teoria sistemelor automate13 13 - upt · În tab. 13.2 se prezintă modalităţi de realizare a...

Teoria sistemelor automate13

Prof. dr. ing. Valer DOLGA

1

13 CONTROLERUL ÎN SISTEMELE MECATRONICE

Introducere În ansamblul sistemului mecatronic, controlerul ocupă un loc important fără de care nu se poate realiza automatizarea procesului pe care îl implică existenţa sistemului. Utilizările practice au evidenţiat în timp diverse variante de realizare a unor sisteme prin care un parametru era menţinut în jurul unei valori de referinţă. Regulatorul Watt (vezi cursul 1) a deschis aceste realizări. De exemplu un mod simplu de reglare a nivelului de lichid dintr-un rezervor este prezentat în fig. 13.1. Nivelul lichidului din rezervor se reglează prin deschiderea sau închiderea conductei de golire prin intermediul unui plutitor şi a unui mecanism cu pârghii.

Fig. 13.1 Schemă principială pentru un sistem simplu de reglare a nivelului

Într-o variantă simplă şi de generalitate extremă “Controlerul”, are rolul de a prelucra după o anumită lege, eroarea rezultată din comparaţia mărimii de intrare X şi a celei de reacţie R:

RXE −= (13.1) şi de a furniza la ieşire o mărime de comandă U care se aplică obiectului reglat (fig. 13.2).

+ -Controler Obiect

YX

R

E U

Senzor

Fig. 13.2 Schema bloc principială a unui sistem incluzând un controler şi un senzor pe reacţie

Introducere


2

În absenţa elementului de reglare – controler – mărimea de ieşire ar suporta modificări importante şi necontrolate datorită efectelor perturbatoare care acţionează în diferite puncte ale obiectului avut în vedere. Să reconsiderăm, în concordanţă cu cele prezentate anterior, problema reglării debitului într-o conductă. Schema principială este prezentată în fig. 10.3, unde semnificaţia notaţiilor este următoarea: - TR – traductor / senzor = converteşte o mǎrime fizicǎ într-un semnal în general electric; - EE – element de execuţie (motor electric) a componentei hidraulice. Prin intermediul traductorului TR se obţine o informaţie privind debitul real Qm în conductǎ, valoare exprimatǎ printr-un semnal în tensiune Um.

TR

_

REGULATOR

+

e X

Qm

EE

Σ

Q0

Q

Fig. 13.3 Schema principială a unui sistem de regalre a debitului

De exemplu dependenţa intrare – ieşire a traductorului (debit – tensiune) se obţine printr-o operaţie de calibrare şi se reprezintǎ prin valorile date în tabel sau grafic: Debit [l/min]

10 20 40 60 80 100 120 140 150 160 180 200 220 240

Semnal tensiune traductor [V]

0.4

0.85

1.65

2.42

3.22

4

4.77

5.55

6

6.35

7.19

8.03

8.81

9.59

Sem

nal d

e la

sens

or (

tens

iune

) [V

]

Debit lichid [l/min] Fig. 13.4 Dependenţa debit – tensiune a traductorului utilizat în sistemul din fig. 13.3



3

Din cele douǎ valori, se poate obţine relaţia de legǎturǎ debit – tensiune sau sensibilitatea traductorului:

min...

ebitvariatie_densiunevariatie_t

l/VS 03970

1024040599=

−−

== (13.2)

Valoarea obţinută se comparǎ în elementul de comparaţie Σ cu valoarea impusǎ pentru debitul Q0, exprimatǎ prin semnalul U0, rezultatul concretizându-se prin eroarea:

mUUe −= 0 (13.3) Controlerul inclus în cadrul sistemului asigurǎ mǎrimea de intrare X pentru elementul de execuţie EE care deschide sau închide robinetul montat pe conductǎ. O clasificare a controlerelor poate fi realizată după diverse criterii: - forma relaţiei dintre mărimea de comandă şi eroare:

- controlere continue (mărimea de comandă U este influenţată în mod continuu de eroarea E),

- controlere discrete; - natura fizică a mărimilor de la intrarea şi ieşirea controlerului:

- controlere electrice, - controlere pneumatice, - controlere hidraulice.

- sursa de energie cu care funcţionează: - controlere directe (funcţionează pe baza energiei preluate din proces prin

intermediul traductoarelor de reacţie), - controlere indirecte (cu sursă de energie auxiliară).

Modelul matematic al controlerului Controlerele cu acţiune continuă cu o largă utilitate se disting după dependenţa de regim dinamic care se stabileşte între mărimile U şi E (fig. 13.2): - proporţionale (simbol P):

)()( tKtu P ε⋅= (13.4) unde KP este factorul de amplificare al controlerului. - integrale (simbol I):

∫∫ ⋅ε⋅=⋅ε⋅= dttKdttT

tu II

)()()( 1 (13.5)

unde TI are dimensiune de timp şi se numeşte constanta de integrare. - derivative (simbol D):

dttdK

dttdTtu DD

)()()( ε⋅=

ε⋅= (13.6)

unde TD are dimensiune de timp şi poartă denumirea de constantă de timp derivativă.

Aspecte de realizare practicǎ a componentelor din sistemul de reglare


4

- combinaţii: PI, PD, PID. Varianta PID este cea mai completă care permite performanţe superioare atât în regim staţionar cât şi regim dinamic. Relaţia de dependenţă a controlerului PID poate fi scrisă sub forma:

dttdKdttKtKtu DIP)()()()( ε

⋅+⋅ε⋅+ε⋅= ∫ (13.7)

Scopul controlerului este de asigura un timp de creştere corespunzător, o supracreştere minimă, fără eroare staţionară. Modul în care constantele controlerului influenţează performanţele este prezentat calitativ în tab. 13.1. Tabelul 13.1

Timpul de creştere Supracreşterea Timpul de răspuns Eroarea KP diminuare creştere influenţă redusă diminuare KI diminuare creştere creştere elimină KD influenţă redusă diminuare diminuare influenţă redusă

Aspecte de realizare practicǎ a componentelor din sistemul de reglare În cazul general, un regulator electronic (controler) continuu poate fi considerat ca având structura din fig. 13.5. Acesta se compune dintr-un amplificator operaţional AO, un circuit pasiv de intrare (1) şi un circuit pasiv de reacţie (2).

+

au -1iA

2iu

AOc(1)

(2)

Y1

2Y

Fig. 13.5 Structura principială a unui regulator

Admitanţele de transfer ale celor două circuite pasive se definesc, pe baza notaţiilor din fig. 13.5 prin relaţiile:

)()()(

sUsIsY

a

11 = (13.8)

)()()(

sUsIsY

c2

2 = (13.9)

Presupunând că AO este ideal ( 021 =+= iiiAO , punctul A având potenţial zero), funcţia de transfer a acestui circuit se poate defini ca fiind:

)()(

)()()(

sYsY

sUsUsY

ac

21−== (13.10)



5

În tab. 13.2 se prezintă modalităţi de realizare a unor tipuri de controlere prin utilizarea amplificatoarelor operaţionale şi în concordanţǎ cu cele precizate anterior referitor la funcţia de transfer. Tabelul 13.2

Un bloc component al controlerului este blocul de însumare; acesta îndeplineşte rolul de a efectua o operaţie de adunare sau scădere a unei mărimi analogice (tensiune). Amplificatorul operaţional poate realiza suma sau diferenţa mai multor tensiuni utilizând o schemă asemănătoare cu cea din fig. 10.6.

11u

2n

2221

12

1n

u

uu

u

2nR

21R

1nR

+

3R

-

uR11

eU

R4

Fig. 13.6 Schema pentru efectuarea sumei şi diferenţei mai multor tensiuni foilosind

circuite cu amplificator operaţional Din motive de micşorare a erorii cu temperatura, este indicat ca R3 = R4. Pentru a obţine o însumare cu ponderi egale pentru toţi termenii pozitivi şi negativi, este necesar ca rezistenţele R1i (i= 1,...n) şi R2j (j= 1, ...m) să fie egale. Considerând n=m, tensiunea la ieşirea amplificatorului operaţional va fi:

Tip Schemă Echivalenţă impedanţe Funcţie de transfer

P

R

AO0R -

+

1

∞====

)(0)(

)()(

3

2

11

00

sZsZ

RsZRsZ

0

1

)(

RRK

KsY

R

R

=

=

PI +

AO0R -

1R 1C

∞==

⋅+=

=

)(0)(

1)(

)(

3

2

111

00

sZsZ

CsRsZ

RsZ

11

0

1

11)(

CRTRRK

TsKsY

i

R

iR

⋅=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅=

PD AO-

+

R0

R1 2R

3C

33

22

11

00

1)(

)()()(

CssZ

RsZRsZRsZ

⋅=

===

( )

321

21

0

21

1)(

CRRRRT

RRRK

TsKsY

d

R

dR

⋅+⋅

=

+=

⋅+⋅=

Aspecte de realizare practicǎ a componentelor din sistemul de reglare


6

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−= ∑ ∑

i iiie UU

RRU 21

14 (13.11)

Elementul de comparaţie (EC) din schema de reglare are rolul de stabili eroarea existentă între mărimea de referinţă şi mărimea reglată, ajunsă la comparator prin calea de reacţie (fig. 13.7).

Rc

cR

+

-

i

iR

U

ui

ur

Fig. 13.7 Element de comparaţie realizat prin rezistoare

O posibilitate de realizare fizică a EC are la bază schema din fig. 10.7. Două rezistenţe egale Rc sunt străbătute în sensuri opuse de curenţii iR şi respectiv i; iR este proporţional cu mărimea reglată, iar i este proporţional cu mărimea de intrare. Mărimea de intrare poate fi denumită mărime de referinţă, sau mărime prescrisă, dacă are valoare constantă. Tensiunea la ieşirea din elementul de comparaţie EC se poate exprima prin relaţia:

εε ⋅=⋅−⋅= iRiRiRU cRcc (13.12) şi va fi proporţională cu eroarea ε a sistemului de reglare. Un aspect de realizare practicǎ al controlerului proporţional este prezentat în fig. 13.8 şi 13.9.

Fig. 13.8 Exemplu practic de controler proporţional



7

-

+

+ -

Borne ieşire

Imax

…...

…...

-

+

+ -

Indicatoare optice de funcţionare

Butoane reglaj manual

Borne de intrare semnal (tensiune sau curent)

Borne tensiune de alimentare

a) vedere din faţǎ b) vedere din spate Fig. 13.9

Analiza sistemului de reglare Un sistem sub forma sa generalǎ şi în concordanţǎ cu scopul de reglare propus se poate concretiza conform schemei bloc din fig. 13.10 unde: - X(s) este mǎrimea de intrare (de referinţǎ) pentru sistem; - Y(s) este mǎrimea de ieşire din sistem; - WR este funcţia de transfer a controlerului; - WE este funcţia de transfer a eventualului element de execuţie (dacǎ acest element lipseşte, funcţia de transfer se considerǎ unitarǎ); - WO este funcţia de transfer a obiectului / procesului reglat.

WR WE WO

X(s) Y(s) ε(t) u(t)Σ

+ _

Fig. 13.10 Schema bloc a unui sistem automat incluzând un controler

Conform algebrei schemelor bloc, funcţia de transfer a sistemului este:

OEROERWWW

WWWsXsYsW

⋅⋅+⋅⋅

==1)(

)()( (13.13)

Controlerul prin funcţia sa de transfer trebuie astfel proiectat încât sistemul analizat cu funcţia de transfer W(s) şi orientat de la X(s) spre Y(s), sǎ respecte performanţele de calitate. Se analizează aspecte practice şi teoretice ale unor variante de controlere.

Analiza sistemului de reglare


8

Controlerul proporţional Consideraţii teoretice Prin ecuaţia (13.4) s-a prezentat dependenţa dintre mǎrimea de ieşire a controlerului şi eroarea mǎsuratǎ în sistem. Factorul de proporţionalitate KP reprezintă singurul parametru al regulatorului. Prin construcţie, acest parametru se prevede a fi ajustabil în limite largi pentru a satisface o mare varietate de legi de reglare. În mod real, ecuaţia controlerului este:

utKtu P Δ+ε⋅= )()( (13.14) unde Δu este valoarea zgomot al controlerului. Aceastǎ valoare se poate ajusta manual. Caracteristica idealǎ şi respectiv realǎ a controlerului proporţional este prezentatǎ în fig. 13.11.

ε

u

Δu

ε

u

Δu

umin

umax

a) b)

Fig. 13.11 Caracteristicile ideală (a) şi reală ale unui controler proporţional Deseori se utilizează în locul factorului KP factorul denumit bandă de proporţionalitate BP definită procentual:

[%]1001⋅=

PKBP (13.15)

Pentru un proces/ obiect reglat de ordinul 1 cu funcţia de transfer:

1+=

TsKWO (13.16)

şi considerând WE = 1, funcţia de transfer a sistemului reglat, conform relaţiei (13.13), este:

11

11

11

1

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅+⋅

=⋅++

⋅=

⋅+

+

⋅+==

sKK

TKK

KK

KKTsKK

KTs

K

KTs

K

sXsYsW

P

PP

PP

P

P

)()()(

(13.17)



9

Funcţia de transfer (13.17) a sistemului permite o analizǎ a efectelor introduse de controler asupra performanţelor acestuia. Pentru a afla dacǎ controlerul proporţional este adecvat sistemului considerat, se determinǎ modul de evoluţie în timp a erorii din sistem:

)()( limlim sstst

Ε=ε→∞→ 0

(13.18)

sau:

)()()()( sXWW

sYsXsEOR⋅

⋅+=−=

11

(13.19)

Pentru sistemul de ordinul 1 considerat se obţine:

PPst KKsTs

KKst

⋅+=⋅

+⋅+

⋅=ε→∞→ 1

11

11

1

0limlim )( (13.20)

care aratǎ cǎ eroarea tinde spre zero pentru ∞→PK . Exemplu

Fie sistemul de ordinul 1 cu funcţia de transfer 110

10+

=s

sWO )( . Funcţia de

transfer a sistemului reglat din sistem pentru cazul utilizǎrii unui controler proporţional este:

PP

KsK

sXsY

⋅++⋅

=10110

10)()(

(13.21)

Rǎspunsul sistemului la un semnal de intrare treaptǎ unitar pentru diverse valori ale lui KP este prezentat în fig. 13.12 (a - KP = 0.1, b- KP = 1, c - KP = 10).

a)



10

b)

c) Fig. 13.12 Răspunsul sistemului studiat la semnal treaptă unitară pentru diferite valori

ale parametrului Kp Pentru un sistem (obiect reglat) de ordinul 2 se consideră funcţia de transfer:

bsasKWO

+⋅+= 2 (13.21)

pentru care, pe principiul anterior (vezi relaţia 13.13), se obţine funcţia de transfer a sistemului reglat:

)()()()(

P

PKKbsas

KKsXsYsW

⋅++⋅+

⋅== 2 (13.22)

şi pentru care pulsaţia şi respectiv coeficientul de amortizare au valorile:



11

P

Pn

KKba

KKb

⋅+⋅=ξ

⋅+=ω

2 (13.23)

Din relaţia 13.23, se observǎ influenţa controlerului asupra pulsaţiei proprii şi respectiv asupra coeficientului de amortizare. Evoluţia în timp a erorii se determinǎ conform relaţiei (13.19):

PPst KKbb

sKKbsasbsasst

⋅+=⋅

⋅++⋅+

+⋅+⋅=ε

→∞→

12

2

0limlim )( (13.24)

Se considerǎ acum cazul sistemului de ordinul 2 de forma particularǎ:

( )1+=

TssKWO (13.25)

pentru care relaţia anterioarǎ (13.24) conduce la:

011

1

00=⋅

++⋅⋅−++⋅

⋅=⋅=ε→→∞→ sTssKK

KKTssKKssEstP

PP

sst )()()()( limlimlim

(13.26) Acest rezultat se obţine pentru sistemele cu un pol în zero (numitorul conţine factorul s). Exemplu Sistemul supus problemei de control este format dintr-o masă inerţială “m” aflată sub acţiunea forţei “F” şi sub acţiunea unor legături elastice şi respectiv de amortizare (fig. 13.13).

F

K

Cx

Fig. 13.13 Sistem de ordinul doi supus unei reglări de tip proporţional

Modelul matematic al sistemului este descris de ecuaţia:

FxKdtdxC

dtxdm =⋅+⋅+⋅ 2

2 (13.25)



12

Acest model permite obţinerea funcţiei de transfer a sistemului de forma:

KsCsmsFsX

+⋅+⋅= 2

1)()(

(13.26)

Fie cazul numeric: m = 2 kg, C = 10 Ns/m, K = 25 N / m, F = 2 N Răspunsul sistemului funcţionând în circuit deschis la semnal treaptă unitară este prezentat în fig. 13.14, pe baza unei simulări în mediul Matlab (fişierul contr_1.m).

Contr_1.m num=1; den=[2 10 25]; step (num, den)

Fig. 13.14 Răspunsul sistemului de ordinul doi analizat în circuit deschis la semnal

treaptă unitară Analiza răspunsului evidenţiază o amplificare 1/25, existenţa unei supracreşteri şi atingerea valorii de regim staţionar după un timp de 2 s s.a.m.d. Se urmăreşte proiectarea unui controler proporţional care să amerioleze performanţele sistemului. Funcţia de transfer a sistemului reglat (conform celor specificate anterior) este:

P

PKKsCsm

KsFsX

++⋅+⋅= 2)(

)( (13.27)

contr_2.m

KP=200; num=KP; den=[2 10 25+KP]; t=0:0.01:2.5; step (num, den, t)

Fig. 13.15 Răspunsul sistemului de ordinul doi analizat în circuit închis, cu regulator

proporţional, la semnal treaptă unitară, pentru parametrul Kp=200



13

Analiza răspunsului sistemului în circuit închis confirmă influenţele calitative datorate controlerului proporţional (tab. 13.1): timpul de creştere scade dar creşte suprareglarea. Pentru un KP = 1000 se obţine răspunsul din fig. 13.16.

Fig. 13.16 Răspunsul sistemului de ordinul doi analizat în circuit închis cu regulator

proporţional, la semnal treaptă unitară, pentru parametrul Kp=1000 Fişierul - m de rezolvare a simulării poate fi creat în jurul funcţiei Matlab denumite cloop, care permite obţinerea funcţiei de transfer pentru sistemul în circuit închis pornind de la funcţia sistemului în circuit deschis (fig. 13.17).

Fig. 13.17 Simularea sistemului închis în Matlab, prin funcţia cloop

Exemplu Fie procesul de reglat prin controler proporţional cu funcţia de transfer (13.28). Rǎspunsurile sistemului reglat pentru KP: 0.01, 0.1, 1 sunt redate în fig. 13.18.

ssWO

+= 22

10 (13.28)



14

a) b)

c)

Fig. 13.18 Răspunsul sistemului de ordinul doi (13.28) analizat în circuit închis cu regulator proporţional la semnal treaptă unitară pentru parametrul Kp de diferite valori

În acelaşi mod se analizeazǎ variantele de controlere PI, PD, PID. Controlerul PID Consideraţii teoretice Aplicând transformata Laplace, ecuaţia de rǎspuns (13.7) a controlerului PID devine:

)()()()( ssEKsEs

KsEKsU DI

P ⋅+⋅+⋅= (13.29)

sau:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅= D

IP

P

D

P

IP sT

sTKs

KK

sKKK

sEsU 111

)()(

(13.30)

Schematic, controlerul PID este prezentat în fig. 13.19.



15

KP

U(s) E(s)Σ

1

IsT1

DsT

+

++

Fig. 13.19 Schema bloc a controlerului de tip PID

Proiectarea – determinarea valorilor parametrilor controlerului PID – presupune o optimizare pe diverse criterii de performanţǎ:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ε∫

0

0

2t

dtmin - integrala erorilor pǎtratice (13.31)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ε∫

0

0

tdtmin - integrala erorilor absolute (13.32)

O alternativǎ de proiectare este considerarea condiţiei de existenţǎ a unui raport B/A=0.25 între primele douǎ valori extreme ale semnalului de rǎspuns al sistemului reglat (fig.13.20).

Fig. 13.20 Răspunsul sistemului reglat incluzând un controler de tip PID

Determinarea parametrilor corespunzǎtori controlerului PID este în general un proces complex. Metoda Ziegler – Nicholls considerǎ urmǎtoarea procedurǎ pentru ajustarea parametrilor:

1. minimizarea acţiunilor I şi D; 2. determinarea valoriii KP pentru care existǎ un rǎspuns oscilator constant; 3. se considerǎ valoarea amplificǎrii pentru acest caz KU; 4. se noteazǎ perioada de oscilaţie completǎ TU; 5. se determinǎ valorile parametrilor pe baza relaţiilor din tab.13.3.

Concluzii


16

Tabelul 13.3 P PI PID

KP 0.5*KU 0.45* KU 0.6*KU TI TU /1.2 TU / 2 TD TU / 8

O metodǎ de real ajutor este simularea funcţionǎrii sistemului. Exemplu Sǎ reconsiderǎm sistemul format din element în mişcare de translaţie (fig. 13.13). Funcţia de transfer a sistemului cu utilizarea unui controler PID este în acest caz definită de ecuaţia:

( ) ( ) IPD

IPDKsKKsKCsm

KsKsKsFsX

+⋅++⋅++⋅

++⋅= 23

2

)()(

(13.33)

iar rezultatul simulării este prezentat în fig. 13.21. Se constată că cerinţele de pornire referitoare la parametrii impuşi au fost atinse, răspunsul sistemului apropiindu-se de un semnal treaptă.

Contr_5.m KP=300; KI = 200; KD=100; num=[KD KP KI]; den=[2 10+KD 25+KP KI]; t=0:0.01:2.5; step (num, den, t)

Fig. 13.21

Concluzii Ca o concluzie finalǎ se prezintǎ rǎspunsul calitativ al unui sistem funcţie de tipul regulatorului folosit.

Fǎrǎ control

P

Rǎs

puns

PI PI

Timp

Fig. 10.22 Rǎspunsul calitativ al unui sistem în funcţie de tipul controlerului folosit

teoria sistemelor automate13 13 - upt · În tab. 13.2 se prezintă modalităţi de realizare a...

Documents