1 TEHNICIDESIMULARE 1.Obiectivul disciplinei Prezentarea, cunoasterea si nsusirea elementelor de baz si a tehnicilor privindmodelarea si simularea sistemelor, cu aplicatii n practic. 2.Desfurarea disciplinei Curs : 2 ore / sptmn. Laborator : 2 ore / sptmn. 3.Programa analitic a cursului 1.Notiuni despre modele, sisteme, simulare-------------------------------2 ore 2.Descrierea modelelor de simulare----------------------------------------2 ore 3.Numerelor aleatoare uniforme. Metode de generare-------------------2 ore 4.Simularea unor repartitii prin metoda invers---------------------------2 ore 5.Simularea unor repartitii prin metoda respingerii si compunerii----- 2 ore 6.Simularea unor repartitii prin alte metode-------------------------------2 ore 7.Simularea unor repartitii multidimensionale----------------------------2 ore 8.Metoda Monte Carlo. Aplicatii-------------------------------------------4 ore9.Simularea unor procese stochastice--------------------------------------2 ore 10. Simularea unor procese de asteptare--------------------------------------2 ore 11. Simularea unor procese de stocare----------------------------------------2 ore 12. Aplicatii ale simulrii n fiabilitate----------------------------------------4 ore 4.Tematica laboratorului 1.Prezentarea unor elemente de probabilitti si statistic----------------2 ore 2.Programarea si aplicarea unortestelor statistice------------------------2 ore 3.Simularea aprovizionrii unui stoc----------------------------------------2 ore 4.Generare de numere aleatoare ---------------------------------------------2 ore 5.Simularea unor repartitii discrete------------------------------------------2 ore 6.Simularea unor repartitii continue---------------------------------------- 4 ore 7.Simularea unor procese stochastice---------------------------------------2 ore 2 8.Aplicatii ale Metodei Monte Carlo----------------------------------------4ore 9.Simularea unui procese de reparatii---------------------------------------2 ore 10. Simularea unor procese de asteptare--------------------------------------2 ore 11. Simularea unor procese de stocare----------------------------------------2 ore 12. Algoritmi si calcule de fiabilitate-----------------------------------------2 ore 5.Proiecte 1.Verificarea unor ipoteze statistice folosind testul ,2. 2.Verificarea unor ipoteze statistice folosind testul Kolmogorov. 3.Verificarea unor ipoteze statistice folosind alte teste. 4.Generarea unor numere aleatoare folosind metode congruentiale. 5.Generarea unor variabile aleatoare prin metoda invers folosind solutii numerice: metoda bisectiei. 6.Generarea unor variabile aleatoare prin metoda invers folosind solutii numerice: metoda secantei. 7.Generarea unor variabile aleatoare prin metoda invers folosind solutii numerice: metoda lui Newton-Raphson. 8.Generarea unor variabile aleatoare prin metoda respingerii. 9.Generarea unor variabile aleatoare prin metoda compunerii. 10. Generarea unor variabile aleatoare prin alte metode. 11. Generarea vectorilor aleatori avnd repartitie normal. 12. Calculul unor integrale prin Metoda Monte Carlo. 13. Simularea unor cazuri concrete de stocare. 14. Simularea unor cazuri concrete de asteptare. 15. Programarea algoritmului pentru calculul functiei de structur a unui sistem. 6.Bibliografie 1.Vduva Ion, Modele de simulare cu calculatorul, Editura Tehnic, Bucuresti, 1977. 2.VduvaIonsialtii,Simulareaproceseloreconomice,EdituraTehnic,Bucuresti,1983. 3.RatiuCamelia-Suciu,Modelareasisimulareaproceseloreconomice,Editura Didactic si Pedagogic, Bucuresti, 1995. 4.Gorunescu F., Prodan A., Modelare stochastic si simulare, Editura Albastr, 2001. 5.BarbuGh.,Modeledesimularecuaplicatiinfiabilitate,EdituraTehnic, Bucuresti, 1992. 6.Ziegler P.B., Theory of Modelling and Simulation, John Wiley and Sons, New York. 3 7.Evaluare Prezent activ la curs ---------------------------------------------------------20 % Activitate la laborator ----------------------------------------------------------10% Proiect----------------------------------------------------------------------------20% Examen partial------------------------------------------------------------------ 20% Examen final---------------------------------------------------------------------30 %

