teoria reactorului nuclear

8/7/2019 Teoria Reactorului Nuclear

1/166

1

Ecuaia de continuitate

Ecuaia de continuitateAceastecuaie reprezint forma generalaecuaiei deconservareanumrului deneutroni

din unitatea de volum a mediului n care se afl neutroni termici. n mediul respectivconsiderm un domeniuspaialD, ncare la momentul tseaflunnumr deneutroni dat deexpresia:

( )

( , )D

n r tr r .

Dacstareasistemuluiestenestaionar, acestnumrse modific ntimp, din Dputnds disparneutroniprinabsorbie iscurgeri, darpots iaparneutroni dac n domeniul Dseaflsurse, acrorintensitate (ntr-uncaz general) esteS( ),trT ?n1/ cm3sA

Expresia:A(t) =

( )

( , )aD

r t V7 * Hv

reprezintnumrul de neutroni care dispar n unitatea de timp prin absorbie .

L(t)=( ) ( )

( , ) div ( , )

S D

J r t n A J r t V H ! H v vv v v

reprezintnumrul neutronilor care dispar prin scurgeri pe frontier.

D(t) = A(t) + L(t)

reprezintrata dispariiei neutronilor din D.

P(t)( )

( , )D

S r t V ! Hr

reprezintrata producerii neutronilor n domeniul D de ctre surse .Viteza de variaie n timp a numrului de neutroni n Deste dat deexpresia:

( )

( , )D

n r t V t

xH

x r = P(t) D(t)

sau:

( ) ( )

( ) ( )

( , ) ( , )

( , ) div ( , )

D D

a

D D

n r t

S r t

t

r t

J r t

xH H

x

* H H

r r

rr r

ObservaieDomeniulDa fostalesarbitrar, motiv pentrucareputem scrie o form localechivalent

pentruecuaia de maisus: ( , )

( , ) ( , ) div ( , )an r t

S r t r t J r t t

x!

* x

r vr r r

aceasta fiind ecuaia de continuitate cu dou funcii necunoscute ( , )r t* r i ( , )J r tr r

. ntre acestedou funcii a fost stabilit o relaie de legtur cunoscut sub numele de legea lui Fick,urmrindu-seaproximaiileteoriei difuziei.


2/166

2

Legea lui Fick

Legea lui FickAproximaiileteoriei difuzieise referla mediul ncare difuzeazneutroni ila fluxul de

neutroni, isunturmtoarele: a) mediulesteinfinit; b) mediuleste omogen iizotrop; c) n mediunuexistsurse deneutroni;d) mprtierea elastic a neutronilor este izotrop n sistemul de referin al

laboratorului;e) fluxulneutronilor variazlent nspaiu (n raportcucoordonatele);f) fluxulneutronilortermicinu depinde detimp. Unele dintre aceste restriciipot fieliminate n funcie de rezultatele lacare se ajunge.

Stabilim expresia densitii curentului de neutroni (0)Jr

n originea sistemului de coordonateprin determinareaseparataproieciilorsale (0), (0), (0)x y zJ J J .

(0) (0) (0) (0) (0)z z z z zJ J J J J ! !

Reprezentareaelementului de volum din reactorutilizatpentru deducerealegiilui Fick.

(0)z zJ A ( reprezintnumrul deneutronicaretraverseaz nunitatea detimparia Az,deplasndu-se de sus n jos. Deoarece conform ipotezei (c), n mediu nu exist surse de

neutroni, neutronii care trec prin A

z, provin numai din mprtierile elastice care au loc nsemiplanulz > 0Expresia: ( , )s r t 7 * H

r reprezint numrul neutronilor mprtiai n unitatea de timp,nV, iar dintre acetia nu pot traversa Az dect cei care au viteza orientat n interiorulunghiuluisolid subcarese vede din rr, aria Az.

Deoarece mprtierea neutronilor este presupus izotrop n sistemul de referin allaboratorului, fraciunea dinnumrulneutronilor mprtiai n Vcareau viteza orientatctre

Az va fi rezultatulponderriicu4

H;

T,unde

2

coszA

r

( UH; ! .

HV

N

H

z

(Az

x

rT

U


3/166

3

2

cos( )

4z

s

Ar

r

( U7 * H

T

r

reprezintnumrul neutronilor mprtiai nunitatea de timpcare dup mprtiere au vitezaorientatctre Az.Acetineutronipot ficonsideraica fcnd parte dintr -un fasciculparaleli din care reuesc s treac prin Az numai cei care nu sufer interaciuni pe drumul culungimear.

t re7 esteprobabilitatea ca neutronul s parcurg distana r, fr a suferi interaciuni .

2

cos( )

4

t rz

sr e

r

7 (% U7 * H

T

v reprezintnumrul neutronilor care trec prin (Az

nunitatea de

timp din Z > 0, nsemispaiulZ< 0, nurma mprtierilor nZ> 0 .Putem scriec:

20

cos( ) ( )

4t rz

z z s

z

J r A r

er

7

"

(% U( ! 7 * H

T

v v

Relaia de maisus, dupsimplificarecu Az vaavea forma:

20

cos( ) ( )

4 4

t rs

z

z

eJ r r V

r

7

"

7 U ! * H

v v

Integrala referitoarelaz > 0 se rezolvuor ncoordonatepolare, unde: x = rsinUcosNy = rsinUsinNz = rcosU

iar V=r2sinUdrdUdN, pentrur?0,gA;N?0,2TA;U?,TA;Deci:

2 / 2

0 0 0

( ) sin cos d d d4

t rszJ r e r

T T g7

7! * U U N U

T v

Pentru rezolvare, apelm la restricia (e) i anume, aceea c fluxul de neutroni are ovariaielent, ceeaceneconducela o dezvol tare Taylora funciei ( )r* r njurul originii:

0 00

( ) (0) ...r

x y z

x* x* x** ! *

x x x

v

(termeni de ordinsuperiorcareseneglijeaz naceast faz)

Termenii:0x

x*x

i0y

x*x

se pondereaz cu x=rsinUcosN i y = rsinUsinN, care, dup

substituire nintegralneconduclaintegralepe ?0,2A din funciilesinNicosNcare dauun

rezultatnul. Rmne decinumai0z

x*

x, caresepondereazcuz = rcosU.

Astfel, vom avea:2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

(0)(0) d sin cos d d

4

d sin cos d d4

s

s

rsz

rs

J e r

e rz

T T g7

T T g 7

7 * ! N U U U

T

7 x* N U U U

T x

unde:


4/166

4

2

0

/ 2

0

0

/ 22

0

`0

d 2

1sin cos d

2

1d

1sin cos d

31

d

t

t

r

t

r

t

e r

e r

T

T

g7

T

g7

N ! T

U U U !

!7

U U U !

! 7

Dinaceast relaie rezultc:

20

(0)(0)

4 6s s

zt

Jz

7 * 7 x*!

T x7

PentruJz+ > 0 calcululse facecu deosebireac U?TTA ic:

/ 2

1sin cos d

2

T

T

U U U ! i 2/ 2

1sin cos d

3

T

T

U U U !

Deci:2

0

(0) (0)4 6

s sz

t t

J 7 7

! * 7 7

Vom avea:

2 20

(0) (0) (0) (0)4

(0)36 4 6

sz z z

t

s s s s

tt t t

J J J

z z z

7

! ! * 7

7 7 7 7x* x* x* * !

x x 7 x7 7 7

Pentrucelelalteproieciiseprocedeazidentic:

0(0) 3s

xt

J x

7 x*

! 7 x ; 0(0) 3s

yt

J y

7 x*

! 7 x Dacsecunoscproieciile, densitatea decurent n origineeste:

20 00

(0) s

t

J i j k x y z

7 x* x* x*! x x x7

r vr v

dar:

0 00

i j kx y z

x* x* x*

x x x

vv v

este gradientul fluxului deneutroni n origine. Deci:

2 0(0) gr ad ( )s

rt

J r!

7! *7

vr v

Senoteazcu:

23s

t

7

!7

coeficientul de difuzie?cmA i obinem o nou formalui ( )J rr r

:( ) gr ad ( ) ( )J r

r

r! * ! *r r r r

( ) gr ad ( )J r D r ! *r r r


5/166

5

Expresiasenumetelegea lui Fickiexprim faptulc densitatea decurent ntr -unpunctare orientare opus fluxului deneutroni nacelpunct (sau densitateacurentului deneutroniareorientarea dupcare descreterea fluxului deneutroniestecea mai rapid) .

Variaia fluxului iacurentului de neutronidup direcia axeiOx.

Utiliznd figura de maisusputem scriec:0

(0)xJ

x

x*!

xi deoarece: (x) este monoton

descresctor ,0

d 0dx* ; rezultcJx(0) > 0, respectiv c densitatea decurent (0)Jr are orientarea

axeiOx.Explicaia acestui rezultat o constituie faptul c mprtierile neutronilor n stnga

originii, unde fluxul neutronilor este mai mare, sunt mai frecvente dect n dreapta originii,unde fluxuleste mai mic. Deciprinunitatea dearieaplanului deecuaie x = 0, trec nunitateade timp mai muli neutroni de la stnga la dreapta dect de la dreapta la stnga, ceea ce neconducelainegalitatea:

(0) (0)x xJ J " i deci:

(0) (0) (0)x x xJ J J !

Analiza aproximaiilor teoriei difuziei

Analiza aproximaiilor teoriei difuzieiLegea lui Fick stabilete relaia de legtur dintre densitatea curentului de neutroni i

fluxulneutronilortermici ntr-unpunct:( ) gr ad ( )J r D r ! *

r r r

unde:23

s

t

7!

7estecoeficientul de difuzieal mediului ?cmA.

Aceast relaiea fost deduspebazaaproximaiilorteoriei difuzieienunate nparagrafulanterior.

Pentru determinarea densitii pariale a curentului de neutroni s -a pornit, pe bazaaproximaiilorteoriei difuziei, dela relaia:

( )

1( )

4t r

z s

z

J V r eA

7

H

! H 7 * ( T

v

sau:

)(x*

)0(JT

Ox


6/166

6

2 / 2

0 0 0

02

0

d d d ( ) sin cos4

4 6

t rsz

s

t

J r r e

z

T T g7

7 N U * U U !

T

* 7 x*!

x7

v

unde:2

cosA

r

( UH; ! este unghiul solid elementar sub care se vede suprafaa cu aria (% din

centrulelementului de volum HV.

Dac vom examina restriciileimpuse vom constatac:1r Expresia integral a densitii pariale a curentului de neutroni, zJ , conine factorulexponenial /t tr re e7 P! , undePtesteparcursul mediualneutronilor, raportat laambeleproceseposibile (mprtierea i absorbia), iar funcia exponenial, prin natura ei, prezint o variaierapid n raportcu distana r.

Dac, de exemplu, r= 3 Ptavem: 3 31

ee

! ~ 0,05 i decicontribuia n Jza neutronilor

mprtiai la distane de cteva ori mai mari dect drumul liber mediu Pt, poate fi neglijat,rezultnd faptulcipoteza mediului gextinsnuesteesenial (decisepoateexclude).

2rConsiderm mediul neomogen, ceea ce presupune c s este dependent de

coordonate, darconsiderm fluxul deneutroniuniform.

