executarea operaiilor de msurare n procese tehnologice, n lucrri delaborator etc.Se cunoate faptul c dac o mrime se msoar de mai multe ori, de fiecare dat seobine o alt valoare chiar dac msurtorile se desfoar n aceleai condiii, de ctreacelai operator i cu instrumente de mare precizie.Cauza acestor neconcordane se datoreaz erorilor care afecteaz ntotdeauna omsuratoare, fcnd ca valoarea adevrat a mrimii msurate s nu poat fi cunoscutniciodat.Practic, neputnd fi determinat valoarea adevrat a mrimii msurate, se caut s se

determine o valoare apropiat de aceasta ntr-un grad mai mare sau mai mic funcie descopul pentru care se execut msurtorile.Apropierea mrimii determinate fa de valoarea sa adevrat caracterizeaz preciziamsurtorii.Ca urmare, prelucrarea msurtorilor efectuate asupra unei mrimi urmrete obinereacelei mai bune valori a acesteia i a diferenei maxime ntre valoarea determinat ivaloarea adevrat.

1.2 IMPORTANA TEORIEI ERORILOR PENTRU PRACTICAMSURTORILOR TERESTRE

Teoria erorilor de msurare prezint o importan deosebit pentru practicamsurtorilor terestre, datorit volumului impresionant de observaii ce trebuieexecutate, prelucrate i compensate n vederea obinerii valorilor lor celor maiprobabile, ca ipentru evaluarea ct mai corect i mai complet a preciziei.Cunoscndu-se ct mai exact mrimile erorilor medii ale fiecrui argument msurabiln parte, se poate determina eroarea medie a unei funcii de aceste argumente. n acestfel, se poate rezolvaproblema invers a erorilor de msurare, n cadrul creia, fa de oeroare maxim impus apriori unei funcii ce urmeaz a se determina, se va stabili ncdin faza de proiect, care trebuie s fie erorile maxime cu care se vor msura pe teren

argumentele componente. Aceasta d posibilitatea stabilirii preciziei optime demsurare, cu avantaje economice importante. Astfel, la realizarea unei reele detriangulaie, necesar ridicrilor topografice, a unei reele de microtriangulaienecesar pentru urmrirea comportrii unei construcii etc., studiul preciziei dedeterminare a poziiei punctelor reelei se face nc din faza de proiectare, funcie deconfiguraia reelei i de precizia cu care se vor executa msurtorile pe teren. Aceststudiu va urmri caerorile n poziia punctelor s se ncadreze n toleranele impuseanticipat. La sfrit, prin compararea erorilor post-compensate cu erorile stabiliteanticipat, se va putea aprecia corectitudinea studiului fcut. Studiul erorilor de


5/97

msurare prezint o importan cu totul deosebit n acele domenii ale msurtorilorterestre (Geodezie, Fotogrametrie, Geodezie i Topografie aplicat n construcii), ncare exigenele impuse n privina preciziei sunt deosebit de ridicate. Se subliniazfaptul c de fiecare dat n practica msurtorilor terestre trebuie avut n vedereprecizia optim necesar. Aceasta deoarece o precizie exagerat conduce la cheltuieliinutile de for de munc, de mijloace materiale i de timp, iar o precizie insuficientduce la o calitate slab a rezultatelor obinute din msurtori.Introducerea automatizrii n prelucrarea observaiilor constituie un salt calitativimportant, cu consecine remarcabile i n domeniul msurtorilor terestre, ca i nstudiul erorilor de msurare .Teoria matematic a informaiei formuleaz legile generale ale comenzii, controlului icomunicaiilor i stabilete principiile de codificare, prelucrare, pstrare i transmitere

a informaiei, asociindu-se cu tehnica de calcul automat. Aceast nou direcieconstituie o etap superioar n dezvoltarea metodelor de prelucrare a rezultatelorobinute din msurtori.

1.3 SCURT ISTORIC AL TEORIEI ERORILOR DE MSURAREI A METODEI CELOR MAI MICI PTRATE

Problema prelucrrii observaiilor a aprut nti n domeniul astronomiei, n specialdup descoperirea lunetei de ctreGalileo-Galilei (15641642) iperfecionarea continu a instrumentelor i aparatelor de msur. Dup ce teoria greit

a sistemului geocentric, elaborat i prezentat de Claudiu Ptolemeu (90168) nlucrarea sa Megale Byntaxis, a dominat cunoaterea tiinific circa 12 secole, eaeste infirmat de ctre Nicolaus Copernic (14731543), care elaboreaz teoriasistemului heliocentric i pe care o fundamenteaz n lucrarea Despre micril e derevoluie ale corpurilor cereti.Marele astronom Johannes Keppler (15711630), discipolul i continuatorul lui TychoBrahe (15461601), pe baza msurtorilor naintaului su, dar i din determinripersonale, confirm definitiv teoria heliocentric a lui Copernic, descoper formaeliptic a orbitelor planetelor i formuleaz cele trei legi pe baza crora are locmicarea planetelor n jurul Soarelui.A devenit clar c pentru justa nelegere a sistemului de alctuire a Universului, estenevoie de executarea unui numr mare de msurtori, cu o precizie ct mai bun i a

cror prelucrare s se fac dup criterii ct mai corecte.nsi confirmarea legii atraciei universale, descoperit de Isaac Newton (16421727),s-a putut face 18 ani mai trziu, dup ce n Frana s-a determinat destul de precis,valoarea razei Pmntului.De multe ori, precizia insuficient a msurtorilor efectuate a condus la contradiciintre teorie i practic. A fost nevoie s se construiasc instrumente i aparate de msur cu caracteristici superioare i n acelai timp, s se elaboreze i o teorieadecvat a msurtorilor i a erorilor de msurare.


6/97

O dezvoltare remarcabil a teoriei erorilor i a metodei celor mai mici ptrate, a avutloc la sfritul secolului al XVIIIlea i nceputul secolului al XIX-lea, fiind legat denumele lui A. M. Legendre, K.F. Gauss i P. S. Laplace.Adrien Maria Legendre (1752-1833) fundamenteaz pentru prima dat teoriaprelucrrii observaiilor fcnd studii asupra erorilor i aplicndu-le ulterior laprelucrarea msurtorilor astronomice. Aceste studii, mpreun cu dezvoltareaprincipiilor metodei celor mai mici ptrate sunt cuprinse n lucrarea sa Noi metodepentru determinarea orbitelor cometelor aprut n anul 1806.Independent de A. M. Legendre, matematicianul Karl Friederich Gauss (1777-1855)descoper metoda celor mai mici ptrate, pe care o aplic tot la prelucrareamsurtorilor astronomice. Teoria sa este cuprins n lucrareaTeoria micrii corpurilor cereti ce se rotesc n jurul Soarelui dup seciuni conice,

publicat n 1809.Pe lng multe alte probleme teoretice, K. F. Gauss propune i formula care pune neviden repartiia normal a erorilor aleatoare.n lucrrile sale ulterioare, K. F. Gauss aprofundeaz latura algebric a metodei celormai mici ptrate, deducnd o serie de formule necesare evalurii precizieimsurtorilor.Pierre Simon Laplace (17491827), n tratatul su de baz Teoria analitic aprobabilitilor, d o nou fundamentare teoretic metodei celor mai mici ptrate, careconstituie de fapt premiza dezvoltrii teoretice ulterioare. El are meritul de a fi fcut ilegtura strns dintre erori i probabilitate, prin definirea corect a formuleiprobabilitii unei erori.Msurarea arcelor de meridian i a latitudinilor, ca i prelucrarea acestora, a permisdeterminarea formei i dimensiunilor Pmntului pe baza crora s-a elaborat sistemulmetric, sistem practic de msuri bun pentru toate timpurile i pentru toate popoarele.De asemenea, ntocmirea hrilor i planurilor topografice ale rilor, a impus mai nti,crearea reelelor de triangulaie geodezic de sprijin. Calculele de compensare a marilorreele de triangulaie au necesitat dezvoltarea corespunztoare i a teoriei erorilor.n dezvoltarea teoriei erorilor de msurare, a metodei celor mai mici ptrate i a teorieiprobabilitilor i-au adus contribuii importante F. W. Bessel (17841846), N. I.Lobacevski (17921856), P. L. Cebev (18211894), A. L. Cauchy (17891857), U.Le Verrier (18111877).Statistica matematic dezvolt ntr-o optic nou, att teoria erorilor, ct i metodacelor mai mici ptrate. Lucrri de nalt inut tiinific n domeniul teoriei

probabilitilor i statisticii matematice au elaborat n ara noastr academicieniiGheorghe Mihoc i Octav Onicescu.n ultimele decenii, lucrrile unor specialiti formai la coala acestor doi savani, seaplic cu mult succes n practic.Aplicarea teoriei erorilor de msurare i a metodei celor mai mici ptrate n domeniulmsurtorilor terestre, n special al geodeziei i topografiei, a fost fcut de reputaiispecialiti romni tefan Paraschivescu, Theodor Pompei, Ioan Virgiliu, ConstantinMota, Ioan Plcineanu, Mihai P.Botez, unii dintre ei fiind i cadre universitare culucrri tiinifice teoretice i practice de prestigiu.


7/97

2. MSURTORI I ERORI DE MSURARE

S-a vzut c prin msurare se nelege determinarea valorii unei mrimi fizice prinraportarea acesteia la o alt mrime de aceeai natur, adoptat ca unitate, folosind uninstrument sau un aparat de msur.Toate lucrrile de topografie i geodezie se bazeaz pe msurtori efectuate n scopuldeterminrii poziiei diferitelor obiecte i fenomene din spaiul terestru. Aceste msurtorise refer n special la mrimi liniare (lungimi) i la mrimi unghiulare (unghiuri).Aa cum rezult din definiie, orice proces de msurare presupune, n primul rnd, existena

unei uniti de msur n raport de care s fie exprimat valoarea observat. De-a lungultimpului s-au utilizat diferite uniti de msur, n prezent, majoritatea rilor lumii, printrecare i Romnia, a adoptat Sistemul Internaional de Uniti(SI).n urma unei msurtori se obine o valoare msurat, numit i observaie, care nureprezint altceva dect raportul dintre mrimea fizic msurat i unitatea de msurreprodus de instrumentul folosit.

2.1 CLASIFICAREA MSURTORILOR

Msurtorile pot fi clasificate dupurmtoarele criterii:

2.1.1 Dup modul de obinere a mrimii fizice care intereseaz:

a)msurtori directela care mrimea fizicconsideratse compardirect cu unitateade msur, fiecare msurtoare efectuatgenernd cte o valoare a mrimii msurate.

