template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut...

80
MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE clasele VI-VIII Manualul Profesorului Indicații metodologice de utilizare Simetria axială

Upload: vuxuyen

Post on 29-Aug-2019

224 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE clasele VI-VIII

Manualul Profesorului

Indicații metodologice

de utilizare

Simetria axială

Page 2: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

2

CUPRINS:

I. Lista figurilor .................................................................................. 3

II. Informații generale despre pachetul educațional ”Simetria axială” ............. 5

III. Modulul 1: Simetria axială. Lecții de inițiere ......................................... 7

III.1. Aplicația 1. Joc de desenare.................................................................... 7 III.2. Aplicația 2. Figuri geometrice simetrice față de o dreaptă ................................. 9 III.3. Aplicația 3. Test de autoevaluare ............................................................ 18

IV. Modulul 2: Aplicații interdisciplinare. Reflexia în oglinzile plane ............. 29

IV.1. Aplicația 4. Formarea imaginilor în oglinzile plane ........................................ 29 IV.2. Aplicația 5. Caleidoscop virtual .............................................................. 38 IV.3. Aplicația 6. Figuri cu mai multe axe de simetrie ........................................... 41

V. Modulul 3. Teme de sinteză. Axe de simetrie ....................................... 47

V.1. Aplicația 7. Axele de simetrie ale unei figuri geometrice ................................. 48 V.2. Aplicația 8. Test de autoevaluare. Teme de sinteză ...................................... 61 V.3. Aplicația 9. Joc: Caleidoscopul cu întrebări................................................. 73

VI. Realizator ................................................................................... 79

VII. Referințe ................................................................................... 80

Page 3: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

3

I. LISTA FIGURILOR

Figura 1. Lansarea jocului de desenare ....................................................................................................... 8 Figura 2. Joc de desenare. Desen realizat de elevi ................................................................................... 9 Figura 3. Lansarea aplicației ” Figuri geometrice simetrice față de o dreaptă” .............................. 10 Figura 4. Moment introductiv interactiv ..................................................................................................... 10 Figura 5. Generator de puncte simetrice față de o dreaptă ................................................................... 11 Figura 6. Generator de figuri simetrice față de o dreaptă ...................................................................... 12 Figura 7. Definirea simetricului unui punct față de o dreaptă .............................................................. 12 Figura 8. Definirea simetriei. Moment interactiv ...................................................................................... 13 Figura 9. Problematizare. Congruența unor segmente .......................................................................... 13 Figura 10. Indicații pentru rezolvarea problemei ..................................................................................... 14 Figura 11. Simetricul unui segment față de o dreaptă ............................................................................ 14 Figura 12. Afișarea unei rezolvări a problemei ......................................................................................... 15 Figura 13. Simetricul unei figuri geometrice ............................................................................................. 15 Figura 14. Simetricul unui triunghi față de o dreaptă ............................................................................. 16 Figura 15. Rezolvarea problemei.................................................................................................................. 16 Figura 16. Simetricul unui triunghi. Finalizare ......................................................................................... 17 Figura 17. Joc. Construiește brăduțul! ....................................................................................................... 17 Figura 18. Joc. Împodobește brăduțul ........................................................................................................ 18 Figura 19. Finalizarea jocului ........................................................................................................................ 18 Figura 20. Moment introductiv de reactualizare a cunoștințelor ......................................................... 19 Figura 21. Problema 1. Enunț ........................................................................................................................ 20 Figura 22. Problema 1. Rezolvare ................................................................................................................ 20 Figura 23. Problema 2. Notație ..................................................................................................................... 21 Figura 24. Problema 2. Rezolvare ................................................................................................................ 21 Figura 25. Problema 3. Enunț și reprezentare .......................................................................................... 22 Figura 26. Problema 3. Indicație de rezolvare ........................................................................................... 22 Figura 27. Problema 4. Enunț ........................................................................................................................ 23 Figura 28. Problema 4. Răspuns .................................................................................................................. 23 Figura 29. Problema 5. Enunț ........................................................................................................................ 24 Figura 30. Problema 5. Răspuns .................................................................................................................. 24 Figura 31. Problema 6. Enunț ........................................................................................................................ 25 Figura 32. Problema 6. Indicație de rezolvare ........................................................................................... 25 Figura 33. Problema 6. Răspunsuri ............................................................................................................. 26 Figura 34. Problema 7. Enunț ........................................................................................................................ 26 Figura 35. Problema 7. Indicație de rezolvare ........................................................................................... 27 Figura 36. Joc de formare de cuvinte ......................................................................................................... 27 Figura 37. Rezolvarea jocului ........................................................................................................................ 28 Figura 38. Imagini într-o oglindă plană ....................................................................................................... 30 Figura 39. Imaginea în oglindă și simetria axială ..................................................................................... 31 Figura 40. Modelul razei de lumină reflectate ........................................................................................... 31 Figura 41. Formarea imaginii ........................................................................................................................ 32 Figura 42. Două raze reflectate ..................................................................................................................... 32 Figura 43. Poziționarea imaginii. Problematizare .................................................................................... 33 Figura 44. Poziționarea imaginii. Indicații de rezolvare ......................................................................... 33 Figura 45. Imagini în două oglinzi perpendiculare .................................................................................. 34 Figura 46. Modelul imaginilor multiple ....................................................................................................... 34 Figura 47. Formarea imaginilor multiple .................................................................................................... 35 Figura 48. Localizarea imaginii secundare ................................................................................................ 35 Figura 49. Imagini multiple. Problema 1 ..................................................................................................... 36 Figura 50. Problema 1. Răspuns .................................................................................................................. 36 Figura 51. Imagini multiple. Problema 2 ..................................................................................................... 37 Figura 52. Problema 2. Răspuns .................................................................................................................. 37 Figura 53. Caleidoscop virtual. Problema 3 .............................................................................................. 38 Figura 54. Problema 3. Răspuns .................................................................................................................. 38 Figura 55. Caleidoscop virtual. Introducere .............................................................................................. 39 Figura 56. Caleidoscop virtual. Problematizare ....................................................................................... 40