Legea lui Fickpoate fi scrislundn considerarenumai dependena decoordonata x:

d( ) ( )

dxJ x i J x

ix

*! !

r r r

Deaici rezultc:d

( ) 0d

xJ x

x

*! !

fluxul deneutroni fiind consideratuniform.Rezultatulpares fiecontrazis de realitatea fizic, darpentruc:

0 0( ) ( )s sx xx x "7 " 7

rezultc rata mprtierilorS (x)(x) este mai marelax < 0, dectlax > 0.Considernd planul deecuaie x = 0 (normalpe Ox n origine), prinunitatea deariea

acestuiplan, pars treac mai mulineutroni, nunitatea de timp, de lastnga la dreapta, dectinversJx(0) >0. Dar, deilastngaplanului mprtierilesunt mai frecvente, la deplasareactre

acest plan i atenuarea determinat de factorul ex ponenial este mare datorit seciuniimicroscopice de mprtiere mai mari. Efectele se compenseaz i Jx(0) = 0, conform legii luiFick, motiv pentru care aceast lege poate fi aplicat i este adevrat i pentru un mediuneomogen.

3r Cnd s-a calculat zJ s-a presupus c neutronii care trec prin unitatea de arie asuprafeei plane, normal pe Oz, situat n origine, provinexclusiv din mprtieri elastice nsemispaiulz > 0. Dac n mediuexistsurse deneutroni, contribuialor n zJ poate fiignoratdacacesteaseafl fa de 0 la o distan decteva ori mai mare dect drumulliber mediual

Variaia fluxului deneutroni dupdireciaaxeiOx.

Variaiaseciunii microscopice demprtieri dup direciaaxeiOx.

S (x) *x

00 x x


7/166

7

neutronilor. Sepoateconcluziona faptulc n mediupot exista surse de neutroni termici, darlegealui Ficknutrebuies fiescris n imediatalor vecintate.

4r mprtierea elastic a neutronilor poate fi descris cu ajutorul mecanicii clasice(conservarea energiei i a impulsului, nucleele int fiind considerate n repaus). Vitezelenucleelorintsunt determinate de micareaterm icaatomilor mediului i de maseleatomicealeacestora (la20rC energiacineticaatomilor mediuluieste de ordinulzecimilor deeV), darlaechilibru, mediul fiind consideratslababsorbant, energia medieaneutroniloreste deacelaiordin de mrime, iar mprtiereaneutronilor nSL nacestecondiiiesteaproximativ izotrop,

numai dacare locpe nuclee de mas mare ( 2cos3L

L A! Q !% % ). Considernd teoria transportului

neutronilor, constatm clegealui Fickrmne valabil i dac Anueste mare, dartrebuieavutn vederepentrucoeficientul de difuzie o valoare modificatnumit corecie de transport.

1

3 3tr

tr

P! !

7

unde: tr tr L s7 ! 7 Q 7 ,

tr fiind seciunea macroscopic detransport, decinu maieste valabil relaia 23a

t

7!

7.

5r Faptulc fluxul deneutroni variazlent, a fostluat nconsiderarela descompunereanserie Taylor:

0 0 0

( ) (0) ...r x y zx y zy

x* x* x** ! *

x xr

(termeni de ordinsuperior) ai dezvoltrii: 2 2 2 2 2 2

2 2 2

0 0 0

,2! 2! 2!

x y x

x y x

x * x * x *

x x x

ObservaieDacs-ar reinetermenii de ordinul doi, acetiaaucontribuiiegale n zJ i zJ naa

fel nctcontribuialor nexpresia: (0) (0) (0)z z zJ J J ! estenul.

Termenii de ordinul trei nu se mai compenseaz, dar contribuiile lor suntnesemnificative dac derivatele de ordinul doi ale fluxului de neutroni au variaiinesemnificativepe distaneegalecu o valoare mai mare decteva ori dect drumulliber mediu,deci legea lui Fick poate fi aplicat i dac variaia fluxului de neutroni n raport cucoordonatele este lent, deoarece acesta prezint variaii rapide (gradient mare) numai nvecintatea materialelor puternic absorbante. Din acest motiv legea lui Fick se aplic numaidac:A


8/166

8

fluxulneutronilortrebuie s fieanalizat la momentul t(r/v), deci vom avea funcia ( , / )r t r v* r .Verificm dacestecazulunei asemeneacorecii, presupunnd fluxulneutroni lor de forma:

( )(), rtr TT *! exp (t/T)deci o variaieexponeniala fluxului deneutroni ntimpcuconstanta T.

Variaia fluxului deneutroni n funcie de

timp.

Pentru orice regimtranzitoriu se poateconsidera c dupuntimpegal cu 3T regimultranzitoriu se anuleaz iarmrimea analizatcapt valoarea regimuluipermanent.

Examinareatriunghiului din figurneconducela determinareaconstantei T:0

0

( )

t

r

T t!

* x*!

x

r

rezultc:0

0

( )

t

rT

t !

*!

x*x

r

Sepoateconsiderac variaia ntimpa fluxului deneutro niestelent dacconstanta detimpeste decteva ori mai mare dect:

1t

tv v

P!

7

i dacadmitem3

t

v" 7 atunci:

0

( ) 3

t

r

v

t

*"

x* 7x

rsau 1

( ) 3 t

v

r t

x*

* x Pr

acesteconsideraii fiind fcute, neutroniitermiciau viteza medie v}2,4105cm/sDeci:

5

0 0

1 10

( ) ttr t !

x*

* x Pr

unde: Pt?cmA, relaiecaretrebuies fieadevrat n orice moment.Astfel vom avea:51 10

tt

x*

* x P

care este condiia ca fluxul de neutroni s prezinte o variaie lent, aceast condiie fiindntotdeauna satisfcut avnd n vedere procesele care au loc n zona activ a unui rectornucleartermic, decilegea lui Fickeste valabil ipentrustrinestaionarepentrucaresepoatescriec:

( , ) ( ) gr ad ( , )J r t D r r t ! *r r r r

),( trT

*

)(0 rT

*

0 1T 2T 3T


9/166

9

Considernd stareastaionarputem scriec:

0 0

( ) ( , )d ( , )d ( )T Tr v n r E E v n r v v n r g g

* ! ! ! R r r r r

%

unde0

( ) ( , )dn r n r E E g

! r r , reprezint densitateaneutronilortermici ?0n

1/cm3A, iar v%este viteza medie

latemperaturaT, exprimat n funcie de vitezacea maiprobabil, laaceeaitemperatur:2

T TvR !

T

% ,

unde2

T

kTv

!

pentruT0= 293 K, iar0

02

2 300 m/skT

v

! $ , 00

T

Tv v

T!

pentrutemperaturaTiT0 rezultnd c:0

0

2T

v Tv

T

!

T% ,

iar0 0

0

2( )t

Tv n r

T* ! ! *

T

r

unde 0 = v0 n(Tr,t) este fluxulneutronilor.

Deci 00

2T

T

T* ! *

Teste fluxul neutronilor termici (se renun la indicele T pentru

simplificareascrierii) .n ceea ce privete seciunea microscopic medie a neutronilor termici, considernd

interaciunea deabsorbie, deexemplu, rezultc:

0

0 ( )2

a a a

Tg T

T

TW ! W %

unde0

0( )a a

v vv

!

! ! ! esteseciunea microscopicla v0= 2200 m/s, iarga(T) este factorul Westctt

alseciunii deabsorbie, egalcuunitatea dacseciunea microscopic respectlegea 1/ v.Expresia a a T a T R N! 7 * ! " *% % ?interaciuni/cm

3sA reprezint rata specific de absorbie aneutronilortermici.

Pentrusimplificarenotm:Ra = a* = a*( rT,t), dac mrimilesunt dependente de

timp icoordonate.

Ecuaia difuziei neutronilor monocinetici

Ecuaia difuziei neutronilor monocineticiEcuaia difuzieise deduce dinecuaia decontinuitate:

1 ( , )( , ) ( ) ( , ) div ( , )a

r tS r t r r t J r t

v t

x*! 7 *

x

r rr r r r

lacareseasociazlegealui Fick:( , ) ( ) gr ad ( , )J r t

#

r r t! *r r r r

Prin nlocuirese obineecuaianestaionara difuziei:


10/166

10

? A1 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) div ( ) grad ( , )ar t

S r t r r t D r r t v t

x*! 7 * *

x

rr r r r r

Pentrustareastaionarecuaiaareurmtoarea form: div ( ) grad ( ) ( ) ( ) ( )aD r r r r S r * 7 * !

r r r r r Dac mrimile de materialnu depind decoordonate, ecuaia devine:

2 ( ) ( ) ( ) ( )aD r r r S r * 7 * !r r r r

unde:2 = ( = div (grad) este operatorulluiLaplace.

Introducere

IntroducereAnaliza difuziei neutronilor termici n medii nemultiplicative, unde neutronii sunt

generai de surse autonome concentrate sau repartizate, se poate extinde la cazul mediilormultiplicative de neutroni unde sursa neutronilor este reacia de fisiune. Mediul respectiv vaconine deci, combustibil nuclear, iar aproximaia difuziei neutronilor monocinetici considerc din fisiuni rezult directneutronitermici ievident monocinetici.

n realitate n reactor fisiunilesuntprovocate deneutronitermici, rezultatul fiind apariianeutronilor rapizi cu energia cuprins ntre sute de KeV i $10 MeV, ( fE% pentru neutroni

aproximativ egal cu 1,98 MeV). Neutronii rapizi pot provoca fisiuni n materialele fertile

(9

2U

238

), daraceast reacie de fisiuneanucleelor de9

2U

238

este o reacie deprag, carenecesito energie deprag aproximativ egalcu 1,2 MeV. n reactor, pelng materialulcombustibil, s e regsete nproporie foarte mare material

moderator, care are rolul de a micora energia neutronilor rapizi prin mprtieri repetate(elastice la orice energie i inelastice la energii mari), astfel nct s ajung la un echilibrutermiccunucleelesale.

ntre energia de fisiune i cea de echilibru termic, neutronii traverseaz domeniulenergiilor de rezonancunucleele de 92U

238 (6 eV 220 eV), domeniu ncarepot fiabsorbii,fra maiputea devenineutronitermici.

Pe de o parteesteafectatbilanulneutronic, iarpe dealtpartenucleele de 92U238 devin

instabile, transformndu-se n 94Pu239, care este fisil. n procesul ncetinirii, la traversareadomeniului de rezonannusuntabsorbii mai mult de 12 15% dintotalulneutronilorapruilafisiune. ncursulprocesului de ncetinire, neutroniipot dispare din reactorprinabsorbie naltemateriale destructursauprinscurgeri nafara reactorului, dacacestaesteconsideratca fiindamplasat n vid (sauaer).

La finalul procesului de ncetinire are loc un proces de difuzie a neutronilor termici,acetia fiind n cele din urm absorbii n combustibil, sau moderator, sau sunt pierdui dinreactorprinscurgeri, caneutronitermici.

Reactorultermic omogen n aproximaia difuziei


11/166

11

O parte din neutronii absorbii n combustibil, induc fisiuni, din care apare o altgeneraie deneutroni rapizi, careparcurg acelai drum.

Asemntoaresunt fenomenele ila reactoarele rapide, undetrebuies fieprentmpinatprocesul de ncetinire, fisiunile fiind induse de neutroni rapizi; motiv pentru care nu suntadmise n structura reactorului materiale cu numr de mas mic, agentul termic fiind unmaterialcunumr de mas mare (de obicei, metaltopit). Totui n reactoarele rapidearelocunproces de ncetinire a neutronilor prin mprtiere pe nuc leele de oxigen din UO2, sau prin

mprtieriinelasticepenuclee de Na. Proceselecareauloc nzonaactiva reactorului depinddeenergianeutronilor, darse obin rezultatebunechiar dacseutilizeaz modelulneutronilormonocinetici (termici).

Sursa neutronilor n reactorul termic

Sursa neutronilor n reactorul termic

Admitem n reactorul termic, faptulcprincipaleleprocese, difuzia iabsorbia (cusaufr fisiune), seproduccuneutronitermici.