4 TehnicidesimulareCursul nr.1

NOIUNIDESPRESISTEME, MODELE, SIMULARE Cuvntul simulare deriv din latinescul simulatio, care nseamn capacitatea de a reproduce, reprezenta sau imita ceva. n matematic, termenul simulare a fost folosit pentru prima dat de ctre John von Neumann si S. Ulan n anii 1940-1944, cu ocazia cercetrilor de fizic nuclear efectuate n S.U.A. Ei, mpreun cu N. Metropolis, Fermi si alti matematicieni si fizicieni ai scolii Los Alamos au introdus n aceeasi perioad un nume pitoresc n matematic si anume metoda MonteCarlo.Denumirea,desigurimproprie,provinedinfaptulcprimelemetodede generareanumereloraleatoareaufostceleoferitederezultateleobtinutelaruletele vestitelor cazinouri din Monte Carlo. Se spune c simularea este mai mult o art dect o stiint. Modele Modelarea este o metod de studiu a unor procese si fenomene care se realizeaz prin substituireaobiectuluirealalcercetrii.Cametoddecercetareestedestuldeveche, modelelefiziceprinsimilitudine,apoiceleconstruiteprinanalogienlocuinddemulteori obiectul real supus cercetrii. Unmodelpresupune,ngeneral,reprezentareasistemuluicaomultimedeprtin interactiune una cu alta.Modelul poate fi: un duplicat al sistemului, o reprezentare simbolic (de exemplu matematic) a sistemului, sistemul. Modeleleconstituiereprezentrialerealittii.Dacelearfitotattdegreude manevratcarealitatea,prinutilizarealornus-arobtinenici-unavantaj.Deobiceisepot construimodelemultmaisimpledectrealitatea,pebazacroraputemsprevedemsis explicmcuunnaltgraddeacuratete,fenomenecomplexe.Explicatiaconstnfaptulc, desi pentru a descrie un fenomen este necesar un numr mare de variabile, de obicei putine dintreacesteaaurolesential.Importantestesdescoperimcaresuntacelevariabilesi relatiile dintre ele. Modelareamatematicocupunlocimportantnansamblulmetodelordemodelare, n special prin facilittile oferite de calculatoarele cu capacitate mare de memorare si vitez mare de lucru.5 Modelelematematiceauaprutdinnecesitateadeadescriesistudiaformal comportarea diferitelor tipuri de sisteme reale, cu scopul lurii unor decizii privind evolutia lor viitoare. Elaborareauneistructurimatematicempreuncuolistdecorespondententre simbolurile matematice si obiectele situatiei concrete considerate a condus la ceea ce numim model matematic. n procesul de modelare matematic, componentelor sistemului li se asociaz anumite variabile/parametri,unelecunoscute(controlabile),numitevariabile/parametrideintrare, altelenecunoscute(necontrolabile),numitevariabile/parametrideiesire.Legturilesi interactiuniledintrecomponentelesistemuluisaulegturilesistemuluicuexteriorulse transpunnmodelulmatematicprinrelatiifunctionale(ecuatiisi/sauidentitti).Scopul modelului este de a exprima variabilele necontrolabile n functiede variabilele controlabile, astfelnctsfiesatisfcutecriteriiledeperformant.Uneorinuesteposibilsseexprime subformdeecuatiitoatelegturile,conditionrilesiinterdependentelenecesare,motiv pentrucareuneledintreacesteasedescriuprinconditiilogicesauproceduricepotfi manipulate numai prin intermediul calculatorului. Modelul matematic completat cu astfel de proceduriesteunmodeldesimulare,careporninddelavalorialevariabilelorcontrolabile (generatecualgoritmispeciali),vaproducevalorialevariabilelornecontrolabile,oferind variantedincaresepoatealegeceamaibun.Deaicirezultcmodeluldesimulare produce experimente asupra sistemului pe care-l simuleaz, ceea ce permite alegerea acelor valori ale variabilelor si parametrilor de intrare care conduc la performantele dorite. Sisteme Dezvoltarea n ritm accelerat a stiintei si tehnicii contemporane creeaz complexitate, care devine din ce n ce mai greu de controlat, de stpnit, de condus. n sprijinul eforturilor saledeastpniicomplexitatea,dea-icunoastecomponentele,deadescoperidiferitelegi care o guverneaz, omul a creat notiunea de sistem. Sistemulreprezintunansambludeelemente(componentefizicesaulogice,legi, regulietc.)interconectate,carefunctioneazncomunpentrurealizareaunuiasaumai multor scopuri. Elementul reprezint o parte din sistem (un subansamblu sau o component) capabil s ndeplineasc o anumit functiune n cadrul sistemului. Elaborareauneistructurimatematicempreuncuolistdecorespondententre simbolurile matematice si obiectele situatiei concrete considerate a condus la ceea ce numim modelmatematic.Modelelematematiceauaprutdinnecesitateadeadescriesistudia formalcomportareauneicategoriidesistemereale,cuscopuldeacontrolasidirija activitatea lor viitoare. Necesitateaobtineriiunorinformatiidespreunanumitsistemnaintecaelsfie realizat a condus la aparitia simulrii. 6 Sistem Intrri Iesiri Oameniitriescnsistemesociale.Activitateatehnologicaprodussistemefizico-tehnice complexe. Exemple:Unautomobilesteunsistemformatdincomponentecareactioneaz mpreun pentru a asigura transportul.Familia este un sistem de convietuire si de crestere a copiilor. Oclasificareasistemelorpoatefifcutnsistemedeschisesisistemecuconexiune invers. Unsistemdeschisestecaracterizatdeiesiricarecorespundintrrilornsistem,dar iesirile sunt izolate de intrri si nu au nici o influent asupra acestora. ntr-un sistem deschis, rezultateleactiuniitrecutenucomandactiuneaviitoare.Sistemulnuobservsinu reactioneaz la propria-i performant. Exemplu:Unautomobilesteunsistemdeschiscaresingurnusepoateconduce dup drumulpecarel-aparcursntrecutsinicinuareoanumittint,directie,sprecares mearg n viitor. Un ceas este de asemenea un sistem deschis; el nu-si Fig.1 Sistem deschis observ propria imprecizie pentru a si-ocontrola singur. Sistemul cu conexiune invers (cu reactie sau feed-back) care este denumit si sistem nchisesteinfluentatdepropria-icomportaretrecut.Laacestesistemeiesirilepotregla intrrile.Unsistemcuconexiuneinversfunctioneazcaobuclnchiscarefoloseste rezultatele actiunii trecute ale sistemului pentru a comanda actiunea viitoare. Exemplu:Unceassiposesorulluiformeazunsistemcuconexiuneinvers;cndora indicatdeceasestecomparatcuoraexact,careesteluatcaobiectiv,iarceasuleste potrivit pentrua elimina erorile. Fig.2 Sistem cu conexiune invers Bucla conexiunii inverse este o cale nchis care leag n aceeasi secvent o decizie cecomandactiunea,stareasistemuluisiinformatiadesprestareasistemului,nfinal ntorcndu-se la punctul de luare a deciziilor. Decizie Actiune Starea sistemului Informatia 7 n general, un model M al unui sistem S este un alt sistem S care din anumite puncte devedereesteechivalentcuS,darcareestemaiusordestudiatdectS.Printr-un sistemS ntelegem urmtoarea structur de multimi: S ={T, X, U, V, Y, o, n}unde -T este timpul de baz utilizat pentru cronometrarea si ordonarea evenimentelor; T este un numrrealdacsistemulestecutimpcontinuusauntregdacsistemulestecutimp discret; -X reprezint multimea intrrilor n sistem; -Uestemultimeasegmentelordeintrarensistem,prinsegmentdeintrarensistem asociat functieiX T u :ntelegndu-se graficul functiei u pe un interval[ ]1 0, t t , adic:[ ] ( )1 0, t t u=( ) ( ) { }1 0| , t t t t u t ; -V este multimea strilor sistemului; starea este un concept de modelare a structurii interne asistemului,cecontineistoriaacestuiasicare-iafecteazprezentulsiviitorulsi mpreun cu forma intrrilor determin n mod unic iesirile din sistem; -Y este multimea iesirilor sistemului; -o este functia de rspuns a sistemuluiY V X : ; dac la o intrare[ ] ( )1 0, t t usistemul se afl n stareaVt 0 atunci iesirea sistemului[ ] ( ) ( )0, ,1 0 tt t u Y = ; -nestefunctiadetranzitieastrilorceeacenseamncdacintrarea[ ] ( )1 0, t t u gseste sistemul n stareaVt 0 atunci l transform pe acesta n starea[ ] ( ) ( )0 1, ,1 0 t tt t u = . Cunoastereaintrriloru U siarspunsurilorcorespunztoareaacestoraY y reprezint comportarea sistemului. Un model al unui sistem trebuie s ndeplineasc urmtoarele trei conditii: 1.modelul trebuie s reflecte ct se poate de fidel realitatea reprezentat; 2.modelul trebuie s constituie o simplificare a realittii reprezentate; 3.modelul este prin esenta sa o idealizare a realittii reprezentate. Simulare n proiectarea sistemelor, deosebit de important este obtinerea unor informatii despre sistem nainte ca el s fie realizat concret; acest lucru este posibil aplicnd tehnica simulrii. Prinsimularenumericsentelegetotalitateaprocedeelormatematicesidecalcul destinatestudiuluicomportriintimpasistemelorrealecuajutorulcalculatoarelor electronicenumerice,presupunndu-secnevolutiaacestorsistemeintervinsielemente aleatoare.Simulareanumericesteotehnicpotrivitcreiaseasociazsistemuluirealun modeladecvat numit model desimulare, care reprezintmultimea interactiunilor logice ale componentelorsistemului,precumsimecanismulschimbriilorntimp.Modeluleste 8 folositapoipentruaproduce,prinintermediulcalculatorului,succesiuneacronologicde stri prin care trece sistemul, considerndu-se dat starea sa initial. Deoarecenevolutialorsistemelerealesuntinfluentatedecauzealeatoarealcror efecttrebuiepusnevidentncadrulmodelelordesimulare,unadinproblemele matematiceimportatealesimulriinumericeconstngenerareacucalculatorulaunor selectii statistice asupra diferitelor tipuri de variabile aleatoare si procese stochastice. Oaltproblemimportantlegatdeconstruireamodelelordesimulareesteaceeaa cronometrrii exacte a evenimentelor strilor sistemului simulat folosind o variabil numit ceasul simulrii, care este supus unui numr finit de cresteri pe parcursul simulrii. Desi nu ofer solutii exacte simularea este o tehnic eficient de cercetare att pentru fenomenelefizicecarenupotfiperceputedeomctsipentruaceleapercepute,dar imposibil de studiat analitic. Necesitatea simulrii rezid n faptul c adeseori sistemele reale nu pot fi studiate n mod direct, fie datorit dificulttilor de evaluare calitativ sau cantitativ a fenomenelor, fie din cauza complexittii (numrul mare de variabile de intrare si de iesire, numrul mare de stri posibile, complexitatea functiilor o si n, etc.). Studiulvariantelordedeciziepemodele,pelngavantajeledenatureconomic, scurteazduratadeobtinereasolutiilor,permiteanalizaunuinumrmaredevarianteprin modificarea conditiilor initiale, avnd avantajul revenirii la varianta de rspuns conform cu cerintele utilizatorului. Folosireaunuisistemrealpentruexperimentarepoateconducelaperturbarea activittilor unui domeniu n care este studiat sistemul, anumite variante mai putin inspirate putnd avea implicati imprevizibile. ncazulunorsistemecarenuexistncsepoateobtineunplandeconstruirea sistemuluinfunctiedeanumitecriteriideoptimizareaintrrilorsi/sauiesirilorsistemului reprezentat. De exemplu, dac utilizm simularea pentru proiectarea unui baraj, dimensiunile sirezistentaacestuiasepotdeterminaprinexperimentecucalculatorulpeunmodelcare prevede cerinta medie de curent electric si factori aleatori precum volumul precipitatiilor n intervaleledetimpstabilite.Experimentelerealenusuntpractice,deoarecebarajulodat construit nu poate fi modificat. Desigurcsimulareapresupunesiuneledezavantaje.Construireamodelelorde simularecereopregtirespecial.Sespunecsimulareaestemaidegraboartdecto stiint, care se nvat n timp si prin experient. Rezultatelesimulriisuntaproximativesinuexacte,iaruneorisuntgreude interpretat.Celemaimulteiesirialesistemuluisuntvariabilealeatoare(bazatepeintrri aleatoare)sivafigreudedeterminatdacsedatoreazinteractiunilorsistemuluisau ntmplrii. 9 Tipuri de modele n multe domenii stiintifice se folosesc trei tipuri de modele: modele imitative modele analogice modele simbolice.Modeleleimitativetranspunrealitatealaoaltscar,maimaresaumaimic,cu scopul observrii comportrii realittii respective. Prin modele imitative se obtin imitatii ale realittii, ceea ce nseamn c un model imitativ seamn cu fenomenul pe care-l reprezint, dardifercamrime;elesteoimagine.Pentruexemplificarementionmdesenele,hrtile, macheteledeautomobile,naveavioaneetc.Modeleleimitativealesoareluisiplanetelor sunt micsorate, n timp ce modelele atomice(modelul lui Bohr, de exemplu) sunt mrite.Modeleleimitativesuntspecifice,concrete(fizice)sigreudemanipulatnscopuri experimentale. Modelele analogice, spre deosebire de cele imitative, exprim un fenomen sau proces pecar-lstudiem(alcruicomportamentnu-lcunoastemaprioric)printr-unmodelrealistal unui fenomen sau proces care prezint analogii. Modeleleanalogicefolosescanumitepropriettipentruareprezentaalteproprietti. Elesuntmaiputinspecifice,maiputinconcrete,darmaiusordemnuitdectmodele imitative.Deexemplu,sepotutilizamodeleunorsistemehidraulicepentrustudiereaunor sistemeelectricesaudetransport.Unaltexemplulconstituieanalogiileistoricepentru prognozadezvoltriisociettiintr-oanumittar.Liniiledenivelpeoharttopografic reprezint un model analogic al nltimilor unei structuri date. Modelelesimbolicefolosesclitere,cifresaualtesimboluripentruareprezenta caracteristicileuneirealitti.Corelatiilentrecaracteristicilerealittiiauconduslascrierea unor relatii matematice adecvate si prin aceasta la crearea unui model abstract (matematic). Modelele matematice folosesc simboluri si ecuatii matematice pentru a reprezenta un sistem. Un model de simulare este un tip particular de model matematic al unui sistem. Modelele de simulare pot fi clasificate astfel: statistice sau dinamicedeterministe sau stochastice, discrete sau continue. Modelele statice sunt acelea care nu iau n mod explicit n considerare variabila timp; elereflectsituatiisistriinvariantesiatemporale.Celemaimultemodelestaticesunt deterministe si solutiile lor pot fi obtinute si analitic.Modeleledinamicesuntaceleacaretinseamdevariatiasiinteractiuneantimpa variabilelor considerate. Ele ncorporeaz timpul ca mrime fundamental. Timpul constituie o variabil de stare. Ele se rezolv utiliznd tehnica simulrii. 10 Modeleledeterministesuntaceleancaretoatevariabilelesuntnealeatoare,iar caracteristicile operative sunt ecuatii de o anumit form; de obicei, solutiile acestor modele se obtin pe cale analitic. Modelelestochasticesuntaceleacarecontinunasaumaimultevariabiledeintrare aleatoaresideciunadincaracteristicileoperativeestedatprintr-ofunctiededensitate; intrrilealeatoareconduclaiesirialeatoare.Modelelestochaticeaulabazideeac evenimentele nu seproduc cu certitudine, cicu o anumit probabilitate. n cazul modelelor deterministeevenimenteleseproducsaunuseproduc,iarncazulproduceriiexisto certitudinebazatpereguliclare.ncazulmodeleloraleatoareevenimenteleseproducsau nu se produc, regulile de inferent ale modelului nu confer certitudine producerii lor. Acestemodele,deobicei,serezolvfolosindtehnicasimulrii,metodeleanaliticefiind ineficiente. Modelele discrete sunt acele modele n care schimbrile strilor variabilelor se fac la momente discrete de timp. Modelelecontinuesuntaceleancareschimbrilestrilorvariabilelorseproduc continuu. Exemple. 11 Tehnicidesimulare Cursul nr.2 DESCRIEREAMODELELOR DESIMULARE nprocesuldemodelarematematic,modelulestereprezentativpentru sistemulfizicdacserespectconditiadecauzalitate,ceeaceconducela clasificarea elementelor n: elemente de intrare (cauz) care formeaz vectorul de intrare x=(x1, x2,xm) elementedeiesire(efect)careformeazvectoruldeiesirey=(y1, y2,yn),). ambii vectori fiind n general aleatori. nabsentaoricrorinformatiiasuprastructuriisistemului,acestaeste descrismatematicdectredependentafunctionaldintrevectoruldeiesiresi vectorul de intrare: y=f(x).Variabilele de intrare pot fi: variabileledeterministe,careseobtindupregulibineprecizatesau se gsesc nregistrate pe suporti de informatie; variabilelestochastice,caresuntgeneratecucalculatoruldup algoritmi de generare performanti, generarea depinznd de parametrii de intrare care caracterizeaz aceste variabile. Oetapncaretoatevariabileledeintrareiauvaloriconstantentimpul executrii programului de simulare se numeste pas al simulrii.Variabileledeiesiredepinddevariabileledeintrare.Dependentaeste determinatdestructuralogicamodeluluidesimulareconsiderat;ovaloarea uneivariabiledeiesireesterezultatulexecutriiunuipasalprogramuluide calculasociatmodelului.Daccelputinunadinvariabileledeintrareeste stochastic, atunci cel putin una din variabilele de iesire este stochastic. Demareimportantnconstruireamodeluluidesimulareesteprocedeul de miscare a sistemului n timp; pentru aceasta este necesar introducerea unei variabilespecialenumitceasulsimulrii,caresmsoarescurgereatimpului real n care se simuleaz sistemul, cu scopul de a mentine ordinea corect n timp a evenimentelor. 12 Modeleledesimularemaicontinrelatiifunctionale(identittisi/sau ecuatii)precumsicaracteristicioperative,fiindutilizatepentruaexprimaprin relatii matematice interactiunile variabilelor si comportarea sistemului. O caracteristic operativ este de obicei o ipotez (statistic sau nu) sau o ecuatiematematicprecizatcareleagvariabileledeintrarealesistemuluide stri sau de variabilele de iesire. Dac aceste variabile sunt stochastice, caracteristicile operative iau forma unorfunctiidedensitatedeprobabilitate,iarprintreparametriideintrareai modeluluivorfisiparametriistatisticiaicaracteristiciloroperative.Acesti parametri au rol de mrimi de intrare n modelul de simulare si trebuie estimati n prealabildinobservatiistatisticeefectuateasupraprocesuluisausistemuluice urmeaz a fi simulat. Dup construirea modelului de simulare, simularea n sine, ca experiment, const n a varia valorile variabilelor si parametrilor de intrare ai sistemului si a deducepebazamodelului,carezultatalcalculelor,efectelelorasupra variabilelor de iesire. Deosebim dou tipuri de simulare: discret,dac variabilele modelului pot avea numai anumite valori discrete; continu,dacvariabilelemodeluluipotaveaoricevaloarepe anumite intervale reale. ncazulsimulriicutimpdiscret,ceasulsimulriinainteazdelaun eveniment la altul si nu n mod continuu. ncazulsimulriicutimpcontinuu,variabilelecaredescriustarea sistemului si schimb valorile n mod continuu n raport cu timpul.Etapele rezolvrii unui model de simulare Construireamodelelordesimulareconstituieunprocesamplucaren general presupune parcurgerea urmtoarelor etape: 1.Definirea problemei, etap n care se stabilesc obiectivele simulrii: ntrebrile la care trebuie s rspund s fie clare ipotezele ce trebuiesc testates fie nsotite de criterii de acceptare efectele ce urmeaz a fi estimate.13 2.Colectionarea, analiza, interpretarea si prelucrarea primar a datelor. n aceast etap se stabilesc: datele de observatie necesare pentru studierea sistemului consideratmodalittile de strngere a datelor de observatie Aceastetapesteesentialdeoarececolectionareaunordateeronateare mariconsecintenobtinerearezultatelorfinale,motivpentrucareeste necesaroanalizpreliminarsiointerpretarealorpentruadepista eventualeleneconcordantecurealitatea.Seefectueazoprelucrareprimar, apoisefaceconversiasitransmiterealor,nvedereaorganizriinfisiere pentruaputeafiutilizatedecalculator.Dateledeobservatiesuntnecesare pentru estimarea parametrilor caracteristicilor operative ale modelului ce va fi construit, initializarea variabilelor de intrare ale modelului si validarea lui. 3.Formularea modelului de simulare.Pentru a construi un model matematic de simulare a unui sistem, componentelor sale li se asociazanumite variabile si parametri, unele dintre acestea fiindcunoscute (controlabile) pe care le numim variabile si parametri de intrare necunoscute(necontrolabile)pecarelenumimvariabilesiparametride iesire.Interactiuniledintrecomponentelesistemuluisaulegturilesistemuluicu exteriorulseregsescnmodelulmatematicsubformaunorrelatiifunctionale. Printrerelatiilemodeluluiexistunasaumaimultefunctiicareleagdiferite variabilesicaremsoarperformantasistemului.Deoarecenevolutialor sistemelerealesuntinfluentatedefactorialeatorialcrorefectestepusn evidentncadrulmodeluluidesimulare,opartedinvariabileledeintrareale modeluluisuntvariabilealeatoareavndfunctiiderepartitiecunoscute.Deaici aparenecesitateacamodeluldesimularescontinrutinecaresgenereze aceste variabile de intrare. Modelul de simulare trebuie s contin 14 variabilecaresdescriestrilecomponentelorsistemului(variabilede stare) o agend care s memoreze evenimentele care se produc n sistem rutine pentru producerea (generarea) diferitelor tipuri de evenimente. Construirea unui model de simulare difer de la o problem la alta, motiv pentru care nu pot fi stabilite niste reguli general valabile. Cu toate acestea se pot indica ctevaregulidecaretrebuiessetinseamanconstruireamodeluluide simulare. Una dintre acestea se refer la numrul de variabile pe care le foloseste modelul;unnumrpreamarearcreadificulttinceeaceprivestestabilirea relatiilorfunctionale,arfacecamodelulsfiemaiputinflexibil,iartimpulde calculatarfimaimare.Nutrebuiesseajungnicilacealaltextrema simplificriiexagerateamodeluluiprinfolosireaunuinumrmicdevariabile, deoarecenacestcazarputeapierdeopartedinaspecteleesentialeale problemei.Relatiilefunctionalealemodeluluitrebuiesaiboformctmai simpl, fiind usor de calculat si evaluat n asa fel nct erorile de calcul induse s fie ct mai mici, asigurnd n acest fel o ct mai bun precizie a modelului. De mare important n realizarea modelelor de simulare este obtinerea unui timp de calcul redus, fapt ce permite simularea diferitelor variante de sistem cu costuri (eforturi) rezonabile. Oaltcerintdecaretrebuiessetinseamalaconstruireamodelelorde simularesereferlamijloaceleprincarepoatefiverificatcorectitudinea modeluluisivarianteleceurmeazafisimulatecuajutorulcalculatorului electronic. 4.Estimarea parametrilor de intrare ai modelului. Parametrii de intrare ai modelului matematic de simulare se estimeaz prin metode statistice, folosind datele colectionate (n prima etap) despre sistemul real.Caracteristicileoperativepotaveaformaunorecuatiisausistemede ecuatiidepinznddeanumitiparametricarepotfiestimaticuajutorul tehnicienilor specifici analizei regresiei. 15 5.Evaluarea performantelor modelului si testarea parametrilor. Aceastetaparecascopverificareamodeluluinaintecaelsfie programat.Severificdacparametriideintrareaimodeluluiaufostbine estimati(folosindtestestatistice),severificdacmodelulcontinetoate variabilelesiparametriiesentialiprecumsirelatiilefunctionalenecesare reprezentrii interdependentelor esentiale ale sistemului real. ncazulcndcaracteristicileoperativeiauformaunoripotezestatistice referitoarelarepartitiilevariabilelordeintrare,atunciseaplictestelede concordant(testul2,Kolmogorov-Smirnov)pentruverificareaacestor ipoteze. Dac n urma acestor verificri se constat c o ntrebare sau o ipotez nu estecorectformulat,atuncivariabilelesiparametriinuaufostbinealesi, parametrii de intrare nu au fost bine estimati sau se constat alte neconcordante ncadrulmodelului,atuncitoateetapeleprecedentevorfireluatenvederea corectrii lor. 6.Descrierea algoritmului de simulare si scrierea programului de calcul. Pebazarezultateloretapelorprecedenteseconstruiestealgoritmulde calculcarereprezintsuccesiunealogicaevenimentelorceurmeazafi reprodusecucalculatorulelectronic.Pentruafimaiusordeprogramat, algoritmulestereprezentatprintr-oschemlogic;urmeazscrierea programuluicaresepoatefacefiefolosindunlimbajdeprogramaredenivel inalt:Fortran,Pascal,C/C++,fieunlimbajspecialdesimulare,deexemplu GPSS. Alegerea limbajului de programare depinde de mai multi factori, din care amintim: timpul calculator necesar simulrii, forma sub care trebuie imprimate rezultatele simulrii, experienta ca programatoretc. Limbajeledesimulare(specializate)facmultmaiusoardescriereaunui sistem si a comportrii lui n timp. Ele pot usura mult modelarea, ceea ce face sfienetsuperioaredinacestpunctdevederelimbajelegeneralede programare. 16 7.Validarea modelului. Validareamodelului,adicstabilireaadecvriiluilarealitate,estede obiceiosarcincomplexsidificil.Valoareaunuimodelnraportcu contributia sa la studiul situatiei concrete modelate este determinat de gradul su de adecvare, adic la modul n care predictiile concord cu observatiile. Metodeledevalidareamodelelormatematicedesimularenusuntunice. Validarea modelului se poate face prin: testarea modelului ntr-un caz particular, n care solutia se cunoaste sau poate fi dedus cu usurinta pe cale analitic compararea rezultatelor simulrii cu datele obtinute prin observarea unorsistemesimilaresauprincomparatiecuevolutiatrecuta sistemului real care a fost simulat. Variantele modelului care se dovedesc neadecvate sunt modificate pn se ajunge la solutii care concord cu realitatea. 8.Planificarea experientelor de simulare. naceastetapsefaceatribuireavariabilelorsiparametrilordeintrarea valorilor care s acopere situatiile reale n care s-ar putea afla sistemul n vederea selectrii variantei care satisface cerintele utilizatorului. 9.Analiza datelor simulate. Rezultatelesimulriineprezintcareestereactiasistemuluila modificareavalorilorvariabilelordeintraresimaimult,nelevomcuta rspunsurilelantrebrileformulatelanceput.Acestlucruesteposibil colectionnd datele simulate, prelucrndu-le calculnd statisticile pentru testele de semnificatie si apoi interpretnd doar rezultatele. Ceasul simulrii Prinintermediulmodeluluidesimularecalculatorulelectronicproducesuccesiv diferiteevenimentecarereprezintschimbrileceaulocntimpncadrul sistemului. Pentru a putea mentine ordinea corect a acestor evenimente si pentru putea preciza, dup fiecare pasal simulrii care este intervalul de timp n care s-17 asimulatevolutiasistemuluilapasulrespectiv,estenecesarsseintroducn modelul de simulare o variabil special numit ceas. La fiecare pas al simulrii trebuie s se genereze o crestere a ceasului care s se adauge mrimii ceasului la pasul anterior.Exist dou tipuri de ceas: ceas cu crestere fix (constant) ceas cu crestere variabil. Simularea bazat pe metoda ceasului constant, const n a genera de fiecare dat ocrestereconstantcaceasuluisiaanalizaapoistareadiferitelorelementeale sistemuluigenerndtoateevenimenteleposibileaseproducenintervalulde timpdelungimec.Dupaceeasevageneraonoucresterecaresevaaduga ceasului, se va repeta analiza mentionat. Schemalogicamodeluluidesimularetrebuienacestcazsdescrienmod completevolutiasistemuluipeunintervaldetimpdelungimec;simularea sistemuluipeunintervalmare(oarecare)detimpsevaobtinerepetnddeun numrdeorisuficientdemarealgoritmulreferitorlaintervaluldetimpde lungime c. Deci pentru modelele de simulare de ceas constant mrimea ceasului T este de forma: T=cj (j=0,1,2,) unde j este un ntreg care reprezint numrul de iteratii ale algoritmului de simulare.ncazulceasuluivariabil,valoarea(variabil)acresteriiceasuluiesteegalcu lungimeaintervaluluidetimpdintreaparitiileadouevenimenteconsecutive. Cu alte cuvinte mrimea cresterii ceasului este egal cu intervalul de timp de la starea actual la momentul aparitiei celui mai apropiat eveniment viitor.n cazul modelului cu ceas constant, avem: O e1 e2e3e4T