Page 4: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

4

Figura 57. Caleidoscop virtual. Interactivitate .......................................................................................... 40 Figura 58. Imagine obținută prin reflexii succesive în două oglinzi plane ........................................ 41 Figura 59. Generator de figuri cu axe de simetrie ................................................................................... 42 Figura 60. Modificarea numărului de axe de simetrie ............................................................................. 42 Figura 61. Utilizarea casetei pentru introducerea răspunsului ............................................................ 43 Figura 62. Feedback-ul aplicației la introducerea răspunsului corect ............................................... 43 Figura 63. Definirea axei de simetrie. Exemplificare interactivă .......................................................... 48 Figura 64. Axele de simetrie ale unui cerc. Problematizare .................................................................. 49 Figura 65. Axele de simetrie ale cercului. Indicație de rezolvare a problemei ................................. 49 Figura 66. Axa de simetrie a triunghiului isoscel .................................................................................... 50 Figura 67. Axa de simetrie a triunghiului isoscel. Indicație de rezolvare .......................................... 50 Figura 68. Axele de simetrie ale rombului ................................................................................................. 51 Figura 69. Axele de simetrie ale rombului. Reducerea la o problemă anterior rezolvată .............. 51 Figura 70. Axele de simetrie ale triunghiului echilateral ........................................................................ 52 Figura 71. Axele de simetrie ale triunghiului echilateral. Rezolvare ................................................... 52 Figura 72. Axa de simetrie a unui trapez isoscel ..................................................................................... 53 Figura 73. Axa de simetrie a unui trapez isoscel. Reprezentare .......................................................... 53 Figura 74. Axa de simetrie a unui trapez isoscel. Demonstrație ......................................................... 54 Figura 75. Axele de simetrie ale dreptunghiului ...................................................................................... 54 Figura 76. Axele de simetrie ale dreptunghiului. Reprezentare ........................................................... 55 Figura 77. Axele de simetrie ale dreptunghiului. Indicație .................................................................... 55 Figura 78. A doua axă de simetrie a dreptunghiului ............................................................................... 56 Figura 79. Axele de simetrie ale pătratului ................................................................................................ 56 Figura 80. Axele de simetrie ale pătratului. Soluție ................................................................................. 57 Figura 81. Axele de simetrie ale pătratului. Reprezentare ..................................................................... 57 Figura 82. Axele de simetrie ale unui poligon regulat. Indicație .......................................................... 58 Figura 83. Axele de simetrie ale unui poligon regulat (1) ...................................................................... 58 Figura 84. Axele de simetrie ale unui poligon regulat (2) ...................................................................... 59 Figura 85. Axele de simetrie ale unui poligon. Problemă ...................................................................... 59 Figura 86. Axele de simetrie ale unui poligon. Răspuns ....................................................................... 60 Figura 87. Figuri cu mai multe axe de simetrie. Animație ..................................................................... 60 Figura 88. Instrucțiuni la lansarea testului ................................................................................................ 62 Figura 89. Problema 1. Simetricul unui punct față de axele de coordonate ..................................... 63 Figura 90. Problema 1. Simetricul față de axa Ox .................................................................................... 63 Figura 91. Problema 1. Simetricul față de axa Oy .................................................................................... 64 Figura 92. Problema 1. Simetricul față de axa Oy a simetricului față de Ox ..................................... 64 Figura 93. Problema 2. Lungimea unui segment ..................................................................................... 65 Figura 94. Problema 2. Simetricul unui segment față de axa Ox ......................................................... 65 Figura 95. Problema 2. Simetricul unui segment față de axa Oy ......................................................... 66 Figura 96. Problema 2. Simetricul simetricului unui segment ............................................................. 66 Figura 97. Problema 3. Aria unui triunghi .................................................................................................. 67 Figura 98. Problema 3. Aria triunghiului. Indicație și răspuns ............................................................. 67 Figura 99. Problema 3. Simetricul unui triunghi față de axa Ox .......................................................... 68 Figura 100. Problema 3. Simetricul unui triunghi față de axa Oy ........................................................ 68 Figura 101. Problema 3. Simetricul simetricului unui triunghi ............................................................. 69 Figura 102. Problema 4. Coliniaritate .......................................................................................................... 69 Figura 103. Problema 4. Indicație de rezolvare ........................................................................................ 70 Figura 104. Problema 5. Paralelogram sau dreptunghi? ....................................................................... 70 Figura 105. Problema 5. Indicație de rezolvare ........................................................................................ 71 Figura 106. Problema 6. Aria suprafeței comune ..................................................................................... 71 Figura 107. Problema 6. Indicație de rezolvare (1) .................................................................................. 72 Figura 108. Problema 6. Indicație de rezolvare (2) .................................................................................. 72 Figura 109. Problema 6. Răspuns ................................................................................................................ 73 Figura 110. Interfața jocului ”Caleidoscopul cu întrebări” .................................................................... 74 Figura 111. Introducerea răspunsului și primirea feedback-ului ......................................................... 74 Figura 112. Introducerea răspunsului în formă zecimală ...................................................................... 75

Page 5: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

5

II. INFORMAȚII GENERALE DESPRE PACHETUL EDUCAȚIONAL

”SIMETRIA AXIALĂ”

Tema Simetria față de o dreaptă face parte din conținuturile de învățare propuse la disciplina Matematică, conform programei școlare pentru gimnaziu [1]. Aplicațiile interactive pe care le oferim prin pachetul educațional ”Simetria axială” au rolul de a facilita introducerea unor noțiuni geometrice noi și de a oferi suport în formarea capacității elevilor de a formula și rezolva probleme. Pachetul conține jocuri educaționale adecvate obiectivelor lecțiilor, care să favorizeze crearea unui mediu de învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, realizându-se conexiunea dintre proprietățile simetriei axiale și fenomenul reflexiei în oglinzile plane. Elevii sunt antrenați în rezolvarea unor probleme de matematică, dar și în rezolvarea unor probleme de optică geometrică, având prilejul de a-și valorifica cunoștințele de geometrie în situații practice, reale.

Activitățile de învățare propuse vizează formarea competențelor generale stabilite de programele de matematică și fizică pentru gimnaziu, cu accent pe formarea competențelor specifice derivate din acestea [1-2]. În proiectarea aplicațiilor au fost luate în considerație rezultatele cercetărilor în domeniul psihologiei cognitive, referitoare la învățarea eficientă prin utilizarea unor instrumente multimedia [3]. A fost evitată supraîncărcarea cu informații a panourilor aplicațiilor și au fost valorificate elementele de interactivitate puse la dispoziție de software-ul GeoGebra, utilizat pentru crearea aplicațiilor oferite prin pachetul educațional ”Simetria axială”.

Ce este GeoGebra? Software-ul GeoGebra are la bază un sistem de geometrie dinamică interconectat cu un sistem de calcul algebric, fiind creat special pentru a oferi un mediu interactiv de învățare a matematicii. În prezent, GeoGebra are milioane de utilizatori, în sute de țări [4].

Cum accesați și utilizați aplicațiile din pachetul ”Simetria axială”?

Cele nouă aplicații ale pachetului educațional ”Simetria axială” au fost publicate sub forma unei cărți GeoGebra, accesibilă la acest link. După selectarea aplicației dorite, aceasta poate fi descărcată pe calculatorul propriu, sau poate fi utilizată online. Pentru trecerea de la un moment la altul al lecției, elevul va acționa cursoarele incluse în panourile aplicației. Figurile realizate cu GeoGebra sunt dinamice, astfel că elementele grafice pot fi rearanjate de către utilizator, generându-se configurații noi, care să respecte condițiile impuse. Panourile aplicației conțin casete de validare, care permit afișarea sau ascunderea unor elemente grafice, precum și casete pentru introducerea unor date.

Testele de evaluare oferite în cadrul pachetului sunt generate dinamic. Astfel, la fiecare rulare problemele vor avea date diferite, iar reprezentările grafice vor corespunde datelor generate. Pentru fiecare problemă, elevul poate primi indicații de rezolvare sau răspunsurile corecte, pentru verificare. Elevii au posibilitatea de a rezolva de mai multe ori testele de autoevaluare, până la înțelegerea corectă a noțiunilor studiate.

Aplicațiile din pachetul ”Simetria axială” au fost grupate în 3 module:

Simetria axială. Lecții de inițiere

Reflexia în oglinzile plane. Aplicații interdisciplinare

Page 6: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

6

Axe de simetrie. Lecții de sinteză.

Page 7: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

7

III. MODULUL 1: SIMETRIA AXIALĂ. LECȚII DE INIȚIERE

Materia Matematică

Modulul 1 Simetria axială. Lecții de inițiere

Clasa a VI-a, a VII-a

Scurtă descriere a

materialului

Primul modul are ca obiectiv introducerea noțiunii de simetrie axială și demonstrarea unor proprietăți ale simetriei axiale. Modulul pune la dispoziție trei aplicații realizate cu GeoGebra.

Cunoștințe științifice /

teoretice necesare la

începutul lecției

Pentru parcurgerea lecțiilor elevul trebuie să cunoască:

- noțiunea de mediatoare a unui segment

- cazurile de congruență ale triunghiurilor

- condițiile de coliniaritate a trei puncte

- utilizarea coordonatelor carteziene

- calculul ariei unui triunghi

Cuvinte-cheie

Simetrie axială, mediatoare, triunghiuri congruente, coordonate carteziene, arii

Componentele modulului

Joc de desenare.

Definirea simetricului unui punct față de o dreaptă și reprezentarea geometrică dinamică, corespunzătoare definiției.

Învățare prin rezolvare de probleme: simetricul unui segment față de o dreaptă, simetricul unui triunghi față de o dreaptă.

Joc de construcție a unui desen cu axă de simetrie, prin deplasarea și aranjarea unor poligoane.

Test de autoevaluare cu itemi și reprezentări grafice generate dinamic.

Joc cu formare de cuvinte

Timp total

100 min

III.1. Aplicația 1. Joc de desenare

Obiectiv Captarea atenției elevului și familiarizarea cu tema studiată

Durata în timp pentru utilizarea la clasă

5 min

Page 8: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

8

Descrierea conținutului În descrierea de mai jos

Reprezentare vizuală a lecției la care se referă aplicația (capturi de ecran)

În descrierea de mai jos

Instrucțiuni de utilizare În descrierea de mai jos

Tipul de itemi de învățare

Text, Imagini, Simulare, Activitate de desenare

Descrierea aplicației ”Joc de desenare”

Această aplicație oferă elevilor posibilitatea de a realiza diferite desene care au o axă de simetrie. În panoul din stânga al aplicației sunt prezentate instrucțiunile, iar în panoul din dreapta este reprezentată axa de simetrie a desenului care va fi creat de elev (Figura 1).

Elevul va acționa butonul de desenare liberă , apoi va desena diferite forme în panoul din dreapta, în unul din semiplanele determinate de axa de simetrie. După

acționarea butonului se va obține simetricul liniei sau liniilor trasate, în raport cu axa de simetrie, în modul următor: mai întâi se dă click pe linia trasată, apoi pe axa de simetrie. Figura 2 prezintă un desen realizat de elevi în această aplicație.

Figura 1. Lansarea jocului de desenare

Page 9: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

9

Figura 2. Joc de desenare. Desen realizat de elevi

Jocul de desenare poate fi folosit la începutul modulului, pentru captarea atenției elevilor și familiarizarea cu subiectul, sau pe parcursul lecției, dacă este nevoie de un mic moment de relaxare. Folosind aplicația, se pot organiza concursuri de desen între elevi. Elevii care nu concurează vor forma juriul competiției.

III.2. Aplicația 2. Figuri geometrice simetrice față de o dreaptă

Obiectiv Definirea simetricului unui punct față de o dreaptă și deducerea unor consecințe, prin problematizare

Durata în timp pentru utilizarea la clasă

45 min

Descrierea conținutului În descrierea de mai jos

Reprezentare vizuală a lecției la care se referă aplicația (capturi de ecran)

În descrierea de mai jos

Instrucțiuni de utilizare În descrierea de mai jos

Tipul de itemi de învățare

Text, Imagini, Simulare, Rezolvare de probleme

Page 10: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

10

Descrierea aplicației ” Figuri geometrice simetrice față de o dreaptă”

Pentru a naviga în cadrul acestei aplicații, se deplasează cursorul din panoul din stânga (Figura 3). După anunțarea temei lecției, urmează un moment introductiv interactiv. Punctele reprezentate în panoul din stânga, notate cu K, O, L, J, G pot fi deplasate de elev, iar aplicația va repoziționa de fiecare dată punctele K’, O’ și L’, astfel ca acestea să fie simetricele punctelor K, O și L față de dreapta JG (Figura 4). În timp ce elevii mută câte unul din cele 6 puncte, se observă și se discută modul în care sunt plasate perechile de puncte față de dreapta GJ. Elevii pot observa că dreapta GJ este mediatoarea segmentelor determinate de anumite perechi de puncte. Elevii sunt solicitați să dea exemple de simetrii întâlnite în natură.

Figura 3. Lansarea aplicației ” Figuri geometrice simetrice față de o dreaptă”

Figura 4. Moment introductiv interactiv

Page 11: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

11

În funcție de răspunsurile elevilor, momentul introductiv poate dura între 5 și 10 minute. În următorul moment al lecției, aplicația oferă reprezentarea a n puncte, generate aleatoriu, și a simetricele lor față de o dreaptă. Cu ajutorul cursorului albastru, elevul poate modifica numărul n de puncte reprezentate (Figura 5). La fiecare deplasare a cursorului, aplicația generează noi puncte, în poziții diferite. Întrebarea cheie a momentului este: ”Ce înțelegem prin simetricul unui punct față de o dreaptă?”