Notm cu 7f* rata fisiunilor n reactorul termic. Se consider c fiecare fisiunegenereazunnumr mediu R deneutroni:

( , ) ( , )f fS r t r t ! R7 *r r undeSf(r,t) estesursa de fisiuneconsiderndu-sec din fisiune rezult directneutronitermici.

Ecuaianestaionara difuziei, atuncicnd nuavem surseautonome deneutr oni va fi:

1 ( , ) ( , ) ( , )f aS r t r t D r t v t

x*! 7 * *

x

r r r

Ecuaia admite soluie unic dac prevedem o condiie iniial i condiii de frontier(omogenesauneomogene).

Regimul tranzitoriu al reactorului termic sub form de plac

Regimul tranzitoriu al reactorului termic sub form de plac

Considerm reactorultermic omogensub formauneiplci de grosime a (careinclude idistanele de extrapolare) fiind caracterizat de constantele de material 7f, 7a i 7tr.Analizmnumaiporiunea dinacest reactor, considerat infinitextins pe direciial espaiuluiparalelecufeteleplcii, acest model fiind cel maiindicatpentruintroducereaunorconcepte debaz.

Ecuaianestaionara difuzieineutronilortermici n reactoreste:21 ( , ) ( , ) ( , )f ax t x t D x t

v t

x*! R7 * 7 * *

x

considerndu-se reactorul omogen, iar fluxulneutronilor o func ie decoordonatax i detimp.


12/166

12

Reactorul termicreprezentat sub form de

plac.

Condiia de frontiereste:

, 02

at

* s !

iarcondiiainiial:0

0( , ) ( ,0) ( )

tx t x x

!* ! * ! *

Rezolvm ecuaiaprin metodaseparrii variabilelor, aplicat fluxului deneutroni:

*(x,t) = *(x)T(t)Prin nlocuire necuaia difuziei i mprirecu *(x,t), se obine:

2

2

1 d d ( )( )

( ) d ( ) df a

T v xD x

T t t x x

*! R7 7 *

*

Partea stng fiind o funcie de timp, iar partea dreapt o funcie de coordonate,egalitateanupoateavealoc dect dac fiecarepartese reducela o constant, motiv pentrucarescriem c:

1 d

( ) d

T

T t t! P

i

2

2

d ( )( )

( ) df a

v xD x

x x

* R7 7 * ! P

*

parametrulPesteconsideratpozitiv, avnd dimensiuneas 1.A douaecuaiesepoatescriesub forma:

2

2

d ( )( ) ( )

df a

xD x x

vx

* P R7 7 * ! *

sau:2

2

d ( )( ) 0

df a

xD x

vx

* P R7 7 * !

cucondiia de frontier omogen: 2

( ) 0axs* !

Subaceast formecuaiaseamncuecuaiacu valoriproprii:2

2

2

d( ) 0

d

nn nB x

x

* * ! , nN*

condiia de frontier omogen fiind aceeai. Considernd c fluxul iniialestesimetric ( *0(x)estepar), sepresupunec fluxul deneutroni rmnesimetricla orice moment, deci *(x,t) este

a/2 a/20

x


13/166

13

o funcie par de x, ca i componenta spaial *(x), pentru care cutm o expresie de formauneiserii de funcii:

( ) ( )n nn

x A x* ! *

unde*n(x) sunt funciipropriicaresatisfacecuaiacu valoriproprii:2

2

2

d( ) 0

d

nn nB x

x

* * !

Funciilepropriicucondiii de frontier omogenesunt:

*n(x) = cosBn(x)cu n

nB

a

T! n = 1,3,5,...

nlocuind funcia*(x) necuaia:2

2

d ( )( ) 0

df a

xD x

vx

* P R7 7 * !

iinnd cont deecuaiacu valoriproprii, obinem:

2 ( ) ( ) 0n n n f a n nn n

D B A x A xv

P * R7 7 * !

ilund nconsiderare faptulc funciilepropriisunt ortogonale, rezult:2

2 2

2

( )d 0

a

n f a n nn a

DB A x xv

P R7 7 * !

deundepresupunnd An{ 0 rezult:2 0n f aDB

v

P R7 7 !

sau:2 ( ) 0n n f av DB P ! R7 7 ! , n = 1,3,5,...

Armoniciletemporaleale fluxului deneutronise determin dinecuaia: d1( ) d

nn

n

T

T t t! P

fiind de forma:( ) ntnT t e

P! n regimultranzitoriu, armonica de ordinul na fluxului deneutronieste:

*n(x,t) = An *n(x) n(t) , n = 1,3,5, ...deci:

( , ) ( , ) ( ) ntn n nn n

x t x t A x eP* ! * ! * , tu 0

innd cont de rezultatele obinutelacap itolullegat de valori i funciiproprii, observmc, expresiacoeficienilor dezvoltriieste de forma:

2

0

2

2( ) cos d

a

n na

A x B x xa

! *

%

%%

Se cunoate acum evoluia ecuaiei difuziei n regim tranzitoriu, dar constantele dedescreterePnale funciilorexponenialenuau fostprecizate.


14/166

14

ValorilePnse ordoneazcresctor, nipotezacsuntpozitive: P1 < P3 < ... < Pn 0

Variaia fluxului deneutronila momentul

t=0ilauntimp n domeniulasimptotic.

n figur esteredat grafic dependenaspaial a fluxului deneutroni la momentult=0 i la un timp dindomeniulasimptotic. Valoareapropice P1poate fipus isub forma:

21 1

f avD B

D

R7 7 P !

n parantez apare diferena a dou mrimi i anume B12

= (nT/a)

2

care depinde degrosimea (geometria) reactorului i Bm2= (R7f7a)/Dcare depinde decompoziia reactorului

(notaias-a fcut dinconsiderente desimetriea valoriiproprii P1cucondiiaca (R7f7a)/D > 0.

Deci:P1 = vD?B1

2Bm2A

Evoluia n timp a modului fundamental al fluxului de neutroni este dependent desemnul valoriipropriiP1 iputem aveaurmtoarelecazuri:

a) B12

> Bm2,situaie ncareP1estepozitiv, iar modul fundamental

1

1 1 1( , ) costx t A e B xP* !

se vaanula ntimp, astfelc dela val oarea*0(x) iniial vaajunge nstarea de flux deneutroninul, astfelc reactorul va deveni subcritic.

b) B12 = Bm

2, situaie ncareP1 = 0, iar n domeniulasimptoticaltimpuluisestabilete nreactor o starestaionarcaracterizat deun flux de neutroni de forma:

*1(x,t)tp? = A1cos(B1x)care vapersista ntimp, reactorul fiind critic.

x

a/2 a/2

*0(x,t)

*0(x)

0


15/166

15

c) B12

< Bm2, situaie n care P1 < 0, iar expresia modului fundamental al fluxului de

neutroni va fi:1

1 1 1( , ) cost

tx t A e B x

Ppg

* !

deci fluxul deneutronicreteexponenial ntimp , putnd atinge orice valoare, iar reactorulestesupracritic. MrimeaB1

2careeste funcienumai de geometria reactorului fiind valoareproprieaecuaiei:

221

1 12

d

( ) 0d B xx

*

* ! (valoareproprieeste de fapt B1

2), se maipoatescriesub forma: 2

2 11 2

1

d1

( ) dB

x x

*!

*

expresia dinpartea dreaptaecuaiei definind n geometria diferenial ,,curburaunei funcii,deci nconsecinB1

2are nelesulcurburii modului fundamentalspaialal fluxului deneutroni

avnd ca denumire n limba englez termenul de , ,buckling geometric (sau corespondent nlimba romnparametru geometric.

Mrimea:

2 f anB

DR7 7!

dependentnumai decompoziia reactorului va finumit ,, buckling de materialsauparametrude material. DeoareceB1

2depindenumai de geometria reactoruluinotm B1

2= Bg

2.

Deci, dac Bg2

> Bm2 reactorulestesubcritic.

Bg2

= Bm2 reactorulestecritic.

Bg2

< Bm2 reactorulestesupracritic.

Ecuaia

Bg2 = Bm

2

reprezintcondiia decriticitatesau ecuaia strii critice.

Regimuri nestaionare ale reactorului nuclear

Regimuri nestaionare ale reactorului nuclear

Generaliti

Dacse doreteca reacia de fisiune nlans fiestaionar, dincei Rneutroniproduila

o fisiunetrebuiecaunulsinduc o nou fisiune, iar restul R1 pot fipierduiprinabsorbiesauscurgeri. Decitrebuies realizm reactorul naa fel nctacestlucrus fieposibil, decissecreezeechilibru ntre modul deproducere icel de dispariiealneutronilor. Neutroniicareauindus fisiunileseconsidercaaparinnd unei generaii, fiind supravie uitoriiacesteia, avnd ca,,urmai neutronii de fisiune dinurmtoarea generaie.Admind cs -arputea determinanumrulneutronilor din fiecare generaiesepoate defini nacestcontext o mrimenumitfactor de multiplicare, k, drept raportul dintrenumrulneutronilor dintr-o generaie inumrulneutronilor din generaiaprecedent. Darnumrulneutronilor dintr -o generaieeste


16/166

16

proporionalcunumrulcarele-a datnatere, deci factorul de multiplicarepoate fiegal icuraportulnumrului de fisiuni dintre dou generaiiconsecutive.

Analiznd definiia factorului de multiplicare, observm cpentru k= 1, numrulneutronilorsepstreazconstant dela generaiela generaie, saucualtecuvintepopulaia deneutroni din reactorestestaionar, iar reactorulestecritic. Pentruk< 1,numrulneutronilorscade dela o generaielaalta, neutronii dispar din reactor, reacia de fisiunese oprete, iarreactorulestesubcritic. Pentruk>1,numrulneutronilorcrete dela o generaielaalta, reacia

de fisiuneseamplific, iar reactoruleste supracritic. Problemacaresepune ninginerianucleareste deaseputeastabiliconfiguraii critice.

Reactorulnucleareste o instalaiecare realizeazconversiaenergieinucleare ncldur,motiv pentrucaretrebuiesseasigure n reactor o anumit densitate deneutroni (pentruunreactor omogen} 1090n

1 / cm3). Darpentrua obine o densitate deasemenea valoare, frsurseautonometrebuiesse realizezepentruscurttimp supracriticitatea, eliminnd din reactormaterialeabsorbante deneutroni, populaia deneutroni din reactorcrete ilaatingereapopulaiei doritese reintroduc n reactor materialeleabsorbante restabilindu -sestareacritic.

Sepoateaciona i nsensinversasuprapopulaiei deneutroniprin diminuareaei,fcndu-seuntimp reactorulsubcriticpentrucaapois fie readus nstarecritic. nambelesituaii, modificnd factorul de multiplicare, se realizeazceeacesenumete controlulreactorului.

innd cont deprocesele din reactorpracticesteimposibils recunoatem neutroniiuneigeneraii is determinm numrullor. nacestcontext factorul de multiplicareal reactoruluise defineteca raportul dintre rataproduceriineutronilor P(t) i rata dispariieilor, D(t):

( )

( )

P tk

D t!

considerndu-secaceste rate depind detimpexprimndu -se n ( 0n1 / s).

nacelai mod sepoate defini i viata medie l,aneutronilor n reactor:

( )

( )

N tl

D t!

undeN(t) estenumrul deneutroni din reactorla momentul t.Relund problema modificri inumrului deneutroniprezeni n reactor (deciproblema

controlului reactorului) avnd caplecare ratele de reacie, admitem dela nceputexistentauneistristaionare iputem scrie o ecuaie deconservareanumrului deneutroni referitoarelauninterval detimp?t, t+(tA:

N(t+(t) = N(t) + P(t)(tD(t) (t

unde, dac facem intervalul detimp foarte micavem:d ( )( ) ( )

d

N tP t D t

t!

aceast expresie reprezint ecuaia de conservare a numrului de neutroni ( ecuaia decontinuitate).