Exemple de msurtori directe:-msurarea unui unghi cu teodolitul-msurarea unei lungimi cu ruleta

Se mai considerca msurtori directe i anumite funcii simple de msurtori directei anume:

-diferena dintre dou mrimi msurate direct (exemplu: diferena de nivel rezultatprin scderea citirilor pe mir),

-produsul dintre o mrime msurati o constantUn caz special al msurtorilor directe l constituie msurtorile condiionate, definiteca msurtori directe ce trebuie s satisfaco serie de condiii geometrice sau analitice.

Exemple de msurtori condiionate:1. ntr-o reea de formtriunghiularau fost msurate toate unghiurile.Teoretic, acestea trebuie s ndeplineasccondiia din geometria planc suma lor sfie egalcu 200g.2. Suma diferenelor de nivel ntr-o drumuire nchis, trebuie s fie egalcu zero.


8/97

b)msurtori i ndirecte la care valoarea mrimilor care ne intereseaz se obine prinintermediul altor mrimi msurate direct, acestea fiind funcional dependente ntre ele.

Exemple de msurtori indirecte:

1. determinarea coordonatelor punctelor unei reele geodezice prin msurtoriliniare, dependena ntre mrimile de determinat (xi, yi) i mrimile msuratedirect ( ijD ), fiind:

ijD = 22 )()(

ijij yyxx 2.1

2. determinarea elementelor elipsoidului de rotaie pmntesc (semiaxa i turtirea),prin msurarea lungimilor de arc de meridian i de latitudini.Sfera msurtorilor indirecte este mult mai larg dect cea a msurtorilor directe,primele fiind de multe ori i mult mai simple.Exist i anumite mrimi care practic nici nu pot fi msurate direct, de exempludeterminarea densitii care se face n funcie de volum i mas (mrimi ce se potmsura direct),= (V, M) sau determinarea unor constante fizice cum ar fi acceleraiagravitaional, etc.

2.1.2 Dup condiiile n care sunt executate:

a)msurtor i de aceeai precizie, cnd se efectueazcu acelai instrument, de ctreacelai operator, prin aceeai metodde lucru i n aceleai condiii de mediu.n acest caz se poate considera c tuturor acestor msurtori le putem acorda aceeaincredere.b)msurtori de precizii di feri te(ponderate), cnd unul din factorii de mai sus difer,deci nu mai putem acorda aceeai ncredere tuturor msurtorilor, unele fiinddeterminate mai precis dect altele.

2.1.3 Dup legtura dintre ele:

a)msurtor i dependenteDac ansamblul condiiilor n care se efectueazo msurtoare influeneaz total sau

parial rezultatul altei msurtori, se spune cacestea sunt dependente ntre ele.b)msurtor i i ndependenteSunt acelea care nu se influeneazreciproc.Corelaia sau dependena ntre mrimi se exprimcu ajutorul unui coeficient empiricde corelaie, dedus experimental pe cale statisticefectund mai multe msurtori.Aceste determinri sunt ns foarte greoaie.


9/97

2.1.4

Dup numrul lor:

a)msurtor i necesare definite prin numrul minim de msurtori, cu ajutorul crorase poate stabili valoarea mrimii considerate.b)msurtori suplimentareefectuate n vederea ridicrii preciziei de msurare sau aprentmpinrii eventualelor greeli ce pot aprea.Aceste msurtori suplimentare determin numrul gradelor de libertate ale reeleirespective.

2.2 CLASIFICAREA ERORILOR DE MSURARE

Se numete eroare diferena dintre valoarea msurat i valoarea adevrat a uneimrimi fizice: XMe , unde prinMs-a notat valoarea obinut prin msurare, iarprinX, valoarea adevrat.Valoarea reala unei mrimi nu poate fi determinatniciodatdin cauza inexactitilorcare apar n procesul de msurare.Aceastimposibilitate poate fi generatde o serie ntreagde cauze cum ar fi:variaia n timp a obiectului msurat, imperfeciunea organelor de simale operatorului,imperfeciunea aparaturii i a metodelor de msurare, influena condiiilor exterioareetc.Erorile pot fi clasificate dupcum urmeaz:

2.2.1 Dupmodul de alegere a mrimii nominale:

a) eror i reale (adevrate),i n cazul n care valoarea de referin (nominal) se

considervaloarea real X a mrimii respective:

XMii 2.2

Deoarece valoarea adevratXa unei mrimi nu este accesibil, nseamncnici eroarea adevrat nu poate fi cunoscut.

b) eror i aparente(probabile), vin cazul n care se considerca valoare de referin,valoarea probabil a mrimii respective:

MMv ii 2.3

Valoarea probabil a unei mrimi se consider a fi media aritmetic n cazulmsurtorilor de aceeai precizie, sau media ponderat n cazul msurtorilor deprecizie diferit(ponderate).

Dac se schimbsensul unei erori se obine corecia, deci ec .


10/97

2.2.2 Dupmrimea lor:

a)eror i evitabile(erori grosolane, greeli)Ele se pot evita printr-o atenie sporitn timpul procesului de msurare.Exemplu:erori la metri de msurare a distanelor cu ruleta; erori de grade la citireaunghiurilor pe microscopul teodolitului.Prin urmare, aceste erori grosolane sau greeli sunt cu un ordin de mrime mai maridect precizia de msurare.Acest tip de eroare se evideniazimediat ntr-un ir de msurtori putnd fi eliminatcu uurinpe baza coroborrii datelor cu cele de la alte observaii.n calculele de compensare se consider c msurtorile nu sunt afectate de erorigrosolane.

b)erori inevitabilece nu pot fi eliminate indiferent de metoda folositsau de gradul deatenie al operatorului, ci doar diminuate.Aceste erori pot fi clasificate dupmodul de acionare astfel:

b.1erori sistematice,sunt acelea la care se cunosc cauzele care le genereazilegile dupcare acioneaz. Valoarea lor poate fi deci determinati n consecinsepoate corecta rezultatul obinut din msurtori.Diminuarea erorilor sistematice se poate face prin:- metoda de msurare (de exemplu la msurarea unghiurilor se efectueaz determinrin cele doupoziii ale lunetei, eliminndu-se eroarea de colimaie)- prin calcul, aplicndu-se corecii rezultatului (corecia de etalonare, corecia de

temperatur, etc. la msurarea distanelor cu ruleta)- printr-o reglare mai buna aparatelor- reducnd la minim ponderea observaiilor pentru care nu s-au putut ndeprta erorilesistematiceErorile sistematice pot fi la rndul lor constantesau variabile.

Exemplu:dac un etalon cu care se msoardistana este mai scurt cu 1 cm., pentrufiecare introducere a etalonului n distana de msurat, se comite o eroare care ipstreaz valoarea i semnul. Avem de-a face cu o eroare sistematicconstant.Aceasta se propag duplegea nmulirii, adic eroarea totaleste egalcu eroareaunitarnmulitcu numrul care aratde cte ori intervine eroarea unitarn rezultatulfinal:

sst ene 2.4

ste = eroare sistematictotal

n = numrul care aratde cte ori etalonul se cuprinde n mrimea msurat

se = eroarea sistematic constantunitar

Eroarea sistematic variabil nu se propag dup legea liniar urmarit de erorileconstante, deci ea nu i pstreaztot timpul semnul i valoarea.


11/97

Exemplu: eroarea de excentricitate a limbului, cnd centrul acestuia nu coincide cucentrul alidadei.

b.2 eror i ntmpltoare (accidentale), acelea care influeneaz ntr-un modntmpltor, cu cantiti mici fiecare, dar apreciabile n total i nu pot fi eliminate.Erorile ntmpltoare pot fi diminuate prin efectuarea mai multor msurtori. Ele semicoreazde asemenea, prin perfecionarea instrumentelor i a metodelor de lucru.n studiul teoriei erorilor, se consider c msurtorile au fost corectate de toatecelelalte erori (greeli, erori sistematice) i sunt afectate numai de erorilentmpltoare.

Schematic, aceast clasificare s-ar putea reda sub urmtoarea form:

MASUR TORI ERORI

DIRECTE INDIRECTEREALE APARENTE

DE ACEEAIPRECIZIE

DE PRECIZIE

DIFERIT

DE ACEEAI

PRECIZIE

DE PRECIZIEDIFERIT

EVITABILE

INEVITABILE

DEPENDENTE

INDEPENDENTE

NECESARE SUPLIMENTARE

NT MPL TOARESISTEMATICE

CONSTANTEVARIABILE

2.2.3 Proprietile erorilor ntmpltoare

Proprietile erorilor ntmpltoare sunt deduse din

practic, ele permi

nd studierea

tiinific a erorilor prin aplicarea calculului probabilitilor.

Erorile mici, n valoare absolut, sunt mai frecvente sau mai probabiledect cele mari. Aceastproprietate determinprincipiu l cazuali st.Deci, avem cazuri mai multe cu erori mici dect cu erori mari.

Toate erorile sunt mai mici dect o anumitlimitcare ar corespundeerorii datoritsumei totale a cauzelor de erori. Prin aceastproprietatese definete principiul limitativ.


12/97

Fcnd un numr foarte mare de msurtori, rezult un numr egal deerori pozitive ct i negative, suma lor fiind sensibil egal cu zero.Rezult astfel principiul distri butiv.

Probabilitatea ca s avem o anumit eroare este funcie numai demrimea erorii respective. Este definit astfel principiul probabili stic.

Aplicnd legile probabilitilor matematice, s-a demonstrat c probabilitatea ca oeroare ntmpltoare s fie cuprinsntr-un interval oarecare x , x + dx , este:

dxeh

P xh 22

2.5

n care:

e reprezintbaza logaritmilor naturali (e = 2,71828..); h este modulul de precizie, care caracterizeaz precizia instrumentului utilizatpentru msurtori.Dac reprezentm ntr-un sistem rectangular de axe XOY mrimea erorilor iv pe

abscis, iar pe ordonat frecvena acestora, pentru un numr mare de msurtori, seobine o curbclopot numita curba Gausssimetricn raport cu axa OY i asimptotlaaxa OX.Determinarea erorii medii ptratice a mediei aritmetice ne permite s stabilimintervalul n care cu siguran se afl valoarea real X, fr ns a putea precizavaloarea exacta acesteia.Dac curba este alungitnseamnc avem mai multe erori mici care se grupeaz n

jurul valorii zero; cnd clopotul este turtit erorile mari predomin.n concluzie, se poate afirma c o msurtoare este cu att mai precis cu ct clopotuleste mai alungit.

f

vv dvO

Fig. 2.1 Graficul de distribuie a erorilor- Clopotul Gauss


13/97

2.3 ALTE TIPURI DE ERORI

2.3.1 eroarea relati vsau eroarea pe unitatea de msur.

re =M

e 2.6

n care e reprezinteroarea absolut comisla msurarea mrimii M .n acest raport, n locul lui e se poate introduce eroarea medie ptratic ( m ),eroarea medie ptratic a mediei aritmeticei ( me ), sau eroarea probabil ( pe ).

