TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 

Obiective: 

Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite

Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor diferenţiale

Aplicaţii economice ale integralelor nedefinite

Aplicaţii economice ale ecuaţiilor diferenţiale

Conținut:

7.1 Proprietăţile integralelor nedefinite 62

7.2 Ecuaţii diferenţiale 65

7.3 Aplicaţii economice ale integralelor nedefinite 66 7.3.1 Costul total şi profitul total 66 7.3.2 Consumul şi venitul naţional 66 7.3.3 Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale 67

7.4 Concepte cheie 67

62    MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL 

7.1  Proprietățile integralelor nedefinite 

În multe situaţii practice, dispunem de informaţii asupra ratei de schimbare a unei funcţii – pe care a denumit-o funcţia marginală – şi ne interesează să determinăm funcţia iniţială. Acest tip de probleme aplicative ne conduce din punct de vedere matematic la determinarea unei funcţii atunci când se cunoaşte derivata acelei funcţii.

Definiţia 7.1: Funcţia ( )xF se numeşte primitiva (funcţia primitivă sau antiderivata) funcţiei ( )xf pe intervalul ( )ba, dacă în orice punct ( )bax ,∈ funcţia ( )xF este derivabilă şi

( ) ( )xfxF =′ .

Dacă ( )xF este primitiva funcţiei ( )xf pe intervalul ( )ba, , atunci, în mod evident, funcţia ( ) KxF + (unde K este o constantă) este, de asemenea, o primitivă a funcţiei ( )xf pe intervalul ( )ba , . În general, două primitive ale aceleiaşi funcţii diferă între ele printr-o constantă.

Definiţia 7.2: Mulţimea tuturor primitivelor unei funcţii ( )xf pe intervalul ( )ba , se numeşte integrala nedefinită a funcţiei ( )xf şi se notează:

dxxf∫ )( . (7.1)

În această notaţie, semnul ∫ se numeşte semnul de integrală, iar expresia ( )dxxf se numeşte elementul de integrare. Dacă ( )xF este una din primitivele funcţiei ( )xf pe intervalul ( )ba , , atunci

( ) ( ) KxFdxxf +=∫ . (7.2)

unde K este o constantă arbitrară, respectiv o nedeterminată ce poate să parcurgă toate numerele reale. Operaţia de determinare a primitivei sau a integralei nedefinite a funcţiei ( )xf se numeşte integrarea funcţiei ( )xf . Vom discuta în continuare proprietăţile de bază ale integralei nedefinite. Aceste proprietăţi ale operaţiilor cu integrale sunt:

(1) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) Kdxxgdxxfdxxgxf +±=± ∫∫∫ ; (7.3)

(2) ( )[ ] ( ) Kdxxfdxxf +⋅=⋅ ∫∫ αα , =α constant. (7.4)

Vom enumera în cele ce urmează primitivele principalelor funcţii ce apar în modelele economice, care formează tabloul integralelor nedefinite de bază:

Kdx =⋅∫ 0 ; (7.5)

Kxdx +=⋅∫1 ; (7.6)

Kxdxx ++

=+

∫ 1

1

α

αα , ( 1−≠α ); (7.7)

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 63

Kxdxx

+=∫ ln1 , ( 0≠x ); (7.8)

Ka

adxax

x +=∫ ln, ( 10 ≠< a ); (7.9)

Kedxe xx +=∫ ; (7.10)

Kax

aaxdx

+=+∫ arctan1

22 , 0≠a ; (7.11)

Kaxax

aaxdx

++−

=−∫ ln

21

22 , 0≠a , ax ≠ ; (7.12)

Kax

axdx

+=−∫ arcsin

22, 0≠a , ( )aax ,−∈ ; (7.13)

( ) Kaxxax

dx+++=

+∫ 22

22ln . (7.14)

Să analizăm şi două proprietăţi care sunt consecinţe imediate ale definiţiei date pentru integrala nedefinită, care implică faptul că simbolurile d (de diferenţiere) şi ∫ (de integrare) se anulează reciproc. Au loc proprietăţile:

(a) ( ) ( )dxxfdxxfd =∫ ;

(b) ( ) ( )∫ += KxFxdF .

Să investigăm acum principalele metode de integrare. Prima metodă este metoda directă, care constă în aplicarea directă, acolo unde este posibil, a proprietăţilor operaţiilor cu integrale (7.3) şi (7.4), precum şi formulele de integrare (7.5) ÷ (7.14). Una din cele mai uzuale metode de integrare este integrarea prin schimbare de variabilă (sau prin substituţie). Metoda se bazează pe proprietatea că dacă ( )xt ϕ= , iar ( )tf are primitiva ( )tF , adică:

( ) ( )∫ += KtFdttf , (7.15)

atunci există primitiva funcţiei ( )[ ] ( )xxf ϕϕ ′⋅ , adică:

( )[ ] ( ) ( )[ ] KxFdxxxf +=′⋅∫ ϕϕϕ . (7.16)

Integrarea prin părţi este una din cele mai eficace metode de integrare şi se bazează pe proprietatea următoare. Să presupunem că funcţiile ( )xu şi ( )xv sunt derivabile. Atunci are loc relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxuxvxvxudxxvxu ′⋅−⋅=′⋅ ∫∫ . (7.17)

Ţinând cont de proprietăţile diferenţialei, relaţia (7.17) se mai poate scrie:

duvvudvu ⋅−⋅=⋅ ∫∫ . (7.18)

64    MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL 

Să detaliem acum metodele de integrare a funcţiilor raţionale, de forma: ( )( )∫ xQxP , unde

( )xP şi ( )xQ sunt polinoame. Să analizăm mai întâi integralele de tipul:

∫ +++ dx

cbxaxnmx

2 .

