teme predate În tabĂra naȚionalĂ de matematicĂ … predate În tabĂra... · pentru elevi de...

84
Valerica Doina MUNTEAN, Ovidiu T. POP, Maria REIZ Petru BRAICA, Adrian BUD, Virgil POP, Călin POPESCU, LUPOU Agota, CZIPROK Andrei, KOCZINGER Eva, Nicoleta CUIBUȘ, Traian TĂMÎIAN, Manuela POPESCU, Cristian GUȚ, Anca ȘTEȚ, Camelia ONCIU, SZEKELYI Sandor TEME PREDATE ÎN TABĂRA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ LIONS SOMEȘ SATU MARE clasa a VI-a SATU MARE 2018 ISBN 978-973-0-27498-1

Upload: others

Post on 27-Oct-2019

16 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Valerica Doina MUNTEAN, Ovidiu T. POP, Maria REIZ

Petru BRAICA, Adrian BUD, Virgil POP, Călin POPESCU,

LUPOU Agota, CZIPROK Andrei, KOCZINGER Eva,

Nicoleta CUIBUȘ, Traian TĂMÎIAN, Manuela POPESCU,

Cristian GUȚ, Anca ȘTEȚ, Camelia ONCIU, SZEKELYI Sandor

TEME PREDATE ÎN

TABĂRA NAȚIONALĂ DE

MATEMATICĂ

LIONS SOMEȘ SATU MARE

clasa a VI-a

SATU MARE

2018

ISBN 978-973-0-27498-1

3

CUPRINS

Despre tabăra națională LIONS SOMEȘ Satu Mare ........................................................................ 6

Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ – SATU MARE 2016 ........................................ 7

I. METODĂ AREOLARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE GEOMETRIE .......................................... 7

I.1 Introducere ................................................................................................................................ 7

I.2 Probleme pregătitoare ............................................................................................................... 7

I.3 Demonstrarea unor teoreme clasice folosind arii ................................................................... 11

II. RESTURILE PĂTRATELOR PERFECTE LA ÎMPĂRȚIREA CU 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗 ȘI APLICAȚII ................ 16

II.1 Binomul Newton ..................................................................................................................... 16

II.2 O VII 397 RMT Ion Pârse.......................................................................................................... 17

III. METODA CONSTRUCȚIILOR AUXILIARE ÎN REZOLVAREA UNOR PROBLEME DE GEOMETRIE...... 20

IV. REZOLVAREA ECUAȚIILOR DIOFANTICE. METODA DESCOMPUNERII .......................................... 21

IV.1 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații: ............................................................... 21

IV.2 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații: ............................................................... 22

IV.3 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații: ............................................................... 22

IV.4 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații: ............................................................... 24

CONCURS INDIVIDUAL 2016 ............................................................................................................. 25

CONCURSUL PE ECHIPE 2016 ............................................................................................................ 26

SOLUȚII LA CONCURSUL INDIVIDUAL 2016 ....................................................................................... 28

SOLUȚII LA CONCURSUL PE ECHIPE 2016 ......................................................................................... 30

Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ – SATU MARE 2017 ...................................... 31

V. APLICAȚII ALE NOȚIUNILOR DE PARTE ÎNTREAGĂ ȘI PARTE FRACȚIONARĂ ALE UNUI NUMĂR

RAȚIONAL .......................................................................................................................................... 31

V.1 Definiţii, notaţii, proprietăţi. ................................................................................................... 31

V.2 Aplicații: .................................................................................................................................. 31

VI. CONGRUENŢE MODULO N........................................................................................................... 34

VI.1 Definiţia relaţiei de congruenţă modulo n ............................................................................ 34

VI.2 Aplicaţii .................................................................................................................................. 35

VII. PROBLEME DE GEOMETRIE ......................................................................................................... 37

VII1. Problemă de geometrie ........................................................................................................ 37

VII2. Problemă de geometrie ........................................................................................................ 38

VIII. PROBLEME PROPUSE ................................................................................................................. 39

VIII.1 Probleme propuse ............................................................................................................... 39

4

CONCURS INDIVIDUAL 2017 ............................................................................................................. 40

SOLUȚII LA CONCURSUL INDIVIDUAL 2017 ....................................................................................... 41

CONCURSUL PE ECHIPE 2017 ............................................................................................................ 43

SOLUȚII LA CONCURSUL PE ECHIPE 2017 ......................................................................................... 46

Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ – SATU MARE 2018 ...................................... 49

IX. CLASE DE NUMERE ÎNTREGI ......................................................................................................... 49

IX.1 Numerele norocoase Ulam .................................................................................................... 49

IX.2 Problemă propusă .................................................................................................................. 49

X. CONSTRUCȚII GEOMETRICE .......................................................................................................... 50

X.1 Ce înseamnă construcția? ....................................................................................................... 50

X.2 Construcții imposibile ............................................................................................................. 50

X.3 Construcții de bază .................................................................................................................. 50

X.4 Rezolvarea problemelor de construcții geometrice .............................................................. 51

X.5 Probleme ................................................................................................................................ 51

XI. CUM SE COMPUNE O PROBLEMĂ DE OLIMPIADĂ ....................................................................... 52

XII. ECUAŢII DIOFANTICE ................................................................................................................... 54

XII.1 Introducare ........................................................................................................................... 54

XII.2 Exerciţii şi metode de rezolvare: ........................................................................................... 55

XII.3 Probleme propuse ................................................................................................................. 57

XIII. CALCULUL UNOR SUME ............................................................................................................. 58

XIII.1 Proprietăți. Formule utile .................................................................................................... 58

XIII.2 Aplicaţii ................................................................................................................................ 58

XIV. PUNCTE COLINIARE .................................................................................................................... 60

XIV.1 Metode de abordare ............................................................................................................ 60

XIV.2 Puncte coliniare-probleme .................................................................................................. 61

XV. ŞIR DE RAPOARTE EGALE ............................................................................................................ 62

XV.1 Probleme............................................................................................................................... 62

XV.2 Soluții .................................................................................................................................... 62

XVI. PROBLEME DE DIVIZIBILITATE ................................................................................................... 66

XVI.1 Metode de determinare a unor numere prime în condiții date .......................................... 66

XVI.2 Probleme care se rezolvă folosind teorema împărțirii cu rest, cmmdc, cmmmc ............... 67

XVI.3 Probleme temă: ................................................................................................................... 68

XVII. METODA REDUCERII LA ABSURD .............................................................................................. 69

XVII.1 Probleme rezolvate ............................................................................................................. 69

5

XVII.2 Probleme propuse .............................................................................................................. 71

XVII.3 Surse bibliografice utilizate:................................................................................................ 73

XVIII. PROBLEME PREGĂTITOARE PENTRU CONCURSURILE DE MATEMATICĂ ................................ 74

XIX. PROBLEME DE GEOMETRIE ........................................................................................................ 77

XX. PROBLEME DE SINTEZĂ ............................................................................................................... 78

CONCURS INDIVIDUAL 2018 ............................................................................................................. 83

6

Despre tabăra națională LIONS SOMEȘ Satu Mare

Inspectoratul Şcolar Judeţean Satu Mare, împreună cu Clubul Lions Someș Satu

Mare, în colaborare cu filiala Satu Mare a SSMR și Liceul Teoretic German

„Johann Ettinger” Satu Mare, organizează Tabăra națională de matematică -

LIONS SOMEȘ SATU MARE, începând din anul 2016.

Această tabără se dorește a fi un stagiu de pregătire a Olimpiadei de Matematică

pentru elevi de clasa a VI-a. Pentru îndeplinirea acestui obiectiv, elevii au avut

un program intens de pregătire, îmbinat cu activităţi de petrecere a timpului

liber. Astfel, în fiecare zi elevii au participat, dimineaţa, la 3 ore de curs

susținute de profesori de matematică sătmăreni. De asemenea, elevii au

participat la activități de inițiere/învățare intensivă a limbii germane.

Pentru a asigura activități delectante de petrecere a timpului liber, au fost

invitate eleve de la Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare, profil

pedagoigic, care și-au exersat, în această tabără, cunoștințele dobândite în

domeniu. Din programul acestei tabere nu a lipsit workshop-ul tematic de

dezvoltare personală și activitățile sportive. Activităţi de petrecere a timpului

liber desfășurate: Deschiderea festivă; Jocuri de inițiere a prieteniilor; Activități

în aer liber; Excursie în Țara Oașului; Workshop tematic de dezvoltare

personală; Seara specială a talentelor; Drumeție; Pick nick; Foc de tabără;

Istorie locală și tradiții sătmărene; Jocuri sportive; Jocuri de tabără.

Cursurile de matematică s-au constiuit din teme care au respectat programa

Olimpiadei Naționale de Matematică pentru clasa a VI-a și pe care le-am redat

în această lucrare.

Inspector școlar,

prof.dr. Valerica Doina MUNTEAN

7

Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ – SATU MARE

2016

I. METODĂ AREOLARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE

GEOMETRIE

Prof.dr. Petru Braica, ȘCOALA GIMNAZIALĂ „GRIGOREMOISIL” SATU

MARE

I.1 Introducere

Metoda areolară reprezintă un instrument util în demonsrăriile unor proprietăți geometrice

folosind noțiunea de arie ( a triunghiului, a pătratului sau altor poligoane). În cele ce urmează

vom ilustra prin câteva exemple în ce constă metoda areolară sau cu arii.

I.2 Probleme pregătitoare

1. Fie pătratul ABCD iar M,N,P și q sunt mijloacele laturilor (AB),(BC),(CD),(CA).

Construim în intriorul pătratului arcele de cercul C(D;DP),C(A;AM) și C(C;CP) iar în

exteriorul pătratului C(B;BM). Determinați raportul dinre aria hașurată și aria pătratului

(Cangurl Matematică)

8

Soluție: Dacă împărțim C(B;BM) ∩Ext (ABCD) în patru părți: II*,III* și I* observăm că

putem decupa I,II,III și suprapune peste I*,II*,III*.

2. Fie ABCD un pătrat iar mijloacele laturilor (AB), (BC), (CD)și (DA). Se notează cu M,N,P

și Q . construim segmentele [AN], [BP], [CQ] și [DM] și notăm intersecțiile AN∩ BP = {X},

BP ∩CQ= {Y}, CQ∩DM={Z} și

DM∩ AN={T}. Determinați 𝐴[𝑋𝑌𝑍𝑇]

𝐴[𝐴𝐵𝐶𝐷]. (Concursul Kangourou).

Soluția problemei: Considerăm 𝑠𝑛𝑥=𝐴1, 𝑠𝑝

𝑦=𝐵1, 𝑠𝑞

𝑧=𝐶1,𝑠𝑀𝑇 = 𝐷1 și din congruențele ∆𝐵𝑋𝑁 ≡

∆𝐶𝐴1𝑁 (i.v) și ∆𝐶𝑌𝑃 ≡ ∆𝐷𝐵1𝑃 (i.v), ∆𝐷𝑍𝑄 ≡ ∆𝐴𝐶1𝑄 (i.v) și ∆𝐴𝑇𝑀 ≡ ∆𝐵𝐷1𝑀 (i.v).

decupând putem transforma suprafața pătratului în crucea cu 5 pătrarte egale cu XYZT de

unde concluzia 𝑆[𝑋𝑌𝑍𝑇]

𝑆[𝐴𝐵𝐶𝐷]=1

5.

Mai rămâne de arătat că BX=XY =YXPZ.

În ∆𝐵𝑌𝐶 𝑋𝑁¬𝐵𝑌 ș𝑖 𝐶𝑌¬𝐵𝑌 𝑑𝑒𝑐𝑖 (𝑋𝑁)𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑚𝑖𝑗𝑙𝑜𝑐𝑖𝑒 =› BX=XY

Din ∆𝐵𝑋𝑁 ≡ ∆CYP (i.v) =› BX=YP

9

3. E cunoscut inegalitatea triunghiului pentru lungimiile a,b,c, laturilor ∆𝐴𝐵𝐶:

|𝑏 − 𝑐| < 𝑎 ≤ 𝑏 + 𝑐 și cu anaoagele. 3,7,11 nu reprezintă lungimea lataturilor unor ∆.

Demonstrați că se poate construi un triunghi cu lungimiile ℎ𝑎 , ℎ𝑏 , ℎ𝑐dacă a|c-b|< 𝑏: 𝑐 <

𝑎(𝑏 + 𝑐) și analogele iar dacă ∃∆ cu laturaℎ𝑎 , ℎ𝑏 , ℎ𝑐 atunci cu ℎℎ𝑎, ℎℎ𝑏 , ℎℎ𝑐 se poate construi

întotdeauna un triunghi

(R.M.T)

Soluție: |𝑐 − 𝑏| < 𝑎 < 𝑏 + 𝑐; 2𝑠 = 𝑎ℎ𝑎 = 𝑏ℎ𝑏 = 𝑐ℎ𝑏

Dacă ∃∆ cu lun.lat ℎ𝑎, ℎ𝑏 , ℎ𝑐 atunci:

|ℎ𝑏 − ℎ𝑐| < ℎ𝑎 ≤ ℎ𝑏 + ℎ𝑐 ↔

↔ |2𝑠

𝑏−2𝑠

𝑐| <

2𝑠

𝑎≤2𝑠

𝑏+2𝑠

𝑐/∶ 2𝑠,

↔ |1

𝑏−1

𝑐| <

1

𝑎≤1

𝑏+1

𝑐/∙ 𝑎𝑏𝑐

↔ 𝑎|𝑐 − 𝑏| < 𝑏𝑐 ≤ 𝑎(𝑏 + 𝑐) și reciproc

Pentru partea a doua obținem că:

∃∆ 𝑐𝑢 𝑙𝑎𝑡. 𝑑𝑒 𝑙𝑢𝑛𝑔𝑖𝑚𝑖 ℎℎ𝑎 , ℎℎ𝑏 , ℎℎ𝑐 ↔

ℎ𝑎|ℎ𝑏 − ℎ𝑐| ≤ ℎ𝑏 ∙ ℎ𝑐 < ℎ𝑎(ℎ𝑏 + ℎ𝑐)

↔2𝑠

𝑎∙ |2𝑠

𝑏−2𝑠

𝑐| ≤

2𝑠

𝑏∙2𝑠

𝑐<2𝑠

𝑎∙ (2𝑠

𝑏+2𝑠

𝑐)

↔ 1

𝑎∙(𝑐 − 𝑏)

𝑏𝑐≤1

𝑏𝑐<1

𝑎∙ (𝑏 + 𝑐

𝑏𝑐) /∙ 𝑎𝑏𝑐

↔ |𝑐 − 𝑏| ≤ 𝑎 < 𝑏 + 𝑐 (A)

3b. Cu înâlțimile unui triunghi nu se poate forma un triunghi întotdeauna dar cu medianele

da.

10

4. Într-un triunghi medianele împart suprafața în șase triunghiuri echivalente.

Soluția:

În ∆(BGC), (GM) este mediană ⇒ S[BGM] = S[CGM]. In ∆ BNC, 𝑆[𝐶𝐺𝑁]

𝑆[𝐶𝐺𝐵]=𝑑(𝐶;𝐵𝑁)∙𝐺𝑁/2

𝑑(𝐶;𝐵𝑁)∙𝐵𝐺/2=

𝐺𝑁

𝐵𝐺=1

2 ⇒ 𝑠[𝐶𝐺𝑁] ∙ 2 = 𝑆[𝐶𝐺𝐵] 𝑠𝑎𝑢 𝑆[𝐶𝐺𝑁] = 𝑆[𝐶𝐺𝑀] = 𝑆[𝐵𝐺𝑀]

Analog se arată că 𝑆1 = 𝑆2 = 𝑆3 iar ∆𝐴𝐵𝑁 ș𝑖 ∆𝐵𝑁𝐶 sunt echivalente, deci concluzia

problemei.

11

5. Fie ∆ABC și construim 𝑠𝐵𝐴 = 𝐴1, 𝑠𝐶𝐵 = 𝐵1 ș𝑖 𝑠𝐴𝐶 = 𝐶1. Calculați 𝑆[𝐴𝐵𝐶]

𝑆[𝐴1𝐵1𝐶1].

Observație: ∆𝐴𝐵𝑁 ș𝑖 ∆𝐴1𝐵1𝐶1 au același centru de greutate.

6. Fie ∆ABC și construim 𝐴2 ∈ (𝐴𝐵, 𝐵2 ∈ (𝐵𝐶 ș𝑖 𝐶2 ∈ (𝐶𝐴 încât 𝐴𝐵

𝐵𝐴2=

𝐵𝐶

𝐶𝐵2=

𝐶𝐴

𝐴𝐶2=1

2. Arătați

că 𝑆[ 𝐴2𝐵2𝐶2]

𝑆[𝐴𝐵𝐶]= 19.

7. Fie ABCD pătrat și 𝑀,𝑁 ∈ 𝐼𝑛𝑡 𝐴𝐵𝐶𝐷 cu 𝑚(∡𝑀𝐴𝑁) = 𝑚(∡𝑀𝐶𝑁) = 45𝑜 . Demonstrați

că 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3

(Mongolia)

I.3 Demonstrarea unor teoreme clasice folosind arii

8. (PITHAGORA T.) Pătratul ipotenuzei unui tiunghi este egal cu suma pătratelor catetelor.

12

𝑖𝑝2 = 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 = 4 ∙𝑐1 ∙ 𝑐22

+(𝑐1 − 𝑐2)2 = 𝑐1

2 + 𝑐22

9. (Teorema bisectoarei interioare) Piciorul bisectoarei interioare împarte latura într-un raport

egal cu raportul laturilor vărfului.

Demonstrație: Evaluăm 𝑆[𝐴𝐵𝐷]

𝑆[𝐴𝐷𝐶]= 𝑘 în două moduri. 𝑘 =

𝐵𝐷∙𝑑(𝐴,𝐵𝐶)/2

𝐷𝐶∙𝑑(𝐴,𝐵𝐶)/2=𝐵𝐷

𝐷𝐶, analog 𝑘 =

𝐴𝐵

𝐴𝐶.

Deci 𝐵𝐷

𝐷𝐶=𝐴𝐵

𝐴𝐶.

13

10. (Teorema bisectoarei exterioare) 𝐵𝐷1

𝐷1𝐶=𝐴𝐵

𝐴𝐶

11. Trapezul ABCD are 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷, 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = {𝑂}. Demonstrați că ∆𝐴𝑂𝐷 și ∆𝐵𝑂𝐶 sunt

echivalente.

