TeoriaTeoria jocurilorjocurilor

TipuriTipuri

de de solusoluţţiiii..

EchilbreEchilbre

Nash multiple.Nash multiple.InducInducţţie regresivă ie regresivă şşi progresivăi progresivă..

EchilibreEchilibre

multiplemultipleÎÎn cazul existenn cazul existenţţei mai multor echilibre, problemele de ei mai multor echilibre, problemele de coordonare pot face imposibilă specificarea unei proceduri coordonare pot face imposibilă specificarea unei proceduri formalizate de formalizate de

(1) (1) determinaredeterminare

a a unuiunui

echilibruechilibru

preferabilpreferabil

(comun) (comun) şşii

((2) coordonare a strategiilor pentru atingerea lui.2) coordonare a strategiilor pentru atingerea lui.

DeDeşşi pot exista mai multe echilibre care oferă o distribui pot exista mai multe echilibre care oferă o distribuţţie ie globală globală optimoptimăă

a beneficiilor, selectarea unui echilibru anume a beneficiilor, selectarea unui echilibru anume

presupune avantajarea unor jucători presupune avantajarea unor jucători şşi dezavantajarea altora.i dezavantajarea altora.

Echilibre Echilibre NashNash

multiple multiple şşi probleme i probleme de coordonarede coordonare: : ChickenChicken

Rebel fără cauză (1955)

Două echilibre Nash asimetrice. Există un echilibru “optim”?

(Ordonarea beneficiilor: Erou >

Viaţă > Laş

> Moarte)

BuzzBuzz

AbandoneazăAbandonează ContinuăContinuă

JimJim AbandoneazăAbandonează ViaViaţţăă, , viaviaţţăă LaLaşş, , erouerou

ContinuăContinuă ErouErou, , lalaşş MoarteMoarte, , moartemoarte

Echilibre Echilibre NashNash

multiple multiple şşi probleme i probleme de coordonarede coordonare: : ChickenChicken

Conflict Conflict îîn care părn care părţţile, care au forile, care au forţţe sensibil egale,e sensibil egale, nu pot să evite nu pot să evite confruntarea directă decât cu preconfruntarea directă decât cu preţţul pierderii luptei sau al ul pierderii luptei sau al dezonoarei. dezonoarei.

Fiecare parte e tentată să pluseze Fiecare parte e tentată să pluseze –– să rămână să rămână îîn man maşşină o ină o secundă secundă îîn plus, n plus, îîn sperann speranţţa că celălalt va cedaa că celălalt va ceda..

ÎÎnn această situa această situaţţie un jucător fie câie un jucător fie câşştigătigă, f, fie pierde; ie pierde; nu este posibilă nu este posibilă nicionicio

îînnţţelegere pentru a obelegere pentru a obţţine ine îîn comunn comun

o situao situaţţie mai bunăie mai bună. Nu . Nu poate exista poate exista îînnţţelegere, deci nu poate exista elegere, deci nu poate exista negociere.negociere.

SituaSituaţţiile iile real lifereal life

nu sunt, nu sunt, îîn general,n general, supuse acestui tip de supuse acestui tip de constrângere. Exisconstrângere. Există multe posibile căi spre cooperare tă multe posibile căi spre cooperare ––

dedeşşi unele i unele sunt suficient de dificile sunt suficient de dificile sausau

costisitoarecostisitoare

pentru a fi socotite pentru a fi socotite irealizabile.irealizabile.

Echilibre Echilibre NashNash

multiple multiple şşi probleme i probleme de coordonarede coordonare: : ChickenChicken

Multe interacMulte interacţţiuni sociale pot fi analizate din perspectiva iuni sociale pot fi analizate din perspectiva unui joc de coordonare cu multiple echilibre Nash, unui joc de coordonare cu multiple echilibre Nash, îîn n care suntem dispucare suntem dispuşşi să sacrificăm un beneficiu rezonabil i să sacrificăm un beneficiu rezonabil pentru a forpentru a forţţa oba obţţinerea unui beneficiu superior.inerea unui beneficiu superior.

Multiplicată la nivelul majorităMultiplicată la nivelul majorităţţii membrilor unui grup (sau ii membrilor unui grup (sau doar a membrilor reprezentativi), adoar a membrilor reprezentativi), această abordare ceastă abordare subminează proiectele cooperative subminează proiectele cooperative şşi poate i poate îîmpinge mpinge jocul spre jocul spre o o situasituaţţie ie lose/loselose/lose..