T1 T2 T3 n cazul modelului cu ceas variabil, avem: 18 O e1 e2e3e4T T1 T2T3 T4

Metodaceasuluivariabilpresupunenmodrigurosconsiderareaordinii tuturoraparitiilordeevenimentesuccesive,astfelnctlafiecarenouaparitie corespunde o crestere a ceasului. n cazul modelelor cu ceas constant, dac de exemplu valoarea ceasului la un moment dat este T=ck, atunci n aceast faz algoritmul de simulare va genera evenimentelecareurmeazsseproducnintervaluldetimp( ) [ ) ,ck k- c 1 sidup aceea va avansa ceasul la valoarea T=c(k+1). Un model de simulare bazat pe metoda ceasului constant consider grupul de evenimente produse n intervalul( ) [ ) ,ck k- c 1ca si cum s-ar fi produs la momentul ck. n consecint procedeul bazat pe metoda ceasului constant, spre deosebire decelbazatpeceasvariabil,facecagrupuldeevenimentecareaparpeun intervaldetimpdelungimecsfiesincronizatelamomentulterminriiacelui interval.Dinacestmotivesterecomandabilssealeagconstantacctmai mic.Aceastavaconducelacrestereatimpuluidecalcul.Pedealtparte, mrireaconstanteicdatoritsincronizriiunorevenimentecesepetrecla momentedetimpndeprtate,vamrigraduldeaproximatiealmodeluluisiva reduce timpul de calcul. Metoda bazat pe ceasul constant este de preferat celei bazat pe ceasul cu cresterevariabil,maialesdinpunctuldevederealusurinteicucaresepoate construi algoritmul simulrii. 19 Tehnicidesimulare Cursul nr.3 NUMEREALEATOAREUNIFORME. METODE DE GENERARE Numere aleatoare: numerele care sunt alese la ntmplare. Se utilizeaz: naplicatiincarerealizeaznlocuireavalorilorvariabileialeatoarecuo multime de valori care au propriettile statistice ale acesteia; n simularea numeric pentru a reproduce n mod realistanumite elemente ale sistemuluisimulat,precumsipentrurezolvareaunorproblemenumericecu ajutorul metodelor Monte Carlo; ncercetareastatisticpentruaproduceselectiintmpltoarencadrulunei populatiistatistice,selectiicroralisepotaplicaapoiprocedeedeprelucrare si interpretare specifice statisticii matematice; n testarea programelor pe calculator.