O alt formaecuaiei de mai suseste:d ( ) ( )

1 ( )d ( )

N t$

tD t

t D t

!

sau:


17/166

17

d ( ) 1( )

d

N t kN t

t l

!

careesteecuaia deevoluieanumrului deneutroni.Soluiaacesteiecuaiieste de forma:

1

0( )k

tlN t N e

! N0reprezintnumrul deneutroni din reactorla momentuliniial t= 0, saualt form:

0( )t

TN t N e!

unde1

1KT

l

!

esteperioada reactorului.

Pentruapuncta nelesulacestei mrimine referim lacazul ncareaceastaestepozitiv,deci reactorulestesupracritic. Dacanalizm relaia (4.40), observm cperioada reactoruluiesteegalcutimpul dupcarenumrul deneutroni din reactor (deciputerea reactorului) cretede 2,71e } ori n raportcunumrulexistentla t= 0.

Deci0( ) t TN t e N! !

ExempluPentrucazul ncarek= 1,001 il= 104s, obinem:

4 310 10 0,1T ! ! sDupnumai o secund, populaia deneutronicaresestabilete n reactor va fi:

1

100,10 0 01

( ) 22 000t s

N t N e N e N!

! ! $ Acest rezultateste de natur s nspimnte, deoarece nacest caz reactorul s -a distrus

termic de mult. Dartrebuies observm c relaiaperioadei reactoruluia fost determinatconsidernd c

toi neutronii de fisiune apar chiar n momentul fisiunii i mai observ m c viaa medie aneutronilor de fisiuneestecu mult mai mare dacseiau nconsiderare i neutronii ntrziai.

Calculul factorului de multiplicare al reactoruluiCalculul factorului de multiplicare al reactorului

Formula celor patru factori

Sepoatestabili o relaie decalcula factorului de multiplicareaunui reactortermic,pornindu-se delaconceptul de generaie deneutroni, viaaneutronilorcareaparinuneigeneraii fiind defalcat netape.

Reactorul este conceput ca un sistem omogen care conine n amestec combustibil

nuclear, moderator, agent termic, materiale de structur i alte materiale (de exemplu, celeutilizatepentrucontrolul reactorului).

Neutroniiunei generaiipot dispareprinscurgeri din reactorsauprinabsorbie n react orcarepoate fiutil (absorbie ncombustibilurmat de fisiune) sau steril. Neutroniipot dispareprinscurgeri din reactorcaneutroni rapizi (n curs de ncetinire) saucaneutronitermici.

Relaia este valabil pentru reactorul omogen, iar n cazu l reactorului eterogen sau ncazul ncareproceseleanalizatesunt dependente deenergianeutronilor, mrimile din relaiese


18/166

18

nlocuiesc cu valorile medii corespunztoare. Aceast probabilitate se noteaz cu f i senumetefactor de utilizare termic (ncazul reactoarelortermice).

af af af

a af am

f P7 7

! ! !7 7 7

f ff

af af

P7 %

! !7 %

Bilanul de neutroni nreactor:

Pl

probabilitateacaneutronulsnu disparprinscurgeri din reactor nainte dea fiabsorbit;Paf probabilitateacondiionatc ncazul ncareneutronulesteabsorbit, absorbiasse fi

produs ncombustibil;Pfprobabilitateacondiionatc nurmaabsorbiei ncombustibilsurmeze o fisiune.

Cu ajutorul acestor probabiliti se poate scrie o expresie a factorului de multiplicare,considernd c din generaia format dinN1neutroni, rezult o generaiecu N2neutroni.

N2 = N1PlPafPfR sauN2 = N1PlfL

undeL = v Pf=f

af

7R

7factorul de regenerare.

Conform definiiei:2

1l

Nk

&

fN

! ! L

Probabilitatea Pleste foarte dificil deevaluat i facem pentru nceputipoteza reactoru luiinfinitextins, situaie ncarePl= 1 .

k fg ! L .Analiznd aceast relaie observm c factorul de multiplicareal reactoruluiinfinitextins

este determinat nprincipal decompoziia material.Deoarece Pl < 1, reactorul nu poate ajunge critic (k = 1) dect dac factorul de

multiplicare gk este supraunitar. La stabilirea relaiei pentru gk am neglijat dou aspecte ianumeaceleacneutroniiaparca neutroni rapizi i disparca neutroni termici, decipentruaajunge nsituaia dea fiabsorbii n orice mod neutroniitrebuieseviteabsorbia de rezonan


19/166

19

n nucleele materialului fertil 23892 U , acest fenomen fiind caracterizat de un factor pcare esteprobabilitatea de evitare a capturii de rezonan.

Decik f pg ! L .

Noi am considerat neutronii din generaia analizat ca fiind neutroni rapizi i o partensemnat din ei potavea o energie superioarenergiei de prag de 1,2 MeV, putnd producefisiuni n materialul 238

92 U , decichiar dinstartnumrul deneutroni din generaiepoa tecrete de

laN1 laIN1undeI reprezintfactorul de fisiune cu neutroni rapizi. numrul de fisuni produse n unitatea

d e t imp de neutron i d e orice energie

numrul de fisuni poduse

numai de neutronii termici

I !

Expresia:k f pg ! I L

reprezintformula celor 4 factori.Relaia finala factorului de multiplicarea reactoruluinuclear, casistem finit, sepoate

obine relundu-se raionamentele anterioare i observndu -se evoluia neutronilor dingeneraie, de laneutronii rapizi la neutronii termici. Constatm c IN1 neutroni de fisiune ipierd energia spre energia termic, n timpul acestui proces unii din neutroni pot evada dinreactor (prinscurgeri ntimpul ncetinirii).

Definim Pflca fiind probabilitatea deaseevitascurgerile deneutroni ntimpul ncetinirii(deciscurgericaneutroni rapizi). Considerndu -se iprobabilitatea deevitareaabsorbiei derezonan, la finalul acestui proces, n reactorse afl IN1Pfl p neutroni care ajung termici. Oparte din acetia scurg din reactor, motiv pentru care definim probabilitatea Ptl de evitare ascurgerii n procesul de difuzie, nainte ca neutronii termici s fie absorbii, deci la sfrituletape n reactor rmn IN1Ptl p Ptl neutroni. Din acetia, o fraciune f, sunt absorbii n

combustibil, iar fiecare neutron absorbit n combustibil elibereaz n medie un numr L deneutroni decinumrul deneutroni rapiziainoii gene raii va fi:

N2 = IN1Pfl pPtl fL2

1

Nk

N! ! IPtlp Ptl fL

sau:1 1f tk k

' '

g!

expresie ce reprezint formula celor 6 factori n care produsul Pf1Pt1 = Pl reprezintprobabilitateapecaream definit -o anterior.

Deci:1k k Pg!

este relaia fundamentalateoriei reactoare lornucleare.

Observaie

Dacseanalizeaz factorii din relaia k =I p fLPlundep, f, Plsuntsubunitari, observm csinguraposibilitate de realizareaunui regim criticesteca L > 1. Pot fi realizate isituaii ncare L>2. Factorul de regenerareeste dependent deenergianeutronilor i valoripeste2pot fi obinute


20/166

20

numaipentruenergiialeneutronilor mai mari de 0,1 MeV. Din Lneutroni de fisiune, unulestenecesarpentrucontinuarea reaciei n lan, rmnnd disponibili L 1 neutroni din careunularputea fi absorbit ntr-un material fertil, exemplu 23892 U . Prin dou dezintegrri radioactive

succesiveF , nurmacapturiineutronului, apare 23994 Pu careesteun material fisil.Procesulpoartnumele deconversie, producndu-se n orice reactornuclear i, deexemplu

la un reactorLWRcareconine la nceputul funcionrii 23592 U nproporie de 3 % i 23892 U nproporie de 97%, are la sfritul campaniei (circa 3 ani) unconinut de 1 % 235

92 U i 1 % 239

94Pu .A rezultat deaiciavantajul deaa vea reactoarenuclearecucombustibil239

94Pu 238

92 U cares-ipoatproducesingurecombustibilulnecesar funcionriiulterioare rezultnd reactoarele detipulfast breeder.

Procesul deconversieestecaracterizatcantitativ cuajutorul raportului deconve rsie:239

94235

92

atomi de Pu produi n unitatea de timp

atomi de U consumai n unitatea de timp!CR

La un reactor modern de tipul LWR, 0,6CR $ . Atunci cnd este supraunitar, raportul deconversiepoartnumele de raport de breeding(breeding ratio), senoteazcu BR ilaastfel dereactoare energia medie a neutroniloreste n jur de 0,1 MeV, seciunile de fisiune la astfel deenergiisunt mici i nacestecondiiipentru realizareastriicriticeestenevoie decantiti mari decombustibil, motiv pentrucarecrete costul instalaiei. Starea reactorului poate fi apreciat maibinecu o alt mrime

1k

k

V !

care este reactivitatea reactorului, care este nul pentru un reactorcritic, pozitiv la un reactorsupracritic inegativlaun reactorsubcritic.

Unitatea de msureste 1 pcm = 105 (per cent miles) sau 1$. Reactivitateapozitivestede 1 $ atuncicnd esteegalcu fraciunea Faneutronilor ntrziai, decipentru 23592 U = 0,0065

= 650 pcm. Reactivitateaexprimat n dolarisenoteaz:V$ =

V

F

Lund n considerare numai neutronii prompi de fisiune, se poate defini un factor demultiplicareal reactoruluikp = (1F) ki o reactivitateprompt

1pp

p

k

k

V ! .

Un reactorpromptcriticare 0pV ! , decikp= 1 iV = F. De fapt reactorulpromptcritic

este un reactor supracritic. Revenind la expresia factorului de multiplicare n mediu infinit

pentruun reactor omogen k fg ! L , factorul de multiplicareeste tlk f P! L undef

af

v7

L !7

i af af a af am

f7 7

! !7 7 7

.

Decif

tla

k(

R7!

7,

iarpentrustareacritic


21/166

21

1f

ta

k PR7

!7

= 1,

aceast relaie fiind echivalent cucea dedus din analiza regimului tranzitoriu al reactoruluitermic omogen detipplac Bg

2= Bm

2.

2

2

1 1f f

f a a am

a

BDD L

R7 R7

R7 7 7 7! ! !

7

2 2

2

1m g

kB B

)

g ! !

pentrucriticitatesepoatescriec:

2 21

1 g

k0

B

g !

.

Dar 1!g tl1

k deci

221

1

g

tlBL

1

! .

Dacsepornete dela definiiaprobabilitii:

rata absorbiei neutronilor n reactorrata absorbiei neutronilor + rata scurgerii lor din reactor

tlP !

sepoatecalculaaceastexpresie i nalt mod: rataabsorbiiloreste:

( ) ( )R R

a a

V V

r V r V 7 * H !7 * H r r

ratascurgeriloreste:

2

(div )

div( gr ad ( )) ( )

R R

R R

S V

V V

J n A J V

D r V D r V

H ! H !

! * H ! * H

r rr

r r

Dar:2 2( ) ( )gr B r * ! *

r r

dinecuaia difuziei. Deci:

2 ( )R R

g

S 2

J n A D B r 3 H ! * H r r r

Observaie

DB2g?cm2Aaresensulseciunii macroscopice descurgere.

2

2 2 2

( )

( ) ( )

1

1

R

R R

a

V

tl

a g

V V

a

a g g

r V

P

r V D B r V

D B4

B

7 * H

! !7 * H * H

7! !

7

r

r r

Revenind laexpresia valoriiproprii:


22/166

22

2 21 ( )g mv D B BP !

i nlocuind expresia factorului de material: 2

2

1m

kBB

5

g !

vom avea:

2 2 21 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

11

1 1 11

1 1

g g

a g a g

g

a g

k v Dv D B B

6

k6 6

kv B6

k v B6

6

B

v B6

k

gg

gg

P ! ! !