ExempluExempluCCampaniaampania

electoralăelectorală

pentrupentru

alegerilealegerile

parlamentareparlamentare

esteeste

dominatădominată

de de problemaproblema

federalizăriifederalizării, o , o opopţţiuneiune

sussusţţinutăinută

de de maimai

multemulte

partidepartide

regionaleregionale. .

PartidelePartidele

A A şşii

B au de ales B au de ales îîntrentre

următoareleurmătoarele

pozipoziţţiiii: (1) : (1) sussusţţinereainerea

uneiunei

organizăriorganizări

statalestatale

unitareunitare, (2) , (2) sussusţţinereainerea

uneiunei

organizăriorganizări

federalefederale

şşii

(3) (3) sprijinireasprijinirea

uneiunei

formuleformule

de de descentralizaredescentralizare

îînn

cadrulcadrul

unuiunui

stat stat unitarunitar. .

SondajeleSondajele

preelectoralepreelectorale

indicăindică

faptulfaptul

căcă, , dintredintre

cetăcetăţţeniienii

cu cu dreptdrept

de de votvot, , ccacca. 50% . 50% sussusţţinin

prima prima variantăvariantă, 30% a , 30% a douadoua

şşii

20% a 20% a treiatreia. . DacăDacă

A A şşii

B B ajungajung

săsă

aleagăaleagă

aceeaaceeaşşii

opopţţiuneiune, , electoriielectorii

care care sussusţţinin

variantavarianta

respectivărespectivă

se se vorvor

îîmpărmpărţţii

îînn

mod mod egalegal

îîntrentre

celecele

douădouă. . DacăDacă

alegaleg

variantevariante

diferitediferite, , fiecarefiecare

partidpartid

vava

obobţţineine

îînn

totalitatetotalitate

voturilevoturile

celorcelor

care care sussusţţinin

variantavarianta

respectivărespectivă. . PresupunemPresupunem, de , de asemeneaasemenea, , căcă

––

îînn

cazulcazul

ambelorambelor

partidepartide

––

nicionicio

variantăvariantă

nu nu esteeste

exclusăexclusă

din start, din start, îînn

măsuramăsura

îînn

care se care se considerăconsideră

căcă

sussusţţinereainerea

sasa

poatepoate

aduceaduce

voturivoturi).).

ExempluExemplu

BB

UnitarUnitar FederalFederal DescentralizareDescentralizare

AA

UnitarUnitar 25,25,2525 50,30 50,30 50,20 50,20

FederalFederal 30,50 30,50 15,15,1515 30,20 30,20

DescentralizareDescentralizare 20,50 20,50 20,30 20,30 10,10,1010

ExempluExempluExistăExistă

un echilibru un echilibru NashNash

optim pentru ambele optim pentru ambele

partidepartide? ?

Din punctul de vedere al situaDin punctul de vedere al situaţţiei iei îîn ansamblu, n ansamblu, diferendiferenţţa a îîntre cele două echilibre este irelevantăntre cele două echilibre este irelevantă, , pentru că pentru că

((1) beneficiul total este 1) beneficiul total este îîn ambele cazuri 80 n ambele cazuri 80 şşi i

((2) ambele echilibre sunt eficiente, 2) ambele echilibre sunt eficiente, îîn sensul că nu n sensul că nu există beneficiu există beneficiu colectivcolectiv

mai mare de 80.mai mare de 80.

ExempluExempluÎÎn măsura n măsura îîn care unul dintre partide n care unul dintre partide forforţţeazăează

alegerea alegerea echilibruluiechilibrului

NashNash

care care îîl avantajeazăl avantajează,, se ajunge la o variantă se ajunge la o variantă {U, {U, U} U} suboptimă suboptimă ({25,({25,2525}). }). Mai mult, dMai mult, dacă fiecare partid presupune că celălalt va acă fiecare partid presupune că celălalt va alege U alege U şşi alege i alege îîn consecinn consecinţţă Fă F, se ajunge la o distribu, se ajunge la o distribuţţie ie şşi mai i mai pupuţţin avantajoasă in avantajoasă ({15,({15,1515}). }).

Atâta vreme cât rămân la o abordare pur conflictuală a competiAtâta vreme cât rămân la o abordare pur conflictuală a competiţţiei iei politice, cele dopolitice, cele două partide nu uă partide nu îîşşi poti pot

coordona strategiile coordona strategiile pentru apentru a

evitaevita

rezultate suboptime.rezultate suboptime.

Problemele de coordonare Problemele de coordonare --

şşi distribui distribuţţiile suboptime pe care le pot iile suboptime pe care le pot genera genera --

pot fi evitate pot fi evitate îîn cadrul negocierii, prin schimbul de n cadrul negocierii, prin schimbul de informainformaţţie ie şşi disponibilitatea de a căuta solui disponibilitatea de a căuta soluţţii ii winwin--winwin..

TrompetistulTrompetistul

sisi

pianistulpianistul

Jocul se referă la doi muzicieni Jocul se referă la doi muzicieni amatori, un pianist amatori, un pianist şşi un i un trompetist de jazz, vecini dtrompetist de jazz, vecini de e bloc, carbloc, care au o singură oră de e au o singură oră de cântat seara. cântat seara.

Datorită proastei izolări foniceDatorită proastei izolări fonice, , ei nu pot exersa simultan ei nu pot exersa simultan ––

zgomotul ar fi prea mare zgomotul ar fi prea mare şşi si s--ar ar îîncurca reciproc. ncurca reciproc.

Ca atare, Ca atare, ei trebuie să ei trebuie să stabilească o strategie pe baza stabilească o strategie pe baza căreia să poată câcăreia să poată câșștiga cât mai tiga cât mai mult din intervalul comun pe mult din intervalul comun pe carecare--l au la dispozil au la dispozițție. ie.

Trompetist

Pianist cântă nu cântă

cântă (1, 3) (7,4)

nu cântă (4,10) (2,1)

NegociabilNegociabil

vsvs

nonnon--negociabilnegociabilCare sunt Care sunt pctpct de echilibru de echilibru? ?

Există un echilibru Există un echilibru NashNash care să nu care să nu dezavantajeze un jucătordezavantajeze un jucător??

De De cece

apareapare

aceastaaceasta

situatiesituatie??

DistributieDistributie

asimetricaasimetrica

a a utilitatilorutilitatilor

Raportarea inadecvată la situaRaportarea inadecvată la situațție (percep ie (percep jocul ca fiind zerojocul ca fiind zero--sum)sum)

Adversitate, conflictAdversitate, conflict

DacăDacă păr părţţile ile ar comunica,ar comunica,

utilităutilităţţileile

lor ar deveni lor ar deveni comparabile (ar putea fi estimate comparabile (ar putea fi estimate costurile de oportunitate, fiecare costurile de oportunitate, fiecare ar ar şştii valoarea reală a renuntii valoarea reală a renunţţării ării sale)sale);; pe de altă parte pe de altă parte, s, s--ar putea ar putea ajunge prin negociere la o soluajunge prin negociere la o soluţţie ie mai bunămai bună..

Ex: eEx: ei ajung la un acord conform i ajung la un acord conform căruia fiecare are disponibilă o căruia fiecare are disponibilă o seară din douăseară din două..

Trompetist

Pianist cântă nu cântă

cântă (1, 3) (9,8)

nu cântă (8,9) (2,1)

NegociabilNegociabil

vsvs

nonnon--negociabilnegociabilExistă Există îînsă nsă șși cazuri i cazuri îîn care transformarea jocului n care transformarea jocului îîntrntr--unul unul nenegociabil poate oferi avantaje:nenegociabil poate oferi avantaje:

““wewe’’llll

do it my waydo it my way””

sausau

””take it or leave ittake it or leave it””, demonstra, demonstrațție ie de forde forțță care urmăreă care urmăreșște obte obțținerea unei victorii facile, prin inerea unei victorii facile, prin abandonul celuilaltabandonul celuilalt

Uneori, Uneori, ”î”închidereanchiderea””

unor opunor opțțiuni e avantajoasă iuni e avantajoasă șși pentru i pentru propria echipăpropria echipă, membrii ei concentrându, membrii ei concentrându--se asupra celor se asupra celor disponibiledisponibile

CazulCazul

CortezCortezCând Când HernandoHernando Cortez a debarcat pe coastele Mexicului cu o mică Cortez a debarcat pe coastele Mexicului cu o mică armatăarmată, e, el avea toate motivele să se teamă de superioritatea l avea toate motivele să se teamă de superioritatea numerică a aztecilornumerică a aztecilor, precum , precum şşi de reaci de reacţţia propriilor camarazi ia propriilor camarazi îîn fan faţţa a unei confruntări directeunei confruntări directe. .

Decizia lui a fost să incendieze vasele cu care au călătoritDecizia lui a fost să incendieze vasele cu care au călătorit. . ÎÎn acest n acest fel,fel,

a a valorificatvalorificat două atuuri două atuuri::

tăindutăindu--lili--sese

orice posibilitate de retragere, orice posibilitate de retragere, trupele sale nutrupele sale nu aveau altă aveau altă posibilitate decât posibilitate decât luptalupta

văzândvăzând

incendierea vaselor, aztecii au incendierea vaselor, aztecii au îînnţţeles că spaniolii sunt hotărâeles că spaniolii sunt hotărâţţi i să atace să atace şşi sunt siguri de victorie. i sunt siguri de victorie.

Rezultatul a fost retragerea aztecilor Rezultatul a fost retragerea aztecilor şşi o victorie fără vărsare de i o victorie fără vărsare de sânge pentru Cortez.sânge pentru Cortez.

BataliaBatalia

de la Agincourtde la AgincourtÎÎn timpul războiului de n timpul războiului de 100 de ani, regele Henric al V100 de ani, regele Henric al V--lea lea (eroul (eroul unei piese omonime de Shakespeare) a unei piese omonime de Shakespeare) a hotărâthotărât, s, spre pre consternarea tovarăconsternarea tovarăşşilor săi de armeilor săi de arme, , să ordone omorârea să ordone omorârea tuturor prizonierilor francezi, tuturor prizonierilor francezi, îîn fan faţţa propriilor săi soldaa propriilor săi soldaţţi.i.

Decizie imorală Decizie imorală şşi contra legilor războiuluii contra legilor războiului, ac, acţţiunea regelui iunea regelui englez senglez s--a bazat, am zice, pe raa bazat, am zice, pe raţţiuni de teoria jocurilor. Nuiuni de teoria jocurilor. Nu numai că snumai că s--a temut de eventuală eliberare sau evadare a a temut de eventuală eliberare sau evadare a prizonierilor, dar a dorit prizonierilor, dar a dorit ca propriile sale trupe să vadă ce ca propriile sale trupe să vadă ce îîl l aaşşteaptă pe cel care cade prizonier teaptă pe cel care cade prizonier (foarte probabil francezii (foarte probabil francezii ar fi aplicat aceeaar fi aplicat aceeaşşi metodăi metodă). Cu alte cuvinte, pentru ace). Cu alte cuvinte, pentru aceşştia tia nu rămânea decât alternativa luptei nu rămânea decât alternativa luptei şşi victoriei.i victoriei.

InducInducţţia ia regresivăregresivăUn mod de a elimina echilibrele lipsite de credibilitate sau Un mod de a elimina echilibrele lipsite de credibilitate sau irelevanteirelevante

şşi de a simplifica i de a simplifica şşi eficientiza desfăi eficientiza desfăşşurarea urarea joculuijocului

esteeste

inducinducţţia ia regresivăregresivă. .

Se presupune Se presupune că că mutmutările anterioareările anterioare

ale participanale participanţţilor reflectăilor reflectă

raraţţionalitatea ionalitatea acestora.acestora.

Ca atare, se poate porni de la ultima Ca atare, se poate porni de la ultima mutaremutare efectuată efectuată, pentru a reface , pentru a reface succesiv fiecare nod decizional anterior. succesiv fiecare nod decizional anterior.

EchilibreleEchilibrele

improbabile sau necredibileimprobabile sau necredibile

(cele pe care niciun participant nu ar avea (cele pe care niciun participant nu ar avea motive ramotive raţţionaleionale să le aleagă să le aleagă) sunt eliminate, ) sunt eliminate, îînainte de a se trece la nodul decizional nainte de a se trece la nodul decizional antecedent. antecedent. ÎÎn acest fel, unele echilibre n acest fel, unele echilibre NashNash

sunt scoase din discusunt scoase din discuţţie ie –– lăsând lăsând participanparticipanţţilor sarcina de a decide ilor sarcina de a decide îîntre echilibrele ntre echilibrele ””credibilecredibile””..

ÎÎn urma aplicării inducn urma aplicării inducţţiei regresive se obiei regresive se obţţin puncte de echilibru perfect al tuturor subin puncte de echilibru perfect al tuturor sub--

jocurilor (jocurilor (subgame perfect equilibrium). subgame perfect equilibrium). ((ÎÎn cazul jocurilor dinamice,n cazul jocurilor dinamice, un sub un sub--joc reprezintă o parte oarecare a jocului inijoc reprezintă o parte oarecare a jocului iniţţial, de ial, de ex. unul care ia ex. unul care ia îîn considerare doar o parte a regulilor).n considerare doar o parte a regulilor).

InducInducţţia ia progresivprogresivăăÎÎn mod analog, n mod analog, inducinducţţia ia progresivăprogresivă presupune faptul că desfă presupune faptul că desfăşşurarea urarea ulterioarăulterioară

a a jocului jocului va fi rezultatul acva fi rezultatul acţţiunii unor ageniunii unor agenţţi rai raţţionaliionali

(reprezin(reprezintătă

agregarea unor acagregarea unor acţţiuni iuni individuale raindividuale raţţionale). ionale).

Pentru a cunoaPentru a cunoaşşte mai bine opiniile sau motivate mai bine opiniile sau motivaţţiile oponeniile oponenţţilor, subiectul poate ilor, subiectul poate analiza analiza istoria mutărilor acestoraistoria mutărilor acestora. S. Se poate presupune că profilul decizional al e poate presupune că profilul decizional al oponenoponenţţilor este relativ constant ilor este relativ constant îîn timp, astfel n timp, astfel îîncât trăsăturile ncât trăsăturile şşi tendini tendinţţele observate ele observate pot fi aplicate pot fi aplicate îîn desfăsurarea ulterioară a joculuin desfăsurarea ulterioară a jocului, , îîn scop predictiv.n scop predictiv.

SpreSpre

deosebire de inducdeosebire de inducţţia ia regresivăregresivă, c, care vizează are vizează îîn primul rând eliminarea n primul rând eliminarea echilibrelor echilibrelor necredibile,necredibile,

inducinducţţia ia progresivăprogresivă

are are îîn vedere deciziile n vedere deciziile îîn condin condiţţii de ii de informainformaţţie imperfectăie imperfectă

(nu (nu este cunoscută este cunoscută îîntreaga istorie a ntreaga istorie a mutărilormutărilor

oponentului)oponentului)

şşi i asimetrică asimetrică (participan(participanţţiiii

au acces inegal laau acces inegal la

informainformaţţia relevantăia relevantă).).

AlegerileAlegerile făcute de oponent făcute de oponent devindevin astfel o sursă suplimentară de informa astfel o sursă suplimentară de informaţţie cu privire ie cu privire la probabilitatea adoptării unor strategii mai degrabă decât a ala probabilitatea adoptării unor strategii mai degrabă decât a altora.ltora.

ExempluExemplu

BB

UnitarUnitar FederalFederal DescentralizareDescentralizare

AA

UnitarUnitar 25,25,2525 50,30 50,30 50,20 50,20

FederalFederal 30,50 30,50 15,15,1515 30,20 30,20

DescentralizareDescentralizare 20,50 20,50 20,30 20,30 10,10,1010

ExempluExempluÎÎntrntr--o versiune dinamică a joculuio versiune dinamică a jocului, p, putem presupune că A utem presupune că A şşi i B aleg succesiv B aleg succesiv îîntre cele trei alternative disponibile, ntre cele trei alternative disponibile, îîn funcn funcţţie de modificările de ultim ie de modificările de ultim moment survenite (informamoment survenite (informaţţiiii

cu privire la negocieri purtate de A sau B cu cu privire la negocieri purtate de A sau B cu alte partide, disensiuni alte partide, disensiuni îîntre liderii unor filiale locale ale celor două partidentre liderii unor filiale locale ale celor două partide, , rezultate ale sondajelor rezultate ale sondajelor etc.)etc.)