Următorul moment al lecției permite afișarea liniilor poligonale închise determinate de punctele generate aleatoriu, obținându-se figuri geometrice simetrice (Figura 6). Întrebarea acestui moment este: ”Ce înțelegem prin simetricul unei figuri geometrice față de o dreaptă?”. Durata de utilizare în lecție a generatorului de figuri simetrice, cu discutarea reprezentărilor obținute, poate fi de aproximativ 5 minute.

Figura 5. Generator de puncte simetrice față de o dreaptă

Page 12: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

12

Figura 6. Generator de figuri simetrice față de o dreaptă

În următorul moment al lecției, elevii vor nota definiția simetricului unui punct față de o dreaptă (Figura 7). Se reamintește definiția mediatoarei unui segment, pentru a formula mai concis definiția simetricului unui punct. Elevii pot deplasa cu ajutorul mouse-ului punctul A, și vor observa că simetricul său față de dreapta d, punctul A’, va fi repoziționat automat de aplicație (Figura 8).

Următoarele trei momente ale lecției propun rezolvarea a trei probleme (Figurile 9-16), importante pentru înțelegerea sintagmelor ”simetricul unui segment față de o dreaptă” și ”simetricul unui triunghi față de o dreaptă”. Pentru fiecare problemă, aplicația poate afișa indicații de rezolvare sau soluții posibile, după bifarea casetelor corespunzătoare.

Figura 7. Definirea simetricului unui punct față de o dreaptă

Page 13: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

13

Figura 8. Definirea simetriei. Moment interactiv

Figura 9. Problematizare. Congruența unor segmente

Page 14: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

14

Figura 10. Indicații pentru rezolvarea problemei

Figura 11. Simetricul unui segment față de o dreaptă

Page 15: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

15

Figura 12. Afișarea unei rezolvări a problemei

Figura 13. Simetricul unei figuri geometrice

Page 16: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

16

Figura 14. Simetricul unui triunghi față de o dreaptă

Figura 15. Rezolvarea problemei

Page 17: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

17

Figura 16. Simetricul unui triunghi. Finalizare

În finalul lecției introductive, aplicația simulează un joc de tip puzzle (Figura 17). Elevii pot roti sau translata poligoanele din stânga axei de simetrie d, folosind punctele de control Pi afișate. Poligoanele simetrice, din dreapta axei de simetrie, se vor repoziționa simultan. După aranjarea poligoanelor astfel încât să formeze un brăduț, elevii îl pot împodobi, amplasând ornamentele din cutie (Figura 18). Ornamentele sunt perechi de obiecte simetrice față de dreapta d (Figura 19).

Figura 17. Joc. Construiește brăduțul!

Page 18: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

18

Figura 18. Joc. Împodobește brăduțul

Figura 19. Finalizarea jocului

III.3. Aplicația 3. Test de autoevaluare

Obiectiv Utilizarea noțiunii de simetrie în rezolvarea problemelor. Corelarea noțiunii de simetrie cu alte noțiuni geometrice

Durata în timp pentru utilizarea la clasă

50 min

Page 19: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

19

Descrierea conținutului În descrierea de mai jos

Reprezentare vizuală a lecției la care se referă aplicației (capturi de ecran)

În descrierea de mai jos

Instrucțiuni de utilizare În descrierea de mai jos

Tipul de itemi de învățare

Text, Imagini, Simulare, Rezolvare de probleme

Descrierea aplicației ”Test de autoevaluare”

Înainte de începerea testului, aplicația propune reamintirea semnificației coordonatelor carteziene, a abscisei și a ordonatei (Figura 20). Pentru parcurgerea testului se deplasează spre dreapta cursorul din panoul din stânga (Figura 21).

Testul conține șapte probleme, cu date și reprezentări diferite la fiecare rulare a testului. Astfel, testul va putea fi rezolvat de mai multe ori de elevii care întâmpină dificultăți în rezolvarea problemelor, până la efectuarea corectă a raționamentelor. Aplicația oferă indicații de rezolvare și răspunsurile corecte (Figurile 21-35). Problemele incluse în test se referă la determinarea coordonatelor simetricelor unor puncte față de o dreaptă dată și la calculul unor lungimi și arii.

Figura 20. Moment introductiv de reactualizare a cunoștințelor

Page 20: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

20

Figura 21. Problema 1. Enunț

Figura 22. Problema 1. Rezolvare

Page 21: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

21

Figura 23. Problema 2. Notație

Figura 24. Problema 2. Rezolvare

Page 22: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

22

Figura 25. Problema 3. Enunț și reprezentare

Figura 26. Problema 3. Indicație de rezolvare

Page 23: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

23

Figura 27. Problema 4. Enunț

Figura 28. Problema 4. Răspuns

Page 24: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

24

Figura 29. Problema 5. Enunț

Figura 30. Problema 5. Răspuns

Page 25: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

25

Figura 31. Problema 6. Enunț

Figura 32. Problema 6. Indicație de rezolvare

Page 26: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

26

Figura 33. Problema 6. Răspunsuri

Figura 34. Problema 7. Enunț

Page 27: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

27

Figura 35. Problema 7. Indicație de rezolvare

Figura 36. Joc de formare de cuvinte

După finalizarea testului aplicația lansează un joc cu formare de cuvinte. Se cer răspunsuri la următoarele două întrebări: Cum se mai numește simetria față de o dreaptă? Ce alt tip de simetrie cunoști? (Figurile 36-37)

Page 28: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

28

Figura 37. Rezolvarea jocului

Page 29: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

29

IV. MODULUL 2: APLICAȚII INTERDISCIPLINARE. REFLEXIA ÎN

OGLINZILE PLANE

Materia Matematică și fizică

Modulul 2 Aplicații interdisciplinare. Reflexia în oglinzile plane

Clasa a VIII-a

Scurtă descriere a

materialului

Acest modul are ca obiectiv explicarea fenomenului reflexiei în oglinzi și a modului de formare a imaginilor prin reflexie. Modulul pune la dispoziție trei aplicații realizate cu GeoGebra.

Cunoștințe științifice /

teoretice necesare la

începutul lecției

Pentru parcurgerea lecțiilor elevul trebuie să cunoască:

- modelul razei de lumină în optica geometrică

- cazurile de congruență ale triunghiurilor

- utilizarea coordonatelor carteziene

- calculul ariei unui triunghi

Cuvinte-cheie

Oglinzi plane, Reflexie, Imagine, Optică geometrică, Simetrie axială, Reflexii multiple

Componentele modulului

Determinarea poziției imaginii unui obiect într-o oglindă plană pe baza legilor reflexiei . Rezolvare de probleme

Formarea imaginilor multiple în două oglinzi plane perpendiculare

Numărul de imagini formate în două oglinzi care formează un unghi de forma 180o/n.

Caleidoscop virtual

Generator de figuri cu mai multe axe de simetrie. Determinarea unghiurilor formate de axele de simetrie.

Timp total

50 min

IV.1. Aplicația 4. Formarea imaginilor în oglinzile plane

Obiectiv Utilizarea cunoștințelor geometrice pentru înțelegerea unor fenomene optice

Durata în timp pentru utilizarea la clasă

30 min

Page 30: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

30

Descrierea conținutului În descrierea de mai jos

Reprezentare vizuală a lecției la care se referă aplicația (capturi de ecran)

În descrierea de mai jos

Instrucțiuni de utilizare În descrierea de mai jos

Tipul de itemi de învățare

Text, Imagini, Simulare, Rezolvare de probleme

Descrierea aplicației ”Formarea imaginilor în oglinzile plane”

Această aplicație are rolul de a explica corelația dintre pozițiile imaginilor formate în una sau două oglinzi plane și noțiunea de simetrie axială. Primul cadru al aplicației prezintă o fotografie a unei oglinzi așezate perpendicular pe planul mesei. Sunt vizibile patru triunghiuri de hârtie colorată, așezate pe masă, precum și imaginile lor în oglindă (Figura 38). Dacă este posibil, recomandăm ca elevilor să li se ofere materialele necesare pentru a realiza ei înșiși configurații asemănătoare. Elevii trebuie să observe că imaginile formate în oglinzi sunt simetricele obiectelor reale față de dreapta de intersecție dintre planul oglinzii și planul mesei.

Următorul cadru (Figura 39) oferă o reprezentare schematizată a situației surprinse în fotografia anterioară. Elevii sunt solicitați să caute o explicație a faptului că imaginea fiecărui punct în oglindă este simetricul acelui punct față de oglindă.

Figura 38. Imagini într-o oglindă plană

Page 31: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

31

Figura 39. Imaginea în oglindă și simetria axială

Figura 40. Modelul razei de lumină reflectate

Explicația va fi descoperită cu ajutorul elevilor, pe baza legilor reflexiei. Mai întâi se definesc noțiunile necesare: normala la suprafața oglinzii, rază incidentă, rază reflectată, unghi de incidență, unghi de reflexie (Figura 40). Se precizează că un observator percepe imaginea obiectului în oglindă pe prelungirea razelor reflectate care ajung la ochiul său. Elevii vor fi solicitați să indice traseul unei alte raze de lumină, care se reflectă în oglindă într-un punct E (Figurile 41-42). Imaginea obiectului S se va forma în punctul de intersecție a prelungirilor celor două raze reflectate în punctele I și respectiv E (Figura 43). Elevii pot demonstra că punctul de intersecție este chiar simetricul lui S față de oglinda reprezentată prin dreapta d.

Page 32: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

32

Figura 41. Formarea imaginii

Figura 42. Două raze reflectate

Pentru a demonstra că punctul de intersecție a prelungirilor a două raze reflectate este simetricul obiectului S față de dreapta d, elevul va arăta, folosind legea reflexiei, că triunghiurile ISE și IS’E sunt congruente (Figura 43). Aplicația poate oferi indicații de rezolvare, după bifarea casetei corespunzătoare (Figura 44).

Page 33: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

33

Figura 43. Poziționarea imaginii. Problematizare

Figura 44. Poziționarea imaginii. Indicații de rezolvare

În continuare, va fi studiat fenomenul reflexiilor multiple în două oglinzi perpendiculare. Acest moment al lecției începe cu prezentarea unei noi fotografii, care ilustrează sistemul optic format din două oglinzi plane, perpendiculare pe planul mesei și perpendiculare în același timp una pe cealaltă (Figura 45). Între cele oglinzi, pe masă, sunt așezate două triunghiuri din hârtie colorată. Se observă că pentru fiecare triunghi s-au format câte trei imagini. Recomandăm ca elevilor să li se ofere sisteme optice asemănătoare, pentru a realiza experimentul ei înșiși.

În figura 46 este prezentată schematizat situația din fotografia anterioară. Se face distincția între imaginile primare și secundare. Imaginile primare se formează direct, în fiecare din cele două oglinzi, așa cum s-a explicat anterior. Pentru a înțelege modul de

Page 34: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

34

formare a imaginii secundare, va fi urmărit traseul unei raze de lumină care se reflectă în ambele oglinzi (Figura 47). Imaginea secundară, notată cu P’’, se află pe prelungirea razei reflectate a doua oară, în punctul J. Astfel punctul P’’ va fi imaginea imaginii primare P’ în oglinda OB. Aplicația reprezintă două raze dublu reflectate (Figura 48). Elevii pot demonstra că imaginea secundară P’’, care se află la intersecția prelungirilor razelor reflectate, este chiar simetricul punctului P’ față de dreapta OB.

Figura 45. Imagini în două oglinzi perpendiculare

Figura 46. Modelul imaginilor multiple

Page 35: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

35

Figura 47. Formarea imaginilor multiple

Figura 48. Localizarea imaginii secundare

Urmează momentul de evaluare: aplicația prezintă două fotografii în care cele două oglinzi sunt perpendiculare pe planul mesei, dar nu mai sunt perpendiculare una pe cealaltă, ci formează un unghi ascuțit (Figurile 49, 51). Observând numărul de imagini formate, elevii pot determina valoarea unghiului format de cele două oglinzi. Aplicația afișează răspunsurile corecte, după bifarea casetelor corespunzătoare (Figurile 50, 52). Rezolvarea acestor probleme oferă prilejul de a discuta noțiunea de unghi plan al unui diedru, precum și noțiunea de perpendicularitate a planelor.

Page 36: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

36

Figura 49. Imagini multiple. Problema 1

Figura 50. Problema 1. Răspuns

Page 37: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

37

Figura 51. Imagini multiple. Problema 2

Figura 52. Problema 2. Răspuns

În cadrul final al aplicației, este propusă o problemă asemănătoare, legată de o imagine generată cu ajutorul unui caleidoscop virtual (Figurile 53-54). Acesta va putea fi accesat de elevi prin deschiderea următoarei aplicații a modulului.