! 7 ! 7 !

! 7

Dacseconsider reactorul n staresubcritic k< 1 iP1 > 0, mrimea 1/P1 reprezintperioada reactorului.

2 21

12 2

1 1

(1 )(1 )

1 1 1

1 11

a g

at

g

Tv B L k

l Pv k kB L

g

! ! !P 7

P! !

unde:1tl P lg !

esteviaa medie a neutronilor n reactorinnd cont deabsorbii i descurgeri.

1

lT

k!

esteperioada reactorului. Fluxulneutronilor n reactorulcritic, nstarestaionar, estesoluiaecuaiei:

2 2( ) ( ) 0gr B r * * !r r

cucondiia de frontier ( ) 0exr S

r

* !rr

Ecuaia este cunoscut sub numele de ecuaia Helmholtz sau ecuaia undelor,reprezentnd nteoria reactoarelornucleare ecuaia strii critice.

Reactorul cilindric

Reactorul cilindric

La acest reactor distanele de extrapolare sunt incluse att n raze ct i n nlimeareactorului. Seconsiderunsistem decoordonatecilindricecu originea ncentrul reactorului,naa fel nct fluxulneutronilors depindnumai deco ordonata radialri deceaaxialz.


23/166

23

Reprezentarea reactoruluicilindric.

Sepoatescriec:* = *( r, z ).

Deci:2 2( , ) ( , ) 0gr z B r z * * !

cucondiiile de frontier omogene:

* = *( a, z ) = 0 i , 02

hr

* s !

.

Folosind expresialaplacianului 2

2

2

1r

r r r z

x x x ! x x x

ecuaialui Helmholtzsescrie:

22

2

1

, 0gr B r zr r r z

x x* x * * ! x x x

Seutilizeazpentru rezolvare metodaseparrii variabilelor:( , ) ( ) ( )r z R r Z z* !

Se nlocuiete necuaie ise mpartecu * (r,z), rezultnd:2 2

2

2 2

1 d 1 d 1 d0

dd dg

R R ZB

R rR r Zr z !

Sumacare conine termeni depinznd numai de rsau de z, nupoate finul dect dacrespectiviitermenisuntconstani i deoarece 02 "gB , acetitermenitrebuies fienegativi.

Notm:2 2

21 d 1 d

ddr

R R BR rR rr

!

i2

2

2

1 d

dz

ZB

Z z!

Deci:2 2 2 0r z gB B B !

sau:

O

Z

h Z

r

Q


24/166

24

2 2 2g r zB B B!

care reprezintbucklingul geometriccorespunztorcoordonatelorriz.Ecuaia:

22

2

d0

dz

ZB z

z !

aresoluie de forma: ( ) cos sinz z z zZ z A B z C B z!

Fluxul fiind funciepar dez rezultcCz = 0 i( ) cosz zZ z A B z!

Condiia de frontierimpuneca:

cos 02

zB h !

deunde:

2 2

zB h T!

deci:

zB

h

T!

deunde:2

2zB

h

T !

Deci variaiaaxiala fluxului deneutronieste dat deexpresia:

( ) coszZ z A zh

T!

Ecuaia:2

2

2

1 d 1 d

ddr

R RB

R rR rr ! 2( )r R

devine: 22 2

2

d d( ) 0

ddr

R Rr r rB R

rr !

Ecuaia este de forma: 2 2 2'' ' ( ) 0x y xy n y P ! care este o ecuaie Bessel de spea I-a iordinul 0 (n = 0) cusoluiileJ0 (x) iY0 (x).

Variaia funciilorBesselJ0(x) iY0 (x).

Cu schimbarea

de variabilx = r Brecuaia devine:2 2

'' ' ( ) 0x R xR x R x ! soluiasa fiind de forma:

0 0( ) ( ) ( )r rR x A J x C Y x! Fluxulneutronilortrebuies fie finit i observm c dac:

0 0( ) xY x p ! g atunci:Cr= 0 iR(x) = ArJ0 (x)

2,405=E0

0,894

x

J0(x)1

0 1 2 3 4

Y0(x)


25/166

25

sau:R = ArJ0 (rBr)

cucondiiile de frontierR(a) = 0, J0( rBr) = 0 deci

a.Br= 2,405 i2,405

rBa

!

sau 0rBa

E! cuE0 = 2,405 deci

22 0rB a

E

! estebucklingulgeometricasociatluir, iar:

2 22 0

gBa h

E T !

00( ) rR r A J r

a

E !

i n final fluxulneutronilor n reactorulcriticeste de forma:

0 0( , ) cosmr z

r z Ja h

* ! * E T

unde m r zA A* ! este fluxul mediu de neutroni respectiv fluxul de neutroni n centrulreactorului.Cu toate c s-ar prea ncheiat studiul strii critice vom cuta s determinm fluxul

mediu i volumul critic minim.

Fluxul mediu al neutronilor pentru un reactor cilindric

Fluxul mediualneutroniloreste definitsub forma: 1

( , )RR V

r z VV

* ! * H%

Alegem unelement de volum cu dimensiunile r, r+(ri nlimea dz, alcrui volum vafi:

dV= 2T dr dz, VR= Ta2h

20

020

2

2 2d cos d

h

am

h

h zrJ r r z

a ha h

T * E * ! TT

%

pentrucealaltintegral n raportcu rse revinela variabilax = Br ri rezult:

0 0

00 0

0 0

2 2

00

00 0

d d

( )d ( )d

a a

rJ r r r J Br r r a

axJ x x xJ x x

a

E E

E ! !

E ! ! E

dar:

xJ0(x) = ? A1d

( )d

xJ xx

deci:


26/166

26

02 2

01 1 00

00

d ( ) ( )a

r

arJ r Br r x J x J

a

EE ! ! E

E

dar:J1 (E0) $ 0,519 ,

deci:2

000

0,519( )d

a

r

arJ r r F !

E

2

20

2 0,519 2 0,275m ma

ha hT * T* ! } *

ET %

Putereatermica reactoruluicilindriceste: ( , )

R

f RfV

P r z V V! K * H !K7 * %

cuK = 3,2 1011 W/ fis / s

Reactorul cilindric cu volum critic minim

Volumul reactorului este VR = T a2h , ine intereseaz reactorulcilindric cu volumulminim din mulimea reactoarelorcu bucklingulgeometric:

2 22 0gB

a h

E T !

Trebuie s rezolvm o problem de extrem i pentru ace asta l nlocuim pe a2 dinexpresiabucklingului, nexpresia volumului:

2 2 22 220

2

gg

B hB

a h h

TE T ! !

,

deunde rezult: 2 22 0

2 2 2g

ha

B h

E !

T

Deci:2 30

2 2 2R

g

hV

B h

T E !

T,

carese deriveaz n raportcu h iseanuleaz derivata, pentru determinarea valorii deextrem:2 2 2 2 2 2 3 2 20 0

2 2 2 2

3 ( ) 20

( )

g g

g

h B h h B h

B h

T E T T E !

T

2 3 2 4 2 2 2 2 2 20 0 03 3 2 0g gh B h h B hT E T E T T E !

2 2 2 2 20 ( 3 ) 0gh B hT E T ! ;

2 2 23 0gB h T ! ,

deunde rezult:

3

g

hB

T!


27/166

27

Deci2

20 2 2 2 2

2 0 02 2 2 2

2 2

2

3

3 3

3 2 2

g

g gg

g

Ba

B BB

B

TE

E T E! ! !

T T T

Volumulcritic minim va fi:

2 2 22

0 0min 2 3 3

3 3 33 1 148

2R

gg g gV a h BB B B

E E TT! T ! T ! !

Modelul ncetinirii

continue

Modelul ncetinirii continue

Pentru descrierea ncetiniriineutronilor n medii mprtietoare formate din materialecunumere de mas mari, estenecesarutilizarea modelului ncetiniriicontinue. Pierderea medierelativ de energie este n asemenea situaie foarte mic, o alt formulare fiind aceea cscderea medie de energie a logaritmului energiei, respectiv creterea medie a letargiei

neutronuluicaurmare a mprtieriipeunnucleu greueste mic n raportcuaceeai mrimecalculatpentrunucleeuoare. Deci:

00ln ln ln 1 ln1

EE E u

E

E\ ! ! ! ( ! E

E

%% % % ,

ncare:21

1

A

A

E !

Pentru moderatorulcel maiuor, hidrogenul, parametrul de ncetinire \=1, pentru grafitA=12 i \=0,157. Neutronii avnd energia E0 se deplaseaz n linie dreapt, un anumit timp

dupcarearelocprima mprtiere, lungimea drumuluiparcurs, n medie deneutronipnlaprima mprtiere fiind drumul liber mediu de mprtiere. Se utilizeaz terminologia nmedie, datorit faptului c drumurile parcurse de neutroni nu au lungimi egale, aceastlungime fiind o variabil aleatoare. Durata medie a deplasrii neutronului pn la primamprtiere, cu viteza v0, va fi PS/v0, dup mprtiere, energia neutronilor micorndu -se icorespunde o vitezv1 (pentru o energie E1), neutronul deplasndu-seuntimpPs/v1, survenindapoia doua mprtiere.

Teoria vrstei


28/166

28

VariaialuiE n funcie detimp.

Noul timp va fimai lung, viteza fiindmai mic, procesul

repetndu-se pn cndneutronii ajung laenergiatermic. Dacne referim laun neutron mediu, sepoatetrasaun graficallogaritmuluienergieica fiind o funcie detimp, aceasta fiind un grafic nscarcutrepte de nlimiegale idince nce mailungi.

ncazul ncarescderea medieal ogaritmuluienergieiestesuficient de mic, graficul nscar poate fi aproximat cu o curb continu, aproximaia fiind cu att mai corect cu ct

21

1

A

A

E !

este maiapropiat de 1.Acestecondiii, ideale, arcorespundesituaiei ncareneutronii

s-ar deplasa ntr-un mediu vscos, cu frecarepierznd continuuenergie, deunde i denumireade modelul ncetiniriicontinue.

ncazulhidrogenuluiacest modelnupoate fiaplicatpentrustudiul ncetinirii, deoareceneutronulpoateajungetermiccaurmareauneisingure mprtieri.

Ecuaia vrstei n mediul neabsorbant

Ecuaia vrstei n mediul neabsorbant

Considerm momentul t0=0 lacareneutroniisuntemii desurscuenergia E0iletargiau0=0. Letargia crete n timp ajungnd la valoarea u la momentul t, iar la momentul ?t, t+dtA

letargianeutronilorcretecu: d

d dss

v tu v t

! \ ! \ 7

P,

unde 7svdt reprezint numrul mediu de mprtieri ale neutronului n intervalul de timp ( t,t+dt) cu durata dt.

Scopul nostru este de a determina dependena densitii de ncetinire a neutronilor, deletargia lor, ntr-un mediu omogen, pur mprtietor de dimensiuni finite. Dac se considerstarea staionar, dependena trebuie s rezulte dintr -o ecuaie de conservare a numrului deneutroni i pentru a scrie o astfel de ecuaie se consider volum ul elementar HV din jurul

punctului rT

, unde ne intereseaz neutronii care s -au ncetinit un timp t i care au ajuns laletargiau. Darletargia fiind o mrimecontinu, nusepoatepune o asemeneaproblem i maiinteresantestesanalizm neutroniicareauletargiacuprins ntre u iu+du.

Neutroni cu letargia n uzdu s-au ncetinit (i n acest mod au i difuzat, deoarecencetinireaeste nsoit de difuzie) ntr -untimpcuprins ntretit+dt.