Să presupunem Să presupunem că scă s--a atins unul din cele douăa atins unul din cele două

echilibre echilibre NashNash posibile posibile. L. La a următoarea mutareurmătoarea mutare, , fiecare participant arfiecare participant ar putea fi tentat să aleagă putea fi tentat să aleagă ””unitarunitar””, , urmărind oburmărind obţţinerea numărului maxim de voturi inerea numărului maxim de voturi (50%, fa(50%, faţţă de ă de 30% 30% îîn n prezent), realizabil prezent), realizabil îîn condin condiţţiile iile îîn care n care celălaltcelălalt

alege alege ””federalfederal””

sau sau ””descentralizaredescentralizare””. . ÎÎnsă dacă oponentul nsă dacă oponentul îîşşii păstrează alegerea ini păstrează alegerea iniţţială ială ((””unitarunitar””),),

se ajunge la o distribuse ajunge la o distribuţţie dezavantajoasă pentru ambele părie dezavantajoasă pentru ambele părţţi: (25, i: (25, 2525). Ma). Mai mult,i mult, dacă dacă fiecarefiecare pleacă de la presupunea că pleacă de la presupunea că celălaltcelălalt

vava

alege alege ””unitarunitar””

şşi i alegealege

îîn consecinn consecinţţă ă ””federalfederal””, s, se ajunge la o variantă e ajunge la o variantă şşi mai i mai dezavantajoasădezavantajoasă

: (15,: (15,1515).).

ExempluExempluAplicând inducAplicând inducţţia ia regresivăregresivă,, putem elimina cele două alternative suboptime putem elimina cele două alternative suboptime menmenţţionate, presuionate, presupunând că cele două punând că cele două partidepartide

cunosc consecincunosc consecinţţele ele selectării lorselectării lor. Cum . Cum îîn ambele cazuri modificarea distribun ambele cazuri modificarea distribuţţiei iniiei iniţţiale este iale este dezavantajoasă dezavantajoasă (A poate ob(A poate obţţine 25% sau 15% ine 25% sau 15% îîn loc de 30%, iar B poate n loc de 30%, iar B poate obobţţine 25% sau 15% ine 25% sau 15% îîn loc de 5n loc de 50%), 0%), se poate presupune că participanse poate presupune că participanţţii nuii nu--

şşi vor modifica strategia.i vor modifica strategia.

ÎÎn mod similar, echipa de negociere a partidului A poate aplica in mod similar, echipa de negociere a partidului A poate aplica inducnducţţia ia progresivăprogresivă

pentru pentru construi un construi un ““profil decizionalprofil decizional““ al echipei concurente al echipei concurente. D. Dacă acă mutările anterioare ale lui B pun mutările anterioare ale lui B pun îîn evidenn evidenţţă ă îîncercarea sistematică de a ncercarea sistematică de a forforţţa oba obţţinerea echilibrului Nash avantajos, chiar inerea echilibrului Nash avantajos, chiar şşi cu prei cu preţţul renunul renunţţării la ării la alte echilibre, sealte echilibre, se poate presupune că deciziile sale viitoare se vor supune poate presupune că deciziile sale viitoare se vor supune aceluiaaceluiaşşi stil agresiv.i stil agresiv.

((ÎÎn plus, asta spune ceva despre cât de responsabili n plus, asta spune ceva despre cât de responsabili şşi i fiabili sunt oponenfiabili sunt oponenţţii, ca posibili parteneri de coaliii, ca posibili parteneri de coaliţţie).ie).

BibliografieBibliografieVon Neumann, John & Morgenstern, Oskar (1943)Von Neumann, John & Morgenstern, Oskar (1943)

The The

Theory of Games and Economic BehaviorTheory of Games and Economic Behavior, Princeton: , Princeton: Princeton University Press Princeton University Press

FudenbergFudenberg, Drew & , Drew & TiroleTirole, Jean (1991), Jean (1991)

Game theoryGame theory, , Cambridge, MIT Press Cambridge, MIT Press

Rubinstein, ArielRubinstein, Ariel; Osborne, Martin J. (1994), ; Osborne, Martin J. (1994), A course in A course in game theorygame theory, , MIT PressMIT Press

NoldekeNoldeke, G. & Samuelson, L. (1993) An evolutionary , G. & Samuelson, L. (1993) An evolutionary analysis of backward and forward induction. analysis of backward and forward induction. Games & Games & Economic Economic BehaviourBehaviour

5:4255:425––454 454