Folosim teorema ce afirmă că segmentele paralele cuprinse între drepte paralele sunt

congruente. Deci 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷 ⇒ 𝑑(𝐴, 𝐶𝐷) = 𝑑(𝐵, 𝐶𝐷). Avem 𝑆[𝐴𝐷𝐶]

𝑆[𝐵𝐷𝐶]=𝐷𝐶∙𝑑(𝐴,𝐷𝐶)/2

𝐷𝐶∙𝑑(𝐵,𝐷𝐶)/2= 1.

Deci 𝑆[𝐴𝐷𝐶] =𝑆[𝐵𝐷𝐶]

𝑆[𝐷𝑂𝐶]⇒ 𝑆[𝐴𝑂𝐷] = 𝑆[𝐵𝑂𝐶].

12. (Teorema lui Thales) O paralelă dusă la laturile unui triunghi, determină pe celelalte două

laturi segmente proporționale.

Dem. 𝐵𝐷

𝐷𝐶=𝐵𝐷∙𝑑(𝐴,𝐵𝐶)/2

𝐷𝐶∙𝑑(𝐴,𝐵𝐶)/2=𝑆[𝐴𝐵𝐷]

𝑆[𝐴𝐷𝐶]=

𝑑(𝐷,𝐴𝐶)∙𝐴𝐶/2

𝑑(𝐷,𝐴𝐵)∙𝐴𝐵/2=𝐴𝐶

𝐴𝐵

14

∆ABC,MN ∥ BC ⇒AM

MB=AN

NC

Demonstrație: AM

MB=AM∙d(N,AB)/2

MB∙d(N,AB)/2=𝑆[𝐴𝑀𝑁]

𝑆[𝑀𝑁𝐵]=𝑆[𝐴𝑀𝑁]

𝑆[𝑀𝑁𝐶]=AN∙d(M,AC)/2

NC∙d(M,AC)/2=AN

NC.

13. (Teorema Menelaus) ∆ABC,M ∈ BC, N ∈ AB, P ∈ AC.

M,N, P sunt coliniare ⇔MB

MC∙CP

PA∙AN

NB= 1

Demonstrație: Ducem BQ ∥ MP. ∆CMP ⇒MB

MC=PQ

PC și ∆ABQ ⇒

AN

NB=AP

PQ. Acum evaluăm

produsul: MB

MC∙CP

PA∙AN

NB=PQ

PC∙CP

PA∙AP

PQ= 1

14. Cum aplicăm Teorema Menelaus. AP

CP=?

15

În ∆AMC, B, N, P sunt coliniare ⇒ MB

BC∙CP

PA∙AN

NM= 1 ⇒

CP

PA∙1

2= 1 sau

AP

CP=2

1.

16

II. RESTURILE PĂTRATELOR PERFECTE LA ÎMPĂRȚIREA CU

𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗 ȘI APLICAȚII

(Bibliografie: Pătrate perfecte și cuburi perfecte Edit. Gil I. Cucurezeanu)

Prof.dr.Petru Braica, ȘCOALA GIMNAZIALĂ „GRIGOREMOISIL” SATU

MARE

II.1 Binomul Newton

(𝑎 + 𝑏)0 = 1

(𝑎 + 𝑏)1 = 1𝑎 + 1𝑏

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

Selectăm coeficienții și obținem un tabel.

Cum scriem: (𝑎 + 𝑏)5 = 1𝑎5 + 5𝑎4𝑏 + 10𝑎3𝑏2 + 10𝑎2𝑏3 + 5𝑎𝑏4 + 1𝑏5

(𝑎 + 𝑏)6 = 1𝑎6 + 6𝑎5𝑏 + 15𝑎4𝑏2 + 20𝑎3𝑏3 + 15𝑎2𝑏4 + 6𝑎𝑏5 + 1𝑏6

Consecință:

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑀𝑎 + 𝑏𝑛și (𝑎 − 𝑏)𝑛 = 𝑀𝑎 + (−𝑏)𝑛

Dem. (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 1𝑎𝑛 + (𝑛1)𝑎𝑛−1𝑏1 + (𝑛

2)𝑎𝑛−2𝑏2 +⋯+ 1𝑏𝑛 = 𝑀𝑎 + 𝑏𝑛.

(𝑎 − 𝑏)𝑛 = 1𝑎𝑛 + (𝑛

1)𝑎𝑛−1(−𝑏)1 + (

𝑛

2) 𝑎𝑛−2(−𝑏)2 +⋯+ 1(−𝑏)𝑛 = 𝑀𝑎 + (−𝑏)𝑛.

Exemplu: Demonstrați că: 13𝑛 − 1 ⋮ 12, ∀𝑛 ∈ 𝑁.

13𝑛 = (12 + 1)𝑛 = 𝑀12 + 1.

II. Cum găsim resturile posibile la împărțirea unui pătrat perfect la împărțirea cu

k=3,4,5,…

1. n=3

Considerăm ℕ = {3𝑘} ∪ {3𝑘 + 1} ∪ {3𝑘 + 2}. Pătratele perfecte provin din ridicarea la

pătrat a unui număr natural care poate fi: 𝑛2 = (3𝑘)2 = 9𝑘2 ∈ 𝑀3

17

𝑛2 = (3𝑘 + 1)2 = 𝑀3 + 12 = 𝑀3 + 1

𝑛2 = (3𝑘 + 2)2 = 𝑀3 + 22 = 𝑀3 + 1

Resturile posibile ale unui pătrat perfect la împărțirea cu trei sunt 0 și 1. Prin urmare nu există

pătrate perfecte de forma 3k+2.

Exemplu: Suma pătratelor a trei numere consecutive poate să fie pătrat perfect?

𝑎2 + (𝑎 + 1)2 + (𝑎 + 2)2 = 𝑀3 + 2, deci nu poate să fie pătrat perfect.

Exemplu: Suma cifrelor unui număr este 2015. Poate fi el pătrat perfect?

2. n=7

ℕ = {7𝑘} ∪ {7𝑘 + 1} ∪ {7𝑘 + 2} ∪ …

𝑛2 = (7𝑘)2 = 49𝑘2 = 𝑀7

𝑛2 = (7𝑘 + 1)2 = 𝑀7 + 12 = 𝑀7 + 1

𝑛2 = (7𝑘 + 2)2 = 𝑀7 + 22 = 𝑀7 + 4

𝑛2 = (7𝑘 + 3)2 = 𝑀7 + 32 = 𝑀7 + 2

… Deci 𝑘2 ≡ 0,1,2,4(𝑚𝑜𝑑 7)

3. 𝑛 = 8

𝑘2 ≡ 0,1,4(𝑚𝑜𝑑 8)

4. n=9

ℕ = {9𝑘} ∪ {9𝑘 + 1} ∪ {9𝑘 + 2} ∪ …

𝑛2 = (9𝑘)2 = 𝑀9 + 0

𝑛2 = (9𝑘 + 1)2 = 𝑀9 + 1

𝑛2 = (9𝑘 + 2)2 = 𝑀9 + 4

𝑘2 ≡ 0,1,4,7(𝑚𝑜𝑑 9)

Exemplu: Un număr natural are suma cifrelor 2018. Poate fi pătrat perfect?

II.2 O VII 397 RMT Ion Pârse

1) Arătați că numărul 𝐴 = 3𝑛 + 5𝑛 + 7𝑛 nu este pătrat perfect pentru nici un număr natural.

Soluție: Analizăm două cazuri 𝑛 = 2𝑘 sau 𝑛 = 2𝑘 + 1.

18

𝑛 = 2𝑘. 𝐴 = 32𝑘 + 52𝑘 + 72𝑘 = (4 − 1)2𝑘 + (4 + 1)2𝑘 + (8 − 1)2𝑘 = 𝑀4 + 3 ≠ 𝑘2

𝑛 = 2𝑘 + 1. 𝐴 = 32𝑘+1 + 52𝑘+1 + 72𝑘+1 = (4 − 1)2𝑘+1 + (4 + 1)2𝑘+1 + (8 − 1)2𝑘+1 =

𝑀4 + 3 ≠ 𝑘2

2) Arătați că numărul 𝐴 = 3𝑛 + 5𝑛 nu este pătrat perfect pentru nici un număr natural.

3) Arătați că ecuația 𝑥2 + 2016𝑦 = 2017𝑧3 − 𝑧 + 2015 nu are soluții. GM1/2016.

Sol. 2017𝑧3 − 𝑧 = 2016𝑧3 + 𝑧3 − 𝑧 = 𝑀3 + (𝑧 − 1)𝑧(𝑧 + 1) = 𝑀3

Deci 𝑥2 +𝑀3 = 𝑀3 + 2015 ⇒ 𝑥2 = 2015 𝑓𝑎𝑙𝑠

4) Există numere prime p,q,r astfel încăt 𝑝2 + 𝑞2 + 𝑟2 să fie pătrat perfect? GM 6-7-8/2016

5) Verificați dacă există numere întregi a astfel încăt 8𝑎2 + 2𝑎 + 7.

6) Fie (𝑎𝑏2 , 𝑏𝑐7 , 𝑐𝑎8 )=3. Demonstrați că 𝑎2+𝑏2+𝑐2 nu poate fi pătrat perfect.

⇒ 𝑎𝑏2 ⋮ 3 ⇒ 𝑎 + 𝑏 + 2 = 𝑀3

𝑏𝑐7 ⋮ 3 ⇒ 𝑏 + 𝑐 +7=𝑀3 ⇒ 𝑏 + 𝑐 + 1 = 𝑀3

3/𝑐𝑎8 ⇒ 𝑐 + 𝑎 + 8 = 𝑀3 ⇒ 𝑐 + 𝑎 + 2 = 𝑀3

𝑎 + 𝑏 = 𝑀3 + 1

𝑐 + 𝑏 = 𝑀3 + 2

𝑐 + 𝑎 = 𝑀3 + 1

(+) 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 𝑀3 + 1 ⇒ 2(𝑐 − 2) = 𝑀3 + 1

2(𝑎 + 𝑏 + 2) = 𝑀3

(2, 3) = 1 ⇒ 𝑐 − 2 = 𝑀3 ⇒ 𝑐 = 𝑀3 + 1

2(𝑎 + 4 + 𝑐) = 𝑀3 + 1 ⇒ 𝑎 − 1 = 𝑀3

2(4 + 𝑐 + 1) = 𝑀3 𝑎 = 𝑀3 + 1

2(a+4+c)=𝑀3 ⇒ 𝑏 − 2 = 𝑀3

b=𝑀3 + 1

2(c+a+2)=𝑀3

Deci 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑀3 + 1 +𝑀3 + 1 +𝑀3 = 𝑀3 + 2 ≠ 𝐾2

7) Fie a≥2, 𝑎 = 𝑘2. Demonstrați că √ 𝑎3 − 1 ∉ ℚ .

19

𝑎3 − 1 = 𝐾6 − 1 ≡2(mod 3)

8) Arătați că nu există pătrat perfect cu ultimele 4 cifre 4444.

𝑁 =a∙ 104 + 4444 = 4 ∙ 𝑎 ∙ 54 ∙ 22 + 4 ∙ 1111 = 4 ∙ [𝑎 ∙ 54 ∙ 22 + 1111] = 4(𝑀4 + 3)

9) Arătați că numărul n=𝑎𝑏𝑐𝑑 + 𝑏𝑐𝑑𝑎 + 𝑐𝑑𝑎𝑏 + 𝑑𝑎𝑏𝑐 ≠ 𝑘2

20

III. METODA CONSTRUCȚIILOR AUXILIARE ÎN REZOLVAREA UNOR

PROBLEME DE GEOMETRIE

Prof. BUD ADRIAN, Lic. Teoretic Negrești Oaș

1. În triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 avem 𝑚(∢𝐴𝐶𝐵) = 15°. Notăm cu M este mijlocul laturii [𝐵𝐶].

Știind că 𝑚(∢𝐴𝑀𝐵) = 45°, aflați 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶). 2. În triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 avem 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 110°și 𝑚(∢𝐴𝐵𝐶) = 50°. Dacă D este un

punct în interiorul triunghiului astfel încât 𝑚(∢𝐷𝐵𝐶) = 20° si 𝑚(∢𝐷𝐶𝐵) = 10°,

aflați 𝑚(∢𝐴𝐷𝐶). 3. În triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 avem 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 90° și 𝑚(∢𝐴𝐵𝐶) = 30°. Notăm cu BE și AD

bisectoarele unghiurilor ∢𝐴𝐵𝐶 respectiv ∢𝐵𝐴𝐶. Arătați că 𝐵𝐸 = 2𝐴𝐷. 4. În triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 avem 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 90°și 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Dacă M este un punct în

interiorul triunghiului astfel încât 𝑚(∢𝑀𝐵𝐴) = 15° și 𝑚(∢𝑀𝐶𝐴) = 30°, aflați

𝑚(∢𝑀𝐴𝐶). 5. În triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 avem 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 100°și 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Pe prelungirea laturii AB

se consideră punctul M astfel încât 𝐴𝑀 = 𝐵𝐶. Aflați 𝑚(∢𝐵𝑀𝐶). 6. În triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 avem 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 100°și 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Pe latura BC se consideră

punctul D astfel încât 𝐴𝐶 = 𝐷𝐶 iar pe latura AB se consideră punctul F astfel încât

𝐷𝐹 ∥ 𝐴𝐶. Aflați 𝑚(∢𝐷𝐶𝐹). 7. În triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 avem 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 20°și 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Pe latura AC se consideră

punctul G astfel încât 𝐶𝐺 = 𝐵𝐶. Mediatoarea segmentului AG intersectează AB în F.

Arătați că 𝐴𝐹 = 𝐵𝐶. 8. Fie triunghiul echilateral ∆𝐴𝐵𝐶. Dacă D este un punct în interiorul triunghiului astfel

încât 𝑚(∢𝐵𝐶𝐷) = 10° și 𝑚(∢𝐶𝐵𝐷) = 20°, aflați 𝑚(∢𝐴𝐷𝐶). 9. În triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 avem 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 30°și 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Dacă M este un punct în

exteriorul triunghiului astfel încât 𝑚(∢𝐵𝐶𝑀) = 150° și 𝐶𝑀 = 𝐵𝐶, arătați că ∆𝐴𝐵𝑀

este isoscel și aflați 𝑚(∢𝐴𝑀𝐶) (Prelucrare ONM 2016, Bud Adrian). 10. Fie triunghiul ABC cu 𝑚(∢𝐵𝐶𝐴) = 40° și 𝑚(∢𝐴𝐵𝐶) = 80°. Pe latura (BC) se iau

punctele E şi D astfel încât 𝑚(∢𝐶𝐴𝐸) = 10° şi 𝐵𝐷 = 𝐶𝐸. Calculaţi 𝑚(∢𝐸𝐴𝐷).

21

IV. REZOLVAREA ECUAȚIILOR DIOFANTICE. METODA

DESCOMPUNERII

Prof. BUD ADRIAN, Lic. Teoretic Negrești Oaș

IV.1 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații:

𝒂) 𝒂𝒃 + 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 = 𝟏𝟓 𝒃) 𝒙𝒚 + 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔

𝒄) 𝟔𝒙𝒚 + 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟑𝟒 𝒅) 𝟏𝟓𝒙𝒚 − 𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟐𝟑

𝒆) 𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟑𝒂 − 𝟒𝒃 = 𝟐𝟔 𝒇) 𝟐𝟎𝒂𝒃 − 𝟒𝒂 + 𝟓𝒃 = 𝟐𝟏

Rezolvare model

𝒅) 15𝑥𝑦 − 3𝑥 − 5𝑦 = −23 ⟺

3𝑥(5𝑦 − 1) − (5𝑦 − 1) = −22 ⟺

(3𝑥 − 1)(5𝑦 − 1) = −22

Caz 1 {3𝑥 − 1 = 15𝑦 − 1 = −22

⟺ {𝑥 =

2

3∉ 𝑍

𝑦 = −21

5∉ 𝑍

Caz 2 {

3𝑥 − 1 = −15𝑦 − 1 = 22

⟺ {𝑥 = 0

𝑦 =23

5∉ 𝑍

Caz 3 {3𝑥 − 1 = 115𝑦 − 1 = −2

⟺ {𝑥 = 4

𝑦 = −1

5∉ 𝑍

Caz 4 {3𝑥 − 1 = −115𝑦 − 1 = 2

⟺ {𝑥 = −

10

3∉ 𝑍

𝑦 =3

5∉ 𝑍

Caz 5 {3𝑥 − 1 = 225𝑦 − 1 = −1

⟺ {𝑥 =

23

3∉ 𝑍

𝑦 = 0 Caz 6 {

3𝑥 − 1 = −225𝑦 − 1 = 1

⟺ {𝑥 = −7

𝑦 =2

5∉ 𝑍

Caz 7 {3𝑥 − 1 = 25𝑦 − 1 = −11

⟺ {𝑥 = 1𝑦 = −2

Caz 8 {

3𝑥 − 1 = −25𝑦 − 1 = 11

⟺ {𝑥 = −

1

3∉ 𝑍

𝑥 =12

5∉ 𝑍

Ecuația are o singură soluție {𝑥 = 1𝑦 = −2

22

IV.2 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații:

𝒂) 𝟐𝒂𝒃 − 𝟑𝒂 + 𝟓𝒃 = 𝟑 𝒃)𝟓𝒙𝒚 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟏

𝒄) 𝟑𝒙𝒚 − 𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟕 𝒅) 𝟒𝒙𝒚 − 𝟔𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟖

𝒆) 𝟐𝒂𝒃 − 𝟓𝒂 + 𝟑𝒃 = −𝟒 𝒇) 𝟔𝒂𝒃 + 𝟒𝒂 − 𝟑𝒃 = 𝟕

Rezolvare model

𝒅) 𝟒𝒙𝒚 − 𝟔𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟖⟺

2𝑥(2𝑦 − 3) + 3𝑦 = 8| ∙ 2 ⟺

4𝑥(2𝑦 − 3) + 6𝑦 = 16 ⟺

4𝑥(2𝑦 − 3) + 3(2𝑦 − 3) = 7 ⟺

(4𝑥 + 3)(2𝑦 − 3) = 7

Caz 1 {4𝑥 + 3 = 12𝑦 − 3 = 7

⟺ {𝑥 = −

1

2∉ 𝑍

𝑦 = 5 Caz 2 {

4𝑥 + 3 = −12𝑦 − 3 = −7

⟺ {𝑥 = −1𝑦 = −2

Caz 3 {4𝑥 + 3 = 72𝑦 − 3 = 1

⟺ {𝑥 = 1𝑦 = 2

Caz 4 {4𝑥 + 3 = −72𝑦 − 3 = −1

⟺ {𝑥 = −

10

4∉ 𝑍

𝑦 = 1

Ecuția are doăua soluții {𝑥 = −1𝑦 = −2

si {𝑥 = 1𝑦 = 2

IV.3 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații:

𝒂) 𝟏

𝒙+

𝟐

𝒚= 𝟑 𝒃)

𝟐

𝒙−

𝟑

𝒚=𝟓

𝟔 𝒄)

𝟑

𝒙−

𝟓

𝒚= −

𝟏

𝟏𝟐 𝒅)

𝟒

𝒙+

𝟐

𝒚=𝟏𝟒

𝟗

𝒆) 𝟏

𝟐𝒙+

𝟏

𝟑𝒚=𝟏

𝟒 𝒇)

𝟐

𝟑𝒙−

𝟏

𝟐𝒚=𝟓

𝟔 𝒈)

𝟐

𝟓𝒙+

𝟓

𝟐𝒚=

𝟑

𝟏𝟎 𝒉)

𝟏

𝟒𝒙+

𝟐

𝟑𝒚=𝟑

𝟖

Rezolvare model

𝒇) 𝟐

𝟑𝒙− 𝟏

𝟐𝒚=𝟓

𝟔

Se impun condițiile {𝑥 ≠ 0𝑦 ≠ 0

23

Se aduce ecuația la același numitor și renunțăm la el.