Sepoate defini mrimea n( rT,u),alcrei nelesesteexplicat deprodusul n( rT,u)ducarereprezintnumrul deneutroni dinunitatea de volum culetargiacuprins n uzdu, letargiecare

lnE

lnE0

lnET

t

lnE

lnE0

lnET

t


29/166

29

a fost obinut nintervalul detimp tzd+dt. Numrulacestorneutronitrebuies fieproporionalcu durataintervalului detimp, deci n( rT,u)~dt.

Utiliznd o nou funcien( rT,t), cuunsenscarese vaexplicapeparcurs, putem scrie: ( , ) ( , )dn r u n r t t !r r

deci:

d( , ) ( , ) ( , )

d

un r t n r u v n r u

t! ! \7

r r r

dar: ( , ) ( , )r u v n r u* ! r r deci:

( , ) ( , )n r t r u! \ 7 *r r

n membrul drepteste de faptexpresia densitii de ncetinireaneutronilorlaletargia u,q( rT,u), deci rezultegalitatean( rT,t)=q( rT,u) ceeacelmuretesensul funciein( rT,t).

Ecuaia de conservare a numrului de neutroni din elementul de volum HV, poate fiabordat considernd legea lui Fick valabil pentru descrierea procesului de difuzie, la oriceletargie, fixndu-neateniaasupraneutronilorculetargia n uzu+du din volumulHV.

Referindu-ne la volumul HV, din acesta intr i ies neutroni cu letargia n uzu+du, carezultatal mprtierilorcareseproduc nafaraacestui volum i n interiorulsu. ( , )J r tr r fiind

densitatea curentului de neutroni cu letargia n uzu+du, la letargia u, deci din ( , )J r tr r HVdu

reprezint numrul net de neutroni care prsesc volumul HV n unitate de timp i care auletargia n uzu+du. n urma mprtierilor din HV, apar neutroni care ajung la letargii nintervalul uzu+du, avnd anterior letargii mai mici i neutroni care capt letargii mai mari,prsind acestinterval.

Numrulneutronilor dinHVcare nunitatea detimpajung laletargii mai mari dect u, carezultat al mprtierilor la letargii mai mici este q( rr,u)HV i n mod asemntor, numrul

neutronilor dinHVcare nunitatea detimpajung laletargii mai mari dect uzu+duca rezultatal mprtierilorlaletargii nuzu+duesteq( rr, u zu+du) HV.Presupunem starestaionar i nabsenasurselor deneutroniculetargia ntre u zu+du,

numrul deneutroni din volumulHVtrebuies fieconstant. Deciecuaia deconservare va fi:

1( , ) ( , d ) div ( , ) dq r u V q r u u V J r u V u

VH ! H H

H

rr r r

PrinsimplificarecuHViseparare determeni obinem: ( , d ) ( , ) div ( , )d 0q r u u q r u J r u u !

rr r r

dar: ( , )( , d ) ( , ) d

q r uq r u u q r u u

u

x !

x

rr r

deci:( , ) 1

d div ( , )d 0/d

q r uu J r u u

u u

x !

x

r r r

Simplificnd cu du obinem:( , )

div ( , ) 0q r u

J r uu

x !

x

r r r


30/166

30

iutiliznd legealui Fick: ( , ) ( ) gr ad ( , )J r u D u r u! *

r r r obinem:

2( , ) ( ) ( , )q r u

D u r uu

x! *

x

rr

.

Dar fluxul de neutroni cu letargia n u zu+du la letargia u este legat de densitateade ncetinire prin relaia:

( , ) ( , )sq r u r u! \ 7 *r r .Deci:

2( , ) ( ) ( , )s

q r u D ur u

u

x! *

x \7

rr

.

Se definete:

0

( ')( ) d '

( ')

u

s

D uu u

uX !

\7

din care prin derivare se obine:

d ( )d ( )s

D u

u u

X!

\7.

Dar:

d

du u

x x X!

x xX

deci:

2( , ) d ( ) ( , )d ( )s

q r u D uq r u

u u

x X !

xX \7

rr

sau:

2( , ) ( , )q r u

r ux

! *xX

rr .

care este ecuaia vrsteisau ecuaia lui Fermi.

Remarcm faptul c n procesul de ncetinire att u ct i X sunt mrimi cresctoare

de la 0 (u=0,X=0).

Soluia ecuaiei vrstei n mediul unidimensional

Soluia ecuaiei vrstei n mediul unidimensional

Considerm mediul unidimensional infinit extins pe dou direc ii ale spaiului i cugrosimea a pe a treia direcie aleas ca ax de coordonate cu originea n planul de

simetrie.

Mediul este omogen, pur mprtietor cu un singur constituent cu numr de masmare, sursa de neutroni fiind considerat plan i situat n planul de simetrie, avnd


31/166

31

intensitatea S(0n1/cm2s), emind neutroni monocinetici cu energia E0 (letargia u0=0 i

vrsta X0=0).

Mediu

unidimensional infinit extins,

caracterizat de mrimile 7s i \.

Densitatea de ncetinire este n aceste condiii , funcie de coordonata xi de vrst,

deci q(x,X). Mediul este caracterizat prin seciunea macroscopic de mprtiere 7s iparametrul de ncetinire \.

Ecuaia vrstei este:

2 ( , )q

q rx

X !xX

r

iar n cazul nostru poate fi rescris sub forma:

2

2

( , ) ( , )q x q x

xx

x X x X!

xx, x?a/2,a/2A.

Pentru rezolvarea ecuaiei sunt necesare condiii de frontier i condiii iniiale i

deoarece derivata n raport cu vrsta este de ordinul nti este necesar o singur condiieiniial. Planul sursei are ecuaia x= 0, deci sursa plan poate fi scris ca o sursrepartizat utiliznd funcia lui Dirac, iar intensitatea sursei va fi scris atunci sub forma:

S(x)=S0H(x)n felul acesta considerm c fiecare unitate de volum din mediu emite S(x)

neutroni cu vrsta nul n unitatea de timp; innd seama i de semnificaia densitii de

ncetinire, putem scrie c:

q(x,0)=S(x)sau:

q(x,0)=S0H(x)Condiiile de frontier pentru aceast problem sunt:

1. densitatea de ncetinire trebuie s fie funcie par q(x,X)=q(x,X)

2. densitatea de ncetinire se anuleaz pe suprafeele plcii

2

( , ) 0ax

q x! s

X ! .

a/2 a/2

7s,

S0

xa/2 a/2

S0

x

s,\


32/166

32

Analiznd condiiile de frontier ar rezulta faptul c trebuie s cutm q(x,X) sub

forma unei serii de funcii:

( , ) ( ) ( )nn

q x f xX ! X N

unde Nn(x) sunt funciile proprii ale ecuaiei lui Helmholtz:

22

2

d( ) 0

d

nn nB x

x

N N ! .

Condiiile de frontier se impun numai funciei Nn(x) de forma Nn(x)=cosBnxundeBnse determin din

2

( ) 0an xx ! sN !

Rezult c:

Bn(a/2)=n(T/2) cun=1,3,5,deci:

Bn = n(T/a).Funciile proprii vor fi:

cosnx

na

T N ! ,

iar densitatea de ncetinire va fi:

1,3,5( , ) ( ) cosn

n

n xq x f

a!

T X ! X

sau:

( , ) ( ) cosn nn

q x f B xX ! X .

nlocuind n ecuaia vrstei, rezult c:

d( ) cos cos

dn

n n nn n

ff B x B x X !

X .

Se nmulete cu factorul cosBkxdxi integrnd ntre a/2 i a/2 se obine inndcont i de condiia de ortogonalitate, ecuaia:

2d ( ) ( )d

nk k

fB f

X! X

X

care admite ca soluie:

2( ) exp( )k k kf A BX ! X , k=1,3,5,

Deci soluia ecuaiei vrstei va fi de forma:2( , ) exp( ) cosn n n

n

q x A B B xX ! X , cun=1,3,5,

coeficienii An determinndu-se din condiia iniial:

q(x,0)=S0H(x)care devine:

0cos ( )n nn

A B x S x ! H


33/166

33

Multiplicnd ecuaia cu cosBkxdxi integrnd ntre a/2 i a/2 obinem:

/ 2 / 22

0/ 2 / 2

cos d cos ( )da a

k k k

a a

A B x x S B x x x

! H

de unde:

Ak(a/2)=S0sau:

Ak=2(S0/a)Deci soluia final este:

202( , ) exp( ) cosn nn

Sq x B B x

a

X ! X , cun=1,2,3,

Observm c densitatea de ncetinire se prezint ca o sum de armonici saumoduri; fiind de ateptat ca pentru X mare (apropiat de vrsta neutronilor termici X

7

) s

predomine modul fundamental, deci vom avea:

02( , ) exp( ) cosT

g g

Sq x B B x

aXpX

X } X

unde 2

2 /gB a! T reprezint dependena densitii de ncetinire de coordonata x n domeniulasimptotical vrstei, pentru vrsteapropiate de vrstatermicau forma din figura7.3.

Curbele de variaie pun n eviden scderea densitii de ncetinire n toate punctelemediului, odatcucreterea vrstei. Considern d materialulneabsorbant, scderea densitii dencetinire, lacreterea vrstei (pe msurceneutroniise ncetinesc) ntoatepunctele mediului,nu poate fi datorat dect scurgerilor de neutroni din mediu, proces care este o consecin adifuziei ntimpul ncetinirii descris delegealui Fick.

Ar fi necesar s se poat determina probabilitatea ca neutronii s evite scurgerile dinmediu n procesul de ncetinire, probabilitate care a fost luat n considerare la stabilirea

formulei celor ase termeni, cnd s-a pus n discuie un mediu multiplicator de neutroni cudimensiuni infinite, mai precis un reactor termic, sursa de neutroni fiind reacia de fisiune.Mediul decarene ocupm, chiar dacnuesteun reactortermic, are o caracteristiccomuncuacesta: ncetinireaneutronilorareloc dela E0laenergiatermic.

Dependena densitii dencetinire de coordonataxn domeniul asimptotical

vrstei

Sursa de neutroninefiind fisiunea, ci osurs autonomlocalizat, nu deranjeaz,deoarece neutronii par s uite c provin de la o surs plan, repartiia lor spaial urmndmodul fundamentalal fluxuluineutronilortermici n reactorulcritic nstarestaionar, unastfel

q(x,X)

X''>X'

X'

X''

0 xa/2a/2


34/166

34

de flux de neutroni termici inducnd o surs de neutroni de fisiune cu energia E0, a creirepartiiespaialurmeazexactacelai mod fundamental.

Deci factorulexp(Bg2XT) dinexpresia densitii de ncetinire:

202( , ) exp( ) cos( )T g T g S

q x B B xa

X } X

care este subunitar, exprim pierderile de neutroni prin scurgeri prin procesul de ncetinireputnd fiidentificatcuprobabilitatea Pfldeevitareascurgerilor:

2exp( )

fl g T P B! X

unde XT = vrsta neutronilor termici, determinat la o energie de 1 eV sau o letargiecorespunztoare.

Relaia de definiiea vrsteitermiceeste:

0

( )d

( )

Tu

T

s

D uu

uX !

\

saulund ca variabilenergia (cu dd EuE

! )

0 ( )d

( )

E

T

E s

D EE

EX !

\

Relaia pentru Pfl este valabil numai pentru condiiile n care a fost determinat, decipentru reactorultermic omogen i fr reflector.