Se numeste sir de numere aleatoare independente cu o repartitie de probabilitate specificat, sirul care ndeplineste conditiile: numerele sirului au fost obtinute la ntmplare;fiecare numr nu este n nici un fel legat de celelalte numere ale sirului si n plus are o anumit proprietate de a se afla ntr-un anumit interval. Unsirdenumerealeatoareindependentecuorepartitiespecificatesteoselectie ntmpltoare efectuat asupra unei variabile aleatoare a crei repartitie este cea specificat. Observatie.Dacntr-unsirdenumereputemprevedeaunuldintermeniisiruluinfunctie de termenii precedenti atunci sirul nu este aleator. n cadrul sirurilor de numere aleatoare de lungimefoartemareesteposibilcaunelenumeresserepete,darelendeplinescanumite cerinte care le apropie de cele ntmpltoare; ele se numesc numere pseudo-aleatoare. Exist mai multe procedee de a produce numere ntmpltoare si anume: 1.Tabele cu numere ntmpltoare, care contin numere ntregi uniform repartizate pe un interval. 20 2.Procedeefizice,fiindconstruitemasinisaudispozitivefizicepentruproducereade numerentmpltoare.Elesebazeazpeprincipiifizice,folosinddeexemplu zgomotul electronic sau radioactiv. Procedeulradioactivconstdintr-undetectordeparticuleradioactivecare nregistreaz ntr-o perioad de timpt un numr par sau impar de particule emise de surs.Unaltprocedeufizicestecelalintensittiiunuicurentmsuratlamomente distincteastfelnctvalorilevoltajelor ( ) ( ) ( ) , , , ,2 1 nt U t U t U spoatficonsiderateca independente.ncazulcndunastfeldedispozitivsefolosestepentrugenerareade numere aleatoare cu o anumit repartitie, dispozitivul este conectat la calculator astfel nct el s poat produce numere aleatoare la nevoie. 3.Procedee aritmetice Pentru generarea numerelor aleatoare cu ajutorul calculatoarelor electronice numerice se folosesc relatii de recurent de forma: ( )m n n n nX X X X += , , , f1 1 , 0 , > m m n unde nX ,N n suntnumerenaturale,presupunndu-secvectorul valorilor initiale mX X X , , ,1 0este dinainte fixat. Unprocedeuaritmeticdeobtinereanumereloraleatoarebazatpeorelatiede recurentdeformademaisussenumestegenerator.Tinndseamadefaptulcnumerele sunt generate n acest mod ele nu sunt ntmpltoare, dar pentru anumite alegeri ale lui f si nusepotobtinenumerecupropriettistatisticeapropiatedecelentmpltoare.Un asemenea generator va produce numere pseudo-aleatoare sau cvasi-aleatoare. Pentrucaunprocedeuaritmeticspoatfinumitgeneratordenumerepseudo-aleatoare, trebuie s ndeplineasc urmtoarele conditii: 1.Generatorul trebuie s fie simplu si rapid, ceea ce nseamn c el trebuie s el trebuie s fie usor de programat, s ocupe memorie putin si s solicite timp de calcul redus. 2.Generatorultrebuiesproducsiruridenumeredelungimeorictdemare,frca numerelesiruluisserepete.Aceastaarnsemnasnuproducsiruricuperioad finit.Tinndseamacmrimeacuvntuluiunuicalculatorestelimitat,ceeace nseamncoricecalculatorpoatelucranumaicunumerentregimaimicidectun numrdat,rezultcnuputemconstruigeneratoricuperioadinfinit.Deaceea, cerinta ca un generator s produc siruri orict de lungi de numere se reduce la faptul c generatorul trebuie s aib perioad ct mai mare posibil. 3.Generatorultrebuiesproducnumereindependentestochasticunulfatdealtul. Practicacestlucrunuesterealizabilcucalculatorul,darungeneratoresteacceptat dacproducenumerecaresuntfoarteputindependentestochasticsaufoarteputin corelate. Gradul de independent stochastic se verific cu ajutorul testelor statistice. 21 4.Generatorultrebuiesproducnumereacrorrepartitiesfieuniform,ceeacese poate verifica cu ajutorul testelor de concordant (testul x,testul Kolmogorov etc.). Datoritsimplittiilor,generatoriicelmaifrecventutilizatisuntaceiacareproduc numere pseudo-aleatoare ntregi. Ideeafolosiriiprocedeeloraritmeticegenerareaalgoritmicdenumerecareau calittiapropiatedecelentmpltoareapartineluiJohnvonNeumann.Elapropuso metod particular cunoscut sub numele de metoda prtii de la mijloculptratului. Generarea cu calculatorul a numerelor aleatoare uniforme Fie{ } P K, , un cmp de probabilitate siR X :o variabil aleatoare. Fie[ ] 1 , 0 : R F ,( ) ( ) ( ) { } ( ) x X x X x < = < = ; P P F .Ageneracucalculatorulovariabil aleatoarenseamnaalegeunnumrdeevenimenteelementar n , , ,2 1 siadetermina valorile( )i iX X =ale variabilei aleatoare. Valorile nX X X , , ,1 0 reprezint o selectie asupra variabilei aleatoareX . Ogenerareesteunalgoritmcareestecapabilsproducun iX ,dardacamitera acelalgoritmelsfienstaresproduc nX X X , , ,1 0 astfelcaelesfieindependente stochastic si identic repartizate. Spunem c nX X X , , ,2 1sunt independentestochastic dac: ( ) ( )==nii i nx x x x12 1F , , , F ( ) ( )n n nx X x X x x x < < = , , P , , , F1 1 2 1 Spunemc nX X X , , ,2 1

suntidenticrepartizatedactoateauaceeasirepartitie ( ) ( ) j i x F x Fj i = , . A genera o variabil aleatoare nseamn a produce o selectie. Deobiceinumerelealeatoaresuntvalorileuneiselectiireferitoarelaovariabil aleatoare U care are repartitie uniform. DacUeste o variabil aleatoare discret uniform, atunci toate valorile ei sunt egal probabile: ||.|

\|2 1 2 11 0: X ,( )< V Uuniform si independente Pas 2 : Calculeaz ( )( )V v v v VU u u u U + = + = /1 2 11 2 1 Pas 3 : Dac( ) D V U ,transfer la 1. Pas 4 :( ) = V U h X ,valoarea general. Observatii : 1.Procedeul prezentat este un procedeu de respingere deoarece n pasul 3 este respins procedura care nu apartin domeniului. 2.Performanta algoritmului este dat de probabilitatea de acceptare ariaIariaDpa =. 3. Algoritmul este considerat performant dac131< ap . 4.probabilitatea de respingere a rp p =1 . 40 5.Oproblemdificilnaplicareaacestuialgoritmconstndeterminarea intervalului bidimensionalI . < < < 2 2 2 1 2 10 , , 0 , 0 v v u u u uPentru determine intervalulIexist cel putin dou metode. 1.Metoda multiplicatorilor lui Lagrange Prin aceast metod determinarea lui 1usi 2use face considernd functia ( ) ( ) v u u v u F , ,1 + = . Se consider sistemul: ==0011vFuF( ) ( )i iv v u u = = , ,1 i ,( ) ( ) [ ] 0 , = i iv u . ( )iu u = min1,( )iu u max2=2.Metoda tangentelor [ ] [ ] I D v v u u I = , , ,2 1 2 1 Se face consindernd tangenta la un domeniu D de forma u=const, v=const. ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1, , , , , , , v u S v u R v u Q v u P ( ) ( ) { }dvvduudv u v u D + = = 0 , ; , Panta tangentei o notm cu:( )vududvv u m = = , ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0 , u0 , lim0 , u 0 , lim0 , u, lim0 , u, lim222111222111= = = = = = = = v v u m vv v u m vv v u m uv v u m uv vu uv vu uv vu uv vu u 41 Lem.FieXovariabilaleatoareacruidensitatederepartitieeste( ) x f , ( ) ( ),1x gkx f = R x ,( )=Rdx x g k . Fie( ))`|.|

\| =uvg u v u D2 10 ; ,mrginit < D . Atunci: UVX = arefunctiaderepartitie( ) x F ,unde( ) x F estefunctiaderepartitie corespunztoare densittii de repartitie( ) x f . ( ( ) ( ) x f x F = ) ( ) V U, vector aleatoriu bidimensional uniform pe( ) ( ) 1 , 0 1 , 0 . Demonstratie ( ) V U,uniform pe D dac( )( )=inrestD v uariaD v u g, 0, ,1, |.|

\| = =vug uDdudv dudv ariaD2 1 0 Facem transformarea ====tx vt ut uxuv ( )( )dtdxx t Dv u Ddudv,,=, ( )( )tt xxvtvxutux t Dv u D= ==0 1,,tdtdx dudv =

2) (212) (2 / 102) (2 / 10) (2 / 10kdx x g dxtdx tdt tdtdx ariaDx gx gx g t= = =|||.|

\|= = calculm functia de repartitie a v.a. UVX = = =xx F d f ) ( ) (. ( )( ) = = = |||.|

\|= |.|

\|< = > = 0 , 00 , 0 ,) ( ,1xx e xx f Xx = K ( ) ( ))`|.|

\| = =|.|

\| uvxeuvu v u D e x x g212110 ; , ,Domeniul D se mai poate scrie: ( ))` |.|

\| = |.|

\|1 0 ; ,2121uvue v u Duv. Notm( )2121ln , |.|

\||.|

\|= uvue v uuv ( ) 0 ln2121ln , |.|

\| |.|

\|+ = uvuvu v u ,( ) ( ) { } 0 , ; , = v u v u Duvuvdu udvuvuvdu udvudud212212 |.|

\| + = 02121= |.|

\|+ uvduuvdvuvuduuvdvudu Notmquv=( ) duqqdu dvq qdu dv duuqqdu dvquqdu dvudu: / 0212/ 021211= + = + ( )11,121211212021211 11+ =+ = =||.|

\|+ =||.|

\| |.|

\|= |.|

\|+ qq qdudvqqqdudvqqdudvqqqdudvqqdudvq qdudv a) qdudvu u ,2 10 1 , 0 1 + q q43 = qvuq ,dac0 , 0 01 = u u u0 1= + q ,( ) 0 , ,11= |.|

\| =v u q |.|

\| = =|.|

\| = |.|

\| +212122111 1211ln 01ln21 121ln e uuub) 2 1, v v ,( ) 0 1 , 0 1 sau0 1 0 + q q q q qdudv 0 0 01 = vuvq( )uq vuvqe uuuv u q q= =|.|

\|+ =+ =|.|

\|+ = |.|

\|+ + += |.|

\|+ = = + 2212121/ 1/ 11211ln 01ln21 121ln0 , ,10 1 + + + |.|

\|+ =|.|

\|+ |.|

\|+ =212122121/ 1211 1e ve v Algoritmul de generare Pas 0 : Initializri RNG Intrare . Intrare + + |.|

\|+ = = |.|

\| = =21212 121212 11, 0 ,1, 0 e v v e u uPas 1 : Generm( ) 1 , 0 ~ , > V Uuniform pe( ) 1 , 0si indep Pas 2 : Calculmv v V U U U = = 2 2,Pas 3 : Dac0 ln2121ln > ||.|

\|+UVUVUtransfer la pasul 1 44 Pas 4 : =UVXvaloarea generat Lem.FieXovariabilaleatoareacreidensitatederepartitieeste ( ) ( ) ( ) = x x g x gkx f, 0 ,1. Fie( ) V U,un vector aleator pe domeniul( ) U . Calculeaz( ) ( ) U u u u U U U + = =1 2 1* * ( ) 1 , 0 ~*> UPas 2: Genereaz( ) 1 , 0 ~> VGenereaz ( )V v v v V + =1 2 1* ( )2 1*, ~ v v V >Pas 3: Dac0 / 3 / 1 ln*2* *> + U V Utransfer la 1. (perechea( )* *,V Ugenerat nu este n domeniu) 46 Pas 4: **UVX =(valoarea generat) Probabilitatea de acceptare: IDPaariaaria=( ) ( )75 , 0 ...ariaaria1 2 1 2 = ==== =aDPt uxuvv v u ududvID 47 Tehnici de simulareCursul nr. 7 SIMULAREAUNORVECTORIALEATORI Problemagenerriivectoriloraleatoriestedemareimportantnconstruirea modelelor de simulare, generarea unor procese stochastice, n aplicarea metodei Monte Carlo la integrale multiple. Pentru a gsi metode de generare a vectorilor aleatori s-a ncercat generalizarea unor metode folosite la generarea variabilelor aleatoare; datorit dificulttii de calcul putine dintre acestea au condus la rezultate scontate. Pentru calculul integralelor multiple =Df(V)dV I , DRk .Se poate folosi urmtorul procedeu Monte Carlo -Segenereazoselectie nV V V , , ,2 1 devectorialeatoriindependentiidentic repartizati cu repartitie uniform pe D. -Se estimeaz I prin( )==nii nV fnI11. -DacfL2 (D)atunciM(In )=I,( ) 0 lim2= nnI D ,adicIn esteoestimatieabsolut corect pentru I. Calculul integralei In cnd n este suficient de mare cu ajutorul calculului prin metoda Monte Carlo este uneori mai eficient dectprin mijloacele analizei numerice. Generarea vectorilor aleatori uniformi SepresupunecIesteunintervalk-dimensional,Ii=(ai,bi),1 Usi iaU v v10 0 =Pas 2: Genereaz( ) 1 , 0 ~ , 1 , > i iU k i U si independente si calculeaz =kii i i iX v k i U v X1 '1' , 1 ,Pas 3: Dac00 + v vtransfer la Pas1. Pas 4: Dac( ) 0 ln ln ln011 '0 0 +v vdX b v akkii itransfer la Pas1. Pas 5: 0VXXii Probabilitatea de acceptare : =+=kiiavkHp0111sau ( ) ( )( ) ( )( )( )( )=+++||.|

\|+ + + + + + =kidii i kkkad ddd dkp1211 11 11... 1... Se poate aplica formulan e n nn n 2 |Algoritmul este performant pentru valori nu prea mari ale parametrilor. Generarea unui vector aleator cu repartiie multinomian Repartitiamultinomialesteoextensiearepartitieibinomiale.Unvector ( )12 1,... ,kX X X = X areorepartitiemultinomialdacfunctiasadefrecventeste: ( )kxkx xnnp p px x xnx x x f ...| ... | ||,..., ,22112 12 1= unde1 , 1 0 , , 01 1= = = =kii ikii i ip p n x , x x Z .Repartitia multinomialsebazeazpeurmtorulmodel,carezultataluniexperientesuntposibile evenimenteleincompatibile( )i i kA P p A A = , ,...,1,iar iX reprezintnumruldeaparitiiale evenimentului iAn n experiente. Se stie c( ) ( ) ( )i i i i ip np X D np X M = = 1 ,2

Algoritmulde generare: 54 Pas 0: Initializare RNG. Intrare n. Intrare = = kp k p11 , 1 , Calculeaz[ ] k i p i Fi = = 1 ,1 Initializare j=0. Pas 1:Genereaz un U cu RNG. 1 , 0 + = j j l Pas 2: 1 + l lPas 3: Dac[ ] l F U transfer la Pas2. Pas 4:[ ] [ ] 1 + l X l XPas 5: Dacn j