2.3.2 eroarea probabil( pe ) a unei valori msurate individual este acea valoare pentru

care numrul erorilor mai mari este egal cu cel al erorilor mai mici dect acestea.

pe = m3

2

2.7

pe = me3

2

unde: m = vvn 1 ;

me = m

n

2.3.3 eroarea n procente i la mierezult prin nmulirea erorii relative cu 100, respectiv cu 1000.

2.3.4 precizia unei msurtoriDac eroarea de msurare crete cu mrimea msurat, precizia se exprim prineroarea relativ ( re ) pussub forma:

P=

e

M

1 2.8

Numitorul expresiei arat de cte ori eroarea comis la msurare se cuprinde nmrimea msurat.Eroarea relativ e se poate exprima prin una din erorile: m , me , pe .


14/97

3. CONCEPTE STATISTICE

PRELUCRAREA STATISTICA MSURTORILOR

Se definete noiunea de probabilitate matematic a unei ntmplri, raportul dintrenumrul cazurilor favorabile i numrul cazurilor posibile producerii aceleaintmplri sau:

P =posibilecazurinr

favorabilecazurinr

.

.

Dacnumrul cazurilor favorabile este mai mic dect numrul celor posibile avem de-aface cu o probabilitate simpl. Dac numrul de cazuri favorabile este egal cu numrulde cazuri posibile, avem o certitudine matematicsau probabilitate maxim.Probabilitatea minimva fi atunci cnd numrul de cazuri favorabile este egal cu zero.n aceastsituaie putem afirma c este vorba de o incertitudine matematic.

Statistica este ramura matematicii aplicate care studiaz culegerea, analiza iinterpretarea datelor privind fenomenele de mas.

Obiectivul cercetrii statistice l constituie o mulime de elemente avnd caracteristicicomune, mulime numitpopulaie statistic.

O submulime a acesteia, asupra creia se fac analizele statistice reprezintselecia.Datele msurate ntr-o selecie permit s se stabileasc o estimaie a caracteristiciistudiate, adic o valoare nici absolut exact, nici absolut sigur, ci doar foarteprobabil.Elementele unei mulimi statistice pot fi caracterizate printr-o serie de indicatoricantitativi i calitativi. Numrul acestor indicatori trebuie judicios ales, pentru c unnumr prea mic, generalizeazprea mult fenomenul ales, iar un numr prea marecomplicmult calculele.n urma unor msurtori repetate asupra unei caracteristici se obin valori diferite aleacesteia datorit caracterului ntmpltor (aleator) pe care l are caracteristicarespectivn cadrul populaiei.Pentru studiul matematic al fenomenelor cu caracter ntmpltor, se introduce no iunea

de variabilaleatoare, adic o variabilcare n cadrul unei

experiene poate primi oricare dintre valorile posibile, specifice experienei respective.Variabilele aleatoare pot fi discrete, adic pot lua doar anumite valori, (de exemplu,numrul obinut la aruncarea unui zar), sau continui, adic pot lua orice valoare ntr-uninterval finit sau infinit (de exemplu, rezultatul msurrii unei lungimi).n geodezie n general sunt necesari i suficieni doi indicatori cantitativi i anume:media i dispersia.


15/97

Repartiii de frecvene

Diferitele valori ale caracteristicii msurate au frecvene diferite, adic unele apar demai multe ori dect altele. Pentru a putea compara selecii de volume diferite, sefolosete noiunea de frecven relativ , adic raportul dintre numrul de apariii aleunei valori i numrul total de msurtori.Fiex o variabil aleatoare i nxxx ,.....,, 21 valorile pe care le poate lua aceasta, cu

frecvenele relative f1, f2,., fn).

Mulimea perechilor ordonate (x i, fi)), i=1,2,,n definete repartiia variabileialeatoarex .

Dacnotm cui

F frecvena absoluta valorii x ii cu N numrul total de msurtori

(valoarea x iapare de iF ori n N experimente repetate), rezult:

N

Ff ii 3.1

deci, frecvena relativ este o msura probabilitii.n cazul populaiilor discrete finite, probabilitatea unui eveniment este egal cunumrul cazurilor favorabile raportat la numrul total al cazurilor posibile.

De exemplu, la aruncarea unei perechi de zaruri numrul cazurilor n care poate apare suma 5(numrul de cazuri favorabile), este de 4: (1-4); (2-3); (3-2); (4-1) iar numrul total de cazuriposibile este de 36: (1-1); (1-2); (1-3);; (6-5); (6-6). Deci, probabilitatea de apariie a sumei

5 este 3645 P , n timp ce probabilitatea sumei 2 este 3612 P .n cazul unei variabile aleatoare continui, probabilitatea c aceasta s ia o anumit valoare este zero, deoarece numrul total de cazuri posibile este infinit.

HistogramaO form des utilizat pentru reprezentarea grafic a repartiiei frecvenei estehistograma,care se construiete astfel:

-se grupeazvalorile variabilei n intervale (clase, (i, i+1))-se nscriu pe abscislimitele claselor i pe ordonatfrecvenele (absolute saurelative) acestora (numrul de valori cuprinse n fiecare clas)-pentru fiecare nlime se trece frecvena clasei

Dac iF este frecvena absolut a clasei (i, i+1), atunci repartiia acestor frecvenepoate fi reprezentat ntr-un sistem rectangular, n care un dreptunghi are ca baz clasa(i, i+1), iar aria este proporional cu frecvena absolut iF . Dac ariile

dreptunghiurilor elementare sunt egale cu frecvenele relative, atunci aria total ahistogramei este egal cu unitatea.n cazul n care frecvenele absolute sunt prea mari i deci incomod de reprezentatgrafic, se trece la frecvene relative care se calculeaz cu ajutorul relaiei:


16/97

N

Ff ii 3.2

n anumite situaii, cnd intervalele (i, i+1) sunt mici i numeroase, histograma poatefi nlocuit cu o curb de frecven, care se traseaz n aa fel nct poriunile dindreptunghiurile elementare rmase n afara curbei s se compenseze cu cele cuprinsesub curb, dar care se afl n exteriorul histogramei.

f(x)

clasa (i, i+1)Fig. 3.1 Histograma

Poligonul frecvenelor

Poligonul frecvenelor se obine unind cu o linie continupunctele definite n abscisde centrele claselor i n ordonatde frecvene.Dac n locul erorilor rezultate din msurtori se dispune de o repartiie de frecvene,

se consider mijlocul intervalului respectiv, adic (i, i+1)/2.De aceast dat rolul frecvenelor individuale l preiau frecvenele relativecorespunztoare fiecrei clase n parte.

Fig. 3.2 Poligonul frecvenelor clasa

fx

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


17/97

Se presupune c pentru aflarea unei mrimi fizice, s-a efectuat un ir de msurtori.Pentru ca valorile irului s poat participa la calculul valorii probabile, cu obinereaunei anumite precizii, se face uz de toleranele stabilite pentru diferite categorii demsurtori.

Tolerana reprezint limita maxim stabilit pentru o eroare, prevzut deinstruciunile tehnice, pentru acceptarea rezultatului unei msurtori.Ecartuleste diferena dintre dou valori oarecare dintr-un ir de msurtori, efectuateasupra aceleeai mrimi.Ecartul maxim este diferena dintre valoarea maxim i valoarea minim, rezultatedintr-un ir de msurtori.Mrimea ecarturilor, ca i a ecartului maxim, pot folosi la aprecierea preciziei

msurtorilor efectuate, n sensul c, acestea, cu ct vor avea valori mai mici, cu attprecizia va fi mai mare i invers.Coreciaeste mrimea egal i de semn contrar cu eroarea.

3.2 STUDIUL REPARTIIEI ERORILOR NTMPLTOARE

3.2.1 Valori tipice de selecie folosite la prelucrarea rezultatelor obinute dinmsurtori

Clasificarea i reprezentarea grafic a unor repartiii constituie prima etap n analizapreciziei rezultatelor obinute din msurtori. Prelucrarea statistic a observaiilor

presupune folosirea unor valori tipice de selecie cum ar fi de exemplu mediaaritmetic, care dintr-un anumit punct de vedere reprezint o sintez a acestorobservaii.

Media aritmetic

Dac ntr-un ir de nmsurtori rezultatulx1apare de n1ori,x2de n2ori,.,xk de nk

ori,

k

i

n1

, atunci media aritmetic este dat de expresia :

i

k

i

i xfxM 3.3

undefi se calculeaz cu ajutorul relaiei (3.2).Dac n cele nmsurtori fiecare rezultat apare o singur dat,

n

ni

ixn

x 1

3.4

Media aritmetic (3.3) se numete medie aritmetic pentru date grupate, iar (3.4),media aritmetic pentru date negrupate.


18/97

Media aritmetic are o deosebit importan n estimarea preciziei msurtorilor cndnu se cunoate valoarea exact a mrimii fizice msurate.

DispersiaDispersia(variana) exprim gradul de mprtiere a variabilelor aleatoare discrete.

22

122 xxMn

xx

xxD i

n

i

i

3.5

Abaterea standard

Abaterea standard reprezint o eroare cu care sunt determinate valorile mrimiloraleatoare respective

22 D 3.6MrimileM,D2i reprezint parametri statistici care definesc o repartiie. Pentru ovariabil discret bidimensional exist urmtoarea relaie care exprim covariana:

n

yyxx

yyxxMyxyx

n

i

1,,cov

3.7

covariana de selecie:

1

1

,

n

yyxx

S

n

i

ii

yx 3.8

iar, yxr , este coeficientul de corelaie

yx

yx

yxr

,,

3.9

Atunci cnd variabilele sunt independente, relaia devine :0, yxr 3.10

Pentru n vectori aleatori putem defini varianele i covarianele ntr-un tablou numitmatrice de varian-covarian:

..

.....

.....

..

..

21

221

112

nn

22

11

nn

n

n

3.11


19/97

Pe diagonala principal se gsesc varianele (dispersiile), iar n restul tabloului segsesc covarianele.

Proprieti : Relaia (3.11) reprezint o matrice ptratic, simetric i pozitiv definit

(determinantul este mai mare ca 0).

zz

yy

xx

zyyx

yzyx

xzxy

3.12

Dac variabilele sunt independente, atunci :0ij 3.13

iar matricea devine o matrice diagonal

nn

22

11

..00

.....

.....