Ecuația devine

4𝑦 − 3𝑥 = 5𝑥𝑦 ⟺

5𝑥𝑦 + 3𝑥 − 4𝑦 = 0 ⟺

𝑥(5𝑦 + 3) − 4𝑦 = 0| ∙ 5 ⟺

5𝑥(5𝑦 + 3) − 20𝑦 = 0 ⟺

5𝑥(5𝑦 + 3) − 4(5𝑦 + 3) = −12 ⟺

(5𝑥 − 4)(5𝑦 + 3) = −12

Caz 1 {5𝑥 − 4 = 15𝑦 + 3 = −12

⟺ {𝑥 = 1𝑦 = −3

Caz 2 {

5𝑥 − 4 = −15𝑦 + 3 = 12

⟺ {𝑥 =

3

5∉ 𝑍

𝑦 =9

5∉ 𝑍

Caz 3 {5𝑥 − 4 = 25𝑦 + 3 = −6

⟺ {𝑥 =

6

5∉ 𝑍

𝑦 = −9

5∉ 𝑍

Caz 4 {5𝑥 − 4 = −25𝑦 + 3 = 6

⟺ {𝑥 =

2

5∉ 𝑍

𝑦 =3

5∉ 𝑍

Caz 5 {5𝑥 − 4 = 35𝑦 + 3 = −4

⟺ {𝑥 =

7

5∉ 𝑍

𝑦 = −7

5∉ 𝑍

Caz 6 {5𝑥 − 4 = −35𝑦 + 3 = 4

⟺ {𝑥 =

1

5∉ 𝑍

𝑦 =1

5∉ 𝑍

Caz 7 {5𝑥 − 4 = 45𝑦 + 3 = −3

⟺ {𝑥 =

8

5∉ 𝑍

𝑦 = −6

5∉ 𝑍

Caz 8 {

5𝑥 − 4 = −45𝑦 + 3 = 3

⟺ {𝑥 = 0𝑦 = 0

Caz 9 {5𝑥 − 4 = 65𝑦 + 3 = −2

⟺ {𝑥 = 2𝑦 = −1

Caz 10 {

5𝑥 − 4 = −65𝑦 + 3 = 2

⟺ {𝑥 = −

2

5∉ 𝑍

𝑦 = −1

5∉ 𝑍

Caz 11 {5𝑥 − 4 = 125𝑦 + 3 = −1

⟺ {𝑥 =

16

5∉ 𝑍

𝑦 = −4

5∉ 𝑍

Caz 12 {5𝑥 − 4 = −125𝑦 + 3 = 1

⟺ {𝑥 = −

8

5∉ 𝑍

𝑦 = −2

5∉ 𝑍

Ecuația are două soluții {𝑥 = −1𝑦 = −3

și {𝑥 = 2𝑦 = −1

24

IV.4 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații:

𝒂)𝟐𝒙+𝟑

𝟑𝒙+𝟏=𝟑𝒚+𝟐

𝟐𝒚+𝟑 𝒃)

𝟑𝒙+𝟐

𝟒𝒙−𝟑=𝟐𝒚+𝟑

𝟑𝒚−𝟐 𝒄)

𝟑𝒙−𝟐

𝟐𝒚+𝟑=𝟑𝒙+𝟐

𝟑𝒚+𝟏 𝒅)

𝟐𝒙+𝟏

𝟑𝒚−𝟐=𝟑𝒙−𝟓

𝟐𝒚+𝟑

Rezolvare model

𝒅) 𝟐𝒙+𝟏𝟑𝒚− 𝟐

=𝟑𝒙−𝟓𝟐𝒚+𝟑

Se impun condițiile {3𝑦 − 2 ≠ 02𝑦 + 3 ≠ 0

Se aduce ecuația la același numitor și renunțăm la el.

Ecuația devine: (2𝑥 + 1)(2𝑦 + 3) = (3𝑥 − 5)(3𝑦 − 2) ⟺ 4𝑥𝑦 + 6𝑥 + 2𝑦 + 3 = 9𝑥𝑦 −

6𝑥 − 15𝑦 + 10 ⟺ −5𝑥𝑦 + 12𝑥 + 17𝑦 − 7 = 0 ⟺ 5𝑥𝑦 − 12𝑥 − 17𝑦 + 7 = 0 ⟺

𝑥(5𝑦 − 12) − 17𝑦 = 0| ∙ 5 ⟺ 5𝑥(5𝑦 − 12) − 105𝑦 = 0 ⟺ 5𝑥(5𝑦 − 12) − 17(5𝑦 −

12) = −204 ⟺ (5𝑥 − 17)(5𝑦 − 12) = −204

Caz 1 {5𝑥 − 17 = 1

5𝑦 − 12 = −204⟺ {

𝑥 =18

5∉ 𝑍

𝑦 = −192

5∉ 𝑍

Caz 2 {5𝑥 − 17 = −15𝑦 − 12 = 204

⟺ {𝑥 =

16

5∉ 𝑍

𝑦 =216

5∉ 𝑍

Caz 3 {5𝑥 − 17 = 2

5𝑦 − 12 = −102⟺ {

𝑥 =19

5∉ 𝑍

𝑦 = −18

Caz 4 {5𝑥 − 17 = −25𝑦 − 12 = 102

⟺ {𝑥 = 3

𝑦 =114

5∉ 𝑍

Caz 5 {5𝑥 − 17 = 35𝑦 − 12 = −68

⟺ {𝑥 = 4

𝑦 = −56

5∉ 𝑍 Caz 6 {

5𝑥 − 17 = −35𝑦 − 12 = 68

⟺ {𝑥 =

14

5∉ 𝑍

𝑦 = 16

Caz 7 {5𝑥 − 17 = 45𝑦 − 12 = −51

⟺ {𝑥 =

21

5∉ 𝑍

𝑦 = −39

5∉ 𝑍

Caz 8 {5𝑥 − 17 = −45𝑦 − 12 = 51

⟺ {𝑥 =

13

5∉ 𝑍

𝑦 =63

5∉ 𝑍

Caz 9 {5𝑥 − 17 = 65𝑦 − 12 = −34

⟺ {𝑥 =

23

5∉ 𝑍

𝑦 = −22

5∉ 𝑍

Caz 10 {5𝑥 − 17 = −65𝑦 − 12 = 34

⟺ {𝑥 =

11

5∉ 𝑍

𝑦 =46

5∉ 𝑍

Caz 11 {5𝑥 − 17 = 125𝑦 − 12 = −17

⟺ {𝑥 =

29

5∉ 𝑍

𝑦 = −1 Caz 12 {

5𝑥 − 17 = −125𝑦 − 12 = 17

⟺ {𝑥 = 1

𝑦 =29

5∉ 𝑍

Ecuația nu are soluții întregi.

25

CONCURS INDIVIDUAL 2016

Tabăra Națională de Matematică

LIONS SOMEȘ SATU MARE

11-16 iulie 2016

1. În Tabăra Naţională de Matematică Lions Someş Satu Mare, 11-16 iulie

2016, sunt 26 elevi . La finalul taberei, la despărţire, toţi cei 26 elevi fac

schimb de cărţi de vizită şi îşi strâng mâna.

a) Câte cărţi de vizită s-au dat?

b) Câte strângeri de mână au fost?

2. Fie 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑁∗ cu 𝑎

𝑏=𝑏

𝑐 și

𝑐

𝑑=𝑑

𝑎.

Fie 𝑛 = (𝑎2016 − 𝑏2016)(𝑏2016 − 𝑐2016) și 𝑚 = (𝑐2016 − 𝑑2016)(𝑑2016 − 𝑎2016).

Arătați că m · n este număr natural pătrat perfect.

3. Se consideră ∆𝐴𝐵𝐶 de arie 5 cm2.

Construim

𝐵2 ∈ (𝐵𝐶 astfel încât 𝐶𝐵2 = 2 ∙ 𝐵𝐶;

𝐶2 ∈ (𝐶𝐴 astfel încât 𝐴𝐶2 = 2 ∙ 𝐴𝐶 și

𝐴2 ∈ (𝐴𝐵 astfel încât 𝐵𝐴2 = 2 ∙ 𝐴𝐵

Calculați aria triunghiului 𝐴2𝐵2𝐶2.

4. În triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 avem 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 100° și 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Pe

semidreapta (AB se consideră punctul M astfel încât 𝐴𝑀 = 𝐵𝐶.

Aflați 𝑚(∢𝐵𝑀𝐶).

Subiectul a fost întocmit de:

prof. Braica Petru

prof. Bud Adrian

prof. Muntean Doina

prof. Pop Ovidiu

26

CONCURSUL PE ECHIPE 2016

Tabăra națională de matematică

LIONS SOMEȘ SATU MARE

11-16 iulie 2016

1. a) Suma pătratelor a trei numere naturale consecutive este egală cu numărul de zile ale anului viitor.

Care sunt acele numere?

b) Suma pătratelor a cinci numere naturale consecutive este egală cu dublul numărului de zile ale

ale anului viitor. Care sunt acele numere?

2. O invenție aplicată unui motor de mașină economisește 30% din combustibil, a doua invenție

economisește 45% iar a treia 25%. Cât combustibil se poate economisi dacă se folosesc cele trei

invenții simultan?

3. La tabăra națională LIONS SOMEȘ Satu Mare participă 26 elevi din județele Satu Mare, Bistrița

Năsăud, Cluj Napoca și Bihor. Arătați că există cel puțin 3 elevi care-și sărbătoresc ziua de naștere în

aceeași lună a anului 2016.

4. a) Un punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Justificați.

b) Două triunghiuri isoscele ABC și ADE de baze BC respectiv DE au unghiurile BAC și DAE

congruente, AB≠AE. Punctul D aparține interiorului unghiului CAE. Intersecția dreptelor BD și CE

se notează cu P. Demonstrați că semidreapta PA este bisectoarea unghiului BPE.

5. a) Unde și cât timp a negociat groful Karoly primirea autorizației de construire a castelului din

Carei?

b) Din câte bucăți de marmură de Carrara a fost construit șemineul din stânga parterului castelului

Karoly din Carei?

6. Diese Wörter sind versteckt:

27

Subiectul a fost întocmit de:

prof. Braica Petru

prof. Bud Adrian

prof. Dumitru Lorena

prof. Megyeșan Alexandra

prof. Muntean Doina

prof. Pop Ovidiu

prof. Pop Virgil

prof. Onciu Camelia

prof. Reiz Maria

prof. Szekelyi Sandor

28

SOLUȚII LA CONCURSUL INDIVIDUAL 2016

Tabăra Națională de Matematică

LIONS SOMEȘ SATU MARE

11-16 iulie 2016

1. a) Fiecare participant a dat câte o carte de vizită celorlalţi participanţi,

deci un elev a dat 25 de cărţi de vizită. Numărul total de cărţi de vizită

date este 25x26 = 650.

b) Fiecare elev strange mâna celorlalţi elevi, deci fiecare elev strânge 25

de mâini. Când doi elevi îşi strâng mâna, această strângere de mână este

socotită la fiecare dintre ei. Din acest motiv, numărul total de strangeri de

mână este 25𝑥26

2 = 325.

2. Din proporțiile date în ipoteză avem că b2

= d2, iar deoarece b și d sunt

naturale rezultă că b = d. După înlocuiri obținem că m = n de unde

concluzia rezultă imediat.

3. Construim segmentul (𝐴2𝐶). Avem 𝑆(𝐴𝐵𝐶)

𝑆(𝐵𝐶𝐴2) =

𝐴𝐵

𝐴2𝐵 =

1

2

Deci 𝑆(𝐵𝐶𝐴2) = 2 𝑆(𝐴𝐵𝐶) = 10.

În triunghiul 𝐴2𝐵𝐵2 avem că 𝑆(𝐴2𝐵𝐶)

𝑆(𝐴2𝐶𝐵2) =

𝐵𝐶

𝐶𝐵2 =

1

2,

prin urmare avem 𝑆(𝐴2𝐶𝐵2) = 2 𝑆(𝐴2𝐵𝐶) = 20.

Așadar aria 𝑆(𝐴2𝐵𝐵2) = 𝑆(𝐴2𝐵𝐶) + 𝑆(𝐴2𝐶𝐵2) = 10 + 20 = 30.

Analog se demonstrează că 𝑆(𝐵2𝐶𝐶2) = 𝑆(𝐴𝐴2𝐶2) = 30.

În concluzie aria cerută va fi 𝑆(𝐴2𝐵2𝐶2) = 30 + 30 + 30 + 5 = 95

centimetri

pătrați.

4. Construim ∆𝐴𝐵𝑃 echilateral astfel încât P și C se află în semiplane

diferite delimitate de dreapta AB.

Se arată ușor că 𝑚(∢𝑃𝐵𝐶) = 100°.

∆𝐴𝑀𝐶

∆𝐵𝐶𝑃 {

𝐴𝑀 ≡ 𝐵𝐶∢𝑀𝐴𝐶 ≡ ∢𝐶𝐵𝑃𝐴𝐶 ≡ 𝐵𝑃

}⟹⏞𝐿𝑈𝐿

∆𝐴𝑀𝐶 ≡ ∆𝐵𝐶𝑃

⟹ 𝑚(∢𝐴𝑀𝐶) = 𝑚(∢𝐵𝐶𝑃)

29

∆𝐴𝑃𝐶 isoscel ⟹ 𝑚(∢𝐴𝐶𝑃) =180°−160°

2= 10°

⟹ 𝑚(∢𝐵𝐶𝑃) = 30°⟹ 𝑚(∢𝐴𝑀𝐶) = 30°.

30

SOLUȚII LA CONCURSUL PE ECHIPE 2016

Tabăra Națională de Matematică

LIONS SOMEȘ SATU MARE

iulie 2016

1. a) 10, 11,12

b) 10, 11, 12, 13, 14

2. 1 −70

100∙55

100∙75

100= 1 − 0,288750 = 0,71125 ⇒ 71,125%

3. Deoarece avem 12 luni, 26 de elevi și 2 ∙ 12 = 24, conform principiului cutiei există cel puțin 3

elevi născuți în aceeași lună.

4. Triunghiurile BAD și CAE sunt congruente – caz LUL ⇒ înălțimile construite din A în cele două

triunghiuri sunt congruente întrucât în triunghiuri congruente înălțimile corespunzătoare laturilor

omoloage sunt congruente. Deoarece punctul A este la aceeași distanță de laturile PB și PE ⇒ cctd.

5. a) la Budapesta, timp de o săptămână

b) o singură bucată

6.

Diese Wörter sind versteckt:

BUCHT INSEL GEBIRGE

BERG HüGEL

TEMPEL KANNIBALENDORF

BRüCKE BAUM

PIRAT BURG VULKAN

SCHATZ WALD

31

Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ – SATU MARE

2017

V. APLICAȚII ALE NOȚIUNILOR DE PARTE ÎNTREAGĂ ȘI PARTE

FRACȚIONARĂ ALE UNUI NUMĂR RAȚIONAL

Prof.dr.Valerica Doina MUNTEAN, ISJ SATU MARE

V.1 Definiţii, notaţii, proprietăţi.

- Dacă un număr rațional a are scrierea zecimală 𝑎 = 𝑎0, 𝑎1𝑎2𝑎3… ,

𝑎0 ∈ 𝐙, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 ∈ {0,1,2, … ,9}, atunci partea întreagă a lui a

se notează cu [𝑎] și se definește prin [𝑎] = {𝑎0, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑎 ≥ 0

𝑎0 − 1, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑎 < 0 Mai

simplu de reţinut: partea întreagă a lui a este cel mai mare număr

întreg care nu îl depăşeşte pe a (este aşadar cel mult egal cu a); dacă

facem apel la reprezentarea pe axă, atunci a este primul număr întreg

din stânga lui a.

- Pentru orice 𝑎 ∈ 𝑸 avem [𝑎] = 𝑘 ∈ 𝒁 dacă și numai dacă 𝒌 ≤ 𝒂 <

𝒌 + 𝟏.

- Prin definiţie, partea fracţionară a numărului real a este {𝑎} = 𝑎 − [𝑎],

evident {𝒂} ∈ [𝟎, 𝟏).

V.2 Aplicații:

I.

1. Să se determine valoarea expresiei 𝐸 = [𝑥 + 𝑦] + [2𝑥] + [3𝑦] dacă 𝑥 =

2,75 și 𝑦 = 1,25.

2. Să se determine valoarea expresiei 𝐸 = [𝑥 + 𝑦] + [3𝑥] + [3𝑦] dacă 𝑥 =

1,78 și 𝑦 = 2,22.

3. Să se determine valoarea expresiei 𝐸 = {𝑎} + [2𝑎] + {3𝑎} dacă 𝑎 = 0,5.

4. Să se determine valoarea expresiei 𝐸 = {2𝑎} + [4𝑎] + {𝑎} dacă 𝑎 = 0,8.

32

5. Comparați numerele 𝐸 = 4{𝑎} + [3𝑎] + [𝑎] și 𝐹 = {3𝑏} + [𝑏] + {𝑏} dacă a

= 1,2 și b = 0,8.

6. Comparați numerele 𝐸 = {𝑎} + 2[2𝑎] + {3𝑎} și 𝐹 = {3𝑏} + [2𝑏] + [𝑏] dacă

a = 2,2 și b = 0,7.

II.

1. Să se rezolve ecuația [𝑥+3

2] =

𝑥+2

3.

Soluție:

Notăm [𝑥+3

2] = 𝑘, 𝑘 ∈ 𝒁 ⇒

𝑥+2

3= 𝑘 ⇒ 𝑥 = 3𝑘 − 2, 𝑘 ∈ 𝒁

𝑥+3

2=3𝑘−2+3

2=3𝑘+1

2⇒ 𝑘 ≤

3𝑘+1

2< 𝑘 + 1|∙ 2 ⇔ 2𝑘 ≤ 3𝑘 + 1 < 2𝑘 +

2|−2𝑘 ⇒ 0 ≤ 𝑘 + 1 < 2|−1 ⇒ −1 ≤ 𝑘 < 1, 𝑘 ∈𝒁 ⇒ 𝑘 ∈ {−1,0}

Atunci, pentru 𝑘 = 0 ⇒ 𝑥 = −2

pentru 𝑘 = −1 ⇒ 𝑥 = −5.

Probleme propuse

2. Să se rezolve ecuația [𝑥+4

2] =

𝑥+1

3.

3. Să se rezolve ecuația [𝑥+5

3] =

𝑥+1

2.

4. Să se rezolve ecuația [2𝑥−1

3] =

3𝑥−2

4.

5. Să se rezolve ecuația [2𝑥+3

4] =

3𝑥+2

4.

33

III.

1. Să se rezolve în 𝑄+ ecuația {4𝑥+7

𝑥+2} + [

5𝑥+4

𝑥+1] = 4, (5), unde {𝑥} respectiv [𝑥]

reprezintă partea fracționară, respectiv partea întreagă a numărului rațional

pozitiv 𝑥.

Soluție:

4𝑥+7

𝑥+2=3𝑥+6+𝑥+1

𝑥+2=3𝑥+6

𝑥+2+𝑥+1

𝑥+2=3(𝑥+2)

𝑥+2+𝑥+1

𝑥+2= 3 +

𝑥+1

𝑥+2

Deoarece 𝑥 ∈ 𝑄+ ⇒ 0 <𝑥+1

𝑥+2< 1 ⇒ {

4𝑥+7

𝑥+2} =

𝑥+1

𝑥+2 (1)

5𝑥 + 4

𝑥 + 1=4𝑥 + 4 + 𝑥

𝑥 + 1=4𝑥 + 4

𝑥 + 1+

𝑥

𝑥 + 1= 4 +

𝑥

𝑥 + 1

Deoarece 𝑥 ∈ 𝑄+ ⇒ 0 <𝑥

𝑥+1< 1 ⇒ [

5𝑥+4

𝑥+1] = 4 (2)

Din (1) și (2) ⇒ {4𝑥+7

𝑥+2} + [

5𝑥+4

𝑥+1] = 4, (5)⇔

𝑥+1

𝑥+2+ 4 = 4 +

5

9

⇒𝑥 + 1

𝑥 + 2=5

9⇒ 9𝑥 + 9 = 5𝑥 + 10 ⇒ 4𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 =

1

4∈ 𝑄+

Probleme propuse:

2. Să se rezolve în 𝑄+ ecuația [3𝑥+2

𝑥+1] + {

3𝑥+5

𝑥+2} = 2, (7), unde {𝑥} respectiv [𝑥]

reprezintă partea fracționară, respectiv partea întreagă a numărului rațional

pozitiv 𝑥.

3. Să se rezolve în 𝑄+ ecuația [2𝑥+1

𝑥+1] + {

4𝑥+7

𝑥+2} = 1, (5), unde {𝑥} respectiv [𝑥]

reprezintă partea fracționară, respectiv partea întreagă a numărului rațional

pozitiv 𝑥.

34

VI. CONGRUENŢE MODULO N

Prof.dr.Petru Braica, ȘCOALA GIMNAZIALĂ „GRIGOREMOISIL” SATU

MARE

VI.1 Definiţia relaţiei de congruenţă modulo n

Congruenţa triunghiurilor are următoarele proprietăţi:

(r) △ 𝐴𝐵𝐶 ≡ 𝐴𝐵𝐶

(s) △ 𝐴𝐵𝐶 ≡△ 𝐷𝐸𝐹 ⇒△𝐷𝐸𝐹 ≡ 𝐴𝐵𝐶

(t) △ 𝐴𝐵𝐶 ≡△ 𝐷𝐸𝐹, △ 𝐷𝐸𝐹 ≡ 𝐺𝐻𝐼 ⇒△ 𝐴𝐵𝐶 ≡ 𝐺𝐻𝐼

Definiţie 1. Spunem că două numere întregi 𝑎 şi 𝑏 sunt congruente modulo n, 𝑛 ∈

𝑚𝑎𝑡ℎ𝑏𝑏𝑍∗ fixat, dacă au acelaşi rest la împărţirea cu 𝑛, adică 𝑛|(𝑎 − 𝑏) sau 𝑎−𝑏

𝑛∈ ℤ. Notăm

𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) sau 𝑎 ≡𝑛 𝑏 şi citim ä congruent cu b modulo n".

Exemplul 1.

1. 7 ≡ 10(𝑚𝑜𝑑3) pentru că 7 = 2𝑐𝑑𝑜𝑡3 + 1 şi 10 = 3 ⋅ 3 + 1

2. 12 ≡ 52(𝑚𝑜𝑑5) pentru că 12 = 5 ⋅ 2 + 2 şi 52 = 5 ⋅ 10 + 2

3. 43 ≡ 26(𝑚𝑜𝑑7) pentru că 43 = 7 ⋅ 6 + 1 şi 26 = 7 ⋅ 3 + 5

Proprietăţi 1. Fie 𝑛 ∈ ℤ∗ fixat:

1. (r) 𝑎 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛) (evidentă)

2. (s) 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⇒ 𝑏 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 3. (t) 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) şi 𝑏 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⇒ 𝑎 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑𝑛)

Demosntraţie: 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑𝑛) ⇒ 𝑛|𝑎 − 𝑏 → 𝑎 − 𝑏 = 𝑛 ⋅ 𝑘1, 𝑘1 ∈ ℤ

𝑏 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑𝑛) → 𝑛|𝑏 − 𝑐 → 𝑏 − 𝑐 = 𝑛 ⋅ 𝑘2, 𝑘2 ∈ ℤ

Adunând cele două relaţii: 𝑎 − 𝑐 ≡ 𝑛(𝑘1 + 𝑘2)𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡𝑎𝑟𝑟𝑜𝑤𝑎 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Observaţie 1. Se observă similitudinea cu congruenţa triunghiurilor.

𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛,  𝑐 ≡ (𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≡ (𝑚𝑜𝑑 𝑛)𝑏 + 𝑑, ; 𝑎 − 𝑐 ≡ (𝑚𝑜𝑑 𝑛)𝑏 − 𝑑

4. a≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛), c≡ 𝑑(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑑(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

𝑎 − 𝑐 ≡ 𝑏 − 𝑑(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

35

5. a ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⇒ 𝑎𝑘 ≡ 𝑏𝑘, 𝑘 ∈ ℕ*

6. a ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) și 𝑐 ∈ 𝑍 ⇒ 𝑎 ∙ 𝑐 ≡ 𝑏 ∙ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

7. a ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) și 𝑐 ∈ 𝑍 ⇒ 𝑎 ∙ 𝑐 ≡ 𝑏 ∙ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑐)

8. a𝑐 ≡ 𝑏𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛) și (c,n)=1⇒ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

9. a𝑐 ≡ 𝑏𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛) și 𝑐 ∈ 𝑍∗⇒ 𝑎𝑛 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

10. a≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) și d |𝑛 ⇒ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

11. a≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) și d|a, d|n ⇒ 𝑑 | 𝑏

12. Mica Teorema a lui Fermat

Pentru 𝑎𝜖𝑍, (𝑎, 𝑝) = 1, p numar prim avem:

𝑎𝑝−1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) sau 𝑎𝑝 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑝)

VI.2 Aplicaţii

Problema 1. Arătaţi că 𝐴 = 340 − 240 ⋮ 5.

Soluţia 1. 𝑢. 𝑐. (340 = 1 şi 𝑢. 𝑐(240) = 6 deci 𝐴 ⋮ 5.

Soluţia 2. (cu ≡)

34 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) ⇒ (34)10 ≡ 110(𝑚𝑜𝑑 5) ⇒ 340 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5).

24 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) ⇒ (24)10 ≡ 110(𝑚𝑜𝑑 5) ⇒ 240 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5).

Deci, pe baza P4: 340 − 240 ≡ 1 − 1 = 0(𝑚𝑜𝑑 5).

Problema 2. Demonstraţi că ecuaţia 2𝑥 + 7𝑦 = 19𝑧 nu are soluţii în mulţimea numerelor

naturale.

Soluţie: 19 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3) ⇒ 19𝑧 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3)

2𝑥 + 7𝑦 ≡ [(−1)𝑥 + 1](𝑚𝑜𝑑 3] deci:

𝑥-par ⇒ 2𝑥 + 7𝑦 ≡ 29𝑚𝑜𝑑 3) 𝑥-impar ⇒ 2𝑥 + 7𝑦 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 3)

Problema 3. Să se rezolve în ℕ× ℕ × ℕ ecuaţia: 3𝑥 + 4𝑦 = 5𝑧(I.V. Maftei, 1979)

Soluţie: Luăm modulo 4 termenii egalităţii:

5𝑧 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) şi 4𝑦 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4) deci 3𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) deci 𝑥 este par, 𝑥 = 2𝑥1. Altfel, 32𝑘+1 =

3 ⋅ 32𝑘 ≡ 3 ⋅ 1(𝑚𝑜𝑑 4) sau 32𝑘+1 ≡ (𝑚𝑜𝑑 4), ce nu convine.

Luăm modulo 3 termenii egalităţii: 3𝑥 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 3), 4𝑦 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3), deci 5𝑧 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3, de unde

𝑧 număr par, întrucât dacă 𝑧 = 2𝑘 + 1 am avea 52𝑘+1 = 5 ⋅ (52)𝑘 = 5 ⋅ 25𝑘 = 5 ⋅ (𝑀3 + 1)𝑘 ≡ 5 ⋅

1 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 3), situaţie care nu convine.

În concluzie 4𝑦 = 52𝑥1 − 32𝑥1 = (5𝑥1 − 3𝑥1)(5𝑥1 + 3𝑥1), de unde (5𝑥1 − 3𝑥1) = 2𝛼 și

(5𝑥1 + 3𝑥1) = 2𝛽 cu 𝛼 + 𝛽 = 2𝑦.

36

Din {5𝑧1 = 2𝛽−1(2𝛼−𝛽 + 1) ⇒ 𝛽 = 1

3𝑥1 = 2𝛽−1(2𝛼−𝛽 − 1) ⇒ 𝛼 = 2𝑦 − 1

{5𝑧1 = 2𝛼−1 + 13𝑥1 = 2𝛼−1 − 1

sau {5𝑧1 = 22𝑦−2 + 13𝑥1 = 22∝−2 − 1

adică {4𝑦−1 = 5𝑧1 − 14𝑦−1 = 3𝑥1 + 1

, adică

4𝑦−1 − 1 = (3 + 1)𝑦−1 − 1 = 𝑀3 + 1 − 1 = 𝑀3

Convine: 𝑦 − 1 = 1⇒ 𝑦 = 2 ⇒∝= 1⇒ 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 2 soluție.

Problema 4. Arătați că 𝑥5 − 𝑦2 = 4 nu are soluții întregi.

Soluție: Considerăm ecuația modulo 11:

(𝑥5)2 = 𝑥11−1 ≡ 𝑡(𝑚𝑜𝑑 11), 𝑡 ∈ {0; 1}, ∀𝑥 ∈ 𝑍, deci 𝑥5 ≡ 𝑠(𝑚𝑜𝑑 11), 𝑠 ∈ {−1; 0; 1}

𝑥5 − 4 ≡ 𝑞(𝑚𝑜𝑑 11), 𝑞 ∈ {6; 7; 8}

𝑦2 ≡ 𝑟(𝑚𝑜𝑑 11), 𝑟 ∈ {0; 1; 3; 4; 5; 9} deci ecuația nu are soluții.

Problema 5. 3x − 2y = 7

Soluție: Presupunem 𝑦 ≥ 3; considerăm ecuația modulo 8 ⇒ 3𝑥 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 8), însă 3𝑥 ≡ 3( 𝑚𝑜𝑑 8)

sau 3𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 8) (x par sau impar)

Rămâne cazul 𝑦 = 0, 𝑦 = 1, 𝑦 = 2 care sunt imediate. Soluția: (𝑥, 𝑦) = (2,1)

Problema 6: Care este restul împărțirii 6768 ∙ 6867 la 21.

Soluție: 67 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 21), 68 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 21) ⇒ 6768 ≡ 468(𝑚𝑜𝑑 21) și 6867 ≡ 567(𝑚𝑜𝑑 21). Cum

însă 20 ≡ −1(𝑚𝑜𝑑 21) avem: 4 ∙ 2067 ≡ −4 ≡ 17(𝑚𝑜𝑑 21). Restul cerut este deci 17.

Problem 7: Prin împărțire la 5 a unui număr se obține restul 2, pătratul său prin împărțire la 25, dă

restul 24, iar cubul său, împărțit la 125, dă restul 93. Care este numărul?

Soluție: 𝑛 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 5) ⇒ 𝑛 = 5𝑘 + 2, 𝑛2 ≡ 24(𝑚𝑜𝑑 25) ⇒ 𝑛 = 25𝑦 + 7, 𝑛3 = 93(𝑚𝑜𝑑 125)

⇒ 𝑛 = 125𝑞 + 7

37

VII. PROBLEME DE GEOMETRIE

VII1. Problemă de geometrie

Fie ∆𝐴𝐵𝐶 cu 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 90°si 𝐴𝐵 = 2𝐴𝐶.

In punctul B se construieste o perpendiculara pe dreapta AB pe care se considera

punctul D astfel incat 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 iar punctele A si D sunt de o parte si de alta a dreptei BC.

Fie 𝐸 ∈ 𝐵𝐶 astfel incat 𝐷𝐸 = 𝐷𝐵.

Aratati ca 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶.

Prof.Adrian BUD, LICEUL TEORETIC NEGREȘTI OAȘ

Supliment GM 5/2017

Soluție

Fie M mijlocul segmentului AB si {𝑃} = 𝐵𝐶 ∩𝐷𝑀.

Astfel 𝐵𝑀 =𝐵𝐴

2= 𝐴𝐶

∆𝐷𝐵𝑀∆𝐵𝐴𝐶

{𝐷𝐵 = 𝐵𝐴𝐵𝑀 = 𝐴𝐶

}𝐶𝐶⇒ ∆𝐷𝐵𝑀 ≡ ∆𝐵𝐴𝐶

⟹ 𝑚(∢𝑀𝐷𝐵) = 𝑚(∢𝐶𝐵𝐴)

𝑚(∢𝑀𝐵𝑃) + 𝑚(∢𝐵𝑀𝑃)= 𝑚(∢𝑀𝐷𝐵) +𝑚(∢𝐵𝑀𝐷)

= 90° ⇒ 𝑫𝑴 ⊥ 𝑩𝑬

In ∆𝐷𝐸𝐵 isoscel avem

DP inaltime ⟹ DP mediana deci P este mijlocul lui EB.

In ∆𝐴𝐸𝐵 avem MP linie mijlocie⟹ {𝑀𝑃 ∥ 𝐴𝐸𝑀𝑃 ⊥ 𝐵𝐸

astfel ca 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶.

38

VII2. Problemă de geometrie

Se consideră triunghiul dreptunghic isoscel 𝑨𝑩𝑪 cu 𝒎(𝑨𝑩��) = 𝟗𝟎°. Pe dreapta

perpendiculară în 𝑩 pe 𝑨𝑩 se consideră punctul 𝑫 astfel încât punctele A și D sunt de aceași

parte a dreptei BC iar 𝑨𝑫 = 𝑩𝑪. Determinați măsura unghiului 𝑩𝑨��.

Prof.Adrian BUD, LICEUL TEORETIC NEGREȘTI OAȘ

Sorana Ionescu Olimpiada de matematică faza județeană 2016.

Soluție

Fie ∆𝐴𝐵𝑀 dreptunghic isoscel

∆𝐴𝐵𝑀 ≡ ∆𝐵𝐴𝐶(𝐶𝐶) ⟹ 𝑀𝐴 = 𝐵𝐶(= 𝐴𝐷)

𝑚(∢𝐴𝐵𝐷) = 𝑚(∢𝐷𝐵𝐶) − 𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)= 90°−45° = 45°

𝑚(∢𝑀𝐵𝐷) = 𝑚(∢𝑀𝐵𝐴) − 𝑚(∢𝐷𝐵𝐴)

= 90°−45° = 45° = 𝑚(∢𝐴𝐵𝐷)

∆𝐵𝑀𝐷 ≡ ∆𝐵𝐴𝐷(𝐿𝑈𝐿) ⟹ 𝑀𝐷 = 𝐴𝐷(= 𝐴𝑀)

Se obține imediat că ∆𝐴𝐷𝑀 este

echilateral.

𝑚(∢𝐷𝐴𝑀) = 60°⟹

𝑚(∢𝐷𝐴𝐵) = 𝑚(∢𝐷𝐴𝑀) +𝑚(∢𝑀𝐴𝐵)

= 60° + 45° = 105°

39

VIII. PROBLEME PROPUSE

VIII.1 Probleme propuse

Prof.dr. Ovidiu T. POP, COLEGIUL NAȚIONAL „MIHAI EMINESCU” SATU

MARE

1. Există numere a,b∈Z astfel încât a+b să fie par şi 𝑎2+𝑏2 să fie impar?

Soluţie. Suma (a+b)+( 𝑎2+𝑏2)=a(a+1)+b(b+1) este un număr par, deci numerele a+b şi

𝑎2+𝑏2 au aceeaşi paritate. Răspunsul este negativ.

2. Există numere a,b,c∈Z astfel încât a+b, b+c, c+a să fie toate impare?

Soluţie. Suma (a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c) este un număr par, deci răspunsul este negativ.

3. Fie patrulaterul convex ABCD, M,N mijloacele diagonalelor AC, respectiv BD. Să se

arate că:

a) BM<𝐵𝐴+𝐵𝐶

2;

b) MN<𝑝

2, unde p este semiperimetrul patrulaterului.

Soluţie. a) Fie E simetricul lui B faţă de M. Atunci patrulaterul ABCE este paralelogram, deci

MB≡ME şi AB≡CE. În triunghiul ∆BEC avem că BE<CB+CE şi ţinând seama de

congruenţele de mai sus obţinem că 2BM<CB+AB, de unde rezultă a). b) Folosind a) în

triunghiurile ∆ABC, ∆ADC şi ∆MBD avem BM<𝐵𝐴+𝐵𝐶

2, DM<

𝐷𝐴+𝐷𝐶

2, respectiv MN<

𝐵𝑀+𝐷𝑀

2,

de unde după înlocuiri, se obţine inegalitatea de la b).

40

CONCURS INDIVIDUAL 2017

Tabăra națională de matematică

LIONS SOMEȘ SATU MARE

03 - 08 iulie 2017

1. Fie S suma divizorilor naturali ai numărului 2016.

a) Să se arate că S se poate scrie ca o sumă de trei numere naturale pătrate

perfecte.

b) Să se arate că produsul tuturor divizorilor naturali ai numărului 2016 este

un cub perfect.

2. Se consideră triunghiul ABC cu m(∡A) > 90°. În interiorul unghiului ∡BAC

se consideră semidreptele (Ax, și (Ay încât m(∡BAx) = m(∡CAy). Notăm cu

M mijlocul laturii BC și cu P și Q picioarele perpendicularelor din C pe

semidreptele (Ax, respectiv pe (Ay .

a) Demonstrați că triunghiul MPQ este isoscel.

b) Sunt pe același cerc punctele P, Q, R, S, unde R și S sunt picioarele

perpendicularelor din B pe semidreptele (Ax, și (Ay?

1. Justificați dacă există nouă numere naturale prime diferite două câte două a

căror sumă să fie 125.

2. Fie patrulaterul convex ABCD cu M și N mijloacele diagonalelor AC,

respectiv BD. Să se arate că:

a) BM < BA+BC

2;

b) MN < p

2, unde p este semiperimetrul patrulaterului.

3. Fie ∆ABC cu m(∢BAC) = 90° și AB = 2AC. În punctul B se construiește o

perpendiculară pe dreapta AB pe care se consideră punctul D astfel încât

𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 iar punctele A și D sunt de o parte și de alta a dreptei BC. Fie 𝐸 ∈ 𝐵𝐶

astfel încât 𝐷𝐸 = 𝐷𝐵. Arătați că AE ⊥ BC.

Subiectul a fost întocmit de:

1. prof.dr. Muntean Doina

2. prof.dr. Braica Petru

3. prof. Pop Virgil

4. prof.dr. Pop Ovidiu

5. prof. Bud Adrian

41

SOLUȚII LA CONCURSUL INDIVIDUAL 2017

Tabăra Națională de Matematică

LIONS SOMEȘ SATU MARE

03 - 08 iulie 2017

1.

a) 2016 = 25 ∙ 32 ∙ 71.

𝑆 =26−1

2−1∙33−1

3−1∙72−1

7−1= 63 ∙ 13 ∙ 8 = 13 ∙ 14 ∙ 9 ∙ 4 = 13 ∙ 14 ∙ 36 = 13 ∙ 36 ∙ (13 + 1) = 132 ∙ 62 +

13 ∙ 62 = 132 ∙ 62 + (9 + 4) ∙ 62 = 132 ∙ 62 + 9 ∙ 62 + 4 ∙ 62 = (13 ∙ 6)2 + (3 ∙ 6)2 + (2 ∙ 6)2 =782 + 182 + 122

b) Numărul divizorilor lui 2016 este 𝑁 = (5 + 1) ∙ (2 + 1) ∙ (1 + 1) = 6 ∙ 3 ∙ 2 = 36

Notăm divizorii numărului 2016 cu d1, d2, ..., d36. Deoarece 1 și 2016 sunt și ei divizori și

considerând 𝑑1 < 𝑑2 < ⋯ < 𝑑36, putem scrie 𝑑1

1=2016

𝑑36,𝑑2

1=2016

𝑑35, ... ,

𝑑36

1=2016

𝑑1. Înmulțind termen

cu termen se obține: 𝑑1 ∙ 𝑑2 ∙ … ∙ 𝑑36 =2016

𝑑1∙2016

𝑑2∙ … ∙

2016

𝑑36 ⇔ 𝑑1 ∙ 𝑑2 ∙ … ∙ 𝑑36 =

201636

𝑑1∙𝑑2∙…∙𝑑36 ⇔(𝑑1 ∙

𝑑2 ∙ … ∙ 𝑑36)2 = 201636

Atunci 𝑑1 ∙ 𝑑2 ∙ … ∙ 𝑑36 = 201618 = ((2016)6)3.

2. a) Se alege mijlocul laturii AC, notat cu N și se demonstrează că triunghiul MNP e

congruent cu triunghiul MNQ, cazul LUL, latura MN e comună, PN și QN sunt mediane

corespunzătoare ipotenzei AC în triunghiurile dreptunghice CPA și CQA iar unghiurile

∡MNP și ∡MNQ se calculează în funcție de unghiul A și unghiul ∡BAx. Din congruența

trunghiurilor se obtține concluzia.

42

b) Se demonstrează analog că MR = MS, după care MR = MP deci punctul M e egal

depărtat de PQRS deci răspunsul e afirmativ.

3. Dacă între cele nouă numere prime îl vom considera pe 2 vom avea 8 numere prime

impare iar suma lor va fi un număr par, deci suma nu va putea fi 125. Dacă nu îl vom

considera pe 2 atunci suma primelor nouă numere prime este: 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 +

23 + 29 = 127 > 125.

4. a) Fie E simetricul lui B faţă de M. Atunci patrulaterul ABCE este paralelogram, deci MB

≡ ME şi AB ≡ CE. În triunghiul ∆BEC avem că BE < CB + CE şi ţinând seama de

congruenţele de mai sus obţinem că 2BM < CB + AB, de unde rezultă a).

b) Folosind a) în triunghiurile ∆ABC, ∆ADC şi ∆MBD avem BM < BA+BC

2, DM <

DA+DC

2,

respectiv MN < BM+DM

2, de unde după înlocuiri, se obţine inegalitatea de la b).

5.

Fie M mijlocul segmentului AB și {P} = BC ∩ DM.

Astfel BM =BA

2= AC

∆𝐷𝐵𝑀∆𝐵𝐴𝐶

{DB = BABM = AC

}CC⇒ ∆DBM ≡ ∆BAC ⟹ m(∢MDB)

= m(∢CBA)

m(∢MBP) + m(∢BMP) = m(∢MDB) +m(∢BMD)

= 90° ⇒ DM ⊥ BE

În ∆DEB isoscel avem DP înălțime ⟹ DP mediana

deci P este mijlocul lui EB. În ∆AEB avem MP

linie mijlocie ⟹ {𝑀𝑃 ∥ 𝐴𝐸𝑀𝑃 ⊥ 𝐵𝐸

astfel că AE ⊥ BC.

43

CONCURSUL PE ECHIPE 2017

Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE

03 - 08 iulie 2017

1. Să se rezolve în Q+ ecuația {3𝑥+5

𝑥+2} + [

3𝑥+2

𝑥+1] = 2, (7) unde {𝑥} respectiv [𝑥]reprezintă

partea fracționară, respectiv partea întreagă a numărului rațional pozitiv 𝑥.

2. Să se rezolve în Z ecuațiile:

a) 17𝑥 − 58𝑦 = 11;

b) 3𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = 13.

3. Arătați că ecuația: x2 + y2 = 2019, nu are soluții în 𝒁 × 𝒁.

4. Fie triunghiul isoscel ABC cu BC = AC. Mediatoarea segmentului [BC]

intersectează latura [AB] în punctul D astfel ca AC = AD. Să se găsească măsurile

unghiurilor triunghiului ABC.

5. a) Există numere a, b ∈ Z astfel încât a + b să fie par şi a2 + b2 să fie impar?

b) Există numere a, b, c ∈ Z astfel încât a + b, b + c, c + a să fie toate impare?

6. Unde este situat Muzeul Țării Oașului?

7. În ce an s-a înființat Muzeul Țării Oașului?

8. În câte secțiuni este împărțit Muzeul Țării Oașului? Precizați-le.

9. Prin ce este reprezentată arhitectura tradițională la Muzeul Țării Oașului?

10. Care este cea mai „vie” parte a Muzeului Țării Oașului? Justificați.

11. Ce este olăritul și care sunt resursele necesare olăritului?

12. Descrieți procesul de modelare a obiectelor cu ajutorul olăritului? (cel mult 25

de cuvinte)

13. Miercuri, elevii participanți la Tabăra Națională de Matematică „LIONS

SOMEȘ” Satu Mare 2017, merg în excursie în Țara Oașului. Aceștia pornesc

din fața Liceului Teoretic German „Johann Ettinger” din Satu Mare la ora 1450,

iar autocarul circulă cu viteza medie de . Se face o pauză de răcorire cu o

înghețată timp de 15 minute, iar pentru vizitarea Muzeului Țării Oașului, se

alocă o oră și un sfert. Știind că la întoarcere viteza medie cu care circulă

autocarul este , stabiliți ora la care ajung elevii înapoi la liceu.

44

14. Diese Wörter sind versteckt:

45

Subiectul a fost întocmit de:

1. prof.dr. Muntean Doina

2. prof. Bud Adrian

3. prof.dr. Braica Petru

4. prof. Pop Virgil

5. prof.dr. Pop Ovidiu

6.-13. prof. Dumitru Lorena

6.-13. prof. Peto Melinda

14. prof. Onciu Camelia

14. prof. Reiz Maria

14. prof. Szekely Sandor

46

SOLUȚII LA CONCURSUL PE ECHIPE 2017

Tabăra Națională de Matematică

LIONS SOMEȘ SATU MARE

03 - 08 iulie 2017

2. a) 17𝑥 − 58𝑦 = 11

Aproximăm fracția 17

58=

158

17

=1

3+7

17

=1

3+1

2+37

=1

3+1

2+1

2+13

Dacă renunțăm la ultima fracție 1

3 se obține o aproximare a lui

17

58≅

1

3+1

2

=5

17

Astfel 𝑚 = 5 și 𝑛 = 17 și soluția particulară 𝑆 = {(𝑥0 = 17 ∙ 11, 𝑦0 = −5 ∙ 11)},

adică 𝑆 = {(𝑥0 = 187, 𝑦0 = −55)}.

Ecuația devine 17𝑥 − 58𝑦 = 17 ∙ 187 − 58 ∙ 55 ⟺ 17(𝑥 − 187) = 58(𝑦 − 55)

Deoarece 17 nu este multiplu de 58 rezultă că 𝑥 − 187 ⋮ 58 ⟺ 𝑥 − 187 = 58𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍

Astfel 𝑥 = 58𝑘 + 187, 𝑘 ∈ 𝑍 și imediat 𝑦 = 17𝑘 + 55, 𝑘 ∈ 𝑍

Soluția generală a ecuației este 𝑆 = {(58𝑘 + 187, 17𝑘 + 55)}, 𝑘 ∈ 𝑍

𝑏) 3𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = 13

Ecuația este echivalentă cu

3𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 − 10𝑧 = 13 ⟺ 3(𝑥 + 𝑧) + 5(𝑦 − 2𝑧) = 13

Notăm 𝑥 + 𝑧 = 𝛼 și 𝑦 − 2𝑧 = 𝛽 cu 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑍

Ecuația devine 3𝛼 + 5𝛽 = 13 cu (1,2) este o soluție particulară a ecuației.

Astfel 𝑥 + 𝑧 = 1 ⟺ 𝑥 = 1 − 𝑧 și 𝑦 − 2𝑧 = 2 ⟺ 𝑦 = 2𝑧 + 2

Considerând z ca o variabila oarecare 𝑘 ∈ 𝑍, soluția generală a ecuației este

47

𝑆 = {(1 − 𝑘, 2𝑘 + 2, 𝑘)}, 𝑘 ∈ 𝑍.

3. Presupunem că ar exista soluții pentru ecuația din enunț.

Pentru orice x număr întreg are loc x2≡ 0; 1(mod 4) și analog y

2≡ 0; 1(mod 4) .

Acum aplicăm proprietatea ; din a≡ x(mod n) și b≡ y(modn) rezultă a + b ≡ x + y(mod n);

obținem că: x2+y2 ≡ 0; 1 sau 2(mod 4) . Pe de altă parte 2019 ≡ 3(mod 4), de unde

contradicția.

Întrucât presupunerea făcută duce la contradicție problema este rezolvată.

4. În ∆ABC, BC = AC ⇒ m(∢BAC) = m(∢ABC) = x°. Fie M mijlocul segmentului [AC] DM

este mediatoare segmentului [BC] ⇒ ∆DCB este isoscel cu DC = DB ⇒ m(∢DCB) =

m(∢DBC) = x° ⇒ m(∢BDC) = 180° − 2x° ⇒ m(∢ADC) = 2x° ⇒ m(∢ACD) = 2x°(AC = AD).

În ∆ABC, m(∢BAC) + m(∢ABC) + m(∢ACB) = 180° ⇒ x = 36°. Soluție: 36°; 36°; 108°.

5. a) Suma (a + b) + (𝑎2 + 𝑏2) = a(a + 1) + b(b + 1) este un număr par, deci numerele a + b şi

𝑎2 + 𝑏2 au aceeaşi paritate. Răspunsul este negativ.

b) Suma (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2(a + b + c) este un număr par, deci răspunsul este

negativ.

6. Muzeul Țării Oașului se află în apropierea centrului orașului Negrești Oaș, județul Satu Mare.

7. Muzeul Țării Oașului s-a înființat în anul 1966.

8. Acesta este împărțit în două secțiuni: Muzeul în aer liber și Galeria de artă ”Dr. Mihai Pop”.

9. Arhitectura tradițională este reprezentată prin biserica de lemn de la Lechința, case din Racșa,

Moișeni, Negrești, Casa olarului din Vama și două case moleculare din Gherța Mică.

10. Cea mai „vie” parte a muzeului este reprezentată de instalațiile tehnice în special cele acționate de

apă deoarece oameni vin să macine la moară, spală la vultoare, prelucrează țesuturile de lână la piuă și

produc ceramica.

11. Olăritul este procesul de modelare a obiectelor din lut, iar resursele necesare olăritului sunt roata

olarului, cuptorul de ars, malaxorul și resurse pentru vopsit/decorat.

12. Pregătirea argilei (lutului) pentru modelare, modelarea argilei cu ajutorul roatei de modelat,

uscarea vaselor, înmuierea în albeala (angoba), introducerea vaselor la cuptor, ornamentarea vaselor.

13. Elevii se întorc la cămin la ora 1835 de minute.

14.

48

Diese Wörter sind versteckt:

BUCHT INSEL GEBIRGE

BERG HüGEL

TEMPEL KANNIBALENDORF

BRüCKE BAUM

PIRAT BURG VULKAN

SCHATZ WALD

49

Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ – SATU MARE

2018

IX. CLASE DE NUMERE ÎNTREGI

Prof.dr.Valerica Doina MUNTEAN, ISJ SATU MARE

IX.1 Numerele norocoase Ulam

Numerele norocoase Ulam sunt numerele ce rămân după trecerea tuturor numerelor naturale

printr-o sită ale cărei etape sunt: începând cu șirul întregilor pozitivi, următorul număr după 1

este 2; toate numerele pare sunt eliminate, următorul rămas după 1 este 3; fiecare al treilea

număr din șir este eliminat, următorul rămas după 1 este 7; fiecare al 7-lea număr din șirul

rămas este eliminat ș.a.m.d.

IX.2 Problemă propusă

Notăm cu M mulțimea numerelor norocoase.

a) Dacă scriem în ordine crescătoare numerele mulțimii M, care sunt primele 7 numere

norocoase?

b) Aflați numărul de divizori naturali al celui de-al 7-lea număr norocos.

c) Fie 𝑆 suma divizorilor naturali ai celui de-al 7-lea număr norocos. Să se arate că 8𝑆 este un

număr natural pătrat perfect.

Soluție:

a) Primele 7 numere norocoase: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21.

b) Al 7-lea număr norocos este 21 = 31 ∙ 71.

Numărul de divizori al numărului 21 este (1 + 1)(1 + 1) = 4.

c) 𝑆 =32−1

3−1∙72−1

7−1= 4 ∙ 8 = 25

8𝑆 = 8 ∙ 25 = 23 ∙ 25 = 28 = (24)2.

50

X. CONSTRUCȚII GEOMETRICE

Prof. KOCZINGER Éva, LICEUL TEOLOGIC ROMANO-CATOLIC „ HÁM

JÁNOS” SATU MARE

X.1 Ce înseamnă construcția?

Construcții euclidiene: - folosește numai rigla (fără unități de măsură) și compasul

Pași elementari de construcții:

-prin două puncte construite se poate construi o dreaptă ( și numai una)

-construcția unui cerc cu mijloc și rază dată

-determinarea punctului de intersecție a două drepte construite

- determinarea punctelor de intersecție a unui cerc și o dreaptă construită

- determinarea punctelor de intersecție a două cercuri contruite

Construcția euclidiană constă în repetarea finită a acestor pasuri elementare de

construcții.

O figură este constructibilă, dacă se poate obține prin repetarea nr finit de ori a

pasurilor elelmentare.

Lorenzo Mascheroni (1750-1800) a demonstrat: Contrucțiile euclidiene pot fi efectuate

numai cu compasul .

Poncelet- Steiner: Construcțiile geometrice pot fi efectuate numai cu rigla.

X.2 Construcții imposibile

- Cuadratura cercului

- Dublarea cubului

- Trisecțiunea unghiului

- Construcția poligonului regulat de 7 laturi

X.3 Construcții de bază

Trebuie cunoscute următoarele construcții simple:

1. Construcția unui segment de lungime dată (copierea segmentului)

2. Construcția unui unghi de măsură dată (copierea unui unghi)

3. Mediatoarea unui segment

4. Construcția unei drepte perpendiculară pe o dreaptă dată (2 cazuri)

51

5. Cercul circumscris unui triunghi (Cercul care trece prin 3 puncte necoliniare)

6. Determinarea centrului unui cerc

7. Construcția unei drepte ce trece printr-un punct și este paralelă cu o dreaptă dată

8. Construcția unui triunghi, dacă se cunosc două laturi și unghiul opus laturii mai mari

9. Bisectoarea unui unghi

10. Construcția cercului înscris într-un triunghi

11. Construcția unor unghiuri de măsuri specifice: 60, 30, 15, 90, 45, 75, 150, 120, 135

12. Construcția tangentei la un cerc într-un punct al cercului

13. Construcția tangentelor la cerc dintr-un punct exterior

X.4 Rezolvarea problemelor de construcții geometrice

1. Analiza

2. Construcția

3. Demonstrația

4. Discuția

X.5 Probleme

1. Să se construiască un triunghi dreptunghic cunoscând suma lungimilor catetelor și

lungimea ipotenuzei

2. Să se construiască un triunghi cunoscând lungimile medianelor sale.

3. Să se construiască un triunghi dreptunghic la care se cunosc înălțimea și mediana

corespunzătoare ipotenuzei.

4. Să se construiască un triunghi ABC, dacă se cunoaște mijloacele ,B C ale laturilor AC

și AB precum și piciorul D al înălțimii duse din A .

5. Problema lui Napoleon: Să se împartă aria unui cerc în patru părți de arii egale cu ajutorul

arcelor.

52

XI. CUM SE COMPUNE O PROBLEMĂ DE OLIMPIADĂ

Prof. Adrian BUD, Liceul Teoretic Negrești Oaș

Fie ∆𝑨𝑩𝑪 isoscel cu 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 și 𝒎(∢𝑨𝑩𝑪) = 𝜶°. Se construiește

∆𝑫𝑩𝑪 cu 𝑫𝑪 = 𝑩𝑪 astfel încât 𝑫 se găsește în semiplanul determinat de

dreapta 𝑨𝑩 ce nu conține 𝑪, iar 𝒎(∢𝑩𝑪𝑫) = 𝜷°. Determinați 𝒎(∢𝑫𝑨𝑩).

Soluție

În ∆𝐴𝐵𝐶 isoscel 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 avem

𝑚(∡𝐵𝐴𝐶) = 180° − 2𝑚(∡𝐴𝐵𝐶) = 180° − 2𝛼

𝒎(∡𝑨𝑪𝑫) = 𝒎(∡𝑨𝑪𝑩) −𝒎(∡𝑩𝑪𝑫) = 𝜶 − 𝜷

Fie ∆𝐴𝐵𝐸 echilateral.

𝒎(∡𝑬𝑩𝑪) = 𝒎(∡𝑬𝑩𝑨) −𝒎(∡𝑪𝑩𝑨) = 𝟔𝟎° − 𝜶

𝑚(∡𝐸𝐴𝐶) = 𝑚(∡𝐵𝐴𝐶) − 𝑚(∡𝐵𝐴𝐸) = 180° − 2𝛼 − 60° = 120° − 2𝛼

În ∆𝐴𝐶𝐸 isoscel 𝐴𝐶 = 𝐴𝐸(= 𝐴𝐵) avem

𝑚(∡𝐴𝐸𝐶) = 𝑚(∡𝐴𝐶𝐸) =180° − 𝑚(∡𝐸𝐴𝐶)

2=180° − (120° − 2𝛼)

2= 30° + 𝛼

𝑚(∡𝐵𝐸𝐶) = 𝑚(∡𝐵𝐸𝐴) +𝑚(∡𝐴𝐸𝐶) = 60° + 30° + 𝛼 = 90° + 𝛼

Comparăm ∆𝐴𝐷𝐶 cu ∆𝐸𝐶𝐵

∆𝑨𝑫𝑪

∆𝑬𝑪𝑩{

[𝑪𝑨] ≡ [𝑩𝑬]

∢𝑨𝑪𝑫 ≡ ∢𝑬𝑩𝑪 (∗)[𝑫𝑪] ≡ [𝑩𝑪]

}𝐿𝑈𝐿⇒ ∆𝐴𝐷𝐶 ≡ ∆𝐸𝐶𝐵

53

De unde ⟹𝑚(∡𝐷𝐴𝐶) = 𝑚(∡𝐶𝐸𝐵) = 90° + 𝛼

𝑚(∡𝐷𝐴𝐵) = 𝑚(∡𝐷𝐴𝐶) −𝑚(∡𝐵𝐴𝐶) = 90° + 𝛼 − (180° − 2𝛼) = 3𝛼 − 90°

CONDIȚIE (∗)

𝒎(∡𝑨𝑪𝑫) = 𝒎(∡𝑬𝑩𝑪)

𝜶 − 𝜷 = 𝟔𝟎° − 𝜶 ⟹ 𝜷 = 𝟐𝜶 − 𝟔𝟎°

OBS pentru 𝛼 = 40° si 𝛽 = 20° se obține problema 2 din lista scurtă ONM

2018 clasa a VI-a, autor prof. Braica Petru.

54

XII. ECUAŢII DIOFANTICE

Prof. Manuela POPESCU, COLEGIUL NAȚIONAL „DOAMNA STANCA”

SATU MARE

XII.1 Introducare

Aparent, o ecuaţie nu ridică mari probleme în studiul existenţei soluţiilor şi

determinarea acestora. Însă există ecuaţii cu o formă foarte simplă, care se

rezolvă cu dificultate sau nu se rezolvă. Aceste ecuaţii poartă numele

matematicianului grec Diofant, considerat “părintele algebrei”. Acesta s-a

născut în jurul anului 214 d. Hr. şi a trăit 84 de ani, după cum rezultă din

descifrarea “ghicitorii” de pe piatra sa funerară:

„Călătorule! Aici odihnesc osemintele

Unui om bun care a trăit

O viaţă lungă şi plină de virtuţi.

Copilăria lui a ţinut o şesime de viaţă.

Apoi a mai trăit o doisprezecime

Până când s-a însurat cu o femeie

Care nu i-a dăruit copii, decât după ce

A mai trecut a şaptea parte din viaţă,

Plus încă 5 ani.

Iar fiului său soarta i-a hărăzit

Să trăiască doar jumătate din viaţa părintelui

În mâhnire adâncă a murit bătrânul

Supravieţuind cu patru ani fiului său

Călătorule! Ştii câţi ani am eu

În această zi când îmi sfârşesc viaţa?”

55

În legătură cu o ecuaţie diofantică de forma 𝐸(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0, unde

𝐸(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) este o expresie cu coeficienţi întregi, se pun următoarele

probleme:

- în ce condiţii are soluţii întregi;

- dacă ecuaţia are soluţii întregi, numărul lor este finit sau infinit;

- în condiţiile în care ecuaţia are soluţii întregi, cum se determină

mulţimea acestora.

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei va fi: 𝑆 = {(𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛)|𝛼𝑖 ∈ 𝑍, 𝑖 = 1, 𝑛 ∧

𝐸(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0}.

XII.2 Exerciţii şi metode de rezolvare:

Metoda descompunerii

1. Determinaţi numerele întregi a şi b, ştiind că:

9241225 ababaa

Soluţie: Ecuaţia devine: 92422105 babababa 109 aba

11 ba

Se disting cazurile:

Caz 1: 1a şi 11 b

Caz 2: 1a şi 11 b .

Mulţimea soluţiilor va fi: 2,1;0,1S

2. Aflaţi yx

unde x,y sunt soluţiile întregi ale ecuaţiei: 204675 yxxy

Soluţie: Ecuaţia devine: 201157 yx . Dar 2011 este număr prim, de

unde distingem cazurile: 17 x , 20115 y sau 20117 x , 15 y .

Deci 2010,2014 yx

56

Metoda parametrică

1. Arătaţi că ecuaţia 2010672 yx are o infinitate de soluţii în mulţimea

numerelor întregi.

Soluţie: Se observă că 673522010 . Ecuaţia devine: yx 30672

ceea

ce implică y 3067 - pătrat perfect. Cum y este număr întreg

Zkky ,6730 2

, adică Zkky ,6730 2

, respectiv kx 67 . Într-adevăr

ecuaţia are o infinitate de soluţii şi ZkkkS 26730,67

Folosirea inegalităţilor

1. Determinaţi numerele întregi pozitive x şi y pentru care: 7

12

2 2

yx

xy

.

(Etapa locală Caraş-Severin)

Soluţie: 7

12

2 2

yx

xy

y

y

x

x 7

12

2 2

Fracţia 12

2

x

x

este subunitară, ceea ce implică 1

701

12

20

2

y

y

x

x

.

Din y

y 70

2

se obţine 3y (1)

Din 1

72

y

y

se obţine 0,71 yyy , ceea ce implică 3,2,1y (2)

Din relaţiile (1) şi (2) rezultă 3y , după care 1x .

Ecuaţii diofantice liniare

1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: 743 yx

Soluţie: Ecuaţia este echivalentă cu 01413 yx .

De aici 144141 kxkxx

133101443 kykyyk

57

Mulţimea soluţiilor este ZkkkS 13,14

XII.3 Probleme propuse

1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: 532 yx

2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: 132 yx

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: 432 yx

58

XIII. CALCULUL UNOR SUME

Prof. Traian TĂMÎIAN, LICEUL TEORETIC CAREI

XIII.1 Proprietăți. Formule utile

Notăm n

n

k

k aaaa

...21

1

Exemple. Ex1) 304321 22224

1

2 k

k

Ex2) 11

10

11

1

1

1)

11

1

10

1(...)

3

1

2

1()

2

1

1

1()

1

11(

10

1

kkk

Proprietăţi. P1)

n

k

k

n

k

kk

n

k

k baba111

)(

P2)

n

k

k

n

k

k appa11

Formule utile. F1) 2

)1(...21

1

nnnk

n

k

F2) 6

)12)(1(...21 222

1

2

nnnnk

n

k

F3) 2333

1

3 ]2

)1([...21

nnnk

n

k

XIII.2 Aplicaţii

I) Calculaţi sumele :

1) )1

11(

100

1

kkS

k

; 2)

n

k kkS

1 )12)(12(

1; 3)

n

k kkS

1 )13)(23(

1;

4)

n

k kkS

1 )14)(34(

1; 5)

n

k kk

kS

122 )1(

12

59

II) Calculaţi sumele :

1)

n

k

kkS1

)2( ; 2) )1(...3221 nnS ; 3) )12(...531 nS

4)

n

k

kkS1

)23(2 ; 5)

n

k

kkS1

2 )42(3

60

XIV. PUNCTE COLINIARE

Prof. Cristian GUȚ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ NR.3 CAREI

XIV.1 Metode de abordare

Având în vedere că noţiunea legată de punctele coliniare apare atât la concursurile de

matematică cât şi la evaluarea naţională iar mulţi dintre copii întâmpină dificultaţi în a aborda

o astfel de temă , mi-am propus să abordez coliniaritatea a trei puncte pe baza informaţiilor

care apar în geometria de clasa VI-a.

În funcţie de datele problemei eu am găsit trei modalităţi de abordare:

Metoda I

Dacă se dau trei puncte distincte A,B,C şi are loc una dintre relaţiile

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 sau

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 sau

𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵

atunci punctele A, B, C sunt coliniare.

Metoda II

Dacă se dau trei puncte distincte A,B,C şi dacă :

𝑚(∢𝐴𝐵𝐶) = 180° sau

𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 180° sau

𝑚(∢𝐵𝐶𝐴) = 180°

atunci punctele A, B, C sunt coliniare.

Metoda III

Dacă se dau trei puncte distincte A, B, C şi arătăm că ele aparţin aceleaşi drepte , atunci ele

sunt coliniare.

61

XIV.2 Puncte coliniare-probleme

1) Fie punctele A, B, C coliniare astfel încât 𝐴𝐵 = 7,2 𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 8,1 𝑐𝑚 să se calculeze

lungimea segmentului AC.

2) Fie punctele P, Q, R distincte, 𝑃𝑄 = 4𝑐𝑚,𝑄𝑅 = 7 𝑐𝑚 și 𝑃𝑅 = 11𝑐𝑚, să se stabilească

dacă punctele P, Q, R sunt coliniare.

3) Dacă punctele D, E, F sunt distincte astfel încât 𝐷𝐸 = 8𝑐𝑚, 𝐸𝐹 = 12𝑐𝑚,𝐷𝐹 = 10 𝑐𝑚, să

se stabilească dacă punctele D, E, F sunt coliniare.

4) Se dă următorul desen:

Ştiind că punctele B, C, Q sunt coliniare în această ordine şi dacă [CR este bisectoarea

∢𝐴𝐶𝑄 și 𝑚(∢𝐵𝐶𝑅) = 125° să se determine 𝑚(∢𝐴𝐶𝐵) și 𝑚(∢𝑅𝐶𝑄) .

5) Fie ∆ABC oarecare, 𝑚(∢𝐴) = 49° , 𝑚(∢𝐵) = 71°, punctele P,Q situate în exteriorul

∆ABC, P∈ Int∢ACQ și 𝑚(∢𝐴𝐶𝑃) = 100°, 𝑚(∢𝑃𝐶𝑄) = 20°, să se arate că

punctele B, C, Q sunt coliniare.

6) Dacă ∆ABC este isoscel cu vârful în punctul A, iar punctele H, G, I, O reprezintă

ortocentrul,centrul de greutate, centrul cercului încris în triunghi respectiv centrul cercului

circumscris triunghiului să se arate că punctele H, G, I, O sunt coliniare.

7) Fie ∆ABC oarecare, punctul P simetricul punctului C faţă de mijlocul [AB], punctul Q

simetricul punctului B faţă de mijlocul [AC], să se arate că punctele P, A, Q sunt coliniare.

62

XV. ŞIR DE RAPOARTE EGALE

Prof. Anca ȘTEȚ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ NR.1 CAREI

XV.1 Probleme

1. Să se afle numerele natural 𝑎, 𝑏, 𝑐 şi m ştiind că 2𝑎 = 3𝑏, 6𝑐 = 5𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑐

sunt prime intre ele şi 𝑚 = [𝑎, 𝑏, 𝑐]

2. Aflaţi numerele 𝑎, 𝑏, 𝑐 ştiind că 𝑎

2=

𝑏

6 şi

𝑏

8=

𝑐

4 ştiind că 𝑎2 + 𝑏2 +

𝑐2 = 7056.

3. Dacă x + y + z = 26 şi 5

4𝑥=

9

2𝑦=

6

8𝑧 să se afle x, y şi z.

4. Determinaţi numerele de forma 𝑎𝑏𝑐 ştiind că 𝑎+𝑏

1=

𝑏+𝑐

4=

𝑐+𝑎

5 .

5. Dacă 𝑎

4=

𝑏

7 şi

𝑏

𝑐=

7

9 şi

𝑎

2 +

𝑏

3,5+

𝑐

4,5= 30 să se afle numerele a, b şi c.

6. Aflaţi toate numerele natural 𝑎𝑏𝑐 ştiind că 𝑎𝑏 , 𝑏𝑐 , 𝑐𝑎 sunt direct

proporţionale cu 3; 2; 6 iar suma cifrelor numărului este divizibilă cu 7.

7. Numerele a, b, c, d sunt numere natural, iar a+1, b+2, c+3 şi 4 sunt direct

proportionale cu 5; 6; 7 şi d. Scrieţi în ordine crescătoare cele patru

numere.

8. Fie numerele raţionale a, b, c, d astfel încât 𝑎+𝑏+𝑐

𝑑 = 𝑏+𝑐+𝑑

𝑎 =

𝑐+𝑑+𝑎

𝑏=

𝑑+𝑎+𝑏

𝑐. Arătaţi că oricare dintre ele este media aritmetică a celorlalte trei.

XV.2 Soluții

Pb.1. 2𝑎 = 3𝑏 → 𝑎

3=

𝑏

2 / ⋅

1

2 ⟺

𝑎

6=

𝑏

4

6c=5a → 𝑐

5=

𝑎

6, din cele douărelaţii obţinem

𝑎

6=

𝑏

4=

𝑐

5= 𝑘 →

→ a = 6k, b = 4k , c = 5 k , cd. k = 1 obţinem că a = 6, b = 4, c = 5 şi m =

60.

Pb. 2. 𝑎

2=

𝑏

6 /⋅ 2 → a =

𝑏

3

𝑏

8=

𝑐

4/ ⋅4 →

𝑏

2= 𝑐

63

Înlocuind în relaţia 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 7056, obţinem (𝑏

3)2 + b

2 + (

𝑏

2)2 =

7056, efectuând calculele obţinem că 𝑏 = 72, 𝑎 = 24 şi 𝑐 = 36.

Pb. 3. 5

4𝑥=

9

2𝑦=

6

8𝑧 simplificând ulrimul raport cu 2 şi amplificând al doilea

raport cu 2 obţinem 5

4𝑥=

18

4𝑦=

3

4𝑧=

5+18+3

4𝑥+4𝑦+4𝑧=

26

4( 𝑥+𝑦+𝑧)=

26

4⋅26=

1

4

5

4𝑥=

1

4 → x = 5

9

2𝑦=

1

4 → y = 18

3

4𝑧=

1

4 → z =3.

Pb. 4. 𝑎+𝑏

1=

𝑏+𝑐

4=

𝑐+𝑎

5= 𝑘 → a + b = k

→ b + c = 4k

→ c + a = 5k, adunând relaţiile vom obţine:

2a + 2b + 2c = 10k ⟺ 2 ( a + b + c ) = 10 k / : 2 → a + b + c = 5k.

a + b + c = 5k şi a + b = 1 k rezultă din cele două relaţii că c = 4k

a + b + c = 5k şi b + c = 4k rezultă din cele două relaţii că a = 1k

a + b + c = 5k şi c + a = 5k rezultă din cele două relaţii că b = 0

Pt. k = 1 → a = 1, b = 0 , c = 4 𝑎𝑏𝑐 = 104

Pt. k = 2 → a = 2, b = 0 , c = 8 𝑎𝑏𝑐 = 208

Pb.5. 𝑏

𝑐=

7

9 ⟺

𝑏

7=

𝑐

9 şi

𝑎

4=

𝑏

7 obţinem

𝑎

4=

𝑏

7=

𝑐

9 /⋅ 2 ⟺

𝑎

2=

𝑏

3,5=

𝑐

4,5 = k → a = 2k

→ b = 3,5k

→ c = 4,5k

64

2𝑘

2 +

3,5𝑘

3,5+

4,5𝑘

4,5= 30 ⟺ 3k = 30/ : 3 → k = 10

Înlocuind aflăm a = 20, b = 35, c = 45.

Pb. 6. { 𝑎𝑏 , 𝑏𝑐, 𝑐𝑎 } d.p. { 3, 2, 6}

𝑎𝑏

3=

𝑏𝑐

2=

𝑐𝑎

6 ⟺

10𝑎+𝑏

3=

10𝑏+𝑐

2 = 10 𝑐+𝑎

6=

10𝑎+𝑏+10𝑏+𝑐+10𝑐+𝑎

3+2+6=

11( 𝑎+𝑏+𝑐 )

11= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

7/ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )→ (a,b,c ) € { 7, 14, 21}

Cazul I – a+b+c =7

𝑎𝑏

3=

𝑏𝑐

2=

𝑐𝑎

6= 7 → 𝑎𝑏 = 21

→ 𝑏𝑐 = 14

→𝑐𝑎 = 42 →a = 2, b = 1, c = 4, deci 𝑎𝑏𝑐 = 214

Cazul II - a+b+c =14

𝑎𝑏

3=

𝑏𝑐

2=

𝑐𝑎

6= 14 → 𝑎𝑏 = 42

→ 𝑏𝑐 = 28

→𝑐𝑎 = 84 →a = 4, b = 2, c = 8, deci 𝑎𝑏𝑐 = 428

Cazul III - a+b+c =21

𝑎𝑏

3=

𝑏𝑐

2=

𝑐𝑎

6= 21 → 𝑎𝑏 = 63

→ 𝑏𝑐 = 42

→𝑐𝑎 = 126, nu ne convine.

Pb. 7.{a+1,b+2,c+3,4} d.p. { 5, 6, 7, d} 𝑎+1

5 = 𝑏+2

6 = 𝑐+3

7 = 4

𝑑 → ( a + 1)⋅d = 20

→ ( b + 2)⋅d = 24

65

→ ( c + 3 )⋅ d = 28,

din toate relaţiile obţinem că d/(20,24,28) ⟺ d/4 ⟺ d€{ 1; 2; 4}

Cazul I d = 1 → a + 1 = 20/ -1 → a = 19

b + 2 = 24 / -2 → b = 22

c + 3 = 28 / -3 → c = 25

Cazul II d = 2 → a + 1 = 10/ - 1 → a = 9

b+ 2 = 12/ - 2 → b = 10

c + 3 = 14 / -3 → c =11

Cazul III d = 4→ a + 1 = 5 / - 1 → a = 4

b+ 2 = 6 / - 2 → b = 4

c + 3 = 7 / - 3 → c = 4

Pb.8.Conform proprietăţii şirurilor de rapoarte avem :

𝑎+𝑏+𝑐

𝑑 = 𝑏+𝑐+𝑑

𝑎 =

𝑐+𝑑+𝑎

𝑏=

𝑑+𝑎+𝑏

𝑐 = 𝑎+𝑏+𝑐+𝑏+𝑐+𝑑+𝑐+𝑑+𝑎+𝑑+𝑎+𝑏

𝑑+𝑎+𝑏+𝑐=

3( 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 )

𝑎+𝑏+𝑐+𝑑= 3.

Egalând fiecare raport cu 3 obţinem : 𝑎+𝑏+𝑐

𝑑 = 3 ⟺

𝑎+𝑏+𝑐

3= 𝑑 (

schimbând mezii între ei am obţinut că d este media aritmetică a

celorlalte trei numere)

Analog pentru celelalte numere.

66

XVI. PROBLEME DE DIVIZIBILITATE

prof. LUPOU Agota, COLEGIUL NAȚIONAL „IOAN SLAVICI” SATU MARE

XVI.1 Metode de determinare a unor numere prime în condiții date

1. Determinați numerele prime a și b știind că 28a+21b=2030.

Rezolvare:

După împărțire cu 7 relația devine 4a+3b=290

4a și 290 sunt divizibile cu 2 , deci și 3b 2 . Deoarece (2,3)=1 și b este număr prim

rezultă că b=2.

După înlocuire obținem 4a=284, deci a=71.

2. Să se găsească numerele naturale p astfel încât p, p2+4, p

2+6 să fie simultan prime.

Rezolvare:

Metoda 1

Observăm că p este număr impar . p=3 nu este soluție, p=5 verifică condițiile

(p2+4=29, p

2+6 =31 sunt numere prime). Demonstrăm că problema nu mai are altă

soluție.

Dacă p=5k+1 sau p= 5k+4 rezultă p2+4 5 deci nu e prim

Dacă p=5k+2 sau p=5k+3 rezultă p2+6 5 deci nu e prim.

Deci p=5 este singura soluție.

Metoda 2

p este număr impar , p3, pentru a fi îndeplinite condițiile cerute deci ultima cifră a

lui p2 poate fi 1, 5 sau 9.

Dacă 𝑢(𝑝) ∈ {1,9} atunci 𝑢(𝑝2 + 4) = 5 deci este divizibil cu 5, nu este număr prim.

Dacă 𝑢(𝑝) ∈ {3,7} atunci 𝑢(𝑝2 + 6) = 5 deci este divizibil cu 5, nu este număr prim.

Dacă 𝑢(𝑝) = 5 atunci 𝑝 = 5. p

2+4=29, p

2+6 =31 sunt numere prime. Soluția este p=5.

3. Să se determine toate numerele natural n și p pentru care numerele p, p+3n, p+3

n+1,

p+3n+2

, p+3n+3

sunt prime.

Rezolvare: 3𝑛 este număr impar , ∀ 𝑛 ∈ 𝑁 , deci p trebuie să fie număr par. Rezultă

că p=2.

2+3n, 2+3

n+1, 2+3

n+2, 2+3

n+3 sunt numere prime.

𝑢(3𝑛) = {

1 , 𝑛 = 4𝑘3 , 𝑛 = 4𝑘 + 19 , 𝑛 = 4𝑘 + 27, 𝑛 = 4𝑘 + 3

3n, 3

n+1 ,3

n+2,3

n+3 sunt puteri consecutive ale lui 3, deci au ultima cifră diferită și una

din ele are ultima cifră 3.

67

Dacă n=4k+1 ultima cifră a lui 2+3n este 5 , deci numărul este divizibil cu 5 și pentru

că este prim trebuie să fie 5. Doar primele două sunt suficient de mici pentru a fi egale

cu 5.

Cazul I Dacă 2+3n=5 atunci rezultă n=1

Cazul II Dacă 2+3n+1

=5 atunci rezultă n=0.

4. Să se determine numerele prime x,y,z știind că (x+3y-4z)(8x-36)=(2x-3y+4z)(36-5x).

Rezolvare:

Scriem relația sub formă de proporție 2𝑥−3𝑦+4𝑧

𝑥+3𝑦−4𝑧=8𝑥−36

36−5𝑥 și folosind proporții derivate

obținem 2𝑥−3𝑦+4𝑧

3𝑥=8𝑥−36

3𝑥. De unde obținem 6x+3y-4z=36 și după rezolvare x=7, y=2,

z=3.

XVI.2 Probleme care se rezolvă folosind teorema împărțirii cu rest, cmmdc, cmmmc

1. Aflați numerele naturale de trei cifre care prin împărțire la 7 dau restul 1, prin

împărțire la 8 dau restul 4 şi prin împărțire la 9 dau restul 7.

Rezolvare: xN, 100 x 999

x=7c1+1 ǀ+20 x+20=7c1+21 x+20 ⁝ 7

x=8c2+4 ǀ+20 x+20=8c2+24 x+20 ⁝ 8

x=9c3+7 ǀ+20 x+20=9c3+27 x+20 ⁝ 9

[7,8,9]= 504 x+20 ⁝ 504 x+20{504, 1008} x{484, 988}

2. a)Aflați cel mai mare divizor comun al numerelor 673 1 nna și 473 1 nnb ,

unde n este un număr natural.

b)Determinați n pentru care cmmmc 91, ba .

Rezolvare: a) fie (a,b)=d

d ǀ ( 673 1 nn ) d ǀ 3( 673 1 nn ) d ǀ ( 1873 11 nn )

d ǀ ( 473 1 nn ) d ǀ 7( 473 1 nn ) d ǀ ( 2873 11 nn )

deci d ǀ 10 d{1,2,5,10}

u(a)=3 și d ǀ a d nu este 2, 5 sau 10 d=1

b) (a,b)∙[a,b]=a∙b

(a,b)=1 a∙b=91=7∙13

Cum a >b și a 13 , b 7 avem a=13 și b=7 deci n=0.

3. Arătați că dacă x și y sunt numere naturale prime între ele atunci 1,22 xyyx

Rezolvare: fie dxyyx ,22

68

d ǀ (x2+y

2)

d ǀ xy d ǀ 2xy d ǀ (x2+2xy+y

2) d ǀ (𝑥 + 𝑦)2 d ǀ (x+y)

dacă (x,y)=1 atunci și (x+y, xy)=1 deci d=1

XVI.3 Probleme temă:

1. Determinați numerele N= cba 0 , unde a,b,c sunt cifre, 𝑎 = 𝑏 + 𝑐 și a respectiv cb0 sunt

numere prime.

2. Determinați numerele prime n pentru care mulțimea 16,4,2,2 22 nnnnA

conține numai numere prime.

3. Arătați că fracția

Nn

n

n,

23

35este ireductibilă.

4. Arătați că fracția Nnn

n

,

415

310este ireductibilă.

5. Fie fracția F = 35

72

n

n, în care n este număr natural. Dacă fracția este reductibilă arătați că

n ≥ 11.

Problemele au fost alese din subiectele date la olimpiadele de matematică, Concursul

interjudețean de matematică și informatică „Grigore Moisil” și din Gazeta matematică

69

XVII. METODA REDUCERII LA ABSURD

prof. Călin POPESCU, COLEGIUL NAȚIONAL „IOAN SLAVICI” SATU

MARE

Metoda reducerii la absurd este o metodă generală de rezolvare a problemelor de matematică.

La baza acestei metode stă principiul terțului exclus, potrivit căruia orice propoziție este

adevărată sau falsă, iar o a treia posibilitate nu există, precum și principiul contradicției,

potrivit căruia, o propoziție nu poate fi adevărată și falsă în același timp.

Metoda reducerii la absurd constă în a presupune provizoriu ca adevărată negarea enunțului

care se cere să se arate că e adevărat, iar apoi, din această presupunere, se deduc o serie de

consecințe care conduc la un rezultat absurd, adică în contradicție cu un adevăr stabilit

anterior, sau la negarea datelor problemei. În continuare se raționează astfel: dacă

presupunerea ar fi fost adevărată, atunci în urma raționamentelor logic corecte ar fi trebuit să

se ajungă la o concluzie adevărată; deoarece s-a ajuns la o concluzie falsă, înseamnă că

presupunerea inițială a fost falsă și rămâne ca adevărată concluzia propoziției date.

Metoda reducerii la absurd se folosește atât în rezolvarea problemelor „de calcul” („de aflat”)

cât și la rezolvarea problemelor „de demonstrat”. Metoda este des utilizată în demonstrarea

teoremelor reciproce, precum și în demonstrarea teoremelor de unicitate.

XVII.1 Probleme rezolvate

1. Arătați că pentru orice n , fracția

39n 4

26n 3

este ireductibilă.

Soluție:

Se folosește metoda reducerii la absurd.

Se presupune că fracția este reductibilă și se notează cel mai mare divizor comun

d 39n 4,26n 3 , cu

*d , d 1 .

d 39n 4 d 78n 8d 78n 9 78n 8 d 1

d 26n 3 d 78n 9

d 1 , în contradicție cu

d 1 , deci presupunerea făcută este falsă, iar fracția este ireductibilă.

70

2. Se consideră trei drepte diferite 1d, 2d

, 3d concurente într-un punct O. Arătați că cel puțin

unul dintre unghiurile formate are măsura mai mare sau egală cu 60 .

Soluție:

Se folosește metoda reducerii la absurd.

Se presupune că nu există niciun unghi cu măsura mai mare sau egală cu 60 . Atunci suma

măsurilor celor șase unghiuri formate în jurul punctului O ar fi mai mică decât 6 60 360 ,

în contradicție cu faptul că suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este de

360 . Deci presupunerea făcută este falsă și rezultă că există cel puțin un unghi cu măsura

mai mare sau egală cu 60 (chiar două, fiind opuse la vârf).

3. Se consideră 12 numere naturale mai mici decât 144. Demonstrați că printre ele există trei

care pot fi lungimile laturilor unui triunghi.

Soluție:

Se consideră cele 12 numere naturale astfel încât 1 2 121 a a ... a 144 .

Se folosește metoda reducerii la absurd.

Se presupune că printre cele 12 numere nu există trei care pot fi lungimile laturilor unui

triunghi. Trei numere naturale x, y, z, cu x y z nu pot fi laturile unui triunghi dacă

z x y . În aceste condiții au loc inegalitățile:

3 2 1a a a 1 1 2

4 3 2a a a 2 1 3

5 4 3a a a 3 2 5

6 5 4a a a 5 3 8

7 6 5a a a 8 5 13

8 7 6a a a 13 8 21

9 8 7a a a 21 13 34

10 9 8a a a 34 21 55

11 10 9a a a 55 34 89

71

12 11 10a a a 89 55 144 .

Se obține astfel o absurditate, deoarece ar trebui ca 12a 144.

Deci presupunerea făcută este falsă și printre cele 12 numere există trei (cel puțin) care pot fi

lungimile laturilor unui triunghi.

4. Aflaţi numerele naturale x, y, z ştiind că x y z3 3 3 245 .

Soluție:

Cu toate că problema aceasta este „de aflat” și nu „de demonstrat”, se va folosi și metoda

reducerii la absurd.

Se poate presupune, pentru început, că x y z .

Se presupune, prin reducere la absurd, că x 0 . În acest caz, fiecare dintre numerele x3 ,

y3

și z3 este multiplu de 3, iar suma lor

x y z3 3 3 este de asemenea un număr divizibil cu 3,

dar 245 nu este divizibil cu 3. S-a ajuns astfel la o contradicție, deci presupunerea făcută este

falsă și x 0 .

Ecuația devine 0 y z3 3 3 245 , deci

y z3 3 244 .

Se presupune, prin reducere la absurd, că y 0 . În acest caz, fiecare dintre numerele y3 și

z3

este multiplu de 3, iar suma lor y z3 3 este de asemenea un număr divizibil cu 3, dar 244 nu

este divizibil cu 3. S-a ajuns astfel la o contradicție, deci presupunerea făcută este falsă și

y 0 . Înlocuind se obține 0 z3 3 244 , deci

z3 243 și z 5 .

S-a obținut, în ipoteza că x y z , soluția x 0 , y 0 , z 5 , dar ecuația este simetrică în

necunoscutele x, y și z, deci soluțiile ecuației sunt tripletele 0,0,5

, 0,5,0

și 5,0,0

.

XVII.2 Probleme propuse

1. Suma a două numere naturale nenule a şi b este 169. Arătaţi că unul dintre numere este mai

mare sau egal cu 85.

2. Suma a şase numere naturale nenule este 20. Arătaţi că cel puţin două dintre numere sunt

egale.

72

3. Într-o urnă sunt bile de două culori: albastre şi roşii. Oricum am scoate 6 bile între ele sunt

şi bile albastre şi bile roşii. Arătaţi că numărul total de bile este mai mic sau egal cu 10.

4. Demonstraţi că numărul 7654 nu poate fi scris ca suma unor numere impare consecutive.

(Dâmboviţa, etapa locală)

5. În copacul fermecat sunt 2006 mere de aur. Prâslea are voie să culeagă de fiecare dată 21,

32 sau 42 de mere. În fiecare caz cresc la loc 11, 7, respectiv 23 de mere. Este posibil ca

Prâslea să culeagă toate merele? (Suceava, etapa judeţeană)

6. Fie numerele naturale a şi b astfel încât 2a 3b , 2a 4b , 2a 5b nu se divid prin 3.

Arătaţi că b este divizibil cu 3 şi că a nu este divizibil cu 3.

7. Se consideră un tabel cu 2012 linii şi 2011 coloane. Este posibil ca în fiecare celulă a

tabelului să fie scris câte un număr natural nenul astfel încât suma numerelor de pe orice linie

sau coloană să fie număr prim? Justificaţi. (Mathematica – Modus vivendi, Rîmnicu Vâlcea)

8. Fiecare element al mulţimii A se colorează cu una din culorile roşu, galben şi albastru,

respectând următoarele reguli:

a) suma dintre orice număr galben şi orice număr albastru este divizibilă cu 3;

b) suma oricăror două numere roşii este divizibilă cu 3;

Arătaţi că numărul 3 este roşu şi calculaţi suma tuturor numerelor care nu sunt roşii. (Mureş,

etapa locală)

9. Într-un an oarecare, trei luni consecutive conţin exact câte 4 duminici fiecare. Demonstraţi

că una dintre aceste luni este februarie. (Concurs „La şcoala cu ceas”, Rîmnicu Vâlcea)

10. Dacă numărul 5a 5b , a,b , se scrie ca sumă de două pătrate perfecte, atunci

b a este par.

11. Există nouă numere naturale prime diferite două câte două a căror sumă să fie

125? Justificaţi. (Bucureşti, etapa locală)

12. Suma a zece numere naturale distincte este 62. Arătaţi că produsul lor se divide cu

60. (Concurs Gheorghe Ţiţeica)

13. Dacă suma a 63 de numere naturale nenule este 2000, să se arate că printre ele

există cel puţin două egale. (Sălaj, etapa judeţeană)

14. Să se arate că numărul 49n 1 , n , nu poate fi divizibil cu 100. (Concurs

Arhimede)

15. Câtul şi restul împărţirii numerelor naturale a şi b sunt 19, respectiv 99. Dacă

a b 1917 , aflaţi numerele a şi b.

73

16. Aflaţi suma tuturor numerelor naturale cuprinse între 1000 şi 2000 care împărţite la 49

dau câtul şi restul numere egale.

17. Determinaţi cel mai mare număr natural a care, împărţit la 1985 dă câtul mai mic decât

restul.

18. Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 36 dau ca rest pătratul câtului.

19. Arătaţi că nu există nici un număr natural a care împărţit la 15 dă restul 7 şi împărţit la 12

dă restul 3.

20. Suma a zece numere naturale nenule distincte este 103. Demonstraţi că printre ele există

cel puţin două numere impare.

21. Cercetaţi dacă există numere naturale m şi n astfel încât m n m n 1 1999

.

XVII.3 Surse bibliografice utilizate:

1. Matematică - Teme pentru activități opționale la clasele V-VIII, A. Bălăucă și colab., Ed.

Thaida

2. Matematică pentru grupele de performanță - clasa a VI-a, V. Pop, V. Lupșor, Ed. Dacia

Educațional

3. Matematica gimnazială dincolo de manual, A. Ghioca, L. Cojocaru, Ed. GIL

4. Metoda reducerii la absurd – material al Centrului de Excelență București

5. Metoda reducerii la absurd – material al Claselor de Excelenţă – matematică, zona Balş,

judeţul Olt, C. Mîinescu, C. Mîinescu

6. Metoda reducerii la absurd – material al Centrului de Excelență pentru Matematică al

județului Constanța, V. Arsinte

74

XVIII. PROBLEME PREGĂTITOARE PENTRU CONCURSURILE DE

MATEMATICĂ

Prof. Nicoleta CUIBUȘ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ NR.10 SATU MARE

1. Daca

2

𝑥

0,(2)=

9

𝑦

0,(3)=

8

𝑧

0,(4) si 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 108, sa se determine x,y si z.

Soluție: Transformând numerele periodice în fracții și făcând calculele obținem

2

𝑥∙9

2=9

𝑦∙9

3=8

𝑧∙9

4

9

𝑥=27

𝑦=18

𝑧=9 + 27 + 18

𝑥 + 𝑦 + 𝑧=54

108=1

2

9

𝑥=1

2 ⇒ 𝑥 = 18;

27

𝑦=1

2 ⇒ 𝑦 = 54;

18

𝑧=1

2 ⇒ 𝑧 = 36

2. Determinati numerele prime a, b si c, stiind ca:

a) 2𝑎 + 3𝑏 + 4𝑐 = 32;

b) 𝑎2 + 2𝑏2 + 6𝑐2 = 172.

Soluție:

a) 2𝑎 + 3𝑏 + 4𝑐 = 32 𝑠𝑖 2𝑎, 4𝑐, 32 ∈ 𝑀2 ⇒ 3𝑏 ∈ 𝑀2 𝑑𝑎𝑟 𝑏 𝑛𝑟. 𝑝𝑟𝑖𝑚 ⇒ 𝑏 = 2. Atunci

2𝑎 + 6 + 4𝑐 = 32 ⇒ 2𝑎 + 4𝑐 = 26 ⇒ 𝑎 + 2𝑐 = 13 ⇒ solutiile vor fi

{𝑎 = 3𝑏 = 2𝑐 = 5

𝑠𝑖 {𝑎 = 7𝑏 = 2𝑐 = 3

b) 𝑎2 + 2𝑏2 + 6𝑐2 = 172 𝑠𝑖 2𝑏2, 6𝑐2, 172 ∈ 𝑀2 ⇒ 𝑎2 ∈ 𝑀2 ⇒ 𝑎 ∈ 𝑀2 𝑑𝑎𝑟 𝑎 𝑛𝑟. 𝑝𝑟𝑖𝑚

⇒ 𝑎 = 2 𝐴𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 4 + 2𝑏2 + 6𝑐2 = 172 ⇒ 2𝑏2 + 6𝑐2 = 168 ⇒ 𝑏2 + 3𝑐2 = 84

𝑑𝑎𝑟 3𝑐2, 84 ∈ 𝑀3 ⇒ 𝑏2 ∈ 𝑀3 ⇒ 𝑏 ∈ 𝑀3 𝑠𝑖 𝑓𝑖𝑖𝑛𝑑 𝑛𝑟. 𝑝𝑟𝑖𝑚 ⇒ 𝑏 = 3

Atunci 9 + 3𝑐2 = 84 ⇒ 3𝑐2 = 75 ⇒ 𝑐2 = 25 ⇒ 𝑐 = 5

Deci solutia este {𝑎 = 2𝑏 = 3𝑐 = 5

3. Sa se calculeze suma inverselor primelor n numere triunghiulare

75

Soluție: Un număr triunghiular este numărul de puncte dintr-un triunghi echilateral umplut

uniform cu puncte. De exemplu, trei puncte pot forma un triunghi şi deci 3 este un număr

triunghiular. Al n-lea număr triunghiular este numărul de puncte dintr-un triunghi cu n puncte

pe latură.

Echivalent, un număr triunghiular este suma primelor n numere naturale de la 1 la n.

Deci 𝑇𝑛 = 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 =𝑛(𝑛+1)

2

Asa ca 𝑆 =1

1+

1

1+2+

1

1+2+3+⋯+

1

1+2+3+⋯+𝑛=

11∙2

2

+12∙3

2

+13∙4

2

+⋯+1

𝑛(𝑛+1)

2

=

2

1 ∙ 2+2

2 ∙ 3+2

3 ∙ 4+⋯+

2

𝑛(𝑛 + 1)= 2 ∙ (

1

1 ∙ 2+1

2 ∙ 3+1

3 ∙ 4+ ⋯+

1

𝑛(𝑛 + 1)) =

2 ∙ (2 − 1

1 ∙ 2+3 − 2

2 ∙ 3+4 − 3

3 ∙ 4+⋯+

𝑛 + 1 − 𝑛

𝑛(𝑛 + 1)) =

= 2(2

1 ∙ 2−1

1 ∙ 2+3

2 ∙ 3−2

2 ∙ 3+ ⋯+

𝑛 + 1

𝑛(𝑛 + 1)−

𝑛

𝑛(𝑛 + 1)) =

= 2(1

1−1

2+1

2−1

3+⋯+

1

𝑛−

1

𝑛 + 1) = 2 (

1

1−

1

𝑛 + 1) =

2𝑛

𝑛 + 1

4. Fie 𝐴 = {𝑦 | 𝑦 =2𝑝∙5𝑝+1+4

6𝑝+3, 𝑝 ∈ 𝑁∗} 𝑠𝑖 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 =

2𝑛+1

𝑛2+𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁∗}

Aratati ca:

a) orice fractie din A este reductibila;

b) orice fractie din B este ireductibila;

c) 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

Soluție: a) 6𝑝 + 3 = 3(2𝑝 + 1) ∈ 𝑀3

2𝑝 ∙ 5𝑝+1 + 4 = 2𝑝 ∙ 5𝑝 ∙ 5 + 4 = 10𝑝 ∙ 5 + 4 = 500…04 ∈ 𝑀3

Astfel daca si numaratorul si numitorul sunt multiplii de 3fractia se poate simplifica cu 3 deci

este reductibila.

b)Presupunem ca fractia x este reductibila si fie 𝑑 = (2𝑛 + 1, 𝑛2 + 𝑛) ⇒ {𝑑|(2𝑛 + 1)

𝑑|(𝑛2 + 𝑛)⇒

{𝑑|𝑛(2𝑛 + 1)

𝑑|2(𝑛2 + 𝑛)⇒ {

𝑑|(2𝑛2 + 𝑛)

𝑑|(2𝑛2 + 2𝑛)⇒ 𝑑|[(2𝑛2 + 2𝑛) − (2𝑛2 + 𝑛)] ⇒ 𝑑|𝑛

Deci {𝑑|𝑛

𝑑|(2𝑛 + 1)⇒ {

𝑑|2𝑛

𝑑|(2𝑛 + 1)⇒ 𝑑|[(2𝑛 + 1) − 2𝑛] ⇒ 𝑑|1 ⇒ 𝑑 = 1

76

Deci fractia este ireductibila.

c) Presupunem că 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ 𝑑𝑒𝑐𝑖 𝑐ă 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡ă 𝑛, 𝑝 ∈ 𝑁∗𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙 î𝑛𝑐â𝑡 2𝑝∙5𝑝+1+4

6𝑝+3=2𝑛+1

𝑛2+𝑛 ⇒

(2𝑝 ∙ 5𝑝+1 + 4)(𝑛2 + 𝑛) = (6𝑝 + 3)(2𝑛 + 1). Dar acest lucru nu este posibil deoarece

membrul stâng este par iar membrul drept impar. Deci 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

77

XIX. PROBLEME DE GEOMETRIE

Prof. Virgil POP, ȘCOALA GIMNAZIALĂ „VIOREL SĂLĂGEAN” BELTIUG

1. Se consideră triunghiul ABC cu 𝑚(∢𝐶) = 60°. Se prelungesc înălțimile (BE) și (AD)

cu (𝐵𝐸) ≡ (𝐸𝐹) și (𝐷𝑀) ≡ (𝐴𝐷), 𝐸 ∈ (𝐴𝐶),𝐷 ∈ (𝐵𝐶). Să se arate că punctele M,

C, F sunt coliniare.

2. Se consideră triunghiul oarecare ABC. Să se arate că mijloacele laturilor [AB] și [BC]

și proiecția vârfului B pe bisectoarea unghiului A sunt trei puncte coliniare.

3. În triughiul ABC, D este un punct interior laturii [BC] astfel încât 𝐷𝐶

𝐵𝐶=1

3. Dacă M este

mijlocul medianei [CC’], C’∈(AB), arătați că punctele A, M, D sunt coliniare.

4. În triughiul ABC, punctul R este mijlocul laturii (AB). Paralela prin R la BC

intersectează paralela prin C la AB în T și pe AC în E. Fie {F}=CR ∩ BT. Arătați că

punctele E, F și mijlocul laturii BC sunt coliniare.

5. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A și MN ∥ BC, M ∈ (AB), N ∈ (AC).

Dacă P este mijlocul segmentului [MN] și R este mijlocul segmentului [BC], arătați

că punctele A, P, R sunt coliniare.

6. Se dă triunghiul ABC. Pe laturile AB și AC, ca baze, se construiesc în exterior

triunghiurile isoscele ABD și ACE, astfel încât ∢𝐴 ≡ ∢𝐷 ≡ ∢𝐸. Să se arate că

punctele D, A, E sunt coliniare

7. Fie M mijlocul laturii (AB) a triunghiului ABC. Paralela prin M la AC intersectează

paralela prin C la AB în P. Dacă AP ∩ BC = {R}, să se arate că dreptele BP, AC și MR

sunt concurente.

8. Pe catetele [AB] și [AC] ale unui triunghi dreptunghic ABC se construiesc în exterior

pătratele ABMN și ACPQ. Să se arate că dreptele PB, CM și AD sunt concurente,

știind că AD ⊥ BC, D ∈ (BC).

Bibliografie: „Geometrie - Excelență” – clasa a VI – a Mircea Fianu, Cristian Pop,

Lucia Iepure, Vasile Șerdean

78

XX. PROBLEME DE SINTEZĂ

Prof. CZIPROK Andrei, COLEGIUL NAȚIONAL „KOLCSEY FERENC” SATU

MARE

Problema 1.

Se consideră numărul A = 𝑛∙ (𝑛−1)∙(2𝑛+5)

2+ (𝑛 − 1), n∈ ℕ∗ . Pentru ce

valori ale lui n numărul A este prim?

Soluție:

Factorii n și n-1 numere naturale consecutive ⇒ fracția se simplifică

prin 2.

Cazul I. n = 2k, k ∈ ℕ∗

A = 2𝑘∙ (2𝑘−1)∙(4𝑘+5)

2+ (2𝑘 − 1) = (2𝑘 − 1) ∙ [𝑘(4𝑘 + 5) + 1] =

=(2𝑘 − 1) ∙ (4𝑘 + 1) ∙ (𝑘 + 1)

Cazul II. n = 2k+1 , k ∈ ℕ

A = (2𝑘+1)∙ (2𝑘)∙(4𝑘+7)

2+ 2𝑘 = k ∙ [(2𝑘 + 1)(4𝑘 + 7) + 2] =

= 𝑘 ∙ (4𝑘 + 3) ∙ (2𝑘 + 3)

A este prim dacă doi dintre factori sunt egali cu 1. În ambele cazuri

acesta este imposibil. Ca urmare nu există număr natural nenul pentru

care A este prim.

Problema 2.

Numărul natural de forma 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 este divizibil cu 13 dacă și numai dacă

diferența dintre 𝑑𝑒𝑓 și 𝑎𝑏𝑐 este divizibilă cu 13.

79

Soluție:

𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 = 𝑎𝑏𝑐 ∙ 1000 + 𝑑𝑒𝑓 = 𝑎𝑏𝑐 ∙ 1001 + 𝑑𝑒𝑓 - 𝑎𝑏𝑐

Cum 1001 = 7 ∙ 11 ∙ 13 rezultă că numărul 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 este divizibil

cu 13 dacă și numai dacă diferența dintre 𝑑𝑒𝑓 și 𝑎𝑏𝑐 este divizibilă

cu 13.

Observație 2.1.

Un număr natural format din cel puțin 4 cifre este divizibilă cu 13 dacă și

numai dacă diferența dintre numărul format din ultimele trei cifre, respectiv

numărul format din restul cifrelor este divizibilă cu 13.

Problema 3.

Fie 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ astfel încât 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0. Demonstrați că

𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑 ≤ 0 .

Soluție:

(a + b + c + d )2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 + 2 ∙ (ab + ac + ad +

bc + bd + cd )

(a + b + c + d )2 =0 și 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 ≥ 0 implică

ab + ac + ad+ bc + bd + cd ≤ 0 .

„ = “ are loc dacă 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 0 adică 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0.

Problema 4.

Fie mulțimea M = {1, 2, 3, … , 𝑛} cu proprietatea că 59 de elemente sunt

pare, dar nu se divid cu 4 și 29 de elemente se divid cu patru, dar nu se divid

cu 8. Determinați card M.

80

Soluție:

Numerele pare care nu se divid cu 4 sunt: 2, 6, 10, … ultimul ar fi 2 + 58∙ 4

= 234.

Ca urmare n ∈ {234, 235, 236, 237}

Numerele divizibile cu 4 care nu se divid cu 8 sunt:

4, 12, 20, … ultimul ar fi 4 + 28∙ 8 = 228. Ca urmare n

∈ {228, 229,… , 235}

Valorile comune sunt 234 și 235 ⇒ card M ∈ {234, 235}.

Problema 5.

Fie mulțimea M = {𝑛 + 2, 6𝑛 + 1, 𝑛2 + 4, 𝑛3 + 2}. Determinați n

natural astfel încât elementele mulțimii M să fie numere prime.

Soluție:

Se observă că n par nu este soluție pentru că (𝑛2 + 4) ⋮ 4

n = 1 este soluție

n = 3 este soluție

n = 5 este soluție

Cazul I. n = 5k+1 numărul (𝑛2 + 4) ⋮ 5

Cazul II. n = 5k+2 numărul (𝑛3 + 2) ⋮ 5

Cazul III. n = 5k+3 numărul (𝑛 + 2) ⋮ 5

Cazul IV. n = 5k+4 numărul (6𝑛 + 1) ⋮ 5

Cazul V. n = 5k necesită discuții după k.

Deosebim cazurile: - k par, nu este soluție

- k impar vor mai fi soluții care sepot calcula

utilizând calculatorul.

81

Observația 5.1. Sunt multe exerciții asemănătoare la care rezolvarea se

face pe cazuri.

Unele dintre acestea pot fi chiar simple, dar restul pot fi dificile sau

complicate,

nereușind de fiecare dată rezolvarea completă a problemei.

Observația 5.2. Determinați un n de forma 5k care este soluția problemei

5.

Problema 6.

Se consideră segmentul AB și punctele C și D de o parte și de alta a dreptei

AB cu proprietatea că AD = BD, ∢ 𝐴𝐶𝐷 ≡ ∢ 𝐵𝐶𝐷. Notăm cu M mijlocul

lui (𝐴𝐵).

Demonstrați că punctele D,M,C sunt coliniare.

Soluție:

Construim perpendicularele din D pe AC, respectiv BC.

Notăm picioarele perpendicularelor cu R, respectiv S.

∆𝑅𝐷𝐶 ≡ ∆𝑆𝐷𝐶 (cazul IU) de unde avem

RD = SD și RC = SC.

∆𝑅𝐷𝐴 ≡ ∆𝑆𝐷𝐵 (cazul IC) de unde RA = SB.

Avem AC = RC – RA BC = SC − SB

} ⟹ AC = BC.

În ∆𝐴𝐷𝐵 și ∆𝐴𝐶𝐵 isoscele, DM respectiv CM sunt medianele

corespunzătoare bazei AB, rezultă sunt și înălțimi, ca urmare D, M, C

sunt coliniare.

Observația 6.1.

Problema nu se putea rezolva fără construcție ajutătoare, doar prin

compararea triunghiurilor ADC și BDC. Chiar dacă în cele două

triunghiuri sunt câte trei elemente congruente, acestea nu se încadrează în

nici unul dintre cazurile de congruență a triunghiurilor oarecare. Însă,

82

construind cele două triunghiuri dreptunghice, putem utiliza niște cazuri

de congruență speciale.

Observația 6.2. Rezolvați următoarea problemă utilizând, eventual,

demonstrația problemei 6:

83

CONCURS INDIVIDUAL 2018

Tabăra națională de matematică

LIONS SOMEȘ SATU MARE

02 - 07 iulie 2018

1. a) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația:

𝑥𝑦2 + 2008 𝑦2 = 2009.

b) Determinați numerele de forma 𝑎𝑏𝑐 știind că 𝑎+𝑏

1=𝑏+𝑐

4=𝑐+𝑎

5.

2. Aflați cel mai mare divizor comun al numerelor 𝑎 = 2𝑛+2 ∙ 3𝑛+1 + 7 și

𝑏 = 2𝑛 ∙ 3𝑛+2 + 4, unde n este un număr natural.

3. În Fie ∆𝐴𝐵𝐶 isoscel cu 𝐴𝐵 ≡ 𝐴𝐶 și 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶) = 100°, 𝑀 ∈ (𝐴𝐵),𝑁 ∈

(𝐴𝐶) astfel încât 𝑚(∢𝐴𝐵𝑁) = 10°și 𝑚(∢𝐴𝐶𝑀) = 20°.

Notăm cu {𝑃} = 𝐶𝑀 ∩ 𝐵𝑁. Se construiește ∆𝐴𝑆𝐶 echilateral astfel încât

punctele A și S sunt de o parte și de alta a dreptei BC.

a) Să se arate că ∆𝑆𝐵𝐶 ≡ ∆𝑃𝐵𝐶;

b) Să se determine 𝑚(∢𝐵𝐴𝑃).

Subiectul a fost întocmit de profesorii care au susținut cursuri în tabără la ediția a III-a.