Page 38: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

38

Figura 53. Caleidoscop virtual. Problema 3

Figura 54. Problema 3. Răspuns

IV.2. Aplicația 5. Caleidoscop virtual

Obiectiv Recunoașterea axelor de simetrie ale unei figuri geometrice

Durata în timp pentru utilizarea la clasă

10 min

Page 39: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

39

Descrierea conținutului În descrierea de mai jos

Reprezentare vizuală a lecției la care se referă aplicației (capturi de ecran)

În descrierea de mai jos

Instrucțiuni de utilizare În descrierea de mai jos

Tipul de itemi de învățare

Text, Imagini, Simulare, Rezolvare de probleme

Descrierea aplicației ”Caleidoscop virtual”

În primul cadru al aplicației se descrie modul de manevrare a triunghiurilor care vor genera imaginile caleidoscopice. Fiecare triunghi are două puncte de control: unul poate fi folosit pentru a roti triunghiul, iar celălalt pentru a-l translata (Figura 55).

Figura 55. Caleidoscop virtual. Introducere

După plasarea comutatorului pe poziția ON este afișată o figură geometrică multicoloră cu mai multe axe de simetrie (Figura 56). Elevii sunt invitați să descopere axele de simetrie ale figurii și să determine numărul acestora. După bifarea casetei corespunzătoare, aplicația afișează axele de simetrie, iar răspunsul elevilor va fi verificat. Dacă elevii bifează a doua casetă de validare, aplicația afișează punctele de control ale triunghiurilor. Cu ajutorul acestora, triunghiurile pot fi deplasate astfel încât să se formeze noi figuri (Figura 57). Cea de a doua întrebare propusă elevilor se referă la determinarea unghiului format de două axe de simetrie consecutive. Elevii vor observa că acesta poate fi aflat prin împărțirea unghiului alungit în m părți egale, unde m reprezintă numărul axelor de simetrie.

Page 40: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

40

Cu ajutorul dispozitivului format din două oglinzi și a unor triunghiuri din hârtie colorată, elevii pot obține imagini asemănătoare. (Figura 58). Recomandăm utilizarea în paralel a unui dispozitiv real și a caleidoscopului virtual, pentru observarea analogiilor.

Figura 56. Caleidoscop virtual. Problematizare

Figura 57. Caleidoscop virtual. Interactivitate

Page 41: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

41

Figura 58. Imagine obținută prin reflexii succesive în două oglinzi plane

IV.3. Aplicația 6. Figuri cu mai multe axe de simetrie

Obiectiv Determinarea numărului de axe de simetrie ale unei figuri geometrice

Durata în timp pentru utilizarea la clasă

10 min

Descrierea conținutului În descrierea de mai jos

Reprezentare vizuală a lecției la care se referă aplicația (capturi de ecran)

În descrierea de mai jos

Instrucțiuni de utilizare În descrierea de mai jos

Tipul de itemi de învățare

Text, Imagini, Simulare, Animație, Rezolvare de probleme

Descrierea aplicației ”Figuri cu mai multe axe de simetrie”

Această aplicație generează aleatoriu figuri geometrice cu n axe de simetrie (n≥2). Pot fi afișate succesiv figuri diferite, cu același număr de axe de simetrie, prin acționarea butonului Play din colțul stânga-jos al panoului (Figura 59). Pentru a modifica numărul axelor de simetrie se poziționează comutatorul roșu al aplicației pe poziția 1. Vor fi afișate două cursoare: unul dintre ele permite modificarea numărului axelor de simetrie, iar celălalt permite modificarea numărului vârfurilor liniei poligonale ce va fi reflectată în axele de simetrie (Figura 60). Numărul axelor de simetrie nu este afișat,

Page 42: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

42

elevii fiind solicitați să îl determine. Elevii vor introduce numărul găsit în caseta de preluare de date a aplicației. După acționarea butonului ”Verificare”, aplicația oferă feedback (Figurile 61-62).

Figura 59. Generator de figuri cu axe de simetrie

Figura 60. Modificarea numărului de axe de simetrie

Page 43: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

43

Figura 61. Utilizarea casetei pentru introducerea răspunsului

Figura 62. Feedback-ul aplicației la introducerea răspunsului corect

La fiecare deplasare a cursoarelor se generează alte imagini. Tabelul de mai jos cuprinde câteva imagini obținute cu ajutorul aplicației. Elevii pot selecta imaginile preferate, pentru a realiza afișe sau alte lucrări.

Page 44: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

44

Page 45: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

45

Page 46: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

46

Page 47: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

47

V. MODULUL 3. TEME DE SINTEZĂ. AXE DE SIMETRIE

Materia Matematică

Modulul 3 Teme de sinteză. Axe de simetrie

Clasa a VII-a, a VIII-a

Scurtă descriere a

materialului

Modulul final tratează probleme de sinteză legate de noțiunea de simetrie axială. Modulul pune la dispoziție trei aplicații realizate cu GeoGebra.

Cunoștințe științifice /

teoretice necesare la

începutul lecției

Pentru parcurgerea lecțiilor elevul trebuie să cunoască:

- cazurile de congruență ale triunghiurilor

- liniile importante în triunghi

- definiția cercului

- definiția și proprietățile triunghiului isoscel și echilateral

- definiția și proprietățile patrulaterelor speciale

- teorema lui Pitagora

- definiția poligonului regulat

- utilizarea coordonatelor carteziene

- calculul unor lungimi și arii

- condiții de coliniaritate a trei puncte

- asemănarea triunghiurilor

Cuvinte-cheie

Axe de simetrie, Mediatoare, Bisectoare, Înălțime, Cerc, Triunghi isoscel, Triunghi echilateral, Trapez isoscel, Dreptunghi, Romb, Pătrat, Poligon regulat, Coordonate carteziene, Lungimi, Arii

Componentele modulului

Definirea axei de simetrie

Determinarea axelor de simetrie ale figurilor geometrice cunoscute. Învățare prin rezolvare de probleme

Test de autoevaluare, cu itemi și reprezentări grafice generate dinamic.

Joc: Caleidoscopul cu întrebări

Timp total

100 min

Page 48: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

48

V.1. Aplicația 7. Axele de simetrie ale unei figuri geometrice

Obiectiv Definirea axei de simetrie și determinarea axelor de simetrie ale unor figuri geometrice cunoscute

Durata în timp pentru utilizarea la clasă

50 min

Descrierea conținutului În descrierea de mai jos

Reprezentare vizuală a lecției la care se referă aplicația (capturi de ecran)

În descrierea de mai jos

Instrucțiuni de utilizare În descrierea de mai jos

Tipul de itemi de învățare

Text, Imagini, Simulare, Rezolvare de probleme, Animație

Descrierea aplicației ” Axele de simetrie ale unei figuri geometrice”

În primul cadru al aplicației este definită noțiunea de axă de simetrie a unei figuri geometrice și este prezentată o figură geometrică cu o axă de simetrie. Elevii pot să deplasa punctul notat cu A de-a lungul figurii geometrice, observând că pentru fiecare poziție a acestuia simetricul său față de dreapta d aparține de asemenea figurii respective (Figura 63).