0..0

0..0

3.14

3.2.2 Media i dispersia unei funcii de n variabile aleatoare

Considerm funcia),......,( 21 nxxxFU 3.15

Presupunem c aceast funcie este continu i derivabil ori de cte ori este nevoie. Se

consider de asemenea cunoscute valorile medii xi . Ne propunem s determinmvaloarea medie a acestei funcii, precum i dispersia acesteia.n general funcia de tip (3.15) nu este liniar. O vom aduce la aceast form prindezvoltare n serie Taylor n jurul valorilor medii, reinnd numai termenii de ordinul I:

n

i

ii

xxi

n txxx

FxxxFU

ii1

21 ,...,,

3.16


20/97

unde treprezint termenii de ordin superior.Aplicnd operatorul medie acestei funcii, rezult:

n

i

ii

xxi

n xxMx

FxxxFMUUM

ii1

21 ,...,,

3.17

Cum M x xi i 0, vom avea: nxxxFU ,...,, 21 3.18

Dac aplicm relaiei (3.16) operatorul dispersie:

n

i

ii

i

n xxx

FDxxxFDUUD

1

2

21

222 ,..,,

3.19

primul termen este egal cu zero, reprezentnd dispersia unei constante;

n

i ji

ij

ji

i

xxi x

F

x

F

x

FUUD

ii1

00

2

2

22 2

3.20

Relaia (3.20) se poate scrie i sub forma:

2

2

2

i

xiixi

x

FU

ijji

xi

rxj

F

x

F

ixi

2 3.21

deoarece,

coeficientul de corelaie se exprim prin: ijjiijji

ij

ij rr

.

Cnd variabelele aleatoare sunt independente, 0ij , iar dispersia funciei are expresia:

2

2

2

i

xxi iix

FU

3.22

n unele calcule topografice, relaia (3.22) poate fi aplicat i astfel:se d eroarea funciei i se cere s se determine erorile argumentelor:

?

i

U dat

Avnd o ecuaie cu n necunoscute, pentru rezolvare se utilizeaz aa zisa influenegal a erorilor:

i

i

U

N

N

x

F

n

X

F

X

F

X

F

22

2

2

1

1

.....

3.23


21/97

Exemple:

1.Se d funcia

1222 xyyxF

Se cunosc valorile medii yx, i

yyyx

xyxx

xy

Se cere s se determine valoarea medie a funciei i eroarea acesteia.

Rezolvare:

Valoarea medie va fi dat de:

xyyx

yyxF

yxyxxyyx

y

F

x

F

y

F

x

F

yxyxF

222222222

2

:dispersiaiar

,12

2222

00

2

2

0

2

2

0

2

22

2. Se d funcia

nn xaxaxaF .....2211 Se cere eroarea funciei ?2 F , variabilele fiind independente.

i

i

i

i

F

ax

F

x

F 22

0

2

Rezult:

222

2

2

2

2

1

2

1 ..... nnF aaa Dac ia = 1avem:

nFn

nF

.....

...

21

22

2

2

1


22/97

3.Transmiterea erorilor ntr-o drumuire de nivelment geometric:

A 1 2

n

h1h2 hn

Care este eroarea n cota punctului n datorit erorilor n diferenele de nivel himsurate. Valorile hisunt independente.

An HH n

iih1

2nH

Dispersia

2

0

22

i

i

n

H in h

H

1i

n

h

H

22

21

2..... nHn

Dac niveleele sunt egale rezult n ....21

Deci: nnH unde n reprezint numrul de staii.Dac considerm lungimea total a drumuirii L iar lungimea unei portee (distanadintre mir i aparat) l, rezult:

Lll

L

l

Ln

nH

22

2

LanH

unde a reprezint o constant, dat de regul de precizia fiecrui aparat n parte.


23/97

4. COMPENSAREA MSURTORILOR DIRECTE

n practica msurtorilor, pentru determinarea valorii unei mrimi fizice, de cele maimulte ori se execut un numr mai mare de msurtori dect cel strict necesar. Scopulcompensrii const n aflarea celei mai probabile valori a mrimii, numit i valoarecompensat, pe baza totalitii msurtorilor efectuate.Pentru obinerea unor soluii unice, este obligatorie aplicarea unui principiu,reprezentat n cazul de fa de principiul sau metoda celor mai mici ptrate, care, nesen const din urmtoarele:

valorile cele mai probabile ale mrimilor cutate se determin atunci cndsuma ptratelor coreciilor este minim VV = min . - n cazulmsurtorilor de aceeai precizie, sau pVV = min. n cazul msurtorilorponderate (de precizii di feri te).

4.1ERORILE NTMPLTOARE N MSURTORILE DIRECTEDE ACEEAI PRECIZIE

4.1.1Valoarea cea mai probabila unei mrimi msurate direct

Dac o mrime este msurat n mod direct, de mai multe ori, cu acelai instrument in aceleai condiii, se vor obine rezultate apropiate, care difertotui cu cantiti mici.Se poate afirma c orice msurtoare direct este afectat de erori, erori care fac cavaloarea adevrat a mrimilor msurate s nu fie accesibiln practic.

Considerm c asupra aceleeai mrimi M s-au executat n msurtori, rezultndvalorile .,....,, 21 nMMM

Dacaceste valori sunt suficient de apropiate, rezult c msurtorile individuale suntbune. Se considercvaloarea cea mai probabil pentru acest set de n msurtori,este media aritmetica acestora:

n

M

n

MMMM in

....21 4.1

Acest procedeu s-a considerat la nceput c fiind impus de logica lucrurilor (postulatullui Gauss - 1809), dar ulterior a fost justificat prin calculul probabilitilor.


24/97

4.1.2

Teoreme fundamentale asupra erorilor ntmpltoare

n funcie de valoarea cea mai probabil M a mrimii msurate se determinerorilentmpltoare aparente iv :

1v = 1M - M

2v = 2M - M

3v = 3M - M 4.2

.......................... nv = nM -M

Teorema I

Suma erorilor aparente vi este ntotdeauna egalcu zero.

Prin nsumarea relaiilor 4.2membru cu membru se obine: 1v 2v 3v . nv = 1M + 2M + 3M +.+ nM - n M

Folosind notaiile Gauss: MnMv ii 4.3

innd seama de relaia de definiie a valorii celei mai probabile

n

MM i i

nlocuind-o n expresia de mai sus obinem:

n

MnMv iii 4.4

Deci vi 0 ; n 4.5

Teorema II

Suma ptratelor erori lor ntmpltoare aparente [vv] t rece printr -un minim pentruvaloarea cea mai probabila mrimii msurate.

Se pornete de la expresiile erorilor aparente ntmpltoare definite fa de valoarea

M :

1v = 1M - M

2v = 2M - M

3v = 3M - M 4.6

nv = nM -M


25/97

Dac se ridicla ptrat i se nsumeazaceste egaliti se va obine:

221

22

2

2

1 ........... MMMMvvvvv

nnii 4.7

Aceastsumse prezintc o funcie de mrimea M , deci: MFvv ii

F(M ) = ( 1M -M )2+ (

2M -M )2 ++ ( nM - M )2 4.8

Se tie c o funcie trece printr-un minim atunci cnd derivata de ordinul I este zero, iarderivata de ordinul II este mai mare dect zero:

F(M ) = -2( 1M -M )2( 2M -M ) -.-2( nM -M ) = 0 4.9

de unde rezult:

M =M M M

n

n1 2 ...... 4.10

Aceast teoremeste foarte important n studiul teoriei erorilor, justificnd expresiavalorii celei mai probabile.

4.1.3 Eroarea medie ptratica unei singure msurtori

Erorile aparente MMv ii caracterizeazcalitatea msurtorilor:cu ct acestea sunt mai mici cu att msurtoare a este mai bun, mai precis.

Dac se considermedia erorilor aparente

,n

vi aceasta ar fi egal cu zero, deoarece

0iv (conform primei teoreme). Acest rezultat ar conduce la concluzia fals cmsurtoarea este perfect(nu exist erori).

Pentru a scoate n evideneventualele erori mari i,de asemenea pentru a scpa de

semnele acestor erori, n practicse admite eroarea medie ptratic nvv ii , n care n

reprezintnumrul de msurtori efectuate.

Eroarea medie ptratic se noteaza cu 2m i are expresia:

n

vvm ii2 4.11


26/97

sau, mai frecvent este folositn calcul relaia:

m = n

vv ii 4.12

Observaie:n cazul n care se efectueaz o singurmsurtoare asupra unei mrimi seobine rezultatul eronat: 0m , adic msurtoarea nu conine erori.Formula care d expresia erorii medii ptratice trebuie modificat astfel ca n cazulunei singure msurtori s avem de-a face cu o nedeterminare matematic.innd seama de acest lucru, expresia lui mdevine:

m = 1n

vv ii 4.13

(pentru o singurmsurtoare mar deveni: m = 0

0care este o nedeterminare din

punct de vedere matematic).Este important s se cunoasc valoarea erorii medii ptratice pentru aprecierea calitiii a preciziei unei msurtori. Cu ct aceasta va fi mai mic, cu att msurtoarea va fimai precis.

4.1.4 Eroarea medie ptratica mediei aritmetice

Aceasteroare este definitca diferena algebricpozitivsau negativdintre valoareacea mai probabil (M ) i valoarea real (X ), adic:

XMem 4.14

Considerm urmtoarele erori reale i :

XM 11 XM 22 4.15

XMnn

Prin nsumare: i = 1M + 2M ++ nM i = iM - n X 4.16

Dac n aceast relaie nlocuim iM = 1M + 2M ++ nM cu valoarea ei Mn obinutdin expresia mediei, rezult:


27/97

XMni 4.17

mi en 4.18(deci, suma erorilor ntmpltoare reale este diferitde zero).Prin ridicare la ptrat:

jimii en 222 4.19Pentru un numr mare de msurtori se poate considera c ii = n 2 me 2, deoareceerorile ji , fiind unele pozitive, iar altele negative, suma dublelor produse tinde

ctre zero. Din aceast relaie rezult c eroarea medie ptratic a mediei aritmetice va

fi egalcu:

me = i i

n 2 4.20

S-a vazut nscmrimea erorilor reale nu poate fi cunoscut, astfel nct aceste erorivor trebui nlocuite prin erori aparente.tim c: iv = iM - X

i = iM - M

Se poate scrie c: i = iv + (M -X ), folosindu-se un mic artificiu de calcul

i = iv + me 4.21

Dac se determindin msurtori valoarea unei mrimi de n ori, vom avea:

1 = 1v me

2 = 2v me 4.22

.. n = nv me

Se ridicla ptrat aceste relaii i se adun, obinndu-se:

mm evev 122

1

2

1 2

mm evev 222

2

2

2 2 4.23

mnmnn evev 2222

___________________________

mmiiii eenvv 22 iv


28/97

dar 0iv rezult c: 2miiii envv 4.24

i innd cont de relaia 22 mii en , se poate scrie:

22

men = 2mii envv 4.25Deci:

me =

v v

n n

i i

1 4.26

Raportnd aceastvaloare la cea a erorii medii ptratice a unei singure msurtori sepoate observa relaia de legtur:

me = m

n 4.27

adic,

eroarea medie ptratic a mediei aritmetice se reduce proporional cu rdcinaptratdin numrul de msurtori.

4.1.5 Prezentarea rezultatului msurtorilor

Rezultatul msurtorilor efectuate asupra unei mrimi se poate prezenta sub forma:eMX 4.28

n care: -Xeste valoarea adevrata mrimii msurate- M este valoarea medie sau valoarea probabildeterminat- e este una din erorile definite, respectiv m , me , pe

Pot fi mrimi asupra crora se execut o singur msurtoare. Pentru aceste cazuri nrelaia (4.28), M este valoarea msurat (dup eliminarea erorilor sistematice), iar e este eroarea observaiei respective (eroarea instrumentului, de obicei). Semnificaiaegalitii (4.28) const n aceea cvaloarea adevrat se afl ntr-un interval de preciziedat de inegalitatea:

eMXeM 4.29


29/97

Exemple de calcul

1.Considerm c asupra unei lungimi au fost efectuate mai multe observaiide preciziiegale. Valorile observaiilor sunt:

1O =176.720 m 3O =176.728 m 5O =176.723 m

2O =176.707 m 4O =176.725 m 6O =176.731 m

Se constat c n seria de determinri exist observaia O2cu valoarea mult diferit decelelalte; rezult c asupra acesteia a acionat o eroare inadmisibil (greeal) i nconsecin se elimin din prelucrare.De asemenea, dac admitem otoleran egal cu 1cmse observ c nici valoarea O6nu

poate fi acceptat, deoarece ecartul maxim este de 1,1cmi depete tolerana.Celelalte observaii ( 1O , 3O , 4O , 5O ) pot fi prelucrate n continuare ntruct respect

condiia:Tmax

Valoarea cea mai probabil a mrimii msurate se obine printr-un calcul de forma:

4

5431 OOOOM

Calculul practic al mediei aritmetice se face considernd o valoare de baz 0M a

mrimii msurate la care se adaug media aritmetic a diferenelor de forma ( iO - 0M ).

Se constat c valoarea de baz poate fi considerat 0M =176.720 m, fa de careavem diferenele:

1O - 0M = 0

3O - 0M = 8mm

4O - 0M = 5mm

5O - 0M = 3mm

Cu aceasta obinem:

mmmmMO

MM 724.1764

3580720.176

4

00

Pentru a stabili eroarea medie ptratic a mediei aritmetice se determin n continuareerorile aparente i suma acestora, astfel:

1v = 1O M = 4 mm

3v = 3O M = + 4 mm

4v = 4O M = + 1 mm

5v = 5O M =1 mm


30/97

Conform primei proprieti a erorilor aparente se constat c: [v] = 0, rezultnd decic erorile sunt corect determinate.De asemenea se stabilesc ptratele erorilor aparente i suma ptratelor lor;Se obine:

34][

1

1

16

16

2

5

2

4

2

3

2

1

vv

v

v

v

v

Eroarea medie ptratic a unei singure msurtori, conform relaiei 4.13este:

mmm 3,33,113

34

14

34

Eroarea medie ptratic a mediei aritmetice, conform relaiei 4.27estemmem 65.14

3.3

rezultatul final al mrimii msurate se prezint cu ajutorul relaiei 4.28sub forma:X = 176.724 m 1.65 mm

Eroarea relativ a lungimii msurate este:

000.10 011

724.17665.1

65.172 4.17 6 mmre

2.S se determine precizia necesar unui instrument de msurat unghiuri pentru ca dinpatru msurtori s se obin o precizie de 10cc

Se folosete n acest scop relaia 4.27n care:

me = 10cc

n = 4Deci:

m = 10cc 4 = 20cc

3.De cte ori trebuie msurat un unghi cu un teodolit a crui precizie este de 10ccpentru a obine o precizie de 2cc?Folosim relaia 4.27n care:m = 10cc

me = 2cc

52

10n , rezult n = 25 msurtori


31/97

4.1.6

Eroarea unei funcii de mrimi independente msurate direct

Se considero funcie difereniabil: nMMMFF ,...,, 21 , 4.30

care conine valorile mrimilor msurate direct, mrimi care sunt independente.Dorim s determinm eroarea medie ptratic m a funciei de mai sus, datoriterorilorargumentelor iM .

Dac s-ar cunoate erorile adevarate i, atunci eroarea real a funcieiF, ar fi:

F =F ( 1M + 1 , 2M + 2 ,, nM + n ) nMMMF ,...,, 21 4.31

(adic, valoarea eronat- valoarea just).n practic, erorile i au valori destul de mici, astfel nct derivatele de ordin doi i cele

superioare pot fi neglijate din dezvoltarea n serie Taylor facut n vecintateapunctuluiO ( nMMM ,...,, 21 )

Efectund calculele, vom obine:

n

n

nnF

M

F

M

F

M

FMMMFMMMF

...,...,,,...,, 2

2

1

1

2121

4.32

sau

n

n

FM

F

M

F

M

F

0

2

02

1

01

...

4.33

Ridicnd la ptrat, nsumnd i innd cont csuma produselor duble tinde ctre zeropentru un numr mare de determinri ale aceleai mrimi msurate Mi,se poate scrietrecnd la erori medii ptratice:

2

2

0

2

2

2

02

2

1

2

01

2 .... nn

F mM

Fm

M

Fm

M

Fm

, 4.34

n care s-a nlocuit suma ptratelor erorilor adevrate FF cu eroarea medieptratic m 2.

Relaia de mai sus exprim eroarea funciei de mrimi msurate direct, cnd acesteasunt independente.Aceastexpresie mai este cunoscutsub denumirea de legea de propagare a erori lorimai poate fi prezentatsub forma:


32/97

2

mM

FmF

4.35

4.1.7 Erori ale unor funcii particulare

1. Se dfuncia sub urmtoarea form:

nnxaxaxaF .....2211 4.36

n care ia reprezintcoeficieni, deci valori constante, iar ix sunt necunoscutele.

Derivatele pariale rezult ca:

i

i

ax

F

4.37

Deci, eroarea funciei va fi222

2

2

2

2

1

2

1

2 ..... nnF mamamam , 4.38

im reprezentnd erori medii ptratice ale argumentelor.

2. Funcia are forma:

nxxxF .....21 4.39

,1ix

F

4.40

rezult: 2222

1

2... nF mmmm 4.41

3. Forma funciei este:

F= 1x 2x . nx 4.42

i

nmmm ...21 m 4.43n acest caz eroarea funciei va avea forma:22 mnmF 4.44

4. Un caz des ntlnit n practiceste acela n care funcia apare c diferena dou

mrimi msurate:

F= 1x - 2x 4.45


33/97

n acest caz avem:2

2

2

1 mmmF 4.46

dac 21 mm , rezult

Fm m 2 4.47

Problema se poate pune i invers:ct de mari trebuie s fie erorile absolute sau relative ale argumentelor, pentru caeroarea funciei s nu depeasco anumitvaloare dat.Avnd de-a face cu o singurecuaie cu n necunoscute, n practicse foloseteprincipiul influenelor egale ale erorilor, impunnd urmtoarele condiii suplimentare:

n

n

mM

Fm

M

Fm

M

F

0

2

02

1

01

....

4.48

Eroarea absolut limita funciei fiind cunoscut, rezult c eroarea medie ptratic aunui singur argument va fi:

0

/

i

Fi

M

F

n

mm

4.49

Exemplu:Cu ce eroare absolut trebuie msurate laturile unui dreptunghi cu dimensiunile:

a

b

a = 80m ; b =100m

pentru ca suprafaa sa sfie determinatcu o precizie de 1m2.

Rezolvare:

Suprafaa dreptunghiului esteSa b S = 8000m2

Formula suprafeei este datde:

2

2

2

2

bas mb

Sm

a

Sm


34/97

Erorile argumentelor (respectiv laturile ai b) vor fi:

2100

11

2

1

2

ba

Smm Sa

metri

280

11

2

1

2

ab

Smm Sb

metri

(unde Sm este precizia datprin tem).

4.2 MSURTORI DIRECTE PONDERATE

Considerm c asupra unei mrimi s-au executat mai multe msurtori de preciziidiferite, rezultnd valorile nMMM .....,, 21 i erorile corespunztoare nmmm ,....., 21 .

Valoarea cea mai probabil a mrimii respective se deduce, aducnd cazulmsurtorilor ponderate la cel al msurtorilor de aceeai precizie, caz n care tim scalculm aceast valoare ca fiind media aritmetic a msurtorilor de aceeai precizie.n acest scop considerm c fiecare valoare iM reprezint media aritmetic din pi

msurtori fictive de aceeai precizie. Erorile mi pot fi considerate ca erori mediiaritmetice i conform relaiei generale care ne d eroarea medie ptratic a medieiaritmetice vom putea scrie:

n

n

m

pm

pm

pm

n

m

e

......,2

2

1

1

4.50

Cu s-a notat eroarea medie ptratic a unei msurtori fictive i din relaia (4.50)rezult c toate msurtorile fictive sunt de aceeai precizie, avnd aceeai eroare .

Msurtorile noastre iniiale s-au transformat acum ntr-un numr de p msurtorifictive de aceeai precizie.Valoarea cea mai probabil a mrimii msurate va fi media aritmetic a tuturor

msurtorilor fictive, adic:

p

pM

ppp

pMpMpMM

n

nn

.....

.......

21

2211 4.51

Aceast expresie poate fi dedus aplicnd i principiul metodei celor mai miciptrate:

vv M M i ( )2 4.52


35/97

deci:

pvv p M Mi i 2 4.53Minimul acestei relaii va fi:

022 pMpMM

pvv

4.54

adic: p

pMM (media ponderat) 4.55

i n acest caz se poate folosi o valoare apropiat 0M , pentru simplificarea calculelor,

adic:iMMM 0 4.56

Se obine astfel:

0MM

ppM

4.57

nmulind relaiile (4.52)cu nppp .....,, 21 i nsumnd, se obine:

pv M p pM 4.58

innd seama de (4.55) rezult:

pv 0 4.59

4.2.1 Calculul preciziei

a)Eroarea medie ptratic a unitii de pondere (a unei msurtori fictive cuponderea egal cu unitatea).

Din (4.50) avem:

m pi i 4.60

Dac se consider 1ip , rezult nmmm .....21 , adic este o eroaremedie ptratic corespunzatoare la ponderi egale cu unitatea, i poart denumirea deeroarea medie ptratic a unitii de pondere.