Dar:

22

1

1tl

g

P8

B!

rezultc:2

22

exp( )

1

g Tl fl tl

g

BP P P

L B

X! !

careesteprobabilitateatotal deevitareascurgerilor.Considernd dimensiunile mariale reactoarelor termice careau bucklinguri geometrice

mici (Bg2}104cm2) sepoatescriec:

2 2

1 1

exp( ) 1fl

g T g T

PB B

! } X X

deci:

2 22

1

(1 ) (1 )l

g T g

PL B B

! X

iignornd parametrii de ordinsuperiorla desfacereaparantezelorputem scrie:

22

1

1l

g

P

M B}

undeM2

= L2

+ XT?cm2

Aestearia de migrare, iar2

TM L! X ?cmAestelungimea de migrare.

Sursa plan de neutroni rapizi n mediul infinit extins

Sursa plan de neutroni rapizi n mediul infinit extinsDensitatea de ncetinirela vrsta Xtrebuies fie o funciepar, decoordonate x, msurat

pe o axnormalpeplanulsursei, cu originea nacestplan. Sursa plan are intensitatea 1 20 0[ / cm s]S n i emite neutroni rapizi, monocinetici cu

energiaE0 (la vrstaX0=0), iar densitatea de ncetinireeste o soluieaecuaiei:


35/166

35

2

2

( , ) ( , )q x q x

x

x X x X!

xXx

cu condiia de frontier:

( , ) 0x

q xpsg

X !

icondiiainiial:

00( , ) ( ,0) ( )q x q x S x

X!X ! ! H

Dar densitatea de ncetinire, satisfcnd relaia

( , )dq x xg

g

X g

admite o transformat Fourier:

( , ) ( , ) exp( )dQ B q x jBx xg

g

X ! X

Aplicnd transformata Fourierecuaiei vrstei, obinem: 2 d ( , )( , )

d

Q BB Q B

X X !

X

deci o ecuaie diferenial de ordinul I cusoluia: 2

( , ) ( ,0) exp( ), 0Q B Q B BX ! X X u Constanta de integrare, Q(B,0), se poate obine din relaia de definiie a transformatei

Fourier:

( ,0) ( ,0) exp( )dQ B q x jBx xg

g

!

Utiliznd a douacondiie de frontier rezult:

0 0( ,0) ( ) exp( )dQ B S x jBx x Sg

g

! H !

Transformata Fouriera funciei de ncetinire va fi deci: 2

0( , ) exp( ), 0Q B S BX ! X X u i folosind transformata Fourierinvers, obinem densitatea de ncetinire:1

( , ) ( , ) exp( )d ,2

q x Q B jBx Bg

g

X ! XT

care dup nlocuireatransformateiQ(B,X)devine:

20( , ) exp( )d ,2

Sq x B jBx B

g

g

X ! X T

iar dacscriem exponentulsub forma: 2 2

2 2( ) ,

42

x xB jBx B jBx B j

X ! X ! X

XX

densitatea de ncetinirepoate fiscrissub forma:

2 20 exp / 4( , ) exp d

2 2

S x xq x B j B

g

g

X X ! X T X

Se faceschimbarea de variabil: d

de unde d2

x zz B j B! X !

X X

Modificm limitele deintegrare i obinem:


36/166

36

( / 2 )

( / 2 )

2( / 4 )

2( / 4 )20

0

( , ) d2

, 04

exp( )j x

j x

x

xS

q x z z

S

e

e

g X

g X

X

X

X ! !T X

X u

TX

!

La vrst mic, deci dup un numr mic de mprtieri, neutronii au difuzat puin, iardensitatea de ncetinireare valori mari napropiereasursei, iarla vrst mare, deci dup multemprtieri, neutroniiau difuzat mult, iar densitatea de ncetinireare valori mari i la dist anemari fa desurs.

Variaia densitii dencetinirecu distanax.

Sursa punctual

de neutroni

rapizi

n mediul infinit extins

Sursa punctual de neutroni rapizi n mediul infinit extins

Simetriasfericimpunecondiiaca densitatea de nceti nires fie funcienumai de vrsti de distanarfa desurs, intensitateasursei fiind S0?0n

1/sA, emind neutroni monocinetici,

rapizi, cuenergiaE0(X0=0). Ecuaia vrstei va fi:2 ( , )( , ) , 0, 0r

q rq r r

x X X ! X " u

xX

unde2 2

2

1r r

r rr

x x ! x x

estecomponenta radiala operatoruluiluiLagrange.Rezolvarea ecuaiei este complicat i pentru aceasta vom recurge la nite artificii,

bazndu-nepeexpresiastabilitanteriorpentru densitatea de ncetinireatuncicnd avem sursdeneutroni rapizi:

2

( , ) exp44

p

S xq x

X ! XTX

Stabilim aceast mrime folosind principiul supe rpoziiei, prin definirea unei funciiqt(r,X),careeste densitatea de ncetinirepentru o surspunctualcuintensitateaegalcu 1 ntr -unpunct din mediusituatla o distan rfa deea (este vorba despre o funcie Green).

2

0

4TX

S

1

0

4TX

S

1X

12 XX "

),( Xxq

x0

q(x,X)

X2>X1

X2>X1

X1

x0

0

24

S

TX

0

14

S

TX


37/166

37

Schema de determinarea densitii

de ncetinire pentru osurs punctual.

Variaia densitii dencetinirecu distana,

pentru diferitevrsteiX.valoriale

Densitatea de ncetinire qp poate fi determinat considernd o arie elementar HA dinsuprafaasurseiplane, de mrimeHA=V dV dN,care genereaz nunitatea detimpunnumr deneutroni rapiziS0HA, care determinla distana rfa deea ix fa deplanulsursei o densitatede ncetinireqt(r,X)HAS0.Lund nconsideraretotplanulsursei obinem:

2

0 00 0 0

( , ) ( , ) d d 2 ( , ) dp t tq x q r S S q r g T g

X ! X V V N ! T X V V

schimbare de variabil:r2=V2+x2deunde:V dV=rdr

0( , ) 2 ( , ) dp tx

q x S q r r r g

X ! T X

derivm partecuparte n raportcu x:

0

( , )2 ( , )

pt

q xS xq x

x

x X! T X

x

i rezultc:

0

( , )1( , )

2

pt

q xq x

S x x

x XX !

T x

utiliznd expresiacunoscuta densitii de ncetinire qp(x,X) rezult:2

0( , ) exp2 44

pq x S x x

x

x X ! x X XTX

nlocuind:

2

3/ 2

1( , ) exp

44t

xq x

X ! XTX

i fcnd:rx !

rezultcintensitatea de ncetinirepentru o surspunctualcuintensitatea S0 va fi:

M

x

r

AH

0S

O x

VNd

Vd

S0

HA

r

x

x

MO

dV

dN V

30 20 10 0 10 20 30 r[cmA

2

4

6

r= 0

X = 50 cm2

X = 100 cm2

q(rX)


38/166

38

2

3 / 2

1( , ) exp , 0, 0

44t

rq r r

X ! X u u XTX

Semnificaia fizic a vrstei

Semnificaia fizic a vrstei

Considerm o surs punctual cu intensitateaS

0, emind neutroni rapizimonocinetici, mediul fiind infinit extins i pur mprtietor. Un neutron emis de surs sufer

un ir de mprtieri, modificndu-i de fiecare dat direcia de micare.

Fiecare mprtiere determin o miccreterealetargiei i respectiv a vrstei. nacelaitimpcuprocesul de ncetinireareloc ipro cesul de difuzie, neutronulparcurgnd nacesttimpun drum nzig-zag, dup o distan msurat nzborr.

Schema utilizatpentru stabilirea

semnificaiei fiziceavrstei.

Drumul n ansamblu este aleator astfel c distana r este o variabil aleatoare, pentrudeterminareacreiaprocedm astfel:considerm unstratsfericcucentrul nsurs, cu raza rigrosimea dr(volumulHV=4Tr2dr) i determinm numrulneutronilorcare nunitatea detimptrec dela vrste mai mici dect Xla vrste mai mari. Crescnd distana dela rlar+dr, vrstaneutronilor vacrete iea dela XlaX+dX, nsneutronilor dinstratulsfericleatribuim aceeai

vrstX. Decinumrulneutronilor din volumulstratuluicare nunitatea detimp voravea vrstaX va fi:

2( , ) 4 ( , )dq r V r q r r X H ! T X

Probabilitateacaneutronulemis desurscu vrstanuls treac prin vrsta X, dupundrum msurat nzborcuprins ntre rir+dr, va fi dat de:

2

0

4 ( , )d( )d ,

r q r r p r r

S

T X!

unde:

2

0 0

( , ) 4 ( , )dV

S q r V r q r r g

g

! X H ! T X

Dac nlocuim densitatea de ncetinire rezultexpresia:2 2

3/ 2

4( ) exp

4(4 )

r rp r

r

T! TT

astfelptratul variabileialeatoare va fi:

2 2

0

( )dr r p r r g

! %

nlocuind ilund nconsiderare relaia:

S0;X0 = 0r

Vrsta = X

S0 r d


39/166

39

2 2

10

(2 1)!exp( )d

2

n

n n

nx ax x

x

g

T !

E

se obine:2 6r ! X%

sau:2

6

rX !

%

astfelc deiteoria vrsteinueste valabilpentru orice moderator, conceptul de vrstpoate fiextinslatoatesituaiile, lund ca definiiea vrsteichiar rezultatul obinut mai nainte. Pentru reactoareletermiceintereseaz vrstatermic XT, caresepoatescriesub forma:

22 2

00 0

1 4( )d ( , )d

6 6 6T Tr

r p r r r q r r S

g gTX ! ! ! X

%

Dac intensitatea sursei de neutroni nu este cunoscut sau pentru a elimina eroriledatorate diminurii intensitii n timp, n ultima relaie intensitatea sursei se nlocuietecu:

20

0

4 ( , ) dTS r q r r g

! T X

i:

4

0

2

0

( , )d1

( )6

( , )d

T

T

r q r r

u

r q r r

g

g

X

X !

X

expresieluat nconsiderarepentrua generaliza vrstala oriceletargie u.Aceast relaiepoate fiutilizatpentru determinarea vrsteiinclusiv la moderatorilacare

teoria vrsteinusepoateaplica (deex.: H2O). Integralele dinexpresialuiX(u) nusecalculeaz

numeric, utilizndu-se valori de densiti de ncetinire msuratela diferite distane fa desursaneutronilor rapizi.

Introducere

Introducere

Teoria difuzieineutronilor monocinetici

permite, cu toate ipotezele simpli-ficatoare, introducereaunor concepte principale ale teoriei reactoarelor termice i stabilirea unor relaii principalepentrucalcule de fizicazoneiacti ve.

Principalulinconvenientalacesteiteoriiesteacelacneutroniisenasc din fisiune directneutroni termici;neutronii senasc rapizi i dupciocniri repetate devinneutroni termici i naceast situaie fiind, ncepe un proces de difuzie ncheiat fie prin absorbia neutronilor nreactor, fieprinpierderealorcaurmareascurgerilor.

Teoria difuziei n modelul

grupelor de energie


40/166

40

Absorbia neutronilor poate fi util sau steril, n urma absorbiei utile generndu -seneutroni rapizi, neutronii acestei generaii repetnd, n ordine, procesele care au avut loc cuneutronii generaiei precedente. Din acest motiv energia neutronilor din reactorul termic norice momentestecuprins n limite foarte largi: 10 2eV z10 MeV, particularitate care ar filipsit de importan dac seciunile microscopice ar fi independente de energia neutronilor.Darseciunile depind foarte mult deenergie, prezentnd rezonane, unele dintreelepentru maimulte energii, U238 fiind unexemplu nacest sens, faptcare trebuies fie luat n considerare

deoarece U238

este n componena combustibilului coninut de reactoarele termice. Calcululratelor de reacieestecomplicat foarte mult de faptulcseciunilesunt dependente deenergie,complicaiile manifestndu-se n mod special la energii joase, unde viteza neutronilor devinecomparabil cu viteza nucleelor int. Aceasta conduce la utilizarea efectului Doppler,dependent detemperatur.