Metoda generală de rezolvare a acestui tip de integrală constă în aducerea trinomului de gradul al doilea la forma unei sume sau diferenţe de pătrate:

( ) qpxacbxax ++⋅=++ 22 ,

unde p şi q sunt constante. În plus, dacă 0=m , metoda conduce la una din formulele de integrare (7.11) sau (7.12). Dacă 0≠m , dăm factor comun la numărător derivata bax +2 a trinomului de gradul al doilea şi avem:

( )∫∫ =

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⋅

=++

+= dx

cbxaxa

mbnbaxa

m

dxcbxax

nmxI 222

22

( )∫∫ ++⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+++

⋅= dxcbxaxa

mbndxcbxax

baxa

m22

12

22

.

În prima integrală facem schimbarea de variabilă tcbxax =++2 , de unde ( ) dtdxbax =+2 , iar a doua integrală este de tipul discutat mai sus. Obţinem:

∫ ++⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++⋅= dx

cbxaxambncbxax

amI 2

2 12

ln2

.

În general, pentru rezolvarea integralelor raţionale se aduce expresia la forma

ireductibilă ( )( )xQxP , unde ( ) ( )xgradQxgradP < . Mai întâi descompunem polinomul ( )xQ sub

forma:

( ) ( ) ( )λα lxaxxQ −⋅⋅−= K ,

unde la ,,K sunt rădăcinile reale diferite ale polinomului ( )xQ , cu ordinele de multiplicitate respectiv λα ,,K . Metoda constă în descompunerea în „fracţii simple”, scriind:

( )( ) ( ) ( )

KK +−

++−

+−

= αα

axA

axA

axA

xQxP

221

( ) ( )λλ

axL

lxL

lxL

−++

−+

−K2

21 .

Pentru determinarea coeficienţilor λα LLLAAA ,,,,,,,, 2121 KKK procedăm fie prin identificarea cu ( )xP , fie prin atribuirea de valori convenabile.

Pentru integrarea expresiilor iraţionale de forma: ∫++

+ dxcbxax

nmx2

, procedăm la

descompunerea în sumă sau diferenţă de pătrate a trinomului de la numitor şi apoi aplicăm o metodă analogă metodei analizate pentru expresiile raţionale, aplicând formulele de calcul (7.13) sau (7.14)

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 65

Pentru integralele iraţionale de tipul: ( )∫ +++ cbxaxnmx

dx2

, facem schimbarea de

variabilă tnmx=

+1 şi explicitându-l pe x în funcţie de t şi diferenţiind se obţine o integrală

de tipul celei de mai sus.

7.2 Ecuații diferențiale 

Să ne reamintim că am introdus noţiunea de derivată ca fiind rata de schimbare instantanee a unei funcţii ( )tfy = şi am notat această rată de schimbare în timp cu dtdy . În foarte multe procese de creştere, din domeniul economic, dar şi alte domenii cum sunt fizica, biologia sau ştiinţele sociale, rata de schimbare în timp a cantităţii unui element este proporţională cu cantitatea actuală a acelui element. Această proprietate se poate scrie sub forma:

kydtdy

= , ( constant=k ). (7.19)

O ecuaţie de tipul de mai sus se numeşte o ecuaţie diferenţială, deoarece ea conţine diferenţiale sau derivate. Alte exemple de ecuaţii diferenţiale sunt:

(a) ( )1

1+

=′x

xf , (b) tdtdy 2= , (c) ( )dxyxdy 1+= .

Soluţia unei ecuaţii diferenţiale este o funcţie ce satisface ecuaţia diferenţială iniţială. De exemplu, o funcţie care satisface ecuaţia (a) este o primitivă a lui ( )xf ′ . De asemenea, se

observă că o soluţie a ecuaţiei (b) este funcţia 2ty = , pentru care avem tdtdy 2= . Dar şi

funcţiile de forma 12 += ty sau 22 −= ty sunt şi ele soluţii ale lui (b). Atunci soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (b) se obţine integrând în ambii membri:

Ktydttdtdtdy

+=⇒= ∫∫ 22 .