Figura 63. Definirea axei de simetrie. Exemplificare interactivă

Page 49: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

49

Se lansează întrebarea care va fi urmărită pe parcursul aplicației: Câte axe de simetrie poate avea o figură geometrică? Elevii vor demonstra mai întâi că orice diametru al cercului este o axă de simetrie a acestuia (Figurile 64, 65). Vor folosi congruența unor triunghiuri, verificând îndeplinirea condițiilor din definiția enunțată anterior. Aplicația oferă la cerere indicații de rezolvare și permite utilizarea interactivă a reprezentărilor grafice: punctul M poate fi deplasat pe cerc, iar poziția diametrului AB poate fi modificată.

Figura 64. Axele de simetrie ale unui cerc. Problematizare

Figura 65. Axele de simetrie ale cercului. Indicație de rezolvare a problemei

Page 50: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

50

Următoarea problemă este legată de simetria triunghiului isoscel. Se cere demonstrarea faptului că înălțimea corespunzătoare bazei este axă de simetrie a triunghiului isoscel (Figura 66). Aplicația oferă indicații de rezolvare, iar reprezentarea grafică este dinamică: punctele I și J pot fi deplasate de-a lungul laturilor triunghiului (Figura 67). Concluzia va putea fi utilizată pentru determinarea axelor de simetrie ale rombului, triunghiului echilateral și trapezului isoscel (Figurile 68-74).

Figura 66. Axa de simetrie a triunghiului isoscel

Figura 67. Axa de simetrie a triunghiului isoscel. Indicație de rezolvare

Page 51: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

51

Figura 68. Axele de simetrie ale rombului

Figura 69. Axele de simetrie ale rombului. Reducerea la o problemă anterior rezolvată

Page 52: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

52

Figura 70. Axele de simetrie ale triunghiului echilateral

Figura 71. Axele de simetrie ale triunghiului echilateral. Rezolvare

Page 53: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

53

Figura 72. Axa de simetrie a unui trapez isoscel

Figura 73. Axa de simetrie a unui trapez isoscel. Reprezentare

Page 54: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

54

Figura 74. Axa de simetrie a unui trapez isoscel. Demonstrație

Figura 75. Axele de simetrie ale dreptunghiului

După ce elevii demonstrează că mediatoarele laturilor dreptunghiului sunt axele sale de simetrie (Figurile 75-78), vor putea folosi acest rezultat și în cazul pătratului. Deoarece pătratul este atât dreptunghi cât și romb, va avea axele de simetrie caracteristice ambelor clase de patrulatere (Figurile 79-81).

Page 55: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

55

Figura 76. Axele de simetrie ale dreptunghiului. Reprezentare

Figura 77. Axele de simetrie ale dreptunghiului. Indicație

Page 56: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

56

Figura 78. A doua axă de simetrie a dreptunghiului

Figura 79. Axele de simetrie ale pătratului

Page 57: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

57

Figura 80. Axele de simetrie ale pătratului. Soluție

Figura 81. Axele de simetrie ale pătratului. Reprezentare

O altă problemă propusă elevilor este determinarea axelor de simetrie ale unui poligon regulat cu n laturi (Figura 82). Elevii vor discuta două cazuri posibile. Dacă n este număr impar, axele de simetrie sunt cele n mediatoare ale laturilor, care sunt și bisectoarele unghiurilor opuse (Figura 83). Dacă n este număr par, mediatoarele laturilor opuse coincid. Totuși, poligonul are, și în acest caz, n axe de simetrie: mediatoarele laturilor și bisectoarele unghiurilor (Figura 84).

Page 58: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

58

Figura 82. Axele de simetrie ale unui poligon regulat. Indicație

Figura 83. Axele de simetrie ale unui poligon regulat (1)

Page 59: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

59

Figura 84. Axele de simetrie ale unui poligon regulat (2)

Figura 85. Axele de simetrie ale unui poligon. Problemă

Ultima problemă se referă la determinarea numărului axelor de simetrie ale unui poligon cu 10 laturi, care nu este poligon regulat, dar are toate unghiurile congruente, iar laturile sunt congruente câte cinci (Figura 85). Poligonul are cinci axe de simetrie, dar, dacă deplasăm punctul A astfel încât acesta să fie plasat pe bisectoarea unui unghi format de două axe consecutive, figura va avea din nou 10 axe de simetrie (figura 86).

Page 60: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

60

Figura 86. Axele de simetrie ale unui poligon. Răspuns

Figura 87. Figuri cu mai multe axe de simetrie. Animație

Ultimul moment al aplicației oferă o reprezentare animată a unor linii poligonale cu un număr fixat de axe de simetrie. Animația este realizată prin rotirea vârfului A în jurul punctului de intersecție a axelor de simetrie. În tabelul următor sunt surprinse câteva cadre ale animației, când numărul axelor de simetrie este setat la 19.

Page 61: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

61

V.2. Aplicația 8. Test de autoevaluare. Teme de sinteză

Obiectiv Autoevaluarea cunoștințelor despre simetria axială și corelarea lor cu alte cunoștințe de geometrie

Durata în timp pentru utilizarea la clasă

40 min

Page 62: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

62

Descrierea conținutului În descrierea de mai jos

Reprezentare vizuală a lecției la care se referă aplicația (capturi de ecran)

În descrierea de mai jos

Instrucțiuni de utilizare În descrierea de mai jos

Tipul de itemi de învățare

Text, Imagini, Evaluare, Rezolvare de probleme

Descrierea aplicației ”Test de autoevaluare. Teme de sinteză”

Testul de evaluare propune șase probleme, cu indicații de rezolvare și răspunsuri. Pentru a trece la următoarea problemă, se manevrează cursorul din panoul din stânga al aplicației (Figura 88). La fiecare rulare, problemele vor avea date diferite. Prima problemă cere determinarea coordonatelor simetricelor unui punct dat față de axele de coordonate, apoi a simetricului față de axa Oy a simetricului față de axa Ox a punctului dat. Reprezentările punctelor simetrice și coordonatele acestora pot fi afișate simultan sau nu, în funcție de cum se bifează cele trei casete de validare (Figurile 89-92).

Figura 88. Instrucțiuni la lansarea testului

Page 63: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

63

Figura 89. Problema 1. Simetricul unui punct față de axele de coordonate

Figura 90. Problema 1. Simetricul față de axa Ox

Page 64: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

64

Figura 91. Problema 1. Simetricul față de axa Oy

Figura 92. Problema 1. Simetricul față de axa Oy a simetricului față de Ox

Page 65: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

65

Figura 93. Problema 2. Lungimea unui segment

A doua problemă cere determinarea lungimii unui segment, fiind cunoscute coordonatele capetelor segmentului (Figura 93). Se cer coordonatele simetricelor celor două puncte față de axele de coordonate și lungimile simetricelor segmentului față de axe. Aplicația oferă pentru verificare răspunsurile la întrebările formulate, după bifarea casetelor de validare (Figurile 94-96).

Figura 94. Problema 2. Simetricul unui segment față de axa Ox

Page 66: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

66

Figura 95. Problema 2. Simetricul unui segment față de axa Oy

Figura 96. Problema 2. Simetricul simetricului unui segment

Page 67: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

67

Figura 97. Problema 3. Aria unui triunghi

A treia problemă cere determinarea ariei unui triunghi, când se cunosc coordonatele vârfurilor sale (Figura 97). Aplicația oferă răspunsul și o sugestie de rezolvare: din aria dreptunghiului care conține triunghiul, evidențiat în imagine, se pot scădea ariile unor suprafețe cunoscute (Figura 98). Problema cere determinarea coordonatelor mijloacelor segmentelor care au o extremitate în unul din punctele date și cealaltă în simetricul acestui punct față de una din axe sau față de originea sistemului de axe. Elevii vor observa că mijloacele se găsesc fie pe una dintre axe, fie în originea sistemului (figurile 99-101).

Figura 98. Problema 3. Aria triunghiului. Indicație și răspuns

Page 68: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

68

Figura 99. Problema 3. Simetricul unui triunghi față de axa Ox

Figura 100. Problema 3. Simetricul unui triunghi față de axa Oy

Page 69: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

69

Figura 101. Problema 3. Simetricul simetricului unui triunghi

Problema 4 cere calculul ariei unui triunghi dreptunghic pentru care se cunosc coordonatele vârfurilor, apoi verificarea coliniarității a trei puncte cu coordonate date (Figurile 102-103).

Figura 102. Problema 4. Coliniaritate

Page 70: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

70

Figura 103. Problema 4. Indicație de rezolvare

Cea de a cincea problemă solicită verificarea faptului că patru puncte de coordonate date sunt vârfurile unui paralelogram. La cerere, elevul poate primi indicații de rezolvare (Figurile 104-105).

Figura 104. Problema 5. Paralelogram sau dreptunghi?

Page 71: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

71

Figura 105. Problema 5. Indicație de rezolvare

Ultima problemă propune determinarea ariei suprafeței comune unui triunghi dreptunghic și a simetricului său față de origine. Aplicația oferă indicații succesive, și în final, pentru verificare, răspunsul corect (figurile 106-109).

Figura 106. Problema 6. Aria suprafeței comune

Page 72: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

72

Figura 107. Problema 6. Indicație de rezolvare (1)

Figura 108. Problema 6. Indicație de rezolvare (2)

Page 73: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

73

Figura 109. Problema 6. Răspuns

V.3. Aplicația 9. Joc: Caleidoscopul cu întrebări

Obiectiv Determinarea unghiului format de două axe de simetrie

Durata în timp pentru utilizarea la clasă

10 min

Descrierea conținutului În descrierea de mai jos

Reprezentare vizuală a lecției la care se referă aplicația (capturi de ecran)

În descrierea de mai jos

Instrucțiuni de utilizare În descrierea de mai jos

Tipul de itemi de învățare

Text, Imagini, Simulare, Evaluare

Descrierea aplicației ”Joc: Caleidoscopul cu întrebări”

Aplicația generează figuri cu n axe de simetrie. Valoarea numărului n poate fi modificată cu ajutorul unui cursor (Figura 110). Elevii trebuie să determine valoarea unghiului format de două axe de simetrie consecutive. Răspunsul va fi introdus în caseta de preluare de date. După acționarea tastei Enter sau după selectarea unui alt element grafic, aplicația oferă feedback (Figurile 111-112). La fiecare deplasare a cursorului din partea inferioară a panoului explicativ, se generează aleatoriu noi figuri cu n axe de simetrie. Datorită numărului mare de parametri care se modifică aleatoriu, fiecare figură afișată este practic irepetabilă. Se modifică simultan culoarea, forma,

Page 74: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

74

dimensiunile și pozițiile celor 5 triunghiuri, care vor genera, prin simetrie, figura caleidoscopică.

Figura 110. Interfața jocului ”Caleidoscopul cu întrebări”

Figura 111. Introducerea răspunsului și primirea feedback-ului

Page 75: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

75

Figura 112. Introducerea răspunsului în formă zecimală

Tabelul următor conține câteva forme generate cu ajutorul aplicației. Aplicația poate fi folosită de profesor în moduri diferite: pentru captarea atenției, drept recompensă, pentru inserarea în lecție a unor momente de relaxare sau pentru unele activități creative, cum ar fi realizarea unor afișe.

Page 76: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

76

Page 77: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

77

Page 78: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

78

Page 79: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

79

VI. REALIZATOR

Profesor Daly Marciuc - Colegiul Național ”Mihai Eminescu” Satu Mare

Absolventă a Facultății de Matematică, Universitatea din București, 1988 Absolventă a Școlii Academice Postuniversitare, Specializarea Informatică Aplicată

și Programare, Universitatea Tehnică Cluj-Napoca, 2007 A urmat Cursul de formare profesională ”Profesorul – creator de soft educațional”,

cu premierea la nivel național în cadrul proiectului și participarea la Conferința Internațională Online Educa Berlin, 2011

Doctorand al Școlii Doctorale de Fizică, Direcția Fizică Educațională, Universitatea din București

Page 80: Template manuale de utilizare - digitaliada.ro simetria5.pdf · învățare atractiv și plăcut pentru elevi. Abordarea propusă este interdisciplinară, Abordarea propusă este

Simetria axială

80

VII. REFERINȚE

[1] Programa școlară pentru disciplina Matematică, clasele a V-a – a VIII-a, Anexa nr. 2 la ordinul ministrului educației naționale nr. 3393/28.02.2017, Ministerul Educației Naționale

[2] Programa școlară pentru disciplina Fizică, clasele a VI-a – a VIII-a, Anexa nr. 2 la ordinul ministrului educației naționale nr. 3393/28.02.2017, Ministerul Educației Naționale

[3] Clark, R. C., & Mayer, R. E. (2016). E-learning and the science of instruction: Proven guidelines for consumers and designers of multimedia learning. John Wiley & Sons.

[4] https://www.geogebra.org/about