36/97

Eroarea medie ptratic a unitii de pondere va fi dedus cu relaia cunoscut din

cazul msurtorilor de aceeai precizie

vv

n 1, n care iii pvv i

reprezint o mrime omogenizat.Deci:

pvvn 1

4.61

b) Eroarea medie ptratic a mediei ponderate

Media ponderat exprimat de relaia (4.55),

MpM

p se prezint ca o funcie

de mrimi msurate direct, deci pentru evaluarea erorii se poate aplica relaia careexprim eroarea unei astfel de funcii:

2

2

0

2

2

2

02

2

1

2

0

2 ..... nn

F mM

Fm

M

Fm

M

Fm

Rezult:

222

2

2

22

2

1

22

12

222

2

2

2

2

1

2

12

2

.........1

.....1

p

p

pp

pp

pp

p

mpmpmpp

e

n

n

nnM

4.62

adic:

peM

4.63

4.2.2 Determinarea ponderilor

Se poate demonstra c n locul ponderilor se pot lua nite numere proporionale cuacestea, fr ca rezultatul compensrii s se modifice.Din relaia (4.50):

i

ip

m


37/97

Rezult,2

2

i

im

p

sau, la modul general:

2

constant

i

im

p 4.64

Ponderile se pot deduce astfel:

1. Dac se cunosc valorile im , atunci ponderile se vor calcula cu relaia (4.64)

Constanta de proporionalitate se poate lua:a) cel mai mic multiplu comun al ptratelor erorilor im , astfel nct s rezulte

pentru ponderile ip , numere ntregi

b) n10 , n fiind un numr ntreg astfel ales, nct ponderile s rezulte ca

numere comode pentru calcule, de obicei cuprinse ntre 210 i 210 .2. Dac n loc de erorile im ale msurtorilor se cunoate faptul c msurtorile iM

au fost obinute ca nite medii din mai multe determinri de aceeai precizie, deexemplu, 1M a rezultat din 1n msurtori, 2M din 2n msurtori i aa mai

departe, atunci ponderile vor lua drept valori chiar aceste numere 1n , 2n ,, nn .

3. Cnd se cunosc erorile medii ptratice im , ponderile se mai pot determina i n

mod relativ, fa de una din ele care se ia ca unitate, astfel:

2

2

2

2

2

22

1

2

1 ......;i

im

pm

pm

p

sau:

2

1

1

m

m

p

p i

i

i dac 11p , rezulti

im

mp 1

Exemplu:

Cota unui punct nodal determinat din patru drumuiri de nivelment geometric estetrecut n tabelul de mai jos, mpreun cu lungimile drumuirilor respective.S se calculeze valoarea cea mai probabil a cotei punctului nodal ct i precizia dedeterminare a acestei cote.Valoarea aproximativ este considerat mM 42,1020


38/97

Nr.crt.

Cota pct.nodal

iM

Diferena

0MM

x

i

i

Lungime Pondere

ip ii xp

i

i

MM

v

0

(cm)

ii vp

2

ii vp

1. 102,50 8 10 0,10 0,80 +6 0,60 3,62. 102,42 0 2 0,50 0,00 -2 -1,00 2,003. 102,46 4 5 0,20 0,80 +2 0,40 0,804. 102,44 2 1 1,00 2,00 0 0 0

. 1,80 3,60 6,40

1. Stabilirea ponderilor:

S-a vzut c2

.

i

im

constp

dar, n cazul nivelmentului geometric se tie c: m a Li i

deci:i

iLa

constp

2

.

Considernd constanta egal cu 2a pentru comoditatea calculelor, valoarea final aponderii este dat de relaia:

i

iL

p 1

2. Calculul mediei ponderateca valoare cea mai probabil a cotei cutate: mM

mcmmp

pxMM

44,102

44,10280,1

60,342,1020

3. Calculul erorii medii ptratice a unitii de pondere (sau eroarea pe km):

cm

n

pvv46,1

3

40,6

1

4. Calculul erorii medii ptratice a mediei ponderate:

cm

peM 08,1

80,1

46,1

Prezentarea rezul tatulu i f inal:

mM 01,044,102


39/97

4.3 DETERMINAREA ERORILOR N UNELE OPERAII TOPOGRAFICE

4.3.1 Transmiterea erorilor unghiulare ntr-o drumuire planimetric:

Fig.4.1 Drumuire planimetric

Fiind dat drumuirea planimetric din figura de mai sus, n care au fost msurate

unghiurile orizontale n ,.....,, 21 i n care se cunoate orientarea iniial 0 (aunei direcii de referin A1 - R), se cere s se afle eroarea n orientarea unei laturioarecare ( m ).

Rezolvare:

Notnd cu n ,.....,, 21 orientrile succesive ale laturilor se poate scrie:

101

...............................................................................

200400200 210212ggg

4.65

g

nn k 200.....210

unde keste un numr ntreg.Rezult deci c orientarea laturii finale este funcie de unghiurile orizontale msurate

n ,.....,, 21 , adic:

),.....,,( 21 nn 4.66Aplicnd eroarea unei funcii vom avea:

m 2 = m 1

2+ m 22+ . . .+ m n

2 4.67

Considerm nsctoate unghiurile au fost msurate cu aceeai precizie, adic

nmmm ...21 , obinndu-se astfel:


40/97

m = m n 4.68

Aceast relaie poate fi folosit i pentru stabilirea toleranei T = a n, unde a reprezinteroarea limiti se ia de obicei, a = 2,5m - 3m.

4.3.2 Transmiterea erorilor n nivelmentul trigonometric

n nivelmentul trigonometric se msoarunghiul de pant i distana D n vedereaevalurii diferenelor de nivel. Aparatul folosit este tahimetrul.Diferena de nivel - neglijnd influena curburii Pmntului i a refraciei atmosfericeva fi:

tgDh 4.69Eroarea acestei funcii de mrimi msurate direct sepoate calcula folosind relaia:

2

2

2

2

2

m

hm

D

hm Dh

4.70

Efectund derivatele pariale i nlocuindu-le n formula (4.70) rezult:

2

4

2222

cos

m

Dmtgm Dh 4.71

Eroarea m este exprimat n radiani; de obicei aceasta se va exprima n secunde,astfel c:

mrad =

m

( este factorul de transformare n sistemul sexagesimal

i are valoarea 206265")

mrad =

cc

ccm

( cc este factorul de transformare n sistemul

centesimal i are valoarea 636620cc)Expresia (4.71) devine:

22

2 2sin2

1

cos

1

Dm

mm Dh

4.72

Observaie:

n geodezie unghiul de panteste relativ mic, astfel nct cos21;rezult cprimul termen are pondere micn raport cu cel de-al doilea, deci eroarea nnivelmentul trigonometric este proporionalcu distana D.


41/97

4.3.3

Transmiterea erorilor n nivelmentul geometrica) Eroarea pentru un niveleu

Diferena de nivel n nivelmentul geometric este datde diferena citirilor (lecturilor)pe mir, napoi i nainte:

bah 4.73

Aparatura folositeste nivela i mira (fig.4.2).Considernd c nivelmentul se execut de la mijloc i c ma = mb = m, adicmsurtorile sunt deaceeai precizie, rezult c eroarea n diferena de nivel va fi:

2mm h 4.74

a b

A

B

HA

BH

hA-B

Fig.4.2 Niveleu

b) Eroarea pentru o drumuire de nivelment

Urmtoarea drumuire de nivelment geometric este compus din n niveleuri egale(niveleu = distana dintre punctele de drumuire).

A

a

1

1 1b2a b2

2

a3 3

3(n-1)

b

B(n)

n-1a bn

Fig.4.3 Drumuire de nivelment geometric


42/97

Diferena de nivel totalva fi:nhhhH .....21

iar eroarea total:

nH mmmm .....21 4.75

ntruct s-a considerat ctoate niveleurile sunt egale rezult:

hn mmmm ...21 4.76

Deci: nmm hH 4.77Dac se noteazcu l, lungimea unei portee (distana dintre miri aparat), iar cu L lungimea totala drumuirii, atunci numrul de niveleuri n va fi:

l

Ln

2 4.78

n acest caz eroarea totalse mai poate exprima sub forma:

Ll

m

l

Lmm hhH

22 4.79

Pentru o drumuire dat, executatcu un anumit instrument, de un anumit operator i cu

lungimi de portee egale, putem considera cantitateam

l

h

2c fiind o constantnotat

0m ; relaia (4.79) devine n acest caz:

Lmm H 0 4.80

Dac L este exprimat n km, atunci 0m reprezinteroarea pe kilometru.

4.3.4 Eroarea medie ptraticpentru o distan

Dac notm cu l lungimea instrumentului de msurat (panglic, rulet), i cu L lungimea totala distanei cutate, lse va cuprinde n L de n ori:

L = l1+ l2 +.+ ln , (de n ori) 4.81

unde l1 = l2 =..= lni deci L = n lEroarea medie ptratic n determinarea distanei va fi:

mL = m n 4.82

dar n =L

l, rezult mL= L

l

m 4.83


43/97

5. COMPENSAREA MSURTORILOR INDIRECTE

La acest tip de msurtori, valoarea mrimilor pe care dorim s le determinm seobine prin intermediul altor mrimi msurate direct, mrimile msurate direct i celede determinat fiind funcional dependente ntre ele.

Cazul general:

Se consider 0020

1 ,....., nMMM ca valori medii ale unor mrimi determinate direct

(rezultate din msurtori directe), iar hxxx ,....., 21 , mrimi ce urmeaz a fideterminate indirect.Presupunem de asemenea c relaia dintre aceste 2 tipuri de mrimi este exprimat de:

hiii xxxFvM .....,,, 210 5.1

ni ,.....2,1 i hn Relaia hn (adic numrul ecuaiilor s fie mai mare dect numrul necunoscutelor)se impune n vederea depistrii eventualelor greeli ct i pentru mrirea preciziei.Problema care se pune este, ca din sistemul (5.1) s se deduc cele mai bune valori

hxxx ,....., 21 .

Dac msurtorile 0iM ar fi perfecte (neafectate de erori), acest sistem s-ar prezenta

sub forma:

hii XXXFM .....,,, 210 5.2

ni ,.....2,1 ; hn Acest sistem ar fi compatibil i rezolvabil n raport cu necunoscutele hxxx .....,,, 21 ,

deci, operaiile de msurare s-ar reduce la attea msurtori cte necunoscute sunt. npractic ns, msurtorile de orice natur sunt afectate n mod inerent de erori.Datorit acestor erori de msurare, sistemul (5.2) este incompatibil, de aceea mrimilormsurate direct trebuie s li se aplice nite corecii iv , astfel ca sistemul s devin

compatibil n raport cu necunoscutele hxxx .....,,, 21 .

Valorile cele mai probabile ale coreciilor se determin aplicnd metoda celor mai miciptrate. Deci, mrimile iv reprezint coreciile ce trebuiesc aplicate mrimilor

msurate direct, pentru a fi satisfcute toate ecuaiile de tipul (5.1) ce pot fi ntocmitepentru rezolvarea unei anumite probleme.Metoda celor mai mici ptrate se ocup deci cu compensarea erorilor de msurare,

determinndu-se valorile cele mai probabile pentru mrimile msurate, ct i erorilemedii la care ne putem atepta.


44/97

Determinarea acestor valori probabile este condiionat de minimul sumei ptratelorerorilor luate fa de o mrime de referin (M ).

5.1 LINIARIZAREA ECUAIILOR

n majoritatea cazurilor funciile Fidin relaia (5.1) nu sunt liniare, compensarea fiindfoarte greoaie. Pentru uurarea calculelor de compensare, aceste ecuaii se aproximeazcu nite ecuaii liniare, obinute prin dezvoltare n serie Taylor, n vecintatea unor

valori 0ix , apropiate de cele adevrate.

Valorile probabile ale necunoscutelor vor fi n acest caz:

iii xXX 0 5.3

unde, ni .....,,2,1 i ix reprezint corecii ce urmeaz a fi determinate n procesul

de compensare i apoi adugate valorilor aproximative 0iX n vederea obinerii

valorilor celor mai probabile ale mrimilor cutate, iX .

Aceste corecii ns, trebuie s fie suficient de mici, astfel nct n dezvoltarea n serieTaylor s putem neglija termenii de ordinul II i mai mari.Introducnd relaia (5.3) n (5.1) obinem:

hhiii

xXxXxXFvM 02

0

21

0

1

0 .....,,, 5.4

Deci, corecia va avea valoarea:

00

2

0

21

0

1 .....,,, ihhii MxXxXxXFv 5.5

Dezvoltnd aceast expresie n serie Taylor i neglijnd termenii de ordinul II isuperiori, rezult:

000

2

0

1 .....,,, ihii MXXXFv +

+ hh

iii x

x

Fx

x

Fx

x

F

0

2

02

1

01

....

5.6

( ni .....,,2,1 )Pentru simplificarea calculelor se fac urmtoarele notaii:

ii a

x

F

01

i

i bx

F

02

.. . i

h

i hx

F

0

5.7

iihhi lMxXxXxXF 00

2

0

21

0

1 .....,,,


45/97

Cu aceste notaii expresia (5.6) devine:ihiiii lxhxbxav .....21 5.8

( ni ,.....2,1 ; hn )

Aceast relaie poart denumirea de sistemul liniar al ecuaiilor de corecii.

Observaii:

Fiecare msurtoare genereaz cte o ecuaie de corecie. Din expresiile coeficienilor i a termenului liber (5.7) se observ c mrimea

msurat direct 0iM , deci cea care este afectat de erori intervine numai n

termenul liber.

Rezult deci, c eroarea unei ecuaii de corecii este egal cu eroarea termenuluiliber, iar coeficienii iii hba .....,,, se consider constante lipsite de erori.

Dac mrimile msurate direct 0iM sunt determinate cu aceeai precizie,

atunci i ecuaiile sistemului liniar vor fi de aceeai precizie. Sistemul liniar poate fi nmulit cu aceeai constant, rezultatul final rmnnd

neschimbat. n cazul n care ecuaiile sistemului liniar ar fi nmulite cuconstante diferite, s-ar modifica i ponderile n mod diferit.

Sistemele ponderate (de precizii diferite) pot fi reduse la sisteme neponderate,

dac fiecare ecuaie se multiplic cu pi , adic:

iihiiiiiiiii plxphxpbxpapvv ....21 5.9

Acest nou sistem poart denumirea de sistem de ecuaii omogenizate i autoate ponderea egal cu 1.

Din expresia termenului liber (5.7) rezult regula practic de calcul a acestuia:

iihhi lMxxxXxXF 00

2

0

21

0

1 .....,,, 5.10

Termenul liber = valoare calculat - valoare msurat

5.2 NORMALIZAREA ECUAIILOR

5.2.1 Compensarea msurtorilor indirecte de aceeai precizie

Din sistemul liniar al ecuaiilor de corecii dat de (5.8) n care presupunem c toateecuaiile au aceeai pondere, valorile cele mai probabile ale coreciilor se deducutiliznd metoda celor mai mici ptrate, adic:

vv =min. 5.11Dac n acest sistem nlocuim valorile coreciilor iv obinem:


46/97

211211122221 )...(.... lxhxbxavvvvv hn

2222212 )...( lxhxbxa h .. 221 ... nhnnn lxhxbxa minim

Aceasta reprezint o funcie de x , adic: hxxxFvv ....,, ,21 5.12

Pentru determinarea minimului acestei funcii de mai multe variabile, trebuie caderivatele pariale de ordinul nti ale funciei n raport cu fiecare din necunoscute sfie zero.Efectund aceste derivate obinem:

)....(2 11211111

lxhxbxaax

Fh

+ )....(2 2222122 lxhxbxaa h 5.13+....+

+ 0)....(2 21 nhnnnn lxhxbxaa

sau: 0av 5.14 )....(2 1121111

2

lxhxbxabx

Fh

)....(2 2222122 lxhxbxab h 5.15+...+

+ 0)....(2 21 nhnnnn lxhxbxab

sau: 0bv 5.16Analog se calculeaz i celelalte derivate, ultima fiind:

)....(2 1121111 lxhxbxahxF

h

h

)....(2 2222112 lxhxbxah h 5.17+....+

0)....(2 21 nhnnnn lxhxbxah

sau: 0hv 5.18


47/97

Anularea derivatelor pariale de ordinul nti determin punctele staionare ale uneifuncii care sunt n acelai timp puncte de minim, adic derivata de ordinul II estepozitiv.Efectund calculele n (5.13), (5.15), (5.17) i trecnd la notaiile Gauss, obinem:

0...............................................................

0....

0....

21

21

21

hlxhhxbhxah

blxbhxbbxab

alxahxabxaa

h

h

h

5.19

Sistemul (5.19) poart denumirea de sistem normal al coreciilor.

Matricea coeficienilor acestui sistem este simetric, deci nesingular. Rezult csistemul admite soluie care este unic.Prin rezolvarea acestui sistem, se determin coreciile ix care aplicate valorilor

apropiate 0iX dau valorile cele mai probabile ale necunoscutelor:

iii xXX 0 5.20

De asemenea, cu ajutorul coreciilor ix se pot deduce ivalorile iv ce vor fi aplicate

mrimilor msurate 0iM :

ihiiii lxhxbxav ....21 5.21

Determinarea practic a coeficienilor i a termenilor liberi ai ecuaiilor normale se facen tabele intermediare de forma:

1.Tabelul coeficienilor ecuaiilor de corecii

Nr.crt.

ai bi .. hi li Si Control

1 a1 b1 h1 l1 S1 S1 = a1+ b1++h1+ l1

2 a2 b2 h2 l2 S2

n a n b n h n l n S n Sn= an+ bn+..+hn+ ln

a b h lS

1 1=a+ b++

h+ l


48/97

2.Tabelul coeficienilor ecuaiilor normale

aa ab ah al] [aS]Control :[aS] =

aa + ab++

ah+ al]

[bb] [bh] [bl] [bS][bS] = ab +[bb]++[bh]+[bl]

. . .........

[hh] [hl] [hS][hS] = ah +[bh]+ ...+ [hh] +

[hl]

[ll] [lS] control

5.2.2 Compensarea msurtorilor indirecte ponderate

n sistemul liniar al ecuaiilor de corecii (5.7) presupunem c ecuaiile au preciziidiferite deci, ponderi diferite.Valorile cele mai probabile ale coreciilor n acest caz se obin utiliznd de asemenea

metoda celor mai mici ptrate, adic:

pvv = min. 5.22

Dac n acest caz nlocuim valorile coreciilor iv obinem:

211211112222211 )...(.... lxhxbxapvpvpvppvv hnn

22222122 )...( lxhxbxap h 5.23+..+

+ 2

21 ... nhnnnn lxhxbxap minim

i n aceast situaie relaia (5.23) reprezint o funcie de x , adic: hxxxFpvv ....,, ,21 5.24

Pentru determinarea minimului acestei funcii de mai multe variabile, trebuie caderivatele pariale de ordinul nti ale funciei n raport cu necunoscutele s fie zero.Efectund aceste derivate obinem:


49/97

)....(2 112111111

lxhxbxaapxF

h

)....(2 22221222 lxhxbxaap h 5.25+...+

0)....(2 21 nhnnnnn lxhxbxaap

sau: 0pav 5.26

)....(2 112111112

lxhxbxabp

x

Fh

)....(2 22221222 lxhxbxabp h 5.27+.+

0)....(2 21 nhnnnnn lxhxbxabp

sau: 0pbv 5.28

Analog se calculeaz i celelalte derivate, obinndu-se:

)....(2 11211111 lxhxbxahpx

Fh

h

)....(2 22221222 lxhxbxahp h 5.29+..+

0)....(2 21 nhnnnnn lxhxbxahp

sau: 0phv 5.30

Efectund calculele n (5.25), (5.27), (5.29) i trecnd la notaiile Gauss, rezult:

0......................................................

0....

0....

21

21

21

phlxphhxpbhxpah

pblxpbhxpbbxpab

palxpahxpabxpaa

h

h

h

5.31

Sistemul (5.31) poart denumirea de sistem normal al coreciilor n cazulmsurtorilor indirecte ponderate.

Prin rezolvarea acestui sistem, se determin aceleai corecii ix care, aplicate valorilor

apropiate 0iX ne dau valorile cele mai probabile ale necunoscutelor:


50/97

iii xXX 0 5.32

De asemenea, cu ajutorul coreciilor ix se pot deduce ulterior valorile iv ce vor fi

aplicate mrimilor msurate 0iM :

ihiiii lxhxbxav ....21 5.33

Determinarea practic a coeficienilor i termenilor liberi ai ecuaiilor normale se facen tabele asemntoare celor de la msurtorile indirecte de aceeai precizie, i anume:

1.Tabelul coeficienilor ecuaiilor de corecie

Nr . crt. pi ai bi hi li Si Control

1 p1 a1 b1 h1 l1 S1 S1 = a1+ b1+..+ h1+ l1

2 p2 a2 b2 h2 l2 S2

n pn a n b n h n l n S n Sn= an+ bn+..+ hn+ ln

- a b h lS

1 1=a+ b+..+ h+ l

2.Tabelul coeficienilor ecuaiilor normale:

paa pab . pah pal] [paS]

Control:[paS] = paa+

pab

++ pah

+pal]

[pbb] . [pbh] [pbl] [pbS][pbS] = pab+ [pbb] ++ [pbh] + [pbl]

[phh] [phl] [phS]

[phS] = pah+ [pbh] +

...+ [phh] + [phl]

[pll] [plS] control


51/97

5.3

REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAII NORMALE

Metodele de rezolvare a sistemelor liniare se mpart n dou grupe:1.Metode exacte, care dau un algoritm finit pentru calculul soluiei (exemplu: regulalui Cramer, metoda eliminrii succesive a lui Gauss).2.Metode iterative, care permit gsirea soluiei cu o eroare orict de mic dar nenulprintr-un proces unic numit proces de iteraie.Metodele iterative sunt simple i comode n cazul n care se folosesc calculatoareleelectronice.Pentru practica geodezic se folosete cu succes rezolvarea sistemelor de ecuaiinormale prin metoda eliminrilor succesive a lui Gauss.

Principiul metodei:Considerm un sistem normal de 3 ecuaii:

0

0

0

321

321

321

clxccxbcxac

blxbcxbbxab

alxacxabxaa

5.34

Metoda de rezolvare const n reducerea de necunoscute, prin eliminri succesive:Din prima ecuaie a sistemului (5.34) se scoate necunoscuta 1x i se introduce ncelelalte dou:

aaal

xaa

acx

aa

abx 321

0

0

0

32

2

3232

2

3232

aa

alabblx

aa

acabbcx

aa

abbb

blxbcxbbaa

alabx

aa

acabx

aa

ab

blxbcxbbaa

alx

aa

acx

aa

abab

n cea de-a treia ecuaie vom obine: 5.35


52/97

0

0

0

3

2

2

323

2

2

3232

aa

alacclx

aa

acccx

aa

acabbc

clxccxbcaa

alacx

aa

acx

aa

acab

clxccxbcaa

alx

aa

acx

aa

abac

Se fac urmtoarele notaii:

1.

;1.

1.

1.

1.

2

cl

aa

alaccl

ccaa

acaccc

blaa

alabbl

bcaa

acabbc

bbaa

ab

bb

5.36

Aceste expresii poart denumirea de algoritmi Gaussde ordinul I .Cu ajutorul lor, ecuaiile se vor scrie:

01.1.1.

01.1.1.

32

32

clxccxbc

blxbcxbb 5.37

n continuare, vom elimina necunoscuta 2x procednd analog:

din prima ecuaie se scoate 2x i se nlocuiete n cea de-a doua:

1.

1.

1.

1.32

bb

blx

bb

bcx

Rezult:

01.

1.1.1.

1.

1.1.

01.1.1.

1.1.

1.

1.

01.1.1.

1.

1.

1.1.

3

2

33

2

33

bb

blbcclx

bb

bccc

clxccbb

blbcx

bb

bc

clxccbb

blx

bb

bcbc

5.38


53/97

Adoptnd urmtoarele notaii:

2.1.

1.1.1.

2.1.

1.1.

2

clbb

blbccl

ccbb

bccc

care poart denumirea de algoritmi Gauss de ordinul II, ecuaia final va fi:

02.2. 3 clxcc 5.39

Deci:

2.2.

3

cc

clx 5.40

Prin eliminri succesive am reuit s aducem sistemul la o form triunghiular.Pornind n ordine invers, se determin apoi 2x i 1x .Toate calculele se fac ntr-un tabel numitschema GaussRelaia de verificare a soluiilor obinute:

lxlS 5.41

Aceast relaie se obine prin nsumarea tuturor ecuaiilor (5.34), adic a elementelorrespective de pe liniile ecuaiilor din schem.Soluiile se mai pot verifica introducndu-le n toate ecuaiile, pe care trebuie s le

satisfac. Aceast verificare va fi satisfcut n limita preciziei de calcul - precizie caredepinde de numrul de cifre utilizat n calcule, de numrul ecuaiilor i mai ales deconformarea sistemului.

Se prezint mai jos modul de calcul n schema Gauss:a) se nscriu coeficienii ecuaiilor normale pe liniile:-pentru ecuaia I n linia (1)-pentru ecuaia II n linia (3)-pentru ecuaia III n linia (6)Datorit faptului c sistemul este simetric e suficient s se nscrie coeficienii de pediagonal i cei de deasupra.b) Se mparte linia (1) cu coeficientul - aa , obinndu-se linia (2) care nu reprezintaltceva dect prima ecuaie eliminatoare (5.35)

c) Linia 4 , care reprezint ecuaia sistemului redus odat se obine astfel:

-se ia drept PIVOT elementul din linia (2) coloana (2), adic aaab

se nmulete succesiv

cu elementele din linia 1 , iar la aceste valori se adaug coeficienii din linia (3).


54/97

exemplu:

bbabaaab

bb 1.

Se va face obligatoriu controlul: 1.1.1.1. bsblbcbb

Schema Gauss redus

aa ab ac al as --1

ab

aa

ac

aa

al

aa

as

aa

se face control

1x = bb bc bl bs - 1.bb 1.bc 1.bl 1.bs control

-1

bc

bb

.

.

1

1

bl

bb

.

.

1

1

bs

bb

.

.

1

1

control

2x = cc cl cs - 2.cc 2.cl 2.cs control

-1

cl

cc

.

.

2

2

cs

cc

.

.

2

2

control

3x =

d) Linia (5) rezult din linia (4), care se mparte cu 1.bb reprezentnd din nou oecuaie eliminatoare.

e) Pentru deducerea algoritmilor Gauss de ordinul II din linia (7) - linie ce reprezintecuaia redus de dou ori 2.72, se procedeaz astfel:-se vor considera doi pivoi i anume:

elementul din linia (2) coloana (3), adic aaac

i 1.

1.

bb

bc . Aceti pivoi se

nmulesc succesiv cu elementele din linia de deasupra lor, se adun aceste produse iapoi se nsumeaz i cu elementele corespunztoare dinlinia (6).

exemplu:

clblbbbc

alaa

accl

1.1.

1.2.

Controlul obligatoriu al acestei linii 7 este:


55/97

2.2.2. csclcc Linia (8) se deduce din (7), mprind-o pe aceasta cu - 2.cc .Se deduc necunoscutele n urmtoareaordine:

-din linia (8) rezult direct 2.

2.3

cc

clx

-din linia (5) se deduce 2x , iar din linia (2) se determin ix1.

5.4 CALCULUL PRECIZIEI

Eroarea medie ptratic a unei singure msurtori

Pentru deducerea acestei erori vom reduce mai nti problema la cazul msurtorilordirecte i anume:n cazul msurtorilor directe, avnd de determinat o singur necunoscut x , sistemulliniar al ecuaiilor de corecii se poate scrie sub forma:

ii vlxa 5.42ni ,...2,1

Eroarea medie ptratic a unei singure msurtori, este dat de relaia cunoscut

1 nvvm 5.43

iar pentru msurtorile ponderate, eroarea medie ptratic a unitii de pondere:

1

n

pvv 5.44

La msurtorile indirecte, sistemul liniar al coreciilor are forma:

hnni

lxhxbxav ihiiii

;,...,2,1

....21 5.45

Pentru a reduce la cazul unei singure necunoscute va trebui ca din sistemul (5.45) s

eliminm 1h necunoscute.

Astfel, vom rmne cu 1 hn ecuaii cu o singur necunoscut. Aplicnd formula(2.45), rezult eroarea medie ptratic a unei singure msurtori, n cazul msurtorilorindirecte:

hn

vvm

5.46


56/97

n cazul ponderat, eroarea unitii de pondere:

hn

pvv

5.47

Pentru fiecare msurtoare real iM n cazul determinrilor ponderate gsim eroarea

medie ptratic aferent mi:

i

ip

m

5.48

Avnd n vedere c

hn

pvv

, rezult:

hnppvv

mi

i 5.49

Eroarea medie ptratic a necunoscutelor

Deoarece necunoscutele ix au fost descompuse n: iii xXX 0 , hi ,...,1

unde valorile 0iX au fost alese arbitrar (respectnd condiia ca ele s fie suficient de

apropiate de valorile probabile iX ), la o compensare, aceste valori0

iX fiind

importante, erorile medii ptratice ale necunoscutelor ix , vor fi egale cu erorile mediiptratice ale coreciilor.

S-a artat c eroarea unui termen liber este egal cu eroarea mrimii msurate 0iM ; pe

de alt parte, coreciile ix , obinute prin rezolvarea sistemului normal sunt dependente,

ca urmare a prelucrrii n bloc a sistemului ansamblului de mrimi msurate 0iM .

Deci, pentru obinerea preciziei lor, nu se poate aplica direct formula erorii unei funciide mrimi independente. Vom exprima astfel fiecare corecie ix ca o funcie liniar de

termeni liberi (care sunt independeni).Se consider sistemul normal:

0........................................................................

0....

0....

21

21

21

phlxphhxpbhxpah

pblxpbhxpbbxpab

palxpahxpabxpaa

h

h

h

5.50


57/97

Conform regulii lui Cramer, o necunoscut oarecare:

phhpbhpah

pbhpbbpab

pahpabpaa

phhphlpah

pbhpblpab

pahpalpaa

xj

.......

.......

.......

......

......

......

5.51

Dezvoltnd determinantul de la numrtor dup coloana j , apoi notnd cu Ddeterminantul i cu ijA complemenii algebrici ai sistemului obinem:

hjjjj AphlApblApalD

x ....1

21 5.52

numii coeficieni de pondere, ei nefiind altceva dect elementele matricei inverse.Vom obine:

n

i

iihjijijij lpQhQbQax1

21 ..... 5.53

sau:

n

i

iij lx1

5.54

unde: ihjijijii pQhQbQa ....21 5.55Calculnd eroarea funciei(5.54), rezult:

2222

2

22

1

2 ...21 nlnllxj

mmmm 5.56

dar:i

lp

mi

22 , deci: ....22

pm

jx

5.57

Se demonstreaz c jjQp

, unde jjQ sunt coeficieni de pondere hj ,...,2,1

i reprezint elementele de pe diagonala principal a matricei inverse.Eroarea medie ptratic a unitii de pondere va fi:

hn

pvv

5.58


58/97

Schema Gauss extins pentru rezolvarea sistemului normal i calculul preciziei

1x 2x 3x l -E f S

aa ab ac al 1 0 0 1f 1S 1

ab

aa

aaac

al

aa

1

aa

0 0 - 1f aa

S1

1x = bb bc bl 0 1 0 2f 2S 1.bb

teoria_erorilor_de_masurare_pt examen compensarea masuratorilor.pdf

Documents