Celeamintite maisus obliglaluarea nconsideraiepelngcoordonatelespaiale iauneicoordonatesuplimentare ianumeene rgianeutronilor.

Dacseurmrete obinereaunei ratespecificeainteraciunii, se divideintervalul ncareestecuprinsenergianeutronilor (102eV z10 MeV) nsubintervalenumite grupe deenergie,alese n aa fel nct pe aceste subintervale seci unile microscopice s poat fi considerateconstante.

Selectarea grupelor deenergie.

Fluxul neutronilorcareaparin grupei deenergie geste:

1

( , ) ( , , )d

g

g

E

g gEr t r E t E

J ! J

r r

Ecuaia difuziei se va scrie separat pentru fiecare grup de energie n aproximaia

grupelor de energie, obinndu-se un sistem de ecuaii complete deoarece n procesul dencetinireenergianeutronilorscade, iarneutroniitrec dintr -o grup nalta. Pot fiutilizate dousau mai multe grupe de energie (pentru dou grupe: zona activ + reflectorul), preciz iacalculelor depinznd de modul ncare se determinconstantele nucleare pentru interaciunileneutroninuclee.

Ecuaia de conservare n stare staionar

Ecuaia de conservare n stare staionar

n general, n timpul efecturii calculelor ne referim l a neutroni aparinnd unei grupedate, ne referim la intrrile i ieirile dinaceast grup, rezultnd viteza decretere ntimpanumrului deneutroni dinelementul de volum.

Uninventar nunitatea detimp iunitatea de volum nceeaceprivete neutroniiarpunenevidencinecontribuielascprile (ieirile) din grupa g:

a) scurgeri nafaraelementului de volum prinsuprafacu rata DgJg;

MeVE 100 }

1!ggG

MeVEG

210!

1GE 1gE 2EgE 1gE 1E

EG=102MeV

G g

g=1

EG1 Eg+1 Eg1Eg E2 E1

E0}10MeV


41/166

41

b) absorbii de orice fel, cu rata7gJg;c) mprtieri n grupecuenergii mai mici, cu rata 7sgJg.Intrrile n grupagsunt date de:a) producereaneutronilor din fisiunicu rataSg(sauSg

autsurseautonome);b) mprtieri n grupag'careaducneutroniilaenergiicorespunztoare grupei g:

' ''

g sgg gp

J 7

Rataspecifica intrrilor n grupagva fi:

' ' ' '' '

antg g sg gf g g sg

g g g g

S S Sp p

J 7 ! J 7

1

n

gf g i i ii

S!

! G J R 7

unde: Ggeste fraciuneaneutronilor de fisiunecareauenergiiaparinnd grupei g;Riestenumrul mediu deneutroni de fisiuneeliberai n fisiuniinduse deneutroniacror

energieaparine grupei i.Decipentru grupag sepoatescrieecuaia deconservare nstarestaionar:

' ''

11...g g g sg g g ag g sg g

g gg

S D , g nv t p

xJ! J 7 J 7 J 7 J !

x

Problemacea maiimportantconstnu ncalculareaacestuisistem deecuaii, ci ndeterminareaconstantelornucleare. Sepoateapelala o formparticularaecuaieitransportului, neglijndu-se dependenaunghiular:

0

0

1( ) ( ) ( ) ( ) d

( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) d

f

aut

t s

E E' E' r,E',t E' v t

S r,E',t D r,E',t)

e r,E,t E' E r,E',t E'

g

g

xJN! G 7 R J

x

J

7 J 7 p J

r

r r

r r

Funcia necunoscuteste J(r,E,t), fiind necesarpentru rezolvareaecuaieicunoaterea

dependenei deenergieaconstantelornucleare. Ideeaeste dea grupaneutronii dupenergialor,motiv pentrucare multiplicm ecuaiacu d Eiintegrnd ntreEgiEg1 obinem:

1 1

1 1

1 1

0

0

1d ( ) d ( ') ( ') ( , ', )d '

( , , ) d ( , , ) d

( ) ( , , )d d ( ') d '

g g

g g

g g

g g

g g

g g

E E

f

E E

E E

ant

E E

E E

t s

E E

E E E E E r E t E t v

S r E t E D r E t E

E r E t E E E E

g

g

xJ ! G R 7 J

x

J

7 J 7

r

r r

r

Mrimilecareneintereseazsunt: fluxulneutronilor din grupag;

1

( , ) ( , , )dg

g

E

g g

E

r t r E t E

J ! J ! Jr r

seciunea macroscopictotalaneutronilor din grupa g;11

( ) ( , , )dg

g

E

tg tg E

E r E t E

7 ! 7 JJ

r


42/166

42

coeficientul de difuziealneutronilor din grupa g(cuE=x,y,z);1

1

( ) ( , , )d

( , , )d

g

g

g

g

E

E

g E

E

D E r E t E

D

r E t E

E

E

J

!

J

r

r

vitezaneutronilor din grupag, considerai monocinetici. 1

1 1 ( , , )d

g

g

E

gg E

v r E t Ev

! JJ r

Termenulcare reprezintprocesele de mprtiereseexpliciteaz, nlocuind integralaimpropriecu o sum dup mulimea grupelor, inversndu -se i ordinea deintegrare:

1

1 ' 1

'

0

' 1

d ( ' ) ( , ', )d '

d ( ' ) ( , ', )d '

g

g

g g

g g

E

s

E

E En

sg E E

E E E r E t E

E E E r E t E

g

!

7 p J !

! 7 p J

r

r

Relaiasugereaz definiiaseciunii macro scopice de mprtiere dela grupag'la o grupsuperioarg, prin:

1 ' 1

'

''

1d ( ' ) ( , ', )d '

g g

g g

E E

sg g sg E E

E E E r E t E

p7 ! 7 p JJ r

Termenulsurselor de fisiuneeste:1 1 1

' 1

( , , )d d ( ) d ' ( ') ( ') ( , ', )g g g

g g g

E E En

f fgE E E

S r E t E E E E E E r E t

!! G R 7 J

r r

Aceastexpresieimpuneadoptareaaltor dou definiii:

1

' '

'

1( ') ( ') ( , ', )d

g

g

E

g fg f g E

E E r E t E

R 7 ! R 7 JJ r

i

1

( )dg

g

E

g

E

E E

G ! G

pentru fraciunea de neutroni care se nasc cu energia n grupa g.

Sepoatescriec:

1

' ' '

' 1

( , , )dg

g

En

f g g fg g

gE

S r E t E

!

!G R 7 Jr

Utiliznd ecuaiatransportului, seajungelaecuaia difuziei naproximaia grupelor deenergie:

' ' '' 1

' '' 1

1

( , , ) 1...

ng ant

g g fg g g g gg

n

tg g g sg g g

S Dv t

r E t , g n

!

p!

xJ! G R 7 J J

x

7 J J 7 !

r


43/166

43

Pnacum constantelenucleareale grupelor deenergieau fost definitepornind delaunfluxalneutronilorJ( rT,E,t),carenuesteconstant, fiind o funcie decinci variabile, constituindde faptsoluiaecuaieitransportului, delacares -apornit.

Energia neutronilor a fost discretizat cu intenia de a reprezenta funcia J( rr,E,t) prinirul de valori

J1( rT,t), J2( r

T,t), ... , Jg( rT,t), ..., Jn( r

T,t).Esteposibilsexiste o dependenaconstantelornucleareale grupelor, de variabilele rT

i t, aceast dependen eliminndu -se dac fluxul de neutroni este o funcie cu variabileseparabile:

( , , ) ( , ) ( )r E t r t E J ! J Nr r )

undeN(E)descrienumaiseparareaneutronilor dupenergie.Deci valorile medii deja definitese referpracticnumaila funciaspectral N(E), carenu

estecunoscut inu ntotdeauna poate fiacceptat metodaseparrii variabilelor. Dinacest motivse facuneleipoteze ianume, n relaiile de definiiealeconstantelornucleareale grupelorseutilizeazaproximaiiale fluxuluineutronilorpornind delaconsiderente fizice, prima d intrenotaii fiind J( rT,E, t), deci:

1

1

( ) ( , , )d

( , , )d

g

g

g

g

E

t

E

tg E

E

E r E t E

r E t E

7 J

7 !

J

r%

r%

dac se accept i ipoteza separrii variabilelor relaia devine mai simpl, precizia calculelorfiind n acest caz o funcie de structura grupelor de energie. Cu ct este mai fin structuragrupelor deenergie, cuattseciunile microscopicect i fluxulneutronilorpot ficonsideratefuncii monotonepe fiecareinterval deenergie i nacestcazchiar dacestimarea fluxului de

neutronieste mai grosier, poate fisatisfctoare. Dinexperien secunoate faptulc n reactoarele termice, n intervalul 1 eV z105 eV,spectrulneutroniloreste bine reprezentat de funcia N(E)b1/E, deci putem utiliza o asemeneaestimare cu scopul de a determina constantele nucleare ale grupelor de energie care ac operacestinterval.

n domeniul energiilor de rezonan, structura grupelor de energie trebuie s fie foartefinpentruca, ncazulunoraproximrinutocmaibunealespectrului deneutroni, acesteas fietotui acceptabile din punct de vedere al cred ibilitii acordate constantelor nucleare alegrupelor. Calitateacalculelor (fieceste vorba deunnumr mare de grupe deneutroni }20, fiec este vorba de un numr mic de grupe) este dat de modul n care au fost determinateconstantelenuclearepentru grupele deenergie.

Seapeleaz ncalcule la diferitestrategii, una dintreacestea fiind urmtoarea: nprimaetapseignor dependena fluxuluineutronilor detimp icoordonate, lundu -se nconsiderarenumai dependena deenergie, spectrul neutroni lor fiind consideratca rezultat alunor modeleteoretice de ncetinire itermalizare. naceastetapsepot obineestimribunealespectruluineutronilorpe grupe, prin utilizarea unei structuri fine a grupelor de energie. n cazul acestaconstantele de grupeutilizate ncalculele despectrusunt, de obicei, celeprezentate ntabelelede date referitoarela grupele deenergiecustructuraconsiderat.


44/166

44

A douaetap decalculconst n modificareastructurii grupelor deenergie, lucrnd cuunnumr mai mare de grupe (structur mai puin fin), urmrindu -se generarea unor constantenucleareale grupelor deenergie, maicredibile, n operaiile de mediere folosindu -seestimrilespectruluineutronilor determinate nprimaetap decalcul.

Procedeul a constat deci din determinarea unorestimri fine ale spectrului neutronilor,pornind dela o structur fina grupelor deenergie, apoiprincolapsarea grupelor deenergieseobinconstante de grupeadaptateproblemeistudiate.

Preciziacucarese determin attspectrulneutronilorct iconstantele de grupe generateprin colapsarea grupelor, depinde de tipul reactorului i de condiiile de funcionare (mas decombustibil, compoziieizotropic, regim termicetc.).

Constantele de grupe se determin separat pentru fiecare regiune a zonei active sau serecalculeaz atunci cnd apar modificri ale compoziiei, datorate arderii combustibilului,produselor de fisiune de otrvire, deplasriibarelor decontroletc. ncazul reactoarelorheterogeneeste necesar ca la determinarea constantelor nucleare pentru grupele de energie s se ia nconsiderare dependena fluxului deneutroni decoordonate. Se poate realizaacest lucru dac seefectueazcalculelepreliminarepentru determinareaspectruluineutronilorpe o ce lulechivalenta reelei heterogene, utiliznd expresii care dau dependena spaial a fluxului de neutroni ninteriorulcelulei, despectrulestimatalneutronilor, N(E) va fi o valoare mediespaiala fluxu

teoria reactorului nuclear

Documents