Astfel, Kty += 2 este o soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (b). Dacă determinăm o anumită valoare specifică a lui K, atunci soluţia rezultată se numeşte soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale. O ecuaţie diferenţială ce conţine diferenţiale sau derivate de ordinul întâi se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul întâi. Dar nu toate ecuaţiile diferenţiale se rezolvă direct, prin integrare în ambii membri. De exemplu, ecuaţia (7.19) de mai sus nu poate fi rezolvată direct prin integrarea ambilor membri ai ecuaţiei în raport cu variabila t. Totuşi, putem să rescriem ecuaţia, astfel încât termenii care îl conţin pe y să fie într-un membru, iar termenii care îl conţin pe t să fie în celălalt membru. În cazul nostru rezultă:

dtky

dy⋅= . (7.20)

66    MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL 

În general, atunci când o ecuaţie diferenţială poate fi rescrisă sub forma:

( ) ( )dttBdyyA = sau ( ) ( )dxxfdyyg = ,

spunem că ecuaţia este separabilă. Soluţia unei ecuaţii diferenţiale separabile se obţine integrând ambii membri ai ecuaţiei în raport cu variabilele care au fost separate. Astfel, pentru a rezolva ecuaţia (7.19), care a fost scrisă după separarea variabilelor y şi t sub forma (7.20), integrăm în ambii membri şi obţinem:

21ln KktKydtky

dy+=+⇒⋅= ∫∫ .

Notând 123 KKK −= , rezultă 3ln Kkty += . Presupunând 0>y şi scriind ecuaţia sub formă exponenţială, obţinem succesiv:

Keeeey ktKktKkt ⋅=⋅== + 33 ,

unde 3KeK = . Soluţia Key kt ⋅= este soluţia generală a ecuaţiei (7.19).

7.3 Aplicații economice ale integralelor nedefinite 

7.3.1 Costul total şi profitul total 

Revenim cu analiza noastră asupra modelelor economice de şi aplicaţiilor care implică funcţiile de cost, de venit şi de consum. După cum s-a observat, am reluat aceste concepte în contexte şi cu abordări diferite, deoarece ale sunt fundamentale în studiul modelelor economice. Vom utiliza în continuare metodele de integrare pentru a obţine funcţiile de cost total şi profit total, pe baza funcţiilor marginale corespunzătoare. Unul din motivele utilizării funcţiilor marginale este acela că în practică pot fi observate schimbările marginale din activitatea curentă, pe baza cărora pot fi dezvoltate metodele privind costul total. Să remarcăm că, în mod natural, în aplicaţiile în care am utilizat derivatele, abordarea a fost de la costul total către costul marginal. Prin metodele de integrare, parcurgem calea inversă, care este uneori mai aproape de situaţiile practice. Să presupunem că funcţia de cost marginal pentru un anumit produs este

( ) ( )xCxCM ′= , unde ( )xC este funcţia de cost total. Ştiind expresia funcţiei de cost marginal, atunci vom determina prin integrare funcţia de cost total, adică:

( ) ( )∫= dxxCMxC . (7.21)

7.3.2 Consumul şi venitul național 

Am analizat anterior funcţia de consum naţional ( ) ( )xfxCN = , unde x este venitul naţional disponibil. Tendinţa marginală naţională de consum este derivata funcţiei de consum, respectiv:

( )xfdx

dCN ′= . (7.22)

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 67

Invers, dacă cunoaştem tendinţa de consum, prin integrare obţinem funcţia de consum naţional:

( ) ( ) KxfdxxfCN +=′= ∫ . (7.23)

De o manieră similară, dacă ( )xVN reprezintă funcţia venitului net naţional, atunci

NN VCx += sau NN CxV −= . Atunci tendinţa marginală a venitului net naţional este:

dx

dCdx

dV NN −=1 . (7.24)

Procedând invers, dacă cunoaştem tendinţa de consum marginală ( )xfdx

dCN ′= , prin

integrare obţinem funcţia de venit naţional net:

( ) ( )xfxdxxfxVN −=′−= ∫ . (7.25)

7.3.3 Aplicații ale ecuațiilor diferențiale 

Dacă p este preţul unui anumit produs la momentul t, putem să considerăm preţul ca o funcţie de timp. Similar, numărul de unităţi de produs cerut de consumatori Cq şi numărul de unităţi oferite de producători Oq , în orice moment de timp, pot fi considerate, de asemenea, funcţii de timp. Atât cantitatea cerută, cât şi cantitatea oferită depind însă nu numai de preţul la un moment dat, dar şi de direcţia şi de rata de schimbare cu care consumatorii şi producătorii estimează că va evolua preţul. De exemplu, cu toate că preţul este ridicat, dacă consumatorii estimează că preţul va creşte, cererea ar putea să crească. Analog, dacă preţurile sunt scăzute, dar producătorii estimează că preţurile vor mai scădea, atunci oferta ar putea să crească. Dacă presupunem că preţurile sunt stabilite pe o piaţă cu competiţie de cerere şi ofertă, atunci vom căuta să determinăm echilibrul de piaţă. Egalând oferta cu cererea, obţinem o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi.

7.4  Concepte cheie 

Funcţie primitivă

Integrală nedefinită

Integrare directă

Integrare prin schimbare de variabilă

Integrare prin părţi

Ecuaţie diferenţială

Ecuaţie diferenţială de ordinul întâi

Ecuaţie diferenţială separabilă

Tendinţă marginală de consum

Tendinţă marginală a venitului net

68    MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL